Guı́a de preparación para EF
Juan Mayorga Zambrano, PhD
Cálculo 1
1. ¿En qué se diferencian los conjuntos Q y R?
2. Escriba, usando cuantificadores, la propiedad Arquimediana de los números reales. Explique su significado.
3. Escriba los cuatro postulados que permiten introducir las funciones seno y coseno.
4. Explique en qué consiste la Regla del Máximo Dominio para funciones reales.
5. Usando la Regla del Máximo Dominio, escriba la función asociada a la fórmula f (x) = logθ (x) y grafı́quela a)
para θ ∈ (0, 1), y b) para θ ∈ (1, ∞).
6. Considere la fórmula η(t) = ln(ln(t)).
a) Usando la Regla del Máximo Dominio defina la función asociada a η(t).
b) Dado a ∈ R, resuelva la inecuación
η(t − a) > 0, t ∈ R.
7. Halle el dominio de definición de la fórmula f (x).
2+x
f (x) = ln
; f (x) = ln x4 + 5x3 − 13x2 − 53x + 60 ;
2−x
ln(ln(x + a))
, a, b > 0.
f (x) = ln x2 − 1 ;
f (x) = √
b2 − x2
8. Encierre en un cı́rculo la opción u opciones correctas. Explique por qué las demás son incorrectas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Cuando una sucesión converge, su lı́mite es único y puede ser un número real, −∞ ó +∞.
La sucesión determinada por la fórmula xn = cos(nπ) es convergente.
La sucesión determinada por la fórmula yn = sen(nπ) es convergente.
Una sucesión estrictamente creciente diverge a +∞.
Una sucesión creciente y acotada es convergente.
Si una sucesión es divergente, su divergencia es hacia −∞ o, en su defecto, hacia +∞.
La Propiedad Arquimediana de R se puede escribir como ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, ∃m ∈ N : xm > y.
9. Usando cuantificadores escriba el significado de lı́m xn = L.
n→∞
10. Usando cuantificadores escriba el significado de lı́m xn = ∞.
n→∞
11. Pruebe que
cosh2 (x) − senh2 (x) = 1;
(1)
senh(2x) = 2 senh(x) cosh(2x).
(2)
∀x ∈ R :
∀x ∈ R :
12. Sea θ ∈ (0, 1). Pruebe que lı́m θn = 0.
n→∞
13. Usando la definición, demuestre que lı́m
n→∞
15
15n
=
.
2n + 3
2
n2 + 1
.
n→∞
n2
14. Usando la definición de lı́mite, pruebe que lı́m
15. Sea β > 0. Usando la definición de lı́mite, demuestre que lı́m
n→∞
1
= 0.
nβ
16. Sea β > 0. Usando la definición de lı́mite, demuestre que lı́m nβ = ∞.
n→∞
17. Sea a > 0. Usando la definición de lı́mite, demuestre que lı́m a1/n = 1.
n→∞
Sugerencia. Considere por separado los casos 0 < a < 1, a = 1 y a > 1.
1
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18. Calcule el lı́mite
n
X
L = lı́m
n→∞
k=1
3n2
19. Calcule el lı́mite
L = lı́m
n→∞
Cálculo 1
k
.
− 5n + ln (n) + 2000 n−1
2
n−1
X
3n3
k=1
k2
.
− cos(n8 )
n2
n2
−
.
n−1 n+1
20. Considere la sucesión real dada mediante la fórmula xn =
a) Calcule L = lı́m xn .
n→∞
b) Pruebe que L = lı́m xn .
n→∞
21. Sea r ∈ (−1, 1). Calcule el lı́mite
L = lı́m
n
X
n→∞
rk .
k=0
22. Escriba el Teorema del Sánduce para funciones reales.
