‫جمهورية العراق‬
‫وزارة التربية‬
‫املديرية العامة للمناهج‬
‫الرياضيات‬
‫للصف السادس العلمي‬
‫الفرع االحيائي‬
‫تنقيح‬
‫لجنة متخصصة في وزارة التربية‬
‫الطبعة التاسعة‬
‫‪1439‬هـ ‪2018 /‬م‬
‫اﳌﺸـﺮف اﻟﻌﻠﻤـﻲ ﻋﻠـﻰ اﻟﻄﺒﻊ‪:‬‬
‫ﺣﺴﲔ ﺻﺎدق اﻟﻌﻼق‬
‫اﳌﺸﺮف اﻟﻔﻨﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﻄﺒـﻊ‪:‬‬
‫ﺻﻼح ﺳﻌﺪ ﻣﺤﺴﻦ‬
‫اﺳﺘﻨﺎدا اﻟﻰ اﻟﻘﺎﻧﻮن ﻳﻮزع ﻣﺠﺎﻧﺎ وﳝﻨﻊ ﺑﻴﻌﻪ وﺗﺪاوﻟﻪ ﻓﻲ اﻻﺳﻮاق‬
‫مقدمة‬
‫لقد ظهرت في الكثير من دول العالم املتقدم مناهج حديثة في الرياضيات‪ ،‬وطرائق جديدة لتناولها كانت‬
‫سبب ًا في حركة ديناميكية ف ّعالة أثرت في العملية التعليمية في املدارس واجلامعات‪ ،‬وأحدثت فيها تطوير ًا‬
‫جذرياً‪ ،‬وعليه أصبح من الضروري أن يلتحق العراق بهذا الركب وان يسارع في العمل لتطوير مناهج التعليم‬
‫واساليبه وخاصة في الرياضيات التي تلعب دور ًا طليعي ًا في إرساء دعائم احلضارة واملدنية‪ ،‬فهناك عالقة‬
‫طردية بني احتياجات التنمية الصناعية والزراعية واملدنية‪ ،‬والتكنولوجيه واالقتصادية بصفة خاصة وبني‬
‫مناهج الرياضيات في املؤسسات التعليمية مبختلف مستوياتها ‪.‬‬
‫وفي ضوء خطة تطوير املناهج الدراسية بصورة عامة ومناهج الرياضيات بصورة خاصة مت تأليف هذا‬
‫الكتاب ضمن مشروع تنويع التعليم لطلبة الصف السادس العلمي‪ /‬الفرع االحيائي‪.‬‬
‫الذي هو آخر حلقة من سلسلة الرياضيات قبل اجلامعية‪ ،‬اذ تقع مادة هذا الكتاب في ستة فصول‪ ،‬تناول‬
‫الفصل االول االعداد املركبة‪ ،‬والعمليات عليها وايجاد اجلذور التربيعية‪ ،‬وحل معادالت من الدرجة الثانية في‬
‫مجموعة االعداد املركبة‪ ،‬واالحداثيات القطبية واخير ًا مقياس العدد املركب وسعته وكتابته بداللتيهما‪.‬‬
‫اما الفصل الثاني فقد احتوى على القطوع املخروطية متضمنة القطوع املخروطية (املكافيء‪ ،‬الناقص‪،‬‬
‫الزائد) واملعادلة القياسية لكل منها في حاالت خاصة‪ ،‬واالختالف املركزي لكل قطع مخروطي ‪.‬‬
‫واشتمل الفصل الثالث على املشتقات العليا للدوال القابلة لالشتقاق واملعدّ الت الزمنية‬
‫والقيم العظمى والصغرى احمللية ومبرهنة رول ومبرهنة القيمة املتوسطة والتقريب باستخدامها‪ ،‬والتقعر‬
‫والتحدب ورسم بيان بعض كثيرات احلدود واحلدوديات النسبية‪ ،‬اما اشتقاق الدوال االسية واللوغارمتية فقد‬
‫عرضت في الفصل الرابع الذي احتوى على موضوع التكامل وتطبيقاته‪ ،‬اذ مت التطرق الى املبرهنة االساسية‬
‫للتكامل‪.‬‬
‫ثم التركيز على ايجاد تكامالت الدوال اجلبرية واللوغارمتية واالسية والدائرية وايجاد املساحة بني منحنيني‬
‫وبني منحني ومحور السينات وحجوم املجسمات الدورانية واحتوى الفصل اخلامس على موضوع املعادالت‬
‫التفاضلية والذي اقتصر على املفاهيم اخلاصة باملعادالت التفاضلية (الرتبة‪ ،‬الدرجة‪ ،‬احلل)‪.‬‬
‫ولم يركز عند حل املعادالت التفاضلية اال على فصل املتغيرات‪ ،‬واملعادالت املتجانسة‪.‬‬
‫اما الفصل االخير فقد تضمن تكملة ملا درسه الطالب في الصف اخلامس العلمي من مادة الهندسة‬
‫املجسمة واملتعلقة بالزاوية الزوجية واملستويات املتعامدة ومفاهيم االسقاط العمودي واملبرهنات املتعلقة‬
‫بهذه املوضوعات‪.‬‬
‫وقد روعي في هذا الكتاب وجود قدر كاف من التطبيقات احلياتية والفيزيائية واالمثلة واملسائل والتمرينات‬
‫املنوعة ‪ ،‬وتوخينا جهد امكاننا ان تترابط موضوعات هذا الكتاب مع كتب الرياضيات للصفوف التي سبقته‬
‫ومع ما يدرسه الطلبة في دراستهم الالحقة فض ً‬
‫ال عن مراعاة الفروق الفردية بني الطلبة‪.‬‬
‫آملني ان نكون قد وفقنا في ذلك كله ‪ ،‬ومرحبني بكل نقد بناء من الطلبة واولياء امورهم او مدرسيهم او‬
‫من ذوي االختصاص واالهتمام إلثراء الكتاب وتطويره‬
‫واهلل ولي التوفيق‬
‫جلنة التنقيح‬
‫المحتويات‬
‫‪1‬‬
‫الفصل االول‬
‫(‪ )18‬حصـة‬
‫‪5‬‬
‫‪42‬‬
‫‪2‬‬
‫الفصل الثاني‬
‫(‪ )18‬حصـة‬
‫‪43‬‬
‫‪73‬‬
‫‪3‬‬
‫الفصل الثالث (‪ )48‬حصـة‬
‫‪135 74‬‬
‫‪4‬‬
‫الفصل الرابع‬
‫(‪ )36‬حصـة‬
‫‪178 136‬‬
‫‪5‬‬
‫الفصل اخلامس (‪ )18‬حصـة‬
‫‪198 179‬‬
‫‪6‬‬
‫الفصل السادس (‪ )12‬حصة‬
‫‪220 199‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫االعداد املركبة‬
‫‪Complex Numbers‬‬
‫الف�صل االول‬
‫‪Chapter One‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫[‪]1-1‬‬
‫احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية‪.‬‬
‫[‪]1-2‬‬
‫العمليات على مجموعة االعداد املركبة‪.‬‬
‫[‪]1-3‬‬
‫مرافق العدد املركب‪.‬‬
‫[‪]1-4‬‬
‫اجلذور التربيعية للعدد املركب‪.‬‬
‫[‪]1-5‬‬
‫حل املعادلة التربيعية في ‪.C‬‬
‫[‪]1-6‬‬
‫التمثيل الهندسي لالعداد املركبة‪.‬‬
‫[‪]1-7‬‬
‫الصيغة القطبية للعدد املركب‪.‬‬
‫[‪]1-8‬‬
‫مبرهنة دميواڤر‪.‬‬
‫املصطلح‬
‫اجلزء احلقيقي للعدد ‪R (z):z‬‬
‫اجلزء التخيلي للعدد ‪I (z): z‬‬
‫سعة العدد املركب ‪z‬‬
‫مقياس العدد املركب ‪z‬‬
‫الطرف االيسر‬
‫الطرف االمين‬
‫األعداد الكلية‬
‫االعداد الطبيعية‬
‫االعداد الصحيحة‬
‫االعداد النسبية‬
‫االعداد احلقيقية‬
‫االعداد املركبة‬
‫الرمز او العالقة الرياضية‬
‫‪R(z) = x = r cos θ‬‬
‫‪I (z) = y = r sin θ‬‬
‫‪arg (z) = θ‬‬
‫‪r = ||z|| = mod z‬‬
‫‪LHS‬‬
‫‪RHS‬‬
‫‪w‬‬
‫‪N‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫‪C‬‬
‫‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫[‪ ]1-1‬احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية‪.‬‬
‫لقد درسنا في الصفوف السابقة حل املعادلة اخلطية (‪ ،)Linear Equation‬وعرفنا انه يوجد حل‬
‫واحد في مجموعة االعداد احلقيقية الية معادلة خطية‪.‬‬
‫وعند دراستنا للمعادلة التربيعية تبني أنه لنوع معني منها حل في مجموعة االعداد احلقيقية‪ ،‬ونوع آخر ال‬
‫يوجد لها حل في هذه املجموعة‪ ،‬مثل املعادالت ‪ )x2 + 4x+ 5 =0) ، ( x2 + 1 = 0(:‬وكما تعلمت‬
‫ان املعادالت التربيعية التي يكون مميزها (‪ )b2 - 4ac‬عدد ًا سالب ًا ال يوجد لها حل في مجموعة االعداد‬
‫احلقيقية‪.‬‬
‫ان ظهور مثل هذه املعادالت في العديد من التطبيقات الفيزياوية والهندسية ادى الى احلاجة الى توسيع‬
‫مجموعة االعداد احلقيقية الى مجموعة اوسع منها هي مجموعة االعداد املركبة والتي سوف تكون موضوع‬
‫دراستنا في هذا الفصل‪.‬‬
‫إننا عندما نريد حل املعادلة (‪ )x2+1=0‬أو (‪ )x2=-1‬الجند عدد ًا حقيقي ًا مربعه يساوي (‪)-1‬‬
‫لذلك نفترض وجود عدد يساوي ‪ −1‬وهو غير حقيقي ونرمز له بالرمز (‪ )i‬ويسمى الوحدة التخيلية‬
‫(‪ )Imaginary Unit‬وهو ليس من االعداد التي تقرن مع العد أو القياس‪.‬‬
‫إن العدد (‪ )i‬يحقق اخلواص اجلبرية لالعداد احلقيقية ما عدا خاصية الترتيب‪ ،‬ولهذا نستطيع حساب‬
‫قوى (‪ )i‬كما في األمثلة اآلتية‪:‬‬
‫‪i2 = -1‬‬
‫‪i3 = i2. i = (-1).i = -i‬‬
‫‪i4 = i2. i2 = (-1) (-1) = 1‬‬
‫‪i27 = i26.i = (i2)13.i = (-1)13.i = -i‬‬
‫‪i81 = i80.i= (i2)40.i = (-1)40.i = 1.i = i‬‬
‫‪i-7 = (i)-8.i = (i2)-4.i = (-1)-4 . i = i‬‬
‫‪i-15= i-16.i = (i2)-8.i = (-1)-8 . i = i‬‬
‫‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫وبصورة عامة يكون‬
‫حيث‬
‫‪i4n+r = ir , n ∈w , r= 0, 1, 2, 3‬‬
‫حيث }‪w={0,1,2,...‬‬
‫‪whole Numbers‬‬
‫وهذا يعني انه عند رفع (‪ )i‬لعدد صحيح موجب فالناجت يكون احد عناصر املجموعة { ‪}- i, i , -1 ,1‬‬
‫حيث نقسم أس (‪ )i‬على (‪ )4‬والباقي هو األس اجلديد الى (‪.)i‬‬
‫فمث ً‬
‫ال ‪:‬‬
‫مثال‪-1 -‬‬
‫‪i25 = i‬‬
‫‪i99 = i3 = -i‬‬
‫ألن ناجت قسمة ‪ 25‬على ‪ 4‬يساوي ‪ 6‬والباقي ‪.1‬‬
‫ألن ناجت قسمة ‪ 99‬على ‪ 4‬يساوي ‪ 24‬والباقي ‪. 3‬‬
‫اكتب ما يلي في ابسط صورة‪:‬‬
‫‪(a) i16 (b) i58 (c) i12n+93 (d) i-13‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫‪(a) i16 = i4 (4) + 0 = i0 = 1‬‬
‫‪(b) i58 = i4 (14) + 2 = i2 = -1‬‬
‫‪(c) i12n+93= (i4)3n . i93 = (1)3n i4(23)+1=(1)(i)=i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i16‬‬
‫‪-13‬‬
‫‪(d) i = 13 = 13 =i3 = -i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫مالحظـة‬
‫ميكننا كتابة اجلذور التربيعية ألي عدد حقيقي سالب بداللة ‪ i‬فمث ً‬
‫ال‪:‬‬
‫‪−16 = 16 . −1 = 4 ii‬‬
‫‪−25 = 25 . −1 = 5 ii‬‬
‫‪−12 = 12 . −1 = 2 3 ii‬‬
‫‪−15 = 15 . −1 = 15 ii‬‬
‫‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫وبصورة عامة يكون‬
‫‪if a ≥ 0 then −a = a . −1 = a ii , ∀ a≥0‬‬
‫واآلن بعد أن تعرفنا على العدد التخيلي ماذا نسمي العدد (‪ )a+bi‬حيث ‪ a‬عدد حقيقي‪ b ،‬عدد‬
‫حقيقي‪i = −1 =،‬؟‬
‫‪i‬‬
‫تعـــريـف [‪]1-1‬‬
‫يقــــال للعــــدد‬
‫‪ c = a+bi‬حيــث ‪ a,b‬عـــددان‬
‫حقيقيـان= ‪−1‬‬
‫‪i‬‬
‫مـــــركب‬
‫= ‪ i‬عــــد ٌد‬
‫ٌ‬
‫(‪ ،)Complex Number‬يسمى ‪ a‬جزؤه احلقيقي( ‪ ) Real Part‬ويسمى ‪ b‬جزؤه التخيلي‬
‫(‪ .)Imaginary Part‬ويرمز الى مجموعة االعداد املركبة بالرمز ‪ C‬ويقال للصيغة ‪a +bi‬‬
‫الصيغة العادية أو اجلبرية للعدد املركب‪.‬‬
‫ان اي عدد مركب ‪ c = a + bi‬ميكن جعله مناظر ًا للزوج‬
‫مالحظـة‬
‫املرتب الوحيد (‪)a,b‬‬
‫اذ أن ‪ b,a‬عددان حقيقيان‪ ،‬وبالعكس فالعدد احلقيقي ‪ a‬ميكن كتابته بالشكل ‪ a+0i‬أو (‪ .)a,0‬وان‬
‫العدد ‪ ) Imaginary Unit) i‬حيث ان‪ i ⇔ (0,1 ( :‬او ‪. i= 0+1i‬‬
‫يقال للعدد ‪ )0 , b( ⇔ bi‬عدد تخيلي بحت ( ‪ )pure Imaginary Number‬والعدد‬
‫‪ )a , 0( ⇔ a= a+0i‬إنه عدد حقيقي بحت (‪. )Pure Real Number‬‬
‫فالعدد ‪ -2 + 3i‬عدد مركب ‪ ،‬جزؤه احلقيقي‬
‫‪ -2‬وجزؤه التخيلي ‪3‬‬
‫عدد مركب ‪ ،‬جزؤه احلقيقي‬
‫‪ -2‬وجزؤه التخيلي ‪0‬‬
‫والعدد‬
‫‪-2‬‬
‫اما العدد ‪-3i‬‬
‫‬
‫فهي عدد مركب ‪ ،‬جزؤه احلقيقي ‪ 0‬وجزؤه التخيلي ‪-3‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫مثال‪-2 -‬‬
‫اكتب األعداد اآلتية على صورة ‪: a+bi‬‬
‫‪d) 1+ −25‬‬
‫‪4‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫‪c)−1− −3‬‬
‫‪b) −100‬‬
‫‪a)− 5‬‬
‫‪− 5 = −5 + 0a)i − 5 = −5 + 0 ii‬‬
‫‪−1 =i10 i = 0 +10 ii‬‬
‫)‪−100 = b‬‬
‫‪100 −100‬‬
‫‪−1 = =10 100‬‬
‫‪i = 0 +10‬‬
‫‪−1 −3 −3‬‬
‫)‪−1 − −3 c‬‬
‫‪= −1−‬‬
‫‪−1==−1−‬‬
‫‪−1− 33 ii−1 = −1− 3 i‬‬
‫‪1+ −25 1 1+ 25−25−1 1 1 25‬‬
‫‪5 i−1 1 5 i‬‬
‫‪== ++ i‬‬
‫‪= + i‬‬
‫‪= d)+‬‬
‫‪44‬‬
‫‪44 4 4‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫مبا ان كل عدد حقيقي ‪ a‬ميكن كتابته بالشكل ‪ a+ 0i‬أو (‪ )a ,0‬اي ميكن كتابته على صورة عدد‬
‫مركب جزؤه التخيلي صفر فان هذا يبني أن ‪:‬‬
‫مجموعة االعداد احلقيقية ‪ R‬هي مجموعة جزئية من مجموعة‬
‫مالحظـة‬
‫االعداد املركبة ‪ C‬اي ان ‪. R ⊃ C‬‬
‫تعـــريـف [‪]1-2‬‬
‫اذا كان ‪c1 = a1 + b1i , c2 = a2 + b2i :‬‬
‫فإ َّن ‪:‬‬
‫‪c1 = c2 ⇔ a1 = a2 , b1 = b2‬‬
‫اي يت�ساوى العددان املركبان اذا ت�ساوى جزءاهما احلقيقيان وت�ساوى جزءاهما التخيليان‬
‫وبالعك�س‪.‬‬
‫‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫مثال‪- 3 -‬‬
‫جد قيمة كل من ‪ y , x‬احلقيقيتني اللتني حتققان املعادلة في كل مما يأتي ‪.‬‬
‫‪a) 2x -1 +2i = 1+(y+1)i .‬‬
‫‪b) 3x+4i = 2 +8yi‬‬
‫‪c) (2y+1) - (2x-1)i = -8+ 3i‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫‪a) ∵ 2x-1 +2i = 1+(y+1)i‬‬
‫‪∴ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2‬‬
‫‪⇒ x =1‬‬
‫‪2 = y+1 ⇒ y = 2-1‬‬
‫‪∴ y=1‬‬
‫‪b) 3x+4i = 2 + 8yi‬‬
‫⇒ ‪∴ 3x = 2 , 4 = 8y‬‬
‫‪x= 2 , y = 4 = 1‬‬
‫‪8 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪c) ∵ (2y+1) - (2x-1)i = -8 + 3i‬‬
‫⇒ ‪∴ 2y+1 = - 8 , - (2x -1 ) = 3‬‬
‫⇒ ‪2y = -9 , -2x = 2‬‬
‫‪y = −9 , x = -1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫[‪ ]1-2‬العمليات على مجموعة االعداد املركبة‪.‬‬
‫او ً‬
‫ال‪ :‬عملية اجلمع على جمموعة االعداد املركبة ‪:‬‬
‫تعـــريـف [‪]1-3‬‬
‫ليكن ‪ c2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1i‬حيث ‪ c1, c2 ∋ C‬فان‬
‫‪c1 + c2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) i‬‬
‫وكما تعلم أن‪ ) a1 + a2) ∈ R ،(b1 +b2 ) ∈ R :‬الن مجموعة االعداد احلقيقية مغلقة‬
‫حتت عملية اجلمع ‪.‬‬
‫‪∴ (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) i ∈ C‬‬
‫اي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة حتت عملية اجلمع‪.‬‬
‫مثال‪-4 -‬‬
‫احلل ‪:‬‬
‫جد مجموع العددين املركبني في كل مما يأتي ‪:‬‬
‫‪a)3+ 4 2i,i 5 − 2 2ii‬‬
‫‪b)3, 2 − 5ii‬‬
‫‪c)1−i,‬‬
‫‪i 3ii‬‬
‫‪a)(3+ 4 2i)+(5‬‬
‫)‪− 2 2i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i = (3+ 5)+(4 2 −2 2 )ii‬‬
‫‪= 8+2 2 i‬‬
‫‪i = (3+ 0i)+(2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪b)(3)+(2 − 5i‬‬
‫)‪− 5i‬‬
‫‪= (3+ 2)+(0 − 5)ii = 5 − 5ii‬‬
‫‪i 3ii = (1−i)+(0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪c)(1−i)+‬‬
‫)‪+ 3i‬‬
‫‪= (1+ 0)+(−1+ 3)ii =1+ 2ii‬‬
‫‪11‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫خوا�ص عملية اجلمع على جمموعة االعداد املركبة‬
‫تتمتع عملية اجلمع على االعداد املركبة باخلواص اآلتية‪:‬‬
‫* اخلاصية االبدالية ‪(Commutativity) .‬‬
‫* اخلاصية التجميعية‪(Associativity) .‬‬
‫* النظير اجلمعي‪(Additive Inverse) .‬‬
‫فان‪:‬‬
‫‪∀c1, c2, c3 ∈ C‬‬
‫‪(1) c1 + c2 = c2 + c1‬‬
‫‪(2) c1 + (c2 +c3) = (c1 + c2) +c3‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪∀c ∈£‬‬
‫‪∈£C,, cc == aa ++ bi‬‬
‫‪bi ∃∃ zz ∈£‬‬
‫⇒ ‪∈£C :: cc ++ zz == zz++ cc == 00‬‬
‫‪⇒ zz == −c‬‬
‫‪−c == −a‬‬
‫‪−a −− bi‬‬
‫‪bi‬‬
‫‪∀c‬‬
‫*العنصر احملايد اجلمعي‪ Additive Identity .‬يرمز له بالرمز ‪ e‬و ُيعرف ‪(4) e = 0 = 0 + 0i ∈ C‬‬
‫مما سبق نستنتج أن‬
‫)‪ ( , +‬هي زمرة ابدالية )‪(Commutative Group‬‬
‫‪C‬‬
‫ان طرح أي عدد مركب من آخر يساوي حاصل جمع العدد‬
‫مالحظـة‬
‫املركب االول مع النظير اجلمعي للعدد املركب الثاني‪.‬‬
‫مثال‪-5 -‬‬
‫جد ناجت ‪:‬‬
‫)‪(7-13i) - (9+4i‬‬
‫احلل ‪:‬‬
‫)‪(7-13i) - (9+4i‬‬
‫)‪=(7-13i) + (-9 -4i‬‬
‫‪=(7-9) + (-13 - 4)i‬‬
‫‪= -2 - 17i‬‬
‫‪12‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫مثال‪-6 -‬‬
‫حل املعادلة‪:‬‬
‫‪(2-4i) +x=-5+i‬‬
‫حيث ‪x ∈ C‬‬
‫احلل ‪:‬‬
‫‪(2-4i) +x= -5+i‬‬
‫باضافة النظير اجلمعي للعدد (‪ )2-4i‬للطرفني‬
‫)‪(2-4i)+(-2+4i)+x = (-5+i)+(-2+4i‬‬
‫)‪∴ x = (-5+i)+(-2+4i‬‬
‫‪= (-5-2)+(1+4)i‬‬
‫‪x = -7+5i‬‬
‫ثاني ًا‪ :‬عملية ال�ضرب على جمموعة االعداد املركبة ‪:‬‬
‫اليجاد عملية ضرب عددين مركبني نقوم بضربهما بصفتهما مقدارين جبريني ونعوض بد ًال من ‪ i2‬العدد‬
‫(‪ )-1‬كما يأتي‪:‬‬
‫اذا كان ‪c1 = a1 +b1i‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ c2 = a2 + b2i‬فان‬
‫)‪c1. c2 = (a1+b1i) (a2 + b2i‬‬
‫‪= a1a2 + + a1 b2i + a2 b1i + b1 b2i2‬‬
‫‪= a1 a2 + a1 b2i + a2 b1i - b1b2‬‬
‫‪= (a1a2 - b1b2 )+ (a1 b2 + a2b1)i‬‬
‫مالحظـة‬
‫اذا كان ‪،‬‬
‫‪m ∈R‬‬
‫‪ c = a + b i‬فان‬
‫‪mc= ma+mb i‬‬
‫‪13‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫تعـــريـف [‪]1-4‬‬
‫ليكن ‪ c2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1i‬حيث ‪ c1,c2 ∈ C‬فان ‪:‬‬
‫‪c1 . c2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i‬‬
‫وكما تعلم ‪ (a1a2 - b1b2) ∈ R :‬وان ‪ (a1b2 + a2 b1) ∈ R‬الن‬
‫‪ R‬مغلق حتت عملية الضرب‬
‫لذلك فان ‪c1 . c2 ∈ C‬‬
‫أي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة حتت عملية الضرب‪.‬‬
‫مثال‪-7 -‬‬
‫جد ناجت كال مما يأتي ‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪a)(2 − 3i)(3−‬‬
‫)‪5i‬‬
‫)‪b)(3+ 4i‬‬
‫‪i2‬‬
‫)‪c)i(1+i‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪d)− (4+3i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪e)(1+i‬‬
‫)‪i +(1−i‬‬
‫‪i‬‬
‫احلل ‪:‬‬
‫‪a)(2 − 3i)(3−‬‬
‫)‪5i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i = (6 −15)+ (−10 − 9)ii‬‬
‫‪= −9 −19ii‬‬
‫او ميكن ايجاد حاصل الضرب بالتوزيع‬
‫‪2‬‬
‫‪(2-3i)(3-5i)=6-10i-9i+15i = -9-19i‬‬
‫)‪b)(3+ 4i‬‬
‫‪i 2 = 9 + 24ii +16ii2‬‬
‫‪= 9 + 24ii −16‬‬
‫‪= −7 + 24ii‬‬
‫أو‬
‫)‪(3+4i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i = (9 - 16) + (12+12) ii = -7 +24ii‬‬
‫)‪i 2 = (3+4i)(3+4i‬‬
‫)‪c)i(1+i‬‬
‫‪i i = i +ii2 = −1+ii‬‬
‫‪14‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫‪5‬‬
‫‪15‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪d)− (4+3i)=−10−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪i 2 +(1−i‬‬
‫‪i 2 =(1+2i+i‬‬
‫‪i i2 )+(1−2i+i‬‬
‫) ‪i i2‬‬
‫)‪e)(1+i‬‬
‫‪= 2i+(-2i)= 0‬‬
‫خوا�ص عملية ال�ضرب على جمموعة االعداد املركبة‬
‫تتمتع عملية الضرب على االعداد املركبة باخلواص اآلتية‪:‬‬
‫‪∀c1, c2, c3 ∈ C‬‬
‫‪(1) c1 × c2 = c2 × c1‬‬
‫* اخلاصية االبدالية ‪(Commutativity) .‬‬
‫‪(2) c1 × (c2 ×c3) = (c1 × c2) ×c3‬‬
‫* اخلاصية التجميعية‪(Associativity) .‬‬
‫* يتوفر العنصر احملايد الضربي )‪ (Multiplicative Identity‬وهو )‪(3) 1= (1+0i‬‬
‫* النظير الضربي (‪)Multiplicative Inverse‬‬
‫‪(4) ∀c ≠ 0 + 0i , ∃ z ≠ 0 + 0i : c z = z c = 1 ⇒ z = 1‬‬
‫‪c‬‬
‫اي ان لكل عدد مركب ‪c‬عدا الصفر يوجد له نظير ضربي ‪( 1‬يختلف عن الصفر) ينتمي الى‬
‫‪c‬‬
‫‪C‬‬
‫مجموعة االعداد املركبة‪.‬‬
‫اي ان‪ (C-(0+0i) ,×) :‬زمرة ابدالية‬
‫اي ان‪ (C, + , ×) :‬حقل يسمى حقل االعداد املركبة‬
‫[‪ ]1-3‬مرافــــق العــدد املــركب ‪Conjugate Number‬‬
‫تعـــريـف [‪]1-5‬‬
‫مرافق العدد املركب ‪ c=a+bi‬هو العدد املركب ‪∀ a, b∈R ، c = a-bi‬‬
‫فمثالً‪ 3+i :‬هو مرافق العدد ‪ 3-i‬وبالعكس‪ ،‬وكذلك مرافق (‪ )i‬هو (‪ )-i‬وبالعكس ‪.‬‬
‫وان ‪ 5-4i‬مرافق ‪ 5+4i‬وبالعكس‪ ،‬وكذلك مرافق العدد ‪ 7‬هو ‪. 7‬‬
‫‪15‬‬
Complex Numbers ‫اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ‬
:‫ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﳌﺮﺍﻓﻖ ﺃﻧﻪ ﻳﺤﻘﻖ ﺍﳋﻮﺍﺹ ﺍﻵﺗﻴﺔ‬
‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬
1) c1 ± c2 = c1 ± c2
1
2 1+ 2i 2 + 2i
g c2 = c1 ×g c2
= 2) c=
1×
2 − 2i 22−+2i2i 2 + 2i
3) c = c
1
2 + 2i
= 4) c ×. c = a 2 + b2 ‫ ﻓﺎن‬c = a + bi ‫اذا ﻛﺎن‬
2 − 2i 2 + 2i
5) c = c ‫ ﻓﺎن‬c ∈ R ‫اذا ﻛﺎن‬
6)  c1  = c1 , c2 ≠ 0
 c2  c2
(1) c1 ± c2 = c1 ± c2
: ‫ ﻓﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ‬c1 = 1 + i , c2 = 3 - 2i ‫اذا ﻛﺎن‬
1
21+ 2i 2 + 2i
=(2) c=1 ×g c2 = c1 ×g c2
2 − 2i 22−+2i2i 2 + 2i
-8 -‫ﻣﺜﺎل‬
:‫اﳊﻞ‬
(1) c1 + c2 = (1+ ii) + (3 − 2i)
i
= (4 −i)
i = 4 +ii
c1 + c2 = (1+ ii) + (3 − 2i)
i
i
i = 4 +ii
= (1−i)+(3+
2i)
∴ c1 + c2 = c1 + c2
c1 − c2 = c1 − c2 ‫ﺗﺄﻛﺪ ﺑﻨﻔﺴﻚ ان‬
1
2 + 2i
i
= (2) c1 ×g c2 = (1+i)(3−
2i)
i
2 − 2i 2 + 2i
= 3− 2ii+ 3ii− 2ii2 = 5 + i = 5 − i
1
2 + 2i
c1 ×. c2 = (1+ ii) (3− 2i)
i = (1- i) ( 3+2i)
=
2 − 2i 2 + 2i
= (3+ 2)+ (2 − 3)ii = 5 −ii
=
1
21+ 2i 2 + 2i
×
∴ c=
g c2
1 g c2 = c1 ×
2 − 2i 22−+2i2i 2 + 2i
16
‫اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ ‪Complex Numbers‬‬
‫ﻣﺜﺎل‪-9 -‬‬
‫اﳊﻞ‪:‬‬
‫ﻣﺜﺎل‪-10 -‬‬
‫اﳊﻞ‪:‬‬
‫ﻣﺜﺎل‪-11 -‬‬
‫ﺟﺪ اﻟﻨﻈﻴﺮ اﻟﻀﺮﺑﻲ ﻟﻠﻌﺪد ‪ c = 2 - 2i‬وﺿﻌﻪ ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﻌﺎدﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﳌﺮﻛﺐ‪.‬‬
‫اﻟﻨﻈﻴﺮ اﻟﻀﺮﺑﻲ ﻟﻠﻌﺪد ‪ c‬ﻫﻮ ‪1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪c 2 − 2ii‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 + 2ii‬‬
‫‪2 + 2ii 2+ 2ii‬‬
‫×‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2 − 2ii 2 + 2ii‬‬
‫‪4+ 4‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫‪1 1‬‬
‫‪+ i‬‬
‫‪4 4‬‬
‫=‬
‫‪x − yi 3,−3−‬‬
‫‪2ii 2i‬‬
‫ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﻌﺎد ّﻳﺔ‬
‫اﻟﻌﺪد‬
‫اﳌﺮﻛﺐ‪.‬ﻣﻦ ‪. x, y ∈ R‬‬
‫ﻟﻠﻌﺪدﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ‬
‫ﻣﺘﺮاﻓﻘﺎن ﻓﺠﺪ‬
‫ﺿﻊﻛﺎن‬
‫اذا‬
‫=‬
‫‪1+ 5i 5 + iii‬‬
‫‪3 − 2i  x − yi ‬‬
‫‪=‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪5i‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪3 − 2i 3 − 2i 5 − i‬‬
‫=‬
‫×‬
‫‪3−‬‬
‫‪5 +2iii = x5++yii 5 − ii‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1− 5i‬‬
‫‪− 2)+−(−3−10)i‬‬
‫‪xi + yi 2==(15‬‬
‫‪3−15i‬‬
‫‪2i +10i 2 i = 13 − 13ii‬‬
‫‪26‬‬
‫‪25 +1‬‬
‫‪xi −xiy−=y−7‬‬
‫‪−17i‬‬
‫‪7=−17i‬‬
‫‪−7‬‬
‫‪−17i‬‬
‫∴∴‬
‫‪x =x−17‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪= −17‬‬
‫‪= − i‬‬
‫‪y =y7= 7‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ c‬‬
‫اذا ﻛﺎن ‪ c2 = 1 + i , c1 = 3 - 2i‬ﻓﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ‪:‬‬
‫=‪‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫اﳊﻞ ‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ c1   3 − 2ii ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ =‬‬
‫‪ c2   1+ i ‬‬
‫‪17‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫‪ 3 − 2ii 1− i   3 − 3ii − 2ii + 2ii2 ‬‬
‫‪=‬‬
‫×‬
‫‪ =‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1+ ii 1− ii  ‬‬
‫‪1+ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1− 5ii  1 5‬‬
‫‪1 5‬‬
‫‪=‬‬
‫‪ = − i = + ii‬‬
‫‪ 2  2 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪c1 c1 3 − 2ii 3 + 2ii‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪i‬‬
‫‪1− ii‬‬
‫‪c‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 + 2ii 1+ ii 3 + 3ii + 2ii + 2ii2‬‬
‫=‬
‫×‬
‫=‬
‫‪1+ 1‬‬
‫‪1− ii 1+ ii‬‬
‫‪1+ 5ii 1 5‬‬
‫‪= + ii‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫=‬
‫‪ c‬‬
‫=‪‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪∴‬‬
‫‪c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫الجراء قسمة العدد املركب ‪ c1‬على العدد املركب ‪ c2‬حيث‬
‫‪ c2≠0‬فاننا نضرب بسط ومقام املقدار ‪ c1‬مبرافق املقام فيكون‪:‬‬
‫مالحظـة‬
‫‪c2‬‬
‫‪c1 c1 c2‬‬
‫× =‬
‫‪c2 c2 c2‬‬
‫مثال‪-12 -‬‬
‫ضع ك ً‬
‫ال مما يأتي بالصورة ‪:a+bi‬‬
‫‪1+ 2ii‬‬
‫‪−2 + ii‬‬
‫‪18‬‬
‫)‪c‬‬
‫‪2 −i‬‬
‫‪3+ 4ii‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪1+ ii‬‬
‫‪1− ii‬‬
‫)‪a‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫‪1+ i 1+ ii 1+ i 1+ 2ii + i 2 2ii‬‬
‫=‬
‫×‬
‫=‬
‫‪= = i = 0+i‬‬
‫‪1− i 1− i 1+ i‬‬
‫‪1+1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 −i‬‬
‫‪2 − i 3 − 4ii 6 − 8ii − 3ii + 4ii 2 = 2 −11ii = 2 − 11 i‬‬
‫=‬
‫×‬
‫=‬
‫‪25‬‬
‫‪25 25‬‬
‫‪3+ 4ii 3+ 4ii 3 − 4ii‬‬
‫‪9 + 16‬‬
‫‪−5ii‬‬
‫‪= −ii = 0 − i‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫)‪a‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪−2 − i − 4ii − 2ii‬‬
‫‪1+ 2ii 1+ 2ii −2 − ii‬‬
‫=‬
‫)‪c‬‬
‫=‬
‫×‬
‫‪4 +1‬‬
‫‪−2 + i −2 + i −2 − i‬‬
‫مالحظـة ميكن حتليل ‪ x2+y2‬الى حاصل ضرب عددين مركبني كل‬
‫منهما من الصورة ‪ a+bi‬وذلك ‪:‬‬
‫)‪x2 +y2 = x2 - y2 i2 = (x-yi)(x+yi‬‬
‫مثال‪-13 -‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫حلل ك ً‬
‫ال من العددين ‪ 53 ، 10‬الى حاصل ضرب عاملني من صورة ‪ a+bi‬حيث ‪b,a‬‬
‫عددين نسبيني ‪.‬‬
‫‪10 = 1+9‬‬
‫او‬
‫‪● 10 = 9 + 1‬‬
‫‪= 1-9i2‬‬
‫‪= 9-i2‬‬
‫)‪= (1-3i)(1+3i‬‬
‫)‪= (3-i)(3+i‬‬
‫‪53 = 4 + 49‬‬
‫او‬
‫‪●53 = 49 + 4‬‬
‫‪= 4 - 49i2‬‬
‫‪= 49 - 4i2‬‬
‫)‪= (2-7i)(2+7i‬‬
‫)‪= (7 - 2i ) (7 + 2i‬‬
‫‪19‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫‪)1‬‬
‫ت‬
‫مارين (‬
‫‪-1‬‬
‫‪ .1‬ضع ك ً‬
‫ال مما يأتي بالصيغة العادية للعدد املركب‪:‬‬
‫)‪i5 , i6 , i124 , i999 , i4n+1 ∀ n ∈ w , (2+3i)2 + (12+2i‬‬
‫‪, 12 +ii , , 3+ 4ii ,‬‬
‫‪3 − 4ii‬‬
‫‪ii‬‬
‫‪(10 + 3i)(0 + 6i) , (1+i)4 - (1-i)4‬‬
‫‪2 + 3ii 1+ 4ii‬‬
‫×‬
‫‪. , (1+i)3 + (1-i)3‬‬
‫‪1− i‬‬
‫‪4 +i‬‬
‫‪ .2‬جد قيمة كل من ‪ y , x‬احلقيقيتني اللتني حتققان املعادالت اآلتية‪:‬‬
‫)‪i + 2i‬‬
‫‪i +1‬‬
‫‪b) 8ii = (x + 2i)(y‬‬
‫‪d) 2 − i x + 3 − i y = 1‬‬
‫‪1+ i‬‬
‫‪2+i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ .3‬اثبت ان ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(1− i ) (1+ i‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= −2‬‬
‫‪1+ i‬‬
‫‪1− i‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3+ i ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ ,,‬‬
‫‪,, ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2 + 3ii‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪a) y + 5ii = (2x + ii)(x + 2i‬‬
‫‪ 1− i ‬‬
‫‪i2‬‬
‫)‪+ (x + yi‬‬
‫)‪i = (1+ 2i‬‬
‫‪c) ‬‬
‫‪ 1+ i ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪i‬‬
‫‪25‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪( 2 + i )2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪( 2 − i )2‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪c) (1− ii)(1− i 2 )(1− i 3 ) = 4‬‬
