Deskriptívna geometria Úvod do deskriptívnej geometrie • V každodennej praxi sa stretávame s potrebou zobraziť priestorové útvary. Strojár zobrazuje stroje a ich súčasti, stavbár objekty stavebnej praxe, zememerač a geograf zostrojuje mapy, zobrazuje zemský povrch, astronóm zas hviezdnu oblohu. Technik a prírodovedec zostrojujú náčrty prístrojov, na ktorých pracujú. Ako ťažko by sa staval dom, keby murársky majster nerozumel výrobným plánom. Ťažko by sa skladali zložité stroje, keby robotníci nerozumeli náčrtom technikov. Radi si prezrieme pekné výkresy budúcich nových štvrtí miest, kúpalísk, tovární, rekreačných stredísk. — výkresy vytvorené architektom. Ak teda chceme, aby nás škola dobre pripravila pre život, musíme sa naučiť takéto náčrty zostrojovať, rozumieť im, vedieť ich čítať a predstaviť si z nich, ako hotový objekt alebo predmet bude vyzerať. To nás učí deskriptívna geometria, ktorá dala všetkým doterajším zobrazovacím spôsobom, z ktorých niektoré patria medzi najstaršie poznatky ľudstva, jednotiacu myšlienku. História • V čase, keď si človek vyrábal pracovné nástroje zo železa, rozkvitá staviteľstvo z kameňa. Vo svojej bezmocnosti sa človek klania rôznym bôžikom, stavia im kamenné chrámy, obetné oltáre a ozdobuje ich veľkými sochami z kameňa • • Vo vykopávkach z doby starého Egypta sa našla polvalcová klenba z obdobia pred 5000 rokmi, z doby starých Babylončanov zasa vodná stoka a zo starého Grécka pochádza podzemná klenutá chodba na horu Olymp Rímsky staviteľ M. Vitruvius (31 pr. n. l. - 14 n. 1.) učí, ako zostrojovať obrazy útvarov. Tento primitívny „kameňorez" nachádza znovu uplatnenie v gotickom staviteľstve a potom v prvej polovici 18. storočia; Francúz Fréziére túto disciplinu teoreticky rozpracoval a dnes je základom moderného staviteľstva kamenných stavieb, ako sú podjazdy, piliere, oporné múry, tunely atd'. • • • • • • Medzi prvé prejavy ľudskej kultúry • patria pokusy o ,,mapy" vrývané spočiatku do kostí zvierat. • Prvá známa ,,-mapa" severného Iraku pochádza od Sumerov z doby pred 5000 rokmi. V starom Grécku sa stretávame s prvými primitívnymi glóbusmi a s metódami zobrazovania zemského povrchu. Podobné metódy použil Ptolemaios pri zobrazovaní hviezdnej oblohy. Zvlášť pri vytesávaní kamenných sôch používali starí Egypťania tri ,,pohľady" na sochu -,,spredu", „zhora" a ,,zboku" Maliari v dobe renesancie v 14., 15., a 16. storočí maľujú obrazy pomocou štvorcových, „perspektívne" zostrojených sietí, začínajú študovať útvary v priestore, konštruujú rôzne „zariadenia", ktoré im pomáhajú nakresliť obraz tak, aby odrážal skutočnosť čo najvernejšie Iniciátorom mnohých takýchto zariadení bol najmä nemecký maliar Albrecht Dürer Anglický matematik Taylor položil r. 1715 teoretické základy používaného zobrazenia - tzv. lineárnej perspektívy, ktorú dnes používa každý technik, maliar, sochár • Prvým pomocníkom pri navrhovaní stavieb tovární, rôznych objektov najmä vojenského rázu, rôznych nových zariadení je model Takto vznikla nová