Persamaan maxwell
Fenomena terbentuknya gelombang elektromagnetik terjadi antara medan magnetik dan medan
listrik yang mengalami perubahan terhadap waktu. Persamaan Maxwell merupakan sintesa hasilhasil eksperimen (empiris) mengenai fenomena listrik  magnet yang didapatkan oleh Faraday,
Ampere, Gauss, Coulomb disamping yang dilakukan oleh Maxwell sendiri. Penggunaan
persamaan tersebut dalam metoda MT telah banyak diuraikan dalam buku-buku pengantar
geofisika khususnya yang membahas metoda EM (Keller & Frischknecht, 1966 ; Porstendorfer,
1975 ; Rokityansky, 1982 ; Kauffman & Keller, 1981 ; 1985). Persamaan-persamaan tersebut
adalah sebagai berikut:
𝜌
𝜀0
(1)
⃗ = 0
∇ .𝐵
(2)
∇ . 𝐸⃗ =
∇ × 𝐸⃗ = −
⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
(3)
⃗
⃗ = 𝑗 + 𝜕𝐷
∇ × 𝐵
𝜕𝑡
(4)
𝐸⃗ = kuat medan listrik (V/m)
Dengan,
⃗ = rapat fluks magnet (W/m2)
𝐵
⃗ = perpindahan listrik (C/m2)
𝐷
𝜌 = resistivitas (Ohm.m)
𝑗 = rapat arus (A/m2)
𝜀0 = Konstanta dielektrik (F/m)
Persamaan (1) merupakan hukum Gauss yang menyatakan bahwa fluks medan listrik yang
melalui permukaan tertutup sama dengan (1/𝜀0 ) dikalikan dengan muatan total pada permukaan
tersebut. Hukum Coloumb menyatakan tidak ada monopol magnetik yang tertera pada
persamaan (2). Persamaan (3) merupakan hukum Faraday yang menjelaskan perubahan fluks
medan magnet terhadap waktu akan menimbulkan adanya medan listrik. Persamaan (4)
merupakan persamaan yang menjelaskan hukum Ampere yaitu menjelaskan bahwa medan
magnet tidak hanya muncul karena arus listrik akan tetapi akan terbentuk dari adanya medan
listrik yang berubah terhadap waktu. Pada keadaan homogen isotropis berlaku persamaan
hubungan intensitasantara medan listrik, medan magnet dengan fluks yang dinyatakan oleh
persamaan berikut:
⃗ = 𝜀𝐸⃗
𝐷
(5)
⃗ = 𝜇𝐻
⃗
𝐵
(6)
⃗
𝐸
𝑗 = 𝜎𝐸⃗ =
𝜌
(7)
Dengan,
𝜀 = konstantan dielektrik (F/m)
𝜇 = permeabilitas magnet (H/m)
𝜎 = konduktivitas, medium (S/m)
𝜌 = resistivitas (Ohm.m)
Dengan mengasumsikan bahwa bumi bersifat homogen isotropis (Grant and West, 1965), sifat fisik
dari medium dianggap tidak bervariasi terhadap waktudan akumulasi muatan dalam tidak terjadi
pada persamaan maxwell, maka dapat ditulis menjadi :
∇ . 𝐸⃗ = 0
(8)
⃗ = 0
∇ .𝐻
(9)
∇ × 𝐸⃗ = −𝜇
⃗
𝜕𝐻
𝜕𝑡
(10)
⃗
⃗ = 𝜎𝐸⃗ + 𝜀 𝜕𝐸
∇ × 𝐻
𝜕𝑡
(11)
Operasi Curl dilakukan pada persamaan (10) dan (11) dengan mensubstitusikan besraan-besaran
persamaan diatas, maka diperoleh persamaan gelombang untuk medan magnet (H) dan medan listrik
(E) secara terpisah, dengan melalui penerapan identitas vektor ∇ × (∇ × x ) = (∇. ∇. 𝑥) − ∇2 𝑥,
dengan 𝑥 adalah bilangan-bilangan vektor (Simpson dan Bahr, 2005). Sebagai contoh, persamaan
(11) tentang medan listrik diubah menjadi persamaan diffusion dengan menggunkan asumsi
persamaan ∇ . 𝐸⃗ = 0, maka
𝜕𝐸⃗
𝜕𝐸⃗
∇.
