REVISION DE LA SEMANA 1
PROFESOR FELIPE ALBERTO BARRETO NAGED
ESTADISTICA – PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
1A. Cálculo de Probabilidades:
1B. Cálculo de Probabilidades:
𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟏
𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝟏
𝒊 𝟏
2A. Cálculo del Valor Esperado Poblacional de la
variable aleatoria X:
2B. Cálculo del Valor Esperado Poblacional de la
variable aleatoria X:
𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑬(𝒙)
𝒙𝒊 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑬(𝒙)
𝒊 𝟏
3A: Cálculo de la Varianza Poblacional de la variable
aleatoria X:
3B. Cálculo de la Varianza Poblacional de la variable
aleatoria X:
(𝒙 − 𝑬(𝒙))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑬(𝒙)
(𝒙𝒊 − 𝑬(𝒙))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(𝑿)
𝒊 𝟏
PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO POBLACIONAL UNIVARIADO
4A. Valor esperado de una constante c:
4B. Valor esperado de una constante c:
𝒄𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑬(𝒄)
𝒄𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑬(𝒄)
𝒊 𝟏
𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝒄 ∗ 𝟏 = 𝒄
𝒄
𝒊 𝟏
𝑬(𝒄) = 𝒄
Revisar la ecuación 1A para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado).
5A: Cálculo del valor esperado de una constante por
una variable aleatoria cX:
𝒄
𝑬(𝒄) = 𝒄
Revisar la ecuación 1B para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado).
5B: Cálculo del valor esperado de una constante por
una variable aleatoria cX:
𝒄𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑬(𝒄)
𝒄𝒙𝒊 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑬(𝒄𝒙)
𝒊 𝟏
𝒙𝒊 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝒄 ∗ 𝑬(𝒙)
𝒄
𝒊 𝟏
𝑬(𝒄𝒙) = 𝒄𝑬(𝒙)
Revisar la ecuación 2A para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado).
6A: Cálculo del valor esperado de aX + b, donde a y b
son constantes y X es una variable aleatoria:
(𝒂𝒙𝒊 + 𝒃)𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑬(𝒂𝒙 + 𝒃)
𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒄 ∗ 𝟏 = 𝒄
𝒄
𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒄 ∗ 𝟏 = 𝒄
𝑬(𝒄𝒙) = 𝒄𝑬(𝒙)
Revisar la ecuación 2B para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado).
6B: Cálculo del valor esperado de aX + b, donde a y b
son constantes y X es una variable aleatoria:
(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑬(𝒂𝒙 + 𝒃)
𝒊 𝟏
𝒂𝒙𝒊 𝒑(𝒙𝒊 ) +
𝒊 𝟏
𝒃𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃
𝒊 𝟏
𝑬(𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃
𝒂𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙 +
𝒃𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃
𝑬(𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃
Revisar la ecuación 5A para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 4A para el resultado obtenido (en Azul).
7A: Cálculo del valor esperado de aX - b, donde a y b
son constantes y X es una variable aleatoria:
Revisar la ecuación 5B para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 4B para el resultado obtenido (en Azul).
7B: Cálculo del valor esperado de aX - b, donde a y b
son constantes y X es una variable aleatoria:
(𝒂𝒙 − 𝒃)𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑬(𝒂𝒙 − 𝒃)
(𝒂𝒙𝒊 − 𝒃)𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑬(𝒂𝒙 − 𝒃)
𝒊 𝟏
𝒂𝒙𝒊 𝒑(𝒙𝒊 ) −
𝒊 𝟏
𝒂𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙 −
𝒃𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃
𝒊 𝟏
𝑬(𝒂𝒙 − 𝒃) = 𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃
Revisar la ecuación 5A para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 4A para el resultado obtenido (en Azul).
8A: Cálculo del valor esperado de -aX + b, donde a y b
son constantes y X es una variable aleatoria:
𝒃𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃
𝑬(𝒂𝒙 − 𝒃) = 𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃
Revisar la ecuación 5B para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 4B para el resultado obtenido (en Azul).
