Numéro d’ordre : 2003 - 09
Année 2003
THÈSE
presentée pour obtenir le titre de
DOCTEUR DE L’ÉCOLE CENTRALE DE LYON
Specialité : Mécanique
par
Patricia SAAD
Modélisation et identification du comportement non linéaire des
cales en caoutchouc
Présentée et soutenue publiquement le 18 février 2003, devant le jury d’examen :
Mme M. BOURGEOIS, Ingénieur R & D ,PSA Peugeot Citroën
M. Y. CHEVALIER, Professeur, ISMCM-CESTI
M. R. DUFOUR, Professeur, LMS INSA
M. L. JEZEQUEL, Professeur, École centrale de Lyon
M. G. LALLEMENT, Professeur, Université de Besançon
M. F. MORTIER, Ingénieur R & D, CFGOMMA Rennes
M. F. THOUVEREZ, Professeur, École Centrale de Lyon
Invitée
Rapporteur
Examinateur
Directeur de Thèse
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Résumé
Les propriétés des élastomères (grandes déformations, amortissement) rendent leur utilisation très intéressante d’un point de vue industriel. Ces matériaux sont aujourd’hui de plus en
plus utilisés notamment dans des secteurs de l’industrie tels que l’automobile ou l’aéronautique.
Cette utilisation concerne généralement des pièces qui sont soumises à de fortes sollicitations
mécaniques (statiques et dynamiques). Le comportement à modéliser est alors fortement non
linéaire, les non linéarités étant aussi bien géométriques (dues aux grandes déformations imposées) que comportementales (les lois de comportement utilisées sont non linéaires).
Pour représenter ces aspects, des lois de comportement complexes sont implantées dans des codes
de calcul éléments finis. Mais leur utilisation aboutit à des modèles coûteux numériquement, et
comportant un grand nombre de degrés de liberté. De plus cela ne permet pas d’écrire une
relation analytique utilisable dans des logiciels multicorps pour simuler le comportement d’une
pièce en élastomère.
Ce travail de thèse propose un modèle simplifié à peu de degrés de liberté pour approximer la
réponse des liaisons élastiques en élastomère utilisées dans l’industrie automobile. Pour ce faire
on utilise une approximation de Ritz pour décrire les déplacements et la géométrie des pièces.
Cela permet d’obtenir une approximation des courbes effort déplacement. Des lois de comportement hyperélastiques et viscoélastiques sont prises en compte dans le modèle.
Une deuxième partie est consacrée à l’extension du modèle pour prendre en compte la dissipation
non linéaire des élastomères. De nombreux essais sont réalisés à différents niveaux d’amplitude
d’excitation, de fréquence, et de précharge. Pour approcher la dépendance en amplitude du module dynamique, on effectue un développement en séries de Volterra de la relation contraintes
déformations. L’influence de la précharge est prise en compte par linéarisation d’un modèle
hyperviscoélastique.
Mots Clé
élastomères - hyperélasticité - viscoélasticité - grandes déformations -
Abstract
We develop a numerical model to compute non linear rubber bush response. The objective is to
take into account elasticity, damping, and non linear properties in a simple model dedicated to
full vehicle modelling simulation. It is therefore important that the constitutive model accurately
capture theses aspects of the mechanical behaviour. To take into account these properties,
Finite Element Codes use several complex constitutive laws. All these constituve equations can
be integrated in finite element models, and many algorithms are developed for this purpose.
The main drawback of this procedure is its complexity. The number of dof is too high to be
integrated in a vehicle study. Our work aims at giving a simplified approximation of the force
as a function of the displacement and its derivatives, starting from a microscopic constitutive
equation.
Starting from a finite element model, and a constitutive law, we want to generate an equivalent
rheological model, with a few dof. This model aims at predicting the frequency response of the
bush, function of its geometry, of the load, of the parameters of the constitutive law. To do so,
we approximate the displacement as a linear combination of admissible kinematic displacement
fields, according to the Rayleigh-Ritz approximation. Hyperelastic models are used to fit non
linear quasi static force deflection curves. Viscoelastic constitutive laws are also developped.
In order to predict amplitude dependency observed when we measure steady state harmonic
response, we use a Volterra development of the stress strain constitutive equation.To take into
account preload effects, we linearize a viscohyperelastic model. The predictions of these models
are compared to experimental data.
Keywords
elastomers - hyperelasticity - viscoelasticity - large deformations -
5
Remerciements
Cette étude a été réalisée au sein de l’équipe Dynamique des Structures et des Systèmes de
l’Ecole Centrale de Lyon, dirigée par le Professeur Louis Jézéquel. Je tiens à le remercier chaleureusement de m’avoir proposé ce sujet, pour son accueil et les moyens donnés pour réaliser
ce travail dans de bonnes conditions. M. le Professeur Fabrice Thouverez a accepté la direction
scientifique de cette thèse, et ce malgré ses nombreuses responsabilités. Je ne sais comment le
remercier pour sa disponibilité, sa patience, ses conseils et tout ce qu’il a pu m’apprendre au
cours de ces trois années.
Ce travail a été réalisé en collaboration avec le service Recherche et Développement de CF
GOMMA Barre Thomas. Je tiens à remercier toutes les personnes du service pour leur accueil
et leur sympathie. Un grand merci à messieurs Mortier, Leduc et Gillet pour la confiance qu’ils
m’ont toujours témoignée, pour tous les échanges que nous avons eus sur le sujet et pour l’aide
qu’ils m’ont toujours apportée.
Je remercie vivement M. le Professeur Dufour qui m’a fait l’honneur de présider le jury. J’ai
été également sensible à l’accueil favorable qu’ont réservé messieurs les Professeurs Chevalier et
Lallement à mon mémoire et je tiens à leur exprimer ma profonde gratitude. Je remercie très
vivement Mme Bourgeois, de la société PSA, et M. Mortier, de la société CFGOMMA, d’avoir
accepté d’être membre du jury.
La mise en place d’une partie des expériences de ce travail doit beaucoup à Lionel Charles
et Bernard Jeanpierre, merci à tous les deux. Merci aussi à Olivier Dessombz pour la résolution
de tous les soucis informatiques et pour sa relecture attentive du mémoire.
Si une thèse ne peut se réaliser hors d’un environnement scientique, le cadre humain est tout
aussi indispensable. A ce titre, j’exprime toute ma reconnaissance aux membres de l’équipe Dynamique des Structures pour leur soutien qui n’a jamais fait défaut. Je voudrais aussi remercier
ma famille, et tous mes amis. Témoins de tant de doutes, sans vous ce mémoire n’aurait peut
être jamais vu le jour.
En dernier lieu, je ne sais comment exprimer toute ma gratitude envers M. Jean Pierre Laı̂né
sans lequel ce travail n’aurait pu être possible. Il m’a toujours offert une aide efficace et de
qualité, déployant patience et gentillesse. J’ai appris énormément en sa compagnie. Merci Jean
Pierre.
Table des matières
i
Table des matières
Introduction
1
I
Les élastomères
5
I.1
Qu’est ce que le caoutchouc? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
I.2
Quelques propriétés mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
I.2.1
Propriétés élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
I.2.2
Propriétés dissipatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
I.3
II Modélisation du comportement mécanique des élastomères
19
II.1 Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations . . . . . . . . .
19
II.1.1 Description du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
II.1.2 Description des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
II.1.3 Vitesse de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
II.1.4 Description des efforts intérieurs - Contraintes . . . . . . . . . . . . . . .
24
II.1.5 Equations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
II.1.6 Propriété des lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
II.1.7 Thermodynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
II.2 Modélisation des propriétés élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
II.2.1 Matériau hyperélastique isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
ii
Table des matières
II.2.2 Prise en compte de la condition d’incompressibilité . . . . . . . . . . . . .
32
II.2.3 Quelques exemples d’énergie de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
II.3 Modélisation des propriétés dissipatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
II.3.1 Viscoélasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
II.3.2 La viscoélasticité en grandes déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
II.3.3 Les modèles de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
III Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
57
III.1 Méthode utilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
III.1.1 Expression approchée du champ de déplacement . . . . . . . . . . . . . .
58
III.1.2 Détermination des paramètres αi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
III.2 Application à des lois de comportement hyperélastiques . . . . . . . . . . . . . .
61
III.2.1 Démarche de calcul de la courbe de rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
III.2.2 Exemple de validation : Cas d’une énergie de déformation hyperélastique
compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
III.2.3 Exemple de validation : cas d’une énergie de déformation hyperélastique
incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
III.2.4 Extention à des sollicitations multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . .
75
III.3 Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires . . . . . . . . . . . . . . .
76
III.3.1 Démarche associée à la modélisation simplifiée . . . . . . . . . . . . . . .
77
III.3.2 Application à un modèle de Maxwell généralisé : cas compressible . . . . .
80
III.3.3 Application à un modèle de Maxwell généralisé : cas incompressible . . . .
86
III.3.4 Application à un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire . . . . . . . . . . .
93
III.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
IV Prise en compte des non linéarités par un développement en séries de Volterra 97
Table des matières
iii
IV.1 Ecriture de la relation contraintes-déformations à partir d’un développement en
séries de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
IV.1.1 Développement en séries de Volterra : cas général . . . . . . . . . . . . . .
98
IV.1.2 Cas des matériaux incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
IV.2 Démarche générale de calcul de l’effort non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
IV.2.1 Equations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
IV.2.2 Ecriture du principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
IV.2.3 Approximation du champ solution par une méthode de Ritz . . . . . . . . 102
IV.3 Calcul de l’effort non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
IV.3.1 Contribution des termes d’ordre 1 du développement en séries . . . . . . . 104
IV.3.2 Contribution des termes d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
IV.3.3 Contribution des termes d’ordre trois
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
IV.3.4 Expression globale de l’effort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
IV.4 Calcul du module dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
IV.4.1 Contribution des termes d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
IV.4.2 Contribution des termes d’ordre 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
IV.5 Cas où la non linéarité est uniquement comportementale . . . . . . . . . . . . . . 111
IV.5.1 Ecriture de la relation contraintes-déformations . . . . . . . . . . . . . . . 111
IV.5.2 Contribution des termes d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
IV.5.3 Contribution des termes d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
IV.5.4 Contribution des termes d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
IV.5.5 Expression globale du module dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
IV.6 Confrontation modèle/résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
IV.6.1 Les essais réalisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
IV.6.2 Analyse des mesures expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
iv
Table des matières
IV.6.3 Analyse de la forme du module dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
IV.6.4 Identification des paramètres du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
IV.7 Etude en utilisant des noyaux de fluage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
IV.7.1 Formulation ”inverse” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
IV.7.2 Dépendance des efforts et souplesse dynamique vis à vis de l’amplitude du
débattement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
IV.7.3 Reconstitution de la force dynamique non linéaire . . . . . . . . . . . . . 138
IV.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
V
Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique autour d’une précharge statique
141
V.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
V.2 Linéarisation d’une loi de comportement viscoélastique en grandes déformations . 142
V.2.1 Ecriture de la relation contraintes déformations . . . . . . . . . . . . . . . 142
V.2.2 Superposition d’une petite déformation sur une grande déformation statique143
V.2.3 Linéarisation de la partie élastique de la contrainte . . . . . . . . . . . . . 144
V.2.4 Linéarisation de la partie viscoélastique de la contrainte . . . . . . . . . . 146
V.2.5 Hypothèses complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
V.2.6 Cas où les petites déformations superposées sont sinusoı̈dales . . . . . . . 147
V.3 Obtention du module dynamique par une discrétisation de Ritz . . . . . . . . . . 149
V.3.1 Ecriture du principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
V.3.2 Linéarisation des équations découlant du principe des travaux virtuels . . 150
V.3.3 Cas harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
V.4 Expressions analytiques pour des chargements simples . . . . . . . . . . . . . . . 153
V.4.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
V.4.2 Cas d’un essai de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Table des matières
v
V.4.3 Cas d’un essai de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
V.4.4 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
V.5 Confrontation modèle/résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
V.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
V.5.2 Vérification de la forme du couplage précharge fréquence . . . . . . . . . . 167
V.5.3 Vérification que la fonction f2 (ω, γ) ne dépend pas de la fréquence . . . . 169
V.5.4 Vérification que la fonction f1 (ω, γ) ne dépend pas de la fréquence . . . . 170
V.5.5 Reconstitution du module dynamique pour différents niveaux de précharge 172
V.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Conclusion et Perspectives
175
A Calcul de la relation effort déplacement associée à un développement en série
à l’ordre 2
193
A.1 Ecriture des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
A.2 Calcul de la contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
A.3 Calcul de l’effort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
B Calcul de la relation effort déplacement associée à un développement en série
à l’ordre 3
197
B.1 Ecriture des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
B.2 Calcul de la contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
B.3 Calcul de l’effort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
C Calcul du module dynamique associé à un développement en séries à l’ordre
3
203
C.1 Expression de K 1 (U0 , β, ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
C.2 Expression de K 2 (U0 , β, ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
vi
Table des matières
C.3 Expression de K 3 (U0 , β, ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
D Calcul des dérivées de l’énergie de déformation hyperélastique
211
E Calcul de l’expression de la raideur dynamique d’un cylindre en traction
compression
213
E.1 Equilibre statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
E.2 Calcul du module dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
F Mesure du module dynamique autour d’une précharge : quelques résultats
expérimentaux
217
F.1 Cas des essais de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
F.1.1 Résultats expérimentaux pour un essai quasi statique . . . . . . . . . . . 217
F.1.2 Excitation harmonique autour d’une précharge . . . . . . . . . . . . . . . 219
F.1.3 Quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
F.2 Cas des essais de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
F.2.1 Résultats expérimentaux pour un chargement quasi statique . . . . . . . . 222
F.2.2 Résultat expérimentaux pour les excitations sinusoidales autour d’une
précharge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
F.2.3 Quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
G Exemple d’identification du modèle hyperviscoélastique
227
G.1 Identification de la partie ne dépendant que de la précharge . . . . . . . . . . . . 228
G.2 Identification de la partie ne dépendant que de la fréquence . . . . . . . . . . . . 229
Introduction
1
Introduction
Contexte de l’étude
Ce travail s’inscrit dans le cadre d’un contrat CIFRE entre CFGOMMA BARRE THOMAS
et le Laboratoire de Tribologie et de Dynamique des Systèmes de l’Ecole Centrale de Lyon.
L’objectif de la thèse est d’améliorer la modélisation des liaisons élastiques en caoutchouc utilisées dans l’automobile, et dont le rôle majeur est d’assurer un bon filtrage afin d’atténuer les
vibrations du véhicule induites par la route et le groupe motopropulseur. De par leur utilisation,
ces pièces sont ainsi amenées à subir des petits débattements autour d’une grande précharge
statique.
Pour simuler la réponse de ces cales, il faut tenir compte de la complexité du comportement mécanique des élastomères. Ce comportement est en effet fortement non linéaire, et la
réponse de la pièce dépendra entre autres de la précharge, de la fréquence et de l’amplitude
d’excitation, les non linéarités intervenant à plusieurs niveaux :
– en quasi statique, le matériau peut subir de très grandes déformations et revenir ensuite à sa configuration initiale, sans déformation permanente. On peut donc imposer
des taux de précharge de plusieurs dizaines de pourcent. Pour modéliser alors le comportement de la pièce sous sollicitation quasi statique, on utilise des lois de comportement hyperélastiques. Les non linéarités intervenant sont alors à la fois géométriques (le
matériau subit une grande déformation) et comportementales (les lois de comportement
utilisées permettent d’écrire une relation non linéaire entre le tenseur des contraintes et le
tenseur des déformations).
– en dynamique, ces matériaux ont de plus des propriétés amortissantes qui leur permettent
de dissiper de l’énergie. Ils présentent une rigidification en fréquence sous excitation harmonique : on utilise des lois de comportement viscoélastiques pour représenter ces phénomènes.
Il faut toutefois remarquer que la viscoélasticité linéaire est insuffisante pour bien appréhender
le comportement de ces pièces : elle ne prend pas en compte d’une part l’aspect grandes
déformations et d’autre part les caractéristiques non linéaires du matériau.
– en dynamique, le comportement est ainsi dissipatif non linéaire : si on impose autour
d’une configuration préchargée des déformations suffisamment petites pour que le modèle
2
Introduction
hyperélastique puisse être linéarisé, la réponse en fréquence obtenue sera non linéaire. Le
module dynamique dépend en effet fortement de l’amplitude de l’excitation imposée, même
pour de faibles niveaux. Cette dépendance en amplitude est alors comportementale, elle
apparaı̂t pour des niveaux de déformation n’induisant pas de non linéarités géométriques.
Pour représenter le comportement dynamique du caoutchouc, il faut tenir compte des
deux aspects : le comportement statique non linéaire à la précharge (dû à l’appliquation
d’une grande déformation), et la réponse non linéaire en amplitude (principalement pour
de faibles niveaux d’excitation vibratoire).
Il est ainsi nécessaire de bien maı̂triser les phénomènes à prendre en compte pour la simulation
du comportement mécanique de ces éléments de liaison en élastomère.
A cette difficulté s’ajoute l’exigence d’élaboration de modèles numériques simplifiés : en effet vu le nombre d’éléments en élastomère dans un véhicule, on ne peut pas se permettre de
modéliser finement chacun de ces éléments pour simuler le comportement routier ou vibratoire.
Or les caractéristiques mécaniques de ces pièces ont une influence certaine sur ce comportement.
Ce travail de thèse a pour but de proposer une modélisation simplifiée qui permette d’approximer la réponse non linéaire de ces pièces soumises à un chargement quelconque. L’objectif
est d’avoir un modèle avec peu de degrés de libertés, qui puisse intégrer les non linéarités
aussi bien géométriques que comportementales. Le modèle doit également être prédictif, et donc
prendre en compte la géométrie de la pièce. A partir de coefficients identifiés sur des échantillons
d’élastomère, on désire être capable de prédire le comportement d’une cale, soumise à une excitation donnée. Le chargement qui nous préoccupe plus particulièrement dans cette étude est
le cas des excitations sinusoidales autour d’une précharge. Pour bien le modéliser, il nous faut
étudier l’influence de la fréquence, de l’amplitude de l’excitation, et de la précharge statique sur
la réponse dynamique de la cale.
Plan du mémoire
Ce mémoire de thèse est constitué de 5 chapitres.
Le premier chapitre est consacré à un rappel des caractéristiques mécaniques des élastomères.
Il s’agit d’une étude phénoménologique des matériaux type caoutchouc, permettant de passer
en revue les spécificités du comportement de ce matériau.
Le deuxième chapitre établit un état de l’art, non exhaustif, de la modélisation de ce comportement. Ce chapitre s’articule autour de 3 points principaux. Dans un premier temps, nous
rappelons quelques éléments de mécanique des milieux continus en grandes déformations, puis
nous passons en revue les principaux travaux de recherche concernant les modèles de comportement hyperélastique et dissipatif des élastomères.
Dans le troisième chapitre, nous présentons une modélisation simplifiée permettant de simuler le comportement de ces cales. Le modèle proposé doit prendre en compte la géométrie ainsi
que les propriétés mécaniques des cales. Ce modèle numérique est validé par des confrontations
Introduction
3
modèle simplifié/calcul éléments finis complet de la pièce. Les lois de comportement introduites
dans cette modélisation sont des lois hyperélastiques et viscoélastiques (modèles rhéologiques ou
fractionnaires).
Les deux derniers chapitres sont consacrés à l’extension du modèle pour prendre en compte
la dissipation non linéaire des élastomères.
Le quatrième chapitre est plus particulièrement consacré à l’aspect comportemental de cette
dissipation non linéaire. Pour approcher ce comportement, un développement en séries de Volterra est réalisé. Les prédictions du développement en série sont ensuite comparées à une base
de données expérimentales, constituée d’essais à différents niveaux d’amplitude de vibration.
Enfin dans le chapitre V nous présentons une approche pour caractériser le comportement
dynamique autour d’une grande précharge statique. Pour ce faire une loi hyperviscoélastique est
linéarisée. Une confrontation entre l’expression ainsi obtenue et des résultats expérimentaux à
différents niveaux de précharge est ensuite réalisée.
4
Introduction
5
Chapitre I
Les élastomères
Ce chapitre introductif a pour but d’analyser le comportement des matériaux type caoutchouc d’un point de vue phénoménologique. Les applications des élastomères sont en effet
multiples tant pour ses propriétés élastiques (plusieurs centaines de pourcent de déformation
possible) que pour sa capacité à amortir les vibrations. Sa nature complexe et notamment la
présence des chaı̂nes carbonées lui confère des comportements hautement non linéaires. Afin
d’en comprendre les mécanismes un grand nombre d’études ont été réalisées [47, 25, 17]. Nous
proposons ici d’en donner les principaux résultats en ce qui concerne le comportement physique,
l’étude des modèles capables de restituer ces comportements faisant l’objet du chapitre II. Après
avoir évoqué l’origine du caoutchouc, nous nous intéresserons à quelques propriétés fondamentales de ce matériau. Nous rappellerons en particulier ses propriétés élastiques et dissipatives
ainsi que les grandeurs qui le caractérisent et leurs propriétés.
I.1
Qu’est ce que le caoutchouc?
Le caoutchouc naturel et ses homologues synthétiques, les élastomères, sont fortement répandus
dans le domaine de l’industrie. La multiplicité des utilisations des élastomères provient de caractéristiques mécaniques très intéressantes :
– Capacité à subir de grandes déformations
– Capacité à dissiper de l’énergie, phénomène qui permet d’obtenir des propriétés d’isolation
vibratoire et acoustique
Des composants en élastomère sont ainsi employés pour les montages et les accouplements entre
structures rigides, par exemple dans les joints de porte, les articulations élastiques ou encore les
supports moteur.
La terminologie ”élastomère” regroupe des matériaux ayant des compositions chimiques
6
Chapitre I. Les élastomères
différentes, mais une structure moléculaire et des propriétés mécaniques similaires. Le préfixe
”élasto” rappelle les grandes déformations élastiques possibles, tandis que le suffixe ”mère”
évoque leur nature de polymères, et donc leur constitution macromoléculaire.
La matière première d’un élastomère peut être aussi bien naturelle que synthétique : le caoutchouc naturel est le produit de la coagulation du suc de différentes espèces végétales, principalement de l’hevea. Du point de vue chimique, le caoutchouc naturel est un produit de polymérisation de l’isoprène de formule chimique (C5 H8 )n , n ayant une valeur d’environ 10000,
et C5 H8 étant le monomère isoprène. Le caoutchouc naturel est en réalité un mélange de polymères de cet isoprène. La fabrication des caoutchoucs synthétiques s’inspire du même principe
(polymérisation). Les monomères de départ sont des molécules renfermant au moins une double
liaison, ce qui permet un réarrangement des liaisons conduisant à la formation d’une longue
chaı̂ne macromoléculaire.
Cependant, à l’état brut, le caoutchouc n’a guère de possibilités d’emploi pratique : il n’est notamment pas résistant au fluage sous contrainte. Pour obtenir un produit présentant de meilleures
propriétés, le caoutchouc brut doit subir un traitement chimique : quand on malaxe du caoutchouc brut, qu’on y ajoute du soufre et qu’on chauffe le mélange, l’ensemble se transforme en
un matériau élastique, stable dans une gamme de température beaucoup plus large, et résistant
au fluage sous contrainte. Ce procédé, appelé vulcanisation, fut découvert accidentellement par
GoodYear en 1839 et est encore à la base de l’industrie de fabrication du caoutchouc. Au cours de
la vulcanisation, les longues molécules en chaı̂ne du caoutchouc se trouvent chimiquement unies
à des chaı̂nes adjacentes par formation de liaisons pontales. Cette réticulation (pontage entre les
chaı̂nes) est nécessaire car sans elle le comportement serait de type fluide avec un écoulement libre
des molécules les unes par rapport aux autres. Après polymérisation, en présence d’un système
réticulant, les macromolécules forment un réseau tridimensionnel sans direction privilégiée. La
capacité du caoutchouc vulcanisé à subir de forts taux de déformations est due essentiellement
à la nature repliée de ces chaı̂nes : elles peuvent être étirées et s’orienter elles mêmes dans la
direction de l’allongement, les liaisons les poussant à revenir à l’état initial quand la contrainte
est relachée.
Le matériau élastomère n’est jamais utilisé seul, mais comme composant d’un mélange qui
peut comporter 10 à 20 composants différents. Certains sont nécessaires pour la vulcanisation (soufre, oxyde de zinc ...), d’autres permettent d’en accélérer le processus. Certains autres
protègent (antioxygènes, ...), ramollissent (huiles, graisses, acides gras, ...), ou encore colorent le
vulcanisat (oxyde de zinc, lithopone, ...). Pour faciliter le mélange de ces ingrédients au caoutchouc brut, on peut ajouter une huile de mise en oeuvre. Les caoutchoucs qui ne contiennent
que des agents de mise en oeuvre et des produits chimiques destinés à la protection, la coloration
et la vulcanisation sont appelés caoutchoucs pure gomme, ou non chargés. Mais la majorité
des caoutchoucs utilisés pour les applications mécaniques contiennent une charge : les charges
peuvent améliorer l’élasticité du produit final sans augmenter sa résistance (ce sont alors des
produits à base de carbonate de calcium ou de sulface de baryum) ou améliorer la résistance du
produit final (noir de carbone, oxyde de zinc, carbonate de magnésium ou différentes argiles).
Le noir de carbone, qui reste la principale charge renforçante du caoutchouc, se présente sous la
forme de petites particules de carbones (20 nm, 50 µm) mélangées à la gomme naturelle avant
I.2. Quelques propriétés mécaniques
7
vulcanisation. Pour obtenir ces matériaux chargés, on effectue la polymérisation en présence des
charges : le polymère constitue alors un réseau continu et les charges forment un agglomérat à
l’intérieur du réseau. Le caoutchouc est alors un matériau diphasique composé de constituants
avec des propriétés mécaniques complètement différentes.
I.2
Quelques propriétés mécaniques
I.2.1
Propriétés élastiques
Une propriété mécanique particulièrement prisée de ces matériaux est leur remarquable
élasticité, due à la structure moléculaire des élastomères. Le caoutchouc peut subir des grandes
déformations (éventuellement de plusieurs centaines de pour cent) et revenir ensuite à sa configuration initiale. On remarque toutefois que le matériau n’est pas parfaitement élastique. La
figure I.1 présente à titre d’illustration le résultat d’un essai cyclique, à vitesse de déformation
constante, sur un mélange de caoutchouc. On observe une différence entre l’effort mesuré au
cours de la charge, et l’effort mesuré lors de la décharge. Pour un chargement cyclique, il y aura
donc dissipation d’énergie sous forme de chaleur, la quantité d’énergie dissipée correspondant à
l’aire entre les courbes. Cette hystérésis, (ie le travail représenté par la surface comprise entre les
courbes d’application et de relâchement des contraintes dans un cycle) est présente pour tous
les caoutchoucs. Pour le caoutchouc naturel faiblement chargé l’hystérésis reste cependant très
faible tant que les déformations sont modérées. Par contre, si le mélange est chargé, l’hystérésis
augmente avec les charges [47].
Cycle d’hystérésis à très basse fréquence, quatrième cycle
Cycle d’hystérésis à très basse fréquence, quatrième cycle
700
550
500
600
450
500
Effort N
Effort N
400
350
300
250
400
300
200
200
150
100
100
50
0
0.2
0.4
0.6
Taux de cisaillement γ
0.8
(a) Cas d’un mélange faiblement chargé
0
0.2
0.4
0.6
Taux de cisaillement γ
(b) Cas d’un mélange fortement chargé
Fig. I.1: Cycle d’hystérésis en cisaillement à 0.02 Hz
0.8
8
Chapitre I. Les élastomères
Il faut également évoquer la quasi incompressibilité de ces matériaux : le module de compressiblité du caoutchouc varie entre 1000 et 2000 MPa, alors que l’ordre de grandeur du module
de cisaillement est d’environ 1 MPa. Cette différence signifie que le caoutchouc ne varie guère
de volume, même sous de fortes contraintes. Son comportement est ainsi quasi incompressible.
Pour la plupart des applications, la modélisation suppose donc une incompressiblité complète.
Parmi les caractéristiques du caoutchouc on peut également mentionner l’effet Mullins : si l’on
applique un chargement cyclique sur un matériau initialement non précontraint, on observe une
diminution de raideur lors des premiers cycles. Il y a stabilisation après 3 à 5 cycles. Si on impose
à nouveau une déformation cyclique jusqu’à un niveau de déformation plus élevé, on observe à
nouveau une diminution de la contrainte et de l’hystérésis jusqu’à un nouvel équilibre (figure
I.2). Ce comportement provient d’une rupture progressive des liaisons moléculaires. Les thèses et
publications suivantes [2, 15, 12] proposent des exemples de modélisation de ce phénomène. Ce
comportement conditionne les procédures d’essai sur éprouvette et pièce en caoutchouc : il est
ainsi nécessaire de réaliser au moins 3 cycles avant l’aquisition des mesures effort déplacement.
Ce conditionnement mécanique de la pièce est communément appelé ”déverminage”.
800
700
Effort (N)
600
500
400
300
200
100
0
−100
0
1
2
3
4
Déplacement (mm)
5
Fig. I.2: Effet Mullins. Chargement cyclique de cisaillement sur mélange amortissant
Signalons enfin que parmi les déformations homogènes imposées, les déformations de cisaillement peuvent être considérées comme linéaires ; le coefficient de cisaillement est relativement
indépendant du taux de cisaillement, au moins jusqu’à des niveaux de déformation modérés.
Il peut alors être considéré comme une constante du matériau. Par contre, le module d’Young
associé à la déformation de traction compression est fonction de l’élongation, et les courbes effort déplacement en traction compression sont non linéaires même pour les faibles niveaux de
déformation.
I.2. Quelques propriétés mécaniques
I.2.2
I.2.2.1
9
Propriétés dissipatives
Grandeurs caractéristiques
L’énergie dissipée au cours d’un cycle d’hystérésis sous forme de chaleur traduit les propriétés d’amortissement du matériau : dans le cas d’oscillations libres, cet aspect se traduit par
une diminution de l’amplitude des vibrations au cours du temps.
Pour caractériser l’amortissement d’une structure, on définit les notions fondamentales d’angle
de perte et de module complexe. L’amortissement correspond à l’énergie dissipée autour d’un
cycle. Considérons le cas où un système est soumis à des déformations sinusoidales cycliques
(t) = 0 sin(ωt)
(I.1)
Si on estime que la contrainte transmise répond de façon sinusoidale avec un déphasage δ, ou
angle de perte, on peut écrire :
σ(t) = σ0 sin(ωt + δ)
(I.2)
σ
0000000000000000000
1111111111111111111
1111111111111111111
0000000000000000000
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
Fig. I.3: Contrainte σ(t) = σ0 sin(ωt + δ) et déformation (t) = 0 sin(ωt) représentés dans le
plan (, σ). Cycle d’hystérésis.
Généralement, cette hypothèse, dite de premier harmonique, n’est pas suffisante. Typiquement, la réponse en effort contient des harmoniques d’ordre supérieur, et la réponse réelle est
du type
σ(t) = Σk σk sin(kωt + δk )
Dans le cas de l’hypothèse de premier harmonique, l’énergie dissipée au cours d’un cycle
correspond à l’aire de l’ellipse représentée en figure (I.3) et s’exprime comme :
Z
I
Uc =
σd = σ0 0
0
T
cos(ωt) sin(ωt + δ) dt = πσ0 0 sin(δ)
10
Chapitre I. Les élastomères
A partir de la représentation complexe des équations (I.1) et (I.2), on définit le module d’Young
σ
complexe E ? = , qui se calcule comme :
E? =
ou
σ0 iδ
e
0
0
E ? = E + iE
encore
00
=
σ0
(cosδ + isinδ)
0
=
E (1 + i tg δ)
0
(I.3)
Im
E
00
δ
E
0
Re
Fig. I.4: Représentation schématique du module dynamique dans le plan complexe
– |E ? | =
σ0
est le module dynamique
0
0
– E = |E ? |cosδ est la partie réelle du module dynamique. Cette grandeur caractérise la partie de la réponse en phase avec l’excitation. On l’appelle également module de stockage
(”storage modulus”) : c’est en effet une mesure de l’énergie emmagasinée et restituée au
cours d’un cycle.
00
– E = |E ? |sinδ est la partie imaginaire du module dynamique. Cette grandeur caractérise
la partie de la réponse en quadrature de phase avec l’excitation. On l’appelle également
module de perte (”loss modulus”) : c’est en effet une mesure de l’énergie dissipée sous
forme de chaleur pendant le cycle.
00
Les caractéristiques de l’amortissement sont donc E ou δ : si ces grandeurs sont petites à
température et fréquence données, l’amortissement sera faible, et inversement, si ces grandeurs
sont importantes l’amortissement sera élevé. Un raisonnement similaire peut être fait pour introduire le module de cisaillement complexe G? .
En ce qui concerne le caoutchouc, l’amortissement est principalement dû à un réarrangement
moléculaire au niveau de la structure interne du matériau : les chaı̂nes moléculaires glissent les
unes par rapport aux autres, entraı̂nant un frottement générateur de perte d’énergie. Deux
principaux types de mécanismes sont invoqués pour expliquer ces propriétés amortissantes [3] :
– un mécanisme d’origine visqueuse, reposant sur la résistance à la réorganisation des chaı̂nes
moléculaires. Celle ci ne peut pas se produire instantanément, et génère ainsi une dépendance
en temps de type viscoélastique.
I.2. Quelques propriétés mécaniques
11
– l’amortissement est d’autant plus important que le matériau est chargé. Le second mécanisme
proposé est précisément dû aux charges : l’accroissement de l’amortissement serait alors
dû à une résistance dans les interfaces caoutchouc-carbone et carbone-carbone.
Il faut aussi noter que toutes ces grandeurs caractéristiques (module d’Young E ? ou de Coulomb
G? complexes) évoluent enfin de façon significative avec la température, la fréquence, ou encore
l’amplitude de l’excitation imposée.
I.2.2.2
Dépendance en température des propriétés des matériaux polymères
La figure I.5 représente l’évolution schématique du module dynamique et de l’angle de perte
en fonction de la température. Le coefficient de cisaillement peut être considéré de la même
manière, la forme des courbes obtenues est similaire. Les valeurs numériques données ici correspondent à des ordres de grandeur : elles peuvent entre autres dépendre de l’amplitude du
débattement, de la fréquence, ou de la composition du polymère. Toutefois, même si les valeurs
numériques varient en fonction de ces paramètres, la forme générale schématisée ci dessous reste
valable pour tous les polymères.
104
Zone de
transition
Etat
caoutchoutique
E
0.8
103
0.6
δ
102
10
0.4
δ (rad)
E (M P a)
Etat
vitreux
0.2
Température (◦ C)
Fig. I.5: Effets de la température sur la rigidité d’un vulcanisat de caoutchouc naturel chargé.
Trois zones sont ainsi mises en évidence.
Aux basses températures (état vitreux), le caoutchouc est figé et se comporte comme un verre
rigide : les macromolécules ne sont pas mobiles. Les mouvements intermacromoléculaires sont
ainsi ”gelés” et négligeables à l’échelle du temps d’observation. Les mouvement moléculaires étant
faibles, la dissipation est faible, l’amortissement est donc négligeable. Cet état se caractérise par
un module module d’Young élevé (de l’ordre de 104 MPa) et peu dépendant de la température.
Plus la température augmente, plus les vibrations moléculaires sont importantes et plus les
molécules peuvent bouger librement. Pour des températures élevées, des mouvements moléculaires
aisés définissent l’état caoutchoutique, avec un module d’Young peu élevé (de l’ordre de 1 MPa).
12
Chapitre I. Les élastomères
Entre ces deux états se situe la zone de transition vitreuse, centrée autour de la température
de transition Tg . Dans cette zone, une partie des liaisons commence à se rompre, ce qui permet
un glissement d’une partie des chaı̂nes les unes par rapport aux autres. Le module dynamique
diminue alors brutalement. L’amortissement est maximal à la température de transition vitreuse.
Dans les conditions d’utilisation industrielle, les élastomères sont généralement employés à
la fin de la zone de transition, ou au début de la zone caoutchoutique.
I.2.2.3
Dépendance en fréquence
E
12
0.8
0.6
6
δ
9
3
0.4
δ (rad)
E (M P a)
La figure I.6 représente le comportement typique du module de rigidité (E ou G) et de
l’angle de perte en fonction de la fréquence. Là encore, les valeurs numériques données sont
approximatives et dépendent très fortement de l’amplitude des déformations et des mélanges
d’élastomère. La forme générale des courbes est toutefois similaire pour tous les élastomères.
0.2
Fréquence (Hz)
Fig. I.6: Effets de la fréquence sur la rigidité d’un vulcanisat de caoutchouc naturel chargé
A basse fréquence, le module dynamique et le coefficient d’amortissement sont faibles. A
fréquence nulle, le module dynamique tend vers une valeur limite qui est la raideur ”statique” :
si le comportement du matériau est celui d’un fluide, cette valeur est nulle. A haute fréquence, le
module de rigidité devient important et tend vers une valeur asymptotique. Entre ces deux zones,
il existe une fréquence de transition pour laquelle le coefficient d’amortissement est maximal, et
près de laquelle le coefficient d’amortissement et le module de rigidité varient fortement.
La comparaison entre les figures I.5 et I.6 mène à l’observation suivante : une augmentation de
température est équivalente à une diminution en fréquence, du point de vue phénoménologique.
Cette caractéristique est une propriété générale valable pour une grande classe de polymères sur
une large gamme de température et de fréquence, et a donné lieu au principe de superposition
temps-température (ou fréquence température) [25]. Ce principe de superposition permet de
considérer qu’un changement de température a sur les propriétés mécaniques le même effet que
si l’on appliquait à l’échelle des fréquences un facteur multiplicatif. Ce principe de superposition
I.2. Quelques propriétés mécaniques
13
peut se justifier de la manière suivante [17] : on remarque que le module E et le facteur de perte
tan(δ) que l’on observerait à une température de référence T0 sont liés aux module et facteur de
perte mesurés expérimentalement à une température T par la relation I.4 :
ρ0 T0
E(aT f, T )
ρT
E(f, T0 ) =
(I.4)
tan(δ)(f, T0 ) = tan(δ)(aT f, T )
où
– ρ et ρ0 sont respectivement les densités du matériau aux températures T et T0 . Cette
correction est introduite parce qu’en toute rigueur, le volume d’un polymère est fonction
de la température. Le module, défini par unité de surface, varie en fonction de la quantité
de matériau contenue par unité de volume. Cette correction est toutefois faible, et est le
plus souvent négligée.
– aT est un coefficient multiplicateur qui dépend de la température.
– La quantité aT f est appelée fréquence réduite.
Une conséquence importante de cette relation est que l’on peut obtenir le module et le déphasage
sur une large gamme de fréquence à partir d’essais dans une gamme de fréquence donnée,
à différentes températures, en construisant les courbes dites ”maı̂tresses” du matériau. Une
description détaillée sur la construction et l’utilisation de ces courbes peut être trouvée dans
[17]. Le facteur de décalage en fréquence aT peut être déterminé température par température,
de manière à ce que toutes les courbes aux différentes températures d’essai se superposent à celles
de la température de référence. En pratique, on utilise des fonctions d’approximation pour aT .
Plusieurs formes sont couramment utilisées dans la littérature, les plus connues étant l’équation
WLF que l’on doit à William Landel Ferry [25], et la loi d’Arrhenius.
La première s’exprime de la manière suivante :
log (aT ) = −
c1 (T − T0 )
c2 + T − T0
(I.5)
où c1 et c2 sont des constantes déterminées à partir des données expérimentales, et T0 est une
température de référence arbitraire. Quand T0 est remplacée par la température de transition
vitreuse Tg , l’équation (I.5) prend la forme de l’équation WLF universelle, où c1 = 17.44 et
c2 = 51.6. Cette équation a été développée pour une large base de données de polymères, incluant plusieurs élastomères.
Pour certaines gammes de température, le coefficient de décalage en fréquence est mieux approché par une loi d’Arrhenius. Dans ce cas, une procédure de minimisation moindre carré sur
1
log (aT ) en fonction de
conduit à un coefficient de la forme
T
log (aT ) =
∆Ha 1
1
( − )
R T
T0
(I.6)
14
Chapitre I. Les élastomères
où R est la constante des gaz parfaits, ∆Ha est une énergie d’activation apparente, et T0 la
température de référence.
La méthode des fréquences réduites décrite ci dessus s’avère extrêmement intéressante pour
estimer les valeurs des modules en dehors de la gamme de fréquence de mesure : en pratique,
même en utilisant des méthodes de mesures dites hautes fréquences, comme les méthodes basées
sur la propagation d’ondes, l’intervalle de mesure ne peut guère dépasser les 10 kHz . La mise
à profit de la méthode des variables réduites s’avère alors indispensable pour estimer la valeur
des modules au delà de l’intervalle de mesure. Toutefois, il faut être très vigilant lors de son
utilisation. En théorie, la méthode des variables réduites ne s’applique qu’aux données respectant
les contraintes suivantes [17]
– Les courbes adjacentes doivent avoir exactement la même forme. Cela signifie que, si la
courbe de réponse en fonction de la température se translate en fonction de la fréquence,
la forme de la courbe doit rester indépendante de la fréquence.
– Les mêmes valeurs de aT doivent permettre de superposer toutes les fonctions viscoélastiques
(coefficient d’amortissement, module, module de stockage et de perte)
– La dépendance en température de aT doit avoir une forme compatible avec l’expérience, en
d’autres termes, l’équation W LF ou une autre équation similaire doit s’appliquer. Quand
on remplace T0 par Tg , des valeurs raisonnables de c1 et c2 sont celles de l’équation WLF
universelle.
I.2.2.4
Dépendance en amplitude
Pour les élastomères chargés, en plus de la rigidification en fréquence évoquée précédemment,
on observe que :
– Le module dynamique diminue avec l’amplitude de l’excitation imposée.
– L’amortissement augmente dans un premier temps en fonction de l’amplitude, puis diminue.
Cet effet est nettement visible sur la figure (I.7). La diminution de la rigidité en fonction de
l’amplitude est souvent appelée ”effet Payne”.
I.2. Quelques propriétés mécaniques
15
Evolution du module dynamique en fonction de l’amplitude à 20 Hz
1000
Evolution du déphasage en fonction de l’amplitude à 20 Hz
14
900
800
12
déphasage (degrés)
|K| en N/mm
700
600
500
Mélange amortissant
400
300
Mélange amortissant
10
8
6
Mélange faiblement amortissant
4
Mélange faiblement amortissant
200
2
100
0
0
0.2
0.4
0.6
Amplitude mm
0.8
1
(a) Influence de l’amplitude sur le module dynamique
0
0
0.2
0.4
0.6
Amplitude (mm)
0.8
(b) Influence de l’amplitude sur le déphasage
Fig. I.7: Variation du module dynamique en fonction de l’amplitude d’excitaiton sinusoidale,
pour deux mélanges. Cas d’un essai de cisaillement.
Les mécanismes associés à ce phénomène sont les suivants :
Les élastomères sont constitués de longues chaı̂nes macromoléculaires repliées sur elles-même et
flexibles. L’augmentation de l’hystérésis due à l’adjonction de charges renforçantes s’explique
par le frottement des chaı̂nes par rapport aux particules, et celui des éléments libres des chaı̂nes
les uns sur les autres.
De nombreux auteurs ont observé expérimentalement et commenté ce phénomène. Les premières
explications ont été fournies par Payne en 1965. Parmi les travaux plus récents, citons Austrell
[3], Coveney et al [20], Lion [48]. Le degré de dépendance en amplitude varie en fonction du
type et de la quantité de charges [32], mais la forme qualitative des courbes reste la même
(voir aussi la figure (I.7)). Harris et Stevenson [32] ont ainsi observé que la dépendance en
amplitude était due à l’ajout de charges de noir de carbone. Si le matériau est chargé, ses
propriétés dynamiques deviennent dépendantes de l’amplitude de déformation imposée. Leurs
observations expérimentales se résument de la manière suivante : la diminution de raideur aux
faibles amplitudes est d’autant plus importante que le matériau est chargé en noir de carbone. De
même, les propriétés amortissantes sont plus importantes dans le cas où l’élastomère est chargé.
Ce sont ces mêmes propriétés que l’on peut visualiser sur la figure I.7. Les données présentées sur
cette figure concernent des essais de cisaillement, sur des échantillons d’élastomère produits par
CF Gomma. Ce type de comportement est bien évidemment fortement non linéaire, et il s’agit
alors d’une non linéarité comportementale : en effet les expériences de Harris et Stevenson ainsi
que celles représentées figure I.7 sont faites dans le cas d’un chargement de cisaillement, qui est
le cas de chargement le plus linéaire (par rapport à des chargements de traction compression).
On constate que la diminution de raideur est plus importante pour les faibles amplitudes de
déplacement.
1
16
Chapitre I. Les élastomères
I.2.2.5
Expériences de relaxation, de fluage, et ”effet mémoire”
Comme signalé ci-dessus, les élastomères présentent des propriétés dissipatives associées à
leur élasticité. Nous avons vu qu’une partie de ces propriétés amortissantes étaient dues à une
dissipation visqueuse. Par ”visqueux”, on exprime le fait que, à chaque instant, le tenseur des
contraintes dépend non seulement du niveau de la sollicitation à cet instant, mais également
des valeurs de la sollicitation aux instants antérieurs. On peut ainsi dire que de tels matériaux
ont une forme de mémoire qui leur permet de se souvenir des sollicitations auxquelles ils ont
été soumis dans le passé. Cette dépendance en fonction du temps a justifié l’appellation de
matériaux à mémoire pour les matériaux viscoélastiques.
L’existence de cette ”mémoire” se traduit par l’apparition de mécanismes différés, mis en
évidence par des essais de fluage et de relaxation [45]. Lorsque le caoutchouc vulcanisé est
maintenu sous déformation constante, les tensions qui s’y sont développées diminuent avec le
temps au fur et à mesure que le réseau approche d’une condition d’équilibre. C’est ce qu’on
appelle la relaxation des contraintes. Un processus de relaxation similaire se produit lors de la
suppression de la déformation ou de la contrainte imposée. Cette expérience de relaxation est
représentée en figure I.9. Un déplacement de 21.2 mm est appliqué à un plot cylindrique de
compression, schématisé figure I.8.
U (t)
D = 43 mm
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Caoutchouc
L = 60 mm
Fig. I.8: Plot de compression en élastomère
L’effort mesuré est représenté en figure (I.9b).
−20
1200
−20.5
1000
800
Effort (N)
déplacement (mm)
−21
−21.5
−22
−22.5
−23
−23.5
−24
600
400
200
−24.5
−25
0
2000
4000
6000
8000
temps (s)
(a) Déplacement imposé à
l’armature mobile
0
0
2000
4000
temps
6000
(b) Effort mesuré
Fig. I.9: Essai de relaxation sur un plot de compression
8000
I.3. Conclusion
17
Le phénomène dual est appelé ”fluage” : le caoutchouc continue à se déformer sous une
contrainte donnée. Ces expériences de relaxation et de fluage mettent en évidence le comportement viscoélastique du matériau, comportement intermédiaire entre
– un ressort pur (solide élastique, pour lequel la réversibilité est instantanée). La relation
contrainte déformation est alors σ = f ().
– et un amortisseur pur (fluide visqueux pour lequel il y a écoulement pour toute valeur de
la contrainte). La relation associée est ˙ = f (σ)
Pour les matériaux viscoélastiques, la réversibilité est ”retardée” et n’intervient qu’après un
temps ”infini” [45]. La relation contrainte déformation est ainsi σ = f (, )
˙
I.3
Conclusion
Nous avons évoqué au cours de cette introduction les propriétés suivantes :
– Les élastomères peuvent subir de grandes déformations
– Ils possèdent une grande capacité d’amortissement
– Les caractéristiques aussi bien élastiques que dissipatives sont fortement non linéaires
– Le comportement dynamique dépend fortement de la température, de la fréquence, et
de l’amplitude.
Les quelques propriétés mécaniques présentées rendent la modélisation mathématique des élastomères
très complexe. Le chapitre suivant présente certaines techniques utilisées pour cette modélisation.
18
Chapitre I. Les élastomères
19
Chapitre II
Modélisation du comportement
mécanique des élastomères
Ce chapitre fait le point sur les modélisations fréquemment proposées pour rendre compte des
aspects de comportement du caoutchouc décrits dans le chapitre précédent. Nous avons en effet
signalé que ce comportement fait intervenir des grandes déformations élastiques incompressibles
et de la viscoélasticité : pour prendre en compte les grandes déformations, cette viscoélasticité
doit être décrite dans le cadre d’une modélisation mécanique en grandes transformations.
L’approximation qui consiste, en hypothèse des petites perturbations, à superposer la configuration initiale et la configuration déformée, n’est plus valable dès que l’on considère des taux de
déformations très importants. Quelques rappels sur le formalisme utilisé en grandes déformations
sont présentés dans le premier paragraphe.
Les paragraphes qui suivent décrivent quelques lois de comportement utilisées pour modéliser
le comportement hyperélastique et les propriétés dissipatives du matériau. La présentation de
la prise en compte des propriétés dissipatives est accompagnée d’un rappel de viscoélasticité
linéaire, à partir duquel nous présentons l’approche fonctionnelle utilisée pour introduire la
viscoélasticité non linéaire. L’approche par variables internes, également utilisée pour la modélisation
de la viscoélasticité en grandes déformations, est enfin présentée.
II.1
Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations
Nous introduisons dans cette partie les résultats essentiels du formalisme grandes déformations
[36, 69]. En mécanique des grandes transformations, il est important de distinguer la configuration initiale et la configuration actuelle déformée. Les différentes mesures de déformation et de
contrainte seront précisées dans chacune de ces configurations, puis nous reviendrons brièvement
sur l’écriture des équations d’équilibre dans les différentes configurations. Nous rappelons ensuite certaines propriétés qu’une loi de comportement doit nécessairement vérifier, telles que
20
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
l’objectivité et le cas échéant l’isotropie. Enfin, nous rappelons l’inégalité de Clausius Duhem
qui est à la base de l’élaboration des modèles avec variables internes.
II.1.1
Description du mouvement
Soit un solide déformable S, évoluant dans un repère R. L’ensemble des particules P constituant le solide déformable occupe, à chaque instant, un ensemble de positions dans l’espace (voir
figure (II.1)). C’est la configuration du système à l’instant t. Nous utiliserons le même repère
pour la configuration initiale et la configuration déformée.
P
χ
−→
dX
ω
−
→
U
−
→
dx
P
Ω0
C0
−
→
X
−
→
x
X2 x 1
→
−
e
Ct
2
X3 x 1
−
→
e3
O
−
→
e1
X1 x 1
Fig. II.1: Configurations initiale et déformée.
On note C0 la configuration initiale (où le solide S occupe le volume Ω0 ), et Ct la configuration
actuelle à l’instant t (ou déformée), où le solide S occupe le volume ω.
→
−
→
Le vecteur position de la particule P ∈ S à l’instant initial est noté X . On note −
x le vecteur
position de cette particule à l’instant t.
Le mouvement du milieu continu est alors défini par la donnée de la fonction χ :

 C 0 → Ct
χ :
(II.1)
→
→
−
 −
→
X → −
x = χ( X , t)
L’équation II.1 définit la transformation faisant passer de la configuration de référence C0 à la
configuration Ct .
Pour caractériser la déformation au voisinage de la particule, on introduit l’application
linéaire tangente au mouvement, ou tenseur tangent (voir figure (II.1)). Considérons un vec−→
teur dX dans la configuration initiale, son transformé dans la configuration actuelle s’obtient
par la relation (II.2)
−
→
−→
(II.2)
dx = FdX
II.1. Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations
21
ou encore, en notation indicielle
dxa = FaA dXA
(II.3)
où F est le tenseur tangent. Ce tenseur tangent transporte, localement, un espace tangent à C0
vers l’espace tangent associé à la même particule suivie dans son mouvement. On a en effet
FaA =
∂xa
∂XA
= GradXA xa
(II.4)
La relation (II.4) s’écrit également
→
F = Grad−
x
(II.5)
où l’on a introduit le tenseur gradient des déplacements Grad défini par rapport à la configuration initiale non déformée.
F est inversible, et son inverse permet de transporter un vecteur tangent de la configuration
actuelle vers la configuration initiale :
−→
−
→
dX = F−1 dx
(II.6)
−1
dXA = FAa
dxa
(II.7)
soit
On en déduit l’expression de l’inverse du tenseur gradient, en notation tensorielle puis indicielle
→
−
F−1 = grad X
−1
FAa
=
∂Xa
∂xA
(II.8)
Le tenseur grad désignera le tenseur gradient par rapport à la configuration déformée.
Les variations de volume entre une configuration et une autre sont caractérisées par J = det(F).
La déformation est dite homogène si le tenseur F ne dépend pas des coordonnées X. Toutes les
particules se déforment alors de la même manière. Les échantillons de caoutchouc servant à caractériser les propriétés matériaux sont dimensionnés de manière à avoir des états de déformation
aussi homogènes que possible, au moins sur une partie du matériau bien définie (il faudra souvent
négliger les effets de bord). Ainsi, les éprouvettes de compression, traction simple, cisaillement
utilisées pour les essais de caractérisation des mélanges de caoutchouc seront dimensionnées de
manière à avoir un état de déformation aussi homogène que possible.
Il est commode d’introduire le vecteur déplacement, défini de la manière suivante :
− −
→
→
→
−
→
−
−
U ( X , t) = →
x ( X , t) − X
(II.9)
En combinant le tenseur gradient des déformations (II.5) avec le vecteur déplacement (II.9), on
introduit le tenseur gradient des déplacements. Une première possibilité est de le définir dans la
configuration initiale, par rapport aux grandeurs non déformées (description lagrangienne)
→
−
→
−
→
Grad U = Grad−
x − Grad X
= F−I
(II.10)
22
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
Le tenseur tangent sera alors, en fonction du gradient du déplacement
FaA = δaA +
∂Ua
∂XA
(II.11)
où δ désigne le symbole de Kronecker. Le tenseur gradient peut également être défini dans la
configuration déformée, par rapport aux coordonnées spatiales xi
→
−
→
→
grad−
u = grad−
x − grad X
= I − F−1
(II.12)
ce qui donne, pour l’inverse du tenseur tangent
−1
FAa
= δAa −
II.1.2
∂UA
∂xa
(II.13)
Description des déformations
Pour caractériser les changements de forme entre les configurations C0 et Ct , il faut caractériser les variations de longueur et les variations d’angle, soit, en fait, les variations de
−
→
−
→
produit scalaire. On forme donc le produit scalaire de deux vecteurs matériels dx et dy, et on
−→
−→
examine sa variation en fonction des vecteurs initiaux dX et dY . Selon la configuration privilégiée, plusieurs mesures des déformations sont possibles :
Description lagrangienne (configuration C0 )
En configuration lagrangienne, on introduit le tenseur de Cauchy Green droit C = FT F,
symétrique et défini positif, qui caractérise les dilatations. Dans le cas où le milieu ne subit
aucune transformation, C = I.
Le tenseur de déformation de Green Lagrange, purement lagrangien, symétrique, relié à C par
E=
1
(C − I)
2
traduit la différence des produits scalaires entre les deux configurations. Si l’on introduit le
vecteur déplacement, E s’exprime en fonction du gradient des déplacement de la manière suivante
∂uj
1 ∂ui
∂uk ∂uk
Eij =
+
+
2 ∂Xj
∂Xi ∂Xj ∂Xi
Description eulérienne (configuration Ct )
De la même manière dans la configuration actuelle on introduit le tenseur de Cauchy Green
gauche b = FFT , symétrique et défini positif. Le tenseur de déformation associé, lié à la
différence de produit scalaire, est le tenseur d’Euler-Almansi A :
A=
1
I − b−1
2
II.1. Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations
II.1.3
23
Vitesse de déformation
−̇
→
−
Pour caractériser les vitesses, on introduit le vecteur →
v = dx, dérivée par rapport au temps
→
du vecteur position −
x (X, t). On a
−̇
→
−→
dx = ḞdX
(II.14)
−
→
= l dx
La relation II.14 montre que Ḟ mesure la vitesse de déformation entre la configuration C0 et Ct .
l = Ḟ F−1 est le tenseur eulérien gradient des vitesses. On a en effet, en notation indicielle
˙ i = lij dxj
dx
La relation entre l et F s’obtient comme suit
lij
=
∂vi
∂xj
=
∂vi ∂Xk
∂Xk ∂xj
(II.15)
−1
= Ḟik Fkj
La décomposition de l en partie symétrique et antisymétrique permet de définir le tenseur taux
de déformation d, et le tenseur taux de rotation w.

