Проектирование электронных устройств

1.

Введение в автоматизированное проектирование

Проектирование

- это процесс создания описания, необходимого для построения проектируемого объекта.

Различают три основных способа проектирования:

1)

Неавтоматизированное

- весь процесс осуществляет разработчик

.

2) Автоматизированное - процесс проектирования проводится в режиме диалога с ЭВМ (данный способ получил наибольшее распространение).

3)

Автоматическое

- процесс проектирования полностью проводится ЭВМ.

Разработчик обеспечивает постановку задачи.

В зависимости от класса объектов, подлежащих конструированию

(уровня общности), различают различные уровни проектирования:

1)

Системотехническое (на системном уровне) проектирование. Разработка проводится до уровня структурных или функциональных схем, элементами которых служат отдельные блоки.

Типичный пример

- блок

схема радиоприемного устройства:

Õ k

ÃÓÍ

2)

Схемотехническое проектирование. Разработка отдельных блоков проводится до уровня принципиальных схем.

Пример

- схема УПЧ:

Å

ï èò

3) Конструктивное проектирование. Разрабатывается "конструкция" устройства

- компоновка, размещение.

4) Технологическое конструирование. Разработка этапов технологического производства объекта.

Независимо от класса проектируемого объекта, цель проектирование - создание объекта, обладающего заданными свойствами. Для достижения поставленной цели решаются следующие основные задачи:

1)

Моделирования,

1

2) Анализа,

3)

Оптимизации.

1)

Моделирование

- математическое описание поведения состояния объекта с требуемой точностью, (при моделирование на ЭВМ в понятие моделирование часто включает и анализ и оптимизацию). В более строгом смысле анализ и оптимизация представляет отдельные этапы.

2)

Анализ

- определение изменения выходных параметров объекта в зависимости от изменения входных параметров, внутренних и внешних параметров.

Причем:

входные параметры

- параметры сигналов, воздействующих на объект,

выходные данные

- параметры объекта, по которым оценивается его качество,

внутренние параметры - параметры элементов, из которых состоит объект,

внешние параметры

- параметры окружающей среды, важнейшей из которых являются: температура, влажность, давление.

3)

Оптимизация

- определение оптимальных в некотором смысле значений входных параметров объекта путем целенаправленного изменения внутренних параметров.

Предметом данного курса являются - моделирование и анализ на схематическом уровне, т.е. схемотехническое проектирование.

2.

Схемотехническое проектирование

2.1.

Понятие о схемотехническом моделировании

Моделирование при схематическом проектирование - это моделирование процессов в РЭУ, представленных на уровне принципиальных схем.

Основными задачами, решаемыми на этапе схемотехнического моделирования, являются:

1)

Расчет статического режима (расчет РЭУ по постоянному току).

2)

Анализ переходных процессов и установившегося состояния

(стационарного режима) во временной области.

3) Расчет частотных характеристик РЭУ (анализ в частотной области).

4)

Гармонический анализ

-

Фурье

анализ или спектральное представление, т.е. анализ нелинейных искажений.

5)

Анализ параметрической чувствительности характеристик цепи к разбросу значений элементов.

2

Таким образом, процесс моделирования позволяет описывать различные аспекты поведения РЭУ. При этом необходим выбор набора переменных, в базисе которых рассматриваемые процессы будут описаны. К тактовым переменным относятся:

1)

Фазовые переменные а)



- напряжения и токи на ветвях, б) в) г) U конт

С

, I

С

-

- вектор контурных токов,

2)

Независимые переменные: t - время, f - частота вектора переменных состояний.

3)

Выходные переменные:

К

- коэффициент усиления, АЧХ, ФЧХ и т.д.

4)

Внешние параметры: температура, влажность, давление.

Основу схемотехнического проектирования составляет математическая модель

- совокупность уравнений относительно фазовых переменных, описывающих процессы в моделируемой цепи .

2.2.

Компонентные и топологические системы (подсистемы) математической модели

Относительными признаками цепи, по которым создается математическая модель, являются:

1)

Компонентные данные

- тип и значения параметров элементов схемы.

2)

Топологические данные

- способ соединения ветвей.

В соответствии с этим, математическая модель может быть представлена компонентными уравнениями, описывающими способ соединения ветвей.

Действительно, компонентные уравнения в простейшем случае определяются согласно закону Ома

:

U

R



I

R



R U

L



L dI dt

L

I

C



C dU

C и т .

д .

dt

Топологические уравнения описывают закон соединения ветвей, но не отражают их содержание. Типичные топологические уравнения соответствуют законам Кирхгофа

.

Например, для токов:

R

L

C

I

L

 I

R

 I

C

 0

Это уравнение не содержит информации о типе элементов, только характеризует направление протекания токов.

3

U

4

U

1

U

2

Аналогично для напряжений:

U

1

 U

2

 U

3

 U

4

 0

U

3

Алгоритм построения системы топологических уравнений по закону Кирхгофа для токов очевиден. Для схемы с n - узлами (включая земляной) получаем N

I независимое уравнение.

=( n -1)

Сложнее формируется система уравнений по закону Кирхгофа для напряжений. Число уравнений равно

N

U

= m -( n -1), где m - число ветвей,

N

U

- соответствует количеству независимых контуров цепей, т.е. таких контуров в каждом из которых имеется хотя бы одна ветвь, не входящая в иные контура. Основная проблема

- определение независимых контуров.

Таким образом, математическая модель включает две системы

(подсистемы) уравнений:

1)

Компонентная система, которая в обобщенном виде может быть представлена как:

F ( U , I , d U

, d I

, t )  0 dt dt

2)

Топологическая система (подсистема), представляемая в виде:

2.1) Для токов:

-

I y

 0 I y















 I

I

I

(





( 1 ) j )

( n  1 )













 вектор узловых токов, где

I

( j )

I

( j )

 i k 



1

(

I b i j ) 

0 ,

- узловой ток j - ого узла, равный сумме токов ветвей, подсоединенных к этому узлу.

I ( j b i

)

4

2.2) Для напряжений:

-

U

U

U

( k j )

( j )





0 U k i

 

 1

U



( b i j )















 U

U

U m 





1

(

( 1 ) j

( n

)

 1 )















 0 вектор напряжений на контурах.

где

- сумма

U b i

( j ) падений напряжений на ветвях j - ого независимого

- число ветвей в j - ом контуре.

 контура,

Для составления топологических систем необходим соответствующий математический аппарат, рассмотренный далее.

5

3. Методы описания топологии электрических цепей

3.1. Граф цепей

Теория графов является основным средством (аппаратом) для составления топологической системы уравнений. При этом топология цепи задается с помощью так называемого направленного графа.

Граф

- это диаграмма, полученная заменой каждого элемента цепи отрезками линий. Каждому узлу цепи соответствует вершина графа, а каждому двухполюснику - ветвь. Ветвям присваивается направление, соответствующее направлению протекания тока через элементы.

l l k l

I

Генератор тока k l

I Генератор напряжения l k l

E

Направление протекания тока соответствует падению напряжения (от большего потенциала к меньшему).

Рассмотрим основные определения теории графов:

1.

Если вершина является конечной или начальной вершиной, то эта ветвь и вершина

- инцидентны

.

2.

Подграф

- часть графа.

3.

Путь

- последовательность из ветвей и вершин графа, в которой к каждой вершине, кроме начальной и конечной, присоединены 2 ветви этой последовательности.

4.

Контур - замкнутый путь.

5.

Подграф называется связным, если любые его 2 вершины связаны путем.

6.

Дерево

- связный подграф, содержащий все вершины исходного графа и не содержащий контуров.

Ветви дерева называют ребрами; ветви, удаленные из графа для формирования дерева называют хордами

.

7.

Главный контур

- контур, образующийся присоединением к дереву одной из хорд.

8.

Главное сечение

- замкнутая линия, однократно проходящая через одно ребро и через столько хорд, сколько необходимо для разделения граф на две не связные части.

Примеры главных контуров и главных сечений:

Хорды обозначены пунктиром, ребра - сплошной линией.

Граф содержит 4 главных контура и 3 главных сечения (обозначены с.1,2,3).

3.2. Топологические матрицы, законы Кирхгофа в матричной форме

Граф цепи используется для построения так называемых топологических матриц цепи, которые позволяют формулировать законы Кирхгофа в матричной форме. Элементами топологических матриц являются 0; +1; 1. В зависимости от решаемой задачи используются различные топологические матрицы.

1.

Матрица инциденций А

.

Размерность матрицы равна

( n -1)

 m , где по

прежнему n - число узлов цепи, включая, базисный (земляной), m - число ветвей.

A  узлы  ветви

 

Нумерация строк соответствует узлам, нумерация столбцов

- ветвям цепи.

Элементы матрицы формируются по следующему правилу: a ij

=

 1, если i

- ый узел и j

- ая ветвь инцидентны, причем: a ij

=+1, если j - ая ветвь выходит из i - ого узла; a ij

= 1, если j - ая ветвь входит в i - ый узел; a ij

=0, если i

- ый узел и j

- ая ветвь не соединены.

Законы Кирхгофа записываются с помощью А

- матрицы в виде:

A  I

B

 0 ,

A T    U

B

I

B

 где - вектор токов ветвей цепи, - вектор узловых потенциалов, -

U T - символ транспортирования.

2.

Матрицы главных контуров Г.

Размерность матрицы m -( n -1)

 m

. Нумерация строк соответствует хордам

(главным контурам), нумерация столбцов

- ветвям цепи.

Г  хорды  ветви

 

Элементы матрицы формируются по следующему правилу:

При формировании контуру присваивается направление обхода совпадающие с направлением хорды, тогда:

 ij

=+1, если j - ая ветвь входит в i - ый контур и ее направление совпадает с направлением обхода контура

,

 ij

= -

1, если j - ая ветвь входит в i - ый контур, но ее направление не совпадает с направлением обхода контура,

 ij

=0, если j - ая ветвь не входит в i - ый контур.

С помощью матрицы главных контуров закон Кирхгофа для напряжений записывается в виде:

Г 

U В

 0 где

- вектор падения напряжения на ветвях.

Подставив выражение для

U B через А

- матрицу, получим:

Г  AT

  0

Последнее соотношение является формулировкой закона Кирхгофа для напряжений в базисе узловых потенциалов. Но в базисе узловых напряжений

 данный закон Кирхгофа выполняется тождественно. То есть при любых имеет место:

Следовательно,

Г AT    0

Г AT

 0

Убедимся в справедливости сказанного на примере:

1.

U

1

+U

2

+U

3

=0

2.









U

2

=

-

-







1

 

2

U

U

1

3

=

=

1

2

Подставив (2) в (1), получим тождество:

-



1

+



1

-



2

+



2

=0.

(другими словами, число положительных переменных  i равно числу отрицательных  i

)

3.

Матрица главных сечений.

Размерность матрицы ( n -1)

 m

. Нумерация строк соответствует ребрам графа

(главным сечением), нумерация столбцов - ветвям цепи.

П  ребра  ветви

 

Элементы матрицы формируются по следующему правилу:

При формировании сечению присваивается направление

- вовнутрь или наружу, причем направление совпадает с направлением ребра, через которое проходит сечение.

p ij

=+1, если направление j - ой ветви по отношению к i - ому сечению совпадает с направлением i - ого ребра.

p ij

= 1, если направление j - ой ветви по отношению к i - ому сечению не совпадает с направлением i - ого ребра.

p ij

=0, если j - ая ветвь не входит в i - ое сечение.

С помощью матрицы главных контуров закон Кирхгофа для напряжений записывается в виде:

П 

I В

 0

I B - вектор токов ветвей цепи.

Данная система уравнений позволяет обеспечить формулировку закона

Кирхгофа для токов сечений цепи (а не узлов, как обычно). А именно:

В любом сечении, разделяющим цепь на 2 части, алгебраическая сумма токов, протекающих по соединительным ветвям, проходящим через сечения, равна нулю.

Это утверждение становится понятно, если рассмотреть следующий пример:

I yl

=0, где

I yl

- узловой ток l - ого узла.

Перерисуем как:

Сечение

Матрицы главных контуров Г и сечений П могут быть модифицированы

(преобразованы) с целью упрощения решения топологических подсистем уравнений. Действительно, если упорядочить ветви группировкой хорд и ребер, то матрицы будут представлены как:

Г  хорды 



 

М

 

Е



  ребра

   хорды





П  ребра 



 

E

 

F

  



  ребра

   хорды где Е

- единичная подматрица (часть матрицы).

как: U

B

U

B







U

U

P

X



 , I

B







I

I

P

X





I

Тогда:

1. Г U

B

 [ ME ]







U

U

P

X



  M U

P

 U

X

Таким образом, для закона Кирхгофа для напряжений выполняется:

Г U

B



0



M U

P



U Х



0



U

X

 

M U

P

2. П I

B

 [ EF ]





I

I

P



  I

P

 F I

X

X

Таким образом, для закона Кирхгофа для токов выполняется:

П I

B

 0  I

P

 F I

X

 0  I

P

  F I

X

Сделаем по полученным результатам следующие замечания и выводы:

1.

Матрицы

M и

F

, обычно, называют приведенными матрицами главных контуров и сечений.

2.

Примем без доказательства:

M = F

T или

F = M

T

3.

Из полученных соотношений непосредственно следует, что напряжения ребер и токи хорд являются независимыми переменными.

U I

B дерево не должно включать независимые источники и генераторы тока, а хорды не должны содержать независимые источники и генераторы напряжений.

Поскольку напряжение источника напряжения не может быть зависимой переменной, также как и ток источника тока не может быть зависимой переменной.

4.

Из предыдущего пункта вытекают правила формирования дерева графа:

1.

Все источники и генераторы напряжений помещаются в дерево

2.

Дерево дополняется пассивными элементами

3.

Оставшиеся пассивные элементы, а также источники и генераторы тока формируют хорды графа.

Рассмотрим пример:

I . Составим топологические матрицы.

1)

Матрица инциденций:

A 

1

2 ном ера узлов









1



1

0

1

Матрица контуров:

2

1

0

 1

3

1

0

0

4

0

1

0

5

0

0

1

0

6

1

 1



7

0

0

1 







 ном ера ветвей

Г 

4

5

6

 хорды





1





0



1

0

1

1



2

0

0

1

3





0

1

1

1

4

1

0

0

0

5

0

1

0

0

6

0

0

1

0

      

РЕБРА

                 

ХОРДЫ

7

0 



0

0

1







 номера ветвей

 [ ME ]

2) Матрица сечений:

II

. Проверим выполнение свойств топологических матриц:

П 

1

2

 ребра





1



0

 0

1

0

1

0

2

0

0

1

3

 1

0

1

4



5

0

1

1

6



1

0

1

7

0

0

 1 







 номера ветвей

 [ EF ]

      

РЕБРА

             

ХОРДЫ

      

4)

3)

2)

1)

1)

ГА Т 











1

0

1

0



0

1

0

1





0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0 



0

0

1





























1

1

1

0

0

0

1



0

0

1

0

1

0

2)

М 











1

0

1

0



0

0

0

1





0

1

1 

1









, F 











0

0

1



0

0

1



0

0

1

III.



1



0

0

1 











0

0

1





0

1















0

1 







[ 0 ]

M

А I

B

 [ A ] 









 I

I

I

1



2

7





















I

1







I

I

1

2

I

2





I

 I

5

4

I

3





I

6

I

7

 I

6









 0

А T



Г U

B

 [ A ] T

 [ Г ] 



 U









U

U



1

2

7

























1

2

3







































1

1

2





1











2

3



1







2

3

3





















 U

 U









U

U

1

2





U

U

1



U

3

U



2

3

3





U

U



U

7

U

4

6

5

B













 0

 U









U

U



1

2

7











П I

B

 [ П ] 









 I

I

I

1



2

7





















I

3

I

1

I

2

 I





I

4

4

I

5

 I





I

6

5

I

6

 I

7









 0

  F T

4. Методы формирования математических моделей электрических цепей

4.1. Формирование математической модели в базисе переменных состояния

4.1.1. Переменные состояния цепи

Рассмотрим линейную пассивную

RLCцепь под воздействием источников тока

I и напряжения Е

:

E, I, RLC

Вынесем за пределы анализируемой схемы независимые источники, воздействующие на цепь:

E

RLC

I

Обозначим вектор воздействий

V







E

I



 .

Затем вынесем за пределы схемы (на внешние узлы) реактивные элементы. Эту операцию всегда можно выполнить осуществив перенумерацию узлов:

C

1

C k

E L

1

V R

I

L n

Оставшаяся часть схемы – линейная, пассивная

R

– цепь.

Очевидно, токи (напряжения) в R – цепи не изменят своих значений, если индуктивные элементы заменить источниками тока, а емкостные – источниками напряжения, т. е. I

Li

, U

Cj

. Причем источники таковы, что их токи и напряжения в каждый момент времени имеют те же значения, что и токи и напряжения L и

C элементов:

U

C1

U

Ck

E

I

R

I

L1

I

Ln

В такой преобразованной схеме R – цепь оказывается под воздействием двух типов источников: независимых источников, представляемых вектором

V и источников замещения реактивных элементов, которые представлены вектором

X







U

I

L

C



 .

Вектор

X получил название вектора состояния цепи. Поскольку

V известно, то

U и I всех элементов цепи в любой момент времени определяются вектором состояния для этого момента времени. Метод анализа цепи с описанием анализируемых процессов с помощью уравнений, в которых в качестве независимых переменных используется вектор X переменных состояния, называется методом переменных состояния.

Рассмотрим обобщенное представление уравнений состояния. Итак, напряжение на каждом индуктивном элементе

L i

– это напряжения между узлами

R

– цепи. Следовательно, согласно принципу суперпозиции напряжение на каждой индуктивности может быть представлено как линейная комбинация от действующих в схеме токов и напряжений:

U

Li



A

Li

X



B

Li

V , но

U

Li



L i dI

Li dt

 dI

Li 

1

L i

A

Li

X



1

B

Li

V . dt L i

Обобщая для всех индуктивностей, получим: d I

L



A

L

X



B

L

V dt

Аналогично, для конденсаторов:

I

Ci



A

Ci

X



B

Ci

V ,

I

Ci dU dt



Ci

C i dU

Ci dt



1

C i

A

Ci



X



1

C i

B

Ci

V .

Обобщая для всех конденсаторов, получим: d U

C



A

C

X



B

C

V . dt

Наконец, объединив уравнения для индуктивностей и конденсаторов, представим в матричном виде: d X



A X



B V , dt где

X







U

I

L

C



 , V







E

I



 .

Данное уравнение называют уравнением состояния.

Из приведенного уравнения следует, что X образует вектор независимых переменных. С другой стороны было показано, что в качестве независимых переменных могут выступать

U ,

P ребрах и токи хорд графа цепи.

Таким образом, сопоставление векторов

X







U

I

L

C



 и





U

I

X

P





I

X

- то есть, напряжения на дает правило распределения ветвей графа. А именно, в ребра выносятся конденсаторы и источники напряжения, в хорды – индуктивности и источники тока.

Если удается распределить ветви в соответствии с представленным правилом, то сформированное дерево называют нормальным, а данную цепь – цепью без особенностей.

Обобщая сказанное, сформулируем следующие правила ранжирования

(следования при расстановке) ветвей графа:

Ребра:

1.

Независимые источники напряжения Е.

2.

Зависимые источники напряжения Е з

.

3.

Емкости С р

.

4.

Резисторы

R р

.

Хорды:

1.

Резисторы

R х

.

2.

Индуктивности

L х

.

3.

Зависимые источники тока I з

.

4.

Независимые источники тока

I.

