首都经济贸 大 金融
《金融随机过程》课程期末复
其他任何
，联
丰 副教授 2019-Dec-14
料
TA。
Good luck your finals.
首
必
敬若干 大的数 家和 理
Adriaan Fokker
德
安·
家们：
克（1887-1972）丹
学家（以及
乐家）
Andrey Markov 安德 · 尔可夫（1856-1922）俄国数学家
Andrey Kolmogorov 安德
Eugene Dynkin 尤
·
Igor Girsanov 伊戈尔·吉
Johann Radon
Max Planck
尔 哥 夫 （1903-1987）前
（1924-2014）前
数学家
数学家
夫（1934-1967）前
·拉东（1887-1956）
Kiyosi Itô 伊
Mark Kac
·
数学家
大利亚数学家
（1915 – 2008）日本数学家
克·卡 （1914-1984）
兰 数学家
克斯·普朗克（1858-1947）德国
学家
Norbert Wiener 诺伯 · 纳（1894-1964）美国数 家（
Otto Nikodym 奥托·尼克丁（或
Richard Feynman
及
为：尼克德姆）（1887-1974）
德· 曼（1918-1988）
国
学家
以及
Henri Léon Lebesgue 亨利·勒
Paul Pierre Lévy 保
复习
标
· 埃尔·
（1875-1941） 国 名数学家
（1886-1971） 国数学家
料
纳过程的定
1 / 21
家）
兰数学家
首都经济贸 大 金融
标
丰 副教授 2019-Dec-14
纳过程（Wiener process） 叫标 布朗（Brownian motion） 动。
量的独立 。对 任
1、
0 u
即： Wt
。对 任
( 0, t
Ws ~
（
3、路径的连
径， Wt
零，方差
t s 的
分布，
s) 。
纳过程的
t
0
dWs =
t
，
n
间区间
Wu ，其
Wt
0 是关 时间 t 的连 函数。固定
t
路
概率收敛。
t
0
ti =
汇
n
t1 t2
it
， 是
n
it ( i + 1) t
，令
,
n
n
Wi +1
3、基本 计
0,
t
n
：
(
dW ( s ) = Wt W0 ， dWt := lim Wti+1 Wti
2、离散化 式： 0 = t0
t=
s , Wt Ws 满 均
独立
零，即 W0 = 0 。
更多标
:=
的t
可分 ），
Ws 满
4、初始
1、 Wt
t , Wt Ws
s t。
量的
2、
前的过程 Ws
的s
。
tn 1 tn = t ， n
ti
Wi+1 := Wti+1 Wti ， i
0, n 1
，i
0, n 1
，那么
Wi +1 = W(i +1)t Wit
,
n
Wi+1 := Wti+1 Wti 。 Wi +1
(
lim Wti+1 Wti
n
)
)
0, lim
n
服从独立
( i + 1) t
n
( dWt ) = 0 ， var ( dWt ) = dt ，且 dWt
(Wt ) = 0 ， var (Wt ) = t ，且Wt
( 0, t )
2 / 21
分布的
it
n
，i
( 0, dt ) ，
n
分布，即
0, n 1
。
时
首都经济贸 大 金融
次变差
4、（
( dWt )
2
p
+
、二次变差
W t := W ,W t := lim
及 上）：
n
( dWt )
= dt ， ( dt ) = 0 ， dWt dt = 0 ，而当 p 2 ，
2
方差和 关 数： cov
5、
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： Bt := Wt
6、反射
(Ws ,Wt ) = min{s, t}
是标
布朗
（Time Shifting）：若定
7、时间平
p
i =0
(W
Wti
ti+1
)
2
t，
= 0 ， ( dt ) = 0 ，
p
(Wt ,Ws ) =
，
n 1
min{s, t}
max{s, t}
动
Bt := Wt +u Wu ， u
0 ， Bt
是 个标
纳
过程。
8、尺度不变 （normal scaling）： Bt = cW
c
（time inversion）： Bt =
9、时间倒
if t = 0
， Bt
if t 0
0
tW1
（time reversal）： Bt := W1
(
11、 Wt ,
t
0
Ws ds
12、马尔可夫
连
)
W1 t ，， Bt
1 2
t
2
1 3
t
3
t
的
：如
方差矩 是： Σ =
个连 函数
函数 g 使得 面式 成立：
1 2
t
2
f
f (Wt ) |
是标 布朗 动。
2
t
10、时间反
0 ， Bt
,c
t
标
s
且
是标 布朗 动。
是标 布朗 动。
们的
布朗 动 Wt ，
= g (Ws ) ，其
关 数是
定存
s t ，而
3
2
个另
s
是
个
个 流
过程。
13、
14、矩的
： [Wt Wu ] = Wu
： [Wt ] = 0 ，
[Wt 2 ] = t ， [Wt 3 ] = 0 ， [Wt 4 ] = 3t 2 ， [Wt 5 ] = 0
3 / 21
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15、标 布朗 动的基本
件期
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汇
[Wt ] = 0
件方差
件期
var(Wt ) = t
[Wt Wu ] = Wu
件方差
var[Wt Wu ] = t u
方差
cov(Ws , Wt ) = min( s, t )
或
WW
t s = min t , s
等价
关 数
corr(Ws , Wt ) =
cov(Ws , Wt )
Ws
高阶矩
密度函数
1
p Wt = x =
e
2 t
p ( t s; x, y ) =
x 到y
倒
前
Wt
min( s, t )
=
st
min( s, t )
max( s, t )
[Wt 3 ] = 0 ， [Wt 4 ] = 3t 2 ， [Wt 5 ] = 0
概率密度函数
别
=
：
WT | Wt = x ~
x2
2t
2
(t
t 时刻的
( x y)
2 (t s )
2
1
s)
exp
密度函数,且 s
( x, T t ) （前 ）
vs
Wt | WT = y ~
yt t (T t )
,
T
T
4 / 21
（倒 ）
t
,表示
.
s 时刻固定点
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纳过程
16、标
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偏 分方程
a) Fokker-Planck 方程：令 p ( x, t ) 表示标 布朗 动的
p ( x, t ) 1
=
t
2
2
p ( x, t )
， 是 Fokker-Planck 方程
x2
b) Feynman-Kac 方程：
+
[WT Wt ] =
公式
： dX t
1、
件概率密度函数，
标 布朗 动满
过程，且具
WT p (WT Wt ) dWT = Wt := g ( t , x ) ，
马尔可夫
g (t, x ) 1
+
t
2
，
2
g ( x, t )
=0
x2
过程
= a ( X t , t ) dt + b ( X t , t ) dWt
公式（Itô formula）
F ( Xt ,t )
公式： dF ( X t , t ) =
t
F ( Xt ,t )
dF ( X t , t ) =
t
或
+ b( Xt ,t )
F ( Xt ,t )
dt +
Xt
+ a ( Xt ,t )
F ( Xt ,t )
Xt
2
1 F ( Xt ,t )
2
dX t +
( dX t )
2
2
Xt
F ( Xt ,t )
Xt
2
1
2 F ( Xt ,t )
+ b ( Xt ,t )
dt
2
X t2
dWt
2、Dykin 算
:= a ( t , x )
x
2
1
+ b2 (t, x ) 2
2
x
： F ( t , X t ) 若是 过程， 满
Dynkin 算符的
格定
F (t, X t )
t
+ F (t, X t ) = 0
：
5 / 21
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n
函数 F :
假设
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F ( X t +s )
F := lim
，
s
F ( Xt )
s
0
3、Feynman-Kac 描述定理
dX t = a (t , X t ) dt + b (t , X t ) dWt ，
如果
思路是： 们
u ( t , x ) :=
( XT )
t,x
若 u (t, x ) 是
个
过程
定的测度 ，
但是实际
u ( t , x ) :=
，
t,x
e
( XT ) | X t = x
其 满
偏 分方程：
u =0
们更关 的是：
r (T t )
( XT )
:=
e
r (T t )
( XT ) | X t = x
：
u (t, X t )
1
2
+ a ( t , X t ) xu + b ( t , X t )
t
2
xx
u = ru ( t , X t )
：
a) u (T , X T ) :=
b)
xx
( XT )
此时的 Feynman-Kac 公式
别
思路：
：
:=
u (t, X t )
1
2
+ a ( t , X t ) xu + b ( t , X t )
t
