SAMSUN ÜNİVERSİTESİ
HAVACILIK VE UZAY BİLİMLERİ FAKÜLTESİ
UÇAK VE UZAY MÜHENDİSLİĞİ
UUM312 – OTOMATİK KONTROLÜN TEMELLERİ DÖNEM SONU ÇALIŞMASI
Hazırlayan,
Eda KARADENİZ – 16960039
18.05.2020
1
ÇÖZÜM 1)
𝐺(𝑠) =
𝑠+2
𝐴
𝐵
=
+
(𝑠 + 1)(𝑠 + 3) 𝑠 + 1 𝑠 + 3
𝐴 = [(𝑠 + 1). 𝐺(𝑠)]𝑠=−1
𝐴+
𝐵(𝑠 + 1) 𝑠 + 2
=
|
(𝑠 + 3)
𝑠 + 3 𝑠=−1
𝐴=
−1 + 2 1
=
−1 + 3 2
𝐵 = [(𝑠 + 3). 𝐺(𝑠)]𝑠=−3
𝐵+
𝐴(𝑠 + 3) 𝑠 + 2
|
=
(𝑠 + 1)
𝑠 + 1 𝑠=−3
𝐵=
𝐺(𝑠) =
−3 + 2 1
=
−3 + 1 2
1
1
1
1
1
+
= (
+
)
2(𝑠 + 1) 2(𝑠 + 3) 2 𝑠 + 1 𝑠 + 3
𝑔(𝑡) = 𝐿−1 (𝐺(𝑠)) =
2
1 −𝑡
[𝑒 + 𝑒 −3𝑡 ]
2
ÇÖZÜM 2)
+
𝐺1 (𝑠)
−
𝐺1 (𝑠)
1+𝐺1 (𝑠)𝐻1 (𝑠)
⇒
𝑋1 (𝑠) =
⇒
𝑋2 (𝑠) = 𝑇(𝑠) =
𝐻1 (𝑠)
+
𝑋1 (𝑠)
𝐺2 (𝑠)
−
𝑋1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)
1+𝑋1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)𝐻2 (𝑠)
𝐻2 (𝑠)
𝑋2 (𝑠) = 𝑇(𝑠) =
𝑋2 (𝑠) = 𝑇(𝑠) =
𝑋1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)
1+𝑋1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)𝐻2 (𝑠)
=
𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)
1+𝐺1 (𝑠)𝐻1 (𝑠)
𝐺 (𝑠)𝐺2 (𝑠)𝐻2 (𝑠)
1+ 1
1+𝐺1 (𝑠)𝐻1(𝑠)
𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)
1 + 𝐺1 (𝑠)𝐻1 (𝑠) + 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)𝐻2 (𝑠)
3
ÇÖZÜM 3)
C
𝑠
R
𝑠
L
R
R
L
𝑒0 (𝑡)
𝑒𝑖 (𝑡)
𝑠
C
L
C
a)
𝑒𝑖 (𝑡) = 𝑒𝐿 (𝑡) + 𝑒𝑅 (𝑡) + 𝑒𝐶 (𝑡)
𝑒𝑖 (𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
1 𝑡
+ 𝑅𝑖(𝑡) + ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑐 0
𝑒0 (𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝐸𝑖 (𝑡) 𝑣𝑒 𝐸0 (𝑡) 𝑛𝑖𝑛 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑑ö𝑛üşü𝑚𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑎𝑙𝚤𝑛𝚤𝑟𝑠𝑎
𝑒𝑖 (𝑠) = (𝑅 +
1
+ 𝑠𝐿) 𝐼(𝑠)
𝑠𝐶
𝑒0 (𝑠) = 𝑠𝐿. 𝐼(𝑠)
𝑒0 (𝑠)
𝑠𝐿
𝐶𝐿𝑠 2
𝑠2
𝐻𝑠 =
=
=
𝑒𝑖 (𝑠) 𝑅 + 1 + 𝑠𝐿 𝐶𝐿𝑠 2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1 𝑠 2 + 𝑠𝑅 + 1
𝑠𝐶
𝐿 𝐿𝐶
4
b) 𝑒𝑖 (𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
1
𝑡
+ 𝑅𝑖(𝑡 ) + ∫0 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑐
𝑖(𝑡) =
𝑑(𝑞(𝑡))
𝑑𝑡
𝑖(𝑡) ve 𝑞(𝑡) durum değişkenleri olsun.
𝑈(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿
𝑑𝑖(𝑡) 1
𝑑𝑖(𝑡)
𝑅
1
+ 𝑞(𝑡) ⟹
= 𝑈(𝑡) − 𝑖(𝑡) −
𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
𝑐
𝑑𝑡
𝐿 𝐶𝐿
𝑈𝐿 (𝑡) = 𝑈(𝑡) − 𝑖(𝑡)𝑅 −
𝑞(𝑡)
𝑐
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑥
−𝑅⁄𝐿
= 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 = [ 𝑑𝑡 ] = [
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
1
𝑑𝑡
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥 = [−𝑅
1
−1⁄𝐶𝐿 𝑞(𝑡)
][
] + [ ] 𝑈(𝑡)
𝑖(𝑡)
0
0
−1 𝑖(𝑡)
][
] + [1]𝑈(𝑡)
𝐶 𝑞(𝑡)
ÇÖZÜM 4)
a)
𝑑𝑥
= 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑑𝑡
𝐴=[
−1 3
]
0 2
1
𝐵=[ ]
0
5
𝐶 = [1
1]
TF = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷
𝑠 0
−1 3 −1 1
TF = [1 1] ([
]−[
]) [ ]
0 𝑠
0 2
0
𝑠+1
TF = [1 1] [
0
−3 −1 1
] [ ]
𝑠−2
0
𝑠−2
TF = [1 1] [
0
1
3
1
]
[ ]
𝑠 + 1 (𝑠+1)(𝑠−2) 0
TF =
TF =
1
(𝑠+1)(𝑠−2)
1
0
[𝑠 − 2 𝑠 + 4] [ ]
1
(𝑠+1)(𝑠−2)
b) Sıfırlar
(𝑠 − 2) =
(𝑠−2)
(𝑠+1)(𝑠−2)
=
yok
1
𝑠+1
Kutuplar
-1
Kararlılık için kutup değerlerinde sistemi 0 yapan bir değer varsa sistem kararsızdır. -1 kutup olup
sistemi 0 yapmadığı için sistem kararlıdır.
c) Kalman kontrol edilebilirlik matrisi
[
1 −1
],
0 0
𝑅 = [𝐵
𝐴𝐵
𝑅 = [𝐵
𝐴𝐵]
𝐴2 𝐵 … . . 𝐴𝑛−1 𝐵] ,
𝑛=2
𝑛=2
} 1 ≠ 2 𝐵𝑢 𝑦ü𝑧𝑑𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑒𝑑𝑖𝑙𝑒𝑏𝑖𝑙𝑖𝑟 𝑑𝑒ğ𝑖𝑙𝑑𝑖𝑟.
Derecesi = 1
6
d) Kalman gözlenebilirlik matrisi
𝐶
𝐶𝐴
𝐶𝐴2
0=
;𝑛 = 2
.
.
.
[𝐶𝐴𝑛−1 ]
0=[
𝐶
1 1
]=[
]
𝐶𝐴
−1 5
Derece = n = 2 ⇒ 𝑔ö𝑧𝑙𝑒𝑛𝑒𝑏𝑖𝑙𝑖𝑟.
7
Derecesi 2