‫‪ .4‬حلل ك ً‬
‫ال من االعداد ‪ 29 ،125 ، 41 ، 85‬الى حاصل ضرب عاملني من الصورة ‪ a+ bi‬حيث ‪b, a‬‬
‫عددان نسبيان‪.‬‬
‫‪ -5‬جد قيمة ‪ y , x‬احلقيقيتني اذا علمت ان ‪6‬‬
‫‪ 3 + i ,‬مترافقان ‪.‬‬
‫‪2−i‬‬
‫‪x + yi‬‬
‫‪20‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫[‪ ]1-4‬اجلذور التربيعية للعدد املركب ‪.‬‬
‫لقد تعلمت أنه اذا كان ‪ a‬عدد ًا حقيقي ًا موجب ًا فانه يوجد عددان حقيقيان هما ‪ ± a‬يحقق كل منهما‬
‫املعادلة ‪ x2 = a‬ويسمى ‪ ± a‬اجلذرين التربيعيني للعدد ‪ .a‬أما اذا كان ‪ a = 0‬فان له جذر واحد هو ‪.0‬‬
‫واآلن سنتناول دراسة اجلذور التربيعية للعدد املركب ‪.‬‬
‫مثال‪-14 -‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫جد اجلذور التربيعية للعدد ‪.c = 8 + 6i‬‬
‫نفرض ان اجلذر التربيعي للعدد ‪ c‬هو ‪x + yi‬‬
‫⇒ ‪i 2 = 8 + 6ii‬‬
‫)‪∴ (x + yi‬‬
‫⇒ ‪x 2 + 2xyii+ i 2 y2 = 8 + 6ii‬‬
‫⇒ ‪(x 2 − y2 ) + 2xyii = 8 + 6ii‬‬
‫‪x 2 − y2 = 8.................(1)‬‬
‫‪‬‬
‫من تعريف تساوي عددين مركبني ‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2xy = 6 ⇒ y = .......(2)‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫وبالتعويض من املعادلة (‪ )2‬في املعادلة (‪ )1‬ينتج ‪:‬‬
‫⇒ ‪x2 −   = 8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪9‬‬
‫بضرب الطرفني في‪ x2 ≠ 0‬ينتج ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‪x − 2 =8‬‬
‫‪x‬‬
‫⇒ ‪x 4 − 8x 2 − 9 = 0‬‬
‫⇒ ‪(x 2 − 9)(x 2 +1) = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ) x = −1‬تهمل الن ‪( xX ∈ R‬‬
‫وبالتعويض في املعادلة (‪ )2‬عن قيمة ‪ x‬نحصل على ‪:‬‬
‫‪x 2 = −1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪±3‬‬
‫او‬
‫‪x = ±3 or‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪∴ y = ±1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫أي أن جذري العدد‬
‫‪ c‬هما‬
‫‪ c2 = -3 - i‬و ‪∴ c1 = 3 + i‬‬
‫‪-3 -i , 3 + i‬‬
‫‪21‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫مثال‪-15 -‬‬
‫جد اجلذور التربيعية لالعداد ‪8i, -i ، -17 ، -25 :‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫نفرض ان ‪:‬‬
‫⇒ ‪c 2 = −25‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪c = ± −25 = ± 25ii = ±5ii‬‬
‫نفرض ان ‪:‬‬
‫⇒ ‪c 2 = −17‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪c = ± −17‬‬
‫‪⇒ c = ± 17 ii‬‬
‫)‪c‬‬
‫نفرض ان )‪ (x+yi‬هو اجلذر التربيعي للعدد ‪-i‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪∴ (x + yi‬‬
‫‪i = −ii ⇒ x2 + 2xyi + y2 i2 = 0 - i‬‬
‫)‪x 2 − y2 = 0.......(1‬‬
‫‪2xy = −1‬‬
‫وبالتعويض من املعادلة (‪ )2‬باملعادلة (‪ )1‬ينتج‪:‬‬
‫بضرب الطرفني في ‪ 4x2 ≠ 0‬ينتج ‪:‬‬
‫اما‬
‫او‬
‫‪22‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2 = −‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪.........(2‬‬
‫‪2x‬‬
‫=‪∴y‬‬
‫‪1‬‬
‫⇒‪=0‬‬
‫‪4x 2‬‬
‫‪x2 −‬‬
‫⇒ ‪4x 4 −1 = 0‬‬
‫‪(2x 2 −1)(2x 2 +1) = 0‬‬
‫) يهمل الن ‪(x ∈ R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪x=±‬‬
‫‪∴ y = −‬‬
‫‪2‬‬
‫وبالتعويض في (‪ )2‬عن قيمة ‪ x‬جند ‪ :‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪±(2‬‬
‫‪ ±2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪y =y±=+±‬‬
‫‪2 2‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪±‬‬
‫‪−‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫∴ جذرا العدد ‪ -i‬التربيعيان هما‬
‫)‪∴ (x + yi‬‬
‫⇒ ‪i 2 = 8ii‬‬
‫نفرض ان ‪ x+yi‬هو اجلذر التربيعي للعدد ‪8i‬‬
‫)‪d‬‬
‫‪x 2 + 2xyii − y2 = 8i‬‬
‫⇒‬
‫‪0+8i‬‬
‫)‪x 2 − y2 = 0........................(1‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪2xy = 8 ⇒ y = ..............(2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪16‬‬
‫⇒‪=0‬‬
‫‪x2‬‬
‫وبالتعويض من املعادلة (‪ )2‬في املعادلة (‪ )1‬ينتج ‪:‬‬
‫‪x2 −‬‬
‫وبضرب الطرفني في ‪ x2 ≠ 0‬ينتج‪:‬‬
‫⇒ ‪x 4 − 16 = 0‬‬
‫⇒ ‪(x 2 − 4)(x 2 + 4) = 0‬‬
‫‪x2 = -4‬‬
‫اما‬
‫او‬
‫‪x 2 = 4 ⇒ x = ±2‬‬
‫) يهمل الن ‪(x ∈ R‬‬
‫وبالتعويض في املعادلة (‪ )2‬عن قيمة ‪ x‬ينتج‪:‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪= ±2‬‬
‫‪±2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫∴ جذرا العدد ‪ 8i‬التربيعيان هما (‪± )2+2i‬‬
‫‪23‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫[‪ ]1-5‬حل املعادلة التربيعية في ( ‪. ) C‬‬
‫تعلمت من املرحلة املتوسطة ان للمعادلة ‪ ax2 + bx + c = 0‬حيث ‪ a ≠ 0‬وان ‪ a, b, c ∈ R‬حلني‬
‫‪−b± b2 − 4ac‬‬
‫ميكن ايجادهما بالدستور ‪:‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪2a‬‬
‫وعرفت أنه اذا كان املقدار املميز ‪V= b2 − 4ac‬‬
‫سالب ًا فانه ال يوجد للمعادلة حلول حقيقية ولكن يوجد‬
‫لها حالن في مجموعة االعداد املركبة ‪.‬‬
‫مثال‪-16 -‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫حل املعادلة ‪ x2 + 4x + 5 = 0‬في مجموعة االعداد املركبة‪.‬‬
‫حسب القانون (الدستور)‪:‬‬
‫‪−b± b2 − 4ac‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪2a‬‬
‫)‪−4 ± 16 − (4)(1)(5‬‬
‫)‪2(1‬‬
‫=‬
‫‪−4 ± 16 − 20‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪−4 ± −4‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪−4 ± 2ii‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪= −2 ± ii‬‬
‫اذ ًا مجموعة حل املعادلة هي‪{ −2 − i , −2 + ii { :‬‬
‫مالحظـة‬
‫من الدستور نعلم ان جذري املعادلة التربيعية ‪ ax 2 + bx + c = 0‬التي‬
‫معامالتها حقيقية هما ‪:‬‬
‫‪−b− b2 − 4ac‬‬
‫‪−b+ b2 − 4ac‬‬
‫= ‪x2‬‬
‫= ‪x1‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2a‬‬
‫وحاصل ضرب اجلذرين هو ‪c :‬‬
‫ومجموع اجلذرين هو ‪−b :‬‬
‫= ‪x1 . x2‬‬
‫= ‪x1 + x2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪24‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫وميكن االفادة من هذه اخلواص كما يأتي ‪:‬‬
‫او ًال ‪ :‬اذا كان ‪ (y ≠ 0) x + yi‬احد جذري املعادلة ‪a,b,c ∈ R , ax2+bx+c = 0 , a≠ 0‬‬
‫فان ‪ x - yi‬هو اجلذر اآلخر لها ‪.‬‬
‫ثاني ًا ‪ :‬بقسمة طرفي املعادلة ‪ ax +bx+c = 0‬على ‪ a≠ 0‬نحصل على‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫والتي هي عبارة عن‪:‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ) = 0‬حاصل ضرب اجلذرين( ‪ ) x +‬مجموع اجلذرين( ‪x2 -‬‬
‫مثال‪-17 -‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫جد املعادلة التربيعية التي جذراها (‪. ± )2+2i‬‬
‫مجموع اجلذرين هو‪:‬‬
‫حاصل ضرب اجلذرين هو ‪:‬‬
‫‪(2+2i)(-2-2i) = (2-2) + (2-2) i = 0‬‬
‫‪(2+2i)(-2-2i) = -(2+2i)2‬‬
‫)‪= -(4 + 8i + 4i2‬‬
‫∴ املعادلة التربيعية هي ‪:‬‬
‫‪= -8i‬‬
‫⇒ ‪x − 0x + (−8i) = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 2 − 8ii = 0 ⇒ x 2 = 8ii‬‬
‫مثال‪-18 -‬‬
‫احلل ‪:‬‬
‫كون املعادلة التربيعية التي معامالتها حقيقية وأحد جذريها ‪. 3-4i‬‬
‫َّ‬
‫مبا أن معامالت املعادلة حقيقية وأحد جذريها‬
‫∴ اجلذر االخر هو املرافق له وهو‬
‫مجموع اجلذرين = ‪6‬‬
‫∴ املعادلة هي ‪:‬‬
‫‪3-4i‬‬
‫‪3+4i‬‬
‫وحاصل ضربهما = ‪25‬‬
‫‪x2 - 6x + 25 = 0‬‬
‫‪25‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫‪)1‬‬
‫ت‬
‫مارين (‬
‫‪-2‬‬
‫‪ .1‬حل املعادالت التربيعية اآلتية وبني اي منها يكون جذراها مترافقني؟‬
‫‪b) z2 − 32z + 3 + i = 0‬‬
‫‪d) z2 + 2z + ii(2 − ii) = 0‬‬
‫‪f) z2 - 2z i + 3=0‬‬
‫‪ .2‬كون املعادلة التربيعية التي جذراها ‪ M,L‬حيث‪:‬‬
‫‪3− ii‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪b) M‬‬
‫=‪m‬‬
‫)‪, L = (3− 2i‬‬
‫‪1+ i‬‬
‫‪a) z2 = −12‬‬
‫‪c) 2z2 − 5z + 13 = 0‬‬
‫‪e) 4z2 + 25 = 0‬‬
‫‪L = 1−ii‬‬
‫‪a) M= 1+ 2ii‬‬
‫‪ .3‬جد اجلذور التربيعية لالعداد املركبة االتية‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1− 3 ii‬‬
‫)‪c‬‬
‫‪b) 7 + 24ii‬‬
‫‪a) -6i‬‬
‫‪ .4‬ما املعادلة التربيعية ذات املعامالت احلقيقية وأحد جذريها هو‪:‬‬
‫‪2 + 3ii‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪c‬‬
‫‪b) 5 − ii‬‬
‫‪a) i‬‬
‫‪ -5‬اذا كان ‪ 3 + i‬هو احد جذري املعادلة ‪ x 2 − ax + (5 + 5i) = 0‬فما قيمة ‪a ∋ C‬؟ وما هو‬
‫اجلذر االخر؟‬
‫‪26‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫[‪ ]1-6‬التمثيل الهندسي لالعداد املركبة‪.‬‬
‫‪Imaginary axis‬‬
‫‪Geometric Representation of Complex Numbers.‬‬
‫اذا كان ‪( E2‬او ‪ )R2‬ميـثل املستــوي االقليـــدي املتعامــــد احملـــورين‪ .‬فانه باقران كـــل عــدد مركب‬
‫‪( x+yi‬حيث ‪ )x,y ∈ R‬بالنقطة (‪ )x,y‬في ‪ E2‬نحصل على تطبيق تقابل من ‪ E‬الى ‪ . R2‬وفي‬
‫هذا املستوي سنمثل هندسي ًا بعض العمليات اجلبرية البسيطة في اجلمع والطرح في ‪ E‬والتي تقابل هندسي ًا‬
‫العمليات في ‪( E2‬او ‪.)R2‬‬
‫سوف نتناول في هذا البند والبنود الالحقة متثيل بعض العمليات على االعداد املركبة هندسي ًا والتي سنطلق‬
‫على االشكال التي متثلها اشكال ارجاند نسبة الى العالم ( ‪ )J. R . Argand, 1768 - 1822‬وسمي‬
‫املستوي باسم العالم االملاني الشهير غاوس‪ ،‬مبستوي غاوس ( ‪ )C.F. Gauss 1777-1855‬أو بشكل‬
‫مبسط املستوي املركب ( ‪)Complex Plane‬‬
‫‪y‬‬
‫اذ يسمى احملور السيني (‪ )x-axis‬باحملـور‬
‫)‪P (x,y‬‬
‫احلقيقي حيث ميثل عليـــــه اجلــزء احلقيــقي‬
‫للعــــدد املـــركب امــــا احملـــــــور الصـــادي‬
‫(‪ )y - axis‬فيطلق عليــه اســم احملـــــــــور‬
‫التخيلي والذي يـمثــل عليــه اجلزء التخيــلي‬
‫‪θ‬‬
‫للعدد املركب‪ .‬وبالتالي فان العدد املركب‬
‫‪x‬‬
‫‪Real axis‬‬
‫‪0‬‬
‫الشكل (‪)1-1‬‬
‫لو كان ‪z2 = x2 + y2 i , z1 = x1 + y1 i‬‬
‫عــــــددان مركبـــــــان مـمثــــالن بالنـقطتيـن‬
‫(‪ p2 (x2 , y2) , p1 (x1, y1‬فــــان ‪:‬‬
‫‪z1 + z2 = (x1 +x2) + (y1 +y2)i‬‬
‫ويـمكــن تـمثيــــــل ‪ z1 + z2‬بالنقطـــــــة‬
‫( ‪p3 (x1 + x2 , y1 + y2‬‬
‫مستخدمني الـمعلومات الـمتعلقة باملتجهات‪.‬‬
‫كما في الشكل (‪: )1- 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪uuuv uuuv uuuv‬‬
‫اي ان ‪0 p1 + 0 p2 = 0 p3‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪p3(z1+z2‬‬
‫)‪p2(z2‬‬
‫)‪p1(z1‬‬
‫‪0‬‬
‫الشكل (‪)1-2‬‬
‫‪27‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫‪uuuv‬‬
‫ان العدد املركب ‪ x + yi‬ميكن متثيله باملتجه ‪ 0 p‬وعليه يكون جمع عددين مركبني هو جمع‬
‫متجهني‪.‬‬
‫‪uuuv‬‬
‫اذا اعتبرنا ‪ p2‬ميثل العدد املركب ‪ - z2‬فإن ‪ p2‬هي ناجتة من دوران ‪ 0 p2‬حول ‪ 0‬نصف دورة ‪ ،‬وعليه‬
‫فإن ‪:‬‬
‫( ‪z1 - z2 = z1 +(-z2‬‬
‫والذي يقترن بالنقطة ‪ p4‬حيث‬
‫‪0p1 p4 p2‬‬
‫يشابه متوازي االضالع‬
‫‪ 0p1 p3 p2‬كما‬
‫في الشكل (‪.)1-3‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪p3(z1+z2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪uuuv uuuuv uuuv uuuv‬‬
‫أي أن ‪0 p4 = p2 p1 = 0 p1 − 0 p2‬‬
‫)‪p2(z2‬‬
‫)‪p1(z1‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪p4(z1- z2‬‬
‫الشكل (‪)1-3‬‬
‫‪28‬‬
‫)‪p2 (- z2‬‬
‫اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ ‪Complex Numbers‬‬
‫ﻣﺜﺎل‪-19 -‬‬
‫ﻣﺜّﻞ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت اﻻﺗﻴﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ارﺟﺎﻧﺪ‪:‬‬
‫)‪b) (6 - 2i) - (2 - 5i‬‬
‫اﳊﻞ‪:‬‬
‫)‪p1(z1) = p1 (3, 4‬‬
‫)‪p2(z2) = p2(5, 2‬‬
‫)‪a) (3+4i) + (5 + 2i‬‬
‫‪a) (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6i‬‬
‫⇒‬
‫‪z1 = 3 + 4i‬‬
‫‪z2 = 5 + 2i‬‬
‫⇒‬
‫‪y‬‬
‫‪uuuv uuuv uuuv‬‬
‫ﻻﺣﻆ ‪0 p1 + 0 p2 = 0 p3 :‬‬
‫وﻫﻮ ﻣﺸﺎﺑﻪ اﻟﻰ ﺟﻤﻊ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‪.‬‬
‫وﻳﻜــــــــﻮن ‪0p p p‬‬
‫‪uuuv 1 3 2‬‬
‫ﻣﺘﻮازي اﺿﻼع ﻗـﻄﺮﻩ ﻫـﻮ ‪op3‬‬
‫)‪p3(z3‬‬
‫)‪p1(z1‬‬
‫)‪p2(z2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(1-4‬‬
‫‪b) (6 - 2i) - (2 - 5i) = (6 - 2i) + (-2 + 5i) = 4 + 3i‬‬
‫)‪z1 = 6 - 2i ⇒ p1(z1) = p1( 6, -2‬‬
‫)‪z2 = -2 + 5i ⇒ p2(z2) = p2(-2, 5‬‬
‫‪y‬‬
‫=)‪p2(z2‬‬
‫)‪p2(-2, 5‬‬
‫=)‪p3(z3‬‬
‫)‪p3(4, 3‬‬
‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(1-5‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪p3(z3) = p3 (4, 3‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪p1(z1‬‬
‫)‪p1(6, -2‬‬
‫⇒ ‪z3 = 4 + 3i‬‬
‫‪29‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫‪)1‬‬
‫ت‬
‫مارين (‬
‫‪-3‬‬
‫‪ .1‬اكتب النظير الجمعي لكل من االعداد اآلتية ثم مثّل هذه االعداد ونظائرها الجمعية على شكل‬
‫ارجاند‪.‬‬
‫‪z4 = i‬‬
‫‪z3 = 1-i ,‬‬
‫‪z2 = -1 + 3i ,‬‬
‫‪z1 = 2 + 3i ,‬‬
‫‪ .2‬اكتب العدد المرافق لكل من األعداد االتية ثم مثّل االعداد ومرافقاتها على شكل ارجاند‪.‬‬
‫‪z4 = -2i‬‬
‫‪z3 = 1 - i ,‬‬
‫‪z1 = 5 + 3i , z2 = -3 +2i ,‬‬
‫‪ .3‬اذا كان ‪ z = 4 + 2i‬فوضح على شكل ارجاند ك ً‬
‫ال من ‪:‬‬
‫‪ .4‬اذا كان ‪, z1 = 4 - 2i‬‬
‫‪ z2 = 1+ 2i‬فوضح على شكل ارجاند ك ً‬
‫ال من‪:‬‬
‫‪z1 + z2‬‬
‫‪30‬‬
‫ــ‬
‫‪z , z , -z‬‬
‫‪2z1 , z1 - z2 ,‬‬
‫‪-3z2 ,‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫[‪ ]1-7‬الصيغة القطبية ‪Polar Form‬للعدد املركب‪.‬‬
‫في البنود السابقة درسنا العدد المركب بصيغته الجبرية ‪ z=x +yi‬والديكارتية ( ‪ z = (x, y‬وفي هذا‬
‫البند سندرس صيغة اخرى للعدد المركب تدعى بالصيغة القطبية ‪ .‬وتحويل احدهما الى االخرى ‪.‬‬
‫فلو كان لدينا العدد المركب ‪ z = x + yi‬ومثّلناه بالنقطة ( ‪ p (x,y‬كما في الشكل (‪ )1-6‬فان‪:‬‬
‫) ‪ (r,θ‬همــا االحـــداثيــان القطبيــان‬
‫‪y‬‬
‫للنقطــــة ‪ p‬حيث ‪ 0‬يـمثـــــل القطب‬
‫)‪P (x,y‬‬
‫و ‪ ox‬يمثــل الضلــع االبتدائي‪ ،‬وهذا‬
‫يعني أن ‪:‬‬
‫‪r = op‬‬
‫‪y‬‬
‫وان‬
‫‪uv‬‬
‫‪u‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪u‬‬
‫ويكون قياس ‪ θ‬من ‪ ox‬الى ‪op‬‬
‫بأتجـاه عكس عقـارب الساعـة اذا كـان‬
‫‪r‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫القيـاس موجـبـاً‪ ،‬ومـع اتجــاه عقـارب‬
‫الساعة اذا كـــان القياس سالب ًا ويكــون‬
‫بالقياس الدائري وعليــه فأن ‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫الشكل (‪)1-6‬‬
‫)‪R(z) = x = r cos θ ....(1‬‬
‫)‪I(z) = y = r sin θ ....(2‬‬
‫حيث( ‪ R(z‬يرمز للجزء الحقيقي للعدد المركب ‪ z‬بينما ( ‪ I (z‬يرمز للجزء التخيلي للعدد المركب‪z‬‬
‫‪ r‬يسمى مقياس العدد المركب ‪)Modulus of Complex Number( z‬‬
‫ويرمز =له ‪r = z‬‬
‫مقياس ‪x 2 +z‬‬
‫وهو عدد حقيقي غير سالب ويقرأ “‪ ”mod z‬او ‪y2‬‬
‫حيث ‪r = z = x 2 + y2‬‬
‫ومن العالقتين (‪ )1‬و (‪ )2‬نحصل على‪:‬‬
‫‪x x‬‬
‫=‬
‫‪r z‬‬
‫= ‪cosθ‬‬
‫‪y y‬‬
‫=‬
‫‪r z‬‬
‫اما ‪ θ‬فقياسها يسمى سعة العدد المركب (‪)Argument of Complex Number‬‬
‫= ‪sinθ‬‬
‫واختصار ًا تكتب بالشكل )‪θ = arg(z‬‬
‫‪31‬‬
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫ميكن ان تاخذ ‪ θ‬عدد ًا غير منته من القيم التي تختلف كل منها‬
‫مالحظـة‬
‫عن االخرى بعدد صحيح من الدورات‪.‬‬
‫فاذا كانت ‪ θ‬سعة عدد مركب فان ك ً‬
‫ال من االعداد ‪ θ + 2nπ :‬حيث ‪ n‬عدد صحيح يكون ايض ًا سعة‬
‫لنفس العدد المركب‪.‬‬
‫اما اذا كانت ) ‪ θ ∈ [0, 2π‬الدالة على سعة العدد المركب فيقال لها القيمة االساسية لسعة العدد‬
‫المركب ( ‪.)principle Value‬‬
‫مثال‪-20 -‬‬
‫‪ zz==1−‬فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة ‪. z‬‬
‫اذا كان ‪1− 3i3i‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫‪mod z = z = x 2 + y2‬‬
‫‪= 1+ 3 = 2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫=‬
‫‪z 2‬‬
‫نستنتج ان ‪ θ‬في الربع االول‬
‫مثال‪-21 -‬‬
‫= ‪cos θ‬‬
‫‪y − 3‬‬
‫=‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪∴ arg=(2π‬‬
‫‪z ) =−‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪sin θ‬‬
‫اذا كان ‪ z = -1 - i‬فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة ‪. z‬‬
‫احلل ‪:‬‬
‫‪mod z = z = 1+1 = 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−1‬‬
‫=‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫نستنتج ان ‪ θ‬في الربع الثالث‬
‫‪32‬‬
‫= ‪cos θ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪−1‬‬
‫=‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪∴ arg ( z ) = π +‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪sin θ‬‬
‫اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ ‪Complex Numbers‬‬
‫‪(1‬ﺍﻥ ﺳﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ‪ z = 0‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻻﻥ ﺍﳌﺘﺠﻪ ﺍﻟﺼﻔﺮﻱ‬
‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬
‫ﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﺍﲡﺎﻩ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﳑﻜﻦ ﺍﻻﻓﺎﺩﺓ ﻣﻦ ﺍﳌﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﺴﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ‬
‫ﺑﻜﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ‪ z = x+yi‬ﺑﺼﻮﺭﺓ ﺍﺧﺮﻯ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻘﻄﺒﻴﺔ‬
‫‪ Polar From‬ﻭﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ‪:‬‬
‫) ‪z = (r cos θ + ir sin θ) = r (cos θ + i sin θ‬‬
‫او‬
‫))‪z = z ( cos(arg z)+ i sin(arg z‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪ θ = arg (z) ، r = mod z= z‬ﻫﻲ ﺳﻌﺔ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ‬
‫ﻣﺜﺎل‪-22 -‬‬
‫ﻋﺒﺮ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻻﻋﺪاد اﻵﺗﻴﺔ ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﻘﻄﺒﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪b) 2 3 − 2i‬‬
‫‪a) − 2 + 2i‬‬
‫اﳊﻞ ‪:‬‬
‫‪a) let z = −2 + 2i‬‬
‫‪ θ‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬
‫اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﻘﻄﺒﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ ‪ z‬ﻫﻲ ‪:‬‬
‫‪mod z = z = 4 + 4 = 2 2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪cos θ‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪sin θ‬‬
‫=‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∴ arg ( z ) = π − −π = 3π .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫) ‪z = r (cos θ + i sin θ‬‬
‫‪3π −π 3π‬‬
‫) ‪3π‬‬
‫‪.‬‬
‫=‪z = 2 2(cos= π −+ i sin‬‬
‫‪4 4 44‬‬
‫‪33‬‬
Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬
b)b)let
b)
letzlet
z==−2
z−2
= −2
33−−2i
32i− 2i
mod z = 12 + 4 = 16 = 4
cos θ =
sinθ =
2 3
3
=−
4
2
−2 −1
=
4
2
‫ تقع في الربع الرابع‬θ
∴ arg ( z ) = 2π −
π 11π
=
6
6
z =4 4= (cos
11π
11π
+ i sin
)
6
6
: ‫ هي‬z ‫∴ الصيغة القطبية للعدد المركب‬
34
Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬
:‫عبر عن كل من االعداد االتية بالصيغة القطبية‬
a) 1
b) i
c) -1
-23 -‫مثال‬
d) -i
: ‫احلل‬
: ‫الحظ االشكال اآلتية‬
y
(a)
y
p(z1) = (1,0)= 1+0i
∴ z1 = 1 (cos 0 +i sin 0)
x
p(z2) = (0,1)= 0+i
mod z2 = 1
π
arg z2 =
2
∴ z2 = 1 (cos
x
π
π
+i sin )
2
2
y
y
(c)
(d)
x
(-1,0) p(z3) =(-1,0)=-1+0i
mod z3 = 1
arg z3 = π
2
∴ z3 = 1 (cos π +i sin π )
x
p(z4) = (0,-1)=0-i
(0,-1) mod z4 = 1
3π
arg z4 =
2
∴ z4 = 1 (cos
)1-7( ‫الشكل‬
35
(0,1)
(b)
(1,0)
3π
2
+i sin
3π
2
)
Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬
1 = (cos 0 + i sin 0)
−1 = (cos π + i sin π )
π
π
i = (cos + i sin )
2
2
3π
3π
−ii = (cos
+ i sin )
2
2
i sin0)0)
33==33××11==(cos
3(cos00++i sin
:‫من املثال السابق نستنتج االتي‬
: ‫وبتطبيق االستنتاج السابق يمكن أن نضع‬
−2 = 2 × (−1) = 2(cos π + ii sin π )
π
π
+ i sin )
2
2
3π
3π
i = 7(cos
−7i = 7 × (−i)
+ i sin )
2
2
5i = 5 × i = 5(cos
.‫] مبرهنة دميواڤر‬1-8[
De Moivre’s Theorem
z2 = cosφ + sin φ , z1 = cosθ + sinθ :‫ يمكن ان تكتب بصورة‬z2 , z1
z1 × z2 = (cosθ + ii sinθ )(cosφ + ii sinφ) = cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)
(cosθ + i sinθ )2 = cos 2 θ + i sin 2 θ ‫( فان العالقة تصبح‬φ = θ ) ‫ولو كان‬
:‫ويمكن برهنتها كما يأتي‬
= (cosθ + i sinθ )2 = (cos 2 θ + 2iisinθ cosθ − sin 2 θ )
22
22
== (cos
cosθ
= (cos
2θ))− sin 2θ ) + i(2 sinθ cosθ )
(cos 2 θθ -++ sin
sin 2 θθ )+
)+ ii(2
i(2 sinθ
sinθ
cosθ
== cos
cos 2θ
2θ ++ ii sin
sin 2θ
2θ ===RHS= (cos 2θ + i sin 2θ =
.‫) الى تعميم العالقة والتي سميت بمبرهنة ديمواڤر‬1664-1754( ‫وقد توصل العالم ديمواڤر‬
36
‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬
‫’‬
‫مبرهنة ديمواڤر‬
‫لكل ‪ θ ∈ R , n ∈ N‬فإن‬
‫‪(cosθ + i sinθ )n = cos n θ + i sin n θ‬‬
‫البرهان‪( :‬لالطالع فقط)‬
‫سنتوصل الى برهان هذه المبرهنة بطريقة االستقراء الرياضي وكما يأتي ‪:‬‬
‫‪ )1‬لنعتبر ‪ n =1‬فان العالقة تصبح‪:‬‬
‫‪ (cosθ + i sinθ )1 = cos1 θ + i sin1 θ‬وهي عبارة صحيحة ‪.‬‬
‫‪ )2‬لنأخذ ‪ k≥ 1‬ونفترض ان العالقة صحيحة لكل ‪. n = k‬‬
‫أي ان ‪ (cosθ + i sinθ )k = cos k θ + i sin k θ‬صحيحة فرضاً‪.‬‬
‫‪ )3‬يجب ان نثبت ان العالقة صحيحة عندما ‪n = k + 1‬‬
‫‪∴(cosθ‬‬
‫‪∴(cosθ++i sinθ‬‬
‫‪i sinθ)k+1‬‬
‫‪)k = (cosθ + i sinθ )1 (cosθ + i sinθ )k‬‬
‫) ‪= (cosθ + i sinθ )(cos kθ + ii sin kθ‬‬
‫) ‪= cos(θ + kθ ) + i sin(θ + kθ‬‬
‫‪= cos(k +1)θ + i sin(k +1)θ‬‬
‫وعليه فاذا كانت العالقة صحيحة عند ‪ n‬أي ‪ n=k , k≥1‬فهي كذلك صحيحة عند ‪n = k + 1‬‬
‫وبواسطة االستقراء الرياضي فان المبرهنة تعتبر صحيحة لجميع قيم ‪.n‬‬
‫مثال‪-24 -‬‬
‫احلل‪:‬‬
‫احسب‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(cos π + i sin π )4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪33‬‬
‫‪334‬‬
‫‪= (cos‬‬
‫‪= (cos π +πi+sin‬‬
‫= ‪i sin π )π )=4‬‬
‫‪88‬‬
‫‪88‬‬
‫‪3π3π‬‬
‫‪3π3π‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪= cos + i+sin‬‬
‫= = ‪i sin‬‬
‫‪22‬‬
‫‪22‬‬
‫)‪0=+0i(−i‬‬
‫‪=i −i‬‬
‫)‪+ ii(−i‬‬
‫‪= −ii‬‬
‫‪37‬‬
Complex Numbers ‫اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ‬
:‫ ﻓﺎن‬θ ∈ R , n ∈ N ‫ﺑﻴﻦ اﻧﻪ ﻟﻜﻞ‬
-25 -‫ﻣﺜﺎل‬
(cosθ − i sinθ )n = cos n θ − i sin n θ
: ‫اﳊﻞ‬
Q x = r cosθ , y = r sinθ
‫اﻟﻄﺮف اﻻﻳﺴﺮ‬
‫ ﺗﺼﺒﺢ اﻟﻌﻼﻗﺔ‬φ = −θ ‫وﺑﺠﻌﻞ‬
= [ cosφ + i sin φ ]
n
= cos n φ + i sin n φ
= cos(−n θ )+ i sin(−n θ )
= cos n θ − i sin n θ
‫اﻟﻄﺮف اﻻﻳﻤﻦ‬
(‫ م‬. ‫ ﻫـ‬. ‫)و‬
:‫ﻧﺘﻴﺠﺔ ﳌﺒﺮﻫﻨﺔ دﳝﻮاﭬﺮ‬
θ ∈ R , n∈Z
N+ ‫ﻟﻜﻞ‬
1 1 111n
⎡ =+⎡+r⎡θ2π
⎡nθ2π
k2π
+θ2π
k2π
⎤2π
2πkn
θ+++
1θ(cos
+++
2π
k2π
kk1θ +θθi+sin
θ52π
kn
kk⎤⎤⎤
5nnzn⎡θθ
θ⎤k)i)
n n znnrnn n cos
+
i
sin
z
r
cos
+
i
sin
2(−
+
i
)
=
2
(−1+
i)
rr cos
+
i
sin
i
z r=zz2cos
cos
+
i
sin
+
sin
⎢⎣⎢⎣ ⎢⎣⎢⎣⎢⎣n nn
⎥⎥ ⎥⎥=⎥ 32(−1+
k = 0,1, 2,..., n −1
n2n 2
nn nn⎦n⎦ ⎦⎦⎦
‫ﻓﺎن‬
2,.......,
−1
k===0,1,
0,1,
2,.......,
−1
2,.......,
nnn−1
kk==k0,1,
k0,1,
2,.......,
0,1,
2,.......,
nn−1
−1
(1+i )11
‫اﺣﺴﺐ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ‬
:‫اﳊﻞ‬
(1+ i)"
let
z = 1+ i
Q mod z = 2 , cosθ =
-26 -‫ﻣﺜﺎل‬
1
1
π
, sinθ =
∴ arg z =
4
2
2
38
π
Q mod z = 2 Complex
ang z =
Numbers
4
π
π
∴ z = 2(cos + i sin )
4
4
π
π
∴(1+ ii)" = ( 2 )" (cos + i sin )"
4
4
11
11π
π
= 2 2 (cos
+ i sin )
4
4
11
3π
3π
= 2 2 (cos
+ ii sin )
4
4
11
1
1
= 2 2 (−
+ ii
)
2
2
= 2 5 (i −1) = 32(i −1)
‫اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ‬
( cosθ + i sinθ )−1 = [ cos(−θ )+ i sin(−θ )] = (cosθ − ii sinθ )
[ cosθ + ii sinθ ]
−n
= cos n θ − i sin n θ
xx∈∈££
+1==00
C ‫ ﺣﻴﺚ‬xx33+1
x3 + 1 = 0 ⇒
:‫وﻳﻤﻜﻦ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻫﺬﻩ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ اﻻﺗﻲ‬
‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
-27 -‫ﻣﺜﺎل‬
:‫اﳊﻞ‬
3
x = −1
x 3 = cos π + i sin π
1
3
∴ x = (cos π + i sin π )
π + 2nπ
π + 2nπ
∴ x = cos
+ i sin
3
3
n = 0,1, 2
‫ﺣﻴﺚ‬
39
‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬
Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬
π
π
+ i sin
3
3
1
3i
= +
i
2 2
x = cos π + i sin π
= −1+ ii(0)
x = cos
‫ يكون‬k= 0 ‫بوضع‬
‫ يكون‬k= 1
‫بوضع‬
= −1
5π
5π
+ i sin
3
3
1
3
= −
i
2 2
x = cos
‫ يكون‬k= 2
1

