BÖLÜM I
VEKTÖREL ANALİZ
1.1.GİRİŞ
Elektromanyetikteki bazı nicelikler (yük, akım, enerji gibi) skaler, bazıları da
(elektrik ve manyetik alan şiddetleri gibi) vektörel büyüklüklerdir. Hem skalerler,
hem de vektörler zamanın ve konumun fonksiyonu olabilirler. Belirli bir zaman ve
konumda, bir skaler (pozitif veya negatif, birimiyle birlikte) büyüklüğüyle tam olarak
tanımlanır. Böylece, örneğin, t=0 anında belli bir konumdaki, (-1) µC’luk bir yükü
belirleyebiliriz. Diğer taraftan, belirli bir zaman ve konumda, bir vektör hem
büyüklük hem de yön bilgisi gerektirir. Bir vektörün yönünü belirtebilmek için,
üç boyutlu uzayda üç sayıya gerek vardır ve bu sayılar, bir koordinat
sisteminin seçimine bağlıdır. Bir koordinat sisteminde verilen bir vektörün başka
bir koordinat sistemine dönüştürülmesi, bu sayıları değiştirir. Bununla beraber,
çeşitli skaler ve vektörel niceliklerle ilgili kanunlar ve teoremler, koordinat sistemine
bakılmaksızın, kesinlikle geçerli kalmalıdır. Bu yüzden, elektromanyetizmaya ait
kanunların genel ifadeleri bir koordinat sisteminin belirlenmesini gerekli kılmaz. Özel
bir koordinat sistemi, sadece, geometrisi verilen bir problem analiz edileceği zaman
seçilir. Örneğin, akım taşıyan bir iletken halkanın merkezindeki manyetik alan
hesaplanacaksa, halka dikdörtgen olduğunda dik koordinatları, halka dairesel
biçimli ise, kutupsal koordinatları (iki boyutlu) kullanmak daha uygun olacaktır.
Böyle bir problemin çözümünü yönlendiren temel elektromanyetik bağıntı, her iki
geometri için de aynıdır.
Bu bölümde, vektörel analiz ile ilgili üç ana konu üzerinde durulacaktır:
1. Vektör cebri: Vektörlerin toplanması, çıkarılması ve çarpılması.
2. Ortogonal koordinat sistemleri: Kartezyen, silindirik ve küresel koordinatlar.
3. Vektörel
hesap:
Vektörlerin
diferansiyellerinin
ve
integrallerinin
hesaplanması; çizgisel, yüzey ve hacim integralleri; “del” operatörü;
gradyent, diverjans ve rotasyonel işlemleri.
Üç boyutlu uzayda, bir vektörel bağıntı, gerçekte, üç skaler bağıntı demektir.
Elektromanyetikte, vektörel analiz tekniklerinin kullanımı, kısa ve öz formülasyon
sağlar.
Pratik problemlerin çözümünde, daima, geometrik şekilleri belli olan bölgeler veya
cisimlerle ilgilenilir ve genel formülleri, verilen geometriye uygun bir koordinat
sisteminde ifade etmek gerekir. Örneğin, bir dairesel silindiri veya bir küreyi içeren
problemler için, bilinen (x,y,z) dik koordinatlarını kullanmak uygun düşmez. Çünkü
bir dairesel silindirin veya bir kürenin sınırları (x,y,z)’nin sabit değerleri ile
tanımlanamaz. Bu bölümde, çok yaygın olarak kullanılan üç ortagonal (dik)
koordinat sistemini, vektörlerin bu koordinat sisteminde gösterilmesini ve işlem
yapılmasını inceleyeceğiz. Bu koordinat sistemlerini iyi bir şekilde tanımak,
elektromanyetik problemlerin çözümünde esastır.
Vektörel hesap, vektörlerin türev ve integrallerinin hesaplanması ile ilgilidir. Belirli
diferansiyel işlemciler tanımlanarak, koordinat sisteminin seçimiyle değişmeyecek
şekilde, elektromanyetizmanın temel kanunları kısaca ifade edilebilir. Bu bölümde,
vektörleri içeren çeşitli tipteki integrallerin hesaplama teknikleri tanıtılacak ve çeşitli
tipteki diferansiyel operatörler tanımlanacaktır.
1.2. VEKTÖRLERİN TOPLANMASI VE ÇIKARILMASI
Bir vektörün bir büyüklük ve bir yöne sahip olduğunu biliyoruz. Bir vektör,
r
(1.1)
A = aˆA
r
şeklinde yazılabilir. Burada A, A ’nın büyüklüğüdür (birim ve boyutu vardır) ve â ,
r
A ’nın yönünde ve birim büyüklüğe sahip boyutsuz birim vektörüdür. Böylece,
r
A= A
(1.2)
ve
r
r
A A
ˆa = r =
A A
(1.3)
r
yazılabilir. Bir A vektörü, Şekil.1.1’de gösterildiği gibi, ok ucu â yönünü gösteren ve
r
uzunluğu A = A olan yönlü bir doğru parçasıyla grafiksel olarak temsil edilebilir.
r
A=A
r
A = ÂA
r
Şekil.1.1: A vektörünün grafik gösterimi
İki vektör, aynı büyüklük ve yöne sahipse, uzayın farklı konumlarında
bulunsalar bile, özdeştirler. Vektörleri skalerlerden ayırmak için, vektörler
r
yazılırken ya A yada A veya A şeklinde gösterilirler. Bu şekillerden biri seçildikten
%
sonra, ne zaman nerede olursa olsun vektörleri skalerlerden ayıran işaret mutlaka
konmalıdır. Bazı kitaplarda ise, vektörler koyu olarak yazılarak, skalerlerden
ayrılırlar.
r
r
Şekil.1.2a’da verildiği gibi, aynı veya zıt yönlerde olmayan A ve B gibi iki vektör
r
bir düzlem tanımlar. Bunların toplamı, aynı düzlemde bulunan başka bir C
r r r
vektörüdür. C = A + B , grafik olarak iki şekilde elde edilebilir:
r
1. Paralelkenar kuralı: Bileşke vektör C , Şekil.1.2b’de gösterildiği gibi, aynı
r
r
noktadan çizilen A ve B ’nin oluşturduğu paralelkenarın köşegen
vektörüdür.
r
r
2. Baş-kuyruk kuralı: A 'nın başı B ’nin kuyruğuna bağlanır. Bunların, toplamı
r r
r r
r
olan C , A ’nın kuyruğundan B ’nin başına kadar çizilen vektördür ve A , B
r
ve C vektörleri, Şekil.1.2c’de gösterildiği gibi, bir üçgen oluştururlar.
r
r
r
r
C
C
r
B
B
B
r
A
r
r
A
A
İki Vektör
Paralel Kenar kuralı
kuralı
rBaş-Kuyruk
r r
Şekil.1.2: Vektörel toplama, C = A + B
Vektörlerin toplanmasının değişme (commutative) ve birleşme (associative)
kanunlarına uydukları açıktır.
r r r r
Değişme kanunu: A + B = B + A
r
r r
r
r r
Birleşme kanunu: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(1.4)
(1.5)
r
B
r
B
İki Vektör
r
A
r
A
r r
A− B
r
−B
(
)
r r
A − B Farkı
Şekil.1.3: Vektörel çıkarma
Vektörel çıkarma, vektörlerin toplanması kuralına göre,
r r r
r
A − B = A + (− B)
(1.6)
r
r
r
r
şeklinde tanımlanabilir. Burada ( − B ) , B vektörünün negatifidir; yani, ( − B ) ile B ,
aynı büyüklüğe fakat zıt yöne sahiptir. Böylece,
r
− B = ( − bˆ ) B
(1.7)
olur. Denk.(1.6) ile temsil edilen işlem, Şekil.1,3’de gösterilmiştir.