1


l + lT
 d =
2
(II.16)


 w = 1 l − lT
2
→
Le tenseur w correspond au rotationnel du champ des vitesses −
v , et décrit donc la vitesse de
rotation du solide, tandis que d décrit la vitesse de déformation. En effet, on peut écrire :
→ −
→
−
→
−
→
d −
dx . dy = 2dx . d dy
dt
(II.17)
L’équation II.17 montre que d mesure la vitesse de déformation dans Ct .
La vitesse de déformation dans la configuration initiale s’obtient par différentiation du produit
scalaire. On obtient ainsi
→ −
→
−→
−→
d −
dx . dy = 2 dX . Ė dY
dt
Les vitesses de déformation sont ainsi mesurées par
– Ḟ entre la configuration C0 et Ct
– Ė = FT d F dans la configuration C0
– d dans la configuration Ct
Ces deux derniers tenseurs sont les ”transportés” l’un de l’autre par la relation Ė = FT d F
24
II.1.4
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
Description des efforts intérieurs - Contraintes
Les contraintes sont caractérisées à partir des efforts intérieurs à travers un élément de
surface relatif à une configuration donnée (figure II.2). Suivant le choix de la configuration pour
la mesure de l’effort et de la surface, on pourra avoir une description eulérienne, mixte, ou
lagrangienne des contraintes.
−
→
N
dS
−
→
n
−
→
T
ds
−
→
e3
Ω0
C0
−
→
t
ω
O
−
→
e1
−
→
e2
Ct
Fig. II.2: Vecteur contrainte dans les différentes configurations.
II.1.4.1
Description eulérienne
Le tenseur des contraintes le plus naturel est le tenseur σ, qui est un tenseur eulérien. Il est
défini par
→
−
→
t = σ−
n
(II.18)
→
−
t est l’effort mesuré par unité de surface définie dans la configuration actuelle, s’appliquant sur
→
l’élément de surface ds de normale extérieure −
n . L’effort résultant (actuel) agissant sur l’élément
→
−
de surface est noté df . Cet effort est lié au vecteur contrainte par
−
→
→
−
→
df = t ds = σ −
n ds
Le tenseur de Cauchy σ est symétrique. On peut également introduire le tenseur de Kirchhoff
τ = Jσ, qui n’a pas de signification physique particulière mais qui est souvent utilisé pour les
calculs numériques.
II.1.4.2
Description mixte
→
−
On peut également lier la force élémentaire df de la configuration actuelle à l’élément d’aire
dS de la configuration initiale, par la relation
−
→
→
−
df = T dS
II.1. Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations
25
→
−
Il s’agit alors d’une description mixte. Le vecteur T représente le vecteur contrainte de Piola
Kirchhoff 1 (ou vecteur de Boussinesq) . Il mesure la force par unité de surface définie dans la
→
−
configuration de référence. Le vecteur T agit sur la région actuelle Ω. Contrairement au vecteur
→
−
→
−
contrainte de Cauchy, il est fonction des positions X et de la normale N à la frontière ∂Ω0 . Le
tenseur de contrainte associé est le premier tenseur de Piola Kirchhoff P tel que
→ −
−
→
→
−
df = T dS = P N dS
Tout comme F, ce tenseur P n’est ni lagrangien, ni eulérien. On parle de tenseur mixte : la
notation indicielle Ta = PaA NA contient un indice relatif à une composante actuelle xa , et un
autre indice qui décrit une composante non déformée Xa . P est relié au tenseur de Cauchy par
la relation :
(II.19)
Jσ = PFT
où J = det(F). P n’est pas symétrique, il aura dans le cas général 9 composantes indépendantes.
II.1.4.3
Description lagrangienne
Pour avoir un tenseur complètement défini en fonction des variables lagrangiennes, on trans→
−
porte la force df agissant sur le volume actuel vers la configuration initiale non déformée, suivant
(II.20) :
−
→
→
−
(II.20)
df0 = F−1 df
−
→
On a alors une force fictive, df0 , agissant sur la surface initiale. Le tenseur de Piola Kirchhoff 2
est alors défini de la manière suivante
−→
→
−
df0 = S N dS
(II.21)
S n’a aucune signification physique mais il est symétrique, et purement lagrangien. On a la
relation suivante entre le tenseur de Cauchy et le tenseur de Piola Kirchhoff 2 :
Jσ = F S FT
II.1.5
(II.22)
Equations d’équilibre
Les équations d’équilibre sont obtenues à partir du bilan de la quantité de mouvement.
L’écriture des grandes transformations impose la distinction entre les configurations initiale et
actuelle. Nous rappelons dans ce paragraphe la formulation du problème d’équilibre dans les
deux configurations. Le solide considéré occupe un domaine noté Ω dans la configuration initiale
non déformée et ω dans la configuration déformée (voir figure II.3). La frontière du domaine est
notée ∂Ω (respectivement ∂ω). Cette frontière est décomposée classiquement en deux parties
disjointes, ∂Ωu (respectivement ∂ωu ) et ∂Ωσ (respectivement ∂ωσ ) (figure II.3). Les conditions
aux limites s’écrivent
(
→
−
→
−
u = u
sur
∂ωu
(II.23)
→
−
→
−
→
−
t = σn = t
sur
∂ω
σ
26
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
De manière symétrique, ces conditions limites s’expriment dans la configuration initiale en fonction des transformées de ces différentes grandeurs

→
 −
→
u = u
sur
∂Ωu
(II.24)
→
−
→
−
→
−
 T = PN = T
sur
∂Ωσ
∂Ω
∂Ωσ
∂ω
∂ωσ
Ω
ω
∂Ωu
∂ωu
C0
Ct
Fig. II.3: Formulation du problème d’équilibre.
II.1.5.1
Configuration eulérienne
Le bilan de la quantité de mouvement dans la configuration actuelle s’écrit
Z
Z
Z
ρfi dΩ +
ti ds =
ργi dΩ
ω
∂ω
(II.25)
ω
En utilisant ensuite la définition du vecteur contraintes, et le théorème de la divergence, on
obtient l’équation d’équilibre dans la configuration actuelle

∂σij


+ ρ fi = ρ ü
dans
ω


 ∂xj
(II.26)
→
−
→
−

u
=
u
sur
∂ω

u


→
−

→
σ−
n = t
sur
∂ωσ
Le bilan du moment cinétique permet d’obtenir la symétrie de σ.
II.1.5.2
Configuration lagrangienne
Dans la configuration initiale, le bilan de la quantité de mouvement s’écrit
Z
Z
Z
ρ0 fi dΩ +
Ti dS =
ρ0 γi dΩ
Ω
∂Ω
On en déduit l’écriture mixte

∂PiJ


+ ρ0 fi = ρ0 ü


 ∂xJ
−
→
→
−

u = u


→
−

→
−

PN = T
Ω
dans
Ω
sur
∂Ωu
sur
∂Ωσ
(II.27)
(II.28)
II.1. Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations
27
Le bilan du moment cinétique permet d’écrire
PFT = FPT
II.1.5.3
(II.29)
Remarque sur l’hypothèse des petites perturbations
→
L’hypothèse des petites perturbations consiste à supposer que le déplacement −
u est petit.
→
−
→
−
→
−
On peut donc confondre C0 et Ct , X et x . On suppose de plus que Grad u est petit, ce qui
conduit à négliger les termes du second ordre dans le gradient des déplacements. Les différents
tenseurs de déformation se réduisent alors à

1

 E =
(C − I)
équivalent à 

2
(II.30)
1

−1

A
=
équivalent
à
I
−
b


2
où
1
ij =
2
∂uj
∂ui
+
∂Xj
∂Xi
correspond à la partie linéaire du tenseur des déformations. De même, les différents tenseurs
des contraintes P, S ou σ s’identifient, en petites perturbations, au tenseur des contraintes de
Cauchy σ, et les équations d’équilibre utilisées sont (II.26).
II.1.6
Propriété des lois de comportement
Rappelons que la loi de comportement doit permettre de relier le tenseur des contraintes à
l’instant t au tenseur des déformations en tout point du solide, quel que soit l’instant considéré.
D’une façon générale, la loi de comportement s’exprime comme une fonctionnelle de réponse
dépendant du tenseur gradient des déformations F [69] :
S(t) = F { F (τ ) }
τ <=t
P(t) = C { F (τ ) }
τ <=t
σ(t) = M { F (τ ) } (II.31)
τ <=t
où F , C ou M sont des fonctionnelles de réponse.
Cette loi de comportement doit vérifier le principe d’objectivité ou d’indifférence matérielle,
qui s’énonce comme suit : la loi de comportement doit être invariante dans tout changement de
référentiel.
On écrit le changement de référentiel sous la forme :
( −
→
−−→
→
x+ = c(t) + Q(t)−
x
(II.32)
+
t
= t+a
où Q(t) est une matrice de rotation. L’exposant + caractérise les variables après changement de
référentiel. La relation (II.32) traduit le fait que les distances entre deux points sont préservées
lors d’un changement d’observateur. De même, les intervalles de temps entre les événements
28
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
sont préservés. (II.32) traduit également le fait que les propriétés matériau ne doivent pas être
affectées par un mouvement de corps rigide.
→
On montre alors qu’un scalaire Φ, un vecteur −
v ou un tenseur A sont objectifs s’ils se transforment lors du changement d’observateur (II.32) de la façon suivante :

−
→
→
+
+ , t+ ) = Q(t) A (−

x , t) QT (t)

 A (x
−
→
+
→
−
−
→
(II.33)
v (x+ , t+ ) = Q(t) →
v (−
x , t)

−
→

 Φ+ (x+ , t+ ) = Φ (−
→
x , t)
En utilisant la relation (II.32), on trouve les lois de transformation des différents tenseurs de
déformation, lagrangien, mixte, et eulérien :
C+ = C
E+ = E
F+ = Q F
b+ = Q b QT
(II.34)
→
−
En utilisant ensuite le fait que le vecteur contrainte t est objectif, on en déduit la relation de
transformation de σ
σ + = Q σ QT
(II.35)
Les relations de passage (II.19) et (II.22) permettent alors d’obtenir la forme suivante pour la
transformation des tenseurs des contraintes P et S
P+ = Q P
S+ = S
(II.36)
En reportant (II.34) (II.35) et (II.36) dans les fonctionnelles (II.31), on obtient des conditions
nécessaires et suffisantes sur les fonctions réponses dans les différentes configurations. Ainsi, en
configuration eulérienne, σ(t) = M { F (τ ) } est indépendant de l’observateur si la fonctionτ <=t
nelle M satisfait la condition d’invariance (II.37)
Q M { F (τ ) } QT = M (QF)
(II.37)
En configuration mixte, cette relation d’invariance s’écrit
QC (F(τ )) = C (QF)
(II.38)
La configuration de référence n’est pas affectée par un mouvement de corps rigide (on a S+ = S
et C+ = C). En utilisant aussi les relations de passage entre σ et S on trouve que la forme
S(t) = F { E (τ ) }
τ <=t
(II.39)
est objective. En général, pour obtenir une loi objective, il suffit donc de travailler en description
lagrangienne. C’est ainsi cette configuration qui sera privilégiée au cours de ce travail.
Remarque : La dérivation par rapport au temps de grandeurs lagrangiennes objectives conserve
l’objectivité. Ce n’est pas le cas pour les grandeurs eulériennes. Dans ce cas, il faudra utiliser des
dérivées objectives (dérivée de Jaumann, de Truesdell ...) dont l’intérêt principal est d’éliminer
les rotations parasites en dérivant le tenseur dans un repère adapté.
II.1. Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations
29
La loi de comportement doit également vérifier les symétries matérielles. Si le matériau est
isotrope (ce qui est le cas des élastomères considérés dans ce travail), la loi de comportement
doit être invariante par rotation de la configuration de référence (cela traduit simplement le fait que les propriétés du matériau sont identiques dans toutes les directions). Par un
raisonnement analogue à celui présenté dans le paragraphe précédent, on trouve des conditions
restrictives sur les fonctionnelles (II.31). En configuration eulérienne, cette condition se traduit
notamment par
(II.40)
Q M { b (τ ) } QT = M QbQT
La relation (II.40) montre que la fonction M est isotrope au sens mathématique du terme.
On peut alors utiliser les théorèmes de représentation donnant la forme générale des fonctions
tensorielles isotropes. Ces théorèmes permettent notamment d’écrire en configuration eulérienne
σ(b) = α0 I + α1 b + α2 b2 , où les αi sont fonctions uniquement des invariants de b.
II.1.7
Thermodynamique des milieux continus
L’inégalité de Claudius Duhem est obtenue en utilisant le premier principe (bilan d’énergie
mécanique et thermique du système) puis le second principe (inégalité fondamentale du bilan
d’entropie). En introduisant ensuite l’énergie libre spécifique de Helmoltz, on obtient l’expression de l’inégalité de Clausius Duhem dans les différentes descriptions mixte, lagrangienne et
eulérienne :

→ −−−→
−

Q . Grad T


Φ0 = Pij Ḟij − ρ0 Ψ̇ + η Ṫ −
≥ 0



T

|
{z
}
|
{z
}



Φint
Φth





→ −−−→
−



 Φ0 = Sij Ėij − ρ0 Ψ̇ + η Ṫ − Q . Grad T ≥ 0
T
(II.41)
|
{z
} |
{z
}


Φ
Φ
int

th




−
−
→

→
−

q . grad T


Φ
=
σ
d
−
ρ
Ψ̇
+
η
Ṫ
−
≥ 0

ij
ij


T

|
{z
} | {z
}



Φint
Φth

où
– Φ est la dissipation, qui peut se décomposer en une dissipation intrinsèque mécanique, et
une dissipation thermique.
– Ψ est l’énergie libre
→
−
– Q est le flux de chaleur
– T est la température absolue
– η est l’entropie
30
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
Les équations (II.41) sont un outil incontournable pour construire des modèles de comportement
par la méthode de l’état local [45]. Il s’agit d’une méthode thermodynamique phénoménologique
qui consiste à écrire l’énergie libre en fonction de variables introduites pour représenter les
phénomènes observés. En appliquant alors les différentes étapes mentionnées ci dessous on aboutit à l’écriture de la loi de comportement du matériau. Cela se fait en suivant le cheminement
suivant :
– Définir des variables d’état : l’axiome de l’état local postule en effet que l’état du matériau
est entièrement défini par la connaissance à cet instant des valeurs de ces variables. Parmi
ces variables, on distingue :
– les variables observables (température, déformations F, E ou b suivant la description
privilégiée)
– les variables internes ωk : celles-ci sont introduites pour décrire des phénomènes complexes tels que la dissipation (plasticité, viscosité, viscoplasticité . . .) ou entre autres
l’endommagement.
– Postuler l’existence d’un potentiel thermodynamique duquel dérivent les lois d’état. Le
potentiel thermodynamique sera le plus souvent l’énergie libre spécifique Ψ : elle dépendra
des variables observables et des variables internes, et on écrira dans le cas général
Ψ = Ψ (F, ωk , . . .)
On définit alors les variables flux généralisés Jα associées aux variables internes par
∂Ψ
J α = ρ0
. On leur associe les affinités Aα de manière à écrire le potentiel de dissipation
∂ωα
X
sous la forme Φ0 =
Jα Aα . La loi de comportement va consister à trouver des relations
α
entre les affinités et les flux généralisés.
– Pour décrire l’évolution des variables associées aux processus dissipatifs, il faut postuler
l’existence d’un pseudo potentiel de dissipation ϕ, fonction des variables flux. On suppose
de plus que les relations entre les Jα et les Aα sont linéaires (relations de symétrie de
Onsager) et qu’il y a découplage entre la dissipation intrinsèque et la dissipation thermique
(ce qui n’implique pas que les mécanismes correspondants soient découplés).
L’ensemble de ces hypothèses conduit à un système d’équations dont la résolution donne l’écriture
de la loi de comportement. Tout le problème de la modélisation des phénomènes réside dans la
détermination analytique des potentiels thermodynamiques Ψ et du pseudo potentiel de dissipation ϕ. Nous verrons dans les paragraphes qui suivent des exemples d’application de cette
méthode pour l’écriture des lois de comportement hyperélastique et viscoélastique en grandes
déformations.
II.2. Modélisation des propriétés élastiques
II.2
II.2.1
31
Modélisation des propriétés élastiques
Matériau hyperélastique isotrope
Un matériau est élastique si le tenseur des contraintes de Cauchy à l’instant t dépend
uniquement de l’état de déformation à ce même instant, ainsi la contrainte ne dépend pas du
chemin suivi par la déformation, mais par contre le travail fourni par cette contrainte dépend
généralement du chemin suivi. Un matériau élastique est dit hyperélastique si le tenseur des
contraintes dérive d’une fonction d’énergie du matériau. Ceci implique que le travail mis en jeu
pour aller d’un état de déformation à un autre ne dépend pas du chemin suivi. Pour écrire une
loi de comportement hyperélastique, on postule ainsi l’existence d’une énergie libre Ψ définie
par unité de volume dans la configuration de référence. Pour respecter le principe d’objectivité
énoncé plus haut, on montre que l’énergie peut toujours être considérée comme une fonction du
tenseur des déformations E. Si de plus le matériau est isotrope (la loi de comportement doit être
invariante par rotation de la configuration de référence), on pourra exprimer Ψ en fonction des
invariants des tenseurs C ou b. Cette énergie est également appelée ”énergie de déformation”,
et souvent notée W dans la littérature. L’obtention de la loi de comportement à partir des
équations (II.41) se fait comme suit :
– On écrit que la dissipation interne est nulle (le matériau est élastique).
– On néglige les effets thermiques (on ne s’intéresse qu’au comportement mécanique).
En exprimant alors le potentiel de dissipation dans les différentes configurations (lagrangienne,
mixte, eulérienne) on en déduit la loi de comportement dans chacune de ces configurations
par dérivation de l’énergie de déformation volumique. Cette démarche est appliquée dans les
expressions (II.42) pour les écritures lagrangienne, mixte puis eulérienne. Les égalités ainsi écrites
sont vraies en tous points du milieu continu, et pour tous les temps. On en déduit la relation
entre les contraintes et les déformations dans chacune des configurations.

∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ

˙

Φ
E
=
S
−
Ψ̇
=
S
−
=2
: Ė
=⇒ Sij =
0
ij ij


∂E
∂Eij
∂Cij





∂Ψ
∂Ψ
Φ0 = Pij F˙ij − Ψ̇ =
P −
: Ḟ
=⇒ Pij =

∂F
∂Fij






∂Ψ
∂Ψ
2
2 ∂Ψ

 Φ0 = Jσij dij − Ψ̇ =
Jσ − 2b
=
bkj
: d
=⇒ σij =
bik
∂b
J
∂bkj
J ∂bik
(II.42)
Le matériau étant isotrope, l’énergie de déformation s’exprime également en fonction des invariants I1 , I2 et I3 des tenseurs b ou C. b et C ayant les mêmes valeurs propres, on a de plus
I1 (b) = I1 (C), I2 (b) = I2 (C), I3 (b) = I3 (C). Ces invariants s’expriment de la manière suivante
32
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères


I1 = trace(C)
= λ21 + λ22 + λ23





1 2
I2 =
[I1 − trace(C 2 )] = λ21 λ22 + λ21 λ23 + λ22 λ23

2




 I = det(C)
= λ21 λ22 λ23
3
(II.43)
où λ1 , λ2 et λ3 correspondent aux élongations dans les directions principales de b et C. La
relation contrainte déformation est alors obtenue en dérivant ces invariants par rapport aux
tenseurs b et C. On a

∂I1


= I



 ∂C


∂I2
(II.44)
= I1 I − C

∂C






 ∂I3 = I3 C−1
∂C
D’où, en injectant (II.44) dans (II.42)
3
X
∂Ψ
∂Ψ ∂Ia
S = 2
=2
∂C
∂Ia ∂C
a=1
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ −1
= 2
I−
+ I1
C + I3
C
∂I1
∂I2
∂I2
∂I3
(II.45)
En configuration eulérienne, la relation contrainte déformation est obtenue en utilisant la relation
de passage (II.22)
σ =
=
II.2.2
1
FSFT
J
∂Ψ 2
∂Ψ
∂Ψ
2
∂Ψ
b−
+ I1
b + I3
I
J
∂I1
∂I2
∂I2
∂I3
(II.46)
Prise en compte de la condition d’incompressibilité
Nous avons mentionné parmi les propriétés à prendre en compte la quasi incompressiblité
des élastomères (le rapport entre le coefficient de dilatation volumique et le coefficient de cisaillement est de l’ordre de 1000). Les déformations se font ainsi à volume presque constant.
Si les élastomères subissent une contrainte hydrostatique, les déformations engendrées sont
négligeables. On pourra pour les modéliser faire l’hypothèse d’incompressibilité complète. La
conservation de volume au cours de la déformation se traduit par les relations suivantes, toutes
équivalentes :
dv
= constante ⇐⇒
⇐⇒ trace(d) =
0
J
= det(F) = 1
⇐⇒ J˙ = F−T : Ḟ =
(II.47)
0
Il s’agit de conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une transformation soit isochore.
En ce qui concerne la loi de comportement, on voit que les seules déformations qui peuvent
II.2. Modélisation des propriétés élastiques
33
avoir lieu sont celles qui conservent le volume du solide : les déformations ne sont ainsi pas
entièrement libres. Quand, comme c’est le cas ici, la cinématique de déformation est soumise à certaines restrictions, on parle de liaisons internes. Dans ce cas, il faut rajouter à la
forme générale de la loi de comportement (II.31) une contrainte indéterminée ne travaillant pas
dans tout mouvement compatible avec la liaison. On écrira alors, par exemple en configuration
eulérienne
σ(t) = M (F(τ )) + σ 0
(II.48)
Le travail w de la contrainte indéterminée est donné par w = σ 0 : d, et la liaison interne impose
σ 0 : d = 0. L’incompressibilité se traduit par ailleurs par la condition trace(d) = 0. Ces deux
conditions donnent finalement à la loi de comportement la forme suivante :
σ(t) = M (F(τ )) − pI
(II.49)
où p est une pression indéterminée, qui pourra être calculée en écrivant les conditions aux limites.
La condition d’incompressibilité peut être introduite de façon directe dans l’écriture de
l’énergie de déformation en écrivant celle ci sous la forme :
Ψ̃ = Ψ(C) − p(J − 1)
(II.50)
où Ψ est définie pour J = det(F) = 1. Seuls interviennent dans Ψ les deux premiers invariants du
tenseur des déformations (puisque I3 = 1). On a ainsi Ψ(C) = Ψ(I1 , I2 ). p est un multiplicateur
de Lagrange indéterminé, qui peut être identifié à la pression hydrostatique. Par dérivation de
l’énergie de déformation, on obtient alors
˙
Φ0 = Pij F˙ij − Ψ̃
∂Ψ
−T
=
P −
: Ḟ
+ pF
∂F
=⇒ Pij
=
∂Ψ
− pF−T
∂Fij
(II.51)
De manière analogue, on retrouve la forme de la relation contrainte déformation en formulation
lagrangienne, dans le cas isotrope incompressible
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ
S = 2
I−
+ I1
C − p C−1
(II.52)
∂I1
∂I2
∂I2
En formulation eulérienne, on a alors
σ = FSFT
∂Ψ 2
∂Ψ
∂Ψ
b−
= 2
+ I1
b − pI
∂I1
∂I2
∂I2
II.2.3
(II.53)
Quelques exemples d’énergie de déformation
Par définition, une loi de comportement doit être représentive de tous les chargements
mécaniques appliqués. Afin d’établir l’expression de la densité d’énergie de déformation la
34
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
plus adaptée, il est nécessaire de construire une base de données expérimentales constituée
d’essais uni et multiaxiaux. Dans le cas d’élastomères supposés incompressibles, les bases de
données expérimentales sont généralement établies à partir d’essais de traction uniaxiale, de
cisaillement simple et de traction biaxiale [34]. Pour chaque type d’essai retenu, on relève des
couples contrainte-déformation. Ensuite, un algorithme de minimisation moindres carrés est utilisé pour calculer les coefficients élastiques de différentes énergies de déformation préalablement
sélectionnées. Ces coefficients sont calculés de manière à minimiser l’écart entre les valeurs
expérimentales de la base de données et la forme analytique prédite par les énergies de déformation
choisies. On sélectionne ensuite la loi de comportement représentant le meilleur compromis entre
la qualité du lissage, la complexité et la stabilité numérique des modèles.
De nombreuses formes de l’énergie de déformation ont été proposées dans la littérature.
Certaines se basent sur une théorie statistique, d’autres sont purement phénoménologiques. Il
existe plusieurs manières de classer les différentes énergies de déformation. On peut par exemple
séparer celles qui s’expriment en fonction des invariants, et celles qui s’expriment en fonction
des élongations principales. Une autre manière d’établir une séparation est de considérer celles
dont les coefficients interviennent sous forme linéaire (c’est le cas notamment pour le modèle
de Rivlin généralisé) et celles dont les coefficients interviennent sous forme de lois puissance
(comme par exemple pour le modèle d’Ogden). Nous ne présentons dans cette partie que les
énergies de déformation polynomiales, ainsi que l’énergie de déformation d’Ogden. Elles figurent
parmi les énergies de déformation les plus utilisées. Dans le premier cas (lois polynomiales),
l’énergie de déformation dépend linéairement des paramètres de la loi de comportement, et
celle-ci s’exprime en fonction des invariants I1 et I2 . Ces lois polynomiales sont d’identification
aisée. Elles permettent en général un bon lissage des résultats expérimentaux jusqu’à des taux
de déformation modérés. Pour des taux de déformation plus élevés, il faudra souvent augmenter
l’ordre du polynome. Toutefois, le fait de travailler avec un nombre de coefficients élevé conduit
à des instabilités numériques aux limites du domaine d’investigation en déformation. Pour les
modèles qui s’expriment sous forme de lois puissance comme le modèle d’Ogden, les coefficients
interviennent sous forme non linéaire (exposant). Ces modèles permettent en général d’avoir un
bon lissage avec peu de paramètres pour des niveaux de déformations plus élevés. Toutefois leur
identification est moins aisée. On pourra trouver une revue plus complète des différentes énergies
de déformation dans les thèses [30, 39, 8].
II.2.3.1
Forme polynomiale
Le modèle de Rivlin généralisé, implanté dans la plupart des codes de calcul éléments finis,
est donné par le développement en série suivant :
Ψ =
N
X
Cij (I1 − 3)i (I2 − 3)j
(II.54)
i+j=1
Ce type de loi est généralement le plus utilisé. L’énergie de déformation est développée à un
ordre proportionnel à la plage de déformation souhaitée (pour N=3, on a généralement une
II.2. Modélisation des propriétés élastiques
35
bonne corrélation avec les mesures expérimentales).
En pratique, la plupart des lois polynomiales utilisées correspondent à un cas particulier du
développement de Rivlin. Par exemple, en ne gardant que le premier terme du développement,
on obtient la loi Néo Hookéenne
Ψ = C10 (I1 − 3)
(II.55)
qui a d’abord été élaborée à partir de la théorie statistique en considérant que le caoutchouc
vulcanisé est un réseau tridimensionnel de longues chaı̂nes moléculaires connectées en quelques
points. Le modèle Néo Hookéen permet d’avoir une bonne corrélation pour des taux de déformation
modérés (jusqu’à 50%), mais n’est pas adapté à la prise en compte des grandes déformations.
Le second cas particulier du développement de Rivlin correspond au modèle phénoménologique
de Mooney Rivlin, très utilisé dans l’industrie des élastomères. On prend alors les 2 premiers
termes du développement de Rivlin, ce qui permet d’écrire
Ψ = C10 (I1 − 3) + C01 (I2 − 3)
(II.56)
Cette fois, on obtient une bonne corrélation avec les résultats expérimentaux jusqu’à des taux
de déformation de l’ordre de 150%. Par contre, dans le cas d’élastomères chargés en noir de
carbone, son utilisation peut donner de moins bonnes corrélations.
Le modèle phénoménologique de Yeoh [78], appliqué à des élastomères chargés en noir de
∂Ψ
carbone, est issu de la constatation expérimentale que
est négligeable dans le cas de ces
∂I2
∂Ψ
mélanges. Yeoh a alors fait l’hypothèse simplificatrice
= 0, et a proposé une énergie de
∂I2
déformation à 3 coefficients, où le second invariant n’apparaı̂t pas. L’énergie de déformation
proposée s’écrit alors
Ψ = C10 (I1 − 3) + C20 (I1 − 3)2 + C30 (I1 − 3)3
II.2.3.2
(II.57)
Développement en fonction des élongations principales
Ogden [57] a proposé une énergie de déformation qui s’exprime en fonction des élongations
principales et décrit les variations de ces dernières de la configuration de référence à la configuration actuelle :
Ψ = Ψ(λ1 , λ2 , λ3 ) =
N
X
µk
k=1
αk
( λα1 k + λα2 k + λα3 k − 3 )
(II.58)
où N désigne le nombre de termes de l’énergie de déformation, les µk désignent des coefficients
de cisaillement et les αk sont des constantes sans dimension. Par linéarisation, on obtient la
relation suivante entre le coefficient de cisaillement linéaire µ (pente à l’origine lors de l’essai de
cisaillement) et les coefficients de l’énergie de déformation d’Ogden
2µ =
N
X
k=1
µk αk
µk αk > 0
k = 1...N
(II.59)
36
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
En général il est possible d’obtenir une très bonne corrélation avec les résultats expérimentaux
pour N=3. Le modèle d’Ogden donne une identification plus stable par rapport au modèle
polynomial, et un meilleur lissage des résultats expérimentaux est obtenu jusqu’à des taux de
déformation assez élevés. Il ne peut en général pas être comparé à une expression d’énergie
polynomiale, sauf dans le cas particulier N = 2, α1 = 2, α2 = −2. Dans ce cas, on retrouve
µ
µ
le modèle de Mooney Rivlin évoqué précédemment avec les coefficients c10 = , c20 = − (on
2
2
utilise aussi la condition d’incompressibilité
1
λ1 λ2 =
). De même, le modèle Neo Hookéen est obtenu pour N = 1, α1 = 2 et on a alors
λ3
µ
c10 = .
2
Un autre exemple d’énergie de déformation écrite en fonction des élongations est l’expression
proposée par Valanis et Landel [77] : ils ont postulé que l’énergie de déformation peut être écrite
comme une somme de 3 fonctions séparables w(λk ), k = 1 . . . 3 :
Ψ = w(λ1 ) + w(λ2 ) + w(λ3 )
Les fonctions w pouvant être développées sous forme logarithmique
w = 2µ
X
λk (logλk − 1 )
k
A partir des énergies de déformation exprimées en fonction des élongations principales, on
peut calculer les contraintes dans les directions principales, de la manière suivante

∂Ψ

 Pa =


∂λ
a




1 ∂Ψ
(II.60)
Sa =

λa ∂λa






 σa = λa ∂Ψ
∂λa
On peut aussi recalculer les dérivées par rapport aux invariants Ik , k = 1 . . . 3, pour utiliser les
relations (II.52) et (II.53). On inverse alors la relation suivante
 ∂Ψ 
 ∂I
1
 ∂λ1 
 ∂λ1



 ∂Ψ  =  ∂I
1
∂λ2
∂λ2
∂I2 
∂λ1 

∂I 
2
∂λ2
en ayant pris soin au préalable de remplacer λ3 par
en compte la relation d’incompressibilité.
II.2.3.3
 ∂Ψ 
 ∂I1 


 ∂Ψ 
(II.61)
∂I2
1
dans (II.43) et (II.58) pour prendre
λ1 λ2
Remarque sur les modèles faiblement compressibles et incompressibles
Dans le cas de matériaux faiblement compressibles, le comportement est très différent en
cisaillement et en dilatation volumique. Il est alors commode d’introduire la décomposition des
II.2. Modélisation des propriétés élastiques
37
déformations. Les tenseurs F et C sont alors décomposés en une partie sphérique, et une partie
isochore, de la manière suivante :
1
F = J−3 F
(II.62)
2
C = J−3 C
1
2
Les termes J 3 I et J 3 I sont associés à des déformations induisant des variations de volume. Les
tenseurs F et C sont eux associés à des déformations isochores. Cette décomposition, introduite
à l’origine par Flory (1961), a été par la suite largement utilisée, notamment par Sidoroff [65, 66,
67, 68] pour introduire la notion d’état intermédiaire. On introduit alors les invariants réduits,
invariants des tenseurs F et C, reliés aux invariants définis en (II.43) de la manière suivante

2
 I1 = J 3 I1
(II.63)
4

I2 = J 3 I2
Cela conduit à une expression de l’énergie de déformation volumique sous forme découplée :
Ψ = Ψ (I1 , I2 ) + Ψvol (J)
(II.64)
où Ψvol (J) ne dépend que de la variation de volume. Cette fonction doit être strictement convexe,
avec pour seul minimum J=1. Le cas incompressible correspond alors à Ψvol (J) = 0. Dans ce
cas, l’énergie de déformation s’écrit
Ψ = Ψ (I1 , I2 ) = Ψ(I1 , I2 )
(II.65)
et on utilise un multiplicateur de Lagrange dans l’expression de l’énergie de déformation pour
imposer la contrainte J = 1
Ψ = Ψ (I1 , I2 ) − p ( J − 1 )
Plusieurs forme de la fonction Ψvol (J) existent dans la littérature. Citons par exemple celle
due à Ogden :
α Ψvol (J) = 2 βln(J) + J −β − 1
β
(avec α coefficient de dilatation volumique, et β paramètre empirique) [57] ou encore à Simo et
Miehe
1
Ψvol (J) = α
J 2 − 1 − 2ln(J)
4
Dans les codes éléments finis, la forme généralement employée est la suivante [1]
Ψvol (J) =
N
X
1
( J − 1 )2i
Di
(II.66)
i=1
2
. Dans le cas où le matériau est très
D1
faiblement compressible, ces différentes formes sont quasi équivalentes [51].
le module de compressibilité étant donné par k0 =
38
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
II.3
Modélisation des propriétés dissipatives
Nous avons signalé dans l’introduction les propriétés dissipatives des élastomères. L’objet
de cette partie est de rappeler les approches généralement utilisées pour prendre en compte ces
aspects.
La dépendance de la contrainte en fonction de l’histoire de la sollicitation relève du caractère
viscoélastique du matériau. Un premier paragraphe est consacré à un rappel de viscoélasticité
linéaire. La loi de comportement viscoélastique est rappelée, ainsi que les principaux modèles
rhéologiques utilisés pour approximer le comportement dissipatif. Le second paragraphe présente
quelques modèles rencontrés lors de la prise en compte de la viscoélasticité en grandes déformations.
On distingue pour cela deux types d’approches, les approches fonctionnelles et les approches par
variables internes. Le dernier paragraphe est consacré à la modélisation de la dissipation non
visqueuse. En effet, l’hystérésis observée à basse fréquence est expliquée par certains auteurs par
du frottement sec. Les modèles rhéologiques associés seront ainsi présentés. Ces modèles sont
actuellement très prisés par les constructeurs automobiles pour modéliser les phénomènes de
dépendance en amplitude [20, 3]. Leur principale restriction est d’être en général unidimensionnels, même si une tentative de généralisation aux sollicitations tridimensionnelles est faite dans
[19].
II.3.1
II.3.1.1
Viscoélasticité linéaire
Loi de comportement viscoélastique linéaire
Les effets de fluage (évolution de la déformation en réponse à un échelon de contrainte) et de
relaxation (évolution de la contrainte en réponse à un échelon de déformation) évoqués dans l’introduction font appel à la notion de ”mémoire” des matériaux viscoélastiques. Le comportement
d’un matériau viscoélastique linéaire peut être défini à partir uniquement de la donnée de l’une
de ces fonctions réponse. Les hypothèses de linéarité du comportement, ainsi que le principe
de superposition de Boltzmann (”Si l’on superpose deux histoires de sollicitations, la réponse
est la superposition des réponses”) permettent alors d’écrire la réponse à toute histoire de sollicitation à partir de la connaissance des fonctions de retard ou de relaxation. Les hypothèses
retenues pour établir la formulation fonctionnelle d’un problème de viscoélasticité linéaire sont
les suivantes :
– La contrainte σ(t) (respectivement déformation) est une fonctionnelle de toute l’histoire
des déformations (respectivement contraintes)
– Le matériau est non vieillissant (les fonctions de retard et de relaxation ne dépendent que
d’une seule variable temporelle)
– La fonctionnelle est linéaire
II.3. Modélisation des propriétés dissipatives
39
De plus, l’hypothèse d’isotropie permet de ramener à deux le nombre de coefficients indépendants.
Finalement la loi de comportement du matériau viscoélastique linéaire, supposé isotrope, s’écrit
en fonction d’une intégrale héréditaire liant les contraintes à l’histoire des déformations :
Z
σ(t) =
0
t
Z
˙ (τ )dτ I +
λ(t − τ ) tr()
t
0
2 µ(t − τ ) ˙ (τ )dτ
(II.67)
Les variations de volume étant en général très faibles devant le comportement en cisaillement,
il est commode de séparer les contributions des parties déviatoriques et sphériques.

1


s(t) = σ(t) − trσ(t)I


3
(II.68)
1


e(t)
=
(t)
−
tr(t)I


3
e(t)(respectivement s(t)) est la partie déviatorique du tenseur des déformations (respectivement
contraintes).
En fonction de ces paramètres, la loi de comportement devient

Z t


s(t) =
2 µ(t − τ ) ė (τ )dτ


0
Z



 trσ(t) = 3
t
0
(II.69)
˙ )dτ
K(t − τ )tr(τ
où K est le ”bulk modulus”, ou coefficient de dilatation volumique, relié aux coefficients de Lamé
par
3 K(t) = 3 λ(t) + 2 µ(t)
Une forme équivalente de la relation (II.67) est alors
Z t
Z
σ(t) =
2 µ(t − τ ) ė (τ )dτ +
0
0
t
˙ )dτ
K(t − τ )tr(τ
(II.70)
Les paramètres K(t) et µ(t) sont les fonctions de relaxation. La loi de comportement peut
également s’exprimer en fonction de fonctions de fluages.
Si l’on considère que le matériau est complètement incompressible, seule la partie déviatorique
des contraintes est à prendre en compte. L’incompressibilité se traduit par l’introduction d’une
pression hydrostatique indéterminée, et on écrit
Z t
(II.71)
σ(t) =
2 µ(t − τ ) ė (τ )dτ − p(t) I
0
En appliquant la transformée de Laplace, définie pour une fonction f par
Z +∞
L(f ) =
f (t)e−st dt
0
à (II.69) on obtient :



s(p) = 2 p µ(p) e(p)


trσ(p) = 3 p K(p) tr(p)
40
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
ou encore
σ(p) = p A(p) (p)
avec









A=








λ(p) + 2µ(p)
λ(p)
λ(p)
0
0
0
λ(p)
λ(p) + 2µ(p)
λ(p)
0
0
0
λ(p)
λ(p)
λ(p) + 2µ(p)
0
0
0
0
0
0
µ(p)
0
0
0
0
0
0
µ(p)
0
0
0
0
0
0
µ(p)


















µ(p) et λ(p) désignant respectivement les transformées de Laplace de µ(t) et de λ(t). On voit
ainsi que pour résoudre un problème de viscoélasticité, on peut se placer en transformée de
Laplace, effectuer les calculs algébriques nécessaires à la résolution, puis revenir aux grandeurs
temporelles par la transformation inverse.
Pour pouvoir facilement intégrer la loi de comportement viscoélastique dans des calculs
prédictifs, il est préférable de disposer d’un modèle pour approximer les fonctions de relaxation
ou de fluage. Pour ce faire, on utilise des modèles rhéologiques ou fractionnaires qui seront
présentés dans les paragraphes suivants.
II.3.1.2
Les modèles rhéologiques en viscoélasticité linéaire
Le comportement viscoélastique est intermédiaire entre celui du solide élastique modélisé
par un ressort et celui du fluide visqueux, modélisé par un amortisseur. Ce sont ces éléments
qui vont servir de base à la modélisation du comportement viscoélastique. Le comportement
élastique sera dû aux ressorts, le comportement visqueux aux amortisseurs (figure II.4).
σ = µ
σ
σ
σ = η ˙
Fig. II.4: Schématisation des éléments rhéologiques usuels en viscoélasticité.
On désigne par σ la force agissant sur l’élément et par l’allongement de celui ci. Nous allons
écrire les relations dans le cadre de sollicitations de cisaillement. On pourrait faire intervenir de
même le module d’Young ou le coefficient de compression volumique K. Toutefois, même dans le
cas compressible, les effets dus à la variation de volume sont en général supposés indépendants
du temps.
II.3. Modélisation des propriétés dissipatives
41
Pour avoir la fonction de relaxation associée à chaque élément, on résoud l’équation correspondante en imposant un échelon de déformation
t≥0
t<0
= 0
= 0
(II.72)
De même, pour avoir la fonction de fluage, on impose un échelon en contrainte
t≥0
t<0
σ = σ0
σ = 0
(II.73)
Afin de représenter correctement le comportement complexe d’un matériau, on assemble ces
différents éléments en série ou en parallèle. Pour des éléments en parallèle, la fonction de relaxation de l’ensemble est la somme des fonctions de relaxation des éléments (tous les éléments
subissent la même déformation, la contrainte totale est la somme de la contrainte sur chaque
élément). Pour les éléments en série, la fonction de fluage de l’ensemble est la somme des fonctions
de fluage des éléments (la même force est supportée par tous les éléments, mais la déformation
totale est la somme des déformations de chaque élément). Nous rappelons brièvement dans
le paragraphe suivant les fonctions de relaxation associées aux modèles les plus classiquement
rencontrés.
a Le modèle de Maxwell
Il est constitué d’un ressort en série avec un amortisseur :
σ
σ(t) = µ1 (t)
s
σ(t) = η ˙2 (t)
(t) = 1 (t) + 2 (t)
1
2
Fig. II.5: Modèle de Maxwell
L’équation différentielle associée est ainsi
σ̇ +
µ
σ = µ˙
η
avec la condition initiale σ0 = µ 0 . En posant τ =
(II.74)
η
, on a ainsi le noyau de relaxation associé
µ
t
µ(t) = µ e τ
−
L’élasticité instantanée est donnée par σ0 = µ 0 . A l’infini, il y a relaxation complète des
contraintes. C’est pourquoi ce modèle est généralement utilisé avec un ressort pour avoir une
élasticité ”infinie”.
42
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
Pour avoir la réponse en fréquence associée, on résoud (II.74) pour une excitation du type
= 0 eiωt . En cherchant la réponse sous la forme σ = σ0 eiωt , on obtient le module dynamique
σ0
associé à un modèle de Maxwell
0
iωµ
µ? (ω) =
1
+ iω
τ
Remarque : Le module dynamique peut également être obtenu à partir de la forme intégrale de
la relation contraintes déformations
Z t
(II.75)
σ(t) =
µ(t − τ ) (τ
˙ )dτ
0
En insérant une excitation du type = 0 eiωt dans (II.75), et après changement de variable
t − τ = X, on retrouve
Z t
σ(t) = i ω 0
µ(X) e−iωX dX eiωt
(II.76)
0
?
iωt
= i ω 0 g (ω) e
en notant g ? (ω) la transformée de Fourier de µ(t), définie pour une fonction f par
Z +∞
L(f ) =
f (t)e−iωt dt
0
On retrouve ainsi µ? (ω) = i ω g ? (ω)
b Le modèle de Zener
Il s’agit de la mise en parallèle d’un élément de Maxwell avec un ressort assurant l’élasticité
”infinie” :
µ∞
σ(t) = σ1 (t) + σ2 (t)
σ1 (t) = µ∞ (t)
η
µ
σ2 (t) = µ1 (t) + η ˙2 (t)
(t) = 1 (t) + 2 (t)
1
2
Fig. II.6: Modèle de Zener.
Le noyau de relaxation associé est
µ(t) = µ∞
= µ∞
t
+ µe τ


t
−
µ
1+
e τ 
µ∞
−
(II.77)
II.3. Modélisation des propriétés dissipatives
43
La réponse à un échelon de déformation 0 est donnée par σ(t) = µ(t)0 . Aux temps longs
(t → ∞), on retrouve σ = µ∞ 0 , ce qui justifie la dénomination d’élasticité infinie donnée au
premier ressort.
Pour calculer la réponse en fréquence, on écrit la relation contrainte déformation sous la forme


t−s
Z t
−
 1 + µ e τ  (τ
(II.78)
σ(t) = µ∞
˙ )dτ
µ∞
0
En notant g ? (ω) la transformée de Fourier du module normalisé
Z
t
µ −
e τ e−iωt dt
µ∞
∞
?
g (ω) =
0
on obtient le module dynamique associé au modèle de Zener
µ? (ω) =
σ0
iωµ
= (µ∞ + iωg ? (ω)) = µ∞ +
1
0
+ iω
τ
(II.79)
Le modèle de Zener est un modèle rhéologique simple, avec peu de paramètres. De façon qualitative, la fonction de relaxation obtenue est cohérente avec le comportement solide. C’est
également le cas pour la fonction fluage. Par contre il est caractérisé par un temps de relaxation
unique. Il ne peut ainsi pas rendre compte du comportement sur un large domaine en vitesse.
La même remarque est valable pour le comportement en fréquence régi par l’équation (II.79).
Généralement pour augmenter le domaine de validité temporel ou fréquentiel de ce modèle, on
utilise un modèle de Maxwell généralisé.
c Le modèle de Maxwell généralisé
Ce modèle est formé d’un assemblage en parallèle de N modèles de Maxwell et d’un élément
élastique.
µ∞
η1
µ1
z1
1
η2
µ2
2
.
.
zn
.
.
.
ηN
.
.
.
z2
µN
n
Fig. II.7: Modèle de Maxwell généralisé.
44
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
Cela conduit à un modèle ayant les mêmes propriétés qualitatives que le modèle de Zener,
mais plus à même de lisser les données expérimentales. Le noyau de relaxation associé se met
sous la forme
t
N
X
−
µ(t) = µ∞ +
µi e τi
i=1

= µ∞
t 
N
X
−
µ
i
1+
e τi 
µ∞
(II.80)
i=1
ηi
. Le développement précédent est communément appelé ”série de Prony”.
µi
Pour une excitation harmonique, on obtient de la même manière que précédemment le module
dynamique, en prenant la transformée de Fourier du module normalisé
où τi =
?
g (ω) =
N Z
X
i=1
0
∞
t
µi − τ −iωt
e ie
dt
µ∞
ce qui conduit au module dynamique suivant
µ? (ω) =
II.3.1.3
N
X
iωµi
σ0
= (µ∞ + iωg ? (ω)) = µ∞ +
1
0
i=1
+ iω
τi
(II.81)
Les modèles fractionnaires
Comme nous l’avons mentionné précédemment, il est possible de lisser les fonctions fluage
et relaxation (ou le module dynamique) à l’aide des modèles rhéologiques généralisés présentés
précedemment. L’inconvénient de ce type d’approche est le nombre de paramètres à prendre en
compte pour pouvoir représenter correctement le comportement du matériau. L’utilisation de
la dérivée fractionnaire pour la modélisation des élastomères répond initialement à un souci de
réduction du nombre de paramètres de la loi de comportement mécanique du matériau. Bagley
et Torvik [5] ont également démontré qu’elle avait un fondement thermodynamique. On trouvera
une étude bibliographique détaillée des origines et des domaines d’application de la dérivation
non entière à la modélisation des élastomères dans la thèse de SOULA [72]. De même, une étude
de différents modèles rhéologiques fractionnaires est menée dans la thèse de COSSON [18].
a L’élément rhéologique spring-pot
Les modèles rhéologiques présentés dans la section précédente sont constitués de ressorts ou
d’amortisseurs. En introduisant l’opérateur différentiel non entier Dα qui sera défini plus spécifiquement
dans le prochain paragraphe, ces modèles peuvent s’exprimer sous la forme :
σ(t) = kDα (t)
(II.82)
II.3. Modélisation des propriétés dissipatives
45
En prenant α = 0 on retrouve le comportement d’un ressort pur, et α = 1 correspond à un
amortisseur pur (figure II.4). Pour 0 ≤ α ≤ 1 on peut introduire un nouvel élément nommé
”spring-pot” (figure II.8).
c
,
α
σ(t) = cDα (t)
Fig. II.8: Schématisation de l’élément spring-pot
L’association de cet élément à un ressort en série ou en parallèle conduit à des modèles
rhéologiques fractionnaires. Ainsi le modèle de Kelvin Voigt fractionnaire est constitué d’un
ressort en parallèle avec un spring-pot. La loi correspondante est
σ = µα ( + aDα )
(II.83)
De même, le modèle de Zener fractionnaire peut être schématisé de manière identique à la figure
(II.6), et conduit à l’écriture
σ + b Dα σ =
µ∞ + aDβ (II.84)
Bagley et Torvik ont fait l’étude thermodynamique d’un tel modèle et ont montré qu’avoir une
énergie de déformation positive impose sur les coefficients les restrictions suivantes

a ≥ 0







b ≥ 0



µ∞ ≥ 0
(II.85)


a


≥ 1



b



α = β
ce qui restreint considérablement le domaine de recherche des paramètres. L’élasticité ”infinie”
de ce modèle étant donnée par le coefficient µ∞ , et l’élasticité ”instantanée” par le rapport
a
µ0 = µ∞ [43].
b
Remarque : les deux modèles précédents constituent des cas particuliers de la relation contrainte
déformation généralisée proposée par BAGLEY et TORVIK dans [6]
X
X
σ +
bk D α k σ = µ 0 +
ak D βk (II.86)
k
k
Leurs observations expérimentales, ainsi que celles de KOELLER [43], de SOULA [73] ont toutefois conclu que les modèles à 3 paramètres et à 5 paramètres permettent déjà une très bonne
représentativité du module dynamique des élastomères.
46
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
b Définition de l’opérateur à dérivée non entière
Nous rappelons ici la définition de la dérivée généralisée d’une fonction causale. L’opérateur de
dérivation non entière peut être défini à partir de deux expressions différentes, une expression
mathématique et une approximation numérique [58].
b.1 Définition exacte
L’opérateur de dérivation non entière généralise l’opération de dérivation à des valeurs fractionnaires. C’est l’inverse de l’opération d’intégration fractionnaire attribuée à Riemann et Liouville.
La dérivée d’ordre α est ainsi définie par
Z t
f (t − τ )
1
d
Dα f (t) =
dτ
α≥0
(II.87)
Γ(1 − α) dt 0
τα
Z ∞
où Γ est la fonction Γ(β) =
xβ−1 e−x dx. On montre qu’avec cette définition de l’opérateur
0
fractionnaire, l’équation (II.82) s’écrit également sous forme d’une intégrale de convolution, le
noyau de relaxation associé étant donné par [6]
c
µ(t) =
(II.88)
Γ(1 − α) tα
On voit ainsi que les modèles fractionnaires expriment les noyaux de relaxations sous forme
de puissance fractionnaire, au lieu des exponentielles décroissantes des modèles rhéologiques
classiques.
La définition (II.87) n’est toutefois pas toujours aisée à mettre en oeuvre, et on lui préférera
souvent son expression numérique.
b.2 Approximation numérique
Une deuxième définition de la dérivée généralisée d’une fonction f(t), plus générale que la
précédente (elle s’applique à une fonction causale ou non), peut être obtenue à partir de la
généralisation de la dérivée d’ordre entier. On obtient alors :

∞
X


α

Cn (k)f [(t − kh)]

 D f (t) =
k=0
(II.89)



n(n
−
1)(n
−
2)
.
.
.
(n
−
k
+
1)
1

 Cn (k) =
(−1)k
hn
k!
avec h infiniment petit.
L’expression (II.89) montre que la dérivation non entière d’une fonction prend en compte les
valeurs de cette fonction aux valeurs passées. Notons que dans le cas particulier d’une fonction
nulle pour t < 0, la somme étendue de k = 0 à k = ∞ se réduit à la somme de k = 0 à k = N ,
avec t = N h, h étant le pas d’échantillonnage.
c Module dynamique associé
La définition temporelle conduit à des algorithmes coûteux numériquement. Malgré cet inconvénient, cette approche reste très prisée des caoutchoutiers pour la simplicité de la réponse
II.3. Modélisation des propriétés dissipatives
47
en fréquence associée. En effet, par transformée de Fourier de la relation (II.86), on a
X
X
σ(ω) +
(iω)αk bk σ = µ0 +
(iω)βk ak k
(II.90)
k
ce qui donne la forme suivante pour le module dynamique
X
(iω)βk ak
µ0 +
µ? (ω) =
1+
k
X
(iω)αk bk
(II.91)
k
En tenant compte des observations expérimentales mentionnées précédemment, on pourra se
restreindre aux premiers termes. Nous donnons ci dessous le module dynamique associé à un
modèle de Kelvin Voigt fractionnaire
µ? (ω) = µα (1 + a (iω)α )
(II.92)
Et pour le modèle de Zener fractionnaire, on aura
µ? (ω) = µ∞
II.3.2
1 + (iω)α a
1 + (iω)α b
(II.93)
La viscoélasticité en grandes déformations
La prise en compte des grandes déformations en viscoélasticité fait encore l’objet de nombreuses recherches, et les approches utilisées peuvent être différentes. L’objectif de ce paragraphe
n’est donc pas de faire un inventaire bibliographique exhaustif de tous les modèles qui ont été
proposés et nous nous contenterons de présenter les approches les plus couramment rencontrées.
On séparera ainsi deux types d’approche :
– L’approche fonctionnelle, qui généralise l’intégrale héréditaire aux grandes déformations.
Ce type d’approche est largement discuté dans la thèse de A. SOULIMANI [75]. Dans certains cas, cette approche s’appuie également sur la formulation thermodynamique énoncée
plus haut, c’est le cas par exemple des modèles de SIMO [70] et de HOLZAPFEL [35] que
nous allons présenter.
– L’approche par variables internes, qui utilise les résultats de thermodynamique rappelés
au paragraphe II.1.7. Cette approche n’a pas été utilisée dans le cadre de cette étude, mais
elle fait par ailleurs l’objet de nombreux développements [26, 51, 2] et se doit donc d’être
signalée.
D’un point de vue modélisation, quelle que soit l’approche utilisée, il apparaı̂t plus judicieux
de séparer ces modélisations en fonction de la forme de la dissipation : la non linéarité peut en
48
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
effet être purement géométrique (correspondant simplement à la prise en compte des grandes
déformations), la dépendance par rapport à l’histoire des déformations étant linéaire. Ces approches sont quelquefois regroupées sous le terme de viscoélasticité linéaire finie. Le terme de
viscoélasticité finie regroupe les modélisations pour lesquelles les effets dissipatifs peuvent être
non linéaires. Ces modèles sont ainsi plus généraux [60]. Pour chacune de ces catégories, des
approches aussi bien fonctionnelles que thermodynamiques sont possibles.
II.3.2.1
a
Viscoélasticité linéaire en grandes déformations
Le modèle de Simo
Le modèle proposé par Simo est basé sur un découplage entre les réponses déviatorique et
isochore. Ceci est réalisé à l’aide d’une décomposition classique du gradient des déformations
1
F = J 3 F. De plus, le tenseur des contraintes est décomposé en une partie élastique et une
partie dissipative, la réponse élastique dérivant d’une énergie de déformation hyperélastique, et
la réponse visqueuse étant due à une équation différentielle linéaire. Cette représentation conduit
à une intégrale de convolution qui généralise les modèles viscoélastiques linéaires aux grandes
déformations.
Le modèle peut inclure également une modélisation de l’endommagement, toutefois nous ne
présentons ici que l’approche ayant pour but la prise en compte de la viscoélasticité. Ce modèle
aboutit à une formulation fonctionnelle, tout en s’appuyant sur une approche par variables
internes. L’énergie libre postulée est de la forme :
Ψ = Ψvol (J) + Ψ (I1 , I2 ) − Q : E + Ψ1 (Q)
(II.94)
où Q est une variable interne qui modélise la viscoélasticité. On suppose que cette variable
interne obéit à une équation différentielle linéaire semblable aux équations d’évolution de la
viscoélasticité linéaire. A partir de l’inégalité de Clausius Duhem, on aboutit finalement à une
expression fonctionnelle en configuration lagrangienne égale à