 + 3 i , −1 , 1 − 3 i 
2 2
2 2 
‫بوضع‬
: ‫اذ ًا مجموعة الحل للمعادلة هي‬
i 2 : ‫اوجد الصيغة القطبية للمقدار‬
‫ ( ثم جد الجذور الخمسة له‬3 + i)
cosθ =
3
4
sinθ
1
2
π
π
arg(z) =
6
6
z = 3+1 = 2
 3 π
π1 
3 3، + isinθ
1 1 1
∴
zcosθ
==
2 3cos
sin
cosθ
=
sinθ
cosθ 4 sinθ
sinθ
cosθ
= = =62 
6
4 44
2 22

π
2
π cos + i sin π  π
z
=
4
∴θ = 
arg(z) =
3
3 6
6
∴θ =
:‫ بالصيغة القطبية‬z ‫ نضع‬z = 3 + i ‫ليكن‬
-28 -‫مثال‬
:‫احلل‬
1
z =2 13 + 11= 2 π
π 5
∴(z ) 5 = 4 5 cos + i sin 

π
3 π  3
∴ z = 2  cos + i sin 
6 π
 π6

+
2nπ
+
2nπ


π+i sin 3
3
2 5 4  cos π
=


z = 4 
+ i sin 
5
5


3
3
40
π
π
arg(z) =
Complex
Numbers ‫االعداد املركبة‬
6
6
z = 3+1 = 2
π
π 2

π
π
2
2
∴ z = 2  cos + i sin  ⇒ z = 2 (cos + i sin )

6
6
6
6

π
π
z2 = 4  cos + i sin 

3
3
∴θ =
1
2 5
1
5
1
5

π
π
∴(z ) = 4 cos + i sin 

3
3


π
π
+
2nπ
+
2nπ


= 5 4 cos 3
+ ii sin 3


5
5 
‫ النه جذر خامس‬k = 0, 1, 2,3,4
2
5

π
π
z = 5 4  cos + i sin 
 15
15 

7π
7π 
z = 5 4 cos
+ i sin 

15
15 
2
5
‫حيث‬
‫ يكون‬k=0 ‫وبوضع‬
‫ يكون‬k=1 ‫وبوضع‬
 13π
13π 
z = 5 4 cos
+ i sin