8B: Cálculo del valor esperado de -aX + b, donde a y b
son constantes y X es una variable aleatoria:
(−𝒂𝒙 + 𝒃)𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑬(−𝒂𝒙 + 𝒃)
(−𝒂𝒙𝒊 + 𝒃)𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑬(−𝒂𝒙 + 𝒃)
𝒊 𝟏
𝒂𝒙𝒊 𝒑(𝒙𝒊 ) +
−
𝒊 𝟏
𝒃𝒑(𝒙𝒊 ) = −𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃
−
𝒂𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙 +
𝒃𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = −𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃
𝒊 𝟏
𝑬(−𝒂𝒙 + 𝒃) = −𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃
𝑬(−𝒂𝒙 + 𝒃) = −𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃
Revisar la ecuación 5A para el resultado obtenido en la Revisar la ecuación 5B para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado) y la segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 4B para el resultado obtenido (en Azul).
ecuación 4A para el resultado obtenido (en Azul).
9A: Cálculo del valor esperado de -aX - b, donde a y b
son constantes y X es una variable aleatoria:
9B: Cálculo del valor esperado de -aX - b, donde a y b
son constantes y X es una variable aleatoria:
(−𝒂𝒙 − 𝒃)𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑬(−𝒂𝒙 − 𝒃)
(−𝒂𝒙𝒊 − 𝒃)𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑬(−𝒂𝒙 − 𝒃)
𝒊 𝟏
𝒂𝒙𝒊 𝒑(𝒙𝒊 ) −
−
𝒊 𝟏
𝒃𝒑(𝒙𝒊 ) = −𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃
−
𝒂𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙 −
𝒃𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = −𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃
𝒊 𝟏
𝑬(−𝒂𝒙 + 𝒃) = −𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃
𝑬(−𝒂𝒙 − 𝒃) = −𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃
Revisar
la
ecuación
5B para el resultado obtenido en la
Revisar la ecuación 5A para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado) y la segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 4B para el resultado obtenido (en Azul).
ecuación 4A para el resultado obtenido (en Azul).
PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO POBLACIONAL BIVARIADO
10A: Cálculo del valor esperado de aX + bY, donde a y
10B: Cálculo del valor esperado de aX + bY, donde a y
b son constantes y X, Y son variables aleatorias y p(x,y) b son constantes y X, Y son variables aleatorias y f(xy)
es la distribución conjunta de X y Y:
es la distribución conjunta de X y Y:
(𝒂𝒙𝒊 + 𝒃𝒚𝒋 )𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 = 𝑬(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝑬(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
𝒋 𝟏𝒊 𝟏
𝒂𝒙𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 +
𝒂𝒙𝒊 𝒑 𝒙𝒊 𝒚𝒋 +
𝒊 𝟏
𝒃𝒚𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒚 = 𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃𝑬(𝒚)
𝒃𝒚𝒋 𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 = 𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃𝑬(𝒚)
𝒋 𝟏
𝑬(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = 𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃𝑬(𝒚)
Revisar la ecuación 5A para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 5A para el resultado obtenido (en Azul).
11A: Cálculo del valor esperado de aX - bY, donde a y b
son constantes y X, Y son variables aleatorias y p(x,y)
es la distribución conjunta de X y Y:
(𝒂𝒙𝒊 − 𝒃𝒚𝒋 )𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 = 𝑬(𝒂𝒙 − 𝒃𝒚)
𝑬(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = 𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃𝑬(𝒚)
Revisar la ecuación 5B para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 5B para el resultado obtenido (en Azul).
11B: Cálculo del valor esperado de aX - bY, donde a y b
son constantes y X, Y son variables aleatorias y f(x,y)
es la distribución conjunta de X y Y:
(𝒂𝒙 − 𝒃𝒚)𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝑬(𝒂𝒙 − 𝒃𝒚)
𝒋 𝟏𝒊 𝟏
𝒂𝒙𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 −
𝒃𝒚𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒚 = 𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃𝑬(𝒚)
𝑬(𝒂𝒙 − 𝒃𝒚) = 𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃𝑬(𝒚)
Revisar la ecuación 5B para el resultado obtenido en la
𝒊 𝟏
𝒋 𝟏
segunda línea de este apartado (en Morado) y la
𝑬(𝒂𝒙 − 𝒃𝒚) = 𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃𝑬(𝒚)
Revisar la ecuación 5A para el resultado obtenido en la ecuación 5B para el resultado obtenido (en Azul).
segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 5A para el resultado obtenido (en Azul).
