SAKARYA ÜNİVERSİTESİ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN 1/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Herhangi bir süreç birçok sebepten dolayı rastsal bir karakteristik gösterebilir: 1. Gerçek bir fiziksel süreç olayların büyük ölçüde gözlemlendiği gibi stokastiktir. 2. Süreç, bilgi eksikliğimizden dolayı süreç rastsallık gösterebilir. 3. Süreç için kurulan model süreci yeteri derecede temsil etmeyebilir. 4. Süreç insan davranışlarına bağlıdır. Yani kesin bilgi sahibi olmadığımız bir yanı varsa bu süreç rastsaldır. Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN 2/35 Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Stokastik matematiksel modeller: Stokastik olayların matematiksel gösterimi olarak tanımlanır. Stokastik modeller, olayı karakterize eden rastsal değişkenlerin özelliğine bağlı olarak değişecektir. Değişkenler kesikli veya sürekli olabilir. 3/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Stokastik Süreç: Varsayalım ki x rastsal bir değişken olsun. Bu değişkenin t=t1, t=t2 ve t=t3 zamanlarında ölçülen x1, x2, x3 değerlerine rastsal dizi veya stokastik süreç denir. 4/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Stokastik Süreç: x’in burada t’ye bağlı olarak iki mümkün durumu vardır: 1. x yalnızca t’nin kesikli değerini alır. Bu durumda xt kesikli zamanlı stokastik süreçtir. 2. Eğer rastsal değişken x, t zamanın bir fonksiyonu olarak sürekli gözlenebilirse x(t) sürekli zamanlı stokastik süreçtir. 5/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Stokastik Süreç: x rassal değişkeninin kendisi de kesikli veya sürekli olabilir. Buna göre x ve t’nin dört mümkün kombinasyonu şöyle sıralanabilir: x durum, t zaman olmak üzere; 1. Kesikli durumlu, kesikli zamanlı stokastik süreç. 2. Kesikli durumlu, sürekli zamanlı, stokastik süreç. 3. Sürekli durumlu, kesikli zamanlı stokastik süreç. 4. Sürekli durumlu, sürekli zamanlı stokastik süreç. 6/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Stokastik Süreç: 1. Kesikli durumlu, kesikli zamanlı stokastik süreç. • Nüfusta doğum ve ölüm, • 1 dakika aralıkla bir hatta bekleyen kişilerin sayısı, • Bir döviz sistemine gelen telefonlar, • Bir ailede sosyal değişkenlik. •… 7/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Stokastik Süreç: 2. Kesikli durumlu, sürekli zamanlı stokastik süreç. • Bekleme hattındaki kişiler, • Gişelerden geçen araç/kişi sayısı, • Çalışanların işgücü devri, • Bir haberin yayılışı, • Tedaviden sonra hayatta kalma. •… 8/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Stokastik Süreç: 3. Sürekli durumlu, kesikli zamanlı stokastik süreç. • Belirli zaman aralıklarında ölçülen rüzgarın hızı, • Bir nehrin debisinin 30 dakikada bir ölçülmesi, • Kimyasal bir prosesin değerlerinin 10 dakika aralıklarla ölçülmesi, •… 9/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Stokastik Süreç: 4. Sürekli durumlu, sürekli zamanlı stokastik süreç. • Belirli bir süre için bir hastanın kalp atışlarının sürekli izlenmesi. • Her an ölçülen rüzgâr hızı. • Sürekli üretim yapan bir kimyasal proses ünitesindeki sıcaklık, basınç gibi değerlerin her an sürekli izlenmesi. •… 10/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Kesikli Durum, Kesikli Zamanlı Stokastik Süreçler: x0, x1,...xt stokastik sürecini inceleyelim. Burada indeks parametresi t’nin 0, 1, 2, ... değerlerini ve x rastsal değişkeninin de olasılık değerler aldığı varsayılmaktadır. Böylece xn, xn=j ise bu süreç j durumundadır diye ifade ederiz. 