Technische Universität Dresden
Fakultät Verkehrswissenschaften „Friedrich List“
Institut für Luftfahrt und Logistik
Diplomarbeit
Erkennung und Auswertung von
signifikanten Konflikten in der
Taktfahrplanung
eingereicht von
Michael Kümmling
geb. am 26.08.1988 in Jena
Betreuer:
• Prof. Dr. rer. nat. habil. Karl Nachtigall
• Dr.-Ing. Jens Opitz
Dresden, den 22.04.2014
(Unterschrift des Studenten)
Bibliographischer Nachweis
Kümmling, Michael
Erkennung und Auswertung von signifikanten Konflikten in der Taktfahrplanung
– 2014 – 55 Seiten – 1 Anlage
Autorenreferat
Das Programmsystem TAKT ermöglicht die automatische Erstellung mikroskopisch
konfliktfreier Taktfahrpläne. Konflikte in den vielfältigen Anforderungen an den Fahrplan
werden automatisch erkannt und durch Verlängerung von Halte- und Übergangszeiten
aufgelöst. Demgegenüber beschreibt diese Arbeit ein Verfahren zur interaktiven Konfliktlösung, welches unter Einbeziehung von Expertenwissen die gezielte und praxisgerechte
Lösung komplexer Konflikte ermöglicht. Die vollautomatische Konfliktauflösung kann
zudem nur eine begrenzte Menge von Konfliktlösungsmaßnahmen vornehmen. Deswegen
wird in dieser Arbeit die Modellierung weiterer Konfliktlösungsmöglichkeiten entwickelt.
Dies ermöglicht eine praxisnahe Lösung von Konflikten. Ebenso können durch die Einbeziehung potentieller Infrastrukturausbauten Untersuchungsansätze für die zukünftige
Entwicklung der Eisenbahninfrastruktur gewonnen werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Fahrplanung . . . .
2.1 Allgemeines . .
2.2 Zeitelemente des
2.3 Konflikte . . . .
2.4 PESP . . . . . .
2.5 TAKT . . . . .
2.6 Anforderungen .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Bahnbetriebs
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
6
9
12
17
3 Interaktive Konfliktlösung . . . . . . . . . . .
3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Signifikanz von Konflikten . . . . . . . . .
3.4 Expansion von Konflikt-Ereignisnetzwerken
3.5 Visualisierung . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
18
19
20
21
23
4 Systematisierung von Konfliktlösungsmöglichkeiten
4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Betriebliche Konfliktlösungsmöglichkeiten . . . . .
4.3 Infrastrukturelle Konfliktlösungsmöglichkeiten . .
4.4 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
26
32
34
5 Modellierung der Konfliktlösungsmöglichkeiten . . .
5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Konfliktlösungsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . .
5.3 Abbildung auf PESP-Restriktionen . . . . . . . . .
5.4 Bewertungsmodell der Konfliktlösungsmöglichkeiten
5.5 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36
36
37
44
51
54
6 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
I
Tabellenverzeichnis
4.1 Überblick über die verschiedenen Konfliktlösungsmöglichkeiten, ihre
Auswirkungen auf die Restriktionen und ihre Aufwands-Bewertung . .
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
Variablen der PESP-Erweiterung Fahrzeitverkürzung . . . . . . . .
Variablen der PESP-Erweiterung Biegen . . . . . . . . . . . . . . .
Variablen der PESP-Erweiterung Auflassen von Halten . . . . . . .
Variablen der PESP-Erweiterung Einlegen von Betriebshalten . . .
Variablen der PESP-Erweiterung Modifizierung der Haltezeit . . . .
Variablen der PESP-Erweiterung Modifizierung der Übergangszeit .
Variablen der erweiterten Fahrzeitrestriktion . . . . . . . . . . . . .
Variablen der erweiterten Haltezeitrestriktion . . . . . . . . . . . . .
Variablen der erweiterten Übergangszeitrestriktion . . . . . . . . . .
Variablen der erweiterten Berechnung der minimalen Zugfolgezeit in
Abhängigkeit von der Fahrzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Variablen der PESP-Erweiterung Modifizierung der Haltezeit . . . .
5.12 Parameter und Größen der Zielfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13 Überblick über die Nebenbedingungen des linearen Modells . . . . .
35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
38
39
40
41
42
43
44
45
45
.
.
.
.
.
.
.
.
49
51
53
54
II
Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
Aufbau der Sperrzeit . . . . . . . . . . . . .
Aufbau der minimalen Zugfolgezeit . . . . .
Schranken der Zugfolgerestriktion im PESP
Aufbau des Programmsystems TAKT . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6
10
13
3.1 interaktiver Bearbeitungsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.1 Einfaches Beispiel für unterschiedliche maßgebende Belegungsabschnitte
bei gebogenem Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
III
Abkürzungsverzeichnis
PEN periodisches Ereignisnetzwerk
PESP Periodic Event Scheduling Problem
IV
1 Einleitung
Die Langfristfahrplanung ist als zusätzliches, fahrplanbasiertes Instrument zur Evaluierung und zur Kapazitätsuntersuchung von Eisenbahninfrastruktur etabliert worden. Im
Gegensatz zu einfacheren makroskopischen Verfahren ermöglicht sie die Berücksichtigung
der Besonderheiten von Taktfahrplänen. Gleichzeitig kann dabei bereits langfristig die
Verknüpfung und Abstimmung der Fahrpläne der Personenverkehrslinien berücksichtigt werden. Zudem sind grundsätzlich Fahrpläne mit möglichst kurzen Reisezeiten
anzustreben, da die wirtschaftlichen Vorteile kurzer Reisezeiten den Ausbau von Eisenbahnstrecken rechtfertigen können. In stark verknüpften Taktfahrplänen können jedoch
Fahrzeitverkürzungen oft nur begrenzt in Reisezeitverkürzungen umgesetzt werden,
deswegen ist hier eine fahrplanfeine Untersuchung unerlässlich [Wei12].
Die manuelle Erstellung dieser Langfristfahrpläne mit herkömmlichen Methoden der
Fahrplankonstruktion ist jedoch selbst bei Inkaufnahme von Vereinfachungen sehr
arbeitsaufwändig. Besonders die Untersuchung verschiedener Varianten wird dadurch
erschwert. Die Planungsprämissen sind aufgrund der langfristigen Zeithorizonte häufig
ungenau, nicht zuletzt, weil kurzfristige und konjunkturelle Effekte auszugleichen sind.
Daher sind Variantenuntersuchungen oft unerlässlich.
Besonders für die Langfristfahrplanung bieten sich deshalb automatische Verfahren
zur Fahrplanerstellung an. Das verbreitetste Modell zur automatischen Taktfahrplanerstellung ist dabei das Periodic Event Scheduling Problem (PESP). Auf Basis des
PESP wurde an der Professur für Verkehrströmungslehre an der Technischen Universität
Dresden das automatische Taktfahhrplanungssystem TAKT entwickelt.
Die in der Fahrplanung meist nötige Konfliktauflösung erfolgt in TAKT mit einem effizienten, automatischen Verfahren. Dies ist einerseits ein Vorteil, da das Verfahren ohne
die Notwendigkeit einer Benutzerhandlung vergleichsweise schnell ablaufen kann. Andererseits bedeutet dies jedoch gleichzeitig, dass ein Benutzer keinerlei direkte Möglichkeit
besitzt, in den Konfliktlösungsprozess einzugreifen. Zudem entsteht im Ergebnis lediglich
ein zulässiger Fahrplan. Obwohl das Konfliktauflösungsverfahren deterministisch ist, ist
es aufgrund der verwendeten abstrakten Verfahren und ihrer Komplexität praktisch
1
1 Einleitung
nicht möglich, das Rechenergebnis nachzuvollziehen.
Das bisherige vollautomatische Konfliktauflösungsverfahren ist deswegen so zu erweitern,
dass der Konfliktlösungsprozess nachvollzogen werden kann und zudem für den Bearbeiter
Eingriffsmöglichkeiten in die Konfliktlösung bestehen.
Dabei wird in dieser Arbeit nur die Lösung von Konflikten in der Erstellung von Personenverkehrs-Taktfahrplänen betrachtet, da die automatische Erstellung von Fahrplänen
für dem Güterverkehr einem gänzlich anderen Ablauf folgt.
Im Kapitel 2 werden zunächst die allgemeinen Grundlagen der Fahrplanung beschrieben.
Neben Grundbegriffen werden einige wichtige Größen definiert. Das Periodic Event Scheduling Problem (PESP) wird als Grundlage der automatischen Fahrplanung beschrieben,
ebenso das bereits vorhandene Programmsystem TAKT zur automatischen Fahrplanung.
Am Ende des Kapitels werden einige wichtige Anforderungen an Konfliktauflösungsverfahren benannt.
In Kapitel 3 wird die interaktive Konfliktauflösung eingeführt. Dabei wird neben dem
Verfahrensablauf die Erkennung signifikanter Konflikte erläutert und eine Struktur für
die anschließende Modellierung der Konfliktlösung gebildet.
Die Systematisierung möglicher Konfliktlösungsmaßnahmen erfolgt in Kapitel 4, dabei
werden sowohl betriebliche als auch infrastrukturelle Maßnahmen betrachtet.
Anschließend wird in Kapitel 5 ein lineares Programm zur Modellierung ausgewählter
Konfliktlösungsmaßnahmen und der Bewertung dieser Maßnahmen entwickelt.
In Kapitel 6 wird ein Fazit gezogen, es werden Anknüpfungspunkte für die weitere
Forschung formuliert.
2
2 Fahrplanung
2.1 Allgemeines
Fahrpläne stellen eine essentielle Basis für den Eisenbahnbetrieb dar. Innerbetriebliche
sind sie die Grundlage für die Produktionsplanung und legen den Soll-Zustand für die
Betriebsführung fest. Nach außeb dienen sie der Vermarktung des Verkehrsangebots an
den Fahrgast [Bär10].
Fahrpläne bilden die Abfahrts-, Ankunfts- und Durchfahrzeiten von Zügen ab, die eine
bestimmte Sequenz von Betriebsstellen abfahren. Betriebsstellen sind Bahnhöfe, Blockstellen, Abzweigstellen, Anschlussstellen, Haltepunkte, Haltestellen, Deckungsstellen oder
Stellen in den Bahnhöfen oder auf der freien Strecke, die der unmittelbaren Regelung
und Sicherung der Zugfahrten und des Rangierfahrten dienen [DB408]. Reisendenzugangsstellen sind dagegen alle Stellen, an denen Reisende in Personenzüge ein- oder
aussteigen können. Reisendenzugangsstellen können dabei mitunter auch aus mehreren
verschiedenen Betriebsstellen bestehen.
Aufgrund zahlreicher Vorteile haben sich inzwischen Taktfahrpläne gegenüber nichtstarrer Fahrpläne weitestgehend durchgesetzt. Im Taktfahrplan werden die einzelnen
Züge zu Linien zusammengefasst. Die Züge einer Linie verkehren dabei regelmäßig, mit
einem festen Zeitabstand, der Taktzeit.
In symmetrischen Taktfahrplänen verkehren die einzelnen Linien symmetrisch. Das heißt,
die Abfahrtszeit eines Zugs und die Ankunftszeit eines Zugs der Gegenrichtung liegen
zeitlich gleich weit von einer mittig liegenden Symmetrieachse, der Symmetrieminute,
entfernt. Der größte Vorteil von symmetrischen Fahrplänen besteht darin, dass auch
alle Anschlüsse symmetrisch sind und damit Reiseverbindungen grundsätzlich in beiden
Richtungen gleich bestehen [Lie05].
Der Integrale Taktfahrplan (ITF) stellt eine Erweiterung des symmetrischen Taktfahrplans dar. Im ITF werden bestimmte Knoten als Taktknoten festgelegt. An diesen finden
dann zur halben oder zur vollen Stunde Anschlusstreffen vieler Linien statt, wodurch
3
2.2 Zeitelemente des Bahnbetriebs
auf vielen Relationen kurze Reisezeiten entstehen. Der Integrale Taktfahrplan erfordert
jedoch häufig hohe Investitionen in Fahrzeuge und Infrastruktur, da dieses Konzept
strenge Anforderungen an die Fahrzeiten zwischen den Taktknoten stellt [Lie05]. Ein
idealer ITF ist daher oft nicht mit vertretbarem Aufwand erreichbar.
Für Linien wird folgendes vereinbart: Sie bestehen aus einzelnen Modellzügen mit jeweils
einem bestimmten gleisgenauen Laufweg, die jeweils im Linientakt verkehren. Jede
Linie besteht somit mindestens aus zwei Modellzügen – je Fahrtrichtung ein Modellzug.
Weitere Modellzüge sind erforderlich zur Abbildung der Flügelläufe von geflügelten Linien.
Ebenso kann es aus technischen Gründen im Programmsystem TAKT erforderlich sein,
dass Modellzüge in weitere Modellzüge aufgeteilt werden. Dies ist insbesondere bei Linien,
die an Zwischenhalten wenden, erforderlich. Da in dieser Arbeit ausschließlich streng
getakte Fahrpläne betrachtet werden, werden die Modellzüge im Folgenden verkürzt als
Züge bezeichnet.
2.2 Zeitelemente des Bahnbetriebs
2.2.1 Fahrzeit
Die Fahrzeit ist die Zeit, in der ein Zug die Entfernung zwischen zwei Orten zurücklegt.
Die reine Fahrzeit wird in der Regel durch fahrdynamische Berechnungen ermittelt.
Die fahrdynamische Zugfahrtberechnung wird z. B. von Wende ausführlich beschrieben [Wen03]. Aus der reinen Fahrzeit wird durch Addition eines relativen Fahrzeitzuschlags (Regelzuschlag) die Regelfahrzeit gebildet. Dies ermöglicht den Ausgleich
kleinerer Störungseinflüsse auf die Fahrzeit [Pac13]. Zusätzlich wird vor allem auf zweigleisigen Hauptstrecken ein Bauzuschlag in die Fahrzeit eingearbeitet, um Störungen
durch kleinere Bauarbeiten ohne Fahrplanänderungen zu berücksichtigen [Pac13]. Des
Weiteren werden in der Fahrplanung Biegezuschläge verwendet, d. h. die Fahrzeit der
Züge wird künstlich verlängert (vgl. Abschnitt 4.2.5).
2.2.2 Zugfolgezeit
Die Zugfolgezeit ist der zeitliche Abstand zweier Züge, bezogen auf einen bestimmten
Ort [Pac13]. Aus dem bei der Eisenbahn üblichen Fahren im festen Raumabstand ergibt
sich, abhängig von der sicherungstechnischen Ausstattung, für jede Zugfolge von zwei
Zügen, die das selbe Gleiselement beanspruchen, eine minimale Zugfolgezeit.
4
2.2 Zeitelemente des Bahnbetriebs
Bei der Berechnung der minimalen Zugfolgezeit zwischen zwei Zügen wird dabei stets die
unbehinderte Fahrt des zweiten Zugs sichergestellt [Hei+05]. Dabei wird für jeden Zug auf
jedem Gleisbelegungsabschnitt (Blockstrecke, Fahrstraße bzw. Teilfahrstraße) eine Belegungszeit, die sogenannte Sperrzeit bestimmt. Für jeden Gleisbelegungsabschnitt wird ein
Entscheidungspunkt (EP) angenommen, an dem ein nachfahrender Zug eine Bremsung
einleiten würde, wenn der Gleisbelegungsabschnitt noch belegt ist. Desweiteren existiert
ein Ortungspunkt (OP), an dem der Gleisbelegungsabschnitt freigegeben wird [Bär11]
(vgl. Abbildung 2.1). Im signalgeführten Betrieb befindet sich der Entscheidungspunkt
zumeist am Vorsignal, während sich bei Verwendung von Zugsicherungssystemen mit
Führerstandssignalisierung für jeden Zug abhängig von Bremsausrüstung, Streckenlängsneigung und weiteren Parametern ein individueller Entscheidungspunkt ergibt [Wen95].
EP
OP
s
tF b,l,i
tSi,l,i
tAf,l,i
tV,l,i
tF,l,i
t
tRf,l,i
tF a,l,i
tN,l,i
Abbildung 2.1: Aufbau der Sperrzeit, Darstellung nach [Bär11]
Die Sperrzeit kann damit in eine Vorbelegungszeit tV , die Fahrzeit tF zum Durchfahren
des Belegungsabschnitts und eine Nachbelegungszeit tN gegliedert werden. Die Vorbelegungszeit umfasst neben der Annäherungsfahrzeit tAf vom Entscheidungspunkt zum
Beginn des Belegungsabschnitt die Fahrstraßenbildezeit tF b und die Sichtzeit tSi . Die
Nachbelegungszeit umfasst die Räumfahrzeit tRf vom Ende des Belegungsabschnitts zum
Ortungspunkt sowie die Fahrstraßenauflösezeit tF a , bis der Belegungsabschnitt wieder
zur Verfügung steht.
Die minimale Zugfolgezeit zweier Züge für einen einzelnen Gleisbelegungsabschnitt bzw.
zwei nicht gleichzeitig belegbare Belegungsabschnitte kann dabei unter Berücksichtigung
der Fahrzeit tE bis zum Beginn der jeweiligen Belegungsabschnitte auf einen beliebigen
vorherigen Punkt transformiert werden (siehe auch Abbildung 2.2):
tZf,min,l1 l2 ,i = tE,l1 ,i + tF,l1 ,i + tN,l1 ,i + tV,l2 ,i − tE,l2 ,i
(2.1)
5
2.3 Konflikte
s
tE,l1 ,i
tV,l1 ,i
tZf,min,l1 l2 ,i
tF,l1 ,i
tE,l2 ,i
tN,l1 ,i
tV,l2 ,i
tN,l2 ,i
tF,l2 ,i
t
Abbildung 2.2: Aufbau der minimalen Zugfolgezeit
2.2.3 Haltezeit
Die planmäßigen Halte von Zügen werden in Verkehrshalte (auch Kundenhalte) und
Betriebshalte unterschieden [Bär10; DB408]. Verkehrshalte dienen dem Zu- bzw. Ausstieg
von Reisenden, zusätzlich aber auch anderen Aufgaben wie z. B. Lokwechsel. Betriebshalte dienen dagegen ausschließlich der Konfliktlösung in der Fahrplanung, meist als
Überholungs- oder Kreuzungshalt.
Die DB Netz AG sieht als grundsätzliche Mindesthaltezeit für Fernverkehrszüge 2 min, für
Nahverkehrszüge 0,5 min vor [DB402]. Für einige wenige, aktuell in Fertigung befindliche,
Fernverkehrsfahrzeuge (Doppelstock-Intercity) wird auf Grund deren technischer Verwandschaft mit Nahverkehrsfahrzeugen eine Verkürzung der Mindesthaltezeit zumindest
diskutiert [ES14].
2.3 Konflikte
Konflikte im Eisenbahnbetrieb stellen grundsätzlich eine Menge von sich widersprechenden, also nicht gleichzeitig erfüllbaren Wünschen bzw. Restriktionen dar [Bär96; Opi09].
Diese können sowohl in der Planung des Betriebs, also bei der Fahrplanung, als auch in
der operativen Betriebsdurchführung, also der Disposition auftreten. Deswegen werden
im Folgenden zunächst beide Felder betrachtet.
In der manuellen Fahrplankonstruktion und in der Disposition wird zumeist die Ver-
6
2.3 Konflikte
letzung einer einzelnen Restriktion, die aus der Erfüllung anderer, zuvor betrachteter
Restriktionen, resultiert, bereits als Konflikt betrachtet. Entsprechend der Art der verletzten Restriktion werden die folgenden Konfliktarten unterschieden [Gra95; Hun95;
PS95; Bär96]:
• Belegungskonflikt
• Anschlusskonflikt
• Umlaufkonflikt
• Fahrplankonflikt
• Sperrenkonflikt
• Dispositionskonflikt
Die gleichzeitige Belegung eines Gleisabschnitts durch zwei Züge wird als Belegungskonflikt bezeichnet. Dabei wird dieser Konflikttyp häufig für typische Betriebsfälle weiter
unterschieden [Gra95; Hil97; Opi09]:
• Überholungskonflikt (Zugfolge auf zweigleisiger Strecke)
• Kreuzungskonflikt (Zugfolge entgegenfahrender Züge auf eingleisiger Strecke)
• Bahnhofsgleiskonflikt
Da die Eisenbahninfrastruktur neben Blockabschnitten der freien Strecke und den
Bahnhofsgleisen jedoch auch weitere Bereiche, insbesondere die Weichenbereiche der
Bahnhöfe, umfasst, können diese Untergliederungen nicht vollständig sein. Es lassen sich
somit nicht alle Belegungskonflikte auf diese typischen Betriebsfälle abbilden.
Als Anschluss- bzw. Umlaufkonflikt wird die Nichteinhaltung gewünschter bzw. Erforderlicher Übergänge von Reisenden, Personal oder Fahrzeugen bezeichnet.
Fahrplankonflikte (auch Verhaltenskonflikte) umfassen Abweichungen zwischen der (fahrplanmäßigen) Soll-Zeit und der tatsächlichen Ist-Zeit. Wärend die so definierten Konflikte
nur in der Disposition relevant sind, gibt es dennoch eine Entsprechung in der Fahrplanung:
Die Verletzung von Wunschabfahrts- bzw. Ankunftszeiten, wenn diese Wunschzeiten
nicht aus anderen Fahrplanrestriktionen resultieren, sondern direkte äußere Vorgaben
darstellen. Dies können zum Beispiel Züge sein, die in den untersuchten Bereich zu einer
festgelegten Zeit einbrechen bzw. daraus ausbrechen, oder auch Übergänge zu in der
Fahrplanung nicht betrachteten Verkehrsmitteln.
Sperrenkonflikte entstehen, wenn Zugfahrten über ein Gleis führen, das gesperrt ist
7
2.3 Konflikte
[PS95]. Dieser Konflikt tritt ebenfalls nur in der Disposition auf, da in der Fahrplanung
die zur Verfügung stehende Infrastruktur feststeht und ein Wegfall von Infrastruktur
nicht relevant ist. Ein verwandter Sonderfall betrifft jedoch auch die Fahrplanung: Streckenabschnitte, die über bewegliche Brücken führen, stehen während der Öffnungszeiten
für den Schiffsverkehr vorübergehend nicht für den Zugverkehr zur Verfügung [SNB15].
Zumindest Mittel- und Langfristig werden diese Öffnungszeiten jedoch in der Regel auf
den Fahrplan abgestimmt und stellen dann für diesen keine Restriktion dar.
Die in [Hun95] eingeführten Dispositionskonflikte bezeichnen unterschiedliche Lösungen
des gleichen Konflikts durch mehrere, parallel arbeitende Konfliktlösungssysteme. Es
handelt sich damit nicht um die Verletzung einer einzelnen Restriktion im engeren Sinn,
sondern vielmehr um einen Spezialfall der nachfolgend beschriebenen Folgekonflikte.
Diese einzelnen kleinen Konflikte und die aus den Konfliktlösungsmaßnahmen resultierenden Folgekonflikte können dann nacheinander in zeitlicher Reihenfolge oder hierarchischer
Rangfolge der Konflikte abgearbeitet werden. Dieses Vorgehen ist sowohl in der Disposition („kausale Konfliktlösung“ bei [Hil99]) als auch in der Fahrplankonstruktion
(„Vorwärts- bzw. Rückwärtskonstruktion“ bei [Grö02]) anzutreffen.
Hille weist darauf hin, dass diese kausale Konfliktlösung nur dann zu widerspruchsfreien
Ergebnissen führen kann, wenn die vollzogenenen Konfliktlösungen nicht zu Folgekonflikten führen, die zeitlich/hierarchisch for dem Ausgangskonflikt liegen [Hil99]. Diese
Bedingung ist in der Taktfahrplanung jedoch grundsätzlich nicht erfüllt, da solche kausalen Ketten von Folgekonflikten bei streng getakteten Fahrplänen grundsätzlich zyklisch
sind.
Des Weiteren verweist Hille darauf, dass diese Kette von Folgekonflikten dazu führt,
dass es nicht möglich ist, Konflikte sortiert nach den zuvor beschriebenen Konfliktarten
zu behandeln, dass also z. B. Belegungs- und Anschlussdisposition nicht sinnvoll getrennt
vorgenommen werden können [Hil99].
Die in der manuellen Fahrplanung vorherrschende sukzessive Bearbeitung einzelner
Restriktionen bzw. Züge ist deswegen für die automatisierte Taktfahrplanerstellung nicht
geeignet, zumal trotz der impliziten Aufteilung größerer Konflikte in eine Kette aus sehr
kleinen, manuell noch beherrschbarer, Folgekonflikte die beschriebenen Standardfälle
und -lösungen nicht auf alle Konflikte angewendet werden können.
8
2.4 PESP
2.4 PESP
2.4.1 Grundlagen
Das Periodic Event Scheduling Problem (PESP) wurde zuerst von Serafini und Ukovich
beschrieben [SU89]. Es erlaubt die Planung periodischer Ereignisse. Die Anwendung für
die Erstellung von Taktfahrplänen wurde u. a. von Nachtigall [Nac98] und Opitz [Opi09]
untersucht. Die Besonderheit der PESP-basierten Fahrplanung ist dabei, dass alle Züge
simultan geplant werden, im Gegensatz zur traditionellen Fahrplankonstruktion, bei der
die Züge überwiegend sequentiell in den Fahrplan eingelegt werden [Opi09].
Die periodisch auftretenden Ereignisse eines Taktfahrplans (Abfahrten und Ankünfte)
werden als Knoten K und die Zeitelemente des Fahrplans als Kanten A in einem
periodischen Ereignisnetzwerk N abgebildet. Die Periode (Taktzeit) des gesamten
Netzwerks beträgt tT ∈ N+ . Ein Fahrplan T~ ordnet jedem Ereignis i ∈ K ein Potential
Ti ∈ N, 0 ≤ Ti < tT zu. Jedes Ereignis findet dann periodisch zu allen Zeitpunkten
Ti + z · tT , z ∈ Z statt.
Die Kanten des Netzwerks a ∈ A : i → j besitzen eine Spannung xa = Tj − Ti − za · tT .
Die Randbedingungen des Fahrplans werden mittels unterer Schranken tmin,a und oberer
Schranken tmax,a für die Spannung modelliert. Damit können folgende Zeitelemente des
Fahrplans abgebildet werden [Opi09]:
• Fahrzeit
• Haltezeit
• Zugfolgezeit
• Übergangszeit (Anschlussbindung)
Ein Fahrplan T~ ist genau dann für ein Netzwerk N = (K, A, tT ) gültig, wenn
∀a ∈ A : ∃za ∈ Z : tmin,a ≤ Tj − Ti − za · tT ≤ tmax,a
(2.2)
Die planmäßige Wartezeit entspricht dem Slack im Ereignisnetzwerk. Der Slack ya ist
die Abweichung der Spannung von der unteren Schranke:
0 ≤ ya = Tj − Ti − za · tT − tmin,a < tT
(2.3)
Das Periodic Event Scheduling Problem (PESP) selbst ist das Entscheidungsproblem,
9
2.4 PESP
ob ein gültiger Fahrplan für ein bestimmtes periodisches Ereignisnetzwerk existiert. Das
PESP ist NP-vollständig [SU89], das Lösen von Probleminstanzen für reale Anwendungsfälle ist dadurch eine Herausforderung. Großmann beschreibt ein sehr effizientes
Lösungsverfahren, welches auf der Kodierung von PESP als aussagenlogisches Entscheidungsproblem (SAT) und der Benutzung von SAT-Solvern basiert [Gro+12].
2.4.2 Zugfolgerestriktion
Alle PESP-Restriktionen weisen eine untere und eine obere Schranke auf. Die Zugfolgezeit
ist aber per se aber nicht nach oben begrenzt. In der Taktfahrplanung ergibt sich jedoch
dennoch eine obere Schranke für die Zugfolgezeit, da nach der Taktzeit tT erneut ein
identischer Zug der Linie verkehrt. Damit werden die minimalen Zugfolgezeiten beider
Zugfolgefälle zwischen zwei Linien in einer PESP-Restriktion abgebildet:
s
tZf,min,l1 l2
tT
tZf,max,l1 l2
tZf,min,l2 l1
t
Abbildung 2.3: Schranken der Zugfolgerestriktion im PESP
tZf,min,l1 l2 ≤ T2 − T1 − za · tT ≤ tT − tZf,min,l2 l1
(2.4)
Alternativ kann die Ungleichung für die obere Schranke umgestellt werden zu:
−tT + tZf,min,l2 l1 ≤ T1 − T2 + za · tT
(2.5)
10
2.4 PESP
tZf,min,l2 l1 ≤ T1 − T2 + (za + 1) tT
(2.6)
2.4.3 Anschlussbindungen
Alle zeitlichen Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Zugfahrten, die minimale Zugfolgezeit ausgenommen, werden in der Taktfahrlagenplanung mit TAKT als Anschlussbindung
abgebildet.
Flügel-Anschlüsse dienen bei geflügelten Linien der Verknüpfung der Züge des Linienflügels mit den Züge des Linienstamms. Dies ist in der einen Fahrtrichtung eine Flügelung
der Linie, in der Gegenrichtung ein Kuppeln der beiden Teile. Mit Wende-Anschlüssen
werden einzelner Züge der gleichen Fahrtrichtung verknüpft. Da eine Aufspaltung von
Zügen in TAKT nur bei Richtungswechseln erforderlich ist, werden diese Anschlüsse
üblicherweise bei Wenden verwendet. Verkehrlichen Anschlüssen stellen Anschlüsse im
engeren Sinne für den Übergang von Reisenden dar. Streckentakt-Bindungen dienen
dazu, zwischen zwei Linien einen bestimmten zeitlichen Abstand vorzugeben. Dies wird
häufig angewendet, wenn zwei Linien auf einem Abschnitt gemeinsam verkehren, damit
diese sich dort zu einem einheitlichen Takt ergänzen.
2.4.4 Symmetrie
Die Symmetrie kann mit diesem Modell nicht abgebildet werden, wie z. B. Liebchen
ausführt [Lie06]. Dafür ist das PESP um zusätzliche Symmetrierestriktionen a ∈ AS : i →
j zu erweitern. Mit Symmetrieminute s, Symmetriedefekt ya und maximal zulässigem
Symmetriedefekt da ergeben sich diese Restriktionen wie folgt:
Tj − (s + ya ) − za tT = (s + ya ) − Ti
(2.7)
Ti + Tj − za tT = 2s + 2ya
(2.8)
−da ≤ ya ≤ da
(2.9)
2s − 2da ≤ Ti + Tj − za tT ≤ 2s + 2da
(2.10)
Ein Fahrplan T~ ist genau dann für ein symmetrisches Netzwerk NS = (K, A, tT , AS , s)
gültig, wenn neben Bedingung (2.2) auch gilt:
∀a ∈ AS : ∃za ∈ Z : 2s − 2da ≤ Ti + Tj − za · tT ≤ 2s + 2da
(2.11)
11
2.5 TAKT
2.4.5 Lineares Programm
Das PESP kann mit den Nebenbedingungen (2.2) und (2.11) als ganzzahliges lineares
Optimierungsproblem formuliert werden. Dies erlaubt im Gegensatz zu anderen Lösungsverfahren die Erstellung eines optimalen Fahrplans. Dies erlaubt z. B. die indirekte
Minimierung der Summe der nach Reisendenanzahl gewichteten Reisezeiten. Dies wird
durch eine Minimierung der gewichteten Summe der Slacks erreicht [Opi09].
X
ωa ya → min
(2.12)
Tj − Ti − za · tT ≥ tmin,a
(2.13)
Tj − Ti − za · tT ≤ tmax,a
(2.14)
a
ya − Tj + Ti + za tT + tmin,a = 0
∀a : i → j ∈ A
(2.15)
ya ≥ 0
(2.16)
ya < tT
(2.17)
Ti + Tj − za · tT ≥ 2s − 2da
Ti + Tj − za · tT ≤ 2s + 2da
za ∈ Z
∀a : i → j ∈ AS
(2.18)
(2.19)
(2.20)
2.5 TAKT
2.5.1 Grundlagen
Basierend auf dem PESP wurde am Lehrstuhl für Verkehrsströmungslehre der Technischen Universität Dresden das Programmsystem TAKT entwickelt.
Anhand von importierten Infrastruktur- und Modellzug-Daten ermittelt es automatisch
für jeden Zug einen geeigneten Fahrweg und die sich daraus ergebenden Fahr- und
Sperrzeiten. Die so berechneten Züge werden mit weiteren Angaben, wie z. B. Anschlussbindungen, zu einem Betriebsprogramm zusammengeführt. Diese Anschlussbindungen
können vorgegebene (politische) Anschlüsse sein, aber auch technische bedingte Bindungen, wie z. B. der Fahrzeugübergang bei Flügelungen oder Wenden. Das Betriebsprogramm
umfasst damit Fahr- und Mindesthaltezeiten sowie die Taktzeit jeder Linie, für jedes
12
2.5 TAKT
TAKTOberfläche
Personenverkehr
Routing
Fahrdynamik
Import Infrastrukturdaten
Import von Zügen
Züge erstellen/bearbeiten
Optimierer
Einzeltrassensuche
Schnipselerzeugung
Zugzahlen
je Relation
Betriebsprogramm
PESP-Solver
Getakteter
PersonenverkehrsFahrplan
Güterverkehr
Flowmaster
Kernalgorithmen
GüterverkehrsSystemtrassen
Fahrplan auswerten
Abbildung 2.4: Aufbau des Programmsystems TAKT
Paar aus Linie und Gegenlinie den zugelassenen Symmetriedefekt sowie vorgegebene
Anschlussbindungen mit einer Übergangszeit. Des Weiteren enthält das Betriebsprogramm zu jeder Linie die Zuggattung sowie eine Zugkategorie, anhand derer Personenund Güterzüge sowie Nah- und Fernverkehrszüge unterschieden werden können (vgl.
Abschnitt 2.5.3).
Aus dem Betriebsprogramm berechnet TAKT automatisch ein periodisches Ereignisnetzwerk (PEN). Zum Lösen dieses PEN verwendet TAKT einen PESP-Solver, der
auf SAT-Solvern basiert (siehe [Gro+12]). Für die Erstellung des PEN werden dabei
zunächst die eingegebenen Mindesthaltezeiten verwendet, ebenso die eingegebenen (kleinen) Symmetriedefekte und die eingegeben (möglichst kurzen) Übergangszeiten der
Anschlussbindungen. Eine Besonderheit von TAKT ist dabei, dass das Netzwerk so
kondensiert wird, dass alle Ankunftsknoten entfallen. Die Fahr- und Haltezeit wird
dabei zu einer Kante zusammengefasst. Die Anschluss-, Symmetrie- und Zugfolgekanten
werden auf den vorhergehenden Abfahrtsknoten transformiert (vgl. Abschnitt 2.5.2).
Die sich daraus ergebenden Restriktionen sind jedoch fast immer mit Widersprüchen
behaftet, das Fahrplanproblem enthält also Konflikte. Diese Konflikte können aufgelöst
werden, indem bestimmte Kanten des PEN relaxiert werden. D. h. es werden Haltezeiten
verlängert, Symmetriedefekte vergrößert oder Übergangszeiten verlängert. Die Fahrzeit
ist dabei nicht relaxierbar. Die eigentliche Herausforderung liegt darin, diese Konflikte
13
2.5 TAKT
automatisch, aber dennoch mit minimalen Relaxierungen, zu lösen. TAKT hat dafür
eine Konfliktauflösung auf Basis des PESP-Solvers implementiert (vgl. Abschnitt 2.5.4).
Die Fahrplanung des Güterverkehrs in TAKT folgt einem anderen Ablauf, der aber nicht
Gegenstand dieser Arbeit ist.
2.5.2 PESP-Kondensierung
In TAKT wird die Fahrzeit als konstant angenommen. Deswegen folgen alle Durchfahrten
und Ankünfte immer einer davor liegenden Abfahrt mit einem konstanten zeitlichen
Abstand. Durch Addition bzw. Subtraktion der Fahrzeit vom vorliegenden Abfahrtsereignis bis zum ursprünglichen Anfangsknoten einer Restriktion kann eine Restriktion
jedoch auf den Abfahrtsknoten transformiert werden [Opi09]. Auf diese Weise werden
in TAKT periodische Ereignisnetzwerke in kondensierter Form formuliert. Im Ergebnis
enthalten diese ausschließlich Abfahrtsereignisse. Dies bedeutet jedoch auch, dass die
Schranken der einzelnen Restriktionen meist nicht mehr direkt die Zeitdauern bestimmter
Prozesse wiederspiegeln. Die Kondensierung erlaubt jedoch eine deutliche Reduktion der
Problemgröße und damit meist auch eine Verkürzung der benötigten Rechenzeit.