1.3. VEKTÖRLERİN ÇARPILMASI
r
r
Bir A vektörünün pozitif bir k skaleri ile çarpılması, A vektörünün yönünü
değiştirmeksizin, büyüklüğünü k katına çıkarır (k, 1’den küçük veya büyük olabilir).
Buna göre,
r
kA = aˆ ( kA)
(1.8)
yazılabilir.
“Bir vektörün başka bir vektörle çarpılması” veya “iki vektörün çarpımı”
demek yeterli değildir. Çünkü, iki vektörün iki ayrı ve çok farklı tipte çarpımı vardır.
Bunlar; (1) skaler veya nokta çarpımlar ve (2) vektörel veya çapraz çarpımlardır.
1.3.1. Skaler Çarpım
r r
r
r
r
r
A ve B vektörlerinin A. B ile gösterilen skaler veya nokta çarpımı A ve B ’nin
büyüklükleri ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit olan bir skalerdir.
Böylece,
r r
A ⋅ B = ABCosθ AB
(1.9)
r
r
yazılır. Burada θ AB A ile B arasındaki dar açıdır ve Şekil.1.4’de gösterildiği gibi, π
radyan’dan küçüktür. İki vektörün skaler çarpımı,
(1) vektörlerin büyüklüklerinin çarpımına eşit veya daha küçüktür,
(2) aralarındaki açının π / 2 radyan (900 ) ’dan daha büyük veya küçük olmasına göre
pozitif veya negatif nicelik olabilir,
(3) bir vektörün büyüklüğünün, diğer vektörün birincisi üzerine izdüşümü ile
çarpımına eşittir ve
(4) vektörler birbirlerine dik oldukları zaman sıfırdır. Ayrıca,
r r
A. A = A2
(1.10)
r r
A. A
(1.11)
veya
A=
olduğu açıktır. Denk.(1.11), bir vektör herhangi bir koordinat sisteminde ifade
edildiği zaman, onun büyüklüğünün bulunmasını sağlar.
r
B
θ AB
BCosθ AB
r
A
A
r
r
Şekil.1.4: A ile B ’nin skaler çarpımı
Skaler çarpım, değişme ve dağılma özelliğine sahiptir:
r r r r
Değişme kanunu: A. B = B . A
r r r
r r r r
Dağılma kanunu: A.( B + C ) = A. B + A.C
(1.12)
(1.13)
Değişme kanununun sağlanacağı, Denk.(1.9)’daki skaler çarpım tanımından açıktır
ve Denk.(1.13)’ün ispatı, bir alıştırma olarak bırakılmıştır. Birleşme kanunu, skaler
r r r
çarpıma uygulanamaz. Çünkü, ikiden fazla vektör bu şekilde çarpılamaz ve A. B .C
anlamsızdır.
*****************************************************************
Örnek 1.1: Bir üçgenin kosinüsler kanununu ispatlayınız.
Çözüm 1.1: Kosinüsler kanunu, bir üçgenin bir
kenarının uzunluğunu, diğer iki kenarın uzunluğu
ve onlar arsındaki açı cinsinden ifade eden skaler
C
r
A
bir bağıntıdır. Şekil.1.5’e göre, kosinüsler kanunu,
C=
A2 + B 2 − 2 AB cos α
şeklinde ifade edilebilir. Bu ifade, kenarların
vektör olarak alınması suretiyle, ispatlanır. Yani,
r r r
C = A+ B
r
C
α
r
B
θ AB
B
A
Şekil.1.5: Örnek.1.1’e ait şekil
r
yazılabilir. C ’nin kendisiyle skaler çarpımı alınırsa, Denk.(1.10) ve (1.13)’den,
r r
r r r r
2
C = C .C = ( A + B ).( A + B )
r r r r
r r
= A. A + B . B + 2 A. B
= A2 + B 2 + 2 AB cosθ AB
r
r
bulunur. θ AB ’nin, tanımdan dolayı, A ile B arasındaki dar açı olduğuna ve
(1800 − α )’ya eşit olduğuna dikkat ediniz. Böylece,
cos θ AB = cos(1800 − α ) = − cos α
olur. Bu yüzden,
C 2 = A2 + B 2 − 2 AB cos α
olur ve kosinüsler kanunu doğrudan uygulanır.
*****************************************************************
1.3.2. Vektörel Çarpım
r r
r
r
A × B ile gösterilen ve A ve B gibi iki vektörün vektörel veya çapraz çarpımı,
r
r
A ile B ’nin bulunduğu düzleme dik olan bir vektör verir. Bu vektörün
r
r
büyüklüğü, A ile B arasındaki dar açı θ AB olmak üzere, ( AB sin θ AB ), yönü ise,
parmaklar θ AB açısı boyunca dönderildiği zaman, sağ elin baş parmağının
gösterdiği yöndür (sağ el kuralı). Buna göre,
r r
A × B = nˆ ABSinθ AB
(1.14)
yazılabilir.
Bu
durum,
Şekil.1.6’da
r
r
gösterilmiştir. A ile B vektörlerinin oluşturduğu
paralelkenarın yüksekliği Bsin θ AB ’ye eşit
r r
olduğundan, daima pozitif olan A× B ’nin
büyüklüğü olan AB sin θ AB , nümerik olarak,
paralelkenarın alanına eşittir.
r r
A× B
r
B
n̂
θ AB
BSinθ AB
r
A
r
r
Şekil 1.6: A ile B ’nin vektörel çarpımı
Denk.(1.14)’deki tanımı kullanarak ve sağ el kuralı uygulanarak,
r r
r r
B × A = − A× B
(1.15)
bulunur. Bu ifadeye göre, vektörel çarpım değişme özelliğine sahip değildir.
Ancak,
r r r
r r r r
A× (B + C ) = A× B + A× C
(1.16)
ifadesinden, vektörel çarpımın dağılma kanununa uyduğu görülebilir.
Vektörel çarpım, birleşme özelliğine sahip değildir. Yani,
r r r
r r r
A × ( B × C ) ≠ ( A × B) × C
(1.17)
r
dir. Buradaki ifadenin sol tarafındaki üçlü çarpımı temsil eden vektör A ’ya diktir
r
r
r
r
ve B ile C ’nin bulunduğu düzlem içindedir. Halbuki, sağ taraf C ’ye diktir ve A
r
ile B ’nin bulunduğu düzlem içindedir. Bu yüzden, vektörlerin çarpım sırası
önemlidir ve hiçbir durumda parantezler ihmal edilemez.
1.3.3 Üç Vektör Çarpımı
Skaler üçlü çarpım ve vektörel üçlü çarpım olmak üzere üç vektörün iki cins
çarpımı vardır. Bunların en basiti skaler üçlü çarpımdır ve,
r r r
r r r
r r r
(1.18)
A.( B × C ) = B .(C × A) = C .( A × B )
r
r r
özeliğine sahiptir. Burada A , B ve C vektörlerinin dönme sırasına dikkat ediniz.
Elbette,
r r r
r r r
A.( B × C ) = − A.(C × B )
r r r
= − B .( A × C )
r r r
= − C .( B × A)
(1.19)
r r
r
dir. Şekil.1.7’den görüldüğü gibi, Denk.(1.18)’deki üç ifadeden her biri, A , B ve C
gibi üç vektörün oluşturduğu paralel yüzlünün hacmine eşit bir büyüklüğe sahiptir.
r r
Paralel yüzlü, B × C = BC sin θ1 ’e eşit bir
alanı olan bir tabana ve A cosθ 2 ’ye eşit bir
yüksekliğe
sahiptir.
Böylece,
hacmi
ABC sin θ1 cos θ 2 olur.
r r r
A × ( B × C ) şeklindeki üçlü vektörel çarpım,
iki basit vektörün farkı olarak,
r r r
r r r
r r r
A × ( B × C ) = B( A.C ) − C ( A. B )
şeklinde yazılabilir. Denk.(1.20), “back-cab”
kuralı olarak bilinir ve faydalı bir vektörel
özdeşliktir.
r r
B×C
r
A
θ2
r
C
θ1
r
B
r r
Alan = B × C
(1.20)
r r r
Şekil.1.7: A.( B × C ) ’nin gösterimi
1.4. ORTOGONAL KOORDİNAT SİSTEMİ
Daha önce belirtildiği gibi, elektromanyetizmanın kanunları koordinat sistemlerinden
bağımsız olmasına rağmen, pratik problemlerin çözümü, verilen problemin
geometrisine uygun bir koordinat sisteminde ifade edilen, bu kanunlardan türetilmiş
bağıntılara ihtiyaç duyar. Örneğin, uzayda belli bir noktadaki elektrik alan tayin
edilecekse, kaynağın konumunun ve bu noktanın yerinin bir koordinat sisteminde
tanımlanması gerekir. Üç boyutlu uzayda, bir nokta üç yüzeyin kesişim yeri
olarak belirlenebilir. Genellikle, bu üç yüzey ailesi, u1=sbt, u2=sbt ve u3=sbt
denklemleri ile tanımlanır. Burada u’ların hepsinin uzunluk olması gerekmez
(kartezyen koordinat sisteminde u1, u2 ve u3 sırasıyla x, y ve z’ye karşılık gelirler).
Bu üç yüzey, karşılıklı olarak birbirlerine dikse, bir ortagonal koordinat
sistemi elde edilmiş olur. Ortogonal olmayan koordinat sistemleri, problemleri
daha karmaşık hale getirdiklerinden dolayı, kullanılmazlar.
Bir koordinat sisteminde, ui (i=1, 2, 3) ile temsil edilen bazı yüzeyler düzlemler
şeklinde değil de, eğrisel yüzeyler olabilirler. uˆ1 , uˆ 2 ve û3 , üç koordinat ekseni
yönündeki birim vektörler olsunlar. Bunlar, birim veya temel vektörler olarak
adlandırılırlar. Genel bir sağ-el, ortogonal, eğrisel koordinat sisteminde, birim
vektörler,
uˆ1 × uˆ 2 = uˆ 3
(1.21a)
uˆ 2 × uˆ 3 = û1
(1.21b)
uˆ 3 × uˆ1 = û2
(1.21c)
bağıntıları sağlanacak şekilde düzenlenirler. Bu birim vektörlerden birinin
tanımlanması, otomatik olarak diğer ikisini bağladığından, bu üç denklem tamamen
bağımsız değildirler. Tabii ki,
uˆ1 .uˆ 2 = uˆ 2 .uˆ 3 = uˆ 3 .uˆ1 = 0
(1.22)
uˆ1 .uˆ1 = uˆ 2 .uˆ 2 = uˆ 3 .uˆ 3 = 1
(1.23)
r
elde edilir. Herhangi bir A vektörü, ortagonal yöndeki üç bileşenin toplamı olarak,
r
A = uˆ1 Au1 + uˆ 2 Au 2 + uˆ 3 Au 3
(1.24)
r
şeklinde yazılabilir. Burada Au1 , Au 2 ve Au 3 bileşenlerinin büyüklükleri, A ’nın
konumuyla değişebilir. Yani, bunlar u1, u2 ve u3’ün fonksiyonları olabilirler.
r
Denk.(1.24)’den, A ’nın büyüklüğü,
(
r
r
A = A = Au21 + Au22 + Au23
)
1/ 2
(1.25)
olur.
*******************************************************************
r r
r
Örnek.1.2: A , B ve C şeklinde verilen üç vektör için, ortogonal eğrisel koordinat
r r
r r
r r r
sisteminde ( u1 , u2 , u3 ), (a) A. B ’ye, (b) A × B ’ye, (c) C .( A × B ) ’ye ait ifadeleri elde
ediniz.
r r
r
Çözüm.1.2: İlk önce A , B ve C , ortagonal koordinatlarda ( u1 , u2 , u3 ),
r
A = uˆ1 Au1 + uˆ 2 Au 2 + uˆ 3 Au 3
r
B = uˆ1 Bu1 + uˆ 2 Bu 2 + uˆ 3 Bu 3
r
C = uˆ1C u1 + uˆ 2C u 2 + uˆ 3C u 3
şeklinde yazılabilir.
(a) Denk.(1.22) ve (1.23) kullanılarak,
r r
A. B = ( uˆ1 Au1 + uˆ 2 Au 2 + uˆ 3 Au 3 ).( uˆ1 Bu1 + uˆ 2 Bu 2 + uˆ 3 Bu 3 )
= Au1 Bu1 + Au 2 Bu 2 + Au 3 Bu 3
elde edilir.
r r
A × B = ( uˆ1 Au1 + uˆ 2 Au 2 + uˆ 3 Au 3 ) × ( uˆ1 Bu1 + uˆ 2 Bu 2 + uˆ 3 Bu 3 )
(b)
= uˆ1 ( Au 2 Bu 3 − Au 3 Bu 2 ) + uˆ 2 ( Au 3 Bu1 − Au1 Bu 3 )
+ uˆ 3 ( Au1 Bu 2 − Au 2 Bu1 )
(1.26)
uˆ1
= Au1
Bu1
uˆ 2
uˆ 3
Au 2
Au 3
Bu 2
Bu 3
(1.27)
Denk.(1.26) ve (1.27) sırasıyla, iki vektörün ortogonal eğrisel koordinatlardaki skaler
ve vektörel çarpımlarıdır.
(c) Denk.(1.26) ve (1.27)’de elde edilen sonuçlar birleştirilerek,
r r r
C .( A × B ) = C u1 ( Au 2 Bu 3 − Au 3 Bu 2 ) + C u 2 ( Au 3 Bu1 − Au1 Bu 3 )
+ C u 3 ( Au1 Bu 2 − Au 2 Bu1 )
C u1 C u 2
= Au1 Au 2
Bu1
Bu 2
Cu3
Au 3
(1.28)
Bu 3
elde edilir. Bu denklem, Denk.(1.18) ve Denk.(1.19) ile verilen ifadeleri ispatlamak
için kullanılabilir. Denk.(1.28)’in sol tarafındaki vektörlerin sırasının değiştirilmesinin,
basitçe, sağdaki determinantın satırlarının yeniden düzenlenmesini gerektirdiği
açıktır.
*******************************************************************
Vektörel hesapta (ve elektromanyetik çalışmada), sık sık çizgisel, yüzey ve hacim
integrallerinin alınması gerekir. Her durumda, koordinatların birindeki bir diferansiyel
değişime karşı gelen diferansiyel uzunluk değişimini ifade etmek gerekir. Bununla
beraber, koordinatların bazısı, örneğin ui (i=1,2,3) bir uzunluk olmayabilir ve bir
dui diferansiyel değişimi, dli şeklindeki bir uzunluk değişimine dönüştürmek
için bir dönüşüm çarpanı gerekir. Bu yüzden,
dli = hi dui
(1.29)
yazılabilir. Burada hi , metrik katsayı olarak adlandırılır ve kendiside u1, u2 ve
u3’ün
fonksiyonu
olabilir.