disciplína, ktorá sa stala jednou z najužitočnejších pomôcok technika deskriptívna geometria Túto novú zobrazovaciu metódu objavil Gaspard Monge Myšlienka maliarov renesancie, takzvaná, „rekonštrukcia" obrazov, overenie, či obraz vyhovuje zásadám perspektívneho zobrazenia, viedla k fotogrametrii Rozvoj strojárskej výroby v 19. storočí, zvlášť štúdium mechanizmov, viedol ku geometrickým konštrukciám v disciplíne dôležitej pre strojárov-konštruktérov - ku kinematike • • • • • Nezostali stranou ani problémy riešenia striech, úlohy o teréne, zvlášť problematika ciest, konštrukcie plôch dôležitých pre technickú prax v rôznych technických disciplínach,. ako sú statika, dynamika, mechanika, alebo v takých praktických aplikáciách, ako je teória nomogramov. Gaspard Monge (* 10. Máj 1746 ,† 28. Júl 1818) • • • Francúzsky architekt, matematik a fyzik nekôr známy pod menom comte de Péluse Narodil sa vo francúzskom mestečku Beaune • • Navštevoval Oratoriansku univerzitu v Beaune V roku 1762, ako šestnásťročný prestúpil na Collége de la Trinité v Lyons • Po ukončený štúdia v roku 1764 sa Monge vrátil do rodného mestečka, kde nakreslil páln mesta. Práve touto prácou sa rozbehla Mongeo kariéra • • • • • • V roku 1780 prijaty na Akadémiu vied, prevzal v Paríži post profesora hydrodynamiky Roku 1794 založil v Paríži École Polytechnique, kde otvoril katedru matematiky. Napoleon Bonaparte oslovil Monge aby sa stal členom expedície do Egyptu, kde roku 1798 prevzal miesto riaditeľa Egyptského inštitútu Okrem mnohých fyzikálnych objavov sa Monge zaslúžil o vznik Deskriptívnej geometrie Taktiež položil teóriu odrazu vzduchu V roku 1783 vytvoril vodu zo vodiku a kysliku Dňa 28. Júna 1818 v Paríži Gaspard Monge zomrel Leonardo da Vinci (* 15. apríl 1452, † 2. máj 1519) • Celým menom Leonardo di ser Piero da Vinci • taliansky renesančný architekt, hudobník, vynálezca, staviteľ, sochár a maliar • narodil v dedinke Anchiano, blízko mesta Vinci v Taliansku • vyrastal so svojím otcom vo Florencii • bol vegetarián • V roku 1507 sa stretol s 15-ročným aristokratom, grófom Francescom Melzim. Melzi sa stal jeho žiakom, životným druhom a dedičom • Zomrel vo Francúzsku v meste Cloux roku1519 • Jeho najvýznamnejšie diela sú Mona Líza a Posledná večera Architekt • Mnoho Leonardových zápiskov sa týkalo architektúry, hlavne plánov na výstavbu katedrál. Jeho štúdie z tejto oblasti začínali dôkladným preskúmaním rôznych stavebných nástrojov a pomôcok • Ako svoju architektonickú prácu Leonardo prezentoval model ideálneho mesta pre Ludovica Sforzu • V roku 1502 Leonardo da Vinci vytvoril kresbu visutého mosta s jediným segmentom s dĺžkou 720 stôp (240 m) ako časť stavebného projektu pre sultána Bajazida II. z Konštantínopolu) Náčrt z Leonardovej architektonickej štúdie Premietanie Vlastnosti premietania Zobrazenie a premietanie • • • • • Premietanie - špecifické zobrazenie z priestoru E3 do roviny (priemetne), ktorá je v priestore E3 ľubovoľne, ale pevne zvolená Základné požiadavky (nielen v školskej