‫‪Dr . rehab 1 Bis‬‬
‫المضروب‬
‫‪Factorial :-‬‬
‫‪A factorial is the recursive product of numbers:‬‬
‫ازاى احسب المضروب ألي عدد ( أبدا بالعدد واضرب في العدد األصغر منه بواحد حتى نصل الى مضروب صفر )‬
‫!‪1. n! =n× (n‒1) × (n‒2) … .3 × 2 × 1 × 0‬‬
‫‪2 . 0! = 1! = 1‬‬
‫‪Examples‬‬
‫‪a) 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 1 = 120‬‬
‫‪b) 4! = 4 × 3 × 2 × 1 × 1 = 24‬‬
‫‪c) 3! = 3 × 2 × 1 × 1 = 6‬‬
‫!‪5! = 5 × 4‬‬
‫!‪= 5 × 4 × 3‬‬
‫!‪= 5 × 4 ×3 × 2‬‬
‫طرق اخرى لكتابة !‪5‬‬
‫التوافيق‬
‫‪Combination‬‬
‫‪For n and r interger , to select r from an n objects , we find the‬‬
‫‪number of ways by computing‬‬
‫يعنى ايه توافيق ؟‬
‫هنطبق علي مثال عندنا خمسة طلبة عايزين نختار اتنين ممكن نختار بكام طريقة ؟االجابة‬
‫عند طريق استخدام التوافيق 𝟐𝟓𝒄‬
‫خلى بالك العدد االجمالى هو ‪ n=5‬والعدد المراد اختياره ‪r=2‬‬
‫قانون لحساب التوافيق‬
‫‪1‬‬
‫!𝐧‬
‫!)𝐫 ‪𝐫! (𝐧 −‬‬
‫= 𝐫𝐧∁‬
‫‪Dr . rehab 1 Bis‬‬
‫قبل حل اي مساله البد ان نحدد ‪r , n‬‬
‫‪ n‬الرقم اللي فوق ( الرقم الكبير )‬
‫‪ r‬الرقم اللي تحت ( الرقم الصغير )‬
‫‪Examples‬‬
‫‪20‬‬
‫𝟎𝟏 =‬
‫‪=45‬‬
‫‪90‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫!‪5×4×3‬‬
‫=‬
‫!‪2×3‬‬
‫!‪10×9×8‬‬
‫!‪8!×2‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪8!×2‬‬
‫!‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝟓𝟏 =‬
‫‪30‬‬
‫‪2‬‬
‫!‪10‬‬
‫!‪0!×10‬‬
‫!‪6×5×4‬‬
‫!‪4!×2‬‬
‫=‬
‫‪7‬‬
‫𝟕= =‬
‫‪1‬‬
‫𝟔𝟓 =‬
‫‪2‬‬
‫!‪8×7×6×5‬‬
‫!‪3×2×1×5‬‬
‫=‬
‫=‬
‫!‪10!×0‬‬
‫𝟏= =‬
‫=‬
‫!‪2!×3‬‬
‫!‪10‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫𝟏= =‬
‫!‪5‬‬
‫=‬
‫=‬
‫!‪5‬‬
‫!)‪2!(5−2‬‬
‫!‪10‬‬
‫!)‪8!(10−8‬‬
‫𝟎𝟏∁ )‪b‬‬
‫= 𝟖‬
‫!‪10‬‬
‫!)‪10!(10−10‬‬
‫=‬
‫!‪6‬‬
‫!‪2!×4‬‬
‫!‪7×6‬‬
‫!‪6!×1‬‬
‫!‪8‬‬
‫!‪3!×5‬‬
‫!‪10‬‬
‫!)‪0!(10−0‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫= 𝟐𝟓∁ )‪a‬‬
‫‪c) ∁10‬‬
‫= ‪10‬‬
‫‪d) ∁10‬‬
‫= ‪0‬‬
‫!‪6‬‬
‫!)‪2!(6−2‬‬
‫!‪7‬‬
‫!)‪1!(7−1‬‬
‫!‪8‬‬
‫!)‪3!(8−3‬‬
‫= 𝟐𝟔∁ )‪e‬‬
‫= 𝟏𝟕∁ )‪f‬‬
‫= 𝟑𝟖∁ )‪g‬‬
Dr . rehab 1 Bis
The Binomial Series
Contains two elements only:
Let say : a and b , then : the general form is:
(𝒂 + 𝒃)𝒏 = ∁𝒏𝟎 𝒂𝐧 𝐛𝟎 + ∁𝐧𝟏 𝐚𝐧−𝟏 𝐛 +∁𝐧𝟐 𝐚𝐧−𝟐 𝐛𝟐
+ ∁𝒏𝟑 𝒂𝒏−𝟑 𝒃𝟑 + ⋯ ∁𝒏𝒏 𝒂𝟎 𝒃𝒏
Example 1
(𝑎 + 𝑏)5 = ∁50
𝑎5
× 𝑏0
+∁15
𝑎5−1
× 𝑏1
+∁52
a5−2
× b2
+∁53
a5−3
× b3
+∁54
a5−4
× b4
+∁55
a5−5
× b5
Example 2
(𝐱 + 𝟐)𝟓 = ∁𝟓𝟎
𝐱 𝟓−𝟎
× (𝟐)𝟎
+∁𝟓𝟏
𝐱 𝟓−𝟏
× (𝟐)𝟏
+ ∁𝟓𝟐
𝐱 𝟓−𝟐
× (𝟐)𝟐
+∁𝟓𝟑
𝐱 𝟓−𝟑
× (𝟐)𝟑
+∁𝟓𝟒
𝐱 𝟓−𝟒
× (𝟐)𝟒
+ ∁𝟓𝟓
𝐱 𝟓−𝟓
× (𝟐)𝟓
3
Dr . rehab 1 Bis
∁55 = 1
∁54 = 5
∁50 = 1
∁52
5 × 4 × 3!
5×4
=
=
= 10
2! × 3!
2×1
∁53
5 × 4 × 3!
5×4
=
=
= 10
3! × 2!
2×1
∁15 = 5
(𝐗 + 𝟐)𝟓 = 𝑋 5 + 5𝑋 4 × 2 + 10𝑋 3 × (2)2
+ 10𝑋 2 × (2)3 + 5𝑋1 × (2)4 + 1 × (2)5
= 𝑋 5 + 10 𝑋 4 + 40𝑋 3 + 80𝑋 2 + 80𝑋 + 32
The Common term in the binomial series :
𝑖𝑡ℎ 𝑡𝑒𝑟𝑚 = ∁𝐧𝐢−𝟏 𝐚𝐧−(𝐢−𝟏) × 𝐛 (𝐢−𝟏)
Example 1
𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 6𝑡ℎ 𝑡𝑒𝑟𝑚 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓 (𝑥 − 1)18
solution
n= 18
i=6
a=x
b=(-1)
𝟏𝟖−𝟓
the sixth term= ∁𝟏𝟖
× 𝒃(𝟓)
𝟓 𝒂
=
Note : ∁𝟏𝟖
𝟓 =
18!
5!×(13)!
× 𝑥 13 × (−1)5 = −8568 × 𝒙13
𝟏𝟖!
𝟓!×(𝟏𝟑)!
18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13!
=
= 8568
5 × 4 × 3 × 2! × 13!
4