12A: Cálculo del valor esperado de -aX + bY, donde a y 12B: Cálculo del valor esperado de -aX + bY, donde a y
b son constantes y X, Y son variables aleatorias y p(x,y) b son constantes y X, Y son variables aleatorias y f(x,y)
es la distribución conjunta de X y Y:
es la distribución conjunta de X y Y:
𝒂𝒙𝒊 𝒑 𝒙𝒊 𝒚𝒋 −
𝒃𝒚𝒋 𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 = 𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃𝑬(𝒚)
(−𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝑬(−𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
(−𝒂𝒙𝒊 + 𝒃𝒚𝒋 )𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 = 𝑬(−𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
𝒋 𝟏𝒊 𝟏
−
−
𝒂𝒙𝒊 𝒑 𝒙𝒊 𝒚𝒋 +
𝒊 𝟏
𝒂𝒙𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 +
𝒃𝒚𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒚 = −𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃𝑬(𝒚)
𝒃𝒚𝒋 𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 = −𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃𝑬(𝒚)
𝒋 𝟏
𝑬(−𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = −𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃𝑬(𝒚)
𝑬(−𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = −𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃𝑬(𝒚)
Revisar la ecuación 5A para el resultado obtenido en la Revisar la ecuación 5B para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado) y la segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 5B para el resultado obtenido (en Azul).
ecuación 5A para el resultado obtenido (en Azul).
13A: Cálculo del valor esperado de -aX - bY, donde a y
13B: Cálculo del valor esperado de -aX - bY, donde a y
b son constantes y X, Y son variables aleatorias y p(x,y) b son constantes y X, Y son variables aleatorias y f(x,y)
es la distribución conjunta de X y Y:
es la distribución conjunta de X y Y:
(−𝒂𝒙 − 𝒃𝒚)𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝑬(−𝒂𝒙 − 𝒃𝒚)
(−𝒂𝒙𝒊 − 𝒃𝒚𝒋 )𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 = 𝑬(−𝒂𝒙 − 𝒃𝒚)
𝒋 𝟏𝒊 𝟏
−
−
𝒂𝒙𝒊 𝒑 𝒙𝒊 𝒚𝒋 −
𝒊 𝟏
𝒂𝒙𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 −
𝒃𝒚𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒚 = −𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃𝑬(𝒚)
𝒃𝒚𝒋 𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 = −𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃𝑬(𝒚)
𝒋 𝟏
𝑬(−𝒂𝒙 − 𝒃𝒚) = −𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃𝑬(𝒚)
𝑬(−𝒂𝒙 − 𝒃𝒚) = −𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃𝑬(𝒚)
Revisar la ecuación 5A para el resultado obtenido en la Revisar la ecuación 5B para el resultado obtenido en la
segunda línea de este apartado (en Morado) y la segunda línea de este apartado (en Morado) y la
ecuación 5B para el resultado obtenido (en Azul).
ecuación 5A para el resultado obtenido (en Azul).
PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO POBLACIONAL MULTIVARIADO
14A: Cálculo del valor esperado de +⁄− aX +⁄− bY +⁄− … 14B: Cálculo del valor esperado de +⁄− aX +⁄− bY +⁄− …
+⁄− kW, donde a y b son constantes y X, Y, …, W son +⁄− kW, donde a y b son constantes y X, Y, …, W son
variables aleatorias y p(x,y,….,w) es la distribución variables aleatorias y f(x,y,….,w) es la distribución
conjunta de X, Y, …, W:
conjunta de X, Y, …, W:
(+⁄− 𝒂𝒙𝒊 +⁄− 𝒃𝒚𝒋 +⁄− … +⁄− 𝒌𝒘𝒏 )𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋,…, 𝒘𝒏
...