2.5.3 Eingangsdaten
Für die Fahrplanung in TAKT werden mikroskopische Infrastrukturdaten nach dem
Spurplan-Modell verwendet. Dieses wurde ursprünglich für das Fahrplankonstruktionsprogramm FAKTUS entworfen, welches später zum heute bei der DB Netz AG verwendeten
Fahrplankonstruktionsprogramm RUT-K weiterentwickelt wurde. Diese Daten umfassen
gleisgenaue Infrastrukturdaten, enthalten jedoch nur die für die Fahrplanung relevanten
Informationen. Es sind nur die Hauptgleise abgebildet, die für Zugfahrten irrelevanten
Nebengleise nicht. Die enthaltenen Informationen umfassen die Gleispläne, reduziert
auf die Hauptgleise, mit Standortangaben der Weichen und Kreuzungen, der Vor- und
Hauptsignale und der Signal- und Fahrstraßenzugschlussstellen sowie der gewöhnlichen
Halteplätze. Auf Basis der Gleispläne sind je Betriebsstelle alle zulässigen Fahrtmöglichkeiten durch diese Betriebsstelle inklusive der in der Betriebsstelle beginnenden
bzw. endenden Fahrtmöglichkeiten als Betriebsstellenfahrwege abgebildet [Grö02]. Die
Eigenschaften der Strecken bzw. Gleise, also die zulässige Höchstgeschwindigkeit, die
Längsneigung und die Ausrüstung mit Linienförmiger Zugbeeinflussung (LZB) sind ebenfalls als Elemente im Gleisplan hinterlegt, am Ort des Beginns bzw. der Änderung dieser
Eigenschaften. Daneben ist in TAKT aus einer anderen Quelle für jede Betriebsstelle
14
2.5 TAKT
eine allgemeine Mindestübergangszeit und eine für bahnsteiggleiche Umstiege gültige
kürzere Mindestübergangszeit hinterlegt.
Zudem umfassen die Infrastrukturdaten in Form der Stammdaten auch weitere Daten: Dies sind neben einigen globalen Parametern und Tabellen (beispielsweise die je
Zugkategorie anzuenehmenden Bremsverzögerungen) insbesondere Triebfahrzeugdaten.
Diese enthalten die notwendigen Daten für eine einfache fahrdynamische Berechnung
der Fahrzeit. Dies sind vor allem Triebfahrzeugart, Länge, Masse, Höchstgeschwindigkeit
und die Geschwindigkeitsabhängigen Zugkraft- und Wiederstansfunktionen.
Nach der vollständigen Erstellung von Modellzügen für die Fahrplanrechnung liegen
je Zug folgende Daten in TAKT vor: Zugkategorie, Zuggattung, Zugbezeichnung, Zugkonfiguration (Triebfahrzeug, Wagenzugmasse, Wagenzuglänge, Höchstgeschwindigkeit,
Ausrüstung mit LZB-Fahrzeugeinrichtung) und der gleisfeine Laufweg des Zugs. Dazu
gehört auch die Angabe aller Zwischenhalte mit einer je Halt individuell einzugebender
Mindesthaltezeit.
2.5.4 Automatische Konfliktauflösung
Die automatische Auflösung von Konflikten in TAKT wird mittels Relaxierungen vorgenommen [Opi09]. Relaxierungen bezeichnen das Erhöhen der oberen Schranke einer
Restriktion oder das Absenken der unteren Schranke einer Restriktion. Dabei ist zu
beachten, dass nicht alle Restriktionen relaxiert werden können: Die minimalen Zugfolgezeiten sind grundsätzlich festgelegt und dürfen nicht relaxiert werden. Ebenso werden
nur die Haltezeiten bestimmter Halte als relaxierbar betrachtet (siehe Abschnitt 2.5.5).
Bei Halte- und Anschlussrestriktionen werden die oberen Schranken erhöht, es werden
damit die maximal zulässigen Werte für die Halte- bzw. Übergangszeit vergrößert. Bei
Streckentakt-Anschlussbindungen (vgl. Abschnitt 2.4.3) und Symmetrierestriktionen
(siehe Abschnitt 2.4.4) werden dagegen untere und obere Schranke symmetrisch relaxiert:
Die untere Schranke wird um den gleichen Betrag gekürzt, um den die obere Schranke
erhöht wird.
Die ausschließliche Konfliktlösung durch Relaxierungen hat den Vorteil, dass grundsätzlich keine Folgekonflikte entstehen, da nur die Wertebereiche der Restriktionen erweitert
werden. So wird z. B. nur die maximal zulässige Haltezeit verlängert, es wird jedoch
nicht eine höhere Haltezeit festgelegt.
Die vollautomatische Lösung von Konflikten erfolgt in zwei Stufen: Zuerst wird das
gesamte Ereignisnetzwerk mit einer schnellen Heuristik in ein lösbares Ereignisnetzwerk
15
2.5 TAKT
überführt, was jedoch in unnötig hohen Relaxierungen resultiert: Dieses einfache Verfahren relaxiert so lange gleichmäßig alle relaxierbaren Kanten um den gleichen Betrag,
bis das Netzwerk lösbar ist. Anschließend werden die Relaxierungen unter Wahrung der
Lösbarkeit des Netzwerks minimiert. Die Minimierung wird entweder durch iterative
Anwendung eines SAT-Solvers vorgenommen. Dabei wird nicht das globale Minimum
erreicht, es können aber auch größere, praxisrelevante Ereignisnetzwerke in akzeptabler
Rechenzeit gelöst werden [Küm+13].
Ein weiteres Verfahren zur automatischen Konfliktauflösung basiert auf der Erkennung
lokaler Konflikte und wird in [Gro12] beschrieben. Lokale Konflikte sind Konflikte, die
durch Entfernung einer Restriktion lösbar werden. In diesem Verfahren werden alle
lokalen Konflikte gesucht und anschließend einzeln gelöst. Dieses Verfahren ist läuft
dabei iterativ ab, da die Restriktionen eines lokalen Konflikts gleichzeitig Teil eines
größeren lokalen Konflikts sein können. Dieser wird jedoch erst sichtbar, wenn der erste
lokale Konflikt gelöst ist.
Der Vorteil der automatischen Konfliktauflösung ist, unabhängig vom konkret gewählten Verfahren, dass auch sehr große Konflikte direkt gelöst werden können, ohne dass
eine Auflösung der Konflikte in kleine Teilkonflikte, wie in Abschnitt 2.3 beschrieben,
notwendig ist.
2.5.5 Alternative Halteplätze
Die Relaxierung der Haltezeit wird von TAKT nur in Betriebsstellen durchgeführt, welche
abseits der durchgehenden Hauptgleise ein für den jeweiligen Zug geeignete Kreuzungsbzw. Überholungsgleise, sogenannte alternative Halteplätze, aufweisen. Als geeignet
gelten seitenrichtig gelegene Überholungsgleise. Da diese Eigenschaft in den verwendeten
Infrastrukturdaten nicht hinterlegt ist, wird dies aus den Fahrwegprioritäten ermittelt.
Mittels der Relaxierung der Haltezeit in Betriebsstellen mit alternativen Halteplätzen in
TAKT können Überholungs- und Kreuzungshalte vereinfacht abgebildet werden: Der
Laufweg des Zugs wird nicht angepasst, die Zugfolgerestriktionen des Gleisbelegungsabschnitts, auf dem der Zug hält, werden jedoch nicht betrachtet. Diese Vereinfachung ist
notwendig, da im PESP selbst variable Laufwege nicht abgebildet werden können. Dies
gilt gleichfalls für variable Sperrzeiten, die sich bei Betrachtung der Zugfolgerestriktionen
im Halteabschnitt aus der relaxierten Haltezeit ergeben würden.
16
2.6 Anforderungen
2.6 Anforderungen
Für Dispositionssysteme wird sowohl in [Ste92] als auch in [Hil99] die Anforderung
erhoben, dass die im System automatisch ermittelten Vorschläge und Ergebnisse plausibel begründet und nachvollziehbar sein müssen. Andernfalls besteht die Gefahr, dass
die automatisch berechneten Ergebnisse grundsätzlich in Frage gestellt werden und die
Vorteile eines automatischen Systems verlorengehen [Ste92]. Es liegt nahe, ähnliche
Anforderungen der Nachvollziehbarkeit und Begründbarkeit auch für Fahrplanungssysteme aufzustellen, ein Gespräch mit Experten der DB Netz AG bestätigt dies [KHP14].
Darüber hinaus ist bei deutlichen Abweichungen vom Wunsch-Betriebsprogramm auch
aus rechtlichen Gründen1 eine genaue Begründung erforderlich.
Zusätzlich ist es erforderlich, dass der Benutzer die Möglichkeit erhält, in die Konfliktauflösung einzugreifen. Dies ist nötig, da der Eisenbahnbetrieb vielfältige Restriktionen
und Kriterien verschiedenster Interessenträger aufweist, die Realisierbarkeit und Wirtschaftlichkeit eines Angebotskonzepts wesentlich beeinflussen können, die jedoch kaum
vollständig in einem automatischen Berechnungsverfahren abgedeckt werden können.
Diese Anforderungen sind zudem einem steten Wandel unterworfen [WF12]. Die zuvor geforderte Nachvollziehbarkeit ist hierfür eine Voraussetzung, da der Benutzer die
Notwendigkeit und die Folgen eines manuellen Eingriffs erkennen können muss.
1
Artikel 46 der Richtlinie 2012/34/EU des Europäischen Parlaments und des Rates vom 21. November 2012 zur Schaffung eines einheitlichen europäischen Eisenbahnraums, § 14d Allgemeines
Eisenbahngesetz (AEG), §§ 9, 13 Eisenbahninfrastruktur-Benutzungsverordnung (EIBV)
17
3 Interaktive Konfliktlösung
3.1 Grundlagen
Die im Abschnitt 2.6 erhobene Forderung der Nachvollziehbarkeit der Konfliktauflösung
wird von TAKT bisher nicht erfüllt. Dies ist im derzeitigen Verfahren auch kaum möglich,
da der Fahrplanungsprozess von den Eingangsdaten an über mehrere Ebenenen (PESP,
Aussagenlogik) abstrahiert wird und ein Protokoll der nacheinander vollzogenen Schritte
wohl kaum verständlich wäre.
Als Ersatz für die wahrscheinlich nicht realisierbare direkte Nachvollziehbarkeit des
Konfliktauflösungsverfahrens ist die Einbeziehung des Benutzers in die Konfliktauflösung
notwendig. Dazu ist die Erweiterung des automatischen Konfliktlösungsverfahrens zu
einem interaktiven Verfahren erforderlich. Die automatische Konflikterkennung kann
weiterhin vollzogen werden, die Konflikte sind jedoch durch den Benutzer zu lösen.
Dies ermöglicht eine nachvollziehbare Fahrplanbearbeitung, da sowohl die zum Konflikt
führenden Anforderungen als auch die daraus abgeleitete Konfliktlösung durch den
Benutzer verfolgt werden können.
Gleichzeitig sind automatisch Lösungsalternativen zu ermitteln, die dem Benutzer angezeigt werden um trotz des teilweise manuellen Bearbeitungsablaufs dem Benutzer
eine größtmögliche Unterstützung zu bieten. Dadurch, dass die konkreten Konflikte und
ihre Lösungsmöglichkeiten ersichtlich sind, wird wieder ein nachvollziehbares Vorgehen
ermöglicht. Zudem können Benutzer hier ihr Expertenwissen in die Fahrplanung gezielt
einbringen.
Die interaktive Konfliktlöauflösung weist den Nachteil einer deutlich höheren Bearbeitungszeit auf, da eine Beteiligung des Benutzers erforderlich ist. Würde man das
Verfahren für sämtliche Konflikte anwenden, würden die Vorteile der automatischen
Fahrplanung gegenüber der manuellen Fahrplankonstruktion weitestgehend verloren
gehen. Es erscheint daher angebracht, dass die große Zahl sehr kleiner Konflikte aus der
aufwändigen interaktiven Bearbeitung ausgeschlossen und weiterhin vollautomatisch auf-
18
3.2 Ablauf
gelöst wird und lediglich eine Auswahl von signifikanten Konflikten interaktiv bearbeitet
wird.
3.2 Ablauf
Der Ablauf der interaktiven Konfliktlösung stellt sich damit wie folgt dar: Zunächst
wird durch TAKT weiterhin aus den Eingangsdaten (Betriebsprogramm, Infrastruktur)
das Restriktionssystem in Form eines kondensierten Ereignisnetzwerks formuliert (vgl.
Abschnitte 2.4.1 und 2.5.2). Anschließend wird die automatische Erkennung lokaler
Konflikte (vgl. Abschnitt 2.5.4) für eine modizifierte Form dieses periodischen Ereignisnetzwerks durchgeführt, so dass lediglich signifikante Konflikte erkannt werden (siehe
Abschnitt 3.3). Für diese werden anschließend Lösungsmöglichkeiten berechnet (siehe
Kapitel 5). Aus diesen ist vom Benutzer eine Lösungsmöglichkeit auszuwählen. Dabei
ist es möglicherweise sinnvoll, auch die freie Eingabe anderer Konfliktlösungen sowie
die Modifizierung der Lösungsvorschläge durch den Benutzer zuzulassen. Vor Abschluss
der Bearbeitung eines Konflikts ist die gewählte bzw. eingegebene Konfliktlösung auf
das Netzwerk anzuwenden. Dieses ist dann unter Ausschluss der Kanten der bereits
erkannten, aber noch nicht bearbeiteten, signifkanten Konflikte auf signifikante Konflikte zu untersuchen. Damit wird geprüft, ob die gewählte Konfliktlösung den Konflikt
tatsächlich löst. Dies ist notwendig, da die Konfliktösungsmaßnahmen zunächst für
die Suche möglicher Konfliktlösungen nur vereinfacht abgebildet werden und es nicht
ausgeschlossen werden kann, dass die ermittelten Konfliktlösungen zu signifikanten
Folgekonflikten führen. Diese Prüfung ist dann wesentlich schneller möglich, als während
der Erkennung geeigneter Konfliktlösungen, da nur noch eine konkrete Konfliktlösung
geprüft wird.
Zudem sind die vom Benutzer modifizierten bzw. manuell eingegebenen Konfliktlösungen
direkt zu prüfen. Würde die Prüfung erst im Rahmen der nachfolgend beschriebenen Iterationsschleifen erfolgen, würde die Nachvollziehbarkeit verloren gehen, welche
Konfliktlösung unzureichend war bzw. zu Folgekonflikten führte.
Die Erkennung und Behandlung signifikanter Konflikte wird nach der Lösung aller zuvor
erkannten signifikanten Konflikte wiederholt, da die Konflikterkennung verfahrensbedingt nicht in einer Iteration sämtliche Konflikte erkennt (siehe Abschnitt 2.5.4). Die
verbleibenden Konflikte des Fahrplanproblems, und kleinere, ggf. aus den Lösungen
der signifikanten Konflikte resultierende Folgekonflikte, werden anschließend durch die
bereits in TAKT vorhandene vollautomatische Konfliktauflösung gelöst. Der Ablauf ist
19
3.3 Signifikanz von Konflikten
in Abbildung 3.1 vereinfacht dargestellt.
Aufbau
Restriktionssystem
Erkennung
signifikanter Konflikte
automatische Lösung
verbleibender Konflikte
Ermittlung
ausgewählter
Lösungsalternativen
Benutzer wählt
Konfliktlösung
zulässiger Fahrplan
Abbildung 3.1: interaktiver Bearbeitungsablauf
3.3 Signifikanz von Konflikten
Wie zuvor erläutert (siehe 3.1), ist es nicht sinnvoll, sämtliche Konflikte mittels der
neuen interaktiven Konfliktauflösung zu lösen. Konflikte, die von der bestehenden
vollautomatischen Konfliktauflösung mit sehr kleinen Eingriffen gelöst werden können,
sind deswegen weiterhin automatisch zu lösen.
Dies kann abgebildet werden, indem alle möglichen, noch nicht als signifikant eingestuften
Relaxierungen am Ereignisnetzwerk vorgenommen werden. Wenn die Konflikterkennung
in diesem modifizierten Ereignisnetzwerk durchgeführt wird, werden so nur noch die
Konflikte erkannt, die mit nicht signifikanten Relaxierungen nicht gelöst werden können.
Entsprechend ist für jeden Restriktions-Typ ein Schwellwert für Relaxierungs-Minuten
festzulegen, der noch als nicht signifikant gilt. Es sind somit die Schwellwerte yH,S für die
Halterelaxierung, yA,S für die Anschlussrelaxierung und yS,S für die Symmetrierelaxierung
festzulegen.
Häufig ist es jedoch lediglich notwendig, zur Konfliktlösung die Beförderungszeit auf
einem längeren Abschnitt mit mehreren Zwischenhalten zu verlängern. Werden jedoch
mehrere aufeinander folgende Halte jeweils um den Schwellwert relaxiert, kommt es
trotz der nicht signifikanten Haltezeitverlängerung zu einer deutlichen Verlängerung der
20
3.4 Expansion von Konflikt-Ereignisnetzwerken
Beförderungszeit. Dieses Problem kann durch die Ergänzung des Ereignisnetzwerks um
zusätzlichen Beförderungszeitkanten vermieden werden [Küm13].
Die Beförderungszeitkanten sind dabei im Sinne des PESP Anschlussrestriktionen, dienen
jedoch der Festlegung eines Schwellwerts für die Beförderungszeit. Diese Kanten sind für
jede Linie je Richtung von allen Abfahrtsereignissen auf alle folgenden Ankunftsereignisse
(nicht nur auf die direkt folgende Ankunft) zu ergänzen. Als untere Schranke tBef,min
ist für diese Kanten die Summe Fahrzeiten und (Zwischen-)Haltezeiten zwischen den
jeweiligen Ankunfts- und Abfahrtsereignissen festzulegen. Die obere Schranke tBef,S
stellt den Schwellwert für die Konflikt-Signifikanz dar, sie ist kein absoluter Grenzwert.
