Tema: VECTORES
Un segmento de recta queda determinado por sus puntos extremos. Si estos puntos están
dados en un cierto orden se dice que el segmento está orientado.
Definición: un vector es un segmento orientado.
r
A
B
En la recta r tomamos los puntos A y B. Consideremos a A como el origen y a B como
el estremo, entonces hemos definido el vector AB . El punto A se llama punto inicial y
el punto B punto final. La punta de la flecha se dibuja en el punto final.
Los vectores tienen tres elementos:
 módulo: está dado por la longitud del segmento orientado,
 dirección: está definida por la orientación de la recta que contiene el segmento,
esta orientación se define por medio del ángulo que la recta forma con el semieje
positivo de las x ,
 sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final del segmento (punta de
la flecha)
Notación: un vector se define
 por medio de sus puntos extremos, ambos escritos en mayúsculas, con una barra
en la parte superior, por ejemplo: AB (se lee vector AB)
 por medio de una letra en minúscula con una barra en la parte superior, por
ejemplo: v (se lee vector v)
Es indistinta la notación que utilicemos:
A
B
v
Componentes de un vector
Las componentes de un vector son los segmentos que representan sus proyecciones
sobre los ejes coordenados cartesianos.
En el plano R 2 :
Supongamos que tenemos el vector v  AB , definido por sus puntos final e inicial cuyas
coordenadas son conocidas:
A  ( Ax , Ay ) ; B  ( Bx , B y )
Las componentes del vector v  AB son:
 sobre el eje x  vx  Bx  Ax
 sobre el eje y  v y  By  Ay
El vector en función de sus componentes, se puede escribir:
v  (vx , v y )  Bx  Ax , B y  Ay 
y
B
By
vy=By-Ay
v
Ay
A
Bx
Ax
x
vx=Bx-Ax
Resumiendo, las componentes de un vector se obtienen restando a las coordenadas de
su punto final, las coordenadas de su punto inicial.
Componentes del vector= coordenadas del punto final – coordenadas del
punto inicial
Ejemplo
Hallar las componentes del vector AB siendo A  (2,4) B (1,5) .Graficar.
Para hallar las componentes del vector pedido haremos: coordenadas del punto final
menos coordenadas del punto inicial.
AB  B  A  ( 1,5)  ( 2,4)  (3,1)
zeje z
el espacio R
3
plano xy
eje y
eje x
plano yz
plano xz
En el espacio R 3 :
Las componentes del vector v  AB son:
 sobre el eje x  vx  Bx  Ax
 sobre el eje y  v y  By  Ay
 sobre el eje z  vz  Bz  Az
El vector en función de sus componentes, se puede escribir:
v  (vx , v y , vz )  Bx  Ax , By  Ay , Bz  Az 
z
vx
v
Operaciones entre vectores
Suma de vectores
La suma de dos vectores u y v es ley de composición interna, esto significa que si sumo
dos vectores obtengo como resultado otro vector w . Como los vectores se pueden
escribir en función de sus componentes, la suma puede definirse de esta manera:
En R 2 , u  (u x , u y ) , v  (vx , v y )
u  v  (u x , u y )  (vx , v y )  (u x  v x , u y  v y )
En R 3 , u  (u x , u y , u z ) , v  (vx , v y , vz )
u  v  (u x , u y , u z )  (vx , v y , vz )  (u x  vx , u y  v y , u z  vz )
Las notaciones de arriba se leen: la suma de dos vectores es otro vector, cuyas
componentes son las sumas de las componentes homólogas de los vectores sumandos.
Componentes homólogas son las componentes que pertenecen a un mismo eje
coordenado.
Gráficamente, la suma de dos vectores, se resuelve usando la regla del paralelogramo.
Propiedades de la suma de vectores
1. Propiedad conmutativa: u  v  v  u



2. Propiedad asociativa: u  v  w  u  v  w

3. Elemento neutro: es el vector nulo, en el plano O  (0,0) y en el espacio O  (0,0,0) ,
para cualquier vector u , se cumple u  O  O  u  u .
El vector nulo se representa como un vector cuyo punto inicial coincide con el punto
final, su módulo es cero: O  0 .
Es un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los
vectores.
4. Elemento opuesto: para el vector u su opuesto es el vector - u . La suma de ambos
vectores da como resultado el vector nulo: u   u  u  u  0 .
 
El vector - u tiene el mismo módulo y la misma dirección que el vector u , pero sentido
contrario.
Ejemplo
Sean los vectores u  7iˆ  k ˆj y v  4iˆ  3 ˆj , hallar el valor de la componente k
para que se cumpla: u  v  3iˆ  5 ˆj .
Partimos de u  v  3iˆ  5 ˆj , es decir, del dato que es el vector suma de los dos vectores
dados, si reemplazamos queda:
7iˆ  k ˆj +  4iˆ  3 ˆj = 3iˆ  5 ˆj si sumamos estos dos vectores, aplicando la definición
de suma queda:
7  4 iˆ  k  3 ˆj  3iˆ  5 ˆj
Como dos vectores son iguales si lo son sus componentes homólogas, podemos afirmar
que:
33
k  3  5  k  8

 