⏟
𝐸⃗
∇ × (∇ × 𝐸⃗ ) = (∇.
) − ∇2 𝐸⃗ = −𝜇0 𝜎 𝜕𝑡 − 𝜇0 𝜀 𝜕𝑡
0
(12)
Persamaan (12) merupakan variasi nilai medan listrik terhadap waktudan akan dipresentasikan oleh
fungsi periodik sinusoidal yaitu 𝐸⃗ = 𝐸⃗0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 , maka persamaan (12)mmdapat dituliskan sebagai
berikut:
∇2 𝐸⃗ = 𝑖𝜔𝜇0 σ𝐸⃗
(13)
Pada medan magnet dituliskan
⃗ = 𝑖𝜔𝜇0 σ𝐻
⃗
∇2 𝐻
(14)
Penetrasi medan listrik kedalam bumi akan berkurang terhadap kedalamn atau sumbu z, maka
persamaan (13) dapat ditulis menjadi:
𝜕2 𝐸⃗
𝜕𝑧 2
= 𝑖𝜔𝜇0 σ𝐸⃗
(15)
Persamaan (12) merupakan persamaan diferensial orde keda dan dibuat solusi persamaan yaitu:
𝐸⃗ = 𝐸⃗0 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑒 −𝑘𝑧
(16)
Dan k merupakan bilangan yang dinyatakan
𝑘 = ±(1 − 𝑖)√
𝜔𝜇0 𝜎
2
(17)
Maka penjalaran medan listrik didalam bumi dapat dituliskan sebagai berikut:
1 𝜔𝜇 𝜎
− 𝜔𝜇 𝜎
𝐸⃗ = 𝐸⃗0 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑒 √ 20 − 𝑒 √ 20
(18)
Persamaan (18) dapat diturunkan menjadi nilai skin depth. Skin depth didefinisikan sebagi jarak
pelemahan gelombang elektromagnetik yang menjalar dlaam medium homogen sehingga amplitudo
gelombang mengalami pelemahan sebesar 1/e atau 37% amplitudo permukaan.
Persamaan k mengandung komponen real dan imaginer maka untuk dapat mendefinisikan skin
−
depth, diperlukaannya komponen real yaitu 𝑒 √
𝜔𝜇0 𝜎
2
, sehingga nilai skin depth dapat dituliskan
sebagai beikut:
−
𝑒√
𝜔𝜇0 𝜎
= 𝑒 −1
2
𝜔 = 2𝜋𝑓 dan 𝜇 = 4𝜋 × 10−7 , maka persamaan akin depth dapat ditulis sebagai berikut:
2
𝜌
𝛿=√
= 503√
𝜔𝜇𝜎
𝑓
∇ × 𝐸⃗ = −𝜇
⃗
𝜕𝐻
𝜕𝑡
(10)
⃗
⃗ = 𝜎𝐸⃗ + 𝜀 𝜕𝐸
∇ × 𝐻
𝜕𝑡
(11)
Tampak bahwa persamaan maxwell tersebut hanya terdapat dua variabel yaitu medan listik (E) dan
medan magnet (H). Dengan operasi Curl terhadap persamaan tersebut serta mendistribusikan
besaran-besaran yang telah diketahui maka akan diperoleh pemisahan E dan H sehingga
persamaannya dapat dituliskan sebgai berikut:
𝜕𝐸⃗
𝜕𝐸⃗
⃗
⃗
∇ × (∇ × 𝐸⃗ ) = −𝜇0 𝜎 𝜕𝑡 − 𝜇0 𝜀 𝜕𝑡
(12)
⃗ ) = −𝜇0 𝜎 𝜕𝐻 − 𝜇0 𝜀 𝜕𝐻
∇ × (∇ × 𝐻
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(12)
Dengan memperhatikan identitas vektor ∇ × (∇ × x ) = (∇. ∇. 𝑥) − ∇2 𝑥 dimana x adalah E dan H,
serta hubungan yang dinyatakan oleh persamaan tersebut, maka didapatkan persamaan gelombang
(persamaan Helmoltz) untuk medan listrik dan medan magnet sebagai berikut:
𝜕𝐸⃗
𝜕𝐸⃗
+ 𝜇0 𝜀
𝜕𝑡
𝜕𝑡
⃗
⃗
𝜕𝐻
𝜕𝐻
∇2 𝐻 = 𝜇0 𝜎
+ 𝜇0 𝜀
𝜕𝑡
𝜕𝑡
Jika variasi terhadap waktu dapat direpresentasikan oleh fungsi periodik sinusoidal maka:
∇2 𝐸 = 𝜇0 𝜎
𝐸(𝑟, 𝑡) = 𝐸0 (𝑒)𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝐻(𝑟, 𝑡) = 𝐻0 (𝑒)𝑒 𝑖𝜔𝑡
Dimana 𝐸0 dan 𝐻0 masing-masing adalah amplitudo medan listrik dan medan magnet, serta 𝜔
adalah frekuensi gelombang elektromagnetik.
Dengan demikian persamaan tersebut menjadi sebagai berikut:
∇2 𝐸 = (iωμσ − 𝜔2 𝜇𝜀)𝐸
∇2 𝐻 = (iωμσ − 𝜔2 𝜇𝜀)𝐻
Eliminasi kebergantungan medan terhadap waktu selain dimaksudkan untuk menyederhanakan
persamaan juga untuk lebih mengeksplisitkan aproksimasi keadaan kuasi-stasioner tersebut. Dengan
demikian persamaan gelomabng diatas menjadi persamaan difusi sebagai berikut:
∇2 𝐸 = 𝑘 2 𝐸
∇2 𝐻 = 𝑘 2 𝐻
Dimana 𝑘 = √𝑖𝜔𝜇0 𝜎 adalah bilangan gelombang.
Apparent Resestivity
Karena kerambatan medan magnetotellurik dibawah permukaan bumi pada dasarnya merambat
dengan frekuensi rendah maka parameter fisika yang digunakan adalah permeabilitas magnetik (μ),
konduktivitas (𝜎), dan (ω). Menurut Cadniard (1953), untuk gelombang yang terpolarisasi dalam
bidang horizontal dan merambat kebawah permukaan, maka besarnya apparent seristivity (𝜌𝑎 )
sebanding dengan nilai kuadrat dari impedansi magnetotelurik (𝑍(𝜔)).
𝜌𝑎 =
1
|𝑍(𝜔)|
𝜔𝜇0
Dengan 𝑍(𝜔) sama dengan (𝐸𝑥 /𝐻𝑦 ) atau (𝐸𝑦 /𝐻𝑥 ) yang merupakan perbandingan komponen
orthogonal dari medan listrik dan medan magnet.
Berdasarkan teori tersebut maka diperoleh hubungan tahanan jenis suatu lapisan dengan asumsi
bahwa bumi bersifat isotropis dan homogen (apparent resistivity) sehingga dapat dituliskan
persamaannya sebagai berikut:
𝐸 2
𝜌 = 0,2𝑇 | | 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜌 = 0,2𝑇|𝑍|2
𝐻
Dengan 𝜌 merupakan tahanan jenis semu (Ohm.m), T adalah periode (s), E adalah kuat medan listrik
(Volt/m), dan H adalah kuat medan magnet (T) (okbiyanti, 2009).
Skin depth
Skin depth adalah jarak pelemahan gelombang elektromagnetik dalam medium homogen. Skin depth
merupakan kemampuan sinyal elektromagnetik untuk menembus kedalam bumi. Besarnya skin
depth pada medium konduktif bergantung dari permeabilitas medium, tahanan jenis, dan frekuensi
gelombang elektromagnetik yang melalui medium.
Persamaan skin depth didefinisikan sebagai kedalaman pada suatu medium homogen yan amplitudo
gelombangnya telah tereduksi menjadi 1/e dari amplitudonya dipermukaan bumi. Persamaan tersebut
dirumuskan sebagai berikut:
𝛿=
1
2
=√
𝑎
𝜔𝜇𝜎
1
Dengan nilai 𝜇 = 𝜇0 = 4𝜋. 10−7 , 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑑𝑎𝑛 𝜎 = 𝑝, sehingga persamaan skin depth dapat
dituliskan menjadi sebagai berikut: (Unsworth, 2008).