4.1.2. Формирование математической модели цепи в базисе переменных состояния

Метод переменных состояния – это метод формирования математической модели цепи в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши, разрешенных относительно первых производных независимых переменных

X : d X

 dt f ( X , V , t ) , X ( 0 )



X

0

- начальные условия,

где

X







U

I

L

C



 , V







E

I



 .

Исходными для получения данной модели являются:

1.

Компонентная подсистема уравнений вида:

F ( U

B

, I

B

, d U

B , d I

B , t )



0 dt dt

2.

Топологическая подсистема уравнений:



U



 I

P

X





M

M

T

U

I

P

X





0

0 или







U

I

X

P





F

F

T

I

U

X

Методика формирования модели такова:

P





0

0

.

1.

Из первого топологического уравнения выделяют уравнения, соответствующие индуктивностям. Поскольку индуктивности входят в хорды, то

U

X

 

M U

P



U

Li

 f ( U

P

), i



1  n .

2.

Из второго топологического уравнения выделяют уравнения, соответствующие конденсаторам. Поскольку конденсаторы входят в ребра, то

I

P

 

M

T

I

X



I

Cj

 f ( I

X

), j



1  k .

Согласно правилам ранжирования, выполняется:

U

P











E

U

U

C

R









, I

X











I

I

I

R

L









.

Таким образом, можно записать:

U



Li f ( E , U

C

, U

R

) , I

Cj

 f ( I

R

, I

L

, I ) .

3.

Из полученных уравнений для

U ,

Li

I

Cj исключают

U и

R

I

. Для

R этого используют компонентные уравнения и оставшиеся топологические уравнения. Тогда, получим:

U

Li

 f ( E , U

C

) , I

Cj

 f ( I

L

, I ) .

Другими словами

U и

Li

I зависят только от вектора переменных

Cj состояния X и вектора внешних воздействий

V

. Следовательно:

U

Li

 f ( X , V ) , I

Cj

 f ( X , V ) .

4.

Использовав компонентные уравнения для реактивных элементов, представим:

U

Li



L i dI

Li dt

, I

Cj



C j dU

Cj dt dI

Li



1 f ( X , V ) , dU

Cj dt



1

C j f ( X , V ) . dt L i

Обобщая, в матричном виде получим: d I

L dt

 f ( X , V ) , d U

C dt

 f ( X , V )

Рассмотрим примеры составления математической модели в базисе переменных состояния

Пример 1:

Составим систему переменных состояния следующей цепи:

C

3

3

R

7

1

C

4

2

L

8

4

R

5

R

6

I

9

5

E

1

E

2

Согласно правилам ранжирования выделим:

Ребра – Е1, Е2, С3, С4, R7

Хорды – R5, R6, L8, I9.

Тогда граф цепи:

C.1

1

2

3

4

C.4

C.2

5

6

8

7

C.5

C.3

9

Матрица главных сечений:

R

5

R

6

L

8

I

9 хорды

E

1

1 1 0 

F 

E

C

C

2

3

4

R

7 ребра





















0

0

1

1



0

0

0

1



0

1

1

1

0

1

0

1

1 













Составляем топологические подсистемы:













I

P

 



1

1

0

1

0

F I

X



0

1

0

0



1

0 ,





0

0

1

1

1

U

X







1

0

M

0

1

1















U











I

I

I

I

P

R

R

5

6

L 8













0

 или













 I

I

I

I

I

C

E 1

E

C 3

R

2

4

7

U















X

,

 F T U

P

 0 .











 

1

1

0

1



0

0

0

1



0

1

1

1





0

0

1

1

0

0

1

1











 U





U





U





U

U

E 1

E 2

C 3

C 4

R 7

















 U









U

U

U

R

R 6

L 8

I

5











Выделяем уравнения, соответствующие токам через С i и напряжениям на L j

:





I

U

C 3

R 6

 I

L 8

 I

I



R 5

U

C



4

I



L 8

U



R 7

I

 I

C 3

C



4

,

U

L 8

Исключаем резистивные составляющие:

Тогда, из первой системы:

 I

L 8

 I  I

R 7

, а из второй системы:





U

E 1

U



E 1

U



E 2

U



C 3

U

C 4

 U



R 6

U

R 5 .

Добавляем компонентные уравнения:

U

R 7

 I

R 7

 R

7

, U

R 6

 I

R 6

 R

6

, U

Итого:

R 5















U

C 3

U

R 6 

R

6

U

R 5



R

U

5

C 4

I

L 8





I

L 8

I



R 7

I

9

 I



 R

7

C 4

I

C 3

 U

L 8

Окончательно:



 I

R 5

 R

5

.















U

U

C 3

U

E 1



E 1



R

U

6

U



C

U

E 2

4

R

5



C 3

(

 U

C





I

I

L 8

L 8

4







I

9

I

I

L 8



) R

7



I

C 3

I

C 4

 U

L 8













 dU dU dt dt

C 4

C dI dt

3

L











R

1

6

1

C

R

5

C

1

U

L C

4

3

3

U

U

C



C 4

1

L

3





C

1

1

C

3

I

4

U

C 4



I

L 8

I

L 8

L 8

L





R

R

7

R

5

E

E

6

1

C



1

C

4

I

3

L





R

R

7

5

I

C

E

3

2

C

4

, т. е.

d X dt

A 



















A X

R

6

0

1

L

1

 B V

C

3

,

0

X



1

R

5



1

C

L

4











U

U

I

C

C

L

3

4



C

R

L

4

7

1

C

3

1









, V















, B











E

E

2

I

1











,















R

6

1

C

3

R

5

1

0

C

4

0



1

R

5

C

4

0



1

C

3



0

R

7

L















Пример 2:

Составим систему переменных состояния цепи:

1

R

1

2

R

2

I

3

R

3

4

L

E

C

1

C

2

1

R

1

2

R

2 3

I

R

3 4

L

5

5

R

4

E

C

1

C

2

R

4

 M T I

X

 0 .

Используем матрицу главных контуров:

E C1 C2 R3 R4

M 

R

R

L

I

1

2









 



0

0

0

1



1

0

0

1





0

1

1

1

0

0

1

0

0 

0





1

1





Составляем топологические подсистемы:

U

X

 MU

P

 0 , I

P

 FI

X

 0 или I

P











1

0

0

0



1

0

0

1



0

1

1

1



0

0

0

1 

0

0

1

1

















U





U

E

C





U

U

C 1

R

R

2

3

4

















 U









U

U

U

R

R

L

I

1

3











,













 

1

0

0

0

1



0

1

0

0

1



0

0

1

1

1

0

0



0

1

1 























I

I

I

I

R 1

R 2

L



































I

I







I

I

I

E

C 1

C

R

R

2

3

4

Из полученных топологических уравнений выделяем уравнения, соответствующие токам через конденсаторы и напряжениям на индуктивностях.

 U





C 2

I



 U

R 2

I

R 1



R 3



I

L

I

 U

R 2

R 4





I

C 1

U

L

 I  I

C 2

Исключаем резистивные составляющие. Из первой системы:



U

U

R 2

R 1





U

E

C 1

 U

C 1

 U

C

Из второй системы:

2



I

U

R 4

R 2

I

R 3





I

R

2

L

I

L



I

R 2

I

Используем компонентные уравнения:

U

R 1

 R

1

I

R 1



U

R 3

 R

3

I

R 3

U

R 4

 R

4

Таким образом:

I

R 4

















1

U

( E

R

1

C 2

1

R

2





( U

U

R

3

C 1

C 1

I



)

L





U

C

R

2

2

R

4

1

)

(

(



I

U

L

I

L

C 1





I

 U

I

) 



C 2

I

U

)

L

C 2

 I

C 1

Подставив компонентные уравнения для конденсаторов и индуктивности, получим:

Итого:













 dU dt

C 1 dU dt

C 2

 (

1

R

1

C

1

1

 dI

R

2

L  dt

C

2

1



L

U

R

U

C

2

1

C

1

C

1

) U

C 1



R

2

2



1



R

2

R

3

C

2



L

U

R

4

C 2

1

I

C

1

L



U

C

1

C



2

R

4

L

I

2

L





1

R

1

C

1

1

I

C

2

E

I d X dt

 A X  B V , где X 









U

U

I

C 1

C 2

L









, V 





E

I



 ,

A 















1

R

1

C

1



1

R

2

C

2

0

R

2

1

C

1





R

R

1

L

2

2

1

1

C

1

C

2



R

3

0

1

C

2



L

R

4















, B 

















R

0

0

1

1

C

1



0

1



C

R

4

2

L















.

4.1.3. Обобщенный алгоритм построения математической модели цепи в базисе переменных состояния

Рассмотрим алгоритм построения модели цепи в базисе переменных состояния, который реализуется в программах моделирования. Предположим, что в цепи отсутствуют топологические выражения (особенности). Тогда, приведенная матрица главных контуров М будет иметь следующую структуру:

E C R

P

(ребра)

M 

R

L

I

X









M

M

M

[ R

[ LE ]

[

X

IE

E

]

] M

M

M

[

[

[

R

X

LC

IC

C

]

]

] M

M

M

[

[

R

[

X

LR

IR

R

P p

P

]

]

] 







(хорды) где M[ . . ] – соответствующие подматрицы.

,

Введем вектора токов и напряжений на ребрах и хордах:

U

P

U

X













U

U



U

E

C

Rp

M U

P









, U

 0 или более подробно:

X

,



I

P









U

U

U

EX

L

I

M T









I

,

X

I

P

0











I

I

I

E

C

Rp

, I

X











I

I

I

RX

L

I

.

Тогда топологические подсистемы уравнений примут вид:

 

























U

U

U

RX

L

I









  M









U

U



U

E

C

RP









,









I

I

I

E

C

RP









 M T









I

I

RX

I

I

L









.

Математическая модель составляется в два этапа. Из полученных систем выделим уравнения для токов через конденсаторы I

C и для падений напряжения на индуктивностях U

L

:







I

U

C

L





M



T

M

[

[

R

X

LE

C

]

]

U

I

RX

E





M

M

[

T [

LC

LC

] U

C

] I

L





M

M

[

T

LR

[

P

IC

] U

] I

I

RP

Введем в рассмотрение компонентные уравнения для конденсаторов и индуктивностей:

I

C

 [ C ]

L ] d U dt

C

, [ C ] 









C

1

0



0









, [ L ] 









L

1



0

L n









,

U

L

 [ d I dt

L C k

0 где [ C ] и [ L ] – диагональные матрицы, а также для резисторов:

U

U

RP

RX





[

[

R

R

P

X

]

]

I

I

RP

RX

, [ R

P

] 









R

P 1

0

 где [ R p], [ R x] – диагональные матрицы.

Тогда:

0

R

Pm









, [ R

X

] 









R

0

X 1



0

R

Xl









,



[ С





[ L ]

] d d I

U dt dt

L

C



 M

 M [

T [ R

LR

X

P

C

][

] I

R

RX

P

] I



RP

M



T [

M

LC

[

]

LC

I

]

L

U



C

M



T

M

[

Объединив оба уравнения, получим в матричной форме:

IC ] I

I

[ LE ] U





[ C

0

]

[

0

L ]



 d dt





U

I

L

C















0

M [ LR

P

][ R

P

]

M T [ R

X

0

C ] 









I

I

RP

RX















0

E

M [ LC ]

.

M T [ LC

0

] 









U

I

C

C













0

M [ LE ]



 

M T [

0

IC ] 







U

I

I

E

Из системы дифференциальных уравнений исключаются резистивные компоненты. Для этого используются топологические подсистемы и компонентные подсистемы.

U

RX

I

RP



  M [ R

X

M T [ R

X

E ] U

E

R

P

] I

RX

 M [ R

X

C ] U

C

 M T [ LR

P

] I

L

 M [ R

X

R

P

] U

RP

 M T [ IR

P

] I

I

Использовав компонентные уравнения, представим последние уравнения как:

[ R

X

I

RP

] I

RX

 M

  M [ R

X

T [ R

X

E ] U

E

R

P

] I

RX

 M

 M [ R

X

C ] U

C

T [ LR

P

] I

L

 M

 M [ R

X

R

P

][ R

P

] I

RP

T [ IR

P

] I

I

Или :

M [ R

X

R

P

][ R

P

] I

RP

 [ R

X

] I

RX

  M [ R

X

E ] U

E

 M [ R

X

C ] U

C

I

RP

 M T [ R

X

R

P

] I

RX

Откуда в матричной форме:







M [ R

X

R

P

[ E ]

][ R

P

]

M T [ LR

P

] I

L



 M

[ R

X

T [ R

]

X

R

P

]









I

I

RP

RX





M T [ IR

P

] I

I







M [ R

X

0

C ] 0

M T [ LR

P

]









U

I

L

C



 







M [

0

R

X

E ]

M T

0

[ IR

P

]









U

I

EC

I



 где [ E] – единичная матрица.

Введем в рассмотрение вектора:

1.

Переменных состояния:

X 





U

I

L

C





2.

Внешних воздействий:

V 





E

I





3.

Токов через резисторы:

I

R







I

I

RP

RX



 .

Тогда, полученные матричные уравнения могут быть переписаны следующим образом:





A

B

1

1

I d X

R dt





B

2

A

2

X

I

R





B

3

A

V

3

X  A

4

V

,



 d X dt



I

A

R

1

 1



Откуда получим:

A

2

B

1

I

 1



B

2

A

1

 1

X

A



3

X  A

B

1

 1 B

3

V

1

 1 A

4

V d X

 A

1

 1 A

2

( B

1

 1 B

2

X  B

1

 1 B

3

V )  A

1

 1 A

3

X  A

1

 1 A

4

V , dt d X

 ( A

1

 1 A

2

B

1

 1 B

2

 A

1

 1 A

3

) X  ( A

1

 1 A

2

B

1

 1 B

3

 A

1

 1 A

4

) V dt

Или окончательно, систему уравнений (математическую модель) в базисе переменных состояния: d X dt где

 A X  B V ,

A  ( A

1

 1 A

2

B

1

 1 B

2

 A

1

 1 A

3

) , B  ( A

1

 1 A

2

B

1

 1 B

3

 A

1

 1 A

4

) .

4.1.4. Формирование математической модели цепи, содержащей особенности

Цепи называют содержащими особенности (или топологические вырождения), если цепь содержит емкостные контура или индуктивные звезды (сечения). То есть конфигурации вида:

Å L

1

I

Ñ

1

Ñ

3 L

2

L

3

Ñ

2

В этом случае не удается сформировать нормальное дерево. Действительно, в случае емкостных контуров конденсаторы и генератор напряжения образуют контур, полностью состоящий из ребер и не содержащий хорд:

Å

Ñ

1

Ñ

3

Ñ

содержащее ребер:

2

Аналогично, во втором случае образуется сечение, полностью состоящее из хорд и не

L

1

I

L

2

L

3

Подобная ситуация требует специального алгоритма составления математической модели. Возможны два подхода. Первый подход связан с введением в схему дополнительных элементов, например внутренних сопротивлений генераторов:

Å R

Å R

Ñ

1

Ñ

3

Ñ

1

Ñ

3

Ñ

2

Ñ

2

1

R

L

1

L

2

I

L

1

R

I

L

3

L

3

L

2

Однако если схема содержит контура или сечения, полностью состоящие только из конденсаторов или индуктивностей, требуется более общий подход. В этом случае правила ранжирования выглядят так:

Ребра: Хорды:

Е С

Х

E

З

R

X

С

Р

L

X

R

P

I

З

L

P

I

Тогда матрицу главных контуров М можно представить как:

E C p R p L p

М 

C

R

L

I

X

X

X











M

M

M [

0

[ R

X

[ L

X

IE

E

E

]

]

]

M

M

M

M

[

[

[

C

[

R

L

X

X

X

IC

C

P

C

C

P

P

P

]

]

]

]

M

M

M

[

[

R

[

L

0

X

X

IR

R

R

P

P

P

]

]

] M [

0

0

L

X

0

L

P

]











Как и в предыдущем случае, составление математической модели осуществляется в два этапа. Составляются топологические подсистемы

U

X

 M U

P

 0 , I

P

 M T I

X

 0 .

1.

Выделяются уравнения, соответствующие токам через конденсаторы и напряжением на индуктивностях:

 U





U

CX







U

U

RX

LX

I













  M







U

U





U

 U

E

CP

RP

LP













,

 I





CP

U

LX





M



T [

M

C

[

X

L

C

X

P

] I

E ] U

CX

E

Кроме того:















 I

I

I

E

I

CP

RP

LP













 M T













I

I

I

CX

I

RX

LX

I

M

M [

T

L

[

X

R

X

C

P

C

P

] I

] U

CP

RX





M

M T

[ L

X













[ L

X

R

P

C

P

] I

] U

RP

LX





M [

M

L

X

T [

L

IC

P

]

P

U

] I

LP

I .





 U

I

LP

CX





M T [ L

X

 M [ C

X

L

P

C

P

] I

LX

] U

CP

.

2

2.

Компонентные уравнения имеют вид:

I

CP

 [ C

P

] d U dt

CP

,

I

CX

 [ C

X

L

X

] d U d I dt

CX

U

LP

 [ L

P

] d I dt

LP U

LX

 [ ] LX dt

Тогда, подставив в исходную систему последние уравнения, получим:



[ C

P

] d U dt

CP  M T [ C

X

C

P

][ C

X

] d U dt

CX  M T [ R

X

C

P

] I

RX

 M T [ L

X

C

P

] I

LX

 M T [ IC

P

] I

I







[ L

X

]



([ C

P

] d I

LX dt

 M

  M [ L

X

R

P

T [ C

X

C

P

][ C

X

] U

RP

] M



[ C

X

M [ L

X

C

P

C

P

])

] U

CP d U

CP dt





M

M [ L

X

T [ R

X

E ] U







([ L

X

]  M [ L

X

R

P

][ L

P

] M T [ L

X

L

P

]) d I dt

LX   M [

Таким образом, в матричной форме получим:

L

X

C

P

A

1

 d X dt

 A

2

I

R

 A

3

X  A

4

V

] U

CP

E

C

P

] I

RX

 M [ L

X

L

P

][ L

P

] d I

LP dt

 M T [ L

X

C

P

 M [ L

X

E ] U

E

] I

LX



 M

M [ L

X

T [ IC

,

P

] I

I

R

P

][ R

P

] I

RP

Уравнение для вектора предыдущий пункт):

B

1

I

R

 B

2

X  B

3

V

I

R не меняется и может быть представлено как (см.

Следовательно, приходим к каноническому уравнению в базисе переменных состояния вида: d X dt

 A X  B V .

3

4.1.5. Формирование математической модели нелинейной цепи в базисе переменных состояния

Практическое значение представляет случай, когда в цепи содержатся нелинейные элементы трех типов:

1.

Нелинейные емкости (емкость элемента зависит от приложенного напряжения

C i

 F ( U

Ci

) ).

2.

Нелинейные индуктивности (индуктивность элемента зависит от протекающего тока L j

 F ( I

Lj

) ).

3.

Нелинейные сопротивления, когда сопротивление R i или проводимость G i элемента зависят от протекающего тока R i

 F ( I

Ri

) или приложенного напряжения

G i

 F ( U

Gi

) .

Наличие нелинейных реактивных элементов не изменяет обобщенный вид математической модели, поскольку значения вектора состояния X позволяют на каждом шаге интегрирования определять соответствующие значения нелинейных реактивных элементов. Таким образом, структура системы уравнений в базисе переменных состояния может быть принята той же, что и для линейной цепи: d X dt i  A i

X i

 B i

V i

, где i – шаг интегрирования, но A i и B i

– зависят от текущих значений элементов на i –ом шаге интегрирования. Следовательно, принципиальным отличием является необходимость уточнения элементов матриц A i

, B i в зависимости от текущих значений вектора X i

. Однако, в течение шага интегрирования матрицы A i и B i предполагаются неизменными.