Producto de un vector por un escalar
Si u es un vector no nulo y k es un número real (escalar) diferente de cero, entonces el
producto k. u es otro vector, cuyo módulo es k veces la longitud de u y cuya dirección
es:
 la misma que la de u , si k  0 y
 es opuesta a la de u si k  0 .
Si k=0 o u  0 se define k . u  0
El módulo del vector v  k . u , es el producto del escalar por el módulo del vector, su
dirección es igual a la del vector, y su sentido es contrario a este, si el escalar es
negativo.
El producto de un vector por un escalar es ley de composición externa, esto significa
que necesito dos conjuntos, uno que contiene los escalares (cuerpo de los números
reales) y otro que contiene los vectores. El cuerpo real presta sus escalares al conjunto
de los vectores, para poder hacer esta operación, el resultado final cae dentro del
conjunto de los vectores.
Como los vectores se pueden escribir en función de sus componentes, el producto de un
vector por un escalar puede definirse de esta manera:
En R 2 , u  (u x , u y )
k . u  (k .u x , k .u y )
En R 3 , u  (u x , u y , u z ) ,
k u  ( k .u x , k .u y , k .u z )
Ejemplo
Sea u   3,2,1 calcular 3.u y (2).u analítica y gráficamente
3.u  3.( 3,2,1)  ( 9,6,3)
obtuvimos un vector de la misma dirección y sentido que u y cuyo módulo es 3 veces
el módulo de u
(2).u  ( 2).( 3,2,1)  (6,4,2)
obtuvimos un vector de la misma dirección pero sentido opuesto al de u y cuyo módulo
es 2 veces el módulo de u
Un vector de la forma k.u se llama múltiplo escalar de u . En la figura superior se
observa que los vectores que son múltiplos escalares entre sí son paralelos.
Esta operación nos da la condición de paralelismo entre dos vectores: si v  k . u
entonces u y v son vectores paralelos.
Por ejemplo los vectores u  (1,2,3) y v  ( 3,6,9) son paralelos ya que v  (3). u
Observar que el vector (-1). u tiene la misma longitud que u , pero sentido contrario.
Así (-1). u es el opuesto de u , (-1). u = - u .
Propiedades del producto de un vector por un escalar
1. Propiedad asociativa mixta: k1 k2 ..u  k1. k2 .u  k2 . k1. u
 

vector
escalar
vector



 


 




vector


vector

vector
2. Propiedad distributiva del producto de un vector por un escalar con respecto a la
suma de vectores: k . u  v  k . u  k . v


3. Propiedad distributiva del producto de un vector por un escalar con respecto a la
suma de escalares: k1  k 2  . u  k1. u  k 2 . u
4. Elemento neutro: es el número 1 , cualquier vector multiplicado por el número 1 da
como resultado el mismo vector 1. u  u
Ejemplo
Hallar el vector w si 2w  u  v siendo u  iˆ  3 ˆj  5kˆ y v  2 ˆj  4kˆ
Partimos de la ecuación 2w  u  v reemplazando y operando queda: w 

 
1
 2 ˆj  4kˆ  iˆ  3 ˆj  5kˆ
2
1
1
9
w = iˆ  ˆj  kˆ
2
2
2
w
Versores


1
vu
2

Los versores son vectores que tienen las siguientes características:
 módulo unitario, esto significa que la longitud del segmento mide 1,
 dirección y sentido coinciden con las direcciones y sentidos de los semiejes
coordenados cartesianos positivos
En el plano se designan por iˆ , ˆj , cuyas componentes son iˆ  (1,0) , ˆj  (0,1) , y en el
espacio
iˆ , ˆj , kˆ , cuyas componentes son iˆ  (1,0,0) , ˆj  (0,1,0) , kˆ(0,0,1) .
k
y
k̂
ĵ
ĵ
y
iˆ
x
iˆ
x
Todo vector del plano o del espacio puede expresarse en función de los versores.
Al vector u lo puedo pensar como el vector resultante de la suma u  u x  u y . A su vez
los vectores u x y u y los puedo escribir como el producto entre un escalar (componente)
y un vector (versor) :
u x  u x . iˆ
 vector
escalar
;
u y  u y . ˆj reemplazando nos queda: u  u x .iˆ  u y . ˆj esta es la

escalar vector
expresión cartesiana de un vector en el plano.
En el espacio el razonamiento es análogo: v  vx .iˆ  v y . ˆj  vz .kˆ
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento que lo representa. Si el vector está
en el plano su módulo se calcula aplicando el teorema de Pitágoras:
y
B
By
vy=By-Ay
v  AB  vx2  v y2 
Bx  Ax 2  By  Ay 2
v
Ay
A
Bx
Ax
x
vx=Bx-Ax
En el espacio se calcula con el siguiente teorema:
Teorema
El módulo del vector v  (vx , v y , vz ) del espacio R 3 es v  v x2  v 2y  vz2 .
Demostración:
Representemos al vector v  (vx , v y , vz ) del espacio R 3 con punto inicial en O y punto


final en P. Vemos en la figura que se forman dos triángulos rectángulos O A B y O B P .

En el triángulo O A B , la hipotenusa es el segmento OB , vx y v y son los catetos,
podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
2
2
OB  vx  v y
2
(1)