Örneğin,
iki
boyutlu
kutupsal
koordinatlarda;
( u1 , u2 ) = ( r ,φ ) , φ ( = u2 ) ’deki dφ ( = du2 ) diferansiyel değişimi, φˆ ( = uˆ 2 ) yönünde
dl2 = rdφ ( h2 = r = u1 )’lik bir diferansiyel uzunluk değişimine karşılık gelir. Keyfi bir
yöndeki
yönlü
değişimi,
bileşen
bir
diferansiyel
uzunluk
uzunluk
y
değişimlerinin
vektörel toplamı olarak,
r
dl = uˆ1dl1 + uˆ 2dl2 + uˆ 3dl3
rdφ (yay uzunluğu)
r
(1.30)
0
veya
r
dl = uˆ1 ( h1du1 ) + uˆ 2 ( h2du2 ) + uˆ 3 ( h3du3 )
dφ
φ
x
(1.31)
r
şeklinde yazılabilir. Denk.(1.25)’e göre, dl ’nin büyüklüğü,
dl = ⎡ (dl1 )2 + (dl2 )2 + (dl3 )2 ⎤
⎣
⎦
1/ 2
= ⎡ ( h1du1 )2 + ( h2du2 )2 + ( h3du3 )2 ⎤
⎣
⎦
1/ 2
(1.32)
olur. uˆ1 , uˆ 2 ve û3 yönlerindeki du1 , du2 ve du3 diferansiyel koordinat değişimleriyle
oluşturulan diferansiyel dv hacmi, ( dl1dl2dl3 ) olur veya,
dv = h1h2 h3du1du2du3
(1.33)
yazılabilir. Daha sonra, bir diferansiyel yüzeyden geçen akım veya akıyı ifade etme
imkanı olacaktır. Böyle durumlarda, akım veya akıya dik olan kesit alanı
kullanılmalıdır. Bunun yanında, diferansiyel yüzey alanını, yüzeye dik yönlü bir
vektör olarak göz önüne almak uygun olur, yani,
r
ˆ
ds = nds
(1.34)
r
yazılabilir. Örneğin, J akım yoğunluğu, büyüklüğü ds olan diferansiyel yüzey
r
alanına dik değilse, ds ’den geçen dI akımı, J ’nin yüzey alanına dik bileşenin yüzey
alanıyla çarpımına eşit olmalıdır. Denk.(1.34)’deki gösterim kullanılarak basitçe,
r r r
ˆ
dI = J .ds = J .nds
(1.35)
r
yazılabilir. Genel eğrisel ortogonal koordinatlarda, û1 birim vektörüne dik olan ds1
diferansiyel yüzey elemanı,
r
ds1 = uˆ1 (dl2dl3 )
veya
r
ds1 = uˆ1 ( h2 h3du2du3 )
(1.36)
olur. Benzer şekilde, û2 ve û3 birim vektörlerine dik olan diferansiyel yüzey elemanı,
sırasıyla,
r
ds2 = uˆ 2 ( h1h3du1du3 )
(1.37)
r
ds3 = uˆ 3 ( h1h2du1du2 )
(1.38)
ve
dir.
Pek çok ortogonal koordinat sistemi vardır, ancak biz sadece, en yaygın ve en
kullanışlı üç koordinat sistemi ile ilgileneceğiz. Aşağıdaki alt bölümlerde ayrı ayrı
incelenecek olan bu koordinat sistemleri
1. Kartezyen (veya dik) koordinatlar
2. Silindirik koordinatlar
3. Küresel koordinatlar
dır.
1.4.1. Kartezyen Koordinatlar Sistemi
Kartezyen koordinatların değişkenleri,
( u1 , u2 , u3 ) = ( x , y , z )
dir. Kartezyen koordinatlarda bir P(x,y,z) noktası, Şekil.1.9’da gösterildiği gibi,
x = x1 , y = y1 ve z = z1 ile tanımlanan üç yüzeyin kesişme noktasıdır. Bu sistem,
( xˆ ) × ( yˆ ) = zˆ
(1.39a)
( yˆ ) × ( zˆ ) = xˆ
(1.39b)
( zˆ ) × ( xˆ ) = yˆ
(1.39c)
bağıntılarını sağlayan x̂ , ŷ ve ẑ
birim vektörlü bir sağ-el sistemidir.
P ( x1 , y1 , z1 ) noktasına uzanan yer
P(x1,y1,z1)
z=z1 düzlemi
ẑ
x̂
x=x1 düzlemi
ŷ
0
y
x
y=y1 düzlemi
vektörü,
ˆ 1 + yy
ˆ 1 + zz
ˆ1
OP = xx
z
(1.40)
Şekil.1.9: Kartezyen Koordinatlar
r
dir. Kartezyen koordinatlarda, bir A vektörü,
r
ˆ x + yA
ˆ y + zˆAz
A = xA
(1.41)
r
r
şeklinde yazılabilir. A ve B gibi iki vektörün skaler çarpımı, Denk.(1.26)’dan
r r
A. B = Ax B x + Ay B y + Az Bz
(1.42)
r
r
dir. A ve B vektörlerinin çapraz çarpımı, Denk.(1.27)’den,
r r
A × B = xˆ ( A y Bz − Az B y ) + yˆ ( Az B x − Ax Bz ) + zˆ ( Ax B y − Ay B x )
xˆ
= Ax
yˆ
Ay
zˆ
Az
Bx
By
Bz
(1.43)
şeklinde yazılabilir. x, y ve z’nin kendileri uzunluk olduğundan, üç metrik
katsayının hepsi de “bir” dir. Yani h1 = h2 = h3 = 1 olur. Diferansiyel alan ve
diferansiyel hacim elemanı ifadeleri, Denk.(1.31), (1.36), (1.37), (1.38) ve (1.33)’den
sırasıyla,
r
ˆ + ydy
ˆ + zdz
ˆ
dl = xdx
r
ˆ
ds x = xdydz
r
ˆ
ds y = ydxdz
(1.45b)
ˆ
dsˆz = zdxdy
(1.45c)
dv = dxdydz
(1.46)
(1.44)
(1.45a)
ve
dir.
********************************************************************
r r
Örnek.1.4: ∫ F .dl şeklindeki bir vektörel alanın skaler çizgi integrali, hem fizikte
P2
P1
r
hem de elektromanyetikte çok önemlidir (Eğer F bir kuvvet ise, bu integral, belli bir
r r
yol boyunca P1’den P2’ye giderken kuvvet tarafından yapılan iş olur. Eğer F , E
elektrik alan şiddeti ile değiştirilirse, o zaman bu integral bir elektromotor kuvvetini
r
ˆ + yˆ (3 x − y 2 ) olduğu kabul edilsin. Bu skaler integrali,
temsil eder). F = xxy
Şekil.1.10’daki; (a) 1-doğrusal yolu boyunca, (b) 2-nolu P1AP2 yolu boyunca
P1(5,6)’dan P2(3,3)’e kadar hesaplayınız.
r r
Çözüm.1.4: İlk önce F .dl çarpımı kartezyen koordinatlarda yazılmalıdır. Bu, iki
boyutlu problem olduğundan, Denk.(1.44)’den,
r r
ˆ + yˆ (3 x − y 2 ) ⎤ .( xdx
ˆ + ydy
ˆ )
F .dl = ⎡ xxy
⎣
⎦
= xydx + (3 x − y 2 )dy
(1.47)
r
elde edilir. Kartezyen koordinatlarda dl ’nin daima, yola veya integrasyon yönüne
bakılmaksızın Denk.(1.44) ile verildiğini hatırlatmak gerekir. İntegrasyon yönü,
integralde uygun sınırlar kullanılarak, hesaba katılır.