15
15  ‫ يكون‬k=2 ‫وبوضع‬
 19π
19π  z = 5 4 cos
+ ii sin

15
15 
‫ يكون‬k=3 ‫وبوضع‬
2
5
2
5

25π
25π 
z = 5 4 cos
+ i sin

15
15 

5π
25π 
= 5 4 cos
+ i sin


3
3 
2
5
41
‫ يكون‬k=4 ‫وبوضع‬
‫اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ ‪Complex Numbers‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪J‬‬
‫‪) øjQɪ‬‬
‫‪‐4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .1‬اﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬
‫⎡‬
‫‪5‬‬
‫⎤ ‪5‬‬
‫⎥ ‪a) ⎢cos π +ii sin π‬‬
‫⎣‬
‫‪24‬‬
‫⎦ ‪24‬‬
‫‪c) (1− i)7‬‬
‫‪−3‬‬
‫⎡‬
‫‪7‬‬
‫⎤ ‪7‬‬
‫⎥ ‪b) ⎢cos π + i sin π‬‬
‫‪⎣ 12‬‬
‫⎦ ‪12‬‬
‫‪d) ( 3 + i)9‬‬
‫‪4‬‬
‫⎡‬
‫⎤ ‪5‬‬
‫‪75‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪π‬‬
‫‪+‬‬
‫‪i‬‬
‫‪sin‬‬
‫⎥‪π‬‬
‫‪c) (1− i)7‬‬
‫‪c) (1−‬‬
‫)‪i‬‬
‫⎣⎢‬
‫‪24‬‬
‫‪ .2‬اﺣﺴﺐ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ ⎦)او ‪24‬‬
‫اﻟﺘﻌﻤﻴﻢ(ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫⎡‬
‫‪5‬‬
‫⎤ ‪5‬‬
‫⎥ ‪) ⎢cos π + i sin π‬‬
‫⎣‬
‫‪24‬‬
‫⎦ ‪24‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪d) ( 3 + i)9‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫⎤ ‪7‬‬
‫⎡ ⎤‬
‫⎤ ‪⎡ 7 75‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5 b)⎤ ⎡cos 7-9‬‬
‫‪π +(1−‬‬
‫⎥ ‪i sini)7 π‬‬
‫‪π +(1−‬‬
‫‪i⎢cos‬‬
‫‪sin‬‬
‫)‪πb)⎥ ⎢cos c)a‬‬
‫)‪i) ππ⎥+ i sin d)π ⎥( ⎢ 3 + i)9 c‬‬
‫‪⎦ ⎣ 12‬‬
‫‪⎣ 12‬‬
‫⎦ ‪12‬‬
‫⎦ ‪24‬‬
‫‪24 ⎦ ⎣ 12‬‬
‫‪−3‬‬
‫⎡‬
‫‪7‬‬
‫⎤ ‪7‬‬
‫‪ .3‬ﺑﺴﻂ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬
‫‪d)b)( ⎢3cos‬‬
‫‪+ i)9 π + i sin‬‬
‫⎥‪π‬‬
‫‪d) ( 3 + i)9‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪⎣ +2θ212+‬‬
‫‪(cos(cos‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪sini sin‬‬
‫⎦ ‪2θ )2θ )12‬‬
‫)‪a) a‬‬
‫‪b) (cosθ + ii sinθ )8 (cosθ − ii sinθ )4‬‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪+ i3θ‬‬
‫‪sin) 3θ‬‬
‫‪(cos(cos‬‬
‫‪3θ +3θ‬‬
‫‪i sin‬‬
‫‪Hint : x4 y4 = (xy)4‬‬
‫‪ .4‬ﺟﺪ اﻟﺠﺬور اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ ‪ −1 + 3 i‬ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ ﺛﻢ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ‬
‫اﻟﻤﻌﺮوﺿﺔ ﻓﻲ اﻟﺒﻨﺪ ]‪.[1-4‬‬
‫‪ .5‬ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ ﺟﺪ اﻟﺠﺬور اﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد ‪.27i‬‬
‫‪ .6‬ﺟﺪ اﻟﺠﺬور اﻻرﺑﻌﺔ ﻟﻠﻌﺪد )‪ (-16‬ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪ (−64i‬ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ‪.‬‬
‫‪ .7‬ﺟﺪ اﻟﺠﺬور اﻟﺴﺘﺔ ﻟﻠﻌﺪد ‪i‬‬
‫‪42‬‬
‫‪−3‬‬
‫⎤‬
‫⎥‪π‬‬
‫⎦‬
‫‪2‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫الف�صل الثاين‬
‫‪Chapter Two‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫[‪]2-1‬‬
‫تعريف القطع املخروطي‪.‬‬
‫[‪]2-2‬‬
‫القطع املكافئ‪.‬‬
‫[‪]2-3‬‬
‫القطع الناقص‪.‬‬
‫[‪]2-4‬‬
‫القطع الزائد‪.‬‬
‫املصطلح‬
‫الرمز او العالقة الرياضية‬
‫البؤرة‬
‫‪F‬‬
‫االختالف املركزي‬
‫العدد الثابت‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪e‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪43‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫القطوع المخروطية واهمية دراستها‪:‬‬
‫لنبحث او ًال عن وجود مثل هذه القطوع في الكون والطبيعة سوف ترى الكواكب والنجوم تتحرك على‬
‫مدارات اهليلجية ‪(.‬اي المدارات تشبه القطع الناقص)‬
‫وفي الذرة وااللكترون يالحظ المختصون بان‬
‫االلكلترونات تدور حول النواة على مــدارات‬
‫اهليلجية ايضـــــاً‪ ،‬ومــن التطبيقات االخــرى‬
‫للقطوع المخروطية استخدامهــا في انتشــار‬
‫الصــوت حيث نـــالحظهــا في االت تكبيــر‬
‫الصوت الحديثة وكذلك تستخدم في انتشار‬
‫الضوء كما في ضوء السيــارة فهــو مجســـم‬
‫مكافئ وضع في بؤرته مصبـــــاح ًا ‪ .‬عندمــــا‬
‫ينطلق شعــاع ضــوئي من المصبـاح ينعـكس‬
‫هذا الشعاع على السطح المجســم وبصــورة‬
‫افقية‪ .‬وكذلك جميع االشعـــة المنطلقة مـن‬
‫المصباح مما يؤدي الى انارة الطريق امام السيـارة‪.‬‬
‫ومن التطبيقات االخرى نالحظها من خالل الصور‬
‫التالية‪:‬‬
‫‪44‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫نالحظ مما سبق مدى اهمية القطوع المخروطية التي اصبحت دراستها محل اهتمام الرياضيين والفلكيين‬
‫وعلماء الفضاء والميكانيكيين وكان للحضارة العربية االسالمية دور هام في مواصلة هذه الدراسات بعد‬
‫اطالعهم على اعمال الرياضيين االغريق امثال مينشم ‪ ،‬وابولتيوس ‪ ،‬وبابوس ‪ .‬ومن العلماء العرب الذين‬
‫اهتموا بالقطوع المخروطية ثابت بن قرة وابو جعفر الخازن ‪ ،‬واباسهل الكوهي ‪ ،‬وابن الهيثم وغيرهم‬
‫كثيرون‪.‬‬
‫سبق وتعرفنا في الصف الخامس العلمي على كيفية تولد القطوع المخروطية‪ :‬الدائرة ‪ -‬القطع المكافئ‪-‬‬
‫القطع الناقص‪ -‬القطع الزائد‪ .‬حيث يتم الحصول على هذه القطوع هندسي ًا وكاالتي‪:‬‬
‫اذا قطع سطح المخروط الدائري القائم‬
‫✾ مبستو عمودي على محور املخروط الدائري القائم وال يحوي رأس املخروط الدائري القائم فان املقطع‬
‫ميثل شك ً‬
‫ال هندسي ًا يسمى دائرة (‪.)Circle‬‬
‫مواز ألحد مولداته فأن املقطع ميثل شك ً‬
‫ال هندسي ًا يسمى القطع املكافئ “ ‪. ”Parabola‬‬
‫✾ مبستو ٍ‬
‫مواز لقاعدته وال يوازي احد مولداته فأن القطع ميثل شك ً‬
‫ال هندسي ًا يسمى القطع الناقص‬
‫✾ مبستو غير ٍ‬
‫“ّ‪.”Ellipse‬‬
‫✾ مبستو يوازي محور املخروط الدائري القائم ويقطع مولدين من مولدات املخروط الدائري القائم فان‬
‫املقطع ميثل شك ً‬
‫ال هندسي ًا يسمى القطع الزائد “‪. ”Hyperbola‬‬
‫الحظ االشكال التالية للقطوع املخروطية ‪:‬‬
‫دائرة‬
‫ناقص‬
‫مكافئ‬
‫زائد‬
‫الشكل (‪)2-1‬‬
‫‪45‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫[‪ ]2-1‬القطع املخروطي‪:‬‬
‫تعـــريـف [‪]2-1‬‬
‫لتكن (‪ )x1,y1‬نقطة ثابتة في المستوي وليكن ‪ ax + by + c = 0‬مستقيم ًا ثابت ًا في المستوي نفسه‪،‬‬
‫‪ .‬عندئذ مجموعة كل النقاط التي نسبة ُبعد كل منها عن النقطة (‪ )x1, y1‬الى بعدها عن المستقيم‬
‫‪ ax +by +c = 0‬تساوي عدد ًا ثابت ًا (‪ )e‬تكون شكل هندسي يسمى بالقطع المخروطي‬
‫مما سبق نالحظ ان لكل قطع مخروطي (ما عدا الدائرة) ثالثة مفاهيم اساسية يتعين بها هي‪:‬‬
‫‪ -1‬النقطة الثابتة (‪ )x1,y1‬تسمى بؤرة القطع المخروطي “‪. ”Focus‬‬
‫‪ -2‬المستقيم الثابت ‪ ax +by +c = 0‬يسمى دليل القطع المخروطي “‪.”Directrix‬‬
‫‪ -3‬النسبة (‪ )e‬تسمى باالختالف المركزي “‪.”Eccentricity‬‬
‫مالحظـة‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ..، 0 < e < 1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪e‬‬
‫<‪e‬‬
‫>‪e‬‬
‫في القطع املكافئ‬
‫في القطع االناقص‬
‫في القطع الزائد‬
‫»‪«Parabola‬‬
‫»‪«Ellipse‬‬
‫»‪«Hyperbola‬‬
‫[‪ ]2-1-1‬المعادلة العامة للقطع المخروطي‪:‬‬
‫من تعريف القطع المخروطي نستنتج المعادلة العامة وذلك كما يأتي‪:‬‬
‫لتكن (‪ )x, y‬نقطة على القطع المخروطي ‪ ،‬عندئــــذ المســافة بيـن (‪ )x ,y‬والبؤرة (‪ )x1 , y1‬هي ‪:‬‬
‫‪46‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2‬‬
‫والبعد بين (‪ )x , y‬والدليل ‪ ax +by +c = 0‬هي ‪:‬‬
‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2‬‬
‫‪ax + by + c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ax +aby++bc‬‬
‫اي ان‬
‫تساوي (‪2 )e‬‬
‫وبموجب تعريف القطع المخروطي فان النسبة بين هاتين المسافتين ‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪2 − x ) + (y − y‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a +b‬‬
‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2‬‬
‫‪=e‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪2+ by + c‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(x − x1 ) + (y − y1‬‬
‫‪=e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ax + by + c‬‬
‫‪aby‬‬
‫‪++2bc2‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪+‬‬
‫‪⇒ (x − x1 ) + (y − y1 )2 = e .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪aby‬‬
‫‪++bc2‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⇒ (x − x1 )2 + (y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 − y1 ) = 2e .‬‬
‫‪2+ c ) 2‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪2 − x1 ) + (y‬‬
‫‪2 − y21 ) ( ax + by‬‬
‫وبتربيع الطرفين نحصل على معادلة القطع‬
‫‪(x − x1 ) + (y − y1 ) = e . = e 2 a 2+ b‬‬
‫‪ax + by + c ( ax +aby++bc)2‬‬
‫المخروطي العامة وهي معادلة من الدرجة‬
‫‪2‬‬
‫‪(x − x1 ) + (y − y1 )2 = e2 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ax + by + c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 +b‬‬
‫‪a‬‬
‫الثانية‬
‫‪⇒ (x − x1 ) + (y − y1 ) = e .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a +b‬‬
‫المكافئ ألنه قد تم تعريف الدليل‬
‫مالحظة ‪ :‬سنطبق هذه المعادلة على القطع‬
‫‪2‬‬
‫)‪( ax + by + c‬‬
‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = e2 .‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫‪Parabola‬‬
‫[‪ ]2-2‬القطع املكافئ‪:‬‬
‫تعـــريـف [‪]2-2‬‬
‫القطع المكافئ هو مجموعة النقط ( ‪ M(x , y‬في المستوي والتي يكون ُبعد كل منها عن نقطة‬
‫ثابتة )‪ F(p,0‬تسمى البؤرة حيث ‪ P> 0‬مساوي ًا دائم ًا لبعدها عن مستقيم معلوم “‪ ”D‬يسمى‬
‫الدليل ال يحوي البؤرة ‪.‬‬
‫اي ان‬
‫‪y‬‬
‫‪ MF = MQ‬الحظ الشكل (‪: )2 - 2‬‬
‫وتسمى النقطــــة “‪ ”O‬بــــرأس القطـــع‬
‫)‪M(x,y‬‬
‫)‪Q(-p,y‬‬
‫المكافئ “‪”Vertex‬‬
‫ويسمـــى المستقيـــــم (‪ )x‬المــــــــار‬
‫بالبؤرة والعمود على الدليـــــل بمحـــور‬
‫‪MF‬‬
‫القطع المكافئ‪.‬حيث الحظ ان‪= e =1‬‬
‫‪MQ‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪F(p,0‬‬
‫الشكل (‪)2-2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪47‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫[‪ ]2-2-1‬معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته تنتمي لمحور السينات(‪ )x-axis‬والرأس في نقطة األصل‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪M(x,y‬‬
‫)‪M(x,y‬‬
‫)‪Q (p,y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪Q(-p,y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪F(-p,0‬‬
‫)‪F(p,0‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x=p‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x = -p‬‬
‫الشكل (‪)2-3‬‬
‫في المستوي الديكارتي المتعامد المحورين وبناء ًا على تعريف القطع المكافئ يمكن ايجاد معادلة‬
‫القطع المكافئ في ابسط صورة ممكنة وكما يأتي‪:‬‬
‫لتكــن النقطـــة (‪ F(p,0‬هي بؤرة القطــع المكافئ والمستقيــم ‪ D‬هو دليل القطع المكافئ ‪ ،‬والنقطة‬
‫(‪ Q(-p,y‬نقطة على الدليل حيث ‪ MQ‬عمودي على المستقيم ‪ ،D‬والنقطة (‪ M(x,y‬من نقط منحني‬
‫القطع المكافئ والرأس في نقطة االصل (‪ . )0,0‬كما في الشكل(‪ .)A ( )2-3‬من تعريف القطع المكافئ‪.‬‬
‫‪MF = MQ‬‬
‫‪48‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫بتربيع الطرفين‬
‫‪(x − p)2 + (y − 0)2 = (x + p)2 + (y − y)2‬‬
‫‪x 2 − 2 px + p2 + y2 = x 2 + 2xp+ p2‬‬
‫‪x 2 − 2 px + p2 + y2 = x 2 + 2xp+ p2‬‬
‫بالتبسيط‬
‫(المعادلة القياسية للقطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل وبؤرته تنتمي لمحور السينات )‬
‫‪y‬‬
‫)‪M(x,y‬‬
‫‪y2 = 4 px , ∀p > 0‬‬
‫)‪Q(-p,y‬‬
‫ومعادلة الدليل ‪x=-p‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪F(p,0‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫الشكل (‪)2-4‬‬
‫مثال ‪- 1-‬‬
‫جد البؤرة ومعادلة دليل القطع المكافئ ‪y2 = -8x‬‬
‫‪y2 = -8x‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪y2 = 4px‬‬
‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية ‪-4px‬‬
‫‪8‬‬
‫‪⇒ 4p = 8 ⇒ p = = 2 > 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪∴ p= 2‬‬
‫‪F (−‬‬
‫‪( p,p,0)0)= =F F(2,(−2,‬‬
‫)‪0) 0‬‬
‫الدليل ‪x = p−‬‬
‫معادلة ‪p‬‬
‫‪∴ xx==2−2‬‬
‫‪49‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫مثال ‪- 2-‬‬
‫جد معادلة القطع المكافئ اذا علم‪:‬‬
‫أ) بؤرته (‪ )3,0‬والرأس نقطة االصل ‪.‬‬
‫ب) معادلة الدليل ‪ 2x - 6 = 0‬ورأسه نقطة االصل ‪.‬‬
‫احلل‬
‫)‪(p,0) = (3,0‬‬
‫أ(‬
‫‪⇒p=3‬‬
‫)المعادلة القياسية( ‪∴ y2 = 4px‬‬
‫‪⇒ y2 = (4) (3) x = 12x‬‬
‫‪y2 = 12x‬‬
‫ب(‬
‫‪2x - 6 = 0‬‬
‫من معادلة الدليل‬
‫‪2x = 6 ⇒ x = 3‬‬
‫)بفضل التعريف(‬
‫‪∴ p=3‬‬
‫بتطبيق المعادلة القياسية‬
‫‪y2 = -4px‬‬
‫‪y2 = (-4) (3) x = -12 x ⇒ y2 = -12x‬‬
‫مثال ‪- 3-‬‬
‫احلل‬
‫جد بؤرة ومعادلة دليل القطع المكافئ ‪ y2 = 4x‬ثم أرسمه‪:‬‬
‫بالمقارنة مع معادلة القطع المكافئ ‪:‬‬
‫‪y2 = 4px‬‬
‫‪⇒ 4p = 4 ⇒ p =1‬‬
‫البؤرة )‪F (1, 0‬‬
‫معادلة الدليل ‪x = -1‬‬
‫‪y2 = 4x ⇒ y = ±2 x‬‬
‫‪50‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫‪2‬‬
‫‪±2 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪±2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪(1,2‬‬
‫‪x = -1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪F(1,0‬‬
‫‪O‬‬
‫)‪(1,-2‬‬
‫الشكل (‪)2-5‬‬
‫مثال ‪- 4-‬‬
‫باستخدام التعريف جد معادلة القطع المكافئ اذا علم ان بؤرته ) ‪ ( 3, 0‬والرأس في‬
‫نقطة األصل‪.‬‬
‫احلل‬
‫البؤرة )‪ ، F ( 3, 0‬ولتكن النقطة( ‪ M(x,y‬من نقط منحني القطع المكافئ‪ ،‬والنقطة‬
‫‪sr‬‬
‫)‪ Q(− 3, y‬هي نقطة تقاطع العمود المرسوم من ‪ M‬على الدليل ‪ D‬ومن تعريف القطع المكافئ‪.‬‬
‫)بتربيع الطرفين(‬
‫‪(x − 3)2 + (y − 0)2 = (x + 3)2 + (y − y)2‬‬
‫‪(x − 3)2 + y2 = (x + 3)2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x 2 − 2 3x + 3+ y2 = x 2 + 2 3x + 3‬‬
‫(بالتبسيط)‬
‫‪y2 = 4 3x‬‬
‫)‪Q(− 3, y‬‬
‫)معادلة القطع المكافئ(‬
‫)‪M(x,y‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪F ( 3, 0‬‬
‫‪0‬‬
‫الشكل (‪)2-6‬‬
‫‪x=− 3‬‬
‫‪51‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫[‪ ]2-2-2‬معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته تنتمي لمحور الصادات(‪ )y-axis‬والرأس في نقطة األصل‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪F(0,p‬‬
‫)‪Q(x,p‬‬
‫‪y=p‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪M(x,y‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪M(x,y‬‬
‫)‪F(0, -p‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Q(x,-p‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y = -p‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫الشكل (‪)2-7‬‬
‫في المستوي الديكارتي المتعامد المحورين لتكن النقطة ( ‪ F(0,p‬هي بؤرة القطع المكافئ ‪ ،‬والمستقيم‬
‫‪ D‬دليل القطع المكافئ والنقطة( ‪ Q(x,-p‬هي نقطة تقاطع العمود المرسوم من ‪ M‬على الدليل ‪ ،‬والنقطة‬
‫( ‪ M(x,y‬من نقط منحني القطع المكافئ والرأس في نقطة االصل (‪ )0, 0‬كما في الشكل (‪A )2-7‬‬
‫وبناء ًا على تعريف القطع المكافئ فان ‪MF = MQ‬‬
‫(بتربيع طرفي المعادلة) ‪⇒ (x − 0)2 + (y − p)2 = (x − x)2 + (y + p)2‬‬
‫‪⇒ x 2 + (y − p)2 = (y + p)2‬‬
‫‪x 2 + y2 − 2 py + p2 = y2 + 2 py + p2‬‬
‫(بالتبسيط)‬
‫‪x 2 = 2 py + 2 py‬‬
‫المعادلة القياسية للقطع المكافئ‬
‫‪x 2 = 4 py , ∀p > 0‬‬
‫‪2‬‬
‫حيث‪P>0x‬‬
‫الجدول االتي يمثل المعادلة القياسية للقطع المكافئ الذي رأسه في نقطة االصل‬
‫=‪⇔y‬‬
‫املعــادلـــة‪4 p‬‬
‫البؤرة‬
‫الدليل‬
‫احملور‬
‫فتحة القطع‬
‫نحو االعلى‬
‫)‪(0 , p‬‬
‫‪y= -p‬‬
‫‪y- axis‬‬
‫‪x2 = 4py‬‬
‫‪52‬‬
‫نحو االسفل‬
‫‪y- axis‬‬
‫‪y=p‬‬
‫)‪(0 , - p‬‬
‫‪x2 = - 4py‬‬
‫نحو اليمني‬
‫‪x- axis‬‬
‫‪x = -p‬‬
‫)‪(p , 0‬‬
‫‪y2 = 4px‬‬
‫نحو اليسار‬
‫‪x- axis‬‬
‫‪x=p‬‬
‫)‪(-p , 0‬‬
‫‪y2 = - 4px‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫مثال ‪- 5-‬‬
‫جد البؤرة ومعادلة دليل القطع المكافئ ‪.3x2 - 24y = 0‬‬
‫احلل‬
‫‪3x2 - 24y = 0‬‬
‫] بقسمة طرفي المعادلة على )‪[ (3‬‬
‫‪x2 = 8y‬‬
‫‪x2 = 4py‬‬
‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ‬
‫‪⇒ 4p = 8 ⇒ p=2‬‬
‫ومن قيمة ‪ P‬نجد‬
‫البؤرة )‪F (0,2‬‬
‫معادلة الدليل ‪y = -2‬‬
‫مثال ‪- 6-‬‬
‫جد معادلة القطع المكافئ اذا علم ان ‪-:‬‬
‫أ) بؤرته (‪ )0,5‬ورأسه نقطة االصل ‪.‬‬
‫ب) معادلة الدليل ‪ y = 7‬ورأسه نقطة االصل ‪.‬‬
‫احلل (أ)‬
‫‪F (0,5) ⇒ p =5‬‬
‫المعادلة القياسية‬
‫)معادلة القطع المكافئ(‬
‫‪x2 = 4py‬‬
‫‪x2 = 20y‬‬
‫احلل (ب)‬
‫‪y=7‬‬
‫‪p=7‬‬
‫)المعادلة القياسية(‬
‫‪x2=- 4py‬‬
‫‪x2 = -28y‬‬
‫‪53‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫مثال ‪- 7-‬‬
‫احلل‬
‫جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين (‪ )2 , -4( ، )2,4‬ورأسه نقطة االصل‪.‬‬
‫النقطتان متناظرتان حول المحور السيني‪.‬‬
‫اذ ًا المعادلة القياسية‬
‫‪y2 = 4 px , ∀p > 0‬‬
‫نعوض احدى النقطتين اللتين تحققان المعادلة القياسية ولتكن النقطة (‪)2 ,4‬‬
‫نعوض ‪ p = 2‬في المعادلة القياسية‬
‫‪16‬‬
‫‪⇒ p= 2‬‬
‫‪8‬‬
‫)‪⇒ 16 = (4)( p)(2‬‬
‫= ‪16 = 8 p ⇒ p‬‬
‫‪⇒ y2 = (4)(2)x‬‬
‫‪⇒ y2 = 8x‬‬
‫معادلة القطع المكافئ‬
‫مثال ‪- 8-‬‬
‫جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل ويمر دليل القطع المكافئ بالنقطة‬
‫(‪)3 ,-5‬‬
‫احلل‬
‫يوجد احتمالين للمعادلة القياسية لعدم تحديد موقع البؤرة هما‪:‬‬
‫او ًال ‪ :‬البؤرة تنتمي لمحور الصادات‬
‫ثانياً‪ :‬البؤرة تنتمي لمحور السينات‬
‫‪x2 = 4py‬‬
‫معادلة الدليل‬
‫‪54‬‬
‫‪y = -5‬‬
‫‪y2 = 4px‬‬
‫معادلة الدليل‬
‫‪x=3‬‬
‫‪p=5‬‬
‫‪p=3‬‬
‫‪x2 = 4py‬‬
‫)المعادلة القياسية( ‪y2 = - 4px‬‬
‫‪x2 = 20y‬‬
‫‪y2 = -12x‬‬
‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪J‬‬
‫‪) øjQɪ‬‬
‫‪‐1‬‬
‫‪ .1‬ﺟﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺂﺗﻲ ﺛﻢ ارﺳﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻬﺎ ‪.‬‬
‫أ‪ -‬اﻟﺒﺆرة )‪ (5 , 0‬واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬
‫ب‪ -‬اﻟﺒﺆرة )‪ (0 ,-4‬واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬
‫ج‪ -‬اﻟﺒﺆرة ) ‪ (0, 2‬واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬
‫د‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪ 4y - 3 = 0‬واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬
‫‪ .2‬ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺟﺪ اﻟﺒﺆرة واﻟﺮأس وﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻟﻤﺤﻮر واﻟﺪﻟﻴﻞ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‪-:‬‬
‫‪b) 2x + 16y2 = 0‬‬
‫‪a) x2 = 4y‬‬
‫‪ .3‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪ (2 ,-5) ، (-2 , - 5‬واﻟﺮاس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬
‫‪ .4‬اذا ﻛﺎن دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (-3 ,4‬واﻟﺮأس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ﻋﻠﻤ ًﺎ ان‬
‫ﺑﺆرﺗﻪ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻷﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ ‪.‬‬
‫‪ .5‬ﻗﻄﻊ ﻣﻜﺎﻓﺊ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ Ax2+8y= 0‬ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (1, 2‬ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ A‬ﺛﻢ ﺟﺪ ﺑﺆرﺗﻪ ودﻟﻴﻠﻪ و أرﺳﻢ‬
‫اﻟﻘﻄﻊ‪.‬‬
‫‪ .6‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ‪ .‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬
‫أ‪ -‬اﻟﺒﺆرة )‪ (7 ,0‬واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬
‫ب‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ ‪ . y = 3‬واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫[‪ ]2-3‬القطع الناقص‬
‫‪:Ellipse‬‬
‫تعـــريـف [‪]2-3‬‬
‫القطع الناقص مجموعة من النقط في املستوي التي يكون مجموع بعديها عن نقطتني ثابتتني (البؤرتان)‬
‫عدد ثابت‪.‬‬
‫[‪ ]2-3-1‬قطع ناقص بؤرتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫كما في الشكل (‪)2 - 8‬‬
‫)‪p(x ,y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪F1(c,0‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫)‪F2(-c,0‬‬
‫الشكل (‪)2-8‬‬
‫بؤرتا القطع الناقص هما ( ‪F1 (c, 0‬‬
‫‪ F2 (-c , 0) ,‬والعدد الثابت هو ‪c > 0 , a > 0 , 2a‬‬
‫تسمى النقطة التي تقع في منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرتين بمركز القطع الناقص‬
‫(‪ ،)Center‬ويسمى المستقيم المار بالبؤرتين بالمحور البؤري (‪ )Focal axis‬ويقطع القطع‬
‫الناقص في نقطتين تسميان رأسا القطع وتسمى قطعة المستقيم الواصلة بين الرأسين بالمحور الكبير‬
‫(‪ )Major axis‬وطولها (‪ )2a‬ايض ًا ويساوي مجموع بعدي اي نقطة ( ‪ P(x, y‬من نقاط القطع الناقص‬
‫عن البؤرتين اي ان‪:‬‬
‫‪p F1 + pF2 = 2a‬‬
‫وتسمى القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتي تقاطع المستقيم العمود على المحور الكبير من مركز‬
‫القطع الناقص‬
‫‪56‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫مع القطع الناقص بالمحور الصغير (‪ ) Minor axis‬وطولها (‪ )2b‬حيث ‪ b>0‬ونهايتاه تسميان‬
‫‪y‬‬
‫القطبين‪.‬‬
‫)‪ (0,b) p(x ,y‬قطب‬
‫‪x‬‬
‫)‪v1(a,0‬‬
‫رأس‬
‫)‪F1(c,0‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫)‪v2(-a,0‬‬
‫)‪F2(-c,0‬‬
‫رأس‬
‫)‪ (0,-b‬قطب‬
‫الشكل (‪)2-9‬‬
‫[‪ ]2-3-2‬معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل‪.‬‬
‫الحظ الشكل (‪)2 - 9‬‬
‫‪PF1 + PF2 = 2a‬‬
‫∵‬
‫‪pf1+ pf 2‬‬
‫‪⇒ (x − c)2 + (y − 0)2 + (x + c)2 + (y − 0)2 = 2a‬‬
‫‪⇒ (x − c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a‬‬
‫(بتربيع طرفي المعادلة)‬
‫‪⇒ (x − c)2 + y2 =+ 2a − (x + c)2 + y2‬‬
‫‪⇒ (x − c)2 + y2 += 4a 2 − 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2‬‬
‫‪⇒ x 2 − 2cx + c 2 + y2 = 4a 2 − 4a (x + c)2 + y2 + x 2 + 2cx + c 2 + y2‬‬
‫(بقسمة طرفي المعادلة على ‪)4‬‬
‫(بتربيع طرفي المعادلة)‬
‫بالتبسيط‬
‫‪⇒ 4a (x + c)2 + y2 = 4a 2 + 4cx‬‬
‫‪⇒ a (x + c)2 + y2 = a 2 + cx‬‬
‫‪a 2 [ x 2 + 2cx + c 2 + y2 ] = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2‬‬
‫‪a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2‬‬
‫‪a 2 x 2 − c 2 x 2 + a 2 y2 = a 4 − a 2 c 2‬‬
‫)‪x 2 (a 2 − c 2 ) + a 2 y2 = a 2 (a 2 − c 2 ) ..........(1‬‬
‫‪57‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫بما ان ‪ a> c‬دائم ًا فان ‪ a2 - c2 > 0‬وبفرض ان ‪ b2 = a2 -c2‬حيث ‪b> 0‬‬
‫‪a 2 = b2 + c 2‬‬
‫نعوض ‪ 2‬في ‪1‬‬
‫)‪⇒ b2 = a 2 − c 2 ...........(2‬‬
‫بقسمة طرفي المعادلة على ‪a2 b2‬‬
‫‪⇒ x 2 b2 + a 2 y2 = a 2 b2‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪⇒ 2 + 2 =1‬‬
‫‪a b‬‬
‫تمثل المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي بؤرتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل‪.‬‬
‫وتسمى النسبة ‪ c‬باالختالف المركزي ‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫أي ان = ‪ e‬ويكون دائم ًا اقل من الواحد‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫[‪ ]2-3-3‬معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل والبؤرتان تنتميان لمحور الصادات‪.‬‬
‫الحظ الشكل (‪)2 - 10‬‬
‫‪y‬‬
‫بنفس خطوات االشتقاق السابق لمعادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه على‬
‫)‪v1 (0,a‬‬
‫محور السينات ومركزه نقطة االصل وباستخدام التعريف‬
‫نحصل على المعادلة‪:‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫‪b2 a 2‬‬
‫حيث البؤرتان على محور الصادات والمركز في‬
‫)‪F1 (0, c‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(b,0‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫نقطة االصل‪.‬‬
‫نلخص ما سبق بالجدول اآلتي ‪:‬‬
‫)‪F2 (0, -c‬‬
‫)‪v2 (0,-a‬‬
‫الشكل (‪)2-10‬‬
‫‪58‬‬
‫)‪(-b,0‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫قطع ناقص بؤرتاه على محور‬
‫قطع ناقص بؤرتاه على محور‬
‫الصادات ومركزه نقطة االصل ‪.‬‬
‫السينات ومركزه نقطة االصل ‪.‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫المعادلة‬
‫‪b2 a 2‬‬
‫البؤرتان )‪F1(0,c) , F2(0,-c‬‬
‫الرأسان )‪V1(0,a) , V2(0,-a‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫(‪1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫)‪2) F1(c,0) , F2(-c,0‬‬
‫)‪3) V1(a, 0) , V2(-a,0‬‬
‫‪4) c = a 2 − b2‬‬
‫‪5) a > c , a > b‬‬
‫طول المحور الكبير = ‪6) 2a‬‬
‫طول المحور الصغير = ‪7) 2b‬‬
‫المسافة بين البؤرتين = ‪8) 2c‬‬
‫= ‪9) A= abπ‬‬
‫مساحة منطقة القطع الناقص ويرمز لها ‪(Area) A‬‬
‫‪22‬‬
‫محيط القطع الناقص ويرمز له ‪(Perimeter) P‬‬
‫‪7‬‬
‫=‪, π‬‬
‫”‪ “e‬االختالف المركزي ويكون دائم ًا اقل من الواحد)‪, (e < 1‬‬
‫مثال ‪- 9-‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫‪10) P= 2π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a 2 − b2‬‬
‫= = ‪11) e‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫في كل مما يأتي جد طول كل من المحورين واحداثي كل من البؤرتين والرأسين‬
‫واالختالف المركزي ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪25 16‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪1‬‬
‫= ‪2) 4x 2 + 3y2‬‬
‫‪59‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫احلل (‪)1‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية ‪ 2 + 2 = 1‬حيث ‪. a > b‬‬
‫‪a b‬‬
‫طول المحور الكبير‬
‫وحدة‬
‫طول المحور الصغير‬
‫وحدة‬
‫‪⇒ a 2 = 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10‬‬
‫‪b2 = 16 ⇒ b = 4 ⇒ 2b = 8‬‬
‫‪c = a 2 − b2 = 25 − 16 = 9 = 3‬‬
‫‪∴ c=3‬‬
‫البؤرتان‬
‫)‪∴FF11 (3, 0) , FF22 (−3, 0‬‬
‫)‪V22(−5, 0‬‬
‫‪V11(5, 0) , V‬‬
‫الرأسان‬
‫)االختالف المركزي( ‪c 3 < 1‬‬
‫= =‪e‬‬
‫‪a 5‬‬
‫احلل (‪)2‬‬
‫‪3‬‬
‫بضرب طرفي المعادلة بـ‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪4x 2 + 3y2‬‬
‫‪9y2‬‬
‫‪3x +‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪+ 4 =1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫طول المحور الكبير‬
‫وحدة‬
‫طول المحور الصغير‬
‫وحدة‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪⇒ a = ⇒ 2a‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪b2 = ⇒ b‬‬
‫= ‪⇒ 2b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪⇒ a2‬‬
‫‪4 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫= ‪−‬‬
‫=‬
‫‪9 3‬‬
‫‪9 3‬‬
‫البؤرتان‬
‫الرأسان‬
‫)االختالف المركزي(‬
‫‪60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c = aa2‬‬
‫=‪⇒c‬‬
‫‪−−bb2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪FF1  0, 1  , FF22  0,− 1 ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V11  0,  , V‬‬
‫‪V22  0,− ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 <1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪c‬‬
‫= =‪∴e‬‬
‫‪a‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫مثال ‪- 10-‬‬
‫جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه ( ‪ F2(-3,0) , F1(3,0‬ورأساه النقطتان‬
‫)‪ V2 (-5,0) , V1 (5,0‬ومركزه نقطة االصل‪.‬‬
‫احلل‬
‫البؤرتان والرأسان يقعان على محور السينات والمركز في نقطة االصل‪:‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪∴ 2 + 2 =1‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪⇒ c = 3 ⇒ c2 = 9‬‬
‫‪⇒ a = 5 ⇒ a 2 = 25‬‬
‫‪⇒ c 2 = a 2 − b2 ⇒ b2 = a 2 − c 2 = 25 − 9 = 16‬‬
‫مثال ‪- 11-‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫معادلة القطع الناقص‬
‫‪25 16‬‬
‫جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وينطبق محوراه على المحورين‬
‫االحداثيين ويقطع من محور السينات جزء ًا طوله ‪ 8‬وحدات ومن محور الصادات‬
‫جزء ًا طوله ‪ 12‬وحدة‪ ،‬ثم جد المسافة بين البؤرتين ومساحة منطقته ومحيطه‪.‬‬
‫احلل‬
‫‪2b = 8 ⇒ b = 4 ⇒ b2 = 16‬‬
‫‪2b=8‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2a = 12 ⇒ a = 6 ⇒ a 2 = 36‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪16 36‬‬
‫‪a 2 − b2‬‬
‫‪b2 = 36 − 16 = 2 5‬‬
‫‪c = a2‬‬
‫المسافة بين البؤرتين‬
‫وحدة ‪⇒ 2c = 4 5‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2a=12‬‬
‫مساحة منطقة القطع الناقص ‪A = abπ‬‬
‫‪22‬‬
‫⇒‪A‬‬
‫‪== abπ‬‬
‫= ‪)،π‬وحدة مربعة( ‪(6)(4)π = 24π‬‬
‫‪7‬‬
‫محيط القطع الناقص‬
‫الشكل (‪)2-11‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫=‪∵P‬‬
‫‪Q 2π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪36 + 16‬‬
‫‪52‬‬
‫‪= 2π‬‬
‫⇒‬
‫وحدة ‪= 2π 26‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 2π‬‬
‫⇒‪P‬‬
‫‪61‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫مثال ‪- 12-‬‬
‫لتكن ‪ kx2 + 4y2 = 36‬معادلة قطع ناقص مركزه نقطة االصل واحدى بؤرتيه‬
‫)‪ ( 3 ,0‬جد قيمة ‪.K∈R‬‬
‫احلل‬
‫] ‪[÷ 36‬‬
‫من البؤرة )‪( 3, 0‬‬
‫‪kx2 + 4y2 = 36‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫‪36‬‬
‫‪94‬‬
‫‪k‬‬
‫‪⇒ c = 3 ⇒ c2 = 3‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫وبالمقارنة مع المعادلة القياسية‬
‫‪+ 2 =1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪36‬‬
‫‪,‬‬
‫)‪b2 = 9 , c2 = 3 .... (1‬‬
‫)‪⇒ a 2 = ........(1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪=9‬‬
‫‪c2 = a2 2 - b22 ......‬‬
‫)‪(2‬‬
‫(‪=)1‬في‪2(9‬‬
‫‪c36= a − b2 ⇒ 3 = a 2 − 9 ⇒ a 2 =(3+‬‬
‫بالتعويض عن ‪12‬‬
‫=‪3‬‬
‫‪−9 ⇒ k = 3‬‬
‫‪∴ a 2k= 12‬‬
‫‪36‬‬
‫مثال ‪- 13-‬‬
‫⇒‬
‫‪12‬‬
‫=‬
‫محور السينات‬
‫على‬
‫وبؤرتاه‬
‫االصل‬
‫نقطة‬
‫في‬
‫مركزه‬
‫الذي‬
‫الناقص‬
‫القطع‬
‫معادلة‬
‫جد‬
‫‪k‬‬
‫‪36‬‬
‫وحدة‪.‬‬
‫يساوي (‪⇒ k =)2‬‬
‫والمسافة بين البؤرتين (‪ )6‬وحدات ‪ ،‬والفرق بين طولي المحورين ‪= 12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪k=3‬‬
‫احلل‬
‫‪2c = 6 ⇒ c = 3‬‬
‫]‪[÷2‬‬
‫‪2a − 2b = 2‬‬
‫)‪a -= b = 1 ⇒ a = 1+ b .......(1‬‬
‫‪62‬‬
‫∵‬
‫بالتعويض‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∵ c = a −b‬‬
‫‪9 = (1+ b)2 − b2‬‬
‫‪9 = 1+ 2b+ b2 − b2‬‬
‫‪9 = 1+ 2b‬‬
‫)‪b = 4........(2‬‬
‫‪a = 1+ 4 = 5‬‬
‫‪2‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫‪9 = 1+ 2b‬‬
‫)‪b = 4........(2‬‬
‫‪a = 1+ 4 = 5‬‬
‫تعويض (‪ )2‬في (‪)1‬‬
‫‪a 2 = 25‬‬
‫معادلة القطع الناقص‬
‫مثال ‪- 14-‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫‪25 16‬‬
‫جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بؤتيه بؤرة القطع المكافئ‬
‫‪ , y2 - 12x =0‬وطول محوره الصغير يساوي (‪ )10‬وحدات ‪.‬‬
‫احلل‬
‫‪y2 − 12x = 0‬‬
‫‪y2 = 12x‬‬
‫‪y2 = 4px‬‬
‫)بالمقارنة مع المعادلة القياسية(‬
‫‪4 p = 12 ⇒ p = 3‬‬
‫بؤرتا القطع الناقص هما ‪FF1 (3, 0) , FF22 (−3, 0) :‬‬
‫‪⇒ c = 3 ⇒ c2 = 9‬‬
‫‪2b = 10‬‬
‫‪b = 5 ⇒ b2 = 25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∵ c = a − 25‬‬
‫‪9 = a 2 − 25‬‬
‫∵‬
‫‪a 2 = 34‬‬
‫معادلة القطع الناقص‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫⇒‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪34 25‬‬
‫‪63‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫مثال ‪- 15-‬‬
‫باستخدام التعريف ‪ ،‬جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه ‪:‬‬
‫( ‪ F2 (-2,0) , F1(2,0‬والعدد الثابت = ‪6‬‬
‫احلل‬
‫‪ ∀p(x,‬تنتمي للقطع الناقص‪:‬‬
‫)‪P y)y‬‬
‫‪∀p(x,‬‬
‫‪PF1 1++PF‬‬
‫‪⇒ pF‬‬
‫‪pF22 = 2a‬‬
‫‪(zx − 2)2 + y2 + (x + 2)2 + y2 = 6‬‬
‫بتربيع الطرفين‬
‫‪(x − 2)2 + y2 = 6 − (x + 2)2 + y2‬‬
‫‪(x − 2)2 + y2 = 36 −12 (x + 2)2 + y2 + (x + 2)2 + y2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2 − 4x + 4 + y2 = 36 −12 (x + 2)2 + y2 + x 2 + 4x + 4 + y2‬‬
‫بالقسمة على ‪4‬‬
‫‪12 (x + 2)2 + y2 = 36 + 8x‬‬
‫بتربيع الطرفين‬
‫‪3 (x + 2)2 + y2 = 9 + 2x‬‬
‫‪9 [ x 2 + 4x + 4 + y2 ] = 81+ 36x + 4x 2‬‬
‫‪9x 2 + 36x + 36 + 9y2 = 81+ 36x + 4x 2‬‬
‫‪5x 2 + 9y2 = 81− 36‬‬
‫‪5x 2 + 9y2 = 45‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫معادلة القطع الناقص ‪+ = 1‬‬
‫‪9 5‬‬
‫[‪ ]2-4-4‬طريقة رسم القطع الناقص ‪.Graph The Ellipse‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫لتكن ‪ 2 + 2 = 1‬معادلة قطع ناقص بؤرتاه تنتميان لمحور السينات ولرسم هذا القطع ‪:‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪ .1‬نعين النقطتين ( ‪V1 (a , 0) , V2(-a,0‬‬
‫‪ .2‬نعين النقطتين ( ‪M1 (0 , b) , M2(0,-b‬‬
‫‪ .3‬نصل بين النقاط االربعة ‪ V1 M1 V2 M2‬على الترتيب بمنحني متصل‪.‬‬
‫‪ .4‬نعين البؤرتين ( ‪F1 (c , 0) , F2(-c,0‬‬
‫‪64‬‬
‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪J‬‬
‫‪) øjQɪ‬‬
‫‪‐2‬‬
‫‪ .1‬ﻋﻴﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ واﻟﻘﻄﺒﻴﻦ واﻟﻤﺮﻛﺰ ﺛﻢ ﺟﺪ ﻃﻮل وﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ واﻻﺧﺘﻼف‬
‫اﻟﻤﺮﻛﺰي ﻟﻠﻘﻄﻮع اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ اﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬
‫‪a) x 2 + 2y2 = 1‬‬
‫‪b) 9x 2 +13y2 = 117‬‬
‫‪ .2‬ﺟﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺛﻢ أرﺳﻤﻪ‪:‬‬
‫أ‪ .‬اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن )‪ (5 ,0‬و )‪ (-5 ,0‬وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻜﺒﻴﺮ ﻳﺴﺎوي )‪ (12‬وﺣﺪة‪.‬‬
‫ب‪ .‬اﻟﺒﺆرﺗﺎن )‪0‬‬
‫‪ (0 (±2,‬وﻳﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻋﻨﺪ ‪. x = ±4‬‬
‫ﻫﻤﺎ)‪, 2‬‬
‫ﺟـ‪ .‬اﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﺗﺒﻌﺪ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺘﻲ ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻜﺒﻴﺮ ﺑﺎﻟﻌﺪدﻳﻦ ‪ 5 ،1‬وﺣﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‪.‬‬
‫د‪ .‬اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي = ‪ 1‬وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺼﻐﻴﺮ )‪ (12‬وﺣﺪة ﻃﻮﻟﻴﺔ ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻫـ‪ .‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﺗﺴﺎوي )‪ (8‬وﺣﺪات ‪ ،‬وﻧﺼﻒ ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺼﻐﻴﺮ ﻳﺴﺎوي )‪(3‬وﺣﺪة ‪.‬‬
‫‪ .3‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اذا ﻋﻠﻢ‪:‬‬
‫أ‪ .‬ﺑﺆرﺗﺎﻩ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن )‪ (0,±2‬ورأﺳﺎﻩ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن )‪ (0,±3‬وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬
‫ب‪.‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ)‪(6‬وﺣﺪة واﻟﻌﺪد اﻟﺜﺎﺑﺖ)‪(10‬واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﺗﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ‬
‫ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬
‫‪ .4‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي‬
‫‪2‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y + 8x = 0‬ﻋﻠﻤ ًﺎ ﺑﺎن اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪3‬‬
‫‪. (2 3 ,‬‬
‫‪65‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫‪ .5‬جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين‬
‫(‪.)3 ,4( , )6, 2‬‬
‫‪ .6‬جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني‬
‫‪ x2 + y2 -3x = 16‬مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ ‪. y2 = 12x‬‬
‫‪ .7‬جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتميان الى محور السينات ومركزه في نقطة االصل وطول‬
‫محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ ‪ y2 + 8x = 0‬عند النقطة التي‬
‫احداثيها السيني يساوي (‪. )-2‬‬
‫‪ .8‬قطع ناقص معادلته ‪ hx 2 + ky2 = 36‬ومركزه نقطة االصل ومجموع مربعي طولي محوريه يساوي‬
‫(‪ ، )60‬واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته ‪ y2 = 4 3x‬ما قيمة كل من‬
‫‪h,k∈R‬؟‬
‫‪ .9‬جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ ‪x2 = 24y‬‬
‫ومجموع طولي محوريه (‪ )36‬وحدة‪.‬‬
‫‪ .10‬جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتيه (‪ F2(-4,0)، F1(4,0‬والنقطة ‪ Q‬تنتمي للقطع الناقص‬
‫بحيث ان محيط المثلث ‪ QF1F2‬يساوي(‪ )24‬وحدة‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫[‪ ]2-4‬القطع الزائد ‪. Hyperbola‬‬
‫تعـــريـف [‪]2-4‬‬
‫القطع الزائد هو مجموعة النقط في املستوي التي تكون القيمة املطلقة لفرق بعدي اي منها عن‬
‫نقطتني ثابتتني (البؤرتان) يساوي عدد ًا ثابت ًا ‪.‬‬
‫كما في الشكل (‪)2 - 12‬‬
‫‪y‬‬
‫البؤرتان هما ( ‪F1 (c , 0) , F2(-c,0‬‬
‫الرأسان هما ( ‪V1 (a , 0) , V2(-a,0‬‬
‫والنقطة ( ‪ P(x,y‬نقطــة مــن نقـــاط منحني‬
‫)‪P(x,y‬‬
‫القطــــــع الزائــد ومـــن التعــــريف [‪]2 - 6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪| PF1 - PF2| = 2a‬‬
‫حيث ‪ 2a‬عدد ًا ثابتــ ًا يمثـــل طــول المحـــور‬
‫)‪(0,b‬‬
‫)‪F1(c,0‬‬
‫‪O‬‬
‫)‪v1(a,0‬‬
‫)‪F2(-c,0‬‬
‫)‪v2(-a,0‬‬
‫)‪(0,-b‬‬
‫الحقيقي للقطــــع الزائـــد الــذي تقــع عليــه‬
‫البــــؤرتيــــــن والــــرأسيـــن وكــــــل مـــــــن‬
‫‪ pF1 , pF2‬يسميـــــان طـــــــــولي نصفـــــي‬
‫القطريــــن البؤرييـن المرسوميـن مـن نقطــــة‬
‫(‪ )p‬والمســـــافـــة ‪ F1 F2‬هي البعــــــد بين‬
‫الشكل (‪)2-12‬‬
‫البؤرتين وتساوي ‪ 2c‬وطول المحـور المرافق‬
‫او التخيلي هو (‪( )2b‬وهو المحور العمودي‬
‫على المحور الحقيقي والمار بمركز القطع) ‪.‬‬
‫‪67‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫[‪ ]2-4-1‬معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل‪.‬‬
‫من الشكل (‪ )2 - 12‬وتبع ًا لتعريف القطع الزائد‪:‬‬
‫‪|PF1pF‬‬
‫=|‪-PF−2‬‬
‫‪pF2a= 2a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⇒ PF‬‬
‫‪pF11 − PF‬‬
‫‪pF22 = ±2a‬‬
‫‪⇒ (x − c)2 + y2 − (x + c)2 + y2 = ±2a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪⇒ (x − c)2 + y2 ±‬‬
‫‪= 2a‬‬
‫)‪±2a++ (x(x−+c)c‬‬
‫‪++y2y‬‬
‫وبتربيع الطرفين والتبسيط كما مر في معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل والبؤرتان على‬
‫محور السينات نحصل على المعادلة‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪a 2 a 2 − c2‬‬
‫من الشكل (‪ )2 - 22‬فان‪c > 0 , a > 0 , c > a :‬‬
‫‪c2 - a2 > 0‬‬
‫وبفرض ان ‪b2 = c2 - a2‬‬
‫وبتعويض عن ‪ a2 - c2 = -b2‬في المعادلة القياسية السابقة نحصل على‪:‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪⇒ 2 − 2 =1‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪68‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫[‪ ]2-4-2‬معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه على محور الصادات ومركزه نقطة االصل ‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪F1(0,c‬‬
‫اذا كانت البؤرتان على محور الصـــادات‬
‫‪suuur‬‬
‫ومحورالسينات هو العمـــود على ‪F1 F2‬‬
‫)‪v1(0,a‬‬
‫من نقطة االصل كما في الشكل(‪)2 - 13‬‬
‫وبنفس الطريقة السابقة نجد المعادلــــــة‬
‫القيــاسيـــــة للقـطـــــــع الزائـــــــــــــــد ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(b,0‬‬
‫‪y2 x 2‬‬
‫وهي‪− 2 = 1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b‬‬
‫)‪(-b,0‬‬
‫)‪v2(0,-a‬‬
‫)‪F2(0,-c‬‬
‫الشكل (‪)2-13‬‬
‫مالحظـة‬
‫االختالف املركزي ‪ e‬للقطع الزائد يكون أكبر من واحد أي‬
‫‪c‬‬
‫‪>1‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪e‬‬
‫[‪ ]2-4-3‬طريقة رسم القطع الزائد ‪. Graph The Hyperbola‬‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫لتكن ‪ 2 − 2 = 1‬معادلة قطع زائد بؤرتاه تنتميان لمحور السينات ولرسم هذا القطع ‪:‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪ .1‬نعين النقطتين ( ‪. )a , 0) , (-a , 0‬‬
‫‪ .2‬نعين النقطتين (‪.)0 ,-b) , (0 , b‬‬
‫‪ .3‬نكون مستطي ً‬
‫ال من هذه النقط أضالعه تــــوازي المحوريـن كمــــا في الشكـل (‪.)2 - 14‬‬
‫‪69‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .4‬نرســـــــم قطــــــــري المستطيــــــــــــل‬
‫)‪(0,b‬‬
‫كما في الشكل (‪ )2 - 14‬فهما يمثالن‬
‫المستقيمين المحاذيين لمنحني القطــع‬
‫الزائد ‪.‬‬
‫)‪V1(a,0‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪V2(-a,0‬‬
‫)‪(0,-b‬‬
‫الشكل (‪)2-14‬‬
‫‪ .5‬نعين البؤرتين ( ‪ F1(c , 0) , F2(-c,0‬ثم نرسم ذراعي القطع الزائد كما في الشكل (‪.)2 - 15‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪F2(-c,0‬‬
‫)‪F1(c ,0‬‬
‫الشكل (‪)2-15‬‬
‫‪70‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫مثال ‪-16-‬‬
‫عين البؤرتين والرأسين وطول كل من المحورين الحقيقي والمرافق للقطع الزائد ثم‬
‫أرسمه‪.‬‬
‫احلل‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪64 36‬‬
‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫‪yx xy‬‬
‫‪− 2 =1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b‬‬
‫وحدة ‪⇒ a 2 = 64 ⇒ a = 8 ⇒ 2a = 16‬‬
‫طول المحور الحقيقي‬
‫وحدة ‪⇒ b2 = 36 ⇒ b = 6 ⇒ 2b = 12‬‬
‫طول المحور المرافق‬
‫‪c 2 = a 2 + b2 ⇒ c 2 = 64 + 36‬‬
‫‪⇒ c 2 = 100 ⇒ c = 10‬‬
‫رأسا القطع الزائد هما ( ‪V1 (8 , 0) , V2(-8,0‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪∴ F1 (10, 0) , F2 (−10, 0‬‬
‫والبؤرتان هما ( ‪F1 (10 , 0) , F2(-10,0‬‬
‫)‪∴V1 (8, 0) , V2 (−8, 0‬‬
‫)‪(0, 6‬‬
‫‪x‬‬
‫الشكل (‪)2-16‬‬
‫مثال ‪-17-‬‬
‫)‪F1(10 ,0‬‬
‫)‪V2(-8,0‬‬
‫)‪V1(8,0‬‬
‫)‪F2(-10,0‬‬
‫)‪(0, -6‬‬
‫جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل وطول محوره الحقيقي = ‪ 6‬وحدات‬
‫واالختالف المركزي يساوي (‪ )2‬والبؤرتان على محور السينات‪.‬‬
‫احلل‬
‫‪2a = 6 ⇒ a = 3 ⇒ a 2 = 9‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪∴e= ⇒ 2 = ⇒ c = 6‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪∴ c 2 = a 2 + b2 ⇒ 36 = 9 + b2‬‬
‫‪⇒ b2 = 36 − 9 ⇒ b2 = 27‬‬
‫معادلة القطع الزائد القياسية‬
‫‪x 2 y2‬‬
‫‪∴ −‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪9 27‬‬
‫‪71‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫مثال ‪-18-‬‬
‫جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل وطول محوره المرافق ‪ 4‬وحدات‬
‫) ‪F1 (0, 8 ) , F2 (0,− 8‬‬
‫وبؤرتاه هما النقطتان‪:‬‬
‫احلل‬
‫‪y2 x 2‬‬
‫بما ان البؤرتين على محور الصادات فمعادلته القياسية ‪− 2 = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b‬‬
‫⇒ ‪2b = 4‬‬
‫⇒‪2bb==42‬‬
‫‪= bb2 ==24= b2 = 4‬‬
‫‪y‬‬
‫⇒ ‪c= 8‬‬
‫‪c =c 2 8= 8⇒ c 2 = 8‬‬
‫) ‪F1 (0, 8‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪Q c 2 = aQ2 +cb‬‬
‫‪= a 2 + b2‬‬
‫‪∴ 8 = a 2∴+84 = a 2 + 4‬‬
‫)‪(0, 2‬‬
‫‪a2 = 4 a2 = 4‬‬
‫‪y2 x 2 y2 x 2‬‬
‫‪− = 1− = 1‬‬
‫‪4 4 4 4‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(−2, 0‬‬
‫)‪(2, 0‬‬
‫)‪(0, −2‬‬
‫) ‪F2 (0, − 8‬‬
‫الشكل (‪)2-17‬‬
‫مساو الى طول المحور المرافق مثل هذا النوع من القطوع الزائدة‬
‫في هذا المثال طول المحور الحقيقي‬
‫ٍ‬
‫يدعى بالقطع الزائد القائم او (المتساوي االضالع) الن النقاط االربع تشكل رؤوس مربع وفيه يكون‬
‫االختالف المركزي (‪ )e‬مقدار ثابت قيمته ) ‪. ( 2‬‬
‫‪72‬‬
‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬
‫‪)2‬‬
‫ت‬
‫مارين (‬
‫‪-3‬‬
‫‪ .1‬عين كل من البؤرتين والرأسين ثم جد طول كل من المحورين واالختالف المركزي للقطوع الزائدة‬
‫االتية ‪:‬‬
‫‪b) 16x 2 − 9y = 144‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a) 12x 2 − 4y2 = 48‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y2 x 2‬‬
‫االتية‪+‬ثم‪(x‬‬
‫الحاالت ‪5)2‬‬
‫)‪(y −1‬‬
‫‪:‬‬
‫القطع‬
‫ارسم‬
‫في‬
‫الزائد‬
‫)‪c‬‬
‫‪− =3‬‬
‫)‪d‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ .2‬اكتب معادلة القطع ‪= 1‬‬
‫نقطة ‪3‬‬
‫مع محور السينات عند ‪ x = ±3‬ومركزه ‪2‬‬
‫‪ (±5,‬ويتقاطع‪36‬‬
‫أ‪ .‬البؤرتان هما النقطتان )‪64 0‬‬
‫االصل‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(y −1) (x − 2‬‬
‫وحدة ‪2‬وطول‬
‫وحدات وينطبق‪−‬محوراه على )‪e‬‬
‫المرافق (‪= 1)10‬‬
‫محوره ) ‪f‬‬
‫)‪2(x +1‬‬
‫(‪− 4(x)12‬‬
‫الحقيقي‪−1)2‬‬
‫ب‪ .‬طول محوره ‪= 8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫المحورين االحداثيين ومركزه نقطة االصل‪.‬‬
‫جـ‪ .‬مركزه نقطة االصل وبؤرتاه على محور الصادات وطول محوره المرافق ‪ 2 2‬وحدة واختالفه‬
‫المركزي يساوي (‪.)3‬‬
‫‪ .3‬جــــــــــــــد باستخــــدام تعــريف معــادلـــة القطــع الـــزائـــد الــذي مركـزه نقطــة االصـــل وبؤرتيــه‬
‫)‪ (2 2 0) , (−2 2 0‬وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين والقيمــة المطلقة للفـــرق بيــن‬
‫)‪2 0‬‬
‫‪, (−2‬‬
‫نقطة ‪(2‬‬
‫اية ‪2‬‬
‫بعدي )‪0‬‬
‫)‪, (−2 2 0‬‬
‫يساوي‪ )4((2‬وحدات‪.‬‬
‫بؤرتيه‬
‫عن‬
‫‪ .4‬قطع زائد طول محوره الحقيقي (‪ )6‬وحدات واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة‬
‫االصل ويمر بالنقطتين ) ‪ . (1,−2 5 ) , (1, 2 5‬جد معادلتي القطع المكافئ الذي رأسه نقطـــة‬
‫االصل والقطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل ‪, .‬‬
‫‪ .5‬قطع زائد مركزه نقطة االصل ومعادلته ‪ hx2 - ky2 = 90‬وطول محوره الحقيقي )‪ (6 2‬وحدة وبؤرتاه‬
‫تنطبقان على بؤرتي القطع الناقص الذي معادلته ‪ 9x2 + 16y2 = 576‬جد قيمة كل من ‪ h , k‬التي تنتمي‬
‫الى مجموعة االعداد الحقيقية‪.‬‬
‫‪ .6‬اكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل اذا علمت ان احد راسيه يبعد عن البؤرتين‬
‫بالعددين ‪ 1 , 9‬وحدات على الترتيب وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين‪.‬‬
‫‪ .7‬جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الزائد الذي معادلته ‪ x2 - 3y2 = 12‬والنسبة‬
‫بين طولي محوريه = ‪ 5‬ومركزه نقطة االصل ‪.‬‬
‫‪ .8‬النقطة (‪3 p(6 , L‬‬
‫تنتمي الى القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل ومعادلته ‪ x2-3y2 =12‬جد ك ً‬
‫ال من‪:‬‬
‫ب‪ .‬طول نصف القطر البؤري للقطع المرسوم في الجهة اليمنى من النقطة ‪.P‬‬
‫أ‪ .‬قيمة ‪. L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .9‬جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتي القطع الناقص ‪ x + y = 1‬ويمس دليل القطع‬
‫‪9 25‬‬
‫المكافئ ‪. x2 + 12y = 0‬‬
‫‪73‬‬
‫‪3‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Application of Differentiation‬‬
‫الف�صل الثالث‬
‫‪Chapter Three‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‬
‫[‪]3-1‬‬
‫املشتقات ذات الرتب العليا‬
‫[‪]3-2‬‬
‫املعدالت املرتبطة‬
‫[‪]3-3‬‬
‫مبرهنتا رول والقيمة املتوسطة‬
‫[‪ ]3-4‬اختبار التزايد والتناقص للدالة باستخدام املشتقة االولى‬
‫[‪ ]3-5‬النهاية العظمى والنهاية الصغرى احمللية‬
‫[‪ ]3-6‬تقعر وحتدب املنحنيات ونقط االنقالب‬
‫[‪ ]3-7‬اختبار املشتقة الثانية لنقط النهايات العظمى والصغرى احمللية‬
‫[‪ ]3-8‬رسم املخطط البياني للدالة‬
‫[‪ ]3-9‬تطبيقات عملية على القيم العظمى او الصغرى‪.‬‬
‫املصطلح‬
‫املشتقات العليا‬
‫التغير التقريبي عند ‪a‬‬
‫‪74‬‬
‫‪74‬‬
‫الرمز او العالقة الرياضية‬
‫‪dn y‬‬
‫)‪= n = f (n)(x‬‬
‫‪cx‬‬
‫‪dx‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪y‬‬
‫‪hf ′(a), h = b− a‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫تطبيقات التفاضل‬
‫متهيد ‪ :‬لقد سبق أن تعلمت في الصف اخلامس العلمي متى تكون الدالة قابلة‬
‫لالشتقاق وتعرفت على قواعد ايجاد مشتقات الدوال اجلبرية والدائرية والتفسير الهندسي‬
‫والفيزيائي للمشتقة وفي هذا الفصل سنتناول بعض املفاهيم االخرى وبعض استعماالت‬
‫وتطبيقات حساب التفاضل‬
‫[‪ ]3-1‬املشتقات ذات الرتب‬
‫العليا(‪)Higher- Order Dedrivatives‬‬
‫إذا كانت )‪Yy = f (x‬دالة تتوافر فيها شروط االشتقاق فان مشتقتها األولى (‪)First Derivative‬‬
‫هي )‪ y′ = dy = f ′(x‬ومتثل دالة جديدة‬
‫‪dx‬‬
‫والدالة اجلديدة هذه إذا توافرت فيها شروط االشتقاق أيض ًا فإن مشتقها دالة جديدة متثل املشتقة الثانية‬
‫‪2‬‬
‫( ‪ )Second Derivative‬ويرمز لها بالرمز )‪ y′′ = d y = f ′′(x‬وهذه االخيرة ايض ًا دالة جديدة‬
‫‪dx 2‬‬
‫في املتغير‪x‬‬
‫وإذا توافرت فيها شروط االشتقاق فإن مشتقتها تسمى املشتقة الثالثة‬
‫(‪ :)Third Derivative‬ويرمز لها‬
‫‪d3 y‬‬
‫)‪y′′′ = 3 = f ′′′(x‬‬
‫‪dx‬‬
‫وعلى هذا املنوال ميكن ايجاد مشتقات متتالية وبدء ًا من املشتقة الثانية يطلق على هذه املشتقات باملشتقات‬
‫العليا (‪)Higher Derivatives‬وتكتب املشتقة من الرتبة ‪ n‬كما يأتي‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪ y(n) = d y = f (n) (x‬حيث ‪ n‬عدد صحيح موجب‪.‬‬
‫‪dx n‬‬
‫‪75‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫ولنتعرف على رموز مختلفة للمشتقات املتتالية وكما يأتي‪:‬‬
‫)‪,...,f (n) (x‬‬
‫‪f '(x), f ''(x), f '''(x), f (4 ) (x)....,‬‬
‫)‪y', y'', y''', y(4 ) ,...., y(n‬‬
‫‪dy d2 y d3 y d 4 y‬‬
‫‪dn y‬‬
‫‪, 2 , 3 , 4 ,..., n‬‬
‫‪dx dx dx dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫ومن تعريف املشتقات العليا يتضح لنا أن ‪:‬‬
‫وأن ‪:‬‬
‫‪d y d  dy ‬‬
‫‪=  ‬‬
‫‪dx 2 dx  dx ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d3 y d  d2 y ‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪ ,.....‬‬
‫‪dx 3 dx  dx 2 ‬‬
‫وكمثال للمشتقات املتتالية نأخذ الدالة االتية‪ s=f(t ( :‬حيث ‪ s‬متثل إزاحة جسم متحرك عند أي زمن‪،t‬‬
‫‪d2 s‬‬
‫فاملشتقة األولى )‪ ds = f ′(t‬متثل السرعة اللحظية لذلك اجلسم‪ ،‬واملشتقة الثانية‬
‫‪′′‬‬
‫=‬
‫‪f‬‬
‫)‪(t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt 2‬‬
‫متثل معدل تغير السرعة أي التعجيل(‪ )Acceleration‬للجسم املتحرك‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫أما املشتقة الثالثة لإلزاحة بالنسبة للزمن ‪ d s = f ′′′ (t ) ,t‬فتمثل املعدل اللحظي لتغير التعجيل‬
‫‪dt 3‬‬
‫ومن األمثلة الفيزيائية ا ُألخرى‪ ،‬حساب درجة األمان في نظام فرامل سيارة ما يتوقف على أقصى تباطؤ‬
‫(‪)Deceleration‬ميكن أن حتدثه الفرامل(وهو تعجيل سالب)‪.‬‬
‫وعند اطالق صاروخ للفضاء فإن رائد الفضاء الذي في املركبة داخل الصاروخ يتعرض لتأثيرات صحية‬
‫وهذه التأثيرات تعتمد على التعجيل الذي يتعرض له هذا الرائد ‪.‬‬
‫وتستعمل املشتقة الثالثة لدراسة ما يتعرض له راكب قطارات األنفاق‪.‬‬
‫‪76‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-1-‬‬
‫احلل‬
‫‪d4 y‬‬
‫إذا كانت ‪ y= cos 2x‬فجد‬
‫‪dx 4‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪= −2sin 2x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪d2 y‬‬
‫‪= −(2)2 cos 2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪d3 y‬‬
‫‪= 23 sin 2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪d4 y‬‬
‫‪= 24 cos 2x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪dx‬‬
‫مثال‪-2-‬‬
‫احلل‬
‫‪d3 y‬‬
‫‪d2 y dy‬‬
‫إذا علمت بأن ‪ y2+x2=1‬فبرهن على أن ‪y 3 + 3 2 . = 0 :‬‬
‫‪dx3‬‬
‫‪dx dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫نشتق العالقة املعطاة اشتقاق ًا ضمني ًا ‪،‬أي نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير ‪x‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪:‬ومن قسمة طرفي املعادلة على ‪ 2‬نحصل على‬
‫‪2y + 2x = 0‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪+x=0‬‬
‫‪dx‬‬
‫والتنسى ان احلد االول هو حالة ضرب متغيرين‬
‫‪d2 y dy dy‬‬
‫‪y 2 + . +1 = 0‬‬
‫‪dx dx dx‬‬
‫‪y‬‬
‫ثم نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير ‪x‬‬
‫‪d2 y dy 2‬‬
‫‪y 2 +( ) +1 = 0‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d3 y‬‬
‫‪d2 y dy‬‬
‫‪ dy  d y‬‬
‫‪y 3 + 3 2 . + 2 ‬‬
‫‪+0 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx3‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪d3 y‬‬
‫‪d2 y dy‬‬
‫‪y‬‬
‫‪+3 2 . =0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪dx3‬‬
‫‪dx dx‬‬
‫وبهذا يتم املطلوب‬
‫‪dx‬‬
‫‪77‬‬
Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬
)
1 ( ‫ارين‬
‫تم‬
3-
d2 y
:‫ لكل مما يلي‬2 ‫ جد‬.1
dx
2− x
b)e)y =
, x ≠ −2
2+ x
a) y = 2 − x ,∀x ≤< 22
c) 2xy − 4y + 5 = 0, y ≠ 0, x ≠ 2
:‫ لكل مما يأتي‬f ′′′(1) ‫ جد‬.2
a) f (x) =y4= 62−−2xx ,∀x <≤ 3
2
x≠
b) f (x) = x sin π x
c) f (x) =
3
,x ≠ 2
2−x
(2n+1)π
d2 yx x ≠ (2n+1)π
, ∀n ∈ Z, ‫حيث‬
y = tan
∀n ∈ Z, y = tan x ‫ إذا كانت‬.3
= 2y (1+ y2 ) ‫ أن‬,‫فبرهن‬
2
2
2
dx
(4)
4y + 5x == 0,
0, x ≠y=x
2 sin x ‫ إذا كانت‬.4
y( 4 ) 2xy
− y +− 3cos
0 y‫فبرهن≠أن‬
78
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫[‪ ]3-2‬املعدالت املرتبطة ‪Related Rates‬‬
‫إذا وجد أكثر من متغير بحيث تتوقف قيمة كل من هذه املتغيرات على متغير واحد يسمى (بارامتر)‬
‫ومثال ُه الزمن فتتغير كل املتغيرات تبع ًا لتغيره وحيث أن العالقة هي ارتباط فإننا نسمي املعدالت الزمنية هذه‬
‫باملعدالت الزمنية املرتبطة واحيان ًا باملعدالت املرتبطة أو املعدالت الزمنية فقط‪ ،‬فمث ً‬
‫ال اذا كان‬
‫)‪y = g(t), x = f (t‬‬
‫فاملتغيران ‪ x,y‬متغيرين تابعني كل منهما مرتبط باملتغير املستقل ‪ ،t‬فمن املمكن ربط املتغيرين ببعضهما‪،‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪ dx‬والناجتان ميثالن املعدلني‬
‫وميكن أن جند معدل تغير كل منهما وكما يأتي‪:‬‬
‫)‪= f ′(t), = g′(t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫الزمنيني لتغير كل من ‪y,x‬‬
‫وقد يتوافر الربط بني املتغيرين في مسألة ما مبعادلة وفي هذه احلالة نشتق الطرفني بالنسبة للزمن ‪ t‬فعلى‬
‫سبيل املثال من املعادلة ‪ x2+y2-4y+6x=0‬ميكن ايجاد املعدل الزمني لتغير كل من ‪ x,y‬وكما يلي‪:‬‬
‫‪d 2 2‬‬
‫‪d‬‬
‫⇒ )‪(x + y − 4y + 6x) = (0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫فيكون ‪ :‬املعدل الزمني لتغير ‪ y‬يساوي ‪dy‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪+ 2y − 4 + 6‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪dx‬‬
‫واملعدل الزمني لتغير ‪ x‬يساوي‬
‫‪dt‬‬
‫مالحظـة‬
‫حلل أي سؤال يتعلق باملعدالت املرتبطة حاول إتباع ما يلي إن أمكن‪:‬‬
‫‪ )1‬ارسم مخطط ًا للمسألة (أن احتجت الى ذلك)وحدد املتغيرات والثوابت وضع لها الرموز وحدد‬
‫العالقة الرئيسية في حل السؤال‪.‬‬
‫‪ )2‬حاول إيجاد عالقة أخرى بني املتغيرات لكي تقلل من عدد املتغيرات‪.‬‬
‫‪ )3‬نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير (الزمن) ‪.t‬‬
‫‪ )4‬عوض معطيات السؤال من املتغيرات بعد االشتقاق‪.‬‬
‫واالمثلة التالية توضح ذلك‪:‬‬
‫‪79‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-1-‬‬
‫خزان مملوء باملاء على شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة طول ضلعها ‪ 2m‬يتسرب منه املاء‬
‫مبعدل ‪ 0.4m3/h‬جد معدل تغير انخفاض املاء في اخلزان عند أي زمن ‪.t‬‬
‫‪h‬‬
‫احلل‬
‫ليكن حجم املاء في اخلزان عند أي زمن ‪ t‬هو (‪v(t‬‬
‫(تسرب) ⇐ ‪( dv = −0.4‬االشارة السالبة تعني نقصان)‬
‫‪2m‬‬
‫‪dt‬‬
‫وليكن ارتفاع املاء في اخلزان عند أي زمن هو ‪ h‬واملطلوب إيجاد‬
‫أن املاء يأخذ شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة‬
‫‪dh‬‬
‫‪dt‬‬
‫مساحة القاعدة = ‪∴V = Ah , A‬‬
‫‪V=(2)(2)h⇒ V= 4h‬‬
‫‪⇒ dv = 4 dh‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dh‬‬
‫‪dh‬‬
‫‪= −0.1 m / h‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪−0.4 = 4‬‬
‫معدل تغير انخفاض املاء في اخلزان ‪0.1m/h‬‬
‫مثال‪-2 -‬‬
‫صفيحة مستطيلة من املعدن مساحتها تساوي ‪ . 96cm2‬يتمدد طولها مبعدل‬
‫‪2cm/s‬بحيث تبقى مساحتها ثابتة‪ ،‬جد معدل النقصان في عرضها وذلك عندما يكون عرضها ‪.8cm‬‬
‫احلل‬
‫‪80‬‬
‫في أية حلظة ما نفرض طول املستطيل = ‪x‬‬
‫وعرض املستطيل= ‪y‬‬
‫‪ dx = 2cm/s‬معدل تغير الطول‬
‫‪dt‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪dy‬‬
‫?=‬
‫‪dt‬‬
‫معدل تغير العرض‬
‫‪A = xy‬‬
‫‪∴ 96∴=96‬‬
‫)‪xy...(1‬‬
‫)‪= xy...(1‬‬
‫نشتق طرفي العالقة بالنسبة الى ‪t‬‬
‫)‪∴ 96 = xy...(1‬‬
‫‪∴ y = 8 ⇒ x = 12‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪(96) = (xy‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪+ y.‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dy‬‬
‫)‪0 = 12 + 8(2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪⇒ 0 = x.‬‬
‫‪dy −16 −4‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪cm/ ssec‬‬
‫‪dt 12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫في تلك اللحظة‬
‫∴ العرض يتناقص مبعدل ‪cm/ s‬‬
‫‪3‬‬
‫مثال‪-3 -‬‬
