Circuitos Eléctricos I
VII
Circuitos de Segundo Orden
Circuitos de Segundo Orden
Objetivos:
o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RLC
o Identificar y reconocer el tipo de respuesta del circuito RLC a través de las
raíces de la ecuación característica de la red
o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de segundo orden
o Discutir la respuesta de un circuito de segundo orden a una función exponencial
y senoidal
Introducción
En este capítulo estudiaremos los circuitos que contiene dos elemento almacenadores
de energía diferentes, como son una bobina y un capacitor y veremos que estos circuitos
son descritos por una ecuación diferencial de segundo orden, también encontraremos la
respuesta natural, forzada y completa de éstos circuitos. Comenzaremos nuestro estudio
con dos ejemplos clásicos, para llegar obtener la ecuación básica del circuito.
7.1
Ecuación del circuito básico de los circuitos de segundo orden
Para comenzar nuestro desarrollo, los dos circuitos básicos que se muestran en la Figura
7.1.1
v(t)
+ vC(t0) i(t)
iL(t0)
is(t)
R
L
(a)
L
C
C
R
vs(t)
(b)
Figura 7.1.1
Para comenzar nuestro análisis vamos a suponer que la energía puede ser almacenada
inicialmente en la bobina y en el capacitor. La ecuación para el circuito RLC paralelo se
obtiene de aplicar LKC al nodo de arriba:
iR + iL+iC = is(t), es decir:
dv (t )
v (t ) 1 t
+ ∫ v ( x ) dx + i L (t 0 ) + C
= i s (t )
t
dt
R
L 0
De manera similar, la ecuación para el circuito RLC serie se puede obtener aplicando
LKV a la malla existente:
vR + vC+vL = vs(t), es decir: R i +
1 t
di (t )
i ( x) dx + vC (t 0 ) + L
= v s (t )
∫
C t0
dt
Note que la ecuación para el voltaje nodal del circuito RLC paralelo es de la forma que
la de la corriente de malla del circuito RLC serie. Por tanto la solución de esos circuitos
202
C.R. Lindo Carrión
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depende de que se resuelva una ecuación. Si ambas ecuaciones anteriores se derivan con
respecto al tiempo, obtenemos:
C
d 2 v(t ) 1 dv(t ) v(t ) di s (t )
+
+
=
, que podemos expresarla como:
R dt
L
dt
dt 2
d 2 v(t )
1 dv(t ) v(t ) 1 di s (t )
+
+
=
y
2
RC dt
LC C dt
dt
L
d 2 i (t )
di (t ) i (t ) dv s (t )
+R
+
=
, que podemos expresarla como:
2
dt
C
dt
dt
d 2 i (t ) R di (t ) i (t ) 1 dv s (t )
+
+
=
L dt
LC L dt
dt 2
Como ambos circuitos conducen a una ecuación diferencial de segundo orden con
coeficientes constantes, vamos a concentrar nuestro análisis en este tipo de ecuación.
7.2
Solución a la ecuación diferencial de segundo orden
Vamos a emplear el mismo método que hicimos con los circuitos de primer orden para
obtener la solución de la ecuación diferencial de segundo orden que resulta del análisis
de los circuitos RLC.
De manera general, en este caso tenemos una ecuación de la forma:
d 2 x(t )
dx(t )
+ a1
+ a 2 x(t ) = f (t )
2
dt
dt
Para f(t) ≠ 0 vamos a tener dos respuestas: la respuesta forzada xf(t) y la respuesta
natural xn(t), entonces la solución completa de la ecuación original es:
x(t) = xf(t) + xn(t)
Si, por el momento nos limitamos a una función de forzamiento constante (es decir, f(t)
= A), entonces la respuesta forzada se puede calcular sustituyendo xf(t) = K (donde K es
una constante) en la ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el valor de la
respuesta forzada como sigue:
d 2K
dK
+ a1
+ a 2 K = A , se obtiene K = A/a2 = xf(t), por tanto la solución total será:
2
dt
dt
x(t) = A/a2 + xn(t)
Ahora para encontrar la respuesta natural, hacemos la ecuación diferencial de segundo
orden igual cero:
203
C.R. Lindo Carrión
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d 2 x(t )
dx(t )
+ a1
+ a 2 x(t ) = 0 , donde a1 y a2 son constantes. Por conveniencia y
2
dt
dt
simplicidad rescribimos la ecuación diferencial de la siguiente forma:
d 2 x(t )
dx(t )
+ 2ζω n
+ ω n2 x(t ) = 0 , donde hemos hechos las siguientes sustituciones
2
dt
dt
simples para las constantes a1 = 2ζω y a2 = ωn2.
Haciendo las mismas consideraciones hechas en el caso de la ecuación de primer orden,
la solución de la ecuación homogénea debe ser una función cuyas derivadas de primero
y segundo orden tienen la misma forma, de modo que el lado izquierdo de la ecuación
homogénea se hará idénticamente cero para todo t. Suponemos una solución
exponencial para la respuesta natural,
xn(t) = K℮st y sustituimos está expresión en la ecuación homogénea, para obtener:
s2K℮st + 2ζωnsK℮st + ωn2K℮st = 0, Dividiendo ambos lados de la ecuación entre K℮st se
obtiene:
s2 + 2ζωns + ωn2 = 0
Esta ecuación comúnmente se llama ecuación característica; ζ se llama razón o
coeficiente de amortiguamiento y a ωn se le llama frecuencia resonante no amortiguada.
La importancia de ésta terminología se hará clara conforme avancemos con el desarrollo
de este análisis. Si ésta ecuación se satisface, nuestra solución supuesta xn(t) = K℮st es
correcta.
Empleando la fórmula cuadrática, encontraremos que la ecuación característica se
satisface si:
s=
− 2ζω n ± 4ζ 2ω n2 − 4ω n2
2
= −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
Por lo tanto hay dos valores de s, s1 y s2 que satisfacen la ecuación característica
s1 = −ζω n + ω n ζ 2 − 1
y
s 2 = −ζω n − ω n ζ 2 − 1
Esto significa que xc1 (t ) = K1e s1t es una solución de la ecuación homogénea y que
xc 2 (t ) = K 2 e s2t también es una solución a la ecuación homogénea; es decir,
d2
d
( K1e s1t ) + 2ζωn ( K1e s1t ) + ωn2 K1e s1t = 0 y
dt
dt
d2
d
( K 2 e s2t ) + 2ζωn ( K 2 e s2t ) + ωn2 K 2 e s2t = 0
dt
dt
La suma de estas dos ecuaciones produce la igualdad
204
C.R. Lindo Carrión
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Circuitos de Segundo Orden
d2
d
( K1e s1t + K 2 e s2t ) + 2ζωn ( K1e s1t + K 2 e s2t ) + ωn2 ( K1e s1t + K 2 e s2t ) = 0
dt
dt
Es importante advertir que la suma de las dos soluciones también es una solución. Por
lo tanto, en general, la solución complementaria de la ecuación homogénea es de la
forma:
xn (t ) = K1e s1t + K 2 e s2t
Donde K1 y K2 son constantes que pueden ser evaluadas vía las condiciones iniciales
x(0) y dx(0)/dt. Por ejemplo ya que:
dx(t )
dx(0)
=
= s1 K1 + s 2 K 2
dt t =0
dt
De aquí, x(0) y dx(0)/dt producen dos ecuaciones simultáneas, que cuando se resuelven
dan las constantes K1 y K2.
x(t ) = K1e s1t + K 2 e s2t , entonces,
7.3
x(0) = K1 + K2 y
Respuesta natural de los circuitos de segundo orden
Un examen minucioso de las ecuaciones s1 y s2 indica que la forma de la solución de la
ecuación homogénea depende del valor de ζ. Por ejemplo, si ζ > 1, las raíces de la
ecuación característica s1 y s2, también llamadas frecuencias naturales debido a que
determinan la respuesta natural de la red, son reales y diferentes; si ζ < 1, las raíces son
números complejos; y finalmente, si ζ = 1,, las raíces son reales e iguales. Cada uno de
esos casos es muy importante; por lo tanto, examinaremos ahora cada uno con algún
detalle.
7.3.1 Respuesta sobre amortiguada
Veamos el caso, donde ζ > 1, en este caso a la solución se le llama respuesta sobre
amortiguada. Las frecuencias naturales s1 y s2 son reales y diferentes, por tanto, la
respuesta natural de la red descrita por la ecuación diferencial de segundo orden es de la
forma:
xn (t ) = K1e s1t + K 2 e s2t , donde s1 y s2 toman los valores:
s1 = −ζω n + ω n ζ 2 − 1 y s 2 = −ζω n − ω n ζ 2 − 1
Donde K1 y K2 se encuentran de las condiciones iniciales. Esto indica que la respuesta
natural es la suma de dos exponenciales decrecientes.
7.3.2 Respuesta Subamortiguada
Ahora consideremos el caso en que ζ < 1, en este caso a la solución se le llama
respuesta subamortiguada. Como ζ < 1, las raíces de la ecuación característica dada
pueden escribirse como:
205
C.R. Lindo Carrión
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s1 = −ζω n + jω n 1 − ζ 2 = −σ + jω d
s1 = −ζω n − jω n 1 − ζ 2 = −σ − jω d
Donde j = − 1 , σ = ζω n y ω d = ω n 1 − ζ 2 . Así las frecuencias naturales son
números complejos. La respuesta natural es entonces:
xn (t ) = K1e − (σ − jωd ) t + K 2 e − (σ + jωd ) t , que se puede escribir como:
xn (t ) = e −σ t ( K1e jωd t + K 2 e − jωd t )
Utilizando las identidades de Euler
e ± jθ = cos θ ± jsenθ , obtenemos:
xn (t ) = e −σ t [ K1 (cos ωd t + jsenωd t ) + K 2 (cos ωd t − jsenωd t )] , reduciendo esto tenemos:
xn (t ) = e −σ t [( K1 + K 2 ) cos ωd t + ( jK1 − jK 2 ) senωd t ] , que lo podemos escribir como:
xn (t ) = e −σ t ( A1 cos ωd t + A2 senωd t )
Donde A1 y A2 como K1 y K2 son constantes que se evalúan usando las condiciones
iniciales x(0) y dx(0)/dt. Si xn(t) es real, K1 y K2 serán complejos y K2 = K1*. A1 = K1 +
K2 es, por tanto, dos veces la parte real de K1 y A2 = jK1 - jK2, es dos veces la parte
imaginaria de K1. A1 y A2 son números reales. Esto ilustra que la respuesta natural es
una respuesta oscilatoria exponencialmente amortiguada.
7.3.3 Respuesta críticamente amortiguada
Por último el caso en que ζ = 1, en este caso a la solución se le llama respuesta
críticamente amortiguada. Como ζ = 1, la parte del radical de las raíces s1 y s2 se hacen
cero y esto genera:
s1 = s2 = -ζωn. Por consiguiente xn (t ) = K 3e −ζωnt
donde K3 = K1 + K2. Sin embargo esta no puede ser una solución a la ecuación
diferencial de segundo orden, debido a que en general no es posible satisfacer las dos
condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt con la única constante K3.
En el caso donde la ecuación característica tiene raíces repetidas, puede obtenerse una
solución de la siguiente manera. Si se sabe que x1(t) es una solución de la ecuación
homogénea de segundo orden, entonces vía la sustitución x(t) = x1(t)y(t) podemos
transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación de primer orden en dy(t)/dt.
Como esta ecuación resultante es sólo una función de y(t), puede resolverse para
encontrar la solución general x(t) = x1(t)y(t)
206
C.R. Lindo Carrión
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Para nuestro caso, s1 = s2 = - ζωn. Por simplicidad hacemos α = ζωn, y, de aquí, la
ecuación básica es:
d 2 x(t )
dx(t )
+ 2α
+ α 2 x(t ) = 0 y una solución conocida es x1 (t ) = K 3e −α t
2
dt
dt
Empleando la sustitución
x2(t) = x1(t)y(t) = K3℮-αty(t), la ecuación cuadrática se convierte en
d2
[ K 3e−α t y (t )] + 2α [ K 3e−α t y (t )] + α 2 K 3e −α t y (t ) = 0
2
dt
Evaluando las derivadas obtenemos:
d
dy (t )
[ K 3e −α t y (t )] = −α K 3e −α t y (t ) + K 3e −α t
dt
dt
2
d2
−α t
−α t
−α t dy (t )
−α t d y (t )
2
[
K
e
y
(
t
)]
=
α
K
e
y
(
t
)]
−
2
α
K
e
+
K
e
3
3
3
3
dt 2
dt
dt 2
Si sustituimos esas expresiones en la ecuación precedente se obtiene:
K 3e
−α t
d 2 y (t )
d 2 y (t )
= 0 . Por lo tanto
= 0 , y de aquí,
dt 2
dt 2
y(t) = A1 + A2t. Por ende la solución general es:
x2(t) = x1(t)y(t) = K3℮-αt(A1 + A2t), la cual xn(t)
puede escribirse como:
Críticamente amortiguado
xn (t ) = x2 (t ) = B1e −ζωnt + B2 t e −ζωnt , donde B1
+ B2 son constantes derivadas de las
condiciones iniciales.
La Figura 7.3.1 ilustra gráficamente los tres
casos para las situaciones en las que xn(0) =
0. Advertimos que la respuesta críticamente
0
amortiguada tiene un pico y decae más xn(t)
rápido que la respuesta sobre amortiguada.
La respuesta subamortiguada es una
senoide exponencialmente amortiguada
cuya velocidad de decaimiento depende del
0
factor ζ. En realidad los términos ± e −ζωnt
definen lo que se llama la envolvente de la
respuesta, y las oscilaciones amortiguadas
(es decir, las oscilaciones de amplitud
decreciente) exhibidas por la forma de onda
207
Sobre amortiguado
t
Subamortiguado
℮-αt
t
Figura 7.3.1
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de la figura se llaman oscilaciones amortiguadas.
Analizaremos ahora una serie de ejemplos de circuitos RLC simples que contienen
condiciones iniciales diferentes de cero y funciones forzantes constantes, considerando
circuitos que exhiben respuestas sobre amortiguadas, subamortiguadas y críticamente
amortiguada.
v(t)
Ejemplo 7.3.1
Considere el circuito paralelo de la Figura 7.3.2, con R
R = 2Ω, C =1/5 F, y L = 5H, con condiciones
iniciales iL(0) = -1A y vC(0) = 4V. Encuentre el
voltaje v(t).
L
iL(0)
C
+
vC(0)
-
Figura 7.3.2
Solución:
Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso
aplicando LKC.
iR + iL + iC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos:
v(t ) 1 t
dv (t )
+ ∫ v ( x )dx + i L (t 0 ) + C
= 0 , derivando esta expresión con respecto al
t
R
L 0
dt
tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene:
d 2 v(t )
1 dv(t ) v(t )
+
+
=0
2
RC dt
LC
dt
Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos:
d 2 v(t )
dv(t )
+ 2.5
+ v(t ) = 0
2
dt
dt
Entonces la ecuación característica será:
s2 + 2.5s + 1 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces:
s1 = -2 y s2 = -0.5
Como las raíces son reales y diferentes la respuesta del circuito es sobre amortiguado y
v(t) será de la forma:
v(t) = K1℮-2t + K2℮-0.5t
Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos
la expresión:
d 2 v(t )
1 dv(t ) v(t )
+
+
= 0 , con la expresión:
2
RC dt
LC
dt
208
C.R. Lindo Carrión
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Circuitos de Segundo Orden
d 2 x(t )
dx(t )
+ 2ζω n
+ ω n2 x(t ) = 0 , y quitando la variable v(t) que buscamos, obtenemos
2
dt
dt
la ecuación característica del circuito:
s2 + 2ζωns + ωn2 = 0, donde 2ζωn = 1/RC y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de
1
1 L
amortiguamiento es ζ =
y la frecuencia resonante es ω n =
2R C
LC
y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 1.25 y ωn = 1 rad/s
Como: ζ > 1 entonces la respuesta será sobre amortiguada. Procedemos a encontrar las
raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado
anteriormente
s1 = -2 y s2 = -0.5,
y la solución toma la forma: v(t) = K1℮-2t + K2℮-0.5t
Las condiciones iniciales se emplean ahora para determinar las constantes K1 y K2.
Como v(t) = vC(t) entonces:
vC(0) = v(0) = K1℮0 + K2℮0 = K1 + K2 = 4.
La segunda ecuación necesaria para determinar = K1 y K2 normalmente se obtiene de la
expresión:
dv(t )
= −2 K1e −2t − 0.5 K 2 e −0.5t
dt
Sin embargo, la segunda condición inicial es dv(0)/dt. Tenemos que encontrar esta
derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación nodal inicial
podemos despejar dicha derivada, así:
i (t )
dv(t )
1
v(t )
dv (t )
=−
v(t ) − L
+ i L (t ) + C
= 0 , que al despejar tenemos:
dt
RC
C
dt
R
i (0)
1
dv(0)
=−
v(0) − L
= −2.5(4) − 5(−1) = −5 ,
dt
RC
C
entonces formamos la otra ecuación que nos hacia falta
Y evaluándola para t = 0, obtenemos:
dv(0)
= −2 K1e0 − 0.5 K 2 e0 = −5 . El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
dt
formado es:
− 2 K1 − 0.5K 2 = −5
K1 +
K2 = 4. Multiplicando ésta ecuación por 2 y efectuando la reta de ambas
se obtiene:
-2K1 – 0.5K2 = -5
2K1 + 2K2 = 8
(3/2) K2 = 3 así K2 = 2 y K1 = 4 - K2 = 4, entonces K1 =2 Por lo tanto v(t) es:
209
C.R. Lindo Carrión
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v(t) = 2℮-2t + 2℮-0.5t La gráfica del voltaje con respecto al tiempo se muestra en la
Figura 7.3.3
y La corriente n la bobina se relaciona con v(t) mediante la ecuación
i L (t ) =
1
v(t )dt , entonces sustituyendo el valor de v(t) obtenemos:
L∫
1
iL (t ) = ∫ [2e −2t + 2e −0.5t ]dt , por lo
5
tanto la corriente en la bobina será:
v(t) (V)
4
1
4
iL (t ) = − e −2t − e −0.5t A
5
5
0.6
Ejemplo 7.3.2
0
1
2
3
Figura 7.3.3
El circuito RLC serie que se muestra
i(t) iL(0)
en la Figura 7.3.4 tiene los siguientes parámetros: C = 0.04F,
L = 1H, R = 6Ω, iL(0) = 4A y vC(0) = -4V. Determinemos la
L
expresión para la corriente en la bobina y el voltaje en el
R
R
C
capacitor.
t (s)
vC(0)
Figura 7.3.4
Solución:
Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso
aplicando LKV.
vR + vL + vC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos:
di (t ) 1 t
+ ∫ i ( x)dx + vC (t 0 ) = 0 , derivando esta expresión con respecto al
dt
C t0
tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene:
R i (t ) + L
d 2 i (t ) R di (t ) i (t )
+
+
=0
L dt
LC
dt 2
Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos:
d 2 i (t )
di (t )
+6
+ 25i (t ) = 0
2
dt
dt
Entonces la ecuación característica será:
s2 + 6s + 25 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces:
s1 = -3 +j4 y s2 = -3 – j4
210
C.R. Lindo Carrión
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Como las raíces son complejas conjugadas entonces la respuesta del circuito es
submortiguada e i(t) será de la forma:
i(t) = A1℮-3tcos4t + A2℮-3tsen4t
Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos
la expresión:
d 2 i (t ) R di (t ) i (t )
+
+
= 0 , con la expresión:
L dt
LC
dt 2
d 2 x(t )
dx(t )
+ 2ζω n
+ ω n2 x(t ) = 0 , y quitando la variable i(t) que buscamos, obtenemos
2
dt
dt
la ecuación característica del circuito:
s2 + 2ζωns + ωn2 = 0, donde 2ζωn = R/L y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de
1
R C
amortiguamiento es ζ =
y la frecuencia resonante es ω n =
2 L
LC
y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 0.6 y ωn = 5 rad/s
Como: ζ < 1 entonces la respuesta será subamortiguada. Procedemos a encontrar las
raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado
anteriormente
s1 = -3 + j4 y s2 = -3 – j4,
Y la solución toma la forma:
i(t) = A1℮-3tcos4t + A2℮-3tsen4t
Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de A1 y A2. Como
i(t) = iL(t) entonces:
iL(0) = i(0) = A1℮0cos0 + A2℮0sen0 = 4, entonces obtenemos A1 = 4
La segunda ecuación necesaria para determinar = A1 y A2 normalmente se obtiene de la
expresión:
di (t )
= −4 A1e −3t sen 4t − 3 A1e −3t cos 4t + 4 A2 e −3t cos 4t − 3 A2 e −3t sen 4t
dt
Y así
di (0)
= −4 A1e0 sen0 − 3 A1e 0 cos 0 + 4 A2 e 0 cos 0 − 3 A2 e0 sen0
dt
di (0)
= −3 A1 + 4 A2
dt
211
C.R. Lindo Carrión
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Circuitos de Segundo Orden
Sin embargo, la segunda condición inicial es di(0)/dt. Tenemos que encontrar esta
derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación de malla
inicial podemos despejar dicha derivada, así:
R i (t ) + L
di (t )
+ vC (t ) = 0 , que al despejar obtenemos:
dt
v (t ) R
di(t )
= − C − i (t ) , que evaluado en t = 0 se obtiene:
dt
L
L
v (0) R
4 6
di(0)
=− C
− i(0) = − 4 = −20
1 1
dt
L
L
Por lo tanto − 3 A1 + 4 A2 = −20 y como A1 = 4, entonces A2 = -2, así la expresión para
i(t) es:
i(t) = 4℮-3tcos4t - 2℮-3tsen4t A
Ahora el voltaje en el capacitor puede vC (V)
determinarse vía la LKV usando la corriente 8
encontrada:
di (t )
,
entonces
dt
sustituimos el valor de i(t) y obtenemos:
vC (t ) = − R i (t ) − L
vC(t) = -24℮-3tcos4t + 12℮-3tsen4t +16℮-3tsen4t -4
+ 12℮-3tcos4t + 8℮-3tcos4t - 6℮-3tsen4t
vC(t) = -4℮-3tcos4t + 22℮-3tsen4t V. La gráfica
del voltaje se muestra en la Figura 7.3.5
0
0.3 0.5
t (s)
1.5
1
Figura 7.3.5
i(t)
Ejemplo 7.3.3
Para el circuito mostrado en la Figura 7.3.6 se pide
encontrar el valor de v(t) e i(t), sabiendo que: R1 =
i (0) L
10Ω, R2 = 8Ω, C = 1/8F, L = 2H, vC(0) = 1V, iL(0) = L
vC(0)
1/2A
R1
C
+
v(t)
-
R2
Figura 7.3.6
Solución:
Primero encontraremos v(t) y luego i(t). Para v(t), necesitamos encontrar la ecuación
diferencial que describe al circuito, para ello es necesario aplicar una combinación de
leyes para encontrarla. Primero usaremos la LKV a la malla de la izquierda, así:
vL + vR1 + v(t) = 0 y sustituyendo obtenemos:
212
C.R. Lindo Carrión
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L
Circuitos de Segundo Orden
di (t )
+ R1i (t ) + v(t ) = 0 (1)
dt
Ahora aplicamos LKC al nodo entre R1 y R2, para obtener:
i(t) = iC + iR2 = 0 y sustituyendo obtenemos:
i (t ) = C
dv (t ) v(t )
(2)
+
dt
R2
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) y reacomodando, obtenemos:
R1 ⎞ dv(t ) ⎛ R1 + R2
d 2 v(t ) ⎛ 1
⎜
+
+
⎜ R C L ⎟⎟ dt + ⎜⎜ R LC
dt 2
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎞
⎟⎟v(t ) = 0
⎠
Sustituyendo por los valores de los componentes, se obtiene:
d 2v / t)
dv(t )
+6
+ 9v(t ) = 0
2
dt
dt
Entonces la ecuación característica será:
s2 + 6s + 9 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces:
s1 = s2 = -3
Como las raíces son reales e iguales entonces la respuesta del circuito es críticamente
amortiguada y v(t) será de la forma:
v(t) = B1℮-3t + B2t℮-3t
Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de B1 y B2. Como
v(t) = vC(t) entonces:
vC(0) = v(0) = B1℮0 + B2(0)℮0 = 1, entonces obtenemos B1 = 1
La segunda ecuación necesaria para determinar = B1 y B2 normalmente se obtiene de la
expresión:
dv(t )
= −3B1e −3t + B2 e −3t − 3B2te −3t , y evaluándola en t = 0, se obtiene:
dt
dv(0)
= −3B1e0 + B2 e0 − 3B2 (0)e0
dt
dv (0)
= −3B1 + B2
dt
213
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
Sin embargo, la segunda condición inicial es dv(0)/dt. Tenemos que encontrar esta
derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación (2) que del
análisis nodal inicial podemos despejar dicha derivada, así:
dv(t ) i (t ) v(t )
, evaluando para t = 0,
=
−
dt
C
R2 C
vC (V)
dv(0) i (0) v(0) 1 / 2
1
=
−
=
−
=3
dt
C
R2 C 1 / 8 8 / 8
1.3
Por lo tanto -3B1 + B2 = 3 y como B1 =
1, entonces B2 = 6, así la expresión para
v(t) es:
1
v(t) = ℮-3t + 6t℮-3t V. La gráfica del
0.2
voltaje se muestra en la Figura 7.3.7
Entonces la corriente i(t) puede
determinarse de la ecuación (2) del
análisis nodal inicial, así:
i (t ) = C
0
0.3 0.5
1
2
3 t (s)
Figura 7.3.7
dv (t ) v(t )
, sustituyendo el valor de v(t) en dicha ecuación, obtenemos:
+
dt
R2
i(t) = (1/8)(-3℮-3t + 6℮-3t – 18t℮-3t) + (1/8)( ℮-3t + 6t℮-3t)
i(t) = (1/2)℮-3t – (3/2)t℮-3t A
7.4
Respuesta Forzada y Completa de Circuitos de Segundo Orden
Una vez obtenida la ecuación diferencial de segundo orden que describe el circuito, que
de forma general es:
d 2 x(t )
dx(t )
+ a1
+ a 2 x(t ) = f (t )
2
dt
dt
La respuesta forzada xp(t) debe satisfacer dicha ecuación. Por tanto, al sustituir xp(t) en
la ecuación se tiene:
d 2 x p (t )
dt 2
+ a1
dx p (t )
dt
+ a 2 x p (t ) = f (t )
Se necesita determinar una xp(t) tal que ésta y sus primera y segunda derivadas
satisfagan la ecuación anterior.
Si la función forzada es una constante, es de esperarse que la respuesta forzada sea
también una constante, dado que las derivadas de una constante son cero. Si la función
214
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
forzada es de la forma exponencial como f(t) = B℮-at , entonces las derivadas de f(t) son
todas exponenciales de la forma Q℮-at y se espera que xp(t) = D℮-at.
Si la función forzada es una función senoidal, puede esperarse que la respuesta forzada
sea una función senoidal. Si f(t) = Asenωot, se intentará con:
xp(t) = Msenωot + Ncosωot = Qsen(ωot + θ)
A continuación presentamos algunas funciones forzadas y su supuesta solución
Funciones Forzadas
Solución supuesta
K
Kt
Kt2
Ksenωt
K℮-at
A
At +B
At2 + Bt + C
Asenωt + Bcosωt
A℮-at
Ahora veamos algunos ejemplos.
v(t)
Ejemplo 7.4.1
i(t)
Determine la respuesta forzada de la corriente
i u(t)
del inductor ip(t) en el circuito RLC paralelo f
-2t
mostrado en la Figura 7.4.1 cuando if = 8℮ , R
= 6Ω, L = 7H y C = (1/42)F.
R
L
C
Figura 7.4.1
Solución:
Primero necesitamos encontrar la ecuación diferencial que describe el circuito, para ello
aplicaremos LKC al nodo superior:
iR + i(t) + iC = if , entonces,
v(t) / R + i(t) + Cdv(t)/dt = if, pero como el voltaje del capacitor es el mismo que el
voltaje del inductor por estar en paralelo, hacemos uso de v(t) = Ldi(t)/dt, sustituyendo
esto en la ecuación nodal obtenida y reacomodando, tenemos:
if
d 2 i (t )
1 di (t )
1
+
+
i (t ) =
, sustituyendo los valores obtenemos:
2
RC dt
LC
LC
dt
d 2i (t )
di (t )
+7
+ 6i (t ) = 48e −2t
2
dt
dt
Como la única respuesta solicitada es la respuesta forzada, entonces suponemos que ip(t)
será de la forma:
215
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
ip(t) = A℮-2t, entonces la sustituimos en la ecuación diferencial para encontrar el valor de
A, así:
4A℮-2t + 7(-2A℮-2t) + 6A℮-2t = 48℮-2t, entonces,
(4 – 14 + 6)A℮-2t = 48℮-2t, entonces A = -12 por lo tanto la respuesta forzada será:
ip(t) = -12℮-2t A
Ejemplo 7.4.2
Determinemos el voltaje de
salida v(t) para t > 0, en el
circuito mostrado en la 24V
Figura 7.4.2 El circuito para
t < 0 esta en estado estable.
Los valores son: R1 = 10Ω,
R2 = 2Ω, L = 2H, C =
(1/4)F.
t=0
L
R1
i(t)
+
C
R2
12V
-
Figura 7.4.2
L
R1
i(t)
Solución:
Primero debemos redibujar
nuestro circuito para t > 0,
como es mostrado en la
Figura 7.4.3.
