CAPITOLUL7
SERII
7.1. SERII DE NUMERE REALE
BREVIAR TEORETIC
∞
Fie ∑ an o serie numerică de termen general an . Definim şirul
n =1
n
sumelor parţiale ( S n ) n ≥1 , S n = ∑ ak . Pentru a stabili natura
k =1
∞
seriei ∑ an se pot folosi:
n =1
∞
Definiţia 1. Seria ∑ an este convergentă dacă şirul ( S n ) n ≥1
n =1
este convergent.
În acest caz, numărul S = lim S n se numeşte suma seriei.
n →∞
Dacă lim S n = ±∞ sau şirul ( S n ) n ≥1 nu are limită, spunem că
n→∞
∞
seria ∑ an este divergentă.
n =1
Criteriul suficient de divergenţă. Dacă lim an ≠ 0 , atunci
n →∞
∞
seria ∑ an este divergentă.
n =1
Criterii pentru serii cu termeni pozitivi
∞
∞
n =1
n =1
Criteriul 1 de comparaţie. Fie ∑ an şi ∑ bn serii cu termeni
pozitivi pentru care există n0 ∈ N astfel încât a n ≤ bn , (∀)n ≥ n0 .
∞
∞
a) Dacă ∑ bn este convergentă, atunci ∑ an este convergentă.
n =1
n =1
∞
∞
b) Dacă ∑ an este divergentă, atunci ∑ bn este divergentă.
n =1
∞
n =1
∞
Criteriul 2 de comparaţie. Fie ∑ an şi ∑ bn serii cu termeni
n =1
n =1
pozitivi pentru care există n0 ∈ N astfel încât a n+1 ≤ bn+1 , (∀)n ≥ n 0 .
∞
∞
an
bn
a) Dacă ∑ bn este convergentă, atunci ∑ an este convergentă.
n =1
∞
b) Dacă ∑ an este divergentă, atunci
n =1
∞
n =1
∞
∑ bn
n =1
este divergentă.
∞
Criteriul 3 de comparaţie. Fie ∑ an şi ∑ bn serii cu termeni
n =1
n =1
pozitivi.
a
a) Dacă lim n ∈ (0, ∞) , atunci seriile au aceeaşi natură.
n →∞ bn
an
= 0 şi:
n → ∞ bn
b) Dacă lim
∞
∞
b1 ) ∑ bn este convergentă, atunci ∑ an este convergentă;
n =1
n =1
∞
∞
n =1
n =1
b2 ) ∑ an este divergentă, atunci ∑ bn este divergentă.
an
= ∞ şi:
n → ∞ bn
c) Dacă lim
∞
∞
n =1
∞
n =1
∞
c1 ) ∑ an este convergentă, atunci ∑ bn este convergentă;
c 2 ) ∑ bn este divergentă, atunci ∑ an este divergentă.
n =1
n =1
Corolarul criteriului raportului (d'Alembert).
∞
a
Fie ∑ an o serie cu termeni pozitivi şi l = lim n +1 .
n →∞ an
n =1
∞
a) Dacă l < 1 , atunci ∑ an este convergentă.
n =1
∞
b) Dacă l > 1 , atunci ∑ an este divergentă.
n =1
Corolarul criteriului rădăcinii (Cauchy).
∞
Fie ∑ an o serie cu termeni pozitivi şi l = lim n an .
n =1
n →∞
∞
a ) Dacă l < 1 , atunci ∑ an este convergentă.
n =1
∞
b) Dacă l > 1 , atunci ∑ an este divergentă.
n =1
Corolarul criteriului Raabe-Duhamel.
∞
⎛ a
⎞
Fie ∑ an o serie cu termeni pozitivi şi l = lim n⎜⎜ n − 1⎟⎟ .
n →∞ ⎝ an +1
⎠
n =1
∞
a ) Dacă l < 1 , atunci ∑ an este divergentă.
n =1
∞
b) Dacă l > 1 , atunci ∑ an este convergentă.
n =1
Criteriu pentru serii alternate
Criteriul lui Leibniz.
∞
Fie seria alternată ∑ (−1) n an , a n > 0. Dacă : a) şirul (an ) n≥1
n =1
∞
este descrescător şi b) lim an = 0 , atunci seria ∑ (−1) n an este
n →∞
n =1
convergentă.
∞
Propoziţia 1. a) Dacă seria ∑ an este convergentă şi are suma S ,
n =1
∞
atunci seria ∑ α ⋅ a n este convergentă şi are suma α ⋅ S .
n =1
∞
∞
n =1
n =1
b) Dacă seriile ∑ an şi ∑ bn sunt convergente şi au sumele S1 şi
∞
S 2 , atunci seria ∑ (a n + bn ) este convergentă şi are suma S1 + S 2 .
n =1
∞
Definiţia 2. Seria ∑ an este absolut convergentă dacă seria
∞
n =1
∑ a n este convergentă.
n =1
Propoziţia 2. Dacă o serie este absolut convergentă, atunci este şi
convergentă.
PROBLEME REZOLVATE
Să se stabilească natura următoarelor serii de numere reale şi,
dacă este posibil, să se determine suma acestora.
1.
∞
1
∑
n =1 n + α
+ n +α +1
,α > 0.
Rezolvare:
Considerăm şirul sumelor parţiale:
n
n
1
k +α − k +α +1
= ∑
=
Sn = ∑
−1
k =1 k + α + k + α + 1 k =1
= − 1 + α + 2 + α − 2 + α + 3 + α − ... − n + α + n + α + 1 ⇒
⇒ S n = n = α + 1 − 1 + α ⇒ lim S n = ∞ , deci şirul ( S n ) n ≥1 este
n→∞
divergent, prin urmare, conform definiţiei, seria este divergentă.
2.
∞
1
∑
2
n =1 4n − 1
Rezolvare:
n
Sn = ∑
n
1
k =1 4k
2
−1
1
1 n
1
1
= ∑(
−
)=
k =1 ( 2k − 1)(2k + 1) 2 k =1 2k − 1 2k + 1
= ∑
1 ⎛1 1 1 1
1
1 ⎞
1 ⎛1
1 ⎞
= ⎜ − + − + ..... +
−
⎟ ⇒ Sn = ⎜ −
⎟⇒
2 ⎝1 3 3 5
2n − 1 2 n + 1 ⎠
2 ⎝ 1 2n + 1 ⎠
⇒ lim S n =
n→∞
1 , deci seria este convergentă şi are suma
2
S=
1
.
2
3.
∞
∑ ln
n =1
3n − 1
.
3n + 2
Rezolvare:
n
n
3k − 1
= ∑ [ln(3k − 1) − ln(3k + 2)] =
k =1 3k + 2 k =1
= ln 2 − ln 5 + ln 5 − ln 8 + ... + ln(3n − 1) − ln(3n + 2) =
= ln 2 − ln(3n + 2) ⇒ lim S n = −∞ , prin urmare seria este
S n = ∑ ln
n→∞
divergentă.
4.
∞
∑ qn ,
q ∈ R. (seria geometrică).
n=0
Rezolvare:
⎧1 − q n+1
, q ≠1
Avem S n = ∑ q = ⎪⎨ 1 − q
k =0
⎪
⎩ n +1 , q =1
n
k
Pentru q ∈ (−1,1) rezultă că lim S n = 1 , deci seria este
1− q
n→∞
convergentă şi are suma 1 .
1− q
Pentru q ∈ [1, ∞) rezultă că lim S n = ∞ , deci seria este divergentă.
n→∞
Pentru q ∈ (−∞,−1] , nu există lim S n (în acest caz, se spune că
n→∞
seria este oscilantă), deci seria este divergentă.
În concluzie, seria geometrică este convergentă dacă şi numai dacă
1
q ∈ (− 1,1) şi are suma S =
.
1− q
∞
5.
∑
1
n =1 n
α
,α ∈ R (seria armonică generalizată sau seria Riemann)
Rezolvare:
•
∞
Pentru α = 1 obţinem seria armonică, ∑ 1 . Avem că:
n =1 n
⎛ 1
1
1 ⎞
1 ⎛1 1⎞ ⎛ 1 1 1 1⎞
⎟⎟ >
S 2n = 1 + + ⎜ + ⎟ + ⎜ + + + ⎟ + ... + ⎜⎜
+
+ ... +
n−1
n−1
2 ⎝ 3 4⎠ ⎝ 5 6 7 8⎠
⎝2
+1 2
+2
2n ⎠
⎛ 1
1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 1⎞
1
1 ⎞
⎟⎟ =
+ ⎜ + ⎟ + ⎜ + + + ⎟ + ... + ⎜⎜
+
+ .... +
n
−
1
n
−
1
n
2 ⎝ 4 4⎠ ⎝8 8 8 8⎠
2
2 −1 ⎠
⎝2
1 1
1
n
= 1 + + + ..... + ⇒ S 2 n > 1 + ⇒ lim S 2n = ∞ , prin urmare seria
2 2
2
2 n →∞
>1+
este divergentă.
•
∞
Pentru α < 1 ⇒ 1 ≥ 1 , ∀n ≥ 1 ; seria ∑ 1 este divergentă, deci, în
α
n
n =1 n
n
∞
baza criteriului 1 de comparaţie, rezultă că ∑ 1 este divergentă.
α
n =1 n
•
Pentru α > 1 , avem că
⎛ 1
1 ⎞ ⎛ 1
1
1
1 ⎞
⎟+⎜
⎟⎟ + ..... +
S 2n −1 = 1 + ⎜⎜
+
+
+
+
α
α ⎟ ⎜ α
α
α
3 ⎠ ⎝4
5
6
7α ⎠
⎝2
⎛
⎞
⎛ 1
1
1
1 ⎞
⎜ 1
⎟
+⎜
+
+ ... +
⎟ ≤ 1 + ⎜⎜ α + α ⎟⎟ +
α
α
α
n
−
1
n
−
1
n
⎜ 2
2 ⎠
⎝2
+1
2
2 − 1 ⎟⎠
⎝
⎛
⎞
⎛ 1
1
1
1 ⎞
1
1
1 ⎟
⎜
⎟⎟ + ... + ⎜
+ ⎜⎜
+
+
+
+
+ .... +
⎟=
n −1 α
n −1 α ⎟
⎜ 2 n−1 α
⎝ 4α 4α 4 α 4α ⎠
2
2
⎝
⎠
( ) (
)
(
)
( ) ( )
( )
n −1
⎛ 1 ⎞
1 − ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2α −1 ⎠
= 1+
+
+ .... +
=
1
2α −1 2α −1 2
2α −1 n −1
1−
2α −1
1
1
( )
1
( )
, prin urmare
1
≤
1−
1
2α −1
şirul ( S n ) n ≥1 este mărginit; fiind şi crescător, rezultă că este
convergent şi deci seria este convergentă.
6.
∞
3n + 8n
n =1
3n +1 + 8n +1
∑
.
Rezolvare:
⎛⎛ 3 ⎞n
⎞
8 n ⎜ ⎜ ⎟ + 1⎟
⎜⎝ 8 ⎠
⎟
⎝
⎠ = 1 ≠ 0 ; conform criteriului suficient
lim a n = lim
n →∞
n →∞
⎛ ⎛ 3 ⎞ n+1 ⎞ 8
8 n+1 ⎜ ⎜ ⎟
+ 1⎟
⎜⎝ 8 ⎠
⎟
⎝
⎠
de divergenţă, rezultă că seria este divergentă.
7.
∞
1 .
ln
n
n=2
∑
Rezolvare:
∞ 1
Avem că 1 ≥ 1 , ∀n ≥ 2; seria ∑ este divergentă, deci, în baza
ln n
n =1 n
n
∞
1
este divergentă.
n = 2 ln n
criteriului 1 de comparaţie, rezultă că seria ∑
8.
∞
∑
nn
n =1 n !
en
.
Rezolvare:
n
Avem că
cum seria
n
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
1
⎜1 + ⎟
⎜1 + ⎟
a n +1 ⎝ n ⎠
b
1
n⎠
;
⎝
n
=
>
=
= + 1 = n +1
n
+
1
1
1
an
e
bn
⎛ 1⎞
1+
⎜1 + ⎟
n
n
⎝ n⎠
∞ 1
∑ este divergentă , rezultă, folosind criteriul 2 de
n =1 n
n
∞
comparaţie, că seria ∑
n
n =1 n!e
n
este divergentă.
9.
∞ 3n + 5
.
2
n =1 4n − 1
∑
Rezolvare:
∞
1
1
3n + 5
; fie a n =
şi bn = ;
n
4n 2 − 1
n =1 n
Se compară cu seria ∑
an
3n 2 + 5 3
= lim
= ∈ (0, ∞) ; de aici rezultă, conform
n → ∞ bn
n → ∞ 4n 2 − 1 4
criteriului 3 de comparaţie, că seriile au aceeaşi natură; cum seria
∞ 1
∞
∑ este divergentă, rezultă că şi seria ∑ 3n2+ 5 este divergentă.
n =1 n
n =1 4n − 1
lim
∞ 3 2n 5 − 3n 2 + 1 + n + 2
.
7 n 3 − 2n 2 + 1
n =1
10. ∑
Rezolvare:
5
∞ n3
∞
∞ 1
1
Se compară cu seria ∑
= ∑
=
; fie
∑
4
3
3− 5
n=1 n
n=1 n 3
n=1 n 3
3
a
3
2n5 − 3n 2 + 1 + n + 2 şi b = 1 ; lim n = 2 ∈ (0, ∞) ; de
4
n
an =
7
n 3 n → ∞ bn
7 n3 − 2 n 2 + 1
aici rezultă, conform criteriului 3 de comparaţie, că seriile au
∞ 1
aceeaşi natură; cum seria ∑ 4 este convergentă (este seria
n =1 n 3
armonică generalizată cu α =
∞ 3
4
> 1 ), rezultă că şi seria
3
2n 5 − 3n 2 + 1 + n + 2 este convergentă.
7 n 3 − 2n 2 + 1
n =1
∑
∞
⎛
1 ⎞
⎟⎟ .