2
： u (T , X T ) :=
们
( XT )
教材将 上情 称
是
情
的 Feynman-Kac 方程。
6 / 21
，如果极 存
。
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积分过程
t
I t :=
0
f (Ws , s ) dWs 且 It = lim
n
(
n 1
i =0
(
(
)
)(
f Wti , ti Wti+1 Wti
)
积分规定 f Wti , ti 而非 f Wti+1 , ti +1 ，即取
)
时间区间
it ( i + 1) t
,
n
n
侧，
是
积分的独到 处。
1： 们定
t
It :=
0
是
t
积分的 式是：
n 1
f (Ws , s ) dWs = lim
n
-可测的，
2：如果 I t
:=
i =0
表示
t
t
0
常数 c,
f (Ws , s ) dWs
3： I t 是
个
： cI
)(
)
集。
It
假如
(
f Wti , ti Wti+1 Wti ， I t 连 ，且 t 时间点上，
(t ) =
和 Jt
t
Jt =
t
0
0
:=
t
0
g (Ws , s ) dWs 都是
积分，那么
f (Ws , s ) g (Ws , s ) dWs
cf (Ws , s ) dWs 。
个 过程。 就是说，对包含
纳过程的函数
f (Wt , t ) 进
过程。
4：
论（关
t
It
0
f (Ws , s ) dWs = 0
t
过程）：
0
等距）
5：Itô Isometry（
(I ) =
2
t
6：
t
0
g ( M s , s ) dM s = 0 如果 M t 是 个 过程
f (Ws , s ) ds =
2
积分的二次变差
t
0
( f (W , s ) dW )
s
2
s
（Itô integration Quadratic Variation）
7 / 21
积分，得到
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I, I
t
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=
t
I t :=
等距
7(
( It I s ) =
例
(
扩
t
0
u
及课后
。
t
0
1
Ws dWs = Wt 2
2
a
b
a
t
（5）
（6）
0
（8）
=
(
点。
积分的
）：
1
t
2
cdWs = c (Wb Wa )
Ws dWs =
1
(Wb2 Wa2 )
2
sdWs = tWt
t
0
1
Ws2 dWs = Wt 3
0
3
0
t
0
1
(b a )
2
Ws ds
t
t
（7）
v
dWs = Wt
0
b
（4）
方差。
积分（表）的结果
纳过程的随机积分（利
（3）
v
0
常见的涉及
（2）
f (Ws , s ) dWs ，
s
u
们可 清楚地看到
t
2
求随机过程的
)：可
前面的例
（1）
0
f (Ws , s ) ds
( f (W , u ) dW ) ) ( ( f (W , v ) dW ) )
：见 OU 过程
1、常见的
0
t
eWs dWs = eWt 1
t
0
Ws ds
1 t
exp (Ws ) ds
2 0
Ws eWs dWs = 1 + Wt eWt
eWt
1
2
t
0
exp (Ws )(1 + Ws ) ds
8 / 21
min ( t , s )
0
f (Wu , u ) du
2
)
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（9）
t
sWs dWs =
0
（10）
（11）
（12）
随机
t
0
t
0
t
0
t
2
1 t 2
Ws ds
2 0
1
s )dWs = Wt 3
3
(W
2
s
e
t
Wt 2
2
s
+Ws
2
dWs = e
t
+Wt
2
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tWt
1
1
2
sin Ws dWs = 1 cos Wt
t
cos Ws ds
0
分方程
动： dSt =
1、几何布朗
1
2
ST = St exp
ST2 St =
ST St
log
(T t ) + (WT
2
(T
ST St = St exp
var ST St = St2 e 2
St dt + St dWt
(T t )
Wt )
t)
(e
2
) (
(T t )
ST2 St2 = St2 exp 2
1
2
ln St +
2
1 = e
2
+
(T
)
1 exp 2 ( ln St +
(T t )
1
2
2
t ),
2
(T
(T
t)
t)
f ST |St ( s ) = p ( ST =s | St )
=
1
s
2
(T
t)
exp
1
2
ln s
1
2
ln St +
(T
9 / 21
t)
2
2
(T
t)
(T
t ))
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2、OU 过程： dZ t = aZ t dt +
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dWt , Z 0 = 1
dZ t = aZ t dt + dWt
Zt
Z t = e at Z 0 +
ZT
ZT = e
cov ( Zs , Zt )
var ( Z t ) =
T
Zt = z )
var ( ZT Zt = z )
e
t
2
(1
2a
e
2
2a
(Z
T
Zt = z ) = e
dWs
a (T s )
dWs
=(
a (T t )
(e
2a
2
2a
e
at s
(1
2a
1 e
a(t + s )
e
),
a(t + s )
z
2
2
z,
)
a(t s )
a (T t )
var ( ZT Z t = z ) =
e
2 at
(e
cov ( Z s , Z t ) =
ZT Zt = z
3、Vasciek 过程： drt
T
Zt +
cov ( Z s , Z t ) =
或
(Z
a(t s )
e
0
( Zt ) = e at Z0
( Zt )
var ( Zt )
a (T t )
t
e
2 a (T t )
2 a (T t )
art ) dt + dWt
10 / 21
)
s t
)
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drt = a (b rt ) dt + dWt ,其 b = / a 。
或
drt = (
(1
a
rt = e at r0 +
a( t u )
rt = e
(r
t
drt = a (b rt ) dt + dWt
art ) drt + dWt
u
ru +
)=e
at
e
(1
a
a(t u )
)+
t
0
a(t u )
e
ru +
a
a(t s )
e
)+
(1
e
t
u=s
a(t u )
rt = e at r0 + b (1 e
dWs
e
a(t s )
dWs
=e
at
(r + b (e
)
：
(r
lim
t
t
var ( rt
u
)= a
2
u
lim var ( rt
t
) = 2a
u
~N
1 e
2 a(t u )
=
u
) = 2a
a(t u )
ru +
2
1 e
2a
(1
a
e
a(t u )
),
2 a(t u )
2
此，
t
时， rt ~
4、CIR 过程： drt
（见
=(
,
a, 2a
rt ) dt +
rt dWt
结果）
FOKKER-PLANCK 方 程 和 FEYNMAN-KAC 方 程
11 / 21
)
d
dt
:= e
t
at
(r + b (e
0
= a (b
t
)
:= var rt
(
=
2
e
rt
2
t
t
)+
1) +
at
0
( rt ) =
at
2
e
at
t
0
1 e 2 at
2a
e au dWu
)
2
t
0
t
0
at
e
e
a(t s )
a(t s )
1)
)
dWs
dWs
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dX t = a ( X t , t ) dt + b ( X t , t ) dWt ，
假如
若令 p ( X t = x, t; X s = y, s ) 且 t
s 0，
简单起见， 们令 p ( X t = x, t; X s = y, s ) := p ( x, t; y, s )
Fokker-Planck（前
t
p ( x, t ; y , s ) =
而
方程被称
x
）方程 （
：此时其实是 X s = y , s 被视
( a ( x, t ) p ( x, t ; y , s ) ) +
：Dykin 算符，其定
所
们发
1 2
b ( x, t ) 2 p ( x , t ; y , s ) )
2 (
2 x
Feynman-Kac（后 ）方程（ ：此时其实是 X t = x, t 被视
p( x, t; y, s)
p( x, t; y, s)
= a( y, s )
s
y
复
）：
：
1
b( y, s)2
2
:= a ( t , x )
2
p( x, t; y, s)
y2
1 2
+ b (t , x )
x 2
p( x, t; y, s)
=
s
Feynman-Kac 方程可
）：：
2
x2
，
p( x, t; y, s)
y ,s
。
常见的 法是假定：
Feynman-Kac 方程是 究当 x, t 给定时， 其是 当 X T , T 给定时 y, s 变化如何
p( x, t; y, s) 的变化。
不妨假定： p( x, t; y, s) := p ( y, s | X T = x, T = t ) = u ( y, s ) ，
s
u ( y, s ) =
u ( y, s ) ,0 s T , y
u ( y, T ) =
( x)
是 Fokker-Planck 方程 可
n
，
成算 的 式：
12 / 21
起
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X 0 = y, s = 0 时， p( x, t; y, s) := p ( x, t | X 0 = y, s = 0) :=
给定初始
( x, t ) =
t
*
( x, t ) , 0
( x,0) = y
:= a ( t , x )
:=
*
x
：Fokker-Planck
后
(
( a (t, x )
被成
Kolmogorov 前
假 定 和 BSM 的 PDE
Vt =
t
St +
t
Bt
)
方程，而 Feynman-Kac
式
融 假定， ） dVt =
（基
C
C
1 2C
( St dt + St dWt ) + dt +
(
S
t
2 S2
dCt
St
C
C 1
+
+
S
t 2
2
St2
(
t
St +r t Bt ) =
St
1
r
St2 dt )
数待定法的思 ，
C
C 1
+
+
S
t 2
C
C 1
+rSt
+
t
S 2
dSt + t dBt
C
C
dt +
St dWt
2
S
S
2
St2
2
St2
C
S2
后
2
C
，t
S2
IC：C (T , ST ) = max ST
BC：C ( t ,0 ) = 0, C ( t , St
：
2
C
St
t St =
S
Ct =
2
t
2
Ct = Vt , dCt = dVt ，利
：
，
2
1 2
+ b (t, x ) 2
2
x
2
) + 12 x2 b 2 ( t , x )
x
( x, t ) ，
n
t T, x
方程。
融
=
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0, T ，St
K ,0 ；
) St ,
热传导方程及其解
1、柯
13 / 21
：
+
被称
Kolmogorov
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初
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（initial-value problem, IVP） 叫
2
u
PDE
xx
u=0 其
。
，0
x
IC u ( x,0) = u0 ( x ) 其
柯
x
其解 ：
(x
exp
u ( x,
)=
u0 ( y )
4
y)
2
2
(x
exp
其
G ( x, y;
2、
广和扩
：
t
=
) := G ( x
) :=
4
1
exp
4 t
1
4 (t
t
0
G(x
0
G(x
)
2
是格林函数。
x
,t 0
x
( x )2
g ( )d +
4 t
exp
( x )2
f ( , )d d
4 (t )
, t ) g ( )d +
,t
) f(
, )d d
3、BSM 的封闭解
们回
y,
2
2
u( x, t )
xx u ( x, t ) = f ( x, t )
u( x,0) = g ( x )
t
y)
2
u ( x, t ) =
=
y,
u0 ( y ) G ( x
dy =
2
BSM 的偏 分方程 式：
14 / 21
) dy
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C ( t , St ) =
1
r
C
+(r
t
C 1
+
S 2
D ) St
2
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2
C
，t
S2
St2
IC：C (T , ST ) = max ST
BC：C ( t ,0 ) = 0, C ( t , St
其可
=
u
化 ：
1
2
x = ln
2
(T
(
S
K
+
K ,0 ；
) St ,
2
u
( , x)
x2
, x) =
t =T
t)
0, T ，St
2
式（
= 1 ）， 们前面定 的变量 ：
/2
S = Ke x
结果：
(d )
C ( St , t ) = St
1,t
log
d1,t =
d 2,t =
的初
当
各
u
(
2
St
+ r+
K
2
T
log
4、不
K exp ( r (T
t ))
(T
t)
(T
t)
(d )
2,t
t
2
St
+ r
K
2
T
t
代表不 的金融 生品
, x) =
2
u
( , x ) 时，不 的初始 件对 不 的期权类 （仅是举例，没 穷尽……..
x2
案例）
初始
期权类
件 u0 ( x )
u0 ( x) = max e 2 ( 1
1
k +1) x
1k x
1
u0 ( x) = e 2
x 0
1k
x
e2 1 ,0
欧式看 期权
Digital option
15 / 21
首都经济贸 大 金融
u0 ( x) = e 2 ( 1
k +1) x
1
k1 :=
其
2
1
2
2
1
2
假设分红率 D
（前面例
C ( St , t , K , T ) ~ St e
等价
Cash or nothing option
x 0
r D
丰 副教授 2019-Dec-14
D( T t )
零）。
：
当 St
方法
定理
1、“三大”
【Girsanov 定理】令
0 t T
t
L ,t := e
L ,t
d
d
0
Wt : 0 t T
其
关的滤波过程，假设
u dWu
1
2
t
0
t
=
d
d
个
测度
个适 过程
的标
t
布朗
动，令 t 表示
，并考虑：
T
2
u du
e
如果
0 t T 上，关
|
是
=L
2
t dt
1
2
0
测度是 过程，变换测度如
,t
Wt
= Wt +
个常数
，L
，
t
u
0
du 是
个关
测度的标 布朗
t
动。
此
，如果 t 是
,t
:=
d
d
= exp
【Radon-Nikodym 定理】（超级简单版本）如果 两个测度，
随机变量 L 使得
d
d
= L 成立，
们称 L 是测度
数。
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Wt
定 件
对 测度
1
2
，存
2
t
。
个非负的
的 Radon-Nikodym 导
首都经济贸 大 金融
【
表示定理】令
其
Wt : 0 t T 是 个
关的滤波过程，如果 M t 是
t
0 t T ，使得 M t = M 0 +
解： 表示定理
0
u
是
布朗
动，令
0 t T 上的 过程， 存
个适
Mt = M0 +
，
t
0
u
测度
dWu , 0 t
的标
t
0 t T
表示
过程
t
T。
dWu , 0 t
如果利
定理较快的
道了 dM t
=
(t ) dWt
T，
，如果 M 0
此
理：若 M t :=
t
0
f ( s ) dWs ，若 X t := exp
dX t = f ( t ) X t dWt 和 M t
dX t = f ( t ) X t dWt 和 M t
二、
(
N 0,
(
N 0,
几何布朗 动（或广 几何布朗
t
0
t
0
f ( s ) ds
2
f ( s ) ds
2
动）
1
2
Mt
2
t
f ( s ) ds
2
0
)
)
标的
例
几何布朗 动
广
dBt = rBt dt
dBt = rt Bt dt
几何布朗 动
t
Bt = B0ert
Bt = B0 exp
ru du
0
dSt = St dt + St dWt
St = S0 exp
1
2
，
领 ：
们 道随机过程是 过程 M t ，
当
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dSt =
2
t + Wt
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t
St dt +
t
St dWt
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丰 副教授 2019-Dec-14
1
2
T
t
ST = St exp
+
t
X t = e rt St
Xt = e
d ( e rt St )
d e
t
= e St ( dt + dWt
rt
)
0
0
t
= e rt St dWt
=
t
e
0
t
t
Xt = X0 +
0
X u dWu , 0
t
=
T
t
ru du
ru du
e
0
r
t
=
T
s
t
2
s
ru du
ru du
dWs
St
St ( t dt + dWt
)
St dWt
t
0
u
X u dWu , 0
rt
t
t
d
L ,t :=
d
此
= exp
Wt
定 ：
(L ) =1
： L ,t 是
过程
， Xt = e
1
2
2
t
L
1
2
2
t
是
=e
0
u dWu
(L ) =1
,t
Wt
t
d
d
,t
,t
个 过程
dWt = dt + dWt
dWt = t dt + dWt
t
Wt = t + Wt
Wt =
u
0
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ds
St
Xt = X0 +
=
s
du + Wt
1
2
t
0
2
u du
t
T
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dSt = rSt dt + St dWt
St = S0 exp
r
dSt = rt St dt + t St dWt
1
2
t + Wt
2
T
t
ST = St exp
+
d
d
|
=
t
V ( St , t ) = Bt
=e
d
d
t
BT 1V ( ST , T ) |
V ( ST , T ) |
r (T t )
d
d
= Lt
|
t
t
=e 0
e
举例：如 求 C ( St , t; K , T ) ，
C ( St , t )
可
r (T t )
C ( ST , T ) |
=
e
其
Bt = e
t
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dWs
d
d
= L t ,t
t
0
V ( ST , T ) |
0
ru du
t
ru du
V ( ST , T ) |
并且假设 B0 = 1
C ( St , t; K , T )
ds
ru du
t
t
2
s
BT 1V ( ST , T ) |
T
ru du
s
t
V ( St , t ) = Bt
t
T
C ( St , t ) = e
T
=
t
1
2
rs
t
T
， BT = e
1
0
ru du
t
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C ( St , t ; K , T )
=e
r (T t )
=e
r (T t )
max ST
max ST
0
K
t
K , 0 f ( ST | St ) dST
0
max ST
K , 0 f ( ST | St ) dST
K
max ST
K , 0 f ( ST | St ) dST
r (T t )
e
K,0
= +
r (T t )
e
=e
r (T t )
K
e
=
( ST
r (T t )
e
K
K ) f ( ST | St ) dST
ST f ( ST | St ) dST
r (T t )
K
K f ( ST | St ) dST
= I1 I 2
其
log
ST St
ST
St
log
r
1
2
2
1
2
log St + r
(T
2
t ),
(T
1
即：
f ( ST St ) =
其
m ( St , t , T ) = log St + r
ST 2
(T t )
1
2
2
(T
t ),
2
exp
2
t ) ，即
(T
log ST
(T
t)
m ( St , t , T )
T t
， ST
t)
BSM 公 式 、 FEYNMAN-KAC 方 程 和
公式
2
公式
BSM 公式
Xt
St
F ( Xt ,t )
C ( St , t )
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间的联
0
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丰 副教授 2019-Dec-14
a ( Xt ,t )
rSt
b ( Xt , t )
St
F ( Xt ,t )
F ( Xt ,t )
+
t
C ( St , t ) = St
C
+
t
F ( Xt ,t )
们发 ，其实 们可 把 BSM 模
此可见， C ( St , t ) （即使
C
+
t
e
C = 0 。当然
rT
C ( ST , T )
t
：
Q-测度 ，
不奇怪，
C
+
t
Yt 满
们前面的 导
公众号： 化
技前
ID: empiricalfinance
21 / 21
2
C
S2
过程，
不满
们关 的是：
Q-测度 ， Yt := e C ( St , t ) 是
Feynman-Kac 方程，即：
【END】
St2
C = rC
rt
过程。
们可 简单
2
C
）不是 个
= e rt C ( St , t ) ，即 们承认
C 1
+
S 2
Y
+
t
Y = 0。
个