GJEOMETRIA ANALITIKE NE PLAN (R2) DHE NE HAPESIRE (R3)
Në bazë të gjeometrisë analitike është koncepti i vektorit AB dhe i bazës : i,j për R2 dhe i,j,k për R3.
Gjeometrisht vektori paraqitet nga një segment i orientuar AB ku A quhet fillimi dhe B fundi . Një vektor
përcaktohet nga dhënia e koordinatave të A dhe të B, ku A(xA;yA) dhe B(xB;yB) dhe vektori AB ka kordinata
: X=xB- xA dhe Y=yB- yA ;
Gjeometrikisht kjo do të thotë që vektori AB përcaktohet nga:
1)Drejtimi ; 2)Kahja ; 3) Gjatësia AB = (x B  x A ) 2 (y B  y A ) 2 .
Janë përcaktuar këto veprime me vektorët :
I)Mbledhja e vektorëve :
Gjeometrikisht kemi dy mënyra :
I)Mbledhja me mënyrën paralelogram
II)Mbledhja me mënyrën trekëndësh
III)Analitikisht me mbledhjen e kordinatave .
I)Shumëzimi i vektorit me numër(skalar) λ u :
Gjeometrikisht kur shumëzojm një vektor me një skalar λ merret një vektor që ka të njëjtin drejtim me
vektorin e dhënë dhe me gjatësi λ herë më të madhe dhe me kahje të njëjtë kur λ >0 dhe me kahje të
kundërt kur λ <0 dhe kur =0, 0 v jep vektorin 0 .
Shumëzimi i vektorit me skalar gëzon katër vetitë :
Për çdo R dhe për çdo dy vektorë v1 , v 2 V(V është bashkësia e vekrorëve) kemi:
( v1 + v 2 )= v1 + v 2
(ligj përdasor)
Për çdo ,R dhe për çdo vV kemi:
(+) v1 = v1 + v1
(ligj përdasor)
Për çdo ,R dhe për çdo vV kemi:
()v=(v)
(ligj shoqërues)
Për çdo vV ekziston skalari 1K i tillë që:
1v=v
Shumëzimi skalar(dott) i dy vektorëve shënohet  u, v ose u  v dhe është numër i barabartë me : u 
v =| u || v |cos ku | u |;| v | gjatësitë e vektorëve u dhe v dhe  këndi midis tyre. Në kordinata u  v
=X1X2+Y1Y2 .
Gëzon vetitë :
I)Linearitetin :  u,λ v  μ w  = λ  u, v + μ  u, w 
II)Pozitivitetin :  u, u   0 dhe  u, u  =0  u =0 .
Shumëzimi vektorial i dy vektorëve ux v (është i përcaktuar vetëm në R3)
Me dy vektor u dhe v kryhet dhe një veprim tjetër që shënohet u x v (ose u ^ v ) dhe ka si rezultat përsëri
një vektor ω , pra ω = u x v i cili :
I)ka gjatësi : ω = u v sin( u ^ v )
II) vektori ω është pingul me planin e dy vektorëve u dhe v , dhe ω formon sistem treshe të djathtë me
dy vektorët u dhe v .Një treshe vektorësh u , v dhe ω quhet e djathë në qoftë se duke menduar një vrojtues
sipas drejtimit të vektorit ω dhe ai duhet ta rrotullojë vektorin e parë u nga djathta në të majtë për t’u
puthitur me vektorin e dytë v .
Shumëzimi vektorial i dy vektorëve ux v gëzon këto veti:
I)Antikomutiviteti: ux v =- v x u
II)Vetia përdasore: ω x( u  v )= ω x u + ω x v
III)Homogjeniteti: ( λ u )x v = u x( λ v )= λ ( u x v )
Në trajtë kordinatash shumëzimi vektorial i dy vektorëve jepet nga :
x 
 x '


y
u
v
Le të jetë =
dhe =  y' ose u = x i +y j +z k dhe v = x’ i +y’ j +z’ k
 
 
z
 z' 
u x v = (yz’-y’z) i +(x’z-xz’) j +(xy’-x’y) k .
Kjo mbahet mend duke zbërthyer “përcaktorin” e mëposhtëm sipas rreshtit të parë :
i
j
k
uxv= x
y
z
x ' y' z '
(-1)1+1 i
y
z
y' z '
+(-1)1+2 j
x
z
x ' z'
+ k (-1)1+3
x
y
x ' y'
=(yz’-y’z) i +(x’z-xz’) j +(xy’-x’y).
Mund të merren i,j,k në shtyllën e parë:
i
x
x'
uxv= j
y
y'
k
z
z;
Vlera e gjatësisë së u x v është numerikisht sa syprina e paralelogramit të ndërtuar mbi vektorët u dhe v
.
i
1
 1
 
 
Gjeni u x v , ku u =  0  dhe v =  1  ; u x v = j
 1
  2
k
 
 
1
1
1 =
1  2
0
1
 
(+1) i -(-3) j +(+1) k , pra kemi vektorin: ω = u x v =  3  , gjatësia e vektorit a është
1
 
| ω |=| u x v |= 12  32  12 = 11 ;| u |= 12  02  (1) 2 = 2 ;
| v |= (1) 2  12  (2) 2 = 6 ;
ux v
Duke qënë se | u x v |=| u || v |sin, kemi sin=
uv
=
11
11
=
.
12
2 6
Dhe gjejmë dhe cos(që na duhet për të gjetur prodhimin scalar), cos2=1-sin2=1-(
11 2 11 1
) =1- = .
12 12
12