11/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Kesikli Durum, Kesikli Zamanlı Stokastik Süreçler: x0, x1, ... xn-1, xn dizisini tanımlamak için dizideki bütün elemanların P(j0, j1, ... jn) bileşik olasılık kütle fonksiyonu tanımlanır. Bu da yoğun bir bilgi birikimini gerektirir. Eğer bu özellik sağlanırsa buna Markov özelliği denir. Markov özelliğini sağlayan süreçler ise Markov Zincirleri olarak adlandırılır. 12/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II Yöneylem Araştırması - II SAKARYA Stokastik Matematiksel Modeller ÜNİVERSİTESİ Kesikli Durum, Kesikli Zamanlı Stokastik Süreçler: Pij(n) şartlı ihtimaline ait olmak üzere, n. adımda sistem j durumunda xn=j iken, (n-1). adımda xn-1=i’de sistem i durumunda olmalıdır. Diğer bir ifade ile Pij(n) Pxn j|xn1 i ifadesi sistemin xn-1=i durumunda iken xn=j durumunda bulunma veya bu duruma geçme ihtimali olarak yazabiliriz. n-1 i n (n) ij P j 13/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II Yöneylem Araştırması - II SAKARYA Stokastik Matematiksel Modeller ÜNİVERSİTESİ Kesikli Durum, Kesikli Zamanlı Stokastik Süreçler: Geçiş ihtimali şunları sağlamak zorunluluğundadır: 0 Pij 1 dir 1 i, j M M için ve P j 1 ij 1, i 1, 2, ... , M Bu ihtimallerden oluşan MxM boyutlu matrise geçiş ihtimaller matrisi veya geçiş matrisi denir ve P ile gösterilir. 14/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II Yöneylem Araştırması - II SAKARYA Stokastik Matematiksel Modeller ÜNİVERSİTESİ Kesikli Durum, Kesikli Zamanlı Stokastik Süreçler: Geçiş Matrisi: P11 P P 21 . PM 1 P12 P22 . PM 2 P1M . . P2 M . . . . . PMM . . 15/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Zamana Bağlı Markov Zincirleri: Markov sürecini simgeleyen modellerin kurulabilmesi için, incelenen sistemin içinde bulunabileceği farklı durumların ve bu durumlardan birinden diğerine geçiş ihtimallerinin bilinmesi gerekir. 16/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Zamana Bağlı Markov Zincirleri: Bir sistemin, bir t zamanındaki durumu yalnız ondan bir önceki (t-1) zamanındaki durumuna bağlı olup, ondan önceki zamanlardaki durumlarına bağlı değilse, böyle bir sürece Zamana Bağlı Markov Süreci denir. 17/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Zamana Bağlı Markov Zincirleri: P(x t 1 x t 1 | x t x t , x t 1 x t 1 ,..., x 0 x 0 ) P(x t 1 x t 1 | x t x t ) Bu ifadeye ise, Markov özelliği, bu özelliği sağlayan rastsal süreçlere de Markov süreci denir. 18/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II Yöneylem Araştırması - II SAKARYA Stokastik Matematiksel Modeller ÜNİVERSİTESİ Zamana Bağlı Markov Zincirleri: Geçiş Matrisi: Şimdiki Durum P= 1 2 . . M Gelecek Durum 1 2 ...... m P11 . . . . . . . . . PM1 . . . . . . P1M . . . PMM. Vi geçiş matrisinin satır vektörü 19/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II Yöneylem Araştırması - II SAKARYA Stokastik Matematiksel Modeller ÜNİVERSİTESİ Zamana Bağlı Markov Zincirleri: S1, S2, S3, S4 gibi sonlu sayıda muhtemel durumlara sahip n=4 durumlu bir sistem düşünelim. Sistemin çeşitli durumlar içinde bulunması ihtimalleri şöyle gösterilebilir: P21 S2 P11 P12 S1 P31 P14 P33 S3 S4 20/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II Yöneylem Araştırması - II SAKARYA Stokastik Matematiksel Modeller ÜNİVERSİTESİ Problemlerin Markov Zincirleri ile Formülize Edilmesi: (Current State) Mevcut Durum n=0 (Si) Gelecek Durumlar (Sj) Planlama - 1 Onarım - 2 Araştırma - 3 Planlama - 1 0.70 0.10 0.20 Onarım -2 0.10 0.80 0.10 Araştırma - 3 0.10 0 0.90 0 .7 0 .1 0 .2 P 0 . 1 0 .8 0 .1 0.1 0 0 .9 21/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller Problemlerin Markov Zincirleri ile Formülize Edilmesi: Pij’lerin hesaplanması için yoğunluk yöntemi kullanılmıştır: Fij F11 140 Pij 0.7 fi f1 200 F11: Planlamada iken planlamaya geçen sayısı f1: Planlamaya toplam geçenlerin sayısı 22/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Stokastik Matematiksel Modeller Problemlerin Markov Zincirleri ile Formülize Edilmesi: P O A Şu anda (n=0) Planlamada olan bir P 0,7 0,1 0,2 O 0,1 0,8 0,1 mühendisin iki yıl sonra (n=2) Onarım A 0,1 0 0,9 Bölümünde olma ihtimali nedir? Planlama Planlama Planlama Onarım 0.70 0.10 0.70 Araştırma Planlama 0.20 0.10 n=0. Adım Onarım 0.10 Onarım 0.80 Araştırma Planlama 0.10 0.10 Araştırma 0.20 Onarım Araştırma 0 0.90 n=1. Adım n=2. Adım P->P->O = 0,7*0,1=0,07; P->O->O = 0,1*0,8=0,08; P->A->O = 0,2*0=0 Şartlı ihtimallerin toplamı = 0,07 + 0,08 + 0 = 0,15 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN 23/35 Yöneylem Araştırması - II Yöneylem Araştırması - II SAKARYA Stokastik Matematiksel Modeller ÜNİVERSİTESİ Problemlerin Markov Zincirleri ile Formülize Edilmesi: P O A Planlama Bölümünde çalışan mühendisin P 0,7 0,1 0,2 ikinci yılda Planlama, Onarım ve Araştırma O 0,1 0,8 0,1 A 0,1 0 0,9 Bölümlerine atanma olasılıkları: Vi Vi n n 1 .P 0.7 0.1 0.2 V1 V1 .P (0.7 0.1 0.2) . 0.1 0.8 0.1 (0.52 0.15 0.33) 2 1 0.1 0 0.9 24/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II Yöneylem Araştırması - II SAKARYA Stokastik Matematiksel Modeller ÜNİVERSİTESİ Problemlerin Markov Zincirleri ile Formülize Edilmesi: P O A Daha genel olarak bu problemde, n=2 yıl P 0,7 0,1 0,2 O 0,1 0,8 0,1 sonraki bütün geçiş ihtimallerini bilmek A 0,1 0 0,9 istersek P matrisinin karesi alınır: 0.7 0.1 0.2 0.7 0.1 0.2 0.52 0.15 0.33 P 2 0.1 0.8 0.1 . 0.1 0.8 0.1 0.16 0.65 0.19 0.1 0 0.9 0.1 0 0.9 0.16 0.01 0.83 25/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller n. Adım Sonunda Her Bir Grupta Kaç Kişi Bulunur? m n.P n n=(n1, n2, …): dönem başı mevcutlar vektörü m=(m1, m2, …): dönem sonu mevcutlar vektörü 26/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yöneylem Araştırması - II Stokastik Matematiksel Modeller n. Adım Sonunda Her Bir Grupta Kaç Kişi Bulunur? Dönem başı personel durum mevcutları n=(100, 80, 120) vektörü ile verilirse 2. yıl sonunda gruplar arasındaki dağılım şöyle bulunabilir: 0.52 0.15 0.33 m (100 80 120) . 0.16 0.65 0.19 (84 68 148) 0.16 0.01 0.83 27/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEŞEKKÜRLER SORULAR! ouygun@sakarya.edu.tr 28/35 Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - II