Análisis de Sistemas Tema 7: Estabilidad de sistemas Prof. Cristian Castro Lagos Escuela de Ingeniería Eléctrica – PUCV Curso obligatorio de Pregrado Contenido 1. Definición de estabilidad 2. Estabilidad y polos 3. Condiciones de estabilidad en un punto de operación 4. Estabilidad de Lyapunov Definición de estabilidad Definición de Estabilidad Definiendo la estabilidad “Un sistema se puede considerar estable si toda entrada acotada, es decir, finita, produce una salida acotada”. Concepto de Estabilidad acotada escalón Sistema No acotada Lec. Definición de Estabilidad Respuestas típicas a entrada escalón La figura muestra cuatro ejemplos típicos de respuestas a una entrada escalón donde: (a) (b) (d) (c) o Los sistemas (a) y (b) son estables. o Los sistemas (c) y (d) son inestables. o Los sistemas (b) y (d) son oscilatorios. o El sistema (b) responde más rápidamente que el sistema (a). o Los sistemas (a) y (b) tienen prácticamente el mismo tiempo de asentamiento. Definición de Estabilidad Ejemplo 1: Suponga un sistema calefactor Si se asume que la temperatura del calefactor se encuentra inicialmente a una temperatura de ð ð = 42ð C, entonces una pequeña inyección de calor âð producirá una respuesta de salida como la siguiente: Salida de temperatura (termómetro) Entrada de calor (resistencia eléctrica) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Entrada Calor Sistema de calefacción ~ ~ ~ ~ ~ ~ Salida Temperatura Lec. Definición de Estabilidad Ejemplo 1: Suponga un sistema calefactor El comportamiento obtenido prueba que el sistema SI se mantiene en un rango limitado cuando es sometido a más energía, es decir, su respuesta es acotada. Este tipo de sistemas tiene la condición de ser inherentemente estable ante una estimulación de entrada. Sin embargo, y como veremos en el próximo ejemplo, NO todos los sistemas poseen este mismo patrón de comportamiento dinámico. Definición de Estabilidad Ejemplo 2: Suponga un sistema péndulo invertido Si se asume que el péndulo se encuentra en la vertical (ð = 0ð ), entonces una pequeña perturbación âðđ producirá una respuesta como la siguiente: ð Lec. Definición de Estabilidad Ejemplo 2: Suponga un sistema péndulo invertido El comportamiento obtenido prueba que el péndulo NO se mantiene en la vertical por acción de un disturbio, es decir, su respuesta no es acotada. Como los sistemas son, en general, no-lineales, entonces los atributos que definen la estabilidad deben necesariamente referirse a los puntos de operación. Con esto queremos decir que cada punto de operación puede presentar una particular CONDICION DE ESTABILIDAD. Definición de Estabilidad el comportamiento obtenido prueba que el péndulo no se mantiene en la vertical por acción de un disturbio, es decir, su repuesta no es acotada. como los sistemas son, en general, no lineales, entonces los atributos que definen la estabilidad deben necesariamente referirse a los puntos de operación (fase) con esto queremos decir que cada punto de operación puede presentar una particular condición de estabilidad. Estabilidad y polos Estabilidad y polos La estabilidad de un sistema se puede determinar considerando cómo cambia la salida con el tiempo después de una entrada de tipo escalón o impulso. Para el caso de la entrada escalón, si el sistema es estable entonces la salida será acotada mientras que, si el sistema es inestable, entonces la salida crecerá con el tiempo. Para el caso de la entrada impulso, si el sistema es estable entonces la salida deberá tender a cero con el tiempo; por el contrario, si el sistema es inestable, entonces la salida crecerá con el tiempo. Estabilidad y polos Si consideramos un sistema sin ceros y un polo en -2. La función de transferencia ðš(ð ) es: 1 ðš ð = ð +2 1 y por lo tanto; ð ð = ð (ð ) ð +2 Si el