Meccanica dei Materiali (I.V. Papadopoulos, S. Foletti)

Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno Accademico 2010/2011 Richiami di Elasticità Ioannis Papadopoulos Convenzione del indice ripetuto Sommatoria (1) 2 S = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + ... + an xn n S = ¦ ai xi i =1 Convenzione di Einstein Quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso S = ai xi , i = 1,2...n ai xi = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + ... + an xn Indice ripetuto (dummy) n n n i =1 k =1 p =1 S = ¦ ai xi = ¦ ak xk = ¦ a p x p = a1x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + ... + an xn ai xi = ak xk = a p x p = a g x g = a j x j Convenzione del indice ripetuto (2) 3 Moltiplicazione matrice per vettore ª a11 a12 «a « 21 a22 «¬ a31 a32 a13 º ª x1 º ª a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 º a23 »» «« x2 »» = ««a21x1 + a22 x2 + a23 x3 »» a33 »¼ «¬ x3 »¼ «¬ a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 »¼ aij x j aij x j = ai1 x1 + ai 2 x2 + ai 3 x3 i = 1..3 j = 1..3 i = 1, a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 i = 2, a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 i = 3, a31 x1 + a32 x 2 + a33 x3 Sistema di equazioni lineari a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 aij x j = bi a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 Convenzione del indice ripetuto (3) 4 Moltiplicazione matrice per matrice ª a11 «a « 21 «¬ a31 a12 a 22 a32 ª a11 «a « 21 «¬ a31 a12 a 22 a32 a13 º ªb11 b12 a 23 »» ««b21 b22 a33 »¼ «¬b31 b32 b13 º ª a11b11 + a12 b21 + a13b31 b23 »» = ««a 21b11 + a 22 b21 + a 23b31 b33 »¼ «¬ a31b11 + a32 b21 + a33b31 a13 º ª b11 b12 a 23 »» ««b21 b22 a33 »¼ «¬b31 b32 a11b12 + a12 b22 + a13b32 a 21b12 + a 22 b22 + a 23b32 a31b12 + a32 b22 + a33b32 a11b13 + a12 b23 + a13b33 º a 21b13 + a 22 b23 + a 23b33 »» a31b13 + a32 b23 + a33b33 »¼ b13 º b23 »» = aik bkj b33 »¼ aik bkj = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ai 3b3 j j =1 i =1 i=2 i=3 ª a11b11 + a12 b21 + a13b31 « «a 21b11 + a 22 b21 + a 23b31 « «a b + a b + a b 32 21 33 31 ¬ 31 11 j =2 a11b12 + a12 b22 + a13b32 a 21b12 + a 22 b22 + a 23b32 a31b12 + a32 b22 + a33b32 j =3 a11b13 + a12 b23 + a13b33 º » a 21b13 + a 22 b23 + a 23b33 » » a31b13 + a32 b23 + a33b33 »¼ Convenzione del indice ripetuto (4) 5 Tensore sforzi - primo invariante ªσ 11 σ 12 σ 13 º [σ ] = ««σ 21 σ 22 σ 23 »» «¬σ 31 σ 32 σ 33 »¼ I1σ = tr [σ ] = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ ii i = 1..3 Tensore deformazioni - primo invariante ªε 11 ε 12 [ε ] = ««ε 21 ε 22 «¬ε 31 ε 32 ε 13 º ε 23 »» ε 33 »¼ I1ε = tr [ε ] = ε 11 + ε 22 + ε 33 = ε kk Convenzione del indice ripetuto Deviatore sforzi - secondo invariante σ ii ª «σ 11 − 3 « [s] = « σ 21 « « « σ 31 ¬ σ 12 σ 22 − J2 = 6 =s 11 º ª 2σ 11 − σ 22 − σ 33 » « 3 » « s 21 σ 21 = σ 23 » = « » « 1 σ ii » « σ 31=s 3 σ 33 − « » 3 ¼ ¬ 3 2σ 22 s 12 σ 13= s 13 º » s 22 3 − σ 11 − σ 33 = s » σ 23 = 2 » 3 »=s 33 2 σ σ σ − − 2 33 11 22 » σ 32 =s 3 » 3 ¼ σ 12= σ 13 σ ii σ 32 (5) k = 1..3 1 sij sij 2 12 12 3 ½ 3 ½ σ von Mises = 3 J 2 = ® sij sij ¾ = [ si1 si1 + si 2 si 2 + si 3 si 3 ]¾ ® ¯2 ¿ ¿ ¯2 12 3 ½ σ von Mises = ® [s11s11 + s12 s12 + s13 s13 + s 21s 21 + s 22 s 22 + s 23 s 23 + s31s31 + s32 s32 + s33 s33 ]¾ ¯2 ¿ σ von Mises [ ] 12 3 ½ = ® (s11 )2 + (s 22 )2 + (s33 )2 + 2(s12 )2 + 2(s13 )2 + 2(s 23 )2 ¾ ¯2 ¿ σ von Mises = ªσ 112 + σ 222 + σ 332 − σ 11σ 22 − σ 11σ 33 − σ 22σ 33 + 3 (σ 122 + σ 132 + σ 232 ) º¼ ¬ 12 Vettore-Cambiamento di sistema (assi) di riferimento (1) x2 7 x2 x’2 (ψ−ϕ) a a a2 x’1 a’2 ψ a1 a’1 ϕ x1 x1 a1 = a cosψ a1′ = a cos(ψ − ϕ ) a1′ = a cosψ cos ϕ + a sinψ sin ϕ a1 a2 = a sinψ a2 a1′ = a1 cos ϕ + a2 sin ϕ a2′ = a sin(ψ − ϕ ) a2′ = − a cosψ sin ϕ + a sinψ cos ϕ a1 a1′ = −a1 sin ϕ Vettore-Cambiamento di sistema (assi) di riferimento (2) + a2 cos ϕ 8 x2 x’2 a a1′ = a1 cos ϕ + a2 sin ϕ a2′ = − a1 sin ϕ + a2 cos ϕ a2 (ψ−ϕ) x’1 a’2 ϕ a’1 x1 ª a1′ º ª cos ϕ «a ′ » = «− sin ϕ ¬ 2¼ ¬ sin ϕ º ª a1 º cos ϕ »¼ «¬a 2 »¼ cos(∠ x1′x1 ) cos(∠ x1′x2 ) º [R] = ª« » ¬cos(∠ x2′ x1 ) cos(∠ x2′ x2 )¼ [a′] = [R] [a] ⇔ ai′ = Rij a j ∠ x1′x1 = ϕ ∠ x2′ x1 = π / 2 + ϕ ∠ x1′x2 = π / 2 − ϕ ∠ x2′ x2 = ϕ Vettore-Cambiamento di sistema (assi) di riferimento (3) [a′] = [R] [a] ai′ = Rij a j 9 ai′ = Ri1a1 + Ri 2 a2 a1′ = R 11a1 + R 12 a 2 i =1 a 2′ = R 21a1 + R 22 a 2 i=2 ª R11 [R] = « ¬ R21 R12 º ª cos(∠ x1′ x1 ) cos(∠ x1′ x 2 ) º ª cos ϕ = = R22 »¼ «¬cos(∠ x 2′ x1 ) cos(∠ x 2′ x 2 )»¼ «¬− sin ϕ Vettore-Cambiamento di sistema (assi) di riferimento (4) sin ϕ º cos ϕ »¼ 10 x’2 x3 ∠ x1′x3 x’3 x’1 ∠ x1′x2 ∠ x1′x1 x2 ª cos(∠ x1′x1 ) cos(∠ x1′x2 ) cos(∠ x1′x3 ) º [R] = ««cos(∠ x2′ x1 ) cos(∠ x2′ x2 ) cos(∠ x2′ x3 )»» «¬cos(∠ x3′ x1 ) cos(∠ x3′ x2 ) cos(∠ x3′ x3 ) »¼ x1 Vettore: α i′ = Rijα j ⇔ [a′] = [R ][a ] Vettore-Cambiamento di sistema (assi) di riferimento (5) Esempio 11 ª cos(∠ x1′x1 ) cos(∠ x1′x2 ) cos(∠ x1′x3 ) º R = ««cos(∠ x2′ x1 ) cos(∠ x2′ x2 ) cos(∠ x2′ x3 )»» «¬cos(∠ x3′ x1 ) cos(∠ x3′ x2 ) cos(∠ x3′ x3 ) »¼ x’3 x3 cos(π 2 − ϕ ) cos(π 2)º ª cos(ϕ ) cos(ϕ ) cos(π 2)»» R = ««cos(π 2 + ϕ ) «¬ cos(π 2) cos(π 2) cos(0) »¼ x’2 ϕ x2 ª cos(ϕ ) sin(ϕ ) 0º R = ««− sin(ϕ ) cos(ϕ ) 0»» «¬ 0 0 1»¼ ϕ x’1 x1 Vettore-Cambiamento di sistema (assi) di riferimento (6) 12 x’3 x3 Esempio a3 ªα 1 º a = ««α 2 »» ¬«α 3 ¼» x’2 ϕ a2 x2 a1 ª cos(ϕ ) sin(ϕ ) 0º R = ««− sin(ϕ ) cos(ϕ ) 0»» «¬ 0 0 1»¼ ϕ x1 x’1 α i′ = Rijα j ⇔ [a′] = [R ][a ] ªα1′ º «α ′ » = « 2» «¬α 3′ »¼ ª cos(ϕ ) sin(ϕ ) 0º ªα1 º «− sin(ϕ ) cos(ϕ ) 0» «α » « »« 2» «¬ 0 0 1»¼ «¬α 3 »¼ ªα1′ º «α ′ » = « 2» «¬α 3′ »¼ ª cos(ϕ ) α1 + sin(ϕ ) α 2 º «− sin(ϕ )α + cos(ϕ ) α » 1 2» « «¬ »¼ α3 Tensori sforzi, deformazioni x3 13 Sforzi positivi ªσ 11 σ 12 σ 13 º [σ ] = ««σ 12 σ 22 σ 23 »» «¬σ 13 σ 23 σ 33 »¼ σ33 σ32 σ21 σ23 σ31 σ22 σ13 σ23 ªε 11 ε 12 ε 13 º [ε ] = ««ε12 ε 22 ε 23 »» «¬ε 13 ε 23 ε 33 »¼ σ22 σ21 σ12 x2 σ11 x1 Tensore sforzi-Cambiamento di sistema di riferimento (1) 14 x’2 x3 ∠ x1′x3 x’3 x’1 ∠ x1′x2 ∠ x1′x1 ª cos(∠ x1′x1 ) cos(∠ x1′x2 ) cos(∠ x1′x3 ) º [R ] = ««cos(∠ x2′ x1 ) cos(∠ x′2 x2 ) cos(∠ x2′ x3 )»» «¬cos(∠ x3′ x1 ) cos(∠ x3′ x2 ) cos(∠ x3′ x3 ) »¼ x2 x1 Tensore sforzi: Tensore deformazioni: [ ] σ ij′ = Rik R jl σ kl ⇔ [σ ′] = [R ][σ ] R T [ ] ε ij′ = Rik R jl ε kl ⇔ [ε ′] = [R ][ε ] R T Tensore sforzi-Cambiamento di sistema di riferimento (2) 15 x’3 x3 ª cos(ϕ ) sin(ϕ ) 0º R = ««− sin(ϕ ) cos(ϕ ) 0»» «¬ 0 0 1»¼ x’2 ϕ x2 ϕ x1 x’1 [ ] σ ij′ = Rik R jl σ kl ⇔ [σ ′] = [R ][σ ] R T ′ σ12 ′ σ13 ′ º ª cosϕ sin ϕ 0º ªσ11 «σ ′ σ ′ σ ′ » = «− sin ϕ cosϕ 0» » « 12 22 23 » « 0 1»¼ ′ σ 23 ′ σ 33 ′ »¼ «¬ 0 «¬σ13 ªσ11 σ12 σ13 º ªcosϕ − sin ϕ 0º » « «σ » « 12 σ 22 σ 23 » «sin ϕ cosϕ 0» 0 1»¼ ¬«σ13 σ 23 σ 33 »¼ «¬ 0 σ 12 cos ϕ + σ 22 sin ϕ σ 13 cos ϕ + σ 23 sin ϕ º ªσ 11′ σ 12′ σ 13′ º ª σ 11 cos ϕ + σ 12 sin ϕ «σ ′ σ ′ σ ′ » = «− σ sin ϕ + σ cos ϕ − σ sin ϕ + σ cos ϕ − σ sin ϕ + σ cos ϕ » 12 12 22 13 23 22 23 » « 11 » « 12 »¼ σ 13 σ 23 σ 33 ′ σ 33 ′ »¼ «¬ «¬σ 13′ σ 23 ªcos ϕ « sin ϕ « «¬ 0 − sin ϕ 0º cos ϕ 0»» 0 1»¼ 2 2 σ 12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) − (σ 11 − σ 22 ) sin ϕ cos ϕ σ 13 cos ϕ + σ 23 sin ϕ º ªσ 11′ σ 12′ σ 13′ º ª σ 11 cos ϕ + 2σ 12 sin ϕ cos ϕ + σ 22 sin ϕ «σ ′ σ ′ σ ′ » =«σ (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) − (σ − σ ) sin ϕ cos ϕ − σ sin 2 ϕ − 2σ sin ϕ cos ϕ + σ cos 2 ϕ − σ sin ϕ + σ cos ϕ » 11 22 11 12 22 13 23 » 22 23 » « 12 « 12 » − σ 13 sin ϕ + σ 23 cos ϕ σ 13 cos ϕ + σ 23 sin ϕ σ 33 ′ σ 33 ′ »¼ «¬ «¬σ 13′ σ 23 ¼ Tensore sforzi- Cambiamento di sistema di riferimento (3) x’3 x3 x’2 ϕ x2 16 ª cos(ϕ ) sin(ϕ ) 0º R = ««− sin(ϕ ) cos(ϕ ) 0»» «¬ 0 0 1»¼ ªσ11 σ12 0º » «σ σ « 12 22 0» «¬ 0 0 0»¼ ϕ x1 x’1 σ ij′ = Rik R jlσ kl ⇔ [σ ′] = [R ][σ ][R T ] 2 2 σ 12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) − (σ 11 − σ 22 ) sin ϕ cos ϕ σ 13 cos ϕ + σ 23 sin ϕ º ªσ 11′ σ 12′ σ 13′ º ª σ 11 cos ϕ + 2σ 12 sin ϕ cos ϕ + σ 22 sin ϕ « «σ ′ σ ′ σ ′ » = σ (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) − (σ − σ ) sin ϕ cos ϕ − σ sin 2 ϕ − 2σ sin ϕ cos ϕ + σ cos 2 ϕ − σ sin ϕ + σ cos ϕ » 11 22 11 12 22 13 23 « 12 » 22 23 » « 12 « » + − + σ cos ϕ σ sin ϕ σ sin ϕ σ cos ϕ σ 13 23 13 23 33 ′ σ 33 ′ ¼» ¬ ¼ ¬«σ 13′ σ 23 ªσ 11′ σ 12′ σ 13′ º «σ ′ σ ′ σ ′ » = 22 23 » « 12 ′ σ 33 ′ »¼ «¬σ 13′ σ 23 ª σ 11 cos 2 ϕ + 2σ 12 sin ϕ cos ϕ + σ 22 sin 2 ϕ σ 12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) − (σ 11 − σ 22 ) sin ϕ cos ϕ « 2 2 2 2 «σ 12 (cos ϕ − sin ϕ ) − (σ 11 − σ 22 ) sin ϕ cos ϕ − σ 11 sin ϕ − 2σ 12 sin ϕ cos ϕ + σ 22 cos ϕ « 0 0 ¬ 0º » 0» 0»¼ Tensore sforzi- Cambiamento di sistema di riferimento (4) Stato piano dei sforzi x’3 x3 ªσ11 σ12 º «σ » ¬ 12 σ 22 ¼ x’2 17 x2 x’1 x’2 ϕ ª cos(ϕ ) sin(ϕ ) º R=« » ¬− sin(ϕ ) cos(ϕ )¼ ϕ x2 ϕ x1 [ ] σ ij′ = Rik R jl σ kl ⇔ [σ ′] = [R ][σ ] R T ª cos ϕ [σ ′] = « ¬− sin ϕ ª σ 11 cos 2 ϕ + σ 22 sin 2 ϕ + 2σ 12 sin ϕ cos ϕ [σ ′] = « x1 x’1 sin ϕ º ªσ 11 σ 12 º ªcos ϕ cos ϕ »¼ «¬σ 12 σ 22 »¼ «¬ sin ϕ σ 12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) + (σ 22 − σ 11 ) sin ϕ cos ϕ º 2 2 ¬«σ 12 (cos ϕ − sin ϕ ) + (σ 22 − σ 11 ) sin ϕ cos ϕ σ 11 sin 2 ϕ + σ 22 cos 2 ϕ − 2σ 12 sin ϕ cos ϕ ′ = σ 11 cos 2 ϕ + σ 22 sin 2 ϕ + σ 12 ( 2 sin ϕ cos ϕ ) σ 11 ′ = σ 11 sin 2 ϕ + σ 22 cos 2 ϕ − σ 12 (2 sin ϕ cos ϕ ) σ 22 ′ = −σ 11 sin ϕ cos ϕ + σ 22 sin ϕ cos ϕ + σ 12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) σ 12 Tensore sforzi- Cambiamento di sistema di riferimento (5) Stato piano dei sforzi ′ = σ 11 cos 2 ϕ + σ 22 sin 2 ϕ + σ 12 (2 sin ϕ cos ϕ ) σ 11 ′ = σ 11 sin 2 ϕ + σ 22 cos 2 ϕ − σ 12 (2 sin ϕ cos ϕ ) σ 22 ′ = −σ 11 sin ϕ cos ϕ + σ 22 sin ϕ cos ϕ + σ 12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) σ 12 2 sin 2 ϕ ªσ 11′ º ª cos ϕ «σ ′ » = « sin 2 ϕ cos 2 ϕ « 22 » « «¬σ 12′ »¼ «¬− sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ m = cos ϕ − sin ϕ º cos ϕ »¼ 2 sin ϕ cos ϕ º ªσ 11 º » − 2 sin ϕ cos ϕ » ««σ 22 »» cos 2 ϕ − sin 2 ϕ »¼ «¬σ 12 »¼ n = sin ϕ 2 n2 2 m n º ªσ º ′ º ª m ª σ11 « » 11 «σ ′ » = « n 2 2 m −2 m n » ««σ 22 »» « 22 » « ′ »¼ « −m n m n (m 2 − n 2 ) »» «¬σ12 »¼ «¬σ12 ¬ ¼ [σ ′] = [Tσ ][σ ] 18 » ¼» Tensore deformazioni- Cambiamento di sistema di riferimento 19 Stato piano delle deformazioni [ ] ª cos ϕ [ε ′] = « ¬− sin ϕ ε ij′ = Rik R jl ε kl ⇔ [ε ′] = [R ][ε ] R T sin ϕ º ªε 11 ε 12 º ªcos ϕ cos ϕ »¼ «¬ε 12 ε 22 »¼ «¬ sin ϕ − sin ϕ º cos ϕ »¼ ε11′ = ε11 cos 2 ϕ + ε 22 sin 2 ϕ + 2ε12 sin ϕ cos ϕ ′ = ε11 sin 2 ϕ + ε 22 cos 2 ϕ − 2ε12 sin ϕ cos ϕ ε 22 ′ = −ε 11 sin ϕ cos ϕ + ε 22 sin ϕ cos ϕ + ε 12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) ε 12 ′ = −ε 11 2 sin ϕ cos ϕ + ε 22 2 sin ϕ cos ϕ + 2ε 12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) 2ε 12 2 ′ º ª cos ϕ ª ε11 « « ′ » « 2 « ε 22 » = « sin ϕ ′ »¼ « −2sin ϕ cos ϕ «¬ 2ε12 ¬ sin 2 ϕ cos 2 ϕ 2sin ϕ cos ϕ m = cos ϕ º ε » ª 11 º − sin ϕ cos ϕ » «« ε 22 »» » (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) » «¬ 2ε12 »¼ ¼ sin ϕ cos ϕ n = sin ϕ 2 mn º ª ε º n2 ′ º ª m ª ε11 « » 11 « ε ′ » = « n2 2 − m n » «« ε 22 »» m « 22 » « » ′ »¼ « −2m n 2m n (m 2 − n 2 ) » «¬ 2ε12 »¼ «¬ 2ε12 ¬ ¼ [ε ′] = [Tε ][ε ] Stato piano sforzi o deformazioni - Cambiamento di sistema di riferimento [ε ′] = [ R ] [ε ] ª¬ RT º¼ [σ ′] = [ R ] [σ ] ª¬ RT º¼ [σ ′] = ª« cos ϕ ¬− sin ϕ sin ϕ º ªσ 11 σ 12 º ªcos ϕ cos ϕ »¼ «¬σ 12 σ 22 »¼ «¬ sin ϕ m = cos ϕ − sin ϕ º cos ϕ »¼ n = sin ϕ 2 n2 2 m n º ªσ º ′ º ª m ª σ11 « » 11 «σ ′ » = « n 2 2 » «σ 22 » − m 2 m n « 22 » « « » ′ ¼» « −m n m n (m 2 − n 2 ) »» ¬«σ12 ¼» ¬«σ12 ¬ ¼ [σ ′] = [Tσ ][σ ] 20 [ε ′] = ª« cos ϕ ¬− sin ϕ sin ϕ º ªε 11 ε 12 º ªcos ϕ cos ϕ »¼ «¬ε 12 ε 22 »¼ «¬ sin ϕ m = cos ϕ − sin ϕ º cos ϕ »¼ n = sin ϕ 2 n2 mn º ª ε º ′ º ª m ª ε11 « » 11 « ε ′ » = « n2 2 − m n » «« ε 22 »» m « 22 » « ′ »¼ « −2m n 2m n (m 2 − n 2 ) »» «¬ 2ε12 »¼ «¬ 2ε12 ¬ ¼ [ε ′] = [Tε ][ε ] Legge di Hook generalizzata 21 σ ij = Cijkl ε kl 3x3x3x3= σ ij = σ ji C(ij ) kl = C( ji ) kl 81 componenti ε kl = ε lk Cij ( kl ) = Cij (lk ) 6 componenti 6 componenti Cijkl = C(ij )( kl ) 6x6 = 36 componenti (moduli di rigidezza) ε ij = Sijklσ kl Sijkl 36 moduli di cedevolezza Legge di Hook - Materiale completamente anisotropo 22 (Rigidezza) ªσ 1 º ªσ 11 º « » « » « σ 2 » «σ 22 » « » «σ » [σ ] = « σ 3 » = « 33 » « σ 4 » «σ 23 » « σ » «σ » « 5 » « 13 » ¬« σ 6 ¼» ¬«σ 12 ¼» ª ε 1 º ª ε 11 º «ε » « ε » « 2 » « 22 » «ε » « ε » [ε ] = « 3 » = « 33 » «ε 4 » «2ε 23 » «ε 5 » « 2ε 13 » « » « » «¬ε 6 »¼ «¬ 2ε 12 »¼ σ ij = Cijkl ε kl [σ ] = [C ][ε ] ªσ1 º « » «σ 2 » «σ » ⇔ «σ 3 » = 6 « 4» «σ » « 5» «¬σ 6 »¼ ªC11 «C « 21 «C31 « «C41 «C51 « «¬C61 C12 C13 C14 C15 C16 º ªε1 º « » C22 C23 C24 C25 C26 »» «ε2 » C32 C33 C34 C35 C36 » «ε3 » » « » C42 C43 C44 C45 C46 » «ε4 » C52 C53 C54 C55 C56 » «ε5 » » «ε » C62 C63 C64 C65 C66 »¼ «¬ 6 »¼ 6 Legge di Hook - Materiale completamente anisotropo 23 (Cedevolezza) ªε 1 º ª ε 11 º «ε » « ε » « 2 » « 22 » «ε » « ε » [ε ] = « 3 » = « 33 » «ε 4 » «2ε 23 » «ε 5 » « 2ε 31 » « » « » «¬ε 6 »¼ «¬ 2ε 12 »¼ ªσ 1 º ªσ 11 º « » « » « σ 2 » «σ 22 » « » «σ » [σ ] = « σ 3 » = « 33 » « σ 4 » «σ 23 » « σ » «σ » « 5 » « 31 » «¬ σ 6 »¼ ¬«σ 12 ¼» [ε ] = [S ][σ ] ⇔ ªε1 º «ε » « 2» «ε3 » « »= «ε4 » «ε5 » « » «¬ε6 »¼ ª S11 «S « 21 «S31 « «S41 «S51 « «¬S61 S12 S13 S14 S15 S16 º ªσ1 º S22 S23 S24 S25 S26 »» ««σ 2 »» S32 S33 S34 S35 S36 » «σ 3 » »« » S42 S43 S44 S45 S46 » «σ 4 » S52 S53 S54 S55 S56 » «σ 5 » »« » S62 S63 S64 S65 S66 »¼ «¬σ 6 »¼ Simmetria della matrice di rigidezza 1 1 W = σ iε i W = Cij ε j ε i 2 2 ∂ 2W ∂ 2W = ∂ε i ∂ε j ∂ε j ∂ε i ªC11 «C « 12 «C13 « «C14 «C15 « «¬C16 ∂ 2W = Cij ∂ε i ∂ε j 24 ∂ 2W = C ji ∂ε j ∂ε i Cij = C ji C12 C13 C14 C15 C16 º C22 C23 C24 C25 C26 »» 36 - 15 = 21 moduli di rigidezza Cij C23 C33 C34 C35 C36 » » C24 C34 C44 C45 C46 » C25 C35 C45 C55 C56 » …e anche 21 moduli di » C26 C36 C46 C56 C66 »¼ cedevolezza Sij Simmetrie materiali 25 x’2 x3 Il materiale presenta un simmetria ∠ x1′ x3 x’3 x’1 ∠ x1′ x2 x2 ∠ x1′ x1 rispettivamente ai sistemi xi e x’i se: σ ij = Cijkl ε kl ⇔ σ i = Cij ε j σ ij′ = Cijkl ε kl′ ⇔ σ i′ = Cij ε ′j x1 Se non: σ i = Cij ε j σ i′ = Ciij′ ε ′ Piano di simmetria materiale (1) 26 x3 σ’33 σ33 σ32 σ31 σ22 σ13 σ11 x1 σ’32 σ23 σ’23 σ’31 x2 σ’13 σ21 σ12 σ’11 Piano di simmetria x1-x2 σ’21 σ’12 Piano di simmetria x1-x2 x1′ x3′ ª1 0 0 º R = ««0 1 0 »» «¬0 0 − 1»¼ σ’22 x2′ Piano di simmetria materiale (2) 27 x3 piano di simmetria x2 x1 ª1 0 0 º R = ««0 1 0 »» «¬0 0 − 1»¼ x’2 x’1 x’3 Piano di simmetria materiale x3 (3) 28 piano di simmetria x2 x1 x’3 x’1 x’2 Un piano di simmetria materiale (1) 29 x3 x2 ª1 0 0 º R = ««0 1 0 »» «¬0 0 − 1»¼ x’2 x1 x’1 x’3 ′ σ12 ′ σ13 ′ º ª1 0 0 º ªσ11 σ12 σ13 º ª1 0 0 º ′ σ12 ′ σ13 ′ º ª σ11 σ12 − σ13 º ªσ11 ªσ11 «σ ′ σ ′ σ ′ » = «0 1 0 » «σ σ σ » «0 1 0 » «σ ′ σ ′ σ ′ » = « σ » 22 23 » « » « 12 » « 12 22 23 » « « 12 22 23 » « 12 σ 22 −σ 23 » ′ σ 23 ′ σ 33 ′ »¼ «¬0 0 −1»¼ «¬σ13 σ 23 σ 33 »¼ «¬0 0 −1»¼ ′ σ 23 ′ σ 33 ′ »¼ «¬− σ13 − σ 23 σ 33 »¼ «¬σ13 «¬σ13 ªσ 1 º ªσ 11 º « » « » « σ 2 » «σ 22 » « σ » «σ 33 » « 3»=« » « σ 4 » «σ 23 » « σ » «σ » « 5 » « 31 » ¬« σ 6 ¼» «¬σ 12 »¼ ªσ 1′ º ª σ 11 º ªσ 1′ º ª σ 1 º « » « » » « » « « σ 2′ » « σ 22 » « σ 2′ » « σ 2 » « σ ′ » « σ 33 » « σ ′ » « σ » 3 3 « 3»=« » »« »=« « σ 4′ » «− σ 23 » « σ 4′ » «− σ 4 » « σ ′ » « − σ » « σ ′ » «− σ » « 5 » « 31 » « 5 » « 5 » «¬ σ 6′ »¼ «¬ σ 12 »¼ «¬ σ 6′ »¼ «¬ σ 6 »¼ Lo stesso vale anche per le deformazioni Un piano di simmetria materiale (2) ªσ 1′ º ª σ 1 º » « » « « σ 2′ » « σ 2 » «σ ′ » « σ » « 3»=« 3 » « σ 4′ » «− σ 4 » « σ ′ » «− σ » « 5 » « 5» ¬« σ 6′ ¼» ¬« σ 6 ¼» ªε 1′ º ª ε 1 º «ε ′ » « ε » « 2» « 2 » «ε 3′ » « ε 3 » « »=« » «ε 4′ » «− ε 4 » «ε 5′ » « − ε 5 » « » « » «¬ε 6′ »¼ «¬ ε 6 »¼ 30 σ i = Cij ε j σ i = Ci1ε 1 + Ci 2ε 2 + Ci 3ε 3 + Ci 4ε 4 + Ci 5ε 5 + Ci 6ε 6 σ i′ = Cij ε ′j σ i′ = Ci1ε 1′ + Ci 2ε 2′ + Ci 3ε 3′ + Ci 4ε 4′ + Ci 5ε 5′ + Ci 6ε 6′ σ 1 = C11ε1 + C12ε 2 + C13ε 3 + C14ε 4 + C15ε 5 + C16ε 6 = = i=1 σ 1′ = C11ε 1′ + C12ε 2′ + C13ε 3′ + C14ε 4′ + C15ε 5′ + C16ε 6′ σ 1′ = C11ε 1 + C12ε 2 + C13ε 3 − C14ε 4 − C15ε 5 + C16ε 6 C14 = −C14 C14 = 0 ¯C15 = −C15 C15 = 0 σ 1 = σ 1′ ® Nello stesso modo: C24 = C25 = C34 = C35 = C46 = C56 = 0 Tre piani di simmetria materiale 31 Piano di simmetria x1 -x2 : C14 = C15 = C24 = C25 = C34 = C35 = C46 = C56 = 0 Piano di simmetria x2 -x3 : C16 = C26 = C36 = C45 = 0 Piano di simmetria x1 -x3 : non aggiunge altri condizioni su Cij Materiale ortotropo, 3 piani di simmetria: 0 0º ªC11 C12 C13 0 «C C C » 0 0 0 21 22 23 « » «C13 C23 C33 0 0 0» « » 0 0 0 C 0 0 44 « » «0 0 0 0 C55 0 » « » 0 0 0 0 C66 »¼ «¬ 0 Materiale trasversalmente isotropo x’3 x3 x’2 θ 9 moduli di rigidezza 32 Materiale trasversalmente isotropo, asse di simmetria rotazionale x1: θ x2 x1 x’1 0 0 0º ªC11 C12 C12 » «C C C 0 0 0 21 22 23 » « «C12 C23 C22 0 0 0» » « C22 − C23 0 0 0 0» «0 2 » « 0 0 0 0 0 C 66 » « «0 0 0 0 0 C66 »¼ ¬ 5 moduli di rigidezza Materiale isotropo 33 Materiale isotropo, tre assi di simmetria 0 ªC11 C12 C12 «C 0 « 21 C11 C12 «C12 C12 C11 0 « C11 − C12 0 0 « 0 2 « « 0 0 0 0 « « 0 0 0 « 0 ¬ 0 0 0 0 C11 − C12 2 0 º » 0 » » 0 » 0 » 2 moduli di rigidezza » » 0 » C11 − C12 » » 2 ¼ 0 Materiale ortotropo - Cedevolezza 34 ε i = Sijσ j [ε ] = [S ][σ ] ªσ1 º « » «σ 2 » «σ » « 3» «σ 4 » «σ » « 5» «¬σ 6 »¼ ªε1 º « » «ε2 » «ε » « 3» = «ε4 » «ε » « 5» «¬ε6 »¼ Simmetria Materiale ortotropo - Rigidezza 35 σ i = Cij ε j [σ ] = [C ][ε ] ªε1 º « » «ε2 » «ε3 » « » «ε4 » «ε » « 5» «¬ ε 6 »¼ ªσ 1 º « » «σ 2 » «σ 3 » « »= «σ 4 » «σ » « 5» «¬ σ 6 »¼ Materiale isotropo - Cedevolezza ªε1 º ª« E1 «ε » ««− ν « 2» « E «ε3» ««− ν « »= « E «ε4» «« 0 «ε5 » « 0 « » «« ¬«ε6 ¼» «¬ 0 − ν E 1 E − − ν E ν 36 0 0 0 0 0 0 0 E E 1 E 0 0 2(1 +ν ) E 0 0 0 2(1 +ν ) E 0 0 0 0 − ν º » » 0 » » 0 » » » 0 » » 0 » » 2(1 + ν ) » » E ¼ 0 ªσ1 º « » «σ2 » «σ » « 3» «σ4 » «σ » « 5» «¬σ6 »¼ Materiale isotropo - Rigidezza (1) ªσ1 º « » «σ2 » «σ3 » « » = «σ4 » «σ » « 5» «¬σ6 »¼ ª (1 − ν ) E « (1 + ν )(1 − 2ν ) « νE « « (1 + ν )(1 − 2ν ) « νE « « (1 + ν )(1 − 2ν ) « 0 « « « 0 « « 0 « ¬ λ = 37 νE νE (1 + ν )(1 − 2ν ) (1 − ν ) E (1 + ν )(1 − 2ν ) νE (1 + ν )(1 − 2ν ) (1 + ν )(1 − 2ν ) νE (1 + ν )(1 − 2ν ) (1 − ν ) E (1 + ν )(1 − 2ν ) 0 0 0 0 0 0 0 0 E 2(1 + ν ) 0 0 0 0 E 2(1 + ν ) 0 0 0 0 νE (1 + ν )(1 − 2ν ) λ + 2μ = μ= E 2(1 + ν ) (1 − ν ) E (1 + ν )(1 − 2ν ) Materiale isotropo - Rigidezza (2) [σ ] = [C ][ε ] 38 ª σ 1 º ªλ + 2 μ «σ » « λ « 2» « «σ 3 » « λ « »=« «σ 4 » « 0 «σ 5 » « 0 « » « «¬σ 6 »¼ ¬« 0 λ λ λ 0 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 λ + 2μ λ λ + 2μ º » » 0 » » » 0 » » » 0 » » 0 » » E » » 2(1 + ν ) ¼ 0 0 º ªε1 º 0 »» ««ε 2 »» 0 » «ε 3 » »« » 0 » «ε 4 » 0 » «ε 5 » »« » μ ¼» «¬ε 6 »¼ ªε1º «ε » « 2» «ε3» « » «ε4» «ε5» « » «¬ε6»¼ Materiale isotropo - Rigidezza (3) ª σ 1 º ªλ + 2 μ «σ » « λ « 2» « «σ 3 » « λ « »=« «σ 4 » « 0 «σ 5 » « 0 « » « «¬σ 6 »¼ «¬ 0 ªσ 1 º ªσ 11 º « » « » « σ 2 » «σ 22 » « σ » «σ 33 » « 3»=« » « σ 4 » «σ 23 » « σ » «σ » « 5 » « 31 » «¬ σ 6 »¼ «¬σ 12 »¼ λ 39 λ λ 0 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 λ + 2μ λ λ + 2μ ªσ 11 º ªλ + 2μ «σ » « λ « 22 » « «σ 33 » « λ « »=« «σ 23 » « 0 «σ 31 » « 0 « » « «¬σ 12 »¼ «¬ 0 ª ε 1 º ª ε 11 º «ε » « ε » « 2 » « 22 » «ε 3 » « ε 33 » « »=« » «ε 4 » «2ε 23 » «ε 5 » « 2ε 31 » « » « » «¬ε 6 »¼ «¬ 2ε 12 »¼ 0 º ªε1 º 0 »» ««ε 2 »» 0 » «ε 3 » »« » 0 » «ε 4 » 0 » «ε 5 » »« » μ »¼ «¬ε 6 »¼ λ λ + 2μ λ λ + 2μ λ 0 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 0 μ λ + 2μ λ λ + 2μ 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 º ª ε 11 º 0 »» «« ε 22 »» 0 » « ε 33 » » »« 0 » «2ε 23 » 0 » « 2ε 31 » » »« μ »¼ «¬ 2ε 12 »¼ σ 33 = 2 με 33 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) σ 12 = 2μ ε 12 0 μ σ 22 = 2 με 22 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) σ 32 = 2 μ ε 31 0 0 σ 11 = (λ + 2 μ )ε 11 + λε 22 + λε 33 σ 11 = 2μ ε 11 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) σ 23 = μ (2ε 23 ) σ 23 = 2μ ε 23 0 0 40 λ λ 0 0 0 Materiale isotropo - Rigidezza (4) ªσ 11 º ªλ + 2 μ «σ » « λ « 22 » « «σ 33 » « λ « »=« «σ 23 » « 0 «σ 31 » « 0 « » « «¬σ 12 »¼ «¬ 0 λ λ 0 º ª ε 11 º 0 »» «« ε 22 »» 0 » « ε 33 » » »« 0 » «2ε 23 » 0 » « 2ε 31 » » »« μ »¼ «¬ 2ε 12 »¼ Materiale isotropo - Rigidezza (5) σ 11 = 2με 11 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) 41 Notazione indiziale σ 22 = 2 με 22 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) σ 33 = 2 με 33 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) σ ij = 2με ij + λε kk δ ij σ 23 = 2μ ε 23 σ 32 = 2μ ε 31 σ 12 = 2μ ε 12 ε kk = ε 11 + ε 22 + ε 33 i = 1, j = 1 =1 σ 11 = 2με 11 + λε kk δ11 σ 11 = 2με11 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) delta di Kronecker 1 ¯0 δ ij = ® i= j i≠ j se se i = 2, j =3 =0 σ 23 = 2 με 23 + λε kk δ 23 σ 23 = 2μ ε 23 Materiale isotropo - Rigidezza (6) 42 σ ij = 2με ij + λε kk δ ij μ= E 2(1 + ν ) σ ij = λ = νE (1 + ν )(1 − 2ν ) vE E ε ij + ε kk δ ij (1 + ν ) (1 + ν )(1 − 2ν ) Materiale isotropo - Cedevolezza ª ε11 º «ε » « 22 » « ε33 » « »= «2ε23» «2ε31» « » «¬2ε12»¼ ª 1 « E « ν «− « E «− ν « E « « 0 « « 0 « « « 0 ¬ − ν E 1 E − − ν E ν 43 0 0 0 0 0 0 0 E E 1 E 0 0 2(1 + ν ) E 0 0 0 2(1 +ν ) E 0 0 0 0 − ν º » » 0 » » 0 » » » 0 » » 0 » » 2(1 +ν ) » » E ¼ 0 ªσ11 º « » «σ22 » «σ » « 33 » «σ23 » «σ » « 31 » «¬σ12 »¼ Notazione indiziale ε ij = 1 +ν ν σ ij − σ kk δ ij E E Deviatore σ ii ª «σ 11 − 3 « [s] = « σ 21 « « « σ 31 ¬ 44 σ 12 σ 22 − σ ii σ 32 º ª 2σ 11 − σ 22 − σ 33 » « 3 » « σ 21 σ 23 » = « » « σ » « σ 31 σ 33 − ii » « 3 ¼ ¬ 3 Notazione indiziale i = 1, j = 1 σ 12 σ 13 2σ 22 − σ 11 − σ 33 3 σ 32 º » » » σ 23 » 2σ 33 − σ 11 − σ 22 » » 3 ¼ σ 13 1 sij = σ ij − σ kk δ ij 3 2σ − σ 22 − σ 33 1 1 =1 s11 = σ 11 − σ kk δ11 s11 = σ 11 − (σ 11 + σ 22 + σ 33 )δ 11 s11 = 11 3 3 3 i = 2, j =3 0 1 s12 = σ 12 − σ kk δ 12= s12 = σ 12 3 Bulk modulus 45 delta di Kronecker 1 ¯0 indice ripetuto i= j i≠ j se se δ ij = ® δ pp = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 1 + 1 + 1 = 3 notazione indiziale σ ij = vE vE E E ε ij + ε kk δ ij σ pp = ε pp + ε kk δ pp (1 + ν ) (1 + ν )(1 − 2ν ) (1 + ν ) (1 + ν )(1 − 2ν ) ε kk = ε pp , δ pp = 3 σ pp = ª E º vE vE E + ε pp + ε pp 3 σ pp = ε pp « » (1 + ν ) (1 + ν )(1 − 2ν ) ( 1 + ) ( 1 + )( 1 − 2 ) ν ν ν ¬ ¼ σ pp = ε pp E 1 − 2ν σ pp ε pp = E 1 − 2ν K= E 1 − 2ν Materiale isotropo - Legge di Hook σ ij = 2 με ij + λε kk δ ij ε ij = 1 +ν ν σ ij − σ kk δ ij E E σ kk = Kε kk , σ ij = 2 με ij , i ≠ j 46 μ= E 2(1 + ν ) E= μ (3λ + 2 μ ) λ+μ λ = νE (1 + ν )(1 − 2ν ) ν = E K= 1 − 2ν E μ= 2(1 + ν ) λ 2(λ + μ ) Bulk modulus Riferimenti bibliografici 47 1. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M. e Foletti S., “Comportamento meccanico dei materiali”, McGraw-Hill, 2005 2. Mase G. T., Mase G. E., “Continuum Mechanics for Engineers”, CRC Press, 1999 3. Lai W., Rubin D., Krempl E. “Introduction to Continuum Mechanics 3rd ed.”, Butterworth-Heinemann,1993 4. Malvern L., “Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium” Prentice-Hall, 1969 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno Accademico 2010/2011 MATERIALI COMPOSITI Parte 1 Ioannis Papadopoulos 2 Definizione di “composito” Definizione “macroscopica” “miscela di due o più materiali con composizione distinta e forma distinta, ciascuno dei quali sia presente in quantità > 5% volume” Definizione dell’ASM (American Society of Metals) “a combination of two or more materials differing in form or in composition on a macroscale. The constituent retain their Identities… and can be physically identified” Scopo dei compositi 3 Sfruttare l’azione combinata dei materiali che costituiscono il composito per ottenere un materiale con (alcuni) proprietà migliori rispettivamente ai proprietà dei singoli materiali In genere si usano due materiali (fasi): • Fase matrice (matrice) • Fase dispersa (rinforzamento) Le proprietà del composito dipendono: • • • • Dalle proprietà delle fasi Delle quantità relative Della geometria della fase dispersa Della distribuzione spaziale della fase dispersa Il comportamento base di un composito sta nella sua capacità di trasferimento dei sforzi dalla matrice alla fase dispersa (rinforzo) Isotropia-Anisotropia, Omogeneità-Eterogeneità 4 DEFINIZIONI Isotropia Le proprietà sono indipendenti dagli assi di riferimento, ossia sono uguali in tutte le direzioni Anisotropia Le proprietà in un punto variano in relazione agli assi di riferimento, ossia nelle varie direzioni, esempi materiale ortotropo, trasversalmente isotropo etc. Omogeneità Le proprietà sono le stesse in tutti i punti, ossia non variano da punto a punto Eterogeneità Le proprietà variano da punto a punto, ossia dipendono dalla posizione Classificazione dei compositi 5 Compositi Rinforzati con particelle •eterogeneo •isotropo •eterogeneo •isotropo Fibro-rinforzati • eterogeneo • Anisotropo (ortotropo) Tipi di compositi Tipi di matrice Resine polimeriche Metallica Ceramica Vetro- carbonio Tipi di rinforzamento Particelle • Nerofumo • Particelle di carbonio Fibre • • • • Whisker Vetro Carbonio Aramide (Kevlar) Fili • Acciaio • tungsteno •eterogeneo •Anisotropo (fibre corte orientate preferenzialmente) •Isotropo (fibre corte orientate casualmente) Strutturali •eterogeneo •Anisotropo •Quasi-isotropo 6 • eterogeneo • Anisotropo (ortotropo) Comportamento elastico effettivo - Definizioni (1) 7 ¾ Volume rappresentativo σ ij( II ) , ε ij( II ) σ ij , ε ij σ ij , ε ij V σ ij( I ) , ε ij( I ) Particulate reinforced Comportamento elastico effettivo - Definizioni (2) 8 ¾ Volume rappresentativo σ ij( II ) , ε ij( II ) σ ij , ε ij σ ij , ε ij Fiber reinforced σ ij( I ) , ε ij( I ) V Comportamento elastico effettivo - Definizioni (3) 9 ¾ Sforzi e deformazioni σ ij( II ) , ε ij( II ) σ ij , ε ij σ ij , ε ij ª (I ) º ( II ) « ³ σ ij dV + ³ σ ij dV » «¬VI »¼ VII 1 ε ij = V ª (I ) º ( II ) « ³ ε ij dV + ³ ε ij dV » «¬VI »¼ VII V σ ij( I ) , ε ij( I ) σ ij( II ) , ε ij( II ) σ ij , ε ij σ ij , ε ij 1 σ ij = V VI volume matrice, VII volume rinforzo σ ij( I ) , ε ij( I ) VI+VII=V V Comportamento elastico effettivo - Definizioni (4) 10 Rigidezza Matrice: σ i( I ) = Cij( I ) ε (j I ) Rinforzo: σ i( II ) = Cij( II ) ε (j II ) Composito: σ i = Cij ε j Moduli di rigidezza effettivi Il composito con i moduli di elasticità effettivi è un materiale omogeneo. Comportamento elastico effettivo - Definizioni (5) 11 Cedevolezza Matrice: ε i( I ) = Sij( I ) σ (j I ) Rinforzo: ε i( II ) = Sij( II ) σ (j II ) Composito: ε i = Sij σ j Moduli di cedevolezza effettivi Il composito con i moduli di elasticità effettivi è un materiale omogeneo. Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (1) 12 Matrice isotropa - Rigidezza: ªσ 1( I ) º ªλ ( I ) + 2 μ ( I ) « (I ) » « λ(I ) «σ 2 » « «σ ( I ) » « λ ( I ) « 3(I ) » = « 0 «σ 4 » « ( ) I «σ » « 0 « 5( I ) » « «¬σ 6 »¼ «¬ 0 λ (I ) = (I ) (I ) 0 0 0 0 0 0 0 º » 0 » 0 » » 0 » 0 » » 2 μ ( I ) »¼ (I ) (I ) λ (I ) λ(I ) λ ( I ) + 2μ ( I ) λ (I ) λ(I ) λ ( I ) + 2μ ( I ) 0 0 2μ ( I ) 0 0 0 0 0 0 0 2μ ( I ) 0 ν (I ) E (I ) (1 + ν [σ ] = [C ][ε ] )(1 − 2ν (I ) ) μ (I ) E (I ) = 2(1 +ν ( I ) ) ªε1( I ) º « (I ) » «ε 2 » «ε ( I ) » « 3( I ) » «ε 4 » «ε ( I ) » « 5( I ) » «¬ε 6 »¼ Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (2) 13 [ε ] = [S ][σ ] (I ) Matrice isotropa - Cedevolezza: ªε1(I) º « (I) » «ε2 » «ε (I) » « 3(I) » = «ε4 » «ε (I) » « 5(I) » «¬ε6 »¼ ν ª 1 « (I ) « E (I ) «− ν « E (I ) « ν (I ) «− ( I ) « E « 0 « « « 0 « « «¬ 0 (I ) = − ν (I ) (I ) E 1 E (I ) − ν (I ) E (I ) − − ν (I ) E (I ) ν (I ) E (I ) 1 E (I ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2(1 +ν ( I ) ) E (I ) 0 0 0 2(1 +ν ( I ) ) E (I ) 0 0 0 0 E 2( λ ( I ) + μ ( I ) ) (I ) = º » » » 0 » » 0 » » » 0 » » 0 » » (I ) 2(1 + ν ) » E ( I ) »¼ 0 0 λ(I ) (I ) (I ) ªσ1(I ) º « (I ) » «σ2 » «σ (I ) » « 3(I ) » «σ4 » «σ (I ) » « 5(I ) » «¬σ6 »¼ μ ( I ) (3λ ( I ) + 2 μ ( I ) ) λ (I ) + μ (I ) Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (3) 14 [σ ] = [C ][ε ] ( II ) Rinforzo isotropo e.g. particelle - Rigidezza : ªσ 1( II ) º ªλ ( II ) + 2 μ ( II ) « ( II ) » « λ ( II ) «σ 2 » « «σ ( II ) » « λ ( II ) 3 « ( II ) » = « 0 «σ 4 » « ( ) II «σ » « 0 « 5 ( II ) » « «¬σ 6 »¼ «¬ 0 λ ( II ) = λ ( II ) λ ( II ) λ ( II ) + 2 μ ( II ) λ ( II ) λ ( II ) λ ( II ) + 2 μ ( II ) (1 +ν 0 0 0 0 0 0 0 0 2μ ( II ) 0 0 0 0 0 0 0 2 μ ( II ) 0 ν ( II ) E ( II ) ( II ) ( II ) )(1 − 2ν ( II ) ) μ ( II ) E ( II ) = 2(1 + ν ( II ) ) ( II ) 0 º ªε1( II ) º »« » 0 » «ε 2 ( II ) » 0 » «ε 3( II ) » » « ( II ) » 0 » «ε 4 » ( II ) 0 » «ε 5 » » « ( II ) » 2 μ ( II ) »¼ «¬ε 6 »¼ Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (4) 15 Rinforzo isotropo e.g. particelle - Cedevolezza : ª ε 1( II ) º « ( II ) » «ε 2 » «ε 3 ( II ) » « ( II ) » = «ε 4 » «ε ( II ) » « 5 ( II ) » «¬ε 6 »¼ ª 1 « ( II ) « E ( II ) «− ν « E ( II ) « ν ( II ) «− ( II ) « E « 0 « « « 0 « « «¬ 0 ν ( II ) = − ν ( II ) ( II ) E 1 E ( II ) − ν ( II ) E ( II ) − − ν ( II ) E ( II ) ν ( II ) E ( II ) 1 E ( II ) 0 0 0 0 0 0 0 [ε ] = [S ][σ ] ( II ) 0 2(1 +ν ( II ) ) E ( II ) 0 0 0 2(1 +ν ( II ) ) E ( II ) 0 0 0 0 E ( II ) = º » » » 0 » » 0 » » » 0 » » 0 » » ( II ) 2(1 +ν ) » E ( II ) ¼» 0 0 λ ( II ) 2(λ ( II ) + μ ( II ) ) ( II ) ªσ 1( II ) º « ( II ) » «σ 2 » «σ ( II ) » « 3 ( II ) » «σ 4 » «σ ( II ) » « 5 ( II ) » «¬σ 6 »¼ μ ( II ) (3λ ( II ) + 2 μ ( II ) ) λ ( II ) + μ ( II ) Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (5) 16 Composito isotropo - Rigidezza: ªσ 1 º « » «σ 2 » «σ 3 » « »= «σ 4 » «σ » « 5» ¬« σ 6 ¼» ªλ + 2 μ « λ « « λ « « 0 « 0 « «¬ 0 λ λ λ [σ ] = [C ][ε ] λ + 2μ λ λ + 2μ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2μ 0 0 2μ 0 0 0 0 º ªε1 º » «ε » » « 2» 0 » «ε 3 » »« » 0 » «ε 4 » 0 » «ε 5 » »« » 2 μ »¼ ¬«ε 6 ¼» 0 0 Matrice di rigidezza effettiva λ= νE (1 +ν )(1 − 2ν ) μ= E 2(1 + ν ) ( II ) Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (6) 17 Composito isotropo - Cedevolezza: ªε1 º ª« E1 «ε » ««− ν « 2» « E «ε3» ««− ν « »= « E «ε4» «« 0 «ε5 » « 0 « » «« «¬ε6 »¼ «¬ 0 − ν E 1 E − − ν E ν 0 0 0 0 0 0 0 [ε ] = [S ][σ ] E E 1 E 0 0 2(1 +ν ) E 0 0 0 2(1 +ν ) E 0 0 0 0 − ν º » » 0 » » 0 » » » 0 » » 0 » » 2(1 + ν ) » » E ¼ ªσ1 º « » «σ2 » «σ » « 3» «σ4 » «σ » « 5» «¬σ6 »¼ 0 Matrice di cedevolezza effettiva ν= λ 2( λ + μ ) μ (3λ + 2μ ) λ +μ E = Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (7) 18 •Moduli di rigidezza effettivi secondo l’ipotesi di Voight [ε ( I ) ] = [ε ( II ) ] = [ε ] Ipotesi di Voight: 1 σ ij = V º ª (I ) 1 ( II ) « ³ σ ij dV + ³ σ ij dV » ⇔ [σ ] = V »¼ «¬VI VII º ª (I ) ( II ) dV » « ³ σ dV + ³ σ »¼ «¬VI VII ª º [ ] [σ ] = 1 « ³ [C ( I ) ][ε ( I ) ]dV + ³ [C ( II ) ][ε ( II ) ] dV » V «¬VI »¼ VII ª º [σ ] = 1 «[C ( I ) ][ε ] ³ dV + [C ( II ) ][ε ] ³ dV » V «¬ VI VII »¼ [ ] Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (8) 19 •Moduli di rigidezza effettivi secondo l’ipotesi di Voight ª º [σ ] = 1 «[C ( I ) ][ε ] ³ dV + [C ( II ) ][ε ] ³ dV » V «¬ VI VII »¼ [σ ] = VI [C ( I ) ][ε ] + VII [C ( II ) ][ε ] V V [σ ] = ª«VI [C ( I ) ] + VII [C ( II ) ]º» [ε ] ¬V ¼ V [C ] = [σ ] = [C ][ε ] VI ( I ) VII ( II ) [C ] + [C ] V V Matrice di rigidezza effettiva fI = VI V f II = VII V [C ] = f I [C ( I ) ] + f II [C ( II ) ] Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (9) 20 •Moduli di rigidezza effettivi secondo l’ipotesi di Voight Secondo l’ipotesi di Voight, [ε ( I ) ] = [ε ( II ) ] = [ε ] la rigidezza del composito si ottiene dalla regola delle miscele: [C ] = f I [C ( I ) ] + f II [C ( II ) ] La rigidezza effettiva del composito cosi calcolata conduce a un limite superiore per quello che riguarda l’energia elastica immagazzinata, i.e.: 1 1 (I ) 1 ( II ) (I ) (I ) ( II ) ( II ) [ ε ][ C ][ ε ] dV > [ ε ][ C ][ ε ] dV + ³2 ³2 ³ 2 [ε ][C ][ε ]dV V V V I II Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (10) 21 •Moduli di rigidezza effettivi secondo l’ipotesi di Voight ªλ + 2 μ « λ « « λ « « 0 « 0 « «¬ 0 λ λ λ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2μ 0 0 0 2μ 0 λ + 2μ λ λ + 2μ 0 0 0 (λ + 2 μ ) = º » » » »= 0» 0» » 2 μ »¼ 0 0 0 ªλ ( I ) + 2 μ ( I ) « λ(I ) « VI « λ ( I ) « V « 0 « 0 « 0 ¬« λ (I ) λ(I ) λ ( I ) + 2μ ( I ) λ (I ) (I ) (I ) λ λ + 2μ ( I ) ªλ ( II ) + 2 μ ( II ) « λ ( II ) « VII « λ ( II ) « V « 0 « 0 « 0 ¬« λ ( II ) λ ( II ) λ ( II ) + 2μ ( II ) λ ( II ) ( II ) ( II ) λ λ + 2μ ( II ) VI ( I ) V (λ + 2 μ ( I ) ) + II (λ ( II ) + 2μ ( II ) ) V V 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2μ ( I ) 0 2μ ( I ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2μ 0 0 0 0 ( II ) 0 2 μ ( II ) 0 0 º » 0 » 0 » » 0 » 0 » » 2 μ ( I ) ¼» + 0 º » 0 » 0 » » 0 » 0 » » 2μ ( II ) ¼» μ = f I μ ( I ) + f II μ ( II ) V V λ = I λ ( I ) + II λ ( II ) V V λ = f I λ ( I ) + f II λ ( II ) Rigidezza di un composito composto da due fasi isotrope (11) 22 • Moduli di rigidezza effettivi secondo l’ipotesi di Voight in funzione del modulo di Young e del coefficiente di Poisson μ = f I μ ( I ) + f II μ ( II ) μ (I ) E (I ) = 2(1 + ν ( I ) ) λ (I ) E ( I )ν ( I ) = (1 + ν ( I ) )(1 − 2ν ( I ) ) fI ν= E = λ 2( λ + μ ) μ (3λ + 2μ ) λ +μ ν Voight = μ ( II ) = E ( II ) 2(1 + ν ( II ) ) ν (I ) E (I ) (1 +ν ( I ) )(1 − 2ν ( I ) ) fI EVoight = f I λ = f I λ ( I ) + f II λ ( II ) + f II λ( II ) = E ( II )ν ( II ) (1 + ν ( II ) )(1 − 2ν ( II ) ) ν ( II ) E ( II ) (1 + ν ( II ) )(1 − 2ν ( II ) ) E (I ) E ( II ) f + II (1 + ν ( I ) )(1 − 2ν ( I ) ) (1 + ν ( II ) )(1 − 2ν ( II ) ) 1 +ν 1 +ν (I ) + E f E ( II ) II (I ) ( II ) 1 +ν 1 +ν Cedevolezza di un composito composto da due fasi isotrope 23 (1) • Moduli di cedevolezza effettivi secondo l’ipotesi di Reuss [σ ( I ) ] = [σ ( II ) ] = [σ ] Ipotesi di Reuss: 1 ε ij = V º ª (I ) 1 ( II ) « ³ ε ij dV + ³ ε ij dV » ⇔ [ε ] = V »¼ «¬VI VII ª º ª (I ) ( II ) dV » « ³ ε dV + ³ ε »¼ «¬VI VII [ ] º ª »¼ V «¬ [ ] º [ε ] = 1 « ³ [S ( I ) ][σ ( I ) ]dV + ³ [ S ( II ) ][σ ( II ) ] dV » [ε ] = 1 «[S ( I ) ][σ ] ³ dV + [ S ( II ) ][σ ] ³ dV » V «¬VI VII VI Cedevolezza di un composito composto da due fasi isotrope (2) VII »¼ 24 • Moduli di cedevolezza effettivi secondo l’ipotesi di Reuss [ε ] = 1 V º ª (I ) ( II ) «[ S ][σ ] ³ dV + [ S ][σ ] ³ dV » »¼ «¬ VI VII [ε ] = VI [ S ( I ) ][σ ] + VII [ S ( II ) ][σ ] V V [ε ] = ª«VI [S ( I ) ] + VII [ S ( II ) ]º» [σ ] ¬V V [ε ] = [S ][σ ] ¼ [S ] = VI ( I ) VII ( II ) [S ] + [S ] V V Matrice di cedevolezza effettiva fI = VI V f II = VII V [ S ] = f I [ S ( I ) ] + f II [ S ( II ) ] Cedevolezza di un composito composto da due fasi isotrope (3) 25 • Moduli di cedevolezza effettivi secondo l’ipotesi di Reuss Secondo l’ipotesi di Reuss, [σ ( I ) ] = [σ ( II ) ] = [σ ] la cedevolezza del composito si ottiene dalla regola delle miscele: [ S ] = f I [ S ( I ) ] + f II [ S ( II ) ] La cedevolezza effettiva del composito cosi calcolata conduce a un limite inferiore per quello che riguarda l’energia elastica immagazzinata, i.e.: 1 1 (I ) (I ) 1 ( II ) ( II ) (I ) ( II ) [ σ ][ S ][ σ ] dV < [ σ ][ S ][ σ ] dV + ³2 ³2 ³ 2 [σ ][S ][σ ] dV V V V I II Cedevolezza di un composito composto da due fasi isotrope (4) 26 • Moduli di cedevolezza effettivi secondo l’ipotesi di Reuss ª 1 « E « ν «− « E «− ν « E « « 0 « « 0 « « « 0 ¬ − ν E 1 E − ν E − − ν E ν E 1 E 0 0 0 0 0 0 0 0 2(1 +ν ) E 0 0 0 2(1 +ν ) E 0 0 0 0 0 º » » 0 » » 0 » » »= 0 » » 0 » » 2(1 +ν ) » » E ¼ 0 ª 1 « (I ) « E (I ) «− ν « E (I ) « ν (I ) VI «− E ( I ) « V «« 0 « « 0 « « «¬ 0 ª 1 « ( II ) « E ( II ) «− ν « E ( II ) « ν ( II ) VII «− E ( II ) « V «« 0 « « 0 « « «¬ 0 ν (I ) − (I ) E 1 E (I ) ν − (I ) E (I ) − − ν (I ) E (I ) ν (I ) E (I ) 1 E (I ) 0 0 0 0 0 0 0 2(1 + ν ) E (I ) 0 0 0 2(1 +ν ( I ) ) E (I ) 0 0 0 0 ν ( II ) ( II ) ν ( II ) E ( II ) − − ν ( II ) E ( II ) ν ( II ) E ( II ) 1 E ( II ) (I ) 0 0 0 0 0 0 º » » » 0 » » 0 » » » 0 » » 0 » » (I ) 2(1 + ν ) » E ( I ) ¼» 0 0 E 1 E ( II ) − − 0 0 0 2(1 +ν ) E ( II ) 0 0 0 2(1 + ν ( II ) ) E ( II ) 0 0 0 0 ( II ) 0 + º » » » 0 » » 0 » » » 0 » » 0 » » ( II ) 2(1 +ν ) » E ( II ) »¼ 0 Cedevolezza di un composito composto da due fasi isotrope (5) 27 • Moduli di cedevolezza effettivi secondo l’ipotesi di Reuss 1 VI 1 VII 1 = + E V E ( I ) V E ( II ) 1 EReuss = fI ν E VI ν VII ν + V E ( I ) V E ( II ) (I ) = ( II ) ν Reuss = 1 1 + f II ( II ) (I ) E E ν (I ) ν ( II ) + f II ( II ) E (I ) E 1 1 f I ( I ) + f II ( II ) E E fI Composito composto da due fasi isotrope-Esempio (1) 28 Matrice: EI , ν (I ) = ν Rinforzo: E II , ν ( II ) = ν fI=fII=1/2 ν secondo Voight ν (I ) E (I ) ν Voight = ν ( II ) E ( II ) fI + f II (1 +ν ( I ) )(1 − 2ν ( I ) ) (1 +ν ( II ) )(1 − 2ν ( II ) ) E (I ) E ( II ) f + f II (1 + ν ( I ) )(1 − 2ν ( I ) ) (1 +ν ( II ) )(1 − 2ν ( II ) ) ν Voight = ν I E secondo Voight EVoight 1 +ν 1 +ν E ( I ) + E ( II ) (I ) ( II ) = fI E + f II E EVoight = 1 +ν ( I ) 1 +ν ( II ) 2 Composito composto da due fasi isotrope-Esempio (2) 29 Matrice: fI=fII=1/2 ν secondo Reuss ν Reuss = Rinforzo: E II , ν ( II ) = ν EI , ν (I ) = ν fI ν (I ) + f II ν ( II ) E (I ) E ( II ) 1 1 f I ( I ) + f II ( II ) E E ν Reuss = ν E secondo Reuss 1 EReuss = fI 1 1 + f II ( II ) (I ) E E EReuss = 2 1 1 + E ( I ) E ( II ) Composito composto da due fasi isotrope-Esempio (3) 30 Matrice: E I , ν ( I ) = ν ν Reuss = ν Rinforzo: E II , ν ( II ) = ν = Media armonica EReuss = 2 1 1 + E ( I ) E ( II ) limite inferiore < ν Voight = ν Media aritmetica EVoight E ( I ) + E ( II ) = 2 limite superiore fI=fII=1/2 Composito composto da due fasi isotrope-Esempio (4) 31 Matrice resina poliestere, E=5000 MPa, ν =0.2 Rinforzo fibre corti di vetro disperse “random”, E=70000 MPa, ν =0.2 70000 fr + fm = 1 65000 60000 55000 EVoight = f m Em + f r Er 50000 E (MPa) 45000 40000 Voight 35000 Reuss 30000 25000 20000 E Reuss = 15000 10000 1 fm f + r Em Er 5000 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 f r (%) Composito composto da due fasi isotrope Confronto con risultati sperimentali EVoight = f m Em + f r Er E Reuss = 1 fm f + r Em Er 32 Composito formato da particelle di tungsteno disperse in una matrice di rame Ipotesi di Voight e di Reuss 33 Le ipotesi di Voight e di Reuss: Ipotesi di Voight [ε ( I ) ] = [ε ( II ) ] = [ε ] [C ] = f I [C ( I ) ] + f II [C ( II ) ] Ipotesi di Reuss [σ ( I ) ] = [σ ( II ) ] = [σ ] [ S ] = f I [ S ( I ) ] + f II [ S ( II ) ] danno risultati soddisfacenti per le categorie di compositi seguenti: Comportamento elastico dei materiali compositi rinforzati con fibre lunghe o con fibre corte allineate materiale ortotropo x3 x2 x1 34 Cedevolezza di materiale ortotropo 35 x3 x2 x1 ªε1 º ªS11 «ε » «S « 2» « 21 «ε3» «S31 « »= « «ε4» « 0 «ε5» « 0 « » « ¬«ε6¼» «¬ 0 S12 S22 S32 0 0 0 S13 S23 S33 0 0 0 0 0 0 S44 0 0 ªε1 º 0 0 º ªσ1 º «ε » « » 0 0 »» «σ2 » « 2» «ε3» 0 0 » «σ3 » »« » ⇔ « »= 0 0 » «σ4 » «ε4» «ε5» S55 0 » «σ5 » »« » « » 0 S66»¼ «¬σ6 »¼ ¬«ε6¼» ν 12 E1 ª 1 « E « 1 «− ν12 « E1 « ν «− 13 « E1 « « 0 « « 0 « « « 0 ¬« = ν 21 E2 Rigidezza di materiale ortotropo − ν 21 E2 1 E2 − , − − ν 31 E3 ν 32 0 0 0 0 0 0 E2 E3 1 E3 0 0 1 G23 0 0 0 0 1 G13 0 0 0 0 ν 23 ν 13 E1 = ν 31 E3 º 0 » » 0 » » » 0 » » » 0 » » 0 » » 1 » » G12 ¼» ªσ1 º « » «σ2 » «σ » « 3» «σ4 » «σ » « 5» «¬σ6 »¼ ν 23 , E2 = ν 32 E3 36 x3 x2 x1 ªσ1 º « » «σ 2 » «σ » « 3»= «σ 4 » «σ » « 5» ¬«σ 6 ¼» 0 0º ªC11 C12 C13 0 «C C C 0 0 0 »» 22 23 « 21 «C31 C32 C33 0 0 0» » « 0 0 C44 0 0» «0 «0 0 0 0 C55 0 » » « 0 0 0 0 C66 »¼ ¬« 0 ªε1 º «ε » « 2» «ε3 » « » «ε 4 » «ε5 » « » ¬«ε 6 ¼» ν +ν ν 1 −ν 23ν 32 C12 = 12 13 32 E2 E3 Δ E1 E3 Δ ν +ν ν 1 −ν 13ν 31 C22 = C23 = 23 12 31 E1 E3 Δ E1 E2 Δ ν +ν ν 1 −ν 12ν 21 C33 = C13 = 31 21 32 E1 E2 Δ E2 E3 Δ C44 = G23 C55 = G13 C66 = G12 C11 = 1 1 Δ= −ν 12 E1 E2 E3 −ν 13 −ν 21 −ν 31 1 −ν 32 −ν 23 1 Stato piano dei sforzi - Cedevolezza della Lamina - (1) 37 x3 x2 σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0 ⇔ σ 3 = σ 4 = σ 5 = 0 x1 ªε1 º ªS11 «ε » «S « 2 » « 21 «ε 3 » «S31 « » = « «ε 4 » « 0 «ε 5 » « 0 « » « «¬ε 6 »¼ «¬ 0 S12 S22 S32 0 0 0 S13 S23 S33 0 0 0 0 º ªσ 1 º « » 0 »» «σ 2 » 0» « 0 » »« » S44 0 0 » « 0 » 0 S55 0 » « 0 » »« » 0 0 S66»¼ «¬ σ 6 »¼ 0 0 0 0 0 0 ª ε 1 º ª S11 «ε » = « S « 2 » « 21 «¬ε 6 »¼ «¬ 0 S11 = 1 E1 S12 = − ν 12 E1 Stato piano dei sforzi - Rigidezza della Lamina - (2) x3 S 22 0 S 22 = 1 E2 S 21 = − S 66 = ν 21 E2 1 G12 , S12 = S 21 38 x2 x1 ªσ1 º « » «σ 2 » «0» « »= «0» «0» « » «¬σ 6 »¼ 0 º ªσ 1 º 0 »» ««σ 2 »» S 66 »¼ «¬σ 6 »¼ S12 σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0 ⇔ σ 3 = σ 4 = σ 5 = 0 0 0º ªC11 C12 C13 0 «C C C » 0 0 0 21 22 23 « » «C31 C32 C33 0 0 0» « » 0 0 C44 0 0» «0 «0 0 0 0 C55 0 » « » 0 0 0 0 C66 »¼ ¬« 0 ªε1 º «ε » « 2» «ε3 » « » «ε4 » «ε5 » « » «¬ε6 »¼ σ 1 = C11ε1 + C12ε 2 + C13ε 3 σ 2 = C12ε1 + C22ε 2 + C23ε 3 0 = C31ε1 + C32ε 2 + C33ε 3 0 = ε4 0 = ε5 σ 6 = C66ε 6 Stato piano dei sforzi - Rigidezza della Lamina - (3) x3 39 x2 σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0 ⇔ σ 3 = σ 4 = σ 5 = 0 x1 § C C · § C C · § · C C σ 1 = ¨¨ C11 − 13 31 ¸¸ε 1 + ¨¨ C12 − 13 23 ¸¸ε 2 = Q11ε 1 + Q12ε 2 C33 ¹ C33 ¹ © © § C C · σ 2 = ¨¨ C12 − 23 13 ¸¸ε 1 + ¨¨ C 22 − 23 32 ¸¸ε 2 = Q12ε 1 + Q22ε 2 C33 ¹ C33 ¹ © © ªσ 1 º ªQ11 Q12 «σ » = «Q « 2 » « 12 Q22 «¬σ 6 »¼ «¬ 0 0 0 º ªε1 º 0 »» ««ε 2 »» Q66 »¼ «¬ε 6 »¼ § C C · Q11 = ¨¨ C11 − 13 31 ¸¸ C33 ¹ © § C C · Q12 = Q21 = ¨¨ C12 − 13 23 ¸¸ C33 ¹ © § C C · Q22 = ¨¨ C 22 − 23 32 ¸¸ C33 ¹ © C13 = C31 Si nota: Stato piano dei sforzi - Rigidezza della Lamina - (4) x3 σ 6 = C66ε 6 = Q66ε 6 Q66 = C 66 C 23 = C32 40 x2 x1 § C C · Q11 = ¨¨ C11 − 13 13 ¸¸ C33 ¹ © σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0 ⇔ σ 3 = σ 4 = σ 5 = 0 § C C · Q22 = ¨¨ C22 − 23 23 ¸¸ C33 ¹ © § C C · Q12 = Q21 = ¨¨ C12 − 13 23 ¸¸ C33 ¹ © ν +ν ν 1 −ν 23ν 32 C12 = 12 13 32 E2 E3 Δ E1 E3 Δ ν +ν ν 1 −ν 13ν 31 C22 = C23 = 23 12 31 E1 E3 Δ E1 E2 Δ ν +ν ν 1 −ν 12ν 21 C33 = C13 = 31 21 32 E1 E2 Δ E2 E3 Δ C44 = G23 C55 = G13 C66 = G12 Q66 = C66 C11 = −ν 21 −ν 31 1 1 Δ= −ν 12 −ν 32 1 E1E2 E3 −ν 13 −ν 23 1 Q11 = E1 1 −ν 12ν 21 Q22 = E2 1 −ν 12ν 21 Q12 = Q21 = ν 12 E2 1 −ν 12ν 21 Q66 = G12 Riassunto; Lamina x3 (5) 41 x2 σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0 ⇔ σ 3 = σ 4 = σ 5 = 0 x1 Cedevolezza 1 S11 = E1 S12 = − 1 S 22 = E2 ν 12 E1 S 21 = − Rigidezza Q11 = 1 S 66 = G12 ν 21 E2 E2 , Q12 = Q21 = 1 −ν 12ν 21 Q22 = , S12 = S 21 E1 , E1 E2 Q66 = G12 1 −ν 12ν 21 ν 12 G12 , Lamina rinforzata con fibre lunghe o corte allineate ν 12 Si nota che: E1 = ν 21 E2 ν 21 = Lamina – Determinazione di E1 x3 x2 Sollecitazione: = σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0 σ 22 = σ 12 = 0 σ 11 ≠ 0 x2 x3 Am 42 (6) Stato piano dei sforzi: x1 Af E2 ν 12 E1 Af Vf Vm x2 σ11 x1 σ11 Am Ipotesi: σ 11 = Af σ11 = A Vf ε 11m = ε 11f = ε 11 σ 11f + Am m V f f Vm m σ 11 = σ 11 + σ 11 A V V V ( E ε )+ ( E ε ) σ V V f f 11 m m m 11 σ 11f = E f ε 11f σ 11m = Emε 11m §Vf · Vm ¨ E = + E 11 ¨ V f V m ¸¸ε 11 © ¹ V σ 11 V = E1 E1 = f E1f + m E1m ε 11 V V ν 12 E2 1 −ν 12ν 21 Lamina – Determinazione di E2 x3 x2 Stato piano dei sforzi: x1 σ 22 ≠ 0 σ 22m = σ 22f = σ 22 Ipotesi: x2 δd δ d = δ d f + δ d m = ε 22f d f + ε 22m d m ε 22 = dm/2 d σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0 σ 11 = σ 12 = 0 Sollecitazione: σ22 43 (7) df ε 22f = x1 σ 22f ε 22m = Ef d σ 22m = df d ε 22f + dm m ε 22 d Em §d d d d · d f §σ22f · dm §σ22m · ε22 = ¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸¸ ε22 = ¨¨ f + m ¸¸ σ22 d © Ef ¹ d © Em ¹ Em ¹ © Ef dm/2 σ22 1 d f 1 dm 1 ε 22 1 = + = E2 d Ef d Em σ 22 E2 Lamina – Determinazione di ν12 x3 44 (8) x2 Stato piano dei sforzi: σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0 x1 Sollecitazione: σ 22 = σ 12 = 0 σ 11 ≠ 0 δ d f = −ν 12f ε 11f d f δ dm 2 dm/2 δdf 2 δ d m = −ν 12m ε 11m d m df d δdf 2 dm/2 Ipotesi: ε 22 = δ dm 2 ε 11m = ε 11f = ε 11 ν 12 = − ε 22 ε 11 ν 12 = df d ν 12f + dm m ν 12 d δ d f + δ dm d = −ν 12f ε 11f d f −ν 12mε 11m d m d Lamina – Determinazione di G12 Stato piano dei sforzi: (9) σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0 45 Sollecitazione: u σ 11 = σ 22 = 0 σ 12 ≠ 0 u γ 12m dm /2 d /2 um γ 12 df /2 γ 12f m f Ipotesi: σ 12 = σ 12 = σ 12 d d u = tan(γ 12 ) u ≈ γ 12 2 2 u = u f + um σ 12 γ 12f = G12f uf d d d d d γ 12 = f γ 12f + m γ 12m γ 12 = f γ 12f + m γ 12m , 2 2 2 d d γ 12m = σ 12 γ 12 = G12m Lamina – Geometria d f σ 12 d m σ 12 d f 1 dm 1 1 + = + d G12f d G12m G12 d G12f d G12m (10) 46 x3 t=df x2 df dm /2 dm /2 d Af A = df d π §df · ¨ ¸ 4 ¨© d ¸¹ = Am Af π §df Am A − A f = = 1− = 1 − ¨¨ 4© d A A A 4 Af 4 Vf = π A π V Af = Vf Vm · π d − dm π§ d · A ¸¸ = 1 − m = 1 − ¨1 − m ¸ 4 d 4© A d ¹ ¹ d m 4 Am § 4 · 4 Vm § 4· = + ¨1 − ¸ = + ¨1 − ¸ π A © π¹ π V © π¹ d Lamina - Moduli elastici x3 (1) 47 x2 x1 Vf V E1 = E + m E1m V V ν 12 = f 1 df d ν 12f + dm m ν 12 d 1 d f 1 dm 1 = + E2 d Ef d Em d f 1 dm 1 1 = + G12 d G12f d G12m Lamina rinforzata con fibre lunghe o corte allineate df d = d m 4 Am § 4 · 4 Vm § 4 · = + ¨1 − ¸ = + ¨1 − ¸ d π A © π¹ π V © π¹ 4 Af 4 V f = π A π V Lamina - Moduli elastici x3 x2 (2) 48 if assumed : df x1 d = 4 Af 4 Vf Vf = ≈ π A π V V d m 4 Am § 4 · 4 Vm § 4· V = + ¨1 − ¸ = + ¨1 − ¸ ≈ m d π A © π¹ π V © π¹ V then: Vf V E1 = E + m E1m V V ν 12 = f 1 Vf V ν 12f + Vm m ν 12 V 1 V f 1 Vm 1 = + E2 V E f V Em 1 V f 1 Vm 1 = + G12 V G12f V G12m Lamina rinforzata con fibre lunghe o corte allineate Si nota: ν 12 E1 = ν 21 E2 Matrice di rigidezza e di cedevolezza della lamina ªσ 1 º ªQ11 Q12 «σ » = «Q « 2 » « 12 Q22 «¬σ 6 »¼ «¬ 0 0 0 º ªε1 º 0 »» ««ε 2 »» Q66 »¼ «¬ε 6 »¼ ªσ 11 º ªQ11 Q12 «σ » = «Q « 22 » « 12 Q22 «¬σ 12 »¼ «¬ 0 0 0 º ª ε 11 º 0 »» «« ε 22 »» Q66 »¼ «¬2ε 12 »¼ ª ε1 º ª S11 «ε » = « S « 2 » « 21 «¬ε 6 »¼ «¬ 0 S12 S 22 0 ª ε 11 º ª S11 « ε » = «S « 22 » « 21 «¬2ε 12 »¼ «¬ 0 Vf S12 S 22 0 V E1 = E + m E1m V V f 1 Q11 = E1 S 12 = − 1 V f 1 Vm 1 = + E2 V E f V Em ν 12 = E2 Vf V S 22 = ν 12 E1 ν 12f + Lamina - Moduli elastici trasformati 1 E2 S 66 = S 21 = − x’2 x’2 x3 , x’1 x1 ϕ x1 ª σ11 cos2 ϕ + σ 22 sin2 ϕ + 2σ12 sinϕ cosϕ σ12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) + (σ 22 −σ11) sinϕ cosϕº » [σ ′] = «« » «¬σ12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) + (σ 22 −σ11) sinϕ cosϕ σ11 sin2 ϕ + σ 22 cos2 ϕ − 2σ12 sinϕ cosϕ »¼ ′ = σ 11 cos 2 ϕ + σ 22 sin 2 ϕ + σ 12 (2 sin ϕ cos ϕ ) σ 11 ′ = σ 11 sin 2 ϕ + σ 22 cos 2 ϕ − σ 12 (2 sin ϕ cos ϕ ) σ 22 ′ = −σ 11 sin ϕ cos ϕ + σ 22 sin ϕ cos ϕ + σ 12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) σ 12 S 12 = S 21 ª cos ϕ R=« ¬− sin ϕ ϕ x’1 x2 ϕ [σ ′] = [R][σ ][RT ] E2 50 x2 x’3 ν 21 1 G12 1 V f 1 Vm 1 = + G12 V G12f V G12m Vm m ν 12 V (1) ν12E2 1−ν12ν 21 Q 66 = G 12 1 − ν 12ν 21 1 E1 S11 = 0 º ªσ 11 º 0 »» ««σ 12 »» S 66 »¼ «¬σ 12 »¼ Q12 = Q21 = 1−ν12ν 21 Q 22 = 0 º ªσ 1 º 0 »» ««σ 2 »» S 66 »¼ «¬σ 6 »¼ 49 sin ϕ º cos ϕ »¼ Lamina - Moduli elastici trasformati x’2 x2 ϕ x’1 ϕ x1 (2) 51 ′ = σ 11 cos 2 ϕ + σ 22 sin 2 ϕ + σ 12 (2 sin ϕ cos ϕ ) σ 11 ′ = σ 11 sin 2 ϕ + σ 22 cos 2 ϕ − σ 12 (2 sin ϕ cos ϕ ) σ 22 ′ = −σ 11 sin ϕ cos ϕ + σ 22 sin ϕ cos ϕ + σ 12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) σ 12 2 sin 2 ϕ ªσ 11′ º ª cos ϕ «σ ′ » = « sin 2 ϕ cos 2 ϕ « 22 » « «¬σ 12′ »¼ «¬− sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ m = cos ϕ 2 sin ϕ cos ϕ º ªσ 11 º » − 2 sin ϕ cos ϕ » ««σ 22 »» cos 2 ϕ − sin 2 ϕ »¼ «¬σ 12 »¼ 2 ′ º ª cos ϕ ª ε11 « « ε ′ » = « sin 2 ϕ « 22 » « ′ ¼» « −2sin ϕ cos ϕ ¬« 2ε12 ¬ cos 2 ϕ 2sin ϕ cos ϕ m = cos ϕ n = sin ϕ º ε » ª 11 º − sin ϕ cos ϕ » «« ε 22 »» » (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) » ¬« 2ε12 ¼» ¼ sin ϕ cos ϕ n = sin ϕ 2 n2 mn º ª ε º ′ º ª m ª ε11 « » 11 « ε ′ » = « n2 2 − m n » «« ε 22 »» m « 22 » « ′ »¼ « −2m n 2m n (m 2 − n 2 ) »» «¬ 2ε12 »¼ «¬ 2ε12 ¬ ¼ 2 n2 2 m n º ªσ º ′ º ª m ª σ11 « » 11 «σ ′ » = « n 2 2 » «σ 22 » − m m n 2 « 22 » « « » ′ ¼» « −m n m n (m 2 − n 2 ) »» ¬«σ12 ¼» «¬σ12 ¬ ¼ [ε ′] = [Tε ][ε ] [σ ′] = [Tσ ][σ ] Lamina - Moduli elastici trasformati x’2 sin 2 ϕ (3) 52 x2 ϕ x’1 ϕ m = cos ϕ n = sin ϕ x1 2 n2 2 m n º ªσ º ′ º ª m ª σ11 « » 11 «σ ′ » = « n 2 2 −2 m n » ««σ 22 »» m « 22 » « ′ ¼» « −m n m n (m 2 − n 2 ) »» ¬«σ12 ¼» ¬«σ12 ¬ ¼ 2 n2 mn º ª ε º ′ º ª m ª ε11 « » 11 « ε ′ » = « n2 2 − m n » «« ε 22 »» m « 22 » « » ′ »¼ « −2m n 2m n (m 2 − n 2 ) » «¬ 2ε12 »¼ «¬ 2ε12 ¬ ¼ [σ ′] = [Tσ ][σ ] [ε ′] = [Tε ][ε ] [σ ] = ª¬Tσ−1 º¼ [σ ′] [ε ] = ª¬Tε−1 º¼ [ε ′] ª m2 n2 −2 m n º « » ªTσ−1 º = [Tσ (−ϕ )] = « n 2 m2 2mn » ¬ ¼ « 2 2 » «¬ m n −m n (m − n ) »¼ ª m2 n2 −m n º « » ªTε−1 º = [Tε (−ϕ ) ] = « n 2 m2 mn » ¬ ¼ « 2 2 » «¬ 2m n −2m n (m − n ) »¼ Lamina - Moduli elastici trasformati x’2 (4) 53 x2 ϕ ϕ x’1 ª ε1 º x1 ª S11 «ε » = « S « 2 » « 21 «¬ε 6 »¼ «¬ 0 S12 S22 0 0 º ªσ1 º 0 »» ««σ 2 »» ⇔ S66 »¼ «¬σ 6 »¼ −ν 21 E2 0 º ª σ11 º ª ε11 º ª 1 E1 « ε » = « −ν E 1 E2 0 »» ««σ 22 »» « 22 » « 12 1 «¬ 2ε12 »¼ «¬ 0 0 1 G12 »¼ «¬σ12 »¼ [ε ] = [ S ][σ ] [ε ] = [ S ][σ ] [Tε ][ε ] = [Tε ][ S ][σ ] [ε ′] = [Tε ][ S ][σ ] [ε ′] = ª¬Tε º¼ ª¬ S [σ ] = ª¬Tσ−1 º¼ [σ ′] º ªT −1 º [σ ′] ¼¬ σ ¼ ªS ′ º ¬ ¼ Lamina - Moduli elastici trasformati x’2 x2 ϕ x’1 ϕ x1 ªS′ º = ¬ ¼ [ε ′] = ª¬Tε º¼ ª¬ S (5) 54 º ªT −1 º [σ ′] ¼¬ σ ¼ ª S ′ º = ªTε º ª S º ªT −1 º ¬ ¼ ¬ ¼¬ ¼¬ σ ¼ ª m2 n2 mn º « » « n2 m2 −mn » « 2 2 » «¬ −2m n 2m n (m − n ) »¼ ª 1 E1 −ν 21 E2 0 º « » « −ν12 E1 1 E2 0 » « » 0 1 G12 » «¬ 0 ¼ ª m2 −2 m n º n2 « » « n2 m2 2mn » « 2 2 » «¬ m n −m n (m − n ) »¼ Lamina - Moduli elastici trasformati x’2 x’1 x1 ª m 4 n 4 2m 2 n 2ν12 m 2 n 2 + − + « E1 G12 « E1 E2 « [ S ′] = « « « « « ¬ E1 = m 2 n 2 m 2 n 2 (m 4 + n 4 )ν12 m 2 n 2 + − − E1 E2 E1 G12 n 4 m 4 2m 2 n 2ν12 m 2 n 2 + − + E1 E2 E1 G12 2mn(m 2 − n 2 )ν12 mn(m 2 − n 2 ) º m2 n2 − )− − » E1 E2 E1 G12 » » m 2 n 2 2mn(m 2 − n 2 )ν12 mn(m 2 − n 2 ) » 2mn( − )+ − » E2 E1 E1 G12 » 2 2 2 2 2 2 2 2 8m n ν12 (m − n ) 4m n 4m n » + + + » E1 G12 E1 E2 ¼ −2mn( ν 21 E2 Lamina - Modulo di Young in direzione x’1 x’2 55 ª S ′ º = ªTε º ª S º ªT −1 º ¬ ¼ ¬ ¼¬ ¼¬ σ ¼ ϕ ν12 (6) x2 ϕ x2 ϕ x’1 ϕ x1 ′ º ª S11 ′ S12 ′ ª ε11 « ′ » « ′ ′ « ε 22 » = « S21 S22 ′ »¼ «¬ S31 ′ S32 ′ «¬ 2ε12 E1′ = (7) 56 ′ º ªσ11 [σ ′] = «« 0 »» «¬ 0 »¼ ′ º ªσ11 ′ º ª ε11 ′ º ª S11 ′ σ11 ′ º S13 ′ » « 0 » « ε 22 ′ » = « S21 ′ ′ » S23 »« » « » « σ11 » ′ »¼ ¬« 0 ¼» ¬« 2ε12 ′ ¼» «¬ S31 ′ σ11 ′ »¼ S33 ′ σ11 1 E1′ = E1′ = 4 ′ ′ ε11 S11 m 1 n 4 2m 2 n 2ν12 m 2 n 2 + − + E1 E2 E1 G12 Lamina - Modulo di Young in direzione x’2 x’2 x2 ϕ ª 0 º ′ » [σ ′] = ««σ 22 » «¬ 0 »¼ x’1 ϕ x1 ′ º ª S11 ′ ª ε11 « ε ′ » = «S ′ « 22 » « 21 ′ »¼ «¬ S31 ′ «¬ 2ε12 E2′ = ′ S12 ′ S22 ′ S32 ′ º ª 0 º ª ε11 ′ º ª S12 ′ σ 22 ′ º S13 » « « » « » ′ ′ ′ ′ ′ » S23 » «σ 22 » « ε 22 » = « S22σ 22 » ′ »¼ «¬ 0 »¼ «¬ 2ε12 ′ »¼ «¬ S32 ′ σ 22 ′ »¼ S33 ′ σ 22 1 E2′ = E2′ = 4 ′ ′ ε 22 S22 n 1 m 4 2m 2 n 2ν12 m 2 n 2 + − + E1 E2 E1 G12 Lamina – Coefficiente di Poisson ν’12 x’2 x2 ϕ x’1 ϕ x1 ′ º ª S11 ′ S12 ′ ª ε11 « ′ » « ′ ′ « ε 22 » = « S21 S22 ′ »¼ ¬« S31 ′ S32 ′ «¬ 2ε12 ′ =− ν12 ′ ε 22 ′ ε11 (8) 57 (9) 58 ′ º ªσ11 [σ ′] = «« 0 »» «¬ 0 »¼ ′ º ªσ11 ′ º ª ε11 ′ º ª S11 ′ σ11 ′ º S13 ′ » « 0 » « ε 22 ′ » = « S21 ′ ′ » S23 »« » « » « σ11 » ′ ¼» «¬ 0 »¼ «¬ 2ε12 ′ »¼ ¬« S31 ′ σ11 ′ ¼» S33 ′ =− ν12 S′21 ′ = ν12 ′ S11 m 2 n 2 m 2 n 2 (m 4 + n 4 )ν12 m 2 n 2 + − − E1 E2 E1 G12 m 4 n 4 2m 2 n 2ν12 m 2 n 2 + − + E1 E2 E1 G12 Lamina - Modulo di scorimento in direzione x’1 x’2 x2 ϕ x’2 ϕ x1 ′ = G12 ′ S12 ′ S22 ′ S32 ′ º ª 0 º ª ε11 ′ º ª S13 ′ σ12 ′ º S13 » « « » « » ′ ′ ′ ′ » S23 » « 0 » « ε 22 » = « S23σ12 » ′ »¼ «¬σ12 ′ »¼ «¬ 2ε12 ′ »¼ «¬ S33 ′ σ12 ′ »¼ S33 ′ σ12 1 ′ = ′ = G12 G12 ′ ′ 2ε12 S33 4m 2 n 2 E1 Esempio Modulo elastico Ef [MPa] Coefficiente di Poisson νf Modulo elastico Gf Vf V 1 4m 2 n 2 8m 2 n 2ν12 (m 2 − n 2 ) + + + E2 E1 G12 (1) Fibre di rinforzo: Vetro tipo “E” E1 = E1f + Vf Vm m E1 V 60 Matrice: Poliammide 66 76000 Modulo elastico Em [MPa] 1900 0,2 Coefficiente di Poisson νm 0.39 Modulo elastico Gm 1324 16230 V ν 12 = ν 12f + m ν 12m V V E1 = 38950 59 ª 0 º [σ ′] = «« 0 »» ′ »¼ «¬σ12 x’1 ′ º ª S11 ′ ª ε11 « ε ′ » = «S′ « 22 » « 21 ′ »¼ «¬ S31 ′ «¬ 2ε12 (10) 1 V f 1 Vm 1 = + E2 V E f V Em 1 V f 1 Vm 1 = + G12 V G12f V G12m E2 = 3707 ν 12 = 0,3 Vf V = Vm = 0,5 V G12 = 2448 Esempio (2) 61 - variazione dei moduli di Young 45000 40000 Effective Modulus 35000 30000 25000 E'1 20000 E'2 15000 10000 5000 0 0 0,25 0,5 0,75 1 cos(ϕ ℵ)) cos( Esempio (3) 62 - variazione del coefficiente di Poisson Coefficiente di Poisson 0,35 0,3 ν12 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 0,25 0,5 cos(ϕ)) cos( 0,75 1 Riferimenti bibliografici 63 1. A. Kaw, “Mechanics of Composites Materials”, CRC Press, 1997 2. M. Tuttle, “Structural Analysis of Polymeric Composite Materials”, Marcel Dekker, 2004 3. C. Herakovich, “Mechanics of Fibrous Composites”, Wiley, 1995 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno Accademico 2010/2011 MATERIALI COMPOSITI Parte 2 Ioannis Papadopoulos Scopo dei compositi 2 Sfruttare l’azione combinata dei materiali che costituiscono il composito per ottenere un materiale con (alcuni) proprietà migliori rispettivamente ai proprietà dei singoli materiali In genere si usano due materiali (fasi): • Fase matrice (matrice) • Fase dispersa (rinforzamento) Le proprietà del composito dipendono: • • • • Dalle proprietà delle fasi Delle quantità relative Della geometria della fase dispersa Della distribuzione spaziale della fase dispersa Il comportamento base di un composito sta nella sua capacità di trasferimento dei sforzi dalla matrice alla fase dispersa (rinforzo) Classificazione dei compositi 3 Compositi Rinforzati con particelle •eterogeneo •isotropo Fibro-rinforzati •eterogeneo •isotropo • eterogeneo • Anisotropo (ortotropo) •eterogeneo •Anisotropo (fibre corte orientate preferenzialmente) •Isotropo (fibre corte orientate casualmente) Strutturali •eterogeneo •Anisotropo •Quasi-isotropo Resistenza di un composito nella direzione delle fibre 4 La caratteristica meccanica nella direzione delle fibre di un composito è la media pesata della resistenza della fibra e della matrice La “regola delle miscele” traduce questa ipotesi nella valutazione, ad esempio, della resistenza nella direzione delle fibre σ = V f σ f + (1 − V f )σ m Lamina rinforzata con fibre lunghe o corte allineate • eterogeneo • Anisotropo (ortotropo) Resistenza nella direzione delle fibre 5 Il comportamento base di un composito sta nella sua capacità di trasferimento dei sforzi dalla matrice alla fase dispersa (rinforzo) sforzo σ= σ uf Vf V σ u1 = σ f § Vf + ¨¨1 − V © Vf § § Vf · · m ¸σ ¸ ¹ Vf · ¸σ ym σ uf + ¨¨1 − ¸ V V © ¹ ¸σ um σ u 2 = ¨¨1 − V ¸¹ © σ um σ ym ε = ε uf ε = ε uf deformazione ε uf ε um Resistenza nella direzione delle fibre 6 • Percentuale volumetrica minima delle fibre σ u1 = Vf V σ uf § Vf + ¨¨1 − V © σ uf · m ¸σ y ¸ ¹ Vf § Vf · § Vf · ¸σ um ¸σ ym = ¨1 − σ uf + ¨¨1 − ¸ ¨ V V ¹ V ¸¹ © © σ um § Vf · §V f ¨ ¨V © ¸σ um σ u 2 = ¨¨1 − ¸ V © ¹ σ ym 0 §Vf · ¨ ¸ © V ¹crit Vf (σ um − σ ym ) · ¸ = f ¸ m m ¹ crit σ u − (σ u − σ y ) 1 V Il comportamento base di un composito sta nella sua capacità di trasferimento dei sforzi dalla matrice alla fase dispersa (rinforzo) Legame fibra-matrice 7 Lunghezza critica delle fibre per il trasferimento dello carico: δ F = π d τ ymδ x matrice F f F fibra f x F ( x) = ³ π d τ ym d x F ( x) = π d τ ym x 0 d2 Fu = σ π 4 f F ( xcrit ) = Fu f u lcrit 2 xcrit if τ ym ≈ σ ym 2 σ uf l = lcrit σu d σfd = u m lcrit ≥ 2 xcrit lcrit ≥ 4τ y 2τ ym f f l > lcrit then l < lcrit lcrit 2 Il comportamento base di un composito sta nella sua capacità di trasferimento dei sforzi dalla matrice alla fase dispersa (rinforzo) Legame fibra-matrice Composito a fibra corta (SEM) lcrit = (σ uf d ) σ ym 8 Legame fibra-matrice 9 Esempio di frattura di composito a fibra corta (SEM) E’ evidente il problema della “collaborazione” fra fibra (corta) e matrice Resistenza in trazione ed in compressione nella direzione delle fibre • Trazione lungo le fibre σ 1tu = Vf σ uf + V Vm m σy V • Compressione lungo le fibre σ 1cu =2 σ 1cu = Vf V f E1f E1m V Vm 3 V m G12 Vf ªV f σ 1cu = σ uf « «¬ V V f << Vm V f ≈ Vm + Vm E1m º » V Ef » 1 ¼ V f >> Vm 10 Resistenza in trazione ed in compressione nella direzione trasversale alle fibre, resistenza in scorrimento 11 • Trazione trasversale alle fibre Kσ σ 22 σ 2t u = 1 mt σu Kσ • Compressione trasversale alle fibre σ 2cu = • Scorrimento σ12u = σ umc Kσ τ um Kτ Ipotesi: matrice elastica fino alla rottura Kσ = ? Approccio fenomenogico della resistenza Kτ = ? (1) 12 I sforzi limite, • In trazione nella direzione delle fibre σ 1tu • In compressione nella direzione delle fibre σ 1cu • In trazione nella direzione trasversale alle fibre σ 2t u • In compressione nella direzione trasversale alle fibre • In scorrimento σ 12u Sono determinati sperimentalmente σ 2cu Approccio fenomenogico della resistenza (2) 13 Criterio dello sforzo massimo σ 11 σ 11 ≤ 1 se σ 11 ≥ 0, σ 1t u σ 22 σ 22 ≤ 1 se σ 22 ≥ 0, t σ 2u σ 12 σ 12u ≤ 1 se σ 11 < 0 σ 1cu σ 2cu ≤ 1 se σ 22 < 0 ≤1 Attenzione! I sforzi devono essere trasformati nel sistema di assi x1, x2 , dove x1 direzione lungo le fibre, x2 direzione trasversale alle fibre, prima di applicare il criterio Approccio fenomenogico della resistenza (3) 14 Criterio dello sforzo massimo σ 11 σ 1t u ≤ 1 se σ 11 ≥ 0, σ 11 σ 1cu ≤ 1 se σ 11 < 0 σ 22 ≤ 1 se σ 22 ≥ 0, σ 2t u σ 22 σ 2cu ≤ 1 se σ 22 < 0 σ 12 σ 12u ≤1 Attenzione! I sforzi devono essere trasformati nel sistema di assi x1, x2 , dove x1 direzione lungo le fibre, x2 direzione trasversale alle fibre, prima di applicare il criterio x’2 x2 x1 ϕ x’1 [σ ] = [R] [σ ′] [R ] T cos(ϕ ) sin(ϕ ) º » ¬− sin(ϕ ) cos(ϕ )¼ [R] = ª« Approccio fenomenogico della resistenza (4) 15 Criterio dello sforzo massimo - esempio σ 1tu = 750 MPa, σ 1cu = 150 MPa, x2 x’2 σ 2t u = 50 MPa, σ 2cu = 200 MPa, σ 12u = 25 MPa x1 σ 11 = τ 45° sin(45$ ) º $ » «¬− sin(45 ) cos(45 )»¼ ª $ [R] = « cos(45 $) x’1 ′ =τ > 0 σ 12 σ 22 = −τ σ 11 > 0 σ 11 ≤ σ 1tu τ ≤ σ 1tu τ ≤ 750 MPa σ 22 < 0 σ 22 ≤ σ 2c u − τ ≤ σ 2c u τ ≤ σ 2c u τ ≤ 200 MPa τ ≤ 200 MPa Approccio fenomenogico della resistenza (5) 16 Criterio dello sforzo massimo - esempio σ 1tu = 750 MPa, σ 1cu = 150 MPa, x2 x’2 σ 2t u = 50 MPa, σ 2cu = 200 MPa, σ 12u = 25 MPa x1 σ 11 = −τ 45° x’1 ′ = −τ < 0 σ 12 σ 22 = τ σ 11 < 0 σ 11 ≤ σ 1cu − τ ≤ σ 1cu τ ≤ σ 1cu τ ≤ 150 MPa σ 22 > 0 σ 22 ≤ σ 2t u τ ≤ σ 2t u τ ≤ 50 MPa τ ≤ 50 MPa Approccio fenomenogico della resistenza (6) 17 Criterio dello sforzo massimo - esempio σ 11 σ 1t u ≤ 1 se σ 11 ≥ 0, σ 11 σ 1cu ≤ 1 se σ 11 < 0 σ 1tu = 750 MPa, σ 1cu = 150 MPa, σ 2t u = 50 MPa, x’2 x2 σ 22 σ 22 ≤ 1 se σ 22 ≥ 0, σ 2t u σ 12 σ 12u ≤1 σ 2cu = 200 MPa, σ 12u = 25 MPa x2 x1 σ 2cu ≤ 1 se σ 22 < 0 x’2 x1 45° 45° x’1 x’1 ′ = −τ < 0 σ 12 ′ =τ > 0 σ 12 σ 11 = −τ σ 11 = τ σ 22 = −τ σ 22 = τ τ ≤ 50 MPa τ ≤ 200 MPa Approccio fenomenogico della resistenza (7) 18 Criterio di Tsai-Hill 2 2 § σ 11 · § σ 22 · σ 11σ 22 § σ 12 ¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸¸ − + ¨¨ 2 © σ 1u ¹ © σ 2u ¹ (σ 1u ) © σ 12u σ 1u = σ 1tu if σ 11 > 0 σ 1cu if σ 11 < 0 2 · ¸¸ ≤ 1 ¹ σ 2u = σ 2t u if σ 22 > 0 σ 2cu if σ 22 < 0 Attenzione! I sforzi devono essere trasformati nel sistema di assi x1 , x2 , dove x1 direzione lungo le fibre, x2 direzione trasversale alle fibre, prima di applicare il criterio di Tsai-Hill Approccio fenomenogico della resistenza (8) 19 Criterio di Tsai-Hill - esempio σ 1tu = 750 MPa, σ 1cu = 150 MPa, x2 x’2 σ 2t u = 50 MPa, σ 2cu = 200 MPa, σ 12u = 25 MPa x1 σ 11 = τ 45° x’1 σ 22 = −τ ′ =τ > 0 σ 12 2 · §σ σ σ ¸¸ − 11 22 + ¨¨ 12 2 (σ 1u ) ¹ © σ 12u 2 2 § σ 11 · §σ ¨¨ ¸¸ + ¨¨ 22 © σ 1u ¹ © σ 2u 2 τ (−τ ) § τ · § −τ · ≤1 ¨ ¸ +¨ ¸ − © 750 ¹ © 200 ¹ (750) 2 2 2 §σ §σ · · ¸¸ ≤ 1 ¨ 11 ¸ + ¨ 22 ¨σ c ¨σ t ¸ ¹ © 2u © 1u ¹ 2 · ¸ − σ 11σ 22 ≤ 1 ¸ (σ 1tu ) 2 ¹ τ ≤ 187.135 MPa Approccio fenomenogico della resistenza (9) 20 Criterio di Tsai-Hill - esempio σ 1tu = 750 MPa, σ 1cu = 150 MPa, x’2 x2 σ 2t u = 50 MPa, σ 2cu = 200 MPa, σ 12u = 25 MPa x1 σ 11 = −τ 45° x’1 ′ = −τ < 0 σ 12 2 § σ 11 · §σ ¨¨ ¸¸ + ¨¨ 22 © σ 1u ¹ © σ 2u 2 2 · §σ σ σ ¸¸ − 11 22 + ¨¨ 12 (σ 1u ) 2 © σ 12u ¹ 2 σ 22 = τ 2 2 §σ §σ · · ¸¸ ≤ 1 ¨ 11 ¸ + ¨ 22 ¨σ t ¨σ c ¸ ¹ © 2u © 1u ¹ (−τ )τ §τ · § −τ · ≤1 τ ¸ +¨ ¸ − ¨ © 50 ¹ © 150 ¹ (150) 2 ≤ 45.227 MPa 2 · ¸ − σ 11σ 22 ≤ 1 ¸ (σ 1cu ) 2 ¹ Approccio fenomenogico della resistenza (10) 21 Criterio di Tsai-Hill - esempio 2 § σ 11 · § σ 22 ¨¨ ¸¸ + ¨¨ σ © 1u ¹ © σ 2u σ 1tu = 750 MPa, σ 1cu = 150 MPa, x2 x’2 2 · σ 11σ 22 § σ 12 ¸¸ − + ¨¨ 2 σ ( ) 1u ¹ © σ 12u σ 2t u = 50 MPa, σ 2cu = 200 MPa, σ 12u = 25 MPa x2 x1 2 · ¸¸ ≤ 1 ¹ x’2 x1 45° 45° x’1 x’1 ′ = −τ < 0 σ 12 ′ =τ > 0 σ 12 τ ≤ 187.135 MPa τ ≤ 45.227 MPa Criterio sforzo massimo τ ≤ 200 MPa Criterio sforzo massimo τ ≤ 50 MPa Approccio fenomenogico della resistenza (11) 22 Criterio di Tsai-Wu 2 2 2 F11σ 11 + F22σ 22 + 2 F12σ 11σ 22 + F33σ 12 + F1σ 11 + F2σ 22 ≤ 1 F11, F22 , F1 , e F2 sono determinati dai test di trazione, compressione lungo x1, x2 F33 , da un test di scorrimento (e.g. torsione). 2 2 § σ 12 σ 11 σ 22 ¨¨ + + + 2 F σ σ 12 11 22 t c t c σ 1uσ 1u σ 2uσ 2u © σ 12u 2 § 1 · 1 ¸¸ + ¨ − c t ¨ ¹ © σ 1u σ 1u · § ¸ σ 11 + ¨ 1 − 1 c ¸ ¨σ t ¹ © 2u σ 2u · ¸ σ 22 ≤ 1 ¸ ¹ F12 deve essere determinato dai test biassiali (σ11, σ22 ). Comunque la formula seguente è stata proposta: F12 = − 1 1 1 1 1 2 σ 1tu σ 1cu σ 2t u σ 2cu 2 2 § σ 12 σ 11 σ 22 σ 11σ 22 ¨¨ + − + t c t c t c t c σ 1u σ 1u σ 2u σ 2u σ 1u σ 1u σ 2u σ 2u © σ 12u 2 § 1 · 1 ¸¸ + ¨ − c t ¨ ¹ © σ 1u σ 1u · § ¸ σ 11 + ¨ 1 − 1 c ¸ ¨σ t ¹ © 2u σ 2u · ¸ σ 22 ≤ 1 ¸ ¹ Approccio fenomenogico della resistenza (12) 23 Criterio di Tsai-Wu - esempio σ 1tu = 750 MPa, σ 1cu = 150 MPa, σ 2t u = 50 MPa, 2 2 § σ 12 σ 11 σ 22 σ 11σ 22 ¨¨ + − + t c t c σ 1tuσ 1cu σ 2t uσ 2cu σ 1uσ 1uσ 2uσ 2u © σ 12u x2 x’2 σ 2cu = 200 MPa, σ 12u = 25 MPa 2 § 1 · 1 ¸¸ + ¨ − c ¨σ t ¹ © 1u σ 1u x2 x1 · § ¸ σ 11 + ¨ 1 − 1 c ¸ ¨σ t ¹ © 2u σ 2u x’2 · ¸ σ 22 ≤ 1 ¸ ¹ x1 45° 45° x’1 x’1 ′ =τ > 0 σ 12 ′ = −τ < 0 σ 12 Tsai-Wu: τ ≤ 185.469 MPa Tsai-Wu: τ ≤ 38.873 MPa Criterio sforzo massimo τ ≤ 200 MPa Criterio sforzo massimo τ ≤ 50 MPa Criterio Tsai-Hill τ ≤ 187.135 MPa Criterio Tsai-Hill τ ≤ 45.227 MPa Riferimenti bibliografici 24 1. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M. e Foletti S., “Comportamento meccanico dei materiali”, McGraw-Hill, 2005 1. A. Kaw, “Mechanics of Composites Materials”, CRC Press, 1997 2. M. Tuttle, “Structural Analysis of Polymeric Composite Materials”, Marcel Dekker, 2004 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno Accademico 2010/2011 MATERIALI COMPOSITI Parte 3 Ioannis Papadopoulos Compositi strutturali Laminati compositi: Sono composti da lamine rinforzate con fibre lunghe allineate (pannelli bidimensionali) sovrapposti e cementati insieme, variando da strato a strato la direzione di maggiore resistenza (i.e. direzione delle fibre) Pannelli sandwich: Sono formati da due lamine esterne (pelli o facce) in e.g. alluminio, lamine rinforzate con fibre lunghe, ed un cuore o anima in e.g. schiume polimeriche, strutture a nido d’ape. 2 Laminati - Terminologia 3 [0/90/0/0/90/0] -> [0/90/0]s 6 panelli [0/60/-60/-60/60/0] -> [0/60/0]s 6 panelli Altri esempi: [(+45/-45/0/90)50]s Laminati - Piano medio (di riferimento) 400 panelli 4 x H y H z Piano medio (di riferimento) Laminati - Numerazione dei strati (1) 5 k=1 z0 k=2 z1 z6 z2 z5 x k=3 z4 k=4 k=5 k=6 y z Piano medio (di riferimento) z6 = − z0 Laminati - Numerazione dei strati (2) 6 k=1 z0 k=2 k=3 z1 z2 Piano medio (di riferimento) z n = − z0 zn zn-1 zn-2 k=n-2 k=n-1 k=n Ipotesi della teoria dei laminati 7 ¾ Ogni strato è in condizioni di stato piano dei sforzi ¾ Ogni strato è considerato materiale omogeneo con proprietà elastiche quelle del materiale effettivo corrispondente ¾ I laminato si deforma secondo l’ipotesi di Kirchhoff: • Ogni segmento retto ortogonale al piano medio del laminato non deformato, rimane rettilineo ed ortogonale al piano medio del laminato deformato; inoltre la lunghezza del segmento non varia. Deformazione del piano di riferimento (1) 8 Deformazione del piano di riferimento (2) 9 κy Spostamenti del laminato (1) 10 x y z u v w Spostamenti del laminato (2) 11 I spostamenti del laminato sono la conseguenza dell’ipotesi di Kirchhoff w = w( x, y ) D H x H z u = u 0 − z tan β tan β = u = u0 − z ϑw ϑx ϑw ϑx Deformazioni del laminato (1) u = u0 − z ∂u ε xx = ∂x ε yy ∂v = ∂y 2ε xy = γ xy ϑw ϑx v = v0 − z ϑw ϑy ∂v 0 ∂2w = −z 2 ∂y ∂y § ∂u ∂v · = ¨¨ + ¸¸ © ∂y ∂x ¹ γ xy ϑw ϑy 12 ∂u 0 ∂2w −z 2 ε xx = ∂x ∂x ε yy v = v0 − z w = w( x, y ) ∂u 0 ∂v ∂2w = + − 2z ∂y ∂x ∂x∂y Deformazioni del laminato (2) ∂u ε xx = ∂x ∂2w ∂u0 −z 2 ε xx = ∂x ∂x 2ε xy = γ xy § ∂u ∂v · = ¨¨ + ¸¸ © ∂y ∂x ¹ 13 ∂v0 ∂2w = −z 2 ∂y ∂y ε yy ∂v = ∂y γ xy ∂uo ∂v0 ∂2w = + − 2z ∂y ∂x ∂x∂y ε yy Curvature ∂2w κx = − 2 ∂x ∂2w κy = − 2 ∂y ε xx = ε xx0 + zκ x ε yy = ε yy0 + zκ y γ xy = γ xy0 + 2 zκ xy ∂2w κ xy = − ∂x∂y ªε xx º ªε 0 xx º ªκx º « » « 0 » « » 0 = [ ]x + z [κ ] x + z ε ε κ [ ] ε = ε yy x yy y » « » « « » «γ xy » «γ 0 xy » «κ xy » ¬ ¼ ¬ ¬ ¼ ¼ Sforzi del laminato ªσ 11 º ªQ11 Q12 «σ » = «Q « 22 » « 12 Q22 «¬σ 12 »¼ «¬ 0 0 (1) 0 º ª ε 11 º 0 »» «« ε 22 »» Q66 »¼ «¬2ε 12 »¼ Q11 = Q22 = E1 14 Q12 = Q21 = 1 −ν 12ν 21 E2 1 −ν 12ν 21 ν 12 E2 1 −ν 12ν 21 Q66 = G12 [σ ] = [Q][ε ] [Tσ ][σ ] = [Tσ ][Q][ε ] [σ ]x = [Tσ ][Q][Tε−1 ][ε ]x [Q ] = [T ][Q][T ] −1 σ ε x1 ϕ x x x2 x2 y y x1 Sforzi del laminato (2) 15 [Q ] = [T ][Q][T ] −1 σ ε m = cos ϕ n = sin ϕ x1 ϕ x x2 y ª m2 n2 2mn º « 2 2 [Tσ ] = « n m − 2mn »» «− mn mn (m 2 − n 2 )» ¼ ¬ ªQ11 Q12 [Q] = ««Q12 Q22 «¬ 0 0 [T ] −1 ε 0 º 0 »» Q66 »¼ ª m2 n2 − mn º » « 2 2 m mn » =« n «2mn − 2mn (m 2 − n 2 )» ¼ ¬ y x1 x x2 [σ ] x = [Q ][ε ] x ªσ xx º ª Q11 Q12 « » « «σ yy » = «Q12 Q22 «σ xy » «Q31 Q32 ¬ ¼x ¬ Relazioni sforzi-deformazioni [ε ] x = [ε 0 ]x + z [κ ] x [σ ]x = [Q ][ε ]x Q13 º ªε xx º »« » Q23 » «ε yy » Q66 »¼ «¬γ xy »¼ x 16 [σ ] x = [Q ] [ε 0 ]x + [Q ] z [κ ] x Strato k [σ ]kx = [Q ]k [ε 0 ]x + [Q ]k z [κ ] x Per semplificare le notazioni il “subscript” x viene omesso in seguito: [σ ]k = [Q ]k [ε 0 ] + [Q ]k z [κ ] Forze per unità di lunghezza Nx = ³ H −H H Ny = ³ −H H (1) σ xx dz σ yy dz N xy = ³ −H σ xy dz Forze per unità di lunghezza Nx = ³ H −H H Ny = ³ (2) 18 [N ] = ³− H [σ ] dz H σ xx dz −H H N xy = ³ 17 [σ ]k = [Q ]k [ε 0 ] + [Q ]k z [κ ] σ yy dz −H σ xy dz [N ] = ³− H [Q ] k [ε 0 ]dz + ³− H [Q ] k [κ ] z dz H ° n § [N ] = ® ¨ °̄ k =1 © ¦³ zk z k −1 [Q ] k H n § ·½° 0 ° dz ¸¾ ε + ® ¨ °̄ ° ¹¿ k =1 © [ ] n [A ] = ¦ [Q ] k z k −1 [B ] = 1 2 ( z k − z k −1 ) k =1 [N ]= [A] ¦³ zk [Q ] ·½° z dz ¸¾ [κ ] ¹°¿ n ¦ [Q ] k =1 [ε ]+ [B][κ ] 0 k k ( z k2 − z k2−1 ) Momenti per unità di lunghezza (1) 19 H ³ σ z dz = ³ σ z dz = ³ σ z dz Mx = xx −H H My yy −H H M xy xy −H Momenti per unità di lunghezza (2) 20 H [M ] = ³ [σ ] z dz H ³ σ z dz = ³ σ z dz = ³ σ z dz Mx = −H xx −H H My −H [σ ]k = [Q ]k [ε 0 ] + [Q ]k z [κ ] yy H M xy −H xy [M ] = ³ [Q ] H −H ° [M ] = ® °̄ n § ¨ ¨ © ¦ ³ [Q ] k =1 [B ] = 1 2 zκ k z k −1 k [ε ] z dz + ³ [Q ] H −H · ½° 0 ° z dz ¸ ¾ ε + ® ¸° °̄ ¹¿ [ ] n ¦ [Q ] ( z k 2 k −z 2 k −1 n § ¨ ¨ © ) z 2 [κ ]dz ¦ ³ [Q ] k =1 zk k z k −1 [D ] = 1 3 k =1 [M ]= [B ] k 0 n ¦ [Q ] ( z k k =1 [ε ]+ [D][κ ] 0 · ½° z dz ¸ ¾ [κ ] ¸° ¹¿ 2 3 k − z k3−1 ) Forze e Momenti del laminato [N ]= [A] [ε ]+ [B][κ ] 0 21 [ε ]+ [D][κ ] [M ]= [B] 0 ª N º ª A B º ªε 0 º «M » = « B D» « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬κ ¼ n [A ] = ¦ [Q ] k ( z k − z k −1 ) k =1 [B ] = 1 2 n ¦ [Q ] [D ] = 1 3 k ( z k2 − z k2−1 ) k =1 n ¦ [Q ] ( z k 3 k − z k3−1 ) k =1 Matrice A 22 n [A ] = ¦ [Q ] k ( z k − z k −1 ) k =1 ª A11 «A « 21 «¬ A31 A12 A22 A32 ª n k Q11 ( z k − z k −1 ) « « k =1 A13 º « n » k A23 » = « Q21 ( z k − z k −1 ) « k =1 A66 »¼ « n k « Q31 ( z k − z k −1 ) «¬ k =1 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦Q ¦Q Q12 ( z k − z k −1 ) k k =1 n k ( z k − z k −1 ) k ( z k − z k −1 ) 22 k =1 n 31 k =1 º k Q12 ( z k − z k −1 ) » » k =1 n » k Q23 ( z k − z k −1 )» » k =1 n » k Q66 ( z k − z k −1 )» »¼ k =1 n n ¦ ¦ ¦ Matrice B 23 [B ] = 1 2 ª B11 «B « 21 «¬ B31 B12 B22 B32 ª1 « «2 B13 º «1 B23 »» = « «2 B66 »¼ «1 « «¬ 2 n ¦ [Q ] ¦ ¦Q ¦Q Q11 ( z − z 2 k 2 k −1 ) k =1 n k 21 ( z k2 − z k2−1 ) k =1 n k k ( z k2 − z k2−1 ) k =1 n n ¦ 1 Q 2¦ 1 Q 2¦ 1 2 Q12 ( z − z k 2 k 2 k −1 ) k =1 n k ( z k2 − z k2−1 ) k ( z k2 − z k2−1 ) 22 k =1 n k 31 ( z k2 − z k2−1 ) k =1 31 k =1 Matrice D 24 [D ] = 1 3 ª D11 «D « 21 «¬ D31 D12 D22 D32 º k Q12 ( z k2 − z k2−1 ) » » k =1 n » k Q23 ( z k2 − z k2−1 )» » k =1 n » k 2 2 Q66 ( z k − z k −1 )» »¼ k =1 n ¦ 1 2¦ 1 2¦ 1 2 ª1 « «3 D13 º «1 D23 »» = « «3 D66 »¼ «1 « «¬ 3 n ¦ [Q ] ( z k ¦ ¦Q ¦Q Q11 ( z − z 3 k 3 k −1 ) k =1 n k 21 ( z k3 − z k3−1 ) k =1 n 31 k =1 − z k3−1 ) k =1 n k 3 k n ¦ 1 Q 3¦ 1 Q 3¦ 1 3 Q12 ( z − z k 3 k 3 k −1 ) k =1 n k ( z k3 − z k3−1 ) k ( z k3 − zk3−1 ) 22 k =1 n k ( zk3 − z k3−1 ) 31 k =1 º k Q12 ( z k3 − z k3−1 ) » » k =1 n » k Q23 ( z k3 − z k3−1 )» » k =1 n » k 3 3 Q66 ( z k − zk −1 )» »¼ k =1 n ¦ 1 3¦ 1 3¦ 1 3 Laminati simmetrici (1) 25 Strati simmetrici p, q [Q ] = [Q ] p Piano medio q z q = − z p −1 z q −1 = − z p n [B ] = 1 ¦ [Q ] k ( z k2 − z k2−1 ) 2 k =1 Contributo alla matrice [B] degli strati simmetrici p e q: [B ]( p + q ) = 1 Q p ( z 2p − z 2p −1 ) + Q q ( zq2 − zq2−1 ) 2 [B ]( p + q ) = 1 Q p ( z 2p − z 2p −1 ) + ( zq2 − zq2−1 ) 2 [B ]( p + q ) = 1 Q p z 2p − z 2p −1 + (− z p −1 ) 2 − (− z p ) 2 2 1 [B ]( p + q ) = Q p z 2p − z 2p −1 + z 2p −1 + z 2p [B ]( p +q ) = 0 2 ([ ] ) [ ] [ ]( ) [ ]( [ ] ) ( ) Laminati simmetrici Laminati simmetrici ª N º ª A 0 º ªε 0 º «M » = « 0 D» « » ¼¬κ ¼ ¬ ¼ ¬ (2) 26 Sforzi in funzione dei forzi e momenti [ ] [N ] = [A] ε 0 ª N º ª A 0 º ªε 0 º «M » = « 0 D» « » ® ¯ [M ] = [D ][κ ] ¼¬κ ¼ ¬ ¼ ¬ [N ] = [A] [ε ] [ε ] = [A ][N ] 0 0 −1 [ M ] = [D][κ ] [κ ] = [D −1 ][ M ] [σ ]k = [Q ]k [ε 0 ] + [Q ]k z [κ ] Sforzi dello strato k in funzione delle forze e momenti dello laminato: [σ ]k = [Q ]k [A−1 ][N ] + [Q ]k [D −1 ] [M ] z Laminati simmetrici - esempio (1) 27 Strati 1 e 4 x x1 [(0/90)2]s 1 0° 2 90° 3 90° 4 0° ϕ =0 z0 = −2 t x2 z1 = − t y z2 = 0 Strati 2 e 3 z3 = t z4 = 2 t x2 x ϕ = 90° x1 y Laminati simmetrici - esempio (2) 28 [(0/90)2]s Strati 1 e 4 Strati 2 e 3 x x1 x2 x ϕ =0 x2 ϕ = 90° m = cos ϕ = cos 0° = 1 n = sin ϕ = sin 0° = 0 x1 y [Q ] = [Q ] 1 4 y ªQ11 Q12 = [Q ] = ««Q12 Q22 «¬ 0 0 0 º 0 »» Q66 »¼ [Q ] = [T ][Q] [T ] 2 2 σ −1 ε m = cos ϕ = cos 90° = 0 n = sin ϕ = sin 90° = 1 [Q ] = [T ][Q] [T ] 3 3 σ ª m2 n2 2mn º ª0 1 0 º « 2 2 [Tσ ] = « n m − 2mn »» = ««1 0 0 »» «− mn mn (m 2 − n 2 )» «¬0 0 − 1»¼ ¼ ¬ [T ] −1 ε ª m2 n2 − mn º ª0 1 0 º » « 2 2 m mn » = ««1 0 0 »» =« n «2mn − 2mn (m 2 − n 2 )» «¬0 0 − 1»¼ ¼ ¬ −1 ε Laminati simmetrici - esempio (3) 29 [(0/90)2]s Strati 1 e 4 Strati 2 e 3 x x1 x2 x ϕ =0 ϕ = 90° x2 x1 y [Q ] = [Q ] 1 4 y ªQ11 Q12 = [Q ] = ««Q12 Q22 «¬ 0 0 [Q ] = [T ][Q] [T ] 0 º 0 »» Q66 »¼ 2 2 σ [Q ] = [T ][Q] [T ] 3 −1 ε [Q ] = [Q ] ª0 1 0 º ªQ11 Q12 = ««1 0 0 »» ««Q12 Q22 «¬0 0 − 1»¼ «¬ 0 0 [Q ] = [Q ] ªQ22 = ««Q12 ¬« 0 2 2 3 3 ε 0 º ª0 1 0 º 0 »» ««1 0 0 »» Q66 »¼ «¬0 0 − 1»¼ 0 º 0 »» Q66 ¼» Q12 Q11 0 Laminati simmetrici - esempio −1 3 σ (4) 30 [(0/90)2]s 1 z0 = −2 t 0° 2 90° 3 90° 4 0° z1 = − t z2 = 0 z3 = t z4 = 2 t Strati 1 e 4 [Q ] = [Q ] 1 4 ªQ11 Q12 = [Q ] = ««Q12 Q22 «¬ 0 0 n [A ] = ¦ [Q ] k =1 k ( z k − z k −1 ) 0 º 0 »» Q66 »¼ Strati 2 e 3 ªQ22 = Q = ««Q12 «¬ 0 [Q ] = [Q ] [ ] 2 [D ] = 1 3 3 Q12 Q11 0 0 º 0 »» Q66 »¼ n ¦ [Q ] ( z k k =1 3 k − z k3−1 ) Laminati simmetrici - esempio (5) 31 (6) 32 n [A ] = ¦ [Q ] k ( z k − z k −1 ) k =1 Laminati simmetrici - esempio [D ] = 1 3 n ¦ [Q ] ( z k k =1 3 k − z k3−1 ) Laminati simmetrici - esempio (7) 33 [σ ]k = [Q ]k [A−1 ][N ] + [Q ]k [D −1 ] [M ] z [A ] −1 Q11 + Q22 ª « (Q + Q ) 2 − 4Q 212 22 « 11 1 « − 2Q12 = « 2 t « (Q11 + Q22 ) 2 − 4Q 212 « 0 « ¬ [D ] −1 − 2Q12 (Q11 + Q22 ) 2 − 4Q 212 Q11 + Q22 (Q11 + Q22 ) 2 − 4Q 212 0 Q11 + 7Q22 ª « (7Q + Q )(Q + 7Q ) − 64Q 212 11 22 11 22 « 3 « − 8Q12 = 3« 2 t « (7Q11 + Q22 )(Q11 + 7Q22 ) − 64Q 212 « 0 « ¬ º 0 » » » 0 » » 1 » Q66 » ¼ − 8Q12 (7Q11 + Q22 )(Q11 + 7Q22 ) − 64Q 212 7Q11 + Q22 (7Q11 + Q22 )(Q11 + 7Q22 ) − 64Q 212 0 Laminati simmetrici - esempio (8) º 0 » » » 0 » » 1 » 8Q66 » ¼ 34 [σ ]k = [Q ]k [A−1 ][N ] + [Q ]k [D −1 ] [M ] z Sollecitazione: N x ≠ 0, ( N y = N xy = 0, [M ] = 0 ) Nx Q11 (Q11 + Q22 ) − 2Q122 Δ N σ xx (90°) = x (Q22 (Q11 + Q22 ) − 2Q122 ) Δ σ xx (0°) = σ yy (0°) = Q12 (Q11 − Q22 ) N x Δ σ yy (90°) = − Q12 (Q11 − Q22 ) N x Δ σ xy (0°) = σ xy (90°) = 0 ( Δ = 2 t (Q11 + Q22 ) 2 − 4Q122 ) Laminati simmetrici - esempio (9) 35 (10) 36 Sollecitazione: N x ≠ 0, [M ] = 0 N y = N xy = 0, ( σ xx (0°) = Nx Q11 (Q11 + Q22 ) − 2Q122 Δ σ xx (90°) = Nx Q22 (Q11 + Q22 ) − 2Q122 Δ σ yy (0°) = 2Q12 (Q11 − Q22 ) N x Δ σ yy (90°) = − 2Q12 (Q11 − Q22 ) N x Δ ( ( Δ = 2 t (Q11 + Q22 ) 2 − 4Q122 ) ) ) Laminati simmetrici - esempio Sollecitazione: M x ≠ 0, M y = M xy = 0, [N ] = 0 ( ) Mx Q11 (Q11 + 7Q22 ) − 2Q122 z Δ σ xx (90°) = ... σ xx (0°) = σ yy (0°) = ... σ yy (90°) = ... Δ= ( 2t 3 (7Q11 + Q22 )(Q11 + 7Q22 ) − 64Q122 3 ) Resistenza dei laminati 37 Si deve calcorare gli sforzi per ogni strato nel suo proprio sistema di riferimento (direzione x1 lungo le fibre, direzione x2 ortogonale alle fibre) e in seguito applicare uno dei criteri di resistenza per la lamina (e.g. criterio di sforzo massimo, criterio di Tsai-Hill etc). Pannelli sandwich 38 1 t 0° 2 0° 3 0° h z0 = − h 2 h z1 = − + t 2 z2 = 0 z3 = t 4 0° z4 = h 2 h −t 2 Pannelli sandwich in flessione (1) [σ ]k = [Q ]k [D −1 ] [M ] z 1 0° 2 0° 3 0° 4 0° [Q]2 = [Q]3 = 0 z0 = − h 2 [Q]1 = [Q ]1 = [Q]4 = [Q ]4 = [Q] h z1 = − + t 2 ª E «1 −ν 2 « [Q] = « νE 2 «1 −ν « « 0 ¬ z2 = 0 z3 = [D] = 1 3 h z4 = 2 ¦ [Q ] n κ k =1 h −t 2 ( zκ3 − zκ3 −1 ) [D ] = 3 39 1 3 3 { [Q] ( z 1 3 1 νE 1 −ν 2 E 1 −ν 2 0 º » » 0 » » E » 2(1 +ν ) »¼ 0 } 4 − z03 ) + [Q ] ( z 43 − z33 ) [D ] = 2 [Q] ( z43 − z33 ) 3 2 §h· §h · § h · § 2t · z − z = ¨ ¸ − ¨ − t ¸ = t 3 + 3 ¨ ¸ t ¨1 − ¸ h¹ ©2¹ ©2 ¹ ©2¹ © 3 4 3 3 2 Per t piccolo: §h· z − z ≅ 3¨ ¸ t ©2¹ 3 4 3 3 Pannelli sandwich in flessione (2) 40 [σ ]k = [Q]k [D −1 ] [M ] z 1 0° 2 0° 3 0° 4 0° z0 = − h 2 z1 = − h +t 2 z2 = 0 z3 = z4 = [D] = 2 [Q ] ( z43 − z33 ) 3 2 §h· z 43 − z33 = 3 ¨ ¸ t ©2¹ [σ ] = [Q] [D −1 ] [M ] z h 2 h −t 2 2 [ ] [ ] 1 §h· [D ] = 2 [Q ]¨ ¸ t D −1 = Q −1 2 2t (h 2 ) ©2¹ [σ ] = [Q ] 1 [M ] z Q −1 [M ] z [σ ] = 2 2t (h 2) 2 2t (h 2) [ ] Pannelli sandwich in flessione ªσ xx º 1 [σ ] = [M ] 2 z ««σ yy »» = 2t (h 2) 2t (h 2) 2 «σ xy » ¬ ¼ (3) ªM x º « 0 »z « » «¬ 0 »¼ σ xx = 41 Mx z 2t (h 2) 2 Mx momento per unità di lunghezza M M b Mx = σ xx = M b σ xx = Mx z 2t (h 2) 2 Riferimenti bibliografici M b M z σ = z xx 2t (h 2) 2 bt h 2 2 42 1. A. Kaw, “Mechanics of Composites Materials”, CRC Press, 1997 2. M. Tuttle, “Structural Analysis of Polymeric Composite Materials”, Marcel Dekker, 2004 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno Accademico 2010/2011 FATICA DEI MATERIALI Fatica ad alto numero di cicli - Parte I Ioannis Papadopoulos 2 Fatica: l’evidenza sperimentale (1) Nel corso della storia dell’industria moderna sono avvenute rotture improvvise e inaspettate in: organi di macchine componenti strutture di macchine poco sollecitati rispetto ai limiti “statici” dei materiali, al di sotto del limite elastico, ma soggetti a sforzi variabili nel tempo. Esempi: assali ferroviari strutture, componenti e fusoliere di aerei alberi a gomiti ingranaggi e moltissimi altri 3 Fatica: l’evidenza sperimentale (2) Assale ferroviario È sollecitato a flessione rotante, con andamento che, in prima schematizzazione, è sinusoidale, più eventuale momento torcente. 