𝜌
𝛿 = 503√
𝑓
Impedansi
Parameter yang diukur saat pengambilan data magnetotelurik adalah medan listik dan medan
magnetik bumi yang bervariasi terhadap waktu. Pada gelombang leektromagnetik, medan listrik dan
medan magnet selalu tegak lurus satu sama lain dan gelombang leketromagnetik mencapai bumi
dalam bentuk gelombang planar. Rasio dari kuat medan listrik dan medan magnet dapat
didefinisikan sebagi impedansi gelombang (z) dari suatu medium. Hal ini menunjukkan saat
penjalaran gelombang planar, rasio tersebut hanya bergantung pada karakteristik listrik disutu
medium dan frekuensi gelombangnya. Secara dimensional, impedansi gelomban diekspresikan
dalam satuan ohmmdan dapat dituliskan pada persamaan sebagai berikut: (Simpson & Bhr, 2005)
𝑍=
𝐸𝑥
−𝑖𝜇𝜔 𝐴𝑒 𝑦𝑧 + 𝐵𝑒 −𝑦𝑧
=
𝐻𝑦
𝛾 𝐴𝑒 𝑦𝑧 − 𝐵𝑒 −𝑦𝑧
Untuk merekam gelombang leektromagnetik tersebut maka digunakan dua buah sensor, yaitu sensor
elektrik dan sensor magnetik yang saling tegak lurus. Cara peletakan sensor elektrik dan sensor
magnetik menghasilkan dua jenis modus pengukuran. Pertama adalah transfer elektric mode (TE)
dimana komponen medan listrik searah dengan arah strike (arah x) dan komponen medan magnet
berada pada bidang y-z. Kedua adalah transfer magnetic mode (TM) dimana komponen medan
magnet searah dengan arah strike (arah x) dan komponen medan listrik tegak lurus dengan arah
berada pada bidang y-z.
Penjalaran gelombang elektromagnetik dibumi dapat dijelaskan dengan anggapan awal bahwa
struktur sejajar dengan sumbu x. Kedua modus tersebut dapat dari persamaan maxwell berikut:
∇ × 𝐵 = 𝜇𝜎𝐸 𝑑𝑎𝑛 ∇ × 𝐸 =
𝜕𝐵
𝜕𝑡
Persamaan tersebut dapat dipisahkan menjadi dua subyek yang independen. Subyek yang pertama
adalah Ex, By dan Bz yang mana medan listrik terpolarisasi sejajar dengan arah struktur (Ex),
sedangkan komponen medan magnet berada pada bidang y-z (By dan Bz). Subyek ini disebut
sebagai Te mode dengan persamaan berikut:
dari persamaan maxwell berikut:
𝜕 2 𝐸𝑥 (𝑦, 𝑧) 𝜕 2 𝐸𝑥 (𝑦, 𝑧)
+
= 𝑖𝜔𝐸𝑥 (𝑦, 𝑧)
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2
Subyek kedua adalah Bx, Ey dan Ez yang maan medan magnet terpolarisasi sejajar dengan arah
struktur (Bx) sedangkan komponen medan listrik berada pada bidang y-z (Ey dan Ez). Subyek kedua
ini disebut dengan TM mode dengan persamaan sebgai berikut:
𝜕 2 𝐵𝑥 (𝑦, 𝑧) 𝜕 2 𝐵𝑥 (𝑦, 𝑧)
+
= 𝑖𝜔𝐵𝑥 (𝑦, 𝑧)
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2
Parameter yang dianalisis adalah apparent resestivity dan phase. Persamaan apparent resistivity
didasari oleh nilai impedansi gelombang. Dan karena terdapat dua modus pengukuran, maka terdapat
dua nilai apparent resistivity juga yaitu 𝜌𝑥𝑦 (TE) dan 𝜌𝑦𝑥 (TM) (simpson & Bahr, 2005)
1
𝐸
2
1
𝐻
𝜌𝑥𝑦 = 𝜔𝜇 |𝐻𝑥 | 𝑑𝑎𝑛 𝜌𝑦𝑥 = 𝜔𝜇 |𝐸𝑥 |
𝑦
2
𝑦
𝐸
2
𝐻
∅𝑥𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 |𝐻𝑥 | 𝑑𝑎𝑛 ∅𝑦𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1 |𝐸𝑥 |
𝑦
𝑦
2