1. Të gjendet fusha e përkufizimit për funksionin
x2  1  x
f ( x)  ln
f ( x)  log 10  3 x  x 2   log  x 2  3
x 1  x
2
2. Të njehsohen limitet
a) lim
n 
5n 1  7 n  2
5n  7 n 1
b) lim
x 2
n2  n  1
c) lim
n  1  3  5  ......  (2n  1)
x5  16 x
2 x 2  4 x  16
d) lim n ln  n  1  ln n 
n 
3. Shuma e katër anëtarëve të njëpasnjëshëm të një progresioni gjeometrik është
9750. Kush janë ata anëtarë, nëse diferenca midis anëtarit të katërt dhe anëtarit të
parë sillet ndaj diferencës së anëtarit të tretë dhe të dytë si 19:6?
4. Shuma e katër numrave që formojnë progresion aritmetik është 16, ndërsa
shuma e vlerave reciproke të skajeve është për 16 /15 më e vogël se shuma e
vlerave reciproke të anëtareve të mesit. Kush janë ata numra?
5. Gjeni intervalet e monotonisë dhe ekstremumet :
f ( x)  x 5  x 3  2 x
f ( x)  x3  3x 2  9 x  14
6. Të njehsohen integralet:
2x 2
( x  1)dx
a)  3
b) 
dx
2
9  3x  x 2
x  1
d)  e x 1  e x dx
e)
 x 1  x  dx
53
2 2
ln 5
c)

0
ex ex 1
dx
ex  3
f)
x
dx
4x2  x  1
7. Gjeni syprinën e sipërfaqes së kufizuar nga vijat y  x3  12 x dhe y  x 2 .
8. Gjeni syprinën e sipërfaqes së kufizuar nga parabola y 2  x  1 dhe drejtëza
y  x 1 .
Zgjidhjet:
1)
x2  1  x
x 1  x
2
 0 nga fakti se x 2  1  x 2 ,
gjithashtu vlen edhe
x 2  1  x;
x 2  1  x  0, x  
x 2  1  x  0, x  
si dhe x    x  0   x  0, nga x 2  1  ( x) 2  x 2  1  ( x) 2
x2  1   x  x2  1  x  0
Prandaj edhe funksioni f ( x)  ln
x2  1  x
ka kuptim pwr çdo x  
x2  1  x
1,b) Funksioni ka kuptim pwr 10  3x  x 2  0  x 2  3  0 kjo dmth.
x  (2,5)  x  (, 3 )  ( 3 ,) dhe prerja e kwtyre dy bashkwsive jep domenwn e
funksionit nw fjalw, qw wshtw D f : x  (2, 3 )  ( 3,5)
n1
2. a)
lim
n
n 2
5 7

5n  7 n1 lim
n
x 5  16 x
b) lim 2
 lim
n 2 x  4 x  16
n
c)
5n1 7 n2

7 n2 7 n2  0  1  
5n
7 n1 0  0

7 n 2 7 n 2
x 5  16 x
x 5  16 x
1
x5
x5

  
2
2
lim
2 x  4 x  16
0
n 2 x  4 x  16
5
5
x
x
n2  n  1
n2  n  1

 lim
lim
lim
n2
n 1  3  5  ...  ( 2n  1)
n
n
n2  n  1
1
n2
 1
2
n
1
2
n
n 1
 1
d) lim n[ln( n  1)  ln n]  lim ln 
  ln lim 1    ln e  1
 n 

n
n
n 


n

n
n
e
Det. 3. Nga fakti se termat e vargut janw tw njwpasnjwshwm kemi se
ai  ai1  ai2  ai3  9750 dhe (ai3  ai ) : (ai2  ai1 )  19 : 6
6  (ai3  ai )  19  (ai2  ai1 ) tani nga fakti se vargu wshtw gjeometrik atwherw vlen relacion
ai  a1  q i 1 I cili pasi qw tw shfrytwzohet nw formulwn e mwsipwrme fitojmw:
6ai (q 3  1)  19ai (q 2  q)  6(q  1)( q 2  q  1)  19q(q  1) dhe ps thjeshtimit fitojmw
6q 2  13q  6  0 zgjidhjet e tw cilit ekuacion janw q1  1/ 5; dhe q2  2 / 3;
Tani nga fakti se ai  ai1  ai2  ai3  9750 fitojmw relacionin
9750
ai (1  q  q 2  q 3 )  9750  ai 
 1200 andaj ai1  1200  q1  1800
8,125
ai2  1800  q1  2700 dhe pwrfundimsht ai3  2700  q1  4050
Kwta katwr numra paraqesin termat e njwpasnjwshwm tw njw vargu gjeometrik qw I plotwson
kushtet e mwsipwrme.
Njejtw edhe pwr rastin e q2  2 / 3; (marrim tw njejtit numra vetwm se me renditje tw kundwrt)
Det.4. shiko edhe nje here detyren, mos eshte gabim!
'
4
2
4
2
Det.5. a) gjejmw derivation e pare dhe fitojmw f ( x)  5x  3x  2  0 nga 5 x  3x  2  0
qw paraqet ekuacion bikuadratik kemi
x 21  1 dhe x 2 2  1 / 2 . Zgjidhja e dytw nuk ka kuptim kurse e para na jep zgjidhjen x1 / 2  1
Prandaj shqyrtojmw monotoninw nw intervalin (,1)  (1,1)  (1,) dhe shihet se derivati I
parw I funksionit wshtw pozitiv pwr (,1)  (1,) dhe negative pwr (1,1) . Kjo dmth se
funksioni wshtw monotono rritws pwr x  (,1)  (1,) dhe monotono zvogelues pwr
x  (1,1) . Vlerat ekstreme arrihen nw pikat P (1,2) qw paraqet maximum pwr x  1 dhe
minimumi nw pikwn Q(1,2) qw fitohet pwr x  1.
'
2
2
b) gjejmw derivatin e pare dhe fitojmw f ( x)  3x  6 x  9 nga 3x  6 x  9  0 qw paraqet
ekuacion kuadratik kemi zgjidhjet e tw cilit janw x1  3 dhe x2  1 .
Prandaj shqyrtojmw monotoninw nw intervalin (,1)  (1,3)  (3,) dhe shihet se derivati
I parw I funksionit wshtw pozitiv pwr (,1)  (3,) dhe negative pwr (1,3) . Kjo dmth se
funksioni wshtw monotono rritws pwr x  (,1)  (3,) dhe monotono zvogelues pwr
x  (1,3) . Vlerat ekstreme arrihen nw pikat P(1,19) qw paraqet maximum pwr x  1 dhe
minimumi nw pikwn Q (3,13) qw fitohet pwr x  3 .
Det.6. a)
x3  1  t
2
2 x dx
3 x 2 dx  dt
3
2 ky integral zwv.
 1)
dt prandaj kemi
x 2 dx 
3
 (x
( x  1)dx
1
(2 x  3)
3
dx
dx
dx  



2
2 9  3x  x 2
9  3x  x 2
9  3x  x 2
b)


1
(2 x  3)
5
dx
dx  
 I1  I 2

2
2 9  3x  x 2
9  3x  x 2
9  3x  x 2


dt
3  2 dt   2  C
2
t
3  t2
3t
2
1
(2 x  3)
dx  zev.9  3x  x 2  t 2  (2 x  3)dx  2tdt 

2
2
9  3x  x
1 2tdt
I1   
   dt  t  C   9  3x  x 2  C
2 t
5
dx
6u  3
 6(u 2  u  1)
I2  
 zev. 9  3x  x 2  3  xu  x  2
 dx 
du
2 9  3x  x 2
u 1
(u 2  1) 2
I1  
I2 
ln 5
c)

0
5 2du
3  9  3x  x 2

5
arctgu

C

5
arctg
(
)C
2  u2 1
x
ex ex 1
dx
ex  3
2
2
2t 2 dt
4
t
 2 (1  2
)dt  2t 02 4arctg
2
t 4
t 4
2
0
0
zev. e x  1  t 2  e x dx  2tdt  
2
0
 4 
2
d)  e x 1  e x dx  zev.1  e x  t 2  e x dx  2tdt andaj  e x 1  e x dx    2t 2 dt   t 3  C
3
2

(1  e x )3  C
3
e)
x
53
(1  x ) dx  zev.(1  x )  t  x  t  1  dx 
2 2
2
3
3
3t 2 dt
2 t 3 1
f)
3 3
3 t11
t8 3 t5
2 4
 2 (t  1) t dt  2 11  3 8  2 5  C
f)
x
dx
4x2  x  1
 zev. 4 x 2  x  1  2 x  t  x 
t 2 1
 2(2t 2  t  2)dt
 dx 
4t  1
(4t  1) 2
t 2 1
 2t  t  2
t 

4t  1
4t  1
4x2  x 1  2
Dhe fitojme
 2
dt
t 1
  ln
C
t 1
t 1
2
Det.7. y  x 3  12 x dhe y  x 2 pikwprerjet janë x1  3 dhe x2  4 dhe gjejmw
0
 (x
12
3
 12 x  x )dx 
2
3
12
 x dx   ( x
2
0
4
3
 12 x)dx 
0
 (x
2
 ( x 3  12 x)) dx =…
12
Det.8. Gjeni syprinën e sipërfaqes së kufizuar nga parabola y 2  x  1 dhe drejtëza
y  x 1 .
2
 (( y  1)  ( y
1
2
 1)) dy 
27
njwsi katrore.
6