−2
−1

 S = J p C + J 3 DEV [H ]
t−s
Z t
(II.95)
−
d ∂Ψ

 H =
γ + (1 − γ) e τ
ds
ds ∂E
0
∂Ψvol
où p est une pression hydrostatique qui vaut
dans le cas compressible, et qui est indéterminée
∂J
quand on suppose une incompressibilité complète. DEV représente l’opérateur déviateur exprimé en configuration lagrangienne. (En appliquant la composition des dérivations, on montre
∂Ψ
∂Ψ
que DEV (
). τ est le temps de relaxation, et γ un coefficient adimensionnel γ ∈ [0, 1].
)=
∂E
∂E
Par analogie avec les modèles rhéologiques, on voit que γ = 0 correspond au modèle de Maxwell
simple, et que γ = 1 correspond à un solide élastique. Le passage en formulation eulérienne se
fait en utilisant les relations de passage. On a ainsi la forme eulérienne associée
h
i
T
σ = J p I + dev F H F
(II.96)
II.3. Modélisation des propriétés dissipatives
49
où dev désigne l’opérateur déviatorique en configuration eulérienne.
On montre
également que
2 ∂Ψ
∂Ψ T
dans le cas d’une énergie de déformation hyperélastique, dev F
=
F
b
, ce qui
J ∂b
∂E
correspond bien à la contrainte de Cauchy associée à une énergie de déformation déviatorique
hyperélastique.
b
Le modèle de Holzapfel
Holzapfel propose un modèle très similaire à celui de Simo. Le même découplage en énergie
déviatorique, énergie volumique est adopté, simplement cette fois plusieurs variables internes sont
considérées, ces variables jouant le rôle des contraintes en dehors de l’état d’équilibre statique.
La contrainte qui en résulte s’exprime comme une somme d’une contrainte hyperélastique et
d’une contrainte viscoélastique
∂Ψ X
+
Qα
+
∂E
N
S = J
p C−1
(II.97)
α=1
Les équations d’évolution des variables internes postulées correspondent à un modèle de Maxwell
généralisé, et s’écrivent
d ∂Ψ
1
Q̇α +
Q α = βα
τα
dt ∂E
(II.98)
Qα (0) = Qα0
où les βα sont des facteurs adimensionnels associés au temps de relaxation τα . En reportant la
résolution de l’équation différentielle (II.98) dans (II.97), on voit apparaı̂tre la généralisation du
modèle de Maxwell de la viscoélasticité linéaire. La seule différence provient du fait que l’élasticité
infinie n’est plus due à une élasticité linéaire, mais à une énergie de déformation hyperélastique
donnée par une partie déviatorique Ψ et éventuellement une énergie de déformation volumique
Ψvol dans le cas compressible. On remarque qu’en remplaçant dans le modèle (II.95) la fonction
t−s
X
−
− t
γ + (1 − γ) e τ par un noyau de relaxation de la forme G0 +
Gk e τk on retrouve de
k
même les noyaux de relaxation du modèle de Maxwell généralisé. On pourrait de même envisager
d’utiliser un modèle fractionnaire sans restreindre en rien la généralité.
c
Formulation utilisée dans le code de calcul ABAQUS
Le modèle implanté dans le code de calcul Abaqus est très similaire aux deux modèles présentés
précédemment. L’approche est simplement eulérienne au lieu d’être lagrangienne, et la formulation proposée se fait directement en partant d’une généralisation de la viscoélasticité linéaire sans
passer par la thermodynamique. Cette approche part de l’équation classique de la viscoélasticité
linéaire (II.71). Pour éviter les confusions, nous noterons dans cette partie G le coefficient de
cisaillement écrit µ dans (II.71), la partie déviatorique des contraintes étant toujours notée
50
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
classiquement s. En rajoutant la relation
e(t) =
1
s(t)
G0
et après intégration par parties, l’équation (II.71) s’écrit
Z
σ(t) = −p(t)I + G0 e(t) +
0
t
Ġ(τ )
s(t − τ ) dτ
G0
(II.99)
La fonction G choisie est de plus approximée à l’aide d’une série de Prony, conformément au
modèle de Maxwell généralisé présenté plus haut.
X
− t
G(t) = G0 +
G k e τk
k
ce qui permet d’écrire (II.99) sous la forme
σ(t) = −p(t)I + se −
X gk Z t
−τ
se (t − τ ) e τk dτ
τk 0
(II.100)
k
se désignant la partie déviatorique de la contrainte élastique à l’instant t, et les gk étant les
Gk
modules admimensionnels, gk =
. La généralisation aux grandes déformations se fait en
G0
supposant que le noyau de relaxation est toujours indépendant de la déformation. Pour étendre
la formulation (II.100) aux grandes déformations, il faut de plus ”transporter” la contrainte σ
exprimée à l’instant t vers sa valeur à l’instant t − τ . Cela est fait en introduisant le tenseur
gradient à l’instant t − τ , relatif à la déformation à l’instant t, et qui s’écrit
Ft (t − τ ) = F(t − τ ) F−1 (t)
Finalement, la formulation complète s’écrit

X gk Z t
− ττ

e

k dτ
σ(t)
=
−p(t)I
+
s
−
sym
[M(t
−
τ
)
]
e



τk 0

k


e
M(t − τ ) = F−1

t (t − τ )s (t − τ )Ft (t − τ )





∂Ψ


se = 2
b
∂b
(II.101)
où sym désigne la partie symétrique du tenseur M(t − τ ). Si l’on ramène ce modèle au modèle
rhéologique de Maxwell généralisé présenté plus haut, on constate que les contraintes dans les
cellules contenant un ressort et un amortisseur correspondent aux contraintes
gk
τk
Z
0
t
sym [M(t − τ ) ] dτ
de l’équation (II.101) et que la contrainte dans le ressort non relié à un amortisseur correspond
à la réponse hyperélastique infinie du matériau.
Pour les trois modèles qui viennent d’être présentés, le comportement est entièrement déterminé
par la donnée de l’énergie de déformation hyperélastique et de la fonctionnelle de relaxation.
II.3. Modélisation des propriétés dissipatives
51
La non linéarité qui a été introduite est purement géométrique, elle ne permet pas de rendre
compte des effets dissipatifs non linéaires. Nous allons illustrer le type de réponse que l’on peut
obtenir dans le cas de chargements simples, à partir du modèle (II.101).
Considérons un chargement de cisaillement simple, et notons γ le taux de cisaillement (figure
II.9).
UL
tan θ = γ =
e
θ
UL
e
L
Fig. II.9: Schématisation du cisaillement.
Le tenseur gradient des déplacements associé s’écrit



1 γ 0
1 −γ



−1
F(t) = 0 1 0
F (t) = 0 1
0 0 1
0 0

0

0
1

 I1 = 3 + γ 2

I2 = 3 + γ 2
(II.102)
La contrainte hyperélastique instantanée est donnée par la relation (II.53). A titre d’illustration,
considérons le cas où l’énergie de déformation hyperélastique ne dépend que du premier invariant
des déformations, par exemple un modèle de Yeoh (II.57). La contrainte déviatorique associée
s’exprime alors suivant


2Ψ1 γ(t)2 2Ψ1 γ(t) 0
∂Ψ


=  2Ψ1 γ(t)
(II.103)
s = 2
b
0
0
∂I1
0
0
0
Avec
Ψ1 (t) =
∂Ψ
= c10 γ(t) + 2 c20 γ(t)3 + 3 c30 γ(t)5
∂I1
dans le cas du modèle de Yeoh (II.57). Le calcul de sym(M(t − τ )) suivant la composante σ12
conduit à l’expression analytique suivante
sym (M (t − τ ))12 = Ψ1 (t − τ ) (1 + (1/2) (γ (τ )) (γ (t − τ ) − γ (τ )))
La convolution est alors évaluée pour un chargement sinusoidal. Les paramètres de la simulation
sont les suivants


c20 = −0.390 M P a
c30 = 0.219 M P a
 c10 = 1.03 M P a
(II.104)
g1 = 0.215
g2 =
0.27
g3 =
0.185


−1
−1
−1
τ1 = 0.307 s
τ2 =
0.0014 s
τ3 = 0.015 s
Ce modèle est également comparé au modèle viscoélastique linéaire équivalent, (modèle de Maxwell généralisé), de coefficient µ∞ = 2c10 , pour un faible taux de déformation (10%), et pour
52
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
un taux de déformation plus important de 50%. Le chargement imposé est un déplacement
sinusoidal de fréquence 20Hz.
Hystérésis à 20 Hz
250
Hystérésis à 20 Hz
1500
200
1000
150
Effort (N)
Effort (N)
100
50
0
−50
−150
Visco
hyperélastique
0
−500
o = linéaire
− = Visco
hyperélastique
−100
500
Viscoélastique linéaire
−1000
−200
−250
−0.5
0
−1500
−2
0.5
déplacement (mm)
−1
0
1
2
déplacement (mm)
(a) Amplitude de déformation = 10%
(b) Amplitude de déformation = 50%
Fig. II.10: Comparaison du modèle de Maxwell généralisé linéaire et du modèle hyperviscoélastique de Yeoh pour un chargement de cisaillement.
On voit clairement que le comportement aux faibles taux de déformation est similaire au
comportement viscoélastique linéaire, par contre la non linéarité apparaı̂t figure II.10b dès que
le niveau de déformation est élevé, et correspond à un effet purement géométrique.
II.3.2.2
Viscoélasticité non linéaire en grandes déformations
Dans le cas de grandes déformations viscoélastiques,
sipation est non linéaire, il est possible d’approximer le
développement en série fonctionnelle. Nous avons vu que
de comportement s’exprime en configuration lagrangienne
forme
S(t) = F { F (τ ) }
τ <=t
et plus généralement quand la discomportement non linéaire par un
d’une manière assez générale, la loi
sous forme d’une fonctionnelle de la
(II.105)
Pour les matériaux viscoélastiques, la relation fonctionnelle peut être considérée comme continue,
et être approchée à l’aide d’une série fonctionnelle de Volterra [27, 28, 29]
S(t) =
N
X
Sn (t)
(II.106)
n=1
où les Sn peuvent être développées en série d’intégrales multiples. Par exemple pour un développement
à l’ordre 2, on aura
Z ∞ Z ∞
S2 ij (t) =
Kijkl (τ1 , τ2 ) Ėij (t − τ1 ) Ėkl (t − τ2 ) dτ1 dτ 2
(II.107)
0
0
II.3. Modélisation des propriétés dissipatives
53
Pipkin [59] a utilisé la contrainte d’incompressibilité pour supprimer certains termes du développement
et pour rassembler tous les termes liés à la trace dans une pression hydrostatique indéterminée.
Il aboutit alors à la forme suivante du développement :
Z
−1
S(t) = −p(t) C
Z
t
Z
t
t
+
Z
−∞
t
+
−∞ −∞ −∞
t Z t Z t
Z
r1 (t − τ )Ė(τ )dτ +
t
−∞
Z
t
−∞
r2 (t − τ1 , t − τ2 )Ė(τ1 )Ė(τ2 )dτ1 dτ2
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 )T r Ė(τ1 )Ė(τ2 ) Ė(τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
Z
+
−∞
−∞
−∞
r4 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 )Ė(τ1 )Ė(τ2 )Ė(τ3 )dτ1 dτ2 dτ3 + ...
(II.108)
où les ri désignent les noyaux de Volterra d’ordre i, qui doivent être choisis de manière à assurer
le caractère viscoélastique. Ainsi, des noyaux constants permettront d’obtenir un comportement
purement élastique. Si les noyaux contiennent des multiples de la fonction dirac δ(t), on aura
dans le développement de la contrainte la contribution de termes en Ėij , et donc une résistance
visqueuse. Le comportement réel se situe bien entendu entre ces deux extrêmes. Remarquons
que le développement au premier ordre généralise l’intégrale héréditaire linéaire au cas où les
déformations ou les rotations sont grandes.
L’équation (II.108) correspond à un développement en série de Volterra à l’ordre 3. Les termes
d’ordre supérieurs peuvent également être calculés à partir de l’hypothèse d’isotropie. Toutefois,
plus on augmente le nombre de noyaux, plus la procédure d’identification des paramètres devient
complexe. Généralement on se borne à l’utilisation des séries jusqu’à l’ordre 3 du développement.
Lockett [50] a proposé des techniques d’identification expérimentale pour caractériser les noyaux
jusqu’à cet ordre, à partir d’essais de relaxation dans différentes directions. Il a noté qu’il était
illusoire de pousser le développement à des ordres supérieurs, compte tenu de la précision escomptée sur S et E.
Le modèle précédent est général et permet de faire apparaı̂tre les non linéarités aussi bien
géométriques que dissipatives.
II.3.2.3
L’approche par variables internes
L’approche fonctionnelle s’appuie le plus souvent sur une généralisation empirique de la relation contrainte déformation de la viscoélasticité linéaire. Une autre démarche de modélisation
consiste à employer l’approche par variables internes ; celle-ci utilise la méthode de l’état local
décrite au paragraphe II.1.7. Elle a été notamment utilisée pour étendre aux grandes déformations
les comportements décrits par des variables d’état, comme par exemple les modèles rhéologiques.
Ainsi, une étude comparative des modèles de Zener et de Poynting Thompson en grandes
déformations est menée dans la thèse de CARPENTIER [26], et également par HUBER et
al. [37]. Cette généralisation se fait en utilisant la notion d’état intermédiaire introduite par
SIDOROFF [67, 68]. L’idée générale est de postuler l’existence d’un état intermédiaire Ci pour
passer de l’état de référence C0 à l’état actuel Ct . Le tenseur F se décompose alors suivant
54
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
F = Fe Fa , où Fe désigne la déformation élastique et Fa la déformation anélastique. L’énergie
libre s’écrira alors suivant Ψ = Ψ(C)+Ψ(Ce )+Ψ(Ca ) . La modélisation passe ainsi par un choix
adéquat des différents potentiels. Les lois de comportement associées aux modèles rhéologiques
classiques en viscoélasticité linéaire peuvent être obtenues à l’aide de ce formalisme. Cela est largement discuté dans [18]. On fait de même en grandes déformations. Toutefois, si en hypothèse
des petites déformations la décomposition du gradient des déformations F = Fe Fa conduit à une
décomposition additive des déformations = e +a , ce n’est plus le cas en grandes déformations.
Toute la démarche de modélisation réside alors dans le choix des potentiels. Avec ce type de
formulation on pourrait envisager une dissipation non linéaire. La principale limitation provient
de l’identification du modèle : pour décrire un comportement complexe, il faut en fait multiplier
le nombre de variables internes, ce qui rend la démarche d’identification assez lourde. De plus,
dans le cas de matériaux à mémoire, la formulation fonctionnelle semble plus intuitive, puisqu’il
est très difficile dans l’approche par variables internes de donner une interprétation physique à
ces variables.
II.3.3
Les modèles de frottement
Pour prendre en compte la dépendance en amplitude, certains auteurs [20, 19] proposent de
rajouter des modèles de frottement, le frottement considéré étant une amélioration du modèle
de Coulomb schématisé ci dessous.
σ
Y
e
p
E
Y
−Y
Fig. II.11: Frottement de Coulomb en série avec un ressort.
Ce type de modélisation aboutit dans le cas unidirectionnel à la modélisation rhéologique
suivante :
1
3
2
F
4
.
Fig. II.12: Modèle élasto visco ”plastique”.
II.3. Modélisation des propriétés dissipatives
55
Dans ce modèle, la combinaison du ressort (2) et de l’amortisseur (3) permet d’obtenir les
effets de relaxation, et plus généralement la dépendance temporelle ou fréquentielle du comportement. L’amortissement est obtenu à l’aide de l’action de l’amortisseur (3) et du frotteur
(4). L’hystérésis observée à basse fréquence est alors identifiée à l’aide de l’effort de friction.
Cela permet, à fréquence fixée, d’identifier la dépendance en amplitude du module dynamique.
La rigidification en fréquence est identifiée à une amplitude de débattement fixé [62, 3]. La
dépendance en fréquence peut bien entendu être améliorée en remplaçant le ressort/amortisseur
par un modèle de Maxwell généralisé ou par un modèle fractionnaire. L’effort total du modèle
(II.12) est obtenu suivant F = Fe + Fv + Ff . Plusieurs formes de l’effort de friction ont été
proposées dans la littérature. Ainsi, Coveney [20, 19] a proposé un modèle résultant de la mise
en série du modèle II.11, tous les ressorts ayant même raideur. L’effort résultant est obtenu en
faisant tendre le nombre de ressorts vers l’infini. Berg a proposé la forme suivante pour l’effort
de frottement
− s
Ff = F f s +
(Ff max − Fs ) croissant
x2 (1 − µ) + ( − s )
(II.109)
− s
Ff = F f s +
(Ff max + Fs ) décroissant
x2 (1 + µ) − ( − s )
Ff s
. Ff max correspond au maximum
Ff max
de l’effort de friction, et x2 est la déformation nécessaire pour obtenir la moitié de Ff max . Les
paramètres Ff s et s sont initialisés aux valeurs d’effort et de déformation au début de chaque
cycle d’hystérésis, et sont réactualisés au fur et à mesure. La figure (II.13) schématise une boucle
d’hystérésis obtenue avec le modèle de Berg associé à une raideur élastique en parallèle, pour
un chargement sinusoidal de fréquence 1Hz, pour deux niveaux d’amplitude, les paramètres de
simulation étant Ke = 3150N/mm, Ff max = 1750N/mm, x2 = 0.13mm
où Ff max et x2 sont les paramètres du modèle, et µ =
5000
4000
3000
2000
Force
1000
0
−1000
−2000
−3000
−4000
−5000
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ε
Fig. II.13: Simulation d’un cycle d’hystérésis à l’aide du modèle de frottement (II.109).
On voit clairement apparaı̂tre l’intérêt de l’approche : la raideur diminue en effet quand l’amplitude du débattement augmente, ce qui est observé expérimentalement dans les caoutchoucs.
Lambertz [62] a également proposé la forme suivante de l’effort frictionnel :
Ff = R ln(1 + ρ ∆ )
56
Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères
où ∆ correspond au déplacement relatif, et change de signe après le point changeant. L’inconvénient principal de ces modèles est que les effets dissipatifs associés à l’amplitude et ceux
associés à la viscosité se trouvent découplés, ce qui peut être mis en défaut expérimentalement.
On trouvera en référence [20] une proposition d’amélioration, en considérant le même modèle
de frottement continu obtenu par mise en série du modèle (II.11), mais cette fois l’effort dans
chaque patin dépend de la vitesse de chargement.
Un autre inconvénient est qu’il s’agit de modèles macroscopiques unidimensionnels. Les caractéristiques doivent ainsi être identifiées à nouveau dès que l’on change la géométrie d’une
pièce, ou la nature de la sollicitation (cisaillement, compression), ce qui limite grandement leur
utilité en particulier d’un point de vue industriel.
57
Chapitre III
Modélisation simplifiée pour la
dynamique des véhicules
L’étude bibliographique présentée précedemment nous a permis de passer en revue différents
modèles de comportement pour les aspects grandes déformations et dissipatifs des élastomères.
Cette bibliographie n’est bien entendu pas exhaustive. Nous n’avons notamment pas abordé
les modèles de prise en compte de l’endommagement, ni les couplages effets mécaniques/effets
thermiques. Des propositions de modélisation de l’endommagement, principalement de l’effet
Mullins, peuvent être trouvées par exemple dans [2, 52]. Quant au couplage avec les effets
thermiques, il est largement discuté dans [51]. Dans ce document, nous nous intéresserons uniquement à la modélisation des effets mécaniques, conservatifs et dissipatifs.
Dans les différents modèles présentés précedemment, nous avons évoqué aussi bien des lois
de comportement microscopiques que des modèles rhéologiques dont la généralisation aux chargements muldimensionnels est encore dans le domaine de l’investigation [19]. C’est notamment
le cas pour les modèles de frottement sec continu.
Pour analyser des systèmes de suspension qui contiennent des cales en caoutchouc, on fait
appel en général à des logiciels multicorps. Dans ce type de logiciels, les plots sont modélisés
en utilisant un système d’équations force déplacement. Le plus souvent, les paramètres de ces
équations sont des coefficients macroscopiques, recalés à partir d’essais sur pièce. En ce sens, ils
ne sont souvent pas prédictifs pour d’autres types de sollicitation, ou pour un changement de
géométrie.
Pour obtenir des courbes effort déplacement prédictives pour toutes les géométries et toutes
les sollicitations, il faut s’appuyer sur la loi de comportement du matériau. Dans le cas de
géométries ou de chargements complexes, on peut par exemple calculer la réponse de chacune de
ces pièces à l’aide d’un code éléments finis. Le problème à résoudre est fortement non linéaire,
et ne permet pas d’avoir une expression analytique effort déplacement. Ce type de démarche est
très lourd à mettre en oeuvre numériquement, et inadapté si on veut simuler le comportement
global du véhicule. Remarquons par ailleurs que toutes les lois mentionnées précédemment ne
sont en général pas implantées dans les codes éléments finis standards.
58
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
A partir des deux considérations évoquées ci dessus, nous avons cherché à développer une
modélisation permettant d’obtenir des courbes effort déplacement, en temporel ou en fréquentiel,
de manière analytique. L’objectif final de la démarche est d’insérer ces modèles dans des simulations de réponse de cale. Le modèle développé doit être prédictif et physique, il faut donc partir
d’une loi de comportement représentant au mieux le comportement de la pièce. Par ailleurs, le
nombre de degrés de liberté doit être réduit pour permettre d’obtenir une approximation analytique utilisable. Ce chapitre a pour objet de présenter la démarche de modélisation retenue,
ainsi que des applications dans le cas conservatif et dans le cas dissipatif. On se limitera dans ce
chapitre à des modèles viscoélastiques linéaires, la modélisation des effets dissipatifs non linéaires
sera discutée dans les chapitres ultérieurs. Une première partie présente la méthode utilisée, une
deuxième partie montre des applications pour des lois de comportement hyperélastiques, et la
dernière partie montre des applications à des lois de comportement viscoélastiques linéaires.
III.1
Méthode utilisée
III.1.1
Expression approchée du champ de déplacement
Afin d’avoir le modèle le plus simple possible, nous avons choisi d’approximer uniquement
le champ de déplacement. On définit une approximation du déplacement suivant le principe de
Rayleigh-Ritz, en posant :
{ u(M ) } =
N
X
αi
∀M (x, y, z)
Φi (M )
(III.1)
i=1
avec :


 u1 (M )
{ u(M ) } =
u2 (M )


u3 (M )
Les






i

 Φ1 (M )
i
Φ (x, y, z) =
Φi2 (M )

 i
Φ3 (M )





sont des fonctions choisies de manière à satisfaire les conditions aux limites cinématiques. Par
exemple, dans le cas de géométries simples, il pourra s’agir de fonctions analytiques. Pour des
géométries plus complexes, on utilisera des champs de déplacement issus d’un calcul éléments
finis.
Remarquons par ailleurs que les cales ont en général des géométries relativement simples. Il
s’agit bien souvent de formes cylindriques, avec des armatures rigides en acier, l’intérieur étant
constitué de caoutchouc. Cette considération nous permet d’espérer obtenir une bonne approximation de la réponse avec peu de champs si ceux ci sont judicieusement choisis.
Les seules inconnues de notre problème sont les paramètres cinématiques αi . Elles seront déterminées
III.1. Méthode utilisée
59
en appliquant le principe des travaux virtuels, écrit en configuration lagrangienne, au système.
Dans le cas conservatif, le principe des travaux virtuels est équivalent à l’utilisation du principe
de l’extremum de l’énergie potentielle [36, 80].
III.1.2
III.1.2.1
Détermination des paramètres αi
Cas conservatif
Pour la résolution d’un problème quasi statique, nous considérons que le matériau obéit à
une loi de comportement hyperélastique. Dans ce cas, la contrainte dérive d’une fonction énergie
de déformation, et la résolution du problème passe par l’écriture du principe d’extremum de
l’énergie totale. On cherchera alors le minimum de la fonctionnelle suivante :
Z t2
(−Ψ(αi ) + Wext (αi )) dt = 0
(III.2)
t1
où :
Ψ est l’énergie de déformation élastique
Wext est le travail des efforts extérieurs
La détermination des paramètres de Ritz se fait alors en reportant l’approximation (III.1) dans
(III.2). On aura ainsi à résoudre le système suivant
Z
∂Wext
∂Ψ
=
dΩ0
∀ αi
(III.3)
∂αi
Ω0 ∂αi
On peut également, pour un jeu de paramètres αi fixé, calculer l’effort résultant de manière
analytique.
III.1.2.2
Cas dissipatif
Pour prendre en compte la dissipation, nous utiliserons le principe des travaux virtuels écrit
en configuration lagrangienne [38]. L’obtention de cette forme variationnelle se fait classiquement
à partir des équations (II.28), que l’on multiplie par une fonction test. L’intégration sur le volume
non déformé Ω0 conduit, après intégration par parties, à la forme scalaire suivante :
Z
Z
Z
Z
∂u? i
?
i ?
Pij
dΩ0 =
fi u i dΩ0 +
T u i dS0 −
ρ0 γi u? i dΩ0
(III.4)
∂Xj
Ω0
Ω0
∂Ω0
Ω0
u? étant un champ de déplacement virtuel défini dans la configuration de référence non déformée,
et cinématiquement admissible. Les lois de comportement étant plus généralement écrites en
fonction de S, nous exprimons III.4 en fonction du second tenseur de Piola Kirchhoff. On note
? le travail virtuel des efforts intérieurs, W ? le travail virtuel des efforts extérieurs, et W ?
Wint
ext
acc
60
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
le travail virtuel des quantités d’accélération. On a alors

?
? + W?
Wacc
= Wint

ext



Z
Z



∂u? i
∂ui
∂u?i

?

W
=
−
S
dΩ
−
S
dΩ0
 int
ij
0
kj
∂Xj Z
∂Xj
Ω0 ∂Xk
Z Ω0
 W?

fi u? i dΩ0 +
T i u? i dS0

ext =


Ω
∂Ω
0
0
Z




?
 Wacc
=
ρ0 γi u? i dΩ0
(III.5)
Ω0
Enfin, dans le cas où l’on applique une force F (t) sur l’une des armatures de la cale, et en
négligeant les effets d’inertie, le travail virtuel des efforts extérieurs se réduit à
?
Wext
= F (t)U ?
(III.6)
où U ? désigne le déplacement virtuel de l’armature mobile. L’expression du principe des travaux
virtuels est une forme variationnelle générale, pour laquelle nous n’avons pas particularisé un
matériau. Il faudra ainsi remplacer S par son expression en fonction des déformations, pour
chacune des lois de comportement considérées, pour avoir l’expression de l’effort associé à l’approximation de Ritz. Les champs de déplacement utilisés sont de la forme :
n
o

X
k

{u(X,
t)}
=
αk (t) Φ (X)


k
n
o
X
(III.7)
∗
k
∗ (X, t)} =

{u
α
(t)
Φ
(X
)

k

k
On aura alors une expression du principe des travaux virtuels, en fonction des tenseurs de
déformation connus EkL et EkNL , associés au champ de Ritz Φk , où l’on a noté, pour chaque
champ Φk
!
∂Φkj
1 ∂Φki
1 ∂Φkl ∂Φkl
k
Eij =
+
+
)
2 ∂Xj
∂Xi
2 ∂Xj ∂Xi
(III.8)
{z
}
|
{z
} |
kL
Eij
kN L
Eij
Si l’on interpole la cinématique avec uniquement un seul champ {Φ}, l’équation (III.5a) s’écrit
en fonction du paramètre de Ritz
Z
Z
?
L
NL
Wint
= −α? (t)
Sij (t)Eij
dV − 2 α? (t) α(t)
Sij (t)Eij
dV
(III.9)
Ω
Ω
0
0
où EL et ENL sont les déformations associées au champ {Φ}. Pour avoir l’approximation de
l’effort en fonction du temps, on reporte cette dernière expression dans l’égalité (III.5a), en
ayant utilisé au préalable (III.6). Cela permet d’écrire
Z
Z
L
NL
F (t)uC.A =
Sij (t)Eij dV0 + 2α(t)
Sij (t)Eij
dV0
(III.10)
V0
V0
où uC.A est le déplacement appliqué sur l’armature mobile. L’expression (III.10) est la forme
générale de l’effort non linéaire. Pour avoir l’expression complète de l’effort associé à une loi
III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques
61
de comportement donnée, il suffit de remplacer le tenseur S par son expression en fonction de
EL et ENL . L’écriture précédente est faite uniquement pour un seul champ, le fait d’augmenter
le nombre de champs fait intervenir des produits croisés entre les déformations associées aux
différents champs de Ritz. Les paragraphes qui suivent détaillent l’application de la démarche
pour la détermination des relations efforts/déformations d’une cale en caoutchouc à comportement hyperélastique puis viscoélastique. La réponse obtenue avec la modélisation simplifiée est
ensuite comparée à un calcul complet éléments finis.
III.2
Application à des lois de comportement hyperélastiques
On cherche dans un premier temps à évaluer la validité de la méthode proposée pour reconstituer les courbes de rigidité pour des grandes déformations statiques.
La première partie de ce paragraphe donne un exemple d’obtention de courbe de rigidité, pour
une forme simple de potentiel de déformation. Cette forme a été choisie pour sa simplicité dans
l’expression analytique de la courbe de rigidité. Une comparaison a ensuite été faite avec un
calcul éléments finis (ABAQUS), pour une cale de géométrie simple. Dans le cas de sollicitations
unidirectionnelles, nous nous limitons dans un premier temps à un seul champ de déplacement.
Nous avons également testé l’amélioration introduite par la prise en compte de plusieurs champs
de déplacement. Dans la dernière partie, nous chercherons à étendre notre démarche au couplage
des sollicitations dans plusieurs directions.
III.2.1
Démarche de calcul de la courbe de rigidité
Pour une sollicitation unidirectionnelle, nous utilisons un seul champ de déplacement




Φ
1


{Φ} =
Φ2




Φ3
et nous cherchons la solution du problème sous la forme {u(M )} = α {Φ(M )}. L’énergie de
déformation Ψ pourra alors s’exprimer simplement en fonction de α, seule inconnue du problème.
En effet, cette énergie de déformation pour un matériau isotrope dépend des invariants I1 , I2
et J des tenseurs de déformation. Or ces invariants se calculent en fonction du champ {u(M )}
connu et du paramètre α, comme l’illustrent les calculs qui suivent.
On écrit d’abord le tenseur gradient des déformations en fonction de α et de Φ :


∂Φ1 ∂Φ1 ∂Φ1


 ∂X
1 0 0
∂Y
∂Z 





∂Φ2 ∂Φ2 ∂Φ2 




F = 0 1 0 + α 



∂X
∂Y
∂Z


(III.11)

∂Φ3 ∂Φ3 ∂Φ3 
0 0 1
∂X
∂Y
∂Z
= I + α GradΦ
62
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
On note A la matrice GradΦ. L’expression des invariants est donnée dans (II.43), nous pouvons
l’exprimer sous forme polynomiale en fonction du champ connu, et du paramètre α. En effet, à
partir de III.11, on peut avoir l’approximation du tenseur de déformation C. On a ainsi

C = FT F = I + α(A + AT ) + α2 AT A




(III.12)
C2 = I + 2α(A + AT ) + α2 [2 AT A + (A + AT ) (A + AT )]




+ α3 [(A + AT ) AT A + AT A (A + AT )] + α4 AT A AT A
On en déduit l’expression des invariants en fonction du paramètre de Ritz


I1 = tr(C)





= 3 + 2 α tr(A) + α2 tr(AT A)





= i0 + i1 α + i2 α 2

(III.13)

1 2


I2 =
I1 − tr(C2 )


2





1

T
2


= 3 + 2 α tr(A + A ) + α
2tr(AT A) + tr(A + AT ) tr(A + AT )


2






1 

−
tr (A + AT ) (A + AT )


2



1 3 T
T
T
T
+
tr(A
+
A
)tr(A
A)
+
tr(A
A)tr(A
+
A
)
−
tr
(A + AT )AT A
α



2






− tr AT A(A + AT )






1 4

T
T
T
T

+
tr(A
A)
tr(A
A)
−
tr(A
AA
A)
α


2







= ii0 + ii1 α + ii2 α2 + ii3 α3 + ii4 α4

(III.14)
On peut de même exprimer le déterminant de la transformation en fonction des dérivées intervenant dans (III.11). En notant Aij la composante A[i, j] intervenant dans (III.11), on aura
J
= 1 + α tr(A) + α2 (A11 A22 + A11 A33 + A22 A33 − A23 A32 + A21 A12 − A31 A13 )
+ α3 ( A11 A22 A33 + A21 A13 A32 + A31 A12 A23 − A11 A23 A32 − A21 A12 A33 − A31 A13 A22 )
= j0 + j 1 α + j 2 α 2 + j 3 α 3
(III.15)
La courbe de rigidité est alors ensuite obtenue par minimisation de l’énergie potentielle. Nous
aurons ainsi
Z
δ
( Ψ(α) − Wext (α) ) dΩ0 = 0
(III.16)
Ω0
III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques
63
Pour une sollicitation simple (par exemple un déplacement de cisaillement, de compression radiale, ... sur une armature de la cale), le travail des efforts extérieurs vaut :
Wext = F.uimp = αF.U imp
uimp est le déplacement imposé sur l’armature mobile, on le recherche sous la forme αU imp ,
U imp étant le déplacement de l’armature mobile associé au champ {Φ}. La courbe de rigidité
sera alors obtenue par résolution du système
Z
∂Ψ
dΩ0 = F U imp
(III.17)
∂α
Ω0
soit
F
=
1
Z
U imp
Ω0
∂Ψ ∂I1
dΩ0 +
∂I1 ∂α
Z
Ω0
∂Ψ ∂I2
dΩ0 +
∂I2 ∂α
Z
Ω0
∂Ψ ∂J
dΩ0
∂J ∂α
(III.18)
où les expressions de I1 (α), I2 (α) et J(α) sont données en (III.14) et (III.15). Par exemple dans
le cas d’une énergie de déformation de Mooney Rivlin compressible Ψ = c10 (I1 − 3) + c01 (I2 −
1
3) +
( J − 1 )2 , l’expression analytique de (III.18) sera
D
Z
Z
Z
∂I1
∂I2
2
∂J
imp
F (α)U
=
c10
(J(α) − 1)
dΩ0 + c01
dΩ0 +
dΩ0
D Ω0
∂α
Ω0 ∂α
Ω0 ∂α
Z
Z
=
c10
i1 dΩ0 + c01
i2 dΩ0
+
α
Ω0
c10
+ α2
Ω0
Z
Z
c01
Ω0
Ω0
Z
2 i2 dΩ0 + c01
3 ii3 dΩ0 +
2
D
Z
Ω0
Z
Ω0
2
2 ii2 dΩ0 +
D
3 j1 j2 dΩ0
Z
Z
Ω0
j1 j1 dΩ0
2
+
c01
4 j1 j3 + 2 j22 dΩ0
4ii4 dΩ0 +
D Ω0
Ω0
Z
Z
+ α4
5j2 j3 dΩ0 + α5
3j3 j3 dΩ0
α3
Ω0
Ω0
(III.19)
Pour toutes les valeurs de α, on a ainsi une forme polynomiale, qui prend en compte la géométrie
de la pièce, et les coefficients matériau. Le même calcul peut être fait pour toutes les formes
d’énergies de déformation polynomiale du paragraphe II.2.3.1, et utilise de la même manière
l’approximation des invariants (III.14)
Z et (III.15). ZOn voit par contre apparaı̂tre dans (III.19),
par l’intermédiaire des coefficients
Ω0
i1 dΩ0 et
Ω0
i2 dΩ0 , une limitation due au choix de
l’énergie de déformation. En effet, si l’on n’utilise pas les invariants réduits, on a un état de
contrainte non nul quand la déformation est nulle. Pour prévenir ce problème sans utiliser les
invariants réduits, il faut rajouter à l’énergie de déformation hyperélastique des termes correctifs
de manière à assurer la nullité des contraintes à l’origine des déformations [16].
A partir des expressions développées précédemment, on voit que, dans le cas d’une énergie de
déformation s’exprimant sous forme polynomiale en fonction des invariants, on aura une expression polynomiale très simple de la courbe de rigidité, les coefficients du polynôme dépendant des
64
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
coefficients de l’énergie de déformation (paramètre matériau), du champ de déplacement choisi
pour l’interpolation et des caractéristiques géométriques de la pièce.
Nous avons choisi de corréler le modèle avec un calcul éléments finis complet. Pour ne pas
pénaliser le modèle, nous adopterons la même énergie de déformation que celle utilisée dans le
code de calcul. Celle ci s’exprimera en fonction d’une énergie de déformation écrite sous forme
découplée (partie déviatoire, partie volumique), la partie déviatoire étant donnée par une forme
de Mooney Rivlin :
Ψ = C10 (I1 − 3) + C01 (I2 − 3) +
1
(J − 1)2
D

2
 I1 = J − 3 I1
Avec :

I2 = J − 3 I2
4
(III.20)
(III.21)
2
D est relié au paramètre de compressibilité K par K = . L’utilisation des invariants réduits
D
nous interdit ainsi d’avoir une expression analytique polynomiale. Toutefois, la démarche est
toujours valide mais conduira à une évaluation numérique des coefficients. L’objectif est de
tester notre démarche en la comparant à un calcul éléments finis équivalent. Nous adoptons
ainsi l’algorithme suivant pour l’évaluation de la courbe de rigidité :
– Choix d’un champ cinématiquement admissible et calcul éléments finis pour récupérer la
déformée
– Boucle B1 sur les valeurs de α : pour chaque valeur de α
– Boucle B2 sur les éléments. Pour chaque élément du maillage
– Récupération des déplacements nodaux {Unod }, {Vnod },{Wnod }, et des coordonnées des noeuds X, Y, Z
– Boucle B3 sur les points d’intégration. Pour chaque point de Gauss
– Calcul des dérivées des fonctions d’interpolation {Nx }t ,{Ny }t ,{Nz }t .
– Calcul de la matrice GradΦ.
– Calcul des coefficients ik , iik , jk intervenant dans (III.14), et (III.15).
– Calcul de









∂I1
∂α
= −
∂I2


∂α





 ∂Ψvol
∂α
= −
=
2 ∂I1
2 ∂J − 5
J 3 I1 + J − 3
3 ∂α
∂α
4 ∂I2
4 ∂J − 7
J 3 I2 + J − 3
3 ∂α
∂α
2
∂J
(J − 1)
D
∂α
(III.22)
III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques
65
– Calcul de
Z
Ω0
PI
X NX
∂Ψ
∂Ψ
wp
dΩ =
(ξp , ηp , τp )
∂α
∂α
e
p=1
= C10
PI
X NX
e
p=1
NP I
PI
X NX
∂I1
∂I2
∂J
2 X
wp
wp
wp (J − 1)
+ C01
+
∂α
∂α
D
∂α
e
p=1
p=1
(III.23)
où NPI est le nombre de points d’intégration répartis dans Ωe , (ξp , ηp , τp )
sont les coordonnées paramétriques du point d’intégration p, wp est le poids
associé au point d’intégration p.
– Fin de la boucle B3 sur les points d’intégration
– Fin de la boucle B2 sur les éléments
imp
– Calcul du déplacement associé U = αUABQ
Z
∂Ψ
1
– Calcul de l’effort associé F = imp
dΩ0
UABQ Ω0 ∂α
– Fin de la boucle B1 sur α
On voit dans cet algorithme la contrainte introduite par l’utilisation des invariants réduits.
5
En effet, dans les expressions (III.22), les fonctions J(α)− 3 dépendent de α de manière non
polynomiale, et les expressions doivent être évaluées numériquement pour chaque valeur de ce
paramètre. Toutefois, le résultat est obtenu de façon très rapide.
III.2.2
III.2.2.1
Exemple de validation : Cas d’une énergie de déformation hyperélastique
compressible
Comparaison modèle/calcul éléments finis
Pour vérifier si l’approximation retenue n’est pas trop grossière, les formes analytiques
doivent être comparées à une solution de référence. Cette solution est obtenue par un calcul
éléments finis complet, avec le code de calcul ABAQUS. La pièce utilisée pour la validation est
schématisée en figure (III.1).
Dint
Dext
L
Fig. III.1: Schématisation du plot cylindrique utilisé pour la validation.
66
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
Il s’agit d’un plot cylindrique creux, de longueur L = 60mm, de diamètre interne
Dint = 18mm, de diamètre externe Dext = 34mm. Au niveau des diamètres internes et externes, il y a une armature en acier, supposée infiniment rigide. Nous allons comparer les résultats
obtenus par la modélisation simplifiée à un résultat obtenu par un calcul éléments finis complet, et ce pour plusieurs cas de chargement rencontrés dans l’utilisation pratique de ces pièces.
Pour chacun de ces chargements, l’armature interne est fixe. Un déplacement de cisaillement, de
compression radiale, de torsion ou de rotation conique est appliqué sur l’armature externe. Les
paramètres de l’énergie de déformation hyperélastique utilisée sont les suivants
c10 = 0.448 M P a
(III.24)
c01 = −0.0137 M P a
Ces coefficients correspondent à des coefficients de la loi de Mooney Rivlin identifiés à partir
d’essais de cisaillement, de traction simple, et de traction biaxiale sur des échantillons d’un
mélange produit par CFGOMMA. Nous allons tester la validité de notre algorithme pour plu2
sieurs valeurs du paramètre de compressibilité K = . Le calcul de l’effort se fera en utilisant
D
l’algorithme (III.2.1). Pour chaque cas de chargement, nous comparons les résultats obtenus
quand le champ utilisé est un champ ”petites déformations”, et quand le champ utilisé est un
champ ”grandes déformations” (dernier point de calcul). Le résultat sera comparé à un calcul
éléments finis, obtenu avec un maillage de 880 noeuds, et 640 éléments hexaédriques.
a
Chargement en compression radiale
Pour ce type de chargement, l’armature interne est fixe. On impose un déplacement dans la
direction X à tous les noeuds de l’armature externe, conformément à la figure suivante :
F
F
F
F
Fig. III.2: Schématisation du chargement de compression radiale.
Les figures qui suivent montrent les résultats obtenus pour plusieurs valeurs du paramètre
K. On a une très bonne corrélation pour le cas de mélanges compressibles (figures III.3 à
III.6). Par ailleurs, pour ces valeurs du module de compressibilité, on arrive à reproduire la
non linéarité de la courbe à partir d’un champ cinématiquement admissible initial, jusqu’à des
taux de déformation assez élevés. On constate figures III.3a et III.3b que le choix de la fonction
d’interpolation {Φ} peut influencer l’estimation de la courbe de rigidité. En effet l’utilisation
III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques
67
d’un champ correspondant au dernier point de calcul figure III.3b fournit une meilleure interpolation, ceci étant lié à la bonne prise en compte des effets de compressibilité plus importants
dans cette zone.
5000
Essai de compression radiale, D=100
4500
4500
4000
4000
3500
3500
3000
Effort −N
Effort −N
3000
Essai de compression radiale, D=100
2500
2500
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
0
0
1
2
3
Déplacement − mm
4
0
0
5
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en compression
1
2
3
Déplacement − mm
4
5
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en compression
Fig. III.3: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=0.02 MPa (D=100), o = modèle, - = calcul éléments finis.
Essai de compression radiale, D=50
Essai de compression radiale, D=50
3500
3000
3000
2500
2500
Effort −N
3500
Effort −N
2000
1500
2000
1500
1000
1000
500
500
0
0
1
2
3
Déplacement − mm
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en compression
4
0
0
1
2
Déplacement − mm
3
4
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en compression
Fig. III.4: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=0.04 MPa (D=50), o = modèle, - = calcul éléments finis.
68
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
Essai de compression radiale, D=1
Essai de compression radiale, D=1
4000
3500
3500
3000
3000
2500
2500
Effort −N
Effort −N
4000
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
0
0
0.5
1
1.5
2
Déplacement − mm
2.5
0
0
3
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en compression
0.5
1
1.5
2
Déplacement − mm
2.5
3
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en compression
Fig. III.5: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis.
Essai de compression radiale, D=0.5
Essai de compression radiale, D=0.5
7000
8000
6000
7000
6000
5000
Effort −N
5000
Effort −N
4000
3000
4000
3000
2000
2000
1000
0
0
1000
1
2
Déplacement − mm
3
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en compression
4
0
0
1
2
Déplacement − mm
3
4
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en compression
Fig. III.6: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=1 MPa (D=0.5), o = modèle, - = calcul éléments finis.
b
Chargement en rotation conique
Les mêmes comparaisons sont faites dans un cas de rotation conique. Ce chargement consiste
III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques
69
à faire subir aux noeuds appartenant à l’armature externe une rotation autour de l’axe Y,
l’armature interne étant fixe.
α
Fig. III.7: Schématisation du chargement de rotation conique
Comme pour le chargement précédent la corrélation obtenue est satisfaisante tant que les
ordres de grandeurs des coefficients de compressibilité et de cisaillement sont semblables (figures
III.8 et III.9). La non linéarité de la courbe est bien reproduite jusqu’à des angles de rotations
de 0.2 radians (figures III.8a et III.9a). Les effets étant plus fortement non linéaires, le résultat
obtenu est bien meilleur dans le cas où le champ interpolé est le champ final (voir les figures
III.8b et III.9b).
4
14
x 10
Essai de rotation conique, D=100
4
12
12
x 10
Essai de rotation conique, D=100
10
Couple (N/rad)
Couple −N/rad
10
8
6
4
6
4
2
2
0
0
8
0.05
0.1
0.15
Angle (radians)
0.2
0.25
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en rotation conique
0
0
0.05
0.1
0.15
Angle (radians)
0.2
0.25
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en rotation conique
Fig. III.8: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique,
module de compressibilité K=0.02 MPa (D=100), o = modèle, - = calcul éléments finis.
70
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
4
16
4
Essai de rotation conique, D=1
x 10
16
12
12
Couple −N/rad
14
Couple −N/rad
14
Essai de rotation conique, D=1
x 10
10
10
8
6
8
6
4
4
2
2
0
0
0.05
0.1
0.15
Angle (radians)
0.2
0.25
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en rotation conique
0
0
0.05
0.1
0.15
Angle (radians)
0.2
0.25
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en rotation conique
Fig. III.9: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique,
module de compressibilité K=2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis.
c
Chargement en torsion
Les figures qui suivent présentent les résultats obtenus dans un cas de chargement en torsion.
Cette fois l’armature interne est encastrée, les noeuds de l’armature externe se déplacent d’un
angle θ autour de l’axe du cylindre Z.
θ
Fig. III.10: Schématisation du chargement de torsion.
Les mêmes remarques qu’en cisaillement ou rotation conique s’appliquent (voir figures (III.11)
et (III.12)).
III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques
Essai de torsion, D=100
4
2
x 10
x 10
champ final
Abaqus
1.5
Effort −N
Effort −N
1.5
1
0.5
0
Essai de torsion, D=100
4
2
champ initial
Abaqus
71
1
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.25
0
0.05
Angle (radians)
0.1
0.15
0.2
0.25
Angle (radians)
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en torsion
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en torsion
Fig. III.11: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement en torsion, module
de compressibilité K=0.02 MPa (D=100), o = modèle, - = calcul éléments finis.
Essai de torsion, D=1
4
2.5
x 10
Essai de torsion, D=1
4
2
champ initial
Abaqus
x 10
champ final
Abaqus
2
1.5
Effort −N
Effort −N
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0
0
0.05
Angle(radians)
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en torsion
0.1
0.15
0.2
0.25
Angle (radians)
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en torsion
Fig. III.12: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement en torsion, module
de compressibilité K=2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis.
III.2.2.2
Conclusion sur les modèles compressibles
Dans le cas de mélanges compressibles, il est possible de reproduire correctement la courbe
de rigidité du plot, pour toutes les directions de sollicitation. De meilleurs résultats sont obtenus
quand le champ utilisé est le champ final obtenu par un calcul grandes déformations, dès que le
module de compressibilité augmente. Par contre, pour les valeurs du module de compressibilité
72
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
élevées par rapport au coefficient de cisaillement, nous n’avons pas obtenu une bonne corrélation.
Il est alors nécessaire d’utiliser une formulation qui permet d’assurer la quasi incompressibilité à
l’aide par exemple d’une pénalisation ou d’un multiplicateur de Lagrange, et donc d’augmenter
le nombre de champs. En effet, dans le cas où le module de compressibilité devient important par
rapport au module de cisaillement, la formulation utilisée pose des problèmes de convergence,
l’algorithme utilisé n’est alors plus adapté. Il faudra alors utiliser une énergie de déformation
incompressible.
III.2.3
III.2.3.1
Exemple de validation : cas d’une énergie de déformation hyperélastique
incompressible
Algorithme de calcul de la courbe de rigidité
L’algorithme de résolution est en tout point semblable à celui exposé au paragraphe (III.2.1).
La seule différence provient de l’énergie de déformation, qui est cette fois purement déviatoire
dans le cas incompressible. Pour une énergie de déformation de Mooney Rivlin, elle s’exprime
sous la forme :
Ψ = C10 (I1 − 3) + C01 (I2 − 3)
(III.25)
En toute rigueur, pour forcer la condition d’incompressibilité, il faudrait rajouter un multiplicateur de Lagrange à l’expression :
Ψ = C10 (I1 − 3) + C01 (I2 − 3) + p(J − 1)
(III.26)
où p est une inconnue supplémentaire. La courbe de rigidité serait alors obtenue en résolvant,
pour chaque valeur de Fi , le système suivant
Z
∂Ψ
1
Fi =
dΩ0
imp
UABQ Ω0 ∂α
(III.27)
∂Ψ
= 0
∂p
les paramètres de l’optimisation étant α et p, de manière à s’assurer que pour toutes les valeurs
de α, on ait bien J(α) = 1. Cependant, nous avons fait le choix d’approximer les courbes avec un
seul paramètre de Ritz. Il est illusoire, à partir d’une approximation à un seul champ, d’espérer
vérifier la condition (III.27) pour tous les chargements. Nous choisissons donc d’interpoler un
champ incompressible en un point du chargement, et d’utiliser le potentiel défini par la relation
(III.25). En ce point, la condition J(α) = 1 sera donc bien vérifiée, ce qui ne sera pas le cas pour
les autres niveaux de chargement.
III.2.3.2
Comparaison modèle/Calcul éléments finis
Afin de valider notre démarche dans le cas incompressible, nous reprendrons l’ensemble des
exemples traités dans le paragraphe III.2.2.1. Les courbes qui suivent montrent les résultats de
III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques
73
corrélation pour les différents types de chargement simple pour lesquels la pièce est généralement
calculée. Pour des sollicitations relativement linéaires, on a évidemment une bonne approximation à partir d’un champ initial (voir figures III.13 et III.16). Quand les non linéarités intervenant
sont plus importantes, comme par exemple pour le chargement de compression ou de rotation
conique, l’interpolation du champ initial donne des résultats satisfaisants jusqu’à des taux de
déformation modérés (figures III.14 et III.15). Pour avoir une meilleure corrélation pour des
taux de déformation élevés, il est nécessaire d’utiliser le champ final.
Essai de cisaillement, cas incompressible
Essai de cisaillement, cas incompressible
4000
4000
modèle
EF
3500
3500
3000
3000
2500
2500
Effort −N
Effort −N
modèle
EF
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
0
0
1
2
3
4
5
6
0
7
0
1
2
Déplacement − mm
3
4
5
6
7
Déplacement − mm
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en cisaillement
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en cisaillement
Fig. III.13: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, loi
de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis.
Essai de compression, cas incompressible
4
4
x 10
Essai de compression, cas incompressible
4
3.5
x 10
modèle
EF
modèle
EF
3
3
Effort −N
Effort −N
2.5
2
2
1.5
1
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Déplacement − mm
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en compression
4
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Déplacement − mm
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en compression
Fig. III.14: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression, loi
de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis.
74
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
5
2.5
x 10
Essai de rotation conique, cas incompressible
5
2.5
x 10
Essai de rotation conique, cas incompressible
modèle
EF
2
1.5
modèle
Abaqus
Effort −N
Effort −N
2
1
0.5
0
1.5
1
0.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0
0.16
0
0.02
0.04
0.06
Angle (radians)
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Angle (radians)
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en rotation conique
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en rotation conique
Fig. III.15: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique,
loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis.
Essai de torsion, cas incompressible
Essai de torsion, cas incompressible
8000
8000
modèle
EF
modèle
EF
7000
7000
6000
6000
5000
Effort −N
Effort −N
5000
4000
3000
4000
3000
2000
2000
1000
1000
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Angle (radians)
(a) On utilise un champ ”petites déformations”
en torsion
0.1
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Angle (radians)
(b) On utilise un champ ”grandes déformations”
en torsion
Fig. III.16: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de torsion, loi de
Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis.
Les corrélations présentées dans les paragraphes III.2.2.1 et III.2.3.2 montrent que la démarche
employée semble pertinente et donne de bons résultats aussi bien en modélisation compressible
qu’en modélisation incompressible. La corrélation a été faite avec un code éléments finis qui
utilise des énergies de déformations exprimées en fonction des invariants réduits. La présence
de cette puissance fractionnaire qui intervient dans la loi de comportement ne nous permet
pas d’obtenir une forme analytique polynomiale de la courbe de rigidité. Cette courbe effort
déplacement est alors calculée numériquement de façon à être comparée au résultat éléments
III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques
75
finis. Si on veut obtenir une forme polynomiale, on peut utiliser des énergies de déformation ne
faisant pas intervenir les invariants réduits, comme celle définie dans le paragraphe III.2.1.
III.2.4
Extention à des sollicitations multidimensionnelles
Nous cherchons à présent à prédire le comportement de notre pièce pour un chargement complexe de nature multidimensionnelle. Le choix des fonctions Φk est alors assez délicat, plusieurs
stratégies sont envisageables. Nous avons choisi d’introduire l’ensemble des champs calculés de
façon unidirectionnelle. On cherchera donc u sous la forme :
u=
X
αk Φk
k
Pour améliorer la prise en compte des couplages non linéaires entre les différentes directions de
sollicitation, on pourra rajouter des champs supplémentaires, la présence de plusieurs champs
permettant de réintroduire une pénalisation sur l’incompressibilité si nécessaire.
III.2.4.1
Expression des invariants
Pour calculer le potentiel dans ce cas, il est nécessaire de connaı̂tre les invariants en fonction
des produits croisés des αk . A partir de l’expression du tenseur gradient des déformations, le
même développement que celui exposé précédemment permet d’exprimer les invariants du tenseur des déformations en fonction des αk . En notant Aj la matrice GradΦj , on aura l’expression
suivante pour l’approximation du tenseur des déformations C :
X
F = I+
αj GradΦj
j
C = FT F = I +
X
i
αi (Ai + Ai T ) +
X
(III.28)
αi αj Ai T Aj
i,j
On en déduit l’expression des invariants en fonction des paramètres de Ritz.