En el triángulo O B P , la hipotenusa es el segmento OP , OB y vz son los catetos,
podemos aplicar otra vez el teorema de Pitágoras:
2
2
OP  OB  vz
2
(2)
Si reemplazamos la expresión (1) en la (2) queda:
2
2
2
OP  vx  v y  vz
2
o lo que es lo mismo: OP 
vx
2
 vy
2
 vz
2
Como la longitud del segmento OP es el módulo del vector v , se cumple:
v 
vx
2
 vy
2
 vz
2
Una de las aplicaciones que tiene este tema y que utilizaremos mas adelante, cuando
veamos recta y plano, es que permite hallar la distancia entre dos puntos.
Supongamos que P  ( Px , Py , Pz ) y Q  (Qx , Qy , Qz ) son dos puntos en el espacio
tridimensional, entonces la distancia entre ellos es el módulo del vector PQ . Las
componentes del vector PQ son: PQ  (Qx  Px , Qy  Py , Qz  Pz ) , aplicando el teorema
ya visto queda: d  PQ  (Qx  Px ) 2  (Q y  Py ) 2  (Qz  Pz ) 2 .
Si los puntos estuvieran en el plano seria: d  PQ  (Qx  Px ) 2  (Q y  Py ) 2
Ejemplo
Hallar el módulo del vector v  (3, 2, 1)
v 
vx
2
 vy
2
 vz
2
 ( 3) 2  22  12  14
Hallar la distancia entre los puntos P  ( 2,1,5) y Q  (4,3, 1)
d  PQ  (Qx  Px ) 2  (Q y  Py ) 2  (Qz  Pz ) 2  ( 4  2) 2  ( 3  1) 2  (1  5) 2  44
Hallar el módulo del vector con punto inicial P  (1,  1, 2) y extremo en Q  (0, 5, 4)
PQ  (Qx  Px , Qy  Py , Qz  Pz )  (0  1, 5  1, 4  2)  (1, 6, 2)
PQ  (1) 2  62  22  41
Propiedades del módulo de un vector
Sean u y v dos vectores y k un escalar, entonces:
1. El módulo de un vector es un número real positivo o nulo: v  0 .
2. El módulo de la suma de dos vectores es menor o igual a la suma de los módulos
de cada uno de los vectores: u  v  u  v (Desigualdad del triángulo).
3. El módulo del vector que se obtiene mediante el producto de un escalar por un
vector, es igual al valor absoluto del escalar multiplicado por el módulo del
vector: k .u  k . u
Ángulos directores
Un vector v del plano o del espacio, forma con los semiejes coordenados cartesianos
positivos ángulos, que se llaman ángulos directores. En la figura vemos que proyectar
ortogonalmente al vector v sobre el eje z queda determinado el triángulo rectángulo

v
O MP , donde se cumple que cos   z . De manera análoga, se deduce que:
v
cos 
v
vx
y cos   y .
v
v
M
Estos valores se denominan cosenos directores del vector v , y a partir de ellos se
deduce que los ángulos directores del vector son:
v
v
v
  arccos x   arccos y   arccos z
v
v
v
En el plano el razonamiento es similar, sea v  (vx , v y ) entonces los cosenos directores
son cos 
  arccos
v
vx
v
y cos   y , por lo tanto los ángulos directores son:   arccos x y
v
v
v
vy
v
.
Relación pitagórica
1. Sean ̂ y ̂ los ángulos directores de un vector v  (vx , v y ) del plano, entonces:
cos 2   cos 2   1 .
2. Sean ̂ , ̂ y ˆ los ángulos directores de un vector v  (v x , v y , v z ) del espacio,
entonces: cos 2   cos 2   cos 2   1 .
Ejemplo
1 3

Hallar los ángulos directores del vector v   ,

2 2 
Primero calculamos el módulo del vector dato:
2
 1   3 
    
1
 2   2 
El módulo de este vector vale 1, en este caso se le llama vector unitario.
v 
cos  
2
vx  v y
vx
v

2
1
1
   arccos  60º
2
2
  arccos
vy
v

3
3
   arccos
 30º
2
2
Versor o vector unitario asociado a un vector
El versor asociado a un vector v  0 cumple con:
1. tiene la misma dirección y sentido que el vector v
2. su módulo es igual a 1.
En consecuencia, el versor u asociado a un vector v es un múltiplo escalar de este
vector; es decir u  k . v , siendo k  0 .
Teorema
Sea el vector v  0 , entonces su versor asociado es u 
1
.v.
v
Demostración
Por la definición de versor asociado se tiene que u  k . v , siendo k  0 , de modo que
u  k .v  1
Que por propiedad del módulo del múltiplo escalar de un vector se `puede escribir
u  k . v  1.
Entonces k 
1
1
1
y, como k  0 , resulta k 
, reemplazando queda: u  . v .
v
v
v
Ejemplo
Hallar el versor asociado al vector v  (1,1,1)
u
1
1
 1 1 1 
.v 
(1,1,1)  
,
,