11. ∑ ln⎜⎜1 +
n3 ⎠
n =1 ⎝
Rezolvare:
∞
Se compară cu seria ∑
1
n =1 n
3
⎛
1 ⎞
1
⎟ şi bn =
;
; fie a n = ln⎜⎜1 +
3⎟
n3
⎝ n ⎠
⎛
1 ⎞
⎟⎟
ln⎜⎜1 +
an
n3 ⎠
⎝
lim
= lim
= 1 ∈ (0, ∞) ⇒ conform criteriului 3 de
1
n → ∞ bn
n→∞
n3
∞
comparaţie, că seriile au aceeaşi natură; cum seria ∑
1
n =1 n
3
este
∞
⎛
1 ⎞
convergentă, rezultă că şi seria ∑ ln⎜⎜1 + ⎟⎟ este convergentă.
n3 ⎠
n =1 ⎝
∞
1.4.7.....(3n − 2)
.
n =1 3.7.10....( 4n − 1)
12. ∑
Rezolvare:
Vom folosi corolarul criteriului raportului. Avem că:
1.4.7.....(3n − 2).(3n + 1)
a
(3n + 1) 3
3.7.10....(4n − 1).(4n + 3)
lim n +1 = lim
= lim
= < 1,
n
1
.
4
.
7
.....(
3
−
2
)
n → ∞ an
n→∞
n → ∞ ( 4n + 3) 4
3.7.10....(4n − 1)
prin urmare seria este convergentă.
∞
13. ∑
(
n =1
n(n a − 1)
n
) , a > 1.
Rezolvare:
Aplicăm corolarul criteriului rădăcinii:
1
a n −1
lim n a n = lim n(n a − 1) = lim
= ln a .
n→∞
n→∞
n →∞ 1
n
•
•
•
Dacă ln a < 1 ⇔ a < e , atunci seria este convergentă.
Dacă ln a > 1 ⇔ a > e , atunci seria este divergentă.
∞
Pentru a = e , seria devine: ∑
(
n(n e − 1)
n =1
n
).
Încercăm să aplicăm criteriul suficient de divergenţă. Vom calcula
(
n→∞
lim a n = lim n(n e − 1)
n→∞
(
n
)n = nlim
(
1 + n(n e − 1) − 1) =
→∞
) = eL ;
lim n n ( n e −1) −1
= e n→∞
L = lim n
n→∞
(
n( n e
Avem că lim
)
e n −1− 1
1
n
− 1) − 1 = lim
ex −1− x
x2
x →0
1
n2
n→∞
.
ex −1 1
= , aşadar
2
x →0 2x
= lim
∀ ( xn }n ≥1 , x n → 0 , rezultă că lim
e x n − 1 − xn
xn →0
=
x n2
1
; în
2
e n −1− 1 1
1
n
x
L
= ,
particular, pentru n = obţinem că = lim
1
n
2
n→∞
2
1
n
L
1
2
deci lim a n = e = e ≠ 0 , prin urmare, conform criteriului
n→∞
∞
(
suficient de divergenţă, seria ∑ n(n e − 1)
n =1
n
)
este divergentă.
∞
⎛ 3n − 1 ⎞
14. ∑ ⎜
⎟
n =1 ⎝ 3n + 2 ⎠
n 2 +1
.
Rezolvare:
Aplicăm corolarul criteriului rădăcinii:
n 2 +1
3n − 1 ⎞ n
⎛
lim n a n = lim ⎜
⎟
n→∞
n → ∞⎝ 3n + 2 ⎠
=e
lim −
n →∞
3 n 2 +1
⋅
3n+ 2 n = 1 < 1 ,
e
n 2 +1
⎞ n
3
⎛
= lim ⎜1 −
⎟
3n + 2 ⎠
n → ∞⎝
=
prin urmare seria este convergentă.
∞ ⎡ 2.5.8.....(3n − 1) ⎤ 2
15. ∑ ⎢
⎥
n =1 ⎣ 3.6.9....(3n) ⎦
Rezolvare:
a n +1
= lim
n →∞ a n
n →∞
lim
⎡ 2.5.8.....(3n − 1)(3n + 2) ⎤
⎢ 3.6.9......(3n)(3n + 3) ⎥
⎦
⎣
⎡ 2.5.8.....(3n − 1) ⎤
⎢ 3.6.9....(3n) ⎥
⎦
⎣
2
2
2
⎡ (3n + 2) ⎤
, deci
= lim ⎢
⎥ =1
n→∞ ⎣ (3n + 3) ⎦
criteriul raportului este neconcludent.
Folosind corolarul criteriului Raabe-Duhamel obţinem:
⎡ (3n + 3) 2
⎤
⎛ a
⎞
6n + 5
2
lim n⎜⎜ n − 1⎟⎟ = lim n ⎢
− 1⎥ = lim n ⋅
= < 1,
2
2
3
n→∞ ⎝ a n+1
⎥⎦ n→∞ (3n + 2)
⎠ n→∞ ⎣⎢ (3n + 2)
deci seria este divergentă.
Să se studieze convergenţa şi absolut convergenţa seriilor:
∞
3n − 1
n =1
2n 2
16. ∑ (−1) n
.
Rezolvare:
•
Studiem convergenţa. Notăm a n =
a n +1 − a n =
3n + 2
−
3n − 1
=
3n − 1
2n 2
;]
− 5n 2 − 5n − 1
< 0 , deci şirul
n(n + 1) ⋅ 2 n +1
2(n + 1) 2
2n 2
(a n ) n ≥1 este descrescător; cum lim a n = 0 rezultă, în baza
n→∞
criteriului lui Leibniz, că seria este convergentă.
• Studiem absolut convergenţa; pentru aceasta, vom considera
seria modulelor:
∞ 3n − 1
∞ 1
a
3
; comparăm cu seria ∑ : lim n = ∈ (0, ∞) şi
∑
2
2
n =1 2n
n =1 n n → ∞ bn
rezultă că seriile au aceeaşi natură (criteriul 3 de comparaţie), prin
urmare seria modulelor este divergentă, deci seria alternată
⎛ ∞
3n − 1 ⎞
⎜ ∑ (−1) n
⎟ nu este absolut convergentă.
⎜
2 ⎟
2
n
⎝ n =1
⎠
∞
1
n =1
n ⋅ 2n
17. ∑ (−1) n
.
Rezolvare:
Studiem absolut convergenţa; pentru aceasta, vom considera seria
modulelor:
∞ 1
; aplicând corolarul criteriului raportului, obţinem:
∑
n
n=1n ⋅ 2
a
n ⋅ 2n
1
lim n +1 = lim
= < 1 , prin urmare seria
n
+
1
2
n → ∞ an
n → ∞ ( n + 1) ⋅ 2
∞
1
n =1
n ⋅ 2n
modulelor este convergentă, deci seria alternată ∑ (−1) n
este absolut convergentă. Conform propoziţiei 2 din breviarul
teoretic, rezultă că seria este şi convergentă.
Să se arate că următoarele serii sunt convergente şi să se calculeze
sumele acestora:
∞
1
;
n =1 n( n + 1)(n + 2)
∞
1
, p ∈ N*.
generalizare: ∑
(
+
1
)...(
+
)
n
n
n
p
n =1
18. ∑
Rezolvare:
Considerăm şirul sumelor parţiale,
n
⎤
1
1 n ⎡ 1
1
Sn = ∑
= ∑ ⎢
−
⎥=
k =1 k (k + 1)(k + 2) 2 k =1 ⎣ k ( k + 1) ( k + 1)(k + 2) ⎦
=
⎤
1
1
1⎡ 1
1
1
1
−
+
−
+ ...... +
−
=
⎢
2 ⎣1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
n(n + 1) (n + 1)(n + 2) ⎥⎦
⎤
1
1⎡ 1
1
−
⎢
⎥ ⇒ lim S n = 4 , prin urmare seria este
2 ⎣1 ⋅ 2 (n + 1)(n + 2) ⎦
n→∞
1
convergentă şi are suma S = .
4
Generalizare:
n
1
Sn = ∑
=
k =1 k (k + 1)....(k + p )
=
1 n
∑
p k =1
⎡
⎤
1
1
⎢ k (k + 1)...(k + p − 1) − (k + 1)(k + 2)...(k + p) ⎥ =
⎣
⎦
⎤
1
1⎡
1
1
⇒ lim S n =
−
, prin
⎥
⎢
p ⎣1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ p (n + 1)(n + 2)...(n + p) ⎦
p ⋅ p!
n→∞
=
urmare seria este convergentă şi are suma S =
1
.
p ⋅ p!
∞
n
n =1 ( n + 1)!
19. ∑
Rezolvare:
n
n (k + 1) − 1
n ⎡1
k
1 ⎤
= ∑⎢ −
=∑
⎥=
k =1 ( k + 1)! k =1 (k + 1)!
k =1 ⎣ k! ( k + 1)!⎦
1 1 1 1
1
1
1
= − + − + ... + −
= 1−
⇒ lim S = 1 ,
(n + 1)! n → ∞ n
1! 2! 2! 3!
n! ( n + 1)!
deci seria este convergentă şi suma seriei este S = 1 .
Sn = ∑
∞
20. ∑
n−5
3
2
n =1 n + 5n + 4n
Rezolvare:
Avem:
3
k −5
2
k + 5k + 4 k
=
.
k −5
A
B
C ; aducem la
= +
+
k (k + 1)(k + 4) k k + 1 k + 4
acelaşi numitor şi după identificare obţinem sistemul:
⎧A + B + C = 0
⎪
, cu soluţia A = − 5 , B = 2, C = − 3 . Prin urmare,
⎨5 A + 4 B + C = 1
4
4
⎪4 A = −5
⎩
n
n ⎡ 5
3k + 2
2
3 ⎤
Sn = ∑
= ∑ ⎢−
+
−
⎥=
3
2
k =1 k + 6k + 8k k =1 ⎣ 4k k + 1 4(k + 4) ⎦
n ⎡ 5
5
3
3 ⎤
5 n ⎛1
1 ⎞ 3 n⎛ 1
1 ⎞
−
= ∑ ⎢−
+
+
−
= − ∑⎜ −
⎟=
⎟ + ∑⎜
⎥
4 k =1⎝ k k + 1 ⎠ 4 k =1⎝ k + 1 k + 4 ⎠
k =1 ⎣ 4k 4(k + 1) 4(k + 4) 4(k + 4) ⎦
5 ⎛1 1 1 1
1
1 ⎞ 3 ⎡⎛ 1 1
1 ⎞ ⎛1
1
1 ⎞⎤
= − ⎜ − + − + ... + −
+
⎟ + ⎜ + + ... +
⎟ − ⎜ + ... +
⎟ =
4 ⎝1 2 2 3
n n + 1 ⎠ 4 ⎢⎣⎝ 2 3
n + 1⎠ ⎝ 5
n + 3 n + 4 ⎠⎥⎦
5 ⎛1
1 ⎞ 3⎛1 1 1
1
1
1 ⎞ ; rezultă că
=− ⎜ −
−
−
⎟+ ⎜ + + −
⎟
4 ⎝ 1 n + 1⎠ 4 ⎝ 2 3 5 n + 2 n + 3 n + 4 ⎠
5 3 31
19
lim S n = − + ⋅
= − , deci seria este convergentă şi are suma
4 4 30
40
19
.
S =−
40
n →∞
∞
(−3) n + 3 + 2 2n +1
n=0
7n+2
21. ∑
.
Rezolvare:
n
n
∞ ⎛ 3⎞
∞ ⎛ 4⎞
Considerăm seriile ∑ ⎜ − ⎟ şi ∑ ⎜ ⎟ , care sunt serii
n=0 ⎝ 7 ⎠
n=0 ⎝ 7 ⎠
geometrice de raţii q ∈ (−1,1) , deci convergente şi au sumele:
1
7
1
7
S1 =
=
şi S 2 =
= .
3
4
10
3
1−
1− −
( 7)
7
Conform propoziţiei 1 din breviarul teoretic, rezultă că seria
n
∞ ⎡ (−3) 3 ⎛ 3 ⎞ n
2 ⎛ 4⎞ ⎤
∑ ⎢ 2 ⎜ − ⎟ + 2 ⎜ ⎟ ⎥ este convergentă şi are suma
⎝ 7⎠
7 ⎝ 7 ⎠ ⎥⎦
n = 0 ⎢⎣ 7
27
7
27 7 7 7 3187
S = − ⋅ S1 + ⋅ S 2 = − ⋅ + ⋅ =
.
49
3
49 10 3 3 630
∞ ( −3) n + 3 + 2 2 n +1
3187
.
Am obţinut că ∑
=
630
7n+2
n=0
∞
5n 2 + 2n + 4
n =1
3n
22. ∑
.
Rezolvare:
∞
1
∞
n
∞
n2
Considerăm seriile ∑
, ∑
.
, ∑
n
n
n
n =1 3
n =1 3
n =1 3
∞ 1
1
Seria ∑
este o serie geometrică de raţie q = , deci este
n
3
n =1 3
1
1 1
convergentă şi are suma S1 = ⋅
= .
1 2
3
1−
3
∞ n
vom scrie şirul sumelor parţiale:
Pentru seria ∑
n
n =1 3
n k
; avem că:
Sn = ∑
k
k =1 3
1
2
3
n
⎛ 1⎞
Sn = +
+
+ ... +
; înmulţim această egalitate cu ⎜ − ⎟ :
⎝ 3⎠
31 3 2 33
3n
1
1
2
n −1
n
− Sn = −
−
− ... −
−
, apoi adunăm cele două
3
3 2 33
3n
3 n +1
relaţii şi va rezulta:
(1 )n
n
n
2
1
1
1
1
1 1− 3
Sn = +
+
+ ... +
−
= ⋅
−
⇒
3
31 3 2 33
3 n 3 n +1 3 1 − 1
3 n +1
3
()
∞ n
3⎡
1 n ⎤ − n ⇒ lim S = 3 , deci seria
este
−
1
∑
n
n
3 ⎥⎦
4 ⎢⎣
4
n→∞
2 ⋅ 3n
n =1 3
3
convergentă şi are suma S 2 = .
4
⇒ Sn =
∞ n2
Pentru seria ∑
vom scrie şirul sumelor parţiale:
n
n =1 3
n
Tn = ∑
Tn =
k2
k
k =1 3
2
2
1
31
+
2
32
; avem că
+
32
33
+ ... +
n2
⎛ 1⎞
; înmulţim această egalitate cu ⎜ − ⎟ :
⎝ 3⎠
3n
n2
1
12 2 2
(n − 1) 2
− Tn = −
−
− ... −
−
, apoi adunăm cele două
3
3 2 33
3n
3 n +1
relaţii şi rezultă:
n 2 − (n − 1) 2
n2
2
12 2 2 − 12 3 2 − 2 2
Tn = +
+
+ ... +
−
=
3
31
32
33
3n
3 n +1
n
k 2 − ( k − 1) 2
k =1
3k
= ∑
−
n 2k − 1
n2
= ∑
−
=
3 n +1 k =1 3 k
3 n +1
n2
(1 )n
1 1− 3
k
n
n2
=2∑
− ∑
−
= 2S n − ⋅
−
⇒
k
k
3 1− 1
3 n +1
3 n +1
k =1 3
k =1 3
3
n
n
1
2
∞ n2
3⎛ 3 1 3⎞ 3
⎜ 2 ⋅ − ⋅ ⎟ = , prin urmare seria ∑ n este
2⎝ 4 3 2⎠ 2
n→∞
n =1 3
3
convergentă şi suma ei este S 3 = .
2
Aşadar, conform propoziţiei 1 din breviarul teoretic, seria
⇒ lim Tn =
∞ 5n 2 + 2 n + 4
3n
n =1
∑
este convergentă şi are suma
4 ⋅ S1 + 2 ⋅ S 2 + 5 ⋅ S 3 = 4 ⋅
∞
23. ∑ (−1)
n =1
n +1
( 2)
n
1
3
3
+ 2 ⋅ + 5 ⋅ = 11 .
2
4
2
sin n2π .
Rezolvare:
Seria dată se mai poate scrie: 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + .... , care
2
( 2) ( 2) ( 2)
este o serie geometrică având primul termen 1 şi raţia − 12 , prin
2
urmare seria este convergentă şi are suma S = 1 ⋅ 1− (1− 1 ) = 32 .
2
2
PROBLEME PROPUSE
Stabiliţi natura următoarelor serii de numere reale şi atunci când
este posibil determinaţi suma acestora:
∞
1
1. ∑
R: Seria este divergentă.
n =1 2n + 1 + 2n + 3
∞
1
R: Seria este convergentă şi are suma S = 1 .
2. ∑
2
2
n=2 n − 1
∞
3. ∑ ln 4n − 1 R: Seria este divergentă.
n =1
4n + 3
n
∞
4. ∑ ⎛⎜ − 5 ⎞⎟ R: Seria este convergentă şi are suma S = − 5 .
11
⎝ 6⎠
n =1
3n + 4
R: Seria este convergentă şi are suma S = 5 .
2
n =1 n( n + 1)( n + 2)
∞
5. ∑
6.
∞
∑ (−1)
n
R: Seria este divergentă.
n =1
∞
n
n =1 ( n + 1)!
R: Seria este convergentă şi are suma S = 1 .
7. ∑
∞
(
)
8. ∑ n + 3 − 2 n + 2 + n + 1 R: Seria este convergentă şi are suma
n =1
S = 2− 3.
2n + 5
(
n
+
1
)(
n + 2)(n + 3)
n =1
∞
9. ∑
∞
10. ∑
n =1
1
n +1 + n + 3
R: Seria este convergentă şi are suma S = 11 .
12
R: Seria este divergentă.
∞
1
R: Seria este convergentă şi are suma S = 1 .
3
n =1 (3n − 2)(3n + 1)
11. ∑
∞
n
R: Seria este divergentă.
n +1
12. ∑ ln
n =1
∞
[
]
13. ∑ 3 n + (−3) n R: Seria este divergentă.
n =1
∞
14. ∑
an
n=0 b
a
b
n +1
; a, b ∈ R, b ≠ 0 R: Seria este convergentă dacă
∈ (− 1, 1) şi are suma 1
b−a
şi este divergentă în caz contrar.
(−3) n+3 + 2 2n+1
R: Seria este convergentă şi are suma
8 n+ 2
n =0
∞
15. ∑
S = − 43 .
176
∞
1
R: Seria este convergentă şi are suma S = 5 .
2
12
n
+
4
n
+
3
n =1
16. ∑
∞
1
R: Seria este convergentă şi S = 1 .
24
n =1 (3n − 2 )(3n + 1)(3n + 4 )
17. ∑
4n + 2
R: Seria este convergentă şi are suma S = 5 .
3
2
2
n
+
3
n
+
2
n
n =1
∞
18. ∑
Să se studieze natura următoarelor serii:
∞
4n − 1
19. ∑
R: Seria este divergentă.
n =1 3n + 2
⎛ n + 1⎞
⎜
⎟
∑
n ⎠
n =1 ⎝
∞
1
21. ∑ n sin
n
n =1
20.
∞
n
R: Seria este divergentă.
R: Seria este divergentă.
5n − 3
3n + 5
R: Seria este divergentă.
n
n
∞
23. ∑ (− 2 ) + 3
R: Seria este divergentă.
∞
22. ∑ ( −1) n
n =1
n =1(− 2 )
n +1
+ 3 n +1
∞
1
n=1ln(2n + 1)
24. ∑
∞
25. ∑
n =1
1
ln(n + 2)
2
R: Seria este divergentă.
R: Folosind criteriul 3 de comparaţie, rezultă
∞
că seria are aceeaşi natură cu seria ∑ 1 , deci este divergentă.
n=2 ln n
∞
26. ∑
n
n
n
n =1 n!⋅3
∞ 6n 2 + 5
27. ∑
3
n=1 5n − 1
2n − 1
n =1 n + 4 n + 3
∞
28. ∑
3
7
2
∞ 5
29. ∑ 3n + n + 1 + n + 2
n =1
∞
30.
6n 2 − 2n + 1
1
∑ sin n
n =1
4
∞ ⎛
1 ⎞
31. ∑ ln⎜⎜1 +
⎟⎟
n⎠
n=1 ⎝
∞
1
32. ∑
n
n =1 n + 5
∞
1
33. ∑ 2 n + 1
4n + 2
n =1
R: Seria este convergentă.
R: Seria este divergentă.
R: Seria este convergentă.
R: Seria este divergentă.
R: Seria este convergentă.
R: Seria este divergentă.
R: Seria este convergentă.
R: Seria este divergentă.
∞
1
n =1 2 n + 5n + 7
34. ∑
R: Seria este convergentă.
3
∞
3
35. ∑
∞
36. ∑
R: Seria este divergentă.
n3 + 2 + 1
1
4
n =1
n2 +1
n4 + 2 + 3 n2 + 1 + 7
n =1
∞
−
3
37. ∑ (3n − n)
1
4
R: Seria este convergentă.
R: Seria este divergentă.
n =1
∞
1
38. ∑
n =1 n + a
R: Seria este divergentă dacă a ∈ (0, 1] (are
,a > 0
n
aceeaşi natură cu seria armonică) şi este convergentă dacă a > 1 .
39.
∞
n!
∑4
n =1
R: Seria este divergentă.
n
∞
40. ∑ 1⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ ..... ⋅ (4n − 3)
n =11⋅ 6 ⋅11⋅ .... ⋅ (5n − 4)
R: Seria este convergentă.
∞
n!
, a > −1 R: Seria este divergentă dacă
n =1 ( a + 1)(a + 2) K ( a + n)
41. ∑
a ∈ (− 1, 1] şi este convergentă dacă a > 1 .
42. ∑ ⎡⎢1.3.5.....( 2n − 1) ⎤⎥
∞
n =1
43.
⎣ 2.4.6....( 2n) ⎦
∞
1 ⎛ 3⎞
⋅⎜ ⎟
∑
n =1 n ⎝ 5 ⎠
∞
∞
R: Seria este convergentă.
n
R: Seria este divergentă.
⎝ 3n + 2 ⎠
(
45. ∑ n(n 2 − 1)
n =1
R: Seria este convergentă.
n
44. ∑ ⎛⎜ 4n − 1 ⎞⎟
n =1
3
n
)
R: Seria este convergentă.
∞
nn
46. ∑
n =1 n!
R: Seria este convergentă.
∞
5n + 3 ⎞
47. ∑ ⎛⎜
⎟
n =1⎝ 5n + 4 ⎠
48. ∑ ⎛⎜ 3n − 1 ⎞⎟
∞
2 n 2 −3
R: Seria este convergentă.
n
R: Seria este divergentă.
⎝ 3n + 2 ⎠
n =1
49. ∑ (−1) n ⎛⎜ 5n + 3 ⎞⎟
5n + 2
∞
⎝
n =1
n
R: Seria este divergentă.
⎠
∞
50. ∑ ⎡⎢ 1 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ .... ⋅ (4n − 3) ⎤⎥
2
R: Seria este convergentă.
n =1⎣ 5 ⋅ 9 ⋅ 13 ⋅ ... ⋅ ( 4n + 1) ⎦
∞
n!
an, a > 0
n
n
n =1 2 ⋅ n
51. ∑
52.
∞
⎛ n! ⎞
⎜ n⎟
∑
n =1 ⎝ n ⎠
n2
n
2 n + 3n
n!
n =1
∞
53. ∑ ⎛⎜ n2 + 3n + 5 ⎞⎟ ⋅ a n , a > 0 54. ∑
⎟
⎜
2
∞
n =1
⎝ n + 2n + 3 ⎠
(
)
∞
(n!) 2
n =1 ( 2n)!
55. ∑
(n + 1)! (n + 3)! n
a , a>0
n
n =1 2 ⋅ ( 2n − 1)!
n =1
Studiaţi convergenţa şi absolut convergenţa seriilor:
∞
56. ∑ n 2 + 2n + 3 − n 2 − 2n + 3
∞
58. ∑ (−1) n
n =1
∞
∑
1
n⋅2
n =1
64.
∑
n =1
∞
( −1)
n
n
68. ∑ (−1) n
n =1
∞
57. ∑
∞
(−1) n
∞
1 59.
60. ∑ (−1) n 3n − 1
2
2n + 1
n
n =1
2n 2
n =1
61. ∑ (−1) n
∞
n
n
62.
n
∞
∑ (−1) n
n =1
3n − 1
2n 3
65. ∑ (−1) n ⎛⎜ 2n + 3 ⎞⎟
∞
n =1
1
n − ln n
⎝ 2n − 1 ⎠
∞
n
∞
63. ∑ (−1) n
n =1
69. ∑ (−1) n −1 sin
n =1
( −1)
n!
n =1
∞
66. ∑
1
n
1
n +1
∞
n
67.
n!
∑ (−3)
n =1
n
Atunci când este posibil, calculaţi suma următoarelor serii:
∞
70. ∑
1
n(n + 1)
R: 1
71. ∑
1
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
R: 1 ;
1
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)
R: 1
n =1
∞
n =1
∞
72. ∑
n =1
∞
4n
4n 4 + 1
1
73. ∑
n =1
∞
74. ∑
n =0
∞
n + 5n + 6
5n − 1
n =1n
3
R: 1 ;
2
R: 17 ;
9
2
+ 4n + 3n
∞
1
n =1
(n + 1) n + n n + 1
76. ∑
∞
77. ∑
4 n+3 − (−1) n 3n+1
5
n=1
n!
n =0
n2 + n − 1
n =1 (n + 2)!
∞
∞
n =1
81.
n+2
n!+ ( n + 1)!+ ( n + 2)!
(−1) + n
(−4) n
n =1
∞
∑
∞
82. ∑
n =1
n
2 n +1 + 3 n + 2
5n
R: 2057 ;
; a, b, c ∈ R R: e(2a + b + c ) ;
79. ∑
80. ∑
R: 1 ;
200
n+2
∞ an 2 + bn + c
78. ∑
12
R: 1
2
75. ∑
18
R: 1 ;
2
R: 1 ;
2
13 ;
75
R:
R: 89 ;
6
∞
83. ∑
n =1
n + (−1) n
5n
R: 7 ;
48
n + n +1
2n
n =1
∞
2
84. ∑
R: 9 ;
2
∞
85. ∑ 2n + 3n + 4
R: 23 ;
8
n
5
n
n +1
∞
86. ∑ 2 + (−n 1)
5
n =1
n =1
R: 5
6
∞
1
2
n =1 ( 2n + 3)(4n − 1)
R: 1
87. . ∑
∞
88.
n
∑a
n =1
n
12
, a >1
R:
∑
90.
∑a
∞
1
n =1
n
3
∞
sin n3π
∑ (−1)
92.
n −1
n =1
93.
∑(
∞
cos nπ
3n
n + 2 − 2 n +1 + n
n =1
(−2) n +3 + 3 2 n +1
10 n + 2
n =0
∞
94. ∑
n +3
∞
+ 2 2n+1
95 ∑ (−3)
n+ 2
n =0
R:
, a >1
n
∞
91. ∑
(a −1)
n2
n =1
5
2
;
2
R: 2a 3 ;
n(n + 1)
, a >1
an
n =1
∞
89.
a
(a −1)
)
a (a +1)
(a −1)3 ;
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 3 + 4 + ..... + 2 n −1 + 2 n + ......
1
2
3
2
3
2
3
∞
4 n + 3 − (−1) n +1 3 n +1
96.
∑
97.
5 n+2
n =1
(−1) n (2n + 1)
∑
3n
n =1
∞
98.
3 n + (−1) n +1
(−4) n
n =1
1
1 1 1
1
1
100.
+3 − −3 +
+3
− .......
3
4 3
8 3 3
16
∞
99. ∑
Stabiliţi natura seriilor:
(−1) n +1
∑
n =1 n + 1
∞
∞
101.
∞
102. ∑ (−1) n −1
n =1
1
2
n =1 n + 7 n + 4
104. ∑
∞
108. ∑
n =1
1
n +5
3
∞
1
n =1 ln( n + 1)
111. ∑
∞
7n
n =1 n!
n
(2n + 1)! n
a ,a>0
n =1 n!⋅ ( n + 2)!