𝒏 𝟏
+⁄−
𝒋 𝟏 𝒊 𝟏
+⁄− 𝒂𝒙 +⁄− 𝒃𝒚 +⁄− … +⁄− 𝒌𝒘 𝒇(𝒙, 𝒚, … , 𝒘)𝒅𝒙𝒅𝒚 … 𝒅𝒘
…
= 𝑬(+⁄− 𝒂𝒙 +⁄− 𝒃𝒚 +⁄− … +⁄− 𝒌𝒘)
= 𝑬(+⁄− 𝒂𝒙 +⁄− 𝒃𝒚 +⁄− … +⁄− 𝒌𝒘)
𝒂𝒙𝒊 𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 , … , 𝒘𝒏 +⁄−
𝒊 𝟏
𝒃𝒚𝒋 𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 , … , 𝒘𝒏 +⁄− … +⁄−
𝒋 𝟏
𝒌𝒘𝒏 𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 , … , 𝒘𝒏
= +⁄− 𝒂𝑬(𝒙) +⁄− 𝒃𝑬(𝒚) +⁄− … +⁄− 𝒌𝑬(𝒘)
+⁄−
𝒂𝒙𝒇(𝒙, 𝒚, … , 𝒘)𝒅𝒙𝒅𝒚 … 𝒅𝒘 +⁄−
+⁄− … +⁄−
𝒃𝒚𝒇(𝒙, 𝒚, … , 𝒘)𝒅𝒚𝒅𝒚 … 𝒅𝒘
𝒌𝒘𝒇(𝒙, 𝒚, … , 𝒘)𝒅𝒙𝒅𝒚 … 𝒅𝒘
= +⁄− 𝒂𝑬(𝒙) +⁄− 𝒃𝑬(𝒚) +⁄− … +⁄− 𝒌𝑬(𝒘)
𝒏 𝟏
𝑬 +⁄− 𝒂𝒙 +⁄− 𝒃𝒚 +⁄− … +⁄− 𝒌𝒘
= +⁄− 𝒂𝑬(𝒙) +⁄− 𝒃𝑬(𝒚) +⁄− … +⁄− 𝒌𝑬(𝒘)
𝑬 +⁄− 𝒂𝒙 +⁄− 𝒃𝒚 +⁄− … +⁄− 𝒌𝒘
= +⁄− 𝒂𝑬(𝒙) +⁄− 𝒃𝑬(𝒚) +⁄− … +⁄− 𝒌𝑬(𝒘)
Revisar la ecuación 5B para el resultado obtenido en la
Revisar la ecuación 5A para el resultado obtenido en la segunda línea de este apartado (en Morado, Azul y
segunda línea de este apartado (en Morado, Azul y Café)
Café)
PROPIEDADES DE LA VARIANZA POBLACIONAL UNIVARIADA
15A: Cálculo de la varianza de una constante c:
15B: Cálculo de la varianza de una constante c:
(𝒄 − 𝑬(𝒄))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(𝒄)
(𝒄 − 𝑬(𝒄))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(𝒄)
𝒊 𝟏
Si revisamos los resultados obtenidos en 4B para la
Si revisamos los resultados obtenidos en 4A para la
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
(𝒄 − 𝒄)𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟎
𝟐
(𝒄 − 𝒄) 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝟎
𝒊 𝟏
𝑽(𝒄) = 𝟎
16A: Cálculo de la varianza de una constante c por una
variable aleatoria X, cX:
𝑽(𝒄) = 𝟎
16B: Cálculo de la varianza de una constante c por una
variable aleatoria X, cX:
(𝒄𝒙 − 𝑬(𝒄𝒙))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(𝒄𝒙)
(𝒄𝒙𝒊 − 𝑬(𝒄𝒙𝒊 ))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(𝒄𝒙)
𝒊 𝟏
Si revisamos los resultados obtenidos en 5B para la
Si revisamos los resultados obtenidos en 5A para la
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
(𝒄𝒙 − 𝒄𝑬(𝒙))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(𝒄𝒙)
𝟐
(𝒄𝒙𝒊 − 𝒄𝑬(𝒙𝒊 )) 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(𝒄𝒙)
𝒄𝟐
𝒊 𝟏
𝒄𝟐
(𝒙 − 𝑬(𝒙))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒄𝟐 𝑽(𝒙)
(𝒙𝒊 − 𝑬(𝒙𝒊 ))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝒄𝟐 𝑽(𝒙)
𝒊 𝟏
Revisando los resultados obtenidos en 3B para la parte
Revisando los resultados obtenidos en 3A para la parte café se obtuvo el resultado en verde.
café se obtuvo el resultado en verde.
𝑽(𝒄𝒙) = 𝒄𝟐 𝑽(𝒙)
𝑽(𝒄𝒙) = 𝒄𝟐 𝑽(𝒙)
17A: Cálculo de la varianza de aX + b donde a y b son
17B: Cálculo de la varianza de aX + b donde a y b son
constantes y X es una variable aleatoria:
constantes y X es una variable aleatoria:
((𝒂𝒙𝒊 + 𝒃) − 𝑬(𝒂𝒙𝒊 + 𝒃))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃)
((𝒂𝒙 + 𝒃) − 𝑬(𝒂𝒙 + 𝒃))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃)
𝒊 𝟏
Si revisamos los resultados obtenidos en 6B para la
Si revisamos los resultados obtenidos en 6A para la
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
((𝒂𝒙 + 𝒃) − (𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃)
𝟐
)
((𝒂𝒙𝒊 + 𝒃) − (𝒂𝑬(𝒙𝒊 + 𝒃)) 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃)
(𝒂𝒙 − 𝑬(𝒂𝒙))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
𝒊 𝟏
(𝒂𝒙𝒊 − 𝑬(𝒂𝒙𝒊 ))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
𝒊 𝟏
Revisando los resultados obtenidos en 16B para la
Revisando los resultados obtenidos en 16A para la parte café se obtuvo el resultado en verde.
parte café se obtuvo el resultado en verde.
𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
18A: Cálculo de la varianza de aX - b donde a y b son
18B: Cálculo de la varianza de aX - b donde a y b son
constantes y X es una variable aleatoria:
constantes y X es una variable aleatoria:
((𝒂𝒙𝒊 − 𝒃) − 𝑬(𝒂𝒙𝒊 − 𝒃))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(𝒂𝒙 − 𝒃)
((𝒂𝒙 − 𝒃) − 𝑬(𝒂𝒙 − 𝒃))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(𝒂𝒙 − 𝒃)
𝒊 𝟏
Si revisamos los resultados obtenidos en 6B para la
Si revisamos los resultados obtenidos en 6A para la
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
((𝒂𝒙 − 𝒃) − (𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(𝒂𝒙 − 𝒃)
𝟐
((𝒂𝒙𝒊 − 𝒃) − (𝒂𝑬(𝒙𝒊 ) − 𝒃)) 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(𝒂𝒙 − 𝒃)
(𝒂𝒙 − 𝑬(𝒂𝒙))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
𝒊 𝟏
(𝒂𝒙𝒊 − 𝑬(𝒂𝒙𝒊 ))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
𝒊 𝟏
Revisando los resultados obtenidos en 16B para la
Revisando los resultados obtenidos en 16A para la parte café se obtuvo el resultado en verde.
parte café se obtuvo el resultado en verde.
𝑽(𝒂𝒙 − 𝒃) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
𝑽(𝒂𝒙 − 𝒃) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
19A: Cálculo de la varianza de -aX + b donde a y b son
19B: Cálculo de la varianza de -aX + b donde a y b son
constantes y X es una variable aleatoria:
constantes y X es una variable aleatoria:
((−𝒂𝒙𝒊 + 𝒃) − 𝑬(−𝒂𝒙𝒊 + 𝒃))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(−𝒂𝒙 + 𝒃)
((−𝒂𝒙 + 𝒃) − 𝑬(−𝒂𝒙 + 𝒃))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(−𝒂𝒙 + 𝒃)
𝒊 𝟏
Si revisamos los resultados obtenidos en 6B para la
Si revisamos los resultados obtenidos en 6A para la
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
((−𝒂𝒙𝒊 + 𝒃) − (−𝒂𝑬(𝒙𝒊 ) + 𝒃))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(−𝒂𝒙 + 𝒃)
𝒊 𝟏
((−𝒂𝒙 + 𝒃) − (−𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(−𝒂𝒙 + 𝒃)
((−𝒂)𝒙 − 𝑬((−𝒂)𝒙))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = (−𝒂)𝟐 𝑽(𝒙) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
Revisando los resultados obtenidos en 16B para la
parte café se obtuvo el resultado en verde.
𝒊 𝟏
𝑽(−𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
Revisando los resultados obtenidos en 16A para la
parte café se obtuvo el resultado en verde.