‫مكعب صلد طول حرفه ‪ 8cm‬مغطى بطبقة من اجلليد بحيث شكله يبقى مكعباً‪،‬‬
‫فإذا بدأ اجلليد بالذوبان مبعدل ‪ 6cm3/s‬فجد معدل النقصان بسمك اجلليد في اللحظة التي يكون فيها هذا‬
‫السمك ‪.1cm‬‬
‫⇒‬
‫احلل‬
‫نفرض سمك اجلليد في أية حلظة = ‪ x‬واملطلوب حساب ‪ dx‬عندما ‪x=1‬‬
‫‪dt‬‬
‫حجم اجلليد = حجم املكعب املغطى باجلليد‪ -‬حجم املكعب األصلي‬
‫‪V=(8+2x (3-83‬‬
‫‪8cm‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪dxdx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-0‬‬
‫= )‪(2‬‬
‫)‪= 3(8 + 2x)(2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dtdt‬‬
‫وبالتعويض عن القيم املعطاة نحصل على‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪−6 = 3(8 + (2)(1))2 .2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪cm/s‬‬
‫‪= −0.01cm/‬‬
‫‪sec‬‬
‫‪dt‬‬
‫∴معدل نقصان سمك اجلليد = ‪0.01cm/s‬‬
‫‪81‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-4 -‬‬
‫سلم طوله ‪ 10m‬يستند طرفه األسفل على أرض أفقية وطرفه العلوي على حائط رأسي‪،‬‬
‫فإذا انزلق الطرف األسفل مبتعد ًا عن احلائط مبعدل ‪ 2m/s‬عندما يكون الطرف األسفل على بعد ‪ 8m‬عن‬
‫احلائط جد‪:‬‬
‫‪ )1‬معدل انزالق الطرف العلوي‪.‬‬
‫‪ )2‬سرعة تغير الزاوية بني السلم واألرض‪.‬‬
‫احلل‬
‫‪θ‬‬
‫ارض‬
‫‪x‬‬
‫‪x 2 + y2 = 100‬‬
‫‪∴ x = 8, ⇒ y = 6‬‬
‫)‪1‬‬
‫= ‪∴ x = 8, ⇒ y‬‬
‫نفرض عند أية حلظة ‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫⇐‪= 2 ,‬‬
‫بعد الطرف االسفل عن احلائط= ‪x‬‬
‫‪dt‬‬
‫بعد الطرف األعلى عن األرض =‪. y‬‬
‫قياس الزاوية بني السلم واألرض = ‪( θ‬نصف قطرية)‬
‫بتطبيق مبرهنة فيثاغورس نحصل على ‪:‬‬
‫‪10m‬‬
‫‪ y‬حائط‬
‫‪d 2 2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪(x + y ) = (100) ⇒ 2x + 2y = 0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫وبالتعويض عن القيم املعلومة نحصل على‪:‬‬
‫‬
‫‪dy‬‬
‫‪dy −8‬‬
‫⇒‪=0‬‬
‫=‬
‫‪m/ s‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt 3‬‬
‫)‪(2)(8)(2)+ (2)(6‬‬
‫معدل انزالق الطرف العلوي‬
‫‬
‫‪dy‬‬
‫‪dy −8‬‬
‫⇒‪=0‬‬
‫=‬
‫‪m/ s‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt 3‬‬
‫)‪(2)(8)(2)+ (2)(6‬‬
‫‪82‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪8 dθ1 dy 11 dy−4‬‬
‫‪y yy y d⇒dd(d sinθ‬‬
‫) ‪d dyddyy y‬‬
‫‪sinθ‬‬
‫‪sinθ‬‬
‫‪sinθ‬‬
‫‪sinθ‬‬
‫‪⇒sinθ‬‬
‫‪sinθ‬‬
‫‪sinθ‬‬
‫⇒ ⇒=== =‬
‫( ===) =‬
‫‪⇒ cosθ‬‬
‫) () (=== =‬
‫‪⇒ cosθ‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1010dt dt‬‬
‫‪dtdt dt dt‬‬
‫‪dtdt‬‬
‫‪1010‬‬
‫‪10 dt‬‬
‫‪10 dt 3‬‬
‫‪10 10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10 dt10‬‬
‫(‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪x8 dθ1x dy 11 dy‬‬
‫= ‪ cosθ‬ينتج) () (‬
‫== =‬
‫‪10dt10‬‬
‫‪10 dt3‬‬
‫وبالتعويض عن ‪10‬‬
‫‪1010 dt‬‬
‫‪10‬‬
‫‪dy −8‬‬
‫=‬
‫ومن التعويض بقيمة ‪ x=8‬وعن قيمة‬
‫‪dt‬‬
‫‪3‬‬
‫سرعة تغير الزاوية‬
‫نحصل على‪:‬‬
‫‪8 dθ‬‬
‫‪1 −8‬‬
‫) () ( =‬
‫‪10 dt‬‬
‫‪10 3‬‬
‫‪dθ −1‬‬
‫‪s‬‬
‫∴‬
‫‪= rad / sec‬‬
‫‪dt 63‬‬
‫مثال‪-5 -‬‬
‫مرشح مخروطي قاعدته اُفقية ورأسه لألسفل‪ ،‬ارتفاعه يساوي ‪24cm‬وطول قطر‬
‫قاعدته ‪ 16cm‬يصب فيه سائل مبعدل ‪5cm3/s‬بينما يتسرب منه السائل ‪ ،1cm3/s‬جد معدل تغير‬
‫عمق السائل في اللحظة التي يكون فيها عمق السائل ‪. 12cm‬‬
‫‪16‬‬
‫احلل‬
‫نفرض بعدي املخروط املائي‬
‫(نصف القطر=‪ r‬واالرتفاع= ‪ )h‬عند أية حلظة‬
‫نفرض حجم السائل عند أية حلظة (‪v(t‬‬
‫في الشكل املجاور من استعمال ‪ tanθ‬أو من تشابه مثلثني نحصل على‬
‫‪r‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪⇒r = h‬‬
‫‪h 24‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪tanθ‬‬
‫‪1‬‬
‫⇒ ‪v = πr 2 h‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪24‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫للزمن‬
‫بالنسبة‬
‫الطرفني‬
‫نشتق‬
‫‪v‬‬
‫=‬
‫= ‪π  h h‬‬
‫‪πh3‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3 3 ‬‬
‫‪27‬‬
‫‪83‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪dv 1 2 dh‬‬
‫‪= πh‬‬
‫)‪....(1‬‬
‫‪dt 9‬‬
‫‪dt‬‬
‫معدل تغير حجم السائل في املخروط =معدل الصب ‪-‬معدل التسرب‪.‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪= 5 − 1 = 4 cm3/s‬‬
‫‪dt‬‬
‫وبالتعويض في (‪ )1‬ينتج‬
‫‪1‬‬
‫‪dh‬‬
‫‪π(12)2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪dt‬‬
‫=‪4‬‬
‫‪dh 1‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪== 5 − 1cm/‬‬
‫‪= 4 ssec‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪dt‬‬
‫مثال‪-6 -‬‬
‫لتكن ‪ M‬نقطة متحركة على منحني القطع املكافئ ‪ y2=4x‬بحيث يكون معدل‬
‫ابتعادها عن النقطة(‪ )7,0‬يساوي ‪ ، 0.2unit/s‬جد املعدل الزمني لتغير االحداثي السيني للنقطة ‪M‬‬
‫عندما يكون ‪.x=4‬‬
‫احلل‬
‫لتكن (‪ M(x,y‬ولتكن (‪ N(7,0‬ولتكن املسافة ‪ MN‬تساوي ‪S‬‬
‫‪S = (x − 7)2 + (y − 0)2 ⇒ S = x 2 −14x + 49 + y2‬‬
‫وبالتعويض عن ‪ y2=4x‬ينتج‬
‫‪⇒ S = x 2 − 10x + 49‬‬
‫‪8 −10 dx‬‬
‫‪.‬‬
‫‪10 dt‬‬
‫= ‪⇒ 0.2‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪2x − 10‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪dt 2 x 2 − 10x + 49 dt‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪= −1unit / ssec‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪84‬‬
‫⇒‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫)‬
‫تم‬
‫رين (‪2‬‬
‫ا‬
‫‪3-‬‬
‫‪ .1‬سلم يستند طرفه األسفل على أرض أفقية وطرفه األعلى على حائط رأسي فاذا أنزلق الطرف األسفل‬
‫مبتعد ًا عن احلائط مبعدل ‪ ، 2m/s‬فجد معدل انزالق الطرف العلوي عندما يكون قياس الزاوية بني السلم‬
‫‪2‬‬
‫‪(0,‬‬
‫واألرض تساوي ) ‪. π‬‬
‫‪43‬‬
‫‪ .2‬عمود طوله ‪ 7.2m‬في نهايته مصباح‪ ،‬يتحرك رجل طوله ‪ 1.8m‬مبتعد ًا عن العمود وبسرعة‬
‫‪ ، 30m/min‬جد معدل تغير طول ظل الرجل‪.‬‬
‫‪ .3‬لتكن ‪ M‬نقطة تتحرك على القطع املكافئ ‪، y=x2‬جد احداثيي النقطة ‪ M‬عندما يكون املعدل الزمني‬
‫ألبتعادها عن النقطة ) ‪ (0, 3‬يساوي ثلثي املعدل الزمني لتغير االحداثي الصادي للنقطة ‪.M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .4‬جد النقط التي تنتمي للدائرة ‪ x 2 + y2 + 4x − 8y = 108‬والتي عندها يكون املعدل الزمني لتغير ‪x‬‬
‫يساوي املعدل الزمني لتغير ‪ y‬بالنسبة للزمن ‪. t‬‬
‫‪ .5‬متوازي سطوح مستطيلة أبعاده تتغير بحيث تبقى قاعدته مربعة الشكل‪ ،‬يزداد طول ضلع القاعدة مبعدل‬
‫‪، 0.3cm/s‬وارتفاعه يتناقص مبعدل ‪، 0.5cm/s‬جد معدل تغير احلجم عندما يكون طول ضلع القاعدة‬
‫‪ 4cm‬واالرتفاع ‪. 3cm‬‬
‫‪85‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫[‪ ]3-3‬مبرهنتا رول والقيمة املتوسطة‬
‫‪Rollesُ and Mean Value Theorems‬‬
‫قبل أن نتعرف في هذا البند الى مبرهنتي رول والقيمة املتوسطة نذكر بعض التعاريف واملبرهنة التي متهد‬
‫لهاتني املبرهنتني‪( :‬لالطالع)‬
‫تعريف [‪]3-1‬‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة معرفة على الفترة املغلقة [‪ ]a,b‬فإن‪:‬‬
‫‪ f)1‬تأخذ قيمة عظمى عند ‪ c‬حيث [‪ c ∋ ]a,b‬اذا وفقط اذا‬
‫)‪ f (c) ≥ f (x‬لكل[ ‪x ∋ [a ,b‬‬
‫‪ f )2‬تأخذ قيمة صغرى عند ‪ c‬حيث [‪ c∋ ]a,b‬اذا وفقط اذا‬
‫(‪ f(c)≤f(x‬لكل[ ‪x∋[a ,b‬‬
‫مبرهنة(‪)3-1‬‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة معرفة على الفترة املغلقة [‪ ]a,b‬وكان ‪:‬‬
‫للدالة ‪ f‬قيمة عظمى أو صغرى عند ‪ c‬حيث )‪ c ∈ (a,b‬وأن )‪ f ′(c‬موجودة‬
‫فان ‪f ′(c) = 0‬‬
‫وسنكتفي بتوضيح هذه املبرهنة هندسي ًا كما يأتي‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪86‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f ′(c) = 0‬‬
‫‪c‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫عند النقطة ‪ c‬املختلفة عن ‪ a,b‬والتي تأخذ عندها الدالة قيمة عظمى أو صغرى يكون املماس للمنحني‬
‫البياني للدالة افقي ًا (اي موازي حملور السينات)‬
‫واالن ميكن أن تفكر في اجابة للسؤال االتي‪:‬‬
‫اذا كان للدالة ‪ f‬قيمة عظمى أو قيمة صغرى عند ‪ c‬حيث )‪ c ∈ (a,b‬فهل يشترط أن يكون ‪ f ′(c) = 0‬؟‬
‫ولالجابة على السؤال اليك املثال االتي‪:‬‬
‫مثال ‪-1-‬‬
‫لتكن ‪f : [−1,1] → R, f (x) = x‬‬
‫وكما تالحظ في الشكل أدناه فإن‬
‫الدالة ‪ f‬متتلك اعظم قيمة عند كل من ‪x = 1 ، x = -1‬‬
‫ومتتلك اصغر قيمة عند ‪x = 0‬‬
‫وانت تعلم من دراستك السابقة أن الدالة ‪ f‬غير قابلة لالشتقاق عند ‪x = 0‬‬
‫اي ان )‪ f ′(0‬غير موجودة ‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫∴ ال يشترط أن يكون ‪f ′(c) = 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫تعريف[‪]3-2‬‬
‫معرفة عند العدد ‪ . c‬يقال عن العدد ‪ c‬بأنه عدد حرج (‪ )Critical Number‬اذا‬
‫لتكن الدالة ‪ّ f‬‬
‫كان ‪ f ′(c) = 0‬او ان الدالة غير قابلة لالشتقاق في ‪ c‬وتسمى النقطة ( )‪ ) c, f (c‬بالنقطة احلرجة‬
‫ففي املثال السابق ‪:‬‬
‫‪f :[−1,1] → R ∋ f (x) = x‬‬
‫تالحظ أن الدالة معرفة عند صفر ‪ ،‬وان )‪ f ′(0‬غير موجودة‬
‫لذا يقال أن العدد “صفر” هو العدد احلرج للدالة ‪ f‬وان النقطة ))‪ (0, f (0‬هي النقطة احلرجة ‪.‬‬
‫‪87‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مبرهنة رول ‪Rolle’s Theorem‬‬
‫مبرهنة رول‪ :‬لقد وضع العالم الفرنسي (متشل رول) مبرهنة مبسطة إليجاد نقط متثل نقط ًا حرجة للدالة في‬
‫الفترة املعطاة وسميت هذه املبرهنة باسمه‪.‬‬
‫(‪ )3-2‬مبرهنة رول‬
‫إذا كانت الدالة ‪: f‬‬
‫‪f′ = 0‬‬
‫‪ )1‬مستمرة في الفترة املغلقة [‪]a,b‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق في الفترة املفتوحة (‪)a,b‬‬
‫‪f(b)=f(a( )3‬‬
‫)‪f (b‬‬
‫‪c3‬‬
‫‪f′ = 0‬‬
‫‪f′ = 0‬‬
‫‪c2‬‬
‫فإنه يوجد على األقل قيمة واحدة ‪ c‬تنتمي الى (‪ )a,b‬وحتقق ‪f ′(c) = 0 :‬‬
‫مثال‪-2 -‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫‪c1‬‬
‫بني هل أن مبرهنة رول تتحقق لكل من الدوال التالية؟ وجد قيمة ‪ c‬املمكنة‪:‬‬
‫]‪[0,4‬‬
‫]‪[-1,1‬‬
‫‪, x‬‬
‫‪a)f(x) =(2-x)2‬‬
‫‪b)f(x)=9x+3x2-x3 , x‬‬
‫]‪, x ∈ [-1,2‬‬
‫)‪, x ∈ [-4,-1‬‬
‫]‪, x ∈ [a,b‬‬
‫احلل‬
‫)‪y = f (x‬‬
‫‪x2+1‬‬
‫‪c)f(x)= ‬‬
‫‪ -1‬‬
‫]‪a)f(x) =(2-x)2 , x ∈ [0,4‬‬
‫الشرط االول ‪ :‬الدالة مستمرة على الفترة املغلقة [‪ ]0,4‬ألنها كثيرة احلدود‪.‬‬
‫الشرط الثاني ‪ :‬الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة املفتوحة (‪ )0,4‬ألنها كثيرة احلدود‪.‬‬
‫‪f(0)=(2-0)2=4‬‬
‫الشرط الثالث‪:‬‬
‫(‪f(4)=(2-4)2=4 ⇒ f(0)=f(4‬‬
‫∴الدالة ضمن الفترة املعطاة حتقق مبرهنة رول‪.‬‬
‫‪88‬‬
‫‪d) f(x)=k‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫)‪f ′(x) = −2(2 − x‬‬
‫)‪f ′(c) = −2(2 − c‬‬
‫‪f ′(c) = 0 ⇒ −2(2 − c) = 0‬‬
‫)‪(0,4‬‬
‫‪∴c = 2‬‬
‫]‪b)f(x)=9x+3x2-x3 , x ∈ [-1,1‬‬
‫احلل‬
‫الشرط االول‪ :‬الدالة مستمرة على الفترة املغلقة [‪ ]-1,1‬ألنها كثيرة احلدود‪.‬‬
‫الشرط الثاني‪ :‬الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة املفتوحة (‪ )-1,1‬ألنها كثيرة احلدود‪.‬‬
‫‪f(-1)=-9+3+1=-5‬‬
‫الشرط الثالث‪:‬‬
‫)‪f(1)=9+3-1=11 ⇒ f (−1) ≠ f (1‬‬
‫التتحقق مبرهنة رول ألن الشرط الثالث لم يتحقق‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x2 x+1‬‬
‫‪[−1,‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪x ∈x [∈−1,‬‬
‫]‪2] 2‬‬
‫)‪c) f (x‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫=‬
‫‪= ‬‬
‫‪−1 x ∈x [∈−4,‬‬
‫‪[−4,‬‬
‫‪−1‬‬
‫]( ]‬
‫‪−1−1‬‬
‫احلل‬
‫الشرط االول‪:‬‬
‫مجال الدالة = [‪]-4,2‬‬
‫‪ lim (x 2 +1) = 2 = L 1‬‬
‫)‪ x→(−1‬‬
‫‪ x→−1‬‬
‫‪lim (−1) = −1 = L 2‬‬
‫‪ x→−1‬‬
‫)‪x→(−1‬‬
‫‪+ +‬‬
‫‪− −‬‬
‫الدالة لسيت مستمرة ألن ‪ L 1 ≠ L 2‬في الفترة [‪]-4,2‬‬
‫ال حتقق مبرهنة رول‬
‫احلل‬
‫]‪, x ∈ [a,b‬‬
‫‪d) f(x)=k‬‬
‫الشرط االول‪ :‬الدالة مستمرة على [‪ ]a,b‬النها دالة ثابتة‪.‬‬
‫الشرط الثاني‪ :‬الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة (‪.)a,b‬‬
‫الشرط الثالث‪f (a) = f (b) = k :‬‬
‫الدالة حتقق مبرهنة رول ‪ .‬وان قيمة ‪ c‬ميكن ان تكون اي قيمة ضمن الفترة (‪.)a, b‬‬
‫‪89‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫(‪)3-3‬مبرهنة القيمة املتوسطة‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة في الفترة املغلقة [‪ ]a,b‬وقابلة لالشتقاق على الفترة املفتوحة (‪)a,b‬‬
‫فإنه يوجد على األقل قيمة واحدة ‪ c‬ينتمي الى (‪ )a,b‬وحتقق‪f ( b) − f ( a ) :‬‬
‫= )‪f ′ (c‬‬
‫‪b− a‬‬
‫او )‪f (b) − f (a) = f ′(c)(b− a‬‬
‫واملخطط التالي يعطي التفسير الهندسي ملبرهنة القيمة املتوسطة‪:‬‬
‫املماس يوازي الوتر ‪AB‬‬
‫ميل املماس = )‪f ′(c‬‬
‫‬
‫))‪(b, f (b‬‬
‫)‬
‫‪B‬‬
‫الوتر‬
‫‪f ′(c 2‬‬
‫=‬
‫‪B‬‬
‫‪= mA‬‬
‫)‬
‫‪f ′(c 1‬‬
‫))‪( a, f (a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪c2‬‬
‫‪c1‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪∆y f (b) − f (a‬‬
‫ميل الوتر املار بالنقطتني ‪ A,B‬يساوي‬
‫=‬
‫‪∆x‬‬
‫‪b− a‬‬
‫ميل املماس للمنحني عند ‪ = c‬املشتقة االولى للدالة ‪ f‬عند ‪) f ′(c) ( , c‬‬
‫لكن املماس والوتر متوازيان لذا يتساوى ميالهما ) ‪f ( b) − f ( a‬‬
‫‪b− a‬‬
‫‪90‬‬
‫= )‪f ′ (c‬‬
‫)‪y = f (x‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مالحظـة‬
‫أن مبرهنة رول هي حالة خاصة من مبرهنة القيمة املتوسطة ففي مبرهنة رول يجب توافر شرط ثالث‬
‫)‪f (a) = f (b‬‬
‫هو‪:‬‬
‫أي أن الوتر واملماس يوازيان محور السينات‬
‫أي فرق الصادات =‪ 0‬لذا يصبح امليل =‪ 0‬فنحصل على ‪f ′(c) = 0 :‬‬
‫مثال‪-3 -‬‬
‫برهن ان الدوال االتية حتقق شروط مبرهنة القيمة املتوسطة واوجد قيم ‪:c‬‬
‫‪a)a)f f( (xx) )==xx2 2−−6x‬‬
‫‪6x++4....on..‬‬
‫‪4....on..‬‬
‫] ]‪[ −1,7‬‬
‫‪, x ∈ [ −1,7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b) fb)( xf )(=x ) =25 25‬‬
‫‪− x−2 ...on..‬‬
‫‪x‬‬
‫] ]‬
‫‪[ −4,0‬‬
‫‪∈[ −4,0‬‬
‫‪, x...on..‬‬
‫احلل‬
‫‪2‬‬
‫‪− 6x‬‬
‫‪+ 4....on..‬‬
‫] ]‪[ −1,7‬‬
‫)‪a)a‬‬
‫‪f (fx()x=) =x 2x− 6x‬‬
‫‪+ 4....on..‬‬
‫‪, x ∈[ −1,7‬‬
‫الشرط األول يتحقق ‪ :‬الدالة مستمرة في الفترة [‪ ]-1 ,7‬ألنها كثيرة احلدود‪.‬‬
‫الشرط الثاني يتحقق‪ :‬الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة (‪ )-1 ,7‬النها دالة كثيرة احلدود‪.‬‬
‫ميل املماس‬
‫ميل الوتر‬
‫)‪f ′(x) f=′(x‬‬
‫= ‪2x‬‬
‫⇒‪− 62x⇒− 6f ′‬‬
‫)‪(c) f=′(c‬‬
‫‪2c = 2c −= 62c − 6‬‬
‫)‪f (b)−−f f(a‬‬
‫‪(a) f (7) − f (−1) 11− 11‬‬
‫)‪f (b‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=0‬‬
‫‪a −ab‬‬
‫‪7 +1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪b−‬‬
‫ميل املماس = ميل الوتر‬
‫‪0 = 2c − 6 ⇒ c = 3 ∈ [−1,‬‬
‫]‪(−1,7‬‬
‫)‪7‬‬
‫‪91‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪,x 2 ...on..‬‬
‫∋‪x‬‬
‫‪= −25‬‬
‫)‪b) f (b‬‬
‫‪x )f =( x )25‬‬
‫‪x 2 −...on..‬‬
‫‪[ −4,0[ −4,0‬‬
‫] ]‬
‫احلل‬
‫مجال ‪ = f‬مجموعة حل املتباينة ‪ 25 − x 2 ≥ 0‬اي ]‪[−5, 5‬‬
‫(‪ )1‬استمرارية ‪ f‬في ]‪ : [−4, 0‬نثبت االستمرارية او ًال في الفترة املفتوحة )‪ I = (−4, 0‬بعدها‬
‫عن طرفي الفترة ‪.‬‬
‫]‬
‫لتكن ‪ f (a) = 25 − a 2 ∈R ⇐ a ∈II‬الن ‪ a‬ضمن مجال الدالة‬
‫‪0 5‬‬
‫‪a‬‬
‫[‬
‫‪-5 -4‬‬
‫)‪lim f (x) = lim 25 − x 2 = 25 − a 2 ⇒ f (a) = lim f (x‬‬
‫‪x→a‬‬
‫∴ مستمرة في )‪(−4, 0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫)‪25 − x = 25 − 16 = 3 = f (−4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪lim f (x) = lim‬‬
‫‪x→−4 +‬‬
‫‪x→−4 +‬‬
‫)‪lim f (x) = lim 25 − x 2 = 25 − 0 = 5 = f (0‬‬
‫‪x→0 −‬‬
‫‪x→0 −‬‬
‫∴ ‪ f‬مستمرة عند طرفي الفترة ]‪ f ⇐ [−4, 0‬مستمرة على الفترة املغلقة ]‪[−4, 0‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪25 − x 2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪25‬‬
‫= )‪f ′(x‬‬
‫‪−x‬‬
‫مجال( ‪ f ⇐ (−5.5) = f ′‬قابلة لالشتقاق في الفترة )‪ (−4, 0‬النها محتواة‬
‫= )‪f ′ (c‬‬
‫(‪⇒)2‬قابلية االشتقاق‪x ) =:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25 − x‬‬
‫كلي ًا في مجال مشتقة ‪f‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪−c‬‬
‫ميل املماس‬
‫(‪)3‬‬
‫= )‪⇒ f ′ (c‬‬
‫= )‪f ′ ( x‬‬
‫‪25 − x 2‬‬
‫‪25 − c 2‬‬
‫‪f (b) − f (a) f (0) − f (−4) 5 − 3 1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫ميل الوتر‬
‫‪0+4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b− a‬‬
‫ميل املماس = ميل الوتر‬
‫‪y‬‬
‫‪−c‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪25 − c 2‬‬
‫‬
‫⇒ ‪25 − c 2 = −2c‬‬
‫(‪)0,5‬‬
‫املماس‬
‫القاطع‬
‫‪x‬‬
‫‪92‬‬
‫)‪(5, 0‬‬
‫‪c‬‬
‫‪(−5, 0) −4‬‬
‫‪25‬‬
‫⇒ ‪− c = 4c‬‬
‫⇒ ‪c‬‬
‫⇒‬
‫=‪c‬‬
‫‪m‬‬
‫⇒‪=⇒5555‬‬
‫‪25‬‬
‫⇒‬
‫‪==±‬‬
‫‪mm 5‬‬
‫‪555‬‬
‫‪25−−cc ==4c‬‬
‫⇒ ‪4c‬‬
‫⇒ ‪⇒cc‬‬
‫=‪⇒ccc‬‬
‫= ‪cc‬‬
‫‪5 ∉ −4,0‬‬
‫)‪c== 55∉∉[[(-4,0‬‬
‫]]]‪−4,0‬‬
‫‪[−4,0‬‬
‫= ‪cc‬‬
‫‪− 5 ∈ −4,0‬‬
‫)‪(-4,0‬‬
‫‪c==−− 55∈∈[[[−4,0‬‬
‫]]]‪−4,0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-4 -‬‬
‫اذا كانت ‪f : [ 0,b] → R :، f ( x ) = x 3 − 4x 2‬‬
‫‪2‬‬
‫وكانت ‪ f‬حتقق مبرهنة القيمة املتوسطة عند‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ c‬فجد قيمة ‪. b‬‬
‫احلل‬
‫‪ 2  4 16‬‬
‫‪f ′ ( x ) = 3x 2 − 8x ⇒ f ′ ( c ) = 3c 2 − 8c ⇒ f ′   = −‬‬
‫ميل املماس ‪= −4‬‬
‫‪ 3 3 3‬‬
‫‪f (b) − f (a) f (b) − f (0) b3 − 4b2 − 0‬‬
‫=‬
‫=‬
‫ميل الوتر ‪= b2 − 4b‬‬
‫‪b− a‬‬
‫‪b− 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‬
‫ميل املماس = ميل الوتر‬
‫‪2 2‬‬
‫‪∴b‬‬
‫‪−4b4b‬‬
‫‪4‬‬
‫‪−4b4b‬‬
‫‪−‬‬
‫‪∴b‬‬
‫‪− ∴b‬‬
‫= ‪=2‬‬
‫⇒⇒‬
‫‪b‬‬
‫⇒‪2)2()b=−=020‬‬
‫‪−4 4b‬‬
‫⇒‪=2b4−2‬‬
‫⇒‪b+2 +4− 4=4b=0+0‬‬
‫⇒‪4‬‬
‫⇒‪(=b(0−b‬‬
‫‪) ⇒b= b=0 =2⇒2b = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة ومعرفة على [‪ ]a,b‬وقابلة لالشتقاق في (‪ )a,b‬ولو اعتبرنا ‪h = b− a‬‬
‫فأن ‪ b = a + h‬حيث ‪ h ≠ 0, h ∈R‬فانه مبوجب مبرهنة القيمة املتوسطة نحصل على‪:‬‬
‫)‪f (a + h) − f (a‬‬
‫‪h‬‬
‫= )‪f ′(c‬‬
‫)‪⇒ f (a + h) = f (a)+ hf ′(c‬‬
‫وعندما يكون اقتراب ‪ b‬من ‪ a‬قرب ًا كافي ًا تكون في هذة احلالة ‪ h‬صغيرة ويصبح الوتر صغير ًا ونهايتيه‬
‫قريبتان من ‪ a‬أي أن املماس عند ‪ c‬سيكون مماس ًا للمنحني عند نقطة قريبة جد ًا من النقطة حيث ‪x=a‬‬
‫ولذلك يصبح ‪:‬‬
‫) ‪f ( a + h) ≈ f ( a ) + hf ′ ( a‬‬
‫يقال للمقدار )‪ hf ′(a‬التغير التقريبي للدالة‪.‬‬
‫التقريب باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة‬
‫‪93‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مالحظة‪ -:‬سوف نقتصر في حل متارين التقريب باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة فقط‬
‫مثال‪-5 -‬‬
‫احلل‬
‫جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة تقريب ًا مناسب ًا للعدد ‪26‬‬
‫لتكن‬
‫‪ x ≥ 0 , y = f (x) = x...‬الدالة ‪x ≥ 0 , y = f (x) = x...‬‬
‫نفرض ‪( a = 25‬اقرب مربع كامل من العدد ‪) 26‬‬
‫‪b = 26‬‬
‫القيمة السهلة‪a = 25...‬‬
‫‪h= 1=b - a‬‬
‫ومن النتيجة‪:‬‬
‫‪h = b− a = 1‬‬
‫‪f (a) = f (25) = 25 = 5‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪f ′(x‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪f ′(a‬‬
‫‪= 0.1‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪≅ f (a) + (b − a) f ′(a‬‬
‫↓‬
‫)‪f (a) + hf ′(a‬‬
‫)‪f (b‬‬
‫↓‬
‫≅ )‪f (a + h‬‬
‫)‪26 = f (25 + 1) ≅ f (25) + (1)xf ′(25‬‬
‫‪∴ 26 ≅ 5 + 1× ( 0.1) = 5.1‬‬
‫‪94‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-6 -‬‬
‫اذا كان ‪f ( x ) = x 3 + 3x 2 + 4x + 5‬‬
‫)‪f (1.001‬‬
‫فجد بصورة تقريبية‬
‫‪f (1) = 1 + 3 + 4 + 5 = 13‬‬
‫احلل‬
‫‪f ′ ( x ) = 3x 2 + 6x + 4‬‬
‫‪f ′ (1) = 3 + 6 + 4 = 13‬‬
‫) ‪f ( a + h) ; f ( a ) + hf ′ ( a‬‬
‫‪b =1.001‬‬
‫‪a=1‬‬
‫)‪∴ f(1.001‬‬
‫‪f (1.001)==f f(1(1) + (0.001‬‬
‫)‪0.001)) f ′ (1‬‬
‫)‪= 13 + ( 0.001) (13‬‬
‫‪h= b-a =0.001‬‬
‫مثال‪-7 -‬‬
‫‪= 13.013‬‬
‫مكعب طول حرفه ‪ 9.98cm‬جد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة‬
‫القيمة املتوسطة‪.‬‬
‫احلل‬
‫ليكن ‪ V‬حجم املكعب الذي طول حرفه (‪) x‬‬
‫‪b = 9.98‬‬
‫‪a = 10‬‬
‫‪h = b − a = −0.02‬‬
‫اي ان الدالة تكون على الصيغة‬
‫‪v ( xx) = L 3‬‬
‫)‪v(x‬‬
‫] ‪= x33‬‬
‫∈‪L‬‬
‫‪9.98,10‬‬
‫[ ‪3‬‬
‫‪v ( x ) =v L( x ) = L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 2 ⇒ v′ (10 ) = 3 (10 ) = 300‬‬
‫∈(‪vvx′‬‬
‫]‪x))=[9.98,10‬‬
‫‪=L3x‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫‪L ∈[ 9.98,10‬‬
‫‪L ∈[ 9.98,10‬‬
‫]‪] 3‬‬
‫∈( ‪v‬‬
‫‪10 ) = 102 =] 1000‬‬
‫= ) ‪v′ ( x‬‬
‫‪10 )v=′ (10‬‬
‫‪3 (10‬‬
‫‪vL′ 3x‬‬
‫⇒( ‪=⇒3xv′‬‬
‫‪( x[)29.98,10‬‬
‫‪) =)23 (=10300‬‬
‫‪)2 = 300‬‬
‫‪2) ≅ 994 = 998cm3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪vv′((9.98‬‬
‫‪≅ 1000‬‬
‫‪−0.02‬‬
‫‪300‬‬
‫‪(10‬‬
‫‪) ((10‬‬
‫‪3 =) 3x‬‬
‫‪3 ⇒ v+‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪= 300‬‬
‫‪′‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫‪v (10 ) v=(10 ) = 10‬‬
‫‪1000= 1000‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪) =) 10‬‬
‫‪v ( 9.98vv)((10‬‬
‫‪≅ 1000‬‬
‫‪994‬‬
‫‪998cm‬‬
‫‪9.98‬‬
‫‪≅+1000‬‬
‫‪+ ( −0.02‬‬
‫‪= 998cm‬‬
‫‪(=−0.02‬‬
‫‪) ( 300) (≅300‬‬
‫‪) ≅=994‬‬
‫‪v ( 9.98 ) ≅ 1000 + ( −0.02 ) ( 300 ) ≅ 994 = 998cm3‬‬
‫‪95‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-8 -‬‬
‫لتكن ‪ f (x) = 3 x 2‬فاذا تغيرت ‪ x‬من ‪ 8‬إلى ‪ 8.06‬فما مقدار التغير التقريبي‬
‫للدالة؟‬
‫احلل‬
‫الدالة ‪f : [ 8, 8.06 ] → R , f ( x ) = 3 x 2 :‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫املشتقة‪:‬‬
‫‪f ′ ( x) = 3‬‬
‫‪3 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 0.333‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪33 8‬‬
‫‪b =8.06‬‬
‫‪a= 8= 23‬‬
‫‪h= b-a =0.06‬‬
‫= )‪f '(a) = f '(8‬‬
‫‪1‬‬
‫التغير التقريبي‬
‫‪= 0.02‬‬
‫)‪hf ′(8) ≅ (0.06)(0.333‬‬
‫‪= 0.01998‬‬
‫‪3‬‬
‫مثال‪-9 -‬‬
‫يراد طالء مكعب طول ضلعه ‪ 10cm‬فادا كان سمك الطالء ‪ 0.15cm‬اوجد‬
‫حجم الطالء بصورة تقريبية وباستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة ‪.‬‬
‫احلل‬
‫‪v(x) = x 3 − (10)3‬‬
‫‪v′ ( x ) = 3x 2‬‬
‫‪v′ ( a ) = v′ (10 ) = ( 3) (10 ) = 300‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪hv′(10‬‬
‫‪0.6 ) ( 300 ) = 90cm‬‬
‫حجم الطالء بصورة تقريبية ‪180cm3‬‬
‫)‪( a ) ≅≅((0.3)(300‬‬
‫‪96‬‬
‫‪b =10.3‬‬
‫‪a= 10‬‬
‫‪h= b-a = 0.3‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال ‪10‬‬
‫باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة جد وبصورة تقريبية ومقرب ًا لثالث مراتب‬
‫عشرية‬
‫على االقل ك ً‬
‫ال من‪:‬‬
‫‪b) 3 7.8‬‬
‫‪+ ( 0.98 ) + 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪d) 3 0.12‬‬
‫املشتقة‪:‬‬
‫) ‪(0.98‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪5‬‬
‫‪c) 17 + 4 17‬‬
‫‪(0.98 )3 + (0.98 )4 + 3‬‬
‫احلل‬
‫الدالة‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪f (x) = x + x 4 + 3‬‬
‫‪+ 4x 3‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f ′(x) = x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪f (a) = f (1) = 1 + 14 + 3 = 5‬‬
‫تعويض بالدالة‪:‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪2 25‬‬
‫‪33‬‬
‫= )‪f ′f(′a( a‬‬
‫‪4.6‬‬
‫‪) =f ′f(′1()1=) =   (1()1)5 5++( 4( 4) ()1()13)3==4.6‬‬
‫‪55‬‬
‫تعويض باملشتقة ‪:‬‬
‫تعويض بالقانون‬
‫‪ff((a‬‬
‫)‪a ++hh‬‬
‫)‪a ) + hfhf( a′(a‬‬
‫‪) ≅≅f f( (a)+‬‬
‫)‬
‫‪b = 0.98‬‬
‫‪a= 1‬‬
‫‪h= b-a = -0.02‬‬
‫‪(−0.02).‬‬
‫)‪ff((0.98‬‬
‫‪0.98 ) ==f f(1(1)+‬‬
‫‪) + ( −0.02‬‬
‫)‪) . f (f1′)(1‬‬
‫‪f ( 0.98‬‬
‫) ‪1 ) = +5 + ( −0.02) .( 4.6‬‬
‫)‪f ′ ( x‬‬
‫‪2 x) = +5 − 0.092 = 4.908‬‬
‫‪f ( 0.98‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∴ 5f (′ 0.98‬‬
‫‪( c ) =)3 + (0.98 )4 + 3 ≅ 4.908‬‬
‫‪2 c‬‬
‫‪97‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪b) 3 7.8‬‬
‫احلل‬
‫الدالة‪f (x) = 3 x :‬‬
‫‪1‬‬
‫املشتقة‪:‬‬
‫‪3 3 x2‬‬
‫‪b =7.8‬‬
‫‪a= 8=23‬‬
‫= )‪f ′ ( x‬‬
‫‪h= b-a = -0.2‬‬
‫‬
‫التعويض بالدالة ‪:‬‬
‫‪f (a) = f (8) = 3 8 = 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 0.083‬‬
‫‪12‬‬
‫التعويض باملشتقة‪:‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪f ′ (a ) = f ′ (8‬‬
‫‪3 8‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪f ( a + h) ≅ f ( a ) + hf ′ ( a‬‬
‫وبالتعويض بالقانون ‪:‬‬
‫نحصل على‬
‫‪1‬‬
‫‪( 8 ) += ( f−0.2‬‬
‫‪( 8 ) ≅) f2′−( 8()0.2‬‬
‫‪≅ 2) (−0.083‬‬
‫‪( 8 ) )+f(′−0.2‬‬
‫)‪( 0.2 ) ( 0.083‬‬
‫‪f ′ (fx()7.8 ) =f (f7.8‬‬
‫‪x)=+ 2( −0.2‬‬
‫‪1.9834‬‬
‫=‪−‬‬
‫‪0.0166‬‬
‫‪f ( 7.8 )==2f2−( 80.0166‬‬
‫)‪≅ 2 − ( 0.2 ) ( 0.083‬‬
‫‪) f ′ ( 8=) 1.9834‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫∴‪= 2‬‬
‫‪− 0.0166‬‬
‫‪1.9834‬‬
‫‪f3′ (7.8‬‬
‫‪c ) =≅=1.9814‬‬
‫‪7.8 ≅ :1.9814 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7.8 ≅ 1.9814 :‬‬
‫‪17 + 4 17‬‬
‫)‪c‬‬
‫احلل‬
‫الدالة‪ :‬لتكن‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f ( x ) = x + x‬‬
‫املشتقة‪:‬‬
‫‪1 −12 1 − 34‬‬
‫‪f ′ ( x) = x + x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪b =17‬‬
‫‪a= 16‬‬
‫تعويض بالدالة ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪f (16) = (2 ) + (2 ) = 4 + 2 = 6‬‬
‫‪h=b-a = 17-16=1‬‬
‫تعويض باملشتقة‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪= 2−2 + 2−3 = 0.5   + 0.25  ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪98‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ 24‬‬
‫‪4‬‬
‫) (‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ′ (16 ) = 24‬‬
‫‪2‬‬
‫) (‬
Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬
f ′(16) = (0.5)(0.5)2 + (0.25)(0.5)3 = (0.5)(0.25)+ (0.25)(0.125)
= 0.125 + 0.031 = 0.156
‫التعويض بالقانون نحصل على‬
f (fa(+a h+)h≅) ≅f (fa()a+)h+f h′ (f a′ ()a )
f (f17(17
′ (f16
) ≅) ≅f (f16(16
) +)1+f 1(1)
) )
′f(′16
(16)
f (f17(17
) ≅) 6≅ +6(+1)(1(0.156
) )
) (0.156
4 ≅ 6.156
∴∴1717
+ 4+17
17 ≅ 6.156
d) 3 0.12
‫احلل‬
f (x) = x
1
3
‫الدالة‬
1 − 23
f ′ ( x) = x
3
(
f (0.125)
f (x) = (0.5)
‫املشتقة‬
1
3 3
)
‫تعويض بالدالة‬
= 0.5
2
−2
1
1  1
1 2 4
3 −
f ′(0.125)
f ′ ( x ) = ( 0.5 )  3 =   = ( 2) = = 1.333
3
3  2
3
3
f ( a + b) ≅ f ( a ) + h. f ′ ( a )
‫تعويض باملشتقة‬
: ‫وبالتعويض بالقانون نحصل على‬
ff ( aa ++hbb) ≅≅f (ff0.12
aa) ) + ( −0.005 ) .(1.333)
( aa) ++) ≅h.h.ff ′(′(0.125
ff ( 0.12
++( −0.005
(0.125
) ..(1.333
0.12) ≅≅f ff( 0.12
0.125
−0.005
1.333)
− 0.006665
) ≅)0.5
ff ( 0.12
−− 0.006665
0.12) ≅≅f0.5
0.5
0.006665
(0.12
) ≅ 0.493335
3
ff ( 0.12
0.12) ≅≅∴0.493335
0.493335
0.12 ≅ 0.44935
0.493335
∴
∴ 33 0.12
0.12 ≅≅≅0.44935
0.44935
≅≅ 0.493335
0.493335
99
b =0.120
a= 0.125
h= b-a = -0.005
‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪J‬‬
‫‪) øjQɪ‬‬
‫‪‐3‬‬
‫‪ .1‬اوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ c‬اﻟﺘﻲ ﺗﻌﻴﻨﻬﺎ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﻓﻲ ﻛﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ ‪:‬‬
‫‪a) 63 + 3 63‬‬
‫]‪[ −3, 3‬‬
‫∈‪a) f ( x ) = x − 9x ,x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪1.04‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.04‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫∈‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪b) f ( x ) = 2x +‬‬
‫‪ 2  3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a) 63 + 63‬‬
‫‪3‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪a) f (c‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪x )ff=((xxx))==−(xx −−3x) +−1,‬‬
‫‪[+−1,1,3[ −1,‬‬
‫‪]b) 31.04‬‬
‫‪] 3 + 3 1.04 4 c) 31‬‬
‫∈‪,xx‬‬
‫]‪[−1,1‬‬
‫) ( ‪( )3‬‬
‫‪ .2‬ﺟﺪ ﺗﻘﺮﻳﺒ ًﺎ ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﻠﻲ ‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‪:‬‬
‫اﻟﻘﻴﻤﺔ‬
‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ‬
‫ﻧﺘﺒﺠﺔ‬
‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬
‫)‪a‬‬
‫‪63‬‬
‫‪+‬‬
‫‪63‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪b)h (a‬‬
‫‪b)h‬‬
‫‪x ) =63‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪5,‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−1,‬‬
‫‪5,‬‬
‫‪5‬‬
‫‪−1,‬‬
‫‪5‬‬
‫‪( xx)+=− x4x‬‬
‫[‬
‫[‬
‫]‬
‫]‬
‫‪63‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪c‬‬
‫)‪d‬‬
‫‪4‬‬
‫‪43 63‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪63‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪b‬‬
‫) ‪3(1.04 ) + 3 (1.04‬‬
‫‪9‬‬
‫‪(1.04‬‬
‫]‪) 2‬‬
‫‪101‬‬
‫)‪c)g (b‬‬
‫‪c)g‬‬
‫‪x )(1.04‬‬
‫‪=( x ) )= +, [3−1,‬‬
‫‪,2[ −1,‬‬
‫]‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x + 2x + 2‬‬
‫‪b) (1.04‬‬
‫‪11‬‬
‫) ‪1 ) + 3 (1.04‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪c‬‬
‫‪d) 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪c‬‬
‫)‪e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪d)B (d)B‬‬
‫‪x )31=9( x )(=x + 1‬‬
‫‪, [ 0,] 2π ] 101‬‬
‫‪( x) +, [10,) 2π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c) 3‬‬
‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬
‫‪ .3‬ﻛﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪ 6cm‬ﻃﻠﻴﺖ ﺑﻄﻼء ﺳﻤﻜﻪ ‪ 0.1cm‬ﺟﺪ‪11‬ﺣﺠﻢ اﻟﻄﻼء ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ‬
‫‪19‬‬
‫)‪d‬‬
‫)‪e‬‬
‫)‪d‬‬
‫‪101‬‬
‫ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪101‬‬
‫)‪d‬‬
‫‪ .4‬ﻛﺮة ﺣﺠﻤﻬﺎ ‪، 84π cm3‬ﺟﺪ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺑﺼﻮرة ‪1‬‬
‫اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‪.‬‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ)‪e‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﺘﻴﺠﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ‬
‫‪101‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪e‬‬
‫‪ .5‬ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ ارﺗﻔﺎﻋﻪ ﻳﺴﺎوي ﻃﻮل ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻓﺎذا ‪2‬ﻛﺎن ارﺗﻔﺎﻋﻪ ﻳﺴﺎوي ‪ 2.98cm‬ﻓﺠﺪ ‪1‬‬
‫ﺣﺠﻤﻪ‬
‫‪2‬‬
‫)‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ‪.‬‬
‫‪ .6‬ﺑﲔ أن ﻛﻞ داﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﲢﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻌﻄﺎة ازاء ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺛﻢ ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪: c‬‬
‫‪44‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4fx‬‬
‫=‪4‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪[ −1,‬‬
‫‪[,−1,‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f‬‬
‫‪,‬‬
‫‪−1,‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫] ]‪33] 3‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫[‬
‫]‬
‫)‪a) f (a‬‬
‫‪x )f=( x( x) =− 1‬‬
‫‪( x) −, [1−1,‬‬
‫‪) ,3[ −1,‬‬
‫‪] 31)],)[,−1,‬‬
‫‪33‬‬
‫‪3 33‬‬
‫‪3b)h‬‬
‫‪3[x‬‬
‫‪b)h‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪b)h‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪[ −1,1‬‬
‫‪[ −1,1‬‬
‫‪b)h‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x,‬‬
‫‪−1,1‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫]‬
‫]] ]‬
‫‪b)h (b)h‬‬
‫‪x ) =( xx) =− xx, [−−1,1‬‬
‫‪x, [ −1,1‬‬
‫‪]xx−−x,]−x,[x,−1,1‬‬
‫‪22‬‬
‫‪2 22‬‬
‫‪x)=)=x4=4‬‬
‫‪[ −1,‬‬
‫‪[ −1,‬‬
‫‪c)g‬‬
‫‪−−c)g‬‬
‫‪3x,‬‬
‫] ]‪44] 4‬‬
‫‪(2 x(−[[x)(−1,‬‬
‫‪]]x−−3x,‬‬
‫‪[ −1,‬‬
‫‪c)g((xc)g‬‬
‫‪x)) ==( xxx)2c)g‬‬
‫=‬
‫‪xc)g‬‬
‫‪3x,‬‬
‫‪−1,‬‬
‫‪3x,‬‬
‫‪4−3x,‬‬
‫‪[x−1,‬‬
‫‪]3x,‬‬
‫‪44‬‬
‫) (‬
‫] [‬
‫‪22‬‬
‫)‪d‬‬
‫‪==cos‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪x,‬‬
‫‪0,2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪f(++fx(fx)2x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪(22(x)=cos‬‬
‫‪)=+)cos‬‬
‫‪[[0,[2π‬‬
‫)‪d‬‬
‫‪xx))f==( cos‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪fcos‬‬
‫‪+x,‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪x,‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪[[30,0,‬‬
‫‪]]cos‬‬
‫]]]‪]3‬‬
‫)‪d) ff ((d‬‬
‫‪xcos‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2x,‬‬
‫‪x,‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪2π‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪xcos‬‬
‫‪x2x‬‬
‫‪−2x‬‬
‫‪x+2[+‬‬
‫‪−2cos‬‬
‫‪xcos‬‬
‫‪+]x,[1,‬‬
‫‪−1,‬‬
‫)‪)d)=d‬‬
‫ذﻛﺮ اﻟﺴﺒﺐ وإن ﲢﻘﻘﺖ‬
‫إزاءﻫﺎ(ﻣﻊ‬
‫‪ .7‬اﺧﺘﺒﺮ اﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﺗﻄﺒﻴﻖ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﺪوال] ‪5‬اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
‫‪b)h‬‬
‫اﳌﻌﻄﺎة= ) ‪x‬‬
‫اﻟﻔﺘﺮة ‪x 2 −‬‬
‫ﻋﻠﻰ ‪4x +‬‬
‫‪5, [ −1,‬‬
‫اﳌﺒﺮﻫﻨﺔ‪ ،‬ﺟﺪ ﻗﻴﻢ ‪ c‬اﳌﻤﻜﻨﺔ‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫= )‪a) f ( x ) = x3333 − xa)222 −f (xx3+‬‬
‫‪1, [x2−1,‬‬
‫‪− 33x,]2 −1,‬‬
‫]‪− x2+ 1, [ −1, 3‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪a) ff (x‬‬
‫‪x −f−(xxc)g‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪−1,‬‬
‫=‬
‫)‪( x )==xa‬‬
‫(‬
‫)‬
‫]‪] 3‬‬
‫‪) = − x[ − x +][ 1, [ −1,‬‬
‫‪22‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2+ 2‬‬
‫‪b)h ( x ) = x 2 − 4x‬‬
‫‪b)h+(5,‬‬
‫‪x [ −1,‬‬
‫] ‪= x553 ]− 4x2 + 5, [ −1, 5‬‬
‫‪b)h ( x ) = b)h‬‬
‫‪x −( 4x‬‬
‫‪xa)) =+‬‬
‫‪xx2)[)−−1,‬‬
‫‪f (5,‬‬
‫‪=4x‬‬
‫‪x3 +]−5,x[ −1,‬‬
‫]‪−2 x5+] 1, [ −1, 3‬‬
‫‪d)B‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫] ‪) , [0, 2π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫= ) ‪c)g ( x‬‬
‫‪, [ −1,‬‬
‫]‪2‬‬
‫‪c)g‬‬
‫‪, −1, 2‬‬
‫‪b)h‬‬
‫‪− 4x‬‬
‫‪c)g ( x ) = c)g‬‬
‫‪=( x2)]= xx, [+−1,‬‬
‫] ‪2[]+ 5, []−1, 5‬‬
‫‪x + (2x,)[ −1,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪x+2 4‬‬
‫‪22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪33‬‬
‫‪==2π3 ]( x2 +,[−2,‬‬
‫‪, [1−1,‬‬
‫‪d)B ( x ) = 3 ( x +c)g‬‬
‫‪1) (2(x,3x[)0,‬‬
‫] ‪] 2π‬‬
‫‪d)B‬‬
‫‪,27]0,‬‬
‫)‬
‫)‬
‫‪d)B ( x ) = d)B‬‬
‫‪( x(+x )1)= , [(0,x2π‬‬
‫][‪+x 1+]) 2, [ 0, 2π‬‬
‫‪100‬‬
‫] ‪( x + 1)2 , [0, 2π‬‬
‫‪3‬‬
‫= ) ‪d)B ( x‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫[‪ ]3-4‬اختبار التزايد والتناقص للدالة باستخدام املشتقة االولى‪.‬‬
‫‪The First Derivative Test For Increasing And Decreasing of a Function‬‬
‫نتيجة‬
‫ان من النتائج املهمه ملبرهنة القيمة املتوسطة هي النتيجة االتية ‪:‬‬
‫لتكن ‪ f‬مستمرة في الفترة املغلقة ]‪ [ a,b‬وقابلة لالشتقاق في الفترة املفتوحة )‪ ( a,b‬فإذا كانت‬
‫‪sin‬‬
‫‪ Increa‬‬
‫‪‬‬
‫‪Icrea‬‬
‫‪Increasing‬‬
‫‪Icrea‬‬
‫‪singgsin‬‬
‫‪on (ga,b‬‬
‫‪1‬‬‫)‪a‬‬
‫‪f‬‬
‫)‪(x‬‬
‫>‬
‫‪0,‬‬
‫‪∀x‬‬
‫∈‬
‫‪a,b‬‬
‫⇒‬
‫‪f‬‬
‫‪′‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a) f ′(x) > 0, ∀x ∈( a,b) ⇒ f  ‬‬
‫))‪ on ( a,b‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫متزايدة‬
‫‪sin‬‬
‫‪decrea‬‬
‫‪ g‬‬
‫‪decrea‬‬
‫‪singg‬‬
‫‪‬‬
‫‪Decrea‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪Decreasing‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪2‬‬‫‪b)ff′′((xx))<<0,0,∀x‬‬
‫‪∀x∈∈((a,b‬‬
‫⇒))‪a,b‬‬
‫‪⇒ ff  ‬‬
‫‪on((a,b‬‬
‫))‪a,b‬‬
‫‪on‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬متناقصة‬
‫‪‬‬
‫أما بقية احلاالت فسوف النتطرق لها في هذه املرحلة‪.‬‬
‫مثال‪-1 -‬‬
‫لتكن ‪ . y = f ( x ) = x 2‬جد مناطق التزايد والتناقص ‪y′ = 2x‬‬
‫‪y = f ( xy) ′==x02 ⇒ xy=′ =0 2x‬‬
‫احلل‬
‫اشارة ‪y′ = 2x‬‬
‫‪y′ = 0 ⇒ x = 0‬‬
‫‪----- --0 +++++++‬‬
‫‪Q f ′ ( x ) > 0, ∀x > 0‬‬
‫‪f‬متزايدة في }‪∴ {xx=: 0x > 0‬‬
‫‪Q f ′ ( x ) < 0, ∀x < 0‬‬
‫‪ f‬متناقصة في }‪∴ {xx=: 0x < 0‬‬
‫‪101‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-2 -‬‬
‫جد مناطق التزايد والتناقص لكل من الدالتني االتيتني‪:‬‬
‫)(‬
‫‪b) f ( x ) = 3 x 2‬‬
‫احلل‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f x = 9x + 3x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y′ = 2x‬‬
‫)(‬
‫)‪a‬‬
‫)(‬
‫‪a) f x = 9x + 3x 2y′−=x03 ⇒ x f=′ 0x = 9 + 6x − 3x 2‬‬
‫)‬
‫‪0 = 9 + 6x − 3x 2‬‬
‫(‬
‫‪0 = −3 x 2 − 2xy′−=32x‬‬
‫)‬
‫(‬
‫()‬
‫‪0 = − x − 3 xy′+1‬‬
‫‪= 0 ⇒ x x= =0 3, x = −1‬‬
‫نختبر على خط األعداد إشارة املشتقة األولى بالتعويض بقيم مجاورة للعددين ‪x = 3, x = −1 :‬‬
‫اشارة ) ‪f ′ ( x‬‬
‫‪- -- - - - - -1 + + + + + + + 3 - - - - - - -‬‬
‫‪x }<, {−1‬‬
‫‪ f‬متناقصة }‪3:‬في> }‪x}: ,x{>x :3x‬‬
‫‪{x : x{<x :−1‬‬
‫‪( −1, 3( −1,‬‬
‫‪ f‬متزايدة ‪ :‬في الفترة املفتوحة )‪) 3‬‬
‫احلل‬
‫‪2‬‬
‫‪33 x‬‬
‫)‪f ′ ( x‬‬
‫عدد حرج‬
‫غير معرفه اذا كانت ‪ , x = 0‬اي ‪∴ x = 0‬‬
‫اشارة ) ‪f ′ ( x‬‬
‫‪ f‬متزايدة في‬
‫‪ f‬متناقصة في‬
‫‪102‬‬
‫= ) ‪b) f ( x ) = 3 x 2 ⇒ f ′ ( x‬‬
‫}‪{ x : x > 0‬‬
‫}‪{ x : x < 0‬‬
‫‪- - - - - - - (0)+ + + + + + +‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y= x‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫[‪ ]3-5‬النهاية العظمى والنهاية الصغرى احمللية‬
‫الحظ في الشكل أدناه أن الدالة ) ‪ y = f ( x‬متزايدة على الفترة ) ‪ ( a, c‬ألن ‪ ، f ′f =( x0) > 0‬ومتناقصة‬
‫على الفترة ) ‪ ( c, d‬الن ‪f ′ ( x ) < 0‬‬
‫ثم تتزايد في الفترة (‪. )d,b‬‬
‫‪x=c , x=d‬‬
‫كما أن ‪ f ′ = 0‬عند كل من‬
‫تسمى نقطة )) ‪p ( c, f ( c‬نقطة نهاية عظمى محلية وإن ) ‪ f ( c‬هي النهاية العظمى احمللية‬
‫(‪ )Local Maximum‬وتدعى النقطة )) ‪q ( d, f ( d‬نقطة نهاية صغرى محلية وان ) ‪ f ( d‬هي‬
‫النهاية الصغرى احمللية (‪)Local Minimum‬‬
‫اشارة )‪f ′(x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪++++++‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪++++++ ----- --‬‬
‫‪a‬‬
‫تعريف (‪)3-3‬‬
‫لتكن ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة ]‪ [ a,b‬وقابلة لالشتقاق عند ‪ x=C‬التي تنتمي الى الفترة املفتوحة‬
‫)‪ ( a,b‬فاذا كانت‪:‬‬
‫اشارة )‪a + + + + + + c - - - - - - - b f '(x‬‬
‫)‪1) f ′ (xc ) < 0; ∀x ∈( c,b‬‬
‫) ‪f ′ (xc ) > 0; ∀x ∈( a, c‬‬
‫‪f ′ (c) = 0‬‬
‫فإن ) ‪ f ( c‬نهاية عظمى محلية‬
‫اشارة )‪a - - - - - - - c + + + + + + b f '(x‬‬
‫)‪2) f ′ (xc ) > 0; ∀x ∈( c,b‬‬
‫) ‪f ′ (xc ) < 0; ∀x ∈( a, c‬‬
‫‪f ′ (c) = 0‬‬
‫فإن ) ‪ f ( c‬نهاية صغرى محلية‬
‫‪103‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مالحظـة‬
‫لكي نختبر القيمة العظمى والصغرى احمللية للدالة ‪ f‬بواسطة‬
‫املشتقة االولى للدالة ‪ f‬نتبع اخلطوات االتية‪:‬‬
‫●جند االعداد احلرجة وذلك بحل املعادلة ‪ * f ′(x) = 0‬وليكن ‪ x = x1‬هو أحد هذه األعداد احلرجة‬
‫إشارة= )‪ f ′(x‬بجوار ‪ x = x1‬فاذا كانت إشارة ) ‪ f ′ ( x‬موجبة ‪∀x < x1‬‬
‫● نختبر ‪0‬‬
‫وسالبة ‪∀x > x1‬‬
‫فهذا يعني أن النقطة )) ‪ ( x1 , f ( x1‬نقطة نهاية عظمى محلية‬
‫أما إذا كانت اشارة ) ‪ f ′ ( x‬سالبة ‪∀x < x1‬‬
‫وموجبة ‪∀x > x1‬‬
‫فهذا يعني أن )) ‪ ( x1 , f ( x1‬نقطة نهاية صغرى محلية‬
‫أما إذا كانت اشارة ) ‪ f ′ ( x‬التغير قبل وبعد ‪ x1‬فال يكون للدالة نقطة نهاية عظمى والصغرى عند‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫هذه النقطة‬
‫‪f ′(x) < 0‬‬
‫‪f ′(x) > 0‬‬
‫‪f ′(x) > 0‬‬
‫‪f ′(x) < 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪0‬‬
‫نقطة نهاية صغرى محلية‬
‫‪0‬‬
‫نقطة نهاية عظمى محلية‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪f ′(x) < 0‬‬
‫‪f ′(x) > 0‬‬
‫‪f ′(x) < 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫ال توجد نهايات‬
‫* سنقتصر في بحثنا على الدوال القابلة لالشتقاق‪.‬‬
‫‪104‬‬
‫‪f ′(x) > 0‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪0‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-3 -‬‬
‫جد نقط النهايات العظمى والصغرى احمللية للدالة ‪f‬في حالة وجودها اذا علمت أن‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪a) f ( x ) = 1 + ( x − 2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪b) f ( x ) = 1 − ( x − 2‬‬
‫‪c) f ( x ) = x 3 − 9x 2 + 24x‬‬
‫احلل‬
‫‪2‬‬
‫) ‪a) f ( x ) = 1+ ( x − 2‬‬
‫)‪⇒ f ′ ( x) = 2 ( x − 2‬‬
‫‪when‬‬
‫‪f ′ ( x) = 0 ⇒ 2 ( x − 2) = 0 ⇒ x = 2‬‬
‫)‪(2 , 1‬‬
‫اشارة )‪f '(x‬‬
‫‪f (2) = 1+ (2 − 2)2 = 1‬‬
‫‪----- --2 ++++++‬‬
‫تناقص‬
‫تزايد‬
‫‪ f‬متزايدة في }‪{ x : x > 2‬‬
‫‪ f‬متناقصة في }‪{ x : x < 2‬‬
‫∴ النقطة )) ‪ ( 2,1) = (( 2 ) , f ( 2‬متثل نقطة نهاية صغرى محلية ‪.‬‬
‫) ‪b) f ( x ) = 1− ( x − 2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪⇒ f ′ ( x ) = −2 ( x − 2‬‬
‫)‬
‫‪when‬‬
‫) ‪b) f ( x ) = 1− ( x − 2‬‬
‫‪⇒−2‬‬
‫‪x =x2− 2‬‬
‫⇒‪f‬‬
‫= ‪′ ( xf)′ =x0‬‬
‫‪(2‬‬
‫) (‬
‫‪fwhen‬‬
‫‪(2) = 1− (2 − 2) = 1‬‬
‫اشارة )‪f '(x‬‬
‫⇒‪f ′ ( x+) =+ 0+‬‬
‫= ‪+ +x‬‬
‫ ‪+2 - - - - - -‬‬‫تناقص‬
‫تزايد‬
‫‪105‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪ f‬متزايدة في }‪on { x : x < 2‬‬
‫‪ f‬متناقصة في }‪on { x : x > 2‬‬
‫النقطة= )‪ ( 2,1‬متثل نقطة نهاية عظمى احمللية‬
‫)) ‪(( 2 )∴, f ( 2‬‬
‫‪c) f ( x ) = x 3 − 9x 2 + 24x‬‬
‫‪⇒ f ′ ( x ) = 3x 2 − 18x + 24‬‬
‫‪when‬‬
‫‪f ′ ( x) = 0‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪⇒ 3 x 2 − 6x + 8 = 0‬‬
‫‪⇒ 3( x − 4 ) ( x − 2 ) = 0‬‬
‫‪x=2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪f (2) = 20‬‬
‫اشارة )‪+ + + + + + f '(x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪f (4) = 16 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪++++++ ----- --‬‬
‫تزايد‬
‫تزايد‬
‫تناقص‬
‫‪ f‬متزايدة في‬
‫‪on { x : x < 2} and‬‬
‫}‪, { x : x > 4‬‬
‫‪ f‬متناقصة في الفترة املفتوحة (‪)2 ,4‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪on ( 2, 4‬‬
‫نقطة النهاية العظمى احمللية ) ‪(( 2) f ( 2)) = ( 2, 20‬‬
‫نقطة النهاية الصغرى احمللية ) ‪(( 4 ) f ( 4 )) = ( 4,16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪106‬‬
‫‪⇒x=4‬‬
‫)‪(4,16‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(2, 20‬‬
‫‪2‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫[‪ ]3-6‬تقعر وحتدب املنحنيات ونقط االنقالب‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫منحني مقعر واملشتقة متزايدة‬
‫)‪(A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫منحني محدب واملشتقة متناقصة‬
‫)‪(B‬‬
‫تعريف [‪]3-4‬‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة قابلة لالشتقاق في الفترة املفتوحة (‪ )a,b‬فيقال عن الدالة ‪ f‬بأنها محدبة اذاكانت‬
‫‪ f ′‬متناقصة خالل تلك الفترة وتسمى مقعرة اذا كانت ‪ f ′‬متزايدة خالل تلك الفترة‪.‬‬
‫مالحظـة‬
‫املنحني مقعر في (‪ ⇔ )Concave up) (a,b‬املنحني يقع فوق جميع مماساته في‬
‫(‪)a,b‬‬
‫واملنحني محدب في (‪ ⇔ ) Concave down) (a, b‬املنحني يقع حتت جميع مماساته في‬
‫(‪ )a,b‬الحظ الشكلني( ‪) A ) ،( B‬‬
‫مبرهنة (‪)3-4‬‬
‫اذا كانت ‪ f‬معرفة في [‪ ]a,b‬ولها مشتقة أولى وثانية على (‪ )a,b‬فإنها تكون مقعرة على (‪)a,b‬‬
‫اذا حققت الشرط االتي ‪:‬‬
‫)‪f ′′ ( x ) > 0, ∀ ∈(a,b‬‬
‫لكل )‪f ′′ ( x ) > 0, ∀x ∈(a,b‬‬
‫تكون محدبة على (‪ )a,b‬اذا حققت الشرط االتي ‪:‬‬
‫)‪ f ′′ ( x ) < 0, ∀x ∈(a,b‬لكل )‪x ∈(a,b‬‬
‫‪f ′′ ( x ) < 0, ∀x‬‬
‫‪107‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-1 -‬‬
‫إدرس تقعر وحتدب كل من الدالتني‪:‬‬
‫‪a) f ( x ) = x 2‬‬
‫‪b) f ( x ) = x 3‬‬
‫احلل‬
‫‪y‬‬
‫‪a) f (x) = x 2‬‬
‫‪a) f ′ ( x ) =2x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪y = x2‬‬
‫‪f ′′ ( x ) = 2‬‬
‫‪∴ f ′′ ( x ) > 0, ∀x ∈R‬‬
‫الدالة ‪ f‬مقعرة على ‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫⇒ ‪b) f (x) = x‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒ ‪f ′(x) = 3x 2‬‬
‫‪f ′′(x) = 6x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f ′′(x) = 0 ⇒ 6x = 0‬‬
‫‪∴x = 0‬‬
‫‪f (0) = 0‬‬
‫اشارة )‪f ′′(x‬‬
‫‪ f‬مقعرة في}‪{x:x>0‬‬
‫‪----- --0 ++++++‬‬
‫تقعر‬
‫‪ f‬محدبة في}‪{x:x<0‬‬
‫حتدب‬
‫في هذا املثال (‪ )b‬الحظ أن املنحني في {‪ }x:x< 0‬محدب وفي {‪ }x:x>0‬مقعر‪.‬‬
‫‪0) = (0, (0,‬‬
‫))‪f (0‬‬
‫‪0) = (0,‬‬
‫املنحني‪(0,‬محدب وبعدها مقعر‪.‬‬
‫أي‬
‫))‪(0, f0)(0‬‬
‫النقطة=‬
‫قبل‪(0, f‬‬
‫))‪(0‬‬
‫تسمى هذه النقطة نقطة انقالب (‪)Point of Inflection‬‬
‫‪108‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫تعريف [‪]3-5‬‬
‫تدعى النقطة التي تنتمي ملنحني دالة والتي يتغير عندها منحني الدالة (من تقعر الى حتدب) أو‬
‫بالعكس (من حتدب الى تقعر) بنقطة انقالب لهذا املنحني‪.‬‬
‫‪f ′ = f ′′ = 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫↓‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫مثال‪-2 -‬‬
‫‪x‬‬
‫جد نقطة االنقالب للمنحني‪f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 :‬‬
‫احلل‬
‫‪f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1‬‬
‫‪f ′(x) = 6x 2 − 6x − 12‬‬
‫‪f ′′(x) = 12x − 6‬‬
‫‪f ′′(x) = 0‬‬
‫اشارة )‪f ′′(x‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪12x − 6 = 0 ⇒ x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪f( )=−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪----- --2 ++++++‬‬
‫في جوار ‪1‬‬
‫لندرس اآلن اشارة )‪f ′′(x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫نالحظ عن ميني تكون )‪ f ′′(x‬موجبة‬
‫‪2‬‬
‫وعن يسار ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫تكون )‪f ′′(x‬‬
‫تقعر‬
‫حتدب‬
‫=‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫سالبة ‪‬‬
‫‪‬‬
‫النقطة ) ‪ ( 1 ,− 11‬هي نقطة انقالب‪.‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪109‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-3 -‬‬
‫جد مناطق التحدب والتقعر ونقط االنقالب إن وجدت للدوال التالية‪:‬‬
‫‪a) f (x) = 4x 3 − x 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b) f (x) = x + , x ≠ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪c) −h(x‬‬
‫)‪4(x=+4-(x+2‬‬
‫‪2)4‬‬
‫‪d) f (x) = 3 − 2x − x 2‬‬
‫‪e) f (x) = x 4 + 3x 2 − 3‬‬
‫احلل‬
‫‪y‬‬
‫‪a) f (x) = 4x 3 − x 4‬‬
‫)‪(3, 27‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫محدبة‬
‫مقعرة‬
‫انقالب‬
‫(‬
‫‪x = 0 ,or x = 2‬‬
‫‪f (0)=0 , f(2) = 16‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫)‪, (2, 16‬‬
‫محدبة‬
‫‪- - - - - - -0 + + + + + + 2 - - - - - - -‬‬
‫‪ f‬محدبة في {‪ } x:x <2‬و {‪ } x:x >0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f‬مقعرة في الفترة املفتوحة‪ )0,2( :‬‬
‫‪‬‬
‫‪110‬‬
‫‪f ′ x = 12x − 4x‬‬
‫‪f ′′(x) = 0‬‬
‫⇒ ‪0 = 12x 2 − x‬‬
‫‪x‬‬
‫اشارة )‪f ′′(x‬‬
‫)(‬
‫‪f ′′ ( x ) = 24x −12x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫انقالب‬
‫نقطتا االنقالب هما ‪)0,0( ,)2,16( :‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪b) f x = x + 1 , x ≠ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫)(‬
‫احلل‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f ′(x) = 1−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x3‬‬
‫)‪ f ′′(0‬غير معرفة‬
‫اشارة )‪f ′′(x‬‬
‫)(‬
‫= ‪f ′′ x‬‬
‫‪----- --0 ++++++‬‬
‫مقعر‬
‫‪ f‬محدبة ‪ :‬في {‪} x:x>0‬‬
‫في {‪} x:x <0‬‬
‫‪ f‬مقعرة ‪:‬‬
‫التوجد نقطة انقالب ألن ‪ 0‬الينتمي ملجال الدالة‪.‬‬
‫محدب‬
‫‪4‬‬
‫احلل‬
‫‪c) h(x) = 4 − (x + 2)3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪h′(x) = −4(x + 2)4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)(‬
‫‪h′′ x = −12 x + 2‬‬
‫⇒ ‪h′′(x) = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪0 = −12 x + 2 ⇒ x = −2‬‬
‫ميكن للطالب بالرجوع الى اختبار املشتقة االولى ليجد ان للدالة نقطة نهاية عظمى محلية عند (‪)-2 , 4‬‬
‫إشارة )‪h''(x‬‬
‫‪- - - - - - - -2- - - - - - - -‬‬
‫محدبة‬
‫الدالة ‪ h‬محدبة في {‪ } x:x>-2‬و {‪} x:x <-2‬‬
‫محدبة‬
‫التوجد نقطة انقالب عند ‪ x= -2‬ألن الدالة محدبة على جهتيها‬
‫‪111‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪d) f (x) = 3 − 2x − x 2‬‬
‫احلل‬
‫)(‬
‫)(‬
‫⇒ ‪f ′ x = −2 − 2x ⇒ f ′′ x = −2 < 0‬‬
‫‪f ′′(x) = −2 > 0‬‬
‫∴ ‪ f‬الدالة محدبة في ‪ R‬لذا التوجد نقطة انقالب‪.‬‬
‫)(‬
‫‪e) f x = x 4 + 3x 2 − 3‬‬
‫احلل‬
‫)(‬
‫)(‬
‫⇒ ‪f ′ x = 4x3 + 6x ⇒ f ′′ x = 12x 2 + 6 > 0‬‬
‫جلميع قيم ‪، x ∈ R‬‬
‫الدالة ‪ f‬مقعرة في ‪ .R‬لذا التوجد نقطة انقالب‬
‫[‪ ]3-7‬اختبار املشتقة الثانية لنقط النهايات العظمى والصغرى احمللية‬
‫بد ًال من مالحظة كيفية تغير اشارة ‪ f ′‬عند املرور بالنقطة احلرجة حيث ‪f ′(x) = 0‬‬
‫فانه بامكاننا استخدام االختبار التالي لنقرر فيما إذا كانت النقطة احلرجة متثل نقطة نهاية عظمى أو نهاية‬
‫صغرى محلية ‪ .‬وذلك باستخدام اختبار املشتقة الثانية وكما يأتي‪:‬‬
‫(‪ )1‬اذا كان ‪ f ′(c) = 0‬وإن ‪ f ′′(c) < 0‬فإن ‪ f‬متتلك نهاية عظمى محلية عند ‪. x=c‬‬
‫(‪ )2‬اذا كان ‪ f ′(c) = 0‬وإن ‪ f ′′(c) > 0‬فإن ‪ f‬متتلك نهاية صغرى محلية عند ‪.x=c‬‬
‫(‪ )3‬اذا كانت ‪ f ′′(c) = 0‬او )‪ f ′′(c‬غير معرفة فال يصح هذا االختبار (ويعاد االختبار باستخدام املشتقة‬
‫االولى)‪.‬‬
‫‪112‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-1 -‬‬
‫باستخدام اختبار املشتقة الثانية ان أمكن‪ ،‬جد النهايات احمللية للدوال اآلتية‪:‬‬
‫‪c) f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x‬‬
‫)(‬
‫ ‪a) f x = 6x − 3x 2 −1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪,x ≠0‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪d) f (x) = 4 − (x +1)4‬‬
‫‪b) f (x) = x −‬‬
‫احلل‬
‫)(‬
‫‪a) f x = 6x − 3x 2 −1‬‬
‫)(‬
‫‪f ′ x = 6 − 6x‬‬
‫‪f ′(x) = 0‬‬
‫‪0 = 6 − 6x ⇒ x = 1‬‬
‫‪f ′′ x = −6 ⇒ f ′′ 1 = −6 < 0‬‬
‫)(‬
‫)(‬
‫مبا أن ‪ f ′(1) = 0 :‬و ‪ . f ′′(1) < 0‬اذ ًا توجد نهاية عظمى محلية عند‪x=1‬‬
‫النهاية العظمى احمللية هي‪f 1 = 6 − 3 −1 = 2 =:‬‬
‫)(‬
‫‪x≠0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪b) f x = x − 4‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪f ′ x = 1+ 3 ,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f ′(x) = 0‬‬
‫)(‬
‫)(‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪⇒ x 3=+−1‬‬
‫⇒‪8 =⇒0 x‬‬
‫‪= −2‬‬
‫⇒‬
‫‪=x−8x‬‬
‫‪= −2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪f ′(x) = 1+ 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−24‬‬
‫‪f ′′(x) = 4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪24‬‬
‫‪f ′′ −2 = − < 0,‬‬
‫‪16‬‬
‫‪0 = 1+‬‬
‫) (‬
‫‪113‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫) (‬
‫) )( (‬
‫‪ ⇐ f ′f −2‬توجد نهاية عظمى محلية عند الـنقطة ‪x=-2‬‬
‫مبا أن ‪ f ′ −2 = 0 :‬و‬
‫⇐ ‪′′ −2= 0< 0‬‬
‫النهاية العظمى احمللية هي ‪:‬‬
‫= ‪f −2 = −2 −1 = −3‬‬
‫) (‬
‫)(‬
‫‪f ′ ( x ) = 3x‬‬
‫‪c) f x = x3 − 3x 2 − 9x‬‬
‫‪− 6x − 9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ′(x) = 0‬‬
‫()‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫‪0 = 3 x 2 − 2x − 3 ⇔ 0 = 3 x − 3 x +1‬‬
‫‪ x=-1‬او ‪x=3‬‬
‫)(‬
‫‪f ′′ x = 6x − 6‬‬
‫عندما‬
‫‪ x = 3‬فان ‪⇒ f ′′(3) = 18 − 6 = 12 > 0‬‬
‫توجد نهاية صغرى محلية هي ‪f (3) = 27 − 27 − 27 = −27‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫فان ‪⇒ f ′′ −1 = −6 − 6 = −12 < 0 ⇒ f‬‬
‫وعندما =‪−1x== 5-1‬‬
‫توجد نهاية عظمى محلية هي ‪f(-1)=5‬‬
‫‪d) f (x) = 4 − (x + 1)4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫)(‬
‫(‬
‫‪f ′ x = −4 x +1‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫‪f ′(x) = 0‬‬
‫(‬
‫‪0 = −4 x +1 ⇒ x = −1‬‬
‫‪2‬‬
‫هذه الطريقة ال تصح نعود الى مالحظة تغير اشارة ‪ f ′‬بجوار ‪x=-1‬‬
‫اشارة )‪f ′(x‬‬
‫‪114‬‬
‫‪----- -‬‬‫تناقص‬
‫‪+ + + + + + -1‬‬
‫تزايد‬
‫)‬
‫(‬
‫)(‬
‫) (‬
‫‪f ′′ x = −12 x +1‬‬
‫⇒ ‪f ′′ −1 = 0‬‬
Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬
∴ f (−1) = 4 − (−1+ 1)2 = 4
f ( x ) = x2 +
}x:x<-1{ ‫ متزايدة في‬f ‫ومبا أن‬
}x:x>-1{ ‫ومتناقصة في‬
: ‫توجد نهاية عظمى محلية هي‬
a
, x ≠ 0 , a∈R ‫لتكن‬
x
-2 -‫مثال‬
a
f
x
=
2x
−
′
(
)
‫ المتتلك نهاية عظمى‬f ‫ثم بني أن الدالة‬x 2، x = 1 ‫ علم ًا أن الدالة متتلك نقطة انقالب عند‬a ‫فجد قيمة‬
.‫محلية‬
2a
f ′′ ( x ) = 2 − 3 = 0
a
a
f ′ ( x ) = 2x − f2 ′ ( x ) = 2x − (12 ) a
‫احلل‬
2a
axa
2
x
f
x
=
2x
−
′
′′
(
)
⇒
2
+
2a
0
⇒
f
(x)
=
2
+
ff ′((xx))==x2x+− , x ≠ 0
2
xx2a2
x3
2a x
f ′′ ( x ) = 2 − f⇒
=a 0= −1
=0
′′
3 ( x) = 2 −
3 2a
a
2a
2
1
(
)
1
(
)
x( x) )===x22−
+− 2a
, x3 ≠==f00′′0( x ) =2 2 −a 3 = 0
ff ′′′′((1)
∴
) ==x0 + (1)
⇒ 2 + 2a = 0(x1
)3 2f +( x2a
1⇒
x
⇒
2
+
2a
=
0
⇒ a2 += 2a
−1 = 0 ⇒ a = −1
a
⇒⇒
f ′ (ax )==−1
2x − 2
a1
a x
⇒ a = −1
∴ f ( x ) = x 2 +−∴ f ( x ) = x 2 +
x2 + a a
ax⇒ ∴
f
x
=
x
(
)
2
∴ f ( x ) = x + a1f ′ ( x ) = 0 ⇒ a2xx− x 2 = 0
x f ′ ( x ) = 2x −
⇒ f ′ ( x ) = 2x ⇒
−+
2
a
xa22⇒3 f ′ ( x ) = 2x
3x − a
⇒ f ′ ( x ) = 2x −⇒ 22x 1a= a ⇒ x = 2x 2a
xf ′+
⇒ f ′ ( x) = 0 ⇒
−( x )22==00⇒ 2x − 2 =a0
⇒2x
x−
⇒ xfa3′ (ax ) = 0 ⇒ 2x
=0
2
⇒
x
=
⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇒ 2x −a−12 = 0
x
x a2⇒ x 3 = a
⇒ 2x 3 = −1
a⇒
xx3 3=
⇒⇒
=3 =
2x
a
a222x 3 = a2a⇒ x23 =
3
3 ⇒
⇒ 2x = a1⇒ xf ′′=( x ) = 2 +
2
a
a
a
2
3
3
⇒x=−
⇒x= 3
2
2
2= 3 a2
a
⇒
x
⇒x= 3
2
0
2a
2 f ′′ ( x ) = 22 +2a
222af2=′′ 6( x>) =
2=+−6 −>2022a
= 2 − f⇒
f ′′f(x)
(x)2
⇒
,⇒
∀x
f ′′(x)
R= 6= >6 0> 0, ∀x
∈∈
RR
′′(x)2
f′′=
(x)
f ′′(x)2
f∈′′(x)
, ∀x
′′(1)
2= −2=−−2 −a3 ⇒
=⇒
0f ′′(x)
a
1
1
1
2a
x3
x3
x3
f
x
=
2
+
′′
( ) − −a
f ′′ ( x ) = 2(+−1)2
22 2
2a
2
=6>0
2= 6 > 0
=6>0
=6>0
1
∴
⇒ x = − 3 ‫توجد نهاية صغرى محلية عند‬
2
‫ نهاية عظمى محلية‬f ‫∴ المتلك‬
115
Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬
3
2
-3 -‫مثال‬
‫ نهاية عظمى‬y = x + ax + bx ‫ لكي يكون ملنحني الدالة‬b,a ‫عني قيمتي الثابتني‬
. ‫ ثم جد نقطة االنقالب‬x = 2 ‫ ونهاية صغرى محلية عند‬، x = −1 ‫محلية عند‬
y = x 3 + ax 2 + bx
‫احلل‬
dy
dy
⇒
= 3x 2 +2ax
2a + b
∴
]=0
dx
dx
dy
dy
x = −1 ‫مبا أن للدالة نهاية عظمى محلية عند‬
∴
=∴dy
0 ] ]==00
]
dy
∴
2
dx∴ dx
]=0
dx
3 ( −1) + 2a ( −1) + b = 0 ⇒ 3 − 2a + b = 0..
3
2
dx
y = x + ax + bx
x = −1 xx==−1
−1
x 2= −1
2
dy=+xb3 =+20...........
22
3 ( −10=
+2a
b( −1
=
0) )+⇒
−02a
1)
) +33(2a
()−1
ax
−1
+bb3⇒
0y⇒
⇒=333x
2a
+b+b=+bx
=0...........
1
(
)
(
−1
+)+2a
==
−−2a
2−1
++2a
b(0...........
dy(1) (1( ) )
3 ( −1) + 2a ( −1) + b = 0 ⇒dx
3 − 2a + b = 0...........
∴
]=0
dy
2
dx
⇒
= 3x + 2a + b
dx
dy
dy
dy
x = 2 ‫مبا أن للدالة نهاية صغرى محلية عند‬
∴
=∴0 ] ]==00
∴
]
dy
2
dx ∴ dx
dx = 0
⇒
3
2
+ 2a ( 2) + b = 0 ⇒ 12 + 4a + b =
3
2
(
)
]
y
=
x
+
ax
+
bx
x = 2 xx=dx
2
=2
x2 += 2a
2 22 2 + b = 0 ⇒ 12 +dy
3 2
2
==12
x+12
ax
bx
⇒ 3 ( 2)0=
4a
b++=4a
0...........
()) )+ 2a2a((22))++bb⇒
( 2) ((22))
⇒
==00y⇒
++b+
=b
3x
+4a
2a
⇒33( (22
⇒
b
=0...........
0...........
2
⇒ 3 ( 2) + 2a ( 2) + b = 0dx
⇒dy
12 + 4a2+ b = 0...........
2)‫) آني ًا‬2( ‫) و‬1( ‫وبحل املعادلتني‬
: ‫جند( ان‬
⇒
= 3x + 2a + b
dx
−3
a a== −3,b,b==−6
−6
22
3
∴∴y y==x 3x 3−− 3x 2x 2−−6x6x
22
dy
2 2
⇒⇒ dy==3x3x
−−3x3x−−6 6
dxdx
22 2
dy
ddy
y
⇒⇒ 2 ==6x6x−−
a3
f ′ (dx
xdx)dx= 2x − 2 3
1
x
22 2
d
dyy
----- --2 ++++++
2a
⇒ dy
=
0
⇒
6x
−
3
=
0
1