(a)
1-yolu boyunca: P1P2 yolunun deklemi,
3
y = ( x − 1)
2
(1.48)
dir. Bu sonuç, P1P2 çizgisinin eğiminin (3/2) olduğu
y
(bkz. Şekil.1.10) dikkate alınarak elde edilebilir.
y=
Böylece y=(3/2)x, orjinden geçen ve P1P2’ye paralel
olan kesikli çizginin denklemi olur. P1P2 çizgisi, x-
kaydırılmış halidir. Bu ifade x ile (x-1) değiştirilerek
elde edilebilir. Denk.(1.47) ve (1.48)’den,
P2
∫
r r
F ⋅ dl =
P1
1− yolu
P2
∫
P1
1− yolu
[xy dx + (3x − y )dy]
2
3
3
= ∫ x ( x − 1) dx + ∫ ( 2 y + 3 − y 2 ) dy
5 2
6
= −37 + 27 = −10
3
P1(5,6)
1
2
A
3
P2(3,3)
eksenini x=+1’de kestiğinden, bunun deklemi,
kesikli çizgi denkleminin pozitif x-yönünde bir birim
3
x
2
0
1
5
Şekil.1.10: Örnek.1.4’deki
integrasyon yolu
x
bulunur. Burada, y’ye göre integrasyonda, Denk.(1.48)’den türetilen 3x=2y+3
bağıntısı kullanıldı.
(b) 2-yolu boyunca: Bu yol iki düz çizgi parçasına sahiptir:
r r
P1’den A’ya: x=5, dx=0, F .dl = (15 − y 2 )dy
r r
A’dan P2’ye: y=3, dy=0, F .dl = 3 xdx
Böylece,
P2
∫
P1
r r
F ⋅ dl =
A
∫
2
(15 − y ) dy +
P1
2 − yolu
P2
∫
3 x dx = 18 − 24 = −6
A
3 − yolu
elde edilir. Burada çizgi integralinin değerinin integrasyon yoluna bağlı
r
olduğuna dikkat ediniz. Böyle bir durumda, F vektörel alanının korunumlu
(konservatif) olmadığı söylenir.
********************************************************************
1.4.2. Silindirik Koordinatlar
Silindirik koordinatlarda, koordinat değişkenleri,
( u1 , u2 , u3 ) = ( r ,φ , z )
dir. Ayrıca bu koordinatlarda, bir P ( r1 ,φ1 , z1 ) noktası r=r1 olan dairesel silindirik bir
yüzeyin xz-düzlemi ile φ = φ1 açısı yapan ve z eksenini içeren bir yarı düzlemin ve
z=z1’de xy-düzlemine paralel olan bir düzlemin kesişme noktasıdır. Şekil.1.11’de
gösterildiği gibi; φ açısı pozitif x-ekseninden itibaren ölçülür veφˆ temel vektörü
silindirik yüzeye teğettir. Silindirik koordinatlarda, sağ-el kuralına uygun olarak,
rˆ × φˆ = zˆ
(1.49a)
φˆ × ẑ = rˆ
(1.49b)
ẑ × rˆ = φˆ
(1.49c)
z
z=z1 düzlemi
P(r1,φ1,z1)
ẑ
φˆ
r̂
r=r1 düzlemi
x
x1
y1
0
φ1
r1
y
φ=φ1 düzlemi
Şekil.1.11: Silindirik koordinatlar
bağıntıları geçerlidir. Silindirik koordinatlar, uzun çizgisel yük ve akım ihtiva eden
problemler için ve silindirik veya dairesel sınırların mevcut olduğu yerlerde
önemlidir. İki boyutlu kutupsal koordinatlar z=0’da özel bir durumdur. Silindirik
koordinatlarda bir vektör,
r
ˆ r + φˆ Aφ + zA
ˆ z
A = rA
(1.50)
şeklinde yazılır. Silindirik koordinatlarda iki vektörün skaler ve vektörel çarpımlarına
ait ifadeler, Denk.(1.26) ve (1.27)’den elde edilebilir.
r ve z (u1 ve u3) koordinatlarının kendileri uzunluk olduğundan, h1 = h3 = 1 olur.
Bununla beraber; φ , dφ ’yi dl2 ’ye dönüştürmek için h2 = r şeklinde bir metrik
katsayıya ihtiyaç duyan bir açıdır. O halde silindirik uzunluk elemanı için genel
ifade, Denk.(1.31)’den,
r
ˆ + φˆ rdφ + zdz
ˆ
dl = rdr
şeklinde yazılabilir. Diferansiyel yüzey ve hacim elemanları ise,
r
ˆ φ dz
dsr = rrd
r
dsφ = φˆdrdz
r
ˆ
dsz = zrdrd
φ
ve
(1.51)
(1.52a)
(1.52b)
(1.52c)
dv = rdrdφ dz
(1.53)
şeklinde ifade edilebilir. Üç ortogonal koordinat yönünde, dr , dφ ve dz diferansiyel
değişimlerinden oluşan, bir ( r ,φ , z ) noktasındaki diferansiyel hacim elemanı
Şekil.1.12’de gösterilmiştir.
Silindirik koordinatlarda verilen bir vektör, kartezyen koordinatlardaki bir vektöre
(veya tersi) dönüştürülebilir. Bunun için,
r
ˆ r + φˆ Aφ + zA
ˆ z
A = rA
vektörünün
gösterilmesi
kartezyen
yani,
koordinatlarda
r
A
dr
vektörünün
r
ˆ x + yA
ˆ y + zˆAz şeklinde yazılması ve Ax, Ay,
xA
ve Az bileşenlerinin belirlenmesi istenmiş
olsun. Öncelikle, Az bileşeninin silindirik
koordinatlardan
rdφ
z
kartezyene
dönüşümde
dz
0
x
y
φ
dφ
Şekil.1.12: Silindirik koordinatlarda
diferansiyel hacim elemanı
r
değişmediğini belirtelim. Ax bileşenini bulmak için, A ’ya ait her iki ifadeyi skaler
olarak x̂ birim vektörü ile çarpıp, eşitleyelim. Böylece,
r
Ax = A. xˆ = Ar rˆ . xˆ + Aφ φˆ . xˆ
yazılabilir. zˆ . xˆ = 0 olduğundan, Az’yi içeren terim yok olur. xˆ , yˆ , zˆ ve φˆ temel
vektörlerinin bağıl konumlarını gösteren Şekil.1.13’den,
rˆ . xˆ = cos φ
(1.54)
0
ve
π
φˆ . xˆ = cos( + φ ) = − sin φ
2
φ
φˆ
φ
r
(1.55)
x
olduğu görülebilir. Buradan,
Ax = Ar cos φ − Aφ sin φ
y
(1.56)
r
yazılır. Benzer şekilde, Ay’yi bulmak için, A ’nın her iki
ifadesi ŷ ile skaler olarak çarpılırsa,
x̂
ŷ
r̂
Şekil.1.13: x̂ , ŷ , ẑ ve φˆ
arasındaki bağıntı
r
Ay = A. yˆ = Ar rˆ . yˆ + Aφ φˆ . yˆ
elde edilir. Şekil.1.13’den,
rˆ . yˆ = cos(
π
2
− φ ) = sin φ
(1.57)
ve
φˆ . yˆ = cos φ
(1.58)
bulunur. Buradan,
A y = Ar sin φ + Aφ cos φ
(1.59)
elde edilir. Bir vektörün kartezyen ve silindirik koordinatları bileşenleri arasındaki
bağıntıları,
⎡ Ax ⎤ ⎡cos φ
⎢ ⎥ ⎢
⎢ A y ⎥ = ⎢ sin φ
⎢ Az ⎥ ⎢⎣ 0
⎣ ⎦
− sin φ
cos φ
0
0⎤ ⎡ Ar ⎤
⎥ ⎢ ⎥
0⎥ ⋅ ⎢ Aφ ⎥
1⎥⎦ ⎢⎣ Az ⎥⎦
(1.60)
şeklinde matris formunda yazmak mümkündür. Buradaki problem, Denk.(1.60)’daki
cos φ ve sin φ ’nin kartezyen koordinatlara dönüştürülmesi dışında çözülmüştür.
Bundan başka; Ar , Aφ ve Az ’in kendileri r , φ ve z ’nin fonksiyonu olabilirler. Bu
durumda, nihai sonuçta onlar da x , y ve z ’nin fonksiyonlarına dönüştürülmelidir.
Şekil.1.13’den
x = r cos φ
(1.61a)
y = r sin φ
(1.61b)
z=z
(1.61c)
şeklindeki dönüşüm formülleri elde edilebilir. Ters bağıntılar (yani, kartezyenden
silindirik koordinatlara dönüşüm bağıntıları),
r=
x2 + y2
(1.62a)
φ = tan −1 ( y / x )
(1.62b)
z=z
(1.62c)
******************************************************************
r
Örnek.1.5: A = [rˆ (3cos φ ) − φˆ 2r + zˆ 5] vektörünü kartezyen koordinatlarda ifade
ediniz.
Çözüm.1.5: Doğrudan, Denk.(1.60) kullanılarak,
⎡ Ax ⎤ ⎡cos φ
⎢ ⎥ ⎢
⎢ A y ⎥ = ⎢ sin φ
⎢ Az ⎥ ⎢⎣ 0
⎣ ⎦
− sin φ
cos φ
0
0⎤ ⎡3 cos φ ⎤
⎥
⎥ ⎢
0⎥ ⋅ ⎢ − 2r ⎥
1⎥⎦ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
veya
r
A = xˆ (3cos 2 φ + 2r sin φ ) + yˆ (3sin φ cos φ − 2r cos φ ) + zˆ 5
olur. Fakat, Denk.(1.61) ve (1.62)’den,
cos φ =
ve
x
x2 + y2
sin φ =
y
x2 + y2
dir. Bu yüzden,
⎛ 3 x2
⎞
r
A = xˆ ⎜ 2
+ 2y⎟ +
⎜ x + y2
⎟
⎝
⎠
⎛ 3 xy
⎞
yˆ ⎜ 2
− 2 x ⎟ + zˆ 5
⎜ x + y2
⎟
⎝
⎠
bulunur.
******************************************************************
r
ˆ − yˆ 2 x için,
Örnek.1.6: F = xxy
r r
∫ F .dl
B
A
skaler çizgi integralini, Şekil.1.14’de gösterilen çeyrek daire boyunca hesaplayınız.
Çözüm.1.6: Bu problem, kartezyen ve silindirik koordinatlarda olmak üzere iki
yoldan çözülebilir.
(a)
r
r
Kartezyen koordinatlarda: Verilen F ve Denk.(1.44)’deki dl ifadesinden,
r r
F .dl = xydx − 2 xdy
y
elde edilir. Çeyrek dairenin denklemi x 2 + y 2 = 9
B
( 0 ≤ x , y ≤ 3 ) olduğundan,
3
r r 0
2
2
∫ F .dl = ∫ x 9 − x dx − 2 ∫ 9 − y dy
r=3
B
A
3
= −9(1 +
φ
0
π
2
0
x
Şekil.1.14: Örnek-1.6’daki
integral yolu
)
elde edilir.
(b) Silindirik
A
koordinatlarda:
Burada,
önce
r
F
silindirik
koordinatlara
dönüştürülmelidir. Denk.(1.55)’in tersi alınarak,
⎡ Ar ⎤ ⎡cos φ
⎢ ⎥ ⎢
⎢ Aφ ⎥ = ⎢ sin φ
⎢ Az ⎥ ⎢⎣ 0
⎣ ⎦
− sin φ
cos φ
elde edilir. Bu da,
0
0⎤
⎥
0⎥
1⎥⎦
−1
⎡ Ax ⎤
⎢ ⎥
⋅ ⎢ Ay ⎥ =
⎢ Az ⎥
⎣ ⎦
⎡ cos φ
⎢
⎢ − sin φ
⎢⎣ 0
sin φ
cos φ
0
0 ⎤ ⎡ Ax ⎤
⎥ ⎢ ⎥
0⎥ ⋅ ⎢ A y ⎥
1⎥⎦ ⎢⎣ Az ⎥⎦
(1.63)
r
F = rˆ ( xy cos φ − 2 x sin φ ) − φˆ ( xy sin φ + 2 x cos φ )
eşitliğini verir. Bu problem için, integrasyon yolu, yarıçapı 3 olan bir çeyrek daire
boyunca olur. Yol boyunca, r ve z’de hiçbir değişim yoktur ( dr = 0 ve dz = 0 ).
Böylece Denk.(1.51);
r
dl = φˆ 3dφ
olur ve
r r
F .dl = −3( xy sin φ + 2 x cos φ )dφ
elde edilir. Dairesel yol nedeniyle, Fr mevcut integrasyon için önemsizdir. Yol
boyunca, x = 3cos φ ve y = 3sin φ olduğundan,
r r π /2
2
2
∫ F .dl = ∫ −3 9sin φ cos φ + 6cos φ dφ
B
A
0
(
π /2
⎛ 3
= −9 ⎜ sin φ + φ + sin φ cos φ
0
⎝
)
π⎞
⎛
= −9 ⎜ 1 + ⎟
2⎠
⎝
elde edilir. Bu eşitlik, daha önceki sonuç ile aynıdır.
r
Bu özel örnekte, F kartezyen koordinatlarda verilmiştir ve yol daireseldir. Problemi
herhangi bir koordinat sisteminde çözmek için, hiçbir zorlayıcı neden yoktur.
******************************************************************
r
r r
ˆ 1 / r + zk
ˆ 2 z için, ∫ F ⋅ ds skaler yüzey integralini, Şekil.1.15’de
Örnek-1.7: F = rk
gösterildiği gibi, z = ±3 ve r = 2 ile tanımlanan z-ekseni etrafındaki kapalı bir
silindirin yüzeyi üzerinde hesaplayınız.
r
Çözüm-1.7: Denk.(1.34) ile ilgili olarak ds ’nin yönünün yüzeye dik olduğu
belirtilmişti. Bu ifade gerçekten açık değildir. Çünkü, bir yüzeye dik birim vektör, iki
yönden herhangi birine yönelmiş olabilir. Denk.(1.35)’de hiçbir şüpheli durum
yoktur. Çünkü, n̂ ’nin seçimi, basitçe, akım akışının referans yönünü tayin eder.
r r
Mevcut durumda, ki burada F .ds kapalı bir yüzey (bu durum, integral işareti
r
üzerindeki daire ile belirtilmiştir) üzerinden integre edilecektir, ds ’nin yönü daima
dışarı doğru normalin yönü ile aynı alınacaktır. Buradaki problem,
r
r r
∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ nˆ ds
z
yüzey integralini, verilen yüzeyin tamamı üzerinden
r
almaktır. Bu integral, F vektörünün kapalı yüzeyden
2
0
geçen dışa doğru net akısını verir.
Şekil.1.15’deki
silindir,
üç
yüzeye
sahiptir.
Bu
yüzeyler; tavan yüzeyi, taban yüzeyi ve yanal
yüzeydir. Böylece,
r r
∫ F ⋅ ds =
r
∫ F ⋅ nˆ ds +
tavan
yüzeyi
r
∫ F ⋅ nˆ ds +
taban
yüzeyi
r
∫ F ⋅ nˆ ds
x
Şekil.1.15: Örnek-1.7 için
silindirik yüzey
yanal
yüzey
Tavan yüzey: Bu yüzeyde; z = 3 , nˆ = zˆ
y
3
olur. Sağ taraftaki üç integrali ayrı ayrı değerlendirmek gerekir.
a)
3
r
F .nˆ = k2 z = 3k2
ds = rdrdφ
Denk.(1.52’den)
2π 2
r
ˆ = ∫ ∫ 3k2 rdrdφ = 12π k2
∫ F .nds
tavan
yüzey
0 0
dir.
b)
Taban yüzey: Bu yüzeyde, z = −3 , nˆ = − zˆ
r
F .nˆ = − k2 z = 3k2
ds = rdrdφ
r
ˆ = 12π k2
∫ F .nds
taban
yüzey
dir. Görüldüğü gibi; bu sonuç, tavan yüzey üzerinden alınan integral ile aynıdır.
c)
Yanal yüzey: Bu yüzeyde, r = 2 , nˆ = rˆ
r
k
k
F .nˆ = 1 = 1
2
r
ds = rdφ dz = 2dφ dz (Denk.1.52a’dan)
3 2π
r
ˆ = ∫ ∫ k1dφ dz = 12π k1
F .nds
∫
yanal
yüzey
−3 0
dir. Bu yüzden,
r r
∫ F ⋅ ds = 12πk2 + 12πk2 + 12πk1 = 12π (k1 + 2k2 )
elde edilir.
******************************************************************
1.4.3 Küresel Koordinatlar
Küresel koordinatların değişkenleri,
( u1 , u2 , u3 ) = ( R,θ ,φ )
dir. Bu koordinatlarda bir P ( R1 ,θ1 ,φ ) noktası, aşağıdaki üç yüzeyin kesişme noktası
olarak tanımlanır. R = R1 yarıçaplı merkezi orjinde olan küresel bir yüzey, tepesi
orjinde olan dik dairesel bir koni, (bu koninin ekseni z-ekseni ile çakışır ve θ = θ1 ’ lik
bir yarı açıya sahiptir) ve z-eksenini içeren ve xz-düzlemi ile φ = φ1 açısı yapan yarı
düzlemin kesişme yeri P ( R1 ,θ1 ,φ ) noktasıdır. P noktasındaki temel vektör R̂ ,
orjinden dışarı doğru yönelmiştir (radyal) ve silindirik koordinatlardaki r̂ ’den oldukça
farklıdır ve r̂ , z-eksenine diktir. θˆ temel vektörü, φ = φ1 düzlemindedir ve küresel
yüzeye teğettir. Halbuki, φˆ temel vektörü silindirik koordinatlardaki ile aynıdır.
Bunlar, Şekil.1.16’da gösterilmiştir. Bir sağ-el sistemi için,
R̂ × θˆ = φˆ
(1.64a)
yazılır.
θˆ × φˆ = R̂
(1.64b)
φˆ × R̂ = θˆ
(1.65c)
Küresel
koordinatlar,
z
θ1
noktasal kaynakları ve küresel
sınırlı bölgeleri içeren problemler
için,
önemlidir.
sonlu
Bir
genişlikteki
gözlemci,
bir
kaynak
P(R1,θ1,φ1)
R̂
bölgesinden çok uzakta olduğu
φˆ
R1
zaman, kaynağın bulunduğu yer
küresel
koordinat
sisteminin
φ1
orijini olarak alınabilir ve sonuç
olarak
yapılabilir.
uygun
Bu,
yaklaşımlar
küresel
koordinatların uzak alanda anten
θˆ
x
Şekil.1.16: Küresel koordinatlar
y
problemlerini çözmede kullanılmasının sebebidir. Küresel koordinatlardaki bir
vektör,
r
ˆ
ˆ
ˆ
A = RA
R + θ Aθ + φ Aφ
(1.65)
olarak yazılır. Küresel koordinatlarda, iki vektörün skaler ve vektörel çarpım
ifadeleri, Denk.(1.26) ve (1.27)’den elde edilebilir.
Küresel koordinatlarda, sadece R ( u1 ) bir uzunluktur. Diğer iki koordinat θ ve φ
( u2 ve u3 ) açı değişkenidir. Şekil.1.17’de tipik bir diferansiyel hacim elemanı
gösterilmiş olup, dθ ve dφ ’yi, sırasıyla, dl2 ve dl3 ’e dönüştürmek için, h2 = R ve
h3 = R sin θ metrik katsayılarının gerekli olduğu görülebilir. Bir diferansiyel uzunluk
için genel ifade, Denk.(1.31)’den,
r
ˆ + θˆ Rdθ + φˆ R sin θ dφ
dl = RdR
şeklinde
yazılabilir.
Üç
koordinat
(1.66)
yönünde
dR ,
dθ
ve
değişimlerinden oluşan diferansiyel yüzey ve hacim elemanları,
dφ
diferansiyel
r
ˆ 2 sin θ dθ dφ
ds R = RR
r
dsθ = θˆ R sin θ dRdφ
r
dsφ = φˆ RdRdθ
z
(1.67a)
(1.67b)
dR
Rsinθ
(1.67c)
θ
ve
dv = R 2 sin θ dRdθ dφ
şeklindedir.
Kolaylık
R
dθ
Rdθ
(1.68)
bakımından,
0
temel
φ
vektörler, metrik katsayılar ve diferansiyel
hacim elemanına ait ifadeler, Tablo.1.1’de
verilmiştir.
y
dφ
Rsinθ dφ
x
Şekil.1.17: Küresel koordinatlarda
diferansiyel hacim elemanı
Küresel koordinatlarda verilen bir vektör,
kartezyen veya silindirik koordinatlara (veya tersi) dönüştürülebilir. Şekil.1.17’den,
x = R sin θ cos φ
(1.69a)
y = R sin θ sin φ
(1.69b)
z = R cos θ
yazılabilir.
(1.69c)
Tersine,
kartezyen
koordinatlardaki
uzunluk
elemanları
küresel
koordinatlara,
R=
x2 + y2 + z2
θ = tan
−1
x2 + y2
z
⎛ y⎞
⎝ ⎠
φ = tan −1 ⎜ ⎟
x
(1.70a)
(1.70b)
(1.70c)
şeklinde dönüştürülebilir.
*********************************************************************
Örnek.1.8: Küresel koordinatlarda, bir P noktasının konumu (8,1200,3300) ile
belirtilmiştir. Bu noktanın konumu, (a) Kartezyen koordinatlarda, (b) Silindirik
koordinatlarda belirleyiniz.
*********************************************************************
Tablo 1.1: Üç temel ortogonal koordinat sistemi
Silindirik
Küresel
Koordinat sistemi
Kartezyen
Bağıntıları
Koordinatlar
Koordinatlar Koordinatlar
( x, y, z )
( r ,φ , z )
( R ,θ , φ )
rˆ
uˆ1
xˆ
Rˆ
yˆ
Birim vektörler uˆ 2
ˆ
φˆ
θ
zˆ
zˆ
h1
1
1
1
Metrik katsayılar h2
1
h3
1
r
1
R
R sin θ
dxdydz
rdrdφ dz
uˆ 3
Diferansiyel
Hacim elemanı dv
φˆ
R 2 sin 2 θ dRdθ dφ
*********************************************************************
Çözüm.1.8: Verilen noktanın küresel koordinatlar R = 8 , θ = 1200 ve φ = 3300 dir.
(a)
Kartezyen koordinatlarda: Denk.(1.69a,b,c) kullanılarak,
x = 8sin1200 cos 3300 = 6
y = 8sin1200 sin 3300 = −2 3
z = 8cos1200 = −4
bulunur. Buradan, P’nin konumu ( 6, −2 3, −4 ) olur ve yer vektörü (orijinden bu
noktaya yönelmiş vektör),
OP = xˆ 6 − yˆ 2 3 − zˆ 4
şeklinde yazılabilir.
(b) Silindirik koordinatlarda: P noktasının silindirik koordinatları, (a) şıkkında
elde edilen sonuçlara Denk.(1.62a,b,c) uygulanarak elde edilebilir. Ancak,
r = R sin θ
(1.71a)
φ =φ
(1.71b)
z = R cos θ
(1.71c)
bağıntıları yardımıyla, verilen küresel koordinatlardan doğrudan hesaplanabilir. Bu
bağıntılar, Şekil.1.11 ile Şekil.1.16’nın karşılaştırılması suretiyle, kontrol edilebilir.
Böylece, P (4 3, 3300 , −4) elde edilir. Silindirik koordinatlarda, yer vektörü de,
OP = rˆ 4 3 − zˆ 4
olur. Burada, kartezyen koordinatların aksine, silindirik koordinatlarda bir noktanın
“yer vektörü”nün noktanın konumunu tam olarak belirlemediğini söylemek gerekir. P
noktasının yer vektörünü küresel koordinatlarda yazınız.
*********************************************************************
r
ˆ
ˆ
ˆ
Örnek.1.9: A = RA
R + θ Aθ + φ Aφ vektörünü kartezyen koordinatlarda ifade ediniz.
r
r
ˆ x + yA
ˆ y + zA
ˆ z şeklinde yazılması
Çözüm.1.9: Bu problemde A ’nın A = xA
istenmektedir. Bu, daha önceki, bir noktanın koordinatlarının dönüştürülmesi
r
probleminden çok farklıdır. Her şeyden önce, verilen A vektörü ifadesinin, ilgilenilen
bütün noktalar için geçerli olduğunu ve verilen üç bileşenin hepsinin ( AR , Aθ ve Aφ )
koordinat değişkenlerinin fonksiyonu olabileceğini kabul edelim. İkinci olarak; verilen
r
bir noktada, bu üç bileşen kesin nümerik değerlere sahip olacaktır. Ancak, A ’nın
yönünü belirleyen bu değerler, genelde, noktanın koordinatlarından tamamen farklı
r
olacaktır. A ’nın x̂ ile skaler çarpımı alınarak,
r
Ax = A. xˆ
= AR Rˆ . xˆ + Aθ θˆ . xˆ + Aφ φˆ . xˆ
elde edilir. Rˆ . xˆ , θˆ .xˆ ve φˆ . xˆ skaler çarpımlarının, sırasıyla, R̂ , θˆ ve φˆ birim
vektörlerinin x̂ yönündeki bileşenlerini verdiği hatırlanarak, Şekil.1.16’dan ve
Denk.(1.69a,b,c)’den,
Rˆ . xˆ = sin θ cos φ =
θˆ . xˆ = cosθ cos φ =
x
x + y +z
2
(
2
xz
x2 + y2
)(
(1.72)
2
x2 + y2 + z2
)
(1.73)
φˆ . xˆ = − sin φ = −
y
(1.74)
( x2 + y2 )
bulunur. Böylece,
Ax = AR sin θ cos φ + Aθ cosθ cos φ − Aφ sin φ
=
AR x
x + y +z
2
2
2
+
Aθ xz
−
Aφ y
( x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ( x 2 + y 2 )
(1.75)
olur. Benzer şekilde,
Ay = AR sin θ sin φ + Aθ cosθ sin φ + Aφ cos φ
=
AR y
x + y +z
2
2
2
+
ve
Az = AR cosθ − Aθ sin θ
Aθ yz
−
Aφ x
( x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ( x 2 + y 2 )
(1.76)
=
AR z
x2 + y2 + z2
+
( x2 + y2 )
2
2
2
x
y
z
+
+
(
)
Aθ
(1.77)
olur. Eğer AR , Aθ ve Aφ bileşenleri, R , θ ve φ ’nin bileşeni iseler, bunlar da
Denk.(1.70a,b,c) kullanılarak, x , y ve z ’nin fonksiyonlarına dönüştürülmelidir.
Denk.(1.75), (1.76) ve (1.77) ile verilen bağıntılar, bir koordinat sisteminde basit bir
biçimde gösterilebilen bir vektörün başka bir koordinat sisteminde daha karmaşık bir
ifade ile verilebildiğini göstermektedir.
*********************************************************************
Örnek.1.10:
Yarıçapları
2
ve
5cm.
olan
iki
küre
arasındaki
bölgede,
( −3 × 10−8 / R4 )cos 2 φ C/m3’lük yük yoğunluğuna sahip bir elektron bulutu mevcut
olsun. Bu bölgede bulunan toplam yük miktarını bulunuz.
Çözüm.1.10: Burada,
ρ=−
3 × 10−8
R4
cos 2 φ
ve
2 cm
Q = ∫ ρ dv
5 cm
V
dir. Problemde verilen koordinatlar, açıkça,
küresel
koordinatların
kullanılmasını
gerektirmektedir. Denk.(1.68)’deki dv eşitliği
ρ = ( − 3 ⋅ 10 − 8 R 4 ) cos 2 φ C/m 3
kullanılarak,
2π π 0.05
Q = ∫ ∫ ∫ ρ R 2 sin θ dRdθ dφ
0 0 0.02
yazılabilir. Burada iki husus önemlidir. Birincisi; ρ yük yoğunluğu (C/m3) olarak
verildiğinden, R’ye ait integrasyon sınırları metre boyutuna dönüştürülmelidir.
İkincisi; θ ’ya ait integrasyon bölgesinin tamamı 0’dan 2π radyana kadar değil,
0’dan π radyana kadar alınmalıdır. Çünkü, bir yarım dairenin z-ekseni etrafında 2π
radyanlık bir açıyı tarayarak döndürülmesi (φ , 0’dan 2π ’ye kadar) bir küre oluşturur.
Bu durumda,
Q = −3 × 10
−8
= −3 × 10
2π π 0.05
1
0 0 0.02
R
∫ ∫ ∫
−8
= −0.9 × 10
2π π ⎛
1
1 ⎞
2
+
θ
θ
φ dφ
sin
d
cos
∫ ∫ ⎜−
⎟
0 0 ⎝ 0.05 0.02 ⎠
−6
2π
(
π
2
∫ − cos θ 0 cos φ dφ
0
= −1.8 × 10
2
φ sin θ dRdθ dφ
cos
2
−6 ⎛ φ
2π
sin 2φ ⎞
+
= −1.8π ( µ C )
⎜2
⎟
4 ⎠0
⎝
elde edilir.
*********************************************************************