Наличие нелинейных резистивных элементов усложняет математическую модель. Представим цепь, содержащую нелинейные сопротивления и проводимости в виде:

R i

G i

I

Ri

U

Gi

E C i

E U

Ci

R R

I L i

I

I

Li

То есть представим исходную цепь как линейную резистивную R–цепь под воздействием вектора внешних воздействий V , вектора переменных состояния X и вектора токов и напряжений на нелинейных элементах W :

W 





I

U

Ri

Gi



 .

4

Тогда, согласно принципу суперпозиции в каждый момент времени выполняется:

I

R

 B

1

X  B

2

V  B

3

W .

Учитывая, что уравнение для переменных состояния имеет вид:

A i d X dt

 A

2

I

R

 A

3

X  A

4

V , получим: d X

 A X  B V  D W . dt

В этой системе уравнений число неизвестных – компоненты X и W - больше размерности системы, которая равна размерности X . Следовательно, система уравнений должна быть дополнена компонентными уравнениями нелинейных элементов. В общем случае такое компонентное уравнение соответствует алгебраическому уравнению вида:

W  F ( M

1

X  M

2

V  M

3

W ) .

5

Пример:

Рассмотрим АМ – детектор:

Представим диод эквивалентным нелинейным генератором тока I . Согласно модели диода Эберса – Молла:

I   1 ) , где I

0

– ток насыщения, U

I

– падение напряжения на диоде, 

T

- термопотенциал.

I

0

( e

U

I



T

I

I

E

C R E

C

R

Матрица контуров примет вид:

E C

M 

R

I







0

1



1

1 



Топологические системы:

U

X

 M U

P

 0 , I

P







U

U

R

I











0

1 

1

1









U

U

E

C

M T I

X



 ,





I

I

E

C









0







0

1



1

1 







I

I

R

I



 .

Выделяем уравнение, соответствующее току через С:

I

C

  I

R

 I

I

Избавляемся от резистивной составляющей I

R

. Для этого используем уравнения относительно

U

R

 U

U

R и компонентное уравнение для резистора:

C

, I

R

 U

R

/ R

Итого:

I

Однако,

C

I

I

 

U

R

C  I

I

 dU dt

C  

1

RC

U

C



1

C

I

I

. нелинейно зависит от напряжения на диоде. Следовательно, необходимо выразить

U

I

U

I через компоненты векторов X и V . Для этого определяем

 U

E

 U

C

U

I

:

Таким образом, математическая модель представляется как:

6



 I

I dU dt



C

I

0

 

1

RC

(exp( U

E

U

C



Или в обобщенном виде:



U

1

C

C

)



 dX dt



W



1



RC

F (

X

X ,



V

1

)

C

W

,

I

I

 1 ) где X  U

C

, V  U

E

, W  I

I

.

7

4.2. Формирование математической модели в базисе узловых потенциалов

4.2.1. Непосредственное формирование матрицы узловых потенциалов

Выбор базисных переменных, т.е. переменных относительно которых строится математическая модель, позволяет минимизировать число уравнений математической модели. Так, в базисе узловых потенциалов закон Кирхгофа для напряжений удовлетворяется тождественно:



U

B



0 , но U

B



A

T  , следовательно



A

T  

0 .

Однако, 

A

T 

0 , поэтому последнее уравнение выполняется при любых 

.

Таким образом, в топологической подсистеме остаются только уравнения, соответствующие закону Кирхгофа для токов. Таким образом, математическая модель цепи в базисе узловых потенциалов представляется системой уравнений вида:

[ Y ]

 

I и

, где [

Y]

– матрица проводимостей цепи, 

- вектор узловых потенциалов, I и

- вектор токов, воздействующих на цепь.

Итак, рассмотрим формирование математической модели в базисе узловых потенциалов.

1.

Рассмотрим линейную цепь, не содержащую зависимых источников, под воздействием генераторов тока: i

Y j

I l k

Составим [ Y ] – матрицу цепи согласно следующему алгоритму:

 Формируется главная диагональ матрицы. Элементы диагонали

Y ii равны суммам проводимостей элементов цепи, подключенных к i ому узлу

 Формируются внедиагональные элементы матрицы. Внедиагональные элементы

Y ij равны суммам проводимостей элементов цепи, подключенных между i ым и j ым узлами, взятыми со знаком минус.

Для изображенной на рисунке цепи имеем: i j

1

[ Y ]

 i j













 

Y



Y





Y

Y 







[ Y ]

– матрица пассивной цепи обладает следующими свойствами:

 Матрица симметрична относительно главной диагонали

 Сумма элементов столбцов матрицы равна сумме проводимостей элементов, подключенных между земляным узлом и узлом с номером, равным номеру столбца.

Таким образом, при составлении матрицы достаточно заполнить диагональ и один из треугольников матрицы (верхний или нижний). Второе свойство целесообразно использовать для проверки правильности формирования матрицы.

После формирования

Y

– матрицы, формируется вектор правой части

I и

.

Элементы вектора соответствуют токам генераторов, воздействующих на цепь.

Если ток втекает в узел, элементу присваивается знак «+», иначе «–». Так, для изображенной на рисунке цепи:

I и

 k e















I





I











.

2.

Рассмотрим цепь, под воздействием генераторов напряжения.

В этом случае для формирования вектора правой части необходимо осуществить преобразование генератора напряжения в генератор тока. Для этого используется внутреннее сопротивление генератора. Тогда, по теореме об эквивалентном генераторе:

R

E E I Y I=EY, Y=1/ R

2

В более общем случае выполняются преобразования вида:

I

1

E R

1 j

E R

1 j

Y

1 j

I

1

=EY

1

Y

1

=1/ R

1 i i i

R

2 k

E

R

2 k

I

2

I

1

=EY

1

Y

1

=1/ R

1

Y

2 k

3.

Рассмотрим активную цепь, или цепь, содержащую управляемые генераторы (источники). Согласно принятой классификации, управляемые источники подразделяют на 4 типа:

 Источники напряжения, управляемые напряжением (ИНУН):

U

âõ

U

âûõ

U

âûõ

= m

К данному типу относятся усилители напряжения.

 Источники напряжения, управляемые током (ИНУТ):

I

âõ

U

âûõ

U

âûõ

=RI

âõ

К данному типу относятся так называемые трансимпедансные усилители.

 Источники тока, управляемые током (ИТУТ):

I

âõ

I

âûõ

I

âûõ

= a

К данному типу относятся усилители тока.

 Источники тока, управляемые напряжением (ИТУН):

U

âõ

I

âûõ

I

âûõ

=GU

âõ

К данному типу относятся так называемые транскондуктивные усилители.

Как видно из приведенных соотношений необходимой размерностью – проводимость – обладает лишь параметр ИТУН. Только параметр зависимого источника данного типа может быть непосредственно внесен в [ Y ] – матрицу цепи. Включение параметра осуществляется по следующему правилу:

3

i

I l k

I=G(U i

- U j

) j i j

[ Y ]

 k e





















G

G







G

G









.

Источники иных типов должны быть преобразованы к виду ИТУН. Для этого используются входные и выходные импедансы источников.

Преобразование осуществляется по теореме об эквивалентном генераторе:

 ИНУН:

R I

âûõ

U

âõ

Y

I

ВЫХ



U

ВЫХ

 ИНУТ:



Y

 

U

BX



Y ,



G

 

Y .

R

2

Y

1

Y

1

Y

2

U

âõ

R

1

I

âûõ

Y

2

I

ВЫХ



 ИТУТ:

U

ВЫХ



Y

2



RI

BX



Y

2



RU

BX

Y

1

Y

2

,



G



RY

1

Y

2



( R / R

1

) Y

2

.

R

Y U

âõ

I

âûõ

I

ВЫХ

 

U

BX



Y ,



G

 

Y .

4

E

Пример:

Рассмотрим активный ФНЧ :

C

1

R

1 k

R

2

C

2

E

1

C

1

R

1

3

R

2

4

C

2

E R

1

C

1

R

2

C

2

E k

R

B

2

E k

=kU

4

E

C

1

1

R

1

3

R

2

4

C

2

I k

2

Y

B

I k

=kY

B

U

4

Математическая модель в матричной форме в базисе узловых потенциалов:







Y

0









0

1

Y

1 pC



2

0

 pC

0

2

Y

B

Y

1





Y





2

Y pC

Y



1

2

2 pC

2

Y

2







0 kY

Y

2

B pC

1



U



 U





U

 U













1

2

3

4











 











EY

0

0

0

1











.

[ Y ][ U ]



[ I ]

5

4.2.2. Алгоритм автоматизированного формирования математической модели в базисе узловых потенциалов

Рассмотрим алгоритм формирования математической модели для цепей различного вида.

1.

Линейная, пассивная цепь.

Выделим обобщенную kую ветвь цепи, содержащую линейный импеданс, генераторы тока и напряжения.

I

Bk

I

Zk

U

Bk

I k

Z k

V k

E k

Введем в рассмотрение следующие вектора токов и напряжений:

U

– вектор падений напряжений на ветвях цепи,

B

V

– вектор падений напряжений на импедансах,

E – вектор внешних воздействий,

I

B

– вектор токов ветвей цепи,

I

Z

– вектор токов импедансов,

I

– вектор внешних воздействий.

U

B

I

B







U







B 1









U

U



Bk

Bn















, V















I



B 1

I

Bk



I

Bn















, I

Z





V







1









V

V

 k n















, E















 I

I

I





Z 1

Zk

Zn















, I



















E



E k



E n

1















,













 I

I

I

1



 k n















.

Для k ой ветви выполняются следующие соотношения:

U

Bk



V k



E k

, I

Bk



I

Zk



I k

.

Обобщая, в матричной форме получим:

U

B



V



E



V



U

B



E ,

I

B



I

Z



I .

6

Согласно закону Кирхгофа для токов, с помощью матрицы инциденций запишем:

A I

B



0 .

После подстановки :

A ( I

Z



I )



0



A I

Z



A I .

Введем в рассмотрение компонентную матрицу

Y

Z вида:

Y

Z

















Y

1

0



Y k



0

Y n















.

Тогда:

I

Z



Y

Z

V

Подставив это выражение в соотношение для I

Z

, представим:

AY

Z

V



A I , или

AY

Z

( U

B



E )



A I , поскольку

U

B



A

T

 , где 

- вектор узловых потенциалов, то:

AY

Z

( A

T

 Z

A

T

 





Y





E )

A I





A I

AY

Z

,

E .

Окончательно:

Y

 

I и

, где Y – матрица проводимостей цепи,

I и



A I



AY

Z

E – вектор токов внешних воздействий, причем слагаемое

AY

Z

E тока.

соответствует преобразованию генераторов напряжения в генераторы

7

Рассмотренный в предыдущих пунктах метод формирования математической модели ориентирован, в основном, на моделирование в частотной области. Приведем особенности формирования математической модели цепи при проведении моделирования во временной области.

Основную проблему составляет представление реактивных компонентов цепи. Рассмотрим компонентные уравнения конденсатора и индуктивности:

4.2.3. Особенности применения метода узловых потенциалов при анализе во временной области

I

Ck



C k dU

Ck dt

, I

Lk



1

L k t



0

U

Lk

(



) d

 

I

Lk

( 0 ) .

Проведем алгебраизацию производной и интеграла, использовав для этого линейную дискретную аппроксимацию: dU

Ck dt



1 h f ( U

Ck

( t n

), U

Ck

( t n



1

),...

U

Ck

( t n

 l

))





0 h

U

Ck

( t n

)



1 h j l 



1

 j

U

Ck

( t n

 j

) , где h имеет размерность времени.

Тогда, для тока через конденсатор, получим:

I

Ck



C k



0 h

U

Ck

( t n

)



C k h l  j



1

 j

U

Ck

( t n

 j

) .

Заметим, что отношение С k/ h имеет размерность проводимости. Следовательно, можно представить: где Y

Ck

I

Ck





C k

Y

Ck

U

Ck



0 , h

( t n

)

I



Ck





I



Ck

C k h

, j l 



1

 j

U

Ck

( t n

 j

) .

В простейшем случае:



0



1 ,



1

 

1 ,

 j



0 , j



2 ...

l .

При этом производная аппроксимируется разностным соотношением:

I

Ck



C k

U

Ck

( t n

)



U

Ck

( t n



1

)

. h

Таким образом, эквивалентную схему конденсатора во временной области представим как:

1

I

Ck

I

Ck

U

Ck C k

U

Ck

Y

C

I k

Аналогично для индуктивности. Представим интеграл как:

 t

0

U

Lk

(



) d

  t



0 n



1

U

Lk

(



) d

  t n  t n



1

U

Lk

(



) d

  h n



1 j





0

 j

U

Lk

( t j

)

 h

 n

U

Lk

( t n

) .

Тогда, для тока через индуктивность получим:

I

Lk

 h

L k n j



1 



0

 j

U

Lk

( t j

)

 h

L k

 n

U

Lk

( t n

) .

Отношение h / L k имеет размерность проводимости. Следовательно, можно представить:

I

Lk



I



Lk



Y

Lk

U

Lk

( t n

) , где Y

Lk

  n h

L k

, I



Lk

 h j



1 n 



0

 j

U

Lk

( t j

) .

L k

Таким образом, эквивалентная схема индуктивности во временной области такова:

I

Lk

I

Lk

U

Lk L k

U

Lk

Y

Lk

I

Lk

Обобщая результаты отметим, что при соответствующем преобразовании компонентных уравнений реактивных элементов формирование математической модели может быть выполнено по ранее рассмотренному алгоритму.

2

4.2.4. Особенности формирования математической модели линейной активной цепи и нелинейной цепи

Рассмотрим также k ую обобщенную ветвь, но предположим, что ток, протекающий через

Z k зависит от падения напряжения на другой, например j ой ветви:

I

Zk

 g k

V j

.

Другими словами в схеме содержится ИТУН, соответствующий эквивалентной схеме активного элемента.

Алгоритм формирования математической модели не изменится в целом.

Однако, изменится вид компонентной матрицы

Y z

: j

Y

Z

 k



Y





1













 Y k



 g k



Y n















На пересечении k ой строки и j ого столбца вписывается параметр g k

.

Рассмотрим далее нелинейную цепь. Выделим k ую обобщенную ветвь, но предположим, что ток I

Zk нелинейно зависит от напряжения V k в данной ветви или в j ой ветви V j

:

I

Zk

 f ( V k

) или

I

Zk

 f ( V j

) .

Тогда, обобщая в матричной форме:

I

Z



F ( V ) .

Аналогично предыдущим случаям:

I

B



I

Z



I .

Топологическое уравнение имеет вид:

A I

B



0



A I

Z



A I



AF ( V )



A I

Подставим выражение для

V :

V



U

B



E .

Тогда:

AF ( U

B



E )



A I

Переходя к узловым потенциалам:

U



B

A

T



, получим:

AF ( A

T

 

E )



A I .

Обозначим

Ф

(



)



AF ( A

T

 

E )



A I .

.

Тогда математическая модель нелинейной цепи представляется нелинейным уравнением в виде:

Ф

(



)



0 .

Для решения данного уравнение, как правило, используется алгоритм Ньютона, следовательно:

Ф (



( k )

)

 Ф 

(



( k )

)(



( k



1 )  

( k )

)



0 ,

3

где k

– индекс итерации,

Ф 

(



( k )

) - якобиан.

Поскольку

Ф

(



)



AF ( A

T

 то

Ф 

(



)





F

A



V



V

 





E )



A I



F

A



V



AF ( V

A

T

,

)



A I , где

j



F



V

 k



















F



V



1











F

V j



0



F



V n

















.

Таким образом, получим:

AF ( A

T  ( k ) 

E )



A I



A



F



V

A

T

(

 ( k

 

1 )   ( k )

)



0 или где

Y

Z

 

( k ) 

I

( k ) и

,

Y

Z



A



F



V

A

T

, I и



A ( I



F ( A

T



( k ) 

E )) .

Основное отличие полученной модели от линейной – итерационность.

4

4.2.5. Метод позиционного суммирования

Метод применяется при использовании подсхем или отдельных блоков, из которых составляется полная цепь. Рассмотрим схему, состоящую из двух подсхем

(макроблоков)

:

1 I

1

( 2 )

I

3

(1) 3

I

3

(2 )

3 2

N

1

N

2

1

I

1

(1)

I

2

(1)

2 I

2

(2 )

I

4

( 2)

I

5

( 2) I

1 2

4 5

3

Подсхема N

1 является трехполюсником. На внешних входах N

1 протекают токи:

I

1

( 1 )

, I

2

( 1 )

, I

3

( 1 )

.

Подсхема N

2 является пятиполюсником. На внешних входах

I

1

( 2 ) , I ( 2

2

) ,...

I

5

( 2 ) .

N

2 протекают токи:

Осуществим соединения N

1 и N

2 как показано пунктиром и подключим источник внешнего воздействия

I

. Обозначим узлы полученной цепи номером в кружке. Тогда по закону Кирхгофа для токов получим:

Для узла 1 :

I

3

( 1 ) 

I

2

( 2 ) 

I

1

( 2 ) 

0

Для узла 2 :

I

3

( 2 ) 

I



0

Для узла 3 : I (

4

2 )  I (

5

2 )

Опишем каждый из блоков

 0

N

1 и N

2 системой внешних параметров:

I

( 1 )

 Y ( 1 )  ( 1 )

, где

I

( 1 ) 









I

I

I

( 1 )

1

( 1 )

2

( 1 )

3









, Y

( 1 ) 









Y

Y

Y

( 1 )

11

( 1 )

21

( 1 )

31

Y

( 1 )

12

Y

( 1 )

22

Y

( 1 )

32

Y

Y

Y

( 1 )

13

( 1 )

23

( 1 )

33









,

 ( 1 ) 

















( 1 )



1

( 1 )

2





( 1 )

3





I

( 2 ) 

Y

( 2 )  ( 2 )

, где

I

( 2 ) 









I

I

(

1

2 )



(

5

2 )









, Y

( 2 ) 









Y

Y



( 2

11

)

( 2

51

)





Y

Y

( 2

15

)



( 2

55

)









,

 ( 2 )



















(

1

(

5

2

2

)

)











Подставим уравнения для токов N

1 и N

2 в уравнения Кирхгофа:

5

1 .

2 .

3 .

( Y



(

( 1 )

31

Y

 ( 1 )

1

( 2 )

21



Y

 (

1

2 ) 

( 1 )

32



2

( 1 )

Y



Y

( 2 )

22

 (

2

2 )

( 1 )

33



3

( 1 )

)



Y

( 2 )

23



 (

3

2 )

( Y

( 2 )

21



Y

 (

1

2 )

( 2 )

24



 (

4

2 )

Y

( 2 )

22



Y

 (

2

2 )

( 2 )

25



 (

5

2 )

)





Y

( 2

31

)

( Y

( 2

11

 (

1

2

)

)

 (

1

2



)

Y



( 2

32

)

Y

( 2

12

 (

2

2

)

)

 (

2

2



)

Y



( 2

53

)

Y

( 2

13

 (

3

2

)

)

 (

3

2



)

Y



( 2

34

)

Y

( 2

14

 (

4

2

)

)

 (

4

2



)

Y



( 2

55

)

Y

( 2

15

 (

5

2

)

)



 (

5

2



)

)

I

( Y



( 2 )

41

( Y

 (

1

2 )

( 2 )

51



1

(



Y

2 )

( 2 )

42



Y

 (

2

2 ) 

Y

( 2 )

52

 (

2

2 )

( 2 )

43

 (

3

2 ) 



Y

( 2 )

53

 (

3

2 )

Y



( 2 )

44

 (

4

2 )

Y

( 2 )

54



 (

4

2 )

Y



( 2 )

45

 (

5

2 )

)

Y

( 2 )

55



 (

5

2 )

)







0

0

В соответствии со схемой

:





 ( 1 )

3





( 1 )

1

 (

1



2 )





( 1 )

2





(

2

2 )





 (

4

2 )

 (

3

2 )



Тогда , получим :





(

5

2 )



2



0





3



1

1 .