v(t)
+
24V
C
R2
12V
v(t)
-
Figura 7.4.3
Ahora tenemos que encontrar la ecuación diferencial que describe el circuito, para ello
hay que utilizar las herramientas de análisis de circuitos. En este caso, haremos una
combinación de dos leyes para poder obtener la ecuación diferencial. Primero
aplicaremos LKV a la malla de la izquierda del circuito, así obtenemos:
di (t )
+ R1i (t ) + v(t ) = 24 (1) y aplicando LKC al nodo de salida obtenemos otra
dt
ecuación,
L
dv (t ) v(t )
(2), como buscamos v(t), entonces sustituimos la ecuación (2) en
+
dt
R2
la ecuación (1) para obtener la ecuación diferencial en función de v(t), y reacomodando
se obtiene:
i (t ) = C
R ⎞ dv(t ) ⎛ R1 + R2 ⎞
d 2v / t) ⎛ 1
24
⎟⎟v(t ) =
+ ⎜⎜
+ 1 ⎟⎟
+ ⎜⎜
2
LC
dt
⎝ R2 C L ⎠ dt
⎝ R2 LC ⎠
Sustituyendo los valores de lo s componentes en la ecuación diferencial se obtiene:
216
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
d 2v / t)
dv(t )
+7
+ 12v(t ) = 48
2
dt
dt
De aquí, la ecuación característica es:
s2 + 7s + 12 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces:
s1 = -3 y s2 = -4
Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la
forma:
vn(t) = K1℮-3t + K2℮-4t
Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que
la respuesta forzada también es constante, así vp(t) = K3, por lo tanto la solución general
es:
v(t) = K1℮-3t + K2℮-4t + K3
Para obtener el valor de K3, lo sustituimos en la ecuación diferencial y obtenemos que:
10Ω
K3 = 48/2 = 4, Otra forma de encontrar
el valor de K3, es considerando el
circuito para t > 0 en estado estable,
como se muestra en la Figura 7.4.4 y 24V
así encontrar v(t) en estado estable, a
través de un divisor de voltaje,
+
2Ω
v(t)
-
Figura 7.4.4
v(t) = (2/12)24 = 4V, entonces K3 = 4
iL(0-)
10Ω
Ahora para encontrar los valores de K1
y K2 haremos uso de las condiciones
iniciales, para ello necesitamos 12V
redibujar el circuito para t < 0, como se
muestra en la figura 7.4.5
+
+
-
vC(0 )
-
2Ω
v(0-)
-
Figura 7.4.5
Entonces iL(0-) =12/12 = 1A y vC(0-) =
(2/12)12 = 2V, así como iL(0-) = iL(0) = iL(0+) = i(0+) y vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = v(0+),
entonces podemos evaluar v(t) en t = 0 y obtener la primera ecuación, así:
v(0) = K1 + K2 + 4 = 2, reduciendo se tiene: K1 + K2 = -2
La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v(t), así:
dv(t)/dt = -3K1℮-3t - 4K2℮-4t y evaluándola para t = 0 obtenemos:
dv(0)/dt = -3K1 - 4K2
217
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
De la ecuación nodal (2) que utilizamos para obtener la ecuación diferencial podemos
despejar la primera derivada de v(t), evaluarla en t = 0 y encontrar su valor para
utilizarlo en la ecuación anterior, así
dv(t ) i (t ) v (t )
y al evaluarla en t = 0, tenemos:
=
−
dt
C
R2 C
dv(0) i (0) v(0)
1
2
=
−
=
−
= 0 , así la segunda ecuación es:
dt
C
R2 C 1 / 4 2 / 4
dv(0)/dt = -3K1 - 4K2 = 0, Resolviendo para K1 y K2 obtenemos: K1 = -8 y K2 = 6, por
lo tanto la respuesta completa del circuito es:
v(t) = -8℮-3t + 6℮-4t + 4 V
7.5
Problemas Resueltos
Ejemplo 7.5.1
Encuentre io(t) para t >
0 en el circuito que se
muestra en la figura t = 0
7.5.1 y grafique la
respuesta incluyendo el
intervalo de tiempo
justo antes de abrir el
interruptor.
v(t)
io(t)
1A
1H
1Ω
iL(t)
2
2/5 F
5Ω
Figura 7.5.1
Solución:
Para encontrar io(t) para t >
0, es necesario redibujar
nuestro circuito para t > 0 y
encontrar luego el voltaje
del capacitor que es igual al
voltaje v(t) ya que todos los
elementos se encuentran en
paralelo, para luego aplicar
la ley de Ohm y encontrar
io(t) como:
v(t)
io(t)
1A
1H
1Ω
iL(t)
2
2/5 F
5Ω
Figura 7.5.2
io(t) = v(t)/5
El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.2.
Para encontrar v(t) aplicamos la LKV al nodo superior, así:
218
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
1+
Circuitos de Segundo Orden
dv(t ) ⎡ 1 t
1 ⎡1 t
⎤ v(t ) v(t )
⎤
v ( x )dx + i L (t o )⎥ =
+
+C
+ ⎢ ∫ v ( x)dx + i L (t o )⎥
∫
⎢
t
t
o
o
dt
2 ⎣L
1
5
⎦
⎣L
⎦
Esta expresión integro-diferencial la debemos derivar con respecto al tiempo, para
obtener la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito, así:
d 2 v(t ) ⎡ 1
⎡ 1
⎤ dv(t ) dv(t )
⎤
⎢ 2 L v(t )⎥ = 1dt + 5dt + C dt 2 + ⎢ L v(t )⎥ , reacomodando y sustituyendo valores
⎣
⎦
⎣
⎦
de L y C, obtenemos:
d 2 v(t )
dv(t ) 5
+3
+ v(t ) = 0 ,
2
dt
4
dt
Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos
solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en
dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica.
La ecuación característica es entonces:
s2 + 3s + 5/4 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces
s1 = -1/2 y s2 = -5/2
Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la
forma:
v(t) = K1℮-t/2 + K2℮-5t/2
Ahora para encontrar los
valores de K1 y K2 haremos
uso de las condiciones
iniciales,
para
ello
necesitamos
redibujar
el
circuito para t < 0, como se
muestra en la figura 7.5.3.
1A
1Ω
iL(0-)
iL(0-)
2
+
vC(0-)
-
5Ω
Figura 7.5.3
Como podemos observar del circuito iL(0-) = 0A y vC(0-) = 0V
Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = v(0) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación
general de v(t), obtenemos:
v(0) = K1 + K2 = 0, que es la primera ecuación,
La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v(t), así:
dv(t)/dt = -(1/2)K1℮-t/2 – (5/2)K2℮-5t/2 y evaluándola para t = 0 obtenemos:
dv(0)/dt = -(1/2)K1 – (5/2)K2
219
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial que utilizamos para obtener la
ecuación diferencial y despejamos la primera derivada de v(t), para evaluarla en t = 0 y
encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:
dv(t ) 5 5
= − i L (t ) − 3v (t ) y al evaluarla en t = 0, tenemos:
dt
2 4
dv (0) 5 5
5
5
= − i L (0) − 3v (0) = − 0 − 0 = , así la segunda ecuación es:
dt
2 4
2
2
dv(0)/dt = -(1/2)K1 – (5/2)K2 = 5/2, Resolviendo para K1 y K2 obtenemos: K1 = 5/4 y K2
= -(5/4), entonces el voltaje v(t) es:
i (t) (mA)
o
v(t) = (5/4)℮-t/2 – (5/4)℮-5t/2 V, por lo tanto la 140
corriente io(t) será:
io(t) = v(t)/5 = (1/4)℮-t/2 – (1/4)℮-5t/2 A
La figura 7.5.4 muestra io(t)
0
1
3
2
4
5
t (s)
Figura 7.5.4
Ejemplo 7.5.2
Encuentre vo(t) para t > 0 para el circuito
que se muestra en la figura 7.5.5 y
grafique la respuesta incluyendo el
intervalo de tiempo justo antes de abrir el 24V
interruptor.
t=0
12KΩ
250pF 1KΩ
250pF
6KΩ
3KΩ
+
vo(t)
-
2mH
Figura 7.5.5
Solución:
Para encontrar vo(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y
encontrar luego la corriente del inductor, para luego aplicar la ley de Ohm y encontrar
vo(t) como:
125pF 1KΩ
12KΩ
vo(t) = iL(t)*3K
El circuito para t > 0, se muestra en la 24V
figura 7.5.6.
Para encontrar iL(t) haremos uso del
análisis de malla como es mostrado en
la figura arriba.
i1
6KΩ
3KΩ
i2
iL(t)
2mH
+
vo(t)
-
Figura 7.5.6
Aplicando LKV a la malla 1 tenemos:
24 = (12K + 6K)i1 - 6Ki2 (1)
220
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
(1K + 3K + 6 K )i2 +
Circuitos de Segundo Orden
di
1 t
i2 ( x)dx + v(t o ) + L 2 − 6 Ki1 = 0 (2)
∫
C to
dt
De la ecuación 1 podemos despejar i1 en función de i2, así:
i1 =
24 + 6 Ki2
, e introducirla en la ecuación 2 para obtener:
18K
(10 K )i2 +
di
1 t
i2 ( x)dx + v(t o ) + L 2 − 8 − 2 Ki2 = 0 (3)
∫
C to
dt
Ahora como la corriente de malla i2 coincide con la corriente del inductor iL(t) y
derivando la ecuación integro-diferencial de arriba, obtenemos la ecuación diferencial
de segundo orden, característica del circuito:
di L (t )
d 2 i L (t )
di (t )
1
(10 K )
+ i L (t ) + L
− 2K L
=0
2
dt 2 C
dt
dt
Sustituyendo valores y reacomodando se tiene:
d 2 i L (t )
di (t )
+ 4 M L + 4Ti L (t ) = 0 ,
2
dt
dt
Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos
solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en
dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica.
La ecuación característica es entonces:
s2 + 4Ms + 4T = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces
s1 = s2 = -2M
Entonces la respuesta natural del circuito es críticamente amortiguada, y por lo tanto
toma la forma:
v(t) = K1℮-2Mt + K2t℮-2Mt
12KΩ
Ahora para encontrar los valores de K1 y
K2 haremos uso de las condiciones 24V
iniciales, para ello necesitamos redibujar el
circuito para t < 0, como se muestra en la
figura 7.5.7.
1KΩ
+ vC(0 ) -
3KΩ
6KΩ
-
iL(0 )
Figura 7.5.7
Como podemos observar del circuito iL(0-) = 0A y vC(0-) = 0V
Y como iL(0-) = iL(0) = iL(0+) = 0A, entonces evaluándola en la ecuación general de
iL(t), obtenemos:
221
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
iL(0) = K1 = 0
La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta iL(t), así:
diL(t)/dt = -2MK2t℮-2Mt + K2℮-2Mt y evaluándola para t = 0 obtenemos:
diL(0)/dt = K2
Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial (3) que obtuvimos de insertar la
ecuación 1 en la ecuación 2 y despejamos la primera derivada de i2(t) (que es iL(t)), para
evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:
di L (t )
= 4 K − 4MiL (t ) − 500vC (t ) y al evaluarla en t = 0, tenemos:
dt
di L (0)
= 4 K − 4 Mi L (0) − 500vC (0) = 4 K − 0 − 0 = 4 K , así la segunda ecuación es:
dt
diL(0)/dt = K2 = 4K, entonces la corriente iL(t) es:
iL(t) = 4Kt℮-2Mt A, por lo tanto el voltaje vo(t) será:
vo(t) (V)
2
vo(t) = iL(t)*3K = 12Mt℮-2Mt V
La figura 7.5.8 muestra vo(t)
0
2M
1M
3M
t (s)
Figura 7.5.8
Ejemplo 7.5.3
Encuentre vo(t) para t > 0 para el circuito que se muestra en la figura 7.5.9 y grafique la
respuestaincluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.
t=0
10mV
4KΩ
4KΩ
+
v(t)
-
v(t)
25
30KΩ
8mH
100pF
+
15KΩ v (t)
o
-
Figura 7.5.9
Solución:
Para encontrar vo(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y vo(t)
será igual al voltaje del capacitor vC(t), ya que ambos comparten el mismo par de nodos:
El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.10.
4KΩ
10mV
4KΩ
+
v(t)
-
v(t)
25
30KΩ
8mH
100pF
+
15KΩ v (t)
o
-
Figura 7.5.10
222
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial de segundo que define el
circuito, para ello aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así:
vC (t ) vC (t )
dv (t ) 1 t
+
+ C C + ∫ vC ( x)dx + i L (0 − ) = 0
dt
L 0
30 K 15K
Como podemos observar de la ecuación anterior, no aparece la fuente dependiente ya
que v(t) = 0, porque el interruptor se encuentra abierto. Ahora ésta expresión integrodiferencial la debemos derivar con respecto al tiempo, para obtener la ecuación
diferencial de segundo orden, característica del circuito, así:
dvC (t ) dvC (t )
d 2 vC (t ) 1
+
+C
+ vC (t ) = 0 , sustituyendo los valores de L y C y
30 Kdt 15 Kdt
L
dt 2
reacomodando obtenemos:
d 2 vC (t )
dv (t )
+ 1M C + 1.25TvC (t ) = 0
2
dt
dt
Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos
solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en
dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica.
La ecuación característica es entonces:
s2 + 1Ms + 1.25T = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces
s1,2 = -(1/2)M ± j1M
Entonces la respuesta natural del circuito es subamortiguada, y por lo tanto toma la
forma:
vC(t) = ℮-500Kt[K1cos(1Mt) + K2sen(1Mt)]
Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales,
para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura
7.5.11.
4KΩ
10mV
4KΩ
+
v(t)
-
v(t)
25
30KΩ
+
vC(0-)
iL(0-) -
+
15KΩ vo(0-)
-
Figura 7.5.11
Como podemos observar del circuito vC(0-) = 0V, pero iL(0-) = -v(t)/25, pero v(t) es:
v(t) = (4K/8K)*10m = 5mV, entonces iL(0-) = -0.2mA
Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de
vC(t), obtenemos:
223
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
vC(0) = K1 = 0
La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así:
dvC(t)/dt = -500K℮-500Kt[K2sen(1Mt)] + ℮-500Kt[1MK2cos(1Mt)] y evaluándola para t = 0
obtenemos:
dvC(0)/dt = 1MK2
Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial que obtuvimos de aplicar la LKC al
nodo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en
t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:
dvC (t )
= −10GiL (t ) − 1MvC (t ) y al evaluarla en t = 0, tenemos:
dt
vo(t) (V)
dvC (0)
= −10Gi L (0) − 1MvC (0) = −2 M − 0 = 2 M
dt
1
, así la segunda ecuación es:
dvC(0)/dt = 1MK2 = 2M, de donde obtenemos
K2 = 2, entonces el voltaje vo(t) es:
vo(t) = vC(t) = 2℮-500Kt[sen(1Mt)] V
0
4M 6M
2M
t (s)
Figura 7.5.12
La Figura 7.5.12 muestra vo(t)
t=0
Ejemplo 7.5.4
Determine v(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en
la figura 7.5.13. Suponga que existen condiciones de
estado estable cuando t = 0-.
2Ω
6Ω
1/8 F
Solución:
+
v
-
5/2 A
2H
Figura 7.5.13
Para encontrar v(t) para t > 0, es necesario redibujar
nuestro circuito para t > 0, y el voltaje v(t) debe
encontrarse en función del voltaje del capacitor o en
función de la corriente del inductor.
El circuito para t > 0 se muestra en la figura 7.5.14:
2Ω
6Ω
1/8 F
+
v
iC -
5/2 A
iL
2H
Ahora procederemos a encontrar el voltaje v(t) como
una función del voltaje del capacitor (se le deja al lector,
Figura 7.5.14
encontrar el voltaje v(t) en función de la corriente del
inductor) para ello aplicaremos la LKV a ambas mallas del circuito y la LKC al nodo
superior de la fuente independiente de corriente.
224
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
Aplicando la LKC al nodo superior de la fuente, tenemos:
5/2 = iC + iL (1)
Ahora aplicaremos la LKV a la malla de la izquierda del circuito, para obtener v(t), así:
v = v6Ω + vC = 6iC + vC (2)
Pero también podemos aplicar la LKV a la malla derecha del circuito para obtener v(t),
así:
v = v2Ω + vL = 2iL + vL = 2iL + LdiL/dt (3)
De la ecuación (1) podemos despejar iL en función de iC, así: iL = 5/2 - iC e insertándola
en la ecuación (3) obtenemos:
di
5
d 5
v = 2( − iC ) + L ( − iC ) = 5 − 2iC − L C (4), ésta expresión la igualamos a la
2
dt 2
dt
expresión de la ecuación (2) para obtener la ecuación diferencial de segundo orden
característica del circuito
6iC + vC = 5 − 2iC − L
diC
, sustituyendo iC = CdvC/dt y reacomodando el circuito
dt
tenemos:
d 2 vC
dvC
+
8
C
+ vC = 5 , sustituyendo los valores de L y C y reacomodando
dt
dt 2
obtenemos:
LC
dv
d 2 vC
+ 4 C + 4vC = 20
2
dt
dt
Como podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución
natural y solución particular. La solución total será:
vC(t) = vCn(t) + vCf(t)
Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que
la respuesta forzada también es constante, así vCf(t) = K3, ésta solución se sustituye en la
ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K3, así:
d 2 K3
dK
+ 4 3 + 4 K 3 = 20 , de aquí que K3 = 20/4 = 5
2
dt
dt
Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para
obtener las raíces, así:
s2 + 4s + 4 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces
225
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
s1 = s2 = -2
Entonces la respuesta natural del circuito es críticamente amortiguada, y por lo tanto
toma la forma:
vCn(t) = K1℮-2t + K2t℮-2t, entonces la solución total será:
vC(t) = K1℮-2t + K2t℮-2t + 5
2Ω
Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de
las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el 6Ω
+
circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.15.
Como podemos observar del circuito vC(0-) = 0V, pero iL(0-)
= 5/2 A,
vC(0-)
-
+
v
-
5/2 A
iL(0-)
Figura 7.5.15
Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de
vC(t), obtenemos:
vC(0) = 5 + K1 = 0, entonces K1 = -5
La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así:
dvC(t)/dt = 10℮-2t - 2K2t℮-2t + K2℮-2t y evaluándola para t = 0 obtenemos:
dvC(0)/dt = 10 + K2
Ahora regresamos a la ecuación (1) que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior
de la fuente de 5/2 A y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0
y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:
dvC (t ) 5 / 2 i L (t )
=
−
y al evaluarla en t = 0, tenemos:
dt
C
C
dvC (0) 5 / 2 5 / 2
=
−
= 0 , así la segunda ecuación es:
dt
1/ 8 1/ 8
dvC(0)/dt = 10 + K2 = 0, de donde obtenemos K2 = -10, entonces el voltaje vC(t) es:
vC(t) = -5℮-2t - 10t℮-2t + 5, pero como estamos interesados en encontrar v(t) haremos uso
de la ecuación (2):
v = 6iC + vC = 6CdvC/dt + vC, sustituyendo vC(t), tenemos:
v (t ) =
3
(10e−2t + 20te−2t − 10e−2t ) + 5 − 5e−2t − 10e−2t
4
v(t) = 15t℮-2t +5 - 5℮-2t - 10t℮-2t , por lo tanto será: v(t) = 5 - 5℮-2t + 5t℮-2t V
226
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
Ejemplo 7.5.5
t=0
Determine v(t) para t > 0 en el circuito que
se muestra en la figura 7.5.16. Suponga 4u(t) V
que existen condiciones de estado estable
cuando t = 0-.
4Ω
1H
¼F
10V
+
v
-
6Ω
Figura 7.5.16
Solución:
4Ω
Para encontrar v(t) para t > 0, es necesario
redibujar nuestro circuito para t > 0 y v(t) será
igual al voltaje del capacitor vC(t), ya que v(t) 4V
se encuentra entre las terminales del
capacitor:
1H
iL
¼F
10V
6Ω
iC
+
v
-
Figura 7.5.17
El circuito para t > 0, se muestra en la figura
7.5.17.
Ahora procederemos a encontrar el voltaje v(t) = vC(t) utilizando una combinación de la
LKC y la LKV para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del
circuito. Primero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así:
v = vL + v6Ω = LdiL/dt + 6iL (1)
Ahora aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así:
i4Ω = iL + iC , entonces despejando iL obtenemos:
iL =
dv
4 − vC
− C C (2) y sustituyendo ésta en la ecuación (1) se tiene:
4
dt
v = vC = L
dv
d ⎛ 4 − vC
−C C
⎜
dt ⎝ 4
dt
dv
⎞ ⎛ 4 − vC
−C C
⎟ + 6⎜
dt
⎠ ⎝ 4
⎞
⎟ , efectuando operaciones, tenemos:
⎠
d 2 vC
3v
dv
L dvC
− LC
+ 6 − C − 6C C , sustituyendo los valores de L y C y
2
4 dt
2
dt
dt
reacomodando obtenemos:
vC = −
d 2 vC
dv
+ 7 C + 10vC = 24
2
dt
dt
Como podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución
natural y solución particular. La solución total será:
vC(t) = vCn(t) + vCf(t)
227
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que
la respuesta forzada también es constante, así vCf(t) = K3, ésta solución se sustituye en la
ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K3, así:
d 2 K3
dK
+ 7 3 + 10 K 3 = 24 , de aquí que K3 = 24/10 = 2.4
2
dt
dt
Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para
obtener las raíces, así:
s2 + 7s + 10 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces
s1 = -2 y s2 = -5
Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la
forma:
vCn(t) = K1℮-2t + K2℮-5t , entonces la solución total será:
vC(t) = K1℮-2t + K2℮-5t + 2.4
4Ω
Ahora para encontrar los valores de K1 y K2
haremos uso de las condiciones iniciales, 0V
para ello necesitamos redibujar el circuito
para t < 0, como se muestra en la figura
7.5.18.
Del circuito obtenemos vC(0-) haciendo un
divisor de voltaje, así:
iL(0-)
10V
6Ω
+
vC(0-)
-
Figura 7.5.18
vC(0-) = (6/10)*10 = 6V y para obtener iL(0-) aplicaremos la ley de Ohm, así:
iL(0-) = 6/6 = 1A
Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de
vC(t), obtenemos:
vC(0) = K1 + K2 + 2.4 = 6,
Y La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así:
dvC(t)/dt = -2K1℮-2t - 5K2℮-5t y evaluándola para t = 0 obtenemos:
dvC(0)/dt = -2K1 -5K2
Ahora regresamos a la ecuación (2) que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior
del capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y
encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:
228
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
dvC (t ) 1 vC (t ) i L (t )
= −
−
y al evaluarla en t = 0, tenemos:
dt
C
4C
C
dvC (0)
1
6
1
=
−
−
= −6 , así la segunda ecuación es:
dt
1 / 4 4(1 / 4) 1 / 4
dvC(0)/dt = -2K1 - 5K2 = -6, Resolviendo las dos ecuaciones para K1 y K2 obtenemos K1
= 4, y K2 = -0.4, entonces el voltaje vC(t) es:
vC(t) = v(t) = 4℮-2t – 0.4℮-5t + 2.4 V
t=0
Ejemplo 7.5.6
Determine v(t) para t > 0 en el circuito que
20V
se muestra en la figura 7.5.19, si vf = 8℮4t
u(t). Suponga que existen condiciones de
estado estable cuando t = 0-.
4Ω
+
v
-
vf
6Ω
¼F
1H
Figura 7.5.19
Solución:
4Ω
Para encontrar v(t) para t > 0, es necesario
redibujar nuestro circuito para t > 0 y v(t)
será igual al voltaje del capacitor vC(t), ya 20V
que v(t) se encuentra entre las terminales del
capacitor:
i4Ω
vf
+
v
-
6Ω
iC
iL
¼F
1H
Figura 7.5.20
El circuito para t > 0, se muestra en la figura
7.5.20.
Ahora procederemos a encontrar el voltaje v(t) = vC(t) utilizando una combinación de la
LKC y la LKV para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del
circuito. Primero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así:
v = v6Ω + vL = 6iL + LdiL/dt (1)
Ahora aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así:
i4Ω = iL + iC , entonces despejando iL obtenemos:
iL =
v f − vC
4
−C
dvC
(2) y sustituyendo ésta en la ecuación (1) se tiene:
dt
⎛ v f − vC
dv
v = vC = 6⎜⎜
−C C
dt
⎝ 4
tenemos:
⎞
dv
d ⎛ v − vC
⎟⎟ + L ⎜⎜ f
−C C
dt ⎝ 4
dt
⎠
229
⎞
⎟⎟ ,
⎠
efectuando
operaciones,
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
3v f
Circuitos de Segundo Orden
3vC
dv
d 2 vC
L dv f L dvC
− 6C C +
−
− LC
, sustituyendo los valores de L.
2
2
dt
4 dt
4 dt
dt 2
C y vf y reacomodando obtenemos:
vC =
−
d 2 vC
dv
+ 7 C + 10vC = −32e −4t + 48e −4t = 16e−4t
2
dt
dt
Como podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución
natural y solución particular. La solución total será:
vC(t) = vCn(t) + vCf(t)
Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una señal exponencial, entonces
suponemos que la respuesta forzada también será exponencial, así vCf(t) = K3℮-4t, ésta
solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor
de K3, así:
d 2 ( K 3e −4t )
d ( K 3e −4t )
+
7
+ 10( K 3e −4t ) = 16e −4t , efectuando las derivadas tenemos:
2
dt
dt
16 K 3e −4t − 28 K 3e −4t + 10 K 3e −4t = 16e −4t , de aquí que K3 = -16/2 = -8, así:
vCf(t) = -8℮-4t
Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para
obtener las raíces, así:
s2 + 7s + 10 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces
s1 = -2 y s2 = -5
Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la
forma:
vCn(t) = K1℮-2t + K2℮-5t , entonces la solución total será:
vC(t) = K1℮-2t + K2℮-5t - 8℮-4t
4Ω
Ahora para encontrar los valores de K1 y
K2 haremos uso de las condiciones 20V
iniciales, para ello necesitamos redibujar el
circuito para t < 0, como se muestra en la
figura 7.5.21.
-
0V
6Ω
+
vC(0-)
iL(0-)
-
Figura 7.5.21
Del circuito obtenemos vC(0 ) haciendo un
divisor de voltaje, así:
vC(0-) = (6/10)*20 = 12V y para obtener iL(0-) aplicaremos la ley de Ohm, así:
230
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
iL(0-) = 12/6 = 2A
Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de
vC(t), obtenemos:
vC(0) = K1 + K2 - 8 = 12,
Y La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así:
dvC(t)/dt = -2K1℮-2t - 5K2℮-5t + 32℮-4t y evaluándola para t = 0 obtenemos:
dvC(0)/dt = -2K1 -5K2 + 32
Ahora regresamos a la ecuación (2) que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior
del capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y
encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:
dvC (t ) v f vC (t ) i L (t )
=
−
−
y al evaluarla en t = 0, tenemos:
dt
4C
4C
C
dvC (0)
8
12
2
=
−
−
= −12 , así la segunda ecuación es:
dt
4(1 / 4) 4(1 / 4) 1 / 4
dvC(0)/dt = -2K1 - 5K2 + 32 = -12, Resolviendo las dos ecuaciones para K1 y K2
obtenemos K1 = 56/3, y K2 = 4/3, entonces el voltaje vC(t) es:
vC(t) = v(t) = (56/3)℮-2t + (4/3)℮-5t - 8℮-4t V
7.6
Problemas propuestos
7.6.1 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.1, encuentre vC(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
1.6H
10mA
t=0
20KΩ
5nF
+
vC
-
Figura 7.6.1
7.6.2 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.2, encuentre iL(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
iL 1/45 H
5Ω
12V
t=0
1Ω
2mF
Figura 7.6.2
231
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
7.6.3 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.3, encuentre iC(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
iC
2u(-t) A
50Ω
20mH
2.5µF
Figura 7.6.3
7.6.4 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.4, encuentre iL(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
iL
4u(-t) A
2Ω
¼F
2/13 H
Figura 7.6.4
7.6.5 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.5, encuentre vC(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
1Ω
0.5 H
t=0
12V
+
vC
-
2F
5Ω
Figura 7.6.5
7.6.6 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.6, encuentre vC(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
2Ω
iL
10u(-t) A
0.2F
0.25 H
Figura 7.6.6
7.6.7 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.7, encuentre i(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
t=0
i(t)
3Ω
12V
3/8 F
1/3 H
Figura 7.6.7
232
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
7.6.8 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.8, encuentre vo(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
+ vo(t) ¼F
8Ω
3Ω
t=0
t=0
½H
12V
6V
Figura 7.6.8
7.6.9 El circuito que se muestra en la figura 7.6.9, es un circuito transmisor de un
sistema de comunicación de una estación espacial que usa pulsos cortos para a un
autómata que opera en el espacio. Encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en
t = 0-.
250Ω
0.8H
+
vC(t)
-
250Ω
t=0
5µF
6V
Figura 7.6.9
7.6.10 El circuito que se muestra en la figura 7.6.10, es un circuito de suministro de
potencia de 240W. Encuentre iL(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.
iL(t)
4H
t=0
¼F
8Ω
2Ω
4Ω
7A
Figura 7.6.10
7.6.11 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.11, encuentre v(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
100µH 0.2µF
200mA
3Ω
+
v(t)
-
t=0
17Ω
10V
Figura 7.6.11
233
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
7.6.12 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.12, encuentre v(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
t=0
2Ω
+
v(t)
-
6Ω
1/8 F
5/2 A
2H
Figura 7.6.12
7.6.13 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.13, encuentre vC(t) para t > 0,
cuando a) C = (1/10)F, b) C = (1/18)F y c) C = (1/20)F. Suponga estado estable en t = 0.
4Ω
+
vC(t)
C
1u(t) A
8Ω
2H
Figura 7.6.13
7.6.14 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.14, encuentre i(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
2KΩ
6KΩ
10mA 2KΩ
t=0
2/5 µH
1/12 µF
8V
i(t)
Figura 7.6.14
7.6.15 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.15, encuentre vC(t) para t > 0,
cuando vC(0-) = 1V e iL (0-) = 0A.
1Ω
1Ω
5cost V
0.5H
1/12 F
+
vC(t)
-
Figura 7.6.15
7.6.16 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.16, encuentre iC(t) para t > 0,
considere if = ℮-tu(t) A. Suponga estado estable en t = 0-.
3Ω
iC(t)
if
1Ω
0.5H
1F
Figura 7.6.16
234
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Segundo Orden
7.6.17 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.17, encuentre vC(t) para t > 0,
considere if =9 + 3℮-2tu(t) A. Suponga estado estable en t = 0-.
+ vC(t) ½F
5H
1.5Ω
1Ω
0.5Ω
if
Figura 7.6.17
7.6.18 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.18, encuentre vC(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
1H
1/5 F
4u(t) A
6Ω
+
vC(t)
-
Figura 7.6.18
7.6.19 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.19, encuentre iL(t) para t > 0.
Suponga estado estable en t = 0-.
-3u(t) A
0.2H
20mF
0.5Ω
3A
iL(t)
Figura 7.6.19
7.6.20 Para el circuito que se muestra en la figura 20, encuentre vC(t) para t > 0, cuando
a) vf = 2u(t) V, b) vf = 0.2tu(t) V y vf = 1℮-30tu(t) V. Suponga estado estable en t = 0-.
7Ω
vf
0.1H
833.3µF
+
vC(t)
-
Figura 7.6.20
235
C.R. Lindo Carrión