X
X

I
=
3
+
2
α
tr(A
)
+
αi αj tr(Ai T Aj )
1
i

i



i
i,j




X
X



I2 = 3 + 4
αi tr(Ai ) +
αi αj tr(Ai T Aj ) + 2tr(Ai )tr(Aj ) − tr(Ai Aj )




i
i,j
















+
X
αi αj αk
T
T
2tr(Ai )tr(Aj AT
k ) − tr(Ai Aj Ak + Ai Aj Ak )
i,j,k
+
1 X
αi αj αk αl tr(Ai Aj T )tr(Ak Al T ) − tr(Ai Aj T Ak Al T )
2
i,j,k,l
(III.29)
76
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
On peut de même exprimer le déterminant de la transformation en fonction des dérivées intervenant dans III.28. En notant Akij la composante A[i, j] de la matrice Ak , on aura
J
= 1 +
X
αi tr(Ai ) +
i
+
X
αi αj αk
X
αi αj Ai11 Aj22 + Ai11 Aj33 + Ai22 Aj33 − Ai23 Aj32 − Aj21 Ai12 − Aj31 Ai13
i,j
Ai11 Aj22 Ak33 + Ak21 Ak13 Aj32 + Ak31 Ai12 Aj23 − Ai11 Aj23 Ak32 − A21 A12 A33 − Ak31 Aj13 Ai22
i,j,k
(III.30)
Dès lors la démarche de résolution est la même que celle présentée dans le paragraphe III.2.1.
Nous présentons ci dessous un exemple de résultat obtenu pour un couplage compression cisaillement sur le plot cylindrique, dans le cas d’une énergie de déformation hyperélastique incompressible (loi de Mooney Rivlin). La courbe de rigidité en compression est très bien corrélée.
En cisaillement, le modèle aboutit à une rigidification à partir de 4mm de déplacement.
4
3
4000
x 10
Effort en cisaillement
Effort en compression
3500
2.5
3000
Force (N)
Effort (N)
2
2500
1.5
2000
1500
1
1000
0.5
500
0
0
1
2
3
4
5
6
Déplacement (mm)
(a) Comparaison sur l’effort de cisaillement
7
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Déplacement (mm)
(b) Comparaison sur l’effort de compression
Fig. III.17: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour essai de couplage de sollicitation
(compression/cisaillement) – = modèle, o = calcul éléments finis
III.3
Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
Nous souhaitons à présent prendre en compte dans le modèle l’aspect dissipatif du matériau.
Dans une première partie, nous cherchons à évaluer la validité de notre démarche pour des
matériaux viscoélastiques. Une première phase a donc consisté à introduire dans notre modélisation
simplifiée les lois de comportement viscoélastiques linéaires évoquées dans le paragraphe c pour
la modélisation des plots. L’algorithme d’approximation de champ de déplacement a ensuite été
appliqué à un cas de chargement simple, et nous avons comparé nos résultats à ceux obtenus
par un calcul éléments finis. Pour la comparaison avec le calcul éléments finis, nous avons utilisé
une loi viscoélastique linéaire type Maxwell généralisé. Comme dans la partie précédente, les
III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
77
réponses sont calculées pour un mélange compressible, ou en supposant l’incompressibilité de la
réponse.
III.3.1
Démarche associée à la modélisation simplifiée
Nous allons appliquer la méthodologie exposée au paragraphe III.1 dans le cas d’une loi
de comportement viscoélastique linéaire. La différence par rapport à la méthodologie exposée
en (III.1.2.2) est la simplification induite par la linéarité du comportement. En effet, ces lois
s’appliquent tant que les déformations restent ”petites”. Aucune distinction ne sera donc faite
dans ce paragraphe entre la configuration initiale non déformée, et la configuration déformée.
Les déformations étant supposées infinitésimales, les différents tenseurs de contrainte et de
déformation sont égaux au premier ordre. Dans ces conditions, le problème à traiter se formule
d’un point de vue local sous la forme :
∂σij
+ fi
∂xj










avec
= ρ ü
dans Ω
(III.31)
1
σ(t) = s(t) + trσ(t)I
3
Z t
s(t) =
2 µ(t − τ ) ė(τ )dτ
(III.32)

0



Z




 trσ(t) = 3
t
0
˙ )dτ
K(t − τ )tr(τ
∂uj
1 ∂ui
et ij =
+
2 ∂Xj
∂Xi
Les conditions aux limites sur les bords sont donnés par :
Ui = Ui
sur Σu
σij nj
= ti sur Σσ
(III.33)
avec Σ la surface extérieure, Σu ∈ Σ la partie sur laquelle sont imposés des déplacements, et
Σσ ∈ Σ la partie sur laquelle sont appliqués les efforts.
Pour appliquer notre méthode nous utilisons le principe des travaux virtuels. On considère
donc un champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible. Le principe des travaux
virtuel est obtenu en multipliant les équations d’équilibre (III.31) par ce champ virtuel. En utilisant le théorème de la divergence, et les conditions aux limites (III.33), on obtient la formulation
suivante :
Z
Ω
Z
σij ?ij
dΩ +
Ω
Z
ρüi u?i dΩ
=
Σσ
Z
ti u?i dΩ
+
Ω
fi u?i dΩ
(III.34)
En séparant les contraintes et les déformations en partie sphérique et déviatorique, et en utilisant
les relations

 trace(s) = 0
(III.35)

trace(e) = 0
78
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
(III.34) s’exprime sous la forme
Z
Z
Z
1
?
?
sij eij dΩ +
tr(σ) tr( ) dΩ +
ρüi u?i dΩ
3
Ω
Ω
Ω
Z
Z
=
Σσ
ti u?i dΩ
fi u?i dΩ
+
Ω
(III.36)
Enfin, en introduisant les relations de comportement (III.32) dans (III.36), on obtient
Z t
Z
n
o
? T
˙
{e } [D0 ]
µ(t − τ ) e(τ ) dτ
dΩ
Ω
0
Z
Z
? T
+
Ω
{ }
{T }
où nous avons noté
[D0 ] =
0
t
Z
Z
n
o
?
˙
dΩ +
K(t − τ ) {T } (τ ) dτ
ρüi ui dΩ =
T
Ω


2
0


 2





2






1



1 


0
1
{T }T
h
=
Σσ
Z
ti u?i dΩ
i
1 1 1 0 0 0
Les déformations étant écrites sous forme vectorielle de la manière suivante








e




11
11












 e22 






22








 e


 33
33
{e} =
{} =


2 23 
 2 e23 



















2
e
2
13
13











 2e 
 2 

12
12
+
Ω
fi u?i dΩ
(III.37)
(III.38)
(III.39)
Nous appliquons à présent la démarche exposée au paragraphe III.1. Notre méthode de
résolution va consister à approximer le champ solution par une méthode de Ritz. Pour des
sollicitations unidirectionnelles, nous chercherons le champ solution de la manière suivante
{u(X, t)} = α(t) {Φ(X)}
{u∗ (X, t)} = α∗ (t) {Φ(X})
(III.40)
{Φ} désignant un champ cinématiquement admissible. On note F (t) l’effort appliqué sur l’armature du plot qui se déplace. Dans ce cas, le travail virtuel des efforts extérieurs se réduit à
? = F (t)u? , où u est le déplacement obtenu au point d’application de la force. On notera
Wext
0
0
{ũ} =
{ẽ} =
{˜
} =
{Φ}
u0
{e}
u0
{}
u0
III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
79
Dans ces conditions, le modèle simplifié permettant d’obtenir la fonction réponse du plot est
obtenu en reportant l’approximation (III.40) dans (III.37)
Z t
Z
Z
T
T
F (t) = Ü (t)
ρ {ũ} {ũ} dΩ +
{ẽ} [D0 ] {ẽ} dΩ
µ(t − τ ) U̇ (τ ) dτ
Ω
Z
+
Ω
0
Ω
Z
{˜
}T {T } {T }T {˜
} dΩ
0
t
K(t − τ ) U̇ (τ ) dτ
(III.41)
Le champ {Φ} sera généralement issu d’un calcul éléments finis. Les intégrales de volume seront
ainsi calculées par sommation sur les éléments du maillage et sur les points d’intégration de
Gauss de la manière suivante
F (t) = Ü (t)
PI
X NX
e
+
PI
X NX
e
+
ρ {q̃}T [N ]T [N ] {q̃}
p=1
Z
{q̃}
T
[C] [D0 ] [C] {q̃}
p=1
PI
X NX
e
T
{q̃}
n
µ(t − τ ) U̇ (τ ) dτ
0
Z
o n 0 oT
T
T
{q̃}
0
0
p=1
t
T
t
(III.42)
K(t − τ ) U̇ (τ ) dτ
Avec

2
1
1
Nx
− Ny − Nz
3
3
3
1
2
1
− Nx
Ny
− Nz
3
3
3
1
1
2
− Nx − Ny
Nz
3
3
3










[C]=

 0



 Nz



Ny
Nz
Ny
0
Nx
Nx
0





















n 0 oT h
i
T
= Nx Ny Nz
(III.43)
La relation (III.42) donne une expression analytique de l’effort associé à une direction de chargement. Les coefficients de l’équation différentielle intègrent les effets de volume, et les paramètres
matériau. Pour pouvoir réaliser une simulation du comportement, il faut choisir un modèle pour
µ(t) et K(t). Des exemples de simulation avec un développement en série de Prony, puis avec
un modèle fractionnaire, sont présentés dans les paragraphes qui suivent.
80
III.3.2
III.3.2.1
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
Application à un modèle de Maxwell généralisé : cas compressible
Algorithme de résolution
Nous avons cherché à valider l’implantation des lois viscoélastiques linéaires dans la modélisation
simplifiée en comparant avec un résultat complet éléments finis obtenu avec le code de calcul
ABAQUS. Nous allons donc simuler un matériau viscoélastique linéaire compressible. Les modules de cisaillement et de compression volumique seront approchés à l’aide d’une série de Prony,
ce qui correspond au modèle de Maxwell généralisé

!
t
t

n
N

X
X
X
−
−



µ(t) = µ∞ +
µi e τi
= µ0 1 −
gi + µ 0
gi e τi



i=1
i=1
k
(III.44)

!
t
t

p
N

X
X
X
−
−


τi = K0 1 −
τi

+
K
K(t)
=
K
+
K
e
k
k
e

∞
i
i
0
i

i=1
i=1
k
Dans l’expression (III.44), nous avons introduit les modules adimensionnels :
gk =
µk
µ0
et
kk =
Kk
K0
Le champ de déplacement interpolé sera issu d’un calcul élastique linéaire, les coefficients de la
loi linéaire étant donnés par l’élasticité instantanée du matériau :


n
X

E0
3K0 − 2µ0


 µ0 = µ∞ +

µi =
ν0 =




2 (1 + ν0 )
2(µ0 + 3K0 )
i=1
(III.45)
p
X


E
µ
9K
0


0
0


ki =

 E0 =
 K0 = K∞ +
3 (1 − 2ν0 )
µ0 + 3K0
i=1
En reportant (III.44) dans (III.42), nous obtenons
F (t) = mÜ (t) + (a∞ + b∞ )U (t)
+
n
X
Z
ai
i=1
avec
Z
T
0
t
t−s
t−s
Z t
p
X
∂U − τ µ
∂U − τ k
i
i
ds +
bi
ds
e
e
∂s
0 ∂s
(III.46)
i=1
Z
n 0 o n 0 oT
T
T
{q̃} dΩ
bi = Ki
{q̃}
Ω
Z
m =
ρ q̃ t [N t ][N ] {q̃} dV
ai = µi
Ω
{q̃}T [C]T [D0 ] [C] {q̃} dΩ
V
(III.47)
L’ équation (III.46) peut se ramener à un système d’équations différentielles linéaires en posant :


Z





p
(t)
=
 i
t
0


Z




 qi (t) =
0
t
t−s
∂U − τ µ
i
ds
e
∂s
t−s
∂U − τ k
i
ds
e
∂s
(III.48)
III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
81
En utilisant (III.48) dans (III.46), on a










F (t) = mÜ (t) + (a∞ + b∞ )U (t) +
n
X
ai pi (t) +
i=1
∂pi
1
+ µ pi =

∂t
τi






∂qi
1


+ k qi =
∂t
τi
q
X
bi qi (t)
i=1
∂U
∂t
(III.49)
∂U
∂t
Le système précédent peut alors être résolu en utilisant des algorithmes numériques d’intégration
temporelle. Remarquons toutefois que la forme obtenue étant simple, il est possible d’obtenir
directement une expression analytique de la réponse.
III.3.2.2
Validation numérique
A titre de validation, une comparaison est faite entre le modèle analytique exposé précédemment,
et un calcul complet éléments finis, pour les cas de chargements simples sur le plot cylindrique.
Les coefficients d’élasticité du matériau utilisé sont les suivants :
E0 = 0.1M P a
(III.50)
ν0 = 0.2
Les fonctions de relaxation en cisaillement et en compression volumique utilisés pour la simulation sont :


g2 = 0.1
 g1 = 0.2
(III.51)
k1 = 0.1
k2 = 0.2


−1
−1
τ1 = 0.1s
τ2 = 0.2s
Le champ de Ritz interpolé est issu d’un calcul élastique linéaire. Nous comparons le résultat
obtenu avec l’approximation de Ritz à un paramètre (equations III.49) , avec un résultat complet
issu d’un calcul éléments finis, pour des essais caractéristiques de la viscoélasticité linéaire : essai
de relaxation, cycle d’hystérésis et module dynamique.
a
Comparaison pour des essais de relaxation
Nous appliquons un déplacement constant sur une armature, soit U (t) = U0 H(t), où H(t)
est la fonction de Heaviside. La force résultante est obtenue par résolution de (III.49), avec
les conditions initiales pi (0) = qi (0) = U0 . On obtient ainsi la forme analytique approximée
recherchée
t
t
q
n
−
− µ
X
X
k
τ
τ
(III.52)
F (t) = (a + b )U (t) +
a U e i +
b U e i
∞
∞
i
i=1
0
i
i=1
0
82
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
Les figures suivantes montrent une comparaison entre l’effort issu de l’approximation de Ritz,
et l’effort calculé par un modèle éléments finis, pour les différents types de chargement (cisaillement, compression, torsion et rotation conique) du paragraphe III.2.2.1.
6
Essai de relaxation
chargement en cisaillement
Effort (N)
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
temps(secondes)
3
Fig. III.18: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, cas
d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis,
- = modèle.
10
9
Essai de relaxation, chargement en compression
8
Effort (N)
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
temps(secondes)
2.5
3
Fig. III.19: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression, cas
d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis,
- = modèle.
III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
83
60
Essai de relaxation, chargement de torsion
50
Effort (N)
40
30
20
10
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
temps(secondes)
Fig. III.20: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de torsion, cas d’un
essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis, - =
modèle.
250
Essai de relaxation,
chargement en rotation conique
Couple (N.rad)
200
150
100
50
0
0
0.5
1
1.5
2
temps(secondes)
2.5
3
Fig. III.21: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique,
cas d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments
finis, - = modèle.
Pour tous les cas de chargement, l’approximation a permis une excellente corrélation. On
peut donc remplacer un modèle éléments finis compliqué et coûteux numériquement par un
modèle analytique relativement simple.
b
Comparaison sur des cycles d’hystérésis
Pour ce type de chargement, une force est exercée sur l’armature mobile du cylindre. L’effort
imposé est cette fois sinusoidal
F (t) = F0 sin(ωt)
Le déplacement est obtenu en résolvant le système (III.49). Nous présentons ci dessous des
exemples d’hystérésis obtenus en simulant un effort sinusoidal à une pulsation de 5 rad.s−1 .
84
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
Hystérésis
chargement en cisaillement
2
ω=5rad/s
5
4
1.5
3
1
2
Force (N)
Force (N)
2.5
0.5
0
−0.5
1
0
−1
−1
−2
−1.5
−3
−2
−4
−2.5
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
−5
−0.2
0.15
Déplacement (mm)
Hystérésis
chargement en compression,
ω=5rad/s
(a) Chargement en cisaillement
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Déplacement (mm)
0.15
(b) Chargement de compression
Fig. III.22: Comparaison modèle/Calcul éléments finis cas d’une excitation sinusoidale à ω =
5rad.s−1 , – = modèle, o = calcul abaqus.
40
20
10
Hystérésis
chargement en rotation conique,
100
ω=5rad/s
150
Hystérésis
chargement de torsion
ω=5rad/s
Couple (N.rad)
Couple (N.rad)
30
200
50
0
−10
0
−50
−20
−100
−30
−150
−40
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
Angle (radians)
(a) Chargement en torsion
0.01
0.015
−200
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
Angle (radians)
(b) Chargement en rotation conique
Fig. III.23: Comparaison modèle/Calcul éléments finis cas d’une excitation sinusoidale à ω =
5rad.s−1 , – = modèle, o = calcul abaqus.
0.015
III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
85
Les résultats sont exactement similaires au cas de l’essai de relaxation. On pourra donc
utiliser ce modèle analytique simplifié dans les modèles multicorps pour simuler le comportement
d’une cale.
c
Comparaison pour des excitations harmoniques
Afin de connaı̂tre de façon plus globale les caractéristiques d’un plot on réalise en général
des études harmoniques. Les propriétés des cales sont alors caractérisées par la définition du
0
00
module de stockage K , et du module de perte K , respectivement partie réelle et imaginaire
F (ω)
du rapport
, où F désigne l’effort et U le déplacement. Pour approximer ces grandeurs,
U (ω)
nous considérons le cas où le déplacement imposé est de la forme U (t) = U0 ei ω t . Par ailleurs,
on ne s’intéresse qu’au régime permanent (les oscillations sont imposées depuis suffisamment
longtemps pour avoir disparition du régime transitoire). L’effort associé est alors calculé à partir
des équations (III.41), en faisant
intervenir
les transformées
de
Fourier des noyaux de relaxaµ(t)
K(t)
tion adimensionnels g(t) =
− 1 , et k(t) =
− 1 (voir rappels de viscoélasticité
µ∞
K∞
linéaire, partie II.3.1.2). On aura ainsi, par transformée de Fourier des équations (III.49), la
forme suivante pour le module dynamique
 


X i ω ak  
X i ω bk 

 + b∞ +

K(ω) = −mω 2 + 


a∞ +
1
1 
k iω+ µ
k iω+
τi
τik
(III.53)
On voit alors apparaı̂tre le module dynamique classique associé à un modèle de Maxwell généralisé
(voir paragraphe II.3.1.2), l’approximation de Ritz à un champ permettant de prendre en compte
la géométrie de la pièce, ainsi que les coefficients matériau, dans l’expression du module dynamique associé. Comme pour les chargements précédents, une comparaison est faite avec un code
éléments finis. Nous représentons ci dessous comme exemple le module dynamique obtenu en
cisaillement, sur le plot simple (figure III.24).
86
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
5
35
4.5
30
4
K’’ (N/mm)
K’ (N/mm)
25
20
15
3.5
3
2.5
2
1.5
10
1
5
0.5
0
0
5
10
15
fréquence (Hz)
20
0
0
25
5
10
15
20
25
fréquence (Hz)
(a) Partie réelle du module dynamique
(b) Partie imaginaire du module dynamique
Fig. III.24: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, cas
du module dynamique, – = modèle, o = calcul abaqus.
III.3.3
Application à un modèle de Maxwell généralisé : cas incompressible
L’algorithme de résolution est en tout point semblable à celui détaillé dans le paragraphe
(III.3.2.1). La seule différence provient du fait que seul le coefficient de cisaillement est développé
en série de Prony. Le bulk modulus est remplacé par une pression hydrostatique indéterminée :
ainsi la relation (III.32b) est remplacée par l’expression
tr(σ)(t) = −p(t)I
(III.54)
Supposons que le champ utilisé vérifie au mieux la condition d’incompressibilité. On aura donc
trace() = 0. En utilisant une approximation avec un seul champ incompressible, le tenseur des
déformations virtuelles vérifiera trace(? ) = α? (t)trace() = 0. On vérifie ainsi que la contrainte
due aux variations de volume ne travaille pas pour un mouvement incompressible. L’équation
(III.36) se réduit à
Z
Z
Z
Ω
sij e?ij dΩ =
Σσ
ti u?i dΩ +
Ω
fi u?i dΩ
(III.55)
En déroulant alors le même raisonnement que celui exposé précédemment, le système d’équations
différentielles à résoudre est le système (III.49), avec la simplification b∞ = 0, bk = 0. En
pratique, le champ récupéré par éléments finis ne sera pas totalement incompressible (l’incompressibilité est réalisée localement pour chaque élément en introduisant un multiplicateur de
Lagrange). Il y aura une contribution de l’énergie de déformation associée aux variations de volume. Mais cette contribution est négligeable, puisque les variations de volume sont minimisées
par l’utilisation du multiplicateur. En pratique, nous négligerons les termes associés à la partie
non déviatorique de l’énergie de déformation.
III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
III.3.3.1
87
Validation numérique
Pour valider notre modèle, une comparaison est faite avec un calcul éléments finis, pour une
loi viscoélastique linéaire incompressible. Le matériau simulé a un module d’Young de 206.7M P a,
les temps de relaxation et les modules adimensionnels sont les mêmes que dans le paragraphe
III.3.2.2
(
g1 = 0.2
g2 = 0.1
(III.56)
−1
τ1 = 0.1s
τ2 = 0.2s−1
Les mêmes chargements sont appliqués, et on cherche à reproduire la relaxation, l’hystérésis, et
le module dynamique.
a
Comparaison pour des essais de relaxation
Essai de relaxation, chargement de cisaillement
15000
Effort (N)
10000
5000
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
temps(secondes)
Fig. III.25: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, cas
d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments
finis, - = modèle.
88
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
Essai de relaxation
chargement de compression radiale
15000
Effort (N)
10000
5000
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
temps(secondes)
Fig. III.26: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression, cas
d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments
finis, - = modèle.
Essai
x 10
4
9
de relaxation, chargement de torsion
Couple (N/radians)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1 temps(secondes)
1.5
2
2.5
3
Fig. III.27: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de torsion, cas d’un
essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments finis, = modèle.
III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
89
Essai de relaxation
chargement de rotation conique
5
x 10
7
6
Angle (rad)
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
temps(secondes)
Fig. III.28: Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique,
cas d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments
finis, - = modèle.
Nous avons obtenu une excellente corrélation pour tous les cas de chargements.
b
Comparaison sur cycle d’hystérésis
Les conclusions du paragraphe précédent sont confirmées en regardant la corrélation sur les
cycles d’hystérésis
4
1
0.8
0.6
4
x 10
Hystérésis
chargement de cisaillement
ω=5rad/s
1
0.8
0.4
0.2
Effort
0
0.2
Effort
(N) 0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
−0.4
−0.2
0
Hystérésis
de compression
ω=5rad/s
0.6 chargement
0.4
(N)
x 10
0.2
0.4
Déplacement (mm)
(a) Comparaison pour un chargement en cisaillement
−1
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
Déplacement (mm)
0.02
0.03
(b) Comparaison pour un chargement en compression
Fig. III.29: Comparaison modèle/Calcul éléments finis, cas d’une excitation sinusoidale à ω =
5rad.s−1 , matériau viscoélastique linéaire incompressible – = modèle, o = calcul abaqus.
90
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
5
4
8
x 10
6
5
Hystérésis
chargement de torsion
ω=5rad/s
x 10
Hystérésis
4
chargement
de rotation conique
3
ω=5rad/s
4
2
Couple
1
N.rad
2
Couple
N.rad0
0
−1
−2
−2
−4
−3
−6
−8
−0.015
−4
−0.01
−0.005
0
0.005
Angle (radians)
0.01
0.015
−5
−0.01
(a) Chargement en torsion
−0.005
0
0.005
Angle (radians)
(b) Chargement en rotation conique
Fig. III.30: Comparaison modèle/Calcul éléments finis, cas d’une excitation sinusoidale à ω =
5rad.s−1 , matériau viscoélastique linéaire incompressible – = modèle, o = calcul abaqus.
Nous obtenons ainsi une excellente corrélation aussi bien en relaxation que pour simuler
l’hystérésis, et ce pour toutes les directions de sollicitation.
c
Comparaison pour des excitations harmoniques
On voit également sur les figures (III.31) à (III.34) que le passage au régime permanent permet
toujours d’avoir une excellente approximation du module dynamique.
0.01
III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
91
4
6
x 10
6000
Partie imaginaire du module dynamique
Chargement de cisaillement
5
5000
4
4000
K" (N/mm)
K’ (N/mm)
Partie réelle du module dynamique
Chargement de cisaillement
3
3000
2
2000
1
1000
0
0
20
40
60
80
0
0
100
20
40
60
80
100
fréquence (Hz)
fréquence (Hz)
(a) Partie réelle du module dynamique
(b) Partie imaginaire du module dynamique
Fig. III.31: Comparaison modèle/Calcul éléments finis, module dynamique, matériau
viscoélastique linéaire incompressible, chargement de cisaillement, – = modèle, o = calcul abaqus.
5
6
4
x 10
7
x 10
6
5
5
K’’ (N/mm)
K’ (N/mm)
4
4
3
3
2
2
1
0
0
1
20
40
60
80
fréquence (Hz)
(a) Partie réelle du module dynamique
100
0
0
20
40
60
80
100
fréquence (Hz)
(b) Partie imaginaire du module dynamique
Fig. III.32: Comparaison modèle/Calcul éléments finis, module dynamique, matériau
viscoélastique linéaire incompressible, chargement de compression, – = modèle, o = calcul abaqus.
92
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
6
7
5
x 10
9
x 10
8
6
7
5
K’ (N/mm)
K’’ (N/mm)
6
4
5
4
3
3
2
2
1
1
0
0
20
40
60
80
0
0
100
20
fréquence (Hz)
40
60
80
100
fréquence (Hz)
(a) Partie réelle du module dynamique
(b) Partie imaginaire du module dynamique
Fig. III.33: Comparaison modèle/Calcul éléments finis, module dynamique, matériau
viscoélastique linéaire incompressible, chargement de torsion, – = modèle, o = calcul abaqus.
6
7
9
x 10
12
x 10
8
10
7
K’ (N/mm)
K ’’ (N/mm)
6
5
4
3
8
6
4
2
2
1
0
0
20
40
60
80
fréquence (Hz)
(a) Partie réelle du module dynamique
100
0
0
20
40
60
80
100
fréquence (Hz)
(b) Partie imaginaire du module dynamique
Fig. III.34: Comparaison modèle/Calcul éléments finis, module dynamique, matériau
viscoélastique linéaire incompressible, chargement de rotation conique, – = modèle, o = calcul
abaqus.
Les corrélations obtenues sont très bonnes pour tous les cas de chargement (cisaillement,
compression radiale, rotation conique ou encore torsion). Nous disposons ainsi d’un modèle
avec un seul degré de liberté par direction de sollicitation. Ce modèle est prédictif dans le
sens où les coefficients de l’équation différentielle prennent en compte la géométrie et la loi de
comportement du matériau. La seule limitation du modèle provient du comportement même du
matériau. En effet, comme nous l’avons signalé au paragraphe II.3.1.2, pour prendre en compte le
comportement viscoélastique sur une plus large gamme de fréquence ou de temps, il faut utiliser
III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
93
un grand nombre de cellules, ce qui rend le problème difficilement identifiable. Une meilleure
corrélation avec des données expérimentales est obtenue en utilisant des modèles fractionnaires. Il
nous a donc semblé intéressant de développer des algorithmes de résolution adaptés pour pouvoir
prendre en compte les modèles rhéologiques fractionnaires exposés au paragraphe II.3.1.2.
III.3.4
III.3.4.1
Application à un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire
Algorithme de résolution
La relation contrainte déformation utilisée dans ce paragraphe correspond au modèle de
Kelvin Voigt fractionnaire présenté au paragraphe c. De plus, la relation contrainte déformation
sera supposée incompressible. Dans ce cas, les équations (III.32) se réduisent à une équation
différentielle fractionnaire qui s’exprime sous forme matricielle de la manière suivante
{s} = µ0 [ D0 ] {e} + µn [ D0 ]
dn
{e}
dtn
(III.57)
En déroulant alors le même calcul que celui exposé au paragraphe III.3.2.1, et en normant
le vecteur déplacement {q} par rapport au déplacement au point d’application de la force,
l’équation (III.46) devient
F (t) = mÜ (t) + a0 U (t) + an
dn
U (t)
dtn
(III.58)
Le système d’équations différentielles linéaires (III.49) est ainsi remplacé par une équation
différentielle à paramètre fractionnaire, dont la résolution se fait en utilisant l’expression numérique
de l’opérateur à dérivées fractionnaires (II.89). La variable temporelle t est échantillonnée , on
écrit t = Kh où h est le pas d’échantillonnage. En utilisant alors la définition (II.89), ainsi que
la loi de récurrence (III.59) entre les coefficients Cn (k) et Cn (k − 1)


 Cn (0) = 1
hn
(III.59)
k−n−1

 Cn (k) = Cn (k − 1)
k
on est amené à résoudre pour chaque pas de temps le système suivant
 m
an
2m
m

( 2 + n + a0 )U (Kh) = F (Kh) − (an Cn (1) − 2 )U [(K − 1)h] − (an Cn (2) − 2 )U [(K − 2)h]



h
h
h
h




K

X



− an
Cn (k)U [(K − k)h]






U (0)






U̇ (0)
k=3
= U0
= U̇0
(III.60)
Ce type d’algorithme a été appliqué avec succès dans [64] pour implanter les lois de comportement viscoélastiques fractionnaires dans des codes éléments finis. Toutefois, dans la plupart
94
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
des codes commerciaux, ces lois ne sont pas encore introduites et nous nous contenterons donc
pour ces modèles de simuler le comportement associé à la modélisation simplifiée.
A titre d’exemple, nous représentons la forme de comportement qui peut être obtenue avec
ce modèle. Le chargement considéré dans la suite est un chargement de cisaillement, le champ
statique interpolé sera ainsi issu d’une déformée de cisaillement. Les paramètres du modèle fractionnaire utilisés sont les suivants : µ0 = 0.173 et µn = 0.177, n = 0.162. Ils correspondent à des
paramètres de modèle fractionnaire identifiés à partir d’essais dynamiques sur une éprouvette de
cisaillement. A titre d’illustration, nous représentons également les formes obtenues pour n = 0
(ressort pur), et pour n = 1 (modèle de Kelvin Voigt classique).
III.3.4.2
Simulations des réponses
Nous reprenons dans cette partie les essais de validation étudiés précédemment sur un modèle
de Maxwell généralisé pour connaı̂tre les réponses des modèles fractionnaires.
a
Simulation d’un essai de relaxation par le modèle fractionnaire
F(t)
800
700
600
F (N)
500
400
n = 0.162
300
200
n = 0.5
100
0
0
10
20
30
40
50
60
temps(s)
Fig. III.35: Effort de relaxation obtenu avec le modèle de Kelvin Voigt fractionnaire.
La réponse obtenue est à rapprocher de la courbe expérimentale donnée au chapitre I (figure I.9). Un modèle fractionnaire permet, avec un seul coefficient non entier, de reproduire la
dépendance en fonction du temps observée pour les élastomères. Pour arriver au même résultat
avec un modèle type séries de Prony, il faudrait augmenter le nombre de cellules.
III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires
b
95
Simulation d’un cycle d’hystérésis
U(t)
cycle d’hystérésis
0.2
0.15
0.1
Déplacement (mm)
400
n=0
n=0.162
n=0.5
n=1
200
0.05
Force N
100
0
0
−0.05
−100
−0.1
−200
−0.15
−300
−0.2
0
n=0
n=0.162
n=0.5
n=1
300
1
2
3
4
5
6
temps(s)
−400
−0.5
0
0.5
U (mm)
(a) Chargement de cisaillement, modèle de Kelvin Voigt fractionnaire,solution en déplacement
(b) Chargement de cisaillement, hystérésis
Fig. III.36: Exemple de réponse obtenue par un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire pour un
chargement sinusoidal.
On voit ainsi que l’amortissement augmente avec le paramètre fractionnaire.
Calcul du module dynamique
700
140
600
120
500
100
K ’’ (N/mm)
K’ (N/mm)
c
400
300
80
60
200
40
100
20
0
0
20
40
60
80
100
Fréquence (Hz)
(a) Chargement de cisaillement, modèle de Kelvin Voigt fractionnaire, partie réelle du module
dynamique
0
0
20
40
60
80
100
Fréquence (Hz)
(b) Chargement de cisaillement, modèle de Kelvin Voigt fractionnaire, partie imaginaire du
module dynamique
Fig. III.37: Exemple de réponse obtenue par un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire dans le
cadre d’une excitation harmonique.
96
Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules
La réponse en fréquence représentée en figure (III.37) est obtenue en prenant la transformée
de Fourier de III.58. On obtient alors classiquement la forme suivante pour le module dynamique
K(ω) = a0 + an (iω)n
(III.61)
On voit apparaı̂tre sur ce graphe le fait qu’il est plus facile de reproduire avec un modèle
fractionnaire la forte rigidification en fréquence pour les faibles niveaux en fréquence observée
expérimentalement, ainsi que le comportement en plateau aux fréquences élevées, et ce avec peu
de paramètres. En effet pour obtenir le même résultat avec un modèle rhéologique classique, il
faudrait multiplier les cellules de Maxwell de façon très importante.
III.4
Conclusion
Dans cette partie, nous avons vu qu’il était possible de réduire considérablement le nombre
de degrés de liberté dans le cas de la modélisation d’un plot en élastomère. En appliquant une
approximation de Ritz à un champ, la réponse du plot peut être obtenue pour différentes lois de
comportement. Nous avons montré des exemples de corrélation pour des lois hyperélastiques et
viscoélastiques linéaires : la modélisation simplifiée a permis de retrouver le même résultat qu’un
modèle complet éléments finis, avec un temps de calcul bien moindre. Ces modèles simplifiés
sont de plus facilement implantables dans des logiciels de simulation du comportement routier.
Par exemple dans le cas d’une loi viscoélastique linéaire, la réponse du plot peut être obtenue
par résolution d’un système d’équations différentielles linéaires. Dans le cas de l’utilisation de
modèles fractionnaires, ce système d’équations différentielles est remplacé par une équation
fractionnaire, dont la résolution se fait en utilisant la définition de Grunwald de l’opérateur
de dérivation généralisée. On peut alors reproduire aussi bien le comportement des pièces en
relaxation qu’en fluage. Dans le cas d’excitations harmoniques stationnaires, le comportement
peut être caractérisé par un module complexe. Le module dynamique obtenu dans le cadre de
la modélisation simplifiée est fonction des paramètres du modèle rhéologique utilisé (Modèle de
Maxwell généralisé ou modèle fractionnaire par exemple), et des effets de volume. Ce modèle
suppose néanmoins une linéarité aussi bien matérielle que géométrique : son utilisation est donc
limitée au cas où les déformations mises en jeu restent petites. Par ailleurs, la linéarité matérielle
fait que le module complexe obtenu dépend de la fréquence, mais est indépendant de l’amplitude
du débattement. De même, les noyaux de relaxation et de fluage considérés sont indépendants
de l’amplitude de la fonction échelon imposée. Or, même quand la précharge imposée reste dans
le cadre des petites déformations, on observe au niveau du module dynamique une dépendance
en amplitude, d’autant plus marquée que le mélange est chargé en noir de carbone (voir chapitre
I). Ce sont ces non linéarités qui vont nous intéresser dans les parties suivantes.
97
Chapitre IV
Prise en compte des non linéarités
par un développement en séries de
Volterra
Nous avons vu qu’il était possible dans le cadre d’une approche grande déformation, d’obtenir une approximation très satifaisante de la courbe de rigidité non linéaire avec un seul champ
de Ritz (paragraphe III.2). De même, on peut introduire très facilement la dissipation, quand
celle ci est d’origine viscoélastique linéaire (paragraphe II.3.1.2).
L’objectif de cette partie est d’aboutir à une forme complète, qui rende compte à la fois
des aspects grandes déformations et dissipation non linéaire. Dans ce but, nous appliquons une
démarche d’approximation du champ de déplacement, en utilisant un développement en séries
d’intégrales multiples pour l’écriture de la relation contraintes-déformations.
Dans une premier temps, nous rappelons l’écriture de cette relation contraintes-déformations.
Ensuite nous détaillons la démarche utilisée pour calculer la réponse non linéaire. Dans un
troisième paragraphe nous donnons l’expression de l’effort non linéaire, puis nous calculons le
module dynamique associé à cette représentation. Le cinquième paragraphe est consacré au cas
où la non linéarité est uniquement comportementale, et nous donnons les expressions simplifiées
de l’effort et du module dynamique sous cette hypothèse. Les prédictions du modèle sont finalement comparées à des résultats expérimentaux, ce qui permet de proposer dans un dernier
paragraphe une nouvelle formulation pour approcher la dépendance en amplitude du module
dynamique.
98
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
IV.1
Ecriture de la relation contraintes-déformations à partir
d’un développement en séries de Volterra
IV.1.1
Développement en séries de Volterra : cas général
Cette écriture a pour point de départ la relation fonctionnelle qui lie les contraintes et les
déformations en configuration lagrangienne (paragraphe II.1.6)
S(t) = F { E (τ ) }
τ <=t
(IV.1)
Pour les matériaux viscoélastiques, cette relation fonctionnelle peut être considérée comme continue (ce n’est pas le cas par exemple si l’on a affaire à un comportement plastique [59]). Par
application du théorème de Stone-Weierstrass, on sait que toute fonction continue sur un intervalle [a, b] peut être approchée aussi près que l’on veut par un polynôme sur cet intervalle, et
les travaux de Volterra et de Fréchet sur la représentation des fonctionnelles continues à valeurs
scalaires ont permis d’étendre ce théorème pour les fonctionnelles. Ainsi, on écrira, pour une
fonctionnelle F de fonctions f continues dans un intervalle [a, b]

∞
X



F (f ) =
Fn (f )


n=1
(IV.2)
Z b
Z b




 Fn (f ) =
...
hn (τ1 , . . . , τn ) f (τ1 ) . . . f (τn ) dτ1 . . . dτn
a
a
où les hn sont des fonctions continues indépendantes de f et la somme (IV.2), à priori infinie,
peut être tronquée à un ordre N fini, suivant la précision souhaitée.
Green et Rivlin [27] ont utilisé des arguments similaires à ceux employés par Fréchet pour
approximer les fonctionnelles tensorielles à valeurs tensorielles. Ils écrivent ainsi la relation (IV.1)
conformément à :
N
X
pq
(IV.3)
S (t) =
Spq
n (t)
n=1
Snpq
où
est une intégrale d’ordre n. On donne ci-dessous la forme générique du développement,
en adoptant la notation utilisée par Pipkin [59]

Z ∞
Z t

pq
pq
pq

S
(t)
=
K
(τ
)
Ė
(t
−
τ
)
dτ
=
Krs
(t − τ ) Ėrs (τ ) dτ

1
rs
rs



0
−∞


...



Z



pq

 Sn (t) =
0
Z
∞
...
0
∞
Krpq1 s1 ...rn sn (τ1 , . . . , τn ) Ėr1 s1 (t − τ1 ) . . . Ėrn sn (t − τn ) dτ1 . . . dτn
(IV.4)
Green et Rivlin ont également simplifié la forme précédente pour prendre en compte la condition
d’isotropie dans l’état non déformé. Ils donnent alors la forme la plus générale que peuvent
prendre les intégrales Sn . Cette forme générique a été reprise et donnée explicitement jusqu’à
IV.1. Ecriture de la relation contraintes-déformations à partir d’un développement en séries de
Volterra
99
l’ordre 3 par Pipkin [59] et Lockett [50]. Elle s’exprime sous la forme
Z
t
h
i
f1 (t − τ1 ) tr Ė (τ1 ) I + f2 (t − τ1 ) Ė(τ1 ) dτ1
S(t) =
−∞
Z
t
Z
t
n
+
−∞
+
−∞
h
f3 (t − τ1 , t − τ2 ) tr Ė (τ1 ) tr Ė (τ2 ) I + f4 (t − τ1 , t − τ2 ) tr Ė (τ1 ) Ė (τ2 ) I
f5 (t − τ1 , t − τ2 ) tr Ė (τ1 )Ė (τ2 ) + f6 (t − τ1 , t − τ2 ) Ė (τ1 )Ė (τ2 )
Z
t
Z
t
Z
t
+
−∞
−∞
i
−∞
n
h
f7 tr
i
Ė (τ1 ) Ė (τ2 ) Ė (τ3 ) I + f8 tr Ė (τ1 ) tr
o
dτ1 dτ2
h
i
Ė (τ2 ) Ė (τ3 ) I
h
i
Ė (τ1 ) Ė (τ2 ) Ė(τ3 )
o
f11 tr Ė (τ1 ) Ė (τ2 ) Ė (τ3 ) + f12 Ė (τ1 ) Ė (τ2 ) Ė (τ3 ) dτ1 dτ2 dτ3
+ f9 tr Ė (τ1 ) tr Ė (τ2 ) Ė (τ3 ) + f10 tr
+
(IV.5)
avec
– f1 et f2 , les noyaux d’ordre 1, sont des fonctions de t − τ1 .
– f3 à f6 , les noyaux d’ordre 2, sont des fonctions des deux arguments (t − τ1 ) et (t − τ2 ).
– f7 à f12 , les noyaux d’ordre 3, sont des fonctions de (t − τ1 ),(t − τ2 ), et (t − τ3 ).
IV.1.2
Cas des matériaux incompressibles
A partir de (IV.5) on voit que l’hypothèse d’isotropie permet de ramener à 2 le nombre
de noyaux indépendants dans l’approximation au premier ordre, tout comme en viscoélasticité
linéaire. On remarquera par ailleurs que le développement à l’ordre 1 constitue une extension
de la viscoélasticité linéaire, pour permettre de prendre en compte les grandes déformations.
Le développement aux ordres supérieurs permet de prendre en compte aussi bien les grandes
déformations que les non linéarités comportementales. L’écriture précédente est ainsi une généralisation
de la loi de comportement intégrale de la viscoélasticité linéaire. Cette généralisation se fait en
rajoutant des termes d’ordre 2 et plus dans l’histoire des déformations, ces termes étant introduits dans la relation contraintes-déformations sous forme d’intégrales multiples. Toutefois,
même dans le cas isotrope, on voit apparaı̂tre 2 noyaux au premier ordre de l’approximation,
4 de plus pour le développement au second ordre, et encore 6 noyaux pour l’approximation à
l’ordre 3. Il est déraisonnable d’espérer identifier ou gérer numériquement une théorie avec une
douzaine de noyaux : en fait, on trouve dans [50] une procédure expérimentale de détermination
des noyaux, à partir d’essais de relaxation ou de fluage. Dans sa thèse, A. Soulimani [75] a
calculé que, en faisant toutes les expérimentations proposées, il faudrait réaliser plus de 400
essais pour le cas tridimensionnel isotrope mentionné précedemment! Toutefois, Pipkin [59] a
repris ce développement de fonctionnelles tensorielles isotropes, et a pris en compte la condition
100
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
d’incompressibilité, ce qui lui permet d’écrire :
S pq (t) = −p(t) C −1
pq
pq
+ Sdev
{E(t − τ )}∞
τ =0
(IV.6)
p est la pression hydrostatique indéterminée, qui ne génère pas de travail dans le cas d’un mouvement incompressible. Sdev correspond ici à la partie déviatorique du tenseur des contraintes, en
configuration lagrangienne. En prenant en compte l’hypothèse d’incompressibilité det(F) = 1,
on montre que Sdev peut s’écrire conformément à :
Z t
ij
Sdev
(t) =
r1 (t − τ )Ėij (τ )dτ
−∞
Z
t
Z
t
+
−∞
Z
t
−∞
Z
t
r2 (t − τ1 , t − τ2 ) Ėik (τ1 )Ėkj (τ2 )dτ1 dτ2
Z
t
+
−∞
Z
t
−∞
Z
t
−∞
Z
t
+
−∞
−∞
−∞
n
r31 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) tr Ėik (τ1 )Ėkl (τ2 ) Ėlj (τ3 ) dτ1 dτ2 dτ3
r32 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) Ėik (τ1 )Ėkl (τ2 )Ėlj (τ3 )
dτ1 dτ2 dτ3
(IV.7)
où
– r1 est le noyau de relaxation d’ordre 1.
– r2 est le noyau de relaxation d’ordre 2.
– r31 et r32 sont les noyaux d’ordre 3.
Le nombre de noyaux indépendants pour un matériau isotrope incompressible est ainsi réduit
de 12 à 4 noyaux, pour un développement à l’ordre 3. En prenant en compte la contrainte
d’incompressibilité, l’équation IV.6 s’écrira en configuration lagrangienne
S(t) = −p(t)C−1 + S1 (t) + S2 (t) + S31 (t) + S32 (t)
(IV.8)
où les Sk correspondent aux intégrales de convolution intervenant dans (IV.7).
IV.2
Démarche générale de calcul de l’effort non linéaire
IV.2.1
Equations d’équilibre
La démarche employée pour obtenir l’expression de la réponse est similaire à celle présentée
dans la partie III.3.1. Les différences proviennent de la prise en compte des non linéarités
géométriques : les équations d’équilibre intervenant seront les équations (II.28). Nous nous pla-
IV.2. Démarche générale de calcul de l’effort non linéaire
101
cerons dans une formulation lagrangienne totale, les volumes considérés seront donc les volumes
dans la configuration initiale non déformée. Le problème à traiter s’écrira donc
∂Pij
+ ρ0 fi
∂xj
= ρ0 ü
dans Ω0
(IV.9)
avec :
Sur SU
Sur Sσ
Ui = Ui
= Ti
Pij nj
(IV.10)
Pour prendre en compte les non linéarités, la relation fonctionnelle sera développée en séries
jusqu’à l’ordre 3, conformément à (IV.8), le tenseur des déformations de Green-Lagrange étant
donné par
∂Uj
1 ∂Ui
1 ∂Uk ∂Uk
Eij =
+
+
2 ∂Xj
∂Xi
2 ∂Xj ∂Xi
(IV.11)
|
{z
} | {z }
L
Eij
IV.2.2
NL
Eij
Ecriture du principe des travaux virtuels
La détermination des paramètres de Ritz intervenant dans notre démarche se fera par application du principe des travaux virtuels pour la prise en compte à la fois des grandes déformations
et de la dissipation (étant donnée la gamme de fréquence envisagée, on négligera là encore les
effets d’inertie) :
Z
Z
Z
∂u?i
?
Pij
dΩ0 =
fi u?i dΩ0
Ti ui dΩ0 +
(IV.12)
∂Xj
Ω0
Sσ
Ω0
En utilisant la relation de passage P = F S, (IV.12) s’exprime de manière équivalente en fonction
du tenseur des contraintes purement lagrangien S. Le travail virtuel des efforts internes s’écrira
ainsi suivant
Z
Z
?
?
?
−Wint (u, u ) =
(F S) : Gradu dΩ0 =
S : FT Gradu? dΩ0
(IV.13)
Ω0
Ω0
Enfin, en introduisant les relations de comportement (IV.8) dans (IV.13), le principe des
travaux virtuels se met sous la forme

? (u, u? ) + W ? (u, u? )

0 = −Wint

ext



Z
Z



−1
T
?
?
?
−Wint (u, u ) =
−p(t)C
: F GradU dΩ0 +
Sdev : FT GradU? dΩ0
Ω
Ω
0
0



Z
Z



?
?

Ti u?i dΩ0 +
fi u?i dΩ0
 Wext (u, u ) =
Sσ
Ω0
(IV.14)
En utilisant la relation
A1 : ( A2 A3 ) =
A 2 T A1
: A3 =
A 1 A3 T
: A2
102
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
et les relations de passage entre les différentes configurations, on a
C−1 : FT GradU?
= F−1 F−T : FT GradU?
= I : GradU? F−1
= F−T : GradU?
= I : gradU?
(IV.15)
où Grad désigne le tenseur gradient dans la configuration non déformée, et grad désigne le
tenseur gradient dans la configuration déformée.
le travail associé à la pression hydrostatique s’écrit alors
Z
Z
Z
−1
T
?
?
−p(t)C
: F GradU dΩ0 =
−p(t)divU dΩ =
Ω0
Ω
Ω0
−p(t) J divU? dΩ0
(IV.16)
Le matériau étant supposé complètement incompressible, la pression hydrostatique est une inconnue du problème. Pour prendre en compte la contrainte supplémentaire introduite par l’hypothèse d’incompressibilité, une approche cinématique où le déplacement est la seule inconnue
du problème n’est pas suffisante : il faut alors employer une formulation variationnelle à plusieurs champs, dans laquelle des variables additionnelles sont rajoutées. En introduisant un
champ de pression virtuelle arbitraire p? , le problème précédent peut être découplé en 2 parties.
On cherche alors un champ de déplacement U(X) cinématiquement admissible et un champ de
pression p(X), qui vérifient simultanément l’équation (IV.14), à laquelle on rajoute l’équation :
Z
p? (J (U) − 1) dΩ0 = 0
(IV.17)
Ω0
Les équations (IV.17) et (IV.14) doivent être vérifiées pour tout p? , et pour tout U ? cinématiquement
admissible. Ce problème est généralement résolu à l’aide d’une méthode en Lagrangien augmenté
[36, 39]. Cette méthode est trop coûteuse numériquement, et sa mise en oeuvre ne nous permettrait pas d’avoir une expression analytique simple. Nous supposons donc dans la suite que
le champ retenu vérifie au mieux la condition d’incompressibilité J(U) = 1. Seule la partie
déviatorique de la contrainte contribue à l’expression de l’effort, et (IV.14) se réduit à
Z
Z
Z
T
?
?
Ti ui dΩ0 +
Sdev : F GradU dΩ0 =
fi u?i dΩ0
(IV.18)
Ω0
Sσ
Ω0
C’est cette formulation que nous adopterons dans la suite, en négligeant la contribution de
l’énergie de déformation volumique.
IV.2.3
Approximation du champ solution par une méthode de Ritz
Pour exprimer l’effort non linéaire associé au développement en séries, nous approchons le
champ solution en utilisant une méthode de Ritz. On cherchera donc le champ de déplacement
sous la forme (voir chapitre III)
(
{u(X, t)} = α(t) {Φ(X)}
(IV.19)
{u∗ (X, t)} = α∗ (t) {Φ(X)}
IV.3. Calcul de l’effort non linéaire
103
où {Φ} est un champ cinématiquement admissible.
Nous négligeons les termes dus à la pression hydrostatique (pour un mouvement réellement
incompressible, cette contribution est nulle), et conservons uniquement le travail dû à la partie
déviatorique des contraintes. Notons u0 le déplacement associé au champ {Φ} au point d’application de la force, et F (t) l’effort appliqué sur l’armature du plot qui se déplace. La relation
(IV.18) permet d’écrire
Z
Z
?
∂ui dev ∂u?i
dev ∂u i
F (t)u?0 =
Sij
dΩ0 +
Skj
dΩ0
(IV.20)
∂Xj
∂Xj
Ω0
Ω0 ∂Xk
puis, en utilisant l’approximation de Ritz, nous obtenons l’expression de l’effort fonction du
champ de déplacement choisi au départ
Z
Z
L
NL
F (t)u0 =
Sij (t)Eij
dΩ0 + 2 α(t)
Sij (t)Eij
dΩ0
(IV.21)
Ω0
Ω0
où EL (respectivement ENL ) désigne la partie linéaire (respectivement non linéaire) du tenseur
des déformations associé au champ {Φ}, les expressions de EL et ENL étant données par les
équations (IV.11). Pour normer l’expression (IV.21), on posera
{Φ} = u0 {ũ}
h i
EL = u0 Ẽ1
h i
N L
E
= u20 Ẽ2
Le modèle simplifié permettant d’obtenir la fonction réponse du plot s’exprime en fonction de
ces paramètres et du déplacement U (t) dans la direction de chargement de la manière suivante
Z
Z
F (t) =
Sij (t)Ẽ1ij dΩ0 + 2 U (t)
Sij (t)Ẽ2ij dΩ0
(IV.22)
Ω0
Ω0
Cette expression permet de calculer l’effort pour n’importe quel type de loi de comportement,
en remplaçant la contrainte Sij par son expression en fonction des déformations. Dans le paragraphe qui suit, nous utilisons un développement en séries de Volterra de la relation contraintesdéformations, et nous recherchons l’effort associé.
IV.3
Calcul de l’effort non linéaire
La forme générale de l’effort non linéaire lorsqu’on développe la contrainte sous forme de
séries de Volterra est obtenue en reportant (IV.7) dans (IV.22). On aura ainsi :
F (t) = F1 (t) + F2 (t) + F31 (t) + F32 (t)
(IV.23)
où
F1 (respectivement F2 , (F31 , F32 )) correspond à l’effort associé au développement en séries
de Volterra à l’ordre 1 (respectivement à l’ordre 2 et 3). D’après l’approximation (IV.22), pour
104
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
chacun des termes de (IV.23), on aura une contribution due à la partie linéaire des déformations,
et une contribution due à la partie non linéaire, soit :
Z
Z
Fn (t) =
Snij (t)Ẽ1ij dΩ0 + 2 U (t)
Snij (t)Ẽ2ij dΩ0
(IV.24)
Ω0
Ω0
|
{z
} |
{z
}
partie linéaire de E
partie non linéaire de E
La démarche de calcul de l’effort associé à un développement en séries de Volterra à l’ordre 3
de la loi de comportement se décline alors comme suit :
1. Approximation des déformations Eij (t), en utilisant le champ de Ritz. On écrira :
Eij (t) =
L
NL
α(t)Eij
+ α2 (t)Eij
(IV.25)
H(t)
En utilisant les expressions normées introduites au paragraphe IV.2.3, on écrira cette
approximation comme suit :
i
h
Eij (t) = U (t)Ẽ1ij + U 2 (t)Ẽ2ij H(t)
(IV.26)
On en déduit
E˙ij (t) =
h
1
2
U̇ (t)Ẽij
+ 2 U (t) U̇ (t)Ẽij
i
h
H(t) +
1
2
U (t)Ẽij
+ U 2 (t)Ẽij
i
δ(t)
(IV.27)
où nous avons noté H(t) la fonction heaviside et δ(t) la fonction dirac.
2. Pour chaque ordre du développement, la contrainte est obtenue en reportant (IV.27) dans
l’expression générale de Sk donnée en (IV.7).
3. Enfin, en rassemblant les expressions précédentes en fonction des ordres de la non linéarité,
on obtient l’expression finale de l’effort, qui sera fonction :
– Du champ {Φ} choisi au départ.
– Du déplacement U (t).
– Des noyaux de relaxation choisis r1 , r2 , r31 , r32 .
Dans le paragraphe qui suit, nous donnerons les expressions analytiques de la force résultante
Fn (t) pour chacun des ordres du développement en séries de Volterra.
IV.3.1
Contribution des termes d’ordre 1 du développement en séries
En arrêtant le développement au premier ordre, la relation contrainte déformation s’écrit
Z t
(IV.28)
S1ij (t) =
r1 (t − τ )E˙ij (τ )dτ
−∞
IV.3. Calcul de l’effort non linéaire
105
Nous remplaçons le tenseur des déformations Ė par son approximation (IV.27), ce qui donne
pour la contribution du premier noyau
Z t
S1ij (t) =
r1 (t − τ )U̇ (t)dτ + r1 (t)U (0) Ẽ1ij
0
+
Z
t
2
0
2
r1 (t − τ ) U (τ ) U̇ (τ )dτ + r1 (t)U (0)
(IV.29)
Ẽ2ij
Remarquons que ce comportement n’est pas linéaire, car il prend en compte la non linéarité
géométrique. Cette non linéarité se traduit par les termes d’ordre 2 en U (t) associés à la partie
quadratique du tenseur des déformations Ẽ2 .
Nous allons introduire la notation suivante associée à l’ordre de la non linéarité en U (t)