praxi) pri zobrazovaní priestorových útvarov do rovinných - názornosť a jednoduchosť Priemetňa (niekedy ) - pevne zvolená rovina v priestore, bude to tzv. nákresňa (papier, tabuľa, obrazovka PC a pod.) Zobrazovacia metóda - bijektívne zobrazenie z priestoru E3 do roviny (priemetne ) Základné zobrazovacie metódy sú: kótované zobrazenie, Mongeovo zobrazenie, šikmé zobrazenie (technické), kolmá a šikmá axonometria, stredové premietanie a lineárna perspektíva • • • • • • • • • Priemet A bodu A - obraz bodu A v priemetni v nejakom premietaní Priemet U útvaru U - obraz útvaru U v priemetni v nejakom premietaní množina priemetov všetkých bodov daného útvaru U Premietacia priamka pA bodu A - priamka určitých vlastností, ktorej priesečník s priemetňou je priemet bodu A Premietací útvar PU útvaru U - množina všetkých premietacích priamok všetkých bodov útvaru U Premietacím útvarom bodu je jeho premietacia priamka a každým bodom priestoru prechádza práve jedna premietacia priamka Ak premietací útvar útvaru U je rovina, hovoríme o premietacej rovine U útvaru U Priemet útvaru U je prienik jeho premietacieho útvaru s priemetňou Ak priamka a [] nie je rovnobežná s priemetňou , nazýva sa jej priesečník Pa [priesečnica p] s priemetňou stopník priamky a [stopa roviny ] Základné druhy premietania - stredové a rovnobežné. Rovnobežné premietanie Daná je ľubovoľná rovina priestoru E3 a ľubovoľná priamka s v E3, ktorá nie je rovnobežná s rovinou Rovnobežným (paralelným) premietaním priestoru E3 do roviny zobrazenie f: E3 , ktoré každému bodu AE3 priradí práve jeden bod A tak, že bod A je priesečníkom premietacej priamky sA osnovy s, prechádzajúcej bodom A, s rovinou s sB = sC sA B s A U A C A B= C sA U A Priemetom útvaru U, ktorý leží v rovine rovnobežnej s priemetňou, je útvar U s ním zhodný Vlastnosti rovnobežného premietania Základné vlastnosti rovnobežného premietania (v1) Rovnobežným priemetom bodu je bod. (v2) Priemetom priamky, ktorá nepatrí [patrí] do osnovy premietania, je priamka [bod]. (v3) Priemetom úsečky AB incidujúcej s priamkou, ktorá nepatrí [patrí] do osnovy premietania, je úsečka AB [bod A=B]. (v4a) Priemety dvoch rôznych rovnobežných priamok sú buď dve navzájom rovnobežné priamky (rôzne alebo rovnajúce sa) alebo dva body, t.j. rovnobežnosť je invariant rovnobežného premietania. (v4b) Priemety dvoch rôznobežných priamok, z ktorých ani jedna nepatrí do osnovy premietania, sú buď dve rôznobežky alebo priamky, ktoré sa rovnajú. (v5) Priemetom roviny, ktorá nepatrí [patrí] do osnovy premietania, je celá priemetňa [priamka]. Ilustrácia vlastnosti (v4a) σb b a b a σa sA=sB sB sA A B A B A= B b A a= b a π π b = sB a = sA B A A= a s B= b π B σ a=σb Osová afinita • príbuznosť (vzťah) medzi bodmi dvoch navzájom rôznych rovín • vzájomné jednoznačné zobrazenie • os afinity – množina všetkých samodružných bodov • samodružné body – po zobrazení zostanú na tom istom mieste • smer afinity – kolmý alebo šikmý Vlastnosti afinity • rovnobežným priamkam prislúchajú v afinite