sistema está sujeto a una entrada impulso unitario, entonces, ð ð = 1. De esta manera: 1 ð ð = ð +2 Patrón de polos y ceros – Respuesta del sistema Estable ð−ð ðĶ ðĄ = ð −2ðĄ Lec. Estabilidad y polos Si consideramos un sistema sin ceros y un polo en +2. La función de transferencia ð(ð ) es: 1 ðš ð = ð −2 1 y por lo tanto; ð ð = ð (ð ) ð −2 Si el sistema está sujeto a una entrada impulso unitario, entonces, ð ð = 1. De esta manera: 1 ð ð = ð −2 Patrón de polos y ceros – Respuesta del sistema Inestable ð−ð ðĶ ðĄ = ð +2ðĄ Lec. Estabilidad y polos Si consideramos un sistema sin ceros y polos en −2 ± ð1. La función de transferencia ðš(ð ) es: ðš ð = ð(ð ) 1 1 = = 2 ð (ð ) (ð − −2 + ð1 )(ð − −2 − ð1 ) (ð + 4ð + 5) Si el sistema está sujeto a una entrada impulso unitario, entonces, ð ð = 1. De esta manera: 1 ð(ð ) = 2 (ð + 4ð + 5) Patrón de polos y ceros – Respuesta del sistema Estable ð−ð ðĶ ðĄ = ð −2ðĄ ð ðð(ðĄ) Lec. Estabilidad y polos Si consideramos un sistema sin ceros y polos en +2 ± ð1. La función de transferencia ðš(ð ) es: ðš ð = ð(ð ) 1 1 = = 2 ð (ð ) (ð − 2 + ð1 )(ð − 2 − ð1 ) (ð − 4ð + 5) Si el sistema está sujeto a una entrada impulso unitario, entonces, ð ð = 1. De esta manera: 1 ð(ð ) = 2 (ð − 4ð + 5) Patrón de polos y ceros – Respuesta del sistema Inestable ð−ð ðĶ ðĄ = ð +2ðĄ ð ðð(ðĄ) Lec. Estabilidad y polos Conclusiones del análisis 1. Si todos los polos están en el lado izquierdo del patrón de polos y ceros, el sistema es estable. Si sólo uno de los polos está en el lado derecho de dicho patrón, éste es inestable. 2. Un sistema es críticamente estable si uno o más polos están sobre el eje vertical del patrón de polos y ceros, es decir, tienen parte real cero, y no hay polos en el lado derecho. 3. Si sólo interesa la estabilidad, entonces los polos de la función de transferencia son importantes y los valores de los ceros del sistema son irrelevantes. 4. Para la estabilidad en relación con las posiciones de los polos resulta la misma condición tanto para entradas del tipo impulso como entradas del tipo escalón. Estabilidad y polos Conclusiones del análisis Estabilidad en el Plano s Lec. Estabilidad y polos Ejemplo Determine las raíces de la función de transferencia y ubíquelas en el plano S, además determine la respuesta temporal por medio de la transformada inversa de Laplace, ¿Qué puede decir con respecto a la estabilidad del sistema? ðš ð = 10 ð 3 + 2ð 2 − 6ð + 8 Assignment Lec. Condiciones de estabilidad Condiciones de estabilidad Antecedentes preliminares La matriz de transición permite representar la trayectoria de estado desde un tiempo t0 a uno determinado t, según la relación: ðĨ ðĄ = ∅ ðĄ, ðĄ0 ðĨ 0 esta relación indica, además, que la trayectoria generada dependerá de la estructura del sistema representada por la matriz de transición y no de la particular entrada que este tenga. Lec. Condiciones de estabilidad Antecedentes preliminares Para establecer claramente las definiciones de las condiciones de estabilidad, se supondrá que el espacio estado estará formado por las coordenadas: estado, x(t), su razón de variación con el tiempo, ðĨ ðĄ , y el tiempo, t. ðĨ ðĄ t ðĨ ðĄ Lec. Condiciones de estabilidad Ejemplo ilustrativo Suponga el sistema no lineal que se muestra: La ecuación diferencial que lo modela viene dada como: ð·ðĨ M x ððĨ + ð·ðĨ + ðūðĨ = 0 ðūðĨ Para el caso conservativo se cumple que ð·ðĨ=0. La energía total del sistema es constante. Assignment Lec. Condiciones de estabilidad Ejemplo ilustrativo Sea x1= x , x2= ðĨ y M=1, entonces el modelo de estado será: ðĨ1 = ðĨ2 ðĨ2 = −ðūðĨ1 Vamos a suponer que K(0)=0 y que K(x1) ïđ 0 para x1 ïđ 0, así el punto de operación es el origen del plano de fase (x1;x2). Las trayectorias entorno al origen se obtienen dividiendo las dos ecuaciones de estado, es