3
v
 3 3 3
2
 1 2  1 2  1 
 1
Si calculamos el módulo de u se verifica : u  
 
 
 3  3  3


EJERCITACION
Ejercicio Nº1
Hallar las componentes y el módulo de un vector, con punto inicial P:(3,2,0) y punto
final F:(1,0,0).
Este ejercicio da como datos dos puntos: P:(3,2,0) y F:(1,0,0) y pide las componentes
y el módulo del vector cuyos puntos inicial y final son los puntos P y F.
Recordemos que las componentes de un vector son sus proyecciones sobre los ejes
coordenados, como este vector está en el espacio, tendrá tres componentes, una sobre
cada eje.
Para hallar las componentes del vector pedido haremos: coordenadas del punto final
menos coordenadas del punto inicial.
Componentes del vector:
coordenadas del punto final – coordenadas del punto inicial
Consideremos el vector PF , el punto inicial es P y el punto final es F.
PF  F  P  ( Fx , Fy , Fz )  ( Px , Py , Pz )  (1,0,0)  (3,2,0)  (2,2,0)
Punto final
Punto inicial
Componentes
Las componentes del vector se pueden escribir en forma de terna ordenada de esta
manera: PF  ( 2,2,0) o en forma cartesiana utilizando los versores iˆ, ˆj , kˆ . Por lo que
el vector también se puede expresar así: PF  2iˆ  2 ˆj  0kˆ .
El vector se puede nombrar usando el punto inicial seguido por el punto final, con un
segmento en la parte superior, de esta forma: PF , aquí el punto inicial es P y el final es
F. Otra forma de nombrar al mismo vector, es usando una letra minúscula con un
segmento en la parte superior, de esta forma: v .
v  2iˆ  2 ˆj  0kˆ
F
punto final
v  PF
P
punto inicial
Para hallar el módulo del vector v  PF , es decir la longitud del segmento que lo
representa, aplicamos el teorema de Pitágoras en el espacio:
v  PF  ( Fx  Px ) 2  ( Fy  Py ) 2  ( Fz  Pz ) 2  (2) 2  (2) 2  02  8
Rta:
v  2iˆ  2 ˆj  0kˆ
v  8
Ejercicio Nº2
Hallar las componentes y el módulo de un vector, con punto inicial P=(0,0,0) y punto
final
F= (-1,-1,3).
Idem ejercicio Nº 1;
Conclusión: el vector encontrado es el vector posición del punto F. El vector nulo es el
vector posición del origen de coordenadas O  (0,0,0)
Ejercicio Nº3
Dadas las componentes v x , v y , v z de un vector v y su punto inicial P, encontrar el punto
final F.
Datos: v x  2, v y  1, v z  0 ,
P:(2,1,-3)
Recordando:
Componentes del vector: coordenadas del punto final – coordenadas del punto inicial
Podemos deducir despejando que:
Coordenadas del punto final: Componentes del vector+ coordenadas del punto inicial
Reemplazando en la ecuación obtenida por los datos queda:
( Fx , Fy , Fz )  (v x , v y , v z )  ( Px , Py , Pz )  ( 2,1,0)  ( 2,1,3)  ( 4,2,3)
Rta:
F= (4,2,-3)
Ejercicio Nº4
Dado el vector v  (1,2,1) ; a) Hallar el punto final F del mismo si su punto inicial es
P  (1,1,1) b) Utilizando el mismo vector v , encontrar las coordenadas del punto
inicial P si su punto final es F  (3,2,2) .
Similar al ejercicio Nº3
Ejercicio Nº5
Hallar un vector con sentido opuesto al de v  ( 2,4,1) y que tenga el punto final F =
(2,0,-7)
Para hallar un vector con sentido opuesto al del vector v , debemos multiplicar el vector
dado por el número (-1). Gráficamente:
v  ( 2,4,1)
- v  ( 1).( 2,4,1)  ( 2,4,1)
Es decir que debemos trabajar ahora con el vector
el punto inicial de este vector.
w  (1).v  ( 2,4,1) , buscaremos
Recordando:
Componentes del vector: coordenadas del punto final – coordenadas del punto inicial
Podemos deducir despejando que:
Coordenadas del punto inicial: coordenadas del punto final – componentes del vector
Reemplazando en la ecuación obtenida por los datos queda:
P  ( Px , Py , Pz )  ( 2,0,7)  ( 2,4,1)  (0,4,8)
Rta:
P = (0,4,-8)
Ejercicio Nº6
Hallar un vector u cuyo punto inicial es P  (1,3) tal que:
a- u tiene la misma dirección y sentido que v  (6,2)
b- u tiene la misma dirección pero sentido contrario al de v  (6,2)
c- Graficar
Ejercicio Nº7
Dados los vectores u  (1,2,3) v  ( 2,3,1) w  (3,2,1) hallar las componentes del
vector x que satisfaga la ecuación 2u  v  x  7 x  w
 1 5 
Rta: x    , ,1
 2 6 
Ejercicio Nº8
Dados los vectores u  (1,3,2) v  (1,1,0) w  ( 2,2,4) hallar
a) u  v Rta: 12  2 3
b) u  v Rta:
2
c)  2.u  2.u Rta:
56  56  4 14
d) 3u  5v  w Rta: 148  2 37
e)
f)
1
 1 1 2
. w Rta: 
,
,

w
 6 6 6
1
w
. w Rta:1
Ejercicio Nº9
Hallar todos los escalares k tales que: k .v  3 siendo v  (1,2) .Graficar. Rta:
3
5
Ejercicio Nº10
k
Sean los puntos M  (1,2,3) N  (2,4,6) y S  (3,0,1) obtener:
a) Los vectores MN y MS ,expresar estos vectores en función de sus componentes
y en forma canónica.
b) NS  SN ,a partir del resultado que conclusión obtuvo?
c) 2 MN  3 MS
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2 MN  3 MS
Los cosenos directores y los ángulos directores del vector MN
El versor asociado al vector MN
Un vector paralelo al vector MN de módulo 5
La distancia entre los puntos M y S
El punto medio del segmento NS
Espacio vectorial
Vimos que en el plano R 2 y en el espacio R 3 podemos definir una ley de composición
interna o suma y una ley de composición externa o producto por un escalar. En la figura
podemos ver la representación gráfica de estas leyes, en el caso de la suma, tanto los
vectores sumandos u y v como el vector suma u  v , pertenecen al mismo conjunto, por
ello se llama ley de composición interna.
En el caso del producto por un escalar, es necesario un elemento ajeno al conjunto de
vectores, un escalar. El conjunto que presta sus elementos es el conjunto de los números
reales (sus elementos se llaman escalares). Para realizar esta operación necesito un
elemento externo al conjunto de vectores, de allí el nombre de esta ley.
Llamamos V al conjunto de R 2 o R 3 , u , v y w son vectores de V, k ,k1 y k2 son
elementos de R, ya vimos que se cumplen las siguientes propiedades.
Para la suma:
1. Propiedad conmutativa: u  v  v  u
2. Propiedad asociativa: u  v  w  u  v  w




3. Elemento neutro: u  O  O  u  u .
4. Elemento opuesto: u   u  u  u  0 .
 
Para el producto por un escalar:
1. Propiedad asociativa mixta: k1 k 2 .u  k1.k 2 .u  k 2 k1.u
2. Propiedad distributiva del producto de un vector por un escalar con respecto a la
suma de vectores: k . u  v  k . u  k . v
3. Propiedad distributiva del producto de un vector por un escalar con respecto a la
suma de escalares: k1  k 2  . u  k1. u  k 2 . u
 

 

