Rappel sur l’auto-induction 3 Déplacement d’un aimant devant une bobine • Machine Asynchrone (induction machine) La loi de Faraday (et de Lenz) explique qu’en cas de variation du flux magnétique à l’intérieur de ce circuit, une force contre électromotrice est induite (générée): e=− • dΦ dt Si la bobine a une résistance R et est alimentée sous une tension v: e est générée et additionnée à v e R i Si la bobine est linéaire φ = Li v 1 Déplacement d ’un aimant devant un rail en court circuit 2 Déplacement d ’un aimant devant un rail en court circuit aimant vitesse : v l i 2 Cette force entraîne le conducteur dans le sens du déplacement du champ magnétique. B i f i Si ces conducteurs sont mobiles ces derniers accélèrent. A mesure qu’ils atteignent de la vitesse, la vitesse à laquelle le champ magnétique est coupé par ces conducteurs ralentit. La variation du flux diminue et la tension induite diminue, de même que le courant i. 2 D’après la loi de Faraday, une tension est induite dans chaque conducteur coupé par le champ magnétique. Comme chaque conducteur est court-circuité, un courant i se met à circuler dans le conducteur qui est momentanément en dessous du champ magnétique (ou de l’aimant). Cet effet de la loi de Lenz (L’effet s’oppose à la cause qui lui a donné naissance) a pour conséquence de diminuer la force de Laplace. Ainsi si les conducteurs se déplaçaient à la même vitesse que le champ magnétique, la tension induite, le courant i et la force s’annuleraient. Comme ce courant traverse le champ magnétique, d’après la loi de Laplace, une force mécanique est appliquée sur ce conducteur. La vitesse du rotor est donc légèrement inférieure à la vitesse du champ magnétique. 3 4 r r r dF = Idl Λ B Machine asynchrone : 3 bobines fixes décalées de 120° et 3 bobines mobiles décalées de 120° isb → Osb Tensions statoriques (notation matricielle) v sa RS v sb = 0 v 0 sc sa,sb,sc : Enroulements statoriques fixes couplés en étoile Alimentation variable v sb → Orb irb → Osc v sc isc irc v ra v rc θ → Orc v sa isa → Osa ra,rb,rc : Enroulements rotoriques mobiles Court-circuités Alimentation induite par les enroulements statoriques 5 Flux statorique dans un enroulement statorique Influence des autres enroulements du stator 2π 3 4π +irc cos θ + 3 Influence des enroulements du rotor sur les enroulements du stator isb vra RR vrb = 0 v 0 rc 0 RR 0 0 ira φ d ra 0 irb + φrb dt RR irc φrc d φr = Vr − Rr I r dt rotor → Osb v rb O → Osc 6 Remarque r r M sr cos Osa , Ora = M sr cos (θ ) irb v sc dans le repère triphasé du rotor 4 2 cos(θ − π ) cos(θ − π ) cos(θ ) 3 3 2 4 cos(θ − π ) [ R(θ )] = cos(θ − π ) cos(θ ) 3 3 4 2 cos(θ − π ) cos(θ − π ) cos(θ ) 3 3 → Orb v rc vra 0 vrb = 0 v 0 rc φsa ls M s M s isa ira [φs ] = φsb = M s ls M s isb + M sr [ R(θ ) ] irb φsc M s M s ls isc irc stator v sb irc Si rotor en CC Flux statorique (notation matricielle) φsa = ls isa + M s isb + M s isc + M sr ira cos(θ ) +irbcos θ + isc dans le repère triphasé du stator Tensions rotoriques (notation matricielle) → Ora ira RS 0 0 isa φ d sa 0 isb + φsb dt RS isc φsc d φs = Vs − Rs I s dt stator v rb O 0 v ra ( → Ora ira ( θ → Orc v sa ) ) r r 2π 4π M sr .cos Osa , Orb = M sr .cos θ − = M sr .cos θ + 3 3 isa → Osa 7 r r 4π M sr cos Osa , Orc = M sr cos θ − 3 ( ) 2π = M sr cos θ + 3 8 Hypothèse : Les courants sont équilibrés -> isc=-isa-isb Flux rotorique (notation matricielle) 2π 4π φsa = (ls − M s )isa + M sr ira cos(θ ) +irbcos θ + +irccos θ + 3 3 φra Lr 0 0 ira T [φr ] = φrb = 0 Lr 0 irb + M sr [ R(θ )] φrc 0 0 Lr irc φsa Ls 0 0 isa ira [φs ] = φsb = 0 Ls 0 isb + M sr [ R(θ )] irb φsc 0 0 Ls isc irc stator avec isa isb isc rotor 3 Ls = ls − M s = lsp + lsσ 2 9 10 Modélisation dans un repère tournant de Park Régime transitoire : Comme pour la machine synchrone, on cherche à simplifier le modèle de la machine. Expression générale des flux rotoriques (notation matricielle) [ ] = [L ] [M (θ )] [I ] [ ] [M (θ )] [L ] [I ] φ s φr s sr s dans le repère triphasé du stator On va utiliser la transformation de Park T sr r r Tout d’abord, il faut utiliser un seul repère pour toutes les équations dans le repère triphasé du rotor , Ls Ls = 0 0 [ ] 0 Ls 0 0 0 Ls Lr Lr = 0 0 , [M sr (θ )] =M sr [R(θ )] [ ] 0 Lr 0 0 0 Lr Problème: On a deux modèles dans deux repères tripasés dufférents 11 12 Grandeurs statoriques : Comme pour la machine synchrone (le stator étant identique), on applique aux grandeurs statoriques une transformation de Park d’angle θS (t) Transformée de Park sur les grandeurs du stator d φs = − V R I s s s dt stator Grandeurs rotoriques : Pour se ramener dans ce repère de Park, on applique aux grandeurs rotoriques une transformation de Park d’angle θR (t) = θS (t) - θ (t) → Orb ([ ( d P θs → Osb → Oq )] [φ −1 s _ dq 0 ]) = [P(θ )] [V −1 s dt Rotation d’un angle θs dans le repère de Park ]− [R ][P(θ )] [I −1 s _ dq 0 s s O θs → Osc → Od θr → Ora θ → Osa → Orc 13 dφ sd = v sd − Rs isd + ω sφ sq dt dφ sq = v sq − Rs isq − ω sφ sd dt dφ s 0 = v s 0 − Rs i s 0 dt Transformée de Park sur les grandeurs du rotor [ ( )] [φ [ ( )] [φ Rotation d’un angle θr dans le même repère de Park −1 Pθ s Pθ r r _ dq 0 dt → Orb → Osb → Oq θs → Osc → Od θr → Ora θ → Osa → Orc 14 s sr s T sr −1 r r ] [L ] [M (θ )] [P(θ )] [I . = ] [M (θ )] [L ] [P(θ )] [I −1 s _ dq 0 −1 s s sr s _ dq 0 −1 r _ dq 0 sr r r r _ dq 0 ] ] Tous calculs faits on obtient : Tous calculs faits on obtient : dφrd = v rd − Rr ird + ωrφrq dt dφrq = v rq − Rr irq − ωrφrd dt dφr 0 = v r 0 − Rr i r 0 dt O [ ] = [L ] [M (θ )] [I ] [ ] [M (θ )] [L ] [I ] ([ ( )] [φ ]) = → Osb → Oq Transformée de Park sur les flux φ s φr d φr = Vr − Rr I r dt rotor d P θr ] → Orb Tous calculs faits, on obtient : s _ dq 0 O → Osc → Orc θs θr θ → Osa [ [ φ s _ dq0 φ r _ dq0 → Od → Ora [L ] = ps 15 Ls 0 0 0 Ls 0 0 0 Ls 0 [L ] pr ] [L ] [M ] [I = ] [M ] [L ] [I Lr = 0 0 ps psr s _ dq 0 pr r _ dq 0 T psr 0 Lr 0 0 0 Lr 0 [M psr ] = 23 M sr [Rr ] ] ] [Rr ] 1 = 0 0 0 1 0 0 0 0 16 Machine asynchrone : calcul du couple En résumé : dφ Sd − ω Sφ Sq dt dφ Sq vSq = RS iSq + ω Sφ Sd + dt vSd = RS iSd + φSd = LsiSd + M .iRd φSq = LsiSq + M .iRq On peut maintenant pour un régime quelconque, calculer le couple instantané en faisant un bilan de puissance : dφRd − ωrφRq = 0 dt dφ = RRiRq + ωrφRd + Rq = 0 dt vRd = RRiRd + vRq On obtient : c = M (ird isq − irq isd ) φRd = LriRd + M .iSd φRq = LriRq + M .iSq c= p M (isqφrd − isd φrq ) Lr c = p (isqφsd − isd φsq ) 3 M = M sr 2 Même si ces équations paraissent lourdes, elles sont bien plus simples que celles écrites au début de l’étude !!! 17 Machine asynchrone : commande vectorielle Machine asynchrone : commande vectorielle Stratégies de commande par orientation du flux Stratégie la plus utilisée : Orientation à flux rotorique orienté sur l’axe direct Si on aligne le repère de Park avec un des deux flux, on annule une composante 4 idées pour simplifier l’expression du couple y q Expression avec les flux rotoriques Expression avec les flux statoriques M (isq φrd − isd φrq ) c= p Lr Commande à flux rotorique orienté sur l’axe direct φrq=0 M c= p Lr (i sq ) φrd ) ) αS r v2 a Commande à flux statorique orienté d i3 v1 M (isq φrd ) Lr θ i1 c c= p αR ΦR 1 b c = pisqφsd ΦRq=0, le couple devient : i2 2 sur l’axe direct φsq=0 sur l’axe en quadrature φrd=0 M isd φrq c = −p Lr ( ( c = p isq φsd − isd φsq 18 x On montre (et on voit) que : c ne dépend que de iSq si ΦR est maintenu constant v3 sur l’axe en quadrature φsd=0 3 c = − pisd φsq 19 20 Machine asynchrone : Synoptique de commande Machine asynchrone : commande vectorielle En régime permanent : y q i2 v2 2 On constate que (par rapport à la machine synchrone) le flux statorique ne peut plus être perpendiculaire au flux rotorique. αS ΦSS a r ΦRR d ΦR 1 b αR θ i1 c x v1 i3 v3 En effet, il n’y a qu’une source d’alimentation pour : • Magnétiser la machine (comme le fait l’enroulement inducteur d’une MS) par la composante de l’axe d • Produire du couple par la composante de l’axe q 3 21 22 BIBLIOGRAPHIE BILAN : Machine synchrone + variateur : • Commande performante plus aisée car la machine est magnétisée par le rotor. Il ne faut contrôler que le couple • Rapport puissance/masse élevé • Machine au prix plus élevé (aimants ou bobinage rotorique + bagues collectrices) Machine asynchrone + variateur : • Commande performante plus exigeante car il faut magnétiser et contrôler le couple en même temps et de façon indépendante • Rapport puissance/masse moins élevé - ventilation plus importante • Machine au prix le plus bas du marché • Possibilité d ’utiliser des commandes moins performantes • Electrotechnique industrielle. G.Séguier Editions Tech et doc • Introduction à la commande vectorielle des machines asynchrones. Patrick Brunet Il n ’y a pas de bon choix. Tout dépend de l ’application envisagée et des performances attendues. • Cours machines asynchrones. * Alain Cunière. Gilles Feld. 23 24