Da nicht nur die Beförderungszeit des gesamten Linienverlaufs, sondern auch sämtliche
kürzere Teilabschnitte betrachtet werden, ist für kürzere Abschnitte eine höhere relative
Beförderungszeitschwelle vorzusehen. Dies ist z. B. in folgender Form möglich:
tBef,S = αBef · tBef,min + ∆tBef,S
(3.1)
Für die Parameter αBef und ∆tBef,S existieren bislang keine etablierten Werte.
3.4 Expansion von Konflikt-Ereignisnetzwerken
3.4.1 Grundlagen
Die Entfernung aller Ankunfts- und Durchfahrtsereignisse in der automatischen Fahrplanung von TAKT durch eine kondensierte Formulierung des Ereignisnetzwerks ermöglicht
eine sehr kompakte und effizienter zu verarbeitende Notation der Restriktionen des
Fahrplanungssystem. Durch die Kondensierung entsprechen jedoch die meisten der
dort verwendeten Kanten nicht mehr den einzelnen bahnbetrieblichen Prozessen bzw.
Fahrplanbindungen (vgl. Abschnitt 2.5.2). Eine Anzeige oder Visualisierung derartiger
PESP-Kanten kann dadurch nur bedingt zum Verständnis von Konflikten beitragen.
Zudem werden dadurch auch die Konflikte scheinbar künstlich vergrößert, da sämtliche
Kanten immer am vorherigen Abfahrtsereignis beginnen. Dies kann zum Beispiel bei
einem Konflikt zwischen Fernverkehrszügen im Raum Hannover dazu füren, dass einige
Kanten des Konflikts mit Abfahrtsereignissen in Hamburg, Bremen oder Bielefeld beginnen. Dies ist in der vollautomatischen Konfliktauflösung kein Problem, da dort die
Fahrzeiten als Konstanten betrachtet werden und die einzelnen Durchfahrtsereignisse
jeweils um einen festen Wert nach dem vorliegenden Abfahrtsereignis erfolgen.
21
3.4 Expansion von Konflikt-Ereignisnetzwerken
Diese Probleme können umgangen werden, indem für die Restriktionen der ermittelten
signifikanten Konflikte das periodische Ereignisnetzwerk in einer wesentlich ausführlicheren Form formuliert wird. Dabei werden neben den Abfahrtsereignissen auch sämtliche
Ankunftsereignisse sowie ausgewählte Durchfahrtsereignisse berücksichtigt.
3.4.2 Ausgewählte Betriebsstellen
Um eine zu feine Teilung zu vermeiden, sollten die Durchfahrtsereignisse nur in ausgewählten Betriebsstellen angelegt werden.
Dabei können folgende Auswahlkriterien genutzt werden:
1. Es werden alle Betriebsstellen ausgewählt, in denen mindestens eine Zug des
untersuchten Betriebsprogramms hält.
2. Es werden zusätzlich alle Betriebsstellen ausgewählt, die von mindestens einem
Zug passiert werden, für den es in dieser Betriebsstelle ein geeignetes Überholungsbzw. Kreuzungsgleis gibt.
3. Es werden zusätzlich die Betriebsstellen ausgewählt, in denen es einen Zug gibt,
die mit einem anderen Zug in dieser Betriebsstelle einen Fahrtausschluss aufweist,
aber in der vorangehenden oder folgenden Betriebsstelle nicht.
Durch Regel 2 kann sichergestellt werden, dass in der nachfolgend beschriebenen erweiterten Konfliktlösung zusätzliche Betriebshalte zum Kreuzen bzw. Überholen eingelegt
werden können (vergleiche Abschnitt 4.2.8). Geeignete Überholungs- bzw. Kreuzungsgleise sind Gleise, die keine durchgehenden Hauptgleise sind, die lang genug für die jeweilige
Linie sind und die von der entsprechenden Zugkategorie und Triebfahrzeugbauart befahren werden dürfen (siehe auch Abschnitt 2.5.5).
Regel 3 erfasst diejenigen Betriebsstellen, in denen sich die Zusammensetzung des Betriebsprogramms auf der jeweiligen Strecke ändert. Neben den bereits durch die anderen
beiden Regeln ausgewählten Betriebsstellen handelt es sich dabei vor allem um Abzweigund Überleitstellen. Dadurch kann erreicht werden, dass die Zugfolgerestriktionen sich
auf den Abschnitt beziehen, in dem der Fahrtausschluss tatsächlich vorliegt. Gleichzeitig
hat die Streckenbelegung Einfluss auf die Möglichkeit und den Erfolg einiger Konfliktlösungsmöglichkeiten. Während das Biegen (siehe Abschnitt 4.2.5), abgesehen von der
Geschwindigkeitsharmonisierung, auf dicht belegten Strecken auf Grund der Erhöhung
der Belegungszeiten kaum möglich ist, kann es auf schwach belegten Strecken eingesetzt
werden, um die zeitlichen Lagen auf vorliegenden und nachfolgenden dicht belegten
22
3.5 Visualisierung
Streckenabschnitten aufeinander zu synchronisieren.
Durch die allgemeine Auswahl dieser Betriebsstellen wird sichergestellt, dass alle Linien
auf der gleichen Strecke in die gleichen Abschnitte untergliedert werden.
3.4.3 Struktur
Auf Basis der ausgewählten Betriebsstellen kann eine Struktur für die weitere Modellierung der Fahrplanung festgelegt werden.
Streckenabschnitte sind Abfolgen von Betriebsstellen, die an ausgewählten Betriebsstellen beginnen und enden und dazwischen eine eindeutige Abfolge von Betriebsstellen
aufweisen. Selbsttätige Blockstellen (Selbst- bzw. Zentralblocksignale) werden dabei von
der Betrachtung ausgenommen. Diese Betriebsstellen sind in den Infrastrukturdaten an
alphanumerischen DS100-Betriebsstellenkürzeln erkennbar.
Die Betrachtung auf Basis der Betriebsstellenabfolge erlaubt es, mehrere parallel führende
Strecken zusammenzufassen, durch die Beachtung der dazwischenliegenden Betriebsstellen werden jedoch nur gleichwertige Strecken zusammengefasst. Die Streckenabschnitte
bilden die Betrachtungsabschnitte für die nachfolgenden infrastrukturellen Konfliktlösungsmöglichkeiten.
Gleichermaßen werden die Züge (vgl. Abschnitt 2.1) an den ausgewählten Betriebsstellen
in Abschnitte untergliedert.
3.5 Visualisierung
Eine allgemeingültige Visualisierung von Konflikten ist durch die Darstellung der Restriktionen, aus denen der Konflikt besteht, möglich. Die Restriktionen entsprechen
dabei aufgrund der in Abschnitt 3.4 beschriebenen nicht kondensierten Formulierung
konkreten bahnbetrieblichen Restriktionen bzw. eingegebenen Bindungen. Die Abbildung
der Konflikte auf typische Konfliktfälle, wie sie in [Röl13] betrachtet wurde und ähnlich
auch in Abschnitt 2.3 beschrieben ist, wäre wahrscheinlich besser verständlich. Diese
Abbildungen haben jedoch den Nachteil, dass sie nur bestimmte typische Fälle abdecken,
damit jedoch nicht alle Konflikte dargestellt werden können. Deswegen sind solche Abbildungen für eine allgemeingültige Visualisierung von Konflikten nicht geeignet. Es ist
jedoch weiterführend zu untersuchen, ob zusätzlich zur allgemeingültigen Visualisierung
23
3.5 Visualisierung
eine besondere Darstellung und Behandlung bestimmter typischer Konfliktfälle sinnvoll
ist.
Um die Übersichtlichkeit zu erhöhen, können aufeinanderfolgende Fahr- und Haltezeiten
eines Zugs zur Beförderungszeit für den gesamten Abschnitt zusammengefasst werden.
Eine grafische Darstellung dieser Konflikte ist als modifizierte Variante der Netzgrafik
vorstellbar, da die Abfahrts- und Ankunftsereignisse einzelner Züge jeweils einem Punkt
in der Netzgrafik entsprechen. Die Fahr- und Haltezeiten sind in der Netzgrafik bereits
als Kanten erhalten, hier sind die im Konflikt erhaltenen Kanten hervorzuheben. Da
die Anzahl der Zugfolgerestriktionen häufig sehr hoch ist und die Zugfolgerestriktionen
durch die Expansion der Ereignisnetzwerke (siehe Abschnitt 3.4) einem überschaubaren
begrenzten Streckenabschnitt zugeordnet sind, können die Streckenabschnitte, denen im
Konflikt enthaltene Zugfolgerestriktionen zugeordnet sind, hervorgehoben werden. Die
Anschlussbindungen können als Verbindungen zwischen den Ankünften bzw. Abfahrten
dargestellt werden.
24
4 Systematisierung von
Konfliktlösungsmöglichkeiten
4.1 Grundlagen
Die bestehenden Konfliktlösungsmöglichkeiten der automatischen Konfliktauflösung
(siehe Abschnitt 2.5.4) bilden nur einen kleinen Bereich der in der manuellen Fahrplanerstellung betrachteten Maßnahmen [Grö02; KHP14] ab. In der vollautomatischen
Konfliktauflösung können lediglich Konfliktlösungen durchgeführt werden, die stets
zulässig sind. Durch die Beteiligung eines Bearbeiters ist diese Beschränkung in der
interaktiven Konfliktauflösung jedoch nicht mehr notwendig, es können auch Konfliktlösungsmaßnahmen betrachtet werden, die nur unter besonderen, im Verfahren nicht
abgebildeten, Voraussetzungen möglich sind. Die Berücksichtigung zusätzlicher Maßnahmen, die bisher in der manuellen Fahrplanung bereits vorgenommen werden ermöglicht
zudem die Erstellung realistischerer Fahrpläne.
Besonders bei langfristigen Untersuchung sind auch Änderungen an der Infrastruktur
zu betrachten, insbesondere wenn die Konflikte des gewünschten Betriebsprogrammes
allein durch betriebliche Maßnahmen nicht gelöst werden können. Im Folgenden werden
daher zunächst im ersten Abschnitt betriebliche Konfliktlösungen und anschließend
infrastrukturelle Konfliktlösungen beschrieben.
Darüber hinaus ermöglicht die Betrachtung der Veränderung zahlreicher Eingangsgrößen
auch die Prüfung auf Eingabefehler. Prinzipbedingt können dabei nur Fehler erkannt
werden, die zu einem restriktiveren Fahrplanproblem, also zu zusätzlichen Konflikten
führen. Zudem obliegt die Beurteilung, ob die zu einem Konflikt führenden Restriktionen
durch fehlerhafte Daten verfälscht wurden, dem Benutzer. Im Falle unbefriedigender
Ergebnisse kann die Auswahl signifikanter Konflikte jedoch die Anzahl der auf Fehler zu
prüfenden Restriktionen erheblich reduzieren.
25
4.2 Betriebliche Konfliktlösungsmöglichkeiten
4.2 Betriebliche Konfliktlösungsmöglichkeiten
4.2.1 Verlängerung der Haltezeit, Überholungen, Kreuzungen
Verlängerungen der Haltezeit sind die einfachste Konfliktlösungsmöglichkeit. Die Verlängerung der Haltezeit in Kreuzungs- und Überholungsbahnhöfen ist in der automatischen
Konfliktauflösung von TAKT bereits implementiert (vgl. Abschnitt 2.5.5). Darüberhinaus kann es jedoch prinzipiell auch sinnvoll sein, die Haltezeit in anderen Betriebsstellen
zu verlängern.
Dabei ist zu beachten, dass mit der Verlängerung der Haltezeit auch die Sperrzeit des
während des Haltes belegten Gleisabschnittes verlängert wird. Damit wird in den meisten
Fällen auch die minimale Zugfolgezeit zu anderen Zügen verlängert.
Grundsätzlich sind Verlängerung der Haltezeit auf Grund der deraus resultierenden
Verlängerung der Beförderungszeit nur bis zur einer gewissen Höhe praktikabel, eine
hohe Haltezeitverlängerung kann jedoch auch als Aufspaltung einer Linie interpretiert
werden. Damit kann indirekt auch ein Spezialfall der Modifizierung des Liniennetzes zur
Konfliktlösung mit berücksichtigt werden.
4.2.2 Verkürzung der Haltezeit
Die Verkürzung von Haltezeiten kann ebenfalls zur Lösung von Konflikten beitragen.
Dies ist jedoch nur an den Halten sinnvoll, an denen die jeweils vorgebene Mindesthaltezeit eine allgemein gültige Mindesthaltezeit (siehe Abschnitt 2.2.3) überschreitet.
Verlängerte Mindesthaltezeiten werden dabei in großen Knotenbahnhöfen mit einem
hohen Fahrgastaufkommen angestrebt, sie können jedoch auch durch technische Randbedigungen begründet sein. Es Bedarf deswegen der Überprüfung durch einen Benutzer,
ob im konkreten Fall eine Verkürzung der Mindesthaltezeit möglich ist.
Die Abbildung verkürzter Mindesthaltezeiten für ausgewählte Fernverkehrszüge (Doppelstock-InterCity) ist möglich, indem diese für die Fahrplanung in die Zugkategorie
der Nahverkehrszüge eingeordnet werden. Dies ist auch in Verbindung mit der in Abschnitt 4.2.10 beschriebenen Maßnahme sinnvoll, da die Höchstgeschwindigkeit dieser
Fahrzeuge auf nahverkehrstypische 160 km/h begrenzt ist.
26
4.2 Betriebliche Konfliktlösungsmöglichkeiten
4.2.3 Änderung der Übergangszeit
Die Verlängerung der Übergangszeit gehört zu den bereits in TAKT berücksichtigten
Konfliktlösungsmöglichkeiten. Hierbei ist jedoch zwischen den unterschiedlichen Typen
von Anschlussbindungen zu unterscheiden (vgl. Abschnitt 2.4.3):
Bei Flügel- und Wende-Anschlüssen entspricht eine Verlängerung der Übergangszeit
inhaltlich einer Haltezeitverlängerung. Bei der Verlängerung der Übergangszeit verkehrlicher Anschlüsse wird dagegen nur die Wartezeit der Reisenden erhöht. Besonders bei
verkehrlichen Anschlüssen ist jedoch zu beachten, dass Anschlüsse nur bis zu einer
gewissen Höhe der Übergangszeit noch als gute Anschlüsse akzeptiert werden. Darüber
hinaus sind Anschlüsse dann unabhängig von der genauen Höhe der Übergangszeit
unakzeptabel [Küm13].
Während die Mindestübergangszeit bei Flügel- und Wende-Anschlüssen durch betriebliche Prozesse begründet ist, ergibt sich die Mindestübergangszeit verkehrlicher Anschlüsse
aus dem vom Reisenden zurückzulegenden Weg. Ist die eingegebene Mindestübergangszeit größer als die für bahnsteiggleiche Übergänge in dieser Betriebsstelle mögliche
Mindestübergangszeit (vgl. Abschnitt 2.5.3), ist es prinzipiell möglich, die Mindestübergangszeit durch eine andere Gleiszuordnung auf den Wert für bahnsteiggleiche Übergänge
zu verkürzen.
Streckentakt-Bindungen nehmen demgegenüber eine Sonderstellung ein: Da eine Verlängerung der Übergangszeit immer eine Verkürzung der Übergangszeit, bezogen auf
die umgekehrte Reihenfolge der Linien, darstellt, werden diese Bindungen grundsätzlich
symmetrisch modifiziert: Eine Verlängerung der oberen Schranke wird stets in gleicher
Höhe auch als Verkürzung der unteren Schranke der Streckentakt-Bindung vorgenommen.
4.2.4 Erhöhung des Symmetriedefekts
Der Hauptvorteil der Symmetrie liegt in der leichteren Merkbarkeit des Fahrplans und
der grundsätzlichen Symmetrie in Umsteigebeziehungen und Reiseverbindungen [Lie05].
Auf Grund höhengleicher Abzweige, assymetrischer Fahrzeiten (z. B. bei steigungsreichen
Strecken) und höhengleicher Abzweige ist die Fahrplansymmetrie jedoch nicht immer
exakt umsetzbar, deswegen ist es erforderlich, die Erhöhung des zulässigen Symmetriedefekts in der Konfliktauflösung zu betrachten. In der derzeitigen automatischen
Konfliktauflösung von TAKT ist dies bereits umgesetzt.
Die wichtigsten Anschlüsse werden in der Regel durch manuelle Eingabe oder als Ergebnis
27
4.2 Betriebliche Konfliktlösungsmöglichkeiten
einer Verkehrsumlegung vorgegeben, so dass diese unabhängig von der Symmetrie eingehalten werden. Grundsätzlich sind Abweichungen von der Symmetrie aber zu vermeiden,
da Unterschiede in der Symmetrie verschiedener Linien bzw. Linienabschnitte stets in
mindestens einer Richtung durch zusätzliche Halte- und Übergangszeiten ausgeglichen
werden müssen.
4.2.5 Verlängerung der Fahrzeit
Die (künstliche) Verlängerung der Fahrzeit, bezeichnet als Biegen, ist eine gebräuchliche Maßnahme zur Konfliktlösung in der Fahrplankonstruktion [Grö02]. Ein wichtiger
Anwendungsfall des Biegens ist die Angleichung unterschiedlicher Beförderungszeiten
verschiedener Linien, wodurch die Streckenkapazität erhöht werden kann [Pac13]. Daneben kann das Biegen alternativ zu Haltezeitverlängerungen auch eingesetzt werden, um
verschiedene zeitliche Lagen aufeinander zu synchronisieren [Bär11]. Der einzige Nachteil
des Biegens ist die verlängerte Beförderungszeit [Pac13].
Das Biegen wird in der Fahrplankonstruktion so vorgenommen, dass zwischen zwei Betriebsstellen (Bezugspunkt Fahrzeitmesspunkt bzw. Halteplatz) die Fahrzeit gleichmäßig
gestreckt wird. Beachtet werden muss dabei jedoch, dass sich die Sperrzeiten (und damit
auch die minimalen Zugfolgezeiten) beim Biegen ändern [Grö02].
Um unpraktikable Konfliktlösungen auszuschließen, sollte eine gewisse Mindestgeschwindigkeit vmin bzw. die aus dieser Mindestgeschwindigkeit resultierende Maximalfahrzeit tF,max festgelegt werden. Die Deutsche Bahn legt z. B. für Güterzüge auf Steigungsstrecken eine Mindestgeschwindigkeit von 20 km/h zu Grunde [DB491], wobei jedoch
bereits für Züge, die fahrzeugbedingt die Mindestgeschwindigkeit 50 km/h nicht erreichen,
ein deutlicher Aufschlag auf den Trassenpreis vorgesehen ist [SNB15].
Daneben ist es denkbar, auch für die relative Fahrzeitverlängerung einen Grenzwert
festzulegen, da es beispielsweise auf Schnellfahrstrecken mit 300 km/h Höchstgeschwindigkeit nicht sinnvoll erscheint, Linien mit einer Geschwindigkeit 50 km/h zu betreiben.
Ein solcher Grenzwert wurde jedoch bisher in der Literatur noch nicht formuliert.
4.2.6 Aufgabe bzw. Verlagerung von Fahrzeitüberschüssen
Mitunter können einzelne Linien im ursprünglichen Fahrplanproblem bereits Fahrzeitüberschüsse aufweisen, beispielsweise, weil der Bearbeiter erwartet hat, dass diese
ohnehin für die Konfliktlösung erforderlich sind. Sollten diese nicht notwendig sein, kann
28
4.2 Betriebliche Konfliktlösungsmöglichkeiten
die Fahrzeit in der Konfliktauflösung wieder auf den ursprünglichen Wert reduziert
werden. Verbunden mit einer Verlängerung der Fahrzeit an anderer Stelle können die
Fahrzeitüberschüsse auch verlagert werden.
4.2.7 Auflassen von Halten
Verkehrshalte können aus zwei verschiedenen Gründen aufgelassen werden: Zum einen
kann damit auf dicht belegten Strecken die Belegungszeit und damit auch die minimale
Zugfolgezeit reduziert und damit die Kapazität erhöht werden, zum anderen kann damit
die Beförderungszeit auf diesem Abschnitt reduziert werden [FGSV137].
Problematisch ist bei dieser Maßnahme jedoch die deutliche Angebotsreduzierung. Diese
Maßnahme kommt daher in der Regel nur in Frage, wenn eine Bedienung auch durch
andere Linien oder andere Verkehrsmittel (z. B. Regionalbus) stattfindet oder der Halt
eine sehr geringe Nutzung aufweist. Umsteigemöglichkeiten sollen dabei jedoch grundsätzlich erhalten bleiben [FGSV137]. Dabei können auch im Fernverkehr Zwischenhalte
außerhalb wichtiger Umsteigeknoten eine erhebliche Bedeutung aufweisen [Eck00].
Die Berücksichtigung von Umsteigemöglichkeiten kann vorgenommen werden, indem das
Auflassen des Halts einer bestimmten Linie in einer bestimmten Reisendenzugangsstelle
nur zugelassen wird, wenn alle sinnvollen Umstiege von der Linie in dieser Reisendenzugangsstelle auf andere Linien der gleichen oder höherer Hierarchiestufen alternativ auch
in anderen Reisendenzugangsstellen möglich sind. Bestimmte nicht sinnvolle Umstiege,
z. B. auf die dazugehörige Gegenlinie, sind dabei von der Betrachtung auszunehmen.
Ein Verfahren zur Bestimmung der sinnvollen Umstiege ist in [Küm13] erläutert. Die
Beschränkung auf Linien der gleichen und höherer Hierarchien erscheint angebracht, da
es derzeit zahlreiche Knotenbahnhöfe des Regionalverkehrs gibt, in denen nur ein Teil
der Fernverkehrslinien halten. Dies sind aktuell1 zum Beispiel Fulda, Gotha, Hanau Hbf
und Weimar.
Die verkehrliche Bedeutung von Halten für ein- und aussteigende Reisende kann grundsätzlich über Verkehrsnachfragedaten beurteilt werden. Bei Vorliegen entsprechender
Daten ist es denkbar, das Auflassen eines Haltes erst unterhalb einer gewissen Anzahl
von Reisenden je Tag in dieser Reisendenzugangsstelle zuzulassen. Die Nahverkehrspläne
einiger Bundesländer nennen dazu Zahlen zwischen 20 und 50 Reisenden je Tag [MLV11;
TMBLV14; MIL12].
1
DB-Fahrplaninformation 2014, Download-Version, Stand 02.04.2014
29
4.2 Betriebliche Konfliktlösungsmöglichkeiten
Im Sinne der Fahrplansymmetrie (siehe Abschnitt 2.1) ist das Auflassen von Halten
immer symmetrisch für eine Linie und die dazugehörige Gegenlinie vorzunehmen.
Daneben dienen einige Verkehrshalte zusätzlich betrieblichen Aufgaben wie z. B.
• Änderung der Zugzusammensetzung (Lokwechsel, Stärken/Schwächen, Kuppeln/
Flügeln)
• Sicherung eines Bahnübergangs [DB408]
• Vereinfachte Bremsprobe vor dem Übergang auf Steilstrecken [DB465]
• Personalwechsel
• Umschaltung des Stromsystems, des Zugsicherungssystems oder weiterer Einrichtungen
Die Änderung der Zugzusammensetzung ist in den Daten zum Betriebsprogramm als
Änderung der Zugkonfiguration ersichtlich (anderes Triebfahrzeug bzw. andere Wagenzuglänge bzw. -masse). Erforderliche Halte für die Sicherung eines Bahnübergangs sind
in den DB-Spurplan-Infrastrukturdaten hinterlegt (Element Zwangshalt). Die weiteren
Gründe für einen Halt sind jedoch in den vorhandenen Fahrplan- und Infrastrukturdaten nicht abgebildet. Dadurch lässt sich der Entfall von Halten nicht vollautomatisch
vornehmen, sondern muss durch den Benutzer beurteilt werden.
Der Entfall von Betriebshalten, die bereits im vorgegebenen Betriebsprogramm enthalten
sind, ist jedoch unproblematisch, da diese ausschließlich für den Betriebsablauf erforderlich
sind (zumeist Kreuzen bzw. Überholen) und keine der oben genannten Aufgaben eines
Verkehrshalts aufweisen.
4.2.8 Ergänzung zusätzlicher Betriebshalte
Durch Einfügen zusätzlicher Betriebshalte können zusätzliche Kreuzungs- bzw. Überholungsmöglichkeiten geschaffen werden, wodurch mitunter andere zeitliche Lagen zweier
Züge zueinander ermöglicht werden. Ohne Infrastrukturausbau ist dies dabei nur bei
Vorhandensein alternativer Halteplätze (siehe Abschnitt 2.5.5) möglich.
4.2.9 Wahl eines anderen Laufwegs
Die Wahl alternativer Laufwege ist ebenfalls eine bedeutende Möglichkeit zur Lösung
von Konflikten. Diese nimmt aber eine Sonderstellung ein, da die Verlagerung eines
30
4.2 Betriebliche Konfliktlösungsmöglichkeiten
Zugs auf einen anderen Laufweg in der Regel zu einer großen Anzahl zusätzlicher
neuer Zugfolgerestriktionen mit bisher nicht betrachteten Zügen führt. Werden diese
anderen Züge im Rahmen der Lösung des jeweiligen Konflikts nicht mit betrachtet, führt
dies wahrscheinlich meist zu einer hohen Anzahl von Folgekonflikten. Dies könnte nur
vermieden werden, indem im Voraus für alle Kombinantionen von Laufwegvarianten
der betreffenden Züge die entsprechenden Fahrtausschlüsse und Zugfolgerestriktionen
berechnet werden. Zudem sind besonders in großen Eisenbahnknoten extrem viele
mögliche Laufwege vorhanden, was in Verbindung mit den prinzipiell zu betrachteten
Folgekonflikten einen nicht zu beherrschenden Rechenaufwand befürchten lässt.
Deswegen werden alternative Laufwege in diesem Verfahren zunächst nicht untersucht.
Es ist für den Bearbeiter jedoch in TAKT möglich, den Laufweg von Zügen manuell zu
ändern.
4.2.10 Fahrzeitverkürzung durch Einsatz anderer Fahrzeuge
Durch den Einsatz von Fahrzeugen mit einer größeren Höchstgeschwindigkeit oder einer
besseren Beschleunigung kann die Fahrzeit ebenfalls verkürzt werden. Während diese
Maßnahme zur kurfristigen Lösung von Konflikten auf Grund des meist langen Vorlaufs
für die Fahrzeugbeschaffung nicht in Frage kommt, wird sie in der Langfristfahrplanung
durchaus betrachtet [KHP14].
Die maximal durch den Einsatz anderer Fahrzeuge erzielbare Fahrzeitverkürzung kann
dabei ermittelt werden, indem die Fahrzeit des Zuges mit einer zuvor festgelegten schnellsten Zugkonfiguration berechnet wird. Dabei sind verschiedene Zugarten zu unterscheiden,
beispielsweise Fern- bzw. Nahverkehrszüge mit elektrischen Fahrzeugen und Fern- bzw.
Nahverkehrszüge mit Dieseltriebfahrzeugen. Wenn die schnellste Zugkonfiguration eine
Ausnahme darstellt, also nur auf sehr wenigen Linien im Einsatz ist, kann es sinnvoll
sein, nicht die schnellste, sondern eine schnelle, aber noch typische Zugkonfiguration
zu unterstellen. So ist zum Beispiel die RegionalExpress-Linie München – Ingolstadt –
Nürnberg die einzigste Nahverkehrslinie in Deutschland, auf der Fahrzeuge mit einer
Höchstgeschwindigkeit von 200 km/h verkehren. Eine Ausweitung des Einsatzes dieser Fahrzeuge auf zahlreiche weitere Nahverkehrslinien wäre wohl wirtschaftlich nicht
darstellbar.
31
4.3 Infrastrukturelle Konfliktlösungsmöglichkeiten
4.2.11 Abweichung von Konstruktionsparametern
Die Richtlinien der Deutschen Bahn sehen für die Lösung von Konflikten Abweichungen
von den vorgeschriebenen Bauzuschlägen und Pufferzeiten vor, jedoch nur für seltene
Fahrten (weniger als 30 Tage im Jahr) bzw. in vorübergehenden Fahrplänen bei Bauarbeiten vor [DB402]. In der Langfristfahrplanung bei der Deutschen Bahn wird grundsätzlich
auf Abweichungen von den Konstruktionsregeln verzichtet [KHP14]. Deswegen werden
diese Abweichungen im Folgenden nicht weiter betrachtet.
4.3 Infrastrukturelle Konfliktlösungsmöglichkeiten
4.3.1 Fahrzeitverkürzung durch Erhöhung der zulässigen
Höchstgeschwindigkeit
Durch die Erhöhung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit kann die Fahrzeit ebenfalls
verkürzt werden. Zahlreiche Faktoren beeinflussen die zulässige Höchstgeschwindigkeit
bzw. sind zur Erhöhung der Höchstgeschwindigkeit anzupassen. Dies sind zum Beispiel
folgende [FF14]:
• Trassierung
– Bogenradius, Überhöhung, Ausgestaltung der Übergangsbögen
– Ausrundung von Neigungswechseln
– Gleisabstand
– Weichen, Kreuzungen
• Sicherungstechnik
– Zugbeeinflussung
– Streckenblock
– Gleisfreimeldung
– Bahnübergänge
– Regelbremsweg
– Flankenschutzweichen
32
4.3 Infrastrukturelle Konfliktlösungsmöglichkeiten
Eine automatische Berechnung und Bewertung von potentiellen Streckenausbauten zur
Anhebung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit ist daher nahezu unmöglich, auch weil
die für die Fahrplanung verwendeten Infrastrukturdaten (siehe 2.5.3) die dafür notwendigen Angaben nicht enthalten. Um die Ermittlung völlig realitiätsferner Vorschläge
zu vermeiden, können jedoch obere Schranken berechnet werden: Der maximale Ausbauzustand von Eisenbahnstrecken in Deutschland sind Strecken mit einer zulässigen
Höchstgeschwindigkeit von 300 km/h und einer Ausrüstung mit linienförmiger Zugbeeinflussung (LZB). Unter Zugrundelegung dieer Parameter kann nun sowohl auf Basis
der Ausgangszugkonfiguration als auch unter Annahme einer schnellen Zugkonfiguration
(vgl. Abschnitt 4.2.10) über die Fahrdynamikrechnung je eine Mindestfahrzeit ermittelt
werden, die auch durch Infrastrukturausbauten nicht unterschritten werden kann.
In welcher Höhe tatsächlich Fahrzeitverkürzungen erzielt werden können, muss dann
jedoch extern bestimmt werden. Durch die interaktive Vorangehensweise können so
jedoch einzelne Streckenabschnitte ermittelt werden, auf denen Realisierbarkeit des
gewünschten Betriebsprogramms bzw. Angebotskonzepts durch Infrastrukturausbauten
deutlich verbessert werden könnte.
4.3.2 Aufwertung von Haltepunkten zu Bahnhöfen
Durch die Errichtung zusätzlicher Bahnhöfe bzw. den Umbau bestehender Bahnhöfe
können zusätzliche Überholungs- und Kreuzungsgleise geschaffen werden, wodurch weitere zeitliche Lagen sich kreuzender bzw. überholender Züge ermöglicht werden. Wie
bereits im vorhergehenden Abschnitt 4.3.1 beschrieben, hängen Infrastrukturausbauten
von zahlreichen Faktoren ab – dies gilt ebenso auch für die Errichtung zusätzlicher
Überholungs- bzw. Kreuzungsmöglichkeiten.
4.3.3 Ergänzung zusätzlicher Fahrtmöglichkeiten
Durch die Ergänzung von zusätzlichen Streckengleisen, Verbindungskurven oder auch
nur einzelnen Weichenverbindungen können zusätzliche Fahrtmöglichkeiten im Eisenbahnnetz geschaffen werden. Dadurch können Fahrtausschlüsse zwischen bestimmten
Linien vermieden bzw. reduziert werden, indem diese dann nicht mehr die gleichen
Infrastrukturelemente beanspruchen.
Ebenso wie den anderen Infrastrukturausbauten ist eine vollautomatische Berechnung
möglicher Infrastrukturmaßnahmen anspruchsvoll und mangels geeigneter Eingangsdaten
33
4.4 Überblick
praktisch unmöglich. Dazu kommt, dass es bei einer theoretischen Betrachtung ohne
Eingangsdaten zu geeigneten Stellen für Ausbauten sehr viele Freiheitsgrade hinsichtlich der Lage und der Art der zu ergänzenden Infrastruktur gibt. Daneben bedeuten
Infrastrukturumbauten häufig auch Laufwegsänderung in der schon bestehenden Infrastruktur, um die neuen Gleisanlagen zu erreichen. Damit sind hier zusätzlich auch die in
Abschnitt 4.2.9 beschriebenen Probleme zu beachten.
Eine stark vereinfachte Abbildung zusätzlicher Fahrtmöglichkeiten ist denkbar, indem
einzelne Zugfolgerestriktionen entfernt werden [Bär96]. Wenn die betroffenen Gleisbelegungsabschnitte von mehreren Linien befahren werden, führt dieses Vorgehen im
Zweifelsfall zu dem unrealistischen Lösungsvorschlag, für jeden Zug einen eigenen und
von den anderen Fahrwegen unabhängigen Fahrweg vorzuhalten.
4.4 Überblick
Tabelle 4.1 enthält eine Übersicht über die zuvor beschriebenen und für die weitere
Umsetzung ausgewählten Konfliktlösungsmöglichkeiten. Dabei enthalten die ersten vier
Spalten die direkten Auswirkungen der jeweiligen Maßnahme auf die Haltezeit (tH ), die
Fahrzeit (tF ), die minimale Zugfolgezeit (tZf ) und die Übergangszeit (tU ). Die Verlängerung der jeweiligen Zeit ist mit +, eine Verkürzung mit − gekennzeichnet. Wenn durch
die Maßnahme zusätzliche Restriktionen dieses Typs hinzukommen, ist ++ eingetregen;
wenn Restriktionen entfallen, ist −− eingetragen. Wenn sowohl Verlängerungen bzw.
zusätzliche Restriktionen als auch Verkürzungen bzw. entfallende Restriktionen angegeben sind, wirkt sich die Maßnahme grundsätzlich auf die jeweilige Restriktion aus, es
sind aber Auskwirkungen in beide Richtungen möglich.
In den anschließenden Spalten sind stark vereinfacht die durch die jeweilige Maßnahme
entstehenden Mehraufwände eingetragen. Dies sind Reisezeitverlängerungen, Fahrzeugmehrbedarf, Infrastrukturausbau und Sonstiges. Die Spalte Sonstiges bildet die Tatsache
ab, dass einige Maßnahmen nur unter bestimmten Voraussetzungen realisierbar sind.
Der Mehraufwand bezeichnet dabei Aufwände für die Umsetzung des aus der Konfliktauflösung entstehenden Fahrplans und bewertet nicht den Aufwand für die modellierung
dieser Konfliktlösungsmaßnahme.
34
Restriktionen
Konfliktlösungsmöglichkeit
tH
Haltezeitverlängerung im Überholungsbahnhof
Haltezeitverkürzung im Überholungsbahnhof
Haltezeitverlängerung in anderer Betriebsstelle
Haltezeitverkürzung in anderer Betriebsstelle
Fahrzeitverlängerung durch Biegen
Fahrzeitverkürzung durch Biegen
Fahrzeitverkürzung durch andere Fahrzeuge
Fahrzeitverkürzung durch Infrastrukturausbau
zusätzlicher Halt
entfallender Halt
Verlängerung Übergangszeit
Verkürzung Übergangszeit
Alternativer Laufweg
zusätzlicher Bahnhof
Alternativer Laufweg auf neuer Infrastruktur
tF
+
−
+
−
+
−
+
−
−
−
+
−
tZf
Aufwand
tU
+/−
+/−
+/−
+/−
+/−
+/−
+/−
+/−
+
−
+/−
++/−−
(−)
++/−−
Reisezeit
Fahrzeuge
+
−
+
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+/−
(+)
(−)
(+)
(−)
(+)
(−)
+
(−)
(+)
(−)
+/−
Infrastruktur
+
+
+
+
+
+
(+/−)
(+/−)
Sontiges
+
+
+
Tabelle 4.1: Überblick über die verschiedenen Konfliktlösungsmöglichkeiten, ihre Auswirkungen auf die Restriktionen und ihre
Aufwands-Bewertung
4.4 Überblick
35
5 Modellierung der
Konfliktlösungsmöglichkeiten
5.1 Grundlagen
Die Anzahl der grundsätzlich möglichen Konfliktlösungen für einen Konflikt ist wahrscheinlich häufig sehr groß, da die zuvor vorgestellten Maßnahmen in verschiedener Höhe
angewendet und beliebig kombiniert werden können. Die vollständige Enumeration dieser
Maßnahmen Höhen erscheint deswegen für die Lösung größerer Konflikte ungeeignet.