23. Escriba el Teorema del Sánduce para sucesiones reales.
24. Escriba el postulado (P4) que ayuda a introducir las funciones trigonométricas sen y cos. Usando (P4) muestre
sen(x)
= 1.
que lı́m
x→0
x
25. Pruebe que
∀x ∈ R :
sen(3x) = 3 sen(x) − 4 sen3 (x).
26. Pruebe que
tan2 (x) = sec2 (x) − 1.
∀x ∈ R \ Z(cos) :
27. Halle el conjunto W ⊆ R tal que
∀x ∈ W :
tan2
x
2
=
1 − cos(x)
.
1 + cos(x)
28. Pruebe que
∀x, y ∈ R :
cos(x) + cos(y) = 2 cos
x+y
2
cos
x−y
2
.
29. Sea θ ∈ R \ Z(sen). Pruebe que para todo n ∈ N se cumple que
n
X
cos((2k − 1)θ) =
k=1
sen(2nθ)
.
2 sen(θ)
30. Sean f una función real y L ∈ R. Usando cuantificadores exprese que lı́m f (x) = L.
x→x0
31. Sea f una función real. Usando cuantificadores exprese que lı́m f (x) = +∞.
x→x0
32. Sea f una función real. Usando cuantificadores exprese que lı́m f (x) = −∞.
x→x0
33. Calcule el siguiente lı́mite
1/ ln(1+t2 )
L = lı́m (cos(t))
t→0
.
En la zona de caos enliste los lı́mites, propiedades o teoremas utilizados para el cálculo.
2
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Cálculo 1
34. Calcule el siguiente lı́mite
2
arctan 2 e3x − 1
√ .
L = lı́m
x→0 ln 1 + tan2 x 5
En la zona de caos enliste los lı́mites, propiedades o teoremas utilizados para el cálculo.
35. Calcule
"
L = lı́m
x→1
#
1
1
−
.
2 1 − x1/2
3 1 − x1/3
En la zona de caos enliste los lı́mites, propiedades o teoremas utilizados para el cálculo.
36. Calcule el lı́mite indicado
4
L = lı́m
x→∞
x4
−
3
x − 2x + x
− x2 + 2x · ln(x) + 1
4x16 + 2x4 · 5x
−5x16 − x2 · 5x
2x3
;
37. Calcule los lı́mites indicados
L1 = lı́m
x→∞
x4 − 2x3 + x
4
3
x − 2x − x2 + 2x · ln(x) + 1
2
2x4 ·ex +1
x2 ·ex −5x1 2
;
2
5x − 2x
L2 = lı́m
;
x→0 sin(x2 )
p
p
1 + sin(x3 ) − 1 − ln(1 + x3 )
.
L3 = lı́m
x→0
arctan(ex3 − 1)
38. Calcule los siguientes lı́mites
L = lı́m
x→∞
r
L = lı́m
x→∞
1−x
1 − 2x
2x + 1
3x + 5
x
;
(3)
;
(4)
!(3x+5)/(4−5x)
(2x + 1)3 − (2x − 1)3
;
x→∞
3x2 + 1
√
−x3 + (x + 2x)3
L = lı́m
;
x→∞
x2 − 2x5/2
ln(1 + eax )
L = lı́m
, a, b > 0.
x→∞ ln(1 + ebx )
L = lı́m
(5)
(6)
(7)
39. Calcule los siguientes lı́mites
x
p
L = lı́m ln x − x2 − x ;
x→∞
√
√ L = lı́m 3 x + 1 − 3 x ;
x→∞
L = lı́m x · a1/x − b1/x , a, b > 0.
x→∞
(8)
(9)
(10)
40. Calcule los siguientes lı́mites
√
1 + 2x − 1
L = lı́m √
;
x→0 3 1 + 2x − 1
5
x
x − 4x4 + 2x3 − x2 + 2x + 1
+ 1;
L = lı́m
x→∞
x5 − 2x4 + x3 + x2 − x + 2
7/ arctan(ex2 −1)
L = lı́m ln 1 + sen2 (x) + 1
.
x→0
3
(11)
(12)
(13)
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Cálculo 1
41. Calcule los siguientes lı́mites
√
1 + 2x − 1
;
L = lı́m √
x→0 3 1 + 2x − 1
5
x
x − 4x4 + 2x3 − x2 + 2x + 1
L = lı́m
+ 1;
x→∞
x5 − 2x4 + x3 + x2 − x + 2
7/ arctan(ex2 −1)
L = lı́m ln 1 + sen2 (x) + 1
.
x→0
42. Calcule el lı́mite
(14)
(15)
(16)
x2 sen x1
L = lı́m
.
x→0 arc sen(x)
43. Indique la región de continuidad de la función dada mediante


 x cos(x) − sen(x) , si x ∈ [−1/2, 1/2) \ {0},
x3
f (x) = 1

 ,
si x = 0.
5
44. Indique la región de continuidad de la función dada mediante

x2
2

ee −1 − 2arctan (x)

p
p
, si x ∈ [−1/10, 1/10] \ {0},
f (x) =
1 + sin(x3 ) − 1 − ln(1 + x3 )


1/5,
si x = 0.
45. Sea q ∈ R. Indique la región A ⊆ R donde la función f es continua. Justifique su respuesta.

 2 ln(1 + 3 sin(x − 1)) , si x ∈ [0,8; 2,5] \ {1},
3 tan(e2(x−1) − 1)
f (x) =

q,
si x = 1,
46. Sean t ∈ R, α > 0 y f una función real de variable real tal que
2

3x
3
4

arc
sen
2
e
−
1
+
5x
+
ln(1
+
x
)




 ln 1 + tan2 x√5 + arctan(sen4 (x)) , si x ∈ (0, α),
f (x) =
t,
si x = 0,



6


(1
+
x)
−
1

,
si (−α, 0).
5x
¿Es continua la función f en el intervalo I = (−α, α)? Justifique. En la zona de caos enliste los lı́mites (fundamentales o derivados), propiedades o teoremas utilizados para los cálculos.
47. Usando una gráfica explique el contenido del Teorema de Bolzano.
48. Sea x0 ∈ Dom(tan). Usando la definición de derivada calcule tan0 (x0 ).
49. Sea x0 ∈ R. Usando la definición de derivada calcule sen0 (x0 ).
50. Sea x0 ∈ Dom(ln). Usando la definición de derivada calcule ln0 (x0 ).
51. Sea x0 ∈ R. Usando la definición de derivada calcule cosh0 (x0 ).
4
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52. Sean a, b, c ∈ R constantes. Calcule y 0 =
dy
dx
Cálculo 1
si las variables reales x, y están vinculadas mediante
arctan
y
x
1
ln x2 + y 2 + c;
2
x5 + y 5 − 5cxy = 1;
=
2
2
(17)
(18)
x + y = 1;
(19)
y − ln(x) + sen(xy) = c;
x2
y2
+ 2;
2
a
b
2
y − [sen(x)]x −5x+4 = 0;
x
2
a cos (x + y) = b; xy = arctan
;
y
ln(y) + sec(xy) = x;
(20)
xsen(x)
[arctan(x)]
− y = 0.
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
53. Calcule las derivadas de órdenes 1, 2 y 3 de la función determinada por la fórmula f (x).
f (x) = arctan(x7 + 4x3 + 5);
tan3 (x)
+ tan(x) + x;
f (x) =
3
f (x) = sen5 (ln(x));
x sen(α)
f (x) = arctan
;
1 − x cos(α)
54. Calcule la derivada de n-ésimo orden de la función determinada por la fórmula f (x).
f (x) = sen(x);
f (x) = cos(βx);
(26)
f (x) = e ; f (x) = ln(1 + x);
1
f (x) =
; f (x) = sen2 (x);
1+x
f (x) = (ax + b)n ;
f (x) = a+x
b−x ;
1+x
f (x) = ln(αx + β);
f (x) =
.
1−x
(27)
βx
55. Halle
(28)
(29)
(30)
dn y
en el punto P = (x0 , y0 ).
dxn
x2 + 5xy + y 2 − 2x + y − 6 = 0,
n = 2, P = (1, 1);
(31)
4
x − xy + y = 1,
n = 2, P = (0, 1);
(32)
x2 + 2xy + y 2 − 4x + 2y − 2 = 0,
n = 3, P = (1, 1).
(33)
4
56. Sea g : I ⊆ R → R una función derivable en x0 ∈ I.
a) Halle L la recta tangente a g en el punto x0 .
b) Halle el conjunto Z(L) = {x ∈ Dom(L) : L(x) = 0}.
57. Sea g : I ⊆ R → R una función derivable en x0 ∈ I.
a) Halle N la recta normal a g en el punto x0 .
b) Halle el conjunto Z(N ) = {x ∈ Dom(N ) : N (x) = 0}.
58. Sean f : I ⊆ R → R y g : I ⊆ R → R dos funciones derivables en x0 ∈ I donde f (x0 ) = g(x0 ). Halle el ángulo
que forman f y g en el punto x0 .
5
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Cálculo 1