2n + 3
n
n!(1 + 2 )
∞
∞
∞
n ⎞
3n − 2
105. ∑ ⎛⎜
107. ∑ cos n
⎟ 106. ∑
n =1 ⎝ n + 1 ⎠
n =1 4 n + 7
n =1
n
∞
∞
(−1)
1
109. ∑ 4
110. ∑
2
n
n =1
n =1
n + 1 + n3 + 1
∞
3
2
∞
2 n + 5n
112. ∑ 2n + 1
113. ∑ n +1
7
5
+ 4 ⋅ 5 n+2
n =1 2
n =1 3 + 8n − 1
117. ∑ 3n + 5 ⋅ a n , a > 0
116. ∑ ⎛⎜ 4n − 3 ⎞⎟
∞
n =1
118. ∑ 3n + 2 ⋅ a n , a > 0
n +1⎞
n
⎟ ⋅a ,a > 0
n =1 ⎝ n ⎠
∞
n =1
115. ∑
∞
120. ∑ ⎛⎜
n
∞
103. ∑ (−1) n
∞
114. ∑
n =1
nn
(n + 1) n
∞
n =1
119.
5n + 3
n
∞
⎛ n
⎞
121. ∑ ⎜⎜ 2 +n7 ⎟⎟ 122.
⎝ 11
⎠
⎝ 7n + 1 ⎠
∑n
2
sin
n =1
n
n =1
∞
∞
n
⎛
π
3n
1⎞
∑ n ln⎜⎝1 − n ⎟⎠
n =1
n3
⎛ 2
⎞
123. ∑ ⎜⎜ n +2 1 ⎟⎟ ⋅ a n , a > 0
n =1 ⎝ n
⎠
∞
n
126. ∑ ⎛⎜ n + a ⎞⎟ , a, b ∈ R
∞
⎝n+b⎠
n =1
⎛ 3n 2 − n + 1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
∑
2
n =1 ⎝ 3n + 1 ⎠
∞
127.
∞
∞
3n n+1
∑
n n
n =1 (1 + 2 )
∞
124.
n=2
⎝
3
n =1
∞
131. ∑
n =1
2⎠
n =1
n =1
(
n5
132. ∑
n =1 n!
2n + n − 1
3
∑
128.
∞
1
1
−1
2
∞
n ( n 2 +1)
129. ∑ 2 n tg an , a ∈ ⎛⎜ 0, π ⎞⎟ 130. ∑ n + 2 − 2 n + 1 + n
∞
∑n
125.
1
n
n
)
∞
133. ∑
n =1
7n + 8
3n 2 − 2
1
1
+L+
∞
∞ 1+
∞
2n n + 5
n 135. arctg 1 136.
134. ∑ 2
∑
∑
n
n
n n
n =1
n =1
n =1 (3n + 7 )
137.
∞
∑
n =1
140.
1⎞
⎛1
⎜ − sin ⎟
∑
n
n⎠
n =1 ⎝
141.
(
∑
(
∞
n=2 3
2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ K ⋅ (3n − 1)
∑ 3 ⋅ 7 ⋅11K⋅ (4n − 1)
143.
a
n+3 −3
b
144.
1 6
139. ∑ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟
n =1 n ⎝ 5 ⎠
n
142.
∞
3n n +1
n
n
n =1 ( 2 + 1)
∞
n
∞
⎛a⎞
n 2 ⋅ ⎜ ⎟ , a > 0 147.
∑
⎝e⎠
n =1
∞
(n + 1)n
n
151. ∑ ⎛⎜ n + 1 ⎞⎟ ⋅ a n , a > 0 152.
∞
n =1
2
⎛a⎞
n! ⎜ ⎟ , a > 0
∑
⎝n⎠
n =1
n!
∞
∑a
⎝ n ⎠
∞
n
⋅ tg
n=0
a
, a>0
2n
⎛ 2n ⎞
⎜
⎟
∑
n =1 ⎝ 3n − 1 ⎠
n
⎛ 6n 2 + 7 n + 5 ⎞
⎜⎜ 2
⎟⎟
∑
n =1 ⎝ 2n + 5n + 9 ⎠
n
∞
(a + 1)(2a + 1) K (na + 1)
; a, b ∈ R+ 149.
∑
n =1 (b + 1)( 2b + 1) K ( nb + 1)
150. ∑
n
∞
∑ α (α + 1)(α + 2) K (α + n − 1) , α > 0
∞
148.
n
n =1
n!⋅a
, a >0 146.
∑
n
n
⋅ 2n
n =1
∞
)
n + 1)
n + 2 − n +1
n =1
145.
∞
1
138. ∑ ⎛⎜1 − cos ⎞⎟
n⎠
2n + 1 − 2n − 1
n =1 ⎝
∞
∞
∞
1
∞
n
∞
1
⎛ n 2 + n +1⎞
153. ∑ n ( n +1)
154.
155.
⎜
⎟
∑
∑
ln n
⎜ n2 +1 ⎟
(n + 2) n
n =1 n
n =2 (ln n)
n =1 ⎝
⎠
2
+1
⋅an,a > 0
∞
(
∞
)
156. ∑ (n + 1)(n + a) − n , a > 0 157. ∑ n 2 e −
n =1
n
∞
n
n =1
2
∞
(n + 1) n + 1 − 1
n =1
163.
∞
∑ (−1)
1
n ⋅ 3n
n
n =1
166.
n +1
n −1
∞
∑ (−1)
n +1
169.
n =1
172.
175.
178.
⎛ n + 1⎞
⎟⎟ 170.
4
⎝ n ⎠
n =2
n
⎛ n ⎞
⎜
⎟
∑
n =1 ⎝ 3n − 1 ⎠
∞
∑(
∑ (−1)
n −1
2 n −1
176.
1
171.
ln n
−n2
e
n +1
182.
∞
1
∑ n+a
n
n2
5
n =1
184.
∞
∑
n =1
186.
183.
185.
n +1 + n +1
2
n + n −1
187.
∑
n =1 ( n + 1)!
∞
2
∑
n =1
1
4
n =1
n
1
−n
∞
∞
2n + 3
∑ n(n + 1)(n + 2)
n =1
⎛ n2 + 3n + 5 ⎞
⎟⎟ ⋅ a n , a > 0 181.
⎜⎜ 2
∑
n =1 ⎝ n + 2n + 3 ⎠
∞
∞
4 n + 3 − (−1) n +1 3 n +1
n+2
∞
∑3
n
, a > −1 177.
n 2 + 3n + 5 − n 2 − 3n + 5 ) n 179.
∑
168.
2
n =1
∞
n =1
2 + ( −1) n
n2
3 ⋅ n!
n
n =1 n
∞
∑
n =1
180.
n −1
∞
(n!)
3n + 2 n
174.
∑
∑
n!
n =1
n =1 ( 2n )!
n
∞
∞
∑ (−1)
∞
a ⋅n
, a > 0 173.
∑
n!
n =1
∞
2
n −1
3n 2 + 2 165.
n2 + 1
n =1
∞
∑n
n
∞
ln
∞
167.
2n + 1
4
∑ ln⎜⎜
n −1
n =1
1
n =1
∞
∞
∑ (−1)
164.
,a > 0
⎛ 1 ⎞
160. ∑ ( −1) ⎜⎜
⎟⎟
n =1
⎝ 2⎠
∞
162. ∑ (−1) n−1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ (2n − 1)
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ K ⋅ (2n)
n =1
n =1
∑ (−1)
ln n
n =1
− (a ln n + ln n )
, 0 < a <1
159. ∑ e
161.
∞
∑a
158.
∞
n
⎛ 3 + 4n ⎞
⎜⎜ n +1
⎟ ⋅ an , a > 0
∑
+ 4 n +1 ⎟⎠
n =1 ⎝ 3
n
∞
a(a + 1)(a + 2) K (a + n)
∑ b(b + 1)(b + 2) K (b + n) ; 0 < a < b
n =1
1
n(n + 1) ( n + n + 1)
2 ⋅ 7 ⋅ 12 ⋅ K ⋅ (5n − 3)
∑ 5 ⋅ 9 ⋅ 13 ⋅ K ⋅ (4n + 1)
n =1
∞
∑
n =1
n 2 + 1 188.
n3 + 1
2n + 5n
∑
n +1
+ 5 n +1
n =1 2
∞
n 2n
190.
n=1(2n )!
∞
189. ∑
∞
192.
∑
n =1
1
n
∞
n+5
195. ∑ ⎛⎜ 3n + 2 ⎞⎟
5n − 1
∞
n =1
⎝
3n + 5 n
⋅a ,a > 0
∑
n =1 2 n + 3
∞
⎠
193.
2 n 2 +1
∑ a ln n , a > 0 194.
n =1
196.
∑
n =1
(−1) n (2n + 1)
∑
3n
n =1
∞
(2n − 1)!! 1
⋅
(2n)! n
n =1
∞
197. ∑ arcsin 32n − 1
5n + 7 n + 4
n =1
199.
n
⎛ n 2 + n +1⎞
⎜⎜ a
⎟ ,a > 0
∑
3n 2 ⎟⎠
n =1 ⎝
∞
∑
∞
∞
191.
1
, a > −1 200.
n + an
198.
∞
∑ (−1)
n =1
n −1
⎡ (2n − 1)!!⎤
⎢ (2n)!! ⎥
⎣
⎦
na + 1
; a, b ∈ R
∑
b
n =1 n + 1
∞
3
7.2. SERII DE PUTERI
BREVIAR TEORETIC
∞
Fie seria de puteri ∑ a n x n , Se numeşte mulţime de convergenţă a
n =1
seriei de puteri mulţimea formată din punctele în care seria este
convergentă: C =
{x∈R
∞
∑ a n x n convergentă
n =1
}.
Teorema 1 (Teorema lui Abel). Pentru orice serie de puteri
∞
∑ a n x n există R , 0 ≤ R ≤ ∞ , astfel încât:
n =1
1) seria este absolut convergentă pe intervalul (− R, R ) ;
2) seria este divergentă pe mulţimea (− ∞,− R ) ∪ (R, ∞ ) ;
3) pentru orice r ∈ (0, R ) , seria este uniform convergentă pe
intervalul [− r, r ] .
Observaţie. R se numeşte rază de convergenţă.
∞
Teorema 2 (Cauchy-Hadamard). Fie ∑ a n x n o serie de puteri
n =1
şi R raza de convergenţă. Dacă notăm ω = lim n a n , atunci
n→∞
⎧1 ,
ω ≠0
⎪⎪ ω
.
R = ⎨∞, ω = 0
⎪0, ω = ∞
⎪⎩
Observaţie. Se poate calcula ω şi după formula: ω = lim
a n +1
n → ∞ an
.
∞
Teorema 3. Fie seria de puteri ∑ a n x n şi S ( x ) suma acesteia.
n =1
Atunci:
a ) seria derivatelor are aceeaşi rază de convergenţă R ca şi
seria dată;
b) funcţia S este derivabilă pe intervalul de convergenţă
şi derivata acesteia S ' (x ) este egală cu suma seriei derivatelor.
∞
Teorema 4. Fie seria de puteri ∑ a n x n şi S ( x ) suma acesteia.
n =1
Atunci:
a) funcţia S ( x ) admite primitive şi este integrabilă pe orice
interval [a, b] ⊂ (− R, R) ;
b) seria primitivelor are aceeaşi rază de convergenţă R ca
şi seria dată;
c) abstracţie făcând de o constantă, pentru x ∈ (− R, R)
avem:
∞
∞
n =1
n =1
n
n
∫ ∑ a n x dx = ∑ ∫ a n x dx = ∫ S ( x)dx şi în particular, pentru
[a, b] ⊂ (− R, R) are loc relaţia:
b ∞
∞ b
b
a n =1
n =1 a
a
n
n
∫ ∑ a n x dx = ∑ ∫ a n x dx = ∫ S ( x)dx .
PROBLEME REZOLVATE
1. Să se studieze convergenţa seriei de puteri:
∞
1
⋅ xn , x ∈ R .
∑ (− 1)n
n =1
n ⋅ 5n
Rezolvare:
• Calculăm raza de convergenţă. Fie a n = (− 1)n
ω = lim
a n +1
n → ∞ an
R=
1
ω
(− 1)n +1
= lim
n→∞
1
n ⋅ 5n
. Avem că:
1
(n + 1) ⋅ 5 n +1
(− 1)n
1
n
= lim
n → ∞ 5(n + 1)
=
1 , deci
5
n ⋅ 5n
= 5.
• Conform teoremei lui Abel, rezultă că:
1) seria este absolut convergentă pe intervalul (− 5,5) ;
2) seria este divergentă pe mulţimea (− ∞,−5) ∪ (5, ∞ ) ;
3) pentru orice r ∈ (0,5) , seria este uniform convergentă pe
intervalul [− r, r ] .
• Studiem natura seriei pentru R = ±5 :
∞
Pentru R = 5 , seria de puteri devine: ∑ (− 1)n 1 ⋅ 5 n , adică
n
n =1
∞
n ⋅5
1
1
∑ (− 1)n ; şirul u n = este descrescător şi are limita zero; rezultă,
n
n
n =1
∞
conform criteriului lui Leibniz, că seria ∑ (− 1)n 1 este convergentă.
n =1
∞
n
Pentru R = −5 , seria de puteri devine: ∑ (− 1)n 1 ⋅ (−5) n , adică
n
n =1
∞
1
∑ , care
n =1 n
n⋅5
este divergentă (seria armonică).
În concluzie, seria este convergentă pe mulţimea (− 5,5] .
2. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:
∞
n
⎛ 2n + 1 ⎞
n
⎟ ⋅ ( x − 3) , x ∈ R .
n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠
∑⎜
Rezolvare:
• Notăm y = x − 3 . Vom determina mai întâi mulţimea de
n
∞
convergenţă a seriei ∑ ⎛⎜ 2n + 1 ⎞⎟ ⋅ y n .
n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠
n
Calculăm raza de convergenţă. Fie an = ⎛⎜ 2n + 1 ⎞⎟ . Avem:
•
⎝ 6n − 5 ⎠
n a = lim n ⎛⎜ 2n + 1 ⎞⎟
n
n→∞
n → ∞ ⎝ 6n − 5 ⎠
ω = lim
n
1
= 1 , deci R = = 3 .
3
ω
• Conform teoremei lui Abel, avem:
1) seria este absolut convergentă pe intervalul (− 3,3) ;
2) seria este divergentă pe mulţimea (− ∞,−3) ∪ (3, ∞ ) ;
3) pentru orice r ∈ (0,3) , seria este uniform convergentă pe
intervalul [− r, r ] .
• Studiem natura seriei pentru y = ±3 :
n
∞
Pentru y = 3 , seria de puteri devine: ∑ ⎛⎜ 2n + 1 ⎞⎟ ⋅ 3 n , adică
n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠
n
∞ ⎛ 6n + 3 ⎞ n
⎛ 6n + 3 ⎞ ; avem că
⎟
⎟ . Notăm u n = ⎜
⎝ 6n − 5 ⎠
n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠
∑⎜
n
4
lim 6 8n n− 5
8 ⎞
⎛
lim u n = lim ⎜1 +
= e 3 ≠ 0 , deci, conform
⎟ = e n→∞
6n − 5 ⎠
n→∞
n → ∞⎝
criteriului suficient de divergenţă, seria este divergentă.
n
∞
Pentru y = −3 , seria de puteri devine: ∑ ⎛⎜ 2n + 1 ⎞⎟ ⋅ (−3) n , adică
∞
6n + 3 ⎞
⎛ 6n + 3 ⎞ ; avem că şirul
⎟ ; notăm u n = (− 1)n ⎜
⎟
6
n
5
−
⎝ 6n − 5 ⎠
⎠
⎝
n⎛
∑ (− 1) ⎜
n =1
n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠
n
n
(u n )n ≥1 este divergent (nu există
lim u n ), deci seria este divergentă.
n→∞
În concluzie, seria de puteri este convergentă pentru y ∈ (− 3,3) ⇔
⇔ −3 < y < 3 ⇔ −3 < x − 3 < 3 ⇔ 0 < x < 6 . Prin urmare,
∞
n
mulţimea de convergenţă a seriei ∑ ⎛⎜ 2n + 1 ⎞⎟ ⋅ (x − 3)n este (0,6) .
n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠
3. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri
3 n + ( − 4) n
⋅ ( x + 2 )n
n
n =1
∞
∑
Rezolvare:
• Notăm y = x + 2 . Vom determina mai întâi mulţimea de
n
∞ n
convergenţă a seriei. ∑ 3 + (−4) y n
n =1
•
n
n
n
Calculăm raza de convergenţă. Fie an = 3 + (−4) , n ≥ 1 .
n
ω = lim
n→∞
a n +1
an
= lim
n→∞
3 n + 1 + ( −4) n + 1
n +1
3 n + ( −4) n
n
n
3 n + 1 + ( − 4) n + 1
⋅
=
n → ∞ ( n + 1)
3 n + ( − 4) n
= lim
( )
( )
n +1
⎞
⎛
(−4) n +1 ⎜ − 3
+ 1⎟
4
n
⎠ =4⇒ R= 1
⎝
= lim
⋅
4
⎞
n → ∞ ( n + 1)
n⎛ 3 n
(−4) ⎜ −
+ 1⎟
4
⎝
⎠
Conform teoremei lui Abel, rezultă că:
1) seria este absolut convergentă pentru y ∈ ⎛⎜ − 1 , 1 ⎞⎟ ;
⎝ 4 4⎠
1
1
2) seria este divergentă pentru y ∈ ⎛⎜ − ∞,− ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ , ∞ ⎞⎟ ;
4
⎝
⎠ ⎝4 ⎠
3) pentru orice r ∈ ⎛⎜ 0, 1 ⎞⎟ , seria este uniform convergentă pe
intervalul [− r, r ] .
⎝
4⎠
Studiem natura seriei pentru y = ± 1 :
•
4
n
n
∞ n
1
Pentru y = , seria de puteri devine: ∑ 3 + (−4) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ , adică
4
n
⎝ 4⎠
n =1
n
∞ ⎡1 ⎛ 3 ⎞n
1 ⎤ . Avem că seria ∞ 1 ⎛ 3 ⎞ este convergentă
∑ ⋅⎜ ⎟
∑ ⎢ ⋅ ⎜ ⎟ + (− 1)n ⋅ ⎥
n⎥
n =1n ⎝ 4 ⎠
n =1⎢ n ⎝ 4 ⎠
⎣
⎦
∞
(folosind criteriul raportului) şi seria ∑ (− 1)n ⋅ 1 este convergentă
n
n =1
(folosind criteriul lui Leibniz), prin urmare seria este convergentă.
n
n
∞ n
Pentru y = − 1 , seria de puteri devine: ∑ 3 + ( −4) ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ ,
4
n =1
n
⎝
4⎠
n
n
⎤
∞ ⎡
adică ∑ ⎢(− 1)n 1 ⋅ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ + 1 ⎥ . Notăm bn = (− 1)n 1 ⋅ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ , n ∈ N *
n ⎝ 4⎠
n ⎝ 4⎠
n⎥
n =1⎢
⎣
cn =
⎦
n
1
, n ∈ N * şi d n = (− 1)n 1 ⋅ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ + 1 , n ∈ N * . Avem că seria
n
n ⎝ 4⎠
n
∞
∑ bn este convergentă (folosind criteriul lui Leibniz). Dacă
n =1
∞
presupunem că seria ∑ d n este convergentă, deoarece
n =1
∞
c n = d n − bn , (∀ )n ∈ N * , rezultă că şi seria ∑ c n este convergentă,
∞
n =1
contradicţie. Prin urmare seria ∑ d n este divergentă.
n =1
n
∞ n
În concluzie, seria ∑ 3 + ( −4) ⋅ y n este convergentă pentru
n
n =1
1
1
1
1
9
7
⎛ 1 1⎤
y ∈⎜− , ⎥ ⇔ − < y ≤ ⇔ − < x + 2 ≤ ⇔ − < x ≤ − .
4
4
4
4
4
4
4
4
⎝
⎦
Am obţinut că mulţimea de convergenţă a seriei
∞ 3 n + ( −4 ) n
∑
n
n =1
⋅ ( x + 2 )n
este ⎛⎜ − 9 , − 7 ⎤ .
⎥
⎝ 4
4⎦
4. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri
∞
∑
n = 0 ((− 1)
xn
n
+ 4) n
.
Rezolvare:
•
Calculăm raza de convergenţă. Fie a n =
ω = lim n a n = lim
n→∞
bn =
1
(− 1)
n
n →∞
n
1
((− 1)n + 4)
n
= lim
((− 1)
1
n
+4
1
n→∞ (− 1)n + 4
)
n
, n≥0.
; fie
1
1
, n ≥ 0 . deoarece lim b2 n = 5 şi lim b2 n +1 = 3 ,
n
→
∞
n
→
∞
+4
rezultă că ω = lim
1
n → ∞ (− 1)n
{ }
1
= max 1 , 1 = 1 , deci R = = 3 .
5 3
3
ω
+4
• Conform teoremei lui Abel, avem:
1) seria este absolut convergentă pentru x ∈ (− 3,3) ;
2) seria este divergentă pentru x ∈ (− ∞,−3) ∪ (3, ∞ ) .
• Studiem natura seriei pentru x = ±3 :
∞
Pentru x = 3 , seria de puteri devine: ∑
n =0
fie bn =
3n
((− 1)n + 4) n , n ≥ 0
3n
((− 1)n + 4) n
;
; avem că b2 n +1 = 1, ∀n ≥ 0 , deci
lim b2n +1 = 1 ⇒ lim bn ≠ 0 şi conform criteriului suficient de
n→∞
n→∞
divergenţă rezultă că seria este divergentă.
(− 3)n ;
n
n
n = 0 ((− 1) + 4 )
∞
Pentru x = −3 , seria de puteri devine: ∑
fie c n =
(− 3)n , n ≥ 0 ; avem că
((− 1)n + 4) n
c 2 n +1 = −1, ∀n ≥ 0 , deci
lim c 2n +1 = −1 ⇒ lim c n ≠ 0 şi conform criteriului suficient de
n→∞
n→∞
divergenţă rezultă că seria este divergentă.
Prin urmare, mulţimea de convergenţă a seriei de puteri este (− 3, 3) .
Să se determine mulţimea de convergenţă şi suma următoarelor
serii de puteri:
5.
∞
∑ nx n
n =1
Rezolvare:
∞
Considerăm seria de puteri ∑ x n .
n =1
an
•
Raza de convergenţă a acestei serii este R = lim
•
Pentru x ∈ (− 1,1) , seria ∑ x n este convergentă şi are suma
n→∞
a n +1
= 1.
∞
n =1
∞
1
x
(am folosit seria geometrică). Prin
S ( x) = x ⋅ ∑ x n = x ⋅
=
1− x 1− x
n=0
∞
urmare, putem scrie că ∑ x n =
n =1
x
, ∀x ∈ (−1,1) .
1− x
( )
'
∞
'
Aplicând teorema 3, rezultă că ∑ x n = ⎛⎜ x ⎞⎟ , ∀x ∈ (−1,1) ,
n=1
∞
relaţie echivalentă cu: ∑ nx n −1 =
n =1
1
(1 − x )2
⎝1 − x ⎠
, ∀x ∈ (− 1,1) .
Înmulţind cu x relaţia precedentă, obţinem:
∞
x
n =1
(1 − x) 2
∑ nx n =
, ∀x ∈ (− 1,1) .
∞
∑ n(n + 1) x n
6.
n =1
Rezolvare:
∞
Considerăm seria de puteri ∑ x n +1 , care are raza de convergenţă
n =1
2
∞
R = 1 . Avem că ∑ x n +1 = x 2 ⋅ ∑ x n = x , ∀x ∈ (− 1,1) .
1− x
n =1
n=0
∞
∞
( )
⎛
2 ⎞'
⎝
⎠
Aplicând teorema 3, rezultă că ∑ x n +1 ' = ⎜ x ⎟ , ∀x ∈ (− 1,1) ,
⎜1− x ⎟
n =1
2
∞
2x − x
n =1
(1 − x) 2
relaţie echivalentă cu: ∑ ( n + 1) x n =
, ∀x ∈ (− 1,1) .
Aplicând din nou teorema 3, rezultă că
∞
(
∑ (n + 1) x
n =1
)
n '
'
⎛ 2x − x 2 ⎞
⎟ , ∀x ∈ (− 1,1) , de unde obţinem:
=⎜
⎜ (1 − x ) 2 ⎟
⎝
⎠
∞
2
n =1
(1 − x) 3
∑ (n + 1)nx n −1 =
, ∀x ∈ (− 1,1) .
Înmulţind cu x relaţia precedentă, obţinem:
∞
2x
n =1
(1 − x) 3
∑ (n + 1)nx n =
, ∀x ∈ (−1,1) .
7.
∞
∑ n2 xn
n =1
Rezolvare:
Pentru x ∈ (− 1,1) avem:
∞
∞
∞
∞
n =1
n =1
n =1
n =1
∑ n 2 x n = ∑ (n 2 + n − n) x n = ∑ (n 2 + n) x n − ∑ nx n şi folosind
rezultatele obţinute la problemele 5 şi 6, obţinem:
∞
∑ n2 xn =
n =1
2x
(1 − x)
3
∞
x2 + x
n =1
(1 − x) 3
∑ n2 xn =
8.
−
x
(1 − x) 2
, ∀x ∈ (− 1,1) , sau
, ∀x ∈ (− 1,1) .
∞ xn
∑
n =1 n
Rezolvare:
∞
Considerăm seria de puteri ∑ x n −1 , având raza de convergenţă
n =1
R = 1 şi suma S ( x ) = 1 . Prin urmare, putem scrie că
1− x
∞
1
, ∀x ∈ (− 1,1) . Aplicând teorema 4, rezultă că
∑ x n −1 =
x
1
−
n =1
∞
∞
∑ ∫ x n −1dx = ∫ ∑ x n −1dx + C , pentru x ∈ (− 1,1) , adică
n =1
∞ xn
∑
n =1 n
n =1
=∫
1
dx + C = − ln(1 − x) + C , ∀x ∈ (− 1,1) .
1− x
xn
= − ln(1 − x), ∀x ∈ (− 1,1) .
n =1 n
∞
Pentru x = 0 obţinem C = 0 , deci ∑
PROBLEME PROPUSE
Să se studieze convergenţa seriei de puteri :
1.
∞
∑ (− 1)
n +1
1
(2n − 1) ⋅ 3
n
n =1
⋅ xn , x ∈ R .
R: serie convergentă pentru x ∈ (− 3, 3] şi divergentă în rest.
Să se determine mulţimea de convergenţă a următoarelor serii de puteri
2.
3.
∞ ⎛ 3n − 2 ⎞ n
n
⎟ ⋅ (2 − x ) , x ∈ R
+
5
n
1
⎝
⎠
n =1
∑⎜
xn
∞
∑
R: C = [− 2, 2]
n
2
n =1 2 ⋅ n
∞
xn
4. ∑ (−1) n
n
n =1
n
∞
R: C = R
1
∑
(3 3 )
R: C = 1 , 11
xn
R: C = [− 3, 3)
5.
n =1 (5n − 1) ⋅ 3
6.
∑ n!⋅x n
R: C = {0}
∞
R: C = [− 1, 1)
n
∞
n =1
7.
∑
n =1
8.
∞
∑
xn
n
2n − 1
n = 0 ( n + 1)
5 n
x
∞
9.
nn n
x
∑
n =1 n!