decir: ðĨ2 ðūðĨ1 ððĨ2 =− = ðĨ1 ðĨ2 ððĨ1 supongamos por un momento que K(x)=Kx, es decir, el resorte es lineal. Entonces se obtiene: ðĨ2 ððĨ2 + ðūðĨ1 ððĨ1 = 0 Assignment Lec. Condiciones de estabilidad Ejemplo ilustrativo Que al integrar entrega: ðĨ1 2 ðĨ2 2 + = ð = ðððð ðĄðððĄð 2 2 que corresponde a la suma de la energía cinética y potencial. Además, en el plano de fase (x1;x2) corresponden a elipses y/o círculos centrados en el origen dependiendo del valor de K. x2 E=c3 x1 E=c2 E=c1 C1 < C2 < C3 Assignment Lec. Condiciones de estabilidad Ejemplo ilustrativo Ahora bien, ya se discutió que el punto de equilibrio o punto de operación, es siempre aquel de mínima energía cinética para el sistema (las derivadas son nulas). Esto es, serían uno o mas puntos sobre el eje x1 del plano de fase incluido el origen. Se infiere así que, estudiando el comportamiento en el plano de fase, puede obtenerse información en relación a la ganancia, mantención o disipación de energía en un sistema cuando éste es perturbado (sacado del reposo). Claramente, si el sistema es lineal, el comportamiento se centra en torno al origen (el punto de operación). Assignment Lec. Condiciones de estabilidad Ejemplo ilustrativo Incorporando la coordenada de tiempo, nuestro plano de fase se torna tridimensional x2 t ïĪ ïĪ<ïĨ ïĨ ENERGIA x1 Assignment Lec. Criterios de estabilidad Criterios de estabilidad Condiciones de estabilidad (según Lyapunov) ESTADO DE EQUILIBRIO ESTABLE (ESL) Un estado de equilibrio es estable en el sentido de Lyapunov si sometido a una perturbación, ||xp|| < ïĪ con ïĪ > ||xe||, tiene una respuesta ïĶ(t,t0) acotada para todo tï[t0,t] y menor que ïĨ. ESTADO DE EQUILIBRIO ASINTOTICAMENTE ESTABLE (AESL) Un estado de equilibrio es asintóticamente estable en el sentido Lyapunov, si sometido a una perturbación tal que ||xp||< ïĪ, con ïĪ > ||xe||, tiene una respuesta ïĶ(t0;t) acotada para todo tï[t0,t] y que converge al punto de equilibrio primitivo a medida que transcurre el tiempo. Lec. Criterios de estabilidad Condiciones de estabilidad (según Lyapunov) Lec. Criterios de estabilidad Condiciones de estabilidad (según Lyapunov) ESTADO DE EQULIBRIO INESTABLE Un estado de equilibrio es inestable si sometido a una perturbación ||xp|| →||xe|| , tiene una respuesta ïĶ(t0;t) que no es acotada cuando transcurre el tiempo, o bien es acotada tendiendo a otro punto de equilibrio con ||xe|| > ïĨ. Observen que hemos enfatizado las condiciones de estabilidad en torno a un punto de equilibrio (o de operación), puesto que los sistemas no lineales pueden tener varios puntos de operación con diversas condiciones de estabilidad. No se puede hablar, entonces, de las condiciones de estabilidad del sistema. Lec. Criterios de estabilidad Condiciones de estabilidad (según Lyapunov) ESTABILIDAD DE UN SISTEMA LINEAL (L) Un sistema lineal es estable si y sólo si a cada excitación acotada se obtiene una respuesta acotada. Como esta definición debe aplicarse a cada par excitación respuesta, se cambia el punto de vista de variables de estado por el de función de transferencia. Lo anterior se resume en la expresión ∞ â ð ðð < ð 0 donde h(ïī) representa la respuesta impulsiva y M es un número real finito. Lec. Criterios de estabilidad DETERMINACION DE LAS CONDICIONES DE ESTABILIDAD Deseamos ahora estudiar los métodos que permitan establecer las condiciones de estabilidad de un punto de operación (no lineales) o del sistema (lineales). La restricción es la de NO resolver la matriz de transición o la función de transferencia. Los métodos pueden dividirse en analíticos y gráficos. 