4. Elemento neutro: 1. u  u
Por cumplirse estas 8 propiedades, podemos decir que V tiene una estructura algebraica
denominada espacio vectorial. Estas propiedades no son exclusivas de los vectores
geométricos de R 2 y R 3 , sino que se transforman en conceptos que permiten definir
conjuntos de vectores generalizados.
Resumiendo:
El conjunto de todos los vectores que se encuentran en el plano, es un espacio vectorial.
El conjunto de todos los vectores que se encuentran en el espacio, es un espacio
vectorial.
Producto punto o escalar
Ahora veremos un producto que se realiza entre dos vectores, la operación producto
punto o escalar es una herramienta que nos permite obtener el ángulo entre dos vectores,
considerados con un origen común, y efectuar proyecciones ortogonales. También es
una herramienta muy útil para describir analíticamente ecuaciones de rectas y planos.
Este producto de denomina producto punto haciendo referencia a su notación, que es un
punto bien marcado, también se lo denomina producto escalar, porque el resultado que
se obtiene es un número real (escalar). Los dos nombres se usan de manera indistinta.
Sean u y v dos vectores no nulos del plano o del espacio, estos vectores se colocan de
modo que sus puntos iniciales coincidan. El ángulo  entre u y v , es el ángulo que
determinan las direcciones de los vectores y satisface 0     .
Después de definir ángulo entre dos vectores, estamos en condiciones de definir
producto escalar.
Definición:
Sean u y v dos vectores, y sea  el ángulo entre u y v , el producto escalar entre u y v se
 u . v . cos  si u  0  v  0
define como: u  v  
0 si u  0  v  0
En general, no resulta fácil calcular el producto escalar entre vectores utilizando la
definición previa, ya que no suele conocerse la medida del ángulo entre ellos. Ahora
veremos un teorema que permite calcular el producto escalar de otra manera, usando las
componentes de los vectores.
Teorema
Sean los vectores u  (u x , u y , u z ) y v  (v x , v y , vz ) , entonces el producto escalar entre u y v
es: u  v  u x .vv  u y .v y  u z .vz .
Se lee: el producto escalar entre dos vectores es igual a la suma de los productos entre
componentes homólogas.
Demostración:
Sean u y v dos vectores no nulos, como se muestra en la figura,  es al ángulo entre
ellos. Aplicando el teorema del coseno queda:
2
2
2
2
2
2
u  v  u  v  2.
u . v . cos

definición de producto escalar
u  v  u  v  2.u  v
Despejamos de esta expresión el producto escalar:
u v 
1
2
 u 2  v 2  u  v 2


Escribimos ahora los módulos de los vectores en función de sus componentes:

 
 

1 2
2
2
2
u x  u y2  u z2  vx2  v 2y  vz2  u x  vx   u y  v y   u z  vz 
2
Si operamos desarrollando los cuadrados de los binomios y cancelando términos queda:
uv 
u  v  u x .vx  u y .v y  u z .vz
Que es lo que queríamos demostrar.
NOTA
Si u  (u x , u y ) y v  (vx , v y ) son dos vectores del plano, entonces el producto punto en
función de las componentes de los vectores, será: u  v  u x .vx  u y .v y .
Ejemplo
Sean los vectores u  (2,3,4) y v  (5,1,2) entonces
u  v  (2).5  3.( 1)  4.2  10  3  8  5
Sean los vectores u  (1,4) y v  (3,6) entonces
u  v  (1).3  4.( 6)  3  24  27
Propiedades del producto escalar entre vectores
1. Propiedad conmutativa: u  v  v  u .
Sean u  (u x , u y , u z ) y v  (vx , v y , vz ) el producto escalar entre u y v es
u  v  u x .vx  u y .v y  u z .vz por ser conmutativa la multiplicación de números reales,
podemos escribir: u  v  u x .vx  u y .v y  u z .vz  vx .u x  v y .u y  vz .u z  v  u
2. Propiedad distributiva del producto escalar con respecto a la suma de vectores:
u  v  w  uv uw.




Sean u  (u x , u y , u z ) , v  (v x , v y , vz ) y w  ( wx , wy , wz ) , entonces u  v  w 
u , u , u  v , v , v   w , w , w  resolviendo la suma de vectores
u  v  w   u , u , u   v  w , v  w , v  w  resolvemos el producto escalar
u , u , u   v  w , v  w , v  w = u .v  w   u .v  w   u .v  w  aplicamos
x
y
z
x
x
x
y
z
x
y
z
y
x
z
x
y
x
y
y
z
x
z
y
y
z
x
z
z
x
x
y
y
y
z
z
z
las propiedades distributiva del producto respecto de la suma y conmutativa del
producto de números reales:
u x vx  u x wx  u y v y  u y wy  u z vz  u z wz  u xvx  u y v y  u z vz  u x wx  u y wy  u z wz  u  v  u  w






uv
uw

  
 
3. Propiedad asociativa mixta: k . u  v  k . u  v  u  k .v , con k  R .
Sean u  (u x , u y , u z ) y v  (vx , v y , vz ) con k  R , por definición de producto escalar y
propiedad asociativa de la multiplicación en R queda:
k . u  v  k . u x .vx  u y .v y  u z .vz   kux vx  ku y v y  ku z vz  k u  v




 
 
De manera análoga se puede demostrar: k . u  v  u  k .v
4. Si los vectores u y v son ortogonales (perpendiculares), entonces u  v  0 .
u  v  u . v . cos

0
2
5. Si el producto escalar entre u y v es nulo, entonces alguno de los vectores es el
vector nulo o los vectores son ortogonales u  v  0  u  0  v  0  u  v .
Se deduce a partir de la definición de producto escalar.
6. El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado del módulo del
vector:
2
u u  u . u  u .
El ángulo que un vector forma con sí mismo es 0º, entonces u  u  u . u . cos 0º  u
7. El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto escalar del
vector por sí mismo u  u  u .
2
Se deduce a partir de la propiedad anterior: u  u  u . u  u  u  u  u .
Ejemplo
Aplicar las propiedades del producto escalar y comprobar u  v  u x .vx  u y .v y  u z .vz
con los vectores:
u  u x .iˆ  u y . ˆj  u z .kˆ y

v  vx .iˆ  v y . ˆj  vz .kˆ .
 