zase rovnobežné priamky • stredu S úsečky AB je priradený bod S´- stred úsečky A´B´ , pričom deliaci pomer sa zachováva • na rovnobežkách s osou afinity sa zachováva dĺžka úsečky • pravému uhlu nezodpovedá spravidla pravý uhol Ukážky osovej afinity Kótované premietanie pravouhlé (kolmé, ortogonálne) premietanie na jednu priemetňu Základné pojmy • • • • • • v trojrozmernom priestore zvolíme rovinu - priemetňu rovina delí priestor na dva polpiestory: kladný a záporný je to vlastne rovnobežné premietanie, ktorého smer s je kolmý na priemetňu každým bodom A priestoru preložíme premietaciu priamku sA kolmú na priemetňu premietajúca priamka sA pretne priemetňu v bode A1, nazveme ho pravouhlý alebo kolmý priemet ak bod A leží v priemetni tak platí A=A1 • • • k priemetu bodu pripisujeme reálne číslo- kótu bodu, ktorá ma nasledujúce vlastnosti: a) absolútna hodnota kóty sa rovná vzdialenosti A od priemetne b) vnútorné body kladného polpriestoru majú kladnú kótu, vnútorné body záporného polpriestoru majú zápornú kótu, body z priemetne nulovú kótu v praxi zavádzame v rovine sústavu súradníc, dve navzájom kolmé priamky x, y (os y orientujeme opačne ako v matematike) bod A má priemet A1 (xA, yA) a kótu zA Priemet bodu obraz bodu - obrazom vlastného bodu je bod - obrazom nevlastný bod je bod alebo vektor (nevlastný bod) - priemetňa, s z A s y O xA A1(zA) zA yA y x ● A1(zA) x B1(0) s = A1 , A z =|A, | A Priemet priamky Obraz priamky: -je daný priemetmi 2 rôznych bodov -obrazom priamky je priamka alebo bod priamka – ak daná priamka kolmá na priemetňu bod – ak daná priamka je kolmá na priemetňu B a priesečník priamky p s priemetňou (bod na priamke s nulovou kótou) Stopník priamky: a = Pa ( zP=0) A A (zA) 1 a1 Pa 1(0) B1(zB) Pa – uhol priamky s priemetňou Spád priamky je tangens uhla 90, ktorý zviera priamka s priemetňou. Priemet roviny a.) rovina kolmá na priemetňu – ich priemetom je jedna priamka b.) rovina rovnobežná s priemetňou – ich priemetom je celá priemetňa c.) rovina rôznobežná s priemetňou (nie kolmá) - pravouhlým priemetom týchto rovín je celá priemetňa └►každá takáto rovina pretína priemetňu v priamke p, nazývanej stopa roviny (je to priamka obsahujúca všetky stopníky všetkých priamok ktoré táto rovina obsahuje, stopa roviny je priamka ktorej každý bod má nulovú kótu) └► hlavné priamky roviny - h - priamky rovnobežné s priemetňou └► spádové priamky roviny- s - priamky kolmé na hlavné priamky s Stopa roviny : = p. ● h h1 p1 ● Ps p1 p Hlavné priamky roviny : Spádové priamky roviny : h || h1 p1 , s h s1 p1 . Mongeovo zobrazenie • • • • Mongeovo zobrazenie kolmé premietanie na dve navzájom kolmé priemetne. - vodorovná rovina – 1. priemetňa - Pôdorysňa - zvyslá rovina – 2. priemetňa – Nárysňa x – priesečnica rovín a Základnica • • • • • • • • Zvoľme bod 0 n osi x – začiatok (origo-lat.) Orientácia osi x: vpravo kladná, vľavo záporná Vo vodorovnej rovine zvoľme bodom 0 os y kolmo na os x Kladná orientácia osi y – smerom k pozorovateľovi Vo zvislej rovine zvoľme bodom 0 os z kolmo na os x Kladná orientácia osi z – smerom nahor Vznikla KARTEZIÁSKA SÚSTAVA SÚRADNÍC 0xyzAx 1sA A´1A1A2yzx Osi x, y, z sú po dvoch navzájom kolmé Priemet bodu • • • • • Každý bod v rovine je jednoznačne zadaný troma súradnicami, ako napríklad A(x,y,z) Postup zobrazenia bou je na predchádzajúcom obrázku A1, A2 nazývame ZDRUŽENÝMI OBRAZMI BODU A Ležia na ORDINÁLE lA, priamke kolmej na základnicu X12 Platí: Každé dva body A1, A2 ležiace na kolmici na os X12 sú združené obrazy toho istého bodu A. 1 sA 2sA = A2 – nárys bodu A A2 A 2 sA x A´1 A1 z N2 N A2 zA xA x 2 1 P2 O N1 yA A1 y P1 P Stopníky P P1 P, P2 x12 , zP = 0 N N1 x12 , N2, N, yN = 0 Zobrazenie priamky a = Pa – pôdorysný stopník priamky a, Stopníky: • • • • Daná je priamka a, ktorá nie je kolmá na priemetne, ani na os X12 V premietaní na dve priemetne priradíme k nej dve premietajúce roviny: 1a – Prvú premietajúcu rovinu priamky a Na2 Na 2a – Druhú premietajúcu rovinu priamky a a2 Pa2 Na2 Na a2 a Pa2 x12 Na 1 a1 Pa1 Pa x Na1 a1 Pa1 Pa Konštrukcia pôdorysného stopníka: a2 x12 = Pa2 , P1 a1 Konštrukcia nárysného stopníka: a1 x12 = Na1 , N2 a2 . Polohy priamky • Združené obrazy a1, a2 ľubovolnej priamky a, ktorá nie je (priestorovo) kolmá na os X a nie je kolmá na niektorú z priemetní sú priamky a1, a2 (rôzne alebo splývajúce), z ktorých žiadna nie je kolmá na os X12. To je PRIAMKA VO VŠEOBECNEJ POLOHE. a2 O x12 a1 a2 • Ak jedným obrazom priamky je bod, potom zvyšným obrazom je priamka kolmá na os X12, pričom združené obrazy ležia na ordinále. Tieto obrazy sú združené obrazy PRIAMKY KOLMEJ NA PRIEMETŇU. b2 x12 O a1 b1 • Ak je PRIAMKA a KOLMÉ NA OS X a pritom nie je kolmý na žiadnu priemetňu, potom jej združené obrazy a1, a2 splývajú, pričom platí a1=a2X12 a2 O • Nárysom priamky a ktorá je rovnobežná s pôdorysňou , ktorá nie je premietajúcou priamkou, je priamka a2 , ktorá je rovnobežná so základnicou X12. Obráteňe: Ak je a2 rovnobežná so základnicou X12, je a PRIAMKA ROVNOBEŽNÁ S PRIEMETŇOU x12 a1 Na2 a2 a Na2 a2 x Na1 Na1 x12 a1 a1 • PôDORYSOM PRIAMKY b, ktorá je rovnobežná s nárysňou , ktorá nie je premietajúcou priamkou, je priamka b1 rovnobežná so základnicou X12. Obrátene: Ak je b1 rovnobežná so základnicou X12, je b PRIAMKA ROVNOBEŽNÁ S PRIEMETŇOU b2 x Pb 2 b1 b2 Pb Pa2 Pa1 • b 1 x12 b1 Ak je priamka a ROVNOBEŽNÁ S OSOU X, potom je a1 rovnobežné s a2 a aj s X12. Vetá platí aj obráteňe. a2 x12 a1 Zobrazenie roviny • • • • • • • Obrazom roviny- ak je rovina kolmá na priemetňu- Primaka(obrazok 2.) -v inom prípade- iná rovina (obrazok 1.) Rovina pretína priemetňe v priamkach, ktoré nazývame STOPY ROVINY Každá rovina má aspoň jednu stopu. = p – pôdorysná stopa roviny – prvá stopa roviny = n – nárysná stopa roviny – druhá stopa roviny Ak priamka leží v rovine a má stopníky, potom jej pôdorysný stopník leží na pôdorysnej a nárysný na nárysnej stope roviny: Pa1 p1 , Na2 n2 Na2 n2 n Na a2 a x X Pa2 Na1 a1 X Pa n2 p1 p Pa1 p1 x12 Rovina rovnobežná s priemetňou 2 n2 x12 2 n2 x 2 n2 x12