Z t


r1 (t − τ )U̇ (t)dτ + r1 (t)U (0)
 K̃1 (U, t) =
0Z
(IV.30)
t


 K̃2 (U, t) = 2
r1 (t − τ ) U (τ ) U̇ (τ )dτ + r1 (t)U 2 (0)
0
D’où
S1ij (t) = K̃1 (U, t)Ẽ1ij + K̃2 (U, t)Ẽ2ij
(IV.31)
L’effort associé est obtenu en reportant (IV.31) dans (IV.24), ce qui donne :
F1 (t) = a1 K̃1 (U, t) + a21 K̃2 (U, t) + 2a22 U (t) K̃1 (U, t) + 2a3 U (t) K̃2 (U, t)
(IV.32)
où nous avons noté
Z Ordre 1
Ẽ1ij Ẽ1ij dΩ0
a1 =
a21
Ω0
a22
Z Ordre 2
Ẽ2ij Ẽ1ij dΩ0
=
ZΩ0
Ẽ2ij Ẽ1ij dΩ0
=
Z Ordre 3
Ẽ1ij Ẽ2ij dΩ0
a3 =
Ω0
Ω0
Tab. IV.1: Contributions associées au développement à l’ordre 1
Les coefficients aij intègrent les effets de volume et sont aussi fonction du champ de Ritz
choisi. On a de plus a21 = a22 . Nous avons regroupé ces termes en fonction de l’ordre de la non
linéarité en U à laquelle ils sont associés (tableau (IV.1)).
IV.3.2
Contribution des termes d’ordre deux
De façon analogue, nous déterminons F2 (t) en calculant tout d’abord la valeur de :
Z
S2ij (t) =
t
−∞
Z
t
−∞
r2 (t − τ1 , t − τ2 ) Ėik (τ1 )Ėkj (τ2 )dτ1 dτ2
(IV.33)
106
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
Puis, en réalisant les substitutions de (IV.27) dans (IV.33) et en reportant dans (IV.24), on
obtient :
F2 (t) = b2 P̃2 (U, t) + b31 P̃3 (U, t) + b32 P̃3 (U, t) + 2 b33 U (t) P̃2 (U, t) + b41 P̃4 (U, t)
+ 2 b42 U (t) P̃3 (U, t) + 2 b43 U (t) P̃3 (U, t) + 2b5 U (t)P̃5 (U, t)
(IV.34)
où les coefficients bk correspondent aux intégrations sur le volume des produits croisés du tenseur
des déformations, et les fonctions P̃k (U, t) correspondent aux intégrales de convolution associées
à l’expression (IV.33) (annexe A), l’indice k désignant l’ordre de la non linéarité en U .
IV.3.3
Contribution des termes d’ordre trois
Le développement à l’ordre trois va faire apparaı̂tre deux types de contributions, l’une associée à la trace des déformations, et l’autre au produit des déformations. On a donc :
31
32
S3ij (t) = Sij
(t) + Sij
(t)
Avec
Z


31


 Sij (t) =
t
−∞



32
 Sij
(t) =
Z
t
−∞
Z
t
−∞
Z
t
−∞
Z
t
−∞
Z
t
−∞
(IV.35)
r31 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) tr Ėik (τ1 )Ėkl (τ2 ) Ėlj (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
r32 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) Ėik (τ1 )Ėkl (τ2 )Ėlj (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
(IV.36)
Une démarche similaire à celle présentée en IV.3.1 et IV.3.2 permet d’obtenir, à l’ordre 3,
l’expression de l’effort non linéaire
F3 (t) =
+
+
+
c3 Q̃3 (U, t) + c41 Q̃4 (U, t) + c42 Q̃4 (U, t) + c43 Q̃4 (U, t) + 2c44 U (t)Q̃3 (U, t) + c51 Q̃5 (U, t)
c52 Q̃5 (U, t) + c53 Q̃5 (U, t) + 2c54 U (t)Q̃4 (U, t) + 2c55 U (t)Q̃4 (U, t) + 2c56 U (t)Q̃4 (U, t)
c61 Q̃6 (U, t) + 2c62 U (t)Q̃5 (U, t) + 2c63 U (t)Q̃5 (U, t) + 2c64 U (t)Q̃5 (U, t)
2c7 U (t)Q̃6 (U, t)
(IV.37)
où les coefficients ck intègrent la géométrie de la pièce et les fonctions Q̃k (U, t) proviennent des
intégrales de convolution (annexe B), l’indice k étant associé à l’ordre de la non linéarité en U .
IV.3.4
Expression globale de l’effort
Finalement, l’expression complète de l’effort résultant basé sur un développement de Fréchet
à l’ordre 3 peut s’écrire en séparant les différentes contributions les unes par rapport aux autres,
en fonction du coefficient de la non linéarité et de l’ordre du noyau considéré. Les colonnes du
tableau IV.2 correspondent à tous les termes provenant d’un même noyau, les lignes à tous
les termes provenant d’un même ordre de non linéarité. On a en tout des non linéarités allant
IV.3. Calcul de l’effort non linéaire
107
jusqu’à l’ordre 7 en U .
F (t) =
Noyau 1
Noyau 2
Noyau 3
linéaire
a1 K̃1 (U, t)
quadratique
+a21 K̃2 (U, t)
+2a22 U (t)K̃1 (U, t)
+b2 P̃2 (U, t)
cubique
+2a3 U (t)K̃2 (U, t)
+b31 P̃3 (U, t) + b32 P̃3 (U, t)
+2b33 U (t)P̃2 (U, t)
+c3 Q̃3 (U, t)
ordre 4
+b41 P̃4 (U, t)
+2b42 U (t)P̃3 (U, t)
+2b43 U (t)P̃3 (U, t)
+c41 Q̃4 (U, t)
+c42 Q̃4 (U, t) + c43 Q̃4 (U, t)
+2c44 U (t)Q̃3 (U, t)
ordre 5
+2b5 U (t)P̃4 (U, t)
+c51 Q̃5 (U, t)
+c52 Q̃5 (U, t) + c53 Q̃5 (U, t)
+2c54 U (t)Q̃4 (U, t)
+2c55 U (t)Q̃4 (U, t)
+2c56 U (t)Q̃4 (U, t)
ordre 6
+c61 Q̃6 (U, t)
+2c62 U (t)Q̃5 (U, t)
+2c63 U (t)Q̃5 (U, t)
+2c64 U (t)Q̃5 (U, t)
ordre 7
+2c7 U (t)Q̃6 (U, t)
Tab. IV.2: Expression de l’effort total basé sur un développement de Fréchet à l’ordre 3
L’effort non linéaire s’exprime en fonction de 30 coefficients de volume connus, calculés à
partir du champ cinématiquement admissible choisi au départ, de la géométrie de la pièce, et de
4 fonctions de relaxation.
Il reste maintenant à choisir la forme des noyaux de relaxation. On se basera sur les relations
développées en viscoélasticité linéaire pour prendre une forme type séries de Prony pour le noyau
d’ordre un :
N
X
r1 (t) = G∞ +
Gk e−φk t
(IV.38)
k=1
Nous prendrons des relations du type :


r2 (t1 , t2 ) = l2 + m2 e−c2 (t1 + t2 )





r31 (t1 , t2 , t3 ) = l31 + m31 e−c31 (t1 + t2 + t3 )





 r32 (t1 , t2 , t3 ) = l32 + m32 e−c32 (t1 + t2 + t3 )
(IV.39)
108
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
pour les noyaux d’ordre 2 et 3 conformément à [75].
IV.4
Calcul du module dynamique
En pratique, les pièces considérées sont amenées à subir une précharge importante due au
poids du moteur, autour de laquelle se superposent des oscillations sinusoidales pour un faible
niveau d’amplitude. Dans la suite, nous nous limiterons à ce type de chargement, et nous nous
intéresserons à la prédiction de la réponse en fréquence associée au développement en séries pour
un tel chargement. Nous écrivons ainsi le déplacement sous la forme :
(IV.40)
U (t) = U0 + δU (t)
et nous poserons β(t) = δU (t). Les petites déformations superposées étant sinusoidales, on
écrira :
1
(IV.41)
δU (t) = β(t) =
β0 eiωt + β0 e−iωt
2
L’effort associé est alors obtenu en reportant (IV.40) dans l’expression donnée dans le tableau
(IV.2), et s’écrira :
N
X
1 (IV.42)
F (t) = F0 +
Fk ek iωt + Fk e−k iωt
2
k=1
où chacun des paramètres F0 , Fk k = 1 . . . N , pourra être exprimé en fonction de la précharge
U0 , de l’amplitude de débattement β0 , et des noyaux de relaxation. L’effort F (t) prendra en
compte deux types de non linéarités : les non linéarités géométriques provenant de la prise en
compte des termes quadratiques des déformations, et celles liées à la loi de comportement non
linéaire. Si nous nous limitons à la contribution du premier harmonique dans (IV.42), alors F (t)
peut être approché par :
F (t) = F0 +
1
2
Fdyn e iωt + Fdyn e−iωt
(IV.43)
et le module dynamique non linéaire est formé en rapportant l’effort Fdyn à l’amplitude du
déplacement sinusoidal. On aura ainsi
Kdyn (ω, U0 , β0 ) =
Fdyn (ω)
β0
(IV.44)
Une démarche similaire à celle présentée au paragraphe (IV.3) conduit à l’expression complète
du module dynamique
K(U0 , β0 , ω) = K 1 (U0 , β0 , ω) + K 2 (U0 , β0 , ω) + K 3 (U0 , β0 , ω)
(IV.45)
où K 1 (respectivement K 2 , K 3 ) correspond à la contribution due au développement des contraintes
à l’ordre 1 (respectivement 2 et 3). En fait, à l’ordre 3, on aura une contribution due à S31 et
une autre due à S32 . Dans ces conditions on écrira
K 3 (U0 , β0 , ω) = K 31 (U0 , β0 , ω) + K 32 (U0 , β0 , ω)
IV.4. Calcul du module dynamique
109
La dépendance en fréquence des fonctions K 31 et K 32 sont exactement similaires : ils s’expriment
dans un cas en fonction des paramètres indicés 31 dans l’expression (IV.39) pourK 31 , et en
fonction des paramètres indicés 32 pour K 32 . Par contre, les coefficients de volume intervenant
dans chacune de ces contributions seront différents (annexe B). Les différentes étapes de calcul
du module dynamique sont développées en annexe C.
IV.4.1
Contribution des termes d’ordre 1
Remplaçons le déplacement U (t) par son expression (IV.40) dans (IV.30), cela donne :

Z t



K̃
(U,
t)
=
r1 (t − τ )β̇(τ )dτ + r1 (t)U (0)
 1
0
Z t
Z t



r1 (t − τ ) β̇(τ )dτ + 2
r1 (t − τ ) β(τ ) β̇(τ )dτ + r1 (t)U 2 (0)
 K̃2 (U, t) = 2 U0
0
0
(IV.46)
Utilisons à présent le fait que les débattements sont sinusoidaux. On a ainsi
β(t) =
1
β0 eiωt + β0 e−iωt
2
(IV.47)
Pour calculer la réponse en fréquence associée au développement à l’ordre 1, nous choisissons la
forme du noyau de relaxation
r1 (t) = G∞ +
N
X
k=1
Gk e−φk t
(IV.48)
En ne conservant que les termes au premier harmonique, le module dynamique s’écrit sous la
forme (voir calculs en annexe C) :
K 1 (U0 , β0 , ω) = a1 K11 (U0 , β0 , ω) + a21 K21 (U0 , β0 , ω) + a22 K31 (U0 , ∆U, ω) + a3 K41 (U0 , β0 , ω)
(IV.49)
Avec

!
N
X

i
ω
G

k
 K 1 (U0 , β0 , ω) =

G∞ +

1

φk + i ω


k=1



!


N

X

i ω Gk

1

K2 (U0 , β0 , ω) = 2U0 G∞ +


φk + i ω

k=1
!

N

X

i
ω
G
k


K31 (U0 , β0 , ω) = 2 U0 2 G∞ +


φ
+
i
ω

k

k=1



"
!
!#


N
N

X
X

2
i
ω
G
β
2
i
ω
G
β
0
0
k
k

1

2U02 3 G∞ +
+
3 G∞ +

 K4 (U0 , β0 , ω) =
φk + i ω
2
φk + 2 i ω
k=1
k=1
(IV.50)
110
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
Dans l’expression (IV.49), seule la fraction rationnelle associée à a1 correspond à l’hypothèse
des petites perturbations. Dans ce cas en effet, tous les coefficients de volume faisant intervenir
les déformations au second ordre sont négligés, et on retrouve
!
N
X
i ω Gk
1
(IV.51)
K (U0 , β0 , ω) = a1 G∞ +
φk + i ω
k=1
ce qui correspond au modèle classique de Maxwell généralisé de la viscoélasticité linéaire.
Le modèle non préchargé correspond à U0 = 0. On retrouve alors une dépendance en amplitude :
!
2
iω
G
k
K 1 (U0 , β0 , ω) = a1 G∞ +
3 G∞ +
φk + 2 iω
k=1
k=1
(IV.52)
Cette dépendance en amplitude est alors géométrique, puisqu’elle est liée à l’existence de déformations
au second ordre. Elle correspond à une rigidification, le module augmentant avec l’amplitude
du débattement. Or, en pratique, la rigidification n’est observée que pour des très fortes amplitudes de débattement ; pour de faibles niveaux, on constate une chute du module dynamique avec l’amplitude. Ce dernier phénomène ne peut clairement pas être pris en compte par
un développement à l’ordre 1, puisqu’à l’ordre 1 la dépendance en amplitude est purement
géométrique. Pour pouvoir approcher la non linéarité comportementale, il est ainsi nécessaire
de pousser le développement à un ordre supérieur.
N
X
IV.4.2
iω Gk
φk + iω
!
β0 β0
+ a3
2
N
X
Contribution des termes d’ordre 2 et 3
En utilisant exactement la même démarche, à l’ordre 2, le module dynamique fera intervenir
8 coefficients de volume et 8 fractions rationnelles, et on écrira :
K 2 (U0 , β0 , ω) = b2 K12 + b31 K22 + b32 K32 + b33 K42 + b41 K52 + b42 K62 + b43 K72 + b5 K82
(IV.53)
2
2
où les fonctions K1 à K8 sont des fractions rationnelles en ω, calculées en adoptant la même
méthodologie que celle exposée en IV.4.1. Ils sont ainsi obtenus en remplaçant U (t) par son
expression (IV.40) dans les fonctions P̃k (U, t) (Annexe A). L’expression du module dynamique
est reportée en annexe C. A l’ordre 2, le développement aboutit à des non linéarités polynomiales
allant jusqu’à l’ordre 4 en U0 et en β0 .
De la même manière, à l’ordre 3, en regroupant les contributions de S31 et de S32 , il y aura (en
prenant en compte les simplifications sur les coefficients de volume et les fractions rationnelles)
19 coefficients de volume à calculer, et 9 fractions rationnelles (annexe C). On a alors des non
linéarités jusqu’à l’ordre 6 en U0 et β0 .
IV.5. Cas où la non linéarité est uniquement comportementale
IV.5
111
Cas où la non linéarité est uniquement comportementale
A partir des expressions précédentes, on peut reconstituer la forme complète du module
dynamique, de manière similaire à ce qui est présenté en (IV.2). Cet exemple montre que la
démarche simplifiée permet d’obtenir une expression analytique, même quand l’approche utilisée
pour représenter le comportement microscopique est complexe. Toutefois, on se rend compte
dans les expressions précédentes de la difficulté qui va apparaı̂tre lors de l’identification des
coefficients. En effet, l’expression obtenue est certes très complète : elle prend en compte à la fois
les effets de précharge, d’amplitude de débattement, de rigidification en fréquence, et permet
de coupler les non linéarités géométriques et comportementales. Mais même en ne conservant
que le premier harmonique dans le calcul du module dynamique, il faut évaluer dans le cas
général quatre termes à l’ordre 1, 6 à l’ordre 2, et 9 pour chacune des contributions à l’ordre
3, soit 28 fonctions qui dépendent chacune de la précharge, de l’amplitude de débattement, et
de la fréquence d’excitation. De plus, la dépendance en amplitude étant très importante pour
les plus faibles niveaux d’amplitude, on ne peut pas la négliger lors d’essais à bas niveaux, pour
identifier par exemple la fonction K11 autour de la précharge nulle, à faible amplitude. Pour
faciliter le processus d’identification, il semble donc plus judicieux de nous intéresser dans un
premier temps uniquement aux effets comportementaux, et identifier ainsi un jeu de paramètres
qui pourra être optimisé ensuite par l’introduction des effets géométriques. C’est pourquoi dans
un premier temps, nous nous intéressons à la prédiction du modèle dans le cas où la non linéarité
est uniquement comportementale. Les déformations seront supposées petites, mais la relation
contraintes-déformations sera non linéaire, de manière à approcher la dépendance en amplitude.
Le premier paragraphe de cette partie présente les simplifications obtenues pour le calcul du
module dynamique sous ces nouvelles hypothèses. De plus, l’expression analytique étant plus
simple, la forme des noyaux peut être enrichie pour introduire des modèles fractionnaires. Les
paragraphes qui suivent traitent de la comparaison entre les résultats analytiques ainsi obtenus
et des résultats expérimentaux réalisés au laboratoire et à CFGOMMA.
IV.5.1
Ecriture de la relation contraintes-déformations
En se basant sur les hypothèses décrites précédemment, nous négligeons tous les termes du
second ordre intervenant dans l’expression des déformations, ce qui permet d’écrire :
Z t
Z t Z t
˙ )dτ +
˙ 1 )(τ
˙ 2 )dτ1 dτ2
σ(t) = −p(t)I +
r1 (t − τ )(τ
r2 (t − τ1 , t − τ2 )(τ
Z
t
Z
t
−∞
t
Z
+
−∞ −∞ −∞
Z t Z t Z t
+
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
˙ 1 )(τ
˙ 2 )) ˙ (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
r31 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 )tr ((τ
˙ 1 )(τ
˙ 2 )(τ
˙ 3 )dτ1 dτ2 dτ3
r32 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 )(τ
(IV.54)
L’application de la démarche exposée en IV.2 se trouve ainsi considérablement simplifiée. En
effet seuls les termes linéaires des déformations sont à prendre en compte, aussi bien dans
112
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
l’équation (IV.22) que dans les expressions des contributions des contraintes. Ainsi, en adoptant
les notations du paragraphe précédent, l’effort associé à la seule non linéarité comportementale
s’écrira :
Z t
Z t Z t
F (t) = a1
r1 (t − τ )U̇ (τ )dτ + b2
r2 (t − τ1 , t − τ2 )U̇ (τ1 )U̇ (τ2 )dτ1 dτ2
−∞
t
Z
+ c31
Z
Z
t
−∞
t
−∞ −∞ −∞
Z t Z t Z t
+ c32
−∞
−∞
−∞
−∞
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 )U̇ (τ1 )U̇ (τ2 )U̇ (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
r4 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 )U̇ (τ1 )U̇ (τ2 )U̇ (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
= F1 (t) + F2 (t) + F31 (t) + F32 (t)
(IV.55)
En s’appuyant sur le calcul du module dynamique détaillé dans le paragraphe IV.4, nous estimerons la contribution de chacun des noyaux de Volterra (ordre 1, 2 et 3), en supposant que la
précharge U0 est nulle.
IV.5.2
Contribution des termes d’ordre 1
En posant V (t) = U̇ (t), on a
1
F1 (ω) = a1
2
Z
Z
= a1
=
où nous avons noté
0
+∞
0
r1 (X)V (t − X)dX
+∞
r1 (X)
1
V0 eiω(t−X) + V0 e−iω(t−X)
2
1
1
V0 K1 (ω)eiωt + V0 K1 (−ω)e− iωt
2
2
Z +∞



K1 (ω) =
r1 (X)e−iωX dX



0





1

 V (t) = U̇ (t) =
iω(β0 eiωt − β0 e−iωt )
2



V0 = iωβ0




Z



1 1


Ẽij
Ẽij dΩ0
a1 =
Ω0
On a ainsi à l’ordre 1 un seul terme associé au premier harmonique.
dX
(IV.56)
IV.5. Cas où la non linéarité est uniquement comportementale
IV.5.3
113
Contribution des termes d’ordre 2
A l’ordre 2, en utilisant la même démarche, on obtient :
h
i
1
1
2
F2 (ω) =
b2 V02 K2 (ω, ω)e2iωt + V0 V0 ( K2 (ω, −ω) + K2 (−ω, ω) ) V0 K2 (ω, −ω)e−2iωt
2
4
(IV.57)
où
Z +∞ Z +∞
Z −iω1 X1 −iω2 X2
1 1
1
K2 (ω1 , ω2 ) =
Ẽik
Ẽkj Ẽij
r2 (X1 , X2 )e
e
dX1 dX2 b2 =
dΩ0
0
0
Ω0
On constate que la contribution au premier harmonique associé au développement à l’ordre 2
est nulle.
IV.5.4
Contribution des termes d’ordre 3
Un calcul identique aux deux précédents conduit à l’ordre trois à l’expression suivante :
1
F3k (ω) =
2
+
+
1
c3k V03 K3k (ω, ω, ω)e3iωt + V02 V0 eiωt [ K3k (ω, ω, −ω) + K3k (ω, −ω, ω)
8
2
K3k (−ω, ω, ω) ] + V0 V0 e−iωt
o [ K3k (ω, −ω, −ω) + K3k (−ω, ω, −ω) + K3k (−ω, −ω, ω) ]
3
V0 K3k (−ω, −ω, −ω)e−3iωt
(IV.58)
où :
k = 1, 2
Z +∞ Z +∞ Z +∞
K3k (ω1 , ω2 , ω3 ) =
r3k (X1 , X2 , X3 )e−iω1 X1 e−iω2 X2 e−iω3 X3 dX1 dX2 dX3
0
0
Z0
1 1 1 1
Ẽpl
Ẽlp Ẽij Ẽij dΩ0
c31 =
Ω0
Z
c32 =
Ω0
1 1
1
1 1
Ẽik
Ẽkp Ẽpj
Ẽij
Ẽij dΩ0
On remarque que F3k est composé d’harmoniques d’ordre 3, d’ordre 1 et d’ordre 0. Dans notre
cas seul l’harmonique fondamental sera retenu, et F3k (ω) est approximé par :
F3k (ω) =
IV.5.5
1
c3k V02 V0 [ K3k (ω, ω, −ω) + K3k (ω, −ω, ω) + K3k (−ω, ω, ω) ]
4
Expression globale du module dynamique
En remplaçant V0 par iωβ0 , et en ne conservant que le premier harmonique, le module
dynamique prend la forme :
Kdyn (ω) =
F (ω)
1
= a1 iωK1 (ω) + (−iω)(iω)2 |β0 |2 [c31 K31 (ω) + c32 K32 (ω) ]
β0
4
(IV.59)
114
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
où nous avons noté
K3k (ω) = [ K3k (ω, ω, −ω) + K3k (ω, −ω, ω) + K3k (−ω, ω, ω) ]
l’expression IV.59 peut s’écrire sous forme condensée :
Kdyn (ω) = Klin (ω) + |β0 |2 Knonlin (ω)
avec



IV.5.5.1
Klin (ω) = iωK1 (ω)
Knonlin (ω) =
1
2
4 (−iω)(iω)
(IV.60)
(IV.61)
[c31 K31 (ω) + c32 K32 (ω) ]
Cas de noyaux de relaxation exponentiels
Si nous choisissons des noyaux de relaxation du type :
X
r1 (t)
= G∞ +
Gk e−φk t
k
(IV.62)
r3k (t1 , t2 , t3 ) = l3k + m3k e−δ3k (t1 +t2 +t3 )
alors la symétrie du noyau r3k permet d’écrire :
K3k (ω, ω, −ω) = K3k (ω, −ω, ω) = K3k (−ω, ω, ω)
En reportant (IV.62) dans (IV.61), on obtient la forme du module dynamique associée à des
noyaux de relaxation exponentiels :
!

2
X

ω
+
iωφ
k


Klin (ω) = a1 G∞ +
Gk 2



ω + (φk )2
k
(IV.63)
!
!

4
3
4
3

3
ω
+
iω
δ
ω
+
iω
δ
3

31
32


+ c32 l32 + m32
 Knonlin (ω) = 4 c31 l31 + m31 2
2 2
2
2 2
4
ω + δ31
ω + δ32
IV.5.5.2
Cas de noyaux de relaxation fractionnaires
De la même manière, en prenant pour premier noyau un modèle à dérivation fractionnaire à
3 paramètres, on aura
Klin (ω) = a1 iωK1 (ω) = a1 G1 (1 + ξ1 (i ω)α1 )
(IV.64)
On peut aussi prendre des noyaux fractionnaires pour approximer les termes non linéaires.
Considérons un noyau d’ordre 3 sous la forme :
r3 (t1 , t2 , t3 ) = f (t1 )f (t2 )f (t3 )
(IV.65)
IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
Z
avec
iω
f (X)e−iωX dX = G3 (1 + ξ3 (i ω)α3 )
115
(IV.66)
En reportant les deux expressions précédentes dans (IV.61), on obtient
−(iω)(iω)2 K3 (ω, ω, −ω) = −(iω)(iω)2 K3 (ω, −ω, ω) = −(iω)(iω)2 K3 (−ω, ω, ω)
= [ G3 (1 + ξ3 (i ω)α3 ) ]2 G3 (1 + ξ3 (i ω)α3 )
(IV.67)
= || G3 (1 + ξ3 (i ω)α3 ) ||2 G3 (1 + ξ3 (i ω)α3 )
d’où
3
c31 G31 (1 + ξ31 (i ω)α31 )2 G31 (1 + ξ31 (i ω)α31 )
4
3
+
c32 G32 (1 + ξ32 (i ω)α32 )2 G32 (1 + ξ32 (i ω)α32 )
4
pour un modèle avec des noyaux fractionnaires.
Knonlin (ω) =
IV.6
(IV.68)
Confrontation modèle/résultats expérimentaux
L’équation (IV.2) donne l’expression complète de l’effort non linéaire, pour une direction de
sollicitation, fonction de toutes les non linéarités (effets de volume, non linéarités géométriques
et comportementales). La simplification de cette forme pour ne prendre en compte que les non
linéarités comportementales conduit à (IV.60). Dans cette dernière expression, la direction de
chargement ainsi que les effets de volume sont pris en compte dans les coefficients a1 , c31 , c32 . Un
résultat intéressant de la forme (IV.60) est que la dépendance en amplitude a qualitativement
la même forme quels que soient la direction de chargement et les effets de géométrie. De plus,
l’expression (IV.60) avec les modélisations associées (IV.63), (IV.64-IV.68) donne l’expression
analytique du module dynamique dans une direction en fonction de la fréquence et de l’amplitude
du débattement. L’objectif de cette partie est de vérifier ces deux dernières hypothèses, à savoir :
– La dépendance en amplitude a-t-elle la même forme pour toutes les sollicitations, et ceci
indépendamment de la géométrie de la pièce?
– L’équation (IV.60) est elle suffisante pour approcher le comportement observé?
Pour vérifier ces hypothèses, des expériences ont été menées au laboratoire et à CF GOMMA
Barre Thomas, l’objectif étant de mesurer le module dynamique pour plusieurs cas de chargement
et de géométrie. Dans un premier temps, on s’intéresse uniquement au modèle simplifié exposé
dans le paragraphe IV.5, toutes les expériences présentées dans cette partie seront donc réalisées
sans précharge.
116
IV.6.1
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
Les essais réalisés
Les paragraphes qui suivent présentent les essais type réalisés pour identifier les paramètres
du modèle.
IV.6.1.1
Essais de traction compression sur éprouvette
Afin de pouvoir réaliser un essai de traction compression autour de l’état non déformé, on
utilise le plot suivant (figure IV.1) :
U (t)
D = 43 mm
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Caoutchouc
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
P
L = 60 mm
Fig. IV.1: Plot utilisé pour l’essai de traction compression
Ce plot est constitué d’un cylindre en élastomère vulcanisé de 60 mm de hauteur et 43 mm
de diamètre. Le mélange utilisé est un mélange très peu chargé en noir de carbone, noté Y 573.
Aux deux extrémités, sont adhérisées des armatures métalliques. Si l’on considère que l’une des
armatures reste fixe pendant que l’autre se déplace de U (t) suivant l’axe du plot, le rapport
F (f orce transmise au plot)
F accélération de l0 armature
(IV.69)
est une fonction de transfert qui caractérise le comportement du plot en traction compression. Pour déterminer expérimentalement cette fonction de transfert, on utilise le dispositif
expérimental représenté figures IV.2a et IV.2b.
IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
117
BATI FIXE
Capteur de Force
Plot
EXCITATEUR
en caoutchouc
Preamplificateur de
charge B&K
(a) Banc d’essai
Accelerometre
Tige d’excitation
ANALYSEUR
AMPLIFICATEUR
DE PUISSANCE
(b) Montage du plot sur le banc d’essai
Fig. IV.2: Dispositif expérimental
Une excitation sinusoı̈dale à différentes fréquences (sinus balayé) est imposée à l’une des
armatures métalliques du plot par l’intermédiaire d’un excitateur électrodynamique. Un des
accéléromètres sert à mesurer l’accélération de l’armature mobile. L’autre, relié à un préamplificateur
de charge, puis à l’analyseur, permet d’assurer l’asservissement en déplacement. Le capteur de
force placé entre le bâti et l’armature fixe permet de mesurer la force transmise au plot. Les
signaux mesurés par l’accéléromètre et le capteur de force sont envoyés sur un analyseur de
réponses en fréquence qui réalise le rapport (IV.69).
Plusieurs séries de mesure sont réalisées, où l’on fait varier l’amplitude du débattement imposé,
de ±0.1 mm à ±1.0 mm, et pour chaque valeur de l’amplitude plusieurs acquisitions sont faites
pour vérifier la reproductibilité de la réponse. La fréquence d’excitation utilisée se situe entre 1
et 50 Hz.
IV.6.1.2
Essais de cisaillement sur éprouvette
Des essais de cisaillement ont également été réalisés au LRCCP (Laboratoire de Recherches
et de Contrôle des Caoutchoucs et des Plastiques). Les pièces utilisées dans ce but sont des
éprouvettes bicouche élastomère métal (éprouvettes de double cisaillement), constituées de
deux plaques en élastomère vulcanisé de 4 mm de hauteur, et 20 mm de largeur. Aux extrémités
de chacune des plaques, sont adhérisées des armatures métalliques (figure IV.3).
118
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
Plaque métallique
U (t)
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
e = 4 mm
Caoutchouc
0000000000000000000000
1111111111111111111111
1111111111111111111111
0000000000000000000000
Caoutchouc
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
L = 25 mm
U (t)
Fig. IV.3: Eprouvette de double cisaillement
Si l’on considère que l’armature centrale est fixe, et qu’un déplacement est imposé aux deux
armatures externes, l’éprouvette subit un chargement de cisaillement. Avant de commencer les
mesures, un déverminage est effectué. Il consiste à effectuer un chargement cyclique jusqu’à
stabilisation de la réponse. On s’affranchit ainsi de l’effet Mullins. Tous les essais sont réalisés
pour une température de 23◦ . Pour la caractérisation dynamique, le déplacement imposé est un
sinus balayé d’amplitude fixée :
U (t) = β0 sin(2πf t)
(IV.70)
Le balayage en fréquence se fait pour des valeurs de f = 1Hz à f = 100Hz, l’asservissement
est réalisé sur le déplacement. Les mesures sont faites pour les valeurs suivantes du déplacement
imposé β0 :
± 0.01 mm
± 0.05 mm
± 0.1 mm
± 0.5 mm
± 1 mm
F (ω, β0 )
.
β0
Deux types de mélange sont testés : un mélange faiblement chargé en noir de carbone, noté Y 573,
et un mélange assez fortement chargé, noté Y 672.
Pour chaque valeur de la fréquence, on mesure le module dynamique K(ω, β0 ) =
IV.6.1.3
Essais sur pièce complexe
Pour passer du modèle microscopique au modèle macroscopique, seuls interviennent des
coefficients de volume, prenant en compte la géométrie de la pièce et les champs de déplacement
admissibles choisis. Il est donc important de s’assurer que la forme de la non linéarité d’amplitude
reste la même pour des pièces ayant des géométries plus complexes. C’est pourquoi des essais
sont également réalisés à CF GOMMA Barre Thomas, sur la cale représentée figure (IV.4).
IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
119
X
Z
Y
Fig. IV.4: Pièce complexe
Deux cales constituées des deux mélanges précédents (Y573 et Y672) sont réalisées pour
les besoins de l’étude. Cette fois, la pièce peut être sollicitée suivant plusieurs directions, le
déplacement imposé pourra donc être
– radial en compression (direction X) (perpendiculairement aux alvéoles)
– axial (direction Y)
– radial en cisaillement (direction Z) (parallèlement aux alvéoles)
Pour chacune de ces directions de chargement, une excitation sinusoidale d’amplitude β0 est
imposée. Les amplitudes de mesure sont récapitulées dans le tableau IV.3
± 0.01 mm
± 0.1 mm
± 0.3 mm
± 0.5 mm
± 0.7 mm
± 1.0 mm
Tab. IV.3: Amplitude du débattement imposé, pour chacune des directions de chargement
La fréquence d’excitation varie de 1 à 100 Hz.
IV.6.2
IV.6.2.1
Analyse des mesures expérimentales
Phénomène de rigidification en fréquence
Les figures qui suivent montrent les allures de la dépendance en fréquence observée pour les
essais de compression, de cisaillement sur éprouvette, et sur pièce.
120
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
74
4.5
73
4
Im(K) N/mm
Re(K) N/mm
72
71
70
β
69
β
3.5
3
68
67
10
20
30
Fréquence Hz
40
50
(a) Partie réelle fonction de la fréquence
2.5
10
15
20
25
30
35
Fréquence Hz
40
45
50
(b) Partie imaginaire fonction de la fréquence
Fig. IV.5: Essai de compression (plot IV.1) sur un mélange faiblement chargé. Evolution du
module dynamique en fonction de la fréquence.
Partie réelle, mélange peu amortissant
Partie imaginaire, mélange peu amortissant
500
50
± 0.01 mm
Re(K) en N/mm
400
β
45
± 0.05 mm
350
40
± 0.5 mm
250
30
± 0.01 mm
± 0.5 mm
25
± 1.0 mm
200
± 1.0 mm
20
150
15
100
10
50
5
0
0
± 0.05 mm
35
± 0.1 mm
300
± 0.1 mm
Im(K) en N/mm
450
20
40
60
80
Fréquence (Hz)
(a) Partie réelle fonction de la fréquence
100
0
0
20
40
60
80
Fréquence (Hz)
(b) Partie imaginaire fonction de la fréquence
Fig. IV.6: Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau peu amortissant (Y573), pas de
précharge. Evolution du module dynamique en fonction de la fréquence.
100
IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
4000
3800
400
± 0.01mm
380
360
± 0.1mm
3000
2800
2600
± 0.3mm
320
± 0.5 mm
300
± 0.7 mm
280
260
± 0.5mm
± 0.7mm
± 1 mm
240
2400
2200
0
± 0.3 mm
340
3400
Im(K)(N/mm)
Re(K)(N/mm)
3600
3200
121
220
± 1mm
10
20
30
40
Fréquence
50
60
(a) Partie imaginaire fonction de la fréquence
70
200
0
10
20
30
40
Fréquence (Hz)
50
60
(b) Partie imaginaire fonction de l’amplitude
Fig. IV.7: Essai radial (cisaillement selon Z) sur cale T5, matériau peu amortissant (Y573),
pas de précharge. Evolution du module dynamique en fonction de la fréquence.
Quelle que soit la nature de la sollicitation, on observe une rigidification en fréquence. Cela
est illustré sur les figures (IV.5), (IV.6) et (IV.7) (cas du mélange le moins amortissant). Il est
important de noter que la caractéristique observée sur éprouvette (rigidification en fonction de
la fréquence) se retrouve de manière similaire sur pièce (figure IV.7). On constate aussi que
les ”formes” de dépendance en fréquence observée sur pièce complexe ou sur éprouvette sont
équivalentes (figures IV.6 et IV.7). Des résultats analogues (pour la dépendance en fréquence)
ont été obtenus pour un mélange plus amortissant.
IV.6.2.2
Phénomène d’assouplissement en fonction de l’amplitude dynamique
De manière similaire, la diminution de raideur avec l’amplitude du débattement imposé est
constatée aussi bien sur éprouvette que sur pièce complète. Cela est illustré sur les figures IV.8,
IV.9 et IV.10. Là encore, on voit que les modules ont même tendance d’évolution en fonction de
l’amplitude, la seule différence par rapport à des essais sur éprouvette provient d’un facteur de
forme, lié à la géométrie.
70
122
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
4.5
75
74
73
4
Im(K) N/mm
Re(K) N/mm
72
71
70
68
67
x = 10 Hz
o = 50 Hz
3.5
69
x = 10 Hz
o = 50 Hz
3
66
65
0.2
0.4
0.6
0.8
2.5
0.2
1
0.4
0.6
0.8
1
Amplitude (mm)
Amplitude (mm)
(a) Partie réelle fonction de l’amplitude
(b) Partie imaginaire fonction de l’amplitude
Fig. IV.8: Essai de compression (plot IV.1) sur un mélange faiblement chargé. Evolution du
module dynamique en fonction de l’amplitude.
1000
Partie imaginaire, mélange amortissant
Partie réelle, mélange amortissant
130
10 Hz
50 Hz
100 Hz
120
900
110
Re(K) en N/mm
Im(K) en N/mm
10 Hz
50 Hz
100 Hz
800
100
700
600
500
90
80
70
60
400
300
0
50
0.2
0.4
0.6
Amplitude mm
0.8
(a) Partie réelle fonction de l’amplitude
1
40
0
0.2
0.4
0.6
Amplitude mm
0.8
(b) Partie imaginaire fonction de l’amplitude
Fig. IV.9: Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau amortissant (Y672), pas de précharge.
Evolution du module dynamique en fonction de l’amplitude du débattement imposé.
1
123
5500
650
5000
600
4500
550
Im(K) (N/mm)
Re(K) (N/mm)
IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
4000
3500
70 Hz
3000
2500
70 Hz
500
10 Hz
450
400
350
10 Hz
2000
1500
0
300
0.2
0.4
0.6
Amplitude (mm)
0.8
250
0
1
(a) Partie réelle fonction de l’amplitude
0.2
0.4
0.6
Amplitude (mm)
0.8
1
(b) Partie imaginaire fonction de l’amplitude
Fig. IV.10: Essai radial (compression) sur cale T5, matériau amortissant (Y672). Evolution du
module dynamique en fonction de l’amplitude.
On observe ainsi que les variations sont très rapides surtout pour pour les faibles valeurs de
l’amplitude pour la partie réelle. On retrouve la même forme pour la dépendance en amplitude
sur le mélange Y 573, toutefois l’évolution du module dynamique avec le niveau de l’excitation
est alors moins importante (puisque cet amortissement augmente avec les charges, voir chapitre
I). Cela est mis en évidence par exemple sur la figure IV.11
800
120
600
100
Y672
200
1000
Im(K) (N/mm)
Re(K) en N/mm
400
Y672
800
60
Y573
40
Y573
600
20
400
200
80
0
0.2
0.4
0.6
Amplitude mm
0.8
(a) Partie réelle fonction de l’amplitude
1
0
0
0.2
0.4
0.6
Amplitude (mm)
0.8
(b) Partie imaginaire fonction de l’amplitude
Fig. IV.11: Evolution du module dynamique sur éprouvette de cisaillement à 50Hz, comparaison
entre un mélange amortissant (Y672) et un mélange faiblement amortissant (Y573).
1
124
IV.6.2.3
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
Bilan des constations expérimentales
A partir des courbes précédentes, on voit que les principales caractéristiques observées sur
éprouvette se retrouvent sur pièces, à savoir :
• Rigidification dynamique en fonction de la fréquence.
• Diminution du module dynamique en fonction de l’amplitude.
• Le déphasage commence à augmenter avec l’amplitude d’excitation, puis il diminue.
Quels que soient la précharge et le mélange considérés, ces observations restent vérifiées.
Au vu des résultats précédents (les résultats dynamiques sur pièces montrent les mêmes tendances d’évolution en fonction de la fréquence et de l’amplitude que les résultats sur échantillon),
l’approximation de Ritz pour calculer le module complexe avec peu de degrés de liberté apparaı̂t
pertinente. En effet les modules ont la même tendance d’évolution, la seule différence entre un
essai sur éprouvette et un essai sur pièce est une fonction de forme qui sera recalée à partir d’un
calcul éléments finis pour prendre en compte la géométrie de la pièce.
IV.6.3
Analyse de la forme du module dynamique
Le développement de la relation contraintes-déformations en séries de Volterra tronquée à
l’ordre 3 prédit la forme suivante pour le module dynamique :
K(ω, β0 ) = Klin (ω) + |β0 |2 Knonlin (ω)
(IV.71)
où Klin (ω) et Knonlin (ω) sont des fonctions (par exemple des fractions rationnelles dans le cas
d’un modèle rhéologique classique) indépendantes de l’amplitude d’excitation, et β0 désigne
l’amplitude du débattement imposé. On voit ainsi que le modèle prédit une dépendance quadratique en fonction de l’amplitude du débattement imposé. Nous cherchons dans cette partie
à vérifier en utilisant les résultats expérimentaux qu’il est effectivement possible de séparer la
dépendance en fréquence et en amplitude, en d’autres termes on cherche à savoir si on peut
effectivement dans le cas du matériau non préchargé, écrire le module dynamique sous la forme :
K(ω) = Klin (ω) + f (β0 )Knonlin (ω)
(IV.72)
où f (β0 ) est une fonction de l’amplitude d’excitation. Pour vérifier que les influences de l’amplitude et de la fréquence sont bien séparables, quelle que soit la précharge, nous allons tracer
les fonctions suivantes :
gk (ω, n) =
Kn (ω) − Kp (ω)
Kk (ω) − Kp (ω)
=
f (βn ) − f (βp )
f (βk ) − f (βp )
(IV.73)
où βn , βk et βp représentent des amplitudes différentes d’excitation. k et p sont choisis arbitrairement, et on trace la courbe précédente en fonction de ω, pour plusieurs valeurs de n. p
sera pris à l’amplitude d’excitation la plus faible pour laquelle on peut s’affranchir des bruits de
IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
125
mesure, dans notre cas on prendra p = ±0.05 mm pour les essais de cisaillement sur éprouvette,
p = ±0.2 mm pour les essais sur le plot de compression, et p = ±0.1 mm pour les essais sur
pièce.
IV.6.3.1
Essai de compression
Les essais de compression ont été réalisés uniquement sur un mélange très faiblement amortissant. Nous montrons donc l’évolution de la fonction IV.73 uniquement pour la partie réelle,
en effet au niveau de la partie imaginaire la différence est de l’ordre du bruit de mesure.
1
n=± 0.9 mm
Re(g1(ω,n))
0.9
0.8
n=± 0.8 mm
0.7
n=± 0.7 mm
0.6
n=± 0.6 mm
0.5
n=± 0.5 mm
0.4
0.3
n=± 0.4 mm
0.2
n=± 0.3 mm
0.1
0
10
20
30
Frequence (Hz)
40
50
Fig. IV.12: Essai de compression sur mélange peu amortissant, pas de précharge
Kn (ω) − K0.2 (ω)
Evolution de la fonction g1 (ω, n) =
K1 (ω) − K0.2 (ω)
On constate sur la figure IV.12 que la fonction tracée semble effectivement indépendante de
la fréquence, pour toutes les valeurs de débattement, ce qui semble justifier la forme IV.72 au
moins pour les essais de compression.
IV.6.3.2
Essai de cisaillement
En ce qui concerne les essais de cisaillement sur éprouvette, nous montrons ci dessous la
forme obtenue dans le cas du mélange le plus amortissant. Une forme similaire est obtenue pour
le mélange Y 573.
126
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
0
1
n = ± 0.5 mm
0.9
−0.01
−0.02
0.7
−0.03
Im(g (ω,n)
0.8
−0.04
0.5
0.4
n = ± 0.1 mm
0.3
−0.05
−0.06
−0.07
0.2
−0.08
0.1
−0.09
0
0
n = ± 0.1 mm
1
Re(g1(ω,n)
0.6
n = ± 0.5 mm
20
40
60
Fréquence (Hz)
80
(a) Partie réelle de g1
100
−0.1
0
20
40
60
Fréquence (Hz)
80
(b) Partie imaginaire de g1
Fig. IV.13: Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau amortissant (Y672), pas de précharge
Kn (ω) − K0.05 (ω)
Evolution de la fonction g1 (ω, n) =
K1 (ω) − K0.05 (ω)
Là encore, on constate une indépendance en fonction de la fréquence : par exemple, pour
n = ±0.1mm, on constate un écart maximal en fréquence de 7% sur la partie réelle, et de 1.9%
sur la partie imaginaire. Pour des valeurs supérieures de n, cet écart est encore plus faible : 1.4%
sur la partie réelle et 0.09% pour n = ±0.5mm, ce qui semble également justifier la forme IV.72.
IV.6.3.3
Pièce complexe (cale T5)
La même étude est faite pour les essais sur pièce complète, pour chacune des directions de
sollicitation (radial en compression (direction X), radial en cisaillement (direction Z), et axial
(direction Y)).
100
IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
1
127
0
n= ± 1.0 mm
0.9
−0.01
n= ± 1 mm
0.8
−0.02
n= ± 0.5 mm
n= ± 0.5 mm
−0.03
Im(g1(ω,n))
Re(g1(ω,n))
0.7
0.6
0.5
−0.04
n= ± 0.3 mm
0.4
−0.05
n= ± 0.3 mm
0.3
−0.06
0.2
−0.07
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
−0.08
0
10
20
30
Fréquence (Hz)
40
50
60
70
Fréquence (Hz)
(a) Partie réelle de g1
(b) Partie imaginaire de g1
Fig. IV.14: Essai radial en compression sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de
précharge
Kn (ω) − K0.1 (ω)
Evolution de la fonction g1 (ω, n) =
K1 (ω) − K0.1 (ω)
1
0
n=± 0.7 mm
0.9
−0.01
n=± 0.7 mm
0.8
−0.02
n=± 0.5 mm
0.6
Im(g1(ω,n))
Re(g1(ω,n))
0.7
−0.03
0.5
−0.04
0.4
n=± 0.5 mm
−0.05
0.3
−0.06
0.2
−0.07
0.1
0
0
10
20
30
40
Fréquence (Hz)
(a) Partie réelle de g1
50
60
70
−0.08
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
(b) Partie imaginaire de g1
Fig. IV.15: Essai axial sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de précharge
Kn (ω) − K0.1 (ω)
Evolution de la fonction g1 (ω, n) =
K1 (ω) − K0.1 (ω)
60
70
128
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
1
0
0.9
−0.01
0.8
−0.02
n=± 0.5 mm
n=± 0.5 mm
−0.03
0.6
Im(g1(ω,n))
1
Re(g (ω,n))
0.7
−0.04
0.5
−0.05
n=± 0.3 mm
0.4
n=± 0.3 mm
−0.06
0.3
0.2
−0.07
0.1
−0.08
0
0
10
20
30
40
Fréquence (Hz)
50
60
70
−0.09
0
(a) Partie réelle de g1
10
20
30
40
Fréquence (Hz)
50
60
(b) Partie imaginaire de g1
Fig. IV.16: Essai radial en cisaillement sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de
précharge
Kn (ω) − K0.1 (ω)
Evolution de la fonction g1 (ω, n) =
K1 (ω) − K0.1 (ω)
Les écarts observés en fonction de la fréquence sont encore négligeables, et de plus en plus
faibles quand n augmente.
On constate sur les figures précédentes que la fonction gk tracée est quasiment constante en
fonction de la fréquence (aussi bien sur éprouvette que sur pièce complète). Cette propriété est
vraie pour tous les mélanges testés, et à toutes les précharges. Nous considérerons donc dans la
suite que le module dynamique non linéaire peut bien s’exprimer sous la forme :
(IV.74)
K(ω, β0 ) = Klin (ω) + f (β0 )Knonlin (ω)
IV.6.4
Identification des paramètres du modèle
La forme de l’expression précédente étant validée, il reste maintenant à identifier les coefficients intervenant dans l’expression précédente, ce qui conduit à déterminer pour chaque
fréquence la valeur des fonctions Klin (ω) et Knonlin (ω), puis à les lisser à l’aide de noyaux
adaptés. Si nous nous intéressons à l’effort dynamique, nous écrivons la relation (IV.71) de la
manière suivante :
F (ωi , βk ) = Klin (ωi )βk + Knonlin (ωi )|βk |2 βk
1 ≤i≤ m
1 ≤k≤ N
(IV.75)
70
IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
129
où F (ωi , βk ) désigne l’effort dynamique mesuré. L’identification des paramètres Klin et Knonlin
se traduit alors par la recherche du minimum d’une fonction quadratique ζ définie par :
ζ =
N
X
[Re (Ftheor (ω, βk )) − Re (Fexp (ω, βk ))]2
k=1
+
(IV.76)
[ Im (Ftheor (ω, βk )) − Im (Fexp (ω, βk ))]2
Pour chaque fréquence, le nombre de points de mesure est bien entendu supérieur au nombre
d’inconnues (5 dans le cas de l’éprouvette de cisaillement, 10 pour le plot de compression, 6 dans
le cas de chacun des essais sur la cale T5).
La recherche du minimum de ζ conduit à la résolution d’un problème de type optimisation
moindre carrés de la forme :
(IV.77)
Px = f
où P est une matrice n x 2 correspondant aux n niveaux d’excitation


β1 β13
 .
.. 
.
[P ] = 
. 
 .

3
βn βn
(IV.78)
et x est un vecteur de dimension 2, où x1 = Klin (ω) et x2 = Knonlin (ω). Quant à f il est donné
par


Fexp (ω, β1 )


..

f (ω) = 
(IV.79)
.


Fexp (ω, βN )
ce qui donne :
PT P x = PT f
(IV.80)
Comme P et f sont connus pour chaque valeur de la fréquence de mesure, les valeurs des
inconnues Klin (ω) et Knonlin (ω) recherchées seront alors données par :
"
#
−1 T
Klin (ω)
P f (ω)
(IV.81)
=
PT P
Knonlin (ω)
IV.6.4.1
Dépendance en fréquence
Une fois connues les valeurs des fonctions Klin (ω) et Knonlin (ω) ainsi calculées, ces fonctions
sont identifiées à l’aide de l’un des modèles (IV.63) ou (IV.64-IV.68), par un algorithme de type
moindre carré. La fonctionnelle étant cette fois


2
2
theor
theor
N
Re Klin
(ωk )
(ωk )
Im Klin
X

ζ =
− 1 + 
− 1
Re (Klin (ωk ))
Im (Klin (ωk ))
k=1
pour identifier Klin (ω) et


2
2
theor
theor
N
Re
K
(ω
)
(ω
)
Im
K
X
nonlin k
nonlin k

ζ =
− 1 + 
− 1
Re (Knonlin (ωk ))
Im (Knonlin (ωk ))
k=1
130
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
pour identifier Knonlin (ω). A titre d’illustration les figures qui suivent montrent des exemples
d’identification des fonctions Klin (ω) et Knonlin (ω) pour les essais sur éprouvette de cisaillement,
matériau amortissant.
Lissage de la partie linéaire
700
150
600
Partie imaginaire
Partie réelle
500
400
300
100
linéaire calculée
linéaire lissée DF
linéaire lissée Maxwell
50
200
linéaire calculée
linéaire lissée DF
linéaire lissée Maxwell
100
0
0
20
40
60
80
0
0
100
20
40
Fréquence
60
80
100
Fréquence
(a) Lissage de la partie réelle de Klin (ω)
(b) Lissage de la partie imaginaire de Klin (ω)
Fig. IV.17: Lissage de Klin (ω)
Lissage de la partie non linéaire
0
0
−10
−100
−20
−30
Partie imaginaire
Partie réelle
−200
−300
−400
−50
−60
−70
−80
−500
−600
0
−40
non linéaire calculée
non linéaire lissée DF
non linéaire lissée exp
20
40
60
80
non linéaire calculée
non linéaire lissée DF
non linéaire lissée exp
−90
100
−100
0
Fréquence
20
40
60
80
Fréquence
(a) Lissage de la partie réelle de Knonlin (ω)
(b) Lissage de la partie imaginaire de Knonlin (ω)
Fig. IV.18: Lissage de Knonlin (ω)
L’identification par modèle de Maxwell présenté figure IV.17 est faite avec une seule cellule
(3 paramètres à identifier). On voit clairement qu’une seule cellule n’est pas suffisante pour
modéliser le comportement sur toute la gamme de fréquence de mesures. Pour arriver avec un
modèle de Maxwell à identifier le comportement sur toute la gamme de fréquence, il faudrait
augmenter le nombre de cellules, et donc le nombre de paramètres à identifier. Par contre le
modèle à dérivation non entière a permis une bonne identification pour toutes les fréquences de
100
IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
131
mesure, avec seulement 3 paramètres. De même, le modèle fractionnaire a permis une bonne
représentation du comportement en fréquence de la fonction Knonlin (ω). Par contre le modèle
avec un seul noyau de relaxation exponentiel ne donne pas de bons résultats (figure IV.18). Là
encore on pourrait améliorer ce résultat en augmentant le nombre de termes dans la série de
Prony.
En prenant le meilleur résultat d’identification (modèle fractionnaire), on peut alors reconstituer
l’évolution de l’effort complexe pour tous les niveaux de fréquence et d’amplitude d’excitation,
à l’aide de la relation :
F (ω, β) = Klin (ω)β + Knonlin (ω)|β|2 β
(IV.82)
La figure IV.19 et le tableau IV.4 montre une comparaison entre l’effort complexe ainsi identifié
et les valeurs expérimentales :
β=± 0.01 mm
β= ± 0.05 mm
10
β=± 0.01 mm
38
1.1
36
1.05
6
9
1
34
8
β= ± 0.05 mm
6.5
5.5
0.95
32
0.9
5
7
F"
F"
F’
F’
30
0.85
28
4.5
0.8
6
26
0.75
24
5
3.5
22
4
0
50
20
0
100
Fréquence
4
0.7
0.65
50
0.6
0
100
Fréquence
50
(a) Partie réelle
β= ± 0.1 mm
β= ± 0.1 mm
300
13
100
280
12
260
11
240
10
β= ± 0.5 mm
50
60
45
50
F"
40
F"
F’
F’
55
220
9
200
8
180
7
35
45
40
0
50
Fréquence
(b) Partie imaginaire
β= ± 0.5 mm
65
3
0
100
Fréquence
30
50
100
160
0
Fréquence
(c) Partie réelle
50
Fréquence
100
6
0
50
100
Fréquence
25
0
50
100
Fréquence
(d) Partie imaginaire
Fig. IV.19: Comparaison entre les valeurs expérimentales et identifiées de l’effort dynamique
pour plusieurs valeurs de l’amplitude, - = expérimental, - - =identifié
132
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
±0.01 mm
|Re(Fid ) − Re(Fexp )|
|Re(Fexp )|
|Im(Fid ) − Im(Fexp )|
|Im(Fexp )|
Amplitude
± 0.05 mm ± 0.1 mm
± 0.5 mm
±1.0 mm
36 %
17 %
4%
33 %
7.5 %
2.7 %
22 %
17 %
15 %
11 %
Tab. IV.4: Erreur relative sur l’effort dynamique (valeur moyenne sur toutes les fréquences)
On constate que l’erreur entre les valeurs mesurées et identifiées est très importante. Or le
lissage de la dépendance en fréquence à l’aide du modèle fractionnaire était satisfaisante (figures
IV.17 et IV.18). Il semble donc que la forme de la dépendance en amplitude retenue n’est pas
suffisante pour reproduire le comportement observé expérimentalement. Pour un développement
en séries de Volterra à l’ordre 3, cette dépendance s’exprimait conformément à :

 F (ω, β0 ) = Klin (ω)β0 + f (β0 )β0 Knonlin (ω)
(IV.83)

f (β0 ) = β02
les fonctions Klin (ω) et Knonlin (ω) étant identifiées à l’aide de (IV.81). Dans la suite, nous
allons analyser cette dépendance en amplitude en nous plaçant à fréquence fixée.
IV.6.4.2
Analyse de la dépendance en amplitude
La figure IV.20 montre une comparaison entre l’effort dynamique expérimental pour une
fréquence de mesure (ici 50 Hz) et l’effort identifié à partir de (IV.83).
Partie réelle à 50 Hz
Partie imaginaire à 50 Hz
350
60
300
50
250
200
Force (N)
Force (N)
40
30
150
o = expérimental
−− = identifié
100
o = expérimental
−− = identifié
10
50
0
0
20
0.2
0.4
0.6
Amplitude (mm)
(a) Partie réelle de F
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Amplitude (mm)
(b) Partie imaginaire de F
Fig. IV.20: Lissage de l’effort à 50 Hz pour l’essai de cisaillement par le modèle IV.75
1
IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
133
Les coefficients identifiés sont ensuite reportés dans l’expression du module dynamique
K(ωi , β0 ) = Klin (ωi ) + Knonlin (ωi ) β0 2 . Nous comparons alors l’évolution du module dynamique en fonction de l’amplitude prédit par le modèle au module dynamique expérimental,
et ce pour toutes les fréquences de mesure. La figure IV.21 illustre un exemple d’application
sur l’éprouvette de cisaillement à 50 Hz, les erreurs observées entre les valeurs identifiées et
expérimentales étant récapitulées dans le tableau IV.5.
1000
Partie imaginaire de K à 50 Hz
Partie réelle de K à 50 Hz
120
900
100
800
K (N/mm)
K (N/mm)
700
600
500
400
60
40
300
200
o = expérimental
−− = identifié
100
0
0
80
0.2
0.4
0.6
0.8
o = expérimental
−− = identifié
20
0
0
1
0.2
Amplitude (mm)
0.4
0.6
0.8
Amplitude (mm)
(a) Partie réelle de K
(b) Partie imaginaire de K
Fig. IV.21: Lissage du module à 50 Hz pour l’essai de cisaillement par le modèle IV.75
±0.01 mm
Amplitude
± 0.05 mm ± 0.1 mm
± 0.5 mm
±1.0 mm
|Re(Kid ) − Re(Kexp )|
344
120
1.7
130
23
|Im(Kid ) − Im(Kexp )|
|Re(Kid ) − Re(Kexp )|
|Re(Kexp |)
|Im(Kid ) − Im(Kexp )|
|Im(Kexp )|
0.51
18.7
14.12
15.4
2.7
37 %
17 %
0.29 %
33%
7%
0.5 %
16 %
12.4 %
21%
5%
Tab. IV.5: Erreur absolue et relative sur le module dynamique à 50Hz obtenue par le modèle
IV.81
L’erreur relative obtenue est très importante. De plus, on observe clairement que le module
dynamique expérimental n’a pas la même convexité que le module dynamique identifié (figure
IV.21). En fait une forme polynomiale en β 2 ne peut en aucun cas approcher la convexité des
courbes expérimentales.
On voit ainsi que la séparation fréquence amplitude dans la partie non linéaire du module
dynamique semble certes pertinente au vu des résultats expérimentaux. Par contre une forme
quadratique en déplacement est clairement insuffisante pour approcher la dépendance en ampli-
1
134
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
tude. On peut donc dire qu’un développement à l’ordre 3 est insuffisant pour prendre en compte
la non linéarité observée, il faudrait pousser le développement à un ordre supérieur. Mais cela
augmenterait le nombre de paramètres à identifier, et donc le nombre d’essais nécessaires pour
pouvoir avoir une identification fiable des paramètres, ce qui rendrait l’approche extrêmement
lourde.
IV.7
Etude en utilisant des noyaux de fluage
IV.7.1
Formulation ”inverse”
Nous avons exclu le développement en séries au-delà de l’ordre trois. En effet, augmenter
l’ordre du développement et tronquer la réponse au premier harmonique reviendrait à approcher
le module par une fonction du type :
X
K(ω, β) = K0 (ω) +
β2k K2k (ω)
(IV.84)
k
Pour chaque fréquence, les fonctions K2k (ω) peuvent être identifiées en utilisant la même
démarche que celle exposée au paragraphe IV.6.4, mais il faudra ensuite choisir une forme pour
chacun des noyaux de relaxation, et le nombre de paramètres du modèle deviendrait ainsi très
élevé. De plus, au vu des courbes expérimentales IV.8, IV.9 et IV.10, il semble difficile d’approcher cette forme de non linéarité par un polynôme, à moins que l’ordre du polynôme ne soit assez
élevé. En fait d’après la forme des courbes montrant la dépendance en amplitude, il semblerait
√
qu’une non linéarité en β serait plus appropriée. A partir de cette constatation, nous avons
développé une formulation inverse de la relation (IV.55) qui se base sur des noyaux de fluage.
Cela conduit à l’écriture suivante pour V (t) = U̇ (t) :
Z +∞
Z +∞ Z +∞
V (t) =
h1 (X)F (t − X)dX +
h2 (X1 , X2 )F (t − X1 )F (t − X2 )dX1 dX2
0
Z
+∞ Z +∞ Z +∞
+
0
0
0
0
0
h3 (X1 , X2 , X3 )F (t − X1 )F (t − X2 )F (t − X3 )dX1 dX2 dX3
= V1 (t) + V2 (t) + V3 (t)
(IV.85)
la même démarche qu’au paragraphe (IV.5) permet d’exprimer la souplesse dynamique H(ω) en
fonction des transformées de Fourier des noyaux h1 et h3 . Il n’y a pas de contribution au premier
harmonique pour le noyau h2 . En tronquant la réponse au premier harmonique, on obtient :
H(ω) =
U (ω)
F (ω)
=
U1 (ω) + U3 (ω)
= Hlin (ω) + |F (ω)|2 HN L (ω)
F (ω)
(IV.86)
IV.7. Etude en utilisant des noyaux de fluage
135
avec
e 1 (ω) = H1 (ω)
Hlin (ω) = H
iω
1 f
f3 (−ω, ω, ω) + H
f3 (ω, −ω, ω)
HN L (ω) =
H3 (ω, ω, −ω) + H
4
f3 (ω, ω, −ω) =
H
(IV.87)
H3 (ω, ω, −ω)
iω
où H1 et H3 désignent les transformées de Fourier des noyaux de fluage h1 et h3 .
IV.7.2
Dépendance des efforts et souplesse dynamique vis à vis de l’amplitude du débattement
Les fonctions Hlin (ω) et HN L (ω) sont ensuite identifiées à partir des courbes expérimentales
effort déplacement à une fréquence donnée, en utilisant un algorithme similaire à celui exposé
en IV.6.4, ce qui donne :
"
#
−1 T
Hlin (ωi )
P U(ωi )
(IV.88)
=
PT P
HN L (ωi )
Avec
"
[U ](ω) =
β1
..
.β
#
(IV.89)
n
et


F (ωi , β1 ) |F (ωi , β1 )|2 F (ωi , β1 )


..
..

P = 
.
.


F (ωi , βn ) |F (ωi , βn )|2 F (ωi , βn )
(IV.90)
Les valeurs optimales de Hlin et HN L ainsi déterminées sont ensuite utilisées pour calculer la
valeur absolue de |U (ω)| obtenue par le modèle (IV.88). La figure IV.22 montre une comparaison
entre l’effort expérimental et l’effort identifié dans le cas de l’essai de cisaillement, pour une
fréquence de 60Hz :
136
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
350
50
45
300
40
35
Im (F) N
Re (F) N
250
200
150
25
20
15
100
o = expérimental
+ = identifié
50
0
0
30
o=expérimental
+=identifié
10
5
0.2
0.4
0.6
0.8
Amplitude (mm)
1
1.2
1.4
0
0
(a) Partie réelle de F
0.2
0.4
0.6
0.8
Amplitude (mm)
1
1.2
1.4
(b) Partie imaginaire de F
Fig. IV.22: Lissage de l’effort à 60 Hz pour l’essai de cisaillement par le modèle IV.85.
On voit que l’ordre de grandeur de l’erreur ainsi obtenue est beaucoup plus acceptable que
dans le cas du développement en noyaux de relaxation. Pour réduire l’erreur pour les faibles
niveaux d’amplitude, la fonctionnelle de minimisation est normée, ce qui permet d’obtenir le
lissage suivant :
50
350
45
300
40
35
Im (F) N
Re (F) N
250
200
150
o = expérimental
+ = identifié
100
30
25
20
15
10
50
0
0
o = expérimental
+ = identifié
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Amplitude (mm)
Amplitude (mm)
(a) Partie réelle de F
(b) Partie imaginaire de F
Fig. IV.23: Lissage de l’effort à 60 Hz pour l’essai de cisaillement par le modèle IV.85.
Amplitude
±0.01 mm ± 0.05 mm ± 0.1 mm ± 0.5 mm ± 1.0 mm
|Uid | − Uexp
0.0021
0.003
0.015
0.106
0.102
Tab. IV.6: Erreur absolue sur le module du déplacement, en mm
1.4
IV.7. Etude en utilisant des noyaux de fluage
137
L’erreur maximale observée est ainsi beaucoup plus acceptable que celle obtenue dans le cas
du développement direct. De plus, la convexité de la courbe souplesse fonction de l’amplitude
est cette fois bien appréhendée par le modèle (figures IV.24 et IV.25) :
−3
3
x 10
−4
0
x 10
−0.5
2.5
2
Im(H) (mm/N)
Re(H) (mm/N)
−1
1.5
1
o = expérimental
+ = identifié
0.5
−1.5
−2
−2.5
−3
o = expérimental
+ = identifié
−3.5
−4
−4.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
−5
0
1.4
Amplitude (mm)
0.2
(a) Partie réelle de H
0.4
0.6
0.8
Amplitude (mm)
1
1.2
1.4
(b) Partie imaginaire de H
Fig. IV.24: Comparaison des valeurs expérimentales et identifiées pour les souplesses dynamiques, exemple sur l’éprouvette de cisaillement, fréquence = 60 Hz (modèle IV.86).
−4
−3
3
x 10
0
x 10
−0.5
−1
−1.5
Im(H) (mm/N)
Re(H) (mm/N)
2.5
2
o = expérimental
+ = identifié
1.5
−2
−2.5
1
−3
−3.5
o = expérimental
+ = identifié
−4
0.5
0
0
−4.5
0.2
0.4
0.6
0.8
Amplitude (mm)
(a) Partie réelle de H
1
1.2
1.4
−5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Amplitude (mm)
(b) Partie imaginaire de H
Fig. IV.25: Comparaison des valeurs expérimentales et identifiées pour les souplesses dynamiques, exemple sur l’éprouvette de cisaillement, fréquence = 60 Hz (modèle IV.86) normé.
1.4
138
Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités
IV.7.3
Reconstitution de la force dynamique non linéaire
La partie précédente explique le calcul des parties linéaires et non linéaires de la souplesse
dynamique. Les essais dont nous disposons se font à amplitude de débattement fixé. Nous cherchons à présent à reconstituer l’effort dynamique fonction de la fréquence et de l’amplitude du
débattement imposé, à partir de notre identification des souplesses dynamiques. Nous recalculons alors, pour chaque fréquence, l’effort dynamique correspondant :
Uimpose = Hlin F + HN L |F |2 F
où Hlin et HN L sont calculés conformément à la procédure détaillée au paragraphe précédent.
En posant F = |F |eiθ et en multipliant l’équation précédente par son conjugué, on arrive à une
expression polynomiale de degré 3 à coefficients réels dont le module de F est la seule racine réelle
2
Uimpose
= |Hlin |2 |F |2 + Hlin HN L + Hlin HN L |F |4 + |HN L |2 |F |6
10
350
9
340
8
330
7
320
6
310
5
− = recalculé
+ = expérimental
4
Effort (N)
|F| en N
La résolution de cette équation pour chaque valeur de la fréquence nous permet d’obtenir
l’évolution de l’effort dynamique fonction de la fréquence, pour chaque niveau d’amplitude.
300
290
3
280
2
270
1
260
0
0
20
40
60
Fréquence
80
(a) Amplitude de débattement = ±0.1mm
100
+ = expérimental
−− = recalculé
250
0
20
40
60
80
Fréquence (Hz)
(b) Amplitude de débattement = ±1mm
Fig. IV.26: Module de l’effort fonction de la fréquence pour différents niveaux d’amplitude.
On voit ainsi qu’il est possible avec le développement en séries inverses d’approcher aussi bien
le comportement en amplitude que le comportement en fréquence. Toutefois, même si les résultats
fournis par cette modélisation sont bons, son utilisation dans une formulation déplacement est
problématique. En effet, pour arriver à l’expression (IV.86), il faut écrire la loi de comportement en fonction des noyaux de fluage non linéaires (relations déformations-contraintes). Son
utilisation dans une approche éléments finis est alors plus délicate à mettre en oeuvre.
100
IV.8. Conclusion
IV.8
139
Conclusion
Le développement en séries présenté dans cette partie permet d’un point de vue théorique
de prendre en compte aussi bien les effets géométriques dus aux grandes déformations, que non
linéaires introduits par la loi de comportement. Toutefois même dans le cas incompressible,
la forme du module dynamique obtenu est très complexe. De plus, expérimentalement, la non
linéarité observée lors de la dissipation est plutôt comportementale puisqu’elle apparaı̂t pour
les faibles niveaux d’amplitude. Par conséquent, il semble plus judicieux dans un premier temps
d’approcher uniquement ces non linéarités comportementales. Un développement en séries de
Volterra à l’ordre 3 de la relation contraintes-déformations mené dans ce but s’avère toutefois
insuffisant pour lisser les résultats expérimentaux. Par contre, la série inverse converge plus rapidement : à partir d’un développement en noyau de fluage non linéaire, on peut reproduire avec
une bonne précision le comportement expérimental en amplitude et en fréquence. Cette nouvelle formulation présente toutefois un inconvénient majeur : elle est donnée de façon inverse,
ce qui nécessite d’avoir une formulation éléments finis en contraintes plutôt qu’en déplacement.
Comme nous cherchons pour notre part à travailler en formulation déplacement, nous pourrons
donc utiliser les 3 noyaux de fluage pour calculer tous les noyaux de relaxation conformément à
la procédure exposée en [53], mais l’écriture finale ainsi obtenue serait très lourde à mettre en
oeuvre. Elle semble alors plus adaptée au modèle macroscopique, pour approcher un comportement global en amplitude et fréquence.
140
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
141
Chapitre V
Linéarisation d’un modèle
hyperviscoélastique autour d’une
précharge statique
V.1
Introduction
Le développement en séries évoqué au chapitre précédent donne l’expression générale de la
réponse non linéaire d’une pièce en élastomère soumise à un chargement quelconque. L’expression
qui en résulte permet de prendre en compte les non linéarités géométriques et comportementales
ainsi que le couplage entre ces deux types de non linéarités. Cependant l’expression finale obtenue est très complexe, et il n’est pas facile de faire le lien avec les modèles de comportement en
grandes déformations. Par ailleurs, les pièces concernées sont destinées à amortir les vibrations
et, lorsqu’elles sont sollicitées, elles sont soumises à des petites vibrations autour d’une configuration préchargée. Leurs propriétés dynamiques peuvent alors être obtenues par linéarisation
autour d’une configuration préchargée [46, 54, 79, 41, 49].
Au vu du comportement non linéaire du caoutchouc sous l’effet de grandes déformations, il
semble naturel que ces propriétés dynamiques linéarisées dépendent fortement de la précharge.
L’objectif de ce chapitre est donc de présenter dans un premier temps le modèle de comportement linéarisé le plus utilisé dans le cas de la modélisation des petits débattements autour d’une
configuration préchargée. Ensuite nous adopterons une démarche d’approximation de Ritz afin
d’évaluer le module dynamique associé à ce type de linéarisation. Les principales caractéristiques
du modèle seront alors illustrées dans le cas d’une application des chargements simples (cisaillement et compression). Enfin, à partir d’essais expérimentaux réalisés pour ces deux sollicitations,
une comparaison sera faite entre le module dynamique mesuré expérimentalement et le module
prédit par le modèle linéarisé.
142
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
V.2
Linéarisation d’une loi de comportement viscoélastique en
grandes déformations
V.2.1
Ecriture de la relation contraintes déformations
Lianis [46] considère le modèle viscoélastique en grandes déformations issu de la théorie de la
viscoélasticité linéaire finie développée par Coleman et Noll. L’écriture utilisée est une écriture
eulérienne. En prenant en compte l’hypothèse d’isotropie, la relation contrainte déformation est
écrite sous la forme :
Z ∞
σ(t) =
h(b)
+
Γ(s, b) { J(s) } ds
| {z }
(V.1)
0
|
{z
}
contrainte élastique
contrainte viscoélastique
où
– b = FFT est le tenseur de Cauchy Green gauche, et h(b) caractérise la contrainte aux
temps ”infinis”, lors d’un essai de relaxation. En pratique, ce terme caractérise le comportement en grandes déformations pour des chargements infiniments lents, et h(b) =
limt→∞ σ(t) est la contrainte élastique après relaxation. Cette contrainte dérive d’une
énergie de déformation hyperélastique Ψ [54], dans le cas incompressible on a ainsi :
h(b) = −pI + 2 (Ψ1 + I1 Ψ2 ) b − 2Ψ2 b2
(V.2)
= −pI + σ dev
∞
∂Ψ
∂Ψ
dev
où nous adoptons la notation Ψk =
et où nous avons posé σ ∞ = 2
b ,
∂Ik
∂b
partie déviatoire des contraintes. Cette contrainte est associée à l’énergie de déformation
ne dépendant pas de la variation de volume Ψ(I1 , I2 ).
– J(s) = Ct (t − s) − I, où Ct désigne le tenseur de Cauchy Green droit réactualisé à l’instant
t : Ct = Ft T Ft , avec
∂xi (τ )
Ft ij (τ ) =
∂xj (t)
Z ∞
La fonction
Γ(s, b) { J(s) } ds traduit l’effet mémoire et donc le caractère viscoélastique
0
du matériau.
L’hypothèse d’isotropie permet alors d’écrire cette fonctionnelle en fonction de fonctions
tensorielles isotropes fk (s, b) k = 1 . . . 4
Γ(s, b) { J(s) } = f1 (s, b) J(s) + J(s) f1 (s, b) + I trace [J(s) f2 (s, b)]
+ b trace [J(s) f3 (s, b)] + b2 trace [J(s) f4 (s, b)]
(V.3)
V.2. Linéarisation d’une loi de comportement viscoélastique en grandes déformations
143
avec
fk (s, b) =
0 f (s, I , I , I ) I
1 2 3
k
+ 1 fk (s, I1 , I2 , I3 ) b + 2 fk (s, I1 , I2 , I3 ) b2
(V.4)
où 0 fk , 1 fk , et 2 fk sont des fonctions des invariants I1 , I2 , I3 de b.
V.2.2
Superposition d’une petite déformation sur une grande déformation
statique
Considérons un matériau préchargé (figure V.1).
Configuration
actuelle
Configuration
préchargée
Configuration initiale
0
u
x(τ )
ζ∆u
x0
X
e2
e3
e1
Déformation statique
Fig. V.1: Superposition d’un petit débattement sur un état préchargé
On note X les coordonnées d’un point matériel dans la configuration initiale non déformée et
les coordonnées dans la configuration préchargée après relaxation complète des déformations.
Cette transformation est caractérisée par
x0
Fij0 =
∂x0i
∂Xj
Après relaxation complète de la déformation, on atteint un état de déformation défini par un
T
tenseur b0 = F0 F0 , la contrainte de précharge associée étant bien entendu
σ 0 = h(b0 ) = −p0 I + σ dev
0
(V.5)
Toutes les déformations supplémentaires peuvent être exprimées en prenant la configuration
préchargée comme nouvelle configuration de référence.
On prend une nouvelle origine du temps τ = 0 après relaxation complète de la déformation de
précharge. Soit ζ∆ui (X, τ ) un petit déplacement que l’on va superposer à la précharge. ζ est ici
un ”petit” paramètre, au sens où les termes en ζ 2 sont négligeables. On a alors, à l’instant τ :
xi (τ ) = x0i (X) + ζ∆ui (X, τ )
(V.6)
Cet incrément de déplacement va se traduire dans (V.1) par un incrément de la contrainte. Cet
incrément se sépare en deux contributions, une contribution de la contrainte élastique σ 0 , et une
contribution de la partie viscoélastique. Dans la suite, nous calculons successivement chacun de
ces deux incréments.
144
V.2.3
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
Linéarisation de la partie élastique de la contrainte
L’expression du tenseur des contraintes de Cauchy dû à la précharge et au déplacement
superposé est alors obtenu en faisant un développement limité en o(ζ 2 ) de V.5. On écrit ainsi :
dev
σ0 + ∆σ hyper = −p0 I + σ dev
+ o(ζ 2 )
0 − ∆pI + ∆σ
(V.7)
Pour calculer ∆σ dev
0 , nous allons utiliser la notion de dérivée directionelle [41] ainsi que le tenseur
tangent défini dans la configuration de référence. Pour cela, on écrit :
σ dev
= F Sdev
FT
0
0
(V.8)
où Sdev
est la contrainte de Piola Kirchoff 2, reliée à l’énergie de déformation hyperélastique
0
par :
∂Ψ
0
dev =
Sij
= 2 (Ψ1 + I1 Ψ2 ) δij − 2Ψ2 Cij
(V.9)
∂Eij
La linéarisation de V.8 s’écrit alors :
∆σ dev = ∆ FSdev FT
(V.10)
= F(∆Sdev )FT + (∆F) Sdev
FT + FSdev
(∆F)T
0
0
Chacun des termes ∆F et ∆Sdev s’obtient en utilisant la notion de dérivée directionnelle. On
écrit ainsi :
d
∆F =
|F(u0 + ∆u)| = 0
d
d
(V.11)
=
| I + Grad(u0 ) + Grad∆u | = 0
d
= Grad(∆u) + o(ζ 2 )
Dans ce qui précède, nous avons noté Grad l’opérateur gradient par rapport à la configuration
initiale non préchargée. L’opérateur gradient par rapport à la configuration préchargée sera noté
grad, ces deux opérateurs étant reliés par la relation
Grad∆u =
∂∆ui
∂∆ui ∂x0k
=
= grad(∆u)F0
∂Xj
∂x0k ∂Xj
En introduisant les parties symétrique


grad(∆u) =






∆ =







∆ω =
(V.12)
et antisymétrique de grad(∆u), on écrit
∆ + ∆ω
1 grad(∆u) + [ grad(∆u) ]T
2
1 grad(∆u) − [ grad(∆u) ]T
2
(V.13)
D’où ∆F = grad∆U F = (∆ + ∆ω) F, et
(∆F) Sdev
FT + FSdev
(∆F)T
0
0
= ∆σ 0 dev + σ 0 dev ∆ + ∆ωσ 0 dev − σ 0 dev ∆ω
(V.14)
V.2. Linéarisation d’une loi de comportement viscoélastique en grandes déformations
145
La linéarisation du tenseur de Piola Kirchhoff 2 s’obtient en utilisant la notion de dérivée directionnelle utilisée plus haut, ainsi que la composition des dérivations. On a ainsi
∆ Sdev = ∆Sdev [E(u)] =
∂Sdev (E(u))
: ∆E = C dev : ∆E
∂E
(V.15)
où C dev désigne le tenseur tangent en configuration lagrangienne :
dev
CABCD
=
dev
∂SAB
∂2Ψ
=4
∂ECD
∂CAB ∂CCD
(V.16)
Cette expression se calcule en utilisant la composition des dérivées et la relation (II.44). Pour
une énergie de déformation incompressible Ψ = Ψ(I1 , I2 ), on aura [36]
∂ 2Ψ
∂CAB ∂CCD
= 4 Ψ11 + 2I1 Ψ12 + Ψ2 + I12 Ψ22 (δAB δCD )
CABCD = 4
− 4 (Ψ12 + I1 Ψ22 ) (δAB CCD + CAB δCD )
(V.17)
+ 4 Ψ22 CAB CCD − 4Ψ2 δAC δBD ]
= Φ1 (δAB δCD ) + Φ2 (δAB CCD + CAB δCD ) + Φ4 CCD + Φ8 δAC δBD
La linéarisation du tenseur de Green Lagrange se fait en utilisant (V.11). On a ainsi
1
∆FT F + FT ∆F
2
T
1 T
=
F Grad(∆u) + FT Grad(∆u)
2
= sym FT Grad∆U
∆E= =
Le transport de (V.15) autour de la configuration préchargée conduit alors à
F∆S0 dev FT = F C dev : FT grad∆U F FT
(V.18)
(V.19)
= cdev : grad∆U
∂ 2Ψ
désigne le tenseur tangent défini dans la configuration
∂CAB ∂CCD
préchargée [71]. En utilisant la symétrie de cdev
abcd et de ∆, l’expression V.19 s’écrit
où cdev
abcd = 4 FaA FbB FcC FdD
F∆S0 dev FT = cdev : ∆
(V.20)
Finalement, en reportant (V.20) et (V.14) dans (V.10), puis cette nouvelle expression dans (V.7),
on obtient la linéarisation de la partie élastique de la contrainte :
hyper
dev ∆ω + ∆ω σ dev + Ω
∆σij
= −∆pδij − σ0ik
kj
ik 0kj
ijkl (b0 ) ∆kl
(V.21)
où Ωijkl est le tenseur tangent hyperélastique de Jaumann, et :
dev
dev
Ωijkl (b0 ) ∆kl = cdev
ijkl : ∆kl + ∆ik σ0kj + σ0ik ∆kj
(V.22)
On a ainsi une relation qui relie les contraintes ∆σ hyper en fonction des déformations pour une
précharge donnée, et ce pour une loi de comportement hyperélastique.
146
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
V.2.4
Linéarisation de la partie viscoélastique de la contrainte
De la même manière,
Z la linéarisation de la contrainte viscoélastique se fait par un développement
∞
de Taylor en o(ζ 2 ) de
0
montre [46] que :
Γ(s, b) { J(s) } ds. En reportant (V.6) dans la définition de Ct , on
{ J(s) } = 2∆(t − s) − 2∆(t) + o ζ 2
(V.23)
D’où, en prenant en compte (V.3) :
Γ(s, b) { J(s) } = Γ(s, b0 ) { J(s) } + O()
= 2Γ(s, b0 ) { ∆(t − s) − ∆(t)} + o ζ 2
(V.24)
ce qui permet de linéariser la contrainte viscoélastique suivant :
Z ∞
Z ∞
Z ∞
0
Γ(s, b) { J(s) } ds = −2
Γ(s, b )ds ∆(t) + 2
Γ(s, b0 ) ∆(t − s) ds + o(ζ 2 )
0
0
0
(V.25)
Dans le cas général isotrope, il faut remplacer Γ(s, b0 ) { } par son expression en fonction des
k f (V.3) et (V.4), on obtient ainsi des intégrales de convolution dépendant de douze fonctions
i
de relaxation. Nous donnons ci dessous l’expression complète telle que donnée par Lianis [46] :
Γ(s, b0 ) { ∆(t − s)} = 2 0 f1 (s)∆(t − s) + 1 f1 (s) b0 ∆(t − s) + ∆(t − s)b0
i
h
2
2
+ 2 f1 (s) b0 ∆(t − s) + ∆(t − s)b0
h
i
0 f (s)I + 0 f (s)b0 + 0 f (s)b0 2 trace(∆(t − s))
+
2
3
4
h
i
1 f (s)I + 1 f (s)b0 + 1 f (s)b0 2 trace(b0 ∆(t − s))
+
2
3
4
h
i
2 f (s)I + 2 f (s)b0 + 2 f (s)b0 2 trace(b0 2 ∆(t − s))
+
2
3
4
Z
En posant ensuite
0
∞
k
fi (s)ds = −
k
Φi (s), soit k fi (s)ds =
viscoélastique sous la forme :
Z ∞
Z
0
Γ(s, b) { J(s) } ds = 2Φijkl (0, b )∆kl (t) + 2
0
0
∞
k Φ̇ (s),
i
(V.26)
on écrit la contrainte
Φ̇ijkl (s, b0 ) ∆(t − s) ds + o(ζ 2 )
(V.27)
où Φijkl est une transformation linéaire issue de (V.26) en remplaçant
par
et Φ̇ijkl est la
k
k
transformation obtenue en remplaçant fi par Φ̇i . Une intégration par parties, puis le changement de variables t − s = τ permet finalement d’écrire l’incrément de contrainte viscoélastique
suivant :
Z
kf
i
t
visc (t) = 2
∆σij
−∞
Φijkl [(t − τ ) ; b0 ] ∆˙kl (τ ) dτ
kΦ ,
i
(V.28)
A partir des expressions V.28 et V.21, on peut à présent donner l’expression du développement de
Taylor en o(2 ) de la contrainte totale, somme de la partie statique et de la partie viscoélastique :
V.2. Linéarisation d’une loi de comportement viscoélastique en grandes déformations
dev + ∆σ hyper + ∆σ visc (t)
σij (t) = −p0 δij + σ0ij
ij
ij
0 − ∆p δ − σ dev ∆ω + ∆ω σ dev + Ω
= σij
0 ij
kj
ik 0kj
ijkl (b0 ) ∆kl
0ik
Z t
+ 2
Φijkl [(t − τ ) ; b0 ] ∆˙kl (τ ) dτ + o ζ 2
147
(V.29)
−∞
V.2.5
Hypothèses complémentaires
Si l’on ne fait pas d’hypothèse supplémentaire, Φijkl introduit des fonctions de relaxation
dépendant de la précharge et du temps. En suivant les travaux de Morman et Nagtegaal [54],
nous allons supposer pour simplifier cette expression que les effets de temps et de précharge sont
séparables et que l’on peut écrire
Φijkl [τ ; b0 ] = g(τ )Kijkl [b0 ]
(V.30)
où g(t) est une fonction de relaxation, et Kijkl un tenseur tangent dépendant de la précharge.
En pratique, une forme communément admise pour Kijkl est [79]
Kijkl [b0 ] = Ωijkl (b0 )
(V.31)
Cette hypothèse implique que le comportement viscoélastique autour d’une précharge donnée
dépend de cette précharge de la même manière que la raideur tangente hyperélastique calculée
au même point de précharge.
On suppose enfin que la fonction de relaxation g(t) est reliée au module de cisaillement de la
viscoélasticité linéaire de la manière suivante :
1 G(t)
g(t) =
−1
(V.32)
2 G∞
En prenant en compte les hypothèses (V.30) et (V.31), le petit déplacement rajouté se traduit
sur la contrainte par un incrément de la forme :
Z t
dev
dev
∆σij = −∆pδij − σ0ik ∆ωkj + ∆ωik σ0kj + Ωijkl (b0 ) ∆kl (τ ) + 2
g (t − τ ) ∆˙kl (τ ) dτ
−∞
(V.33)
L’expression (V.33) donne l’expression finale de l’incrément de contrainte pour la loi hyperviscoélastique considérée.
V.2.6
Cas où les petites déformations superposées sont sinusoı̈dales
En pratique, les cales sont souvent soumises à des petites déformations sinusoı̈dales. Ceci
nous permet alors d’écrire :


∆ui = ∆ũi eiωt



 ∆
ij eiωt
ij = ∆˜
(V.34)

∆ωij = ∆ω̃ij eiωt



 ∆p = ∆p̃ eiωt
148
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
où ∆ũ désigne l’amplitude du déplacement imposé autour de la configuration préchargée. De
plus, la condition d’incompressibilité impose également que les petites déformations rajoutées
vérifient trace(∆˜) = 0. L’incrément de contrainte associé à ces petits débattements sinusoidaux
s’obtient sous ces conditions en reportant (V.34) dans (V.29) :


∆σij = ∆σ̃ij exp(iωt)



dev
dev
∆σ˜ij = −∆p˜0 δij − σ0ik
∆ω̃kj + ∆ω̃ik σ0kj
+ Ωijkl (b0 ) ∆˜kl + 2 i ω Φ̃ijkl [ω; b0 ] ∆˜kl


{z
}
|
{z
} |


comportement tangent hyperélastique
comportement dissipatif
(V.35)
où Φ̃ijkl désigne la transformée de Fourier de Φijkl
Z ∞
Φ̃ijkl [ω; b0 ] =
Φ̃ijkl [τ ; b0 ] e−iωτ dτ
0
(V.36)
En prenant en compte les hypothèses (V.30) et (V.31), on obtient l’expression de l’incrément de
contrainte associé à la loi hyperviscoélastique, quand les petites déformations superposées sont
sinusoı̈dales :
∆σ˜ij
dev
?
= −∆p˜0 δij − σ0dev
kl
ik ∆ω̃kj + ∆ω̃ik σ0 kj + Ωijkl (b0 ) (1 + 2iωg ) ∆˜
(V.37)
En notant g ? (ω) la transformée de Fourier de g(t), on a
0
1 + 2iωg
0
?
=
00
G
G
+i
G∞
G∞
(V.38)
00
G et G désignant respectivement les parties réelle et imaginaire du module de cisaillement
complexe G(ω). Tout comme en viscoélasticité linéaire, g(t) peut être approximé par des exponentielles décroissantes (modèle de Maxwell généralisé), ou par des modèles fractionnaires. Par
exemple, si on utilise un modèle de Maxwell généralisé pour l’approximation de la réponse en
fréquence, on aura

0
X gk τ 2 ω 2

G
1

k

X
=
1
+

2 2

G

1
+
ω
τk
∞
1
−
g

k
k

k
(V.39)
00
X gk τk ω

G
1


X
=

2 2

G∞

1−
gk k 1 + ω τk


k
et pour une approximation de la réponse en fréquence par un modèle à dérivation fractionnaire,
on écrira :

0
G
π



= 1 + b ω n cos(n )
G∞
2
(V.40)
00

G
π

n

= b ω sin(n )
G∞
2
Nous disposons ainsi d’un modèle hyperviscoélastique permettant de caractériser les propriétés
dynamiques de l’élastomère autour d’une configuration préchargée. Il s’agit en fait d’une loi
de comportement incrémentale, qui s’exprime en fonction d’une énergie de déformation hyperélastique et d’une dissipation viscoélastique introduite par l’intermédiaire d’une fonction de
relaxation. Pour pouvoir caractériser le comportement macroscopique (effort, module dynamique
V.3. Obtention du module dynamique par une discrétisation de Ritz
149
d’une pièce complexe fonction de la précharge et de la fréquence) à partir d’une approximation du
champ de déplacement, nous utiliserons le principe des travaux virtuels, puis une discrétisation
de Ritz.
Le paragraphe qui suit détaille cette formulation, dans le cas où l’on s’intéresse à des excitations
harmoniques.
V.3
Obtention du module dynamique par une discrétisation de
Ritz
A partir de la formulation (V.33), nous souhaitons calculer le module dynamique d’une
pièce de géométrie quelconque, soumise à une grande déformation statique à laquelle se superposent des oscillations sinusoı̈dales. Pour cela, nous utiliserons une méthode d’approximation
des champs de déplacement. Pour calculer les efforts, nous emploierons le principe des travaux
virtuels écrit en configuration lagrangienne. L’approximation de champs de déplacement permettra ensuite de calculer l’effort statique associé à la précharge, soit la réponse élastique du
matériau après relaxation. Ensuite, la linéarisation de la forme obtenue permettra de prendre en
compte le comportement de la pièce si l’on superpose un petit débattement à cet état préchargé.
Dans un premier temps, nous allons rappeler l’écriture du principe des travaux virtuels en
grandes déformations pour le calcul de l’effort à la précharge, puis la linéarisation de la formulation variationnelle. Enfin, nous donnerons cette expression dans le cas où les petites oscillations
superposées sont sinusoı̈dales.
V.3.1
Ecriture du principe des travaux virtuels
Nous cherchons ici à trouver l’équilibre statique d’un matériau viscoélastique. Cet équilibre
statique correspond à l’état d’équilibre après relaxation des contraintes. En formulation lagrangienne, la contrainte associée est obtenue à partir de l’équation (V.5), en utilisant les relations
de passage entre σ et S. On écrira ainsi :
0
Sij
−1
dev
= −p0 Cij
+ S0ij
(V.41)
En appliquant alors le principe des travaux virtuels (équations (III.5), nous négligeons toujours
les effets d’inertie vue la gamme de fréquence envisagée), on obtient :

? + W?
0 = Wint

ext



Z



∂u? i

?
?

Pij
dΩ0
 −Wint (U, u ) =
∂Xj
ZΩ0
Z

?
T
?

dΩ0
=
(F
S)
:
Gradu
dΩ
=
S
:
F
Gradu
0



Ω0
Ω0
Z
Z




? (U, u? ) =
 Wext
fi u? i dΩ0 +
T i u? i dS0
Ω0
∂Ω0
(V.42)
150
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
où le champ de déplacement u appartient à l’espace des déplacements cinématiquement admissibles, et le champ de déplacement virtuel u? appartient à l’espace des variations cinématiquement
admissibles autour de u. Nous remplaçons ensuite S par son expression (V.41), ce qui donne :
Z
Z
−1
?
?
?
?
?
?
−Wint (U, u ) =
−p0 C
: E (U, u ) dΩ0 +
Sdev
(V.43)
0ij : E (U, u ) dΩ0
Ω0
Ω0
E? étant le tenseur des déformations virtuelles
E? (U, u? ) = FT (U) Gradu?
(V.44)
Afin d’assurer l’hypothèse d’incompressibilité (la liaison d’incompressibilité ne travaille par pour
tout mouvement compatible avec cette liaison), nous ajoutons la condition suivante pour le
champ virtuel u? :
div(u? ) = I : gradu? = 0
Le premier terme de l’expression (V.43) est alors nul. On a en effet :
C−1 : FT GradU? = C−1 : FT GradU?
= I : GradU? F−1 = I : gradu?
(V.45)
Enfin, dans le cas où l’on applique une force F sur l’une des armatures d’une cale, le travail
virtuel des efforts extérieurs se réduit à
? (U, u? ) = F (U )U ?
Wext
(V.46)
où U ? désigne le champ virtuel au point d’application de la force, exprimé dans la configuration
de référence non déformée. Finalement, en utilisant (V.46) et (V.43), l’effort associé à l’équilibre
statique est donné par :
Z
?
?
?
Sdev
(V.47)
0ij : E (U, u ) dΩ0 = F (U )U
Ω0
V.3.2
Linéarisation des équations découlant du principe des travaux virtuels
Afin d’établir les équations linéarisées, nous considérons la fonction :
?
?
Π(U, u? ) = Wint
(U, u? ) + Wext
(U, u? )
(V.48)
Supposons à présent que nous imposons une petite perturbation autour de la configuration
préchargée, le déplacement total s’exprimant dans la configuration initiale sous la forme :
Uζ (X) = u(X) + ζ∆u(U(X))
(V.49)
où ∆u est l’incrément de déplacement par rapport à la configuration préchargée, et ζ est un
petit paramètre. Les équations linéarisées, qui approximent les conditions d’équilibre dans la
configuration perturbée, sont alors obtenues à partir d’un développement de Taylor en o(ζ 2 ) de
(V.48). Ce développement s’écrit :
Π(U, u? ) +
d
|Π(U + ζ∆u)|ζ = 0 = 0
dζ
(V.50)
V.3. Obtention du module dynamique par une discrétisation de Ritz
151
La résolution se fait classiquement par un schéma de Newton Raphson. L’égalité Π(U, u? ) = 0
est assurée par l’ équation (V.47) et correspond à la position d’équilibre statique. Le second
terme de (V.50) va permettre d’approximer l’incrément de l’effort dû au déplacement superposé
ζ∆u (V.49). Pour cela, il faut linéariser chacune des expressions intervenant dans (V.42). Dans
la suite, nous linéarisons successivement le travail des efforts internes puis le travail des efforts
extérieurs.
Pour le travail des efforts intérieurs, il faut calculer :
d
|W ? (U + ζ∆u)|ζ = 0
dζ int
Z
= −∆
S : FT Grad u? dΩ0
? (U, u? ) = −
−∆Wint
(V.51)
Ω0
On peut intervertir l’intégrale et la dérivée puisque le domaine d’intégration ne varie pas. La
linéarisation de S et E a été détaillée au paragraphe V.2.3. Il est important de noter que le
champ de déplacement virtuel u? est défini dans la configuration préchargée. u? écrit dans cette
configuration ne dépend donc pas du déplacement à la précharge, et les termes en gradu? ne
seront donc pas affectés par la linéarisation. On écrit alors :
∆ S : FT Grad u?
= ∆ S : FT grad u? F
= ∆ FSFT : grad u? = ∆σ : grad u?
(V.52)
∆σ correspond à l’incrément de contrainte dû à ce déplacement superposé. Il se compose de la
contribution d’une partie élastique et d’une partie viscoélastique, son expression a été établie
en (V.33). Remarquons que la partie hydrostatique n’engendrera pas de contribution pour un
champ virtuel vérifiant I : grad u? = 0.
L’incrément de déplacement ζ∆u (V.49) va engendrer sur l’effort un incrément de la forme :
Fζ (U + ζ∆u) = F(U) + ζ∆F(U, ∆u)
(V.53)
En reportant cette approximation dans V.46, nous obtenons par un développement de Taylor
en o(ζ 2 ) :
d
? (U, u? ) =
∆Wext
|W ? (U + ζ∆u)|ζ = 0
dζ ext
(V.54)
= F (U )∆U ? + U ? ∆F (U )
où U ? est le transporté de u? dans la configuration de référence, et dépend ainsi de U à la
précharge.
Finalement, en reportant (V.54) et (V.51) dans (V.50), nous pouvons calculer la variation de
l’effort associée au petit déplacement superposé, ce qui donne :
Z
?
∆F (U ) U =
∆ S : FT Grad u? dΩ0 − F (U )∆U ?
(V.55)
Ω0
où F (U ) correspond à la position d’équilibre statique obtenue lors de la précharge (V.47), et
∆ (S : FT Grad u? ) = ∆σ : grad u? , où ∆σ est la variation de la contrainte autour de l’état
préchargé, associée à l’incrément de déplacement (V.49).
152
V.3.3
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
Cas harmonique
Supposons à présent que nous superposons des petits débattements sinusoı̈daux à une précharge
statique, et que nous voulons prendre en compte les propriétés viscoélastiques. Le module dynamique complexe résultant est alors fonction de la précharge et de la fréquence. L’amplitude
du débattement imposé étant supposée petite par rapport à la précharge, les propriétés dynamiques sont caractérisées par les équations linéarisées vues dans les paragraphes précédents.
Cette théorie linéarisée prend en compte les caractéristiques viscoélastiques linéaires et grandes
déformations statiques, toute dépendance du module obtenu en fonction de l’amplitude du
débattement imposé est ainsi exclue du modèle.
Pour obtenir les équations associées au régime permanent, nous utilisons une représentation complexe des déplacements, des contraintes et des déformations (équations (V.34)). Nous cherchons
également la variation de l’effort (V.53) sous forme harmonique :
∆F = ∆F̃ eiωt
En utilisant alors les résultats du paragraphe V.2.6, (V.55) devient alors :
Z
∆F̃ (U ) U ? =
Ω0
Z
+
Ω0
h
F ∆S̃ FT + ∆˜
σ0dev + σ dev
0
|
{z
Ωijkl ∆˜
kl
∆ω σ dev − σ dev ∆ω
i
∆˜
: gradu? dΩ0
}
0
00
G
G
+i
G∞
G∞
!
: gradu? dΩ0 − F (U )∆U ?
(V.56)
Dans la suite, nous poserons :



∆Fv1? =






 ∆F 2? =
v




∆Fg1? =





∆Fg2? =
Z
ZΩ0
h
F ∆S̃ FT
i
: gradu? dΩ0
(∆˜
σ0dev + σ dev
∆˜
) : gradu? dΩ0
0
ZΩ0 ∆ω σ dev − σ dev ∆ω
: gradu? dΩ0
(V.57)
Ω0
−F (U )∆U ?
En choisissant une approximation pour les champs de déplacement U(X) et u? (x) on peut, à
partir de (V.56), approximer l’effort dynamique autour d’une précharge, pour n’importe quelle
géométrie (chapitre III). Notre souci premier dans ce chapitre est de comparer les résultats
prédits par ce modèle linéarisé à des résultats expérimentaux sur des éprouvettes de caractérisation
(chargements de cisaillement ou de compression). Nous allons donc appliquer (V.56) pour obtenir une solution analytique à ce type de chargement. Pour les chargements simples mentionnés
précédemment, les champs de déplacement peuvent être obtenus de manière analytique. L’extension à des géométries plus complexes se fera en utilisant des champs calculés par éléments
finis (chapitre III).
V.4. Expressions analytiques pour des chargements simples
V.4
V.4.1
153
Expressions analytiques pour des chargements simples
Problématique
L’équation (V.56) donne un modèle pour prendre en compte à la fois la précharge en grandes
déformations et la dissipation viscoélastique. Cette expression est issue comme nous l’avons vu
d’un grand nombre d’hypothèses simplificatrices. Son établissement suppose en particulier que :
– Les effets de temps et de précharge sont séparables et qu’on peut écrire la contribution
1
viscoélastique sous la forme g(t)Kijkl (V.30) où g(t), fonction de relaxation du matériau,
2
ne dépend pas de la précharge.
– La fonction de relaxation est semblable aux fonctions utilisées en viscoélasticité linéaire
(séries de Prony ou modèles fractionnaires).
– Les propriétés d’amortissement viscoélastiques sont proportionnelles au tenseur tangent
élastique (puisque Kijkl = Ωijkl , tenseur tangent de Jaumann).
L’objectif de ce paragraphe est d’analyser les prédictions du modèle pour des cas très simples
de chargement. Pour clarifier les résultats du paragraphe précédent, les différentes étapes des
paragraphes V.2 et V.3 sont appliquées pour obtenir des expressions analytiques pour les modules dynamiques en cisaillement et en compression pour des cales de géométrie simple. Ces cas
correspondent en effet à des sollicitations couramment rencontrées dans l’utilisation des pièces
en élastomère. La formulation analytique va nous permettre de dégager les tendances prédites
par le modèle pour le couplage précharge fréquence. Un paragraphe ultérieur confrontera ces
tendances à des résultats expérimentaux.
V.4.2
Cas d’un essai de cisaillement
Dans cet exemple nous considérons une éprouvette parallélépipédique, de longueur initiale
L, d’épaisseur e, et de largeur l (dans la direction Z). Elle est constituée d’un matériau hyperviscoélastique. Elle est soumise à un chargement de cisaillement, par déplacement dans la
direction X de l’armature supérieure (figure V.2).
154
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
U (t)
e
Y
θ(t)
X
L
tan θ(t) = γ(t) =
U (t)
e
Fig. V.2: Schématisation d’un essai de cisaillement
Le matériau est d’abord précontraint, le taux de cisaillement à la précontrainte étant donné
par γ. Quand les contraintes dans le matériau sont complètement relaxées, une excitation harmonique de fréquence ω et de petite amplitude est appliquée. Nous cherchons à obtenir une solution
analytique à l’aide de la démarche exposée précédemment, pour approcher la contrainte quasi
statique à la précharge, puis le module dynamique fonction de la précharge et de la fréquence.
Les effets d’inertie dans le matériau sont négligés. A titre d’exemple, la loi de comportement
utilisée pour la dépendance en précharge est une loi de Mooney Rivlin provenant d’une identification à partir d’essais de traction simple, compression simple, et cisaillement pour un mélange
de caoutchouc naturel chargé à 50 parts de noir de carbone (Heuillet et al.[34]) :
Ψ = C10 (I1 − 3) + C20 (I2 − 3)
C10
C01
0.205 MPA
0.016 MPA
Tab. V.1: Coefficients de Mooney Rivlin pour un mélange de caoutchouc naturel
V.4.2.1
Equilibre statique
Nous approchons le champ de déplacement à la précharge à l’aide d’un champ vérifiant les
conditions limites cinématiques et les conditions d’incompressibilité :


 U0 (X, Y, Z) = γ Y
(V.58)
V0 (X, Y, Z) = 0


W0 (X, Y, Z) = 0
ce qui conduit à l’expression du tenseur

1 γ

F = 0 1
0 0
gradient des déformations


0
 I1 = 3 + γ 2

0

I2 = 3 + γ 2
1
(V.59)
V.4. Expressions analytiques pour des chargements simples
155
On en déduit par application directe de (II.52)
Sdev
0

2 Ψ1 + 2 (3 + γ 2 ) Ψ2 − 2 Ψ2

=
−2 Ψ2 γ
0
−2 Ψ2 γ
2 Ψ1 + 2 (3 + γ 2 ) Ψ2 − 2 Ψ2 (γ 2 + 1)
0

0

0

2
2 Ψ1 + 2 (3 + γ ) Ψ2 − 2 Ψ2
(V.60)
Nous choisissons ensuite un champ de déplacement virtuel défini dans la configuration préchargée
et vérifiant les conditions d’incompressibilité



1 β?
β?
?

0
0

 u (x, y, z) = e y


2 e

? =  1 β?
?
(V.61)

v (x, y, z) = 0
0
0




2 e
 ?
w (x, y, z) = 0
0
0
0
On en déduit l’expression du champ virtuel dans la configuration non préchargée, ainsi que
l’expression du tenseur des déformations virtuels E?


β?

0
0
?
β


e
?




 U (x, y, z) = e Y

1
?
?γ
?
T
?
β
β


? (x, y, z) = 0
(V.62)
E = F (U) GradU = 
V

2
0

2

 e

e



W ? (x, y, z) = 0
0
0
0
Le travail virtuel des efforts extérieurs (lors de la précharge) s’exprime alors comme
?
Wext
= β ? Fx (e)
(V.63)
où Fx désigne l’effort associé au chargement quasi statique. Cet effort est calculé par application
directe de V.47. En remplaçant Sdev
et E? par leurs expressions respectives (V.60) et (V.62),
0
on retrouve l’expression analytique de l’effort dans la direction de chargement :
Fx (e) = 2 L l γ ( Ψ1 + Ψ2 )
(V.64)
Cet effort correspond à l’effort non linéaire, obtenu à l’aide d’une énergie de déformation
hyperélastique, pour la modélisation d’une grande précharge statique. Pour une énergie de
déformation hyperélastique représentée à l’aide d’un développement de Rivlin
Ψ =
N
X
Cij (I1 − 3)i (I2 − 3)j
(V.65)
i+j=1
il faut pousser le développement jusqu’à i + j = 2 pour avoir des non linéarités dans un chargement de cisaillement. Pour une loi de Mooney Rivlin comme celle identifiée par Heuillet et al,
le comportement en cisaillement est linéaire, comme l’illustre la figure V.3
156
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
200
180
160
Effort (N)
140
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
Pourcentage de prédéformation
100
Fig. V.3: Effort quasi statique en cisaillement simple obtenu avec une loi de Mooney Rivlin
(coefficients récapitulés dans le tableau V.1)
V.4.2.2
Calcul du module dynamique
Autour de cette configuration préchargée, on impose un débattement sinusoidal ζ∆u =
δU eiωt , où δU désigne l’amplitude du débattement imposé. Pour calculer grad∆u qui intervient dans les expressions linéarisées, on effectue un développement de Taylor du champ de
déplacement autour de la précharge, ce qui permet d’exprimer l’incrément sur les différents
tenseurs de déformation comme suit






1 δU
1 δU
1 δU
0
0
0
0
0
0






2 e
2 e




 1 δU 2 e

∆E =  1 δU δU γ 0 ∆ =  1 δU
∆ω = −
0
0
0
0
2 e





e
2 e
2 e
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(V.66)
On en déduit chacune des expressions intervenant dans (V.57) :

1? = lLe F ∆S FT

∆F
: grad (u? )

v



(V.67)
∆Fv2? = lLe ∆˜
σ dev + σ dev ∆˜
: grad (u? )




 ∆F 1? = lLe ∆ω σ dev − σ dev ∆ω : grad (u? )
g
On a de plus ∆Fg2? = 0 puisque ∆U ? (X) ne dépend pas de U0 . On en déduit l’incrément de
l’effort dû à la petite oscillation autour de la précharge :
∆f
=
1 ∂F (U0 )
∆Fv1? + ∆Fv2? + ∆Fg1? + ∆Fg2? =
δU
β?
∂U
(V.68)
V.4. Expressions analytiques pour des chargements simples
157
L’expression du module dynamique est alors :
K(ω, γ) =
∂F (U0 )
= Kg1 (γ) + Kg2 (γ) + Kv1 (γ) + Kv2 (γ)
∂U0
{z
}
|
{z
} |
Rigidité élastique
= h1 (γ) + h2 (γ)
Rigidité visqueuse
0
00
G
G
(ω) + i
(ω)
G∞
G∞
!
(V.69)
G(ω)
G∞
Finalement, en reportant la définition du tenseur tangent (V.17), l’expression de la contrainte
(V.60) et l’expression de l’incrément des déformations (V.66) dans (V.67), on obtient l’expression
analytique de chacun des termes de (V.69) en fonction des dérivées de l’énergie de déformation
hyperélastique, pour le cas du chargement de cisaillement :


Kg1 (γ) = 0





2 (γ) = − l L γ 2 (Ψ + Ψ )

K
1
2

g

e




 1
lL Kv (γ) =
Ψ1 γ 2 + 2 + Ψ2 γ 2 + 4
(V.70)
e





 K 2 (γ) = 1 l L 2 γ 2 Φ + Φ 8 γ 2 + 4 γ 4 
1
2

v

2 e





+ Φ4 2 γ 6 + 8 γ 4 + 8 γ 2 + Φ8 1 + 2 γ 2
Les expressions des dérivées de l’énergie de déformation hyperélastique Ψk et Φk sont rappelées
en annexe D. Le couplage précharge/fréquence est pris en compte par les termes en h2 (γ)G(ω).
h1 (γ) correspond à la rigidité associée à la partie élastique et h2 (γ) correspond à la rigidité
associée à la partie visqueuse. Dans le cas où le matériau n’est pas préchargé, on a h1 (γ) = 0,
lL
h2 (γ) =
G∞ , où G∞ est le module de cisaillement à l’origine, relié aux coefficients de Mooney
e
Rivlin par
G∞ = 2 (c10 + c01 )
on retrouve alors les résultats classiques de la viscoélasticité linéaire en petites déformations :
lL 0
00
(V.71)
K (ω, 0) =
G (ω) + iG (ω)
e
Il est important de noter que les hypothèses introduites permettent d’aboutir à un couplage
précharge fréquence. En théorie, à partir des expressions (V.69), il est possible de déterminer
complètement le comportement viscoélastique d’un élastomère en grandes déformations à partir
uniquement d’un essai quasi statique (pour identifier l’énergie de déformation hyperélastique),
puis d’un essai vibratoire autour de la précharge nulle (pour identifier le nombre de cellules de
Maxwell ou les coefficients du modèle fractionnaire). Nous verrons qu’en pratique il est nécessaire
de prendre en compte les essais dynamiques pour les différents niveaux de précharge pour mener
cette identification.
158
V.4.2.3
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
Dépendance en précharge
La dépendance en fréquence prédite par le modèle linéarisé est exactement semblable à celle
de la viscoélasticité linéaire. La dépendence en précharge provient des fonctions h1 (γ) et h2 (γ).
Le module dynamique dépendant de ces fonctions de la manière suivante :
K(ω, γ) = h1 (γ) + h2 (γ)
G(ω)
G∞
(V.72)
Pour l’énergie de déformation de Mooney Rivlin évoqué précédemment, l’évolution des fonctions
h1 (γ)
h1 (γ), h2 (γ) et
est représentée sur les figures (V.4), (V.5) et (V.6) :
h2 (γ)
0
−5
1
h (γ)
−10
−15
−20
−25
0
20
40
60
80
Pourcentage de prédéformation
100
Fig. V.4: Fonction h1 (γ) (en N/mm) fonction du taux de déformation
80
70
60
40
2
h (γ)
50
30
20
10
0
0
20
40
60
80
Pourcentage de prédéformation
100
Fig. V.5: Fonction h2 (γ) (en N/mm) fonction du taux de déformation
V.4. Expressions analytiques pour des chargements simples
159
h1 (γ)/h2 (γ)
0
−0.2
0
20
40
60
80
Pourcentage de prédéformation
Fig. V.6: Fonction
100
h1 (γ)
fonction du taux de déformation
h2 (γ)
On voit ainsi que, même dans le cas où la courbe effort déplacement statique est quasi linéaire
(figure (V.3)), la dépendance en fonction de la précharge du module dynamique sera non linéaire
(figures (V.4) et (V.5)). On constate également que la rigidité associée à la partie élastique h1 (γ)
est négligeable pour les faibles taux de déformation devant la rigidité visqueuse, (figure (V.6)),
elle devient de plus en plus importante au fur et à mesure que la précharge augmente.
V.4.3
Cas d’un essai de compression
Dans cet exemple nous considérons un cylindre de longueur initiale L, de rayon R. On vient
comprimer ce cylindre entre deux plaques de métal (figure (V.7)). Si nous négligeons le frottement
entre le caoutchouc et les plaques de métal, nous avons un état de déformation homogène :
D
Z
U (t)
L
Y
X
Fig. V.7: Schématisation d’un essai de compression
On définit alors l’élongation à partir du déplacement de l’extrémité du cylindre :
λ(t) = 1 +
U (t)
L
160
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
(λ > 1 correspond à un essai de traction, et λ < 1 correspond à un essai de compression).
Les élongations dans les deux autres directions principales sont alors égales et déterminées à
l’aide de la condition d’incompressibilité λ1 λ2 λ3 = 1. Une précontrainte jusqu’à l’élongation λ
est d’abord imposée. Après relaxation, un déplacement harmonique de fréquence ω et de petite
amplitude est imposé.
V.4.3.1
Equilibre statique
La même démarche que celle détaillée au paragraphe V.4.2.1 permet de retrouver l’effort
dans la direction de chargement associé à l’élongation de précharge (voir annexe E) :
On retrouve ainsi
F (λ) =
2πR2
1
λ− 2
λ
∂Ψ
1 ∂Ψ
+
∂I1 λ ∂I2
(V.73)
L’équation (V.73) correspond à l’effort quasi statique prédit pour un chargement de traction
compression uniaxial. On voit immédiatement à partir de cette expression que l’on ne peut pas
définir un module d’Young constant pour un matériau hyperélastique incompressible : le module
d’Young associé est en effet fonction de l’élongation λ, et donc de la précharge. Toutefois, le
module d’Young à l’origine E∞ peut être calculé à partir de (V.73) autour de la précharge
nulle :
∂ F (λ)
∂Ψ
∂Ψ
E∞ = lim
(V.74)
=6
+
λ→1 ∂λ πR2
∂I1
∂I2
Ainsi, dans le cas d’une énergie de déformation polynomiale, le module d’Young à l’origine
s’exprimera suivant :
(V.75)
E∞ = 6 (c10 + c01 )
et seules les deux premières constantes du développement de Rivlin interviennent dans l’expression du module.
800
700
Effort (N)
600
500
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
Pourcentage de prédéformation
50
60
Fig. V.8: Effort quasi statique en compression simple obtenu avec la loi V.1
V.4. Expressions analytiques pour des chargements simples
V.4.3.2
161
Calcul du module dynamique
Le développement en séries de Taylor évoqué précédemment permet de retrouver les expressions analytiques pour le module dynamique en compression (annexe E) :


!
0
00
G
∂F (U0 )
 G
 1
1
2
2
K(ω, λ) =
(ω) + i
(ω)
= Kg (λ) + Kg (λ) + Kv (λ) + Kv (λ)
∂U
|
{z
}
G∞
G∞
|
{z
}
(V.76)
Rigidité visqueuse
Rigidité élastique
= h1 (λ) + h2 (λ)
G(ω)
G∞
avec :

π R2
1
1

1 (λ) =

K
2
−1
Ψ1 + Ψ2

g

L
λ3
λ







Kg2 (λ) = 0



2

1
1
5

 K 1 (λ) = 2 π R
+
2
+
Ψ
+
Ψ
1
2
v
L
λ3
λ4
λ2




1
1
π R2
2
1
 2
2
4

Kv (λ) =
+ 4 Φ2
− +λ
− 2 −λ+λ
2Φ1



2L
λ4 λ
λ5
λ






1
1


+ 2 Φ4
− 2 + λ6 + Φ8
+ 2 λ2
6
λ
λ4
(V.77)
où les expressions des Ψk et Φk sont données en annexe D. Le couplage précharge fréquence est
pris en compte par les termes en h2 (λ)G(ω). Dans le cas où le matériau n’est pas préchargé, on
πR2
a h1 (λ = 1) = 0, h2 (λ = 1) =
E∞ , E∞ étant le module d’Young tangent à l’origine. En
L
remarquant que pour un matériau incompressible, le module d’Young est relié au coefficient de
cisaillement par la relation E = 3G, on retrouve autour de la précharge nulle le résultat de la
viscoélasticité linéaire en petites déformations :
K(ω, λ = 1) =
V.4.3.3
πR2
3 (G0 (ω) + iG00 (ω))
L
Dépendance en précharge
Nous traçons l’évolution de la rigidité associée à la partie élastique et de la rigidité associée
à la partie visqueuse pour la loi de Mooney Rivlin identifiée par Heuillet et al (tableau (V.1)).
L’évolution des fonctions h1 (λ), h2 (λ) est représentée sur les figures V.9, V.10 :
162
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
0
−10
−20
h (λ)
−30
1
−40
−50
−60
−70
−80
0
10
20
30
40
50
60
Pourcentage de prédéformation
Fig. V.9: Fonction h1 (λ) (en N/mm) fonction du taux de déformation
100
90
80
70
h2 (λ)
60
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
Fig. V.10: Fonction h2 (λ) (en N/mm) fonction du taux de déformation
On voit ainsi que la dépendance en fonction de la précharge est non linéaire.
V.4.4
Récapitulatif
Les hypothèses qui ont été faites (viscoélasticité linéaire en grandes déformations) permettent
d’aboutir à une expression générale du module dynamique autour d’une configuration préchargée
de la forme
G(ω)
(V.78)
K(ω, U0 ) = h1 (U0 ) + h2 (U0 )
G∞
Cette forme s’appuie sur un certain nombre d’hypothèses simplificatrices. Elle suppose notamment que
– La seule source de dissipation envisagée est d’origine viscoélastique
– La fonction de relaxation du matériau ne dépend pas de la précharge
– Les petits débattements imposés sont négligeables devant la précharge, ce qui justifie l’obtention des équations linéarisées par un développement en séries de Taylor
Nous avons vu sur des exemples simples les formes analytiques prises par les fonctions h1 et
h2 . Pour des chargements plus complexes, la même démarche d’approximation de Ritz peut être
V.5. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
163
utilisée pour approcher ces fonctions. Au vu des résultats analytiques obtenus, la rigidité due à la
partie élastique h1 semble faible devant la rigidité visqueuse h2 , au moins pour les faibles niveaux
de précharges. Ces tendances vont maintenant être confrontées à des résultats expérimentaux.
V.5
Confrontation modèle/résultats expérimentaux
V.5.1
Introduction
L’intérêt principal de cette étude est de montrer que, moyennant un certain nombre d’hypothèses simplificatrices, il est possible d’exprimer le module dynamique d’un matériau hyperviscoélastique en fonction d’une énergie de déformation hyperélastique, et d’une fonction de
relaxation semblable à celles utilisées en viscoélasticité linéaire. Le module dynamique ainsi obtenu s’exprime très simplement en fonction de chacun de ces paramètres (équation (V.78)). Pour
arriver à cette expression, il a fallu faire un certain nombre d’hypothèses simplificatrices. Pour
vérifier si la forme théorique obtenue est suffisante et en adéquation avec le comportement réel
des élastomères lors d’essais vibratoires à différentes précharges, une comparaison doit être faite
avec des essais expérimentaux.
V.5.1.1
Essais réalisés
Pour cela, des mesures du module dynamique pour différents niveaux de précharge et de
fréquence sont réalisés. Ces essais sont effectués sur des éprouvettes de caractérisation de géométrie
simple (figure (V.11)).
Plaque métallique
U (t)
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
e = 4 mm
Caoutchouc
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
D = 18 mm
Caoutchouc
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
L = 25 mm
U (t)
(a) Eprouvette de double cisaillement
L = 25 mm
(b) Eprouvette de compression
Fig. V.11: Eprouvettes de caractérisation en double cisaillement et compression
Nous disposons de trois éprouvettes constituées d’un même mélange de caoutchouc pour
chacune des expériences de caractérisation (cisaillement et compression). Pour chacune des deux
sollicitations, des essais sont faits à très faible vitesse de chargement. Les mesures sont alors
164
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
faites lors du quatrième cycle de montée/descente en charge pour s’affranchir de l’effet Mullins
(chapitre I). Ensuite, un excitation harmonique de fréquence ω est imposée, le déplacement final
s’exprime sous la forme :
U (t) = U0 + δU sin(ωt)
On trouvera en annexe F quelques résultats expérimentaux en quasi statique et dynamique.
Si nous négligeons les effets de bord lors des essais de cisaillement, l’expression théorique pour
le module dynamique en cisaillement est donnée par les équations (V.70). De même, si nous
négligeons le frottement entre le caoutchouc et les plaques de métal lors de l’essai de compression,
le module dynamique en compression est donné par (V.77). Dans la suite, nous noterons γ le
taux de prédéformation, aussi bien en cisaillement qu’en compression. On aura ainsi
γ=
U0
e
pour les essais de cisaillement, et
γ=
U0
=λ−1
L
pour les essais de compression.
V.5.1.2
Problèmes associés à la relaxation de la contrainte statique
Au niveau expérimental, il faut remarquer que le modèle s’appuie sur une première hypothèse
qui s’est avérée difficile à obtenir expérimentalement. En effet, la forme (V.78) suppose qu’il y
a eu relaxation complète des déformations, avant d’appliquer les excitations sinusoı̈dales. Or, si
l’on mesure l’effort de précharge avant d’imposer l’excitation harmonique, on constate que cet
effort ne se situe pas sur la courbe quasi statique réalisée à très faible fréquence (figure V.12).
800
400
700
350
500
300
Hystérésis à f = 0.02 Hz
250
Effort (N)
Effort (N)
600
400
200
300
Hystérésis à f=0.01 Hz
150
Effort mesuré avant
l’excitation harmonique
200
100
100
0
0
Effort mesuré avant
l’excitation harmonique
50
0.2
0.4
0.6
Taux de cisaillement γ
(a) Cas du cisaillement
0.8
1
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Taux de compression γ
0.3
0.35
(b) Cas de la compression
Fig. V.12: Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement. Superposition de l’hystérésis
mesurée à très faible fréquence, avec l’effort mesuré avant l’excitation dynamique
V.5. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
165
Il y a de plus une dispersion très importante sur cet effort, qui est due aux effets de relaxation
non maı̂trisés. Cela veut simplement dire que, contrairement aux hypothèses du modèle, il n’y
a pas relaxation complète avant l’excitation sinusoı̈dale. En pratique, expérimentalement, cette
relaxation s’est avérée extrêmement longue à obtenir : nous nous contenterons donc de cette
approximation. Toutefois, pour ne pas introduire d’erreurs supplémentaires lors de l’identification, les fonctions dues à la précharge ne seront pas identifiées comme on le voit classiquement
[79] à l’aide de la courbe dite ”quasi statique”. Ces effets de relaxation induisent également une
dispersion importante sur la mesure du module dynamique. Tous ces résultats expérimentaux
sont résumés en annexe F.
V.5.1.3
Problèmes associés à la forme de la dissipation
La deuxième hypothèse du modèle concerne la forme même de la dissipation : nous avons
en effet supposé que la dissipation était viscoélastique linéaire, le module dynamique associé ne
dépend donc pas de l’amplitude du débattement imposé dans la limite de validité de linéarisation
de la loi hyperviscoélastique. Or, pour les élastomères chargés en noir de carbone, on ne peut
pas négliger la dépendance en amplitude du module dynamique (chapitres I et IV). A titre
d’illustration, la figure V.13 montre l’évolution du module dynamique pour un élastomère chargé
en fonction de l’amplitude du débattement imposé (cas des essais de compression), pour les
différents niveaux de précharge (5%, 10% et 30%) :
300
30
5%
10%
30 %
25
200
Im(K) en N/mm
Re(K) en N/mm
250
150
100
50
0
0
5%
10%
30 %
20
15
10
5
0.2
0.4
0.6
Amplitude mm
0.8
(a) Partie réelle du module dynamique fonction de
l’amplitude
1
0
0
0.2
0.4
0.6
Amplitude mm
0.8
(b) Partie imaginaire du module dynamique fonction
de l’amplitude
Fig. V.13: Evolution du module dynamique à 50 Hz en fonction de l’amplitude du débattement,
cas des essais de compression
On constate que dans le domaine de variation des paramètres γ et δU , les variations de
raideur dues à l’amplitude du débattement sont plus importantes que celles dues à la précharge.
1
166
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
Pour analyser nos résultats expérimentaux, il nous a donc semblé important d’introduire une
mesure des déformations qui caractérise cette dépendance en amplitude. En effet, si on prend
en compte les dimensions des éprouvettes (figure V.11), ainsi que la différence de direction de
sollicitation, un débattement de ±0.1mm en cisaillement n’induit pas la même non linéarité
qu’une amplitude de débattement identique en compression.
Nous allons donc émettre une hypothèse supplémentaire quant à la forme de la dépendance en
amplitude : celle-ci est supposée être fonction des invariants du tenseur des petites déformations
superposées ∆.
Or, pour assurer l’incompressibilité, nous avons
I1 = trace (∆) = 0
De même, au premier ordre, nous avons
J = 1 + trace (∆) = 1
Les invariants I1 et J étant complètement déterminés, nous allons supposer que la dépendance
en amplitude intervient par l’intermédiaire de la fonction G(ω), et que cette fonction dépend
également du second invariant des déformations I2 de ∆. Cette hypothèse permet d’affirmer
que les fonctions h1 et h2 sont indépendantes de l’amplitude du débattement imposé. On écrira
alors
G(ω, I2 )
(V.79)
K(ω, γ) = h1 (γ) + h2 (γ)
G∞
Si l’invariant I2 (∆) est identique, on peut considérer qu’on a la même dépendance en amplitude en cisaillement et en compression.
La linéarisation des équations intervenant pour un chargement de cisaillement conduisait à la
forme suivante de ∆


1 δU
0
0


2 e
1 δU 2


∆ =  1 δU
=
−
(V.80)
I
2
0
0
4
e
2 e

0
0
0
Dans le cas du chargement de cisaillement, I2 est indépendant de la précharge. On peut donc se
placer à une amplitude de débattement fixée pour le dépouillement des résultats expérimentaux.
Dans le cas du chargement de compression, on avait


1 δU
−
0
0
 2λ L



1
3 δU 2
1
δU


∆ = 
(V.81)
I2 = −
0
−
0 
4
L
λ2
2λ L


1 δU
0
0
λ L
On voit ainsi apparaı̂tre un couplage supplémentaire entre les effets d’amplitude et de précharge.
Pour les essais de compression, prendre une même amplitude ne permet donc pas d’éviter les
effets non linéaires. Donc pour évaluer la validité du modèle hyperviscoélastique, on ne peut à
V.5. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
167
priori pas se placer à une amplitude de débattement fixée (puisque dans ce cas, G(ω, I2 ) dépendra
également du niveau de précharge). On remarque toutefois qu’au delà de ± 0.5mm d’amplitude de débattement, la dérivée du module dynamique par rapport à I2 devient négligeable (figure V.13). Nous allons donc considérer que dans cette zone, le module dynamique est presque
constant par rapport à I2 . Nous exploiterons donc les essais en compression autour de ± 0.5mm
d’amplitude de vibrations. (Nous avons exclu les essais pour ±1mm d’amplitude de vibrations,
car l’amplitude du débattement n’est plus négligeable par rapport à la précharge, du moins pour
les faibles niveaux de précharge).
V.5.2
Vérification de la forme du couplage précharge fréquence
Les hypothèses faites ont conduit à la forme suivante du module dynamique, fonction de la
précharge et de la fréquence (en séparant partie réelle et partie imaginaire) :

 K (ω, γ) = h (γ) + h (γ) Gre (ω, I2 )
re
1
2
G∞
(V.82)

2)
Kim (ω, γ) = h2 (γ) GimG(ω,I
∞
Autour de la précharge nulle, les expressions précédentes se réduisent à

 K (ω, 0) = h (0) Gre (ω, I2 )
re
2
G∞

2)
Kim (ω, γ) = h2 (0) GimG(ω,I
∞
(V.83)
En cisaillement, pour fixer le paramètre I2 il suffit de se placer à une amplitude de débattement
fixée. En compression, en prenant les essais autour de ±0.5 mm d’amplitude, les variations de I2
sont très faibles pour les niveaux de précharge dont nous disposons, nous allons donc les négliger.
Il faut à présent vérifier si la forme (V.82) est réaliste par rapport aux résultats expérimentaux.
0
C’est pourquoi nous allons introduire les fonctions f2 (ω, γ) et f1 (ω, γ) qui seront calculées à
partir des données expérimentales de la manière suivante :

Kim (ω, γ)

 f2 (ω, γ) =
Kim (ω, 0)
(V.84)

 0
f1 (ω, γ) = Kre (ω, γ) − f2 (ω, γ)Kre (ω, 0)
Ces fonctions dépendent à priori de la fréquence ω et du taux de précharge γ ; si le modèle (V.82)
est valide, alors
h2 (γ)
f2 (ω, γ) =
h2 (0)
0
f1 (ω, γ) = h1 (γ)
et les deux fonctions introduites ne devraient pas dépendre de la fréquence. Dans l’expression
0
précédente, f2 (ω, γ) est adimensionnel, alors que f1 (ω, γ) a la dimension d’une raideur. Pour
0
pouvoir comparer les ordres de grandeur de ces deux fonctions, il faut rapporter f1 (ω, γ) à
la raideur tangente autour de la précharge nulle. Par exemple en cisaillement on aura h2 (0) =
lL
G∞ . Pour évaluer cette raideur tangente, on constate figure V.12a qu’on ne peut pas négliger
e
168
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
l’hystérésis, même à très faible fréquence. De plus sur cet essai, la pente autour de l’origine est
perturbée par l’inversion du signe de la vitesse de déplacement, elle ne doit donc pas être prise
en compte pour le calcul de la raideur tangente. Nous approximerons donc h2 (0) à l’aide de la
raideur dynamique pour la plus faible fréquence de mesure dont nous disposons, et nous noterons
0
f1 (ω, γ) la fonction f1 (ω, γ) ainsi normée. En procédant de cette manière, on aura
f1 (ω, γ)
h1 (γ)
=
f2 (ω, γ)
h2 (γ)
Une première vérification du modèle consiste par conséquent à vérifier que les fonctions f2 (ω, γ)
et f1 (ω, γ) sont effectivement indépendantes de la fréquence.
Remarque : d’un point de vue technologique, il n’est pas possible de mesurer le plot représenté
en figure V.11 pour une sollicitation de traction. Nous ne disposons donc pas d’essais autour de
la précharge nulle pour les éprouvettes de compression, ce qui pose un problème pour évaluer la
fonction f1 (ω, γ) à partir uniquement des essais de compression. Nous allons donc nous servir
de la fonction G(ω, I2 ) provenant des essais de cisaillement sur un même mélange. Il faut alors
choisir un niveau d’amplitude en cisaillement et un niveau d’amplitude en compression tel que
I2 ait la même valeur : En compression, on a
3 δUcomp 2 1
I2 = −
4
L
λ2
et en cisaillement
1 δUcis 2
I2 = −
4
e
δUcomp
λcomp δUcis
ce qui nous donne
= √
. Vus les niveaux d’amplitude dont nous disposons, on
L
e
3
prendra les essais de compression à 0.5 mm et les essais de cisaillement à 0.1 mm. On a alors

(γ comp ) cis
hcomp
comp comp
comp
comp
2


K
(ω,
γ
)
=
h
(γ
)
+
Kre (ω, 0)

re
1

hcis
2 (0)
(V.85)
comp

Kim
(ω, γ comp )
(γ comp ) Gim (ω, I2 )
hcomp

2


=
cis
hcis
Kim
(ω, 0)
2 (0)Gim (ω, I2 )
A partir des données expérimentales (K(ω, γ) pour différents niveaux de précharge et de fréquence),
nous allons donc introduire les fonctions suivantes, qui seront calculées uniquement à partir des
mesures :

comp
(ω, γ)
Kim


 f2comp (ω, γ) =
cis
Kim (ω, 0)
(V.86)


0 comp
 f
(ω, γ) = K comp (ω, γ comp ) − f comp (ω, γ) K cis (ω, 0)
1
2
re
re
0 comp
Pour pouvoir comparer les ordres de grandeur, nous rapportons f1
(ω, γ) à la raideur obtenue
en cisaillement pour la plus faible fréquence de mesure, et nous appelons f1comp (ω, γ) la valeur
0
de la fonction f1comp (ω, γ) ainsi normée. Si le modèle (V.82) est valide, alors
f2comp (ω, γ) =
(γ comp )
hcomp
2
hcis
2 (0)
f1comp (ω, γ)
f2comp (ω, γ)
(γ comp )
hcomp
1
comp comp
h2 (γ
)
=
V.5. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
169
Il faut à présent nous assurer que les fonctions f2 (ω, γ), f1 (ω, γ), f2comp (ω, γ), f1comp (ω, γ) sont
indépendances de la fréquence, c’est l’objet des deux paragraphes qui suivent.
Vérification que la fonction f2 (ω, γ) ne dépend pas de la fréquence
V.5.3
V.5.3.1
Cas du cisaillement
La figure (V.14) montre l’évolution de
f2 (ω, γ) =
Kim (ω, γ)
Kim (ω, 0)
pour les essais de cisaillement, pour plusieurs valeurs de la précharge.
1
0.9
0.8
0.7
0.5
2
f (ω,γ)
0.6
0.4
0.3
0.2
10%
20%
30%
0.1
0
0
20
40
60
fréquence
80
100
Fig. V.14: Evolution de f2 (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge
Le tableau V.2 récapitule les valeurs minimales, moyennes et maximales en fréquence de la
fonction f2 , pour les différents niveaux de précharge. On constate figure V.14 et tableau V.2 que
la variation de la fonction f2 (ω, γ) avec la fréquence est négligeable.
γ
Valeur minimale
Valeur moyenne
Valeur maximale
(max - min) /max
0.1
0.86
0.87
0.88
2.3 %
0.2
0.77
0.79
0.81
4.1 %
0.3
0.72
0.74
0.76
5.5 %
Tab. V.2: Dépendance de f2 (γ) vis à vis de la fréquence, cisaillement sur matériau amortissant,
amplitude = 0.1 mm
Au vu de ces résultats, on peut effectivement considérer que la fonction f2 (γ) est indépendante
de la fréquence.
170
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
V.5.3.2
Cas de la compression
La figure V.15 montre l’évolution de la fonction f2comp (ω, γ) pour toutes les valeurs de
précharge et de fréquence de mesure. On voit ainsi que l’hypothèse que cette fonction ne dépend
pas de la fréquence est également vérifiée.
0.5
5%
10%
30%
0.45
0.4
0.3
0.25
2
fcomp(ω,γ)
0.35
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
20
40
60
fréquence
80
100
Fig. V.15: Evolution de f2comp (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge
γ
Valeur minimale
Valeur moyenne
Valeur maximale
max err Kim
0.05
0.203
0.208
0.218
4.7 %
0.1
0.188
0.189
0.195
2.6 %
0.3
0.226
0.236
0.239
4.47%
Tab. V.3: Dépendance de f2comp (ω, γ) vis à vis de la fréquence, compression sur matériau amortissant, amplitude de compression=0.5 mm, amplitude de cisaillement = 0.1 mm
V.5.4
V.5.4.1
Vérification que la fonction f1 (ω, γ) ne dépend pas de la fréquence
Cas du cisaillement
La figure V.16 montre l’évolution de f1 (ω, γ) en fonction de la fréquence pour différents
niveaux de précharge. Ces résultats expérimentaux sont consignés dans le tableau V.4.
V.5. Confrontation modèle/résultats expérimentaux
171
0.2
0.1
1
f (ω,γ)
10%
20%
30%
0
0
20
40
60
fréquence
80
100
Fig. V.16: Evolution de f1 (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge
γ
Valeur minimale
Valeur moyenne
Valeur maximale
Maximum d’erreur sur Re(K)
0.1
0.021
0.026
0.030
1.6 %
f2
f1
33.4
0.2
0.051
0.057
0.062
2.75 %
13.9
0.3
0.067
0.075
0.081
3.5 %
9.9
Tab. V.4: Dépendance de f1 (γ) vis à vis de la fréquence, cisaillement sur matériau amortissant,
amplitude =0.1 mm
L’écart relatif en fréquence est beaucoup plus important que pour la fonction f2 . Toutefois,
même dans le cas le plus défavorable, l’écart induit sur la reconstitution de la partie réelle du
module dynamique est négligeable. En prenant en compte la remarque sur la dispersion des
mesures, nous considérerons donc cette approximation (f1 indépendant de la fréquence) valable.
V.5.4.2
Cas de la compression
On trace de la même manière l’évolution de la fonction f1comp (ω, γ) en fonction de la précharge
et de la fréquence :
172
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
0.1
0
1
fcomp(ω,γ)
5%
10%
30%
−0.1
0
20
40
60
fréquence
80
100
Fig. V.17: Evolution de h1 (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge
On voit sur le tableau V.5 et la figure V.17 que l’indépendance en fréquence est vérifiée.
γ
Valeur minimale
Valeur moyenne
Valeur maximale
0.05
-0.0525
-0.0478
-0.0441
0.1
-0.0237
-0.0205
-0.0187
0.3
0.0138
0.0170
0.0264
Tab. V.5: Dépendance de f1comp (γ) vis à vis de la fréquence, compression sur matériau amortissant, amplitude de compression = 0.5 mm, réponse en fréquence prise sur le chargement de
cisaillement à 0.1 mm
V.5.5
Reconstitution du module dynamique pour différents niveaux de précharge
A partir des valeurs des fonctions h1 (γ) et h2 (γ), identifiées pour différents niveaux de
précharge, on peut reconstituer avec une bonne précision l’évolution du module dynamique
fonction de la fréquence et de la précharge, comme en témoignent les courbes qui suivent :
V.6. Conclusion
173
Pas de précharge
600
120
Pas de précharge
10% précharge
500
10% de précharge
100
20% précharge
Re(K) (N/mm)
30% précharge
300
Im(K) N/mm
400
− expérimental
200
* recalculé
80
20% de précharge
30% précharge
60
− expérimental
40
* recalculé
100
20
0
0
20
40
60
80
100
fréquence (Hz)
(a) Partie réelle du module dynamique fonction de la
précharge et de la fréquence
0
0
20
40
60
80
fréquence (Hz)
100
(b) Partie imaginaire du module dynamique fonction
de la précharge et de la fréquence
Fig. V.18: Evolution du module dynamique en N/mm avec la fréquence pour les différents
niveaux de précharge, cas du cisaillement à ±0.1mm d’amplitude
160
30
30 \% de précharge
30 \% de précharge
140
25
120
10 \% de précharge
20
80
Im(K)
Re(K)
100
5 \% de précharge
60
10 \% de précharge
5 \% de précharge
15
10
40
5
20
0
0
20
40
60
80
100
0
0
20
fréquence
(a) Partie réelle du module dynamique fonction de la
précharge et de la fréquence
40
60
80
(b) Partie imaginaire du module dynamique fonction
de la précharge et de la fréquence
Fig. V.19: Evolution du module dynamique en N/mm avec la fréquence pour les différents
niveaux de précharge, cas de la compression à ±0.5mm d’amplitude
V.6
100
fréquence
Conclusion
Cette étude met ainsi en évidence que le découplage
K(ω, γ) = h1 (γ) + h2 (γ)
G(ω, I2 )
G∞
174
Chapitre V. Linéarisation d’un modèle hyperviscoélastique
est qualitativement bien adapté pour la prise en compte de la dissipation autour d’une grande
précharge statique. En effet, à partir de données expérimentales, on vérifie que les fonctions h1
et h2 ne dépendent effectivement que du niveau de précharge imposé. Dans le cas d’essais sur
éprouvettes, les fonctions h1 (γ) et h2 (γ) peuvent être identifiées uniquement à partir d’essais
dynamiques à différents niveaux de précharge. De plus, la formulation développée a été appliquée ici à des éprouvettes de géométrie très simple, l’objectif étant de vérifier si ce modèle
est en adéquation avec les résultats expérimentaux. Bien entendu, l’extension à des géométries
complexes est possible : il suffit pour cela d’utiliser des champs calculés par éléments finis comme
nous l’avons présenté au chapitre III. L’obtention du module dynamique pour n’importe quelle
géométrie se fera alors en utilisant l’équation (V.57). Nous disposons ainsi d’un modèle simplifié
de simulation du comportement dissipatif autour d’une précharge statique. Le modèle présenté
dans ce chapitre peut prédire la rigidification en fréquence autour d’une grande déformation
élastique. La géométrie de la pièce ainsi que la non linéarité géométrique et les effets de dissipation visqueuse sont bien appréhendés. Par contre le modèle suppose une source de dissipation
uniquement viscoélastique linéaire, il n’est alors pas adapté pour prendre en compte de façon
prédictive la dépendance en amplitude observée lors de la mesure du module dynamique (voir
chapitre IV).
Conclusion et Perspectives
175
Conclusion et Perspectives
Une modélisation simplifiée a été proposée en premier lieu pour appréhender le comportement
des liaisons élastiques en élastomère utilisées dans l’industrie automobile. A partir d’une approximation des déplacements par une méthode de Rayleigh Ritz, nous avons construit un modèle
simplifié prenant en compte la géométrie de la cale et la loi de comportement du matériau pour
évaluer les réponses de ces pièces pour différentes sollicitations : chargements quasi statiques fortement non linéaires, effets d’hystérésis ou de relaxation. Ce modèle a été validé numériquement
en comparant les résultats ainsi prédits à un calcul éléments finis complet, dans le cas de lois de
comportement hyperélastiques ou viscoélastiques linéaires. La démarche proposée peut intégrer
d’autres types de lois de comportement : c’est ainsi que la réponse non linéaire associée à un
développement en série de Volterra est également calculée. On pourrait également y intégrer des
effets d’endommagement ou de couplage thermo mécanique.
La deuxième difficulté abordée dans ce manuscrit concerne le comportement même des
matériaux élastomères. En effet pour être le plus prédictif possible, la loi de comportement doit
approcher au mieux les résultats observés expérimentalement. La deuxième partie de ce travail (chapitre IV et V) s’appuie donc sur de nombreux résultats expérimentaux sur éprouvettes
de caractérisation et sur pièces complètes. L’objectif est en effet de proposer une modélisation
qui appréhende aussi bien la non linéarité géométrique due à la possibilité de très grandes
déformations, que la dépendance vis à vis de l’amplitude de débattement dynamique. Cette
dépendance apparaı̂t pour les très faibles niveaux et n’est donc pas due à la non linéarité
géométrique.
Une tentative d’approche de cette dépendance à l’aide d’un développement en série de Volterra a été menée au chapitre IV. L’analyse des résultats expérimentaux a permis de mettre en
évidence un couplage entre les effets de dissipation viscoélastique et les effets de perte de rigidité
en amplitude. Ce couplage est prédit par le développement en séries de Volterra. Toutefois le
développement en séries prédit une dépendance polynomiale des raideurs en fonction de l’amplitude du débattement dynamique, et au vu des résultats expérimentaux il faudrait pousser le
développement à un ordre très élevé pour approcher la chute de raideur aux très faibles valeurs
du débattement. Nous montrons alors qu’une approche inverse converge plus vite, et permet de
reproduire aussi bien la rigidification en fréquence (dissipation viscoélastique) que la dépendance
en amplitude.
Enfin, afin de prendre en compte simultanément la grande précharge statique et la dissipation
viscoélastique, un modèle hyperviscoélastique linéarisé a été proposé. Les expressions analytiques
176
Conclusion et Perspectives
associées à cette modélisation ont ensuite été comparées à des résultats expérimentaux (mesure
du module dynamique pour différents niveaux de précharge). Cette modélisation introduit un
couplage entre les effets de précharge et les effets de dissipation viscoélastique; la forme du couplage est validée par rapport à des résultats expérimentaux.
Par contre la dissipation proposée dans ce dernier modèle est uniquement viscoélastique linéaire :
une perspective intéressante de ce travail de thèse serait donc de coupler le modèle hyperviscoélastique avec un développement en séries semblable à celui proposé au chapitre IV, pour
simuler de façon prédictive les deux types de non linéarités mises en évidence expérimentalement,
à savoir non linéarité géométrique due à la grande précharge statique, et dissipation non linéaire.
Il faudra alors apporter un soin particulier au choix de l’ordre du développement ou à la forme
des noyaux de relaxation. En effet si l’on tronque le développement à l’odre 3, seule l’approche
par noyaux de fluage non linéaire a permis de représenter correctement le comportement observé
expérimentalement. Or le calcul analytique des coefficients de ces noyaux de fluage à partir d’un
choix de noyau de relaxation mène à des expressions analytiques très complexes, il est alors illusoire d’espérer identifier de façon robuste les coefficients mis en jeu. Par contre, nous pourrions
envisager de choisir à priori la forme des noyaux de fluage, par exemple sous forme d’exponentielles décroissantes comme c’est le cas pour les modèles de type Kelvin Voigt généralisé, et de
calculer alors en utilisant la même démarche la forme complète du module dynamique associé à
cette représentation.
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Table des figures
183
Table des figures
I.1
Cycle d’hystérésis en cisaillement à 0.02 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
I.2
Effet Mullins. Chargement cyclique de cisaillement sur mélange amortissant . . .
8
I.3
Contrainte σ(t) = σ0 sin(ωt + δ) et déformation (t) = 0 sin(ωt) représentés dans
le plan (, σ). Cycle d’hystérésis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
I.4
Représentation schématique du module dynamique dans le plan complexe . . . .
10
I.5
Effets de la température sur la rigidité d’un vulcanisat de caoutchouc naturel
chargé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
I.6
Effets de la fréquence sur la rigidité d’un vulcanisat de caoutchouc naturel chargé
12
I.7
Variation du module dynamique en fonction de l’amplitude d’excitaiton sinusoidale, pour deux mélanges. Cas d’un essai de cisaillement. . . . . . . . . . . . . .
15
I.8
Plot de compression en élastomère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
I.9
Essai de relaxation sur un plot de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
II.1 Configurations initiale et déformée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
II.2 Vecteur contrainte dans les différentes configurations. . . . . . . . . . . . . . . . .
24
II.3 Formulation du problème d’équilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
II.4 Schématisation des éléments rhéologiques usuels en viscoélasticité. . . . . . . . .
40
II.5 Modèle de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
II.6 Modèle de Zener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
II.7 Modèle de Maxwell généralisé.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
II.8 Schématisation de l’élément spring-pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
184
Table des figures
II.9 Schématisation du cisaillement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
II.10 Comparaison du modèle de Maxwell généralisé linéaire et du modèle hyperviscoélastique de Yeoh pour un chargement de cisaillement. . . . . . . . . . . . .
52
II.11 Frottement de Coulomb en série avec un ressort. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
II.12 Modèle élasto visco ”plastique”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
II.13 Simulation d’un cycle d’hystérésis à l’aide du modèle de frottement (II.109). . . .
55
III.1 Schématisation du plot cylindrique utilisé pour la validation. . . . . . . . . . . .
65
III.2 Schématisation du chargement de compression radiale. . . . . . . . . . . . . . . .
66
III.3 Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression,
module de compressibilité K=0.02 MPa (D=100), o = modèle, - = calcul éléments
finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
III.4 Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression,
module de compressibilité K=0.04 MPa (D=50), o = modèle, - = calcul éléments
finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
III.5 Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression,
module de compressibilité K=2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis. 68
III.6 Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression,
module de compressibilité K=1 MPa (D=0.5), o = modèle, - = calcul éléments
finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
III.7 Schématisation du chargement de rotation conique . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
III.8 Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, module de compressibilité K=0.02 MPa (D=100), o = modèle, - = calcul
éléments finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
III.9 Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, module de compressibilité K=2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul
éléments finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
III.10Schématisation du chargement de torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
III.11Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement en torsion, module de compressibilité K=0.02 MPa (D=100), o = modèle, - = calcul éléments
finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Table des figures
185
III.12Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement en torsion, module de compressibilité K=2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis. .
71
III.13Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement,
loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis. . . .
73
III.14Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression,
loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis. . . .
73
III.15Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis. 74
III.16Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de torsion, loi de
Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis. . . . . . . .
74
III.17Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour essai de couplage de sollicitation
(compression/cisaillement) – = modèle, o = calcul éléments finis . . . . . . . . .
76
III.18Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement,
cas d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o =
calcul éléments finis, - = modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
III.19Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression,
cas d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o =
calcul éléments finis, - = modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
III.20Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de torsion, cas
d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul
éléments finis, - = modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
III.21Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, cas d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible,
o = calcul éléments finis, - = modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
III.22Comparaison modèle/Calcul éléments finis cas d’une excitation sinusoidale à ω =
5rad.s−1 , – = modèle, o = calcul abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
III.23Comparaison modèle/Calcul éléments finis cas d’une excitation sinusoidale à ω =
5rad.s−1 , – = modèle, o = calcul abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
III.24Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement,
cas du module dynamique, – = modèle, o = calcul abaqus. . . . . . . . . . . . .
86
III.25Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement,
cas d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o =
calcul éléments finis, - = modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
186
Table des figures
III.26Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de compression,
cas d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o =
calcul éléments finis, - = modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
III.27Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de torsion, cas
d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments finis, - = modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
III.28Comparaison modèle/Calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, cas d’un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible,
o = calcul éléments finis, - = modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
III.29Comparaison modèle/Calcul éléments finis, cas d’une excitation sinusoidale à ω =
5rad.s−1 , matériau viscoélastique linéaire incompressible – = modèle, o = calcul
abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
III.30Comparaison modèle/Calcul éléments finis, cas d’une excitation sinusoidale à ω =
5rad.s−1 , matériau viscoélastique linéaire incompressible – = modèle, o = calcul
abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
III.31Comparaison modèle/Calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique
linéaire incompressible, chargement de cisaillement, – = modèle, o = calcul abaqus. 91
III.32Comparaison modèle/Calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique
linéaire incompressible, chargement de compression, – = modèle, o = calcul abaqus. 91
III.33Comparaison modèle/Calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique
linéaire incompressible, chargement de torsion, – = modèle, o = calcul abaqus. . 92
III.34Comparaison modèle/Calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique
linéaire incompressible, chargement de rotation conique, – = modèle, o = calcul
abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III.35Effort de relaxation obtenu avec le modèle de Kelvin Voigt fractionnaire. . . . . .
94
III.36Exemple de réponse obtenue par un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire pour
un chargement sinusoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
III.37Exemple de réponse obtenue par un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire dans le
cadre d’une excitation harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
IV.1 Plot utilisé pour l’essai de traction compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
IV.2 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Table des figures
187
IV.3 Eprouvette de double cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
IV.4 Pièce complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
IV.5 Essai de compression (plot IV.1) sur un mélange faiblement chargé. Evolution du
module dynamique en fonction de la fréquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
IV.6 Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau peu amortissant (Y573), pas de
précharge. Evolution du module dynamique en fonction de la fréquence. . . . . . 120
IV.7 Essai radial (cisaillement selon Z) sur cale T5, matériau peu amortissant (Y573),
pas de précharge. Evolution du module dynamique en fonction de la fréquence. . 121
IV.8 Essai de compression (plot IV.1) sur un mélange faiblement chargé. Evolution du
module dynamique en fonction de l’amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
IV.9 Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau amortissant (Y672), pas de précharge.
Evolution du module dynamique en fonction de l’amplitude du débattement imposé.122
IV.10Essai radial (compression) sur cale T5, matériau amortissant (Y672). Evolution
du module dynamique en fonction de l’amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
IV.11Evolution du module dynamique sur éprouvette de cisaillement à 50Hz, comparaison entre un mélange amortissant (Y672) et un mélange faiblement amortissant
(Y573). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
IV.12Essai de compression sur mélange peu amortissant, pas de précharge
Kn (ω) − K0.2 (ω)
Evolution de la fonction g1 (ω, n) =
. . . . . . . . . . . . . . . 125
K1 (ω) − K0.2 (ω)
IV.13Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau amortissant (Y672), pas de précharge
Kn (ω) − K0.05 (ω)
Evolution de la fonction g1 (ω, n) =
. . . . . . . . . . . . . . . 126
K1 (ω) − K0.05 (ω)
IV.14Essai radial en compression sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de
précharge
Kn (ω) − K0.1 (ω)
Evolution de la fonction g1 (ω, n) =
. . . . . . . . . . . . . . . 127
K1 (ω) − K0.1 (ω)
IV.15Essai axial sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de précharge
Kn (ω) − K0.1 (ω)
Evolution de la fonction g1 (ω, n) =
. . . . . . . . . . . . . . . 127
K1 (ω) − K0.1 (ω)
IV.16Essai radial en cisaillement sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de
précharge
Kn (ω) − K0.1 (ω)
Evolution de la fonction g1 (ω, n) =
. . . . . . . . . . . . . . . 128
K1 (ω) − K0.1 (ω)
IV.17Lissage de Klin (ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
188
Table des figures
IV.18Lissage de Knonlin (ω)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
IV.19Comparaison entre les valeurs expérimentales et identifiées de l’effort dynamique
pour plusieurs valeurs de l’amplitude, - = expérimental, - - =identifié . . . . . . . 131
IV.20Lissage de l’effort à 50 Hz pour l’essai de cisaillement par le modèle IV.75 . . . . 132
IV.21Lissage du module à 50 Hz pour l’essai de cisaillement par le modèle IV.75 . . . 133
IV.22Lissage de l’effort à 60 Hz pour l’essai de cisaillement par le modèle IV.85. . . . . 136
IV.23Lissage de l’effort à 60 Hz pour l’essai de cisaillement par le modèle IV.85. . . . . 136
IV.24Comparaison des valeurs expérimentales et identifiées pour les souplesses dynamiques, exemple sur l’éprouvette de cisaillement, fréquence = 60 Hz (modèle
IV.86). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
IV.25Comparaison des valeurs expérimentales et identifiées pour les souplesses dynamiques, exemple sur l’éprouvette de cisaillement, fréquence = 60 Hz (modèle
IV.86) normé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
IV.26Module de l’effort fonction de la fréquence pour différents niveaux d’amplitude. . 138
V.1 Superposition d’un petit débattement sur un état préchargé . . . . . . . . . . . . 143
V.2 Schématisation d’un essai de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
V.3 Effort quasi statique en cisaillement simple obtenu avec une loi de Mooney Rivlin
(coefficients récapitulés dans le tableau V.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
V.4 Fonction h1 (γ) (en N/mm) fonction du taux de déformation . . . . . . . . . . . . 158
V.5 Fonction h2 (γ) (en N/mm) fonction du taux de déformation . . . . . . . . . . . . 158
V.6 Fonction
h1 (γ)
fonction du taux de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
h2 (γ)
V.7 Schématisation d’un essai de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
V.8 Effort quasi statique en compression simple obtenu avec la loi V.1
. . . . . . . . 160
V.9 Fonction h1 (λ) (en N/mm) fonction du taux de déformation . . . . . . . . . . . . 162
V.10 Fonction h2 (λ) (en N/mm) fonction du taux de déformation . . . . . . . . . . . . 162
V.11 Eprouvettes de caractérisation en double cisaillement et compression . . . . . . . 163
Table des figures
189
V.12 Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement. Superposition de l’hystérésis
mesurée à très faible fréquence, avec l’effort mesuré avant l’excitation dynamique 164
V.13 Evolution du module dynamique à 50 Hz en fonction de l’amplitude du débattement,
cas des essais de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
V.14 Evolution de f2 (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge . . . . . . . . 169
V.15 Evolution de f2comp (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge . . . . . . 170
V.16 Evolution de f1 (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge . . . . . . . . 171
V.17 Evolution de h1 (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge . . . . . . . . 172
V.18 Evolution du module dynamique en N/mm avec la fréquence pour les différents
niveaux de précharge, cas du cisaillement à ±0.1mm d’amplitude . . . . . . . . . 173
V.19 Evolution du module dynamique en N/mm avec la fréquence pour les différents
niveaux de précharge, cas de la compression à ±0.5mm d’amplitude . . . . . . . 173
E.1 Schématisation d’un essai de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
F.1 Eprouvette de double cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
F.2 Courbe effort déplacement. Cas d’un déplacement triangulaire de fréquence 0.02Hz218
F.3 Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement sur éprouvette de cisaillement. Superposition de l’hystérésis mesurée à 0.02 Hz à l’effort mesuré avant les
essais dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
F.4 Dispersion des mesures sur 3 éprouvettes de cisaillement, amplitude = 0.1 mm . 220
F.5 Evolution du module dynamique en fonction de la précharge à fréquence fixée,
pour une amplitude de débattement de 0.1 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
F.6 Eprouvette de de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
F.7 Courbe effort déplacement en compression. Cas d’un déplacement triangulaire de
fréquence 0.01Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
F.8 Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement sur éprouvette de compression. Supersposition de l’hystérésis mesurée à 0.01 Hz à l’effort mesuré avant
les essais dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
F.9 Dispersion des mesures sur 3 éprouvettes de compression, amplitude = ±0.1mm
224
190
Liste des tableaux
F.10 Evolution du module dynamique en fonction de la précharge à fréquence fixée,
pour une amplitude de débattement de 0.1 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
G.1 Evolution de f1 (γ) en fonction de la précharge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
G.2 Evolution de f2 (γ) en fonction de la précharge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
G.3 Identification de la fonction ne dépendant que de la précharge par un modèle
hyperélastique de Yeoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
G.4 Identification de la fonction G(ω), comparaison à 10% de précharge . . . . . . . . 230
G.5 Identification de la fonction G(ω), comparaison à 10% de précharge . . . . . . . . 231
G.6 Identification de la fonction G(ω), comparaison à 20% de précharge . . . . . . . . 231
G.7 Identification de la fonction G(ω), comparaison à 30% de précharge . . . . . . . . 232
Liste des tableaux
191
Liste des tableaux
IV.1 Contributions associées au développement à l’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 105
IV.2 Expression de l’effort total basé sur un développement de Fréchet à l’ordre 3
. . 107
IV.3 Amplitude du débattement imposé, pour chacune des directions de chargement . 119
IV.4 Erreur relative sur l’effort dynamique (valeur moyenne sur toutes les fréquences)
132
IV.5 Erreur absolue et relative sur le module dynamique à 50Hz obtenue par le modèle
IV.81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
IV.6 Erreur absolue sur le module du déplacement, en mm . . . . . . . . . . . . . . . 136
V.1 Coefficients de Mooney Rivlin pour un mélange de caoutchouc naturel . . . . . . 154
V.2 Dépendance de f2 (γ) vis à vis de la fréquence, cisaillement sur matériau amortissant, amplitude = 0.1 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
V.3 Dépendance de f2comp (ω, γ) vis à vis de la fréquence, compression sur matériau
amortissant, amplitude de compression=0.5 mm, amplitude de cisaillement = 0.1
mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
V.4 Dépendance de f1 (γ) vis à vis de la fréquence, cisaillement sur matériau amortissant, amplitude =0.1 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
V.5 Dépendance de f1comp (γ) vis à vis de la fréquence, compression sur matériau amortissant, amplitude de compression = 0.5 mm, réponse en fréquence prise sur le
chargement de cisaillement à 0.1 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.1 Contributions associées au développement à l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 195
B.1 Contribution à l’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
B.2 Contribution à l’ordre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
192
Liste des tableaux
B.3 Contributions associées au développement à l’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 200
F.1 Partie réelle (tableau a) et imaginaire (tableau b) de la raideur tangente en N/mm
pour différents niveaux de précharge, amplitude de débattement = 0.1 mm . . . 221
F.2 Partie réelle et imaginaire de la raideur tangente en N/mm pour différents niveaux
de précharge, amplitude de débattement = 0.1 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
G.1 Evolution de
h1
h2
identifié en fonction de la précharge . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Annexe A
193
Annexe A
Calcul de la relation effort
déplacement associée à un
développement en série à l’ordre 2
Nous cherchons à calculer l’effort associé à un développement en série de Volterra à l’ordre 2.
Dans le cadre d’une approximation de Ritz à un champ, nous recherchons le déplacement sous
la forme
{u(X, t)} = α(t) {Φ(X)}
(A.1)
où {Φ(X)} est un champ de déplacement cinématiquement admissible. Cette approximation
permet d’exprimer l’effort non linéaire sous la forme :
Z
Z
F2 (t) =
S2ij (t)Ẽ1ij dΩ0 + 2 U (t)
S2ij (t)Ẽ2ij dΩ0
(A.2)
Ω0
Ω0
|
{z
} |
{z
}
partie linéaire de E
partie non linéaire de E
où Ẽ1ij et Ẽ2ij correspondent à la partie linéaire (respectivement non linéaire) du tenseur des
déformations calculé à partir du champ {Φ(X)} (paragraphe IV.3).
A.1
Ecriture des déformations
L’approximation (A.1) permet d’écrire les déformations sous la forme
i
h
Eij (t) = U (t)Ẽ1ij + U 2 (t)Ẽ2ij H(t)
On en déduit
Ėij (t) =
h
1
2
U̇ (t)Ẽij
+ 2 U (t) U̇ (t)Ẽij
(paragraphe IV.3).
i
h
H(t) +
1
2
U (t)Ẽij
+ U 2 (t)Ẽij
(A.3)
i
δ(t)
(A.4)
194
Annexe A
A.2
Calcul de la contrainte
Pour calculer la contrainte associée au développement en série de Volterra à l’ordre 2 issue
de l’approximation de Ritz, nous remplaçons Ėij (t) par son expression (A.4) dans l’écriture de
la contrainte :
Z
2 (t) =
Sij
t
−∞
r2 (t − τ1 , t − τ2 ) Ėik (τ1 )Ėkj (τ2 )dτ1 dτ2
(A.5)
On fait ainsi apparaı̂tre des termes non linéaires :
1 Ẽ 1 .
– d’ordre 2 en U associés au produit B2ij = Ẽik
kj
1 Ẽ 2 et B32 = Ẽ 2 Ẽ 1 .
– d’ordre 3 en U associés au produit B31ij = Ẽik
ij
kj
ik kj
2 Ẽ 2
– d’ordre 4 en U associés au produit B4ij = Ẽik
kj
et on écrira
2 (t)
Sij
= P̃2 (U, t)B2ij + P̃31 (U, t)B31ij + P̃32 (U, t)B32ij + P̃4 (U, t)B4ij
(A.6)
Avec
Z tZ
P̃2 (U, t) =
0
t
0
r2 (t − τ1 , t − τ2 ) U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) dτ1 dτ2
Z
t
+ 2 U (0)
0
r2 (t − τ1 , t) U̇ (τ1 )dτ1
+ r2 (t, t) U (0)2
P̃31 (U, t) = P̃32 (U, t) = P̃3 (U, t)
Z t Z t
= 2
r2 (t − τ1 , t − τ2 ) U̇ (τ1 ) U (τ2 ) U̇ (τ2 ) dτ1 dτ2
0 0Z
Z t
t
2
+ U (0)
r2 (t − τ1 , t) U̇ (τ1 )dτ1 + 2 U (0)
r2 (t, t − τ1 ) U̇ (τ2 ) U (τ2 ) dτ2
0
0
+ r2 (t, t) U (0)3
Z t Z t
P̃4 (U, t) = 4
r2 (t − τ1 , t − τ2 ) U (τ1 ) U (τ2 )U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) dτ1 dτ2
0 0 Z t
2
4
+
4 U (0)
r2 (t − τ1 , t) U (τ1 ) U̇ (τ1 ) dτ1 + r2 (t, t) U (0)
0
(A.7)
ce qui permet d’écrire la contrainte à l’ordre 2 conformément à:
2 (t) = P̃ (U, t)B2 + P̃ (U, t)B31 + P̃ (U, t)B32
Sij
2
ij
31
ij
32
ij + P̃4 (U, t)B4ij
(A.8)
= P̃2 (U, t)B2ij + P̃3 (U, t) (B31ij + B32ij ) + P̃4 (U, t)B4ij
Annexe A
A.3
195
Calcul de l’effort
En reportant (A.8) dans l’approximation de l’effort
Z
Z
F2 (t) =
S2ij (t)Ẽ1ij dΩ0 + 2 U (t)
S2ij (t)Ẽ2ij dΩ0
Ω0
Ω0
|
{z
} |
{z
}
partie linéaire de E
(A.9)
partie non linéaire de E
on voit apparaı̂tre des coefficients de volume associés à des non linéarités en U jusqu’à l’ordre
5. On écrira ainsi :
F2 (t) = b2 P̃2 (U, t) + b31 P̃3 (U, t) + b32 P̃3 (U, t)
+ 2 b33 U (t) P̃2 (U, t) + b41 P̃4 (U, t) + 2 b42 U (t) P̃3 (U, t)
+ 2 b43 U (t) P̃3 (U, t) + 2 b5 U (t) P̃4 (U, t)
(A.10)
où les coefficients bk sont des coefficients de volume, l’indice k désignant l’ordre de la non linéarité
en U . Ces coefficients sont récapitulés dans le tableau ci dessous :
Z
b2 =
Ω0
Ordre 2
1
1
1
Ẽik Ẽkj Ẽij dΩ0
Ordre 3
1
2
1
Ẽik Ẽkj Ẽij dΩ0
Z
b31 =
b32 =
b33 =
Z Ω0 Z Ω0 Ω0
2
1
1
1
Ẽik Ẽkj
Ẽik Ẽkj
1
Ẽij dΩ0
2
Ẽij dΩ0
Ordre 4
2
2
1
Ẽik Ẽkj Ẽij dΩ0
Z
b41 =
b42 =
b43 =
Z Ω0 Z Ω0 Ω0
1
2
2
1
Ẽik Ẽkj
Ẽik Ẽkj
2
Z
b5 =
Ω0
Ordre 5
2
2
2
Ẽik Ẽkj Ẽij dΩ0
Ẽij dΩ0
2
Ẽij dΩ0
Tab. A.1: Contributions associées au développement à l’ordre 2
Annexe B
197
Annexe B
Calcul de la relation effort
déplacement associée à un
développement en série à l’ordre 3
Le développement à l’ordre trois va faire apparaı̂tre deux types de contributions, l’une due
aux effets de trace, et l’autre l’autre au produit des déformations. On a en effet
3
31
32
Sij
(t) = Sij
(t) + Sij
(t)
Avec
Z


31


 Sij (t) =
t
−∞



32
 Sij
(t) =
B.1
Z
t
−∞
Z
t
−∞
Z
t
−∞
Z
t
−∞
Z
t
−∞
(B.1)
r31 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) trace Ėik (τ1 )Ėkl (τ2 ) Ėlj (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
r32 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) Ėik (τ1 )Ėkl (τ2 )Ėlj (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
(B.2)
Ecriture des déformations
Nous recherchons le déplacement sous la forme
{u(X, t)} = α(t) {Φ(X)}
(B.3)
où {Φ(X)} est un champ de déplacement cinématiquement admissible. Cela conduit à l’écriture
suivante pour les déformations :
i
h
Eij (t) = U (t)Ẽ1ij + U 2 (t)Ẽ2ij H(t)
(B.4)
198
Annexe B
où Ẽ1ij et Ẽ2ij correspondent à la partie linéaire (respectivement non linéaire) du tenseur des
déformations calculé à partir du champ {Φ(X)} (paragraphe IV.3). On en déduit
i
h
i
h
1
2
1
2
Ėij (t) = U̇ (t)Ẽij
H(t) + U (t)Ẽij
δ(t)
(B.5)
+ 2 U (t) U̇ (t)Ẽij
+ U 2 (t)Ẽij
(paragraphe IV.3).
B.2
Calcul de la contrainte
Pour approcher la contrainte à l’ordre 3, nous reportons l’approximation (B.5) dans les
expressions (B.2). Cela va faire apparaı̂tre les produits croisés des tenseurs Ẽ1 et Ẽ2 . Nous
regroupons ces termes en fonction de l’ordre de la non linéarité en U . Nous allons noter
1 Ẽ 1 Ẽ 1 pour la
– C3ij la matrice associée à la non linéarité cubique. On a a ainsi C3ij = Ẽpl
lp ij
1 Ẽ 1 Ẽ 1 Ẽ 1 pour la contribution de S .
contribution de S31 , et Ẽik
32
kp pj ij
– C4kij les matrices associées à la non linéarité d’ordre 4. Elles sont au nombre de 3
Contribution de S31 Contribution de S32
C41ij
1 Ẽ 1 Ẽ 2
Ẽpl
lp ij
1 Ẽ 1 Ẽ 2
Ẽik
kp pj
C42ij
1 Ẽ 2 Ẽ 1
Ẽpl
lp ij
1 Ẽ 1 Ẽ 2
Ẽik
kp pj
C43ij
2 Ẽ 1 Ẽ 1
Ẽpl
lp ij
2 Ẽ 1 Ẽ 1
Ẽik
kp pj
Tab. B.1: Contribution à l’ordre 4
– C5kij les matrices associées à la non linéarité d’ordre 5. Elles sont au nombre de 3
Contribution de S31 Contribution de S32
C51ij
1 Ẽ 2 Ẽ 2
Ẽpl
lp ij
1 Ẽ 2 Ẽ 2
Ẽik
kp pj
C52ij
2 Ẽ 1 Ẽ 2
Ẽpl
lp ij
2 Ẽ 1 Ẽ 2
Ẽik
kp pj
C53ij
2 Ẽ 2 Ẽ 1
Ẽpl
lp ij
2 Ẽ 2 Ẽ 1
Ẽik
kp pj
Tab. B.2: Contribution à l’ordre 5
2 Ẽ 2 Ẽ 2 pour
– C6ij la matrice associée à la non linéarité d’ordre 6. On a a ainsi C6ij = Ẽpl
lp ij
2 Ẽ 2 Ẽ 2 pour la contribution de S .
la contribution de S31 , et C6ij = Ẽik
32
kp pj
Cela permet d’écrire la contrainte à l’ordre 3 conformément à :
3 (t) = Q̃ (U, t)C3 + (Q (U, t)C41 + Q (U, t)C42 + Q (U, t)C43 )
Sij
3
ij
32
ij
42
ij
43
ij
+ (Q51 (U, t)C51ij + Q52 (U, t)C52ij + Q53 (U, t)C53ij ) + Q̃6 (U, t)C6ij
= Q̃3 (U, t)C3ij + Q̃4 (U, t) [ C41ij + C42ij + C43ij ]
+ Q̃5 (U, t) [ C51ij + C52ij + C53ij ] + Q̃6 (U, t)C6ij
(B.6)
Annexe B
199
où les fonctions Q̃k (U, t) s’expriment suivant
Ordre 3
Z
Q̃3 (U, t) =
t
Z
−∞
Z
t
−∞
Z tZ tZ
=
0
+
0Z
0
3 U (0)
+ 3
t
U 2 (0)
t
−∞
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U̇ (τ3 ) dτ1 dτ2 dτ3
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U̇ (τ3 ) dτ1 dτ2 dτ3
tZ t
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t) U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 )dτ1 dτ2
Z0 t
0
(B.7)
0
r3 (t − τ, t, t) U̇ (τ ) dτ
+ r3 (t, t, t) U 3 (0)
Ordre 4
Q̃4 (U, t) = Q32 (U, t) = Q42 (U, t) = Q43 (U, t)
Z t Z t Z t
=
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) 2 U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U̇ (τ3 ) U (τ3 ) dτ1 dτ2 dτ3
−∞ −∞
Z−∞
tZ tZ t
=
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) 2 U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U̇ (τ3 ) U (τ3 ) dτ1 dτ2 dτ3
0
0 Z0 Z
t
t
+ U 2 (0)
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t) U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) dτ1 dτ2
Z0 t Z0 t
+ 4 U (0)
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t) U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U (τ2 )dτ1 dτ2
0Z 0
t
+ 2 U 3 (0)
r3 (t − τ, t, t) U̇ (τ )dτ
Z0 t
+ 2 U 2 (0)
r3 (t − τ, t, t) U (τ ) U̇ (τ )dτ
0
+ r3 (t, t, t) U 4 (0)
(B.8)
Ordre 5
Q̃5 (U, t) = z51 (t) = z52 (t) = z53 (t)
Z t Z t Z t
=
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) 4 U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U̇ (τ3 ) U (τ2 ) U (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
−∞
−∞
Z
Z
Z−∞
t
t
t
=
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) 4 U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U̇ (τ3 ) U (τ2 ) U (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
0
0
0Z Z
t
t
+ 4 U 2 (0)
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t) U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U (τ2 )dτ1 dτ2
Z 0t Z 0t
+ 4 U (0)
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t) U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U (τ1 ) U (τ2 )dτ1 dτ2
Z t0 0
+ U 4 (0)
r3 (t − τ, t, t) U̇ (τ ) dτ
0Z
t
+ 4 U 3 (0)
r3 (t − τ, t, t) U̇ (τ ) U (τ )dτ
0
+ r3 (t, t, t) U 5 (0)
(B.9)
200
Annexe B
Ordre 6
Z
Q̃6 (U, t) =
Z
t
t
Z
t
−∞
−∞
Z t Z−∞
tZ t
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) 8 U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U̇ (τ3 ) U (τ1 ) U (τ2 ) U (τ3 ) dτ1 dτ2 dτ3
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 ) U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U̇ (τ3 ) U (τ1 ) U (τ2 ) U (τ3 ) dτ1 dτ2 dτ3
Z0 t Z t
+ 12 U 2 (0)
r3 (t − τ1 , t − τ2 , t) U̇ (τ1 ) U̇ (τ2 ) U (τ1 ) U (τ2 )dτ1 dτ2
Z t0 0
+ 6 U 4 (0)
r3 (t − τ, t, t) U̇ (τ ) U (τ )dτ
= 8
0
0
0
+ r3 (t, t, t) U (0)6
(B.10)
B.3
Calcul de l’effort
En reportant (B.6) dans l’expression de l’effort non linéaire
Z
Z
F3 (t) =
S3ij (t)Ẽ1ij dΩ0 + 2 U (t)
S3ij (t)Ẽ2ij dΩ0
Ω0
Ω0
|
{z
} |
{z
}
partie linéaire de E
(B.11)
partie non linéaire de E
on fait apparaı̂tre les coefficients dus au champ cinématiquement admissible, et à la géométrie
considérée. On voit ainsi que la non linéarité en U sera d’ordre 3 à 7, et l’effort s’exprimera
suivant :
F3 (t) = c3 Q̃3 (U, t) + c41 Q̃4 (U, t) + c42 Q̃4 (U, t)
+ c43 Q̃4 (U, t) + 2c44 U (t)Q̃3 (U, t)
+ c51 Q̃5 (U, t) + c52 Q̃5 (U, t) + c53 Q̃5 (U, t)
(B.12)
+ 2c54 U (t)Q̃4 (U, t) + 2c55 U (t)Q̃4 (U, t) + 2c56 U (t)Q̃4 (U, t)
+ c61 Q̃6 (U, t) + 2c62 U (t)Q̃5 (U, t)
+ 2c63 U (t)Q̃5 (U, t) + 2c64 U (t)Q̃5 (U, t)
+ 2c7 U (t)Q̃6 (U, t)
où les coefficients ck intègrent la géométrie de la pièce, ils sont calculés à partir des tenseurs de
déformation connus Ẽ1 et Ẽ2 de la manière suivante :
c3 =
Z Ordre 3
C3ij Ẽ1ij dΩ0
Ω0
Z Ordre 4
C41ij Ẽ1ij dΩ0
Z Ω0
c42 =
C42ij Ẽ1ij dΩ0
Z Ω0
c43 =
C43ij Ẽ1ij dΩ0
ZΩ0
c44 =
C3ij Ẽ2ij dΩ0
c41 =
Ω0
c51 =
c52 =
c53 =
c54 =
c55 =
c56 =
Z Ordre 5
C51ij Ẽ1ij dΩ0
Z Ω0
C52ij Ẽ1ij dΩ0
Z Ω0
C53ij Ẽ1ij dΩ0
Z Ω0
C41ij Ẽ2ij dΩ0
Z Ω0
C42ij Ẽ2ij dΩ0
Z Ω0
C43ij Ẽ2ij dΩ0
Z Ordre 6
C6ij Ẽ1ij dΩ0
Z Ω0
c62 =
C51ij Ẽ2ij dΩ0
Z Ω0
c63 =
C52ij Ẽ2ij dΩ0
Z Ω0
c64 =
C53ij Ẽ2ij dΩ0
c61 =
c7 =
Ω0
Ω0
Tab. B.3: Contributions associées au développement à l’ordre 3
Z Ordre 7
C6ij Ẽ2ij dΩ0
Ω0
Annexe B
201
Par ailleurs, les conditions de symétrie sur les tenseurs E˜1 et E˜2 , ainsi que la relation
trace(A B) = trace(B A) permettent d’aboutir aux simplifications suivantes

c41 = c42 = c43 = c44






 c51 = c52 = c54 = c55


c53 = c56





c61 = c62 = c63 = c64
pour la contribution de S31 , et
(B.13)


c44 = c42







c55 = c52
(B.14)
c63 = c61
pour la contribution de S32 . Pour la contribution de S31 , on aura 6 coefficients de volume à
calculer. Pour la contribution de S32 , il y en aura 13.
Annexe C
203
Annexe C
Calcul du module dynamique associé
à un développement en séries à
l’ordre 3
Nous cherchons l’expression générale du module dynamique, fonction de la précharge, de
l’amplitude de vibration et de la fréquence. Pour calculer ce module, nous utilisons un développement
en série de Volterra à l’ordre 3 de la relation contrainte déformation. Cela conduit à l’expression
du module dynamique conformément à :
K(U0 , β0 , ω) = K 1 (U0 , β0 , ω) + K 2 (U0 , β0 , ω) + K 3 (U0 , β0 , ω)
(C.1)
où K 1 (respectivement K 2 , K 3 ) correspond à la contribution due au développement des contraintes
à l’ordre 1 (respectivement 2 et 3).
C.1
Expression de K 1 (U0 , β, ω)
Pour une excitation harmonique autour d’une précharge, on recherche le déplacement U (t)
sous la forme:
U (t) = U0 + β(t)
(C.2)
La contrainte à l’ordre 1 s’écrit (voir paragraphe (IV.3.1)) :
1
2
S1ij (t) = K̃1 (U, t) Ẽij
+ K̃2 (U, t) Ẽij
où nous avons introduit les fonctions

Z t

 K̃1 (U, t) =
r1 (t − τ )U̇ (t)dτ + r1 (t)U (0)

0Z
t


 K̃2 (U, t) = 2
r1 (t − τ ) U (τ ) U̇ (τ )dτ + r1 (t)U 2 (0)
0
(C.3)
(C.4)
204
Annexe C
En remplaçant U (t) par son expression C.2 dans C.4 on obtient

Z t



r1 (t − τ )β̇(τ )dτ + r1 (t)U (0)
 K̃1 (U, t) =
0
Z t
Z t



r1 (t − τ ) β̇(τ )dτ + 2
r1 (t − τ ) β(τ ) β̇(τ )dτ + r1 (t)U 2 (0)
 K̃2 (U, t) = 2 U0
0
(C.5)
0
Utilisons à présent le fait que les débattements sont sinusoidaux. On a ainsi
β(t) =
1
β0 eiωt + β0 e−iωt
2
(C.6)
Pour calculer la réponse en fréquence associé au développement à l’ordre 1, nous allons introduire
la fonction H1 , définie comme suit:
Z t
(C.7)
H1 (ω) =
r1 (X)e−iωX dX
0
En reportant C.6 dans C.5, et en utilisant C.7, on va faire apparaı̂tre les produits iωH1 (ω) et
leurs conjugués. On a ainsi, après changement de variable t − τ = X:

Z t
1
1


r1 (t − τ )β̇(τ )dτ =
iωβ0 H1 (ω)eiωt − iωβ0 H1 (ω)e−iωt


2
2
0
(C.8)
Z
t


1
1
2


r1 (t − τ )β(τ )β̇(τ )dτ =
iωβ02 H1 (2ω)e2iωt − iωβ0 e−2iωt H1 (2ω)
4
4
0
ce qui permet d’écrire

1
1
1
iωt
−iωt


K̃
r1 (t)
(U,
t)
=
H
(ω)e
−
H
(ω)
e
+
U
+
+
β
iωβ
iωβ
β
1
0 1
0 1
0
0
0


2
2
2




1
1
2
K̃2 (U, t) = U0 iωβ0 H1 (ω)eiωt − U0 iωβ0 H1 (ω) e−iωt + iωβ02 H1 (2ω)e2iωt − iωβ0 e−2iωt H1 (2ω)

2
2





1
2


+
U02 + U0 β0 + β0 +
r1 (t)
β 2 + β0 + 2 β0 β0
4 0
(C.9)
Le calcul de l’effort se fait ensuite en reportant l’expression (C.9) dans l’expression de F1 (t)
donnée au chapitre IV au paragraphe IV.3.1.
F1 (t) = a1 K̃1 (U, t) + a21 K̃2 (U, t) + 2a22 U (t) K̃1 (U, t) + 2a3 U (t) K̃2 (U, t)
(C.10)
Si nous nous limitons à la contribution du premier harmonique, alors F1 (t) peut être approché
par :
1
F1 (t) = F0 + (F1 (ω)eiωt + F 1 (ω)e−iωt )
2
Nous nous intéressons uniquement au calcul du module dynamique, pour ce faire, on ne garde
donc que les termes harmoniques intervenant dans K̃1 et K̃2 . L’amplitude du premier harmonique
de l’effort s’exprimera alors selon :
1
F1 (ω) = a1 F11 (ω) + a21 F12 (ω) + a22 F13 (ω) + a3 F14 (ω)
2
(C.11)
Annexe C
205
où F11 (ω) correspond aux termes harmoniques intervenant dans le calcul de K̃1 (U, t), et s’écrit
F11 (ω) =
1
1
iωβ0 H1 (ω)eiωt − iωβ0 H1 (ω) e−iωt
2
2
(C.12)
F12 (ω) correspond aux termes harmoniques intervenant dans le calcul de K̃2 (U, t), en utilisant
(C.9) on a
1
F12 (ω) = U0 iωβ0 H1 (ω)eiωt − U0 iωβ0 H1 (ω) e−iωt + iωβ02 H1 (2ω)e2iωt
2
1
2
− iωβ0 e−2iωt H1 (2ω)
2
(C.13)
F13 (ω) et F14 (ω) correspondent respectivement aux termes harmoniques intervenant dans le calcul
de 2U (t) K̃1 (U, t) et de 2U (t) K̃2 (U, t), pour les calculer on remplace U (t) par son expression C.2
dans (C.9), et on ne conserve que les termes harmoniques. On obtient de cette manière
F13 (ω) = N L11 + N L12 + N L11 + N L12
F14 (ω) = N L21 + N L22 + N L21 + N L22
(C.14)
où nous avons posé


N L11 = iω U0 β0 H1 (ω)eiωt






1
1
1 2

2
2iωt


− iωβ0 β0 H1 (ω) + U0 β0 +
β0 + β0 β0 r1 (t)eiωt
 N L12 = 2 iωβ0 H1 (ω)e

2
2





2
iωt
2
2iωt


 N L21 = 2U0 iωβ0 H1 (ω)e + U0 iωβ0 H1 (2ω)e

N L22 = U0 iωβ02 H1 (ω)e2iωt − U0 iωβ0 β0 H1 (ω)







1
1
2


+ iωβ03 H1 (2ω)e3iωt − iωβ0 β0 H1 (2ω)e−iωt


2
2





1 3

2
2
2
2


r1 (t)eiωt
+ β0 U0 + U0 β0 + β0 β0 +
β + β0 β0 + 2 β0 β0
4 0
(C.15)
Il faut à présent calculer
K 1 (U0 , β, ω) =
F1 (ω)
β0
(C.16)
Cela se fait en calculant analytiquement la fonction H1 (ω). Il suffit pour celà de remplacer r1 (t)
par son expression dans (C.7), ce qui donne
N
X
i ω H1 (ω) = G∞ 1 − e−iωt +
i=1
i ω Gi 1 − e− φi t e−iωt
φi + i ω
(C.17)
Cette expression est ensuite reportée dans (C.12), (C.13), (C.15), et nous ne gardons que les
termes au premier harmonique. Reportant les expressions ainsi obtenues dans (C.16), le module
dynamique associé au développement en série de Volterra à l’ordre 1 s’écrira
K 1 (U0 , β, ω) = a1 K11 (U0 , β, ω) + a21 K21 (U0 , β, ω) + a22 K31 (U0 , ∆U, ω) + a3 K41 (U0 , β, ω)
(C.18)
206
Annexe C
Avec





K11 (U0 , β, ω) =













K21 (U0 , β, ω) =



G∞ +
N
X
i=1
2U0
G∞ +
i ω Gi
φi + i ω
N
X
i=1
!
i ω Gi
φi + i ω
!
!

N

X

i ω Gi

1

K3 (U0 , β, ω) = 2 U0 2 G∞ +


φi + i ω


i=1



"
!


N

X

2
i
ω
G
β0 β0
i

1

2U02 3 G∞ +
+

 K4 (U0 , β, ω) =
φi + i ω
2
i=1
3 G∞ +
N
X
i=1
2 i ω Gi
φi + 2 i ω
!#
(C.19)
C.2
Expression de K 2 (U0 , β, ω)
En utilisant exactement la même démarche, à l’ordre 2, le module dynamique fera intervenir
les 8 coefficients de volume listés en annexe B
K 2 (U0 , β, ω) = b2 K12 + b31 K22 + b32 K32 + b33 K42 + b41 K52 + b42 K62 + b43 K72 + b5 K82
(C.20)
où les fonctions K12 à K82 sont des fractions rationnelles en ω, calculées en adoptant la même
méthodologie que celle exposée dans le paragraphe précédent. Ils sont ainsi obtenus en remplaçant U (t) par son expression (C.2) dans les fonctions Pk (U, t) (Annexe A). Leur calcul fera
intervenir

Z tZ t

 H2 (ω1 , ω2 , t) =
r2 (X1 , X2 )e−iω1 X1 e−iω2 X2 dX1 dX1


0
0
(C.21)
Z t




Ĥ2 (ω, t) =
r2 (X, t)e−iωX dX
0
la fonction r2 (t1 , t2 ) étant supposée être de la forme
r2 (t1 , t2 ) = l2 + m2 e− c2 (t1 +t2 )
(C.22)
Annexe C
207
En déroulant alors les mêmes étapes de calcul que précédemment, et en ne gardant que les
termes associés au premier harmonique, les fonctions intervenant dans K 2 s’écriront

K12 = 2U0 m2







1
2

2
1
2

K2 = m2 2 β0 + β0 β0 + 3U0



4





2
2


 K3 = K2






K42 = 6 m2 U02 + β0 β0 g14 (ω)






2

2
2 = m U

K
2
β
+
β
β
+
4
U

2
0
0
0
0
0
5



2
(C.23)
K62 = 8 m2 U03 + U0 −m2 β0 + 32 m2 β0 + β0 β0 g16 (ω)






1
1 3
2


−
β0 β0 m2 − β0 m2 + β02 β0 g26 (ω) + β0 β0 g36 (ω)


2
4






K72 = K62







2 = 10m U 4 + U 2 5m β 2 − 2 m β + β β g 8 (ω)

K

2
2
0
2
0
0
0
8
0
0
1



n
o


2
3
2

4
8
8

+
U
β
β
g
(ω)
+
β
β
g
(ω)
−
m
β
−
2m
β
β
+
2m
β

0
0
0
0
2
0
2
0
0
2
0
0
2
3





2
3
4
2
3
+ β0 β02 g48 (ω) + C1 β0 β0 + C2 β0 + C3 β02 β0 + C4 β0 β0 + C5 β0
où
– les coefficients Ci désignent des constantes (fonction de l2 ).
– gi (ω) sont des fractions rationnelles, fonctions des paramètres m2 , c2 et ω.
Dans le cas du modèle non préchargé (U0 = 0), la dépendance en amplitude s’exprimera sous
forme polynomiale en β, avec des degrés de polynome d’ordre 2 à 4. Toutefois, si l’on néglige les
effets géométriques et qu’on ne garde que les termes associés au premier ordre des déformations,
il n’y pas de contribution au premier harmonique. Dans le cas le plus général, à l’ordre 2, il
faudra évaluer 7 fractions rationnelles, qui dépendent des coefficients choisis dans l’écriture de
r2 .
C.3
Expression de K 3 (U0 , β, ω)
De la même manière, à l’ordre 3, le calcul complet fera intervenir 16 coefficients de volume,
ces derniers étant listés en annexe B:
K 3 (U0 , β, ω) = c3 K13 + c41 K23 + c42 K33 + c43 K43 + c44 K53 + c51 K63 + c52 K73 + c53 K83
3 + c K3 + c K3 + c K3 + c K3 + c K3 + c K3
+ c54 K93 + c55 K10
56 11
61 12
62 13
63 14
64 15
7 17
(C.24)
208
Annexe C
où chacune des fonctions Kk3 est calculée en reportant (C.2) dans l’expression analytique de
Q̃(U, t) donnée en annexe B. Ce calcul utilisera les définitions suivantes (pour le passage en
fréquentiel):
Z tZ tZ t



H3k (ω1 , ω2 , ω3 , t) =
r3k (X1 , X2 , X3 )e−iω1 X1 e−iω2 X2 e−iω3 X3 dX1 dX2 dX3



0
0
0



Z tZ t

Hˆ3k (ω1 , ω2 , , t) =
r3k (X1 , X2 , t)e−iωX1 e−iω1 X2 dX1 dX2


0
0



Z t




Hˆ3k (ω, t, t) =
r3k (X, t, t)e−iωX dX
0
(C.25)
la fonction r3k s’écrivant
r3k (t1 , t2 , t3 ) = l3k + m3k e−c3k (t1 +t2 +t3 )
r3k est ainsi un noyau symétrique, ce qui permet
expressions fréquentielles


K33 =






K73 =







K83 =




3
K10
=



3

K11
=






3

K14
=






3
 K15
=
d’avoir les simplification suivantes dans les
K23
K63
K63
K93
K93
3
K13
3
K13
A l’ordre 3, nous aurons ainsi 9 fractions rationnelles, et 19 coefficients de volume à calculer (les
coefficients de volume étant connus). En déroulant les mêmes étapes de calcul que à l’ordre 1,
Annexe C
209
le module dynamique


K13








K23







K33








K43




 K53







K63








K73






 K3

8






















































associé au noyau d’ordre 3 s’exprime selon
= 3U02 l3 + 34 β0 β0 f11 (ω)
= D12 + U0 β0 β0 f12 (ω)
= K23
= D14 U03 + U0 β0 β0 f14 (ω)
= U03 D15 + U0 |β0 |2 f25 (ω)
2
= D16 U04 + U02 β0 β0 f16 (ω) + β02 β0 f26 (ω)
= K63
= K63
K93 = U04 D19 + U02 |β0 |2 f19 (ω) + |β0 |4 f29 (ω)
(C.26)
3
K10
= K93
3
K11
= K93
3
K12
= U05 D112 + U03 β0 β0 f112 (ω) + U0 |β0 |4 f212 (ω)
3
K13
= U05 D113 + U03 |β0 |2 f112 (ω) + U0 |β0 |4 f213 (ω)
3
3
K14
= K13
3
3
K15
= K13
3
K16
= U06 D116 + U04 |β0 |2 f116 (ω) + U02 |β0 |4 f216 (ω) + |β0 |6 f316 (ω)
où les Di désignent des constantes (qui dépendent de l3 ). Les f (ω) sont des fractions rationnelles,
calculées en fonction de m3 , c3 , ω. Dans le cas du matériau non préchargé, U0 = 0, il ne
reste que 4 fractions rationnelles à évaluer, et la dépendance en amplitude s’exprime sous forme
polynomiale d’ordre 6 en β, ce polynome ne faisant intervenir que des ordres pairs. Enfin, si
on néglige tous les termes liés au second ordre (E2 = 0), seul reste K13 , et la dépendance en
amplitude est en β 2 .
Annexe D
211
Annexe D
Calcul des dérivées de l’énergie de
déformation hyperélastique
Pour calculer le module dynamique autour d’une configuration préchargée (chapitre V), nous
avons besoin des dérivées première et seconde de l’énergie de déformation hyperélastique par
rapport aux invariants (équations V.70 et V.77). Ces dérivées se calculeront comme suit :

∂Ψ


Ψ1 =



∂I1





∂Ψ


Ψ2 =



∂I2




Φ1 = 4 Ψ11 + 2 I1 Ψ12 + Ψ2 + I12 Ψ22





Φ2 = −4 (Ψ12 + I1 Ψ22 )








 Φ4 = 4Ψ22




 Φ
= −4Ψ2
8
où nous avons noté
Ψk =
et
Ψij =
∂Ψ
∂Ik
∂ 2Ψ
∂Ii ∂Ij
Par exemple, dans le cas où l’énergie de déformation hyperélastique est donnée par une loi
polynomiale à l’ordre 3
Ψ(I1 , I1 ) = c10 (I1 − 3) + c01 (I2 − 3) + c20 (I1 − 3)2 + c30 (I1 − 3)3
212
les expressions



Ψ1 =










Ψ2 =







Φ1 =





Φ2 =







Φ4 =






 Φ
=
8
Annexe D
précédentes conduisent à :
∂Ψ
∂I1
= c10 + 2c20 (I1 − 3) + 3c30 (I1 − 3)2
∂Ψ
∂I2
= c01
4 Ψ11 + 2 I1 Ψ12 + Ψ,2 + I12 Ψ22
= 4 (2c20 + 6c30 (I1 − 3) + c01 )
−4 (Ψ12 + I1 Ψ22 )
= 0
4Ψ22
= 0
−4Ψ2
= −4c01
Les cas particuliers des énergies de déformation de Yeoh, Mooney Rivlin ou encore Néo Hookéenne
sont obtenus à partir des deux expressions précédentes en faisant c01 = 0 (respectivement c20 = 0
et c30 = 0 pour Mooney Rivlin et c01 = 0, c20 = 0 et c30 = 0 pour un modèle Néo Hookéen).
Annexe E
213
Annexe E
Calcul de l’expression de la raideur
dynamique d’un cylindre en traction
compression
Dans cet exemple nous considérons un cylindre de longueur initiale L, de rayon R. On vient
comprimer ce cylindre entre deux plaques de métal (figure (E.1)). Si nous négligeons le frottement
entre le caoutchouc et les plaques de métal, nous avons un état de déformation homogène :
D
Z
U (t)
L
Y
X
Fig. E.1: Schématisation d’un essai de compression
On définit alors l’élongation à partir du déplacement de l’extrémité du cylindre :
U (t)
L
(λ > 1 correspond à un essai de traction, et λ < 1 correspond à un essai de compression). Les
élongations dans les deux autres directions principales sont alors égales et déterminées à l’aide
de la condition d’incompressibilité λ1 λ2 λ3 = 1. Une précontrainte jusqu’à un déplacement U0 ,
soit une élongation λ est d’abord imposée. Après relaxation, un déplacement harmonique de
fréquence ω et de petite amplitude δU est imposé.
λ(t) = 1 +
214
Annexe E
E.1
Equilibre statique
En négligeant les frottement, et en considérant que nous avons un état de déformation
homogène, le champ de déplacement réel vérifiant les conditions aux limites cinématiques et
la condition d’incompressibilité s’écrit :
!
s

1


 U (X, Y, Z) =
−1 + U0
X


+1


L
!
s

1
(E.1)
V (X, Y, Z) =
−1 + U0
Y



+
1

L



 W (X, Y, Z) = U0 Z
L
On en déduit l’expression des tenseurs gradient des déformations, ainsi que l’expression des
invariants:





1
1
√
0
0

2+ 2
0
0
 λ


I
=
λ
1



λ


λ


1

F = 
(E.2)
b = C = 0 1 0 
√
0
 0



1



λ
λ

I2 = 2 λ + 2
0 0 λ2
λ
0
0 λ
L’état de contrainte associé est alors calculé conformément à (II.52):

Sdev
0
2 Ψ1 + 2


=



2
1
+ λ2
λ
0
0
Ψ2 −

2 Ψ2
λ
2 Ψ1 + 2
0
1
2 + λ2
λ
0
2 Ψ2
Ψ2 −
λ
0
0
2 Ψ1 + 2
2
1
+ λ2
λ
Ψ2 − 2 Ψ2 λ2
(E.3)
Nous choisissons ensuite un champ de déplacement virtuel défini dans la configuration préchargée
suivant:

?

? (x, y, z) = − β x

u




1 β?

2L


0
0
−


 2 L

?
β?


(E.4)
? =  0
− 12 βL
0 
v ? (x, y, z) =
y


2L
?

β



0
0


β?
L

 w? (x, y, z) =
z
L
Ces grandeurs sont ensuite transportées dans la configuration de référence, ce qui conduit à

? 1
 ?

β

? (X, Y, Z) = − β √

U
X

0
0

2L λ

λ



1
β?
β? 1
?
T
?
?

0 
E = F (U) GradU =  0 −
√ Y
V (X, Y, Z) = −


2
λ
2L λ

? λ2 

?

β
β


0
0
2
W ? (X, Y, Z) = − λZ
L
L
(E.5)
Le travail virtuel des efforts extérieurs (lors de la précharge) s’exprime alors suivant
?
Wext
= F (λ)W ? (Z = L) = β ? λ F (λ)
(E.6)







Annexe E
215
où F désigne l’effort dans la direction de la traction associé au chargement quasi statique. Cet
effort est calculé en égalant les travaux virtuels des efforts intérieurs et extérieurs
Z
?
?
Wext = Wint =
Sdev
: E?
0
Ω0
D’où:
2πR2
F (λ) =
E.2
1
λ− 2
λ
∂Ψ
1 ∂Ψ
+
∂I1 λ ∂I2
(E.7)
Calcul du module dynamique
Autour de cette configuration préchargée, on impose un débattement sinusoidal ∆u =
δU eiωt , où δU désigne l’amplitude du débattement imposé. Pour calculer grad∆u qui intervient
dans le calcul de la linéarisation des travaux virtuels, on effectue un développement de Taylor du
champ de déplacement autour de la précharge. A partir de l’expression du champ de déplacement
(E.1) le développement de Taylor permet d’exprimer l’incrément sur les différents tenseurs de
déformation comme suit :




1 1
1 δU
−
0
0
0
0
−
 2 λ2 L

 2λ L





1 1
1 δU



 ∆ω = 0 (E.8)
∆E = 
∆
=
0
−
0
0
−
0



2 λ2 L
2λ L



λ
1 δU 
0
0
0
0
L
λ L
On en déduit l’expression de chacun des termes intervenant dans la linéarisation du travail des
efforts intérieurs:
!
Z
0
00
G
G
?
T
?
−∆Wint =
F ∆S F + ∆ σdev + σ dev ∆ : gradu dΩ0
+i
G∞
G∞
Ω0
Z
+
( ∆ω σdev − σ dev ∆ω ) : gradu? dΩ0
Ω0
(E.9)
puis la linéarisation du travail des efforts extérieurs:
F (U0 )
U0 ∂F (U0 )
?
?
∆Wext = β
δU0
+ 1+
L
L
∂U0
(E.10)
Et finalement en égalant les incréments sur le travail virtuel interne et externe on a
β
? ∂F (U0 )
∂U
−β
δU
? F (U0 )
L
Z
δU0 +
=
T
F ∆S F
Ω0
+ ∆ σdev + σ dev
1+
Le module dynamique vaut alors
K(ω, λ) =
U0
L
= h1 (λ) + h2 (λ)
G(ω)
G∞
Rigidité visqueuse
0
0
00
G
G
(ω) + i
(ω)
G∞
G∞
00
G
G
+i
G∞
G∞
(E.11)


∂F (U0 )


= Kg1 (λ) + Kg2 (λ) + Kv1 (λ) + Kv2 (λ)
∂U
|
{z
}
|
{z
}
Rigiditéélastique
∆ : gradu? dΩ0
!
(E.12)
!
216
Annexe E
où chacun des termes de l’expression précédente se calcule en utilisant l’expression de la contrainte
(E.3) et des incréments de déformation (E.8):

π R2
1
1

1

Kg (λ) = 2
−1
Ψ1 + Ψ2


L
λ3
λ






 Kg2 (λ) = 0



2

1
1
5

 K 1 (λ) = 2 π R
+
2
+
Ψ
+
Ψ
1
2
v
L
λ3
λ4
λ2
(E.13)



2

1
1
πR
2
1


Kv2 (λ) =
− + λ2 + 4 Φ2
− 2 − λ + λ4
2Φ1


4
5

2L
λ
λ
λ
λ






1
1


+ 2 Φ4
− 2 + λ6 + Φ8
+ 2 λ2
6
λ
λ4
où les expressions des Ψ,k et Φk sont données en annexe D.
Annexe F
217
Annexe F
Mesure du module dynamique
autour d’une précharge : quelques
résultats expérimentaux
F.1
Cas des essais de cisaillement
Les éprouvettes utilisées sont des éprouvettes de double cisaillement, schématisées ci dessous :
Plaque métallique
U (t)
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
e = 4 mm
Caoutchouc
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
Caoutchouc
0000000000000000000000
1111111111111111111111
1111111111111111111111
0000000000000000000000
L = 25 mm
U (t)
Fig. F.1: Eprouvette de double cisaillement
L’armature centrale est fixe, un déplacement est imposé sur les deux armatures externes.
F.1.1
Résultats expérimentaux pour un essai quasi statique
Pour la caractérisation quasi-statique, le déplacement imposé est un signal triangulaire, de
fréquence f = 0.02 Hz (figure F.2a). L’amplitude maximale du déplacement imposé est de 4 mm,
ce qui correspond à un taux de cisaillement de 100%.
218
Annexe F
Trois éprouvettes constituées d’un même mélange de caoutchouc sont testées. Pour chacune
de ces éprouvettes, les mesures sont faites lors du quatrième cycle de montée/descente en charge
pour s’affranchir de l’effet Mullins (figure F.2b).
Cycle d’hystérésis à très basse fréquence, quatrième cycle
Déplacement imposé
4
700
3.5
600
500
2.5
Effort N
Déplacement (mm)
3
2
1.5
200
0.5
100
24
48
72
96
120 144 168 192 216 240
temps (s)
(a) Déplacement imposé sur l’armature mobile
Descente en charge
300
1
0
0
Montee en charge
400
0
Eprouvette 1
Eprouvette 2
Eprouvette 3
0.2
0.4
γ
0.6
0.8
(b) Cycle d’hystérésis obtenu lors du quatrième
cycle de charge
Fig. F.2: Courbe effort déplacement. Cas d’un déplacement triangulaire de fréquence 0.02Hz
On observe sur la courbe (F.2b) les phénomènes suivants
– La dispersion au niveau des résultats expérimentaux est négligeable: les trois éprouvettes
testées donnent sensiblement le même cycle d’hystérésis. Nous prendrons donc comme essai
quasi statique la moyenne des essais sur ces trois éprouvettes.
– Même à très basse fréquence, l’effet d’hystérésis n’est pas négligeable: en effet, les courbes
de montée et de descente en charge ne se superposent pas et il y a dissipation d’énergie. Cet
effet peut être dû soit à une cellule viscoélastique très basse fréquence, soit à une source
de dissipation non visqueuse, liée notamment aux forces de frottement entre les charges.
Cette dernière hypothèse est l’explication la plus communément proposée [20, 52].
– Si l’on exclut les premières valeurs expérimentales, qui sont dues au changement du signe
de la sollicitation, la courbe statique en déplacement est quasiment linéaire pour un taux
de déformation allant de de 20 % à 60 %, et ce aussi bien pour la courbe de montée en
charge que pour la courbe de descente en charge. On commence à observer la rigidification
due à la non linéarité géométrique au dela de 60% de déformation.
Annexe F
F.1.2
219
Excitation harmonique autour d’une précharge
On applique ensuite sur les mêmes éprouvettes des excitations sinusoidales autour d’une
configuration préchargée. Cette fois, le déplacement imposé est de la forme
U (t) = U0 + δU sin(2πf t)
(F.1)
Ces essais dynamiques se font dans le sens des précharges croissantes: on impose le déplacement
qui correspond au taux de précharge voulu. On mesure l’effort statique correspondant à ce
déplacement avant de commencer à imposer le déplacement harmonique. Pour chaque niveau de
précharge, on dispose de la mesure de cet effort ”statique”. On impose successivement des taux
de précharge de γ = 0, γ = 10%, γ = 20%, γ = 30%. Pour chacun de ces niveaux de précharge,
l’asservissement se fait ensuite sur l’amplitude du déplacement sinusoidal imposé: on teste les
valeurs suivantes de l’amplitude: β0 = 0.01mm, β0 = 0.05mm, β0 = 0.1mm, β0 = 0.5mm, et
β0 = 1.0mm.
Pour chaque taux de cisaillement de précharge, on dispose ainsi de 5 mesures de l’effort ”statique”
avant l’application de l’excitation sinusoidale, et ce pour chacune des 3 éprouvettes. Si l’on
superpose ces résultats à la courbe quasi statique vue précédemment, on constate que l’effort
mesuré ne se situe pas sur la courbe de montée en charge (voir figure F.3). Par ailleurs, il y a
une dispersion très importante au niveau de la valeur de cet effort.
800
700
Effort (N)
600
500
Hystérésis à f = 0.02 Hz
400
300
Effort mesuré avant
l’excitation harmonique
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
Taux de cisaillement γ
0.8
1
Fig. F.3: Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement sur éprouvette de cisaillement.
Superposition de l’hystérésis mesurée à 0.02 Hz à l’effort mesuré avant les essais dynamiques
Cette dispersion est probablement due aux effets de relaxation. On retrouve une dispersion
similaire pour la mesure du module dynamique:
220
Annexe F
650
600
130
éprouvette 1
éprouvette 2
éprouvette 3
éprouvette 1
éprouvette 2
éprouvette 3
120
0 % de précharge
pas de précharge
Im (K) (N/mm)
Re (K) (N/mm)
110
550
10% de précharge
20% de précharge
500
10 % de précharge
90
20 % de précharge
80
30 % de précharge
70
30% de précharge
450
100
60
400
0
20
40
60
80
Fréquence Hz
100
(a) Dispersion des mesures sur la partie réelle
120
50
0
20
40
60
80
Fréquence Hz
100
120
(b) Dispersion des mesures sur la partie imaginaire
Fig. F.4: Dispersion des mesures sur 3 éprouvettes de cisaillement, amplitude = 0.1 mm
On observe notamment une dispersion très importante pour l’essai autour de la précharge
nulle: en effet autour de l’état non déformé, le matériau est très sensible au moindre écart
en déplacement. La dispersion augmente ensuite avec la précharge, ce qui est probablement
dû aux effets de relaxation du matériau. On a notamment un chevauchement des résultats
expérimentaux pour 20% et 30% de précharge. En pratique, nous considérerons la moyenne des
essais sur les 3 éprouvettes.
F.1.3
Quelques remarques
A partir de l’essai à 0.02Hz, on évalue numériquement la raideur tangente quasi statique, définie
de la manière suivante
∂F
K(ω0 ) =
∂U
Cette dérivée est évaluée numériquement pour chacun des N points expérimentaux. On peut
alors comparer les valeurs numériques de la raideur dynamique pour plusieurs valeurs de la
fréquence et de la précharge. Ces résultats expérimentaux sont résumés dans le tableau F.1 et
sur la figure F.5. Ils concernent tous une amplitude de débattement de ±0.1 mm
Annexe F
221
0
10 %
20%
30%
0.02 Hz
314
204
184
173
1 Hz
510
452
423
404
10 Hz
548
489
460
440
100 Hz
609
550
519
499
0
10%
20%
30%
1 Hz
85.5
73.9
66.4
61.1
10 Hz
97.4
84.3
76.25
71.1
100 Hz
123
109
99.6
93.8
Tab. F.1: Partie réelle (tableau a) et imaginaire (tableau b) de la raideur tangente en N/mm
pour différents niveaux de précharge, amplitude de débattement = 0.1 mm
650
140
600
120
550
100
500
Im(K)
Re(K)
450
400
350
300
1 Hz
10 Hz
50 Hz
100 Hz
250
200
150
0
0.4
0.8
Précharge (mm)
1.2
(a) Evolution de la partie réelle du module en fonction de la précharge
80
60
40
1 Hz
10 Hz
50 Hz
100 Hz
20
0
0
0.4
0.8
Précharge (mm)
1.2
(b) Evolution de la partie imagianire du module en
fonction de la précharge
Fig. F.5: Evolution du module dynamique en fonction de la précharge à fréquence fixée, pour
une amplitude de débattement de 0.1 mm
On constate ainsi que
– la variabilité du module dynamique avec la fréquence est du même ordre de grandeur
que la variabilité du module avec la précharge (dans le domaine de variation de ces paramètres). En effet, à fréquence fixée on a en moyenne une augmentation de raideur de
23 % entre la précharge nulle et 30 % de précharge. Cette augmentation de raideur est
en moyenne de 20 % entre 1 Hz et 100 Hz, à précharge fixée (tableau F.1a). En ce qui
concerne l’amortissement, l’influence de la précharge est également non négligeable. En
effet, la partie imaginaire du module dynamique diminue en moyenne de 25 % entre 0 et
30% de précharge, pour une fréquence donnée. A précharge fixée, la partie imaginaire augmente d’environ 45% entre 1Hz et 100Hz. Ces premières constatations nous permettent
de dire qu’on ne peut pas négliger l’influence de la précharge dans l’évaluation du module
dynamique.
– En ce qui concerne l’évolution du module dynamique avec la fréquence, on constate que
l’augmentation du module dynamique entre 0.02 Hz et 1 Hz ( + 60% ) est plus importante
que l’augmentation du module entre 1 Hz et 100 Hz (+20%). Dans l’identification des
222
Annexe F
fonctions ne dépendant que de la fréquence, il faudra donc utiliser au moins une cellule très
basse fréquence si on utilise un modèle de Maxwell généralisé. Nous avons signalé que les
modèles fractionnaires étaient plus à même de représenter cette forte variation de raideur
pour les très faibles fréquences de mesure, le lissage par un modèle fractionnaire devrait
donc donner de meilleurs résultats.
F.2
Cas des essais de compression
Afin de pouvoir caractériser le comportement en compression de l’élastomère, on utilise les
plots suivants (figure F.6)
D = 18 mm
L = 25 mm
Fig. F.6: Eprouvette de de compression
Ces plots sont constitués d’un cylindre en élastomère vulcanisé de 25 mm de hauteur, et
18 mm de diamètre. Ces plots sont comprimés entre deux plaques de métal, de sorte qu’une
extrémité est fixe, et l’autre se déplace de U (t) suivant l’axe du plot. Comme pour les essais
de cisaillement, des caractérisations quasi statique et dynamique autour d’une précharge sont
réalisées.
F.2.1
Résultats expérimentaux pour un chargement quasi statique
Ces essais sont faits à une fréquence de f = 0.01 Hz (figure F.7a). L’amplitude maximale du
déplacement imposé est de 7.5 mm, ce qui correspond à un taux de compression de 30%.
Annexe F
223
Déplacement imposé
Cycle d’hystérésis à très basse fréquence, quatrième cycle
4
350
3.5
300
250
2.5
Effort N
Déplacement (mm)
3
2
200
150
1.5
100
1
50
0.5
0
0
+ éprouvette 1
o éprouvette 2
> éprouvette 3
24
48
72
96
120 144 168 192 216 240
temps (s)
(a) Déplacement imposé sur l’armature mobile
0
0
0.05
0.1
0.15
γ
0.2
0.25
(b) Cycle d’hystérésis obtenu lors du quatrième
cycle de charge
Fig. F.7: Courbe effort déplacement en compression. Cas d’un déplacement triangulaire de
fréquence 0.01Hz
Les mêmes remarques que dans le cas du cisaillement peuvent être faites à partir de la
courbe (F.7b), à savoir dispersion négligeable et hystérésis même à très basse fréquence. Le
chargement de compression est de plus beaucoup plus fortement non linéaire que le chargement
de cisaillement: les non linéarités géométriques sont en effet visibles dès 10% de précharge.
F.2.2
0.3
Résultat expérimentaux pour les excitations sinusoidales autour d’une
précharge
Ensuite, on réalise sur les mêmes éprouvettes des excitations sinusoidales autour d’une configuration préchargée. Le déplacement imposé est conforme à (F.1), la procédure expérimentale
est la même que celle employée pour les essais de cisaillement, les taux de précharge imposés
étant cette fois γ = 5% γ = 10% et γ = 30%. Pour chacun de ces niveaux de précharge, on
teste les valeurs suivantes de l’amplitude de débattement imposé: β0 = 0.05mm, β0 = 0.1mm,
β0 = 0.5mm, et β0 = 1.0mm.
Comme pour le cas du chargement du cisaillement, on peut constater que la relaxation des efforts
n’est pas vraiment maı̂trisée. On observe en effet que l’effort mesuré avant d’imposer l’excitation
harmonique ne se situe pas sur la courbe de montée en charge quasi statique (figure F.8).
224
Annexe F
400
Effort mesuré avant
l’excitation harmonique
350
300
Effort (N)
250
200
Hystérésis à f=0.01 Hz
150
100
50
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Taux de compression γ
0.3
0.35
Fig. F.8: Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement sur éprouvette de compression.
Supersposition de l’hystérésis mesurée à 0.01 Hz à l’effort mesuré avant les essais dynamiques
Les fonctions ne dépendant que de la précharge ne pourront donc pas être identifiées à partir
de l’essai à très basse fréquence. On retrouve une dispersion similaire pour la mesure du module
dynamique:
240
36
220
32
200
180
5% de précharge
10% de précharge
160
Im (K) en N/mm
Re (K) en N/mm
30% de
précharge
34
30% de précharge
30
5% de
précharge
28
10% de
précharge
26
24
22
20
éprouvette 1
éprouvette 2
éprouvette 3
140
120
0
20
40
60
80
Fréquence Hz
100
(a) Dispersion des mesures sur la partie réelle
éprouvette 1
éprouvette 2
éprouvette 3
18
120
16
0
20
40
60
80
Fréquence Hz
100
120
(b) Dispersion des mesures sur la partie imaginaire
Fig. F.9: Dispersion des mesures sur 3 éprouvettes de compression, amplitude = ±0.1mm
Cette dispersion augmente avec la précharge, on peut donc penser qu’elle est due à l’effet
mémoire du matériau, et que les mesures sont faites avant d’avoir relaxation complète.
Annexe F
F.2.3
225
Quelques remarques
On cherche à évaluer dans quelle mesure la raideur dynamique est influencée lorsqu’on applique une précharge. A partir de l’essai à très basse fréquence, on évalue numériquement la
raideur tangente quasi statique. Le tableau F.2 ainsi que les figures F.10 donnent les valeurs
expérimentales du module, fonction de la précharge et de l’amplitude
5%
10% 24% 30%
10 % 20% 30%
0.01Hz 41.6 39.35 82.9
—
1 Hz
20.3 17.8 21.4
1 Hz
137.5 131
—
176
10 Hz
22.7 20.1 24.9
10 Hz
151
145
—
195
100 Hz
28
26
34
100 Hz 170
164
—
220
Tab. F.2: Partie réelle et imaginaire de la raideur tangente en N/mm pour différents niveaux
de précharge, amplitude de débattement = 0.1 mm
250
35
100 Hz
200
30
50 Hz
Im(K) en N/mm
Re(K) N/mm
25
150
1 Hz
10 Hz
100
50
20
15
1 Hz
10 Hz
50 Hz
100 Hz
10
0.01 Hz
5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Taux de compression γ
0.25
0.3
(a) Evolution de la partie réelle du module en fonction de la précharge
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Taux de compression γ
0.25
0.3
(b) Evolution de la partie imagianire du module en
fonction de la précharge
Fig. F.10: Evolution du module dynamique en fonction de la précharge à fréquence fixée, pour
une amplitude de débattement de 0.1 mm
Tout comme en cisaillement on trouve qu’on ne peut pas négliger l’influence de la précharge
sur la variation du module dynamique. La précharge joue en effet un rôle tout aussi important
que la fréquence dans l’évolution du module dynamique. On a ainsi, à précharge fixée, une
augmentation de raideur d’environ 25 % entre 1 Hz et 100 Hz sur la partie réelle. A fréquence
fixée, cette augmentation de raideur est de 22 % entre 5 % et30 % de précharge.
Annexe G
227
Annexe G
Exemple d’identification du modèle
hyperviscoélastique
L’étude menée au chapiter V a permis de valider la forme suivante pour le module dynamique
autour d’une configuration préchargée :
K(ω, γ) = h1 (γ) + h2 (γ)G(ω)
où les fonctions h1 et h2 dépendent uniquement de l’énergie de déformation hyperélastique. En
cisaillement, on avait par exemple (voir chapitre V) :

lL 2

h1 (γ)(γ) = −
γ (Ψ1 + Ψ2 )



e





lL 
 h2 (γ)(γ) =
Ψ1 γ 2 + 2 + Ψ2 γ 2 + 4
e


1 lL 

+
2 γ 2 Φ1 + Φ2 8 γ 2 + 4 γ 4



2 e




+ Φ4 2 γ 6 + 8 γ 4 + 8 γ 2 + Φ8 1 + 2 γ 2
où les fonctions Ψk et Φk correspondent aux dérivées de l’énergie par rapport aux invariants.
Leur expression est donnée en annexe D. Par exemple, dans le cas où l’énergie de déformation
hyperélastique est donnée par une loi polynomiale à l’ordre 3
Ψ(I1 , I1 ) = c10 (I1 − 3) + c01 (I2 − 3) + c20 (I1 − 3)2 + c30 (I1 − 3)3
les expressions précédentes prédisent la forme suivante pour le module dynamique
lL (c10 + c01 ) γ 2 + 2 c20 γ 4 + 3 c30 γ 6
e
lL (c10 + c01 ) 2 + γ 2 + 12 γ 2 + 2 γ 4 c20 + 30 γ 4 + 3 γ 6 c30
e
h1 (γ) = −
h2 (γ) =
228
Annexe G
L’étude menée au chapitre V a permis de calculer les valeurs moyennes suivantes pour les fonch1 (γ)
h2 (γ)
tions f1 (ω, γ) =
et f2 (ω, γ) =
:
h2 0)
h2 0)
0.08
1
0.07
0.95
0.06
f2 (γ)
0.9
0.05
f1 (γ)
0.85
0.04
0.8
0.03
0.75
0.02
0.7
0.01
0
0
0.1
γ
0.2
0.3
Fig. G.1: Evolution de f1 (γ) en fonction de
la précharge
0.65
0
0.1
γ
0.2
0.3
Fig. G.2: Evolution de f2 (γ) en fonction de
la précharge
On vérifie ainsi que la valeur de h1 augmente effectivement avec la précharge, ce qui est
en adéquation avec le modèle. On vérifie également que pour les niveaux de précharge qui
nous intéressent, on a bien h1 << h2 . Par contre, les valeurs ainsi déterminées sont positives.
Or, vue l’expression analytique de h1 donnée précédemment, il faudrait aller à des niveaux de
déformation assez élevés avec un potentiel hyperélastique classique pour obtenir h1 > 0. C’est
impossible pour une énergie type Néo-Hookéenne ou pour une énergie de Mooney Rivlin. Pour
un modèle de Yeoh par exemple, il est nécessaire d’avoir c10 > 0, c20 < 0 et c30 > 0 pour
avoir une énergie de déformation définie positive [36], et le comportement précédent ne peut
être obtenu que pour des valeurs de c20 très grandes devant c10 ou c30 . En remarquant que
pour les niveaux de déformation considérés, les valeurs de h1 restent négligeables devant h2 , on
peut dans un premier temps négliger cette contribution pour l’identification des paramètres du
modèle, du moins pour les niveaux de précharge dont nous disposons. Cette hypothèse conduit
à 3% d’erreur pour 10% de précharge, 7% d’erreur pour 20%de précharge, et 9.5% d’erreur pour
30% de précharge. Ceci est en accord avec le modèle dans le sens où la rigidité due à la partie
élastique h1 joue un rôle de plus en plus important au fur et à mesure que la précharge augmente.
G.1
Identification de la partie ne dépendant que de la précharge
Une fois les fonctions h1 et h2 ainsi déterminées, le lissage des coefficients de la loi hyperélastique se fait par un algorithme de moindre carrés. En prenant en compte la remarque
sur h1 , l’identification se fera uniquement sur la fonction h2 (γ). Dans le cas du cisaillement, la
forme théorique complète est donnée par :
h2 (γ) =
lL (c10 + c01 ) 2 + γ 2 + 12 γ 2 + 2 γ 4 c20 + 30 γ 4 + 3 γ 6 c30
e
Annexe G
229
On voit ainsi qu’une forme Neo Hookéenne serait insuffisante pour reproduire le résultat expérimental
de la figure G.2 (puisqu’elle suppose c10 > 0, et conduirait ainsi à une fonction h2 croissante, ce
qui est contredit par les résultats expérimentaux dont nous disposons). On peut faire la même remarque à propos d’un modèle de Mooney Rivlin (en effet lors de l’identification d’un tel modèle,
on a en général c01 < c10 , ce qui conduirait au même problème que dans le cas de l’énergie de
déformation Néo Hookéenne). Le modèle polynomial avec le plus faible nombre de coefficients
possibles nous a ainsi semblé être le modèle de Yeoh, et l’identification qui suit correspond à un
tel modèle. Remarquons toutefois que les résultats d’identification sont forcément approximatifs,
puisque nous ne disposons que de 4 niveaux de précharge, et qu’il est donc possible de trouver plusieurs polynomes passant par ces points. La démarche d’identification est quand même
menée jusqu’au bout, et la fonction h2 est approchée à l’aide du modèle de Yeoh de coefficients
c10 = 0.19 M P a, c20 = −0.2 M P a et c30 = 0.5 M P a
1
0.9
0.8
h2(γ)/h2 (0)
0.7
0.6
0.5
0.4
+ = identifié
o = expérimental
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
γ
0.2
0.3
Fig. G.3: Identification de la fonction ne dépendant que de la précharge par un modèle hyperélastique de Yeoh
On vérifie de plus qu’avec cette identification, on retrouve bien l’hypothèse h1 (γ) << h2 (γ),
h1 (γ)
et que le rapport
augmente avec la précharge:
h2 (γ)
Précharge 10 %
20 % 30 %
h1
-0.005 -0.022 -0.05
h2
Tab. G.1: Evolution de
G.2
h1
h2
identifié en fonction de la précharge
Identification de la partie ne dépendant que de la fréquence
Une fois connus les paramètres de la loi hyperélastique, la fonction G(ω) est identifiée en
minimisant l’écart entre les valeurs théoriques et expérimentales pour le module dynamique en
230
Annexe G
fonction de la précharge et de la fréquence. Plusieurs formes de la fonction G(ω) sont testées:
G(ω) = 1 + (iω)n b
(G.1)
pour un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire,
G(ω) =
1 + (iω)n b1
1 + (iω)n b2
(G.2)
1
X
(G.3)
pour un modèle de Zener fractionnaire, et
G(ω) = 1 +
X
k
1−
k
iωgk
gk iω + 1
τk
pour un modèle de Maxwell généralisé. On voit ainsi qu’on peut reproduire le comportement en
fréquence et en précharge de la pièce mesurée, l’identification en fréquence donnant les résultats
les plus satisfaisants étant celle utilisant un modèle de Zener fractionnaire:
Pas de précharge
Pas de précharge
700
150
600
100
Im K (N/mm)
Re K (N/mm)
500
expérimental
Zener
KV
Maxwell
400
300
expérimental
Zener
KV
Maxwell
50
200
100
0
0
20
40
60
fréquence (Hz)
80
(a) Partie rélle à 0% de précharge
100
0
0
20
40
60
fréquence (Hz)
80
(b) Partie imaginaire à 0% de précharge
Fig. G.4: Identification de la fonction G(ω), comparaison à 10% de précharge
100
Annexe G
231
10% de précharge
10% de précharge
700
150
600
100
Im K (N/mm)
Re K (N/mm)
500
expérimental
Zener
KV
Maxwell
400
300
50
200
expérimental
Zener
KV
Maxwell
100
0
0
20
40
60
fréquence (Hz)
80
0
0
100
(a) Partie rélle à 10% de précharge
20
40
60
fréquence (Hz)
80
100
(b) Partie imaginaire à 10% de précharge
Fig. G.5: Identification de la fonction G(ω), comparaison à 10% de précharge
20% de précharge
20% de précharge
700
150
600
100
Im K (N/mm)
Re K (N/mm)
500
expérimental
Zener
KV
Maxwell
400
300
50
200
expérimental
Zener
KV
Maxwell
100
0
0
20
40
60
fréquence (Hz)
80
(a) Partie rélle à 20% de précharge
100
0
0
20
40
60
fréquence (Hz)
80
(b) Partie imaginaire à 20% de précharge
Fig. G.6: Identification de la fonction G(ω), comparaison à 20% de précharge
100
232
Annexe G
30% de précharge
30% de précharge
700
150
expérimental
Zener
KV
Maxwell
600
100
Im K (N/mm)
Re K (N/mm)
500
expérimental
Zener
KV
Maxwell
400
300
50
200
100
0
0
20
40
60
fréquence (Hz)
80
(a) Partie rélle à 30% de précharge
100
0
0
20
40
60
fréquence (Hz)
80
(b) Partie imaginaire à 30% de précharge
Fig. G.7: Identification de la fonction G(ω), comparaison à 30% de précharge
100