Ein Ansatz zur Erkennung geeigneter Kombinationen von Konfliktlösungsmaßnahmen
ist jedoch die Verwendung linearer Optimierung. Dabei kann auf der Formulierung des
PESP als lineares Programm (siehe Abschnitt 2.4.5) aufgebaut werden.
Da die meisten dieser Maßnahmen, wie z. B. eine variable Fahrzeit, nicht im PESP direkt
bzw. mittels der im Abschnitt 2.5.4 beschriebenen Relaxierungen vorgenommen werden
können, bedarf es einer Erweiterung des linearen Programms. Die Erweiterungen werden
im Folgenden einzeln dargestellt. Die Erweiterungen weisen zumeist untereinander Abhängigkeiten auf, sind der Übersichtlichkeit halber jedoch dennoch getrennt dargestellt.
Die in der jeweiligen Erweiterung verwendeten Variablen des linearen Programms sind
dabei stets wie folgt kategorisiert: (konstante) Parameter, die außerhalb des linearen
Programms berechnet werden, Zielfunktionsgrößen, die zur Bewertung der Konfliktlösungsmaßnahmen in der Zielfunktion verwendet werden, externe Slackvariablen, die
in einer anderen Erweiterung ebenfalls verwendet werden und interne Slackvariablen,
die ausschließlich in der jeweilige Erweiterung verwendet werden. Damit werden auch
die Schnittstellen zu den erforderlichen Eingangsdaten und zwischen den einzelnen
Erweiterungen beschrieben. Die zur Berechnung der Parameter des linearen Modells
z. T. erforderlichen weiteren Parameter und Variablen werden zur Unterscheidung in
diesem Schema nicht beschrieben.
Mit dem Symbol C wird dabei im Folgenden eine sehr große Zahl bezeichnet. Mit x
wird die Negierung der Binärvariable x bezeichnet. Im linearen Programm kann dies
36
5.2 Konfliktlösungsmöglichkeiten
durch zusätzliche Nebenbedingungen wie folgt ausgedrückt werden:
x=1−x
(5.1)
Nachfolgend werden Linien stets mit λ bezeichnet, die zur Linie gehörigen Züge (vgl. Abschnitt 2.1) mit l. Betriebsstellen (vgl. Abschnitt 3.4.2) werden mit u, v, usw. bezeichnet
und Streckenabschnitte (vgl. Abschnitt 3.4.3) werden mit σ bezeichnet.
Das nachfolgend beschriebene Modell enthält auch zahlreiche Gleichungen. Diese wurden
zur besseren Verständlichkeit im Modell belassen, zur tatsächlichen Berechnung sollten
die Gleichungen durch Einsetzen eliminiert werden, um die Größe des Modells zu
reduzieren. Das Modell wird jeweils für einen einzelnen signifikanten Konflikt bzw. die
darin enthaltenen Restriktionen aufgestellt.
5.2 Konfliktlösungsmöglichkeiten
5.2.1 Fahrzeitverkürzung
Zur Abbildung der Konfliktlösungsmaßnahmen Fahrzeitverkürzung durch den Einsatz
anderer Fahrzeuge (siehe Abschnitt 4.2.10) und Fahrzeitverkürzung durch den Ausbau
der Infrastruktur (siehe Abschnitt 4.3.1) ist folgende Erweiterung notwendig. Dabei ist
zu berücksichtigen, dass Fahrzeitverkürzungen, die über die nur durch Infrastrukturausbauten mögliche Fahrzeitverkürzung t∗kf s,l,σ oder über die nur durch den Einsatz anderer
Fahrzeuge mögliche Fahrzeitverkürzung t∗kf f,l,σ hinausgehen, grundsätzlich nur durch
den Einsatz schnellerer Fahrzeuge und dem Ausbau der Infrastruktur möglich sind.
Die Zielfunktionsgrößen werden dabei für die gesamte Linie bzw. den Streckenabschnitt
allgemein verwendet, da eine Änderung des Fahrzeugeinsatzes alle Abschnitte der Linie
betrifft und vom Infrastrukturausbau im Allgemeinen ebenfalls alle Linien, die diesen
Streckenabschnitt befahren, profitieren.
Ungleichung (5.2) begrenzt die Fahrzeitverkürzung auf die potentiell realisierbare Werte. Die Ungleichungen (5.3), (5.4), (5.6) und (5.8) bilden die Forderung ab, dass mit
einer Maßnahme allein nicht realisierbare Fahrzeitverkürzungen in beiden Maßnahmen vorgenommen werden müssen. Mit (5.5) und (5.7) werden dazu die beschrieben
Zielfunktionsgrößen bestimmt.
37
5.2 Konfliktlösungsmöglichkeiten
0 ≤ tkf,l,σ ≤ t∗kf f s,l,σ
tkf s,σ ≥ tkf,l,σ − t0kf f,l,σ ≥ 0
αkf f,λ ≥ (tkf,l,σ − t0kf s,l,σ )/tf,l,σ,0 ≥ 0
0 ≤ t0kf s,l,σ ≤ tkf s,σ
t0kf s,l,σ ≤ t∗kf s,l,σ
0 ≤ t0kf f,l,σ ≤ tf,l,σ,0 · αkf f,l
t0kf f,l,σ ≤ t∗kf f,l,σ
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
Parameter
t∗kf f s,l,σ
t∗kf f,l,σ
t∗kf s,l,σ
tf,l,σ,0
maximal durch Infrastrukturausbau und Einsatz einer schnelleren Zugkonfiguration erzielbare Fahrzeitverkürzung
bei unveränderter Infrastruktur und Verwendung einer schnelleren Zugkonfiguration erreichbarer Fahrzeitgewinn
bei Streckenausbau und Beibehaltung der Zugkonfiguration erreichbarer
Fahrzeitgewinn
ursprüngliche Fahrzeit des Zugs l auf Streckenabschnitt σ
Zielfunktionsgrößen
tkf s,σ
αkf f,λ
Fahrzeitverkürzung durch Infrastrukturausbau auf Streckenabschnitt σ
relative Fahrzeitverkürzung durch Einsatz einer schnelleren Zugkonfiguration auf Linie λ
externe Slackvariablen
tkf,l,σ
Fahrzeitverkürzung des Zugs l auf dem Streckenabschnitt σ
Tabelle 5.1: Variablen der PESP-Erweiterung Fahrzeitverkürzung
5.2.2 Biegen
Beim Biegen wird die ursprüngliche Fahrzeit tf,l,σ,0 künstlich verlängert (siehe Abschnitt 4.2.5), wobei die absolute Fahrzeitverlängerung durch eine maximale Fahrzeit tf,l,σ,max und eine maximale relative Fahrzeitverlängerung αf,l,σ,max begrenzt wird,
38
5.2 Konfliktlösungsmöglichkeiten
die auf Basis der Mindestgeschwindigkeit vmin mit einer Fahrdynamikrechnung ermittelt
wird. Dabei ist ein schon vorhandene Fahrzeitüberschuss tf zu,l,σ zu berücksichtigen.
Falls die berechnete Maximalfahrzeit kleiner als die ursprüngliche Fahrzeit tf,l,σ,0 ist,
wird tf,l,σ,max auf tf,l,σ,0 gesetzt.
− tf zu,l,σ ≤ tkf b,l,σ ≤ tf,l,σ,max − tf,l,σ,0
(5.9)
Parameter
tf,l,σ,0
tf zu,l,σ
tf,l,σ,max
ursprüngliche Fahrzeit
vorhandener Fahrzeitüberschuss
maximale Fahrzeit
externe Slackvariablen
tkf b,l,σ
Fahrzeitüberschuss
Tabelle 5.2: Variablen der PESP-Erweiterung Biegen
5.2.3 Auflassen von Halten
Beim Auflassen von Halten entfällt zum einen die Haltezeit, zum anderen wird die
Fahrzeit durch die entfallenden Brems- und Beschleunigungsvorgänge verkürzt. Diese
Fahrzeitverkürzung kann dabei vereinfacht durch eine pauschale Verkürzung der Fahrzeit
(negatives Biegen) abgebildet werden.
Bei der Berechnung der Fahrzeit eines Streckenabschnitts in Abhängigkeit von einem
Halt ist sowohl der Halt am Beginn des Streckenabschnitts ha (σ, l) als auch der Halt am
Ende he (σ, l) zu berücksichtigen.
u = he (σ1 , l) = ha (σ2 , l)
0 ≤ tH,l,u ≤ C · xH,l,u
(5.10)
tF v1,l,σ1 = −t∗F v1,l,σ1 · xH,l,u
(5.11)
tF v2,l,σ2 = −t∗F v2,l,σ2 · xH,l,u
(5.12)
xH,l,u ∈ {0, 1}
39
5.2 Konfliktlösungsmöglichkeiten
Parameter
t∗F v1,l,σ
t∗F v2,l,σ
Fahrzeitdifferenz zwischen haltendem Zug l in Betriebsstelle he (σ, l) bis
zu dieser eintretende Fahrzeitverkürzung (Fahrzeitersparnis durch Entfall
Bremsvorgang)
bei Auflassung des Haltes des Zugs l in Betriebsstelle ha (σ, l) ab dieser
eintretende Fahrzeitverkürzung (Fahrzeitersparnis durch Entfall Beschleunigungsvorgang)
Zielfunktionsgrößen
xH,l,u
Auflassung eines Haltes (0 . . . Halt wird aufgelassen; 1 . . . Halt bleibt
bestehen)
externe Slackvariablen
tH,l,u
Haltezeit
Tabelle 5.3: Variablen der PESP-Erweiterung Auflassen von Halten
5.2.4 Einlegen von Betriebshalten
Das Einlegen zusätzlicher Betriebshalte kann ähnlich zum Auflassen von Halten modelliert werden:
u = he (σ1 , l) = ha (σ2 , l)
0 ≤ tH,l,u ≤ C · xH,l,u
t∗F v1,l,σ1
(5.13)
· xH,l,u
(5.14)
tF v2,l,σ2 = t∗F v2,l,σ2 · xH,l,u
(5.15)
tF v1,l,σ1 =
40
5.2 Konfliktlösungsmöglichkeiten
Parameter
t∗F v1,l,σ
t∗F v2,l,σ
bei Einlegen des Haltes des Zugs l in Betriebsstelle he (σ, l) bis zu dieser
eintretende Fahrzeitverlängerung (Fahrzeitverlust durch Bremsvorgang)
bei Einlegen des Haltes der Zugs l in Betriebsstelle ha (σ, l) ab dieser
eintretende Fahrzeitverkürzung (Fahrzeitverlust durch Beschleunigungsvorgang)
externe Slackvariablen
tH,l,u
xH,l,u
Haltezeit
Einlegen eines Haltes (0 . . . kein Halt; 1 . . . eingelegter Halt)
Tabelle 5.4: Variablen der PESP-Erweiterung Einlegen von Betriebshalten
5.2.5 Modifizierung der Haltezeit
Zur Konfliktlösung kann die Haltezeit tH,l,u verlängert werden (vgl. Abschnitt 4.2.1), aber
auch verkürzt werden (vgl. Abschnitt 4.2.2). Dabei ist grundsätzlich die allgemeingültige
Mindesthaltezeit t∗H,λ einzuhalten:
tH,l,u ≥ t∗H,l − C · xH,l,u
(5.16)
Dabei ist jedoch die Verkürzung der Haltezeit in einer Zielfunktionsvariable zu erfassen:
∆tH,l,u ≥ tH,l,u,0 − tH,l,u − C · xH,l,u
(5.17)
∆tH,l,u ≥ 0
(5.18)
Falls der Halt aufgelassen bzw. gar nicht eingelegt wird (xH,l,u = 1), ist die Mindesthaltezeit nicht relevant. Durch die Ungleichungen (5.10) und (5.13) wird die Haltezeit dann
auf 0 gesetzt.
Die Haltezeit ist in der Konfliktauflösung prinzipiell nach oben hin nicht begrenzt,
Verlängerungen der Haltezeit über die Taktzeit tT hinaus sind jedoch nicht sinnvoll, da
dann bereits der nächste Zug der Linie verkehrt:
tH,l,u < tT + t∗H,l
(5.19)
41
5.2 Konfliktlösungsmöglichkeiten
Parameter
t∗H,λ
tH,l,u,0
allgemeingültige Mindesthaltezeit für Linie λ
ursprüngliche Mindesthaltezeit für Zug l in Betriebsstelle u
Zielfunktionsgrößen
tH,l,u
∆tH,l,u
Haltezeit
Verkürzung der Mindesthaltezeit
externe Slackvariablen
xH,l,u
vorhandensein des Halts (1 . . . Halt; 2 . . . kein Halt)
Tabelle 5.5: Variablen der PESP-Erweiterung Modifizierung der Haltezeit
5.2.6 Modifizierung der Übergangszeit
Ähnlich wie die Haltezeit kann auch die Übergangszeit tU,l1 l2 ,u von verkehrlichen Anschlüssen zur Konfliktauflösung verlängert bzw. in bestimmten Fällen verkürzt werden (vgl.
Abschnitt 4.2.3). Dabei ist grundsätzlich die Mindestübergangszeit für bahnsteiggleiche
Umstiege t∗U,u einzuhalten:
tU,l1 l2 ,u ≥ t∗U,u
(5.20)
Dabei ist jedoch die Verkürzung der Übergangszeit in einer Zielfunktionsvariable zu
erfassen:
∆tU,l1 l2 ,u ≥ tU,l1 l2 ,u,0 − tU,l1 l2 ,u
(5.21)
∆tU,l1 l2 ,u ≥ 0
(5.22)
Die Übergangszeit ist in der Konfliktauflösung prinzipiell nach oben hin nicht begrenzt,
Verlängerungen der Übergangszeit über die Taktzeit tT hinaus sind jedoch nicht sinnvoll,
da dann bereits der nächste Zug der Linie verkehrt:
tU,l1 l2 ,u < tT + t∗U,u
(5.23)
Zudem Werden verkehrliche Anschlüsse nur bis zu einer bestimmten Übergangszeit tU,akz
noch als akzeptabel beurteilt. Alle Übergangszeiten oberhalb dieser Schwelle sind damit
gleich „schlecht“. Dazu werden mit den folgenden Nebenbedingungen für beide Fälle
42
5.2 Konfliktlösungsmöglichkeiten
Bewertungsgrößen bestimmt:
tU,l1 l2 ,u ≤ tU,a + C · xU,l1 l2 ,u,a
(5.24)
t0U,l1 l2 ,u ≥ 0
(5.25)
t0U,l1 l2 ,u ≥ tU,l1 l2 ,u − C · xU,l1 l2 ,u,a
(5.26)
(5.27)
Parameter
t∗U,u
tU,l1 l2 ,u,0
tU,a
Mindestübergangszeit für bahnsteiggleiche Umstiege in Betriebsstelle u
ursprüngliche Mindestübergangszeit für Übergang von Zug l1 auf Zug l2
in Betriebsstelle u
maximale Übergangszeit, bei der ein Anschluss noch als akzeptabel beurteilt wird
Zielfunktionsgrößen
∆tU,l1 l2 ,u
t0U,l1 l2 ,u
xU,l1 l2 ,u,a
Verkürzung der Mindestübergangszeit
Übergangszeit eines akzeptablen Anschlusses
Anschlussqualität (0. . . akzeptabel, 1 . . . inakzeptabel)
externe Slackvariablen
tU,l1 l2 ,u
Übergangszeit
Tabelle 5.6: Variablen der PESP-Erweiterung Modifizierung der Übergangszeit
43
5.3 Abbildung auf PESP-Restriktionen
5.3 Abbildung auf PESP-Restriktionen
5.3.1 Fahrzeit
Die Slack-Variablen der verschiedenen Maßnahmen, die sich auf die Fahrzeit auswirken,
sind schließlich in der Fahrzeitrestriktion zusammenzuführen:
tf,l,σ = tf,l,σ,0 − tkf,l,σ + tkf b,l,σ + tF v1,l,σ + tF v2,l,σ
Tl,he (σ,l1 ),an − Tl,ha (σ,l1 ),ab − za = tf,l,σ
(5.28)
(5.29)
Parameter
tf,l,σ,0
ursprüngliche Fahrzeit des Zugs l auf Streckenabschnitt σ
Zielfunktionsgrößen
tf,l,σ
Fahrzeit des Zugs l auf Streckenabschnitt σ
externe Slackvariablen
Tl,u,ab
Tl,u,an
tkf,l,σ
tkf b,l,σ
tkf,l,σ
Abfahrts- bzw. Durchfahrtszeit des Zugs l in Betriebsstelle u
Ankunfts- bzw. Durchfahrtszeit des Zugs l in Betriebsstelle u
Fahrzeitverkürzung des Zugs l auf dem Streckenabschnitt σ
aufzugebender Fahrzeitüberschuss
Fahrzeitverkürzung des Zugs l auf dem Streckenabschnitt σ
Tabelle 5.7: Variablen der erweiterten Fahrzeitrestriktion
5.3.2 Haltezeit
Für die Taktfahrplanung muss der Zusammenhang zwischen der zuvor in den Abschnitten 5.2.3, 5.2.4 und 5.2.5 bestimmten Haltezeit und der Zeitpunkte der Ankunfts- und
Abfahrtsereignisse hergestellt werden:
Tl,u,ab − Tl,u,an − za = tH,l,u
(5.30)
44
5.3 Abbildung auf PESP-Restriktionen
Zielfunktionsgrößen
tH,l,u
Haltezeit des Zugs l in Betriebsstelle u
externe Slackvariablen
Tl,u,ab
Tl,u,an
Abfahrts- bzw. Durchfahrtszeit des Zugs l in Betriebsstelle u
Ankunfts- bzw. Durchfahrtszeit des Zugs l in Betriebsstelle u
Tabelle 5.8: Variablen der erweiterten Haltezeitrestriktion
5.3.3 Übergangszeit
Über eine Nebenbedingung ist der Zusammenhang zwischen der in Abschnitt 5.2.6
formulierten Übergangszeit und den Ankunfts- und Abfahrtsereignissen herzustellen:
Tl2 ,u,ab − Tl1 ,u,an − za = tU,l1 l2 ,u
(5.31)
Zielfunktionsgrößen
tU,l1 l2 ,u
Übergangszeit für Übergang von Zug l1 auf Zug l2 in Betriebsstelle u
externe Slackvariablen
Tl,u,ab
Tl,u,an
Abfahrts- bzw. Durchfahrtszeit des Zugs l in Betriebsstelle u
Ankunfts- bzw. Durchfahrtszeit des Zugs l in Betriebsstelle u
Tabelle 5.9: Variablen der erweiterten Übergangszeitrestriktion
5.3.4 Minimale Zugfolgezeit in Abhängigkeit von der Fahrzeit
Sowohl die Sperrzeiten selber als auch aus der Kombination zweier Sperrzeiten und
der Transformation auf vorliegende Abfahrts- bzw. Durchfahrtsereignisse entstehenden
minimalen Zugfolgezeiten sind von der Fahrzeit abhängig (vgl. Abschnitt 2.2.2). Deshalb
ist bei einer variablen Fahrzeit die Zugfolgezeit im Modell in Abhängigkeit von der
Fahrzeit zu berechnen. Die Besonderheit ist hierbei, dass abhängig von den jeweiligen
Fahrzeiten unterschiedliche Belegungsabschnitte für die Zugfolgezeit maßgebend sein
können (vgl. Abbildung 5.1).
45
5.3 Abbildung auf PESP-Restriktionen
Strecke
Zeit
Zeit
Strecke
Abbildung 5.1: Einfaches Beispiel für unterschiedliche maßgebende Belegungsabschnitte
bei gebogenem Zug
Jeder Abschnitt des Zugs l auf dem Streckenabschnitt σ : u → v besitzt eine Abfahrtsbzw. Durchfartszeit Tl,u,ab . Für jeden Belegungsabschnitt i besteht die Sperrzeit aus den
folgenden Bestandteilen (vgl. Abschnitt 2.2.2): Vorbelegungszeit tV,l1 ,i , Fahrzeit tF,l1 ,i
des Zugs l im Belegungsabschnitt und Nachbelegungszeit tN,l1 ,i des Zugs l im Belegungsabschnitt i. Für die Berechnung der minimalen Zugfolgezeit ist zudem die Fahrzeit tE,l,i
vom letzten vorherigen Abfahrts- bzw. Durchfahrtsereignis zum Beginn des Belegungsabschnitts i relevant.
Die Veränderung der Fahrzeit eines Zugs l auf dem Abschnitt σ wird über den Faktor αbf,l,σ ausgedrückt:
tf,l,σ = αbf,l,σ · tf,l,σ,0
(5.32)
Für einen Blockausschluss i gilt dann für die Zugfolge von Zug l1 im Streckenabschnitt σ1 :
u → v auf Zug l2 im Streckenabschnitt σ2 : u0 → v 0 vereinfacht folgendes:
Tl2 ,u0 ,ab − Tl1 ,u,ab ≥ tZf,min,l1 l2 ,i
(5.33)
tZf,min,l1 l2 ,i = αbf,l1 ,σ1 (tE,l1 ,i + tF,l1 ,i + tN,l1 ,i ) − αbf,l2 ,σ2 (tE,l2 ,i − tV,l2 ,i )
(5.34)
Tl2 ,u0 ,ab − Tl1 ,u,ab ≥ αbf,l1 ,σ1 (tE,l1 ,i + tF,l1 ,i + tN,l1 ,i ) + αbf,l2 ,σ2 (tV,l2 ,i − tE,l2 ,i )
Tl2 ,u0 ,ab − Tl1 ,u,ab
αbf,l2 ,σ2
≥ tE,l1 ,i + tF,l1 ,i + tN,l1 ,i +
(tV,l2 ,i − tE,l2 ,i )
αbf,l1 ,σ1
αbf,l1 ,σ1
(5.35)
(5.36)
Die Vereinfachung der Zugfolge besteht darin, dass tatsächlich nicht alle Bestandteile der
Vor- bzw. Nachbelegungszeit von αbf,l1 ,σ1 bzw. αbf,l2 ,σ2 abhängig sind. Diese Berechnung
weist daher einen kleinen Fehler auf. Da nur die Differenzen zwischen diesen Zeiten
in die Berechnung eingehen, ist der Fehler aber gering, bzw. bei identischen Vor- bzw.
Nachbelegungszeiten 0.
46
5.3 Abbildung auf PESP-Restriktionen
Es kann dann für jedes Paar aus Blockausschlüssen i und j ein Biegeverhältnis ξl∗1 l2 ,ij
bestimmt werden, so dass die Züge an beiden Blockausschlüssen die gleiche minimale
Zugfolgezeit aufweisen:
0
0
αbf,l
(tE,l1 ,i + tF,l1 ,i + tN,l1 ,i ) + αbf,l
(tV,l2 ,i − tE,2,i )
1 ,σ1
2 ,σ2
0
0
= αbf,l
(tE,l1 ,j + tF,l1 ,j + tN,l1 ,j ) + αbf,l
(tV,l2 ,j − tE,l2 ,j )
1 ,σ1
2 ,σ2
ξl∗1 l2 ,ij =
0
αbf,l
tV,l2 ,j − tE,l2 ,j − tV,l2 ,i + tE,l2 ,i
2 ,σ2
=
0
αbf,l1 ,σ1
tE,l1 ,i + tF,l1 ,i + tN,l1 ,i − tE,l1 ,j − tF,l1 ,j − tN,l1 ,j
(5.37)
(5.38)
Mit (5.36) und (5.38) kann dann für jedes dieser Blockausschluss-Paare eine normierte
minimale Zugfolgezeit tl1 l2 ,ij berechnet werden:
tl1 l2 ,ij (ξij,l1 l2 ) = tE,l1 ,i + tF,l1 ,i + tN,l1 ,i + ξij,l1 l2 (tV,l2 ,i − tE,l2 ,i )
(5.39)
Anschließend ist bei jedem Blockausschluss-Paar zu prüfen, ob die Züge im Fall ξl1 l2 ,ij =
ξl∗1 l2 ,ij mit der Zugfolgezeit tl1 l2 ,ij ξl∗1 l2 ,ij die minimale Zugfolgezeit an jedem anderen
Blockausschluss k einhalten:
tl1 l2 ,ij ξl∗1 l2 ,ij ≥ tE,l1 ,k + tF,l1 ,k + tN,l1 ,k + ξl∗1 l2 ,ij (tV,l2 ,k − tE,l2 ,k )
Paare ξl∗1 l2 ,ij , tl1 l2 ,ij ξl∗1 l2 ,ij
(5.40)
, die nicht für alle k die Ungleichung erfüllen, sind zu
verwerfen. Die Verbliebenen Paare ξl∗1 l2 ,ij , tl1 l2 ,ij ξl∗1 l2 ,ij sind nach aufsteigendem ξl∗1 l2 ,ij
zu sortieren. Es ergibt sich damit eine Liste Kl1 l2 ,σ1 σ2 der maßgebenden Blockabschnitte
für die Zugfolge zwischen den Zugabschnitten l1 , σ1 und l2 , σ2 .
Wenn es kein verbliebenes Blockausschluss-Paar gibt, also nur einen maßgebenden
Blockausschluss i, gilt für die Zugfolge:
Tl2 ,u0 ,ab − Tl1 ,u,ab ≥ tZf,min,l1 l2 ,i
(5.41)
Bei einem verbliebenen Blockausschluss-Paar ij gilt:
Tl2 ,u0 ,ab − Tl1 ,u,ab ≥


tZf,min,l l ,i
1 2


tZf,min,l1 l2 ,j
∗
| αbf,l2 ,σ2 − αbf,l1 ,σ1 · ξij,l
≤0
1 l2
∗
| αbf,l2 ,σ2 − αbf,l1 ,σ1 · ξij,l
>0
1 l2
(5.42)
47
5.3 Abbildung auf PESP-Restriktionen
Bei n ≥ 2 verbliebenen Blockausschluss-Paaren ij, i0 j 0 , . . . , i(n) j (n) gilt:



tZf,min,l1 l2 ,i









tZf,min,l1 l2 ,j
Tl2 ,u0 ,ab − Tl1 ,u,ab ≥ 





. . .




t
Zf,min,l1 l2 ,j (n)
∗
| αbf,l2 ,σ2 − αbf,l1 ,σ1 · ξij,l
≤0
1 l2
∗
> 0,
αbf,l2 ,σ2 − αbf,l1 ,σ1 · ξij,l
1 l2
αbf,l2 ,σ2 − αbf,l1 ,σ1 · ξi∗0 j 0 ,l1 l2 ≤ 0
(5.43)
...
| αbf,l2 ,σ2 − αbf,l1 ,σ1 · ξi∗(n) j (n) ,l1 l2 > 0
Daraus ergeben sich für die periodische Ereignisplanung in Erweiterung der Ungleichungen (2.4) und (2.6) folgende Nebenbedingungen, wobei die Nebenbedingungen für
beide Zugfolgefälle (Zug l2 direkt nach Zug l1 bzw. Zug l1 direkt nach Zug l2 ) immer
gemeinsam zu behandeln sind:
X
zZf,l1 l2 ,k + zZf,l1 l2 ,k∗
=1
(5.44)
≤0
(5.45)
≥0
(5.46)
=1
(5.47)
≤0
(5.48)
≥0
(5.49)
k∈Kl1 l2 ,σ1 σ2
∀k ∈ Kl1 l2 ,σ1 σ2 :
αbf,l2 ,σ2 − αbf,l1 ,σ1 · ξl∗1 l2 ,k − C · zZf,l1 l2 ,k
∀k ∈ Kl1 l2 ,σ1 σ2 ∪ k ∗ :
Tl2 ,u0 ,ab − Tl1 ,u,ab − za · tT − tZf,min,l1 l2 ,k + C · z Zf,l1 l2 ,k
X
zZf,l2 l1 ,k + zZf,l2 l1 ,k∗
k∈Kl2 l1 ,σ2 σ1
∀k ∈ Kl2 l1 ,σ2 σ1 :
αbf,l1 ,σ1 − αbf,l2 ,σ2 · ξl∗2 l1 ,k − C · zZf,l2 l1 ,k
∀k ∈ Kl2 l1 ,σ2 σ1 ∪ k ∗ :
Tl1 ,u,ab − Tl2 ,u0 ,ab + (za + 1) tT − tZf,min,l2 l1 ,k + C · z Zf,l2 l1 ,k
zZf,l1 l2 ,k ∈ {0, 1}
Dabei wird über die Binärvariablen zZf,l1 l2 ,k und die Ungleichungen (5.46) und (5.48)
ausgedrückt, dass abhängig von den Biegefaktoren immer genau ein Belegungsabschnitt
für die minimale Zugfolgezeit maßgebend ist.
48
5.3 Abbildung auf PESP-Restriktionen
Parameter
tf,l,σ,0
Kl1 l2 ,σ1 σ2
ξl∗1 l2 ,k
ursprüngliche Fahrzeit des Zugs l auf dem Streckenabschnitt σ
Liste der für die Zugfolge zwischen den Zügen l1 auf Belegungsabschnitt σ1
und l2 auf Belegungsabschnitt σ2 maßgebenden Blockabschnitte
Biegefaktorenverhältnis, bei dem ein bestimmter Blockausschluss k ∈
Kl1 l2 ,σ1 σ2 für die Zugfolge zwischen den Zügen l1 auf Belegungsabschnitt σ1
und l2 auf Belegungsabschnitt σ2 maßgebend wird
externe Slackvariablen
Tl,u,ab
Tl,u,an
tf,l,σ
Abfahrts- bzw. Durchfahrtszeit des Zugs l in Betriebsstelle u
Ankunfts- bzw. Durchfahrtszeit des Zugs l in Betriebsstelle u
Fahrzeit des Zugs l auf dem Streckenabschnitt σ
Tabelle 5.10: Variablen der erweiterten Berechnung der minimalen Zugfolgezeit in Abhängigkeit von der Fahrzeit
5.3.5 Minimale Zugfolgezeit in Abhängigkeit von der Haltezeit
Abhängig von der Haltezeit und der Entscheidung, ob in einer Betriebsstelle für den Zug
ein alternativer Halteplatz vorliegt (vgl. Abschnitt 2.5.5), verändert sich die minimale
Zugfolgezeit zu anderen Zügen. Dabei wird in diesem Abschnitt nur die Zugfolgezeit für
den Gleisbelegungsabschnitt betrachtet, auf dem der Zug hält. Dies stellt gegenüber der
zuvor berechneten minimalen Zugfolgezeit in Abhängigkeit der Fahrzeit eine zusätzliche
Restriktion dar, es sind dann beide Restriktionen einzuhalten. Diese Restriktion ist
grundsätzlich für alle ausgewählten Betriebsstellen (vgl. Abschnitt 3.4.2) anzulegen, um
die Möglichkeit eines zusätzlichen Betriebshalts zu berücksichtigen. Wenn kein Halt
eingelegt wird, entsprechen Ankunfts- und Abfahrtszeit dem gleichen Zeitpunkt, der
Durchfahrtszeit. Da die ausgewählten Betriebsstellen für alle Linien bzw. Züge einheitlich
bestimmt werden, genügt es, nur die Zugfolge zwischen der Abfahrt eines Zuges und der
Ankunft eines anderen Zuges zu betrachten.
Zunächst ist zu entscheiden, ob ein alternativer Halt vorliegt. Zum einen kann in der
Infrastruktur bereits ein alternativer Halt vorliegen (x∗alt,l,u = 1), aber es kann auch
durch die Infrastrukturrelle Konfliktlösungsmaßnahme Aufwertung von Haltepunkten
zu Bahnhöfen ein alternativer Halteplatz hinzu kommen.
49
5.3 Abbildung auf PESP-Restriktionen
xalt,l,u , x∗alt,l,u , x0alt,l,u ∈ {0, 1}
xalt,l,u ≥ x∗alt,l,u
(5.50)
x0alt,u ≥ xalt,l,u − xalt,l,u ∗
(5.51)
Für alle Zugfolgezeiten sind dann auch die Biegefaktoren αbf,l,σ des Abschnitts σ1 vor
dem Halt und des Abschnitts σ2 nach dem Halt zu berücksichtigen, da sie sich ebenfalls
auf die Zugfolgezeit auswirken (vgl. Abschnitte 5.2.3 und 5.3.4).
u = he (σ1 , l1 ) = ha (σ2 , l1 )
u = he (σ10 , l2 ) = ha (σ20 , l2 )
Falls kein alternativer Halteplatz vorhanden ist, muss zunächst sichergestellt werden,
dass trotz einer Haltezeitverlängerung die minimale Zugfolgezeit eines Zuges zum nach
der Taktzeit tT folgenden Zug der gleichen Linie eingehalten wird:
αbf,l,σ1 · tspv,l,u,0 + tH,l,u + αbf,l,σ2 · tspn,l,u,0 < tT + C · xalt,l,u
(5.52)
Die minimale Zugfolgezeit zwischen zwei verschiedenen Zügen l1 und l2 ist dann wie
folgt zu bestimmen, wobei die Zugfolgerestriktion bei Vorhandensein eines alternativen
Halteplatzes (xalt,l,u = 1) ausgeblendet wird:
Tl2 ,ab,u − Tl1 ,an,u ≥ αbf,l1 ,σ2 · tspn,l1 ,u,0 + αbf,l2 ,σ20 · tspv,l2 ,u,0
− za · tT − C · xalt,l1 ,u − C · xalt,l2 ,u
(5.53)
Da die Zugfolgerestriktionen in der Taktfahrplanung immer paarweise zu betrachten
sind (vgl. Abschnitt 2.4.2), ergeben sich folgende zwei Restriktionen:
Tl2 ,ab,u − Tl1 ,an,u ≥ αbf,l1 ,σ2 · tspn,l1 ,u,0 + αbf,l2 ,σ20 · tspv,l2 ,u,0
− za · tT − C · xalt,l1 ,u − C · xalt,l2 ,u
Tl1 ,ab,u − Tl2 ,an,u ≥ αbf,l2 ,σ20 · tspn,l2 ,u,0 + αbf,l1 ,σ2 · tspv,l1 ,u,0
+ (za + 1)tT − C · xalt,l1 ,u − C · xalt,l2 ,u
(5.54)
(5.55)
50
5.4 Bewertungsmodell der Konfliktlösungsmöglichkeiten
Parameter
x∗alt,l,u
tspv,l,u,0
tspn,l,u,0
für Zug l liegt in Betriebsstelle u ein alternativer Halteplatz vor (1 . . . alternativer Halteplatz liegt vor, 0 . . . alternativer Halteplatz liegt nicht
vor)
Anteil der ursprünglichen Sperrzeit des Zugs l im Halteabschnitt in
Betriebsstelle u vom Beginn der Sperrzeit bis zur Ankunft des Zuges
Anteil der ursprünglichen Sperrzeit des Zugs l im Halteabschnitt in
Betriebsstelle u von der Abfahrt des Zuges bis zum Ende der Sperrzeit
Zielfunktionsgrößen
x0alt,u
zusätzlicher alternativer Halteplatz durch Ausbau der Betriebsstelle u
eingerichtet
externe Slackvariablen
tH,l,u
xH,l,u
Haltezeit
vorhandensein des Halts von Zug l in Betriebsstelle u (1 . . . Halt; 2 . . . kein
Halt)
Tabelle 5.11: Variablen der PESP-Erweiterung Modifizierung der Haltezeit
5.4 Bewertungsmodell der Konfliktlösungsmöglichkeiten
Die potentiellen Konfliktlösungsmaßnahmen zu bewerten, um die automatisierte Ermittlung von Kombinationen aus Konfliktlösungsmaßnahmen zu ermöglichen. Dabei sind
folgende grundsätzliche Bewertungskriterien zu berücksichtigen (vgl. Abschnitt 4.4):
• Reisezeit
• Fahrzeugeinsatz
• Infrastrukturausbauten
• Sontiges
Die Reisezeit ist die auf eine konkrete Reiseverbindung bezogene Zeit vom Reisebeginn
zum Reiseziel. Die konkreten Reiseverbindungen sind jedoch nicht bekannt. In [Küm13]
wird das Problem, vor der Fahrplanoptimierung anhand eines zulässigen (konfliktfreien) Fahrplans sinnvolle Reiseverbindungen zu ermitteln und Verkehrsströme darauf
umzulegen, detailliert diskutiert. Die Konfliktauflösung liegt im Fahrplanungsprozess
51
5.4 Bewertungsmodell der Konfliktlösungsmöglichkeiten
jedoch noch eine weitere Stufe davor, das dort beschriebene Verfahren lässt sich nicht
direkt auf (noch) konfliktbehaftete Fahrplanprobleme anwenden. Die Gesamtheit der
Reisezeiten kann jedoch vereinfacht und indirekt über die Summe aller Fahr-, Halteund Übergangszeiten beurteilt werden.