u  v  u x .iˆ  u y . ˆj  u z .kˆ  v x .iˆ  v y . ˆj  vz .kˆ

uv 
u xvx  iˆ  iˆ  u xv y 
iˆ  ˆj  u xvz  iˆ  kˆ  u y vx  ˆj  iˆ  u y v y  ˆj  ˆj  u y vz   ˆj  kˆ 




 
 
 u v kˆ  iˆ   u v kˆ  ˆj   u v kˆ  kˆ 


 
 
0
0
z x
z y
0
0


 
0
z z
0
Se anulan 6 de los 9 términos por ser productos escalares de versores ortogonales,
queda:
2
2
2
u  v  u x .vx iˆ  u y .v y ˆj  u z .vz kˆ por la propiedad 6 que vimos arriba:



1
1
1
u  v  u x .vx  u y .v y  u z .vz .
Ángulo entre dos vectores
Vimos que la definición de producto punto o escalar entre dos vectores u y v ambos no
nulos, es: u  v  u . v . cos , siendo  el ángulo entre ellos, por lo general, el ángulo
no es un dato conocido o no es sencillo conocerlo.
Veamos ahora como obtenerlo a partir de la definición de producto escalar.
De u  v  u . v . cos podemos despejar la función coseno y escribir: cos  
uv
.
u.v
Si a esta función le aplicamos su función inversa, es decir la función arco coseno del
ángulo, se tiene:
 uv
arccoscos      arccos
 u.v

entre los dos vectores u y v .

 de esta manera obtenemos el valor del ángulo 


 uv 

  arccos
 u.v 


Si u y v son dos vectores del plano:
Si u y v son dos vectores del espacio:



2
2
2
2 
 u x  u y . vx  v y 
u x vx  u y v y
  arccos



2
2
2
2
2
2 
 u x  u y  u z . vx  v y  vz 
  arccos
u x vx  u y v y  u z vv
El producto escalar nos brinda información sobre el ángulo  entre los dos vectores,
veamos:
cos  
uv
si analizamos esta expresión vemos que el denominador será siempre
u.v
positivo, por ser producto de dos módulos, que por definición son valores siempre
positivos. El signo de la función coseno depende entonces del signo del numerador,
donde figura el producto punto. Cuando definimos producto escalar fijamos que
0   :
Si u  v  0 entonces la función coseno también lo será, y cos  0 implica que

0    por lo que  es un ángulo agudo.
2
Si u  v  0 entonces la función coseno también lo será, y cos  0 implica que

    por lo que  es un ángulo obtuso.
2
Si u  v  0 entonces la función coseno también lo será, y cos  0 implica que  

2
por lo que  es un ángulo recto. En este caso se dice que los vectores son ortogonales
(perpendiculares) entre sí.
Ejemplo
Si u  (1,2,3) , v  (3,4,2) y w  (3,6,3) , entonces:
u  v  1.(3)  ( 2).4  3.2  5
v  w  ( 3).3  4.6  2.3  21
u  w  1.3  ( 2).6  3.3  0
Conclusión: u y v forman un ángulo obtuso, v y w forman un ángulo agudo, u y w
son perpendiculares.
Ejercicio Nº11
Encontrar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos:
A=(-1,0) ; B=(-2,1) y C=(1,4).
B



A
C
Recordar que la definición de producto punto entre dos vectores es: u.v  u . v . cos 
(siendo  el ángulo formado por los dos vectores y menor o igual de 180º)
u

v
Observar que si   90º entonces cos   0 , por lo que el producto punto sería igual a
cero. Podemos generalizar diciendo:
u.v  0  u  v
condición de perpendicularidad entre dos vectores.
u.v
Despejando de la expresión de producto punto: cos  
u .v
En este ejercicio se pide hallar los ángulos interiores de un triángulo:  ,  y  .
1. Angulo 
B



A
C
El ángulo  está formado por los lados AC, AB con los puntos A,B,C se pueden formar
los vectores AC, AB .
B



A
C
Buscamos las componentes de ambos vectores
AC  C  A  (1,4)  ( 1,0)  ( 2,4)
AB  B  A  ( 2,1)  ( 1,0)  (1,1)
Hacemos el producto punto entre ambos vectores, usando la forma cartesiana de este
producto (sumatoria de los productos de las componentes homólogas):
AB. AC  (1,1).( 2,4)  (1).2  1.4  2  4  2
Observar que el producto punto da como resultado un escalar.
Buscamos el módulo de cada vector:
AB  (1) 2  12  2
AC  2 2  4 2  20
Reemplazamos ahora:
cos  
AB. AC
AB . AC

2
2

2 . 20
40
 arccos(cos  )  
;
  71º33`54"
2. Angulo 
El ángulo  está formado por los lados BA, BC con los puntos A,B,C se pueden formar
los vectores BA, BC .
B



A
C
Buscamos las componentes de ambos vectores
BA  A  B  (1,0)  ( 2,1)  (1,1)
BC  C  B  (1,4)  ( 2,1)  (3,3)
Hacemos el producto punto entre ambos vectores:
BA.BC  (1,1).(3,3)  0
como el producto punto es cero ya podemos afirmar que   90 º (no es necesario
seguir operando!!)
3. Angulo 
B



A
C
Se procede de manera análoga a lo expuesto en el punto 1. Angulo  ,   18º 26`6"
Verificar que:
      180 º
Ejercicio Nº12
Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos A:(1,3,-1),
B:(2,-2,-3) y
C:(-2,-1,4).
Similar al ejercicio Nº 11
Ejercicio Nº13
Verifique usando producto escalar, si los siguientes pares de vectores son paralelos,
perpendiculares o forman un ángulo cualquiera:
a) u  (3,1,2); v  ( 2,4,5) b) u  (2,4,6); v  ( 1,2,3)
c) u  1iˆ  1 ˆj  3kˆ ; v  2iˆ  2 ˆj  6kˆ d) u  3iˆ  2 ˆj  4kˆ ; v  5iˆ  3 ˆj  kˆ
a) Usamos la forma cartesiana del producto punto u  v  u x .vx  u y .v y  u z .vz =
(3,1,2)  (2,4,5)  3.( 2)  (1).4  2.5  6  4  10  0
Por ser el producto punto o escalar igual a cero, concluimos que los vectores u y v son
perpendiculares, es decir que el ángulo entre ellos mide 90º.
b) Usamos la forma cartesiana del producto punto u  v  u x .vx  u y .v y  u z .vz =
(2,4,6)  ( 1,2,3)  2.( 1)  ( 4).2  6.( 3)  2  8  18  28
Los vectores u y v forman un ángulo obtuso, ahora buscamos el valor del ángulo.
uv
 28
28
28
cos 



 1  arccos(1)  180º
2
2
2
2
2
2
784
56 . 14
u .v
2  (4)  6 . (1)  2  (3)
El ángulo entre los vectores u y v mide 180º, por lo que podemos afirmar que los dos
vectores son paralelos y de sentido contrario.
c) Usamos la forma cartesiana del producto punto
u  v  u x .vx  u y .v y  u z .vz = (1,1,3)  ( 2,2,6)  1.2  (1).( 2)  3.6  2  2  18  22
Los vectores u y v forman un ángulo agudo, ahora buscamos el valor del ángulo.
u v
22
22
22
cos 



 1  arccos1  0º
2
2
2
2
2
2
484
11. 44
u.v
1  (1)  3 . 2  (2)  6
El ángulo entre los vectores u y v mide 0º, por lo que podemos afirmar que los dos
vectores son paralelos y de igual sentido.
d) Resolver
Rta.: 57º 453"
Ejercicio Nº14
Determinar el valor de k de manera que los vectores (4,5  k ,4) (3, k ,4) sean
ortogonales
Si los vectores son perpendiculares, entonces el producto punto es igual a cero:
(4,5  k ,4)  (3, k ,4)  4.3  (5  k ).k  4.(4)  12  5k  k 2  16  4  5k  k 2  0
Nos quedó una ecuación cuadrática en k, esto significa que existen dos valores de k que
satisfacen la condición pedida. Las raíces de esta ecuación son : k1  4, k 2  1 , si
reemplazamos en los vectores dato queda:
(4,5  k ,4)  ( 4,5  4,4)  ( 4,1,4) y
(3, k ,4)  (3,4,4)
Verificamos que (4,1,4)  (3,4,4)  0
(4,5  k ,4)  ( 4,5  1,4)  ( 4,4,4) y
(3, k ,4)  (3,1,4)
Verificamos que (4,4,4)  (3,1,4)  0
Ejercicio Nº15
Demostrar que los vectores u  ( a, b) y v  ( b, a ) son ortogonales.
Demostrar que los vectores u  ( a, b) y v  (b, a ) son ortogonales.
Encontrar dos vectores que sean ortogonales al vector (3,-2). Graficar.
Encontrar dos vectores unitarios que sean ortogonales al vector (3,-2). Graficar.
3 
 2
v2   
,

13 
 13
3 
 2
Rta.: v1  
,

 13 13 
Ejercicio Nº16
Sean u  (3,4) v  (5,1) y w  (7,1) evaluar las expresiones:

a) u  7v  w




b) u  v .w
c) u . v  w
 

d) u .v  w
Ejercicio Nº17
Explicar porqué cada una de las siguientes expresiones carece de sentido
a) u  v  w b) u  v  w c) u  v d) k  u  v






Ejercicio Nº18
Sean u  ( 2, k ) y v  (3,5) encontrar k tal que:
a) u y v sean paralelos
b) u y v sean ortogonales
c) el ángulo entre u y v sea
d) el ángulo entre u y v sea


3
4
cos 3  12 
cos

4

2
2

Proyecciones ortogonales
En muchas aplicaciones se desea descomponer un vector v en una suma de dos
sumandos, uno paralelo a un vector no nulo u , y el otro perpendicular a u . Si u y v se
colocan de modo que sus puntos iniciales coincidan en un punto Q, entonces es posible
descomponer el vector v como muestra la figura:
Observemos que, la proyección ortogonal del vector v sobre la dirección del vector u es
un vector que es múltiplo escalar del vector sobre el que proyectamos, denominado
vector proyección de v sobre u , el cual se simboliza mediante el vector proyu v , para
simplificar lo llamamos p .
En la primera figura vemos que el vector proyección p coincide con el sentido del
vector sobre el que proyectamos, pues el ángulo entre u y v es agudo. En la segunda
figura, como el ángulo entre los vectores es obtuso, el vector proyección p tiene sentido
opuesto del vector sobre el que proyectamos.
Ahora obtendremos el vector p , es decir, su módulo, dirección y sentido:
 La dirección de p es dato, al ser paralelo a v tienen la misma dirección
 El sentido y el módulo de p surgen de una magnitud escalar, la cual se
denomina proyección escalar del vector v sobre u y se simboliza proyu v , para
simplificar la escritura lo llamaremos p. Por trigonometría vemos que
p  v cos , donde:
Si  es agudo, p  0 , y representa el módulo del vector proyección e informa que el
sentido de este vector es el mismo que el del vector u . (figura de la derecha)
Si  es obtuso, p  0 , y el valor absoluto de p representa al módulo del vector
proyección, y el sentido de este vector es opuesto al del vector u .(figura de la
izquierda)
u.v
Resulta entonces: p  p.u  v cos u , pero ya vimos que cos 
u.v