𝑽(−𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
20A: Cálculo de la varianza de -aX - b donde a y b son
20B: Cálculo de la varianza de -aX - b donde a y b son
constantes y X es una variable aleatoria:
constantes y X es una variable aleatoria:
((−𝒂)𝒙𝒊 − 𝑬((−𝒂)𝒙𝒊 ))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = (−𝒂)𝟐 𝑽(𝒙) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
((−𝒂𝒙𝒊 − 𝒃) − 𝑬(−𝒂𝒙𝒊 − 𝒃))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(−𝒂𝒙 − 𝒃)
((−𝒂𝒙 − 𝒃) − 𝑬(−𝒂𝒙 − 𝒃))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(−𝒂𝒙 − 𝒃)
𝒊 𝟏
Si revisamos los resultados obtenidos en 6B para la
Si revisamos los resultados obtenidos en 6A para la
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
((−𝒂𝒙𝒊 − 𝒃) − (−𝒂𝑬(𝒙𝒊 ) − 𝒃))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = 𝑽(−𝒂𝒙 − 𝒃)
((−𝒂𝒙 − 𝒃) − (−𝒂𝑬(𝒙) − 𝒃))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑽(−𝒂𝒙 − 𝒃)
((−𝒂)𝒙 − 𝑬((−𝒂)𝒙))𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = (−𝒂)𝟐 𝑽(𝒙) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
𝒊 𝟏
((−𝒂)𝒙𝒊 − 𝑬((−𝒂)𝒙𝒊 ))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) = (−𝒂)𝟐 𝑽(𝒙) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
𝒊 𝟏
Revisando los resultados obtenidos en 16B para la
Revisando los resultados obtenidos en 16A para la
parte café se obtuvo el resultado en verde.
parte café se obtuvo el resultado en verde.
𝑽(−𝒂𝒙 − 𝒃) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
𝑽(−𝒂𝒙 − 𝒃) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙)
PROPIEDADES DE LA VARIANZA BIVARIADA
21A: Cálculo de la varianza de aX + bY donde a y b son 21B: Cálculo de la varianza de aX + bY donde a y b son
constantes y X,Y son variables aleatorias y p(x,y) la constantes y X,Y son variables aleatorias y f(x,y) la
distribución conjunta entre X y Y:
distribución conjunta entre X y Y:
𝟐
𝒂𝒙𝒊 + 𝒃𝒚𝒋 − 𝑬 𝒂𝒙𝒊 + 𝒃𝒚𝒋
𝟐
𝒑(𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 ) = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) − 𝑬(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
𝒊 𝟏𝒋 𝟏
Si revisamos los resultados obtenidos en 10B para la
Si revisamos los resultados obtenidos en 10A para la
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
parte (morada), obtenemos el siguiente resultado:
𝟐
((𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) − (𝒂𝑬(𝒙) + 𝒃𝑬(𝒚)) 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
((𝒂𝒙𝒊 + 𝒃𝒚𝒋 ) − (𝒂𝑬(𝒙𝒊 ) + 𝒃𝑬(𝒚𝒋 ))𝟐 𝒑(𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 ) = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
(𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒃𝟐 𝒚𝟐 + 𝒂𝟐 𝑬(𝒙)𝟐 + 𝒃𝟐 𝑬(𝒚)𝟐)
𝒊 𝟏 𝒋 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝒂 𝒙𝒊 + 𝒃 𝒚𝒋 + 𝒂 𝑬(𝒙𝒊
)𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒃 𝑬 𝒚𝒋
− 𝟐(𝒂𝟐 𝒙𝑬(𝒙) + 𝒃𝟐 𝒚𝑬(𝒚) + 𝒂𝒃𝒙𝑬(𝒚) + 𝒂𝒃𝒚𝑬(𝒙) − 𝒂𝒃𝒙𝒚
− 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚)) 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
𝒊 𝟏𝒋 𝟏
− 𝟐 𝒂𝟐𝒙𝒊 𝑬(𝒙𝒊 ) + 𝒃𝟐 𝒚𝒋 𝑬 𝒚𝒋 + 𝒂𝒃𝒙𝒊𝑬 𝒚𝒋 + 𝒂𝒃𝒚𝒋 𝑬(𝒙𝒊)
− 𝒂𝒃𝒙𝒊 𝒚𝒋 − 𝒂𝒃𝑬(𝒙𝒊)𝑬(𝒚𝒋 )