1er método Lyapunov Analíticos 2do método Lyapunov LGR Gráficos Nyquist Routh – Hurwitz Lec. Criterios de estabilidad DETERMINACION DE LAS CONDICIONES DE ESTABILIDAD Los primeros, utilizando de la representación en variables de estado o función de transferencia, permiten determinar las condiciones que debe cumplir el sistema o punto de operación para un comportamiento aesl, esl o i. A estas condiciones se les denominan condiciones absolutas de estabilidad. Los segundos permiten no sólo determinar las condiciones si no que además, a que derivan cuando varía uno o varios parámetros del sistema. Estas son, por lo tanto, condiciones relativas de estabilidad. Es decir, los primeros responden cual es la condición?, Y los segundos el como se llega o cuanto es posible variar un parámetro?. Lec. Criterios de estabilidad Métodos Analíticos La discusión se realizará considerando un punto de equilibrio perturbado representado por la ecuación de estado: ðĨ ðĄ = ðīðĨ ðĄ ðĨ 0 = ðĨ0 Primer Método de Lyapunov La solución de la ecuación de estado anterior viene dada como: ðĨ ðĄ = ð ðīðĄ ðĨ0 ðĨ ðĄ = ∅ ðĄ ðĨ0 Lec. Criterios de estabilidad Métodos Analíticos Será posible escribir entonces: ðĨ1 ðĄ = ð λ1 ðĄ ðĨ10 ðĨ2 ðĄ = ð λ2 ðĄ ðĨ20 âŪ ðĨð ðĄ = ð λð ðĄ ðĨð0 Claramente, la expresión para cada variable de estado xi(t) será acotada si los exponentes ïŽi son negativos o cero. Como estos coeficientes corresponden a los valores propios o característicos se establece el siguiente criterio: Lec. Criterios de estabilidad Métodos Analíticos C-1 Si TODOS los valores característicos de la matriz de planta A, tienen parte real negativa, entonces el estado de equilibro es AESL. C-2 Si alguno de los valores característicos tienen parte real nula, y el resto tiene parte real negativa entonces el estado de equilibrio es ESL. C-3 Si uno o varios, de los valores característicos tiene parte real positiva , el estado de equilibrio es I. Lec. Criterios de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Como los valores propios, o polos, son la solución de la ecuación característica: ð ðž − ðī = ðð ð ð + ðð−1 ð ð−1 + âŊ + ð1 ð + ð0 = 0 aplicaremos los criterios del 1er Método para establecer las condiciones de estabilidad de un sistema lineal. Para ello es necesario analizar los coeficientes de la ecuación característica. Se puede establecer el siguiente Criterio de Routh-Hurwitz: Lec. Criterios de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Determinar la estabilidad de un sistema dada una función de transferencia implica también determinar las raíces del polinomio del denominador de la función y considerar si cualquiera de éstas son o no positivas. Sin embargo, las raíces no se pueden obtener con facilidad si el polinomio del denominador es de la forma: ðð ð ð + ðð−1 ð ð−1 + ðð−2 ð ð−2 + âŊ + ð1 ð + ð0 y “ð” es mayor que 3 o 4 El criterio de Routh-Hurwitz, sin embargo, proporciona un método que se puede usar en tales situaciones. Lec. Criterios de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz entrega un procedimiento que permite conocer si un sistema es estable o no dado un polinomio característico del denominador como el presentado en la diapositiva anterior. A continuación se describe tal procedimiento: Paso 1: Revisión de coeficientes ïž Primeramente, se deben revisar los coeficientes del polinomio. Si estos son todos positivos y ninguno es cero, el sistema puede ser estable. ïž Si cualquiera de los coeficientes es negativo, entonces, el sistema es inestable. ïž Si alguno (puede ser más de uno) de los coeficientes es cero entonces, en el mejor de los casos, el sistema es críticamente estable. Criterios de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Paso 1: Revisión de coeficientes Coeficientes positivos y distintos de cero ð 3 + 2ð 2 + 3ð + 1 Posiblemente estable Coeficientes negativos ð 3 − 2ð 2 + 3ð + 1 Inestable Coeficientes nulos ð 3 + 2ð 2 + 3ð +1 ð 3 + 2ð 2 + 3ð Posiblemente críticamente estable Lec. Criterios