4 Fatica: l’evidenza sperimentale (3) Assale ferroviario L’assale è sollecitato come una trave, ma ruota, quindi lo sforzo in ogni suo punto ha un andamento nel tempo variabile sinusoidalmente (se ruota a velocità costante!). 5 Fatica: l’evidenza sperimentale (4) Assale ferroviario Questo è il disegno di uno dei primi cedimenti di assale ferroviario che si ricordi: incidente di Versailles,1842. 6 Fatica: l’evidenza sperimentale (5) Fusoliera di aereo È sollecitata a pressione pulsante, con andamento tipico Si osserva che la differenza di pressione fusoliera/esterno segue un ciclo base cui sono sovrapposti cicli a frequenza maggiore (turbolenze, variazioni di quota etc). 7 Fatica: l’evidenza sperimentale (6) Purtroppo vi sono stati numerosi incidenti dovuti a sottovalutazione degli effetti dei carichi variabili nel tempo. Il caso del COMET nei primi anni ’50 è rimasto famoso ed ha fornito preziosi insegnamenti 8 Fatica: l’evidenza sperimentale (7) Il caso del COMET ha mostrato che tutti gli intagli sono critici nei componenti sollecitati a fatica Sperimentazione di laboratorio Rottami recuperati in mare 9 Fatica: l’evidenza sperimentale (8) In generale i carichi sulle macchine non sono costanti, ma variabili nel tempo. L’andamento dipende da molti fattori: funzionamento della macchina, utilizzo, altri fattori esterni, etc. a. assale di autovettura b. pressione in un reattore c. ruota di vettura d. Mt albero laminatoio e. Mf fuso a snodo f. accelerazione aereo militare g. pressione oleodotto h. accelerazione aereo civile Fatica: l’evidenza sperimentale (9) 10 In sintesi L’evidenza sperimentale dimostra che si verificano cedimenti per carichi variabili nel tempo che assumono valori nettamente inferiori non solo al carico di rottura ma anche al carico di snervamento QUESTO FENOMENO SI CHIAMA FATICA DEI MATERIALI e vale per : materiali metallici, polimerici, compositi Fatica: Classificazione - 11 Fatica policiclica (High-cycle fatigue) • Vita lunga ( >105 cicli) • Comportamento elastico • Approccio basato sui sforzi • Fatica policiclica uniassiale: Curva di Wöhler (Ampiezza dello sforzo - Numero di cicli) - Fatica oligociclica (Low-cycle fatigue) • Vita corta (<105 cicli) • Comportamento elasto-plastico • Approccio basato sui deformazioni • Fatica oligociclica uniassiale: Curva di Coffin-Manson (Ampiezza della deformazione - Numero di cicli) - Propagazione di cricche di fatica • Approccio basato sulla meccanica della frattura: e.g. Legge di Paris Fatica: la schematizzazione dei carichi variabili con prove di laboratorio (1) 12 Andamento sinusoidale dello sforzo nel tempo: i parametri sono: • Ampiezza, sollecitazione media o • Sollecitazione minima, massima 13 Fatica: la schematizzazione dei carichi variabili con prove di laboratorio (2) Definizioni σa = σ max − σ min 2 σ max + σ min σm = 2 σ min R= σ max 14 Fatica: la schematizzazione dei carichi variabili con prove di laboratorio (3) I casi possibili sono molti: Esempi di caricho ciclico uniassiale (1) 15 • tensione-compressione R= -1 σ xx (t ) = σ xx ,a sin( ªσ xx (t ) 0 0º « 0 0 0»» « «¬ 0 0 0»¼ 2π t) P 2π , σ xx (t ) = σ xx ,a sin(ω t ) P Δσ xx Δσ xx σ xx ,a = , σ xx (t ) = sin(ω t ) 2 2 ω= Esempi di caricho ciclico uniassiale (2) 16 - tensione-compressione R -1 ªσ xx (t ) 0 0º « 0 0 0»» « «¬ 0 0 0»¼ 2π t ) + σ xx ,m P σ xx (t ) = σ xx ,a sin(ω t ) + σ xx ,m σ xx (t ) = σ xx ,a sin( Esempi di caricho ciclico uniassiale (3) 17 - Torsione R= -1 σ xy (t ) 0º ª 0 «σ (t ) 0 0»» « yx «¬ 0 0 0»¼ σ xy = σ yx σ xy (t ) = σ xy ,a sin( σ xy (t ) = σ xy ,a sin( 2π t ) = σ xy ,a sin(ω t ) P 2π t ) + σ xy ,m = σ xy ,a sin(ω t ) + σ xy ,m P 18 Fatica: le prove per caratterizzare il materiale (1) Le prove per caratterizzare il materiale a fatica: • diagramma di Wöhler • limite di fatica D vengono di norma eseguite su provini di piccole dimensioni per i seguenti motivi: • forze esterne più piccole e meglio controllabili • macchine di prova più piccole • migliore controllo di dimensioni, finitura etc del provino 19 Fatica: le prove per caratterizzare il materiale (2) Forma tipica dei provini diametro, spessore < 10 mm 20 Fatica: la macchina di prova a flessione rotante (1) Schema della macchina di prova a flessione rotante, la più semplice ed economica macchina per prove di fatica 21 Fatica: la macchina di prova a flessione rotante (2) Fatica dei metalli: il fenomeno fisico (1) 22 Perché si verificano rotture “per fatica” con carichi variabili nel tempo inferiori allo snervamento o al limite elastico? La rottura per fatica, a differenza di quella monotòna (cosiddetta “statica”: prova di trazione, carico crescente applicato una volta sola fino a rottura), può avvenire fondamentalmente in due modi: per nucleazione, partendo dal vivo del materiale integro, con una cricca o fessura che inizia in una zona ad elevata sollecitazione (intagli etc) e si propaga ciclo dopo ciclo fino a interessare tutta la sezione che poi cede “di schianto” quando è indebolita; a partire da un difetto (inclusione, etc) preesistente, e successiva propagazione, non necessariamente nella zona di massima solelcitazione. Fatica dei metalli : il fenomeno fisico (2) 23 Schema del fenomeno della nucleazione Sulla superficie libera si nuclea la cricca, che, ciclo dopo ciclo, propaga all’interno del materiale fino a indebolire la sezione al punto che si rompe “staticamente” perché lo sforzo, a causa dell’area ridotta, è diventato pari al carico di rottura. Fatica dei metalli: il fenomeno fisico (3) 24 Schema del fenomeno della nucleazione Sollecitazione monotòna extrusion intrusion Sollecitazione ciclica Il meccanismo, schematicamente, è quello dello scorrimento irreversibile di piani cristallini spessi circa 0,1 m, che, con cicli di carico successivi, producono in superficie un piccolo intaglio che diventa una cricca di fatica, che poi si propagherà. Fatica dei metalli: il fenomeno fisico (4) 25 Persistent Slip Bands Fatica dei metalli: il fenomeno fisico (5) 26 Fatica: il fenomeno fisico (6) Schema del fenomeno della propagazione 27 Beachmarks La propagazione avviene ciclo dopo ciclo, ed ogni ciclo fa avanzare la cricca di una piccola quantità che può essere rilevata sulla superficie della frattura Fatica: il fenomeno fisico (7) Schema del fenomeno della propagazione da un difetto La propagazione può partire da un difetto esistente all’interno del materiale, come quello illustrato nella foto 28 Fatica: il fenomeno fisico (8) 29 Apparenza delle rotture per fatica Provino per prove di flessione rotante in laboratorio d = 6 mm 30 Fatica: la schematizzazione dei fenomeni Possiamo tracciare diagrammi nei quali siano separate: • nucleazione • propagazione (fino alla rottura del provino) Zone caratteristiche del diagramma di Wöhler 31 log(σa ) resistenza di fatica a N1 cicli limite di fatica σa σD ND N1 Diagrammi di Wöhler per compositi log(Nf ) 32 100 90 80 70 σmax Il meccanismo di danneggiamento per fatica dei materiali compositi è diverso di quello dei metalli, e varia secondo il tipo di composito; comunque i dati vengono comunemente rappresentati tramite diagrammi di Wöhler. 60 50 40 PA6 30% FV T=50°C PA6 30% FV T=23°C 30 10 3 10 4 10 N 5 10 6 Diagrammi di Wöhler per polimeri 33 Il meccanismo di danneggiamento per fatica dei polimeri è diverso di quello dei metalli; comunque i dati vengono rappresentati tramite diagrammi di Wöhler. Le varie forme del diagramma di Wöhler 34 Limite di fatica ottenuto con lo stair-case Le tre rappresentazioni: • lin-lin • lin-log • log-log NB: i dati sono gli stessi! ND Equazione di Basquin 35 1b 1 §σ · ND = ¨ D ¸ 2 ¨© σ ′f ¸¹ Equazione di Basquin σ a = σ ′f (2 N f )b per σ a > σ D N =∞ per σ a ≤ σ D Altre Equazioni… 1k §N · σa = σD¨ D ¸ © N ¹ , σa = p +σ D , Nq σa = σD 1− m Nn Il limite di fatica in tensione-compressione 36 La progettazione nel campo della HCF spesso si basa sulla conoscenza del limite di fatica, cioè un componente che deve resistere ad un alto numero di cicli si progetta nel modo che resista un numero (teoricamente) infinito di cicli Effetti sul limite di fatica in tensione-compressione Effetto dello sforzo medio, σ’D = f(σD ,σm ) Effetto dello stato superficiale (e sforzi residui ), b2 Effetto delle differenze di dimensioni (dal provino al componente), Effetto d’intaglio, Kf σ lim = b2b3 σ D′ Kf b3 Effetti sul limite di fatica in tensione-compressione (1) 37 Effetto dello sforzo medio Effetti sul limite di fatica in tensione-compressione (2) 38 Effetto dello sforzo medio σ D′ σ m + = 1 σ D′ Goodmann σD σy § σ · = ¨1 − m ¸ σ D ¨ σ ¸ y ¹ © Morrow (Goodmann modified) § σ · σ D′ σ m + = 1 σ D′ = ¨¨1 − m ¸¸ σ D σD σu © σu ¹ Gerber §σ · σ D′ § σ m · ¸¸ = 1 σ D′ = σ D 1 − ¨¨ m ¸¸ + ¨¨ σ D © σu ¹ © σu ¹ Marin § σ D′ · § σ m · ¸¸ = 1 ¨¨ ¸¸ + ¨¨ σ σ © D¹ © u¹ 2 2 Jaspers σ D′ = σ D 2 (1 − R) 2 , 2(1 − R | R |) R= σ min σ max 2 σm > 0 Effetti sul limite di fatica in tensione-compressione (3) 39 Effetto dello sforzo medio Si note che seguendo per esempio la formula di Morrow (Goodmann modified): ¾Conoscendo il limite di fatica σ D per R=-1, si calcola il limite di fatica σ D ′ per R ≠ −1 § σm · σ D′ σ m ¨¨1 − ¸¸ σ D ′ = σ D + =1 © σu ¹ σ D σu ′ per R ≠ −1 si ¾ e vice-versa, i.e. conoscendo il limite di fatica σ D calcola il limite di fatica σ D per R=-1 σ′ σ D′ σ m + = 1 σ D = σD σ D σu 1− m σu Effetti sul limite di fatica in tensione-compressione (4) 40 Effetto dello stato superficiale (e sforzi residui), b2 Approccio fenomenologico b2 Rt : Rugosità picco-valle della superficie carico di rottura (MPa) Effetti sul limite di fatica in tensione-compressione (5) 41 Effetto dimensionale b3 Approccio fenomenologico b3 Effetti sul limite di fatica in tensione-compressione (6) 42 Effetto d’intaglio, Kf Approccio fenomenologico Peterson: K f = 1 + q ( K t − 1) Cumulo del danno di fatica-Regola di Miner (1) 1§σ per σ a > σ D , σ a = σ ′f (2 N f ) b N f = ¨ a 2 ¨© σ ′f Carico R= -1 con ampiezza costante sforzo C A R = −1 43 1b · ¸ ¸ ¹ 1 2 1 2 σ a = (σ max − σ min ) = (σ A − σ B ) tempo B §σ · 1 Danno introdotto da un ciclo i qualsiasi, e.g. A-B-C: = 2¨ a ¸ Di = ¨σ′ ¸ Nf © f ¹ n n Danno introdotto da n identici cicli: Di = Nf i =1 −1 b ¦ Cumulo del danno di fatica-Regola di Miner (2) 1§σ per σ a > σ D , σ a = σ ′f (2 N f ) b N f = ¨ a 2 ¨© σ ′f Carico con ampiezza costante e sforzo medio sforzo F D R ≠ −1 44 1b · ¸ ¸ ¹ 1 2 1 2 1 2 1 2 σ a = (σ max − σ min ) = (σ D − σ E ) σ m = (σ max + σ min ) = (σ D + σ E ) tempo E Assumendo per ex. che la formula di Morrow è valida anche pel la vita finita: σa σ + m = 1 σ a ,equ = σ a (1 − σ m σ u ) σ a ,equ σ u −1 b § · σ 1 a ,equ ¸ Danno introdotto da un ciclo i qualsiasi, e.g. D-E-F: Di = = 2¨ ¨ ′ Nf σ f ¸¹ © n n Danno introdotto da n identici cicli: Di = Nf i =1 ¦ Cumulo del danno di fatica-Regola di Miner (3) 1b (2) D F sforzo (1) A C 45 N (f1) 1 §¨ σ a(1) ·¸ = 2 ¨© σ ′f ¸¹ 1b tempo E B n (1) ( 2) 1 §¨ σ a ,equ ·¸ ( 2) Nf = 2 ¨© σ ′f ¸¹ ) σ a( 2,equ = σ a( 2 ) (1 − σ m( 2) σ u ) n ( 2) Danno provocato da n (1) cicli del carico (1) più n (2) cicli dal carico (2) n (1) n ( 2) D = (1) + ( 2 ) Nf Nf Cumulo del danno di fatica-Regola di Miner (4) 46 Per k blocchi di carico: n (1) n ( 2 ) n ( 3) n(k ) D = (1) + ( 2 ) + (3) + ... ( k ) Nf Nf Nf Nf Per k blocchi di carico dove il provino si rompe per fatica durante il k-esimo blocco: Regola di Miner n (1) n ( 2) n (3) n(k ) D = (1) + ( 2 ) + ( 3) + ... ( k ) = 1 Nf Nf Nf Nf k ¦ j =1 n( j ) =1 ( j) Nf 1b σ ( j) a ,equ =σ ( j) a (1 − σ ( j) m σu ) N (f j ) ( j) 1 §¨ σ a ,equ ·¸ = 2 ¨© σ ′f ¸¹ L’ordine nella quale i blocchi di carico vengono applicati non ha nessun effetto sul cumulo del danno secondo la regola di Miner Cumulo del danno di fatica- Carico “random” (1) 47 sforzo picco tempo valle Definizione di un ciclo di carico Cumulo del danno di fatica- Carico “random” (2) 48 ¾ Metodo Rainflow; Definizione di un ciclo di carico Z X X X’ Z Y Y Δσ YZ < Δσ XY Δσ YZ > Δσ XY non esiste ciclo esiste un ciclo con range Δσ = σ X − σ Y Δσ YZ = σ Y − σ Z Δσ XY = σ X − σ Y quindi ampiezza σ a = Δσ 2 = ( σ X − σ Y ) / 2 e valore medio σ m = (σ X + σ Y ) / 2 Cumulo del danno di fatica- Carico “random” (3) 1 D 5 2 H F 5 D-E-F D D H F B E C G -5 La storia del carico viene riorganizzata nel modo che si comincia dal massimo A C Δσ EF < Δσ FG Δσ DE > Δσ EF Ciclo E-F-E’ 6 D-G-H D 5 A -5 D H G-H-A D 5 D H B B A C A C C -5 G -5 G G G-H-A non esiste ciclo Il ciclo E-F-E’ identificato viene eliminato D-G-H non esiste ciclo 50 Cumulo del danno di fatica- Carico “random” (4) 7 G-H-A D H H-A-B 5 D 8 D H B 5 A-B-C D B A C G -5 A G G-H-A non esiste ciclo D H B A C -5 C G -5 E’ E D E’ D-E-F non esiste ciclo D F A B 5 D H F B G 5 D 6 E-F-G D 5 E E -5 5 3 B A 4 49 -5 A’ C G Δσ AB < Δσ BC H-A-B non esiste ciclo Ciclo A-B-A’ 9 5 D D H 10 11 G-H-C 5 D D H H-C-D 5 D D H H’ B A’ A -5 C G G Il ciclo A-B-A’ identificato viene eliminato C C -5 G-H-C non esiste ciclo -5 G Δσ HC < Δσ CD Ciclo H-C-H’ Cumulo del danno di fatica- Carico “random” (5) 51 D-C-D 12 5 D D H 13 H’ D D 5 C G -5 14 5 -5 G Il ciclo H-C-H’ identificato Δσ DG = Δσ GD viene eliminato Ciclo D-G-D D F E-F-G D H B E A -> ciclo E-F-E’ A-B-C -> ciclo A-B-A’ Δσ AB = σ A − σ B , σ a , AB H-C-D -> ciclo H-C-H’ Δσ HC = σ H − σ C , σ a , HC = Δσ HC 2 σ m, HC = (σ H + σ C ) D-G-D -> ciclo D-G-D Δσ DG = σ D − σ G , σ a ,GD = Δσ GD 2 σ m ,GD = (σ G + σ D ) C G -5 Δσ EF 1 σ m, EF = (σ E + σ F ) 2 2 Δσ AB 1 = σ m, AB = (σ A + σ B ) 2 2 Δσ EF = σ E − σ F , σ a , EF = Cumulo del danno di fatica- Carico “random” (6) 1 2 1 2 52 Valore medio cicli blocco ampiezza Δσ EF = σ E − σ F , σ a , EF = EF->(1) σ a(1) = Δσ EF 2 Δσ AB = σ A − σ B , σ a , AB AB->(2) σ a( 2 ) = Δσ AB 2 σ m( 2) = (σ A + σ B ) 2 n ( 2) = 1 HC->(3) σ a(3) = Δσ HC 2 σ m(3) = (σ H + σ C ) 2 n ( 3) = 1 DG->(4) σ a( 4) = Δσ DG 2 σ m( 4 ) = (σ D + σ G ) 2 n ( 4) = 1 Δσ EF 1 σ m, EF = (σ E + σ F ) 2 2 Δσ AB 1 = σ m , AB = (σ A + σ B ) 2 2 Δσ HC 2 σ m , HC = (σ H + σ C ) Δσ GD = 2 1 = (σ G + σ D ) 2 Δσ HC = σ H − σ C , σ a , HC = Δσ DG = σ D − σ G , σ a ,GD σ ( j) a ,equ =σ ( j) a (1 − σ ( j) m 1 2 σ m ,GD σu ) σ m(1) = (σ E + σ F ) 2 1b N (f j ) ( j) 1 §¨ σ a ,equ ·¸ = 2 ¨© σ ′f ¸¹ n (1) n ( 2) n (3) n ( 4 ) 1 1 1 1 D = (1) + ( 2 ) + ( 3) + ( 4 ) = (1) + ( 2 ) + (3) + ( 4 ) Nf Nf Nf Nf Nf Nf Nf Nf n (1) = 1 Riferimenti bibliografici 53 1. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M. e Foletti S., “Comportamento meccanico dei materiali”, McGraw-Hill, 2005 2. Dowling N., “Mechanics of Materials“, Prentice Hall, 1998 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno Accademico 2010/2011 FATICA DEI MATERIALI Fatica ad alto numero di cicli - Parte II Ioannis Papadopoulos Carico multiassiale • Esempi di carichi multiassiali Flessione - torsione ªσ xx (t ) σ xy (t ) 0º «σ (t ) » 0 0 yx « » «¬ 0 0 0»¼ • In fase (completamente alternata) 2π t) P 2π σ xy (t ) = σ xy ,a sin(ω t ) = σ xy ,a sin( t ) P σ xx (t ) = σ xx ,a sin(ω t ) = σ xx ,a sin( • Fuori fase (completamente alternata) σ xx (t ) = σ xx ,a sin(ω t ) σ yy (t ) = σ yy ,a sin(ω t − ϕ yy ) (1) 2 Carico multiassiale (2) 3 (3) 4 • Esempi di carichi multiassiali Sforzi normali bi-assiali 0 0º ªσ xx (t ) « 0 σ yy (t ) 0»» « «¬ 0 0 0»¼ • Fuori fase σ xx (t ) = σ xx ,a sin(ω t ) σ yy (t ) = σ yy ,a sin(ω t − ϕ yy ) • Con frequenze diverse σ xx (t ) = σ xx ,a sin(ω xxt ) σ yy (t ) = σ yy ,a sin(ω yy t ) Carico multiassiale • Carichi multiassiali sinusoidali, caso generale ªσ xx ,a sin(ω xx t + ϕ xx ) + σ xx ,m σ xy ,a sin(ω xy t + ϕ xy ) + σ xy ,m σ xz ,a sin(ω xz t + ϕ xz ) + σ xz ,m º » « » « + + + + + + σ sin( ω t ϕ ) σ σ sin( ω t ϕ ) σ σ sin( ω t ϕ ) σ « xy ,a xy xy xy , m yy , a yy yy yy , m yz , a yz yz yz , m » » « » « «σ xz ,a sin(ω xz t + ϕ xz ) + σ xz ,m σ yz ,a sin(ω yz t + ϕ yz ) + σ yz ,m σ zz ,a sin(ω zz t + ϕ zz ) + σ zz ,m » » « ¼ ¬ ϕ xx = 0 sin(ω t) Frequenza di riferimento e.g. ω xx = 1 Fase di riferimento e.g. 6 ampiezze, 6 valori medi, 5 fasi, 5 frequenze Carico multiassiale (4) 5 • Carichi multiassiali periodici, caso generale ªσ xx , a f (ω xxt + ϕ xx ) + σ xx ,m σ xy , a f (ω xy t + ϕ xy ) + σ xy ,m σ xz ,a f (ω xz t + ϕ xz ) + σ xz ,m º » « » « «σ xy ,a f (ω xy t + ϕ xy ) + σ xy ,m σ yy ,a f (ω yy t + ϕ yy ) + σ yy , m σ yz ,a f (ω yz t + ϕ yz ) + σ yz ,m » » « » « + + + + + + σ f ( ω t ϕ ) σ σ f ( ω t ϕ ) σ σ f ( ω t ϕ ) σ « xz ,a xz xz xz , m yz , a yz yz yz , m zz , a zz zz zz , m » » « ¼ ¬ f(ω t) ϕ xx = 0 Frequenza di riferimento e.g. ω xx = 1 Fase di riferimento e.g. 6 ampiezze, 6 valori medi, 5 fasi, 5 frequenze Classificazione dei carichi multiassiali ciclici 6 ªσ xx (t ) º «σ (t )» « yy » ªσ xx (t ) σ xy (t ) σ xz (t ) º «σ zz (t ) » » « σ σ σ t t t → ( ) ( ) ( ) » « yy yz » « yx σ t ( ) xy » « «σ zx (t ) σ zy (t ) σ zz (t ) » ¼ ¬ «σ yz (t ) » » « «¬σ xz (t ) »¼ σkl Percorso del carico Carico ciclico (periodico) σ ij (t ) = σ ij (t + P) σij Classificazione dei carichi multiassiali ciclici Carichi proporzionali 7 σ ij (t ) = σ ij ,a f (t ) + σ ij ,m σ ij ,m = λσ ij ,a ⇔ σ zy ,m σ xx ,m σ yy ,m = = =λ σ xx ,a σ yy ,a σ zy ,a σ ij (t ) = σ ij ,a ( f (t ) + λ ) Percorso, segmento di una linea retta che passa dal origine Classificazione dei carichi multiassiali ciclici Esempio carico proporzionale 8 σxx σ xx (t ) = 200 sin(ωt ) + 100 σ xy (t ) = 100 sin(ωt ) + 50 σxy Direzioni principali fisse tan(2θ ) = 2σ xy (t ) σ xx (t ) − σ yy (t ) = 2(100 sin(ω t ) + 50 ) =1 200 sin(ω t ) + 100 Classificazione dei carichi multiassiali ciclici Carichi affini 9 σ ij (t ) = σ ij ,a f (t ) + σ ij ,m σ ij ,m ≠ λσ ij ,a Percorso di carico, retta che NON passa dal origine Esempio di carico affino σ xx (t ) = 50 Le direzioni principali σ xy (t ) = 100 sin(ωt ) σxy σxx cambiano nel tempo σxy tan(2ϕ ) = σxx,a σxx,m σ xx − σ yy = 2 (100sin(ωt ) ) 50 σxx Classificazione dei carichi multiassiali ciclici Carichi non proporzionali Flessione - torsione sinusoidali fuori fase σxx 2σ xy 10 σ xx (t ) = 200 sin(ωt ) + 100 σxy σ xy (t ) = 100 sin(ωt − 30°) + 50 tan(2θ ) = σxy tan(2θ ) = 2σ xy (t ) σ xx (t ) − σ yy (t ) 200sin(ωt − 30°) + 100 200sin(ωt ) + 100 Le direzioni principali σxx cambiano nel tempo Classificazione dei carichi multiassiali ciclici 11 Carichi non proporzionali Due sforzi normali sinusoidali con frequenze diverse σxx σyy σ xx (t ) = 200 sin(ωt ) σ yy (t ) = 100 sin(2ωt ) σyy Le direzioni principali rimangono fisse ma σxx il carico non è proporzionale Classificazioni dei carichi - Esempio 1 (1) 12 Classificazioni dei carichi - Esempio 1 Carico proporzionale Classificazioni dei carichi - Esempio 2 (2) 13 Percorso del carico (1) 14 Classificazioni dei carichi - Esempio 2 (2) 15 Percorso del carico Carico nonproporzionale Sforzi esercitati su un piano materiale (1) 16 Vettore & sforzo & Sn = σ ⋅ n Vettore sforzo normale & & & & & & & σ n = n ⋅ S n n σ n = (n ⋅ σ ⋅ n )n ( & ) Vettore sforzo tangenziale (di scorrimento) & & τ = Sn − σ n & & & & & & τ = σ ⋅ n − (n ⋅ σ ⋅ n ) n ª nx º ªsin θ cos ϕ º & « » « n = «n y » = « sin θ sin ϕ »» «¬ nz »¼ «¬ cos θ »¼ Sforzi esercitati su un piano materiale (2) 17 Sforzi esercitati su un piano materiale (3) 18 Vettore Sforzo sul piano di normale & n & & Sn = σ ⋅ n ªσ xx σ xy σ xz º « » σ = «σ yx σ yy σ yz » «σ zx σ zxy σ zz » ¬ ¼ ª nx º ªsin θ cos ϕ º & « » « n = «n y » = « sin θ sin ϕ »» «¬ nz »¼ «¬ cos θ »¼ ªσ xx nx + σ xy n y + σ xz nz º ªσ σ xy σ xz º ª nx º & « xx & » » « S n = «σ yx σ yy σ yz » ««n y »» S n = «σ yx nx + σ yy n y + σ yz nz » «σ zx nx + σ zy n y + σ zz nz » «σ zx σ zxy σ zz » «¬ nz »¼ ¼ ¼ ¬ ¬ Sforzi esercitati su un piano materiale (4) 19 & Vettore Sforzo Normale sul piano di normale n Sforzi esercitati su un piano materiale (5) 20 Vettore Sforzo Tangenziale sul piano di normale & & τ = Sn − σ n & & n 2 2 2 ªτ x º ª (σ xx nx + σ xy n y + σ xz )nz − nx (σ xx nx + σ yy n y + σ zz nz + 2σ xy nx n y + 2σ xz nx nz + 2σ yz n y nz ) º & « » τ = ««τ y »» = «(σ yx nx + σ yy n y + σ yz )nz − n y (σ xx nx2 + σ yy n y2 + σ zz nz2 + 2σ xy nx n y + 2σ xz nx nz + 2σ yz n y nz )» «¬τ z »¼ «¬ (σ zx nx + σ zy n y + σ zz )nz − nz (σ xx nx2 + σ yy n y2 + σ zz nz2 + 2σ xy nx n y + 2σ xz nx nz + 2σ yz n y nz ) »¼ Componenti del sforzo tangenziale in un sistema di riferimento locale (1) z & τ & r ª nx º ªsin θ cos ϕ º & « » « n = «n y » = « sin θ sin ϕ »» «¬ nz »¼ «¬ cos θ »¼ & Sn & l & n ªl º ª− sin ϕ º & « x» « l = «l y » = « cos ϕ »» «¬l z »¼ «¬ 0 »¼ ª rx º ª− cos θ cos ϕ º & « » « r = «ry » = « − cos θ sin ϕ »» «¬ rz »¼ «¬ »¼ sin θ θ O 21 y ϕ Δ x Componenti del sforzo tangenziale in un sistema di riferimento locale (2) 22 & & τ = Sn − σ n & τ l = l x nxσ xx + l y n yσ yy + l z nzσ zz + (l x n y + l y nx )σ xy + (l x nz + l z nx )σ xz + (l y nz + l z n y )σ yz τ r = rx nxσ xx + ry n yσ yy + rz nzσ zz + (rx n y + ry nx )σ xy + (rx nz + rz nx )σ xz + (ry nz + rz n y )σ yz Ampiezza e valore medio dello sforzo 23 normale esercitato su un piano materiale & & & & & & & & σ n (t ) = n ⋅ S n (t ) n σ n = n ⋅ σ (t ) ⋅ n n ( & Sn ) ( ) Valore algebrico dello sforzo normale & & n ⋅ σ (t ) ⋅ n & σn & τ Valore medio ed ampiezza dello sforzo normale & & & & & & & & σ n ,m = ª« max(n ⋅ σ (t ) ⋅ n ) + min (n ⋅ σ (t ) ⋅ n )º» t∈P 2 ¬ t∈P ¼ 1 σ n ,a = ª« max(n ⋅ σ (t ) ⋅ n ) − min (n ⋅ σ (t ) ⋅ n )º» t∈P 2 ¬ t∈P ¼ 1 Ampiezza e valore medio dello sforzo di taglio 24 & Sn & σn Ψ’ & τ & τ O Il problema della definizione e del calcolo dell’ampiezza e del valore medio dello sforzo di taglio (tangenziale) non è un problema triviale Ampiezza e valore medio dello sforzo di taglio (1) 25 & τ (t) τa τm τa Ampiezza e valore medio dello sforzo di taglio (2) 26 τ m = OM & τ (t ) Ampiezza e valore medio dello sforzo di taglio (3) 27 τa & τ (t ) τ τa m Ampiezza e valore medio dello sforzo di taglio (4) 28 Unicità di τm ? & τ (t ) Ampiezza e valore medio dello sforzo di taglio (5) Il valore medio dello sforzo di taglio é uguale alla lunghezza del vettore 29 & w∗ che punta sul centro del più piccolo cerchio che sia possibile costruire circoscritto alla curva Ψ’ & τ m = w* & & &½ w* = min & ®max τ (t ) − w ¾ w t ¯ ¿ dove L’ampiezza dello sforzo di taglio è il raggio di questo più piccolo cerchio & & τ a = max τ (t ) − w* t & Sn & σn & τ Ampiezza e valore medio dello sforzo di taglio (6) 30 Algoritmo di costruzione del più piccolo cerchio Esercizio 1- Ampiezza dell’ sforzo di taglio (1) 31 Calcolare il valore medio e l’ampiezza dello sforzo tangenziale esercitato sul piano di vettore normale & n con co-ordinate, ϕ =45° and θ =30° Esercizio 1- Ampiezza dell’ sforzo di taglio z & τ & r & Sn & l & n θ O y ϕ Δ x (2) 32 Esercizio 1- Ampiezza dell’ sforzo di taglio z & τ & r & Sn & l & n ª nx º ªsin θ cos ϕ º & « » « n = «n y » = « sin θ sin ϕ »» «¬ nz »¼ «¬ cos θ »¼ (3) 33 ªl º ª− sin ϕ º & « x» « l = «l y » = « cos ϕ »» «¬l z »¼ «¬ 0 »¼ ª rx º ª− cos θ cos ϕ º & « » « r = «ry » = « − cos θ sin ϕ »» «¬ rz »¼ «¬ »¼ sin θ θ O y ϕ Δ x Esercizio 1- Ampiezza dell’ sforzo di taglio (4) 34 Esercizio 1- Ampiezza dell’ sforzo di taglio (5) Esercizio 2- Ampiezza dell’ sforzo di taglio (1) 35 36 Calcolare il valore medio e l’ampiezza dello & sforzo tangenziale esercitato sul piano di vettore normale n con co-ordinate, ϕ =45° and θ =30° Esercizio 2- Ampiezza dell’ sforzo di taglio (2) Esercizio 2- Ampiezza dell’ sforzo di taglio 37 (3) 38 Esercizio 2- Ampiezza dell’ sforzo di taglio Esercizio 2- Ampiezza dell’ sforzo di taglio (4) (5) 39 40 Criteri di fatica multiassiale 41 Un criterio di fatica è un estensione del concetto del limite di fatica uniassiale nel campo dei sforzi ciclici multiassiali; definisse nel spazio dei sforzi la parte che contiene i percorsi dei carichi ciclici che non conducono alla rottura di fatica σD Criteri di fatica multiassiale - Fatti sperimentali (1) 42 Sines 1956 Davoli et al. 2003 Criteri di fatica multiassiale - Fatti sperimentali (2) 43 Sines 1956 Criteri di fatica multiassiale - Fatti sperimentali (3) 44 Criteri del “piano critico” 45 Gli “ingredienti” dei criteri del tipo “piano critico” sono lo sforzo normale e lo sforzo di taglio che agiscono sul piano materiale. In primo luogo, il "piano critico" deve essere trovato. In secondo luogo, si deve verificare se il criterio è soddisfatto su questo piano critico. Se il criterio non è soddisfatto allora una cricca può apparire su questo piano. Criterio di Matake Piano critico Criterio: 46 Criterio di Matake - Identificazione dei parametri (1) 47 Torsione R=-1 ª 0 σ xy « σ = «σ yx 0 « 0 0 ¬ 0º » 0» 0 »¼ σ xy (t ) = σ yx (t ) = t−1 sin(ω t ) t-1: limite di fatica in torsione R=-1 Criterio di Matake - Identificazione dei parametri (2) 48 Trazione - compressione R=-1 ªσ xx σ = «« 0 «¬ 0 0 0º 0 0 »» 0 0 »¼ σ xx (t ) = s−1 sin(ω t ) s-1: limite di fatica in trazione-compressione R=-1 Criterio di Matake - Esempio 1 49 Applicazione del criterio di Matake nel caso di carico di torsione ciclica con R -1 Il limite di fatica in torsione non dipende dal valore di una torsione statica sovraimposta Criterio di Matake - Esempio 2 50 Applicazione del criterio di Matake nel caso di tensione compressione ciclica con R -1 Un trazione statica riduce il limite di fatica in trazione-compressione (in modo lineare) Criterio di Matake - Esempio 3 (1) 51 Applicazione del criterio di Matake nel caso di flessionetorsione ciclica con R= -1 Criterio di Matake - Esempio 3 (2) “Ellipse arc” di Gough e Pollard 52 Criterio di Matake – estensione nel campo di vita finita (1) 53 Vita infinita: Curva di Basquin per torsione R=-1 Vita finita: Curva di Basquin per trazionecompressione R=-1 Equazione di Matake per la vita finita in fatica multiassiale Nota: equazione implicita per il numero di cicli Criterio di Matake – estensione nel campo di vita finita (2) 54 Esempio – Arco dell’ellisse di Gough-Pollard per vita finita Criterio di Matake – estensione nel campo di vita finita (3) Se 55 allora: Curva di Basquin multiassiale (secondo Matake): Altri criteri del tipo “piano critico” Piano critico: Criterio: 56 Invarianti dello tensore dei sforzi 57 Primo invariante dello tensore dei sforzi Sforzo idrostatico: valore medio: ampiezza: valore massimo: Invarianti dello tensore deviatore dei sforzi (1) Tensore deviatore dei sforzi: 58 Invarianti dello tensore deviatore dei sforzi (2) 59 Tensore deviatore dei sforzi: Secondo invariante dello tensore deviatore dei sforzi: J2 = 1 1 s : s = sij sij 2 2 i , j = x, y , z J2 Di solito viene usata la radice quadratica, i.e. Nota: σ von Mises = Ampiezza di J2 3 s : s σ von Mises = 3 J 2 2 60 & →S= L’ampiezza di J 2 é uguale al raggio della più piccola & iper-sfera circoscritta al percorso del vettore 5-dimensionale S Esempio - Ampiezza di J2 (1) 61 Flessione - torsione ªσ xx σ xy σ = ««σ xy 0 «¬ 0 0 σ xy 0 º 0º ª2σ xx / 3 − σ xx / 3 0 »» 0»» S = «« σ xy «¬ 0 − σ xx / 3»¼ 0 0»¼ ª S1 º ª 3 S xx / 2 º ªσ xx / 3 º » « » «S » « S S − ( ) / 2 0 zz » « » « 2 » « yy »=« σ » « S3 » = « S xy xy » « » « » « S S » « 0 » xz « 4» « » « 0 » «¬ S5 »¼ « S yz ¼ ¬ ¼ ¬ S1 = σ xx / 3 S3 = σ xy L’ampiezza di J 2 é uguale al raggio del più piccolo & cerchio circoscritto al percorso del vettore 2-dimensionale S = ª S1, S3 º ¬ ¼ Esempio - Ampiezza di σ xx J2 σ xy S1 = σ xx / 3 2α 2α (2) σ xx / 3 S 3 = σ xy σ xy 62 Esempio - Ampiezza di S1 =σxx / 3 (3) J2 63 S3 =σxy S 3 = σ xy S1 = σ xx 3 J 2 Carichi proporzionali e affini Ampiezza di σ ij (t ) = σ ij ,a f (t ) + σ ij ,m σ ij ,m = λσ ij ,a σ ij ,m ≠ λσ ij ,a σ ij (t ) = σ ij ,a ( f (t ) + λ ) 1 6 (σ − σ II ,a ) + (σ I ,a − σ III ,a ) + (σ II ,a − σ III ,a ) 2 I ,a 64 σ ij (t ) = σ ij ,a f (t ) + σ ij ,m σ yy ,m σ zy ,m σ ⇔ xx ,m = = =λ σ xx ,a σ yy ,a σ zy ,a J 2, a = (4) 2 2 Criteri di fatica multiassiali in funzione dei invarianti 65 Gli ingredienti di questi criteri di fatica sono lo sforzo idrostatico e il secondo invariante del tensore deviatore dei sforzi. Applicazione di chiunque di questi criteri può stabilire se una cricca può apparire o meno. Se il criterio non è soddisfatto allora una cricca può apparire. Tuttavia, l'orientamento della cricca potenziale non è specificato da questi criteri. Criterio di Crossland (1) 66 J 2,a + κ C σ H ,max ≤ λ C Torsione R=-1 ª 0 σ xy « σ = «σ yx 0 « 0 0 ¬ 0º » 0» 0 »¼ J 2,a = t−1 σ xy (t ) = σ yx (t ) = t−1 sin(ω t ) t-1: limite di fatica in torsione R=-1 σ H = 0 ( σ H ,max = 0) t−1 = λ C Criterio di Crossland (2) 67 J 2,a + κ C σ H ,max ≤ λ C Trazione - compressione R=-1 ªσ xx σ = «« 0 «¬ 0 0 0º 0 0 »» 0 0 »¼ σ xx (t ) = s−1 sin(ω t ) s-1: limite di fatica in trazione-compressione R=-1 J 2,a = s−1 3 σ H ,max = s−1 s + κ C −1 ≤ t−1 3 3 κC = s−1 3 t−1 − Criterio di Crossland – Estensione nel campo di vita finita J 2,a + κ C σ H ,max ≤ λ C J 2,a + s−1 3 s−1 3 68 t−1 − s−1 3 σ H ,max ≤ t−1 s−1 3 σ Se allora: Curva di Basquin multiassiale (secondo Crossland): σ H ,max Altri criteri basati sui invarianti 69 Sines J 2,a + κ S σ H ,max ≤ λ S κS = 3 t−1 − 3 s0 λS = t−1 s0: limite di fatica in trazione R=0 Kakuno-Kawada J 2,a + p σ H ,m + q σ H ,a ≤ r etc… Comparison with experimental results (1) 70 1 ( σ I ,a − σ II ,a )2 + (σ I ,a − σ III ,a )2 + (σ II ,a − σ III ,a )2 Proportional 6 loading – Crossland criterion J 2, a = Criterio di Crossland – Carichi proporzionali Comparison with experimental results (2) 71 Criterio di Crossland non-proporzionali Non-proportional loading–– Carichi Crossland criterion Riferimenti bibliografici 72 1. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M. e Foletti S., “Comportamento meccanico dei materiali”, McGraw-Hill, 2005 2. Dowling N., “Mechanics of Materials“, Prentice Hall, 1998 3. Papadopoulos I.V. “Critical plane approaches in high-cycle fatigue: On the definition of the amplitude and the mean value of the shear stress acting on the critical plane" Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, Vol. 21, pp. 269-285, 1998. 4. Papadopoulos I.V. et al. “A comparative study of multiaxial high-cycle fatigue criteria for metals”, International Journal of Fatigue, vol. 19, No 3, pp. 219-235, 1997 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno Accademico 2010/2011 PLASTICITÀ PLASTICITÀ MULTIASSIALE Stefano Foletti COMPORTAMENTO ELASTICO – PLASTICO CICLICO 2 “…understanding multiaxial cyclic deformation is the key to unlocking the secrets of multiaxial fatigue.” “…few fatigue critical components are designed to tolerate net section yielding; however, even nominally elastic components often have regions were local stresses exceed the yield strength of the material. In these cases, some type of plasticity analysis is required” “…no single model has gained widespread use, and development continues as the subject of research activity.” From Darrell F. Socie and Gary M. Marquis, “Multiaxial Fatigue”, 2000 3 COMPORTAMENTO ELASTICO Piccole Comportamento Legge di deformazioni elastico Hooke Hx Hy Hz J xy J yz J xz 1 ªV x Q V y V z E¬ 1 ªV y Q V x V z E¬ 1 ªV z Q V x V y E¬ º ¼ 9 º¼ 9 º ¼ 9 Uno sforzo normale produce una deformazione normale su tre piani Uno sforzo normale non produce una deformazione tangenziale sullo stesso piano W xy G W yz G W xz G Uno sforzo tangenziale produce una deformazione tangenziale sullo stesso piano 9 Uno sforzo tangenziale non produce una deformazione normale sullo stesso piano Per un materiale sollecitato in campo elastico lo stato di deformazione è univocamente determinato dallo stato di sforzo (vale il viceversa) COMPORTAMENTO ELASTICO – PLASTICO CICLICO risposta di un materiale in campo plastico Fenomeni di plasticità osservati in presenza di carichi ciclici: 9 Incrudimento ciclico; 9 Addolcimento ciclico; 9 Creep ciclico o ratchetting; 9 Rilassamento dello sforzo medio. 4 COMPORTAMENTO ELASTICO – PLASTICO CICLICO 5 comportamento del materiale allo scarico La direzione di incremento delle deformazioni o degli sforzi viene invertita dopo aver superato il punto di snervamento. EFFETTO BAUSCHINGER Diminuzione del limite elastico (lineare) a compressione dopo che il materiale vergine, quindi sollecitato per la prima volta, è stato portato oltre lo snervamento a trazione. Lo snervamento nella fase di scarico avviene generalmente prima che sia raggiunto il carico di snervamento monotòno a compressione (V0C) COMPORTAMENTO CICLICO Il materiale è sottoposto a cicli di sforzo o deformazione imposta di ampiezza e frequenza costante. La risposta del materiale si modifica col progredire dei cicli, fino a stabilizzarsi dopo un dato numero di cicli. Risposta del materiale: • Incrudimento ciclico • Addolcimento ciclico • Creep ciclico (ratcheting) • Rilassamento dello sforzo medio 6 COMPORTAMENTO CICLICO 7 incrudimento e addolcimento ciclico Il materiale è sottoposto a cicli di deformazione imposta di ampiezza e frequenza costante (R= -1) in direzione assiale. A deformazione imposta lo sforzo aumenta INCRUDIMENTO CICLICO A deformazione imposta lo sforzo diminuisce ADDOLCIMENTO CICLICO COMPORTAMENTO CICLICO 8 incrudimento e addolcimento ciclico Il materiale è sottoposto a cicli di sforzo imposto di ampiezza e frequenza costante (R= -1) in direzione assiale. A sforzo imposto la deformazione diminuisce INCRUDIMENTO CICLICO A sforzo imposto la deformazione aumenta ADDOLCIMENTO CICLICO 9 COMPORTAMENTO CICLICO incrudimento e addolcimento ciclico Quali materiali addolciscono e quali incrudiscono ciclicamente? • • Incrudimento ciclico: materiali allo stato ricotto che non hanno subìto trattamenti termici Addolcimento ciclico: materiali sottoposti a trattamento termico (tipicamente bonifica), o deformati plasticamente in maniera importante Regola empirica: Vm ! 1.4 Rp0,2 • Incrudimento ciclico: • Comportamento stabile: 1.2 • Addolcimento ciclico: Vm 1.4 Rp0,2 Vm 1.2 Rp0,2 COMPORTAMENTO CICLICO 10 creep ciclico Accumulo di deformazione plastica in materiali soggetti a cicli di carico con uno sforzo medio imposto Prova ciclica monoassiale in controllo di forza con uno sforzo medio imposto (cicli non simmetrici) Lento e progressivo accumulo di deformazioni plastiche nella direzione dello sforzo medio applicato. Materiali con addolcimento ciclico: la deformazione media aumenta indefinitamente fino a rottura Materiali con incrudimento ciclico: tende ad un ciclo stabilizzato (ciclo di isteresi chiuso) COMPORTAMENTO CICLICO 11 rilassamento dello sforzo medio Si verifica nel caso di prove in controllo di deformazione con un valore di deformazione media imposta. La velocità di rilassamento dipende dall’entità delle deformazioni plastiche e del livello iniziale dello sforzo medio. COMPORTAMENTO CICLICO rilassamento dello sforzo medio 12 13 CURVA CICLICA (ciclo stabilizzato) Percorso di carico imposto: controllo di deformazione, ampiezza della deformazione costante Ha, componente media nulla (R = -1) Ciclo di isteresi stabilizzato: convenzionalmente in corrispondenza di N=Nf/2 'H 'He 'Hp Ha 'H ; Va 2 Ha Va Hpa E 'V 'Hp E 'V ; Hpa 2 'Hp 2 14 CURVA CICLICA Cicli stabilizzati: ottenuti in corrispondenza di diversi valori di deformazione imposta Curva ciclica: riportando tutti i cicli stabilizzati sullo stesso diagramma ed interpolando i vertici con un’opportuna equazione si ottiene la curva ciclica Ramberg-Osgood: i vertici vengono generalmente interpolati secondo l’equazione: Ha Va Hpa E Va § Va · ¨ ¸ E ©K'¹ 1 n' 15 CURVA CICLICA (Confronto comportamento monotòno – comportamento ciclico) • • • • Addolcimento ciclico Incrudimento ciclico Comportamento stabile Comportamento misto CURVA CICLICA 16 (Dati sperimentali) • Incrudimento ciclico (Lega di alluminio 5455) • Addolcimento ciclico (Acciaio ad alto snervamento) 17 CURVA CICLICA (Dati sperimentali) • Comportamento misto (Lega di titanio) • Comportamento stabile (Lega di alluminio 7075 – T73) IPOTESI DI MASING 18 (costruzione rami cicli di isteresi) Permette di costruire i cicli d’isteresi stabilizzati del materiale noti i parametri della curva ciclica: Per un materiale simmetrico, ciascun ramo del ciclo di isteresi può essere rappresentato mediante la medesima forma matematica della curva ciclica, a patto di sostituire le ampiezze di sforzo e deformazione con le corrispondenti variazioni. Raddoppiando la curva ciclica (moltiplicando per due ascisse e ordinate) si ottiene un ramo del ciclo stabilizzato per quel dato valore di deformazione. 19 IPOTESI DI MASING (costruzione rami cicli di isteresi) Si considera la curva ciclica espressa secondo l’equazione di Ramberg-Osgood: Ha Va Hpa E Va § Va · ¨ ¸ E ©K'¹ 1 n' 1 n' 'H 2 'V § 'V · ¨ ¸ 2E © 2K ' ¹ 'H 'V § 'V · 2¨ ¸ E © 2K ' ¹ 1 n' 20 IPOTESI DI MASING (costruzione rami cicli di isteresi) I due rami dei cicli di isteresi che hanno per estremi i punti (-Ha , -Va) e (Ha , Va) si ottengono dall’equazione: 'H 'V § 'V · 2¨ ¸ E © 2K ' ¹ 1 n' Ramo inferiore H V V §V V· Ha a 2¨ a ¸ E © 2K ' ¹ Ramo superiore H Ha Va V §V V· 2¨ a ¸ E © 2K ' ¹ 1 n' 1 n' 21 IPOTESI DI MASING (verifica ipotesi) Si fanno coincidere i vertici inferiori dei cicli si isteresi stabilizzati a diversi valori di deformazione alternata: I rami ascendenti si sovrappongono: il materiale presente un comportamento ciclico tipo Masing (Acciaio AISI 304 ) I rami ascendenti non si sovrappongono: il materiale non presenta un comportamento ciclico tipo Masing (Acciaio al carbonio o materiali asimmetrici) Acciaio inox Acciaio al carbonio COMPORTAMENTO ELASTICO – PLASTICO CICLICO 22 modelli di plasticità plasticità incrementale Elasticità: lo stato di sforzo è UNIVOCAMENTE determinato dallo stato di deformazione ed è INDIPENDENTE DALLA STORIA PRECEDENTE delle deformazioni. Plasticità: gli sforzi e le deformazioni sono DIPENDENTI DALLA STORIA PRECEDENTE. Ad un unico valore di deformazione possono corrispondere diversi valori di sforzo. Il legame elastico – plastico viene generalmente risolto nel metodo ad elementi finiti facendo ricorso ad un modello di plasticità incrementale. COMPORTAMENTO ELASTICO – PLASTICO CICLICO 23 modelli di plasticità plasticità I modelli di plasticità ciclica, in grado di rappresentare compiutamente tutti gli aspetti sperimentali, sono spesso molto complicati e richiedono la determinazione sperimentale di molte costanti del materiale. In pratica, per semplicità, spesso si considerano modelli di plasticità ciclica semplificati in grado di rappresentare solo alcuni dei comportamenti sperimentali evidenziati. MODELLI DI PLASTICITÀ CICLICA FUNZIONE LIMITE Per descrivere la combinazione di sforzi che porta al flusso plastico REGOLA DI INCRUDIMENTO Per descrivere come cambia la superficie limite durante il flusso plastico REGOLA DI FLUSSO Per descrivere il legame tra gli sforzi e le deformazioni plastiche durante il flusso plastico MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA 24 funzione limite La funzione limite o di incipiente plasticità definisce la combinazione di sforzi che porta un materiale al limite del comportamento elastico. Criterio limite di von Mises per stato di sforzo piano: F V 12 V 22 V 1V 2 V 02 0 Criterio limite di Tresca per stato di sforzo piano: F1 F2 V1 V 3 V 0 0 V1 V 2 V 0 0 or F3 V2 V3 V0 0 25 MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA superficie limite Nel caso multiassiale completo si definisce per semplicità la superficie limite di von Mises nello spazio deviatorico (ipersfera nello spazio a 6 dimensioni) s D : s D 2k 2 Von Mises f 0 con k V0 3 s: tensore degli sforzi deviatorici (V = s + VHI) D: tensore dei backstress nello spazio deviatorico k: carico unitario di snervamento a torsione V: carico unitario di snervamento 26 MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA regola di flusso plastico Regola di flusso plastico: rappresenta l’equazione costitutiva che descive la relazione tra l’incremento degli sforzi e l’incremento delle deformazioni plastiche Regola di flusso plastico di Drucker dH dH p dpn 1 ds : n n h dH dH e p ds: incremento del tensore degli sforzi deviatorici dHp:incremento del tensore delle deformazioni plastiche dp: incremento di deformazione plastica equivalente dp dH p : dH p n: versore normale alla superficie limite h: funzione modulo plastico n s D s D s D s D : s D s D 2k 27 MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA regola di incrudimento Regola di incrudimento: definisce come la superficie limite si modifica in seguito ad una deformazione plastica Vengono considerate solo due alternative: 1. La superficie limite si espande (INCRUDIMENTO ISOTROPO) 2. La superficie limite trasla (INCRUDIMENTO CINEMATICO) L’incrudimento isotropo può essere combinato con quello cinematico per permettere di rappresentare comportamenti del materiale quali l’incrudimento o l’addolcimento ciclico In forma generale la regola di incrudimento può essere scritta come: f s D : s D 2k 2 p 0 9 k = costante, incrudimento puramente cinematico 9 D = 0, incrudimento puramente isotropo MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA 28 regola di incrudimento: incrudimento isotropo L’incrudimento isotropo descrive l’incremento del dominio elastico all’aumentare della deformazione plastica cumulata. 9 Memoria del materiale: si consideri che il materiale venga caricato fino al punto B e poi scaricato. Nella successiva messa in carica lo snervamento avverrà nel punto B. Il materiale “ricorda” il precedente carico. 9 Raggiunto il punto C se il materiale è caricato in compressione lo snervamento avverrà nel punto D. 9 Durante il flusso plastico la superficie limite si espande in tutte le direzione allo stesso modo, senza cambiamenti di forma o traslazioni. MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA 29 regola di incrudimento: incrudimento isotropo 9 Considerando un percorso di carico in controllo di deformazione, il modello di incrudimento isotropo prevede un aumento dei valori massimi e minimi di sforzo raggiunto fino a raggiungere eventualmente una deformazione completamente elastica. 9 Considerando un percorso di carico in controllo di sforzo, il modello di incrudimento isotropo prevede una deformazione completamente elastica dopo il primo ciclo MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA 30 regola di incrudimento: incrudimento cinematico Il modello di incrudimento cinematico descrive l’effetto Bauschinger di un materiale 9 La superficie limite può traslare nello spazio degli sforzi senza cambiamenti di dimensione e di forma 9 Dopo avere raggiunto il punto B, caricando in compressione si ottiene un comportamento notevolmente differente rispetto a quello dell’incrudimento isotropo. Lo snervamnmeto avviene nel punto C in corrispondenza di uno sforzo VC = VB - 2V0 31 MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA regola di incrudimento: incrudimento cinematico 9 Il modello di incrudimento cinematico produce una risposta ciclica stabilizzata dopo il primo ciclo di carico sia in controllo di deformazione che di sforzo 32 MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA incrudimento isotropo e cinematico Differenze tra i modelli di incrudimento isotropo e cinematico: 1. Torsione dal punto A al punto B 2. Scarico fina al punto A 3. Successivo carico in trazione fino al punto C I materiali mostrano un comportamento reale che può essere rappresentato dall’utilizzo di entrambi i modelli di incrudimento fino al raggiungimento della condizione stabile. Dopo la stabilizzazione il solo modello cinematico può rappresentare la risposta del materiale MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA 33 condizione di consistenza Condizione di consistenza: durante il flusso plastico lo stato di sforzo corrente deve sempre appartenere al contorno della superficie limite s D : s D 2k 2 f dH p dp 0 1 ds : n n h dpn dH p : dH p 1 ds : n h s D n 2k Condizione di consistenza: df 0 MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA 34 condizione di consistenza Condizione di consistenza: durante il flusso plastico lo stato di sforzo corrente deve sempre appartenere al contorno della superficie limite df 0 2 s D : ds 2 s D : dD 4kdk 2k n : ds 2k n : dD 2kdk n : ds n : dD hdp n : dD h 2dk 2dk n : dD dk 2 dp dp 0 0 35 MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA modello di incrudimento isotropo Il modello più semplice, generalmente disponibile in tutti i software ad elementi finiti in grado di svolgere analisi in campo elasto – plastico, è il modello che utilizza il solo INCRUDIMENTO ISOTROPO. V0 p k p con 3 p H :H p p V0 p V 0 Qf 1 e bp deformazione plastica equivalente Costanti del materiale Q e b: Nel caso monoassiale: dp p dH : dH V0i p MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA modello di incrudimento isotropo V 0 Qf 1 e bp k p 3 n : dD dk 2 dp dp h dH 1 ds : n n h p dH : dH p dp p k p p p dp V 0 Qf 1 e bp 3 ds p d H px 2 Qd H px 2 Qd H px Vit Vic 2 3 p 3§1 · 4i 3 'Hp ¸ Hx 2 2 ¨© 2 ¹ 36 2 3 p dHx 2 37 MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA modello di incrudimento cinematico Modelli tipo Armstrong-Frederick: 1. Definisce la direzione di spostamento della superficie limite 2. Definisce l’entità dello spostamento della superficie limite La condizione di consistenza viene utilizzata per ottenere la funzione modulo plastico h Regola di incrudimento dD Cond consistenza h Flusso plastico dH p Modelli tipo Mróz: 1. Definisce la funzione modulo plastico h 2. Definisce la direzione di spostamento della superficie limite L’entità dello spostamento della superficie limite è determinata dalla condizione di consistenza Flusso plastico h Regola di incrudimento dH p MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA dD Cond consistenza dD 38 modello di incrudimento cinematico lineare Il modello più semplice di incrudimento cinematico è quello LINEARE (Ziegler): dD dp ap dH p ap dpn dH : dH p p Il centro della superficie elastica trasla nella direzione di n ap è una costante sperimentale che può essere determinata con prove sperimentali cicliche in controllo di deformazione con R = -1. Fonte: Manuale di ABAQUS MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA 39 modello di incrudimento cinematico lineare dD ap dH p ap dpn Condizione di sforzo monoassiale: dD x ap dH xp D 2 D1 ap dpn ap H 2p H1p condizione di consistenza 2 ª V2 V0 V1 V0 º¼ 3¬ 2 V2 V1 ap 3 'H p ap 'H p MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA modello di incrudimento cinematico lineare dD h ap dH p ap dpn n : dD dk 2 dp dp dH 1 ds : n n h p dH : dH p dp p dD p p dp ap dH p ap dpn ap ds 40 41 MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA modello di incrudimento cinematico tipo ArmstrongArmstrong-Frederick Regola di incrudimento cinematico non lineare: D· § cr ¨ n ¸dp r¹ © dD c, r: 2 costanti del materiale Chaboche (1979) ha proposto di scomporre il tensore dei backstress in M parti. Ogni parte segue una legge di incrudimento tipo Armstrong-Frederick: § D(i ) · c ( i )r ( i ) ¨¨ n ( i ) ¸¸dp r ¹ © dD ( i ) M D ¦D c(i), r(i): 2xM costanti del materiale (i ) i 1 42 MODELLI DI PLASTICITÀ PLASTICITÀ CICLICA modello di incrudimento cinematico tipo ArmstrongArmstrong-Frederick Uno dei modelli di plasticità ciclica di maggior utilizzo è quello proposto da Jiang and Sehitoglu (1993): dD L (i ) (i ) D (i ) § § D(i ) ¨ (i ) (i ) c r ¨ n ¨¨ ( i ) r ¨ © © D (i ) D (i ) i D (i ) : D (i ) · ¸ ¸ ¹ F ( i ) 1 L (i ) · ¸ ¸ dp ¸ ¹ c(i), r(i), F(i): 3xM costanti del materiale 1,2,..., M i 1,2,..., M Quando F(i) = 0 il modello è identico a quello di Chaboche Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno Accademico 2010/2011 FATICA LCF MULTIASSIALE Stefano Foletti Criteri di resistenza LCF multiassiali CRITERI BASATI SULLE DEFORMAZIONI: 9 von Mises 9 ASME Code CRITERI ENERGETICI: 9 Morrow Criterion 9 Garud Criterion 9 Ellyin Criterion CRITERI BASATI SUL PIANO CRITICO: 9 Brown – Miller Criterion 9 Fatemi – Socie Criterion 2 3 Criteri basati sulle deformazioni von Mises ª Hx t « «H xy t « ¬ H xz t [Hij t ] [Hij,a ] H zx t º » H zy t » » Hz t ¼ H yx t Hy t H yz t ª H x,a « «H xy,a « ¬ H xz,a J yx 2 Hy t J yz H y,a H yz,a H x,a H y,a 2 1 Q 2 von Mises Caso uniassiale: ªH x,a « « 0 «¬ 0 Heq,a Heq,a 0 QH x,a 0 1 H x,a º » 0 » QH x,a »¼ 0 2 2 1 Q 2 H y,a H z,a Criteri basati sulle deformazioni [Hij,a ] t t J zx º t » 2 » J zy » ° t » ®Hij,a 2 °¯ » » Hz t » ¼ max Hij t t min Hij t t 2 H zx,a º » H zy,a » » H z,a ¼ H yx,a 1 Heq,a ª « Hx t « « J xy t « « 2 « J xz t « ¬ 2 2 1 Q H 2x,a Vcf 2Nf E b Hcf 2Nf H x,a c Nf 2 H z,a H x,a 2 3 2 J xy,a J 2yz,a J 2zx,a 2 4 f Nf 5 Criteri basati sulle deformazioni von Mises ESEMPIO: percorso di carico assiale torsionale in fase e fuori fase MATERIALE: SAE 1045 Proprietà meccaniche: V’f = 948 MPa b = -0.092 H’f = 0.260 c = -0.445 K’ = 1258 MPa n’ = 0.208 PERCORSO IN FASE: Hx,a = 0.00264 mm/mm Jx,a = 0.00515 mm/mm PERCORSO FUORI FASE: Hx,a = 0.00264 mm/mm Jx,a = 0.00515 mm/mm G = 90° 6 Criteri basati sulle deformazioni von Mises ESEMPIO: percorso di carico assiale torsionale in fase e fuori fase 9 Il criterio di von Mises produce la stessa deformazione equivalente nel caso in fase e fuori fase, 9 e quindi la stessa durata, 9 in contraddizione con molti risultati sperimentali che, a pari ampiezza, mostrano una durata inferiore nel caso fuori fase. 7 Criteri basati sulle deformazioni ASME Code ASME Code: 'Heq ° 2 ª valore di ® 'H x 'H y °̄ 3 «¬ 2 'H y 'H z 2 2 'H z 'H x 1 ½° 6 'H2xy 'H 2yz 'H 2zx º 2 ¾ massimizzato rispetto al tempo ¼ °¿ dove: 'H x H x t1 H x t 2 , 'H xy H xy t1 H xy t 2 , etc... L’ampiezza di deformazione equivalente è ottenuta variando t1 and t2 in modo da ottenere il valore massimo: Heq,a 'Heq 2 Vcf 2Nf E b Hcf 2Nf c Nf 8 Criteri basati sulle deformazioni ASME Code ESEMPIO: percorso di carico assiale torsionale in fase e fuori fase 9 Il criterio produce un’ampiezza di deformazione equivalente inferiore nel caso fuori fase, 9 e quindi una durata superiore in contraddizione con i risultati sperimentali. 9 L’uso di questo criterio può dare origine a previsione non conservative. 9 Criteri basati sulle deformazioni von Mises e ASME Code H eq,a 'Heq 1 2 1 Q H x,a H y,a 2ª ° « 'H x 'H y ® °¯ 3 ¬« 2 2 H y,a H z,a 'H y 'H z 2 2 H z,a H x,a 'H z 'H x 2 2 3 2 J xy,a J 2yz,a J 2zx,a 2 1 °½ 6 'H 2xy 'H 2yz 'H 2zx º 2 ¾ ¼ °¿ PRO CONTRO 9 Semplicità 9 Non possono essere utilizzati nel caso di 9 Non richiedono parametri aggiuntivi del materiale percorsi di carico non proporzionali 9 Non spiegano la direzione di nucleazione e propagazione delle cricche 9 Non possono tenere in considerazione l’effetto di una deformazione o di uno sforzo medio imposto Criteri energetici Morrow Il lavoro di Morrow sulla plasticità ciclica è alla base di molti criteri energetici proposti in letteratura. Morrow notes: “On the microscopic level, the cyclic plastic strain is related to the movement of dislocations, and the cyclic stress is related to the resistance to their motion… Thus, the plastic strain energy per cycle may be regarded as a composite measure of the amount of fatigue damage per cycle, and the fatigue resistance of a metal may be characterized in terms of its capacity to absorb and dissipate plastic strain energy.” 10 11 Criteri energetici Morrow Utilizzando l’ipotesi di Masing, il lavoro plastico per ciclo, 'Wp, può essere calcolato conoscendo l’ampiezza di deformazione e quella di sforzo : 'H 'H e 'Hp 'V § 'V · 2¨ ¸ E © 2Kc ¹ 1 nc Lavoro plastico per ciclo per unità di volume [MPa]: v³ V dH 'Wp § 1 nc · 'V'Hp ¨ ¸ © 1 nc ¹ p 12 Criteri energetici Morrow Usando l’equazione di Coffin Manson: c 'Hp 2H 2Hcf 2Nf pa ° 'Wp ® b °̄'V 2Va 2Vcf 2Nf v³ V dH p § 1 nc · 'V'Hp ¨ ¸ © 1 nc ¹ § 1 nc · 4Vcf Hcf ¨ ¸ 2Nf © 1 nc ¹ bc Usando l’equazione di Coffin Manson e quella di Ramberg Osgood per la curva ciclica: Va nc K cHpa ° V a ® H °̄ pa nc Vcf 2Nf b Hcf 2Nf c 1 2Nf b 'Wp c § Hpa · c ¨ ¸ © Hcf ¹ b Va §c b· 4Vcf Hcf ¨ ¸ 2Nf ©c b¹ bc § Hpa · c Vcf ¨ ¸ © Hcf ¹ 13 Criteri energetici Morrow 'Wp §c b· 4Vcf Hcf ¨ ¸ 2Nf ©c b¹ bc Il lavoro totale a rottura, 'WpNf, non è una costante 14 Criteri energetici Garud Garud ha esteso il lavoro di Morrow uniassiale al caso multiassiale. Per un percorso di carico multiassiale generico, il lavoro plastico per ciclo può essere calcolato come: Richiede l’utilizzo di un modello di 'Wp VijdHijp plasticità ciclica per ottenere numericamente il lavoro plastico per ciclo v³ La relazione tra il lavoro plastico per ciclo e il numero di cicli a rottura è la seguente: 'Wp §c b· 4Vcf Hcf ¨ ¸ 2Nf ©c b¹ bc P Nf q Per un materiale non Masing i parametri P e q devono essere valutati numericamente interpolando i risultati sperimentali di prove di fatica monoassiali 15 Criteri energetici Garud ESEMPIO: percorso di carico assiale torsionale in fase e fuori fase Modello di plasticità cilcica: 'Wp v³ V dH ¦ V dH ij p ij ij p ij 'WpIn Phase =2.81 MPa 16 Criteri energetici Garud ESEMPIO: percorso di carico assiale torsionale in fase e fuori fase Modello di plasticità ciclica: 'Wp v³ V dH ¦ V dH ij p ij ij p ij 'WpOut of Phase =2.95 MPa 17 Criteri energetici Garud ESEMPIO: percorso di carico assiale torsionale in fase e fuori fase 9 Il criterio di Garud prevede un lavoro plastico per ciclo più alto, e quindi una diminuzione della durata a fatica, nel caso fuori fase. 18 Criteri energetici Garud 'Wp v³ V dH ij p ij PRO CONTRO 9 Non richiede parametri aggiuntivi del 9 Non spiega la direzione di nucleazione e materiale 9 Può essere utilizzato nel caso di percorsi di carico non proporzionali propagazione delle cricche 9 Non tiene in considerazione l’effetto di una deformazione o di uno sforzo medio imposto 9 Non può essere esteso a un numero di cicli a rottura elevato, dove il lavoro plastico per ciclo è piccolo e difficilmente misurabile 19 Criteri energetici Ellyin Il criterio di Ellyin è basato sull’energia di deformazione totale per ciclo: 'Wt 'Wp 'Wp 'We energia di deformazione plastica per ciclo 'We v³ V dH ij p ij parte positiva dell'energia di deformazione elastica per ciclo H x dove H(x) è la funzione di Heaviside: ® ¯H x v³ H V ij H dHije VijdHije 1 per x t 0 0 per x 0 9 Permette di considerare la presenza di 'Wt §c b· 4Vcf Hcf ¨ ¸ 2Nf ©c b¹ bc Vcf2 2Nf 2b 2E uno sforzo medio imposto 9 Permette l’estensione della previsione ad una durata superiore 20 Criteri basati sul piano critico Brown - Miller In analogia al criterio di Matake (basato su una combinazione dello sforzo tangenziale e di quello normale) il criterio di Brown e Miller si basa sulla combinazione tra la massima ampiezza di deformazione tangenziale e la massima ampiezza di deformazione normale agente sul piano di massima ampiezza di deformazione tangenziale. Criterio di Brown e Miller: 'J eq 2 'J max S'Hn 2 La deformazione tangenziale equivalente è definita sul piano caratterizzato dalla massima ampiezza della deformazione tangenziale: 'J max : massimo intervallo di deformazione tangenziale 'Hn : massimo intervallo di deformazione normale sul piano di 'J max S: costante del materiale La costante S può essere ottenuta interpolando i dati sperimentali di prove assiali e torsionali 21 Criteri basati sul piano critico Brown - Miller Caso uniassiale: 'J max 2 'Hn H 'H sin Zt 2 J 'Jmax Q 'H 'H 1 Q 2 'H 1 Q 2 'J eq 2 Q'H 'H H 'Hn Q 'H 'J max S'Hn 2 'H ª 1 Q S 1 Q º¼ 2 ¬ Considerando il contributo elastico e plastico separatamente e l’appropriato valore del coefficiente di Poisson: 'J eq 2 where 'J max Vc S'Hn A f 2Nf 2 E A 1.3 0.7S B b BHcf 2Nf c 1.5 0.5S 22 Criteri basati sul piano critico Brown - Miller 'J eq Caso multiassiale: 2 [Hij t ] ª Hx t « «H xy t « ¬H xz t H yx t Hy t H yz t 'J max S'Hn 2 H zx t º » H zy t » » Hz t ¼ n A Vcf 2Nf E b BHcf 2Nf ªsin - cos Mº « sin - sin M » ; r « » «¬ cos - »¼ c ª cos - cos Mº « cos - sin M » ; l « » «¬ »¼ sin - ª sin M º « cos M » « » «¬ 0 »¼ 23 Criteri basati sul piano critico Brown - Miller 'J eq Caso multiassiale: 2 'J max S'Hn 2 A Vcf 2Nf E b BHcf 2Nf c -, M p Dn t 0 J l (t) 2 l ª¬Hij t º¼ n J r (t) 2 r ª¬Hij t º¼ n p 'J -, M 2 J l lc 2 n ª¬Hij t º¼ n Hn (t) p J r rc 'J max 2 'Hn ª¬Hij t º¼ n 2 2 'Hn -, M ªmax H (t) min H (t) º n n «¬ t »¼ t § 'J · -, M ¸ max ¨ -,M © 2 ¹ -, M 'Hn -, M 24 Criteri basati sul piano critico Brown - Miller 'J eq 2 'J max S'Hn 2 PROS CONS 9 Può essere utilizzato nel caso di percorsi di 9 Richiede l’identificazione di una costante carico non proporzionali 9 Spiega la direzione di nucleazione e propagazione delle cricche del materiale aggiuntiva 9 Può essere utilizzato solo per i materiali con nucleazione e propagazione sui piani di massima deformazione tangenziale 9 Non tiene in considerazione l’effetto di una deformazione o di uno sforzo medio imposto 25 Criteri basati sul piano critico Fatemi - Socie A causa delle diverse modalità di rottura, non è possibile avere un unico criterio in grado di prevedere correttamente i risultati sperimentali per tutti i materiale e per tutte le durate Shear failure mode (region A) Fatemi e Socie hanno modificato il criterio di Brown e Miller sostituendo al posto della variazione di deformazione normale il massimo sforzo normale J a,eq Vn,max 'J max § ¨1 k 2 ¨© Vy · ¸ ¸ ¹ 9 La presenza di uno sforzo normale di trazione separa le superfici della cricca diminuendo le forze di attrito e favorendo la propagazione 26 Criteri basati sul piano critico Fatemi - Socie Descrive l’effetto di uno sforzo medio imposto J a,eq Vn,max 'J max § ¨1 k ¨ 2 © Vy · ¸ ¸ ¹ Limite di snervamento del materiale Costante del materiale da ricavare sperimentalmente 'J max : massimo intervallo di deformazione tangenziale Vn,max : massimo sforzo normale agente sul piano di 'J max Vy : limite di snervamento k : costante del materiale 27 Criteri basati sul piano critico Fatemi - Socie J J a,eq Vn,max 'J max § ¨1 k 2 ¨© Vy Caso torsionale: J a,eq 'J 2 J Wcf 2Nf G · ¸ ¸ ¹ W 'Jmax 'J 'J sin Zt 2 bJ Vn,max H Jcf 2Nf cJ Coffin Manson torsionale 28 Criteri basati sul piano critico Fatemi - Socie ESEMPIO: percorso di carico assiale torsionale in fase e fuori fase J a,eq 'J max 2 § Vn,max ¨¨ 1 k Vy © · ¸¸ ¹ ® ¯M 'J max 90q ° ® 2 70q °Vn,max ¯ 0.00632 mm / mm 145.9 MPa V 29 Criteri basati sul piano critico Fatemi - Socie ESEMPIO: percorso di carico assiale torsionale in fase e fuori fase J a,eq 'J max 2 § Vn,max ¨¨ 1 k Vy © · ¸¸ ¹ ® ¯M 'J max 90q ° ® 2 0q °Vn,max ¯ 0.00515 mm / mm 382.6 MPa 30 Criteri basati sul piano critico Fatemi - Socie ESEMPIO: percorso di carico assiale torsionale in fase e fuori fase k J a,eq 'J max 2 § Vn,max ¨¨ 1 k Vy © · ¸¸ ¹ 0.5108 JInPhase a,eq 0.0076mm / mm of Phase J Out a,eq 0.0078mm / mm Il criterio di Fatemi Socie prevede una deformazione tangenziale equivalente più alta, e quindi una durata inferiore, nel caso di percorso di carico fuori fase 31 Criteri basati sul piano critico Fatemi - Socie Tensile failure mode (region B) La nucleazione avviene sui piani a massimo sforzo (deformazione) tangenziale ma la propagazione avviene su piani perpendicolari al massimo sforzo (deformazione) principale Vn,max Vcf2 2Nf E 'HI 2 2b Vcf Hcf 2Nf b c Parametro Smith Watson Topper Il parametro SWT è basato sull’intervallo di deformazione principale, 'HI, e sul massimo sforzo ,Vn,max, che agisce sul piano di 'HI. La presenza dello sforzo normale permette di tenere in considerazione uno sforzo medio imposto. 32 Criteri basati sul piano critico Fatemi - Socie J a,eq Vn,max 'J max § ¨1 k 2 ¨© Vy · ¸ ¸ ¹ Vn,max 'HI 2 PROS CONS 9 Può essere utilizzato nel caso di percorsi di 9 Richiede l’identificazione di una costante carico non proporzionali 9 Spiega la direzione di nucleazione e propagazione delle cricche 9 Tiene in considerazione l’effetto di una deformazione o di uno sforzo medio imposto 9 Le due varianti permettono l’estensione a materiali con modalità di rottura differenti del materiale aggiuntiva LCF multiassiale 33 Confronto con i risultati sperimentali Materiale: INCONEL 718 LCF multiassiale Confronto con i risultati sperimentali Materiale: INCONEL 718 34 35 LCF multiassiale Confronto con i risultati sperimentali Materiale: INCONEL 718 Errore logaritmico %: Elog %(i) References logNif logNic logNic 100 36 9 Socie, D.F. and Marquis, G.B. (2000). Multiaxial Fatigue. SAE, Warrendale, PA. Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno academico 2010/2011 MECCANICA DELLA FRATTURA Ioannis Papadopoulos MECCANICA DELLA FRATTURA Lineare, non-lineare 2 Meccanica lineare della frattura (linear fracture mechanics) • Fattore di intensificazione degli sforzi (Stress Intensity Factor - K) Meccanica non-lineare della frattura (non-linear fracture mechanics) • Integrale J (J-integral) 3 Intaglio di forma ellittica (1) σ yy σ xx Andamento degli sforzi in un intaglio di forma ellittica σ yy = σ (1 + 2 c ρ σ yy c Kt = = 1+ 2 σ ρ ) Intaglio di forma ellittica σ yy = σ (1 + 2 c ρ ) (2) Kt = 4 σ yy c = 1+ 2 σ ρ Per → 0 l’intaglio tende ad una cricca acuta e lo sforzo tende all’infinito; σ yy → ∞ Richiami di meccanica lineare della Frattura (1) 5 σ* σθθ σrr σrr r σθθ θ a W σ* Richiami di meccanica lineare della Frattura (2) 6 Apertura (Modo I) - coordinate r, θ y θ 1 KI § 5 3θ · ¨ cos − cos ¸ 2 4 2 ¹ 2πr © 4 θ 1 KI § 3 3θ · = ¨ cos + cos ¸ 2 ¹ 2 4 2πr © 4 3θ · θ 1 KI § 1 = ¨ cos + cos ¸ 2 ¹ 2 4 2πr © 4 σ rr = r θ σ θθ x σ rθ Stato di sforzi “universale” θ = 0, (r = x), σ θθ = KI 2π x Richiami di meccanica lineare della Frattura (3) 7 Problemi di elasticità piana: Funzione di Airy Φ σ* σr θ σ rr σθθ ΔΔ =0 r ϕ θ 1 ϑ § ϑΦ · 1 ϑ 2 Φ ΔΦ = ¨r ¸+ r ϑr © ϑr ¹ r 2 ϑθ 2 a W Φ funzione bi-armonica; le seconde derivate di Φ forniscono gli sforzi σ* 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ σ rr = + r ∂r r 2 ∂θ 2 σ θθ ∂ 2Φ = 2 ∂r Richiami di meccanica lineare della Frattura σ rθ = − (4) ∂ § 1 ∂Φ · ¨ ¸ ∂r © r ∂θ ¹ 8 Soluzione di Williams per la fessura: ∞ Φ = σ *W 2 ¦ n =0 ∞ + σ *W 2 ¦ n =0 § r · ¨ ¸ ©W ¹ § r · ¨ ¸ ©W ¹ n +3 2 n+2 ª º n+3 2 An «cos((n + 3 2)θ ) − cos((n − 1 2)θ )» + n −1 2 ¬ ¼ An* [cos((n + 2)θ ) − cos(nθ )] 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ + σ rr = r ∂r r 2 ∂θ 2 σ θθ ∂ 2Φ = 2 ∂r σ rθ = − ∂ § 1 ∂Φ · ¸ ¨ ∂r © r ∂θ ¹ Richiami di meccanica lineare della Frattura rr (5) 9 θ θ θ θ θθ θ θ θ θ σ rθ θ θ θ Richiami di meccanica lineare della Frattura θθ (6)10 θ θ θ θ θ Sviluppo fino a n=1 σ θθ = σ * 3 A0 W ª 1 θ º σ * 15 A1 r ª 5θ θº 3θ 3 + + − cos 5 cos + cos cos «¬ 4 «¬ 2 4 2 »¼ 2 2 »¼ 4 W r 6σ * A1* r [cos 3θ − cos θ ] + 2σ * A [cos 2θ − 1] + W * 0 Richiami di meccanica lineare della Frattura σ θθ = (7)11 σ * 3 A0 W ª 1 θ º σ * 15 A1 r ª 5θ θº 3θ 3 cos 5 cos + cos cos + − + » « » «4 2 4 2 2 2 4 W ¼ ¬ ¼ ¬ r 6σ * A1* r [cos 3θ − cos θ ] + 2σ * A [cos 2θ − 1] + W * 0 Per r 0 σ θθ = σ * 3 A0 W ª 1 r 3θ 3 θº * [cos 2θ − 1] + cos cos + 2 σ * A 0 «¬ 4 2 4 2 »¼ Singular stress Non singular stress Sforzo singolare Sforzo non singolare Richiami di meccanica lineare della Frattura (8) 12 σ * 3 A0 W ª 3 σ θθ = r σ θθ = KI 2π r θ 1 3θ º «¬ 4 cos 2 + 4 cos 2 »¼ θ 1 3θ º ª3 cos + cos «¬ 4 2 4 2 »¼ K I = 3 A0 σ * 2 π W Richiami di meccanica lineare della Frattura (9) θ 1 3θ º ª3 + cos cos «¬ 4 2 4 2 »¼ KI 2π r σ θθ = θ = 0 ( r → x, θ → y ) a 13 σ yy = KI 2π x 1 log σ yy = − log(2π x) + log K I 2 Apertura (Modo I) - coordinate y θ r, θ 3θ · θ 1 §5 ¨ cos − cos ¸ 2 4 2 ¹ ©4 σ rr = KI 2π r σ θθ = KI § 3 3θ · θ 1 ¨ cos + cos ¸ 2 4 2 ¹ 2π r © 4 σ rθ = KI 2π r r x 14 3θ · θ 1 §1 ¨ cos + cos ¸ 2 4 2 ¹ ©4 z σ zz = ν (σ rr + σ θθ ) plane strain, or σ zz = 0 plane stress ur = KI 4μ r 2π θ 3θ º ª κ − − ( 2 1 ) cos cos «¬ 2 2 »¼ uθ = KI 4μ r 2π θ 3θ º ª − + + κ ( 2 1 ) sin sin «¬ 2 2 »¼ E 2(1 −ν ) κ = 3 − 4ν plane strain 3 −ν κ= plane stress 1 +ν μ= Apertura (Modo I) - coordinate x, y 15 y x σxy σ zz = ν (σ xx + σ yy ) plane strain, or σ zz = 0 plane stress E 2(1 −ν ) κ = 3 − 4ν plane strain 3 −ν κ= plane stress 1 +ν μ= ux uy Scivolamento nel piano (Modo II) - coordinate x, y 16 y x σxy σ zz = ν (σ rr + σ θθ ) plane strain, or σ zz = 0 plane stress ux uy E 2(1 −ν ) κ = 3 − 4ν plane strain 3 −ν κ= plane stress 1 +ν μ= Strappo (Modo III) - coordinate x, y 17 y σxz x σyz z μ= uz Stress Intensity Factors (1) E 2(1 −ν ) 18 σ KI = σ π a 2a σ Stress Intensity Factors (2) 19 τ τ τ K II = τ π a 2a τ Stress Intensity Factors (3) 20 τ K III = τ π a 2a τ Stress Intensity Factors (4) 21 Stress Intensity Factors (5) 22 Stress Intensity Factors (6) 23 Stress Intensity Factors (7) 24 Criterio di frattura 25 K I < K Ic Modo I : Esempio: K I = 1.12σ πa a << 1 b Lunghezza critica della cricca per un sforzo σ : 1.12σ K Ic2 πa < K Ic acr = π (1.12σ ) 2 Recipiente sotto pressione (1) 26 t r Pareti sottili σa t 1 < r 10 σt σr σa = pr 2t σt = pr t σ r (r ) = − p σ r (r + t ) = 0 σr σr ≈ − p 2 trascurabile rispettivamente a σa , σt Recipiente sotto pressione (2) 27 σt t r α σt = 2c pr t σt α σt K I = Yaσ t π α < K Ic σt K Ic2 α cr = 2 2 Ya π ( pr t ) e.g . Ya ≈ 1,12 Se la cricca ha una profondità a minore dal valore critico acr, allora il recipiente può funzionare sotto la pressione p Recipiente sotto pressione (3) 28 Se la cricca ha una profondità a MAJORE al valore critico acr, allora sotto la pressione p la cricca traversa la parete e velocemente assume la forma di una cricca rettangolare di lunghezza 2c e profondità uguale allo spessore t t r σt σt 2c 2c σt K I = Υc σ t π c σt e.g . Yb ≈ 1 Recipiente sotto pressione (4) 29 t LEAK BEFORE BREAK r La lunghezza massima ammissibile di una cricca che attraversa la parete del recipiente (per assicurare di avere leak before break) è: 2c K I < K Ic Υcσ t π c < K Ic K Ic2 ccr = 2 2 Yc π ( pr t ) Dunque, se c < ccr si verifica una perdita del contenuto del recipiente senza che la cricca si propaga lungo la direzione assiale in modo catastrofico, i.e. abbiamo la condizione LEAK BEFORE BREAK Criterio di frattura (1) 30 K I < K Ic Modo I : K I = 1.12σ π a Esempio: K Ic2 1.12σ πa < K Ic acr = π (1.12σ ) 2 ? Modo I +II: τ τ Criterio di frattura (2) 31 La tenacità alla frattura misura la resistenza che oppone un materiale alla propagazione di una cricca b forza b W1= (F1 v)/2 F1 δa 2a W2= (F2 v)/2 a δa δWc = W1-W2 2a F2 a+δa v G è l’energia che viene rilassata da un componente che contiene una cricca, mentre la cricca si propaga di una lunghezza δa Se G < Gc Gc = spostamento δ Wc b(2 δα ) la cricca non si propaga G: Energy release rate (tasso di rilascio di energia) Definizione 32 G è l’energia che viene rilassata da un componente che contiene una cricca mentre la cricca si propaga di una lunghezza δa G è il cambiamento dell’ energia potenziale di una struttura che contiene una cricca dovuto alla propagazione della cricca di una lunghezza (infinitesimale) da G=− ∂Π ∂a 1 Π = W − F Π = ³ σ ij ε ij dV − ³ ti ui d Γ 2 Γ V ti = σ ij n j Energia di deformazione Energia dei forzi esterni Il segno (-) nella definizione di G ha il significato che dobbiamo fornire dell’energia per “chiudere” la cricca di una lunghezza da Criterio di frattura (3) 33 G: Energy release rate (tasso di rilascio di energia) Gc: Energia consumata nel avanzamento della cricca per un lunghezza δa (e.g. per rompere i legami moleculari) Criterio di frattura : G ≤ G c E ′ = E plane stress E E′ = plane strain 1 −ν 2 2 Si può dimostrare che in modo I: K G= I E′ K I Stress Intensity Factor K Ic = E′ Gc → tenacità alla frattura Criterio di frattura : K I ≤ K Ic Legame fra KI e G (1) 34 •G è l’energia che viene rilassata mentre la cricca si propaga di una lunghezza δa •G può essere otenuta calcolando l’energia necessaria “per chiudere” l’apertura della cricca lungo la lunghezza δa Sforzi, cricca a α y Spostamenti, cricca a α+δα σyy y’ 2uy x a a x’ δa L’energia necessaria “per chiudere” la cricca è l’energia che si ottiene, applicando sui spostamenti sviluppati quando l’apice della cricca si trova a α+δα, i sforzi che si sviluppano all’apice della cricca prima della sua propagazione Legame fra KI e G (2) 35 Spostamenti, cricca a α+δα y’ y θ x 2uy x’ uy = KI 2μ r θª θº sin «κ + 1 − 2 cos 2 » 2π 2¬ 2¼ = KI 2μ −x ' (κ + 1) 2π δa a per θ = π (r = − x ') uvy x' = x −δ a “apertura” della cricca lungo δa: 2vy = 2u Legame fra KI e G KI μ 2π (3) δ a − x (κ + 1) 36 Sforzi, cricca a α y σyy x σ yy = θª θ KI 3θ º cos «1 + sin sin » 2¬ 2 2¼ 2π r a (θ = 0 r = x) σ yy = KI 2π x Legame fra KI e G 2vy = 2u KI μ 2π 1 G = lim δ a →0 δ a δ a − x (κ + 1) δa ³ 0 σ yy = 1 1 σσyyy(2u (2vy)dx G = lim δ a →0 δ a 2 1 (κ + 1) K I2 G = lim δ a →0 δ a 4 μπ x = tδa (4) δa ³ δa− x 0 x 1 ³ 0 Legame fra KI e G 1 ³ 0 1 ³ 0 ³ 0 KI 2π x 1 K I K I (κ + 1) δ a − x dx 2 2π x μ 2π dx 1 (κ + 1) K I2 G = lim δ a →0 δ a 4 μπ (κ + 1) K I2 G= 4 μπ δa 37 (κ + 1) K I2 1− t δ a dt G = t 4 μπ (5) 1− t dt t Stato piano dei sforzi: μ= 3 −ν κ= 1 +ν Stato piano delle deformazioni: Criterio di frattura ³ 0 1− t dt t 38 G= π 1− t dt = t 2 1 κ = 3 − 4ν G ≤ Gc ⇔ (κ + 1) 2 KI 8μ E 2(1 + ν ) K I2 G= E K I2 G = (1 −ν ) E 2 K I ≤ K Ic Modo misto I+II, criterio di frattura (1) y’ y δa 1 1 ª §1 ·º G = « ¨ σ yy (2u y )dx + σ xy (2u x )dx ¸» δa «¬ 0 © 2 2 ¹»¼ ³ θ=π x’ x 2uy δa a 39 Sforzi, cricca a α Spostamenti, cricca a α+δα (θ = π , r = − x′ , KI 2μ − x′ (κ + 1), 2π u yI = 2u y = KI μ u xI = 0 , 2u x = μ u yII = 0, δα − x (κ + 1) 2π u xII = K II x′ = x − δα K II 2μ σ yy = − x′ (κ + 1), 2π δα − x (κ + 1) 2π δa 1 ª §1 1 ·º G = « ¨ σ yy (2u y )dx + σ xy (2u x )dx ¸» δa «¬ 0 © 2 2 ¹»¼ KI 2π x σ xyI = 0, σ xyII = σ xy = Modo misto I+II, criterio di frattura (2) ³ (θ = 0 , r = x) KI σ yyI = , σ yyII = 0, 2π x K II , 2π x K II 2π x 40 K I2 K II2 + G= E E Stato piano dei sforzi Criterio di frattura : G ≤ Gc K I2 K II2 + ≤ Gc E E τ τ a Per una cricca che pur in modo misto di sollecitazione si propaga nella sua direzione iniziale Forma della zona plastica all’apice della cricca Modo I (1) y 41 σyy σxy x a I sforzi elastici vicino all’ apice della cricca tendono all’infinito: per r → 0, σ ij → ∞ I materiale intorno all’apice della cricca si plasticizza Forma della zona plastica all’apice della cricca Modo I (2) 42 σ von Mises = [σ xx2 + σ yy2 − σ xxσ yy − σ xxσ zz − σ yyσ zz + 3(σ xy2 + σ xz2 + σ yz2 )]1 2 Criterio di von Mises: Stato piano dei sforzi: σ von Mises ≤ σ 0 σ von Mises = [σ xx2 + σ yy2 − σ xxσ yy + 3σ xy2 ]1 2 Stato piano dei sforzi [σ xx2 + σ yy2 − σ xxσ yy + 3σ xy2 ] 1 2 ≤ σ 0 Forma della zona plastica all’apice della cricca Stato piano dei sforzi 1 r (θ ) = 4π σxy σ zz = 0 § KI ¨¨ © σ0 · ¸¸ ¹ 2 3 2 · § ¨1 + cos θ + sin θ ¸ 2 © ¹ Forma della zona plastica all’apice della cricca Modo I (3) r (θ ) ( K I πσ 0 ) plane strain r (θ ) ( K I πσ 0 ) 2 2 = = π§ 3 2 · ¨1 + cos θ + sin θ ¸ 4© 2 ¹ π§ 3 2 · 2 ¨ (1 − 2ν )(1 + cos θ ) + sin θ ¸ 4© 2 ¹ Forma della zona plastica all’apice della cricca Modo I (4) r (θ ) ( K I πσ 0 ) 2 r (θ ) ( K I πσ 0 ) 2 = π§ 3 2 · ¨1 + cos θ + sin θ ¸ 4© 2 ¹ 43 = π§ 44 3 2 · 2 ¨ (1 − 2ν )(1 + cos θ ) + sin θ ¸ 4© 2 ¹ Lunghezza della zona plastica all’apice della cricca - Approssimazione di Irwin 45 Stato piano dei sforzi KI 2π x σ yy = 1 r (θ ) = 4π σ yy = § KI ¨¨ © σ0 · ¸¸ ¹ 2 3 2 · § ¨1 + cos θ + sin θ ¸ 2 © ¹ 1 r (0°) = ry = 2π KI 2π ( x − ry ) § KI ¨¨ © σ0 Stato piano dei sforzi ry ³ 0 1§K rp = 2ry = ¨¨ I π © σ0 KI dx − σ 0 ry = σ 0 (rp − ry ) 2π x Stato piano delle deformazioni, per ν = 1/3 1 rp′ = 3π § KI ¨¨ © σ0 Meccanica della frattura non lineare · ¸¸ ¹ 2 i.e. (1) · ¸¸ ¹ 2 1 rp′ ≈ rp 3 46 Modo I – materiale elastico lineare σ ε σ ij = σ KI f ijI (θ ) 2π r · ¸¸ ¹ 2 Meccanica della frattura non lineare (2) 47 Modo I – materiale elasto-plastico (elastico non lineare) σ §σ · ε =α ¨ ¸ ε0 © σ0 ¹ n ε 1 ( n +1) § σ · σ ij = ¨ ¸ I α ε © 0 n¹ n 0 J 1/( n +1) I f ij (θ ) 1/(1+ n ) r Meccanica della frattura non lineare (3) 48 KI fijI (θ ) σ ij = 2π r 1 ( n +1) § σ · σ ij = ¨ ¸ α ε I © 0 n¹ n 0 J 1/( n +1) I fij (θ ) 1/(1+ n ) r L’integrale J nel campo della meccanica della frattura nonlineare svolge un ruolo simile al ruolo che svolge KI nella meccanica lineare della frattura Integrale J - Definizione x2 49 & n § ∂u · J = ³ ¨ w n1 − ti i ¸ d Γ Γ ∂x1 ¹ © n1 x1 ti Γ w = ³ σ ij d ε ij ∂w = σ ij ∂ε ij 1 ( per un materiale lineare elastico w = ³ σ ij d ε ij = σ ij ε ij ) 2 ti = σ ij n j Integrale J – Path independence Γ A & n (1) 50 § ∂u · J = ³ ¨ wn1 − ti i ¸ d Γ Γ ∂x1 ¹ © & & t =σ ⋅n & & t = σ ⋅ n ⇔ ti = σ ij n j ti ∂ui ∂u = σ ij n j i ∂x1 ∂x1 w n1 = wδ1 j n j § ∂u · J = ³ ¨ wδ1 j − σ ij i ¸ n j d Γ Γ ∂x1 ¹ © Integrale J – Path independence (2) 51 § ∂u · J = ³ ¨ wδ1 j − σ ij i ¸ n j d Γ Γ ∂x1 ¹ © Teorema di Gauss: ³ g i ( xk ) n j d Γ = Γ ∂g i ( xk ) ³ ∂ xj d A A § ∂w ∂σ ij ∂ui § ∂ui · ∂ 2ui − σ ij J = ³ ¨ wδ1 j − σ ij δ1 j − ¸ n j d Γ J = ³A ¨¨ Γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂x1∂x j x x x x 1 ¹ 1 j © © j § ∂w ∂σ ij ∂ui ∂ 2ui J =³ ¨ − − σ ij A ¨ ∂x ∂x1∂x j © 1 ∂x j ∂x1 Integrale J – Path independence · ¸¸ dA ¹ (3) § ∂w ∂σ ij ∂ui ∂ 2ui J =³ ¨ − − σ ij A ¨ ∂x x x ∂ ∂ ∂x1∂x j j 1 © 1 · ¸¸ dA ¹ 52 · ¸¸ dA ¹ ∂w ∂w ∂ε pq = ∂x1 ∂ε pq ∂x1 ε pq 1 § ∂u p ∂uq = ¨ + 2 ¨© ∂xq ∂x p ∂w = σ pq ∂ε pq · ∂ε pq 1 § ∂ 2u p ∂ 2uq · ¨ ¸ = + ¸ ¸ ¨ ¸ 2 x x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 p 1¹ ¹ © q 1 Equazioni di equilibrio: 2 ∂ 2uq · 1 § ∂ up ∂w ¸ = σ pq ¨ + 2 ¨ ∂xq ∂x1 ∂x p ∂x1 ¸ ∂x1 © ¹ ∂ 2u p ∂w = σ pq ∂x1 ∂xq ∂x1 ∂σ ij ∂x j =0 Integrale J – Path independence § ∂w ∂σ ij ∂ui ∂ 2ui − − σ ij J =³ ¨ A ¨ ∂x x x ∂ ∂ ∂x1∂x j j 1 © 1 ∂σ ij ∂x j (4) · ¸¸ dA ¹ 53 =0 § ∂σ ij ∂ui ∂ 2ui ∂ 2ui − − σ ij J = ³A ¨¨ σ ij ∂ ∂ ∂ ∂ ∂x1∂x j x x x x j j 1 1 © =0 ∂ 2u p ∂ 2ui ∂w = σ pq = σ ij ∂x1 ∂xq ∂x1 ∂x j ∂x1 · ¸¸ dA ¹ J =0 Γ A Integrale J – Path independence (5) 54 x2 § ∂u · J = ³ ¨ wn1 − ti i ¸ d Γ Γ ∂x1 ¹ © ³ x1 Γ+ : ( n1 = 0, ti = 0 ) ³ dΓ = 0 ³ dΓ = − ΓB Γ− : ³ dΓ + dΓ + Γ+ ( n1 = 0, ³ ΓA ti = 0 ) Γ+ ³ ΓB dΓ + ³ ΓA dΓ = 0 ΓB ³ dΓ + Γ− ³ dΓ = 0 Γ− ³ ΓA dΓ ³ ΓB dΓ = ³ ΓA dΓ = 0 dΓ Integrale J e tasso di rilascio di energia G 55 Meccanica non lineare della frattura Meccanica lineare della frattura forza forza F1 F1 a a dWc = W1-W2 dWc = W1-W2 F2 F2 a+δa a+δa spostamento v spostamento v ∂Π ∂a ∂Π J =− ∂a Per un materiale elastico lineare : J = G G=− Integrale J ed energia potenziale § ∂u · J = ³ ¨ wn1 − ti i ¸ d Γ Γ ∂x1 ¹ © − dΓ x1 “a” dx2 n x1 − Γ ³ ³ ³ Γ A ∂ ∂ =− ∂x1 ∂a · § · ∂Π ∂ § ¨ ³ wdx1dx2 − ³ ti ui d Γ ¸ − ∂Π = ¨ ³ wdx2 − ³ ti ∂ui d Γ ¸ = ¸ ¸ ∂a ¨© x ∂x1 ∂a ∂x1 ¨© A Γ Γ ¹ ¹ 2 si nota che, § · ∂u ∂Π ¨ ¸ = ¨ wdx2 − ti i d Γ ¸ = ∂a ¨ ∂x1 ¸ Γ © x2 ¹ Γ · ∂Π ∂ § = − ¨¨ ³ wdx1dx2 − ³ ti ui d Γ ¸¸ ∂a ∂a © A Γ ¹ si nota che n1 A − ³ Π = ³ wdV − ³ ti ui d Γ Π = wdx1dx2 − ti ui d Γ V x2 56 − dx2 = n1dΓ quindi : ∂u ∂Π = ³ wn1dΓ − ³ ti i d Γ = ∂a Γ ∂x1 Γ J =− § ³ ¨¨© wn − t 1 Γ ∂Π =G ∂a i ∂ui · ¸d Γ = ∂x1 ¸¹ J Riferimenti Bibliografici 57 1. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M. e Foletti S., “Comportamento meccanico dei materiali”, McGraw-Hill, 2005 2. Dowling N., “Mechanics of Materials“, Prentice Hall, 1998 3. Gdoutos E.E. “Fracture Mechanics - An Introduction”, Springer, 2005 4. Perez N. “Fracture Mechanics”, Kluwer, 2004 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno accademico 2010/2011 PROPAGAZIONE DI CRICCHE PER FATICA Ioannis Papadopoulos Propagazione di cricche per fatica (1) 2 Le grandezze caratteristiche di un ciclo di sollecitazione di fatica ad ampiezza costante fra min e max sono: Δσ = σ max − σ min = 2σ a ΔK = Y Δσ π a Δa da ≈ ΔN dN Y= Propagazione di cricche per fatica (2) 3 Fenomeni che sono coinvolti nella propagazione delle cricche per fatica: 1 - velocità di propagazione controllata dalla variazione K (che dipende da a e da Y per Δ costante) 2 - velocità di propagazione aumenta man mano che la cricca si propaga 3 - la cricca si propaga fino a una lunghezza af alla quale si ha la frattura fragile per un numero di cicli Nf Velocità di propagazione della cricca - “Legge” di Paris 4 Legge di Paris per un acciaio duttile “Legge” di Paris si applica alla parte centrale del diagramma in scala log-log, che dà la velocità di propagazione in funzione del K e delle costanti C ed n del materiale. n da = C (ΔK ) n dN Applicabilità della “legge” di Paris (1) 5 Condizioni generali per l’applicabilità della “legge” di Paris: • Il comportamento del componente che contiene la cricca rimane globalmente elastico • La cricca (pre-esistente) si propaga in modo I P P υ υ P Applicabilità della “legge” di Paris Dalle prove sui materiali alla valutazione della durata : 1.Provini di forma unificata e pre-criccati 2.Misura della propagazione su provino precriccato sollecitato a fatica (R = 0,1 – 0,2) 3.Ripetizione con valori diversi di Δ per esplorare un campo ampio di K 4.Utilizzo delle costanti del materiale C ed n così ottenute per il calcolo della propagazione e della durata sul pezzo E’ provata l’unicità di questa soluzione: Per dato materiale, data frequenza, dato R, date condizioni ambientali, La velocità di propagazione dipende (solo) da ǻK (2) 6 7 “Legge” di Paris Tre zone del diagramma: a) Valori bassi di da/dN : andamento quasi verticale, tende ad asintoto Kth o valore di soglia; b) Valori alti di da/dN : andamento che tende all’asintoto, cioè propagazione instabile della cricca; c) Valori intermedi di da/dN : con andamento lineare del diagramma log/log, dove si applica la legge di Paris n acciai C [(mm/ciclo)/(MPa√m)]n n [-] 5,6 – 6,9 10-9 2,3 – 3,0 Velocità di propagazione in funzione di ΔK, R = 0 8 stress da = C (ΔK ) n dN time La “legge” di Paris è stata stabilita inizialmente per R=0 Velocità di propagazione in funzione di ΔK, R 0 K 9 R≥0 ΔK = K max − K min Kmax da n = C (ΔK ) dN Kmin>0 time K R<0 Δ K = K max Kmax Kmin<0 time Velocità di propagazione in funzione di ΔK - Effetto R da n = C (Δ K ) dN (1) 10 Legge di Paris per alluminio e acciaio, in funzione di R Velocità di propagazione in funzione di ΔK - Effetto R (2) 11 Legge di Paris per Inconel e lega di Ti, in funzione di R Altre formule di propagazione 12 Forman da C F (ΔK ) F = dN (1 − R ) K c − ΔK n La formula di Forman tiene conto di R e della tenacità alla frattura Kc n Ewalds & Wanhill pº ª Δ K § · th «1 − ¨ ¸ » da ΔK ¹ » nW « © = CW (ΔK ) « q » dN § · K « 1 − ¨ max ¸ » «¬ ¨© K c ¸¹ »¼ r La formula di Ewalds & Wanhill tiene conto di Kmax (quindi di R), della tenacità alla frattura Kc e della soglia di non-propagazione ΔKth e molte altre… Il concetto di chiusura della cricca (crack closure) La proposta di Elber 13 La cricca rimane chiusa per parte del ciclo di K anche quando R ≥ 0. Elber ha sostenuto che solo la parte del ciclo di K, per il quale la cricca è aperta può contribuire alla propagazione della stessa. Kmax ΔKElber Kop time La proposta di Elber 14 ΔK Elber = K max − K op = U ΔK Per Elber ΔK = K max − K min , independen temente dal valore di R da n = C (ΔK Elber ) dN Secondo Elber: U = 0,5 + 0,4 R Per esempio, secondo Elber, per R=0, ΔKElber = 0,5 ΔK “Legge” di Paris modificata secondo Elber da n = C [(0,5 + 0,4 R) ΔK ] dN “Legge” di Paris - Calcolo della durata e della vita, n2 da n = C (ΔK ) dN 15 ΔK = Y Δσ πa Se Y non dipende della lunghezza della cricca allora: ( da = C Y Δσ πa dN ) n af da Nf da = C (Y Δσ π ) dN ³ n / 2 = C (Y Δσ π ) n ³ dN a 0 ai n an / 2 Ne consegue, svolgendo l’integrazione, per n2 che: Nf = a1f−n / 2 − a1i −n / 2 C (YΔσ π ) n (1 − n / 2) “Legge” di Paris - Calcolo della durata e della vita, n=2 da 2 = C (ΔK ) dN 16 ΔK = Y Δσ πa Se Y non dipende della lunghezza della cricca allora: ( da = C Y Δσ πa dN ) 2 da = C (Y Δσ π ) 2 dN a Nf = af Nf da 2 ³a a = C (Y Δσ π ) ³0 dN i log(a f ai ) C (YΔσ π ) 2 Condizioni per i quali Y è indipendente della lunghezza della cricca 17 Y indipendente di a a << b a trascurabile K I = σ π a b a << b a trascurabile K I = 1,12 σ π a b a << W a trascurabile K I = 1,12 σ π a W Se il valore di Y per la cricca iniziale è Yi e per quella finale Yf una regola pratica è che fra Yi e Yf non vi sia una differenza superiore al 15% per poter utilizzare Y costante (ed uguale a Yi ). Propagazione di una cricca sotto carico variabile da n = C (ΔK ) dN (1) 18 Si considera la “legge” di Paris valida ΔK = Y Δσ πa Y non dipende della lunghezza della cricca ΔK1 ΔK2 N2=? N1 Nf Frattura a=af N2=Nf - N1 Propagazione di una cricca sotto carico variabile (2) 19 Cricca sotto Δσ1 solo, fino alla rottura: N f1 = a1f−n / 2 − a1i −n / 2 C (YΔσ 1 π ) n (1 − n / 2) Nf2 N f1 Cricca sotto Δσ2 solo, fino alla rottura: Nf2 = § Δσ 1 · ¸¸ = ¨¨ Δ σ 2¹ © n a1f−n / 2 − a1i −n / 2 C (YΔσ 2 π ) n (1 − n / 2) Propagazione di una cricca sotto carico variabile (3) 20 La cricca sottoposta a Δσ1 per N1 cicli si propaga fino alla lunghezza a1: da a n/2 a1 = C (Y Δσ π ) dN ³ n ai da an / 2 = C (Y Δσ 1 π ) n N1 ³ dN 0 a11−n 2 = (1 − n / 2) C (Y Δσ 1 π ) n N1 + a1i −n 2 Propagazione di una cricca sotto carico variabile (4) 21 La cricca di lunghezza a1 è sottoposta a Δσ2 per N2 cicli fino alla rottura i.e. fino a a=af af da ³ a n / 2 = C (Y Δσ 2 Nf π) a1 n ³ dN N2=Nf - N1 a1f−n / 2 − a11−n / 2 (1 − n / 2) N1 = C (YΔσ 2 π ) n N 2 a11−n 2 = (1 − n / 2) C (Y Δσ 1 π ) n N1 + a1i −n 2 N2 = a1f−n / 2 − a1i −n / 2 C (YΔσ 2 n § Δσ 1 · ¨¨ ¸¸ N1 − n π ) (1 − n / 2) © Δσ 2 ¹ Propagazione di una cricca sotto carico variabile (5) 22 N2 = a1f−n / 2 − a1i −n / 2 C (YΔσ 2 n § Δσ 1 · ¨ ¸ N1 − π ) n (1 − n / 2) ¨© Δσ 2 ¸¹ n § Δσ 1 · ¸¸ N1 N 2 = N f 2 − ¨¨ σ Δ 2¹ © Nf2 n n § Δσ 1 · N1 § Δσ 1 · N ¸¸ ¸¸ N1 ¨¨ N 2 = N f 2 − ¨¨ + 2 =1 © Δσ 2 ¹ N f 2 N f 2 © Δσ 2 ¹ n Nf2 § Δσ1 · = ¨ ¸ N f1 © Δσ 2 ¹ N1 N + 2 =1 N f1 N f 2 Regola di Miner! Propagazione di una cricca sotto carico variabile (6) 23 da n = C (ΔK ) dN ΔK = Y Δσ πa La vita di un componente che contiene una cricca, sottoposto a carico variabile, può essere calcolata applicando la regola di Miner • Se si considera la “legge” di Paris applicabile e • Se Y può essere considerato costante (non dipendente della lunghezza della cricca) m Ni ¦N =1 fi i =1 PROPAGAZIONE E SOVRACCARICHI 24 Sovraccarichi di trazione possono indurre autotensioni (sforzi residui) di compressione, con effetti migliorativi che determinano un rallentamento della propagazione Principio del metodo di progettazione “damage tolerant” (1) 25 Il metodo si basa sull’esecuzione di ispezioni periodiche della struttura ad = dimensione di cricca che sfugge dall’ispezione periodica, quindi ad rappresenta la soglia di sensibilità dello strumento di controllo IPOTESI: SI PRESUPPONE CHE ESISTANO, NON ESSENDO RILEVABILI, CRICCHE DI DIMENSIONE: a ≤ ad Principio del metodo di progettazione “damage tolerant” (2) K = Yσ πa K c = Y σ mex π a σ mex : maximum expected σ ac: lunghezza critica della cricca Nf = a1c−n / 2 − a1d−n / 2 C (YΔσ π ) n (1 − n / 2) 26 ac = K c2 π (Y σ mex )2 Principio del metodo di progettazione “damage tolerant” (3) 27 Occorre effettuare un controllo con ispezioni periodiche ad intervalli di Np cicli tenendo conto della fondamentale disuguaglianza N p < Nf per provvedere per tempo alla sostituzione, alla riparazione, al calcolo aggiornato della vita residua sulla base del valore rilevato di lunghezza della cricca. Ispezioni periodiche Principio del metodo di progettazione “damage tolerant” (4) 28 • Strutture importanti, costose e la rottura delle quali può produrre la perdita di vite umane vengono progettate tenendo conto della possibile presenza di cricche o difetti e della loro propagazione (Damage Tolerant Approach) • Le ispezioni periodiche sono costose, e implicano che i componenti siano accessibili nei punti nei quali l’ispezione deve essere fatta Propagazione di cricche in condizioni di Low Cycle Fatigue (1) 29 • Il comportamento del componente che contiene la cricca è globalmente elasto-plastico • La cricca si propaga in modo I • Il comportamento del materiale è di tipo Ramber-Osgood P P υ υ P Propagazione di cricche in condizioni di Low Cycle Fatigue (2) 30 1/ n ' Δσ § Δσ · Δε = Δε e + Δε p = +¨ ¸ E © K' ¹ Δσ Δσ Δε p º ª Δ J = « Δσ Δε e + Δσ » (2π a ) + (1 n ') ¬ ¼ da n = CJ ( Δ J ) J dN Δσ Δεp Δεe Δε “Legge” di Dowling ? Riferimenti bibliografici 31 1. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M. e Foletti S., “Comportamento meccanico dei materiali”, McGraw-Hill, 2005 2. Dowling N., “Mechanics of Materials“, Prentice Hall, 1998 3. Schijve J., “Fatigue of Structures and Materials”, Springer, 2009 4. Gdoutos E.E., “Fracture Mechanics - An Introduction”, Springer 2005 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno Accademico 2010/2011 MATERIALI POLIMERICI Ioannis Papadopoulos Importanza dei materiali polimerici (1) 2 Bassi costi dei componenti ottenibili con tecnologie per la produzione di grande serie (stampaggio ad iniezione) Vasto spettro di materiali disponibili e di relative caratteristiche (meccaniche, fisiche, chimiche, etc) Possibilità di “costruire” il materiale più adatto alla specifica applicazione Costituiscono la matrice ideale per i compositi Massa volumica molto bassa (0,9 – 2 kg/m3) La vasta e crescente diffusione dei materiali polimerici nella meccanica deriva da queste, e da altre caratteristiche. Importanza dei materiali polimerici (2) 3 Costituiscono la matrice ideale per i compositi Es: sezione di rottura di un provino in PA con fibra corta di vetro (si osserva la matrice polimerica, duttile) Struttura dei polimeri (1) Struttura molecolare lineare Struttura molecolare a legami incrociati Polimero=πολλα + μερη 4 Struttura ramificata Struttura molecolare reticolata Struttura dei polimeri (2) 5 Stato cristallino – stato amorfo Struttura dei polimeri (3) Stato semi-cristallino 6 La collocazione dei materiali polimerici (Ashby) Materiali polimerici – classificazione (1) 7 8 Termoplastici Termoindurenti Elastomeri E’ una classificazione “mista” basata su alcune caratteristiche specifiche dei materiali. Materiali polimerici – classificazione (2) Termoplastici 9 Sono formati da molecole a “catena lunga” Hanno una struttura che può essere “semi-cristallina” oppure “amorfa” Sono caratterizzati dall’essere reversibili: riscaldati alla temperatura di fusione Tm passano alla fase liquida, raffreddati solidificano. Si prestano quindi facilmente al riciclaggio. Materiali polimerici – classificazione (3) Esempi polimeri termoplastici PE polietilene, semi-cristallino PVC clorulo di polivinile, amorfo 10 PMMA polimetilmetacrilico (trasparente), amorfo Nylon 66 poliesametilene adipammide, amorfo PTFE politetrafluoroetilene (Teflon) , semi-cristallino PP polipropilene, semi-cristallino PS polistirene, semi-cristallino PC policarbonato, semi-cristallino Materiali polimerici – classificazione (4) Termoindurenti 11 Sono formati da rete tri-dimensionali di catene molecolari. La struttura reticolata è creata una volta sola quando il polimero viene realizzato Hanno una struttura “amorfa” Sono caratterizzati dal NON essere “reversibili”: una volta ottenuti non possono essere facilmente riciclati Esempi Resine epossidiche, (fiberglass, adesivi, laminati), amorfo PET poliestere, (fiberglass, laminati), amorfo Fenolo-formaldeide, resine fenoliche (bakelite), amorfo Materiali polimerici – classificazione (5) Elastomeri 12 Definizione “meccanica” Materiali che hanno la possibilità di deformarsi al di sopra di 100%, (i.e. ε=1), con deformazione reversibile Quindi in linea di principio anche un termoplastico o un termoindurente potrebbero essere classificato come “elastomero” Gomma naturale, (poli)isoprene, amorfo Gomma sintetica, (poli)butadiene, amorfo Neopren, (poli)cloroprene, amorfo Effetto della temperatura sul comportamento dei materiali polimerici 13 Andamento del modulo elastico in funzione di T Modulo E Tg temperatura di transizione vetrosa Significato di Tg (temperatura di transizione vetrosa) 14 E’ la temperatura alla quale si allentano i legami della parte AMORFA della struttura, per cui alla parte CRISTALLINA è consentito di muoversi relativamente Si allentano i legami, quindi il modulo elastico E: cala ma NON si azzera nei polimeri semi-cristallini cala drasticamente nei polimeri amorfi Quindi: Polimeri semi-cristallini: ancora utilizzabili per T>Tg Polimeri amorfi: poco utilizzabili per T>Tg Resine epossidiche, polimetilmetalcrilato Tg>To, , comportamento fragile Polietilene, Tg~To, comportamento viscoelastico Poliisoprene, Tg<To, comportamento gommoso (rubber elasticity) Dove To temperatura ambiente Determinazione della temperatura di transizione vetrosa 15 Materiali polimerici, temperature di transizione vetrosa e di fusione 16 Tg = temperatura di transizione vetrosa Tm = temperatura di fusione Comportamento dei polimeri - trazione (1) 17 A-polimero fragile B-polimero plastico C-elastomero Comportamento dei polimeri - trazione (2) 18 Effetto della temperatura sul comportamento in trazione 3 PMMA (polimetalcrilato/plexiglass) Tg>To , To temperatura ambiente Comportamento dei polimeri - trazione (3) 19 Modulo elastico dei materiali polimerici 20 Modulo di rilassamento, ε=ε0 Temperatura=cte ε0 Er (t ) = σ (t ) εo tempo Modulo di creep, σ=σ0 Temperatura=cte σ0 Ec (t ) = tempo σo ε (t ) Comportamento dei polimeri - Modello di Maxwell (1) 21 ε = ε0 Modulo di rilassamento E −t σ (t ) Er (t ) = Er (t ) = E e η ε0 ε = εm + εs ε = σ E + σ η t = 0 → σ = Eε 0 t >0→ dσ σ =− E dt σ = Eε 0 e η −t E η Comportamento dei polimeri - Modello di Maxwell (2) 22 ε = εm + εs σ = σm = σs σ =σ0 Modulo di creep Ec (t ) = ε = ε m + ε s ε = t=0→ε = t>0→ε = σ E + σ0 E σ0 E + σ0 t η σ η σo ηE Ec (t ) = ε (t ) η + Et Comportamento dei polimeri - Modello di Kelvin-Voigt (1) σ =σ m +σ 23 ε = εm = εs s σ =σ0 Modulo di creep Ec (t ) = σo Ec (t ) = ε (t ) § E ¨1 − e ¨ © −t E η · ¸ ¸ ¹ σ = σ m + σ s σ = E ε m + η ε s σ = E ε + η ε 0 < t < t1 ε = → t > t1 → ε = σ0 E −t e E η σ 0 §¨ E ¨© 1− e −t E η · ¸ ¸ ¹ § − t1 η · ¨e ¸ − 1 ¨ ¸ © ¹ E Comportamento dei polimeri - Modello di Kelvin-Voigt (2) 24 ε = ε0 Modulo di rilassamento Er (t ) = σ (t ) Er (t ) = ? ε0 Comportamento dei polimeri-Modelo di Kelvin-Voigt 3-D σ ij = σ m + σ s ij σ s = 2ηεijs + θε s δ ij kk ij kk ij § σ ij = 2 μ ¨¨ ε ij + © torsione ε ij = ε ijm = ε ijs ij σ m = 2με m + λε m δ ij ij η · § θ · εij ¸¸ + λ ¨ ε kk + εkk ¸δ ij μ ¹ © λ ¹ μ σ 12 = 2 με12 + 2ηε12 25 −t σ § ε 12 = 12 ¨1 − e η 2 μ ¨© · ¸ ¸ ¹ trazione σ 11 = Eε 11 + [2η + (1 − 2ν )θ ]ε11 ε 11 = σ 11 ª «1 − e E «¬ −t E [2η + (1− 2ν )θ ] E −t º º σ 11 ª η′ »= «1 − e » E »¼ «¬ »¼ η’ Comportamento elastico dei elastomeri (rubber elasticity) 26 Trazione (gomma vulcanizzata) ( σ = G L L0 − 1 ( L L0 ) 2 Sforzo, MPa ξ = L L0 = 1 + ε E ξ σ = G (ξ − 1 ξ 2 ) ξ=1 § dσ dσ dξ dσ 2· = = G¨¨1 + 3 ¸¸ dε dξ dε dε © ξ ¹ dσ at ε = 0 → ξ = 1 = E = 3G dε } E = 2(1 + ν )G ν = 0.5 E = 3G 1 − 2ν =0 E Materiale incompressibile bulk modulus B = ) 27 Elastomeri: caratteristiche meccaniche Materiali polimerici Meccanismi di frattura I meccanismi di frattura dei materiali polimerici sono la conseguenza della loro struttura: catene molecolari, parzialmente cristalline e quindi orientate, che si allungano fino a rompersi: una sorta di “trafilatura a freddo” (cold drawing) Ciò comporta successivamente la formazione di “microvoids” e poi di rotture con un fenomeno detto di “crazing” 28 Materiali polimerici - allineamento delle catene molecolari (prova di trazione) 29 Materiali polimerici - trazione 30 Meccanismi di frattura, allineamento delle catene molecolari nella prova di trazione Maeriali polimerici - Resistenza 31 PE-polietilene, PP-polipropilene Plexiglass PMMA pressure = σ H = 1 (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 3 Materiali polimerici - Criterio di resistenza multiassiale 32 Criterio di von Mises (materiali metallici) Von Mises stress: σ VM = 3J 2 = 3 sij sij 2 σ VM ≤ σ y 2 ≤ σ y2 σ VM ( ) + (σ 3 1ª sij sij ≤ σ y2 « σ I − σ II 2 2¬ 2 II − σ III ) + (σ 2 III −σ I ) º»¼ ≤ σ 2 2 y Criterio per materiali polimerici [( 1 σ I − σ II 2 ) + (σ 2 II − σ III ) + (σ 2 III −σ I σ yt resistenza in trazione σ yc resistenza in compressione ) ]+ (σ 2 σ VM + 3(σ yc − σ yt )σ H ≤ σ ycσ yt 2 yc − σ yt )(σ I + σ II + σ III ) ≤ σ ycσ yt Materiali polimerici - Criterio multiassiale, (stato piano dei sforzi) 33 σ III = 0 (σ 2 I ) + σ II2 − σ I σ II + (σ yc − σ yt )(σ I + σ II ) ≤ σ ycσ yt σΙΙ/σyt σyc/σyt σΙ/σyt Materiali polimerici - Crazing Meccanismi di frattura - crazing 34 Materiali polimerici - Crazing 35 Materiali polimerici 36 Meccanismi di frattura (5) crazing nella prova di trazione Crazing sotto sforzi multiassiali 37 Criterio di crazing (è un criterio in deformazione) ε I ≤ B + A/σ H εI = σI E − ν E 1 3 (σ II + σ III ), ε I ≤ B + A/σ H σI E − σ H = (σ I + σ II + σ III ) ν E (σ II + σ III ) ≤ B + 3A (σ I + σ II + σ III ) Materiali polimerici - Crazing multiassiale, stato piano dei sforzi 38 Materiali polimerici - Crazing multiassiale, stato piano dei sforzi ε I ≤ B + A /σ H σ III = 0 (σ 2 I σI E − ν E 39 (σ II ) ≤ B + 3A (σ I + σ II ) ) + σ II2 − σ I σ II + (σ yc − σ yt )(σ I + σ II ) ≤ σ ycσ yt Resistenza a fatica dei polimeri 40 Considerazioni generali: poco utilizzati per componenti sollecitati a fatica (si usano i compositi) importante influenza della temperatura e dell’umidità non esiste un limite di fatica (nel campo di Nf che interessa) DUBITARE DI RISULTATI VECCHI E NON BEN DOCUMENTATI ! ! Resistenza a fatica dei polimeri (2) 41 Esempio di risultati “vecchi” e non ben documentati: Riferimenti bibliografici 42 1. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M. e Foletti S., “Comportamento meccanico dei materiali”, McGraw-Hill, 2005 2. Dowling N., “Mechanics of Materials“, Prentice Hall, 1998 3. Roesler J.,Harders H. and Baeker M., “Mechanical Behaviour of Engineering Materials - Metals, Ceramics, Polymers and Composites”, Springer, 2007 4. Hosford W., “Mechanical Behavior of Materials”, Cambridge University Press, 2005 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno accademico 2010/2011 Materiali Ceramici Ioannis Papadopoulos Materiali ceramici - classificazione 2 Vetri comuni, i.e. vetro soda(contenitori, pyrex, lenti, fibre) Vetri Argillosi Vetro - ceramici, i.e. vetro borosilicato (piani di cottura, finestre forni, scambiatori di calore,schede circuiti stampati) Strutturali (Mattoni, piastrelle, condotti fognari) Porcellane (isolatori elettrici) Refrattari (mattoni per rivestimento forni per trattamenti metallurgici, produzione di vetro) Ceramici Ceramici avanzati (fibre ottiche, cuscinetti a sfere ceramici, sistemi microelettromecanici, cutting tools, ) Cementi Abrasivi Compositi:GFRC (glass polymer), CFRC (carbon polymer), CERMET(Tungsten carbide-cobalt) Materiali ceramici - tecniche di fabbricazione 3 Tecniche di fabbricazione dei ceramici Processi di formatura del vetro Pressatura Soffiatura Trafilatura Formatura del particolato Formazione di fibre Pressatura delle polveri Formatura idroplastica Cementazione Formatura per colaggio Sinterizzazione Essiccamento Cottura Struttura dei materiali ceramici • 4 Struttura cristallina Un materiale ceramico comune… Il diamante • Struttura amorfa e.g. vetro • I materiali ceramici contengono difetti (pori, micro-cricche) La collocazione dei materiali ceramici (Ashby) (1) 5 La collocazione dei materiali ceramici (Ashby) (2) 6 La collocazione dei materiali ceramici (Ashby) (3) 7 La collocazione dei materiali ceramici (Ashby) (4) 8 La collocazione dei materiali ceramici (Ashby) (5) 9 Materiali ceramici - Proprietà 10 Ceramici proprietà Diamante Allumina Carburo di silicio Nitruro di silicio Zircone Vetro soda Vetro borosilicato Massa volumica Mg/m3 3.52 3.9 3.2 3.2 5.6 2.48 2.23 Modulo di Young MPa 1050 380 410 310 200 74 65 Modulo specifico E/ρ 298.3 97.4 128.1 96.9 35.7 29.8 29.2 Resistenza a compressione MPa 5000 3000 2000 1200 2000 1000 1200 Modulo di rottura MPa (sforzo limite di trazione in un test di flessione) - 300/400 200/500 300/850 200/500 50 55 4 <12 0.7 0.8 Tenacità alla frattura MPa m1/2 3.5 Temperatura di fusione °K - 2323 3110 2173 2843 1000 1000 Resistenza allo choc termico °K 1000 150 300 500 500 84 280 Resistenza allo choc termico 11 ΔT = T2 − T1 T2 σ = E α ΔT σ tf ΔTc = αE T1 ε = −α ΔT Materiali ceramici - Modulo di rottura Modulo di rottura 12 13 Comportamento sforzo-deformazione Comportamento elasticofragile I valori di resistenza alla frattura (in trazione) dei ceramici sono in genere molto dispersi I valori di resistenza dipendono dal volume della provetta 12 Flessione tre punti Dispersione dei valori di resistenza σ tf (1) ≠ σ tf ( 2 ) ≠ σ tf ( 3) 14 ≠ σ tf ( 4 ) σ tf = Kc σ tf (i ) = Kc π a( i ) La resistenza è funzione della probabilità che possa esistere un difetto (cricca) in grado di dar origine alla frattura. πα Resistenza dei materiali ceramici 15 n Weibull: σ σ σ σ σ σ σ σ σ la probabilità di sopravvivenza Ps(V0) è la frazione s, dei n identiche … provette, ciascuno di volume V0, che sopravvivono ad un sforzo di σ σ σ σ σ σ σ σ σ trazione σ ° § σ · m ½° s ≈ Ps (V0 ) = exp®− ¨¨ ¸¸ ¾ n °̄ © σ 0 ¹ °¿ r s ° § σ · m ½° 1 σ = σ 0 Ps (V0 ) = exp®− ¨¨ 0 ¸¸ ¾ Ps (V0 ) = ≈ 0.37 e °̄ © σ 0 ¹ °¿ σ0 è lo sforzo per il quale il 37% delle provette sopravvive Funzione di Weibull Ps(V0) 16 1 0,9 0,8 m=5 0,7 0,6 50% 37% 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 100 200 σmedian=297 300 σ 400 σo=320 500 Identificazione dei parametri di Weibull 17 ° § σ · m ½° Ps (V0 ) = exp®− ¨¨ ¸¸ ¾ °̄ © σ 0 ¹ °¿ Dipendenza della resistenza sul volume (1) (sforzo di trazione uniforme) 18 La probabilità di una provetta di volume V0 a sopravvivere allo sforzo σ è: Ps(V0 ) La probabilità che κ provette di volume V0 sopravvivono tutte allo sforzo σ è: [Ps(V0 )]κ Se “incollate” per formare una provetta di volume V = κ V0, la probabilità è sempre: Ps (V ) = [Ps (V0 )] = [Ps (V0 )] κ V V0 Dipendenza della resistenza sul volume (2) (sforzo di trazione uniforme) Ps (V ) = [Ps (V0 )] V V0 ln[Ps (V )] = 19 V ln[Ps (V0 )] V0 m ª § σ ·m º §σ · Ps (V0 ) = exp «− ¨¨ ¸¸ » ln[Ps (V0 )] = −¨¨ ¸¸ «¬ © σ 0 ¹ »¼ ©σ0 ¹ V §σ · ln[Ps (V )] = − ¨¨ ¸¸ V0 © σ 0 ¹ m ª V § σ ·m º Ps (V ) = exp «− ¨¨ ¸¸ » «¬ V0 © σ 0 ¹ »¼ La probabilità di sopravivenza a un sforzo di trazione σ dipende dal volume della provetta (e dallo sforzo stesso) Dipendenza della resistenza sul volume (3) (sforzo di trazione uniforme) 20 ª V § σ ·m º Ps (V ) = exp «− ¨¨ ¸¸ » «¬ V0 © σ 0 ¹ »¼ m=5 Ceramici - pressatura dei polveri 21 Pressatura delle polveri: Componenti argillosi, ceramici elettronici, mattoni refrattari Micrografia elettronica a scansione, Ossido di aluminio collo poro bordo grano Dipendenza del modulo di elasticità dalla porosità 22 Pressatura delle polveri: Componenti argillosi, ceramici elettronici, mattoni refrattari Ossido di Aluminio Al2O3 0 Dipendenza del modulo di rottura dalla porosità 23 Ossido di Aluminio Al2O3 Resistenza di due provette di volume diverso (sforzo di trazione uniforme) 24 m Provetta 1, volume V1, sforzo σ(1): V §σ · ln[Ps (V1 )] = − 1 ¨¨ (1) ¸¸ V0 © σ 0 ¹ Provetta 2 volume V2, sforzo σ(2) : V §σ · ln[Ps (V2 )] = − 2 ¨¨ (2 ) ¸¸ V0 © σ 0 ¹ Per avere la stessa probabilità di sopravivenza (rottura): m V §σ · V §σ · ln[Ps (V1 )] = ln[Ps (V1 )] − 1 ¨¨ (1) ¸¸ = − 2 ¨¨ (2 ) ¸¸ V0 © σ 0 ¹ V0 © σ 0 ¹ 1m σ (1) § V2 · = ¨¨ ¸¸ σ (2 ) © V1 ¹ m m Probabilità di rottura sotto sforzi multiassiali Sforzo assiale uniforme: ª V § σ ·m º Ps (V ) = exp «− ¨¨ ¸¸ » «¬ V0 © σ 0 ¹ »¼ ª « 1 Ps (V ) = exp «− V «¬ 0 Sforzo multiassiale (non-uniforme): V0 25 σ I > σ II > σ III ³ V′ § σ I ( x, y , z ) ¨ ¨ σ0 © σI =σI se σI > 0 σI = 0 se σI ≤ 0 º m · ¸ dV » » ¸ ¹ »¼ V’, volume dove σI > 0 Resistenza a flessione tre punti (1) 26 F x b z compressione h trazione σ bf y l Ipotesi: sforzo di taglio σxy << sforzo normale σxx , σI= σxx= σ(x,y) 0 ≤ x ≤ l 2, 0 ≤ y ≤ h 2 M ( x) = σ ( x, y ) = σ bf = F x 2 M F 2 y σ ( x, y ) = xy I I ( F 2) (l 2) h ( F 2) 4σ = 2 I I hl b f σ ( x, y ) = 4σ bf hl xy Resistenza a flessione tre punti (2) 27 • In flessione tre punti: ª « 1 P (V ) = exp «− V «¬ 0 b s ³ V º m § σ ( x, y , z ) · ¨¨ ¸¸ dV »» © σ0 ¹ »¼ m ª 1 l 2 h 2 b 2 § 4σ b º · f ¨ ¸ « Ps (V ) = exp − 2 x y σ 0 ¸ dxdydz » « V0 x =0 y =0 z = −b 2 ¨© h l » ¹ ¬ ¼ ³³ ³ b ª lbh § σ bf 1 ¨ « Ps (V ) = exp − 2 ¨ V 2 ( m 1 ) + © σ0 « 0 ¬ b · ¸ ¸ ¹ m • In trazione: σ = σ tf ª « 1 t Ps (V ) = exp «− V «¬ 0 ³ V ª º m § σ ( x, y , z ) · 1 » ¨¨ ¸¸ dV » = exp ««− V © σ0 ¹ «¬ 0 »¼ ³ V § σ tf ¨ ¨σ © 0 º m · ¸ dV » » ¸ ¹ »¼ ª l bh §σ t ¨ f P (V ) = exp «− « V0 ¨© σ 0 ¬ t f · ¸ ¸ ¹ m º » » ¼ • Per la stessa probabilità di rottura: P (V ) = P (V ) t s b s σ bf 2 1m = [ 2 ( m + 1 ) ] t σf Materiali ceramici – “Fatica statica” (1) 28 I ceramici non sono soggeti al fenomeno di fatica come inteso per e.g. i metalli. L’ applicazione repetitiva di un carico non risulta in un graduale dannegiamento del materiale ceramico. La terminologia inadegguata di fatica statica, usata per i ceramici, corrisponde al fenomeno di propagazione di una cricca sotto carico statico per causa del interazione del materiale ceramico con l’acqua (vapore) nel appice della cricca stessa. dα = DKm dt º » » ¼ Materiali ceramici – “Fatica statica” σ (2) 29 sforzo σο tempo dα dα dα m = DKm = D(σ 0 πα ) m = ( Dπ m 2 )(σ 0 ) α m 2 dt dt dt α − m 2 dα = ( Dπ m 2 )(σ 0 )m dt ³ α − m 2 dα = ( Dπ m 2 )(σ 0 )m ³ dt σ af tf ao 0 sforzo K = σ πα σ tempo T ³ af ao Riferimenti bibliografici α − m 2 dα = ( Dπ m 2 ) ³ TN f 0 σ (t ) m dt 30 1. Upadhyaya G.S., “Sintered Metallic and Ceramic Materials: Preparation, Properties and Applications”, Wiley, 2000 2. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M. e Foletti S., “Comportamento meccanico dei materiali”, McGraw-Hill, 2005 3. Barsoum M.W., "Fundamentals of Ceramics", IoP, 2003 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno accademico 2010/2011 LEGHE LEGGERE Ioannis Papadopoulos CONSIDERAZIONI GENERALI 2 Sotto questo nome vanno i materiali metallici che hanno massa volumica relativamente bassa (relativamente si riferisce all’acciaio). Rientrano in questa categoria principalmente tre materiali (meglio: tre leghe metalliche a base di un dato materiale): Alluminio e leghe di alluminio (Al) Titanio e leghe di titanio (Ti) Magnesio e leghe di magnesio (Mg) Mappe di Ashby e collocazione delle leghe leggere 3 Mappe di Ashby e collocazione delle leghe leggere 4 5 Sintesi comparativa di alcune caratteristiche delle tre leghe [kg/dm3] E [MPa] y [MPa] Acciaio 7,8 206.000 200 -2.000 Lega di Ti 4,4 105.000 400 -1.000 Lega di Al 2,8 72.000 100 - 800 Lega di Mg 1,8 45.000 100 - 300 Materiale LEGHE DI ALLUMINIO Peculiarità delle leghe di Al: • massa volumica ridotta: un terzo dell’acciaio • modulo elastico: un terzo dell’acciaio • facile lavorabilità per fusione • buona resistenza alla corrosione • buona conducibilità termica Denominazione delle leghe di Alluminio (lamiere e profilati): 1XXX Al quasi puro 2XXX Al-CU 3XXX Al-Mn 4XXX Al-Si 5XXX Al-Mg 6XXX Al-Mg-Si 7XXX Al-Zn 6 7 Esempi di leghe di diffuso utilizzo Leghe Al – Cu Serie 2000 (2024 T4) Strutture aerei, ruote automobili, pistoni Rm = 470 MPa Rs = 325 MPa FAf = 140 MPa (N = 5 ·106) Leghe Al – Mg Serie 5000 (5052 H38 T4) Scocche autovetture, industria alimentare Rm = 290 MPa Rs = 255 MPa FAf = 140 MPa (N = 5 ·106) Leghe Al – Mg - Si Scocche autovetture Serie 6000 (6061 T4) Rm = 240 MPa Rs = 145 MPa FAf = 95 MPa (N = 5· 106) Leghe Al – Zn Serie 7000 (7974 T6) Rm = 570 MPa Rs = 505 MPa FAf = 160 MPa (N = 5 ·106) Strutture aerei Comportamento elasto-plastico statico 8 AlMgSi Ramberg-Osgood σ = Eε e , σ <σy E = 66200 MPa, σ = K (ε p ) n , σ y = 165 MPa, σ >σy K = 327 MPa, n = 0.10 Plasticità multiassiale: criterio di von Mises 9 Resistenza a fatica delle leghe di alluminio - 1 Questione base: non è accertato che esista un limite di fatica così come risulta esistere per gli acciai Quindi si deve correttamente parlare di resistenza a fatica per N = 106, oppure N = 5·106 etc Resistenza a fatica delle leghe di alluminio - 2 10 Questione base: non è accertato che esista un limite di fatica per le leghe di alluminio così come risulta esistere per gli acciai Resistenza a fatica delle leghe di alluminio - 3 11 “Limite di fatica” in funzione del sforzo di snervamento per alcune leghe di alluminio Resistenza a fatica delle leghe di alluminio - 4 12 High-cycle fatigue: Basquin σ a = σ ′f (2 N f )b per N < 5 ⋅106 Diagramma di Wöhler per 2017-T4 (piatti, barre, estrusi) Resistenza a fatica delle leghe di alluminio - 5 13 Comportamento elasto-plastico ciclico Curva Ciclica 1000 900 800 sforzo ( ο 700 600 6061Al 500 5083Al 400 S460N 300 200 100 0 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 deformazione ( ο 6061Al : 5083 Al : K ' = 470 MPa, K ' = 544 MPa, n' = 0,11 n' = 0.075 S 460 N : K ' = 1115 MPa, n' = 0.161 § Δε p · Δσ ¸ = K '¨ ¸ ¨ 2 © 2 ¹ Resistenza a fatica delle leghe di alluminio - 6 14 Low cycle fatigue Coffin-Manson 6061Al : Δε 528 = 2N f 2 70000 ) −0.089 + 0.225(2 N f ) −0.629 5083 Al : Δε 780 = 2N f 2 68000 ) −0.114 + 1.153(2 N f ) −0.8614 S 460 N : Δε 970 = 2N f 2 208000 ( ( ( ) −0.086 + 0.281(2 N f ) −0.493 n Resistenza a fatica delle leghe di alluminio - 7 7075 T6 aluminium alloy 15 “Legge” di Paris, Effeto dello sforzo medio 16 LEGHE DI TITANIO (1) Considerazioni generali sulle leghe di Ti: • massa volumica: metà dell’acciaio • modulo elastico: metà dell’acciaio • resistenza meccanica: circa pari all’acciaio • resistenza alla corrosione: buona • resistenza alle alte temperature: buona • bio-compatibilità: buona Ne conseguono applicazioni nei settori: • aerospaziale • biomedicale • auto-motoristico (competizione, nicchie) • impiantistica chimica e energetica • costruzioni navali • attrezzature sportive 17 LEGHE DI TITANIO (2) Svantaggi: • Elevato costo • Maggiore deformabilità rispetto all’acciaio (modulo elastico più basso) • Lavorabilità più complessa e costosa Lega Ti6Al4V E’ largamente la lega più diffusa (più della metà di tutte le applicazioni del Ti); 80% nell’aeronautica, 3% nelle protesi. Massa volumica: = 4,4 kg/dm3 Applicazioni specifiche: parti strutturali, ruote, attacchi per elicotteri, protesi di vario tipo, viti per protesi, molle per autoveicoli, barre sospensioni, componenti di sommergibili nucleari 18 Lega Ti6Al4V – resistenza statica in funzione della temperatura – dopo ricottura Lega Ti6Al4V – resistenza a fatica a temp. ambiente fatica assiale – diversi valori di R Limiti di fatica Limiti di fatica 19 20 Lega Ti3Al8V6Cr4Mo - confronto con acciaio per molle Legge di Paris 21 22 Protesi in titanio 23 Riferimenti bibliografici 24 1. Lutjering G. and Williams J.C., “Titanium”, Springer, 2007 2. Kaufman J.G., “Properties of Aluminum Alloys: Tensile, Creep, and Fatigue Data at High and Low Temperatures”, ASM, 2000 3. Kaufman J.G “Properties of Aluminum Alloys: Fatigue data and the Effects of Temperature, product Form and Processing”, ASM, 2008 4. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M. e Foletti S., “Comportamento meccanico dei materiali”, McGraw-Hill, 2005 Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Progettazione con Materiali Avanzati Anno Accademico 2010/2011 METALLI SINTERIZZATI Ioannis Papadopoulos CONSIDERAZIONI GENERALI 2 Aspetti essenziali dell’utilizzo dei sinterizzati per la realizzazione di componenti meccanici: • Vantaggi economici solo per numero elevato di pezzi (> 10.000) • Vantaggi economici perché il materiale viene sfruttato al massimo (niente trucioli e bave) • Limitata penalizzazione nella resistenza statica e a fatica rispetto ai compatti • Piccola/media penalizzazione nella resistenza all’impatto rispetto ai compatti • Difficoltà estrema nell’utilizzare per il calcolo di componenti i risultati di prove effettuate su provini • Dal punto di vista progettuale è probabile che questi materiali non vengano utilizzati al massimo delle loro capacità. ESEMPI DI APPLICAZIONI 3 Settore auto Fonte: Federal Mogul 4 LA METALLURGIA DELLE POLVERI (1) CONCETTO BASE: realizzare componenti partendo da polveri compresse in uno stampo e successivamente sinterizzate, portandoli, dopo la compattazione, a temperature elevate. Vantaggi principali: • Si ottengono componenti finiti con buona/ottima accuratezza dimensionale • Assenza di trucioli e sfridi e quindi pochissimo spreco di materiale • Basso costo della materia prima (polveri) • Buone caratteristiche in relazione al materiale compatto • Agevole controllo della composizione e delle caratteristiche del materiale 5 LA METALLURGIA DELLE POLVERI (2) Svantaggi principali: • Elevati costi di impianto (presse, forni) • Elevato costo dello stampo • Difficoltà ad ottenere pezzi di forma complessa • Dimensione massima dei pezzi limitata a 100-150 mm • Quantità minima per essere competitivi con altri processi: circa 10.000 pezzi 6 IL PROCESSO DI SINTERIZZAZIONE Schema di massima del processo convenzionale UTILIZZO DEI SINTERIZZATI (1) Applicazione % Automotive 73,0 Utensili, hobbistica 10,5 Apparecchi domestici 4,3 Hardware 3,1 Motori industriali 1,9 Macchine da ufficio 1,2 Altro 6,0 7 8 UTILIZZO DEI SINTERIZZATI (2) Evoluzione dei componenti realizzati con sinterizzati 9 TIPICI PRODOTTI OTTENUTI CON METALLO SINTERIZZATO Dati i vincoli tecnologici ed economici, si realizzano in sinterizzato tipicamente: • Parti di macchina con massa volumica simile a quella del materiale compatto; • Materiali d’attrito per freni (pastiglie) • Parti soggette a scorrimento (sfruttando il riempimento dei pori per capillarità) • Filtri (utilizzando i pori) • Applicazioni speciali con materiali speciali (aerospaziali etc) sfruttando la possibilità di mescolare polveri di vario tipo 10 Utilizzo dei sinterizzati Componenti automotive con sinterizzati 11 ALTRI PROCESSI DI SINTERIZZAZIONE Sono 5 i processi che si basano sul concetto della sinterizzazione: • Processo convenzionale (P/M) • Metal Injection Moulding (MIM) • Powder Forging (P/F) • Hot Isostatic Pressing (HIP) • Cold Isostatic Pressing (CIP) Il processo convenzionale si chiama anche P/M dalla sigla inglese: Powder Metallurgy La documentazione dei processi di sinterizzazione può essere trovata presso le Associazioni di settore • ASSINTER (Italia) • Metal Powder Industries federation (USA) etc 12 DETTAGLI DEL PROCESSO CONVENZIONALE P/M 13 LA COMPATTAZIONE DELLE POLVERI La pressatura di compattazione delle polveri nello stampo serve a realizzare un pezzo compatto, detto verde, che sta insieme e può poi essere trasferito nel forno di sinterizzazione. La pressione di compattazione non può essere uniforme per evidenti motivi di scorrimento delle polveri; si hanno quindi valori differenti di massa volumica (cioè porosità). Dopo la compattazione il pezzo ha bassissime capacità di resistenza (circa 1 MPa a trazione) sufficiente a tenerlo insieme per la successiva sinterizzazione. Struttura e dimensioni dei pori Struttura pori e distribuzione per dimensione 14 15 LA SINTERIZZAZIONE Il pezzo verde viene poi portato in forno a temperatura circa 0,7 – 0,8 Tf Si modifica la porosità; si riducono gli ossidi; si ricristallizza; diminuisce il numero dei pori ma ingrandiscono le porosità. Avviene la saldatura dei ponti che conferisce le proprietà meccaniche al pezzo sinterizzato. CONFRONTO DELLE PRINCIPALI CARATTERISTICHE MECCANICHE FRA SINTERIZZATO E COMPATTO 16 materiale Rm [MPa] E [MPa] A [%] Durezza HRC [g/cm3] acciaio legato compatto da 700 a 2.400 206.000 da 2 a 30 da 25 a 60 7,8 acciaio legato sinterizzato da 350 a 1.230 100.000 150.000 da 0 a5 da 15 a 48 da 6,2 a 7,4 Inoltre cala fortemente la “Fracrure toughness” KIc LA RESISTENZA DEI SINTERIZZATI 17 Regola generale: un componente in sinterizzato, paragonato al compatto, ha: buone caratteristiche meccaniche statiche discrete caratteristiche meccaniche a fatica In maggior dettaglio: • asimmetria trazione-compressione • elevata dispersione dei risultati sperimentali • difficoltà di interpretazione dei risultati delle prove • molto minore plasticizzazione, limitata alle zone intorno ai ponti • massa volumica conseguente alla porosità distribuita in maniera non uniforme su pezzo • necessità di effettuare prove anche sul componente e non solo trasferire ai componenti i risultati delle prove sui provini 18 PRINCIPALI CARATTERISTICHE MECCANICHE (1) Prova di trazione di due acciai sinterizzati (si osservi la fragilità: allungamento a rottura A = 1,5 – 3 %) 19 PRINCIPALI CARATTERISTICHE MECCANICHE (2) Influenza della massa volumica sul carico di rottura a trazione PRINCIPALI CARATTERISTICHE MECCANICHE (3) Influenza della porosità sul modulo elastico E 20 21 PRINCIPALI CARATTERISTICHE MECCANICHE (4) Influenza della porosità sulle principali caratteristiche meccaniche 22 PREVISIONE DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE (1) Regole empiriche per la previsione della resistenza dei sinterizzati σ = σ 0 (1 − θ ) m 0 m carico di rottura del materiale compatto porosità costante che vale 3 - 7 σ = σ 0 e − Bθ B 4 – 7 in funzione del procedimento tecnologico 23 PREVISIONE DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE (2) Regole empiriche per la previsione della resistenza dei sinterizzati ρ Esin t = ( sint ) 3, 4 Ecomp ρ comp Per il calcolo del modulo elastico Coefficiente di Poisson = 0,25 – 0,3 METODI DI CALCOLO E DI PROGETTAZIONE (1) 24 Sollecitazioni statiche Regola generale: questi materiali vanno considerati tendenzialmente FRAGILI Aspetti principali: • Il carico limite è lo snervamento (convenzionale), in genere pari a 0,7-0,8 Rm; • L’effetto dimensionale è importante: la resistenza diminuisce all’aumentare delle dimensioni e del volume; aumenta anche la dispersione dei risultati sperimentali; • Intaglio statico: nonostante che il materiale sia tendenzialmente fragile; per carichi statici si prevede un Kt,stat 1; per carichi da urto invece Kt,imp Kt • Le lavorazioni meccaniche successive alla sinterizzazione riducono lievemente la resistenza (asportando lo strato superficiale) 25 METODI DI CALCOLO E DI PROGETTAZIONE (2) Sollecitazioni statiche Criteri di resistenza da utilizzare: dovrebbero essere quelli per materiali fragili (Galileo Rankine Navier), ma la tendenza (causa FEM!!) è di utilizzare quelli per materiali duttili (von Mises) Legame fenomenologico-empirico fra durezza superficiale e resistenza a trazione: Rm = HB Con = 2,9 – 3,9 (tipicamente 3,4) 26 METODI DI CALCOLO E DI PROGETTAZIONE (3) Sollecitazioni di fatica Regola generale: Per questi materiali vi è una elevata dispersione di risultati delle prove di fatica, superiore a quella dei corrispondenti materiali compatti. Aspetti principali: • esiste un vero e proprio limite di fatica • rapporti di fatica più bassi dell’acciaio • discussione sulla sensibilità all’intaglio k 27 METODI DI CALCOLO E DI PROGETTAZIONE (4) Sollecitazioni di fatica Diagramma di Wöhler di acciaio sinterizzato, con e senza intagli (Kt = 1,5) (runout N = 2•106) Fonte: H. Ericsson, 2003. 28 METODI DI CALCOLO E DI PROGETTAZIONE (5) Sollecitazioni di fatica Valori tipici dei rapporti di fatica σ FAfr Rm σ FAt −c Rm = 0,3 − 0,45 = 0,17 − 0,34 che corrisponde a: σ FAt −c = 0,57 − 0,67σ FAfr 29 METODI DI CALCOLO E DI PROGETTAZIONE (6) Sollecitazioni di fatica Rapporti di fatica per acciai compatti e sinterizzati 30 METODI DI CALCOLO E DI PROGETTAZIONE (7) Sollecitazioni di fatica Lavorazioni meccaniche: Mediante l’asportazione dello strato esterno, possono migliorare la resistenza a fatica solo se la compattezza del materiale all’interno è maggiore Coefficiente di intaglio a fatica e sensibilità all’intaglio Le porosità, assimilabili a difetti, abbassano la sensibilità all’intaglio (già presente a cuore nel materiale). Recenti risultati sperimentali non sempre confermano questo risultato. ηk = K f −1 Kt −1 K f = 1 + ηk ( K t − 1) Secondo Kubicki k 0,25 e Kf 1,7 come regola generale indipendentemente da Kt METODI DI CALCOLO E DI PROGETTAZIONE (8) 31 Sollecitazioni di fatica Coefficiente di sicurezza In generale per le costruzioni meccaniche: Tipo di costruzione SF Calcoli accurati; materiali ben conosciuti; condizioni di carico note; lavorazioni bene eseguite 1,3 – 1,4 Calcoli di normale accuratezza; materiali mediamente noti; carichi mediamente noti; lavorazioni di media qualità 1,4 – 1,7 Calcoli poco accurati; materiali poco conosciuti; condizioni di carico stimate; lavorazioni con scarsa omogeneità (fusioni, grandi dimensioni) 1,7 – 3,0 Sinterizzati Sollecitazioni statiche SF = 3 Sollecitazioni di fatica SF = 4 Riferimenti bibliografici 32 1. Upadhyaya G.S., “Sintered Metallic and Ceramic Materials: Preparation, Properties and Applications”, Wiley, 2000. 2. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M. e Foletti S., “Comportamento meccanico dei materiali”, McGraw-Hill, 2005

Meccanica dei Materiali (I.V. Papadopoulos, S. Foletti)

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