Daneben ist auch der Aufwand für den Einsatz anderer Fahrzeuge zur Fahrzeitverkürzung zu berücksichtigen. Ebenso müssen die zur Konfliktlösung angenommenen
Infrastrukturausbauten in die Bewertung einbezogen werden. Unter Sonstiges sind
weitere Konfliktlösungsmaßnahmen zusammengefasst, die nicht allgemein umgesetzt
werden können, sondern nur unter besonderen Bedingungen, die ggf. mit einem gewissen
Aufwand hergestellt werden müssen. Zur Wichtung der einzelnen Kriterien und zur Wichtung der einzelnen Zielfunktionsgrößen innerhalb der Kriterien sind Gewichtsfaktoren ω
festzulegen.
Die Anzahl der für eine Linie benötigten Zuggarnituren ist ebenfalls ein wichtiges
Kriterium für die Beurteilung eines Fahrplans [KHP14; ES14]. Die Berechnung der dafür
notwendigen Bewertungsgrößen ist aus Zeitgründen in dieser Arbeit nicht erfolgt, sie
sollte jedoch in der weiteren Forschung untersucht werden.
Damit ergibt sich folgende Zielfunktion für die Ermittlung sinnvoller Konfliktlösungsmöglichkeiten:

X
ωR  tf,l,σ

+
X
l,σ
tH,l,u +
X
t0U,l1 l2 ,u + ωuu
X
xU,l1 l2 ,u,a 
l,u
!
X
+ ωF
αkf f,λ
λ
!
+ ωI
X
tkf s,σ + ωalt ·
σ
X
u

+ ωS ωhk
(5.56)
x0alt,u

X
∆tH,l,u + ωuk
X
∆tU,l1 l2 ,u 
l,u
→ min
52
5.4 Bewertungsmodell der Konfliktlösungsmöglichkeiten
Parameter
ωR
ωF
ωI
ωalt
ωS
ωhk
ωuk
ωuu
Wichtungsfaktor der Reisezeit
Wichtungsfaktor des Fahrzeugbedarfs
Wichtungsfaktor des Infrastrukturbedarfs
Wichtungsfaktor für zusätzliche alternative Halteplätze (= zusätzliche
Überholungsgleise) ggü. Fahrzeitverkürzungen
Wichtungsfaktor für Sonstiges
Wichtungsfaktor für Haltezeitverkürzungen
Wichtungsfaktor für Übergangszeitverkürzungen
pauschale Bewertung inakzeptabler Übergänge
Zielfunktionsgrößen
tf,l,σ
tH,l,u
tkf s,σ
αkf f,λ
xH,l,u
∆tH,l,u
x0alt,u
∆tU,l1 l2 ,u
t0U,l1 l2 ,u
xU,l1 l2 ,u,a
Fahrzeit des Zugs l auf Streckenabschnitt σ
Haltezeit des Zugs l in Betriebsstelle u
Fahrzeitverkürzung durch Infrastrukturausbau auf Streckenabschnitt σ
relative Fahrzeitverkürzung durch Einsatz einer schnelleren Zugkonfiguration auf Linie λ
Auflassung eines Haltes (0 . . . Halt wird aufgelassen; 1 . . . Halt bleibt
bestehen)
Verkürzung der Mindesthaltezeit
zusätzlicher alternativer Halteplatz durch Ausbau der Betriebsstelle u
eingerichtet
Verkürzung der Mindestübergangszeit
Übergangszeit eines akzeptablen Anschlusses
Anschlussqualität (0. . . akzeptabel, 1 . . . inakzeptabel)
Tabelle 5.12: Parameter und Größen der Zielfunktion
Geeignete Gewichtsfaktoren sind bisher nicht erkannt, diese sind in der Erprobung und
Validierung des Verfahrens empirisch zu ermitteln. Zudem bieten die Gewichtsfaktoren auch vereinfacht die Möglichkeit, die Belange unterschiedliche Interessengruppen
wie Infrastrukturunternehmen, Verkehrsunternehmen oder Reisende gegeneinander zu
gewichten. Die Variierung der Gewichtsfaktoren ermöglicht zudem die Erzeugung unterschiedlicher Konfliktlösungsvorschläge, aus denen der Benutzer wählen kann.
53
5.5 Überblick
5.5 Überblick
Das lineare Modell umfasst neben der Zielfunktion (5.56) folgende Nebenbedingungstypen:
5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.9
5.10, 5.11, 5.12
5.13, 5.14, 5.15
Konfliktlösungsmaßnahme Fahrzeitverkürzung
Konfliktlösungsmaßnahme Biegen
Konfliktlösungsmaßnahme Auflassen von Halten
Konfliktlösungsmaßnahme Einlegen von Betriebshalten
5.16, 5.17, 5.18, 5.19
Konfliktlösungsmaßnahme Modifizierung der Haltezeit
5.20, 5.21, 5.22, 5.23, 5.24, Konfliktlösungsmaßnahme Modifizierung der Über5.25, 5.26
gangszeit
5.28, 5.29
erweiterte Fahrzeitrestriktion
5.30
erweiterte Haltezeitrestriktion
5.31
erweiterte Übergangszeitrestriktion
5.32, 5.44, 5.45, 5.46, 5.47, erweiterte Zugfolgezeitrestriktion (abhängig von
5.48, 5.49
der Fahrzeit)
5.50, 5.51, 5.54, 5.55
erweiterte Zugfolgezeitrestriktion (abhängig von
der Haltezeit)
Tabelle 5.13: Überblick über die Nebenbedingungen des linearen Modells
54
6 Ausblick
Das in der Arbeit vorgestellte interaktive Konfliktlösungsverfahren ermöglicht eine
nachvollziehbare automatisierte Bearbeitung von Konflikten in der Taktfahrplanung. Die
Nachvollziehbarkeit wird dabei sowohl durch die direkte Zuordnung der verursachenden
eisenbahnbetrieblichen Restriktionen zu den Konflikten, als auch durch automatisch
ermittelte Lösungsvorschläge für die Konflikte erreicht.
Das Verfahren ist in dieser Arbeit ausschließlich theoretisch betrachtet worden, eine
umfassende Erprobung und Validierung des Verfahrens an praxisnahen Testfällen und
realen Fahrplanprojekten steht somit noch aus.
Die Umsetzung des Verfahrens ist dabei auch in mehreren Stufen möglich: Die Erkennung
und Visualisierung von signifikanten Konflikten ist von der Ermittlung von Lösungsvorschlägen bzw. einer programmgestützte interaktive Konfliktlösung unabhängig. Die
notwendigen Konfliktlösungsmaßnahmen sind dann ohne Programmunterstützung vom
Bearbeiter vorzunehmen. Dennoch würde bereits diese Stufe die Nachvollziehbarkeit des
Fahrplanungsprozesses in TAKT deutlich erhöhen und Ansatzpunkte zur Verbesserung
unbefriedigender Ergebnisse bereitstellen.
Einige der betrachteten Konfliktlösungsmöglichkeiten, wie z. B. Fahrzeitverlängerungen,
können uneingeschränkt angewendet werden und bedürfen keiner besonderen Prüfung
durch den Benutzer. Deswegen erscheint es sinnvoll, diese Konfliktlösungsmöglichkeiten in
die automatische Konfliktauflösung einzubeziehen. Dadurch kann auch die automatische
Lösung kleiner Konflikte verbessert werden, zudem kann möglicherweise auch die Anzahl
signifikanter Konflikte reduziert werden, weil einige Konflikte unter Berücksichtigung der
zusätzlichen Konfliktlösungsmaßnahmen dann ohne signifikante Eingriffe gelöst werden
können.
55
Erklärung
Hierdurch erkläre ich, dass ich die von mir am heutigen Tage eingereichte Diplomarbeit
selbstständig verfasst und andere als die angegebenen Hilfsmittel nicht benutzt habe.
Dresden, den 22.04.2014
(Unterschrift des Studenten)
Anlagen
Eine CD-ROM mit folgendem Inhalt:
• Diplomarbeit in elektronischer Form (PDF)
• LaTeX-Quellcode der Studienarbeit
• Literaturquelle [ES14] (Gesprächsprotokoll Fachgespräch DB Fernverkehr)
• Literaturquelle [KHP14] (Gesprächsprotokoll Fachgespräch DB Netz)
56
Literaturverzeichnis
[Bär10]
Matthias Bär: Systemtechnik des Bahn- und ÖPN-Verkehrs. Winstersemester 2010/11. Vorlesungsmaterial, Umdruck Sys 2. Dresden, 2010.
[Bär11]
Matthias Bär: Betriebsführung des Bahn- und ÖPN-Verkehrs. Betriebsprozesse im Bahnverkehr und ihre Zeitanteile. Sommersemester 2011.
Vorlesungsmaterial, Umdruck Bfg I. Dresden, 2010.
[Bär96]
Matthias Bär: Konflikte im Eisenbahnbetrieb – Versuch einer Systematisierung. In: 2. Eisenbahnbetriebliches Kolloqium Eisenbahnbetrieb und
Kapazität. Schriftenreihe des Instituts für Verkehrssystemtheorie und Bahnverkehr der TU Dresden 2. Dresden, 1996.
[DB402]
DB Netz AG (Hrsg.): Richtlinie 402: Trassenkonstruktion/-koordination.
Modul 402.0301: Trassen konstruieren. Frankfurt (Main), 2010.
[DB408]
DB Netz AG (Hrsg.): Richtlinie 408: Züge fahren und Rangieren. Modul
408.0102 Begriffe. Bekanntgaben 10A und 11, gültig ab 01. bzw. 09.12.2012.
2012.
[DB465]
DB Netz AG (Hrsg.): Richtlinie 465: Betrieb auf Steilstrecken. Besondere
Vorschriften über das Bremsen. gültig ab 15.11.1997. 1997.
[DB491]
DB Netz AG (Hrsg.): Richtlinie 491: Verwendbarkeit und Leistungsfähigkeit der Triebfahrzeuge. Modul 491.0201 Leistungsfähigkeit der Triebfahrzeuge – Zweck, Aufbau, Inhalt und Anwendung. gültig ab 11.12.2011.
2011.
[Eck00]
Florian Eck: Die Bedeutung von Haltepunkten des spurgebundenen Personenverkehrs mit Hochgeschwindigkeit für Unternehmungen in Deutschland.
Berichte aus der Volkswirtschaft. Dissertation, Universität Köln. Aachen:
Shaker Verlag, 2000. i s b n: 3-8265-7736-1.
[ES14]
Matthias Ebel und Jan Schüth: Gesprächsprotokoll Fachgespräch mit der
DB Fernverkehr AG. Frankfurt/Main, 24. Jan. 2014.
[FF14]
Wolfgang Fengler und Lothar Fendrich (Hrsg.): Handbuch Eisenbahninfrastruktur. 2. Aufl. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2014. i s b n: 978-3-64230020-2.
[FGSV137]
Forschungsgesellschaft für Straßen- und Verkehrswesen (Hrsg.): Merkblatt
zum Integralen Taktfahrplan. Definitionen, Randbedingungen, Einsatzmöglichkeiten und Einsatzgrenzen im Fern-, Regional- und Nahverkehr. 137.
Mai 2001.
57
Literaturverzeichnis
[Gra95]
Ulrike Grabs: Konflikterkennung und -lösung für dispositive Aufgaben in
Betriebszentralen. In: Signal + Draht 87.7-8 (1995), S. 254–258.
[Gro+12]
Peter Großmann et al.: Solving Periodic Event Scheduling Problems with
SAT. In: Advanced Research in Applied Artificial Intelligence – 25th International Conference on Industrial Engineering and Other Applications of
Applied Intelligent Systems. Bd. 7345. Lecture Notes in Computer Science.
Springer, 2012, S. 166–175.
[Gro12]
Peter Großmann: Extracting and Resolving Local Conflicts in Periodic
Event Networks. Diplomarbeit, TU Dresden. Dresden, 2012.
[Grö02]
Thomas Gröger: Simulation der Fahrplanerstellung auf der Basis eines
hierarchischen Trassenmanagements und Nachweis der Stabilität der Betriebsabwicklung. Dissertation, RWTH Aachen, 2002.
[Hei+05]
Gert Heister et al.: Eisenbahnbetriebstechnologie. 1. Aufl. Heidelberg:
Eisenbahn-Fachverlag, 2005. i s b n: 3-9808002-2-9.
[Hil97]
Peter Hille: Konzepte und Strategien für KOBS. In: Signal + Draht 89.9
(1997), S. 18–22.
[Hil99]
Peter Hille: Konfliktlösungsmodelle. In: Signal + Draht 91.3 (1999), S. 15–
18.
[Hun95]
Reinhold Hundt: Automatische Konflikterkennung und -lösung dispositiver
Aufgaben in der Betriebsleittechnik. In: Signal + Draht 87.12 (1995),
S. 437–439.
[KHP14]
Tobias Körner, Andreas Hartmann und Daniel Pöhle: Gesprächsprotokoll
Fachgespräch mit der DB Netz AG. Frankfurt/Main, 24. Jan. 2014.
[Küm13]
Michael Kümmling: Umlegungsbasierte Fahrplanoptimierung von Personenverkehrstaktfahrplänen. Studienarbeit, TU Dresden. Dresden, 2013.
[Küm+13]
Michael Kümmling et al.: The State-of-the-art Realization of Automatic
Railway Timetable Computation. In: Proceedings of the 3rd International
Conference on Models and Technologies for Intelligent Transport Systems
2013. Bd. 3. Verkehrstelematik. Dresden: TUDpress, 2013. i s b n: 9783-944331-34-8.
[Lie05]
Christian Liebchen: Fahrplanoptimierung im Personenverkehr – muss es
immer ITF sein? In: Eisenbahntechnische Rundschau 54.11 (Nov. 2005),
S. 689–702. i s s n: 0013-2845.
[Lie06]
Christian Liebchen: Periodic timetable optimization in public transport.
Dissertation, TU Berlin. Berlin: dissertation.de, 2006. i s b n: 3-86624150-X.
[MIL12]
Ministerium für Infrastruktur und Landwirtschaft des Landes Brandenburg
(Hrsg.): Landesnahverkehrsplan 2013 – 2017. Potsdam, 2012.
[MLV11]
Ministerium für Landesentwicklung und Verkehr Sachsen-Anhalt (Hrsg.):
ÖPNV-Plan 2010 – 2015/2025. Plan des öffentlichen Personennahverkehrs.
Magdeburg, 2011.
58
Literaturverzeichnis
[Nac98]
Karl Nachtigall: Periodic Network Optimization and Fixed Interval Timetable. Habilitationsschrift, Universität Hildesheim, 1998.
[Opi09]
Jens Opitz: Automatische Erzeugung und Optimierung von Taktfahrplänen
in Schienenverkehrsnetzen. 1. Aufl. Dissertation, Technische Universität
Dresden. Wiesbaden: Gabler Research, 2009. i s b n: 978-3-8349-2128-4.
[Pac13]
Jörn Pachl: Systemtechnik des Schienenverkehrs. Bahnbetrieb planen,
steuern und sichern. 7. Aufl. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. i s b n:
978-3-8348-2587-2.
[PS95]
Sieglinde Pferdemenges und Harald Schaefer: Automatische Konflikterkennung und wissensbasierte Konfliktlösung in der Streckendisposition. In:
Signal + Draht 87.5 (1995), S. 174–175.
[Röl13]
Susann Röllig: Konfliktanalyse und -einordnung bei der automatischen
Taktfahrlagenplanung. Hauptseminararbeit, TU Dresden. Dresden, 2013.
[SNB15]
DB Netz AG (Hrsg.): Schienennetz-Benutzungsbedingungen der DB Netz
AG 2015 (SNB 2015). gültig ab 15.04.2014. März 2014.
[Ste92]
Uwe Steinborn: Die computergestützte Disposition im Rangierbahnhof
als Beitrag zur Qualitätsverbesserung im Eisenbahnbetrieb. Dissertation,
Technische Universität Dresden, 1992.
[SU89]
Paolo Serafini und Walter Ukovich: A Model for Periodic Scheduling
Problems. In: SIAM Journal on Discrete Mathematics 2.4 (Nov. 1989),
S. 550–581.
[TMBLV14] Thüringer Ministerium für Bau, Landesentwicklung und Verkehr (Hrsg.):
4. Nahverkehrsplan für den Schienenpersonennahverkehr im Freistaat
Thüringen. Erfurt, 2014.
[Wei12]
Werner Weigand: Von der Angebotsplanung über den Langfristfahrplan zur
Weiterentwicklung der Infrastruktur. In: Eisenbahntechnische Rundschau
61.7+8 (Juli 2012), S. 18–25. i s s n: 0013-2845.
[Wen03]
Dietrich Wende: Fahrdynamik des Schienenverkehrs. 1. Aufl. Wiesbaden:
Vieweg + Teubner Verlag, 2003. i s b n: 978-3-519-00419-6.
[Wen95]
Ekkehard Wendler: Weiterentwicklung der Sperrzeitentreppe für moderne
Signalsysteme. In: Signal + Draht 87.7-8 (1995), S. 268–273.
[WF12]
Ulrich Weidmann und Patrick Frank: Grenzen des Taktfahrplans. In: Neue
Zürcher Zeitung 140 (19. Juni 2012).
59