2 .

3 .

Y





Y

Y

( 1 )

(

(



33 



1

Y

2

31

2

41

)

) 



( 2

14

)



Y

Y



Y

(

(



2

2

32

42

)

)





Y



1



1

(

( 1 )

21

2

15





)

Y



3





Y

Y

( 1 )

22

(

(



2

33

2

43

)

)





1

0





2

2







Y



Y

( Y

( 2

23

(

)

34

(

2

2



44

)

)

2







Y

Y



Y

( 2

( 2

24

35

)





3

)

( 2 )

45

)



3







Y

I



Y

( 2 )

25

( 2 )

51



3



Y

11

( 2 )

Y

( 2

52

)





1



Y

12

( 2 )





1

( 2 ) 

Y

53



2

 ( 2 )

Y

13





2



( Y

( 2 )

54



Y

( 2

55

)

)



3

Окончательно, получим :



0

1 .

2 .

3 .



Y





Y

Y

(

(

( 1 )



33 

Y

2

31

2

41

)

)





Y

Y

( 1 )

21

2 )

42





Y

Y

( 1 )

22



( 2

24

)

Y



( 2

32

)

Y





1

( 2

25

)





Y

Y

( ( 2

51

)





(

(

Y

2

14

2

33

)

Y

)

( 2

11

) 

(

Y

2 ) 



2

( 2

Y

52





) 

1

15 

Y



( 2

 12

( 2

34

)



3

)





1

( Y





( 2

Y



0

43

) 

35

( Y

( 2 )

Y





3

( 2 )

23





( 2 )

53

)



2

I

Y

(

13

2 )

)



2





Y

( 2 )

44





Следовательно, математическая модель цепи имеет вид:

( 2 )

Y

45



Y

( 2 )

54



Y

55

( 2 )





3



0



6

 Y





Y

Y

11





21

31



1

1

1







Y

Y

Y

12





22

32



2

2

2







Y

Y

Y

13





23

33



3

3

3







0

I

0

В общем случае можно сформулировать следующее правило: если вход p к го многополюсника соединить с i ым входом цепи, а вход l к го многополюсника соединить с j ым входом цепи, то :

Y ij

  k

Y

( k ) pl

, где суммирование ведется по всем многополюсникам, подключенным ко входам i и j .

Сформированное правило получило название метода позиционного суммирования. Важное достоинство метода – возможность уменьшения размерности исходных систем уравнений.

4.3 Основные выводы

Перечислим коротко основные особенности математических моделей в базисах переменных состояния и узловых потенциалов.

1.

Математическая модель в базисе переменных состояния ориентирована на анализ во временной области.

2.

Математическая модель в базисе переменных состояния позволяет эффективно моделировать нелинейные цепи.

3.

Математическая модель в базисе переменных состояния ориентируется на явные методы решения дифференциальных уравнений. Вычислительная схема такова

:

Задана система дифференциальных уравнений и нелинейных компонентных уравнений: d x dt

 f

1

( x ,  , w ) , f

2

( x ,  , w )  0

, где x - вектор переменных состояния;



- вектор внешних воздействий; w

- вектор переменных нелинейных элементов.

При использовании явных методов решения, например Эйлера, получим:

1.

x k  1

 x k

 hf

1

( x k

,  k

, w k

)

2.

f

2

( x k  1

,  k  1

, w k  1

)  0

Тогда, при заданных начальных условиях по x

0

, w

0 из уравнения 1 находим x

1

, подставляем x

1 в уравнение 2, из которого находим w

1

, подставляем w

1 в уравнение 1 и находим x

2

, подставляем x

2 в уравнение 2 и т.д.

Таким образом, явный метод позволяет решать дифференциальные и алгебраические системы раздельно.

7

4.

Недостатком базиса переменных состояния является проблема топологических вырождений.

5.

Математическая модель в базисе узловых потенциалов, в основном, ориентирована на моделирования в частной области.

6.

Математическая модель в базисе узловых потенциалов представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, которая решается, например методом Гаусса.

7.

При использовании базиса условных потенциалов не возникает проблемы топологических вырождений, но управляемые источники обязательно должны быть преобразованы к виду ИТУН.

8

5. Модели радиоэлектронных компонентов

5.1. Введение

По принципу описания внутренних процессов в компонентах и по системе исходных параметров модели делятся на электрические, физико– топологические и технологические. В физико– топологических моделях описываются внутренние процессы перераспределения зарядов в структуре компонента и используются параметры, которые характеризуют геометрические размеры областей, распределение примесей, подвижность носителей и т.д.

Технологические модели включают описания технологических операций изготовления компонента – процесса диффузии, характеристики примеси и исходного материала.

В курсе рассматриваются электрические модели компонентов, описывающие поведение компонентов в форме эквивалентных схем. В качестве параметров электрических моделей используются токи и напряжения, а также электрические параметры, соответствующие коэффициенту усиления, крутизне вольт –амперной характеристики, передаточной проводимости и т.д. В следующих пунктах будут рассмотрены электрические модели полупроводникового диода, биполярного транзистора, полевого (МОП) – транзистора, операционного усилителя.

5.2. Модель полупроводникового диода

В основе эквивалентной схемы диода – модель Эберса

-

Молла, описывающая протекание тока через p – n – переход:

I



I

S

( e

U m



T



1 ) .

В данное соотношение входят следующие параметры:

I

S

- ток насыщения ( 10



12 

10



15 A ),

U

– падение напряжения на p

–

n

– переходе,



Т

- термопотенциал,



Т

 kT / q e

, где k



1 .

38



10



23 Дж/К – постоянная Больцмана,

Т – абсолютная температура, q e

– заряд электрона ( q e



1 .

6



10



19 Кл

).

При комнатной температуре 

Т



0 , 026

В

, m – коэффициент, зависящий от типа диода (1 

2).

1

Вольт – амперная характеристика (ВАХ) диода имеет вид:

I

I

S

I

0

U

0

U

Отметим, что модель Эберса – Молла описывает поведение диода вне области пробоя.

Рассмотрим низкочастотную модель диода.

Обозначим

U

0

, I

0

– рабочую точку:

I

0



I

S

( e

U

0



T



1 )

В области низких частот диод описывается одним параметром – внутренней проводимостью: g ( U

0

)

 dI dU

U

0



I



S

T e

U

0



T .

Данный параметр соответствует крутизне ВАХ в области рабочей точки.

Таким образом, простейшая модель диода имеет вид: g (U

0

)

На высоких частотах необходимо учитывать паразитные емкости p – n – перехода. В этом случае модель диода представляется схемой:

2

R

ó

I=f(U)

I

Ä

R

Á

Ñ

Á

Ñ

Ä

U

U

Ä

В модели используются следующие параметры:

R

Б – барьерное сопротивление (1  100 Ом),

R у – сопротивление утечки ( n 1 МОм),

С Б – барьерная емкость:

I д

– ток через диод,

U д

– падение напряжения на диоде,

U

– падение напряжения на p

–

n

– переходе.

C

Б





 1



С

0

U



0







, где С

0

– емкость перехода при

U=0 (n

1 пФ),



- контактная разность потенциалов (  0,8 В для

Si,

 1 В для

GaAs),

0



- технологический параметр, зависящий от распределения примеси в полупроводнике (1/3 

1/2),

С д

– диффузионная емкость (10  50 пФ):

С

Д

  dI

, dU где 

- постоянная времени диода, определяет время жизни неосновных носителей.

3

Диффузионная емкость стремится к нулю при запирающем напряжении на диоде, т.е.:

С

Д



0

, при

U



0.

Таким образом, электрическая модель диода описывается следующими уравнениями:







I

Д



I

S

U

( e



T

U



1 )

Д



( C

Б

 С

Д

) dU dt



U



R

Б

I

Д



U

R y

На основе данной системы уравнений Кирхгофа составляются модели диода в базисе узловых потенциалов и в базисе переменных состояния.

Рассмотрим отмеченные виды моделей.

1.

Модель в базисе узловых потенциалов.

При составлении модели в частотной области проводится линеаризация зависимости

I = f ( U

) в области рабочей точки:

I

 f ( U )

 f ( U

0

 

U )

 f ( U

0

)

 f



( U

0

)



U

 

I



I

S

( e

U

0 

T



1 )



(

I



S

T e

U

0 

T )



U



I

0

 g ( U

0

)



U .

Таким образом, эквивалентная схема примет вид:

R c

I

0 g(U

0

)

R

Á

Ñ

Á

Ñ

Ä

Рассмотрим применение модели при анализе схемы во временной области.

Проведем алгебраизацию модели. Для этого представим производную

4

дискретной аппроксимацией, причем предположим, что емкости диода зависят только от предыдущего значения напряжения U: dU dt



U ( t n

)



U ( t n



1

) h

I

Д



I



I y



I c



I

S

( e

U



T



1 )



U

R y



C dU dt

В алгебраической форме получим:

I

Д

( t n

)



I

S

( e

U ( t n

)



T



1 )



U ( t

R y n

)



C ( U ( t n



1

))

U ( t n

)



U ( t n



1

) h

Решаем полученное уравнение относительно

U ( t n

). При этом

U ( t n-1

) на первом шаге предполагается известным из начальных условий, а начальное приближение U ( t n

) выбирается из физических соображений. Для решения используется метод Ньютона. При этом нелинейное уравнение необходимо представить в виде: f ( x )



0 , f где  x

( k )  x

( k



1 ) 

В данном случае:

( x

( k )

) x

( k )

 f



( x

( k )

)

 x

( k ) 

0 ,

, k

– номер итерации.

f ( U ( t n

))



I

S

( e

U ( t n

)



T



1 )



I

Д

( t n

)



U ( t n

R y

)



C ( U ( t n



1

))

U ( t n

)



U ( t n



1

) h f



( U ( t n

))

 I

S



T e

U ( t n

)



T



1

R y

 C ( U ( t n



1

)) h

.

Опуская аргумент в выражении для С, представим:

I

S

( e

U

( k )

( t n

)



T



1 )



I

Д

( t n

)



U

( k )

( t n

)

R y



C

U

( k )

( t n

)

 h

U ( t n



1

)





(

I



S

T e

U

( k )

( t n

)



T



1

R y

Таким образом:

I

Д

( t n

)



I

S

( e

U

( k )

( t n

)



T



C h

) ( U

( k



1 )

( t n

)



U

( k )

( t n

))



0



1 )



(

I



S

T e

U

( k )

( t n

)



T



1

R y



C h

) U

( k



1 )

( t n

)



C

U ( t n



1

)

 h

 I

S



T e

U

( k )

( t n

)



T



U

( k )

( t n

) .

5

Или:

I

Д

( t n

)



I



( t n

)



G



( t n

) U

( k



1 )

( t n

) , где

I



( t n

)



I

S

( e

U

( k )

( t n

)



T



1 )



C

U ( t n



1

)

 h

 I

S



T e

U

( k )

( t n

)



T

G



( t n

)



(

I



S

T e

U

( k )

( t n

)



T



1

R y



C

) h

.



U

( k )

( t n

)

Для второго уравнения имеем:

U

Д

( k



1 )

( t n

)



U

( k



1 )

( t n

)



R

Б

I

Д

( t n

) .

Таким образом, с помощью метода Ньютона при каждом значении t n определяется

U ( t n сходится за несколько итераций.

, n =1… N ,

). Если начальное приближение выбрано удачно, метод

2.

Модель в базисе переменных состояния.

Упростим электрическую модель диода. Учитывая малость барьерного сопротивления, пренебрегаем R

Б

. Тогда, перепишем выражение для тока через диод:

I

Д



I

S

( e

U

C 

T



1 )



( C

Б



C

Д

) dU dt

C



U

R y

C , где учитывая, что U=U Д= U С.

Приведя уравнение к каноническому виду, получим: dU

C dt

 

( C

Б

1



C

Д

) R

U

C



( C

Б

1



C

Д

)

I

Д



I ( U

С

)

(

С

Б или: dX dt



AX



BV



DW , где X



U

C

, V



I

Д

, W



I ( U

C

)



I

S

( e

U

C



T



1 ) ,

1

 С

Д

)

A

 

( C

Б



1

C

Д

) R у

, B

 

D



( C

Б

1



C

Д

)

.

6

5.3. Модель МОП – транзистора

Рассмотрим модель на примере МОП – транзистора nтипа. Структура транзистора показана на рисунке:

çàò âî ð ( ç )

èñò î ê ( è ) ñò î ê ( ñ )

ì åò àëë n

+

L n

+

SiO

2

êðèñò àëë

Si (

ð

-

ò èï à è

+ ò èï à

,

ãäå

+

î áî çí à÷àåò

ñèëüí î ëåãèðî âàí í óþ

î áëàñò ü

).

p

ï î äëî æêà ( ï )

Принцип работы прибора – создание поверхностного инверсного слоя между стоком и истоком. Когда на затвор подается напряжение большее, чем напряжение отпирания

U

0 между стоком и истоком возникает индуцированный канал и начинает протекать ток. Напряжение отпирания составляет до 1 В и зависит от технологии изготовления транзистора.

I c



0

Выделяют следующие основные режимы работы МОП – транзистора:

1.

Режим отсечки:

, 0



U

ЗИ



U

0

2.

Линейный (триодный) режим:

I

C

 

C

OX

( w / L )[( U

ЗИ



U

0

) U

СИ



U 2

СИ

U

ЗИ



U

0

, 0



U

C И



U

ЗИ



U

0

.

/ 2 ] ,

Если

U

СИ



U

ЗИ

, то

I

C

 

C

OX

( w / L )( U

ЗИ



U

0

) U

СИ

, где 

- подвижность носителей,

C

OX

- удельная емкость диэлектрика,

W

– ширина затвора,

L

– длина затвора.

В триодном режиме МОП – транзистор эквивалентен проводимости, управляемой напряжением. Действительно:

I

C

 g си

U

СИ

, где g си

 f ( U

ЗИ

)

  С

0 X w

( U

ЗИ



U

0

) .

L

Таким образом, эквивалентная схема МОП – транзистора:

Ñ

g c è

(U

çè

)

è

3.

Режим насыщения:

I

C

U

C И



1

 С

2



U

ЗИ

0 X

( w

)( U

L



U

0

.

ЗИ



U

0

)

2

, U

ЗИ



U

0

,

В режиме насыщения МОП – транзистор эквивалентен ИТУН. Эквивалентная схема представлена как:

ç

ñ

Ic

I c

è

I

S

C

ЗИ





S

ЗИ

U



I

C

ЗИ



U

ЗИ

,

  С

0 X

( w

)( U

L

ЗИ



U

0

) - крутизна в режиме насыщения.

ВАХ МОП – транзистора имеют следующий вид:

U ç

Ëèí åéí ûé

ðåæèì

ðåæèì î ò ñå÷êè

ðåæèì í àñûù åí èÿ

U c è

Аналогичные соотношения описывают МОП – транзистор p –типа, но знаки и направленность источников должны быть изменены на противоположные.

На высоких частотах необходимо учитывать паразитные емкости МОП – транзистора:

ç

Ñ

çè

è

Ñ

èï

ñ

Ñ

çñ

Ñ

ñï

ï

Значения емкостей определяются геометрическими размерами МОП – транзистора. Типовые значения таковы:

С

ИП

,

С

ИП



0 , 1 пФ

,

С

ЗС

,

С

ЗС



1



10 пФ

.

Кроме того, необходимо учитывать так называемые эффекты второго порядка:

1.

Эффект влияния подожки.

Подложка выполняет функции второго затвора, поэтому для устранения влияния подложку заземляют.

ñ

ç

Ic Ic

ï

è

S

ПИ

U

ПИ

, I

C

 где

S

S

ЗИ

U

ПИ



ЗИ

,



I

C



U

I



C



ПИ

.

2.

Эффект модуляции длины канала.

Плотность заряда меняется в обедненной области по длине канала. Эффект учитывается введением так называемой эффективной длины канала:

L

ЭФФ



L ( 1

 

U

СИ

) ,

 

1

4

1

L

, где

L в мкм.

Типовые значения



≈ 0,01 [1/В].

3.

Эффект уменьшения подвижности носителей.

Часть носителей захватывается ловушками в приповерхностном слое, то есть не участвует в образовании проводимости канала. Это учитывается введением эффективной подвижности носителей:



ЭФФ

 

.

5.4. Модель биполярного транзистора

5.4.1. Нелинейная модель

Выделяют нелинейные и линеаризованные в области рабочей точки, т.е. линейные, модели биполярного транзистора. Рассмотрим нелинейные модели.

1.

Инжекционная модель Эберса – Молла

.

Рассмотрим модель на примере транзистора n-p-n типа:

ý ê

I ý

I ê

ý ê

I' ý

I Á I' ê

Á

Á

В основе модели – представление p-n перехода как диода, который описывается уравнением Эберса – Молла. В качестве токов управляемых источников приняты токи, инжектируемые р -n переходами.

Расшифруем параметры модели:

I э

– ток эмиттера,

I к

– ток коллектора,

I

Б

– ток базы,

I



Э



I

ОЭ

( e

U

ЭБ



T



1 ) – ток эмиттерного перехода,

I

0э

– ток насыщения эмиттерного перехода,

U

ЭБ

– напряжение эмиттер – база.

I



K



I

ОK

( e

U

ЭБ



T



1 )

– ток коллекторного перехода

I

0к

– ток насыщения коллекторного перехода,

U

КБ

– напряжение коллектор – база.



N

,



I

- коэффициенты передачи по току при включении с общей базой в нормальном и инверсном режимах:



N , I



I

I

K

N , I

Э

N , I

;



N



1





N



N

,



I



1





I



I

, где 

- коэффициент передачи по току в схеме с общим эмиттером.

Заменяя параллельное соединение 

I

 и I

 эквивалентным генератором тока

J и введя в рассмотрение сопротивление областей транзистора и емкости переходов, представим модель:

C ý

J ý

Ñê

J ê r

ý r

ê

R

U

ý

ý r

Á

R ê

U ê

J

K

 

N

I



Э

I



K

,

 

I

I



K



I



Э

.



J

Э

R э,

R к – сопротивление утечки 

10

5 

10

6 Ом.

r э, r к, r

Б – объемные и контактные сопротивления эмиттера, коллектора, базы: r э, r к ~10 Ом, r

Б ~ 100 Ом.

С э, С к – нелинейные емкости переходов:

С

Э

 С

ЭБ

 С

ЭД

,

С

К

 С

КБ

 С

ЭД

, где индексом Б обозначена барьерная, а индексом Д – диффузионная составляющая емкостей.

С

Э



( 1



С

Э 0

U



Э

Э

)



  d I dU



Э

Э

,

С

К



( 1



С

К

0

U



К

К

)



  d I dU



К

К

, где обозначения аналогичны модели диода.

2.

Передаточная модель Эберса – Молла

.

В данном случае в качестве токов управляемых источников приняты не токи, инжектируемые переходами, а токи, собираемые переходами. Модель представляется как:

I

I

I

N

ý

I

ý

I

ê

ê

I

N

/ I Á

I

I /

Á

Для токов выполняются следующие соотношения:

I

Э

 

I



N

N



I

I

, I

N



I

S

U

Э

( e



T



1 ) ,

I

K

 

I



I

I



I

N

, I

I





I

I

S



U

K

( e



T



1 )

1





I



I

,

, где

I s

– параметр, называемый током «отсечки», определяется по выходным

ВАХ транзистора.

Подставив в выражение для токов соотношения для коэффициентов передачи по току:



N



1





N



N

, получим:

I

Э

 

I



N

N

( 1

 

N

)



I

I



( I

I



I

N

)



I



N

N



I

ЭКВ



I



N

N

,

I

K

 

I



I

I

( 1

 

I

)



I

N



( I

N



I

I

)



I



I

I

 

I

ЭКВ



I



I

I

.

Отсюда вытекает так называемая гибридная модель, что дает возможность уменьшить количество генераторов:

I

ýêâ

I

ý

ý

I

ê

ê

N

I / I Á I

I

/

Á

5.4.2. Линейная модель

Рассмотрим далее линейные модели биполярных транзисторов.

1.

Линейная модель при включении с общим эмиттером в диапазоне частот до

100 МГц.

Транзистор, являясь трехполюсником, может быть описан системой внешних малосигнальных параметров, например,

Y

– параметров:



 I

I

1

2





Y

Y

11

U

21

U

1

1





Y

12

U

Y

22

U

2

2

.

Данной системе уравнений соответствует эквивалентная схема вида:

I

1

- Y

12

I

2

U

1

U

2

Y

11

+Y

12

Y

22

+Y

12 (Y

21

- Y

12

)U

1

Для доказательства справедливости данного представления осуществим обратную операцию: составим систему уравнений в базисе узловых потенциалов для этой схемы.

Y

– матрица пассивной части цепи имеет вид:

Y

ПАС







Y

11





(

Y

12



Y



12

)

Y

12

Y

22





(



Y

12

Y

12



)

Y

12











Y

11

Y

12

Y

12

Y

22



 .

Учтем активный элемент схемы – ИТУН. Тогда

Y

– матрица примет вид:

Y

АКТ







Y

12



(

Y

11



( Y

21



Y

12

))

Y

12

Y

22











Y

11

Y

21

Y

12

Y

22



 .

Таким образом, система уравнений в базисе узловых потенциалов такова:





Y

11

Y

21

Y

12

Y

22









U

U

1

2











I

I

1

2



 .

Аналогично, для системы

Z

– параметров можно записать:





U

U

1

2





Z

Z

11

21

I

1

I

1





Z

Z

12

22

I

I

2

2

Данной системе соответствует следующая эквивалентная схема:

U

1

Z

11

- Z

12 Z

22

- Z

12

(Z

21

- Z

12

)I

1

U

2

I

1 Z

12

I

2

Рассмотренные представления приводят к П – и Т – образным типам эквивалентных схем транзистора. Но на практике наибольшее распространение получила смешанная эквивалентная схема – своего рода комбинация между П – и Т – образной схемами:

Á

'

Á ê

Á

ý

Развернутая модель представляется как:

I Á r

Á

Á ' r

Á ' Ý

C

Á ' Ý r

Á ' Ê

Ñ

Á ' Ê r

êý

I Ê

ê

I Ý

ý

 

1





0



- коэффициент передачи по току.

j



T r

Б

– омическое сопротивление базы ~100 Ом.

r кэ

– выходное сопротивление, ~ 100 кОм  10 Мом.

r

Б  К

– внутреннее сопротивление перехода база–коллектор ~1МОм.

Сопротивление r

Б  Э является режимнозависим, то есть меняется в зависимости от тока через транзистор. Определим r

Б  Э

:

1

 dI

Б dU

Э Б 

. r

Б  Э

Поскольку r

Б

1

 Э



I

Э

 d ( I

Э

I

К

 dU

Э Б 

I



К

I

Б

)

.

, то:

С другой стороны:

I

K

 

I

Э





1

 

I

Э

.

Следовательно:

1

 d dU

Э Б 

( I

Э





1

 

I

Э

)





1

  dI

Э dU

Э Б 

. r

Б  Э

Поскольку

I э определяется моделью Эберса – Молла:

I

Э

 получим:

I

0

( e

U



Э Б 

T



1 ) ,

1





1

 

I



0

Т e

U

Э Б



T





1



Т



I

Э

. r

Б  Э

Сопротивление r

Б  К связано с r

Б  Э соотношением: r

Б  К

 r

Б  Э h

12

, где h

12

- обратный коэффициент передачи по напряжению, h

12

<1.

Наконец, рассмотрим емкости модели:

С

Б  Э в основном определяется диффузионной составляющей, поскольку эмиттерный переход смещен в прямом направлении:

С

Б  Э

  dI dU

Э

Э Б 

  r

Б



 Э



2

1

 f

T

 r

Б



 Э

.

С

Б  К в основном определяется барьерной составляющей, поскольку коллекторный переход смещен в обратном направлении. Диффузионная составляющая близка к нулю.

На более высоких частотах обычно используются включение с общей базой, поэтому, как правило, используется Т – образная эквивалентная схема.

При этом в модель включается ряд элементов, отражающих технологические и конструктивные особенности. Также следует учесть, что в СВЧ диапазоне используются транзисторы n

-pn типа, обладающие большей полосой рабочих частот. Структура транзистора и его модель может быть представлена как:

ý

Á n + p

ê n

Ñ

ÝÊ

êî ðï óñ

Ñ

ÝÊ

0

Ý

Ñ

ÝÁ

Ñ

ÁÊ

Ê

Á

Ñ

ÝÊ

Ñ

ÝÊî

R ê

Ý

L Ý L Ýî r Ýâ

Z Ý r Á r Ê

L Ê

Ê

Ñ

Ê 1

Ñ

Ê 2

Ñ

ÝÁ r Áâ

L Áî

L Á

Ñ

ÁÊ

Á

В модели выделяют две группы параметров: параметры собственно структуры транзистора, паразитные параметры корпуса.

К параметрам первой группы относятся: r

БВ

, r эв

– сопротивления, обусловленные сопротивлениями выводов базы и эмиттера.

r

Б

– омическое сопротивление области базы.

r

К

– сопротивление коллекторной области. Поскольку область коллектора имеет наибольший объем, r

К может достигать 1 кОм.

Z

Э



1

 r

Э j





T

, r э

– дифференциальное сопротивление эмиттерной области,

r

Э





I

Т

Э

.

Z э

– полное сопротивление эмиттерного перехода.



Т

- граничная частота усиления по току.

R к

– сопротивление, учитывающее эффект Эрли, т.е. возрастание

I к с увеличением

U кэ

.

 

1





0



- коэффициент передачи по току при включении с общей j



T базой.

С эк0

– паразитная емкость между металлизированной площадкой эмиттера и коллектора. Оказывает существенное влияние на устойчивость транзистора при включении с общей базой.

С к1

,

С к2

– емкости коллекторного перехода.

К параметрам второй группы относятся:

С эк

,

С эб

,

С бк

– межэлектродные емкости,

L э

, L б

, L к

– индуктивности выводов транзистора,

L эо

, L бо

– индуктивности микрополосков от кристалла транзистора до вывода внутри корпуса.

5.5. Макромодель операционного усилителя

Выделяют два типа электрических моделей компонентов: модели, описывающие внутренние физические процессы в приборе (такова рассмотренная модель диода или транзистора) и модели, характеризующие внешние параметры прибора. При построении моделей второго типа прибор рассматривается как n –полюсник или «черный ящик», поведение которого в той или иной мере приближается к поведению реального прибора. Модели такого типа получили название макромоделей. Типичной является макромодель операционного усилителя (ОУ). Рассмотрим построение макромодели ОУ.

1.

Линейные параметры ОУ по переменному току .

Идеальный ОУ является ИНУН и характеризуется всего одним параметром – коэффициентом усиления 

0

:

+ U

ÂÛÕ

-

U

ВЫХ

 

0

 U

ВХ

,  U

ВХ

 U   U  .

Идеальный ОУ обладает бесконечным входным сопротивлением, нулевым выходным сопротивлением, коэффициент усиления стремится к  . В реальных схемах ОУ 

0

 2  10 4  5  10 4 .

Учитывая входные и выходные сопротивления ОУ, представим эквивалентную схему в виде:

+

R

ÂÕ

+

-

R

ÂÕ

R

ÂÕ

-

R

ÂÛÕ

1

Входные сопротивления по каждому из входов определяются выражениями:

R  

1 / R

ВХ

1 / R 

ВХ

1 /

 1 /

R

ВХ

R

ВХ



1

1 /

/ R

R 

ВХ



ВХ

 1 / R 

ВХ

1 / R 

ВХ

R  

1 / R

ВХ

1 / R 

ВХ

1 /

 1 /

R

ВХ

R

ВХ



1 /

1 /

R

R 

ВХ



ВХ

 1 / R 

ВХ

1 / R 

ВХ

Как правило, схемы современных ОУ строятся по так называемой двухкаскадной схеме. При таком построении ОУ содержит два каскада усиления и выходной каскад, обеспечивающий малое выходное сопротивление.

Выходной каскад является повторителем напряжения. Таким образом, эквивалентная схема примет вид:

-

+

R

1 U

1

R

2 U

2

R

ÂÛÕ U

ÂÛÕ

(

Âõî äí î é êàñêàä

ï åðâûé êàñêàä

óñèëåí èÿ

)

Âòî ðî é

êàñêàä

óñèëåí èÿ

Âûõî äí î é

êàñêàä

(

ï î âòî ðèòåëü

í àï ðÿæåí èÿ

)

U

1



1

 U , U  

2

U , U

ВЫХ

 U

2

, 

0

 

1

 

2

. 

ВХ

2 1

Преобразовав генераторы напряжения в генераторы тока (что удобно при использовании метода узловых потенциалов) представим схему:

-

+

I

1

U

1

1/ R

1

I

2

U

2

1/ R

2

I

ÂÛÕ

U

ÂÛÕ

1/ R

ÂÛÕ g

ВЫХ

I



1



1 g

1

U

1

,

,

R

ВЫХ

I

2

 g

2

U

2

, I

ВЫХ

 g

3

U

ВЫХ

, g

1

 

1

/ R

1

, g

2

 

2

/ R

2

, где R 1 и R2 – выходные сопротивления первого и второго каскадов.

Для предотвращения возбуждения при работе ОУ в схеме с обратными связями, в схему ОУ вводят корректирующую емкость. Как правило, коррекция заводится как обратная связь во втором каскаде усиления. Кроме того, в схеме присутствуют паразитные емкости. Поэтому передаточная функция ОУ является частотозависимой и описывается выражением:

2

 ( j  ) 

( 1  j





01



0

)( 1  j





02

)

.

Приведенное соотношение является аналитической функцией от аргумента j  и обладает двумя полюсами, расположенными на мнимой оси комплексной плоскости     j  . Модель ОУ, соответствующая данному выражению, получила название двухполюсной. АЧХ двухполюсной модели имеет вид: m

1

01 w w

Частота единичного усиления получила название площади усиления:

GB  

0 f

01 w

02

. Как видно из рисунка частота второго полюса 

02 находится выше частоты единичного усиления ОУ, поэтому доминирующим является влияние первого полюса 

01

. В зависимости от частот полюсов, а, следовательно, и в зависимости от площади усиления, ОУ условно можно подразделить на две группы: стандартные и широкополосные. При этом параметры имеют следующие значения: f

01

 20 Гц , f

02

 3  5 МГц f

01

 200 Гц , f

02

 30  50

, GB  1 МГц

МГц , GB 

-

10  для стандартных

15 МГц - для широкополосных.

Таким образом, эквивалентная схема с учетом емкостей примет вид:

Ñ

ê

-

+ где С к

– конденсатор коррекции. Паразитные емкости показаны пунктиром.

Для двухполюсной модели эквивалентная схема такова:

3

-

+

R

1

Ñ

1

R

2

Ñ

2 где С

1

 С

К

, С

2

– определяются как: определяется паразитными емкостями. Частоты полюсов



01

 1

R

1

C

1

, 

02

 1

R

2

C

2

.

В реальных усилителях даже при  U

ВХ

 0 выходное напряжение отлично от нуля. Это связано с несимметричностью плеч входного дифференциального каскада. Как следствие – неполное подавление синфазного сигнала. Определим синфазный сигнал как:

U   U 

U

СФ

 .

2

Обозначим коэффициент передачи U сф как К

С

. Тогда, на выходе ОУ будет сниматься сигнал К

С

U

СФ

:

U

ÑÔ

U

ÂÛÕ

=0

Опуская промежуточные каскады, представим эквивалентную схему в виде:

U

ÂÛÕ

-

+

K

ñ

U

ÑÔ

Пересчитав К

С

U

СФ на вход, получим:

4

-

+

K

î ññ

U

ÑÔ R

ÑÔ

R

ÂÕ где К

ОСС



К



С

0

- коэффициент подавления синфазного сигнала.

Осуществим пересчет генератора напряжения в генератор тока. Для этого вводят сопротивление по синфазному сигналу R

СФ

 R

ВХ

:

1/ R

ÑÔ

K

î ññ

U

ÑÔ

-

+

R

ÑÔ

R

ÂÕ -

+ g

ñô

U

ÑÔ где g

СФ

 К

ОСС

/ R

СФ

.

5

2.

Параметры ОУ по постоянному току .

Амплитудная (динамическая) характеристика ОУ в идеальном случае симметрична относительно нуля:

U

ÂÛÕ

Амплитудная характеристика реального ОУ может быть смещена относительно нуля, как показано пунктиром. Этот эффект обусловлен двумя причинами: напряжением смещения из – за сдвига постоянных уровней выходного напряжения в усилительных каскадах; протеканием входных токов, особенно в базовых цепях ОУ на основе биполярных транзисторов. Оба эффекта учитываются введением в эквивалентную схему источников постоянного тока и напряжения.

Å

ÑÌ

I

ÑÌ

+

-

+

I

ÑÌ

-

3.

Нелинейные параметры ОУ .

6

Наличие С к приводит к нелинейному эффекту, получившему название – ограничение скорости нарастания выходного напряжения ОУ. Характеризуется данный эффект одноименным параметром, который определяется как максимальная скорость изменения U

ВЫХ

:

  dU

ВЫХ dt max





В с



 .

Ограничение скорости нарастания U

ВЫХ обусловлено конечностью тока первого каскада, который осуществляет заряд С к

. Действительно:

U

ВЫХ

 U

2

 

1

U

1

 

2

U

С 1



  dU

ВЫХ dt

  dU dt

С 1

2 max max предполагая, что R

1 велико, положим:

I

1

 I

C 1

 C

1 dU

C 1 dt

Откуда следует:

  

2

1

С

1

I

1

.

Таким образом, получим взаимосвязь между  и током первого каскада:

  

2

1

С

1

I

1

.

Эффект моделируется ограничением величины I

1

:

I

1







 g

1

 U

 I

ВХ

1 max

,  U

,  U

ВХ

ВХ



 U

U огр огр

, где U огр



I

1 max g

1

.

Графически эффект ограничения скорости нарастания можно представить так:

7

2

1

U

ÂÛÕ t

2

1 t

ВЫХ Сигнал 1 соответствует случаю dU

. Дальнейшее увеличение скорости dt max изменения входного сигнала (случай 2) приводит к нелинейным искажениям.

Пунктиром показано U

ВЫХ для идеального случая.

Второй эффект, приводящий к нелинейным искажениям в ОУ – ограничение амплитудной характеристики ОУ по питанию:

U

ÂÛÕ

+ Å

ï èò

Å

ï èò

Эффект моделируется подключением в выходную цепь нелинейного сопротивления с ВАХ вида:

U огр

 0 , 8  0 , 9 E

ПИТ

8

I

ÂÛÕ

- U

î ãð

U

î ãð

U

ÂÛÕ

Опуская каскады усиления:

I

ÂÛÕ

g

ÂÛÕ

g

9

Пример расчета параметров макромодели ОУ 140УД7.

По справочным данным имеем:



0

R

ВХ





5 

1

10 4 , 

МОм,

1





300

1

, 

2



 В/мкс,

C

K

 30 пФ, Е

ПИТ

  15

167 f

01

В.



, R

ВЫХ

20 Гц,

 50 f

02

Ом,

 3 МГц,

Опуская параметры по постоянному току и К

ОСС

, получим:

U

1

U

2

D R

ÂÕ -

+

I

1

R

1 Ñ

1

I

2

R

2 Ñ

2

I

3

R

3

U

ÂÛÕ

1.

R

ВХ

 1 МОм, C

1

 30 пФ, R

3

=50 Ом.

2.

I

1

  U

ВХ g

1

, g

1

 

1

/ R

1

, 

01

 1

R

1

C

1

3.

g

I

2



1

 

U

1 g

2

1



,

01

C

1 g

2



 1 , 13 



2

/ R

2

10

 6

, 

02



1

Ом



1

R

2

C

2

R

1

Пусть C

2

=1 пФ

 R

2





02

1

C

2

 53



, 05

265 МОм кОм ,

. g

2

 3 , 15  10  3

1

Ом

4.

I

1 max

 

C

1



2

 0 , 18 мкА .

5.

ВАХ нелинейного элемента выходной цепи:

I

- 13,5

13,5 U

ÂÛÕ

( Â )

10

6. Методы анализа радиоэлектронных устройств

6.1. Введение

При анализе и моделировании цепей проводится:

 Анализ статического режима  анализ по постоянному току;

 Анализ во временной области  анализ переходных процессов и установившегося состояния;

 Анализ в частотной области  анализ установившегося состояния;

 Спектральный анализ;

 Анализ чувствительности характеристик цепей к разбросу значений элементов.

Рассмотрим основные методы моделирования при проведении анализа различных параметров цепи.

6.2.

Анализ статического режима

При анализе статического режима используется модель в базисе переменных состояний: d X

 f ( X , V ) dt

В статическом режиме d X dt f ( X , V )



0



0

, следовательно модель примет вид:

Учитывая, что

V







V

V



~



 содержит в общем случае две компоненты – переменную и постоянную, уравнение, описывающее поведение цепи, представим как: f ( X , V



)



0 .

Для решения полученного нелинейного алгебраического уравнения используется метод Ньютона. Рассмотрим решение уравнения в простейшем случае, когда X является скаляром, то есть рассмотрим уравнение вида: f ( X )



0 .

В основе метода Ньютона – принцип линеаризации, при этом функция представляется усеченным рядом: f ( x )

 f ( x

( 0 )

)

 f



( x

( 0 )

)

 x

( 1 )

,

 x

( 1 )  x

( 1 )  x

( 0 )

.

Тогда, решается следующее уравнение относительно предполагается, что x

( 0 )

- известно из начальных условий: x

( 1 ) , при этом

f ( x

( 0 )

)

 f



( x

( 0 )

)

 x

( 1 ) 

0

  x

( 1 )   f f ( x

( 0 )

)



( x

( 0 )

)

 x

( 1 )  x

( 0 )  f f ( x

( 0 )

)



( x

( 0 )

)

.

В общем случае решение представляет итерационную процедуру.

Вычислительная схема метода записывается как: x

( k )  x

( k



1 )  f f ( x

( k



1 )

)



( x

( k



1 )

)

Процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены заданные критерии точности решения:

 x

( k )  

1

,

 f

( k )  

2

, где 

- нормы.

Обобщим полученный результат для векторной функции случае решается система нелинейных алгебраических уравнений:



 f f

1

2

(

( x x

)

)





0

0



 f m

( x



)



0 f ( X )

. В этом

Осуществим линеаризацию:













 f f f

1

2 m

(

(

( x x x

( 0 )

( 0 )

( 0 )

)

)

)





 n  i



1 n  i



1 n  i



1

 f

1

( x i

( 0 )

 f

2

 x i

( x i

( 0 )

)

)



 f



 x i m

( x i

( 0 )

 x i

)



 x

 x i

( 1 ) i

( 1 )

  x i

( 1 )







0

0

0

, где n

– размерность вектора

X .

В матричном виде представим : f ( x

( 0 )

)



J ( x

( 0 )

)

 x

( 1 ) 

0 , где

J

– якобиан функции

Для k – ой итерации получим: f ( x

( k



1 )

)



J ( x

( k



1 )

)

 x

( k )  x

( k )  x

( k



1 ) 

J



1

( x f ( X ) .

( k



1 )

) f

0



( x

( k



1 )

) .

Модификация метода Ньютона в матричной форме получила название метода Ньютона – Рафсона. Достоинством метода является сравнительно высокая скорость сходимости – квадратичная, но только при удачном выборе начального приближения, т.е.

в области решения x

0

:

x

( k )  x

0



C x

( k



1 )  x

0

2

, где 0  С 

1.

К недостаткам метода следует отнести:

1.

Зависимость сходимости от выбора начального приближения – ограниченная область сходимости.

2.

Необходимость вычисления якобиана.

В этой связи вводят дополнительные меры, модифицирующие исходный алгоритм.

1.

Для улучшения сходимости вводят специальный коэффициент 

, зависящий от удаленности от решения: x

( k )  x

( k



1 )  

( k )

J k



1



1 f ( x

( k



1 )

)

2.

Используются методики, позволяющие избежать вычисления якобиана.

Для этого в простейшем случае скалярной функции используется метод секущих, в котором производная аппроксимируется конечными разностями: x

( k )  x

( k



1 )  f f



(

( x x

( k



1 )

( k



1 )

)

)

 x

( k



1 )  f ( x

( k



1 )

) a k



1

, где a k



1

 f ( x x

( k



1 ) )

( k



1 )



 x f ( x ( k



2 ) )

( k



2 )

.

К сожалению, в общем случае метод секущих нельзя непосредственно обобщить для n

–мерного случая, поскольку не определена операция деления на вектор (имеется в виду знаменатель в выражении для a k



1

).

Обобщенный алгоритм получил название алгоритма Бройдена. Обозначим матрицу, аппроксимирующую якобиан,

A k



1

. Тогда: x

( k )  x

( k



1 ) 

A k



1



1

 f ( x

( k



1 )

) .

Для матрицы

A k



1 можно записать:

A k



1

 x ( k



1 )  f ( x ( k



1 ) )

 f ( x ( k



2 ) ) .

Рассмотрим итерационную процедуру определения матрицы обеих частей последнего уравнения

( A k



1



A k



2

)

 x

( k



1 )  f ( x

( k



1 )

)



A k



2

 x

( k



1 ) f ( x

( k



2 )

)



:

A k



2

 x

( k



1 )

.

A k



1

. Вычтем из

В левой части необходимо избавиться от правую части на скаляр:

 x

( k



1 ) t   x

( k



1 )

, где t

– операция транспонирования. Тогда:

 x

( k



1 ) . Для этого умножим левую и

( A k



1



A k



2



A k

 x

( k



2

)

 x



1 )

[

 x

( k



1 )

[

 x

( k



1 ) t  

( k



1 ) t x

( k



1 )

 

] x

( k



1 )

]



[ f ( x

( k



1 )

)

 f ( x

( k



2 )

)][

 x

( k



1 ) t

Перепишем левую часть, оставив правую часть без изменений:

( A k



1



A k



2

)[

 x

( k



1 ) t   x

( k



1 )

]

  x

( k



1 )  

  x

( k



1 )

]



Данный искусственный прием позволяет сократить левую и правую часть на

 x

( k



1 ) , тогда:

(



A k



1

A k



2





A x k



2

( k



1 )

)[



 x

 x

( k



1 ) t

( k



1 ) t

  x ( k



1 ) ]



[ f ( x ( k



1 ) )

 f ( x ( k



2 ) )]

 x ( k



1 ) t 

Откуда получаем итерационную формулу Бройдена:

A k



1



A k



2



[ f ( x

( k



1 )

)

 f ( x

( k



2 )

 x

)]

 x

( k



1 ) 

( k



1 ) t

 x



A

( k



1 ) t k



2

 x

( k



1 )   x

( k



1 ) t

.

Таким образом, при использовании алгоритма Бройдена только на 0–ой итерации определяется якобиан, а далее используется итерационная формула: f ( x )

 f ( x ( 0 ) )



A

0

 x ( 1 ) , где А

0

= J

0

 x

( 1 )  x

( 0 ) 

A

0



1 f ( x

( 0 )

)

, …, x

( k )  x

( k



1 ) 

A k



1



1 f ( x

( k



1 )

) .

6.3.

Анализ радиоэлектронных устройств по временной области

6.3.1.

Общие характеристики методов интегрирования

При анализе во временной области, как правило, используется математическая модель в базисе переменных состояний: d d x t

 f ( x ( t )) , x ( 0 )  x

0

Причем при интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уравнений осуществляется аппроксимация производных конечными разностями: d d x t

 x k  1 h

 x k

В зависимости от представления правой части последнего выражения все методы интегрирования делятся на две группы :

1.

Явные методы: x k  1 h

 x k  f

2.

Неявные методы: x k  1 h

 x k  f

(

( x x k k

)

 1

)

Во втором случае, то есть при использовании неявных методов, необходимо решать систему алгебраических уравнений для отыскания x k  1

, поскольку x k  1 входит как в левую, так и в правую часть уравнения.

Выбор явного или неявного метода зависит от типа решаемой задачи. Приведем простейшую схему вычислительного метода при анализе нелинейной цепи:



 d d x t

 f

F

( x

(

, x v

,

, v w

,

) w )

,

 x (

0

0

1.

На первом шаге определяется x

0

 F ( x

0

, v

0

, w

0

)  w

0

:

0

)  x

0

Уравнение решается относительно

2.

Определяется значение w , определяется значение w

0

. x

1

, соответствующее первому шагу интегрирования: x

1

 x

0

 h f ( x

0

, v

0

, w

0

)

3.

Определяется следующее значение

( x

1

, v

1

, x

1

:

F w

1

)  0  w

1

4.

Определяется значение x

1

: x

2

 x

1

 h f ( x

1

, v

1

, w

1

)

И так далее.

Рассмотрим далее случай линейной системы: d d t x

 A x  B x

Исследования свойств матрицы А позволяет определить особенности поведения анализируемой цепи. Дадим определение:

Спектр матрицы А – множество собственных значений матрицы А . Спектр собственных значений квадратичной матрицы А порядка n совпадает с множеством корней алгебраического уравнения n ной степени вида: det [ A  E ] = 0, где det – определитель,

A 







 a

11

 a

 n 1



 a a



1 n nn











, E 











1

0



0

1 









- единичная матрица.

Выделим некоторые важные свойства собственных значений матрицы.

1.

Если для всех  к выполняется Re  к

<0, k =1...

n , то цепь устойчива. Данные условия являются необходимыми и достаточными.

2.

Если существует хотя бы один  к

, для которого Im  к

 0, то воздействие на такую цепь вызывает переходный процесс, который будет иметь колебательный характер. Если для всех  <0, то колебания будут затухающими.

к при этом Re  к

3.

Если существует хотя бы один  к

, для которого | Im  к

| >> |Re  к

|, то время переходного процесса будет велико. Цепи такого класса называют высокодобротными.

4.

Если все  к

Величину  к

=Re

=1/|  к

 к

<0, то переходный процесс будет апериодический.

| называют к ой постоянной времени цепи. Множество  к определяет скорость протекания переходных процессов.

6.3.2. Погрешность метода решения систем дифференциальных уравнений

Ведем следующие обозначения: x ( t n

)

- вектор точного решения; x n

- вектор решения, полученный на n ом шаге интегрирования ;

 n

 x ( t n

)  x n

- полная погрешность метода решения на n ом шаге интегрирования.

В полную погрешность входят три составляющие:

1.

Погрешность округления 

0

.

2.

Погрешность аппроксимации метода 

A

. Очевидно, что замена производной конечными разностями вносит погрешность в вычисления x i на каждом шаге интегрирования.

3.

Поскольку ошибка аппроксимации накапливается, то возникает третья составляющая полной погрешности – погрешность на предыдущих шагах интегрирования 

∑

.

Таким образом, обобщая можно записать:

 n

 

0

 

A

 



.

Наибольший вклад обусловлен составляющей 

A

. Дадим строгое определение (для одномерного случая):

Погрешность аппроксимации метода – величина ошибки метода на одном шаге интегрирования:



A

=| x ( t n

) – x n

| ,

При условии, что x n-1

 x ( t n-1

), где x ( t n

) - точное решение, а x n получено при отсутствии ошибок округления.

Поскольку x k+1

 x ( t k+1

) за исключением случая x

0

= x ( t

0

) начальных условий, то для



A получим:



A

=| x ( t

1

)  x

0

| ,

Таким образом, истинная погрешность аппроксимации определяется только на первом шаге.

Главный член погрешности аппроксимации определяет порядок метода интегрирования. Если выполняется:



A

 Ch p+1 , 

A

=0( h p+1 ), где С – постоянная, определяемая свойствами задачи, h шаг интегрирования, то метод р

–ого порядка. Отметим, что h << 1, поэтому уменьшение 

A при заданном h обеспечивается при большом р.

Выделим наиболее практически значимые методы интегрирования и приведем их вычислительные схемы на примере простейшей одномерной задачи:

I. Одношаговые методы .

В этом случае для получения значения x на к +1ом шаге используется значение x лишь на предыдущем к ом шаге.

1.

Явный метод Эйлера, р =1: x k+1

= x к

+ h f( x k

),

2.

Неявный метод Эйлера, р =1: x k+1

= x к

+ h f( x k+1

),

3.

Метод трапеций, р =2: x k+1

= x к

+ h /2[f( x k+1

)+f( x k

)],

Метод трапеций является неявным, двух этапным, поскольку требуется два вычисления правой части.

4.

Метод Рунге – Кутта, р зависит от количества вычислений правой части.

Наиболее популярный четырехэтапный метод при четырех вычислениях правой части. При этом р =4: x k+1

= x к

+ h /6( k

1

+2 k

2

+2 k

3

+ k

4

), где k

1

=f( x к

), k

2

=f( x к

+ h /2 k

1

), k

3

=f( x к

+ h /2 k

2

),

В этом случае для получения решения x на к ом шаге используется значение x к

, x к+1

,… x к+1 -m

, вычисленные на m предыдущих шагах.

Обобщенную вычислительную схему многошагового метода можно представить как: k

4

=f( x к

+ h /2 k

3

).

Метод Рунге – Кутта является явным.

II.

Многошаговые методы . a

0 x k  1

 a

1 x k

 h

  a m x k  m  1  b

0 f ( x k  1

)  b

1 f ( x k

)  ...



 b m f ( x k  1  m

)

1.

Явный метод Адамса, р =2…5: a

0

=  a

1

=1, a

2

= a

3

=… = a m

=0, b

0

 0,

x k  1

 x k

 h m

 n  0 b n f ( x k  1  n

)

2.

Неявный метод Адамса, р =2…5:

Условия для a i аналогичны предыдущему случаю, но b

0

=0.

3.

Метод Гира, р =2…5: b

1

= b

2

=…= b m

=0, b

0

 0. m

 n  0 a n x k  1  n

 h b

0 f

Метод Гира является неявным.

( x k  1

)

6.3.3.

Реализуемая точность решения

Ошибка на n –ом шаге интегрирования определяется тремя составляющими, основной вклад из которых вносит ошибка аппроксимации:

 n

 

0

 

A

 



 

A

,



A

 x ( t n

)

 x n

.

При этом 

A может быть оценена как:

 

Ch p



1

.

A

За счет выбора малого шага интегрирования h можно обеспечить малость абсолютной ошибки. Однако, возникает вопрос: какова относительная ошибка?

Действительно, если 

A

=0,001, то при x ( t n

) =

1000 точность решения высока, а при x ( t n

) =0,002

– очень низка. Таким образом, при выборе максимального шага интегрирования h max необходимо контролировать относительную ошибку. Для этого используют метод «половинного шага» (то есть проводят повторное интегрирование из той же точки, но с половинным шагом): x ( t n

)

 x n

 

A

,

При первом интегрировании получим: x ( t n

)

 x n

( h )



Ch p



1

, при повторном интегрировании получим: x ( t n

)

 x n

( h

2

)



C ( h

2

) p



1

.

Вычтем из первого уравнения второе:

0

 x n

( h )

 x n

( h

2

)



Ch p



1 

C ( h

2

) p



1

, x n

( h )

 x n

( h

2

)



Ch p



1

( 1



2

1 p



1

) , x n

( h )

 x n

( h

2

)

 

A

( 1



2

1 p



1

) .

Таким образом, получим:



A

 x n

( h )



2 p



1 x n



1

( h

2

)



2 p



1

.

Отсюда определяется относительная погрешность d :

d





A h

 x n

( h )

 h ( 2 p



1 x n

( h

2

)



1 )



2 p



1

.

Если d больше допустимой величины, шаг необходимо уменьшить. Как правило, используют уменьшения шага в два раза. Это дает возможность получить оценку 

A при половинном шаге, использовав уже известный результат:



A

 Сh p



1  x n

( h )



2 p



1 x n



1

( h

2

)



2 p



1

.

Разделим левую и правую части на

2 p



1

:

С ( h

2

) p



1  x n

( h )



2 p



1 x n



1

( h

2

)

.

Таким образом, для ошибки при половинном шаге:



A h





2

A

( h p



1

)

.

2

Откуда для относительной ошибки: d h





A h h

2





2

A

( h ) p  h 2

2

6.3.4.

Устойчивость численного метода интегрирования

Метод называется абсолютно устойчивым для заданного шага h и заданного уравнения, если полная погрешность остается ограниченной при n

 

:

 n

  при n

 

.

В неустойчивых методах погрешность решения увеличивается от шага к шагу, что приводит к искажению результатов и, возможно, к переполнению разрядной сетки.

Устойчивость метода интегрирования проверяется на тестовом уравнении, что дает возможность исключить из определения понятие «заданное уравнение». Таковым тестовым является уравнение вида: dx

  x , dt решение которого:

x



Ce

 t

, где  в общем случае комплексное число.

Рассмотрим условия устойчивости простейших методов интегрирования.

1.

Явный метод Эйлера.

Вычислительная схема метода: x n



1

 x n

 hf ( x n

) для тестового уравнения получим: x n



1

 x n

 h

 x n



( 1

  h ) x n



( 1

  h ) n x

0

.

Чтобы x n



1 было конечно при условия: n

  необходимо потребовать выполнения x n



1 x n



1 , откуда

1

  h



1 .

На комплексной плоскости решению данного неравенства соответствует заштрихованная область:

Im( 

Re( 

- 2

- 1

Отсюда, в частности, следует, что чем больше  , тем меньше должен быть шаг h .

2.

Неявный метод Эйлера.




1

 x n

 hf ( x n



1

) . для тестового уравнения получим: x n



1

 x n

 h

 x n



1

.

Откуда для x n



1

: x n



1



1



1

 h

 x n



( 1



1

 h ) n x

0

.

Условие сходимости: x n



1 x n



1



1

 h



1 .

На комплексной плоскости решению данного неравенства соответствует заштрихованная область:

Im( 

1 2

Re( 

Также как и в предыдущем случае при больших  необходимо уменьшить h .

3.

Метод трапеции.




1

 x n

 h

2

[ f ( x n



1

)

 f ( x n

)] для тестового уравнения получим: x n



1

 x n

 h

2



( x n



1

 x n

) .

Откуда для x n



1

: x n



1



1



1



 h

 h

/ 2

/ 2

 x n



1



1



 h

 h /

/ 2

2 n

 x

0

.

Условие сходимости:

x n



1 x n



1



1



 h

 h /

/ 2

2



1 .

На комплексной плоскости решению неравенства соответствует вся левая полуплоскость:

Im(

 h)

1

2

Re(

 h)

4.

Метод Рунге – Кутты.

Для метода 4 ого порядка область устойчивости представляет циклоиду:

Im( 

- e

1

2

Re( 

Необходимо отметить, что для устойчивой цепи решение х должно быть затухающим, т.е. Re

 <0. Отсюда следует, что условия устойчивости методов трапеции и неявного метода Эйлера будут выполняться при любом шаге h

. То есть неявные методы в этом случае будут абсолютно устойчивы.

Явные методы являются относительно устойчивыми. Условия устойчивости налагают ограничения на выбор шага интегрирования.

6.3.5.

Особенности решения жестких систем

Жесткими называют системы уравнений, в которых медленные процессы с малыми производными сочетаются с быстрыми процессами с большими производными. Время, в течение которого быстрые процессы дают существенный вклад в решение, называется пограничным слоем.

Рассмотрим следующий пример:

R

1

C

1

C

2 R

2

Проведем анализ схемы в базисе переменных состояния:

 dx

1 dt



 dx

2 dt







1

R

1

C

1

1 x

1

R

1

C

2 x

1





R

1

1

1

C

R

12

C

2

1 x

2 x

2

,

R

12



R

1

R

1



R

2

R

2

, x

1



U

C 1

, x

2



U

C 2

.

Положим следующие постоянные времени:

R

1

C

1



1 , R

1

C

2



1 , R

12

C

1



0 , 001 .

Тогда А матрица цепи имеет вид:

A









1

1



1

1000





Определим собственные числа: det[ A

 

E ]



0 .







1

1

 

1



1000

 







0

 

2 

1001

 

999



0 , решения уравнения:



1

 

1 ,



2

 

1000 .

Таким образом, решение системы дифференциальных уравнений таково:





 x x

2

1





A

1 e

 t

A

3 e

 t





A

2 e



1000 t

A

4 e



1000 t

.

Решение содержит «медленную» составляющую составляющую ~ e



1000 t

.

~ e

 t и «быструю»

X e - 1000t e

- t t

При t >10 -2 решение полностью определяется «медленной» составляющей, интегрирование которой можно проводить с большим шагом. Однако, рассмотренные условия устойчивости могут накладывать ограничения на увеличение h

. Это может приводить к неоправданно большим вычислительным затратам при получении решения вне пограничного слоя. Например, для рассмотренной схемы при использовании явного метода Эйлера получим: h





C max

.

Для явного метода Эйлера С =2, следовательно: h



2

1000



0 , 002 .

Таким образом, шаг ограничен и является малым. Поэтому для анализа жестких систем выбирают неявные методы с открытой областью устойчивости. Это дает возможность увеличивать шаг в соответствии с протеканием медленного процесса.

Кроме того, для решения жестких систем используются так называемые жестко устойчивые методы. Дадим определение:

Метод жестко устойчив, если он абсолютно устойчив при больших

Re(

 h )

(область

R

1) и точен при малых

Re(

 h

) (область

R2):

R

1

R

2

Im( 

Re( 

Другими словами, метод сохраняет устойчивость при интегрировании быстрого процесса, т.е. в области

R

1, но при этом точность решения для этой компоненты не высока. Зато в области R 2, т.е. для медленного процесса, обеспечивается высокая точность.

Пример жестко устойчивого метода – метод Гира.

6.3.4.

Анализ периодических стационарных процессов в высокодобротных цепях

Анализ стационарных режимов в высокодобротных цепях, как правило, связан со значительными вычислительными затратами. Эти затраты являются следствием большого, по сравнению с периодом колебаний в установившемся режиме T , времени затухания переходного процесса.

При добротности Q  100 для затухания переходного процесса необходимо t  150 Т . Если положить за один период  100 шагов интегрирования, то на интегрирование всего переходного процесса потребуется  15000 шагов. В таких условиях становится актуальной задача «подавления» переходного процесса. Оказывается, это возможно при соответствующем выборе начальных условий.

Рассмотрим пример, поясняющий идею метода:

R L

E

C

E  V cos  t

Составим систему уравнений состояния:





 dU dt dI dt

L

C







1

C

I

L

1

L

U

C



R

L

I

L



1

L

E

Система сводится к уравнению вида: d 2 U

C dt 2



R

L dU

C dt



1

LC

U

C



V

LC cos  t .

Решения представляются как:

U

C

I

L

 K

1 e p

1 t  K

2 e p

2 t

 CK

1 p

1 e p

1 t

 V

C cos(

 CK

2 p

2 e p

2 t 



C t



  )

V

C sin(  t   )

,

V

C



V

( 1   2 LC ) 2  (  RC ) 2

,   arctg

 RC

1   2 LC

, p

1

, p

2

- корни характеристического уравнения.

Коэффициенты К 1 и К 2 определяются из начальных условий. Причем в общем случае для этого рассматриваются и решаются алгебраические уравнения вида:

U

C

( 0 )  K

1

 K

2

 V

C cos  ,

U

C

( 0 )  K

1 p

1

C  K

2 p

2

C  C  V c sin  .

В полученном решении слагаемые, пропорциональные exp , соответствуют затухающему переходному процессу. Откуда следует, что если определить К

1 и

К

2 не из общего условия для t =0, а из условия “подавления” переходной составляющей, то необходимо положить К

1

= К

2

=0. Таким образом, необходимо определенным образом сформировать начальные условия. Из приведенного примера видно, что начальные условия должны быть равны значению установившегося колебания в начале периода.

Итак, рассмотрим схему под воздействием внешнего периодического источника с периодом Т . d x dt

 f ( x , t ) , x ( 0 ) - начальные условия.

вида:

Интегрируя от t

0 до t , получим эквивалентное интегральное уравнение x ( t )  x ( t

0

)   t t

0 f ( x ,  ) d  , t

0

 0 .

Запишем уравнение за период t  t

0

 T : x ( t )  x ( t

0

 T )  x ( t

0

)  t

0

 t

 T

0 f ( x ,  ) d  .

Первое слагаемое в данном уравнении соответствует некоторым начальным условиям, соответствующим началу периода колебаний.

Обозначим для краткости x ( t

0

)  x

0

. Тогда, решаемая задача может быть сформулирована следующим образом:

Найти такое значение x

0

, при котором переходная составляющая решения будет близка к 0.

Обозначим правую часть последнего уравнения как:

F ( x

0

)  x

0

 t

0



 T t

0 f ( x ,  ) d  .

Тогда, уравнение можно переписать в виде: x ( t

0

 T )  F ( x

0

) , но в стационарном состоянии x ( t

0

 T )  x

0

.

То есть уравнение можно переписать как: x

0

 F ( x

0

) .

Таким образом, определение вектора начальных условий решению нелинейного уравнения вида: x

0 сводится к

x

0

 F ( x

0

)  0 .

Решение проводится методом Ньютона – Рафсона.

Рассмотрим одномерный случай: x

0

 F ( x

0

)  0 .

Обозначим левую часть x

0

 F ( x

0

)  g ( x

0

) и перепишем уравнение: g ( x

0

)  0 , тогда, по схеме Ньютона получим: g ( x

0

( k ) )  g  ( x

0

( k ) )( x

0

( k  1 )  x

0

( k ) )  0 , x ( k

0

 1 )  x ( k

0

)  g g

(

 ( x

0

( k x (

0 k

)

)

)

)

.

Подставляя исходные обозначения: x ( k

0

 1 )  x

0

( k )  x (

0 k )

1 



F

F ( x (

0 k )

 ( x (

0 k ) )

)

.

Наконец, обобщая в матричной форме: x

0

( k  1 )  x

0

( k )  ( E  F  ( x

0

( k ) ))  1 ( x

0

( k )  F ( x

0

( k ) )) , где Е – единичная матрица, F  ( x (

0 k ) ) - якобиан.

Рассмотренный метод является универсальным и может использоваться для моделирования как линейных, так и нелинейных цепей. Однако, требует вычисления якобиана на каждой итерации, что представляет трудоемкую процедуру. Для вычисления якобиана используют метод приращений. Таким образом, вычислительная схема описывается следующим алгоритмом: x

0

( 0 )  x ( 0 ) . 1.

Вычисляется F ( x

0

( 0 ) ) при начальных условиях

Интегрирование проводится за период Т .

2.

Задается приращение  x ( 0 ) и вычисляется

F ( x

0

( 0 )   x

0

( 0 ) ) .

3.

Определяется якобиан как отношение приращения функции к приращению аргумента.

4.

По схеме ньютона определяется x

0

( 1 ) .

5.

Алгоритм повторяется для k =2… n .

Если рассматривается линейная система, то можно также использовать метод подстановки или гармонического баланса. При этом установившееся колебание аппроксимируется с помощью ряда Фурье, так как предполагается известным период колебания Т : x y

( t ) установившееся (стационарное) колебание аппроксимируется как:

x y

( t )  k

N



 0

( a k cos

2 

T kt  b k sin

2 

T kt ) .

Тогда, после подстановки x y

( t ) в исходную систему, получим: d x y

( t ) dt

 f ( x y

, t ) , k

N



 0

( 

2 

T k a k sin

2 

T kt 

2 

T k b k cos

2 

T kt ) 

 f

N

(

 k  0

( a k cos

2 

T kt  b k sin

2 

T kt )) .

Если f линейная функция, то уравнения преобразуются к виду: k

N 

 0

( H k cos

2 

T kt  G k sin

2 

T kt )  0 , где H k и G k функции от выполняются условия: a k и b k

. Последние выражение справедливо, если

H



G k k





0

,

0 решив данную систему, находим a k и b k

.

Метод становится трудоемким, если f – нелинейная функция. В этом случае вместо систем линейных алгебраических уравнений необходимо решать нелинейные уравнения, что требует применения метода Ньютона.

6.4.

Моделирование радиоэлектронных устройств в частотной области

6.4.1.

Основные свойства и расчет передаточных функций

Один из основных параметров линейной цепи, характеризующий цепь в установившемся состоянии – передаточная функция Т ( р ), где р – комплексная частота. Передаточная функция определяется отношением отклика цепи у ( р ) к воздействию:

T ( p )  y ( p )

. x ( p )

Перечислим некоторые свойства Т ( р ):

1.

Передаточная функция представляет отношение полиномов:

T ( p )  i m



 0 i n



 0 a i b i p i p i

, n  m ,

n – называют порядком передаточной функции.

2.

a i

, b i

- вещественные коэффициенты, b i

>0, i = 0… n

3.

Т ( р ) является дробно–рациональной функцией р , следовательно полностью определяется корнями полиномов числителя и знаменателя.

Корни числителя получили название нулей передаточной функции, корни знаменателя – полюсов передаточной функции.

Полюса передаточной функции устойчивой цепи расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости р или на оси j  . В последнем случае полюса должны быть простыми, а вычеты в них положительными.

По известной передаточной функции определяются:

1.

АЧХ, ФЧХ цепи:

T ( j  ) ,  (  ) , T ( j  )  T ( j  ) e j  ,

  arctg

Im( T (

Re( T ( j  )) j  ))

.

2.

Временные характеристики цепи: g ( t ) – импульсная и h ( t ) – переходная функции. Временные и частотные характеристики цепи связаны преобразованием Лапласа:

T ( p ) 





0 g ( t ) e  pt dt , g ( t ) 

1

2  j

C

C





 j  j 

T ( p ) e pt dp , где С :





  g ( t ) e  ct dt   .

Существует два основных метода расчета передаточных функций:

1.

По математической модели в базисе переменных состояний.

2.

По математической модели в базисе узловых потенциалов.

Рассмотрим расчет Т ( р ).

1.

Рассмотрим первый подход. Итак, задана линейная цепь: d X dt

 A X  B V , X ( 0 )  X

0

.

Составим уравнение для выходного отклика: y  C X  D V .

Предположим, что воздействует один источник и ищется отклик в виде одного выходного колебания. Тогда:

y  y , V  X

ВХ

.

Уравнения примут вид: d X dt

 A X  B X

ВХ y  C t X  dX

ВХ

, где C t  [ C

1

 C n

] - вектор–строка, d – скаляр.

Преобразуем по Лапласу первое уравнение: p X ( p )  X

0

 A X ( p )  B X

ВХ

( р ) .

Положим начальные условия нулевыми: p X ( p )  A X ( p )  B X

ВХ

( р ) ,

( pE  A ) X ( p )  B X

ВХ

( р ) ,

X ( p )  ( pE  A )  1 B X

ВХ

( р ) .

Преобразуем по Лапласу второе уравнение y ( p )  C t X ( p )  dX

ВХ

( p ) , и подставим выражение для X ( p ) . Отсюда для отклика у(р) получим: y ( p )  C t ( pE  A )  1 B X

ВХ

( р )  dX

ВХ

( р ) .

Откуда для передаточной функции:

T ( p )  y ( p )

X

ВХ

( р )

 C t ( pE  A )  1 B  d

2.

Рассмотрим второй подход. По прежнему задана линейная цепь:

1

Y(p)

2

I

1

Математическая модель в базисе узловых потенциалов имеет вид:

[ Y ( p )] 

 U









U

U

1

2 n



(

(

( p ) p ) p )













 I









1

(

0



0 p ) 









Передаточная функция определяется как:

T ( p ) 

U

2

U

1

(

( p p )

)

.

Следовательно, необходимо решить систему уравнений. Для этого используют метод Гаусса, либо правила Крамера:

U

1

( p ) 

I

1



0

Y

12

 Y

1 n

Y n 2



 Y nn  I

1







11 ,

U

2

( p ) 

Y

11



Y n 1

I

1





0





Y

1 n

Y nn   I

1







12 .

Таким образом, передаточная функция:

T ( p )  





12

1

.

6.4.2.

Расчет частотных характеристик линейной цепи

Расчет частотных характеристик АЧХ и ФЧХ может осуществляться либо непосредственно по математическим моделям в базисе переменных состояний, либо по уже вычисленной передаточной функции.

1.

При гармоническом воздействии в установившемся состоянии все переменные в цепи – также гармонические. Представим входящие в уравнения переменные в комплексной форме и получим модель относительно комплексных амплитуд для установившегося процесса:



 d X y dt





С

A t X

X  B X

 dX

ВХ

ВХ , j  y (

X ( j  ) j 



)

С

 t

A X (

X ( j  j 

) 

)  B X dX

ВХ

(

ВХ

( j  j

)

 )

,

T ( j  )  y (

X

ВХ j 

(

) j  )

.

Положим X

ВХ

( j  )  1 , тогда X

ВХ

( j  )  y ( j  ) :





 T j  X

( j 

(

) j 



)

С

 t

A X

X (

( j  j 

) 

)  d

B

.

Выделим реальную Re и мнимую Im части:

X ( j  )  Re X  j Im X ,

T ( j  )  Re T  j Im T .

Представим уравнения в виде пары уравнений для реальных и мнимых частей :

 









Re

Im

X

X



 A Re

A Im X

X  B

,

 Re





T

Im



T

C

 t

C

Re X t Im



X d





0

0

.

Первая система решается относительно Re X , Im X , результат подставляется во вторую систему, которая решается относительно Re T ,

Im T .

Таким образом, определяется АЧХ и ФЧХ:

T  (Re T ) 2  (Im T )

2

,

  arctg

Im T

Re T





2

( 1  sign Re T ) .

В этом случае расчет частотных характеристик осуществляется непосредственно по математической модели.

2.

Предположим, что Т ( р ) известна:

T ( j  )  a m

( b n

( j  j 

) m

) n



 a m  1

( b n  1

( j  j 

) m  1

) n  1

  

   a

0 b

0



P

1

Q

1

( 

(  )

) 

 jP

2

(  jQ

2

)

(  )

,

P

1

(  )  a

0

 a

2

 2  a

4

 4  

P

2

(  )  a

1

  a

3

 3  a

5

 5  

Q

1

(  )  b

0

 b

2

 2  b

4

 4  

Q

2

(  )  b

1

  b

3

 3  b

5

 5  

Тогда, для АЧХ и ФЧХ получим:

T ( j  ) 

P

1

2

Q

1

2





P

2

2

Q 2

2

,

T ( j  ) 

( P

1

 jP

2

Q

1

2

)( Q

1

 Q

2

2

 jQ

2

)



( P

1

Q

1

 P

2

Q

2

Q

1

2

) 

 j ( P

2

Q

2

2

Q

1

 P

1

Q

2

)

,

 (  )  arctg

P

2

Q

1

P

1

Q

1





P

1

Q

2

P

2

Q

2





2

( 1  sign ( P

1

Q

1

 P

2

Q

2

)) .

Оценим трудозатраты обоих алгоритмов.

Во втором случае основные трудозатраты определяются операцией инвертирования матрицы ( рЕ – А ). Можно показать, что если матрица А имеет порядок n * n , то количество «длительных» операций – умножения и деления – составит ~ n 4 .

В первом случае необходимо решать методом Гаусса систему линейных уравнений относительно Re X и Im X , то есть систему с размерностью 2 n .

Трудозатраты метода Гаусса составляют ~

( 2 n ) 3



8 n 3 . При этом вычисления

3 3 проводятся в каждой точке частотного диапазона. Если точек m , то общее число вычислений ~

8

3 mn 3 . Таким образом, если m – мало, то выгоднее осуществлять расчет по первому методу, если m велико – по второму.

6.4.3. Алгоритм вычисления временных характеристик по частотным характеристикам

При вычислении временных характеристик РЭУ, в частности импульсной характеристики g ( t ) , по известным частотным характеристикам используется обратное преобразование Лапласа: g ( t )



2

1

 j c

 c



 j



T j



( p ) e pt dp , где по

прежнему T ( p ) передаточная функция. Напомним, что импульсная характеристика соответствует отклику цепи y

ВЫХ

( t ) на воздействие x

ВХ

( t ) в виде  функции: y

ÂÛÕ

( t )

 t



0 g ( t

 

) x

ÂÕ

(



) d



, при x

ВХ

( t )   ( t ) , с учетом фильтрующего свойства  функции, получим: y

ВЫХ

( t )  g ( t ) .

Аналитические методы отыскания g ( t ) основаны на разложении

T ( p )  A ( p ) / B ( p ) на элементарные дроби, нахождении корней полиномов

A ( p ), B ( p ) и применении теоремы Коши о вычетах: g ( t )



2

1

 j c c





 j

 j



A ( p )

B ( p ) e pt dp

  p k

Re sT ( p ) e pt

.

Например, в простейшем случае некратных полюсов получим: g ( t )

  i





A ( p ) p

B (

 p ) p i



 p

 p i e p i t

, где суммирование ведется по всем полюсам T ( p ) .

Для схем, передаточные функции которых задаются полиномами высоких степеней, отыскание корней полиномов T ( p ) представляет сложную задачу.

Поэтому для определения g ( t ) используются численные методы. Рассмотрим обратное преобразование Лапласа от преобразование Фурье:

T ( p ) при p  j  , т.е. обратное

g ( t )



1

2







 

T ( j



) e j

 t d

 

1

2













Re T ( j



)

 j Im T ( j



)

 cos(

 t )

 j sin(

 t )

 d

  g ( t )



1

2







 

 

Re T ( j



) cos(

 t )



Im T ( j



) sin(

 t ) Re T ( j



) sin(

 t )



Im T ( j



) cos(

 t )

  d



Разделим интеграл на две части: g ( t )



I

1



I

2





1

2



0



 

 

Re T ( j



) cos(

 t )



Im T ( j



) sin(

 t ) j Re T ( j



) sin(

 t )



Im T ( j



) cos(

 t )

  d

 



1

2



0



 

 

Re T ( j



) cos(

 t )



Im T ( j



) sin(

 t )

 

Re T ( j



) sin(

 t )



Im T ( и осуществим в первом интеграле I

1 замену переменной вида:     j



) cos(

 t )

  d



. Тогда, получим:

I

1





1

2



0



 



Re T (

 j



) cos(

  t )

Было показано, что Re T ( j  )



Im T (

 j



) sin(

  t )

 

Re T (

 j



) sin(

  t )



Im T (

 j



) cos(

  t )

 d

 является четной, а Im T ( j  ) нечетной функциями 

, поскольку выполняются соотношения:

Re T ( j



)



F

RE

(

 2

) , Im T ( j



)



F

IM

(



) .

Следовательно, имеют место следующие выражения:

Re T (  j  )  Re T ( j  ) , Im T (  j  )   Im T ( j  ) .

Таким образом, для g ( t ) получим:

 g ( t )

1

2





I

1



I

2



 



Re

0



T ( j



) cos(

 t )



Im T ( j



) sin(

 t )

 



Re T ( j



) sin(

 t )



Im T ( j



) cos(

 t )

 d

 



1

2







Re

0



T ( j



) cos(

 t )



Im T ( j



) sin(

 t ) j Re T ( j



) sin(

 t )



Im T ( j



) cos(

 t )

 d

 



1







Re

0



T ( j



) cos(

 t )



Im T ( j



) sin(

 t )

 d



Воспользуемся далее принципом причинности, другими словами тем, что g ( t )  0 при t  0 . То есть g (  t )  0 и

, следовательно

, справедливо тождество вида:

1



0



 

Re T ( j



) cos



(

 t )



Im T ( j



) sin



(

 t )

 d

 

0



1



0







Re T ( j



) cos(

 t )



Im T ( j



) sin(

 t )

 d

 

0



Re T ( j



) cos(

 t )

 

Im T ( j



) sin(

 t ) .

Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для g ( t ) : g ( t )



2







0

Re T ( j



) cos(

 t ) d



.

Ограничив верхний предел интегрирования величиной 

В

  , перейдем от несобственного интеграла к собственному интегралу: g ( t )



2





 Â

0

Re T ( j



) cos(

 t ) d



, причем параметр 

В выбирается из условия:







Â





0

Â

Re T ( j



) d



Re T ( j



) d



 

, где 

- необходимая точность интегрирования. Простейший подход к вычислению полученного интеграла – кусочно

линейная аппроксимация

Re T ( j  ) . В принципе, можно использовать интерполирование Re T ( j  ) , но возникает проблема выбора порядка интерполяционного полинома.

Действительно, ошибка решения интерполяционной задачи будет определять ошибку интегрирования, поэтому порядок полинома должен быть большим, особенно при больших 

В

. При кусочно линейной аппроксимации интервал интегрирования разбивается на n частей, а функция Re T ( j  ) представляется двумя членами ряда: g ( t )



2





Â

0



Re T ( j



) cos(

 t ) d

 



2

 i



0

 i n  

 i



1









Re T ( j

 i

)

 d Re T ( d

 j



)

   i

(

   i

)







 cos(

 t ) d

 



2

 i



0

 i n  

 i



1







Re T ( j

 i

)



Re T ( j



 i



1 i



1

)





Re

 i

T ( j

 i

)

(

   i

)





 cos(

 t ) d



Обозначим: a i



Re T ( j

 i



1

)



Re T ( j

 i

 i



1

  i

)

Тогда для импульсной характеристики получим: g ( t )



2

 i n 



0









Re T ( j

 i

)

 a i

 i



 i

 i





1 cos

 td

  a i

 i 

 i



1

 cos

 td









.

Расчет табличных интегралов сложностей не представляет.

7. Анализ чувствительности характеристик цепи к разбросу значений элементов

7.1. Основные определения

По ряду причин, основными среди которых являются:

разброс номинальных значений параметров элементов из

за технологических погрешностей,

дестабилизирующие воздействия – температура, влажность, давление и пр.,

старение элементов, характеристики реальных устройств отличны от расчетных значений. Для анализа и оценки влияния перечисленных факторов на характеристики устройств необходим соответствующий математический аппарат. Таковым является теория чувствительностей.

Рассмотрим некоторую функцию n

–переменных y

 f ( x

1

, x

2

,..., x n

) . Вводятся следующие меры изменения функции при малых изменений аргумента x i x i

:

1. Абсолютная чувствительность –

 y

 x i

, в пределе при малых изменениях аргумента абсолютная чувствительность определяется как

D x y i

 lim



 x y i при

 x i



0 , D y x i





 f x i

.

2. Полуотносительная чувствительность –

 y

 x i

/

, в пределе при малых изменениях аргумента полуотносительная чувствительность определяется как

Q y x i

 lim

 x

 i y

/ x i при

 x i



0 , Q y x i



3. Относительная чувствительность –



 x f i

 y

 x x i i

.

/

/ y x i

, в пределе при малых изменениях аргумента относительная чувствительность определяется как

S y x i

 lim



 x i y

/

/ y x i при

 x i



0 , S y x i





 x f i x f i

.

На практике наибольшее распространение нашла относительная чувствительность.

Данное обстоятельство обусловлено следующей взаимосвязью между изменением функции и аргумента. Предположим, что произошли изменения аргументов функции от номинальных значений, причем функция получила соответствующее приращение.

Осуществим разложение функции в ряд в окрестности номинальных значений аргументов x

0 i

, учитывая лишь слагаемые первого порядка: y





 f (

 y x

01



, f x

02

( x

01



,..., x

0 n

 x

1

,

)

 x

02

 f (

 x

1

,

 x

2 x

2

 x

1

,..., x

0 n

,..., x n

)



 x

1

 x n



)

 f



( x

1

, x

2

 x

2

,..., x n

 f ( x

1

, x

 x

2 n

,..., x n

)

 x n

,

)

 x

2



...

 где частные производные берутся при номинальных значениях аргументов x i

Отсюда абсолютное приращение функции определяется как

 x

0 i

.

 y

 i n 



1

 f

 x i

 x i

.

Из полученного выражения непосредственно вытекает следующая взаимосвязь между относительным изменением функции и аргумента с использованием функции относительной чувствительности:

 y y

 i n 



1

 f

 x i

 x i y i n

 



1

 f

 x i x i y

 x i x i n

  i



1

S x i y

 x i x i

.

Таким образом, при известных чувствительностях и отклонениях аргумента можно определить отклонения функции.

Рассмотрим некоторые наиболее практически значимые свойства функции относительной чувствительности, предполагая, что анализируемая функция y соответствует передаточной функции цепи T ( j



) , которая зависит от элементов схемы x . Выделим АЧХ i

T ( j



) и ФЧХ

 и представим передаточную функцию в виде:

T ( j



)



T ( j



) exp j



.

Тогда, относительная чувствительность S T определяется выражением: x i

S T x i



 x i

T x

T i





T

 x i exp j



T x i exp j





 exp

 x i j



T

T x i exp j









T

 x i x

T i

 j

 

 x i x

 i

 

S x i

T  j



S x i



Из полученных выражений непосредственно вытекают следующие соотношения:

Re S T x i





T

 x i x

T i

, Im S x i

T  





 x i x

 i

.

Переходя к конечным приращениям, определим выражения, связывающие параметры функций чувствительности и изменения физических параметров устройств:



T

T



 x i x i Re S

T x i

,

    x i

Im S

T x i

.

Последние результаты иллюстрируют практическую значимость теории чувствительности: при известных обобщенных параметрах устройств – в данном случае известной функциональной зависимости передаточной функции от параметров элементов

– появляется эффективный аппарат анализа возможных изменений характеристик устройства при известных уклонениях параметров элементов.

7.2. Методы анализа чувствительности

Основную проблему при решении задачи анализа чувствительностей цепей представляет отыскание производных функции цепи по параметру. В зависимости от способа отыскания производных выделяются следующие основные методы анализа чувствительностей:

1.Прямой метод расчета – аналитическое дифференцирование функционального выражения функции цепи при известной зависимости от параметров элементов.

2.Метод малых приращений – численное дифференцирование функции цепи по параметру.

3.Метод присоединенной цепи. При этом производные определяются при анализе не исходной, а, так называемой, присоединенной цепи

.

Рассмотрим реализацию перечисленных методов применительно к анализу чувствительности передаточной функции.

1.В первом случае по заданной схеме определяется передаточная функция в символьном виде и проводится непосредственный расчет чувствительности. Например, передаточная функция простейшего Г

образного

RCфильтра нижних частот первого порядка описывается соотношением:

T ( j



)



1



1 j



RC

.

Откуда чувствительность T ( j



) по параметру

C определяется выражением:

S

C

T 



T



C

C

T

 

1

 j



RC j



RC

  j



RCT ( j



) .

Прямой метод расчета применим для анализа и моделирования сравнительно простых устройств, когда расчет функции цепи в символьном виде не является сложным.

2.Метод малых приращений является наиболее простым и потому достаточно распространенным методом анализа. При этом производные, входящие в состав чувствительностей, определяются как отношение приращений функции и аргумента:



T

 x i







T x i



T

 x

01

, x

02

,..., x oi

  x i

,..., x

0 k

 x i x

01

, x

02

,..., x oi

,..., x

0 k



.

Чтобы определить чувствительность

T относительно k параметров x i необходимо анализировать схему k +1 раз. При анализе схемы, описываемой системой из n уравнений, для каждого вычисления

T по математической модели в базисе узловых потенциалов потребуется порядка n

3 длительных машинных операций. Следовательно, при определении чувствительности сложных устройств рассмотренный вычислительный процесс не эффективен. Кроме того, как правило, функции цепи нелинейно зависят от параметров элементов. В этой связи для повышения точности расчетов производных приходится уменьшать приращение  x i

, но при этом приближаются значения функций

T (...

x

0 i

  x i

...) и T (...

x

0 i

...) . Следовательно, увеличивается погрешность, обусловленная дискретностью представления чисел в компьютере.

3.Метод присоединенной цепи является наиболее общим и эффективным с точки зрения машинных затрат и используется во многих прикладных исследованиях. Рассмотрим основную идею метода на примере общей задачи, а именно - проанализируем чувствительность не отдельной функции цепи, а чувствительность некоторого выходного параметра, например отклика устройства на некоторое воздействие. Предположим, что рассматривается математическая модель цепи в базисе узловых потенциалов. Тогда, соответствующая система уравнений может быть представлена как:

Ax



B , где

A - матрица проводимостей цепи, x - вектор узловых потенциалов,

B - вектор внешних воздействий, причем x и

B зависят от набора параметров h i

.

При найденном векторе x отклик цепи y определяется линейным алгебраическим уравнением вида: y



C

T x , где С - постоянный вектор, T - операция транспонирования. (Заметим, что соответствует вектор строке). Пусть требуется оценить чувствительность y к параметру h i

.

Тогда, основная операция при расчете чувствительности

- определение следующей производной:

C

T

 y

 h i



C

T

 x

 h i

.

Для определения производной от x продифференцируем левую и правую части исходного уравнения:

A

 x

 h i





A

 h i x





B

 h i

.

Откуда следует:



 h x i

 

A



1







A

 h i x





B

 h i



 .

Таким образом, окончательно, получим:



 y h i

 

C T A



1









A h i x







B h i



 .

Вектор строка, расположенная перед скобками в последнем выражении, соответствует транспонированному вектору, получившему название "присоединенный вектор" x



:

 

T  

C

T

A



1

.

Название вектора происходит от некоторой цепи с одноименным названием, преобразованной из исходной цепи заменой элементов, работающих в базисе токов, элементами, работающими в базисе напряжений. Данный вектор является вектором

решения для системы уравнений присоединенной цепи. С использованием присоединенного вектора выражение для производной от y представим в виде:



 y h i



 

T









A h i x







B h i



 .

Покажем, что рассмотренный алгоритм является более эффективным, чем метод малых приращений. Для этого оценим количество длительных математических операций при использовании обоих методов.

Формальное решение исходного уравнения может быть представлено как: x



A



1

B .

При использовании LU – разложения (метод Гаусса) число длительных операций составляет порядка n

3 . Следовательно, при использовании метода малых приращений общее количество операций N

 при отыскании чувствительностей по k параметрам составит: N



1

 n 3 ( 1

 k )

 kn

 n 2 , где 1 соответствует решению исходной системы уравнений без приращения по параметру; слагаемое kn соответствует количеству операций деления при нахождении отношения



 x h i





 x h i

, поскольку размерность вектора x равна n ; слагаемое n

2 соответствует операции перемножения C

T

 x

 h i при определении окончательного результата.

Выигрыш при использовании метода присоединенной цепи обусловлен однократностью нахождения решения исходной системы. Действительно, алгоритм анализа чувствительности методом присоединенной цепи может быть представлен следующим образом:

1. Из исходного уравнения Ax



B методом

LUразложения определяется вектор x при номинальных значениях параметров.

2. Определяется присоединенный вектор из уравнения, приведенного ниже

:

 

T  

C T A



1

  T

A

 

C T



  

T

A

T



 

 

T 

A T x

  

C .

3. Вычисляются слагаемые

4. Определяется величина



A

 h i

 y

.



 h i





A h i и





B h i







B h i

.

Шаги 3 и 4 повторяются k раз – по количеству параметров. Таким образом, общее число операций оценивается следующим образом:

1. На первом шаге число операций – порядка n 3 .

2.

На втором шаге при отыскании присоединенного вектора используется результат собственно

LUразложения матрицы

A

, полученный на первом шаге:

A T 

 

T 

U T L T

.

Другими словами

U и

L части исходной матрицы известны, поэтому при определении

 x будет задействован лишь этап подстановок метода Гаусса. Число операций при этом – порядка n

2

.

3.

На третьем шаге число операций – порядка k ( n

2

+ n )

, где n

2 соответствует операциям с матрицей, n соответствует операциям с вектором

.

4. На заключительном этапе число операций такое же, как и на предыдущем шаге.

Таким образом, общее число операций составит:

N



2

 n

3  n

2 

2 k ( n

2  n ) , что при больших размерностях системы уравнений составит выигрыш порядка kn 3

.

7.3. Анализ шумов методом присоединенной цепи

Применение метода присоединенной цепи для анализа шумовых свойств устройств является одним из примеров, иллюстрирующих универсальность данного метода.

Специфика шумового анализа в том, что для нахождения отклика цепи на шумовые воздействия нельзя непосредственно использовать принцип суперпозиции. Данное положение обусловлено тем, что известна только амплитуда шумового сигнала, но не известна фаза. Поэтому, вообще говоря, вклад каждого шумового источника рассматривается отдельно, а затем результаты суммируются для квадратов откликов на шумовое воздействие. Другими словами, система уравнений формируется и решается для каждого i ого источника шума, где i =1… k :

Ax



B i

, y

 i

C T x i

, где в векторе правой части учитывается только один i ый источник шума, x i соответствует решению системы уравнений, вектор

C при использовании базиса узловых потенциалов содержит лишь один ненулевой элемент, номер которого соответствует номеру выходного узла, например : C T





0 , 1 , 0 , ..., 0



. Размерность элементов в векторе правой части

 соответствует нормированной спектральной плотности средней мощности шумового тока

A / Ãö



. Таким образом, полный отклик устройства y на воздействие k шумовых источников определяется выражением: y 2

 i k 



1 y i

2

,



Â 2 / Ãö



.

Решение задачи традиционным способом требует k решений исходного уравнения при различных правых частях, что является неэффективным с вычислительной точки зрения и требует большого числа длительных операций. Так, после LUразложения матрицы А , требующего порядка n 3 длительных операций, отыскание векторов x i при обратном ходе метода Гаусса потребует kn

2 операций

.

Кроме того, столько же операций потребуется для перемножения векторов C

T и x i

.

Таким образом, общее число операций составит n

3

+2 kn

2

.

Применение метода присоединенной цепи позволяет существенно упростить решение.

Действительно: x i



A



1 B i

, y i



C T A



1 B i

 

 

T

B i

Следовательно, решение сводится к отысканию присоединенного вектора согласно рассмотренной в предыдущем пункте методике, что потребует порядка n

3 операций, и перемножению вектора

строки и векторов правой части. Последнее действие будет

требовать всего kn

2 длительных операций.

Таким образом, выигрыш составит порядка kn

2 операций.

7.4. Определение отклонений характеристик устройств

Задача анализа чувствительностей характеристик устройств непосредственно связана с решением задачи расчета отклонений характеристик от номинальных значений при заданном разбросе значений элементов. Взаимосвязь между чувствительностями и отклонениями характеристик отмечена в пункте 7.1. Рассмотрим данную задачу подробнее. Итак, как было установлено, отклонения параметров элементов приводят к изменению характеристик цепи. Если характеристики выходят за пределы допустимой области их изменений, то устройство считается неработоспособным. Уклонение характеристик устройства от номинальных значений оценивается следующим выражением:

 y y

 i n 



1

S y x i

 x i x i

.

Если предположить, что параметры однотипных элементов изменяются на одинаковую величину, то есть выполняется соотношение:

 x x i i



 x x

, то уклонение определяется как:

 y y



 x x i n 



1

S x i y

.

Полученное соотношение позволяет провести оценку уклонения при так называемом наихудшем случае. При этом уклонениям параметрам элементов присваиваются максимально возможные значения – отсюда название методики. Если положить, что

 x i

 t , x i то в наихудшем случае уклонение составит

 y y

 t i n 



1

S x i y

.

Таким образом, определив чувствительности характеристик и зная области изменения параметров элементов, несложно получить соответствующую оценку. Преимуществом метода является его простота, малое число обращений к модели цепи и возможность расчета допусков без знания статистических законов распределения параметров элементов. Но так как вероятность сочетания параметров схемы, близких к самым неблагоприятным (наихудшим) в реальных устройствах мала, то оценки по методу наихудшего случая оказываются значительно завышенными по сравнению с более точными статистическими методами, учитывающими вероятностные законы распределения параметров элементов.

К таковым методам относится метод статистических испытаний или метод Монте

-

Карло. Рассмотрим основную идею метода.

Пусть рассматривается некоторая функция цепи, например передаточная функция

T , зависящая от параметров x i

.

Предположим, что значения x i распределены по нормальному закону и, следовательно, полностью определяются функцией плотности вероятности

p ( x i

) с математическим ожиданием m x и дисперсией  x

.

Тогда

, алгоритм статистических испытаний можно представить следующим образом:

1. Проводится

N статистических испытаний, а именно – на каждом i ом испытании задается значение x i

 x

0 i

  x i и определяется y i

 y

0 i

  y i

, причем

 x i носит случайный характер и определяется вероятностными характеристиками параметра x i

.

2. Если y i попадает в некоторый исходно заданный интервал y min

 y

 y max

, то испытание считается успешным.

3. Определяется число успешных испытаний N

1

.

4.

Вероятность

N

1 характеризует выход годных изделий с тем большей точностью, чем

N большее число испытаний проводится. Другими словами, при заданных математическом ожидании m x и дисперсии

 x с вероятностью

N

1 функция y не выйдет за допустимые

N пределы.

5. Если полученная вероятность меньше заданной, то необходимо ужесточить требования по вероятностным характеристикам x i

- математическому ожиданию m x и дисперсии

 x

.

Основной вопрос в рассмотренном подходе может быть сформулирован следующим образом: как сформировать согласно первому пункту последовательность значений случайной величины при заданном законе распределения? То есть

, как при заданном законе p ( x i

) задать собственно значения x i

?

Оказывается, что значения случайной величины с известным законом распределения можно получить путем преобразования значений вспомогательной – так называемой "стандартной" – случайной величины.

Обычно, роль такой величины играет случайная величина, равномерно распределенная на интервале от

-

1 до 1. Обозначим стандартную случайную величину распределения

 определяется простым выражением:



. Тогда, закон p (



)



1 .

Значения γ могут быть получены с помощью генератора случайных чисел. Генератор представляет генератор шума, подключенный к пороговому устройству, которое в свою очередь нагружено ячейкой памяти. Если за заданный интервал времени, обычно составляющий часть периода тактовой частоты, порог превышен четное число раз γ присваивается значение 0, если нечетное число раз – значение 1. m генераторов шума работают параллельно и засылают 0 и 1 во все разряды ячейки памяти. В результате за каждый такт формируется m

–разрядное случайное число, которое нормируется так, чтобы оно было меньше 1. Процесс нахождения значения x i путем преобразования γ называется

"разыгрыванием" величины x i

. Итак, p ( x i

) задано, следовательно, можно составить таблицу значений

: x i p ( x i

) x i 1 p

1 x i 2 p

2

…

… x i j p j

…

… x i n p n

Рассмотрим интервал [0,1] и разобьем его на n подинтервалов, длины каждого из которых равны p

1

, p

2

, … , p n

.

Тогда, для определения x и ставить ему в соответствие значение p i будем выбирать сформированное значение γ j

, которому в свою очередь соответствует определенное значение x i j

. Законность такой процедуры определяется следующим обстоятельством. Вероятность того, что γ окажется на некотором подинтервале значений,

равна длине этого подинтервала, поскольку γ равномерно распределена на полном интервале

[0,1]:

P ( 0



P ( p

1

 

   p

1

)

 p

1



0

 p

1 p (



) d

 p

2

)



 p

1

- для первого подинтервала, p

1

 p

1

 p

2 p (



) d

  p

2

- для второго подинтервала, и так далее для j ого подинтервала

:

P ( p

1

 p

2



...

 p j



1

   p

1

 p

2



...

 p j

)

 p j

Таким образом, генерируется случайная последовательность γ соответствие значения p j формируется последовательность выбора вероятностей p j

, которой ставятся в

.

Другими словами с помощью генератора случайных чисел соответствует свое значение x ij

Рассмотрим простой пример: j

. Поскольку каждому p j

, то реализуется алгоритм выбора значений x i

.

Пусть параметр x i принимает следующие значения: значение

3 с вероятностью 0.6 и значение

2 с вероятностью 0.4. Проводится 5 испытаний (разыгрываний) стандартной случайной величины γ со следующими результатами:

 



0 .

5 , 0 .

2 , 0 .

7 , 0 .

3 , 0 .

8



.

Тогда, x i присваиваются значения

: x i





3 , 2 , 3 , 2 , 3



.

В заключение отметим, что аналогично реализуется процедура отыскания x i

, если задана функциональная, а не табличная, зависимость p ( x i

) на некотором интервале значений x i

[a,b]

. Тогда, значения x ij находят из решения уравнения вида: a

 x ij p ( x i

) dx i

  j

.

Например, величина x i равномерно распределена на интервале

[a,b]

. То есть функция распределения описывается соотношением:

 a x ij p ( x i

)



1 b

 a

Следовательно, составляется и решается уравнение: p ( x i

) dx i

  x ij a b dx i

 a

  j

 x ij

 b

 a a

  j

 x ij

 a



( b

 a )

 j

.

Таким образом, значение x i определено.

Проектирование электронных устройств

Å

Ñ

Ñ

Ñ

Ñ

Ñ

Á

Ñ

Á

Ñ

Ä

Ñ

çè

è

ç

ñ

è

ç

Ñ

è

Ñ

ñ

Ñ

Ñ

ï

ñ

ç

ï

è

ý

ý

ê

ê

Á

ý

ý

ê

ê

Á

Á

Á ê

ý

ÂÕ

ÂÕ

ÂÕ

ÂÛÕ

Âõî äí î é êàñêàä

ï åðâûé êàñêàä

óñèëåí èÿ

Âòî ðî é

êàñêàä

óñèëåí èÿ

Âûõî äí î é

êàñêàä

ï î âòî ðèòåëü

í àï ðÿæåí èÿ

Ñ

Ñ

Å

ÑÌ

ÑÌ

ÑÌ

ÂÛÕ

ÂÛÕ

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib