LICENCE 3 MATHEMATIQUES
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43
L3
SMI5U07T
1
Algèbre 3
Nom de l’UE :
- Contenu de l'envoi : Rappels sur les Polynômes, rappels sur endomorphismes : Espaces propres et valeurs
propres, polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation. Polynôme d’un endomorphisme. Théorème de
Cayley-Hamilton.
Le lemme des noyaux. Espaces caractéristiques. Endomorphismes nilpotents. Polynôme minimal.
Critère de diagonalisabilité en termes du polynôme minimal. L’exponentielle d’une matrice.
Exercices de révisions. Exercices de diagonalisation et trigonalisation, exercices sur
les polynômes d'endomorphismes et les polynômes minimaux, exercices sur l'exponentielle
de matrices.
- Guide du travail à effectuer
Lire et étudier votre cours pour ensuite faire les exercices.
Les exercices de révisions ne seront pas corrigés, mais vous pouvez me poser des questions et échanger entre vous à
leur sujet.
Coordonnées de l'enseignant responsable de l'envoi :
Xavier Roulleau
I2M/CMI
39, rue F. Joliot-Curie
13453 Marseille cedex 13
courriel : Xavier.Roulleau@univ-amu.fr
Aix Marseille Université - Centre de Télé-Enseignement Sciences
Case 35. 3, place Victor Hugo. 13331 Marseille Cedex 03.
http://www.ctes.univ-provence.fr
Pour
rapprocher
la
connaissance
Aix Marseille Université - Centre de Télé-Enseignement Sciences
Case 35. 3, place Victor Hugo. 13331 Marseille Cedex 03.
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ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT,
CHAPITRE I
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
N’hésitez pas à m’envoyer vos questions, remarques et commentaires
sur ce cours à l’adresse : xavier.roulleau@univ-amu.fr
Contenu de ce cours :
Rappels sur les Polynômes, rappels sur endomorphismes : Espaces
propres et valeurs propres, polynôme caractéristique, diagonalisation,
trigonalisation. Polynôme d’un endomorphisme. Théorème de CayleyHamilton.
Le lemme des noyaux. Espaces caractéristiques. Endomorphismes nilpotents. Polynôme minimal. Critère de diagonalisabilité en termes du
polynôme minimal. L’exponentielle d’une matrice.
Exercices : exercices de révisions (ils ne seront pas corrigés, mais
vous pouvez me poser des questions et échanger entre vous à leur sujet), exercices de diagonalisation et trigonalisation, exercices sur les polynômes d’endomorphismes et les polynômes minimaux, exercices sur
l’exponentielle de matrices.
1. Polynômes
Ce premier chapitre sur les polynômes ne fait pas partie du programme et peut être survolé rapidement pour voir les notions et notations en jeux.
1.1. Généralités. Nous noterons K un corps. L’ensemble des polynômes à coefficients dans K et d’indéterminée X est noté K[X]. Un
élément P 2 K[X] s’écrit
X
P =
ak X k ,
k 0
où les ak sont des éléments de K, appelés coefficients de PP
, sont nuls
sauf un nombre fini d’entre eux (en particulier le somme k 0 ak X k
est en fait une somme finie d’éléments).
Si P 6= 0, le plus grand k 2 N tel que ak 6= 0 est appelé le degré de P .
Le degré du polynôme nul est par définition 1. On note deg(P ) le
degré du polynôme P .
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XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
On peut faire la somme de deux polynômes, leur produit, multiplier
un polynôme par un élément de K : l’ensemble des polynômes K[X]
reste stable par ces opérations. On a les propriétés suivantes :
Proposition 1. Soient P, Q deux polynômes.
a) deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q)
b) deg(P + Q)  max(deg(P ), deg(Q)).
c) pour 2 K, on a deg( P ) = deg(P ) si 6= 0.
La notation deg(0) = 1 est pratique : si par exemple P est nul,
on a deg(P Q) = deg(0) + deg(Q) = 1 + deg(Q) = 1.
L’anneau des polynôme est intègre, c’est-à-dire :
Proposition 2. Soient P, Q deux polynômes tels que P Q = 0, alors
P = 0 ou Q = 0
Remarque 3. On a pas cette propriété par exemple pour l’anneau des
matrices.
Définition 4. Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant
(i.e. le coefficient du terme de plus haut degré) vaut 1.
Par exemple X 5 + 3X + 2 est unitaire, mais 2X 6 + X 3 + X + 1 ne
l’est pas.
Un polynôme s’écrit toujours comme produit d’un polynôme unitaire
et d’un polynôme constant ; si ce polynôme est non nul, cette écriture
est unique.
Définition 5. Soient A, B deux polynômes. On dit que A divise B s’il
existe Q 2 K[X] tel que B = AQ. On écrit en ce cas A|B.
Un polynôme P est dit irréductible si il est de degré 1 et si chaque fois
qu’on écrit P = AB avec A, B deux polynômes, alors deg(A) = degP
ou bien deg(B) = degP .
Remarquons que si P est irréductible et P = AB, avec deg(A) =
degP , alors degB = 0, et donc B est une constante non nulle. Reformulé autrement, un polynôme est irréductible si et seulement si
ses seuls diviseurs sont les constantes et les multiples de P par une
constante. Etre irréductible est l’équivalent sur les polynôme à la notion de nombre premier p 2 Z : un entier est premier si et seulement si
ses seuls diviseurs sont ±1 et ±p.
Remarque 6. Tout polynôme P de degré 1 est irréductible, en effet si
P = AB, alors 1 = degP = degA + degB implique que degA ou degB
est égal à 1.
Définition 7. Une racine d’un polynôme P est un élément a 2 K tel
que P (a) = 0.
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
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1.2. Division euclidienne. On admettra le résultat suivant :
Théorème 8. (Théorème de la division euclidienne). Soient A, B deux
polynômes avec B non nul. Il existe un unique couple (Q, R) de polynômes tel que
A = BQ + R
et degR < degB.
Le polynôme Q est appelé quotient et R le reste de la division euclidienne. On a la conséquence suivante :
Corollaire 9. Soit a 2 K. Un polynôme P 2 K[X] est divisible par
X a si et seulement si P (a) = 0, i.e. si et seulement si a est une
racine de P .
Définition 10. Soit P un polynôme de degré > 0 et soit a 2 K une
racine de P . La multiplicité de la racine a est définie par
De plus :
mult(P, a) = max{k 2 N⇤ | (X
a)k |P }.
Définition 11. Soient P1 , . . . , Pk 2 K[X] des polynômes non tous nuls.
A) Un polynôme P 2 K[X] est dit un diviseur commun de P1 , . . . , Pk
si P |Pi 81  i  k.
B) Un polynôme P 2 K[X] est le plus grand diviseur commun de
P1 , . . . , Pk si
a) P est diviseur commun des Pi ,
b) P est diviseur commun de degré maximal de ces polynômes,
c) P est un polynôme unitaire.
Proposition 12. Soient P1 , . . . , Pk 2 K[X] des polynômes non tous
nuls. Le pgcd existe, il est noté
Ppgcd(P1 , . . . , Pk ), il existe de plus U1 , . . . , Uk
tels que pgcd(P1 , . . . , Pk ) =
Ui Pi .
La démonstration se fait à l’aide de l’algorithme d’Euclide : le pgcd
est le polynôme unitaire associé au dernier reste non nul obtenu dans
la suite finie de divisions euclidiennes.
Définition 13. On dit que k polynômes P1 , ..., Pk 2 K[X], non tous
nuls, sont premiers entre eux si pgcd(P1 , ..., Pk ) = 1, i.e. si ces polynômes n’admettent aucun diviseur commun de degré strictement positif.
Théorème 14. (Théorème de Bézout) Soient P1 , ..., Pk 2 K[X] non
tous nuls. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
1. P1 , ..., Pk sont premiers entre eux, P
2. il existe U1 , ..., Uk 2 K[X] tels que ki=1 Ui Pi = 1.
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XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
Corollaire 15. Tout polynôme P 2 K[X] avec degP > 0 s’écrit de
manière unique comme un produit
mk
1
P = aQm
1 · · · Qk
où a est le coefficient dominant et les polynômes Qi sont irréductibles,
unitaires et deux à deux distincts.
Ce résultat doit vous rappeler la factorisation des entiers en produit
de nombres premiers.
Définition 16. A) Un polynôme P 2 K[X] est dit scindé dans K s’il
existe a1 , . . . , ak des éléments distincts de K tels que
P = a(X
a1 )m1 · · · (X
ak ) m k .
B) Un polynôme est dit à racines simples si toutes les racines de P
sont de multiplicité 1.
Un polynôme qui est scindé et de plus à racine simples s’écrit donc
P = a(X
a1 ) · · · (X
ak ),
avec a1 , . . . , ak des éléments distincts de K.
Remarque 17. Un polynôme scindé P sur K s’écrit :
P = a(X
a1 )m1 · · · (X
ak ) m k ,
où
(i) a est le coefficient
dominant de P ,
P
(ii) degP =
mi ,
(iii) l’ensemble des racines est a1 , . . . , ak ,
(iv) mult(P, ai ) = mi pour tout i
1.3. Théorème de d’Alembert - Gauss. On admettra le résultat
suivant
Théorème 18. Tout polynôme P à coefficients complexes et de degré
> 0 admet au moins une racine complexe.
Conséquence :
Corollaire 19. Tout polynôme P 2 C[X] avec deg(P ) > 0 est scindé
dans C donc se factorise sous la forme
P = a(X
a1 )m1 · · · (X
ak ) m k ,
avec a1 , . . . , ak des éléments distincts de C et m1 , . . . , mk > 1 leurs
multiplicités.
De plus :
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
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Corollaire 20. L’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de
C[X] est
{X a | a 2 C}.
L’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de R[X] est
{X
a | a 2 R} [ {X 2 + bX + c | b, c 2 R b2
4c < 0}.
Démonstration. Dans le cas K = C, cela vient directement du théorème
de d’Alembert. Supposons K = R. Si P est de degré 1 on a vu qu’il
est irréductible. Si P est de degré > 2 et à coefficients réel. Soit ↵ une
racine complexe, qui existe par le thm de d’Alembert. Si ↵ 2 R, alors
(X ↵) divise P et P de degré > 1 n’est pas irréductible. Supposons
qu’aucune racine complexe ne soit réelle. Comme P est à coefficients
réels, si ↵ est une racine alors ↵
¯ est une racine. Comme on a supposé
↵2
/ R, alors ↵ 6= ↵
¯ et P est divisible par le polynôme (X ↵)(X ↵
¯) =
X 2 (↵ + ↵
¯ )X + ↵↵
¯ qui est à coefficient réels et discriminant négatif.
Comme degré de P est > 2, on voit que P n’est pas irréductible. Si
maintenant P est de degré 2, soit il a une racine, et donc en effectuant
la division euclidienne c’est un produit de deux polynômes de degré 1,
et en ce cas il n’est pas irréductible. Soit il n’a pas de racine et il est
irréductible car sinon il s’écrirait comme produit de deux polynômes
de degrés 1, mais de tels polynômes ont une racine.
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XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
2. Réduction des endomorphismes : diagonalisation et
trigonalisation
2.1. Sous-espaces et décompositions en somme directe (rappels). Soit K un corps, E un K-espace vectoriel de dimension finie, et
soient F1 , ..., Fk ⇢ E des sous-espaces vectoriels de E. Rappelons que
la notation
k
X
Fi
i=1
désigne le sous-espace vectoriel de E défini par
k
X
i=1
Fi = {
k
X
i=1
xi | xi 2 Fi }.
(exercice : vérifier que c’est un espace vectoriel). On a :
Définition 21. (et Proposition) On dit que les sous-espaces F1 , ..., Fk
de E sont en somme directe si une des conditions équivalentes suivantes
est vérifiée :
1) Pour tout système (x1 , ..., xk ) de vecteurs de E avec xi 2 Fi pour
P
1  i  k, si on a la relation ki=1 xi = 0 alors
x1 = ··· = xk = 0,
2) Pour tout j 2 {1, ..., k}, on a
Fj \
Pk
X
1ik, i6=j
Fi
!
= {0E },
3) Tout vecteur x 2 i=1 Fi admet une unique décomposition de la
forme
k
X
x=
xi , où xi 2 Fi , 8i 2 {1, ..., k},
i=1
4) Si Bi est une base de Fi pour 1  i  k alors la famille concaténée
(c’est-à-dire la famille obtenue en mettant les vecteurs à la suite côte
à côte) B1 , ..., Bk est libre dans E.
Exercice : vérifier que les quatre points ci dessus sont équivalents.
L’équivalence 4) ci-dessus a pour conséquence
P
Proposition
22. Si les Fi sont en somme directe, alors dim Fi =
P
dim Fi .
On pose de plus la définition suivante :
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
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Définition 23. On dit que les sous-espaces F1 , ..., Fk forment une
décomposition en somme directe de E, et on écrit E = ki=1 Fi , si une
desPconditions équivalentes suivantes est vérifiée :
1. ki=1 Fi = E et les sous-espaces F1 , ..., Fk sont en somme directe.
P
2. ki=1 Fi = E et tout j 2 {1, ..., k}, on a
!
X
Fj \
Fi = {0E },
1ik, i6=j
3. Tout vecteur x de E admet une unique décomposition de la forme
x=
k
X
i=1
xi , où xi 2 Fi , 8i 2 {1, ..., k},
4. Si Bi est une base de Fi pour 1  i  k alors la famille concaténée
B1 , ..., Bk est une base de E.
Si les sous-espaces F1 , ..., Fk forment une décomposition en somme
directe de E alors la projection sur le j-ème facteur de la somme directe
E = ki=1 Fi est l’application linéaire surjective pj : E ! Fj définie
P
par pj (x) = xj où x = ki=1 xi est l’unique décomposition de x avec
xi 2 Fi , 8i 2 {1, ..., k} (écriture obtenue par l’équivalence 3) de la
définition). La composition de pj avec l’application d’inclusion Fj ! F
est un endomorphisme de E qui sera noté (par abus d’écriture) par le
même symbole pj . Rappelons l’identité importante p2j = pj et insistons
P
sur le fait que c’est l’unicité de l’écriture x = ki=1 xi qui permet de
définir les morphismes pj .
2.2. Valeurs propres et espaces propres. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.
Définition 24. Un endomorphisme de E est une application K-linéaire
: E ! E. On pose
End(E) = { : E ! E |
est K-linéaire}.
Soit E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, soit
un
endomorphisme de E, et soit B = (f1 , ..., fn ) une base de E. On note
MB ( ) la matrice de dans la base B. Pour obtenir cette matrice on
calcule les images par des vecteurs de la base dans cette même base :
n
X
(fj ) =
aij fi , 8j 2 {1, . . . , n},
i=1
et MB ( ) est la matrice MB ( ) = (aij )1i,jn . Ainsi la j-ième colonne
de MB ( ) est formée des coordonnées du vecteur (fj ) dans la base B.
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XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
Si on fait un changement de base de la base B = (f1 , . . . , fn ) vers la
base B 0 = (f10 , ..., fn0 ), on peut utiliser la matrice de passage P = (pij )
dont les coefficients pij sont définis par les formules
n
X
0
fj =
pij fi
i=1
pour 1  j  n. On peut écrire l’ensemble de ces formules scalaires
sous la forme plus compacte : (f10 , ..., fn0 ) = (f10 , ..., fn0 )P , c’est-à-dire
B 0 = BP .
Proposition 25. La formule du changement de base donne alors
(2.1)
MB 0 ( ) = P
1
MB ( )P.
Cette formule justifie la définition importante suivante :
Définition 26. Deux matrices carrées A, A0 2 Mn (K) sont dites semblables
s’il existe une matrice inversible P 2 Mn (K) telle que A0 = P 1 AP .
Notons que la relation « être semblable » est un relation d’équivalence, c’est à dire que c’est une relation réflexive, symétrique et transitive sur l’espace Mn (K) (à vérifier en exercice). La formule 2.1 montre
que
Remarque 27. Les matrices MB ( ), MB 0 ( ) associées à un endomorphisme 2 End(E) dans deux bases B, B 0 de E sont semblables.
Le problème de la diagonalisation pour les endomorphismes : Soit
2 End(E). Est-ce qu’il existe une base B de E telle que la matrice
MB ( ) soit diagonale ? Si c’est le cas, déterminer une telle base.
Terminologie : Si MB ( ) est diagonale, on dit que l’endomorphisme
est diagonal dans la base B, ou que la base B diagonalise l’endomorphisme . On peut commencer par écrire dans une base arbitraire
(par exemple dans la base canonique si E = K n ) et puis diagonaliser
en effectuant un changement de base. En utilisant la formule 2.1, on
voit que le problème de diagonalisation est équivalent au :
Problème de diagonalisation pour les matrices : Soit A 2 Mn (K) une
matrice carrée réelle. Est-ce qu’il existe une matrice A0 semblable à A
et qui soit diagonale ? Si c’est le cas, déterminer une telle matrice et la
matrice de passage P intervenant dans l’égalité A0 = P 1 AP .
Si la matrice MB ( ) de est diagonale dans une certaine base B =
f1 , . . . , fn et si 1 , . . . , n sont les éléments de cette diagonale, on a
(fj ) = j fj . Cela conduit à poser les définitions suivantes :
Définition 28. Soit 2 End(E).
1. Un scalaire 2 K est dit valeur propre de
s’il existe v 2 E \ {0E }
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
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tel que (v) = v.
2. Le spectre de est l’ensemble des valeurs propres de , on le note
Spec( ).
3. Si 2 Spec( ), on définit le sous-espace propre de associé à par
E ( ) := {v 2 E| (v) = v} = Ker (
idE ).
Les éléments non-nuls de E ( ) s’appellent les vecteurs propres de
valeur propre .
Si
est fixé on utilisera la notation simplifié E au lieu de E ( ).
Remarque 29. 1. Un scalaire 2 K est valeur propre de si et seulement si il existe un vecteur non nul v tel que (v)
v = 0, si et
seulement si Ker (
IdE ) 6= {0}. En particulier, un espace propre
E ( ) n’est jamais trivial.
2. Si 2 Spec( ), on a E = Ker (
IdE ), et donc comme tous
noyaux d’une application linéaire, l’espace E ( ) est un sous-espace
vectoriel de E.
3. Une base B = (f1 , ..., fn ) de E diagonalise si et seulement si elle
est formée de vecteurs propres de . Si c’est le cas, le j-ème élément
diagonal de MB ( ) est la valeur propre qui correspond à fj .
Le problème de diagonalisation pour se réduit donc au problème :
Est-ce qu’il existe une base de E formée de vecteurs propres de ? Si
c’est la cas, déterminer une telle base.
On note det(A) le déterminant d’une matrice A = (aij )1i,jn de
taille n. On a la formule
n
X
Y
det(A) =
"( )
ai, i ,
2⌃n
i=1
où " : ⌃n ! {±1} est le morphisme signature (c’est lui qui fait alterner
les signe quand on calcule le déterminant).
Définition 30. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n,
soit 2 End(E) et soit A la matrice de dans une base B de E. Soit
X une indéterminée. Le polynôme caractéristique de est défini par
P (X) := det(A XIn ) où In est la matrice identité. Il est de degré
n = dim E.
Proposition 31. Le polynôme caractéristique de
la base choisie.
ne dépend pas de
Démonstration. Soit P la matrice d’un changement de bases, de la
base B à la base B 0 . Une des propriétés bien connues du déterminant
est invariant par conjugaison :
det(P
1
AP XIn ) = det(P
1
AP XP
1
In P ) = det(P
1
(A XIn )P ) = det(A XIn ),
10
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
⇤
d’où le résultat.
Rappelons que la trace T r(A) d’une matrice A est la somme des
éléments diagonaux de A.
Proposition 32. Le polynôme caractéristique P (X) est de la forme
P (X) = ( 1)n X n + ( 1)n 1 T r(A)X n
1
+ · · · + det(A).
Du fait que le polynôme P soit indépendant de la base choisie, les
coefficients T r(A) et det(A) le sont aussi et on définit
T r( ) := T r(A), det( ) := det(A).
Démonstration. Le terme constant du polynôme P (X) s’obtient en
substituant X = 0, on obtient ainsi detA. Calculons le coefficient de
degré n 1. La formule du déterminant est
det(A
XIn ) =
X
"( )
2⌃
n
Y
ãi, i ,
i=1
où A XIn est la matrice (ãij )1i,jn avec ãi,j = ai,j si i 6= j et
ãi,i = ai,i X.
Q
Si
n’est pas l’identité de ⌃nQ
, le polynôme ni=1 ãi, i est de degré
 n 2. En effet le degré de ni=1 ãi, i est le nombre de i tels que
i = i, donc si 6= Id, ce degré est  n 2. Pour obtenir un terme de
degré n 1, on doit donc développer le produit
n
Y
i=1
ãi,i =
n
Y
(ai,i
X)
i=1
et prendre les termes qui ne mettent en jeu que un terme scalaire aii
et ( X)n 1 , d’où le résultat.
⇤
Pour étudier la diagonalisation (ou la trigonalisation, nous verrons
plus tard de quoi il s’agit) d’une matrice ou d’un endomorphisme, on a
besoin de calculer son spectre et ses espaces propres. Ce calcul s’appuie
sur la proposition suivante :
Proposition 33. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n
et 2 End(E).
1. Un scalaire 2 K est valeur propre de si et seulement si il est
une racine du polynôme caractéristique P (X).
2. Soit A la matrice associée à dans une base B de E et soit 2
Spec( ). L’espace propre E ( ) s’identifie dans la base B à l’espace
des solutions du système linéaire (A
In )x = 0 d’inconnue x =
(x1 , . . . , xn ).
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
11
Démonstration. Partie 1. La matrice associée à
IdE dans la base
B est A
In , donc le noyau Ker
IdE est donné dans cette base
par le noyau de A
I n . Un scalaire 2 K est valeur propre de si
et seulement si Ker (
IdE ) 6= {0}, c’est à dire si et seulement si
Ker (A
I n ) 6= {0}, donc si et seulement si les colonnes de A
In
sont linéairement dépendante i.e. le rang de la matrice A
In est
strictement inférieur à n. Mais par le cours d’algèbre linéaire de l’an
passé,
rang(A− In ) < n () det(A− In ) = 0 () P ( ) = 0.
Partie 2. Par définition, l’espace propre E ( ) associé à une valeur
propre coïncide avec Ker (
idE ), donc s’identifie dans la base B
à l’espace des solutions du système linéaire (A
In )x = 0.
⇤
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n,
2 Spec( ).
2 End(E) et
Définition 34. 1. La multiplicité algébrique ma ( ) de 2 Spec( ) est
la multiplicité de en tant que racine du polynôme P (X) 2 K[X],
i.e. la puissance maximale de (X
) qui divise P (X).
2. La multiplicité géométrique mg ( ) est la dimension de l’espace propre
E .
Proposition 35. On a l’inégalité 1  mg ( )  ma ( ) pour tout
Spec( ).
2
Démonstration. Par définition, la multiplicité algébrique ma ( ) est le
plus grand entier k tel que (X
)k divise P (X), donc pour démontrer
l’inégalité mg ( )  ma ( ), il suffit de montrer que (X
)mg ( ) divise
P (X). Pour ceci choisissons une base B0 de E , et complétons B0 (qui
est une famille libre de E) en une base B = B0 , B1 de E. En posant
d := mg ( ) = dim E on a :
✓
◆
✓
◆
Id C
(
X)Id
C
MB ( ) =
, MB ( ) XIn =
0 D
0
D XIn d
où C, D sont des matrices par blocs de tailles appropriées. En utilisant
la règle de calcul pour le déterminant d’une matrice triangulaire par
blocs on obtient :
P (X) = det((
X)Id )·det(D XIn d ) = ( 1)d (X
ce qui montre que (X
)d det(D XIn d ),
)d est une diviseur de P (X), avec d = mg ( ).
⇤
Corollaire 36. Si ma ( ) = 1 (c’est-à-dire si est une racine simple
de P (X)), alors la seule possibilité est mg ( ) = ma ( ) = 1, donc le
sous-espace propre E est une droite vectorielle.
12
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
Proposition 37. Soient 1 , . . . , k 2 Spec( ) des valeurs propres distinctes deux à deux. Alors les sous-espaces propres E 1 , . . . , E k sont
en somme directe.
Démonstration. On va démontrer cette affirmation par récurrence par
rapport à k. Pour k = 1, il n’y a rien à démontrer. Supposons donc
que k > 1 et que (hypothèse de récurrence) toute famille de (k 1)
sous-espaces propres de soit en somme directe. D’après la définition
des espaces en somme directe, pour montrer que E 1 , . . . , E k sont en
somme directe il suffit de montrer que, pour tout j 2 {1, . . . , k}, on a
!
X
E j\
E i = {0E }.
⇣P
i6=j
⌘
Soit x 2 E j \
i6=j E i . Puisque x 2 E j , on a (x) = j x. Puisque
P
x est élément de la somme directe i6=j E i , pour tout i 6= j il existe
P
xi 2 Ei tel que x = i6=j xi et donc
X
(x) = j x =
j xi .
i6=j
On a (xi ) =
i xi ,
donc
X
X
xj ) =
jx = (
i6=j
i6=j
i xi ,
d’où
X
(
i
j )xi
= 0,
i6=j
et puisque on a supposé i 6= j pour i 6= j et que par hypothèse
de récurrence les k 1 espaces vectoriels E i , i 6= j sont en somme
directe (on a i6=j E i ), on obtient xi = 0, d’où x = 0E . Ainsi k sousespaces propres de E sont toujours en somme directe et cela termine
la récurrence.
⇤
2.3. Critères de diagonalisabilité. Le théorème suivant nous donne
une liste de critères de diagonalisabilité.
Théorème 38. Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n et
2 End(E). Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. L’endomorphisme est diagonalisable,
2. L’espace E admet une base formée de vecteurs propres de ,
3. Les sous-espaces propres E forment une décomposition en somme
directe de E, i.e.
E = 2Spec( ) E ,
P
4.
2Spec( ) mg ( ) = n,
5. P (X) est scindé dans K et pout toute valeur propre 2 Spec( )
on a mg ( ) = ma ( ).
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
13
Démonstration. On a déjà vu l’équivalence (1) () (2) quand on a
discuté du problème de la diagonalisation.
(2) =) (3). Soit B une base de E formée de vecteurs propres de
. En regroupant ces vecteurs propres si nécessaire on peut supposer
que B = B1 , B2 , ..., Bk où Bi est une famille libre de µi = dim E ( i )
vecteurs propres associés à la valeur propre i 2 Spec( ). On écrit
Spec( ) = { 1 , . . . , k }. La matrice de dans la base B s’écrit
0
1
0
···
0
1 I µ1
B 0
0 C
2 I µ2 · · ·
MB ( ) = B
,
.
.
.. C
.
@ ..
..
..
. A
0
0
···
k I µk
donc par la formule du déterminant, on a :
P (X) = det(MB ( )
XIn ) =
k
Y
(
i
X)µi ,
i=1
(c’est le seul produit non nul de la somme) en particulier, P (X) est
scindé et on voit de plus que la multiplicité algébrique de i est µi .
Par ailleurs, µi est la dimension de E i , c’est à dire la multiplicité
géométrique de i , d’où µi = mg ( i ) = ma ( i ). On sait que P (X)
Pk
est de degré n, on en déduit que
i=1 mg ( ) = n. On sait par la
proposition 37 que les E i sont en somme directe ; il reste à vérifier que
P
P
E = ki=1 E i . Comme ki=1 E i est un sous espace de E, on a
dim
k
X
i=1
E i  dim E = n.
P
Comme les E i sont en somme directe, on a de plus dim ki=1 E i =
Pk
Pk
i=1 dim E i =
i=1 mg ( ) = n par ce qui précède. On a donc montré
que (2) =) (3). En cours de route on a aussi montré (2) =) (4) et
(2) =) (5).
(3) =) (4). Puisque les espaces propres E sont en somme directe,
on a :
X
X
n = dim E =
dim E =
mg ( ).
2Spec( )
2Spec( )
(4) =) P
(5) On a vu que mg ( )  ma ( ) pour tout 2 Spec( ), de
plus on a
2Spec( ) ma ( )  n = degP (X). Ainsi on a toujours
X
X
mg ( ) 
ma ( )  n.
2Spec( )
2Spec( )
14
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
Par l’hypothèse (4), ces inégalités sont des égalités, ce qui implique
mg ( ) = ma ( ) pour tout 2 Spec( ) et
Y
deg
(X
)ma ( ) = degP (X),
Q
2Spec( )
comme
)ma ( ) divise P (X), ils sont égaux à une constante
2Spec( ) (X
près et donc P est scindé.
(5) =) (2). Posons Spec( ) = { 1 , ..., k } et soit Bi une base de E i .
L’hypothèse (la propriété 5) implique
n = degP =
k
X
ma ( i ) =
i=1
k
X
mg ( i ) (⇤)
i=1
Puisque les sous-espaces E i sont en somme directe, la famille concaténée B := B1 , B2 ..., Bk est libre, et puisque le nombre de vecteurs de
cette famille est n = dim(E) d’après (⇤), on déduit que B est une base
de E. Cette base est formée de vecteurs propres.
⇤
Question : Comment on diagonalise une endomorphisme ?
Réponse : Il suffit de trouver une base Bi dans E i pour tout i 2
Spec( ) = { 1 , . . . , k }. Si l’endomorphisme est diagonalisable, alors
la famille concaténée B = B1 . . . Bk sera une base de E (formée évidemment de vecteurs propres). Dans les exercices de diagonalisation on
suppose d’habitude que E = K n , et est donné dans la base canonique
par une matrice A. La matrice de passage P de la base canonique de
K n à la base B qui diagonalise est formée des vecteurs de B en tant
que colonnes. On aura alors
0
1
0
···
0
1 I µ1
B 0
0 C
2 I µ2 · · ·
P 1 AP = B
.
.
.. C
..
@ ..
..
.
. A
0
où µi = ma ( i ) = mg ( i ).
0
···
k I µk
2.4. Trigonalisation. Une matrice carrée A 2 Mn (K) est dite triangulaire
supérieure (respectivement inférieure) si aij = 0 pour toute paire d’indices (i, j) telle que i > j (respectivement pour toute paire d’indices
(i, j) telle que i < j).
Remarque 39. Le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure
(ou inférieure) est égal au produit des éléments diagonaux. On peut
démontrer facilement cette remarque soit par récurrence (en utilisant le
développement du déterminant par rapport à la première ligne), soit en
utilisant la formule du déterminant rappelée plus haut, en remarquant
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
15
que la seule permutation 2 Sn ayant la propriété (i)  i pour tout
i 2 {1, ..., n} est l’identité.
Définition 40. 1. Soit 2 End(E) un endomorphisme et V ⇢ E un
sous-espace vectoriel. On dit que V est -invariant (on dit aussi stable)
si (V ) ⇢ V .
2. Un endomorphisme 2 End(E) est dit trigonalisable s’il existe une
base B de E telle que la matrice A := MB ( ) soit triangulaire supérieure.
Interprétation géométrique de ces définitions : Soit
2 End(E)
un endomorphisme et B = (f1 , ..., fn ) une base de E. Pour tout i 2
{1, ..., n} posons :
Ei := V ect(f1 , ..., fi ),
donc Ei est le sous-espace engendré par les premiers i vecteurs de la
base B. Alors :
Remarque 41. La matrice MB ( ) de dans la base B est triangulaire
supérieure si et seulement si on a (Ei ) ⇢ Ei pour tout i 2 {1, ..., n},
donc si et seulement si les sous-espaces Ei sont -invariants.
En utilisant cette remarque et le théorème de la base incomplète,
on voit que est trigonalisable si et seulement s’il existe une famille
croissante E1 ⇢ E2 ⇢ · · · ⇢ En = E de sous-espaces vectoriels tels que
pour 1  i  n on a dim(Ei ) = i et (Ei ) ⇢ Ei .
Si, dans la définition on remplace "triangulaire supérieure" par "triangulaire inférieure" on obtient une définition équivalente : il suffit en
effet d’inverser l’ordre des vecteurs de la base.
On a :
Théorème 42. Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n et
2 End(E). Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. est trigonalisable,
2. P (X) est scindé dans K.
Démonstration. (1) =) (2). Supposons que soit trigonalisable, et
calculons son polynôme caractéristique en utilisant une base B dans
laquelle sa matrice A := MB ( ) est triangulaire supérieure. Alors
P (X) = det(A−XIn ) =
n
Y
(aii
X),
i=1
(où A = (aij )1i,jn ) donc P (X) est scindé dans K.
(2) =) (1). Récurrence par rapport à dim(E) = n. Si dim(E) = 1,
l’affirmation est évidente. Supposons que dim(E) 2 et l’affirmation
16
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
est vraie pour tout espace vectoriel F de dimension n 1 et tout endomorphisme de cet espace F . Puisque P (X) est scindé dans K on a
Spec( ) 6= ;, donc on peut choisir une valeur propre
2 Spec( ).
Soit v1 2 E un vecteur propre (donc non-nul !) pour cette valeur
propre : (v1 ) = v1 . Soit F un supplémentaire de la droite vectorielle Kv1 . Un tel supplémentaire s’obtient en appliquant le théorème
de la base incomplète à la famille libre (v1 ). On obtient donc une base
B = (v1 , v2 , ..., vn ) de E et on pose F := V ect(v2 , ..., vn ).
Puisque le premier vecteur de B est un vecteur propre de de valeur
propre , la matrice A de E dans la base B aura la forme
0
1
a12 · · · a1n
✓
◆
B 0 a22 · · · a2n C
a
B
C
A = @ ..
..
.. A = 0 A0
...
.
.
.
0 an2 · · · ann
avec A0 la matrice d’un endomorphisme 0 de F , qui est de dimension
n 1 et
a = (a12 , . . . , a1n ).
On calcule que
det(A
XIn ) = (
X)det(A0
XIn 1 ).
Comme P est scindé, on obtient que P 0 est scindé. On peut donc
appliquer l’hypothèse de récurrence à la matrice A0 : il existe une base
B 0 de F pour laquelle la matrice de passage P 0 est telle que P 0 1 A0 P
est triangulaire supérieure. La matrice de dans la base (v1 , B 0 ) a la
forme
✓
◆ ✓
◆ 1✓
◆✓
◆
ã
1 0
a
1 0
à =
=
0 P 0 1 A0 P
0 P
0 A0
0 P
pour une certaine matrice ligne ã et est donc triangulaire supérieure
(remarque : attention la matrice A0 n’est pas la restriction de au sous
espace vectoriel F ).
⇤
Rappelons que, d’après le théorème de d’Alembert-Gauss tout polynôme à coefficients complexes est scindé dans C. On obtient donc pour
K=C:
Corollaire 43. Soit E est un espace vectoriel complexe de dimension
finie. Tout endomorphisme 2 End(E) est trigonalisable.
Remarque 44. Notons que la démonstration du théorème 42 donne un
algorithme pour trigonaliser les matrices qui sont trigonalisables. En
pratique cette méthode est peu utilisée, nous verrons plus loin une
autre méthode, cf remarque 67 et la section 3.4.
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
17
3. Polynôme d’un endomorphisme. Idéal annulateur.
Polynôme minimal. Le lemme des noyaux
3.1. Polynôme d’un endomorphisme. Idéal annulateur. Polynôme minimal. Voici quelques rappels d’algèbre commutative :
Soit (A, +, ·) un anneau commutatif avec unité (donc (A, +) est un
groupe, · est la loi de multiplication qui est associative et commutative, il y a distributivité de l’addition sur la multiplication). On désigne
par 0 et 1 les éléments neutres pour les deux opérations.
Définition 45. Un idéal de A est un sous-groupe du groupe (A, +) tel
que aI ⇢ I pour tout a 2 A.
Pour tout a 2 A le sous-ensemble (a) := Aa := {xA|x 2 A} est un
idéal de A, qui s’appelle l’idéal principal engendré par a. Un idéal I de
cette forme s’appelle idéal principal, et un élément a 2 I pour lequel
I = Aa s’appelle un générateur de I.
Définition 46. Un anneau commutatif avec unité (A, +, ·) est dit anneau principal si tout idéal de A est un idéal principal.
Exemple 47. (et Proposition) 1. (Z, +, ·) est un anneau principal :
tout idéal I de Z s’écrit sous la forme I = nZ, où n 2 N. Pour obtenir
un générateur positif d’un idéal non-nul I ⇢ Z, il suffit de choisir un
élément minimal parmi les éléments strictement positifs de I.
2. Si (A, +, ·) un anneau commutatif avec unité, alors l’anneau A[X]
des polynômes à coefficients dans A est principal si et seulement si A
est un corps. Donc Z[X] n’est pas un anneau principal, mais pour un
corps K l’anneau K[X] est bien principal (la preuve utilise la division
euclidienne).
Soit I ⇢ K[X] un idéal non nul.
Proposition 48. Un élément P 2 I est un générateur de I si et seulement si c’est un polynôme non nul et de plus bas degré parmi les polynômes non nuls.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie net soit 2 End(E).
Rappelons que puisque est un endomorphisme, on peut prendre sa
puissance :
k
=
···
2 End(E),
pour tout k 2 N, avec la convention qu’on a
On a donc pour tout vecteur v de E
m
0
= IdE , l’identité de E.
(v) = ( ( ( (.. (v)..))).
18
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
Rappelons aussi que End(E) est aussi un K-espace vectoriel : étant
donné deux endomorphismes 1 , 2 et des scalaires ↵1 , ↵2 2 K, alors
↵1
1
+ ↵2
2
est encore un endomorphisme de E.
Proposition 49. Soit
P (X) = a0 + a1 X + · · · + am X
m
=
un polynôme. On défini P ( ) par
P ( ) = a0 IdE + a1 + ··· + am
m
X
i=0
m
ai X i 2 K[X]
2 End(E).
Un tel endomorphisme P ( ) (avec P 2 K[X]) est appelé un polynôme
d’endomorphisme de .
Ainsi P ( ) est un endomorphisme de E : si v 2 E, on a
P ( )(v) = a0 v + a1 (v) + ··· + am
m
(v).
Rappelons que End(E) muni de l’addition usuelle et de la composition des endomorphismes est un anneau (non-commutatif si n > 1)
avec unité.
Proposition 50. Soit
2 End(E). L’application
⇢
K[X] ! End(E)
:
P
! P( )
est un morphisme d’anneaux. En particulier pour deux polynômes Q1 (X), Q2 (X) 2
K[X], on a l’identité (Q1 Q2 )( ) = Q1 ( ) Q2 ( ). Puisque K[X] est
commutatif ; on a Q1 Q2 = Q2 Q1 et il en résulte Q1 ( ) Q2 ( ) =
Q2 ( ) Q1 ( ), donc deux endomorphismes obtenus comme polynômes
du même endomorphisme commutent.
Remarque 51. Rappelons que la composition des endomorphismes (comme
la multiplication matricielle) n’est pas commutative donc, en général,
deux endomorphismes ne commutent pas, ce qui montre l’importance
et la particularité de la deuxième partie de la proposition ci-dessus.
Corollaire 52. Soit 2 End(E) et Q(X) 2 K[X]. Alors les sousespaces Ker (Q( )) et im(Q( )) de E sont -invariants, i.e. on a
(Ker (Q( ))) ⇢ Ker (Q( )),
(im(Q( ))) ⇢ im(Q( )).
Démonstration. En effet, d’après la remarque précédente pour tout v 2
E on a
Q( )( (v)) = Q( )
(v) =
Q( )(v) = (Q( )(v)) 2 (E)
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
19
ce qui démontre les implications désirées : Premièrement, si v 2 Ker (Q( ))
alors le dernier terme dans l’égalité s’annule, donc le premier terme
s’annule, donc (v) 2 Ker (Q( )). D’autre part, si w 2 im(Q( )) alors
w s’écrit sous la forme w = Q( )(v) et l’égalité ci-dessus montre que
(w) = Q( )( (v)) 2 im(Q( )).
⇤
Proposition 53. Soit 2 End(E) et Q(X) 2 K[X].
1. Si 2 Spec( ) alors Q( ) 2 Spec(Q( )).
2. Supposons le polynôme d’endomorphisme Q( ) soit l’endomorphisme
nul, c’est-à-dire Q( ) = 0End(E) . Soit 2 Spec( ). Alors est une
racine du polynôme Q(X).
P
j
Démonstration. Posons Q = m
j=0 aj X . Soit v un vecteur propre non
nul pour la valeur propre : v 2 E \ {0E } vérifie (v) = v. Alors par
récurrence on obtient facilement f n (v) = n v pour tout n 2 N, ce qui
implique
m
m
m
X
X
X
Q( )(v) =
aj j (v) =
aj j v = (
aj j )v = Q( )v,
j=0
j=0
j=0
comme v est non nul, Q( ) est une valeur propre de Q( ) et v est un
vecteur propre de Q( ) de cette valeur propre.
Si Q( ) = 0End(E) , alors Spec(Q( )) = {0}, mais pour tout
2
Spec( ), Q( ) 2 Spec(Q( )) = {0}, d’où le second point.
⇤
Théorème 54. (Théorème de Cayley-Hamilton) Supposons K = R ou
C. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, 2 End(E).
Alors le polynôme caractéristique de annule , c’est-à-dire :
P ( ) = 0End(E) .
Démonstration. Le cas réel se réduit au cas complexe. En effet, dans
le cas réel on peut supposer que E = Rn et alors est donné par une
matrice A 2 Mn (R). Mais, regardée comme matrice complexe, A définit
aussi un endomorphisme de Cn qui a le même polynôme caractéristique
que A (donc que ). Si le théorème est vrai dans le cas complexe alors on
obtient P (A) = 0End(E) , ce qui implique évidemment P ( ) = 0End(E) .
On va donc supposer que K = C. Soit B = (f1 , ..., fn ) une base E
qui trigonalise (une telle base existe car tout endomorphisme sur C
est trigonalisable), c’est-à-dire telle que la matrice A := MB ( ) soit
triangulaire supérieure. Posons i = aii et remarquons que
n
Y
n
P (X) = ( 1)
(X
i ).
i=1
Posons Qj (X) := (X
j ). Remarquons Qj ( ) =
j IdE et que la
matrice de cet endomorphisme dans la base B est encore triangulaire
20
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
supérieure.
Remarquons de plus que le j-ième élément diagonal de la matrice de
Qj ( ) dans la base B est 0, donc Qj ( )(fj ) s’écrit comme combinaison
linéaire de (f1 , ..., fj 1 ) pour j 2 et Q1 ( )(f1 ) = 0E . On a donc les
propriétés suivantes :
(1) Qj ( )(fi ) 2 V ect(f1 , ..., fi ) pour 1  i  n, 1  j  n (vient du
fait que Qj ( ) est triangulaire >).
(2) Qj ( )(fj ) 2 V ect(f1 , ..., fj 1 ) pour 1  j  n, où pour j = 1 on
pose V ect(f1 , ..., fj 1 ) := {0E } (vient du fait que Qj (fj ) = 0).
(3) Qj ( )(fi ) 2 V ect(f1 , ..., fj 1 ) pour 1  i  j  n, 1  j  n (Qj ( )
est triangulaire >).
Q
(4) ( ji=1 Qi )( )(fi ) = 0E pour 1  j  n et 1  i  j (pour une
preuve complète faire une récurrence, exercice).
Ces relations ont des interprétations géométriques : si on pose E0 :=
{0E }, Ej := V ect(f1 , ..., fj ), alors les relations (1) sont équivalentes
aux inclusions Qj ( )(Ei ) ⇢ Ei (i.e. chaque sous-espace Ei est Qj ( )invariant), les relations (3) sont équivalentes aux inclusions Qj ( )(Ej ) ⇢
Ej 1 , et les relations (4) sont équivalentes aux identités :
!
j
Y
Qi ( )|Ej = 0 pour 1  j  n.
i=1
Qn
Mais En = E et i=1 Qi = ( 1)n P (X), donc en choisissant j = n
dans la relation ci-dessus, on obtient P ( ) = 0End(E) .
⇤
Remarque 55. Le théorème de Cayley Hamilton est en fait vrai pour
n’importe quel corps K, mais pour une démonstration simple on se
restreint à C. La même preuve fonctionne en fait pour K̄ la clôture
algébrique de K.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et
2 End(E).
Définition 56. Un polynôme Q(X) 2 K[X] est dit polynôme annulateur
de si Q( ) = 0End(E) . L’ensemble des polynômes annulateurs de est
un idéal non-nul de K[X], qui s’appelle l’idéal annulateur de et est
noté Ann( ). L’unique générateur unitaire de Ann( ) est un polynôme
non-nul qui s’appelle le polynôme minimal de et est noté par m (X).
Le fait que Ann( ) soit un idéal de K[X] vient du fait que Ann( )
est le noyau du morphisme d’anneaux
⇢
K[X] ! End(E)
:
P
! P( )
et c’est facile de voir que le noyau de tout morphisme d’anneaux est un
idéal. Le fait que cet idéal soit non-nul résulte directement du théorème
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
21
de Cayley-Hamilton puisque par ce théorème on sait que P est non
nul et élément de Ann( ).
A retenir : le polynôme minimal m (X) divise tout polynôme annulateur de .
Exemple 57. Si = 0 alors Ann( ) est l’idéal (X) = {P (X)|P (0) =
0} engendré par m = X et P = ( X)n .
Si = IdE , alors m = X 1 et P = (1 X)n .
On a par la proposition 53 :
Proposition 58. Soit Q(X) 2 Ann( ). Alors pour toute valeur propre
2 Spec( ) on a Q( ) = 0. En effet par cette proposition
Q( ) 2 Spec(Q( )) = Spec(0End(E) ) = {0}.
Donc toute valeur propre de est racine de tout polynôme annulateur Q(X) 2 Ann( ). Il en résulte que pour toute valeur propre
2 Spec( ) on a (X
)|Q(X), donc si on pose Spec( ) = { 1 , ..., k }
alors
k
Y
(X
i ) | Q(X).
En particulier
i=1
Qk
i=1 (X− i )
divise le polynôme minimal.
Proposition 59. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n
avec K = R ou C. Soit 2 End(E). Alors les polynômes P (X) et
m (X) ont les mêmes racines complexes.
Démonstration. Nous savons déjà (puisque m (X) 2 Ann( )) que toute
racine complexe de P (X) est aussi racine complexe de m (X). D’autre
part, d’après le théorème de Cayley-Hamilton P (X) 2 Ann( ) =
(m (X)), donc m (X) divise P (X). Ceci montre que, réciproquement, toute racine complexe de m (X) est aussi racine complexe de
P (X).
⇤
Corollaire 60. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n, et
2 End(E). Alors P est scindé dans R si et seulement si m est
scindé dans R.
Démonstration. En effet, un polynôme à coefficients dans R est scindé
dans R si et seulement si toutes ses racines dans C sont réelles. Il suffit
ensuite d’appliquer la proposition précédente.
⇤
Corollaire 61. Supposons que P
s’écrit sous la forme
P
(X)
= ( 1)n
(X)
Y
soit scindé dans K = R ou C :il
(X
) ma (
).
22
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
Alors
m (X) = ( 1)n
Y
(X
)
( ).
où 1  ( )  ma ( ) pour toute valeur propre .
Le polynôme caractéristique étant calculé, on peut restreindre les
possibilités pour le polynôme minimal en faisant la liste de tous les
diviseurs du polynôme caractéristique et en éliminant ceux qui n’ont
pas les mêmes racines que le polynôme caractéristique. Ensuite il ne
reste plus qu’à chercher parmi les polynômes restants les polynômes
annulateurs unitaires et plus précisément celui de plus bas degré.
3.2. Le lemme des noyaux. Sous-espaces caractéristiques. Pour
expliquer l’importance du lemme des noyaux qu’on va énoncer et démontrer dans ce chapitre, on va commencer par un lemme très simple :
Lemme 62. Soit K un corps, E un K-espace vectoriel de dimension
finie, E = ki=1 Fi une décomposition en somme directe de sous-espaces,
et
un endomorphisme de E tel que chaque sous-espace Fi soit invariant. Désignons par i 2 End(Fi ) l’endomorphisme de Fi induit
par (sa restriction). Alors
1. En choisissant une base Bi de Fi pour 1  i  k, la matrice de
dans la base concaténée B = B1 , . . . , Bk est
0
1
MB1 ( 1 )
0
···
0
B
C
0
MB2 ( 2 ) · · ·
0
C
MB ( ) = B
..
..
..
...
@
A
.
.
.
0
0
· · · MBk ( k )
2. On a
P (X) =
k
Y
P i (X).
i=1
Démonstration. La partie 1 est une reformulation des hypothèses. La
partie 2 vient du fait que le déterminant d’une matrice diagonale par
blocs (ici la matrice MB ( )) est le produit des déterminants des blocs.
⇤
Exemple 63. Si est diagonalisable, alors se décompose en somme
directe d’homothéties linéaires, plus précisément on a =
IdE où
cette écriture signifie que la restriction de à E est la multiplication
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
0
B
par . On a en ce cas MB ( ) = B
@
mg ( i ). De plus P (X) =
Q
(
j
1 I d1
0
..
.
0
X)dj .
0
···
2 I d2 · · ·
..
...
.
0
···
0
0
..
.
k I dk
23
1
C
C où di =
A
Le lemme 62 nous dit que, en général, pour comprendre la structure
d’un endomorphisme 2 End(E), c’est très utile d’avoir une décomposition de E en somme directe de sous-espaces -invariants. Le lemme
des noyaux ci-dessous nous donne une méthode générale pour obtenir
une telle décomposition :
Théorème 64. (Lemme des noyaux). Soit E un K-espace vectoriel de
dimension finie n et 2 End(E). Soient Q1 (X), ..., Qk (X) 2 K[X] tels
que :
H1. Les polynômes Q1 (X), ..., Qk (X) sont premiers entre eux deux à
deux, c’est à dire pgcd(Qi , Qj ) = 1 pour i 6= j.
Q
Q
H2. kj=1 Qj (X) 2 Ann( ) (c’est-à-dire kj=1 Qj ( ) = 0End(E) ),
Alors :
C1. Les sous-espaces Ker (Qj ( )) ⇢ E sont -invariants,
C2. Les sous-espaces Ker (Qj ( )) forment une décomposition de E en
somme directe
E = Ker Q1 ( )
···
Ker Qk ( ).
C3. Pour tout i 2 {1, ..., k} la projection pi : E ! Ker (Qi ( )) associée à cette décomposition en somme directe, regardée comme endomorphisme de E, est un polynôme de , donc s’écrit sous la forme
pi = Pi ( ) pour un polynôme Pi (X) 2 K[X].
Démonstration. C1 est déjà vu au Corollaire 51, et marche pour n’importe quel polynôme Q.
Pour démontrer la deuxième et la troisième partie de la conclusion, on
le fait pour k = 2 (donc l’hypothèse est qu’il existe Q1 , Q2 premiers
entre-eux tels que Q1 Q2 ( ) = 0).
Puisque Q1 (X), Q2 (X) sont premiers entre eux, par le théorème de
Bézout, il existe deux polynômes U1 (X), U2 (X) 2 K[X] tels que
1 = U1 (X)Q2 (X) + U2 (X)Q1 (X).
En appliquant ces polynômes à et en tenant compte que deux polynômes d’endomorphismes en commutent, on obtient
idE = U1 ( ) Q2 ( ) + U2 ( ) Q1 ( ) = Q2 ( ) U1 ( ) + Q1 ( ) U2 ( )
24
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
donc pour tout v 2 E on a les identités
(3.1)
v = U1 ( )(Q2 ( )(v)) + U2 ( )(Q1 ( )(v))
v = Q2 ( )(U1 ( )(v)) + Q1 ( )(U2 ( )(v))
Pour montrer C2, nous devons démontrer
(i) Ker (Q1 ( )) \ Ker (Q2 ( )) = {0E },
(ii) Ker (Q1 ( )) + Ker (Q2 ( )) = E.
Pour (i) soit v 2 Ker (Q1 ( )) \ Ker (Q2 ( )) = {0E }, c’est à dire
Q1 ( )(v) = Q2 ( )(v) = 0E . En utilisant la 1ère identité dans (3.1)
on obtient v = 0E . Donc Ker (Q1 ( )) \ Ker (Q2 ( )) = {0E }.
Pour (ii), soit v 2 E. Nous devons démontrer l’existence v1 2 Ker (Q1 ( )),
et v2 2 Ker (Q2 ( )) tels que v = v1 + v2 . En utilisant la 2nde identité
dans (3.1), on voit qu’il suffit de poser
v1 := Q2 ( )(U1 ( )(v)), v2 := Q1 ( )(U2 ( )(v))
et de remarquer que
Q1 ( )(v1 ) = Q1 ( )(Q2 ( )(U1 ( )(v))) = (Q1 Q2 )( )(U1 ( )(v)) = 0
car par hypothèse Q1 Q2 2 Ann( ) ; ainsi v1 2 Ker Q1 ( ). On procède
de même pour montrer v2 2 Ker (Q2 ( )).
Montrons la partie C3 de la conclusion pour le cas k = 2. En fait
dans la démonstration de C2, on a aussi montré que les projections sur
Ker (Q1 ( )) et Ker (Q2 ( )) sont données par les morphismes
p1 = Q2 U1 ( ) et p2 = Q1 U2 ( ),
Il suffit donc de poser P1 = Q2 U1 et P2 = Q1 U2 .
Pour k quelconque : soit généraliser cette démonstration, soit procéder
par récurrence sur k. C’est plus technique qu’intéressant, on passe là
dessus.
⇤
Définition 65. Soit 2 End(E) et
caractéristique N de par
2 Spec( ). On définit le sous-espace
N = Ker (
où ( ) désigne la multiplicité de
minimal m (X).
IdE )
( )
en tant que racine du polynôme
Notons qu’on a toujours l’inclusion
en effet si x 2 E , alors (
(
IdE )n (x) = (
IdE )n
E ⇢N ,
IdE )(x) = 0 et donc
1
(
IdE )(x) = (
Une conséquence directe du Lemme des noyaux est :
IdE )n 1 (0) = 0.
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
25
Corollaire 66. 1. Soit
2 End(E) et
2 Spec( ). Décomposons
( )
m (X) = (X
) Q(X), avec Q(X) 2 K[X] et Q( ) 6= 0. Alors on
a une décomposition en somme directe
E=N
Ker (Q( )).
2. Supposons que m (X) soit scindé dans K (ce qui est équivalent à la
condition que P (X) soit scindé dans K), c’est à dire qu’on a
Y
m (X) =
(X
) ( ).
2Spec( )
Alors les sous-espaces caractéristiques N sont -invariants et E se
décompose en somme directe de sous-espaces caractéristiques
E=
2Spec( ) N
.
Démonstration. Pour (1) on applique le lemme des noyaux aux polynômes (X− ) ( ) , Q(X), qui sont bien premiers entre-eux. Pour (2)
on applique le même lemme aux polynômes Q := (X
) ( ), 2
Spec( ).
⇤
Remarque 67. L’hypothèse du point 2 du corollaire 66 est équivalente
à supposer que soit trigonalisable.
Si tel est bien le cas, comme les N sont en somme directe, si on a
une base de chacun de ces espaces N alors la matrice dans la base
concaténée est diagonale par blocs ; la seule valeur propre du bloc correspondant à N est . Pour obtenir une matrice triangulaire il faut et
il suffit de savoir trianguler chaque blocs.
Le corollaire suivant donne une interprétation géométrique de l’entier
ma ( ) défini comme multiplicité de la racine dans P (X) :
Corollaire 68. Soit
ma ( ).
2 End(E) et
2 Spec( ). Alors dim N =
Démonstration. On va utiliser la décomposition en somme directe E =
N
Ker (Q( )) donnée par le corollaire précédent. Soit 1 l’endomorphisme induit par sur N et soit 2 l’endomorphisme induit par
sur Ker (Q( )). On a (X
) ( ) 2 Ann( 1 ) car N = Ker (
) ( )
et 1 est la restriction de à N . On a vu que toute racine d’un polynôme caractéristique doit être racine d’un polynôme annulateur. Ici
(X− ) ( ) n’a qu’une racine, donc le polynôme caractéristique P 1 (X)
est de la forme
P 1 (X) = ( 1)k (X
)k
où k = dim(N ). Mais par ailleurs, quand on a une décomposition en
facteur direct de sous espaces stables on a une écriture comme matrice
26
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
triangulaire par blocs et donc le polynôme caractéristique est produit
des polynômes caractéristiques des restriction i.e.
P (X) = P 1 (X)P 2 (X)
où 2 est la restriction de à Ker (Q( )). Comme précédemment on
sait que Q(X) 2 Ann( 2 ). De plus, on sait que toute racine complexe
µ de P 2 (X) doit être racine complexe de Q(X). Or Q( ) 6= 0, donc
µ 6= : cela montre que k est l’exposant de la puissance maximale de
(X
) qui divise P (X), c’est-à-dire k = ma ( ).
⇤
En utilisant la seconde décomposition du corollaire 66, nous obtenons
un nouveau critère de diagonalisabilité :
Corollaire 69. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et
2 End(E). Sont équivalentes
1. est diagonalisable,
2. P (X) est scindé dans K et toutes les racines du polynôme minimal m (X)Qsont simples (i.e. ( ) = 1 pour tout 2 Spec( ) et donc
m (X) =
2Spec( ) (X− ) (formulé de manière plus courte : le polynôme m est scindé à racines simples).
Démonstration. 1. ) 2. Si
en somme directe
est diagonalisable on a une décomposition
E=
E
Mais la restriction de
IdE à E s’annule pour tout 2 Spec( ).
En posant Spec( ) = { 1 , ..., k } ceci montre que la composition
(
1 IdE )
··· (
k IdE )
est nulle sur tout l’espace E, en effet si v 2 E alors
v=
k
X
vj
j=1
avec vj 2 E
(
j
or
··· (
P k ⇣Q
1 IdE )
=
Q
j=1
Pk
=
1 IdE ) · · · (
k IdE )(vj )
⌘ j=1 (
Pk
(
1 IdE )
j IdE )(vj ) =
j=1 0 = 0.
k IdE )(v)
i6=j (
Donc
2Spec( ) (X− ) est un polynôme annulateur de . Ceci montre
que m (X) est un diviseur de ce produit, donc ( )  1 pour toute
valeur propre . Puisque on sait par ailleurs que ( ) 1 on obtient
( ) = 1.
2. ) 1. Si ( ) = 1 alors N = E , donc si 2. est vraie, alors la seconde
décomposition du corollaire 66 devient E =
E , ce qui montre que
est diagonalisable.
⇤
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
Soit
2 End(E) et
27
2 Spec( ). Ecrivons
m (X) = (X− )
avec Q premier à (X− )
par définition N = Ker (
j 6= ( ) comparer Ker (
( )
Q(X)
par définition de ( ). Rappelons que
IdE ) ( ) . Un problème naturel : pour
IdE )j avec N . La réponse est très simple :
( )
Lemme 70. 1. Si j
( ), on a Ker (
IdE )j =N .
j
2. Si j < ( ), on a Ker (
IdE ) (N .
Démonstration. 1. Si j
( ), alors m (X) = (X
) ( ) Q(X) divise
j
j
(X
) Q(X), donc (X
) Q(X) est dans l’idéal annulateur de .
On peut en ce cas appliquer le Lemme des Noyaux :
Ker (
Id )j
Ker Q( ) = E.
Par ailleurs on a Ker (
Id ) ( ) Ker Q( ) = E et Ker (
) ( )⇢
Ker (
)j . Les espaces sont supplémentaires d’un même espace Ker Q( ) :
ils ont donc même dimension, et comme l’un est inclus dans l’autre, ils
sont égaux.
2. Si j < ( ), on a l’inclusion évidente
Ker (
Id )j ⇢ Ker (
Id )
( )
=N .
Supposons qu’on ait égalité. Alors la restriction de (
)j à N sera
nulle donc, en utilisant la décomposition en somme directe donnée par
la première partie du corollaire 66, il en résulte que (X
)j Q(X)
j
est un polynôme annulateur de , parce que (
Id ) s’annule sur
j
j
Ker (
Id ) et Q(X) sur Ker Q( ). Ainsi (X
Id ) Q(X) 2 Ann( ),
donc il est divisible par m (X) = (X
Id ) ( ) Q(X), c’est impossible
car j < ( ), donc l’inclusion est bien stricte.
⇤
Donnons maintenant un algorithme pour le calcul de l’exposant ( )
(qui permet de déterminer le polynôme minimal s’il est scindé) et de
l’espace caractéristique N .
Par ce qui précède, on a
( ) = min{j 2 N⇤ | Ker (
)j = Ker (
)j+1 }
= min{j 2 N⇤ | dim Ker (
)j = ma ( )}
Donc, pour déterminer ( ) on va déterminer explicitement les noyaux
successifs :
Kj ( ) = Ker (
)j
pour lesquels on a une suite d’inclusions :
E = K1 ( ) ⇢ K2 ( ) ⇢ . . . .
28
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
Puisqu’il s’agit d’une chaine croissante de sous-espaces vectoriels d’un
espace de dimension finie, il existe un indice j0 pour lequel Kj0 ( ) =
Kj0 +1 ( ).
3.3. Endomorphismes nilpotents. Soit un endomorphisme de E ;
la restriction u de (
Id ) à l’espace -invariant N = Ker ((
( )
Id ) ) est un endomorphisme u 2 End(N ) qui vérifie u ( ) = 0.
Dans cette section on s’intéresse à ce type d’endomorphisme :
Définition 71. Soit E un espace vectoriel de dimension n sur un corps
K (égal à R ou C). Un endomorphisme u 2 End(E) est dit nilpotent
s’il existe k 2 N⇤ tel que uk = 0End(E) (l’endomorphisme nul). L’indice
de nilpotence d’un endomorphisme nilpotent u est défini par
◆(u) := min{k 2 N | uk = 0End(E) }
en d’autres termes ◆(u) est la plus petite puissance k telle que uk soit
nul.
Proposition 72. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n,
et u 2 End(E) un endomorphisme nilpotent. Alors
1. Le polynôme minimal de u vérifie : mu (X) = X ◆(u) ,
2. ◆(u)  n,
3. Le polynôme caractéristique est Pu (X) = ( 1)n X n ,
4. Spec(u) = {0}.
5. Ker (u) est un sous-espace non-nul de E : 0 est valeur propre et
l’espace propre E0 6= {0} est (par définition) égal à Ker (u).
6. L’endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si u = 0End(E) .
Démonstration. 1. En effet, par la définition même de ◆(u) on constate
que X ◆(u) est un polynôme annulateur de u, donc mu (X) est un diviseur unitaire de X ◆(u) dans K[X]. Mais tout diviseur unitaire de X ◆(u)
est un polynôme de la forme X j où 1  j  ◆(u) et, d’autre part, pour
1  j < ◆(u) on a uj 6= 0End(E) par la définition même de ◆(u), donc
mu (X) = X ◆(u) .
2. Puisque Pu (X) 2 Ann(u) = (mu (X)) (l’idéal engendré par mu (X)),
on a mu (X) | Pu (X), donc n = deg(Pu (X)) deg(mu (X)) = ◆(u).
3,4. On a vu que les racines complexes de Pu (X) coïncident avec les
racines complexes de mu (X) = X ◆(u) . Mais X ◆(u) a une seule racine
complexe dans C, à savoir 0. La factorisation en facteurs irréductibles
(dans C[X]) de Pu (X) sera donc Pu (X) = ( 1)n (X 0)n = ( 1)n X n .
Ceci montre aussi Spec(u) = {0}.
5. Résulte de la définition d’un sous-espace propre ; il s’agit juste d’insister sur ces faits.
6. On a ma (0) = n et mg (0) = dim(E0 ) = dim(Ker (u)), donc u est
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
29
diagonalisable si et seulement si dim(Ker (u)) = n, ce qui est équivalent
à Ker (u) = E, soit u = 0End(E) .
⇤
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, u 2 End(E) un
endomorphisme nilpotent et ◆ son indice de nilpotence.
Lemme 73. Choisissons v 2 E tel que u◆ 1 (v) 6= 0 (un tel vecteur
existe car u◆ 1 n’est pas nul). Alors la famille de vecteurs (v, u(v), ..., u◆ 1 (v))
est libre.
Démonstration. Soit (x0 , ..., x◆ 1 ) 2 K ◆ tel que
◆ 1
X
xi ui (x) = 0.
i=0
En appliquant u◆ 1 à gauche et à droite de cette égalité et en tenant
compte que uj (v) = 0 pour j
◆, on obtient x0 u◆ 1 (v) = 0, donc
◆ 1
(puisque u (v) 6= 0) on a x0 = 0. En appliquant u◆ 2 , on obtient
d’une manière similaire x1 = 0 et, par récurrence finie, xi = 0 pour
tout i 2 {0, ..., ◆ 1}.
⇤
Proposition 74. Soit u 2 End(E) un endomorphisme nilpotent d’indice de nilpotence ◆(u) = n = dim E. Soit v 2 E tel que un 1 (v) 6= 0E .
Alors
1. La famille B := un 1 (v), . . . u(v), v est une base de E,
2. La matrice de u dans cette base est
0
1
0 1
0 ··· 0 0
B 0 0
1
0 C
B .
.. C
.. ..
B .
C
.
.
. C
B .
MB (u) = B .
C.
.. ..
B ..
C
.
.
0
C
B
@ 0 ···
··· 0 1 A
0 0 ··· ··· 0 0
Démonstration. 1. D’après le lemme précédent et l’hypothèse ◆(u) = n,
B est une famille libre de E. Mais le cardinal de cette famille coïncide
avec la dimension de l’espace, donc il s’agit d’une base.
2. C’est immédiat.
⇤
Définition 75. La matrice carrée
0
0 1
0
B 0 0
1
B .
..
B .
.
B .
B .
B ..
B
@ 0 ···
0 0 ···
de taille n
··· 0 0
0
..
..
.
.
.. ..
.
. 0
··· 0 1
··· 0 0
1
C
C
C
C
C
C
C
A
30
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
s’appelle le bloc de Jordan d’ordre n et de valeur propre 0, et sera notée
J0n .
Donc la proposition précédente affirme que, dans une base convenable, la matrice d’un endomorphisme u 2 End(E) d’indice de nilpotence vérifiant ◆(u) = dim(E) est un bloc de Jordan d’ordre dim(E) et
valeur propre 0.
Cette proposition donne la forme canonique des endomorphismes nilpotents u 2 End(E) d’indice de nilpotence maximal ◆(u) = dim(E).
Pour un endomorphisme nilpotent quelconque u il est possible de
montrer (hors programme) qu’il existe une base B dans laquelle la
matrice de u est diagonale par blocs et ces blocs sont des blocs de
Jordan de valeur propre 0, c’est à dire
0
1
M1 · · · · · · · · · 0 0
B 0 M2
0 C
B .
.. C
..
B .
C
.
. C
B .
MB (u) = B .
C,
..
B ..
C
.
C
B
@ 0 ···
···
0 A
0
0 · · · · · · 0 Mr
avec M1 , . . . , Mr des blocs de Jordan de valeur propre 0 de certaines
tailles.
3.4. Exemples de trigonalisations : 2 méthodes. Considérons la
matrice A suivante :
0
1
0 0
1
1
1 A.
A=@ 1
0 1
2
On calcule que son polynôme caractéristique est PA = (X + 1)3 et
que le sous-espace propre E 1 associé à l’unique valeur propre 1 est
de dimension 1, engendré par le vecteur u1 = (1, 1, 1).
Méthode de trigonalisation 1)
L’endomorphisme N 1 = A + I3 est nilpotent d’indice 3 (en effet 0 =
PA (A) = (N 1 )3 ). On calcule que
0
1
1
1 0
1 0 A.
(N 1 )2 = (A + I3 )2 = @ 1
1
1 0
Soit e1 le premier vecteur de la base canonique : on le considère car
(A + I3 )2 e1 6= 0 et c’est la propriété qu’on veut utiliser. Posons u3 = e1 ,
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
31
u2 = N 1 e1 = (A + I3 )e1 = ( 1, 1, 0), alors on a
Au3 = u2 e1 = u2 u3 ,
(A + I3 )u2 = (A + I3 )2 e1 = u1
et Au2 = u2 + u1 . Soit P la matrice de passage de la base canonique
à la base u1 , u2 , u3 , on a donc
0
1
1 1
0
@ 0
1 1 A = P 1 AP
0
0
1
qui est triangulaire supérieure.
Méthode de trigonalisation 2)
Comme la seule valeur propre de A est 1 et que le polynôme caractéristique est scindé, on sait que A est trigonalisable, avec sur la diagonale
ses valeurs propres : il existe une matrice de passage P telle que
0
1
1 a
b
1 c A.
P 1 AP = @ 0
0
0
1
La matrice P est formée des vecteurs v1 , v2 , v3 de la nouvelle base (qu’on
ne connaît pas encore, qui est à calculer et qui est loin d’être unique).
Comme P 1 AP v1 = v1 d’après la matrice ci-dessus, le vecteur v1 doit
être un vecteur propre. On peut choisir v1 = (1, 1, 1). Pour compléter la
base, on doit trouver un vecteur v2 = (x, y, z) (dans la base canonique)
tel que Av2 = v2 + av1 où a est lui aussi à déterminer. On a Av2 =
v2 + av1 si et seulement si
8
z = x+a
<
x y z = y+a
: y 2z = z + a
c’est équivalent à x z = a et y z = a. On choisi a = 1 (la seule
condition essentielle est que a soit non nul, sinon on trouve la solution
x = y = z mais le vecteur (x, x, x) est linéairement dépendant avec v1 ,
il ne pourrait donc faire partie d’une base avec v1 ). On choisi de plus
z = 0 ; alors v2 = (1, 1, 0) vérifie Av2 = v2 + v1 .
Il reste à déterminer v3 = (x, y, z) tel que Av3 = v3 + cv2 + bv1 . Cette
relation est vérifiées si et seulement si
8
z = x+c+b
<
x y z = y+c+b .
:
y 2z = z + b
Choisissons b = 0, c = 1, alors x = z + 1 = y + 1, et en choisissant
x = 1, y = z = 0 , on obtient v3 = (1, 0, 0). Ici encore on a fait
32
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
des choix : la seule restriction à ces choix est de prendre garde que le
vecteur v3 soit linéairement indépendant de la famillev1 , v2 . Une astuce
pour gagner du temps (qui est aussi une autre manière de faire) est
de prendre n’importe quel vecteur v3 qui soit en dehors de l’espace
engendré par v1 , v2 (par exemple v3 = v1 ^ v2 ), et donc tel que v1 , v2 , v3
forme une base, pour ensuite calculer b, c tels que Av3 = v3 +cv2 +bv1 .
Avec v3 = (1, 0, 0) on peut vérifier que la matrice de passage est
0
1
1 1 1
P0 = @ 1 1 0 A
1 0 0
et satisfait à la relation
0
1
P 0 1 AP 0 = @ 0
0
1
1
0
qui est une matrice triangulaire.
1
0
1 A,
1
3.5. Puissances et exponentielle de matrices.
3.5.1. Puissances d’une matrice. Soit A une matrice, supposons que
A soit diagonalisable : il existe une matrice de passage P telle que la
matrice B = P 1 AP soit diagonale B = diag( 1 , . . . , n ). Soit m 2 N
un entier. On vérifie immédiatement que
B m = diag(
m
1 ,...,
m
n ).
De plus par récurrence on voit que Am = (P BP 1 )m = P B m P 1 .
Ainsi connaitre une base de diagonalisation de A permet de calculer
facilement toute puissances de A.
Plus généralement soit A une matrice, supposons que A soit trigonalisable : il existe une matrice de passage P telle que la matrice soit A
une matrice triangulaire supérieure. On peut donc écrire B = D + N
où D est une matrice diagonale et N est une matrice triangulaire supérieure stricte, c’est-à-dire que ses coefficients sur le diagonale sont
tous nuls. Supposons que D et N commutent (attention ce n’est pas
toujours le cas ; mais par un théorème de Jordan (hors programme)
il existe toujours une base telle que la matrice d’un endomorphisme
se décompose en D + N avec D diagonale, N nilpotente et D et N
commutent). Alors on peut utiliser la formule du binôme de Newton
écrire
◆
m ✓
X
m
m
B =
N k Dm k .
k
k=0
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
33
On a déjà vu comment calculer les puissances de D. La matrice N est
triangulaire supérieure stricte : elle est donc nilpotente et son indice
de nilpotence est au plus n, la taille de N . Supposons m n. Comme
pour k
n on a N k = 0, pour calculer B m il suffit de calculer les
npremiers termes :
◆
n ✓
X
m
m
B =
N k Dm k .
k
k=0
On obtient alors A par la formule Am = P B m P
m
1
.
3.5.2. Exponentielle d’une matrice. L’espace vectoriel Mn (C) est de
2
dimension n2 : par le choix d’une base il peut-être identifié à Cn ,
espace qui est muni d’une topologie dite euclidienne. Soit k.k une norme
1
P
quelconque sur Cn (par exemple la norme kzk = ( zi z¯i ) 2 où z =
(z1 , . . . , zn )). Pour A 2 Mn (C) on définit
kAk =
sup
{X2Cn , kXk=1}
kAXk.
On vérifie facilement que c’est une norme sur l’espace vectoriel Mn (C).
De plus :
Lemme 76. On a kAXk  kAk.kXk, kABk  kAk.kBk, kAp k 
kAkp , pour tous A, B 2 Mn (C), X 2 Cn .
Démonstration. A faire en exercice.
⇤
P
kAkk
Pour tout A 2 Mn (C) la série k 0 k! est convergente (elle converge
vers ekAk
e : Mn (C) ! Mn (C) qui à une matrice
P). La1 fonction
P A1associe
k
k
eA := 1
A
est
bien
définie
et
continue
car
la
série
k=0 k!
k 0 k! A est
normalement convergente sur tout compact de Mn (C). La somme eA
est appelée l’exponentielle de la matrice A.
Soit D = diag(µ1 , . . . , µn ) une matrice diagonale.
Proposition 77. On a
eD = diag(eµ1 , . . . eµn )
Démonstration. En effet
P
P
1
1 k
1 k
k
eD =
D
=
k
0
k 0 diag( k! µ1 , . . . , k! µn )
k!
P
P
= diag( k 0 k!1 µk1 , . . . , k 0 k!1 µkn ) = diag(eµ1 , . . . eµn )
l’égalité entre
Pla première et la seconde ligne étant justifiée par le fait
que la série k 0 k!1 Ak est normalement convergente.
⇤
Proposition 78. Soit P 2 GLn (C) et soit A 2 Mn (C). On a
eP
1 AP
=P
1 A
e P.
34
XAVIER ROULLEAU - UNIV. D’AIX-MARSEILLE - L3 - 2019/2020
Démonstration. Le morphisme d’anneaux f :PMn (C) ! Mn (C) défini
par A ! P 1 AP est continu. Ainsi la série f ( nk!=0 k1 An ) converge vers
P
P
f (eA ) = P 1 eA P. Mais f ( nk=0 k!1 An ) = nk=0 k!1 (P 1 AP ) qui converge
1
vers eP AP , d’où le résultat.
⇤
Une conséquence immédiate est la suivante :
Corollaire 79. Soit A 2 Mn (C) diagonalisable et soit Q une matrice
qui diagonalise A : Q 1 AQ = D avec D = diag(µ1 , . . . , µn ). On a :
eA = Qdiag(eµ1 , . . . , eµn )Q 1 .
✓
◆
2i⇡ 0
A
Exercice 80. Calculer e pour A =
.
0
2i⇡
Par ce qui précède, on remarque que si A est diagonalisable, les
valeurs propres de eA sont les exponentielles des valeurs propres de A.
Plus généralement, soit A 2 Mn (C) une matrice quelconque.
Proposition 81. Le spectre de la matrice eA est l’ensemble des complexes de la forme e où 2 Spec(A). De plus e a une multiplicité
algébrique au moins égale à celle de 2 Spec(A).
Démonstration. Comme A est à coefficients complexes on peut trigonaliser A : il existe P inversible telle que T = P 1 AP soit trigonale.
Soit 1 , . . . , n les coefficients diagonaux de T (ce sont aussi les valeurs
propres de A répétées avec multiplicité). On montre par récurrence
sur n que les coefficients diagonaux de la matrice trigonalePT k sont
k
1 j
k
k
1 , . . . , n . Cela implique que le coefficient (i, i) de la matrice
j=0 j! T
P
est kj=0 j!1 ji , qui converge vers e i . Ainsi e i est valeur propre de eT
et donc de eA = P eT P 1 .
⇤
Remarque 82. Supposons que N 2 Mn (C) soit nilpotente d’ordre r.
Alors comme N k = 0 pour k
r, l’exponentielle eN est une somme
finie :
r
X
1 k
eN =
N .
k!
k=0
Proposition 83. Soient A, B 2 Mn (C) telles que A et B commutent :
AB = BA. On a eA+B = eA eB .
Démonstration. Comme A et B commutent on peut utiliser la formule
du binôme et on a
◆
n ✓
X 1
1
1 X n
1
n
(A + B) =
Ak B n k =
Ak B i ,
n!
n! k=0 k
k! i!
k+i=n
ALGÈBRE 3, COURS DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT, CHAPITRE I
35
P 1
P 1 n
ainsi la série
(A + B)n est le produit de Cauchy des séries
A
n!
n!
P 1 n
et
B , d’où le résultat.
⇤
n!
Corollaire 84. Soit A 2 Mn (C), alors eA est inversible et (eA )
e A.
1
=
Démonstration. En effet la matrice A commute avec A, donc e0 =
eA e A (ici le 0 est la matrice nulle de taille n). Comme e0 = In , on a
eA e A = In et voit que la matrice eA est inversible et d’inverse e A . ⇤
La décomposition de Dunford d’une matrice complexe A est l’écriture A = D + N où D est une matrice diagonalisable, N une matrice
nilpotente et de plus D et N commutent : DN = N D. On peut montrer (hors-programme) qu’une telle décomposition existe toujours et
est unique. On a vu comment calculer l’exponentielle d’une matrice
diagonalisable D et d’une matrice nilpotente N , et donc par la proposition précédente si A = N + D est la décomposition de Dunford d’une
matrice on a :
Corollaire 85. L’exponentielle de A est la matrice eA = eD eN
Voici un dernier résultat qui peut sembler curieux au premier abord :
Proposition 86. Soit A 2 Mn (C), alors 9P 2 C[X] tel que eA =
P (A).
Démonstration. L’ensemble des polynômes d’endomorphisme de A est
WA := {P (A) | P 2 C[X]}.
C’est un sous-espace vectoriel de Mn (C) (exercice : comment fait-on
pour vérifier ça ?). Comme Mn (C) est de dimension finie, WA est de
dimension finie (exercice : montrer qu’il est de dimension au plus n en
utilisant le théorème de Cayley-Hamilton).
Donc WP
A est un fermé de
P
1 n
Mn (C). Les termes partiels nk=0 k!1 Ak de la série
A sont dans
n!
WA , qui est un fermé, donc la série converge vers un élément de WA ,
c’est à dire eA 2 WA , ou encore 9P 2 C[X] tel que eA = P (A).
⇤
Exercice 87. Que signifie la proposition ci-dessus pour la cas n = 1,
c’est à dire A = (a), a 2 C ? Expliciter le polynôme P tel que P (A) =
eA .
Université d’Aix-Marseille
L3 S5, Télé-enseignement
Année 2019–2020
TD 1
Algèbre et Géométrie
1. Exercices de Révisions (exercices non corrigés par la suite)
Exercice 1
1. Rappeler la définition de sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E.
2. Rappeler la définition de famille génératrice d’un espace vectoriel E, puis de famille libre.
3. Rappeler les définitions de base et dimension d’un espace vectoriel E.
4. Rappeler la définition d’application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F .
5. Donner la définition de noyau et image d’une application linéaire f : E ! F .
6. Commenter l’affirmation suivante :
“il existe une application linéaire surjective f : M5 (R) ! R25 [X]”
7. Commenter l’affirmation suivante :
“pour tout A, B 2 Mn (R) on a det(A + B) = det A + det B ”
Exercice 2
1. Soit H = {A 2 M2 (R) : a11 + a12
sous-espace vectoriel de M2 (R).
a21 + a22 = 0}, montrer que H est un
2. Trouver la dimension de H, ainsi qu’une base.
3. Montrer que l’application définie par
T : M2 (R) !
R
A
7! a11 + a22
est linéaire. Trouver la dimension et une base du noyau Ker(T ).
4. Montrer que Ker(T ) \ H est un sous-espace vectoriel de M2 (R). Trouver sa dimension,
ainsi qu’une base.
5. Donner la dimension de Ker(T )+H. Les deux sous-espaces Ker(T ) et H sont ils supplémentaires
dans M2 (R) ? Justifier la réponse.
Exercice 3 Si B = (e1 , . . . , en ), B 0 = (f1 , . . . , fn ) sont deux bases d’un espace vectoriel de
dimension finie E et si f : E ! E est une application linéaire, on note MB,B0 (f ) la matrice de
f dans les bases B, B 0 : ses vecteurs colonnes sont les vecteurs f (ei ) dans la base B 0 .
Soit B = {e1 , e2 , e3 } la base canonique de R3 . Soit B 0 = {a, b, c} la famille de vecteurs de R3
définie par
a = e1 + e2 + e3
b = e1 + e2 + 3 e 3
c = e1 + 2 e2 + 5 e3 .
1. Montrer que B 0 est une base de R3 .
On considère f : R3 ! R3 l’application linéaire définie par
f (a + b) = f (b)
f (b) =
e1
e2
3 e3
f (c) = e1 + 2 e2 + 5 e3
2. Donner les matrices
MB,B (f ),
MB0 ,B0 (f ),
MB,B0 (f )
1
et
MB0 ,B (f ).
3. Trouver dimensions et bases de Im(f ) et Ker(f ). Dire si f est un automorphisme de R3 ,
en justifiant la réponse.
4. Trouver tous les vecteurs x 2 R3 tel que
f (x) = b + c.
Exercice 4 (Changement de de bases). Soient B = (e1 , e2 , e3 ), la base canonique de C3 , et soit
f l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est
0
1
0 1 0
A = @ 0 0 1 A.
1
3 3
Soient f1 = (1, 1, 1), f2 = ( 1, 0, 1), f3 = (1, 0, 0). Montrer que (f1 , f2 , f3 ) forme une base B 0 et
déterminez la matrice de f dans cette base.
Exercice 5 Soit A = (aij )i,j=1,...,n 2 Mn (R) une matrice n ⇥ n . On appelle trace de A la
somme des coefficients diagonaux de M et on la note tr A. Plus précisement on définit
tr A :=
n
X
aii .
i=1
Dans tout l’exercice, on suppose que A est une matrice triangulaire supérieure.
1. Calculer les coefficients diagonaux de A2 en fonction des coefficients de A.
2. Supposons maintenant que A2 = A. Montrer que si tr A = n, alors A est inversible. En
déduire que si tr A = n, alors A = Idn .
3. Posons B := Idn
A 2 Mn (R). Montrer que l’on a B 2 = B si et seulement si A2 = A.
4. Montrer que si A2 = A et tr A = 0, alors A = 0.
2
2. Exercices corrigés au prochain envoi : Diagonalisation et trigonalisation
Exercice 6 Pour quelles valeurs des
elles diagonalisables ?
0
1 a
B 0 2
A=B
@ 0 0
0 0
0
paramètres réels a, b, c, d, e, f les matrices suivantes sontb
d
2
0
1
0
c
1 a
B 0 1
e C
C, B = B
@ 0 0
f A
2
0 0
b
d
2
0
1
c
e C
C.
f A
2
1
1 1
1
Exercice 7 Soit A = @ 1 1 1 A .
1 1 1
1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A. La matrice A est-elle
diagonalisable ?
2. Déterminer les sous-espaces V de R3 stables (c’est-à-dire A-invariants) par l’endomorphisme associé à A dans la base canonique. Aide : on procédera suivant la dimension de
V , le cas le plus compliqué étant dim V = 2, considérer alors la restriction de A à V :
quels sont ses valeurs et vecteurs propres possibles ?
Exercice 8
1. Soit A 2 Mn (K) et B = A + aIn , a 2 K. Montrer que A est diagonalisable si
et seulement si B est diagonalisable. Aide : on peut résoudre cette question en utilisant
le critère de diagonalisibilité du cours : A est diagonalisable si et seulement si il existe un
polynôme scindé à racines simples Q tel que Q(A) = 0.
0
1
1 1 1 1
B 1 1 1 1 C
C
2. Soit C = B
@ 1 1 1 1 A. Montrer que C est diagonalisable et trouver P 2 GL4 (R) telle
1 1 1 1
1
que P CP soit diagonale.
0
1
16 1 1 1
B 1 16 1 1 C
C
3. Soit D = B
@ 1 1 16 1 A. Montrer que D est diagonalisable et trouver Q 2 GL4 (R)
1 1 1 16
1
telle que Q DQ soit diagonale.
0
1
2
1 2
6 11 A . La matrice A est-elle trigonalisable sur R ? Si oui,
Exercice 9 Soit A = @ 15
14
6 11
1
trouver P 2 GL3 (R) telle que P AP soit triangulaire supérieure.
Exercice 10 Soit g l’endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est
0
1
0 0 0
2
B 1 0 0 7 C
C
A=B
@ 0 1 0
9 A
0 0 1 5
1. Vérifier que 1 et 2 sont les seules valeurs propres de g. Calculer les sous-espaces propres
associés. En déduire que g n’est pas diagonalisable.
3
2. Trouver x 2 R tel que le vecteur v3 = (x, 1, 0, 0) soit un vecteur de ker(g Id)3 \ ker(g
Id)2 .
3. Soient v2 = (g Id)(v3), v1 = (g Id)2 (v3 ) et v4 le vecteur de ker(g 2Id) dont la
dernière coordonnée vaut 1. Vérifier que (v1 , v2 , v3 , v4 ) est une base et donner la matrice
de g dans cette base.
Polynômes minimaux, polynômes d’endomorphismes
0
1
0 1 0
Exercice 11 Soit A = @ 1 0 1 A
1 1 1
1. Calculer le polynôme caractéristique de A, PA (X).
2. Calculer le reste de la division euclidienne de X n (n 2 N⇤ ) par PA (X).
3. Calculer An par deux méthodes di↵érentes en utilisant soit la diagonalisation, soit le
théorème de Cayley-Hamilton.
Exercice 12 Calculer le polynôme minimal des matrices suivantes
diagonalisables ou non :
0
1
0
1
0
4 0 0
3
1 1
1
A=@ 2 1 3 A B=@ 2 0 1 A C=@ 0
5 0 4
1
1 2
0
où a, b, c 2 R (discuter selon les valeurs de a, b et c).
Exercice 13 Soit A 2 M6 (C) telle que PA (X) = (X 1)4 (X
Que peut-on dire des dimensions des espaces propres ?
et préciser si elles sont
1
a 1
1 b A
0 c
2)2 , mA (X) = (X
1)2 (X
2).
Exercice 14 Soit f un endomorphisme d’un R-espace vectoriel de dimension finie n. On note
F = Im(f ), et on suppose que f vérifie
f3 + f2 + f = 0
1. a) Montrer que F est un sous espace vectoriel f -invariant.
b) Montrer que Ker(f ) \ Im(f ) = {0}
c) En déduire que la restriction g de f à F est un automorphisme de F .
d) Trouver un polynôme annulateur non trivial de g. Quel peut être de degré du polynôme
minimal de g ?
2. a) Montrer que si 2 Spec(f ), alors = 0.
b) En déduire que le rang de f est pair (raisonner par l’absurde et étudier les racines réelles du
polynôme caractéristique de g).
Exercice 15 Soit E un espace vectoriel, f un endomorphisme de E et soit a 2 E. Définissons
Fa = V ect( f k (a) | k 2 N ).
1. Montrer que si dim E = n, alors Fa = V ect( f k (a) | k 2 {0,01, . . . , n 1} ). 1
1
1
1
2 2 A . Montrer qu’il
2. Soit f l’endomorphisme de R3 associé à la matrice A = @ 2
1
1
1
3
3
n’existe pas a 2 R tel que Fa = R .
3. Soit f un endomorphisme diagonalisable de R3 . A quelle condition sur f existe t’il un vecteur
a tel que Fa = R3 ?
4
Exercice 16 Soit E un K-espace vectoriel, f et g des endomorphismes de E tels que f g = g f
et soit P 2 K[X] un polynôme.
1. Montrer que P (g) et f commutent.
2. Montrer que le noyau et l’image de l’endomorphisme P (g) sont f -invariants.
Exercice 17 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphisme de E et
F un sous-espace vectoriel de E stable par f. On désigne par g l’endomorphisme de F induit
par f sur F .
1. Montrer que Spec(g) ✓ Spec(f )
2. Montrer que si P (f ) = 0 alors P (g) = 0. En déduire que le polynôme minimal de g divise
celui de f .
0
1
11
5 5
3 A.
Exercice 18
1. Calculer eA pour A = @ 5 3
5
3 3
0
1
0 0
1
@
1
1
1 A. On a donné la trigonalisation de cette matrice en cours. A
2. Soit B =
0 1
2
l’aide de cette trigonalisation calculer eB
Exercice 19
1. Soit A nilpotente d’indice r, calculer eA .
2. Soit A = .In + N avec N nilpotente. Calculer eA .
Exercice 20 Résoudre dans M3 (R) l’équation matricielle
X2
3X + 2 = 0.
Calculer, pour chaque solution, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal ; comparezles avec le polynôme X 2 3X + 2.
5