59. Halle el ángulo que forman las funciones definidas por las fórmulas f (x) y g(x) en su(s) punto(s) de intersección.
g(x) = x2 ;
(34)
g(x) = 100x − 198;
(35)
f (x) = 1/x,
f (x) = e
x/2
2
,
2
f (x) = (x − 2) ,
g(x) = −4 + 6x − x ;
f (x) = x2 ,
g(x) = x3 .
(36)
(37)
60. ¿En qué punto la tangente a la parábola dada por f (x) = x2 −7x+3 es paralela a la recta dada por g(x) = −3+5x?
61. Hallar los parámetros b y c de la parábola dada por f (x) = x2 + bx + c para que sea tangente a la recta dada
por g(x) = x, en el punto (1,1).
62. ¿En qué punto de la curva dada por y 2 −2x3 = 0, la tangente es perpendicular a la recta dada por 4x−3y +2 = 0?
63. Dada la función definida por la fórmula f (x) halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de
f en el punto x0 .
f (x) = x ln(x) − x,
x0 = 5;
(38)
f (x) = x ln(x ) − x ,
x0 = 5;
(39)
f (x) = sen(x) ln(x) − cos(ln(x)),
x0 = 10;
(40)
x0 = 1.
(41)
2
2
2
x2
f (x) = e ,
64. Escribir las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la curva dada por
F (x, y) = 0,
en el punto (x0 , y0 ).
F (x, y) = x2 + y 2 + 2x − 6,
y0 = 3;
(42)
F (x, y) = x5 + y 5 − 2xy,
(x0 , y0 ) = (1, 1);
(43)
F (x, y) = 4x4 + 6xy − y 4 ,
(x0 , y0 ) = (1, 2).
(44)
65. Usando cuantificadores, exprese que una función es estrictamente decreciente en I ⊆ R.
66. Calcule los siguientes lı́mites
x3 − 2x2 − x + 2
;
x→1
x3 − 7x + 6
x cos(x) − sen(x)
L = lı́m
;
x→0
x3
ln(sen(mx))
;
L = lı́m
x→0 ln(sen(x))
πx ;
L = lı́m (1 − x) tan
x→1
2
L = lı́m x3/(4+ln(x)) ;
x→0
a
β
L = lı́m x · sen
, β > 0;
x→∞
x
L = lı́m
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
67. Defina la función asociada a la fórmula f (x). Analice la función (monotonı́a, convexidad, tipos de puntos crı́ticos
y ası́ntotas) y grafı́quela
f (x) =
x4 + x3 − x − 1
x5 + x4 − 2x3 − x2 − x + 2
6
(51)
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68. Considere la función definida por la fórmula f (x) = √
Cálculo 1
x2
.
x2 − 1
a) Indique si f tiene ası́ntotas y, si es el caso, identifique de qué tipo son.
b) Indique de qué tipo son los puntos crı́ticos de f . Indique en que región la función es estrictamente decreciente.
c) Encuentre los puntos de inflexión y establezca los intervalos de convexidad de f .
69. Considere la función definida por la fórmula
√
3
f (x) = 2x + 3 x2 .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Halle las funciones f 0 , f 00 y f 000 .
Indique si f tiene ası́ntotas y, si es el caso, de qué tipo son.
Halle el conjunto de puntos crı́ticos de f y analice de qué tipo son sus elementos.
Indique en qué región la función f es estrictamente creciente.
Indique el conjunto de puntos de inflexión de f y analice la convexidad de f .
Calcule el rango de f e indique si la función f es sobreyectiva.
Haga un bosquejo de la gráfica de f . Enliste todos los puntos de máximo y mı́nimo local que tiene f .
70. Considere la función definida por la fórmula f (x).
a)
b)
c)
d)
Indique si f tiene ası́ntotas y, si es el caso, de qué tipo son.
Halle el conjunto de puntos crı́ticos de f y analice de qué tipo son sus elementos.
Indique el conjunto de puntos de inflexión de f y analice la convexidad de f .
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
3x + 5
1
;
f (x) =
;
x−1
x+2
1
1
f (x) = x5 − x3 ; f (x) = x3 − 3x + 3;
5
3
1
x
;
f (x) =
f (x) =
;
x−2
(x − 1)2
√
x
;
f (x) = (x − 3) x;
f (x) = 2
x − 6x − 16
x √
f (x) = − 3 x;
f (x) = x + sen(x);
3
f (x) = x ln(x); f (x) = arc sen(1 + x).
f (x) =
71. Considere la función definida por la fórmula f (x).
a)
b)
c)
d)
Indique si f tiene ası́ntotas y, si es el caso, de qué tipo son.
Halle el conjunto de puntos crı́ticos de f y analice de qué tipo son sus elementos.
Indique el conjunto de puntos de inflexión de f y analice la convexidad de f .
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
f (x) = 2ex
2
−4x
f (x) =
f (x) = 21/(x−a) ;
x3
f (x) = 3
;
x +3
4
f (x) = √
;
2
x +8
;
ex
;
x
16
;
x(4 − x2 )
x
f (x) = √
; f (x) = 2 sen(2x) + sen(4x);
3
2
x −4
f (x) = x ln2 (x);
f (x) = cosh(x);
f (x) =
f (x) = xex ;
f (x) = x arctan(x);
f (x) = x2 e−x ;
f (x) = sen4 (x) + cos4 (x).
7
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Cálculo 1
72. Considere la función definida por la fórmula f (x).
a)
b)
c)
d)
Indique si f tiene ası́ntotas y, si es el caso, de qué tipo son.
Halle el conjunto de puntos crı́ticos de f y analice de qué tipo son sus elementos.
Indique el conjunto de puntos de inflexión de f y analice la convexidad de f .
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
f (x) =
x4
2x3
x2
−
−
+ 2x;
f (x) = x ln(x) − x;
4
3
2
f (x) = x3 − 1; f (x) = x3 − 2x2 − x + 2;
f (x) = sen(x);
f (x) = senh(x).
73. Dada la fórmula y = f (x), use la regla del máximo dominio para determinar la función f . Estudie la monotonı́a,
inyectividad y sobreyectividad y convexidad de f .
y = ln(x5 );
(52)
y = | sen(x)|;
(53)
y = ln(x3 );
(54)
2
y = e−x ;
√
y = x + x2 .
(55)
(56)
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
74. Dada la fórmula y = f (x), use la regla del máximo dominio para determinar la función f . Estudie la monotonı́a,
inyectividad y sobreyectividad y convexidad de f .
f (x) = ln(x2 − 5x + 3);
(57)
f (x) = ln(2 ln(x));
(58)
2
f (x) = ln(x − 7x + 13);
(59)
f (x) = | − 1 + ln(x2 )|.
(60)
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
75. Dada la fórmula y = f (x), use la regla del máximo dominio para determinar la función f . Estudie la monotonı́a,
inyectividad y sobreyectividad y convexidad de f .
y = (x − 1)2 · e−x ;
4
;
y=√
x2 + 8
y = −1 + x − ln(1 + x);
x
y= √
;
3
2
x −1
2
y = (2 + x2 ) · e−x ;
1
y= 2
+ ln(x2 − 1).
x −1
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
76. Determine un polinomio de fórmula p(x) = x2 + ax + c, de forma que 3 sea un mı́nimo cuando x = 1.
77. Pruebe que
∀x ∈ R+ :
8
x+
1
≥ 2.
x
(61)
(62)
(63)
(64)
(65)
(66)
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Cálculo 1
78. Pruebe que
∀x ∈ R \ {0} :
ex > 1 + x.
79. Pruebe que