∞
10. ∑ [1 − (−4) n ]x n
n =1
R: C = (− ∞, − 1] ∪ [1, ∞ )
[ e e)
R: C = (− 1 , 1 )
4 4
R: C = − 1 , 1
∞ ⎛
11. ∑ ⎜1 + 1 ⎞⎟
n⎠
n =1 ⎝
n2
(
R: C = − 1 , 1
⋅ xn
e e
)
x 3n +1
12. ∑ (−2)
n +1
n =1
R: C = ⎛⎜ − 3 1 , 3 1 ⎤
2 ⎥⎦
2
⎝
∞ 3n + 5
13. ∑ x
R: C = R
∞
14.
n
n = 0 n!
∞
(1 − 2 x )n
∑
n
n
n =0 (− 1) + 3
∞
n
n
(
(
)
+ 5 ) ( x + 1)n
15. ∑ (− 1)
n =0
∞
16. ∑
n =12
(
R: C = − 1 , 3
xn
n
+ 3n
n
∞
17. ∑ n ⋅ x n
2
n =1( n! )
18. ∑ (ln a ) ⋅ x n , a > 0
n
∞
n =1
n!
∞
⎛ x −1⎞
19. ∑ (3n + 1)⎜
⎟
⎝ x + 1⎠
n=0
n
n
∞
20. ∑ ⎛⎜ 3n + 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 x + 1 ⎞⎟
n = 0 ⎝ 5n + 2 ⎠
∞
21. ∑ (−1) n
n =1
⎝ 5x − 2 ⎠
n 2 + 1 ⎛ 4x − 1⎞
⎜
⎟
n2 + n + 1 ⎝ x + 3 ⎠
∞ ⎛ n 2 + 2n + 2 ⎞
22. ∑
⎟
⎜
⎟
⎜ 2
n = 0 ⎝ 2n
+ n + 2⎠
n
∞
23. ∑ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ x 2 n
n =0 ⎝ 3 ⎠
n
n
⋅ ( x − 1) n
n
2 2
)
x 3n
n =0 (3n)!
∞
24.
∑
∞
1
25. ∑
n=1n ⋅ 3
∞
26. ∑
n =1n
∞
n
( x − 5) n
n!
n
⋅2
n
⋅ xn
n
27. ∑ (1 + α n ) ⋅ x , α > 0
n
n =1
xn+2
n=0 n + 1
∞
28. ∑
∞ ⎛ 2
⎞
n
29. ∑ ⎜ n + 2n + 2 ⎟ ⋅ x n
⎜ 2
⎟
n = 0 ⎝ 3n + n + 2 ⎠
∞
1 ⎛ x ⎞
⋅⎜
⎟
n =1 n ⎝ x − 1 ⎠
30. ∑
n
n
∞
31. ∑ (2n + 1)! ⋅ 3 ⋅ (x − 2)n
n=0
n!(n + 2)!
∞ 2 n + ( −1) n
32. ∑
n =0
∞
n +1
⋅ ( x − 3)n
n2 +1
⎛ 3x − 1 ⎞
( −1) n ⎜
⎟
2
⎝ x+2⎠
n = 0 3n + n + 1
2
∞
34. ∑ (n!) ⋅ (1 − x )n
n = 0 (2n)!
33.
∑
n
∞
(2n)!!
⋅ (3 − x )n
(
2
n
+
1
)!
!
n=0
35. ∑
∞
36. ∑ a (a − 1).....( a − n + 1) ⋅ (x + 2 )n ; a > 0
n=0
n!
∞
37. ∑ n
n+
1
n
n =1⎛
1⎞
⎜n + ⎟
n⎠
⎝
n
⋅ ( x + 3) n
(−1) n ⎛⎜ 1 − x 2 ⎞⎟
38. ∑
2⎟
⎜
n =1 ln n ⎝ 1 + x ⎠
∞
39.
n
(−1) n x n
n
n =1
∞
∑
Să se determine mulţimea de convergenţă şi suma următoarelor
serii de puteri:
∞
x2
40. ∑ nx n+1
R: C = (− 1, 1) ; S (x ) =
41. ∑ n(n + 1) x n−1
R: C = (− 1, 1) ; S (x ) =
2
R: C = (− 1, 1) ; S (x ) =
6x
n =1
∞
n =1
∞
42. ∑ n 2 x n+1
n =1
∞
43. ∑ n(n + 1)(n + 2)x n
(1 − x )2
.
.
(1 − x )3
x 2 ( x + 1)
R: C = (− 1, 1) ; S (x ) =
.
(1 − x )3
.
n =1
(1 − x )4
∞
x x 2 + 4x + 1
3 n
44. ∑ n x
n =1
R: C = (− 1, 1) ; S (x ) =
(
(1 − x )
4
∞
6
n =0
(1 − x )4
45. ∑ (n + 1)(n + 2)(n + 3) x n R: C = (− 1, 1) ; S (x ) =
.
).
⎧ 1
xn
⎪− ln(1 − x ), x ∈ (− 1, 1) \ {0}
46. ∑
R: C = (− 1, 1) ; S (x ) = ⎨ x
.
n =0 n + 1
⎪⎩
x=0
0,
2
n
∞ x
1
47. ∑
R: C = (− 1, 1) ; S (x ) = − ln 1 − x 2 .
2
n =1 2n
∞
1
48. ∑ ( x + 1) n
R: C = (− 2, 0 ) ; S (x ) = − .
x
n =0
∞
x +1
R: C = (− 2, 0 ) ; S (x ) =
.
49. ∑ n( x + 1) n
x2
n =1
∞
− ( x + 1)( x + 2)
50. ∑ n 2 ( x + 1) n
R: C = (− 2, 0 ) ; S (x ) =
.
x3
n =0
∞
1− x
51. ∑ (−1) n (n + 1) 2 x n
R: C = (− 1, 1) ; S ( x ) =
.
(x + 1)3
n =0
∞ n
b
52. ∑ a x n ; a, b ≠ 0
R: C = − b , b ; S ( x ) =
.
a a
n
b − ax
n=0 b
∞
(
n
∞
53. ∑ na x n ; a, b ≠ 0
n
n=0 b
( )
R: C = (− b , b ); S (x ) =
a a
abx
(b − ax )2
)
.
7.3. DEZVOLTĂRI ÎN SERIE
BREVIAR TEORETIC
Fie f : I → R, a ∈ I astfel încât f indefinit derivabilă în punctul
a . Se numeşte polinom Taylor de ordin n asociat funcţiei f în
punctul a , polinomul:
f ( k ) (a)
⋅ ( x − a) k .
k!
k =0
n
Tn ( x, a) = ∑
Se numeşte rest Taylor de ordin n al funcţiei f în punctul a ,
funcţia:
Rn ( ⋅ , a ) : I → R, Rn ( x, a ) = f ( x) − Tn ( x, a ) .
Formula lui Taylor: f ( x) = Tn ( x, a ) + Rn ( x, a ), ∀x ∈ I .
Se numeşte serie Taylor asociată funcţiei f în punctul a , seria:
f ( n) (a )
⋅ ( x − a) n .
n
!
n =0
Fie A mulţimea de convergenţă a acestei serii.
∞
∑
Formula de dezvoltare a funcţiei f în serie Taylor în punctul a
f (n) (a)
⋅ ( x − a ) n , pentru x ∈ A ∩ I cu
!
n
n=0
proprietatea că lim Rn ( x, a ) = 0 .
∞
este: f ( x) = ∑
n→∞
Pentru a = 0 , obţinem seria Mac-Laurin asociată funcţiei f :
∞
∑
n =0
f ( n ) (0) n
⋅x .
n!
Forme ale restului Taylor de ordinul n al funcţiei f în punctul a :
• restul Taylor sub formă Lagrange:
f ( n +1) (c)
R n ( x, a ) =
⋅ ( x − a ) n +1 , cu c între a şi x ;
(n + 1)!
• restul Taylor sub formă Cauchy:
f ( n +1) (c)
Rn ( x, a ) =
⋅ ( x − c) n ( x − a) ,cu c între a şi x .
n!
PROBLEME REZOLVATE
1
.
3x + 2
a) Să se scrie seria Taylor asociată funcţiei în punctul a = 1 .
b) Să se calculeze mulţimea de convergenţă a acestei serii.
c) Să se determine restul Taylor de ordin n al funcţiei f în
punctul a = 1 .
1. Se consideră funcţia f : R \ {− 23 } → R, f ( x) =
Rezolvare:
a) Seria Taylor asociată funcţiei f în punctul a = 1 este:
∞
∑
n =0
f ( n ) (1)
⋅ ( x − 1) n .
n!
Funcţia f este indefinit derivabilă pe R \ {− 23 } şi avem:
f ( x ) = (3 x + 2 ) − 1
f ' ( x) = 3(−1)(3x + 2) −2
f ' ' ( x) = 3 2 (−1)(−2)(3x + 2) −3
.....................................................
f
(n)
( x) = 3 n (−1)(−2)....( − n)(3 x + 2) −( n +1) =
f ( n) (1) =
(−1) n 3 n n!
5 n+1
(−1) n 3 n n!
, deci
(3 x + 2) n +1
, ∀n ∈ N . Prin urmare, seria Taylor asociată
n
∞
funcţiei f în punctul a = 1 este: ∑ (−3) ⋅ ( x − 1) n .
n +1
b) Notăm x −1 = y . Avem că:
n=0 5
(− 3)n +1
ω = lim
a n +1
n→∞
an
= lim
n →∞
⋅ 5n + 2
(− 3)n
=
3 , deci R = 5 .
y
3
5
5 n +1
∞
Pentru y = 5 obţinem seria ∑ (− 1)n ⋅ 1 , care este divergentă,
3
5
n=0
deoarece termenul ei general nu are limita zero; pentru y = − 5
3
∞
obţinem seria ∑ 1 , care este divergentă; prin urmare seria
5
n =0
(
)
(
)
obţinută este convergentă pentru y ∈ − 5 , 5 , adică x ∈ − 2 , 8 .
3 3
(
)
3 3
Rezultă că mulţimea de convergenţă este A = − 2 , 8 .
3 3
c) Folosim expresia restului Taylor sub formă Lagrange:
Rn ( x,1) =
Rn ( x,1) =
f ( n +1) (c)
⋅ ( x − 1) n +1 , cu c între 1şi x . Obţinem:
( n + 1)!
(− 3)n +1 ⋅ ( x − 1) n +1 , cu c între 1 şi x .
(3c + 2)n
2. a ) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : R → R, f ( x ) = e x .
b) Să se calculeze valoarea lui e cu trei zecimale exacte.
3
c) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia g : R → R, f ( x) = e x .
∞ an 2 + bn + c
∞
d ) Să se calculeze sumele seriilor: ∑ 1 şi ∑
.
n =0 n!
n=0
n!
Rezolvare:
a) Seria Mac-Laurin asociată funcţiei f este:
∞
∑
n =0
Funcţia f este indefinit derivabilă pe R şi f
⇒ f ( n ) (0) = 1, ∀n ∈ N . Am obţinut că:
( n)
f ( n ) (0) n
⋅x .
n!
( x) = e x , ∀n ∈ N ⇒
∞
1 n
⋅x .
n =0 n!
Determinăm mulţimea pe care este valabilă dezvoltarea funcţiei
f în serie Mac-Laurin
• Calculăm mulţimea de convergenţă A a acestei serii.
seria Mac-Laurin asociată funcţiei f este : ∑
ω = lim
a n +1
n→∞
an
1
1
( n + 1)!
= lim
= lim
= 0 ⇒ R = ∞ , deci seria este
1
(
n
+ 1)
n→∞
n→∞
n!
convergentă pentru x ∈ (− ∞, ∞ ) . Rezultă că A = R .
• Determinăm mulţimea valorilor lui x pentru care
lim Rn ( x,0) = 0 .
n →∞
•
Folosim expresia restului Taylor sub formă Lagrange:
f ( n +1) (c) n +1
Rn ( x,0) =
, cu c între 0 şi x ;
⋅x
(n + 1)!
x
x n +1
⋅ ec =
⋅ ec
n
(
+
1
)!
(n + 1)!
n +1
Rn ( x,0) =
, cu c între 0 şi x ;
xn
, ∀x ∈ R .
n = 0 n!
∞
rezultă că lim Rn ( x,0) = 0, ∀x ∈ R , deci e x = ∑
n→∞
b) Scriem relaţia precedentă pentru x = − 1 şi obţinem:
∞
e− 2 = ∑
1
n=0
(− )
1 n
2
n!
2
.
Folosim definiţia restului Taylor de ordin n :
R n ( x , 0 ) = f ( x ) − Tn ( x , 0 ) .
( )
(
)
(
)
Pentru x = − 1 avem că f − 12 − Tn − 12 , 0 = Rn − 12 , 0 ⇔
2
⇔ e
(− 12 )k (− 12 )n+1
n
− 12
− ∑
k!
k =0
=
(n + 1)!
⋅ e c , c ∈ (− 12 ,0) .
(1)
Intenţionăm să găsim o valoare n pentru care
e
− 12
n
(− 12 )k
k =0
k!
− ∑
n
Tn = ∑
< 0,001 . În aceste condiţii, numerele A = e
− 12
şi
(− 12 )k
au primele trei zecimale comune.
k!
Conform relaţiei (1), deducem că este suficient să găsim o valoare
k =0
n pentru care
(
(− 12 )n +1 ⋅ e c < 0,001 ,
(n + 1)!
(
)
c ∈ − 1 ,0 .
2
Deoarece
)
pentru c ∈ − 1 , 0 avem că e c < e 0 = 1 , rezultă că este suficient să
2
găsim o valoare n pentru care
−1
n +1
2
(n + 1)!
< 0,001 ⇔
1
2
n +1
(n + 1)!
relaţie adevărată pentru n ≥ 4 .
Pentru n = 4 obţinem A − T4 < 0,001 , deci
(
A ≈ T4 −
1 ,0
2
Rezultă că e
<
1 ,
10 3
0
1
2
3
4
(
(
(
(
− 1)
− 1 ) (− 1 )
− 1)
− 1)
2
2
2
2
2
)=
+
+
+
+
≈ 0,606 .
− 12
0!
≈ 0,606 .
1!
2!
3!
4!
c) Înlocuind x cu x 3 în formula găsită la punctul a) , obţinem:
∞ x 3n
3
ex = ∑
n = 0 n!
, ∀x ∈ R .
∞ xn
, ∀x ∈ R .
d ) Folosim rezultatul de la punctul a ) : e x = ∑
n = 0 n!
∞
∞ 1
1
= e.
este : ∑
n = 0 n!
n = 0 n!
Pentru x = 1 obţinem că suma seriei ∑
•
∞ n2
n
.
şi ∑
n = 0 n!
n = 0 n!
∞ n
∞ n
∞
∞ 1
1
= ∑ = ∑
= ∑
=e
Avem că: ∑
n = 0 n! n =1 n! n =1 (n − 1)! m = 0 m!
∞
Considerăm seriile: ∑
•
∞ n2
∑
∞ n2
∞
∞ ( n − 1) + 1
∞ (n − 1)
n
+
= ∑
= ∑
n =1 ( n − 1)! n =1 (n − 1)!
n =1 ( n − 1)!
= ∑
= ∑
n = 0 n!
n =1 n!
∞
∞ (n − 1)
1
+ ∑
∞
∞
1
1
1
= ∑
+ ∑
=
n = 2 (n − 1)! n =1 (n − 1)! n = 2 (n − 2)! n =1 ( n − 1)!
= ∑
n =1 ( n − 1)!
∞ 1
∞
∞
+ ∑
1
= 2e .
m = 0 m! m = 0 m!
= ∑
+ ∑
Conform propoziţiei 1 din breviarul teoretic de la serii numerice,
∞ an 2 + bn + c
rezultă că seria ∑
este convergentă şi are suma
n!
S = a ⋅ 2e + b ⋅ e + c ⋅ e = e(2a + b + c) .
n=0
3. Să se determine seria Taylor în punctul a = −2 asociată
(
)
funcţiei: f : − ∞, 3 → R, f ( x) = ln(3 − 2 x ) .
2
Rezolvare:
Seria Taylor asociată funcţiei f în punctul a = −2 este:
∞
∑
n =0
f ( n ) (−2)
⋅ ( x + 2) n .
n!
(
)
Funcţia f este indefinit derivabilă pe − ∞, 3 şi avem:
f ' ( x) =
−2
= 2(2 x − 3) −1
3 − 2x
2
f ' ' ( x) = 2 2 (−1)(2 x − 3) −2
f ' ' ' ( x) = 2 3 (−1)(−2)(2 x − 3) −3
...............................................................
f ( n) ( x) = 2 n (−1) n −1 (n − 1)!(2 x − 3) − n , ∀n ∈ N *
n
⎛ 2⎞
f ( n ) (−2) = 2 n (−1) n−1 (n − 1)!(−7) −n = −⎜ ⎟ (n − 1)!, ∀n ∈ N * ;
⎝7⎠
f (0) (−2) = ln 7 .
Am obţinut că seria Taylor asociată funcţiei f în punctul a = −2
n
∞
1 ⎛ 2⎞
este: ln 7 + ∑ − ⎜ ⎟ ⋅ ( x + 2) n .
n =1 n ⎝ 7 ⎠
4. a ) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : (−1, ∞) → R, f ( x) = ln(1 + x) şi să se precizeze mulţimea pe
care este valabilă dezvoltarea găsită.
(−1) n +1
= ln 2 .
n
n =1
∞
b) Să se demonstreze că ∑
Rezolvare:
a ) Seria Mac-Laurin asociată funcţiei f este de forma:
∞
∑
n =0
f ( n ) (0) n
'
1
⋅ x . Avem: f ( x ) = 1+ x ;
n!
f ' ' ( x) = −
1
(1+ x ) 2
f ' ' ' ( x) =
2! ……. f ( n ) ( x ) = ( −1) n −1 ( n −1)1 .
(1+ x ) 3
(1+ x ) n
Prin inducţie se arată că f ( n) (0) = (−1) n +1 (n − 1)!, ∀n ∈ N * .
Pentru n = 0 , avem f (0) (0) = f (0 ) = 0 .
(−1) n +1 n
⋅x .
n
n =1
Determinăm mulţimea pe care este valabilă dezvoltarea funcţiei f
în serie Mac-Laurin.
• Calculăm mulţimea de convergenţă A a acestei serii.
∞
Seria Mac-Laurin asociată funcţiei f este deci: ∑
ω = lim
n→∞
a n +1
an
= lim
n→∞
(−1) n + 2
n +1
n +1
(−1)
n
n
= 1 ⇒ R = 1 , deci
n → ∞ ( n + 1)
= lim
seria este convergentă pentru x ∈ (− 1,1) .De asemenea, pentru x = 1
obţinem o serie alternată convergentă, în baza criteriului lui
Leibniz. Rezultă că A = (−1,1] .
• Determinăm mulţimea valorilor lui x ∈ (−1,1] pentru care
lim Rn ( x,0) = 0 .
n→∞
•
Pentru x ∈ (0,1] folosim expresia restului Taylor sub formă
Lagrange: : Rn ( x,0) =
f ( n +1) (c) n +1
⋅x
, cu c între 0 şi x ;
(n + 1)!
x n +1
x
Rn ( x,0) =
(−1) n + 2 n! n +1 =
(
1
+
c
)
(n + 1)!
(1 + c)
cu c între 0 şi x , adică 0 < c < x < 1 ⇒ 0 <
Rezultă că lim Rn ( x,0) = 0, ∀x ∈ (0,1] .
n +1
⋅
1
n +1
,
x
< 1.
1+ c
n→∞
•
Pentru x ∈ (−1,0] folosim expresia restului Taylor sub formă
Cauchy: Rn ( x,0) =
f ( n +1) (c )
⋅ ( x − c) n x , cu c între 0 şi x ;
n!
x( x − c) n
x−c
R n ( x ,0 ) =
(−1) n + 2 n! n +1 =
(
1
+
)
c
n!
1+ c
cu c între 0 şi x , adică − 1 < x < c < 0 ⇒ − 1 <
Rezultă că lim Rn ( x,0) = 0, ∀x ∈ (−1,0] .
n
⋅
x
,
1+ c
x−c
< 0.
1+ c
n→∞
Prin urmare, lim Rn ( x,0) = 0, ∀x ∈ (−1,1] .
n→∞
(−1) n +1 n
⋅ x , ∀x ∈ (−1,1] .
n
n =1
∞
Obţinem că: ln (1 + x ) = ∑
(−1) n +1
n
n =1
∞
b) Pentru x = 1 obţinem: ln 2 = ∑
5. a ) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : R → R, f ( x) = cos x . Să se afle valoarea numărului cos1 cu
două zecimale exacte
b) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin
funcţia f : R → R, f ( x) = sin x ;
c) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : R → R, f ( x) = sin x 2
d ) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : R → R, f ( x) = cos 2 x
Rezolvare:
a ) Seria Mac-Laurin asociată funcţiei f este de forma:
∞
(n)
( 0) n
⋅x .
n!
n =0
Funcţia f este indefinit derivabilă pe R şi avem:
⎧cos x, n = 4k
⎪− sin x, n = 4k + 1
nπ ⎞
⎪
⎛
( n)
f ( x) = ⎨
sau f ( n) ( x) = cos⎜ x +
⎟⇒
2 ⎠
⎝
⎪− cos x, n = 4k + 2
⎪⎩sin x, n = 4k + 3
⎧ 1, n = 4k
⎪
⎛ nπ ⎞
(n)
⇒ f (0) = ⎨ 0, n = 4k ± 1 sau f ( n) (0) = cos⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎪− 1, n = 4k + 2
⎩
∑
f
Obţinem seria Mac-Laurin asociată funcţiei f :
∞
x2 x4 x6
x 2n
x 2n
+
−
− .... + (−1) n
+ ..... sau ∑ (−1) n
.
2! 4! \ 6!
(2n)!
(2n)!
n =0
Determinăm mulţimea pe care este valabilă dezvoltarea funcţiei f
în serie Mac-Laurin
• Calculăm mulţimea de convergenţă A a acestei serii. Notăm
1−
x 2 = y şi vom determina raza de convergenţă a seriei
(−1) n n
⋅y .
n =0 ( 2n)!
∞
∑
a n +1
ω y = lim
an
n→∞
= lim
n→∞
(−1) n +1
(2n + 2)!
(−1) n
(2n)!
= 0 ⇒ R y = ∞ , deci seria este
convergentă pentru y ∈ (− ∞, ∞ ) ⇒ x ∈ (− ∞, ∞ ) . Rezultă că A = R .
• Determinăm mulţimea valorilor lui x pentru care
lim Rn ( x,0) = 0 .
n→∞
Folosim expresia restului Taylor sub formă Lagrange:
Rn ( x,0) =
f ( n +1) (c) n +1
⋅x
, cu c între 0 şi x ;
(n + 1)!
R n ( x ,0 ) =
x
x n +1
⋅ cos c + (n + 1) π =
⋅ cos c + (n + 1) π ,
2
2
(n + 1)!
(n + 1)!
(
)
(
n +1
(
)
cu c între 0 şi x ; deoarece cos c + (n + 1) π ≤ 1 şi
lim
x
2
n +1
n → ∞ (n + 1)!
= 0 , rezultă că lim Rn ( x,0) = 0, ∀x ∈ R .
∞
n→∞
2n
n x
Prin urmare, cos x = ∑ (−1)
, ∀x ∈ R .
(2n)!
Vom afla valoarea lui cos1 cu două zecimale exacte.
Scriem relaţia precedentă pentru x = 1 şi vom obţine:
n=0
∞ ( −1) n
cos1 = ∑
n = 0 (2n)!
.
Folosim definiţia restului Taylor de ordin n :
Rn ( x,0) = f ( x) − Tn ( x,0) .
Pentru x = 1 avem că f (1) − Tn (1,0) = Rn (1,0) ⇔
)
(
)
(−1) k
1
=
cos c + (n + 1) π , c ∈ (0,1) . (1)
2
(n + 1)!
k = 0 ( 2k )!
n
⇔ cos1 − ∑
Intenţionăm să găsim o valoare n pentru care
(−1) k
< 0,01 . În aceste condiţii, numerele
k = 0 (2k )!
n
cos1 − ∑
A = cos 1
(−1) k
au primele două zecimale comune.
k = 0 (2k )!
Conform relaţiei (1), deducem că este suficient să găsim o valoare
1
n pentru care
cos c + (n + 1) π < 0,01 , c ∈ (0,1) .
2
(n + 1)!
n
şi Tn = ∑
(
(
)
)
Deoarece cos c + (n + 1) π ≤ 1 ,
2
rezultă că este suficient să găsim o valoare n pentru care
1
< 0,01 ⇔ (n + 1)!> 100 , relaţie adevărată pentru n ≥ 5 .
(n + 1)!
Pentru n = 5 obţinem A − T5 < 0,01 , deci
1 1 1 1
+ − + ≈ 0,5403025794 .
2! 4! 6! 8!
Deci valoarea numărului cos 1 cu două zecimale exacte este:
cos1 ≈ 0,54 .
A ≈ T5 (1,0) = 1 −
∞
b) Analog se obţine: sin x = ∑ (−1) n
n=0
x 2 n +1
, ∀x ∈ R .
( 2n + 1)!
c) Înlocuind x cu x 2 în formula obţinută la punctul b) , avem
∞
că: sin x 2 = ∑ (−1) n
n =0
x 4n+ 2
, ∀x ∈ R .
( 2n + 1)!
d ) Vom folosi formula: cos 2 x =
1 + cos 2 x 1 1
= + cos 2 x .
2
2 2
Înlocuim pe x cu 2 x în formula de la punctul a ) :
∞
cos 2 x = ∑ (−1) n
n=0
cos 2 x =
(2 x) 2n
, ∀x ∈ R , de unde rezultă:
( 2n)!
1 ∞
(2 x) 2n
+ ∑ (−1) n
, ∀x ∈ R .
2 n =0
2 ⋅ ( 2n)!
6. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
⎧ −1
2
⎪
f : R → R, f ( x) = ⎨e x , x ≠ 0 .
⎪ 0, x = 0
⎩
Rezolvare:
Avem f ( n) (0) = 0 ∀n ≥ 1 (se poate arăta prin inducţie)
Seria Mac-Laurin asociată funcţiei f este de forma:
∞
(n)
( 0) n
⋅x ,
n!
n =0
Deci seria Mac-Laurin asociată funcţiei f este identic nulă
Asadar suma acestei serii este S ( x) = 0 ∀x ∈ R
Observaţie: f ( x) ≠ S ( x) dacă x ≠ 0 ,dar f (0) = S (0)
∑
f
7. Să se determine seria Taylor în punctul a = −2 pentru
3x − 2
funcţia: f : R \ {− 12 ;3} → R, f ( x) = 2
.
2 x − 5x − 3
Rezolvare:
Seria Taylor asociată funcţiei f în punctul a = −2 :
f ( n ) ( −2)
⋅ ( x + 2) n .
∑
n
!
n =0
Funcţia f este indefinit derivabilă pe R \ {− 12 ;3} .
Descompunem f în fracţii simple:
3x − 2
1
1
f ( x) = 2
=
+
.
2 x − 5x − 3 2 x + 1 x − 3
Procedând la fel ca la problema 1, obţinem:
(−2) n n!
(−1) n n!
f ( n ) ( x) =
+
, ∀n ∈ N .
(2 x + 1) n +1 ( x − 3) n +1
∞
2 n n! n!
−
, ∀n ∈ N .
3 n +1 5 n +1
Rezultă că seria Taylor asociată funcţiei f în punctul a = −2 este:
f ( n ) (−2) = −
∞ ⎡ 1 ⎛ 2 ⎞n
⎛1⎞
∑ ⎢− ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟
⎝ 5⎠
n=0 ⎢⎣ 3 ⎝ 3 ⎠
n+1 ⎤
⎥ ( x + 2) n
⎥⎦
8. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : (− 1, ∞ ) → R, f ( x) = (1 + x)α , unde α ∈ R . (Seria binomială)
Rezolvare:
∞
f
(n)
( 0) n
⋅x .
n!
n =0
Funcţia f este indefinit derivabilă pe (−1, ∞) şi avem:
f ' ( x) = α (1 + x)α −1
Seria Mac-Laurin asociată funcţiei f este:
∑
f ' ' ( x) = α (α − 1)(1 + x)α − 2
............................................................…
f ( n ) ( x) = α (α − 1) ⋅ ..... ⋅ (α − n + 1)(1 + x)α − n , ∀n ∈ N * .
f ( n ) (0) = α (α − 1) ⋅ ..... ⋅ (α − n + 1), ∀n ∈ N * .
