C A P I T U L O III (Agosto 2013)
AALISIS TEMPORAL DE SEÑALES Y SISTEMAS
Veremos 2 herramientas fundamentales para el análisis de sistemas contínuos en el dominio
del tiempo:
1) Representación a través de ecuaciones de ecuaciones diferenciales.
2) Representación a través de la respuesta impulsiva y convolución continua
3.1 REPRESENTACION DE SISTEMAS CONTINUOS MEDIANTE ECUACIONES
DIFERENCIALES
Suponga un sistema descrito por la siguiente relación
M
d i x(t)
d i y( t )
b
=
a
∑ i dt i ∑ i dt i
i=0
i=0
N
donde los coeficientes ai y bi son constantes reales y, para sistemas realizables, N > M
Si pensáramos en el diagrama de bloques, parecería lógico suponer que necesitamos 3
bloques: Sumador, multiplicador por constante y diferenciador. El problema es que este último
elemento es difícil de realizar en forma práctica. Lo que se hace es convertir la ecuación diferencial
en una ecuación integral.
Definamos y[N-k] (t) como la N-ésima integral de la k-ésima derivada de y(t). Supongamos , para
simplificar, que M=N. Al integrar la ecuación original N veces de cada lado, tendremos:
N
M
∑ b i y [ N − i ] ( t ) = ∑ a i x [ N −i ] ( t )
i=0
i=0
Esto lleva al siguiente diagrama en bloques, para bN = 1:
Figura 1
Ejemplo:
Dibuje diagramas de bloques que representen la relación entre la entrada x(t) y la salida y(t) de un
sistema descrito por la siguiente ecuación diferencial (Este ejemplo fue realizado por los estudiantes
UCAB Carlos Moreno y Gibrán Uribe en el año 2010).
Primero se despeja ‘y’ de la ecuación diferencial:
Figura 2
Si seguimos el camino azul obtenemos el siguiente término de la ecuación diferencial:
Si seguimos el camino rojo obtenemos el término adicional de la ecuación diferencial:
La suma de ambos es igual a “y”:
Para obtener otro diagrama en bloques, integramos a ambos lados de la ecuación para eliminar los
derivadores:
Se Obtiene:
Despejando y:
Llevándolo a el grafico del sistema asociado obtenemos:
Figura 3
Si seguimos el camino naranja del dibujo se obtiene:
Si seguimos el camino azul del dibujo se obtiene:
Luego del sumador de ambas se obtiene como salida:
Si tomamos esta ecuación y agrupamos términos semejantes:
Podemos obtener un sistema distinto con menos integradores
Figura 4
En general si uno tiene una ecuación diferencial con coeficientes constantes, y se quiere determinar
la salida y(t) el procedimiento será el siguiente:
1) Se determina la solución a la homogénea llamada yh(t)
2) Se determina la solución a la particular llamada yp(t)
3) La salida será y(t) = yh(t) + yp(t). Las constantes de la particular se consiguen sustituyendo esta
en la ecuación diferencial. Las constantes de la homogéneas se consiguen aplicando condiciones
iniciales:
Suponga un sistema LIT de tiempo continuo definido como:
N
∑b
i=0
d i y( t )
=x ( t )
i
dt i
Resolvemos primero la homogénea. Es decir la siguiente ecuación:
d i y( t )
b
∑ i dt i =0
i=0
N
Esto se resuelve de la siguiente forma:
1.
2.
Se asume una solución del tipo y( t ) = e rt
Se sustituye en la ecuación homogénea quedando, luego de factorizar:
r N ( b 0 r − N + b1r − N +1 + .... + b N ) = 0
3.
La solución no trivial es aquella que cumple
( b 0 r − N + b1r − N +1 + .... + b N ) = 0
4.
Se buscan las N raíces rk
( r − r1 )( r − r2 )....( r − rk ) = 0
La solución a la homogénea será la superposición de soluciones asignadas a cada raíz dependiendo
de su tipo. Así:
Tipo de raíz
Solución
Par de raíces complejas (a±jb)
Par de raíces complejas (a±jb)
multiplicidad p
Las condiciones iniciales permitirán determinar las constantes de peso de cada solución.
Ejemplo: Determine la solución de la siguiente ecuación:
y'''- y'' + y' -y =0
La ecuación característica a resolver será: r 3 − r 2 + r − 1 = 0
Las raíces de esta ecuación resultan ser j, -j, 1.
Por lo tanto la solución a la homogénea (no hay excitación) será:
y h ( t ) = C1e t + C 2 Cos( t ) + C 3Sen ( t )
Solución Particular
Usaremos el método de los coeficientes indeterminados que se puede usar cuando la excitación es a
su vez posible solución de alguna ecuación homogénea de coeficientes constantes.
N
Cuando se tiene una ecuación del tipo
∑b
i=0
i
d i y( t )
=x ( t )
dt i
la solución particular es del tipo de x(t) multiplicado por una constante. Así:
Solución particular:
Tipo de excitación x(t)
Solución particular
tcos(at) o tsen(at)
Si la excitación provoca salidas del mismo tipo que en la homogénea, se aplican reglas de raíces
múltiples (multiplicar por t, t2, etc.). Las constantes de la solución particular se consiguen
sustituyendo y por la posible solución particular y x por la excitación en la ecuación diferencial.
Ejemplo:
y'' + y = et
La ecuación característica a resolver será: r 2 + 1 = 0
Las raíces de esta ecuación resultan ser j, -j, . Por lo tanto la solución a la homogéneaserá:
y h ( t ) = C1Cos( t ) + C 2Sen( t )
La solución particular es del tipo y p ( t ) = C 3e t
La salida total será: y( t ) = C 3e t + C1Cos( t ) + C 2Sen ( t )
Al sustituir en la ecuación original (solo la particular):
C 3 e t + C 3e t = e t
Esto indica que C3 =1/2
Para calcular C1 y C2 se necesitan las condiciones de borde o condiciones iniciales.
Si por ejemplo se cambia la excitación: x(t)=Sen(t)
y'' + y = Sen(t)
Como la homogénea ya produce Sent y Cost , a la particular le pondremos tSent y tCost. En ese
caso la salida total sería: y( t ) = C1Cos( t ) + C 2Sen( t ) + C 3 tCos( t ) + C 4 tSen( t )
Al introducir la particular en la ecuación original resulta C4 = 0 y C3 = -0.5
Si las condiciones iniciales fuesen por ejemplo y(0)= 1, y'(0) =0 se encontraría C1=1 y C2= 0.5
Ejemplo:
Dada una ecuación diferencial descrita por:
d 2 y( t )
+ 4 π 2 y( t ) = x ( t )
2
dt
con
La salida será
y(t) = yh(t) + yp(t)
2
Primero que nada, se calcula la yh(t), haciendo la excitación igual a cero d y2(t ) + 4π 2 y (t ) = 0 ,
dt
en la ecuación diferencial anterior (con entrada nula):
y sustituyendo y=
es decir
Despejando r, se obtiene:
Si se observa la siguiente tabla la respuesta a la homogénea será de la siguiente forma:
Tipo de raíz
Solución
Par de raíces complejas (a±jb)
Par de raíces complejas (a±jb)
multiplicidad p
Se deja así por los momentos, y se procede a calcular la respuesta particular:
Se sabe que la excitación es
, si se observa la siguiente tabla se ve que la
respuesta a la particular, con una excitación como esta viene dada de la siguiente forma:
Tipo de excitación x(t)
Solución particular
tcos(at) o tsen(at)
Cuando se tiene yp se pueden calcular sus constantes (en este caso C y D)
Por lo tanto, yp va a ser nuestra nueva “y” de la ecuación diferencial, y se procede a derivar
2 veces:
Luego sustituimos en la ecuación original:
Si igualamos los términos semejantes a ambos lados de la ecuación:
Luego
)=1
De aquí obtenemos la yp:
Con la yp y la yh podemos hallar la Yt:
Si decimos que las Condiciones iniciales son nulas:
)=0, y’(0)=0
De aplicar y(0)=0 se obtiene que A=0
Si derivamos la respuesta total evaluamos e igualamos a cero obtenemos la constante que nos falta:
Luego se sustituyen las constantes, y se da la respuesta a la ecuación:
Yt =
2
1
Sen 2 πt − 2 Sen 4 πt
2
3π
3π
Un caso particular se produciría si la excitación produce salidas del mismo tipo que la homogénea;
en este caso se aplican las reglas de raíces múltiples.
Determinación de la respuesta al impulso de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales con
coeficientes constantes
La respuesta al impulso se consigue resolviendo la ecuación diferencial para una excitación
x(t) = δ(t). Como esta señal es nula excepto en t=0, el problema se limita a resolver la ecuación
homogénea ya que si se asumiera por ejemplo una solución particular igual a δ(t), al incluirla en la
ecuación original, del lado izquierdo aparecen δ ´(t), δ ´´(t) , etc. y esto no se ajusta a la ecuación si
a la izquierda no aparecen derivadas de x(t).
En general si se tiene
M
d i y( t )
d i x(t)
b
a
=
∑ i dt i ∑ i dt i
i=0
i=0
N
Se resuelve primero la homogénea:
d i y( t )
b
∑ i dt i =0
i=0
N
Y se obtiene yh(t)
Luego: La particular es igual a cero excepto si M>=N. En este caso
M−N
y p (t) =
∑
Ci
i =0
d i δ( t )
dt i
Finalmente
M−N
h( t ) = y h u ( t ) +
∑C
i =0
i
d i δ( t )
dt i
La sumatoria solo se agrega si M>=N
Ejemplo:
Un sistema está descrito por la siguiente ecuación: 2y´(t) + 4y(t) = 3x(t). Determine su respuesta al
impulso.
Solución:
Se resuelve la homogénea (Se supone solución del tipo C ert ) . La ecuación característica será:
2r +4=0 ; r=-2. Esto produce la siguiente respuesta impulsiva h ( t ) = Ce −2 t u( t )
Al incluir esta solución en la ecuación original quedará:
− 4Ce −2 t u( t ) + 2Ce −2 t δ( t ) + 4Ce −2 t u ( t ) = 3δ( t )
h ( t ) = 1.5e − 2 t u( t )
Observe que como N=1 y M=0 no se agrega la sumatoria
Ejemplo 2:
2y´(t) + 4y(t) =3x(t)+ x´(t)
Procedimiento Nº1: En este caso la solución debe incluir una delta ya que N=M=1
h ( t ) = Ce −2 t u ( t ) + Kδ( t )
Al incluir esta solución en la ecuación original, se obtiene que C=K=0.5.
Procedimiento Nº 2: Como los sistemas son lineales, teniendo la respuesta a la u(t) podríamos hallar
la respuesta al impulso derivando la respuesta al escalón. En el ejemplo que estamos analizando,
plantearíamos resolver primero la siguiente ecuación 2y´(t) + 4y(t) = u(t). Una vez obtenida esta
respuesta la multiplicamos por 3 y le sumamos la derivada ( 3x(t) + x´(t)) y esta sería la solución.
Ejemplo 3: 2y´(t) + 4y(t) = x´´(t)
En este caso la solución debe incluir una delta y una primera derivada de la delta ya que N=1 y
M=2
y( t ) = Ce −2 t u ( t ) + Kδ( t ) + Bδ ' ( t )
Sustituyendo esta solución global en la ecuación original se pueden despejar C, K y B (Verificar si
el resultado es C=2, K=-1 y B=0.5)
Respuesta en frecuencia o función transferencia de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales:
Al igual que en el caso discreto basta incluir en la ecuación diferencial la excitación x ( t ) = e jωt
y la salida y( t ) = H ( jω) e jωt
De aquí se podrá despejar H ( jω)
Por ejemplo: Si la ecuación es la siguiente:
M
d i y( t )
d i x(t)
=
b
a
∑ i dt i ∑ i dt i
i=0
i=0
N
Al incluir las condiciones anteriormente mencionadas, se tendrá:
N
∑ b ( jω) H( jω)e
i
M
jωt
i
i=0
= ∑ a i ( jω) i e jωt
i=0
De aquí , entonces, se podrá despejar la respuesta en frecuencia
M
∑ a ( jω)
i
i
H ( jω) = i =N 0
∑ bi ( jω) i
i=0
Características de un sistema descrito por ecuaciones diferenciales
1) Estabilidad:
Para determinar si un sistema descrito por una ecuación diferencial es estable o no, basta con
resolver la homogénea y ver si la solución resulta acotada en amplitud, verificando previamente que
la excitación x(t) está también acotada en amplitud. En general, se observan las raíces de la
ecuación característica: si el módulo de e(raiz)t está acotado, o lo que es lo mismo la parte real de las
raíces son negativas, el sistema es estable.
Por ejemplo, verifique si el siguiente sistema es estable
y´´(t) -y´(t) + y(t) = x´(t) +x(t)
Al resolver la homogénea se obtienen dos raíces complejas
1
3
j
±
2 2
Esto implica una solución a la homogénea del siguiente tipo
y( t ) = ( Ae 0.5 t Cos
3
3
t + Be 0.5 t Sen
t )u (t )
2
2
Como se observa las exponenciales hacen crecer la solución hasta el infinito sin ni siquiera haber
estimulado el sistema. Por lo tanto el sistema es inestable.
Otra forma de verificar si un sistema descrito por una ecuación diferencial es estable o no es buscar
su respuesta impulsiva y ver si esta es absolutamente sumable. Si es asi, el sistema será estable.
Ejemplo
y´(t) -0.5y(t) = x´(t) +x(t)
Aplicando el procedimiento descrito en la sección 3.1.2.2, se determina que la respuesta impulsiva
de este sistema es
h ( t ) = 2e 0.5 t u ( t ) + δ( t )
Si esta función se integra entre 0 e infinito el resultado es infinito. Por lo tanto el sistema es
inestable.
Ejercicio propuesto: Determine si los dos sistemas descritos a continuación, a través de su respuesta
impulsiva, son estables
a)
h(t) = δ' (t) + e
−2 t
b)
h ( t ) = ( t − 2) Sent ( u ( t ))
2) Causalidad:
Nuevamente podemos basarnos en el análisis de la respuesta impulsiva del sistema descrito por una
ec. diferencial. Si h(t) es nula para t<0 entonces el sistema es causal.
Por ejemplo el siguiente sistema es causal
h ( t ) = ( t − 2) Sent ( u ( t ))
Un ejemplo de sistema no causal:
h(t) = δ' (t) + e
−2 t
Ya que, a pesar de que la excitación es una delta de Dirac aplicada en t=0, la salida y(t) existe entre
[ − ∞, ∞ ] es decir hay salida antes de que comience la excitación
3) Linealidad: Para un sistema descrito por una ecuación diferencial de coeficientes constantes, las
condiciones iniciales definen la linealidad o no del mismo.
Obsérvese a través del siguiente ejemplo
y´´(t) + y(t) = x(t)
Al buscar las raíces se obtiene que la solución homogénea para este caso es:
y h ( t ) = ACost + BSent
Si ahora suponemos una excitación x1(t), la solución global sería
y( t ) = ACost + BSent + y p1
En cambio si la entrada es x2(t), la solución global sería
y( t ) = ACost + BSent + y p 2
Si la excitación es ahora x1(t)+x2(t), la salida sería
y( t ) = ACost + BSent + y p1+ p 2
Se puede demostrar que, solo para determinadas condiciones iniciales se cumple la linealidad.
Por ejemplo si y(0)=y'(0)=0, entonces A=B=0, la solución a la homogénea es cero
Si y(0)=y'(0)=1, entonces A=B=1 la solución a la homogénea no es cero
Ejercicio propuesto: Resuelva el problema anterior suponiendo x1(t)=e-2t y x2(t)=e-t
Varíe las condiciones iniciales y verifique si el sistema es lineal o no
REPRESENTACION DE UN SISTEMA MEDIANTE SU RESPUESTA AL IMPULSO.
CONVOLUCION
Al igual que en el caso discreto, al conocer la respuesta al impulso de un sistema, será posible
calcular la salida de dicho sistema a cualquier excitación a través de, en este caso, la integral de
convolución?.
El problema se plantea en estos términos: Si cuando x(t) = δ(t), la salida y(t) llamada respuesta
impulsiva será h(t). ¿Cómo se determinará la salida cuando x(t) sea una señal arbitraria?.
Asumamos que x(t) tiene la siguiente forma:
Figura 5
Si representamos x(t) con pequeños rectángulos muy estrechos de altura unitaria (p(t-τ)), diremos
que estos se pueden aproximar por deltas de Dirac de área relacionada con la señal x(t)
lim ∆τ→0 (
1
p( t − τ)) = δ( t − τ)
∆τ
Por lo tanto, si el sistema es invariante en tiempo, entonces
a) Cuando la entrada es kδ(t), la salida será kh(t)
b) Cuando la entrada sea kδ(t-τ ), la salida será kh(t-τ)
Al representar la señal x(t) como una sumatoria de pulsos kp(t-τ), cuando ∆τ tienda a cero la
respuesta a cada término está asociada a la respuesta al impulso en cada instante y con área
asociada al valor de la señal x(t) en el punto donde esta aplicada la delta. Además si el sistema
es lineal la salida total se calcula sumando todas las contribuciones teniéndose como salida total:
∞
y( t ) =
∫ x ( τ ) h ( t − τ )dτ = x ( t ) * h ( t )
−∞
Esta relación recibe el nombre de integral de convolución y se dice que la salida de un sistema
se determina a través de la convolución de la entrada con la respuesta impulsiva del sistema.
Convolución gráfica
Una forma de entender este proceso más fácilmente es haciendo el análisis gráfico del mismo; a
continuación mostraremos un ejemplo realizado por el hoy Ing. José Miguel Hobaica, tesista de la
prof. Trina Adrián. Para ello supónganse las dos funciones f (t) y g(t) mostradas en la figura 6
Figura 6
Las ecuaciones para cada una de las señales serían:
f (t ) = 2 ⇒ 0 ≤ t ≤ 5
g (t ) = −t + 3 ⇒ 0 ≤ t ≤ 3
Para comenzar se debe crear una función similar a f (t) pero expresada en términos de la variable τ;
también se debe crear una función similar a g(t) pero con la variable τ negativa, además desplazada
una cantidad t, tal como se indica en la 7:
Figura 7
La cantidad t irá tomando valores desde –infinito hasta infinito, lo que causará que la función g
haga un recorrido completo por el eje τ, en dicho recorrido se multiplican ambas funciones y se
toma el área bajo el producto, por lo que la convolución valdrá 0 en todos los puntos donde las
funciones no se intersecten. Con esto ya se puede concluir que, para este caso:
y(t ) = 0 ⇒ t < 0
Desde el instante en el que t es igual a 0 hasta que t es igual a 3 se dará la situación descrita en la
siguiente figura:
Figura 8
Para este intervalo se cumple que:
t
y (t ) = ∫ 2(τ − t + 3)dτ = −t 2 + 6t ⇒ 0 ≤ t ≤ 3
0
Una vez las dos funciones se solapan completamente como se observa en la figura 9 , la expresión
para la convolución será la siguiente. Esto ocurre para valores de t situados entre 3 y 5
t
y (t ) =
∫ 2(τ − t + 3)dτ = 9 ⇒ 3 < t ≤ 5
t −3
Figura 9
El siguiente intervalo es el ocurrido para valores de t entre 5 y 8, el mismo se observa en la ¡Error!
o se encuentra el origen de la referencia. y se describe con la siguiente ecuación:
5
y (t ) =
∫ 2(τ − t + 3)dτ = (t − 8) ⇒ 5 < t ≤ 8
2
t −3
Figura 10
Para valores de t mayores a 8 las funciones no volverán a intersectarse como puede observarse en la
figura 11:
Figura 11
Como se explicó antes, la convolución vale 0 en los puntos donde las funciones no se intersectan:
y (t ) = 0 ⇒ t > 8
Con los resultados obtenidos para cada intervalo, mostrados en las ecuaciones anteriores puede
construirse la función resultante y(t) = f(t) * g(t):
Figura 11
PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION
1) Propiedad conmutativa:
f ( t ) ∗ g( t ) = g( t ) ∗ f ( t )
De esta propiedad puede concluirse que es indiferente cuál de las dos funciones será la que
se invierte y traslada, y cuál se queda fija.
2) Propiedad asociativa:
f (t ) ∗ [g (t ) ∗ h(t )] = [ f (t ) ∗ g (t )]∗ h (t )
3) Propiedad distributiva:
f (t ) ∗ [g (t ) + h (t )] = [ f (t ) ∗ g (t )] + [ f (t ) ∗ h (t )]
4) Multiplicación por escalar:
af (t ) ∗ g (t ) = f (t ) ∗ ag (t ) = a[ f (t ) ∗ g (t )]
Siendo a cualquier número real o complejo.
5) Derivación:
∂ ( f (t ) )
∂ (g (t ) ) ∂[ f (t ) ∗ g (t )]
∗ g (t ) = f (t ) ∗
=
∂t
∂t
∂t
6) Convolución con impulso unitario
δ (t − t0 ) ∗ g (t ) = g (t − t0 )
RESPUESTA AL ESCALON
En la práctica, es imposible generar un impulso. Por esta razón, para determinar la respuesta
impulsiva de una red se hace lo siguiente:
1) Se excita la red con un escalón unitario (ES FACTIBLE GENERARLO AUNQUE SEA DE
FORMA APROXIMADA). La salida a esta señal la llamaremos yu(t)
2) La derivada de yu(t) será la respuesta impulsiva.
Demostración:
y u ( t ) = u ( t ) * h( t )
dy u ( t ) d ( u ( t ) * h ( t )) du( t )
=
=
* h ( t ) = δ( t ) * h ( t ) = h ( t )
dt
dt
dt