de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz C1 Si alguno de los coeficientes de la ecuación característica es cero (0), con excepción del correspondiente al término s0, o tiene diferente signo a otro coeficiente , entonces se tienen raíces con parte real positiva y el sistema será inestable. C2 Si todos los coeficientes de la ecuación característica son positivos y diferentes de cero, y todos los elementos de la primera columna del arreglo Routh-Hurwitz (R-H) son positivos, entonces todas las raíces tendrán parte real negativa y el sistema será AESL. C3 Si todos los coeficientes de la ecuación característica son positivos y diferentes de cero y la primera columna del arreglo tiene cambio de signo, existirán tantas raíces con parte real positiva como cambios de signo existan en el arreglo. Criterios de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Paso 2: Creando el arreglo de Routh Para sistemas que tienen denominadores que podrían ser estables se lleva a cabo un segundo paso. Los coeficientes anteriores deben ser dispuestos en un orden particular denominado arreglo de Routh. ð ð ðð ðð−2 ðð−4 âŊ ð ð−1 ðð−1 ðð−3 ðð−5 âŊ • Los reglones adicionales del arreglo se determinan mediante cálculo a partir de los elementos de los dos reglones inmediatamente anteriores. • Los reglones subsecuentes del arreglo de Routh se calculan hasta que sólo aparecen ceros. Criterios de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Paso 2: Creando el arreglo de Routh Ecuación característica ð 3 + 2ð 2 + 3ð + 1 ð ð ðð ðð−2 ðð−4 âŊ ð ð−1 ðð−1 ðð−3 ðð−5 âŊ Exponente impar Primeros dos exponentes ð 3 1 1ð 3 + 2ð 2 + 3ð + 1 3 Coef. De exponentes impares ð 2 2 1 ð 3 + 2ð 2 + 3ð + 1 Coef. De exponentes pares Exponente par Lec. Criterios de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Paso 2 (continuación): Creando el arreglo de Routh ð ð ð−1 ðð ðð−2 ðð−4 âŊ ðð−1 ðð−3 ðð−5 âŊ ð ð−2 ð1 ð2 ð3 âŊ ð ð−3 ð1 ð2 ð3 âŊ âŪ âŪ âŪ âŪ âŪ âŪ âŪ âŪ âŪ âŪ ð 2 ðĨ1 ðĨ2 ðĨ3 ð 1 ðĶ1 ðĶ2 ð 0 ð§1 ð Donde: ðð ð ðð−1 ð−3 ðð ð2 = ðð−4 − ð ðð−1 ð−5 ð1 = ðð−2 − ðð−1 ð2 ð1 ðð−1 ð2 = ðð−5 − ð3 ð1 ð1 = ðð−3 − Los elementos del 3er reglón en adelante se obtienen a partir de los elementos de los dos reglones previos. Lec. Criterios de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Paso 3: Revisión de elementos de columna 1 Cuando el arreglo se ha completado, este debe ser revisado de acuerdo al siguiente criterio: 1. Si todos los elementos de la primera columna son positivos, todas las raíces tienen partes reales negativas y están en el lado izquierdo de patrón de polos y ceros. El sistema es estable en este caso. 2. Si en la primera columna hay elementos negativos, el número de cambios de signo en esta columna es igual al número de raíces con partes reales positivas en el patrón de polos y ceros. El sistema es inestable en este caso. Criterios de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Paso 3: Revisión de elementos de columna 1 ð 3 + 2ð 2 + 3ð + 1 ð 3 − 2ð 2 + 3ð + 1 ð 3 1 3 ð 3 1 3 ð 2 2 1 ð 2 -2 1 ð 1 5/2 0 ð 1 7/2 0 ð 0 1 0 ð 0 1 0 Sistema estable Todos los elementos son positivos Todas sus raíces están en el semiplano izquierdo del patrón de polos y ceros Sistema inestable Existen dos cambios de signo Por los dos cambios de signo, existen dos raíces en el semiplano derecho del patrón de polos y ceros Lec. Criterios de estabilidad Ejemplos 1. Determinar, usando el criterio de Routh-Hurwitz, si los sistemas que tienen las siguientes funciones de transferencia son o no estables: 2ð + 1 2ð + 1 ; ðš ð = ðš ð = 4 ð + 2ð 3 + 3ð 2 + 4ð + 1 ð 4 + ð 3 + ð 2 + 4ð + 1 2. Si el denominador de la función de transferencia de un sistema es: ð 3 + 4ð 2 + 8ð + ðū ¿En qué intervalo de valores puede moverse K para que el sistema sea estable? Assignment Lec.