Rezultă că seria Mac-Laurin asociată funcţiei f este:
∞ f ( n ) ( 0)
f ( 0) + ∑
∞
⋅ xn = 1+ ∑
α (α − 1) ⋅ .... ⋅ (α − n + 1)
⋅ xn .
n!
n!
n =1
Determinăm mulţimea pe care este valabilă dezvoltarea funcţiei f
în serie Mac-Laurin.
• Calculăm mulţimea de convergenţă a acestei serii.
a
n −α
ω = lim n +1 = lim
= 1 ⇒ R = 1 , deci seria este
n → ∞ an
n→∞ n + 1
n =1
convergentă pentru x ∈ (− 1,1) . Rezultă că pe intervalul (−1,1) seria
este convergentă.
• Determinăm mulţimea valorilor lui x pentru care
lim Rn ( x,0) = 0 .
n →∞
•
Folosim expresia restului Taylor sub formă Cauchy: :
R n ( x, a ) =
f ( n +1) (c)
⋅ ( x − c) n ( x − a ) , cu c între a şi x ;
n!
R n ( x ,0 ) =
f ( n +1) (c)
⋅ ( x − c) n ( x) =
n!
=
x( x − c) n
α (α − 1)....(α − n)(1 + c)α − n −1 , cu c între 0 şi x ; notăm
n!
θ=
c
, 0 < θ < 1 şi obţinem
x
n +1
n
Rn ( x,0) =
x
(1 − θ )
α (α − 1)....(α − n)(1 + θ x)α − n −1 =
n!
n
⎛ 1−θ ⎞
(α − 1)....(α − 1 − n + 1) x n
⎟⎟ .
=
⋅ α x(1 + θ x )α −1 ⎜⎜
n!
⎝1+θ x ⎠
Folosind că 0 < θ < 1 şi că − 1 < x < 1 rezultă că
n
⎛ 1−θ ⎞
⎟⎟ < 1 ; de asemenea,
0 < ⎜⎜
+
θ
x
1
⎝
⎠
(α − 1)....(α − 1 − n + 1) x n
= 0 ; obţinem că
n!
n→∞
lim Rn ( x,0) = 0, ∀x ∈ (−1,1) . Rezultă că:
lim
n→∞
∞
α (α − 1) ⋅ .... ⋅ (α − n + 1)
n =1
n!
(1 + x)α = 1 + ∑
⋅ x n , ∀x ∈ (−1,1) . (1)
9. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin următoarele funcţii:
1
1
f : R \ {− 1} → R, f ( x) =
şi g : R \ {1} → R, g ( x) =
.
1+ x
1− x
Rezolvare:
Funcţia f este indefinit derivabilă pe R \ {− 1}.
Aplicăm relaţia (1) din problema precedentă pentru α = −1 şi
∞
(−1)(−2) ⋅ .... ⋅ (− n) n
rezultă: (1 + x) −1 = 1 + ∑
⋅ x , sau
n!
n =1
∞
1
= ∑ (− x) n , ∀x ∈ (−1,1) . (2)
1 + x n=0
Înlocuind pe x cu − x în relaţia (2), rezultă:
∞
1
= ∑ x n , ∀x ∈ (−1,1) .
(3)
1 − x n=0
10. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : R → R, f ( x) = arctgx .
Rezolvare:
Funcţia f este indefinit derivabilă pe R .
f ' ( x) =
1
1+ x
2
(
= 1 + x2
)−1
Scriem relaţia (1) pentru α = −1 şi x înlocuit cu x 2 :
(
1
f ' ( x) =
= 1 + x2
1+ x2
)−1 = 1 + ∑∞ (−1)(−2)n⋅!.... ⋅ (−n) ⋅ (x 2 )n =
n =1
∞
= ∑ (−1) n x 2n , ∀x ∈ (−1,1) . Rezultă că, pentru x ∈ (− 1,1) , avem:
n=0
∞
∞
n=0
n=0
f ( x) = ∫ ∑ (−1) n x 2n dx + C = ∑ (−1) n
x 2n +1
+ C ; pentru x = 0
2n + 1
2n+1
∞
rezultă C = 0 , prin urmare arctgx = ∑ (−1) n x
, ∀x ∈ (−1,1) .
n =0
2n + 1
11. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : [− 1, 1] → R, f ( x) = arcsin x .
Rezolvare:
Funcţia f este indefinit derivabilă pe intervalul (-1,1).
Avem că f ' ( x) =
−
1
1− x2
1
= (1 − x 2 ) 2 , ∀x ∈ (−1,1) .
Scriind formula (1) obţinută pentru seria binomială cu α = − 1 şi
2
înlocuind x cu − x avem:
2
(
f ' ( x) = 1 − x
)
⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞
1
2 −2
= 1+ ∑
n =1
Pentru x ∈ (− 1,1) , avem:
(
f ' ( x) = 1 − x 2
)−
⎛ 2n − 1 ⎞
⎟
n
2 ⎠
⋅ − x 2 , ∀x ∈ (−1, 1) .
−
− ⋅ .... ⋅ ⎜ −
−
∞ ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟
⎠
⎝
⎝
⎠⎝
⎠⎝
1
2
n!
∞
( )
∞ ( 2 n − 1)!!
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ .... ⋅ ( 2n − 1) 2 n
⋅ x =1+ ∑
⋅ x 2n ,
n =1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ .... ⋅ ( 2 n)
n =1 ( 2n )!!
=1+ ∑
de unde, prin integrare, obţinem că:
2 n +1
∞
pentru x ∈ (− 1,1) , avem: f ( x) = x + ∑ (2n − 1)!! ⋅ x
+C;
pentru x = 0 rezultă C = 0 , deci
(2n)!!
n =1
2n + 1
(2n − 1)!! x 2n +1
⋅
, (∀)x ∈ (− 1, 1) .
2n + 1
n =1 (2n)!!
∞
arcsin x = x + ∑
12. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : (− ∞, 2) → R, f ( x) = ln(2 − x) .
Rezolvare:
Funcţia f este indefinit derivabilă pe (− ∞, 2 ) .
f ' ( x) =
1
1 1 .
−1
=
=− ⋅
2−x −2+ x
2 1− x
2
Scriem formula (3) cu x înlocuit prin x şi pentru x < 1 rezultă:
2
f ' ( x) = −
2
n
1 1
1 ∞ ⎛ x⎞
= − ∑ ⎜ ⎟ , de unde, prin integrare, obţinem:
2 1− x
2 n =0 ⎝ 2 ⎠
2
∞
f ( x) = ln(2 − x) = − ∑
n=0 2
∞
f ( x) = ln(2 − x) = − ∑
1
n +1
⋅ ∫ x n dx + C , ∀x ∈ (−2,2) ;
x n +1
n = 0 (n + 1) ⋅ 2
n +1
+ C , ∀x ∈ (−2,2) .
Pentru x = 0 , obţinem C = ln 2 , prin urmare
∞
1
ln(2 − x) = ln 2 − ∑
⋅ x n , ∀x ∈ (−2,2) .
n +1
n=0 2
PROBLEME PROPUSE
{4 }
1
.
4x − 1
a ) Să se scrie seria Taylor asociată funcţiei în punctul a = 1 .
b) Să se calculeze mulţimea de convergenţă a serii obţinute.
c) Să se determine restul Taylor de ordin n al funcţiei f în
punctul a = 1 .
1. Se consideră funcţia f : R \ 1 → R, f ( x ) =
∞
R: a) ∑
(− 4)n ⋅ ( x − 1) n ; b)
n=0 3
n +1
(4 4 )
A= 1, 7 ;
(− 4)n +1 ⋅ ( x − 1) n +1 , cu
(4c − 1)n
c) Rn ( x,1) =
c între 1 şi x .
2. a) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţiile
f : R → R, f ( x) = e 2 x+1 şi g : R → R, g ( x) = e x
2
b) Să se calculeze valoarea lui 3 e cu trei zecimale exacte.
2
∞
c) Să se calculeze suma seriei: ∑ 3n + 4n + 5 .
∞
R: a ) e 2 x +1 = ∑
n=0
(2 x + 1)
n
n!
n =0
n!
∞ x 2n
2
, ∀x ∈ R ; e x = ∑
, ∀x ∈ R ;
n = 0 n!
b) 3 e ≈ 1,395 ; c) 15e .
3. a) Să se determine seria Taylor în punctul a = 1 asociată
funcţiei: f : − 1 , ∞ → R, f ( x) = ln (3 x + 1) ;
(
3
)
b) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : (− ∞,1) → R, f ( x) = ln(1 − x) şi să se precizeze mulţimea pe care
este valabilă dezvoltarea găsită;
n +1
∞
c) Să se calculeze suma seriei ∑ (−2) .
n
n =1
n⋅3
∞ ( −1) n −1 ⋅ 3n
⋅ xn ;
n
n⋅4
n =1
∞ 1
n
R: a ) ln 4 + ∑
b) ln(1 − x ) = − ∑
n=0 n
⋅ x , ∀x ∈ [− 1, 1) ; c) 2 ln 5 .
3
4. a) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : R → R , f ( x ) = sin x . Să se afle valoarea numărului sin 1 cu
două zecimale exacte.
b) Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţiile:
f i : R → R, i = 1, 3 , f1 ( x) = sin x 3 , f 2 ( x ) = cos 3 x , f 3 ( x ) = sin 3 x .
∞
R: a) sin x = ∑ (−1) n
n=0
∞
x 2 n +1
, ∀x ∈ R ; sin 1 ≈ 0,84 ;
(2n + 1)!
b) sin x 3 = ∑ (−1) n
n=0
3
x 6n + 3
, ∀x ∈ R ; folosind formula
(2n + 1)!
sin 3 x = 3 sin x − 4 sin x , obţinem: sin 3 x = 34 sin x − 14 sin 3x =
(
)
∞
∞
(3x )2n +1 = 3 ∞ (−1) n 1 + 32n x 2n +1 ;
x 2 n +1
= 3 ∑ (−1) n
− 1 ∑ (−1) n
∑
4
(2n + 1)! 4 n = 0
(2n + 1)! 4 n = 0
(2n + 1)!
n=0
pentru f 3 se foloseşte formula cos 3 x = 4 cos 3 x − 3 cos x .
5. Să se determine seriile Taylor în punctul a = −2 asociate
funcţiilor: f : R \ ⎧⎨1, 4 ⎫⎬ → R, f ( x) =
⎩ 3⎭
g : R \ {1, 2, 3} → R, g ( x ) =
R: f ( x ) =
4x − 1
2
3x − 7 x + 4
;
1
.
( x − 1)( x − 2)( x − 3)
13
3
; obţinem seria Taylor
−
3x − 4 x − 1
⎡⎛ 1 ⎞ n 13 ⎛ 3 ⎞ n ⎤
∑ ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥(x + 2)n ;
10 ⎝ 10 ⎠ ⎥
n = 0 ⎢⎣⎝ 3 ⎠
⎦
1⎛ 1
2
1 ⎞
g (x ) = ⎜
−
+
⎟ ; rezultă că seria Taylor asociată
2 ⎝ x −1 x − 2 x − 3⎠
n +1
n +1
n +1 ⎤
∞ ⎡
⎛1⎞
⎛1⎞
este: 1 ∑ ⎢− ⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎥ ( x + 2)n .
+ 2⎜ ⎟
−⎜ ⎟
2 n=0 ⎢ ⎝ 3 ⎠
4⎠
5⎠
⎝
⎝
⎥⎦
⎣
∞
6. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia
f : (− 1, ∞ ) → R , f ( x ) = 1 + x .
(− 1)n −1 (2n − 3)!! ⋅ x n ,
∞
R: 1 + x = 1 + ∑
∀x ∈ (−1,1) .
n!⋅ 2 n
Să se dezvolte în serie Taylor în jurul punctelor indicate funcţiile:
n =1
7.
{ }
1
f : R \ − 12 → R, f ( x) =
, a = 0.
1 + 2x
{3}
8. g : R \ 1 → R, g ( x) =
1
,a = 0
1+ x2
10. f : [−1,1] → R, f ( x) = arccos x, a = 0
9.
h : R → R, h( x ) =
1
,a = 0 .
1 − 3x
11. f : R → R , f ( x ) = ln ⎛⎜ x + 1 + x 2 ⎞⎟, a = 0 .
⎝
1
12. f ( x) =
, a=0
x−2
13. f ( x ) =
14. f ( x) =
1
,a=0
x+2
1
( x + 1) 2
, a=0
⎠
15. f ( x) =
1
2
x − 7 x + 12
, a=0
16. f ( x ) = e − x , a = 0
17. f ( x ) = sin (2 x + 1), a = 0
3
18. f ( x ) = 3 x , a = 1
19. f : R \ {− 1,−3} → R, f ( x) =
20. f : R \ {− 2,2} → R, f ( x) =
1
2
x + 4x + 3
1
2
x −4
, a = −2
, a=3
21. f : (− ∞, 2 ) → R, f ( x ) = ln( 2 − x ), a = −3
22. Să se scrie următoarele funcţii ca sume ale unor serii de
puteri: a ) f ( x) = ln⎛⎜ 3 1 − x 2 ⎞⎟ ; b) f ( x) = e 2 x + 3 ;
⎝
⎠
k
c) f ( x) = (ax + b) , a > 0; k ∈ Q \ Z ;
(
)
d ) f : − b , ∞ → R , f ( x ) = ln( ax + b ), a > 0 .
a
23. Să se calculeze cu două zecimale exacte numerele:
a ) cos 2; b) ln 2; c) arctg 2.
R: a ) − 0,41 ; b) − 0,69 ; c) 1,10 .