𝒑(𝒙𝒊, 𝒚𝒋 ) = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
(𝒂𝟐 𝒙𝒊𝟐 − 𝟐𝒂𝟐 𝒙𝒊𝑬(𝒙𝒊) + 𝒂𝟐 𝑬(𝒙𝒊)𝟐 ) + 𝒃𝟐𝒚𝒋 𝟐 − 𝟐𝒃𝟐 𝒚𝒋 𝑬 𝒚𝒋 + 𝒃𝟐 𝑬 𝒚𝒋
(𝒂𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝟐 𝒙𝑬(𝒙) + 𝒂𝟐 𝑬(𝒙)𝟐) + (𝒃𝟐 𝒚𝟐 − 𝟐𝒃𝟐 𝒚𝑬(𝒚) + 𝒃𝟐 𝑬(𝒚)𝟐)
+ 𝟐 𝒂𝒃𝒙𝒚 + 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚) − 𝒂𝒃𝒚𝑬(𝒙)
𝟐
− 𝒂𝒃𝒙𝑬(𝒚)
𝒊 𝟏𝒋 𝟏
+ 𝟐 𝒂𝒃𝒙𝒊𝒚𝒋 + 𝒂𝒃𝑬(𝒙𝒊)𝑬 𝒚𝒋 − 𝒂𝒃𝒚𝒋 𝑬(𝒙𝒊 )
− 𝒂𝒃𝒙𝒊 𝑬 𝒚𝒋
((𝒂𝒙𝒊 − 𝒂𝑬(𝒙𝒊 ))
𝟐)
((𝒂𝒙 − 𝒂𝑬(𝒙))
𝒑(𝒙𝒊, 𝒚𝒋) = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
𝟐 )𝒇(𝒙,
𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 +
+ 𝟐 𝒂𝒃
𝒑(𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 )
− 𝒂𝒃𝑬(𝒙)
𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
((𝒃𝒚 − 𝒃𝑬(𝒚))𝟐 )𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒙𝒚𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 + 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚)
𝒚𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 − 𝒂𝒃𝑬(𝒚)
𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒙𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒊 𝟏 𝒋 𝟏
+
𝒃𝒚𝒋 − 𝒃𝑬(𝒚𝒋 )
𝟐
= 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 + 𝟐 𝒂𝒃
𝒊 𝟏 𝒋 𝟏
𝒙𝒊 𝒚𝒋 𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋
𝒊 𝟏 𝒋 𝟏
+ 𝒂𝒃𝑬(𝒙𝒊)𝑬(𝒚𝒋 )
𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 − 𝒂𝒃𝑬(𝒙𝒊)
𝒊 𝟏 𝒋 𝟏
− 𝒂𝒃𝑬(𝒚𝒋 )
𝒙𝒊𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋
𝒚𝒋 𝒑 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋
𝒊 𝟏 𝒋 𝟏
= 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
𝒊 𝟏 𝒋 𝟏
𝒂𝟐 𝑽(𝒙) + 𝒃𝟐 𝑽(𝒚)
+ 𝟐(𝒂𝒃𝑬(𝒙𝒚) + 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚)
− 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚) − 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚))
= 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
𝒂𝟐 𝑽(𝒙) + 𝒃𝟐 𝑽(𝒚) + 𝟐(𝒂𝒃𝑬(𝒙𝒚) − 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚))
= 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
Entonces se tiene que:
𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙) + 𝒃𝟐 𝑽(𝒚) + 𝟐𝒂𝒃(𝑬(𝒙𝒚) − 𝑬(𝒙)𝑬(𝒚))
Finalmente se tiene que:
𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙) + 𝒃𝟐 𝑽(𝒚) + 𝟐𝒂𝒃𝒄𝒐𝒗(𝒙, 𝒚)
Si X y Y son variables aleatorias independientes, es decir
que p(x,y) = p(x)*p(y), entonces:
𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙) + 𝒃𝟐 𝑽(𝒚)
𝒂𝟐 𝑽(𝒙) + 𝒃𝟐 𝑽(𝒚)
+ 𝟐(𝒂𝒃𝑬(𝒙𝒚) + 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚)
− 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚) − 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚))
= 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
𝒂𝟐 𝑽(𝒙) + 𝒃𝟐 𝑽(𝒚) + 𝟐(𝒂𝒃𝑬(𝒙𝒚) − 𝒂𝒃𝑬(𝒙)𝑬(𝒚))
= 𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)
Entonces se tiene que:
𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙) + 𝒃𝟐 𝑽(𝒚) + 𝟐𝒂𝒃(𝑬(𝒙𝒚) − 𝑬(𝒙)𝑬(𝒚))
Finalmente se tiene que:
𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙) + 𝒃𝟐 𝑽(𝒚) + 𝟐𝒂𝒃𝒄𝒐𝒗(𝒙, 𝒚)
Si X y Y son variables aleatorias independientes, es decir
que f(x,y) = f(x)*f(y), entonces:
𝑽(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = 𝒂𝟐 𝑽(𝒙) + 𝒃𝟐 𝑽(𝒚)