∀x ∈ R \ {0} :
cos(x) > 1 −
x2
.
2
80. ¿En cuánto aumentará aproximadamente el lado de un cuadrado si su área aumenta de 9m2 a 9,1m2 ?
81. Mediante diferenciales hallar aproximadamente el incremento ∆y de la función definida por la fórmula y = f (x)
para x = x0 si
a) f (x) = 5x + x2 − sen(x), x0 = π/2 y ∆x = h = 0,001;
b) f (x) = 2x−1/2 , x0 = 9 y ∆x = h = −0,01;
c) f (x) = ln(sen(x)), x0 = π/4 y ∆x = h = 0,03.
82. Usando diferenciales, hallar el valor aproximado de f (x0 ) si
a) f (x) = x3 − 4x2 + 5x + 3, x0 = 1,03;
√
b) f (x) = 1 + x, x0 = 0,2;
q
c) f (x) = 3 1−x
1+x , x0 = 0,1;
2
d ) f (x) = e1−x , x0 = 1,05.
83. ¿En cuánto aumenta, aproximadamente, el volumen de una esfera, si su radio R = 15 cm se alarga en 2 mm?
84. Pruebe que para valores de |x| pequeños son válidas las siguientes relaciones
1
≈ 1 − x;
1+x
√
x
1+x≈1+ ;
2
p
x
a2 + x ≈ a + , a > 0;
2a
(1 + x)n ≈ 1 + nx, n ∈ N.
Usando estas fórmulas calcule aproximadamente los valores de 1/1,02, 1/0,97,
Compare los valores obtenidos con los que le provée su calculadora.
(67)
(68)
(69)
(70)
√
15, 1,043 , 0,934 ,
√
1,06 y
√
0,97.
85. Para un volumen dado, halle la superficie total de un cilindro en términos del radio de las tapas.
86. Divida un número a > 0 en dos sumandos de tal forma que su producto sea el mayor posible.
87. Torcer un trozo de alambre de longitud dada l > 0, de manera que forme un rectángulo cuya área sea la mayor
posible.
88. De una hoja de cartón cuadrada, de lado a > 0, hay que hacer una caja rectangular abierta, que tenga la mayor
capacidad posible, recortando para ello cuadrados en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de
la figura en forma de cruz ası́ obtenida.
Respuesta: El lado del cuadrado que se recorta debe ser igual a a/6.
89. Un depósito abierto, de hoja de lata, con fondo cuadrado, debe tener capacidad para v litros. ¿Qué dimensiones
debe tener dicho depósito para que en su fabricación se necesite la menor cantidad de hoja de lata?
Respuesta: La altura debe ser dos veces menor que el lado de la base.
90. Determine la fórmula para la cantidad E(x) por la cual un número x ∈ R excede a su cuadrado. Haga una
gráfica para E cuando 0 ≤ x ≤ 1. Estime el número positivo menor o igual a uno que excede a su cuadrado en
la máxima cantidad.
9
Guı́a de preparación para EF
Juan Mayorga Zambrano, PhD
Cálculo 1
91. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total?
92. De una hoja circular hay que cortar un sector de manera tal que al enrollarlo se obtenga un embudo con la
mayor capacidad posible.
93. El costo total anual que tiene una empresa por concepto de reabastecer el inventario de un artı́culo cuando éste
se agota está dado, bajo ciertas consideraciones, por la siguiente función:
C(x) =
a
q
x + (b + cx) ,
2
x
x > 0,
donde a, b, c, y q son constantes positivas y x representa el tamaño del lote del nuevo pedido (es decir, cuántas
unidades del artı́culo se van a pedir u ordenar). Determine el costo anual mı́nimo.
94. Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie lateral posible.
95. Sean p, a > 0. Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la parábola 2py − x2 = 0
cortado por la recta y = 2a.
96. Si tenemos N pilas eléctricas idénticas, con ellas podemos formar baterı́as por procedimientos distintos, uniendo
entre sı́ grupos de n pilas en serie y, después, los grupos ası́ formados, (en número N
n ) en paralelo. La intensidad
de la corriente que proporciona una baterı́a de este tipo se determina por la fórmula
N nE
,
N R + n2 r
I=
donde E es la fuerza electromotriz de una pila, r es su resistencia interna, y R es su resistencia externa. Determinar
para que valor de n es mayor la intensidad de la corriente que proporciona la baterı́a.
97. En el segmento recto AB = a, que une entre sı́ dos focos luminosos A (de intensidad p) y B (de intensidad q),
hallar el punto menos iluminado M (la iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al
foco luminoso).
98. Si x1 , x2 ,...,xn , son los resultados de mediciones igualmente precisas de la magnitud x, su valor más probable,
denotado x̄, será aquel que minimiza la suma de los cuadrados de los errores
σ(x) =
n
X
(x − xi )2 .
i=1
Demostrar que que el valor más probable de x es la media aritmética de los resultados de las mediciones, es
decir,
n
1X
x̄ =
xi .
n i=1
Hálle el valor del error mı́nimo.
99. Un recipiente abierto está formado por un cilindro, terminado por su parte inferior en una semiesfera; el espesor
de sus paredes es constante. ¿Qué dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidad,
se gaste en hacerlo la menor cantidad de material?
100. Hallar el punto de la curva dada por f (x) = 1/(1 + x2 ), en el que la recta tangente forme con el eje de las x el
ángulo de mayor valor absoluto posible.
101. La ley del movimiento de un punto está dada por la función determinada por la fórmula
x(t) = 3t2 − t + 5,
donde la distancia x se da en centı́metros y el tiempo t, en segundos. ¿A qué será igual la velocidad media de
este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 y t = 2?
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Guı́a de preparación para EF
Juan Mayorga Zambrano, PhD
Cálculo 1
102. Una partı́cula se mueve siguiendo la ley


X(t)
P~ (t) =  Y (t)  ,
Z(t)
t ∈ I,
donde t representa el tiempo, I ⊆ R es un intervalo. Aquı́, la posición P de la partı́cula viene dada por las
coordenadas (x, y, z) que son (cada una) función del tiempo. Cálcule la velocidad y aceleración de la partı́cula
para el tiempo t, es decir, calcule
 0

 00

X (t)
X (t)
~v (t) =  Y 0 (t)  y ~a(t) =  Y 00 (t) 
Z 0 (t)
Z 00 (t)
a) X(t) = 2t2 + 3t + 5, Y (t) = −t2 + 2t + 2, Z(t) = 5 − t, I = R;
b) X(t) = ln(t) + 1, Y (t) = −t2 + 2, Z(t) = sen(t), I = R+ ;
c) X(t) = sen(t), Y (t) = cos(t), Z(t) = t, I = [0, ∞);
d ) X(t) = a · sen(t), Y (t) = b · cos(t), Z(t) = c·, I = (0, ∞), donde a, b, c ∈ R son constantes.
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