u  v 
uv
,reemplazando y simplificando v queda : p   v
u
u


u.v
u


Para que u sea un vector unitario, debo hallar su versor asociado, esto se obtiene
dividiendo por su módulo:


uv
uv u
uv
p
u
  2  u , el vector proyección de v sobre u es:
u
u
u
 u 

  
escalar vector
unitario


uv
p 2 u
 u 


Hemos analizado cómo determinar el vector p , que es el vector proyección del vector
v sobre la dirección del vector u . Ahora hallaremos un vector que se llama componente
vectorial del vector v ortogonal a la dirección del vector u , lo cual se simboliza como
ortog u v . El vector se representa en las figuras siguientes como q .
En ambas figuras se observa que v  p  q . Es decir, el vector v es la suma del vector
proyección de v sobre la dirección del vector u y la componente vectorial de v
ortogonal a la dirección del vector u .
Entonces, ortogu v  q  v  p , reemplazando por la expresión que ya obtuvimos de p ,
queda:


uv
q  v 2 u
 u 


Resumiendo:
Sean u y v dos vectores, distintos del vector nulo:
proy escu v 
uv
u

La proyección escalar de v sobre u es:

La longitud de la proyección escalar, o el módulo del vector proyección de
v sobre u es:
proy escu v 
uv
u



uv
El vector proyección de v sobre u es: vector proyu v   2  u .
 u 





uv
La componente ortogonal de v sobre u es: comp ortog u v  v   2  u
 u 


Ejemplo
Sean los vectores a  ( 4,4,4) y b  (6,6,0) . Calcularla proyección escalar, la longitud
de la proyección escalar y el vector proyección del vector a sobre el vector b .
La proyección escalar del vector a sobre el vector b es:
a  b ( 4,4,4)  (6,6,0)
proyb a 

4 2
b
62  62  0 2
La longitud de la proyección escalar del vector a sobre el vector b es:
proyb a 
ab
b

( 4,4,4)  (6,6,0)
62  6 2  0 2
 4 2 4 2
El vector proyección del vector a sobre el vector b es:


 ( 4,4,4)  (6,6,0) 
 ab
 (6,6,0)  ( 4,4,0)
p  vector proyb a   2 b  
2
 6 2  62  0 2 
 b 




Calcular la componente vectorial de a  ( 4,4,4) ortogonal a la dirección del vector
b  (6,6,0)
Ya conocemos el vector proyección del vector a sobre el vector b :


 ( 4,4,4)  (6,6,0) 
 ab
 (6,6,0)  ( 4,4,0)
p  vector proyb a   2 b  
2
 6 2  62  0 2 
 b 




Luego la componente vectorial de a ortogonal a la dirección del vector b será:
q  a  p , es decir,
q  comp ortog b a  (4,4,4)  (4,4,0)  (0,0,4)
Teniendo en cuenta los datos del ejemplo y los resultados obtenidos, se puede verificar:
La suma entre el vector proyección p y la componente ortogonal q es el vector a que
proyectamos sobre la dirección del vector b :
a  p  q  ( 4,4,0)  (0,0,4)  ( 4,4,4)
Algunas demostraciones con producto punto
Las siguientes demostraciones serán de utilidad cuando veamos el tema: recta en el
plano.
1) Demostrar que en el plano el vector n  ( A, B ) no nulo, es perpendicular a la recta
Ax  By  C  0 .
Sean P  ( Px , Py ) y Q  (Qx , Q y ) dos puntos diferentes que pertenecen a la recta,
entonces verifican:
APx  BPy  C  0
AQx  BQ y  C  0
Como el vector PQ  (Qx  Px , Qy  Py ) está contenido en la recta, basta demostrar que
n y PQ son perpendiculares. Al restar las dos ecuaciones superiores queda:
AQx  Px   B Q y  Py   0
Que puede escribirse  A, B   Qx  Px , Q y  Py   0 o
n  PQ =0 , así n y PQ son
perpendiculares.
2) Encontrar una fórmula para calcular la distancia entre el punto P  ( Px , Py ) y la recta
Ax  By  C  0 .
Sea Q  (Qx , Q y ) un punto cualquiera de la recta y el vector n  ( A, B ) se coloca de
modo que su punto inicial sea Q . Ya vimos en la demostración anterior, que el vector n
es perpendicular a la recta . Como se observa en la figura, la distancia d es igual a la
longitud de la proyección ortogonal del vector
QP sobre el vector n , así se tiene que : d  proyn QP 
Pero
QP  n
n
QP  ( Px  Qx , Py  Qy ) ,
QP  n  A( Px  Qx )  B ( Py  Qy )
n 
d
A2  B 2 , reemplazando en la fórmula de d queda:
A( Px  Qx )  B ( Py  Qy )
A2  B 2
Como el punto Q está sobre la recta, sus coordenadas satisfacen su ecuación y podemos
escribir:
AQx  BQy  C  0 , si despejamos C queda: C   AQx  BQy , reemplazando en la
fórmula de d queda:
APx  AQx  BPy  BQy ) APx  BPy  ( AQx  BQy )
APx  BPy  C
d


A2  B 2
A2  B 2
A2  B 2
d
APx  BPy  C
A2  B 2
NOTA:
Hemos visto que con los vectores podemos hacer
diferentes operaciones:
 Suma
 Producto por un escalar
 Producto punto o escalar
Existen otros dos productos entre vectores:
 Producto cruz o vectorial
 Producto mixto
Estos dos últimos productos los veremos más adelante,
en el tema: Determinante.