3=
f ′′(x) ‫اشارة‬
f dx
− 6x −
=
00
′′22(2x )==02⇒
dx
x:x > 
3

‫تقعر‬
‫حتدب‬
1)
(
2


11
∴
∴x2x=+=2a = 0
⇒
1
1


22
 x : x > ‫ مقعرة في‬f ‫مبا أن‬
 x : x <  ‫ومحدبة في‬
2
2
⇒ a = −1


1 −26 a −13
1

∴
f
(
∴ f (2x )) =
= x82 + =
x : x < 
−26 
2  1 −13
x 4

∴
‫ نقطة انقالب‬ ,
 2 84 
a
⇒ f ′ ( x ) = 2x − 2
x
a
116
⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇒ 2x − 2 = 0
x
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-4 -‬‬
‫مقعر في‬
‫اذا كان منحني الدالة ‪f ( x ) = ax 3 + bx 2 + c :‬‬
‫}‪ {x : x < 1‬ومحدب في }‪{x : x > 1‬‬
‫وميس املستقيم ‪ ( y + 9x = 28 ):‬عند النقطة‬
‫احلل‬
‫)‪( 3,1‬‬
‫فجد قيم االعداد احلقيقية ‪. c,b, a‬‬
‫∵الدالة مستمرة ألنها كثيرة احلدود ‪،‬مقعرة في }‪ {x : x < 1‬ومحدبة في }‪{x : x > 1‬‬
‫نقطة انقالب عند)‪( x = 1‬‬
‫فهي متتلك‬
‫‪∴ f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx‬‬
‫‪f ′′ ( x ) = 6ax + 2b‬‬
‫‪f ′′ (1) = 0 ⇒ 6a +2b = 0‬‬
‫‪÷2‬‬
‫)‪− − − − (1‬‬
‫‬
‫⇒‪0f ′′‬‬
‫‪− 02a‬‬
‫‪+‬‬
‫‪b ==0...........‬‬
‫‪( −1) + b =3a‬‬
‫== )‪+(1b3‬‬
‫⇒‪0‬‬
‫‪∴b‬‬
‫)‪−3a (1‬‬
‫‪dy‬‬
‫ميل املماس ‪ y + 9x = 28‬هو ‪= 9−9‬‬
‫‪dx‬‬
‫)‪ f ′ ( 3‬هو ميل املماس ملنحني الدالة ‪ f‬عند ‪x = 3‬‬
‫‪f ′ ( 3) = 27a + 6b‬‬
‫‪- 9=27a+6b‬‬
‫‪÷3‬‬
‫‪f ′′ (12)) =+ b‬‬
‫⇒‪0‬‬
‫‪3 =129a+ +4a2b‬‬
‫)‪− − − −( 2() 2‬‬
‫‪2a‬‬
‫⇒‪= 0-‬‬
‫‪+ b =−0...........‬‬
‫)‬
‫النقطة )‪ ( 3,1‬حتقق معادلة منحني الدالة ‪+ bx 2 + c‬‬
‫‪3‬‬
‫‪( y = f ( x ) = ax‬‬
‫‪117‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫)‪( 3‬‬
‫)‪∴1 = 27a + 9b + c ...(3‬‬
‫‪−−−−−‬‬
‫وبالتعويض من )‪ (1‬في )‪( 2‬‬
‫‬
‫ينتج‪:‬‬
‫‪0 ⇒ b=- 3(-1)= 3‬‬
‫‪′′ (a1)==1-1‬‬
‫⇒‪- 3 = 9a + 2 ( −3a ) f‬‬
‫وبالتعويض في املعادلة )‪ ( 3‬ينتج ‪:‬‬
‫‬
‫‪1 = −27 + 27 + c ⇒ c = 1‬‬
‫مثال‪-5 -‬‬
‫اذا كان للدالة ‪ f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + c‬نهاية عظمى محلية تساوي ‪ ،8‬ونقطة‬
‫انقالب عند ‪ x = 1‬فجد قيمة ‪a, cb ∈ R‬‬
‫‪a ∈ {−4,.8},‬‬
‫احلل‪ :‬احلل‬
‫عند ‪ x = 1‬توجد نقطة انقالب‬
‫‪⇒ f ′′ (1) = 0‬‬
‫‪⇒ f ′ ( x ) = 3ax 2 + 6x‬‬
‫‪f ′′(x) = 6ax + 6 ⇒ f ′′(1) = 0‬‬
‫‪∴ 0 = 6a + 6 ⇒ a =−1‬‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫‪f ( x ) = −x 3 + 3x 2 + c‬‬
‫= ‪⇒⇒f ′f(′x( )x‬‬
‫‪) =-3x3x2 2++6x6x‬‬
‫⇒ ‪f ′ ( x) = 0‬‬
‫)‪f ′′′ (x‬‬
‫اشارة )‪( 3‬‬
‫⇒ ‪−3x 2 + 6x = 0‬‬
‫حرجتان ‪−3x ( x − 2) = 0 ⇒ x = 0 , x = 2‬‬
‫‪- - - - - - -0‬‬
‫‪+ + + + + +2- - - - - - -‬‬
‫∴ ‪ f‬متتلك نهاية عظمى محلية عند ‪x = 2‬‬
‫∴ النقطة ) ‪ ( 2, 8‬نهاية عظمى محلية و حتقق معادلة منحني الدالة ‪:‬‬
‫‪f ( x ) = −x 3 + 3x 2 + c‬‬
‫‪1−8‬‬
‫‪) +=+c012=⇒4+ c = 4‬‬
‫∴= ‪∴ 8‬‬
‫‪−88f +′′=(12‬‬
‫‪118‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫ت‬
‫‪)3‬‬
‫مارين (‬
‫‪4‬‬
‫‪-‬‬
‫‪ .1‬لتكن ‪ f (x) = ax 2 − 6x + b‬حيث ان ‪ a ∈ {−4, 8}, b ∈ R‬جد قيمة ‪ a‬اذا كانت ‪:‬‬
‫أ) الدالة ‪ f‬محدبة ب) الدالة ‪ f‬مقعرة ‪.‬‬
‫‪ .2‬اذا كانت (‪ )2,6‬نقطة حرجة ملنحني الدالة )‪ f ( x) = a − ( x − b‬فجد قيمة ‪a,bb ∈ R‬‬
‫‪a ∈ {−4, 8},‬‬
‫‪4‬‬
‫وبني نوع النقطة احلرجة‪.‬‬
‫‪ .3‬اذا كان ‪ g ( x) = 1−12x, f ( x) = ax + bx + cx‬وكان كل من ‪ g,f‬متماسان عند نقطة‬
‫‪a ∈ {−4,‬‬
‫انقالب املنحني ‪ f‬وهي (‪ )1 ,-11‬فجد قيمة الثوابت ‪8}, b ∈ R‬‬
‫‪.a,b,c‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .4‬اذا كانت ‪ 6‬متثل نهاية صغرى محلية ملنحني الدالة ‪ f ( x) = 3x − x + c‬فجد قيمة ‪∈ {−4, 8}, cb ∈ R‬‬
‫ثم جد معادلة مماس املنحني في نقطة انقالبه‪.‬‬
‫‪ ∀x⟨1‬وللدالة ‪ f‬نقطة‬
‫‪.5‬اذا كان ‪ f ( x) = ax + bx + cx‬وكانت ‪ f‬مقعرة ‪ ∀x⟩1<1‬ومحدبة‪>1‬‬
‫‪a ∈ {−4,‬‬
‫نهاية عظمى محلية هي (‪ )-1,5‬فجد قيمة الثوابت ‪8}, b ∈ R‬‬
‫‪.a,b,c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .6‬لتكن‬
‫‪3‬‬
‫‪, a ∈R / {0} , x ≠ 0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f ( x) = x 2 −‬‬
‫برهن أن الدالة ‪ f‬ال متتلك نهاية عظمى محلية‪.‬‬
‫‪ .7‬املستقيم ‪ 3x-y=7‬ميس املنحني ‪ y=ax2+bx+c‬عند (‪ )2 , -1‬وكانت له نهاية محلية‬
‫عند ‪ x = 1‬جد قيمة ‪ a,b, c ∈ R‬وما نوع النهاية‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪119‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫[‪ ]3-8‬رسم املخطط البياني للدالة‬
‫‪Graphing Function‬‬
‫ولكي نرسم املخطط البياني لدالة معطاة نتبع اخلطوات االتية ‪:‬‬
‫‪ )1‬نحدد أوسع مجال للدالة‪:‬‬
‫فاذا كانت الدالة حدودية (‪ )Polynomial‬فإن أوسع مجال لها هو ‪R‬‬
‫اما اذا كانت دالة نسبية )‪ f (x) = g(x‬فان اوسع مجال لها هو }‪R = {x ∈ R : h(x) ≠ 0‬‬
‫)‪h(x‬‬
‫‪ )2‬نبني نوع التناظر للمنحني هل هومع محور الصادات أم مع نقطة االصل؟‬
‫(‪ f : A → B )i‬متناظر حول محور الصادات ⇔‬
‫‪∀x‬‬
‫‪∀x∈∈A∃(−X‬‬
‫‪A∃(−X‬‬
‫∈∈‪f ′′)()1‬‬
‫)‪) =AA0 ⇒ f (−x) = f (x‬‬
‫(‪ f : A → B )ii‬متناظر حول نقطة االصل ⇔‬
‫‪∀x‬‬
‫‪∀x∈∈A∃(−X‬‬
‫‪A∃(−X‬‬
‫∈∈‪f ′′)()1‬‬
‫)‪) =AA0 ⇒ f (−x) = − f (x‬‬
‫‪ )3‬نبني إن كان منحني الدالة يقطع احملورين أم ال؟‬
‫اي جنعل ‪ x=0‬وجند قيمة ‪( y‬ان امكن) فجد بذلك نقط التقاطع مع محور الصادات‪.‬‬
‫وجنعل ‪ y=0‬وجند قيمة أو قيم ‪( x‬ان امكن) فجد بذلك نقط التقاطع مع محور السينات‬
‫‪ )4‬جند املستقيمات احملاذية ا ُالفقية والعمودية في الدوال النسبية إن وجدت‪:‬‬
‫(‪ )i‬فاذا كانت )‪ y = g(x‬جنعل‪ h(x(= 0‬وجند قيم ‪x‬‬
‫)‪h(x‬‬
‫ولتكن ‪ x=a‬فهي متثل معادلة املستقيم احملاذي العمودي (‪)Vertical Asymptote‬‬
‫(‪ )ii‬واذا كانت )‪ x = n(y‬جنعل‪ m(y ( = 0‬وجند قيمة (‪( ) y‬ان امكن) ولتكن ‪ y= b‬فهي متثل‬
‫)‪m(y‬‬
‫احملاذي االفقي‬
‫)‪(Horizontal Asymptote‬‬
‫‪ )5‬جند )‪ f ′′(x) , f ′(x‬ومنهما جند مناطق التزايد والتناقص والنقاط احلرجة ونوعها ومناطق التقعر‬
‫والتحدب ونقط االنقالب إن وجدت ‪.‬‬
‫‪ )6‬جند نقط اضافية إن احتجنا الى ذلك ثم نرسم منحني الدالة ‪.‬‬
‫‪120‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال ‪-1 -‬‬
‫احلل‬
‫ارسم باالستعانة مبعلوماتك في التفاضل منحني الدالة ‪f(x)=x5 :‬‬
‫(‪ )1‬اوسع مجال = ‪R‬‬
‫(‪ )0,0( )2‬نقطة التقاطع مع احملورين اإلحداثيني‪.‬‬
‫(‪ )3‬املنحني متناظر حول نقطة االصل ألن‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪∀x ∈R, ∃ (f−x‬‬
‫‪′′ ()1∈R‬‬
‫) ‪) = 0 ⇒∋ f ( −x ) = ( −x‬‬
‫‪= −x 5‬‬
‫) ‪f(-x) = − f ( x‬‬
‫(‪ )4‬احملاذيات ‪ :‬ال توجد ألن الدالة ليست نسبية‪.‬‬
‫‪f ′ ( x ) = 5x 4‬‬
‫(‪)5‬‬
‫→‪f ′′′((x1) = 00f‬‬
‫⇒‬
‫) ‪′′ (1x)== 00 ⇒ ( 0,0‬‬
‫اشارة )‪f ′′′ (x‬‬
‫‪ f‬متزايدة في كل من‬
‫‪++++++‬‬
‫‪++++++ 0‬‬
‫}‪{ x : x < 0} ، { x : x > 0‬‬
‫) ‪ ( 0,0‬نقطة حرجة ال متثل نقطة نهاية‪.‬‬
‫اشارة )‪f ′′(x‬‬
‫‪----- --0 ++++++‬‬
‫}‪{ x : x > 0‬‬
‫}‪{ x : x < 0‬‬
‫تقعر‬
‫‪f ′′ ( x ) = 20x 3‬‬
‫‪f ′′ ( x ) = 0 ⇒ x = 0‬‬
‫حتدب‬
‫‪ f‬مقعرة في‬
‫‪ f‬محدبة في‬
‫∴ ) ‪ ( 0,0‬نقطة االنقالب‬
‫‪121‬‬
‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-32‬‬
‫‪-1 2‬‬
‫‪-1 32‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫⚈ )‪(1 ,1‬‬
‫‪x‬‬
‫⚈‬
‫)‪(0 ,0‬‬
‫⚈‬
‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬
‫اﳊﻞ‬
‫ارﺳﻢ ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪:‬‬
‫)‪(-1 ,-1‬‬
‫‪y = x 3 − 3x 2 + 4‬‬
‫‪ (1‬اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل = ‪R‬‬
‫)‪x = 0 ⇒ y = 04 ⇒ (0, 40‬‬
‫‪ (2‬اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬
‫‪ (3‬اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ‬
‫‪,‬‬
‫‪∀x‬‬
‫)‪∀x∈∈R∃(−x‬‬
‫)‪R∃(−x‬‬
‫⇒‪∈∈RR‬‬
‫)‪⇒f f(−x‬‬
‫)‪(−x)==(−x‬‬
‫)‪(−x)3 3−−3(−x‬‬
‫‪3(−x)2 2++44‬‬
‫‪==−x‬‬
‫‪−x3 3+−‬‬
‫‪+3x‬‬
‫)‪3x2 2++44≠≠f f(x‬‬
‫)‪(x‬‬
‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺗﻨﺎﻇﺮ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات او ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻷن )‪f (−x) ≠ − f (x) , f (x) ≠ f (−x‬‬
‫‪ (4‬اﶈﺎذﻳﺎت ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻷن اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﻧﺴﺒﻴﺔ ‪.‬‬
‫‪(5‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪f (x)== x 3 − 3x 2 + 4 ⇒ f ʹ(x) = 3x 2 − 6x‬‬
‫)‪f ʹf(x‬‬
‫‪ʹ(x)== 0 ⇒ 3x 2 − 6x = 0 ⇒ x = 0 , x = 2‬‬
‫)‪f (0‬‬
‫)‪f (0)== 4 ⇒ (0, 4‬‬
‫)‪f ʹʹʹ (x‬‬
‫اﺷﺎرة )‪( 3‬‬
‫‪122‬‬
‫‪+ + + + + +0 - - - - - - - 2 + + + + + +‬‬
‫)‪f (2‬‬
‫)‪f (2)== 0 ⇒ (2, 0‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪ f‬متزايدة في كل من }‪{x : x < 0} , {x : x > 2‬‬
‫‪ f‬متناقصة في الفترة (‪)0 , 2‬‬
‫∴(‪ )0, 4‬نقطة نهاية عظمى محلية ‪)2 , 0( ،‬نقطة نهاية صغرى محلية ‪.‬‬
‫‪f ′′(x) = 6x − 6‬‬
‫‪f ′′(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0 ⇒ x = 1‬‬
‫)‪f (1) = 2 ⇒ (1, 2‬‬
‫اشارة )‪f ′′(x‬‬
‫‪----- --1 ++++++‬‬
‫تقعر‬
‫حتدب‬
‫‪ f‬مقعرة في }‪{x : x > 1‬‬
‫‪ f‬محدبة في }‪{x : x < 1‬‬
‫∴(‪ )1, 2‬نقطة انقالب‪.‬‬
‫‪ )6‬اجلدول‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(0,4‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(2,0‬‬
‫)‪(-1,0‬‬
‫‪123‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪- 3-‬‬
‫باالستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة‪:‬‬
‫‪3x − 1‬‬
‫‪x+1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫احلل‬
‫‪ )1‬اوسع مجال للدالة ‪x + 1 = 0 ⇒ x = −1 :‬‬
‫∴ اوسع مجال للدالة هو }‪R − {−1‬‬
‫‪ )2‬مبا أن ‪ 1‬ينتمي الى مجال الدالة لكن (‪ )-1‬الينتمي الى مجال الدالة لذلك فاملنحني غير متناظر مع‬
‫محور الصادات وغير متناظر مع نقطة االصل‪.‬‬
‫‪ )3‬نقاط التقاطع مع احملورين االحداثيني‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫⇒ ‪if x = 0 ⇒ y = −1‬‬
‫(‪∴(0,−1),‬‬
‫=‪x‬‬
‫)‪,0‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪3x − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫(‪= 0⇒ x∴(0,−1),‬‬
‫⇒ ‪if y = 0‬‬
‫هما نقطتا التقاطع مع احملورين )‪= ⇒ x = ,0‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪)4‬‬
‫املستقيم احملاذي الشاقولي‬
‫‪when x + 1 = 0 ⇒ x=-1‬‬
‫‪3x − 1‬‬
‫= ‪letff (x) = y‬‬
‫⇒‬
‫‪x+1‬‬
‫⇒ ‪yx + y = 3x − 1 ⇒ yx − 3x = −1− y‬‬
‫‪−1− y‬‬
‫‪y−3‬‬
‫املستقيم احملاذي االفقي ‪when y − 3 = 0 ⇒ y −= 3‬‬
‫= ‪x(y − 3) = −1− y ⇒ x‬‬
‫‪)5‬‬
‫اشارة )‪3‬‬
‫)‪+ + + + + +-1 + + + + + + f ′′′((x‬‬
‫)‪(x + 1)(3) − (3x − 1)(1‬‬
‫‪(x + 1)2‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪3x + 3 − 3x −‬‬
‫‪42‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x + 1‬‬
‫‪(x + 1)2‬‬
‫)‪f ′(x‬‬
‫= ‪y′‬‬
‫‪∀x ∈ R − {−1} ، f ′(x) > 0‬‬
‫}‪ {x : x > −1‬والتوجد نقاط حرجة‪.‬‬
‫الدالة متزايدة في }‪, {x : x < −1‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−3‬‬
‫⇒‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫)‪f ′′(x‬‬
‫)‪y′ = 42(x +1‬‬
‫)‪f ′(x‬‬
‫‪y'' == -8‬‬
‫= )‪−4(x + 1) (1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(x + 1)3‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪124‬‬
‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬
‫)‪ + 1)−3 (1‬اﺷﺎرة‬
‫)‪f ʹʹ(x‬‬
‫''‪y‬‬
‫‪= −4(x‬‬
‫ ‪+ + + + + +-1 - - - - - -‬‬‫ﺗﻘﻌﺮ‬
‫ﲢﺪب‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ }‪{x:x<-1‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ }‪{x:x>-1‬‬
‫‪y‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻻﲤﺘﻠﻚ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻻن )‪ (-1‬ﻻ ﻳﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﳌﺠﺎل‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y=3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1 1 2 3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-3 -2 - 1‬‬
‫‪x=-1‬‬
‫ﻣﺜﺎل‪-4 -‬‬
‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻚ ﻓﻲ اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ارﺳﻢ اﳌﻨﺤﻨﻲ‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f (x) = 2‬‬
‫‪x +1‬‬
‫اﳊﻞ‬
‫‪ (1‬اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ =‪R‬‬
‫‪ (2‬ﻧﻘﺎط اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ x=0‬ﻓﺈن ‪ y=0‬وﺑﺎﻟﻌﻜﺲ‪.‬‬
‫∴ )‪ (0 , 0‬ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ‪.‬‬
‫‪ (3‬اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ‪:‬‬
‫∴ اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬
‫‪(−x)2‬‬
‫‪∀x‬‬
‫‪−−xx∈=∈RR 2‬‬
‫)‪f (−x‬‬
‫∃‪∀x∈∈R,‬‬
‫∃‪R,‬‬
‫‪(−x) + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(−x‬‬
‫‪x2‬‬
‫= )‪f (−x‬‬
‫=‬
‫)‪= f (x‬‬
‫‪(−x)2 + 1 x 2 + 1‬‬
‫‪125‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪ )4‬احملاذيات ‪:‬‬
‫لذلك اليوجد محاذي عمودي‬
‫‪x2 + 1 ≠ 0‬‬
‫‪x 2 2x 2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+ y2 +‬‬
‫‪= yx 2= x 2‬‬
‫‪=+ y =2 x 2 = y =⇒y yx‬‬
‫⇒ ‪yx‬‬
‫‪⇒ yx‬‬
‫)‪let= yy=⇒f (x‬‬
‫‪x +x1 + 1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪⇒ x 2 (y − 1) = −y ⇒ x 2 = −y‬‬
‫‪y−1‬‬
‫‪let y −1 = 0 ⇒ y = 1‬‬
‫∴ املستقيم احملاذي االفقي‬
‫‪)5‬‬
‫)‪(x 2 +1)(2x) − x 2 (2x‬‬
‫‪2x‬‬
‫= )‪f ′(x‬‬
‫=‬
‫‪(x 2 +1)2‬‬
‫‪(x 2 +1)2‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪f ′(x) = 0 ⇒ 2‬‬
‫)‪= 0 ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = 0 ⇒ (0, 0‬‬
‫‪(x +1)2‬‬
‫‪----- --0++++++‬‬
‫)‪f ′′′ (x‬‬
‫اشارة )‪( 3‬‬
‫تزايد‬
‫( ‪ f(x‬متزايدة في }‪{x : x > 0‬‬
‫( ‪ f(x‬متناقصة في }‪{x : x < 0‬‬
‫تناقص‬
‫)‪(x 2 +1)2 (2) − 2x(2)(x 2 +1)(2x‬‬
‫(‪ )0 ,0‬نقطة نهاية صغرى محلية‬
‫= )‪f ′′(x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(x +1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x + 2 − 8x 2 2 − 6x 2‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫⇒‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪±‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(x 2 +1)3‬‬
‫‪(x 2 +1)33‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫ ‪- - - - - - - 3+ + + + + + 3 - - - - - -‬‬‫اشارة )‪f ′′(x‬‬
‫حتدب‬
‫‪1‬‬
‫(‪ f (x‬محدبة في ‪1‬‬
‫> ‪}, {x : x‬‬
‫}‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪(−‬‬
‫‪,‬‬
‫(‪ f (x‬مقعرة في الفترة املفتوحة )‬
‫‪3 3‬‬
‫حتدب‬
‫تقعر‬
‫‪y‬‬
‫‪{x : x < −‬‬
‫نقطتا االنقالب هما‪:‬‬
‫‪126‬‬
‫‪y=1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪) = ⇒ ( , ), (−‬‬
‫) ‪,‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪3 4‬‬
‫(‪f‬‬
‫‪f (±‬‬
Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬
)3
( ‫مارين‬
‫ت‬
-5
: ‫أرسم بأستخدام معلوماتك في التفاضل الدوال التالية‬
1) f (x) = 10 − 3x − x 2
2) f (x) = x 2 + 4x + 3
3) f (x) = (1− x)3 +1
4) f (x) = 6x − x 3
1
5) f (x) =
x
1
6) f (x) = x -1
x +1
7) f (x) = (x + 2)(x −1)2
x 2 −1
8) f (x) = 2
x +1
9) f (x) = 2x 2 − x 4
6
10) f (x) = 2
x +3
127
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫[‪ ]3-9‬تطبيقات عملية على القيم العظمى او الصغرى‪.‬‬
‫ظهرت في القرن السابع عشر الكثير من االسئلة دفعت الى تطور حساب التفاضل والتكامل ومن امثلة‬
‫ذلك املسائل التي وردت في بحوث الفيزياء مثل اقصى ارتفاع تصله قذيفة اطلقت بزوايا مختلفة ‪ ،‬او اقصى‬
‫ارتفاع يصله جسم مقذوف شاقولي ًا الى اعلى اواقل زمن وأقل كلفة ومسائل من الصناعات مثل أقل مساحة‬
‫وأكبر حجم وأقل محيط ‪ ... ،‬الخ ‪.‬‬
‫وحلل هذه املسائل نتبع اخلطوات اآلتية ‪:‬‬
‫‪ .1‬نرسم مخطط ًا للمسألة (إن امكن ) ونعني عليه األجزاء املهمة في املسألة ‪.‬‬
‫نكون الدالة املراد ايجاد قيمتها العظمى او الصغرى ونحدد مجالها على ان تكون في متغير واحد‪.‬‬
‫‪ِّ .2‬‬
‫‪ .3‬اذا كان املجال فترة مغلقة جند االعداد احلرجة وقيم الدالة في اطراف الفترة وفي االعداد احلرجة ‪.‬‬
‫فأ ّيها اكبر هي القيمة العظمى و َأ ّيها أصغر هي القيمة الصغرى‪.‬‬
‫مثال‪-1 -‬‬
‫جد العدد الذي اذا اضيف الى مربعه يكون الناجت اصغر ما ميكن ‪.‬‬
‫احلل‬
‫ليكن العدد = ‪x‬‬
‫مربع العدد = ‪x2‬‬
‫ولتكن ‪f(x) = x+x2‬‬
‫توجد نهاية صغرى محلية عند ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫العدد هو ‪. − 1 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪128‬‬
‫‪x=−‬‬
‫‪f ′(x) = 1+ 2x, f ′′(x) = 2 > 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ′(x) = 0 ⇒ x = −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ′′(− ) = 2 > 0‬‬
‫‪2‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-2 -‬‬
‫صنع صندوق مفتوح من قطعة من النحاس مربعة الشكل طول ضلعها ‪ 12cm‬وذلك بقص أربعة مربعات‬
‫متساوية األبعاد من أركانها األربعة ثم ثني األجزاء البارزة منها‪ .‬ما هو احلجم األعظم لهذة العلبة؟‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪x‬‬
‫حيث‬
‫‪12‬‬
‫احلل‬
‫‪0<x<6‬‬
‫نفرض طول ضلع املربع املقطوع يساوي ‪x cm‬‬
‫∴ أبعاد الصندوق هي‪12 − 2x ;12 − 2x; x :‬‬
‫احلجم = حاصل ضرب أبعاده الثالثة‪:‬‬
‫‪12 - 2x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪12 - 2x‬‬
‫) ( ) () () ( (‬
‫)‬
‫‪= −12‬‬
‫‪v −= 2x‬‬
‫‪12−−12‬‬
‫‪2x− ∗2x‬‬
‫‪12‬‬
‫‪v = v12‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x ∗− x2x ∗ x‬‬
‫( )(‬
‫)‬
‫‪V = f ( x ) = 144x − 48x + 4x‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪= f ′ ( x ) = 144 − 96x +12x‬‬
‫) ‪when = 0 ⇒ 0=12(12-8x+x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V = f x = x 144 − 48x + 4x 4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12(6-x)(2-x)=0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫النقط احلرجة ‪⇒ x = 2 , ; x = 6‬‬
‫الحظ من الشكل أن ‪ 6‬يهمل النه غير معقول‬
‫عند ‪ 2‬توجد نهاية عظمى للحجم وتساوي ‪v = f (2) = 2(12 − 4)2 = 128cm3‬‬
‫‪129‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫مثال‪-3 -‬‬
‫جد بعدي أكبر مثلث متساوي الساقني ميكن أن يوضع داخل دائرة نصف قطرها ‪12cm‬‬
‫ثم برهن أن نسبة مساحة املثلث إلى مساحة الدائرة كنسبة ‪3 3‬‬
‫‪4π‬‬
‫احلل‬
‫نفرض بعدي املثلث ‪ b = 2x , h :‬قاعدة املثلث (املتغيرات)‬
‫لنجد عالقة بني املتغيرات‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫مبرهنة فيثاغورس‪x 2 + h−12 = 144 :‬‬
‫)‬
‫‪x + h2 − 24h+144 = 144‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪12‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x 2 = 24h− h2‬‬
‫‪x = 24h− h2‬‬
‫الدالة‪( :‬مساحة املثلث)‬
‫التعويض ‪ :‬‬
‫‪h -12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫)‪A = (b)(h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A = (2x)(h) = hx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A = f h = h 24h− h2‬‬
‫)(‬
‫الحظ املجال‪ 0 ≤ h ≤ 24 :‬وهذا يعني أن ‪ h‬موجبة فيمكن توحيد اجلذر‬
‫‬
‫‬
‫) ‪A = f (h) = h2 (24h − h2‬‬
‫‬
‫‬
‫املشتقة‬
‫)(‬
‫‪A = f h = 24h3 − h4‬‬
‫‪72h2 − 4h3‬‬
‫‪dA‬‬
‫= )‪= f ′(h‬‬
‫‪dh‬‬
‫‪2 24h3 − h4‬‬
‫جند النقطة احلرجة لدالة املساحة‬
‫‬
‫وعندما‬
‫‪f ′(h) = 0 ⇒ 72h2 − 4h3 = 0‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪4h2 18 − h = 0 ⇒ h = 18cm‬‬
‫‪130‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪hh=18‬‬
‫∴ االرتفاع=‪= 18cm‬‬
‫‪x = 24h− h2 ⇒ x = 24‬‬
‫‪∗18 −18‬‬
‫)‪24(18‬‬
‫‪− 1822‬‬
‫)‬
‫(‬
‫∗‪x = 18 24 −18 = 18‬‬
‫‪3 ==6 6 3cm‬‬
‫)‪18(6‬‬
‫‪3cm‬‬
‫طول القاعدة ‪b = 2x= 12 3cm‬‬
‫مس الدائرة‪:‬‬
‫‬
‫مس املثلث‪:‬‬
‫‪A1 = π r 2‬‬
‫‪22‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪A11c= ππ(12‬‬
‫⇐‬
‫‪cm2 ⇐ 2 rA1π==π1Ar 2 ⇐ 2m‬‬
‫‪π∗12‬‬
‫‪441 ==2144π‬‬
‫‪21 ∗ π =cm‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪bh ⇒ A2 = 6 3(18) = 108 3cm2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A2 108 3 3 3‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪A1 144π‬‬
‫‪4π‬‬
‫=‬
‫= ‪A2‬‬
‫مساحة املثلث‬
‫مساحة الدائرة‬
‫مثال‪-4 -‬‬
‫جد بعدي أكبر مستطيل ميكن أن يوضع داخل مثلث طول قاعدته ‪ 24cm‬وارتفاعه‬
‫‪ 18cm‬بحيث أن رأسني متجاورين من رؤوسه تقعان على القاعدة والرأسني الباقيني تقعان على ساقيه ‪.‬‬
‫احلل‬
‫‪ -‬نفرض طول كل من بعدي املستطيل‪x,y cm :‬‬
‫‪131‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪b‬‬
‫‪18 - x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪t‬‬
‫‪18‬‬
‫‪x‬‬
‫‪q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪24‬‬
‫العالقة بني املتغيرات‪ :‬املثلثان‪ btr , bcq :‬متشابهان لتساوي زواياهما املتناظرة لذا تتناسب أضالعهما‬
‫املتناظرة وكذلك ارتفاعاهما‪.‬‬
‫‪ns‬‬
‫‪y 18 − x‬‬
‫‪tr ba‬‬
‫=‬
‫⇒‬
‫=‬
‫‪cr‬‬
‫‪bp‬‬
‫‪24‬‬
‫‪18‬‬
‫‪cq‬‬
‫)‬
‫‪4‬‬
‫‪24‬‬
‫‪18 − x ⇒ y = − 18 − x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪18‬‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫=‪⇒ y‬‬
‫⇐ ‪A = xy‬‬
‫‬
‫الدالة‪ :‬مساحة املستطيل = حاصل ضرب بعدية‬
‫‪4‬‬
‫‪A = x (18 − x).x‬‬
‫‪3‬‬
‫التحويل بداللة متغير واحد‪:‬‬
‫‬
‫‪4 44‬‬
‫التبسيط قبل املشتقة‪:‬‬
‫‪f fx f x= xA= =A A18x‬‬
‫‪− x−2 −x 2x 2‬‬
‫‪18x‬‬
‫‪18x‬‬
‫‪3 33‬‬
‫)) )‬
‫( ( ( ) )( () (‬
‫‬
‫جند النقط احلرجة‪:‬‬
‫)‬
‫‪4‬‬
‫‪18 − 2x‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫)(‬
‫= ‪f′ x‬‬
‫‪f ′(x) = 0 ⇒ x = 9‬‬
‫‪132‬‬
‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪−2 = −‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫) (‬
‫)(‬
‫= ‪f ʹʹ x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪f ʹʹ 9 = − < 0‬‬
‫‪3‬‬
‫وﻫﺬا ﻳﻌﻨﻲ ﻟﺪاﻟﺔ اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ ‪ x= 9 cm‬وﳝﺜﻞ أﺣﺪ اﻟﺒﻌﺪﻳﻦ‪.‬‬
‫)(‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y = f18‬‬
‫‪ʹ(x)− =x 0 ⇒; xy==9 18 − 9 = 12 cm‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫اﻟﺒﻌﺪ اﻵﺧﺮ‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫ﻣﺜﺎل‪-5 -‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﻴﻄﻲ داﺋﺮة وﻣﺮﺑﻊ ﻳﺴﺎوي ‪ 60cm‬أﺛﺒﺖ أﻧﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ‬
‫اﻟﺸﻜﻠﲔ أﺻﻐﺮ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ ﻓﺈن ﻃﻮل ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﻳﺴﺎوي ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﳌﺮﺑﻊ‪.‬‬
‫اﳊﻞ‬
‫اﻟﻔﺮﺿﻴﺔ‪ :‬ﻧﻔﺮض ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة = ‪ r cm‬وﻧﻔﺮض ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﳌﺮﺑﻊ = ‪x cm‬‬
‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‪ :‬ﻣﺤﻴﻂ اﳌﺮﺑﻊ ‪ +‬ﻣﺤﻴﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = ‪60 cm‬‬
‫‪∴60‬‬
‫‪60 == 4x‬‬
‫‪4x++2rπ‬‬
‫⇒‪2πr‬‬
‫⇒‬
‫∴‬
‫‪1‬‬
‫)‪r = (30 − 2x‬‬
‫‪π‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻫﻲ ‪ :‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ‪ +‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺮﺑﻊ‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⎡‬
‫⎤‬
‫⎡‬
‫⎡‬
‫⎤‬
‫⎤‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪30‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪A = x 2 + ⎢ 30A−=A‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x=2 +‬‬
‫‪π‬‬
‫‪30‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪π‬‬
‫⎢ ⎢⎥‬
‫‪⎥ ⎥ π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪⎣π‬‬
‫⎣ ‪⎦ ⎣π‬‬
‫⎦ ⎦‬
‫) )‬
‫اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﳌﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ ‪:‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪900 −120x + 4x 2‬‬
‫‪π‬‬
‫ﻧﺸﺘﻖ‪:‬‬
‫وﻋﻨﺪﻣﺎ‬
‫(‬
‫)‬
‫‪π‬‬
‫( (‬
‫(‬
‫)‬
‫)(‬
‫‪A = f x = x2 +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−120 + 8x‬‬
‫‪π‬‬
‫(‬
‫)(‬
‫‪f ʹ x = 2x +‬‬
‫⊗‬
‫‪1‬‬
‫‪ʹ(x)+ =2πr‬‬
‫‪0 ⇒ 0 = 2x + −120 + 8x ⇒ 2 = xπ − 60 + 4x‬‬
‫‪∴ 60 =f4x‬‬
‫‪π‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪0=π‬‬
‫‪xπx + 4x − 60 ⇒ 60 = πxπx + 4x‬‬
‫‪133‬‬
‫‪60‬‬
‫= ‪x(π + 4) = 60 ⇒ x‬‬
‫‪cmäÉ≤«Ñ£J‬‬
‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG‬‬
‫‪π+4‬‬
‫‪120‬‬
‫‪60 1‬‬
‫)‬
‫‪x(π + 4) = 60 ⇒ x = ∴ r =cm(30 −‬‬
‫‪π+4‬‬
‫‪π+4 π‬‬
‫‪30‬‬
‫‪1‬‬
‫‪120‬‬
‫‪cm ⇒∴ x = z2 r‬‬
‫‪∴ r = (30 −‬‬
‫= ‪)⇒r‬‬
‫‪π+4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π+4‬‬
‫‪30‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪cm‬‬
‫‪ f ʹʹ(x) = 2 + (8) > 0‬اﻟﺪاﻟﺔ ﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ‬
‫) و ‪ .‬ﻫـ ‪4 .‬م(‪π +‬‬
‫‪π‬‬
‫ﻣﺜﺎل‪-6 -‬‬
‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ )‪(0,4‬‬
‫ﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ أو ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ‪ y2 − x 2 = 3‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن أﻗﺮب ﻣﺎ ﳝﻜﻦ‬
‫اﳊﻞ‬
‫ﻧﻔﺮض أن اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ p(x,y‬ﻫﻲ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ y2 − x 2 = 3‬ﻓﺘﺤﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪.‬‬
‫)‪... (1‬‬
‫‪∴ x2 = y2 _ 3‬‬
‫‪s = (x − 0)2 + (y − 4)2‬‬
‫)‪∴ s = x 2 + y2 − 8y +16...(2) ... (2‬‬
‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪ 1‬ﻓﻲ ‪ 2‬ﻳﻨﺘﺞ ‪:‬‬
‫‪s = f (y) = 2y2 − 8y +13‬‬
‫‪4y − 8‬‬
‫‪2 2y2 − 8y +13‬‬
‫= )‪f ʹ(y‬‬
‫‪f ʹ(y) = 0 ⇒ 4y − 8 = 0 ⇒ y = 2‬‬
‫‪Q x 2 = y2 − 3‬‬
‫‪∴ x 2 = 4 − 3 = 1 ⇒ x = ±1‬‬
‫)‪⇒ (1, 2), (−1, 2‬‬
‫‪134‬‬
‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬
‫‪)3‬‬
‫ت‬
‫مارين (‬
‫‪6‬‬
‫‪-‬‬
‫‪ .1‬جد عددين موجبني مجموعهما ‪ 75‬وحاصل ضرب أحدهما في مربع االخر أكبر ما ميكن‪.‬‬
‫‪ .2‬جد ارتفاع اكبر اسطوانة دائرية قائمة توضع داخل كرة نصف قطرها ‪. 4 3cm‬‬
‫‪ .3‬جد بعدي اكبر مستطيل يوضع داخل نصف دائرة نصف قطرها ‪. 4 2cm‬‬
‫‪ .4‬جد اكبر مساحة ملثلث متساوي الساقني طول كل من ساقيه ‪. 8 2cm‬‬
‫‪ .5‬جد اقل محيط ممكن للمستطيل الذي مساحته ‪.16 cm2‬‬
‫‪ .6‬جد حجم اكبر مخروط دائري قائم ميكن وضعه داخل كرة نصف قطرها ‪.3 cm‬‬
‫‪ .7‬جد معادلة املستقيم الذي مير من النقطة (‪ )6,8‬والذي يصنع مع احملورين في الربع االول أصغر مثلث‪.‬‬
‫‪ .8‬جد بعدي اكبر مستطيل يوضع داخل املنطقة احملددة بالدالة ‪ f ( x) = 12 − x 2‬ومحور السينات‪ ،‬رأسان‬
‫من رؤوسه على املنحني والرأسان االخران على محور السينات ثم جد محيطه‪.‬‬
‫‪ .9‬جد ابعاد اكبر اسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه ‪ 8cm‬وطول قطر‬
‫قاعدته ‪. 12cm‬‬
‫‪ .10‬جد اكبر حجم ملخروط دائري قائم ناجت من دوران مثلث قائم الزاوية طول وتره ‪ 64 3 cm‬دورة كاملة‬
‫حول احد ضلعيه القائمني‪.‬‬
‫‪ .11‬علبة اسطوانية الشكل مفتوحة من األعلى سعتها ‪ (125π ) cm3‬جد أبعادها عندما تكون مساحة‬
‫املعدن املستخدم في صنعها اقل ماميكن‪.‬‬
‫‪ .12‬خزان على شكل متوازي سطوح مستطيلة طول قاعدته ضعف عرضها فاذا كانت مساحة املعـــدن‬
‫املستخدم في صناعته ‪ 108 m2‬جد ابعاد اخلزان لكي يكون حجمه اكبر ما ميكن علم ًا ان اخلزان‬
‫ذو غطاء كامل‪.‬‬
‫‪135‬‬
‫‪4‬‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫الف�صل الرابع‬
‫‪Chapter Four‬‬
‫التكامل ‪Integration‬‬
‫[‪]4-1‬‬
‫النظرية االساسية للتكامل ‪ -‬الدالة املقابلة‪.‬‬
‫[‪]4-2‬‬
‫خواص التكامل احملدد‪.‬‬
‫[‪]4-3‬‬
‫التكامل غير احملدد‪.‬‬
‫[‪]4-4‬‬
‫اللوغاريتم الطبيعي‪.‬‬
‫[‪]4-5‬‬
‫إيجاد مساحة منطقة مستوية‪.‬‬
‫[‪]4-6‬‬
‫احلجوم الدورانية‪.‬‬
‫‪136‬‬
‫‪136‬‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫[‪ ]4-1‬النظرية االساسية للتكامل ‪ -‬الدالة املقابلة‪:‬‬
‫طريقة إيجاد قيمة للتكامل المحدد ‪f (x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫∫‬
‫حيث ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة المغلقة [‪]a,b‬‬
‫والمبرهنة اآلتية تساعدنا في إيجاد قيمة التكامل المحدد ‪.‬‬
‫مبرهنة ‪)4-1(:‬‬
‫اذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة [‪ ]a,b‬فانه توجد دالة ‪ F‬مستمرة على الفترة [‪ ]a,b‬بحيث ‪:‬‬
‫)‪F ′(x) = f (x) , ∀x ∈ (a,b‬‬
‫‪f =(x)dx‬‬
‫= )‪F∫ a(bf‬‬
‫ويكون‪− F ( ab) − F ( a ) :‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫∫‬
‫تسمى ‪ F‬الدالة المقابلة للدالة ‪ )Antiderivative of The Function ( f‬على الفترة ]‪[a,b‬‬
‫فمث ً‬
‫ال ‪ :‬اذا كانت‬
‫‪, f (x) = 2x‬‬
‫‪f : [1, 2 ] → R‬‬
‫فان‬
‫‪F : [1, 2 ] → R , F (x) = x 2‬‬
‫)‪F ′(x) = 2x = f (x) , ∀x ∈ [(1,2‬‬
‫]‪a,b‬‬
‫وعليه فان ‪:‬‬
‫‪(x)dx‬‬
‫=‪f‬‬
‫)‪F∫ (2‬‬
‫)‪(1) − F (1‬‬
‫)‪f =− F (2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 4 −1 = 43 −1 = 3‬‬
‫مالحظـة‬
‫نشير الى أن‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫∫‬
‫)‪ F (2) − F (1‬تكتب بالصورة‬
‫‪2‬‬
‫‪[ F (x)]1‬‬
‫‪137‬‬
‫التكامل‬
‫مثال ‪-1 -‬‬
‫‪Integration‬‬
‫‪ f (x)dx‬دالة مستمرة على الفترة [‪ ]1,5‬بحيث ‪ F(x) = 3x2‬دالة مقابلة‬
‫إذا كانت‬
‫للدالة ‪ f‬فجد ‪( ∫ f )(x)dx‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫احلل‬
‫‪.‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪55‬‬
‫)‪ =−3(25‬‬
‫)‪3(1‬‬
‫‪75 −=−375‬‬
‫‪= −723==75‬‬
‫‪72− 3 = 72‬‬
‫)‪(5‬‬
‫)‪F3x(1) =−=3(25‬‬
‫)‪3(1‬‬
‫)‪dxfF−=(FxF)(1‬‬
‫)‪∫ f (=xF)∫=(5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫ويمكن ان نكتب ذلك بالصورة اآلتية ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 2=575=−753 −‬‬
‫‪2 3x‬‬
‫‪f∫ ( xf) (dx‬‬
‫‪=x)F=(xF)(1x=)3x‬‬
‫‪= 372= 72‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫مثال ‪-2 -‬‬
‫‬
‫احلل‬
‫مثال ‪-3 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫∫‬
‫‪π‬‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة ] ‪ [0,‬وإن الدالة المقابلة للدالة ‪ f‬هي ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪F (x) = sin x , F :[0, ] → R‬‬
‫‪2‬‬
‫فأوجد‪f (x)dx :‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫∫‬
‫‪π  5 π π2 2 5ππ ‬‬
‫‪π‬‬
‫=‪2‬‬
‫‪ff(=x )Fdx‬‬
‫)‪=F=([−xF)F(x‬‬
‫‪3==1−‬‬
‫‪] f=3x‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪0 = 1− sin 0 = 1− 0 = 1‬‬
‫‪=sin‬‬
‫‪F1 =−75‬‬
‫)‪− F−0(0‬‬
‫‪=72‬‬
‫‪sin‬‬
‫)‪∫1(0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫∫‬
‫‪FF :[1,3‬‬
‫أثبت فيما إذا كانت ‪:[1,3][ → RR , F (x) = x 3 +12‬‬
‫هي دالة مقابلة للدالة‪f ( x ) = 3x 2 :‬‬
‫احلل‬
‫∵ ‪ Ff ( x ) = x 3 + 2‬دالــــــــة مستمـــــــرة وقـابـــلـة لالشتقـــاق على ‪R‬‬
‫(النها دالة كثيرة الحدود)‬
‫∴‪ F‬مستمرة على [‪ ]1,3‬وقابلة لالشتقاق على (‪. )1,3‬‬
‫)‪Q F ′(x) = 3x 2 = f (x) , ∀x ∈ (1, 3‬‬
‫∴‪ F‬هي دالة مقابلة للدالة ‪ f‬على[‪. ]1,3‬‬
‫‪138‬‬
‫التكامل‬
‫مثال ‪-4 -‬‬
‫‪Integration‬‬
‫‪1‬‬
‫أثبت أن الدالة‪ F : R → R , F (x) = sin 2x :‬هي دالة مقابلة للدالة‬
‫‪2‬‬
‫‪f : R → R , f (x) = cos 2x‬‬
‫ثم اوجد ‪cos 2x dx‬‬
‫‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫∫‬
‫احلل‬
‫‪Q f (x) = cos 2x , f : R → R‬‬
‫هي دالة مستمرة وقابلة لالشتقاق على ‪ R‬كما تعلمنا في الصف الخامس العلمي كذلك فان ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F (x) = sin 2x‬‬
‫‪2‬‬
‫هي دالة مستمرة وقابلة لالشتقاق على ‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Q F ′(x) = (cos 2x)(2) = cos 2x = f (x) , ∀x ∈ R‬‬
‫‪2‬‬
‫∴‪ F‬هي دالة مقابلة للدالة ‪f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Q ∫ f Q=(x)dx‬‬
‫)‪F (b‬‬
‫)‪(a)− F (a‬‬
‫)‪f =−FF(b‬‬
‫)‪∴ ∫a f =∫F (b) − F (a‬‬
‫‪b‬‬
‫حسب المبرهنة (‪)4-2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cos 2x dx =  sin 2x = sin − sin 0 = ×1− 0 = .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x=0 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫∫‬
‫وفي ما يلي جدول مساعد يبين الدالة ‪ f‬والدالة المقابلة لها ‪ F‬في حاالت خاصة ‪ .‬وبإمكانك عزيزي‬
‫الطالب أن تتحقق من صحة ذلك بإثبات أن ‪:‬‬
‫)‪F ′(x) = f (x‬‬
‫‪139‬‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫وفيما يلي جدول مساعد يب ّين الدالة ‪ f‬والدالة المقابلة لها ‪F‬‬
‫الدالة املقابلة لها( ‪F(x‬‬
‫الدالة (‪f(x‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪a‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪, n ≠ −1‬‬
‫‪axn+1‬‬
‫الدالة ‪n+1‬‬
‫املقابلة لها ‪F‬‬
‫‪, n ≠ −1‬‬
‫الدالة ‪f‬‬
‫])‪[ f (x‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪[ f (x)] . f ′(x) , n ≠ −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪tan (ax+b‬‬
‫‪sec ax‬‬
‫‪csc ax‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪cot (ax+b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪sin (ax+b‬‬
‫‪−‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n +1‬‬
‫)‪cos(ax+b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪sin (ax+b‬‬
‫)‪cos(ax+b‬‬
‫)‪sec2(ax+b‬‬
‫)‪csc2 (ax+b‬‬
‫‪sec ax tan ax‬‬
‫‪csc ax cot ax‬‬
‫مجموعة الدوال المقابلة الية دالة ‪ f‬كما في الجدول هي ‪ F + C‬حيث ‪ C‬عدد ثابت حقيقي‬
‫‪.‬‬
‫‪140‬‬
‫التكامل‬
Integration
∫
∫
π
4
0
π
sec 2 x dx = [ tan x ] = tan
4
0
π
4
0
∫
2
π
4
∫
2
π
π
csc 2 x dx = [− cot x ] = − cot
2
π
4
4
∫
∫
π
3
0
π
π
3
0
π
π
- ‫ مثال‬π
[− cot x-6
] =
csc x dx =‫أوجد‬
− cot + cot
2
4
∫
141
1
2
2
π
4
‫احلل‬
sec x tan x dx ‫أوجد‬
-7 - ‫مثال‬
π
− sec 0 = 2 − 1 = 1
3
‫احلل‬
∫
3
3
1
x 3 dx
‫جد‬
 x 4  34 1 81 1 80
3
x dx =   = − = − =
= 20
 4 1 4 4 4 4 4
3
‫احلل‬
π
π
+ cot = 0 +1 = 1.
2
4
sec x tan x dx = [sec x ]0 = sec
3
-5 - ‫مثال‬
π
− tan 0 = 1− 0 = 1.
4
π
π
sec 2 x dx ‫أوجد‬
-8 - ‫مثال‬
‫احلل‬
‫التكامل‬
Integration
:‫] خواص التكامل احملدد‬4-2[
b
≥ 0]‫فان‬, f ( x ) ≥ 0
( x)∈dx[a,b
∫ f∀×
: ‫] فاذا كانت‬a,b[ ‫ دالة مستمرة على‬f .1
:ً‫اوال‬
, ∀× ∈ [ a,b] , f ( x ) ≥ 0
a
2
a) ∫2 2x 2 dx ≥ 0
a) ∫ −1x22 dx
≥0
−1 2 x 22dx ≥ 0
a)
2≥ 0
a) ∫∫f∫−1(x)
dx2x≥
a)
xx2=dx
≥0 0 , ∀x ∈ [−1, 2]
−1
−1 = x ≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2]
f (x)
2
f3(x)
= x 2 ≥ 0 , ∀x
(x)
∀x ∈
∈[−1,
[−1,2]
2]
∈
[−1,
2]
b) ∫3 ff(x)
3dx==≥xx20 ≥≥00 ,, ∀x
b) ∫ −23dx
≥
0
3
f−2∫(3x33)3dx
= 3 ≥>≥000 , ∀× ∈ [−2, 3]
b)
b)
3dx
−2( 3dx
∫
b)
≥
0 >0
3
) dx
c) ∫ x +1
c) ∫ ∫ 2(−23−2
x3 +1) dx > 0
2 3 ( x +1) dx > 0
c)
c) ∫∫∫f2(x)
dx
((xx+1
))dx
=+1
(x
+1)>>>000 , ∀x ∈ [2, 3]
c)
f (x)
22 = (x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3]
ff(x)
(x
0 , ∀x
(x)=
(x+1)
+1)>
∀x ∈
∈[2,
[2,3]
3]
f (x)
==(x
+1)
>>00 ,, ∀x
∈
[2,
3]
a)
a)
a)
: ‫ألن‬
2
∫ xxdxdx≥≥00
∫∫ x dx ≥ 0
2
2 2
2
−1
2
−1
−1
ً ‫فمث‬
: ‫ال‬
f (x) = x 2 2≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2]
2 x22 ≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2]
f
(x)
=
f3 (x) = xx dx
≥ 0≥ 0, ∀x ∈ [−1, 2]
a)
∫
−1
>≥ 00
∫ −2333dx
:b)
‫ألن‬
b)
3dx
b) ∫∫3−23dxf (x)
≥≥00= x 2 ≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2]
−2
c) ∫ 3(3 x +13 ) dx > 0
2 (
)dx
c) ∫b)
+1)3dx
dx>≥
( xx∫+1
∫
c)
>>00
2
:‫ ألن‬f 2(x)
=−2(x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3]
2 f2 (x) =
3 (x+1)
+1)>>00 ,, ∀x
∀x∈∈[2,
[2,3]
3]
a) ∫ c)
xf (x)
dx∫=≥ ((x
0x +1) dx
>
0
−1
2
b
‫] فاذا‬a,b[2‫على‬
‫مستمرة‬
‫∈>دالة‬f0[−1,
.2 , 2]
2
f (x)dx
≤ 0 ‫ فان‬f (x) ≤ 0 , ∀x ∈ [a,b]:‫كانت‬
(x
∀x ∈ [2, 3]
≥ 0=
, +1)
∀x
2 f2 (x) = xf (x)
a)∫a ∫ x 2 dx ≥ 0
a)
x
dx
≥
0
−1
∫ −12 3
:ً‫فمثال‬
2
2
b)
3dx
≥
0
<
a)
(−2)dx
≤
0
a) ∫F2f(X
(−2)dx
≤≥00 ∈, [1,∀x
∫ −2= x2 ≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2]
) =< x0,∀X
2] ∈ [−1, 2] : ‫∫ الن‬f1(x)
(x)
a) ∫ 1 x 2 dx ≥ 0
−1 3
3
−1 3
( x +1) dx > 0
c)
b)b) ∫−1 x3dx
≥
0
∫
2≤ 0
b)
dx2 ≤<
b)∫ −2∫ x 3dx
≥00
dx
−2 )=
∫Ff −2(x)
≥ 0 ∈, [−2,−1]
∀x ∈ [−1, 2] : ‫الن‬
(X
≤x0,∀X
−2
3
3
3 f (x) = (x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3]
( x +1
c)
b) ∫∫ 2 3dx
≥ )0dx > 0
c)
∫ 2 ( x +1) dx > 0
−2
:ً‫ثانيا‬
3f (x)
b = (x
b +1)b > 0 b, ∀x ∈ [2, 3]
(x) = (x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3]
)(x)dx
c) ∫ ∫( x +1
dxcc.>∫f 0=f c ∫ f (x)dx :‫ حقيقي ًا ثابت ًا فان‬f‫عدد ًا‬
c.
f
=
c ، ]a,b[ ‫ دالة مستمرة على‬f
∫
2 a
a
a
a
f (x) = (x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3]
5
5
-9 - ‫مثال‬
. ∫ 5f (x)dx ‫ ∫ فأوجد‬f (x)dx
= 8 = 8 ‫اذا كان‬
2
∫
5
2
2
40 = 40
5f (x)dx
= ∫52 ∫5f f==55∫ ×2 8f (x)dx
=5
40× 8==5(8)
5 5
5
‫احلل‬
2
a) ∫ ( f1 + f2 ) =
b
a
∫
b
a
f1 +
∫
b
a
f2
:‫] فان‬a,b[ ‫ مستمرتين على الفترة‬f2 , f1 ‫إذا كانت الدالتان‬
:ً‫ثالثا‬
]a,b[ ‫ويمكننا تعميم هذه الخاصية على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على‬
142
‫التكامل‬
Integration
∫
ً ‫فأوجد ك‬
:‫ال من‬
3
3 3
3
3
3
-10 -3 ‫مثال‬
3 f
3
f
=
15
,
f2 = 17 ‫كانت‬
(x)dx
(x)dx
f
=
15
,
=
17
∫
∫
∫
∫
f1 = 1151 , 1 ∫ 1 f2 = 117
2
‫اذا‬
( f (x)1+ f (x)) dx = f (x)dx + f (x)dx = 15 +
1
∫
∫
∫
f (x)dx
+17 =−32
f (x) −+ ∫f (x)
) dx ==∫ 15f (x)dx
∫ ( f (x) + f (x)) dx =, ∫∫ f((x)dx
∫ f (x)dx = 15 −
∫ ( f (x) − f (x)) dx = ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx = 15 −17 = −2‫احلل‬
1
3
1
1
1
1
33
2
11
3
2
3
1 1
1
2
3
3
∫1 ( f1 (x) + f2 (x)) dx = ∫1
3
3
∫1 ( f1 (x) − f2 (x)) dx = ∫1
∫
2
1
1
3
2
21
3
1
1
1
1
2
3
1
1
2
3
1
1
2
1
3
f1 (x)dx + ∫ f2 (x)dx = 15 +17 = 32
1
3
f1 (x)dx − ∫ f2 (x)dx = 15 −17 = −2
1
f (X )dx ‫ فأوجد‬f (x) = 3x 2 + 2x ‫اذا كانت‬
-11 - ‫مثال‬
‫احلل‬
∫
f (x)dx =
2
1
∫
2
1
(3x 2 + 2x)dx = ∫ 3x 2 dx +
2
1
∫
2
1
2x dx
3 2
2 2
[x
]
+[x
]1 = (8 − 1)+ (4 − 1) = 7 + 3 = 10
1
=
: ‫ فان‬c ∈ (a,b) ‫] وكانت‬a,b[ ‫ دالة مستمرة على الفترة‬f (x) ‫اذا كانت‬
∫
b
b
a
c
f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a
∫
∫
c
:ً‫رابعا‬
7
1
7
1
f (x)dx ‫فأوجد‬
3
∫
3
1
= ∫8 f = 8 ‫اذا كانت‬
f =(x)dx
∫51 f, =∫531 ff, == ∫853 f, (x)dx
3
3
7
73
7
f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = 5 + 8 = 13
143
1
3
7
-12 - ‫مثال‬
‫احلل‬
‫التكامل‬
Integration
∫
2x+1,
x , ∀x
Ax ≥ 10
f (x)f (x)
= = 
−x
, ∀x
Ax1 <≥01
, +1,
∀x<
 32x
f (x) = 
 3 , ∀x< 1
∴
∫
4
−3
f (x)dx =
4
−3
f (x) =| x |
f (x)dx ‫اوجد‬
‫لتكن‬
-13 - ‫مثال‬
‫احلل‬
: ‫] ولها قاعدتان هما‬-3 ,4[ ‫ دالة مستمرة على‬f
∫
0
−3
(−x)dx +
∫
4
0
0
4
 −x 2 
 x2 
xdx = 
 + 
2

−3  2 0
=0 + 9  + 16 − 0 = 9 + 16 = 25

 

2  2


2
2
2
2x +1, ∀x ≥ 1
f (x) = 
 3 , ∀x< 1
‫فأوجد‬
∫
5
0
:‫اذا كانت‬
f (x)dx
:‫] وذلك النها‬0 ,5[ ‫ مستمرة على الفترة‬f
:‫ألن‬
(i) f(1) =2(1)+1=3 ‫معرفة‬
(ii) lim
x→1
L1=L2
‫احلل‬
x = 1 ‫مستمرة عند‬
lim(2x +1) = 3 = L 1
(2 x+1)=3=L 1
 lim
x→1
x→11
f (x) =  lim 3=3=L 2
x→1 3 = 3 = L 2
lim
 x→11
{
lim f (x) = 3
x→1
-14 - ‫مثال‬
+
+
−−
‫ ∴⇒ موجودة‬lim
x→1
f (x) = f (1)
144
‫التكامل‬
Integration
]0,5[ ‫ وبما ان الدالة مستمرة على‬. { x : x < 1} , { x : x > 1} ‫كذلك الدالة مستمرة على كل من‬
5
∴ ∫ f (x)dx =
∫
0
1
0
∫
f (x)dx +
1
5
1
f (x)dx
1
5
5
= ∫ 3dx + ∫ (2x +1)dx = [ 3x] +  x 2 + x
0
1
1
0
= [ 3− 0 ] + [ 25 + 5 ] − [ 2 ] = 3+ 28 = 31
a) ∫
a
a
(x)dx
f=
a)
0∫ f = 0
a
a
b) ∫
b
a
fb)=(x)dx
∫− ∫ f f= − ∫
b
a
a
a
b
b
2
‫او اختصار ًا وحسب القاعدة‬
3
∫ x dx = 0
3
2
3
b) ∫ 3 x dx = − ∫ 3x 2 dx
3
2
2
= − [ x 3 ]2
3
= −[27] +
− [8] = −19
145
:ً‫خامسا‬
:ً‫مثال‬
3
x  9 9
a) ∫ x dx ⇒   = − = 0
 2 3 2 2
3
3
f (x)dx
‫التكامل‬
Integration
)4
22
( ‫مارين‬
‫ت‬
-1
22
)dx
3x−−22)dx
a)a) ∫∫ −2( (3x
−2
)dx
2x+1
+1)dx
b)b) ∫∫ 1( (xx−2 ++2x
4
)dx
4x)dx
c)c) ∫∫ 1( (xx4 ++4x
2
(3x
)dx
d)
12dx
d)∫∫0∫ x( −
3x
2x+1
+1)dx
d)
++2x
−1
1
200
−2
33
1
−1
3
2
3 2x − 4x + 5
x ( (− 13 3
22
)
)
4xdx
6xg)+1
+1
++6x
f f) )∫∫∫ −2 4x
dx
∫ 1 dxdx x2
3 −2
x −1
3
2 −1−1
00
ππ
−−
22
e)e) ∫∫
ً ‫ احسب ك‬.1
:‫ال من التكامالت االتية‬
)dx
( (xx++cos
cosxx)dx
‫ حيث‬f(x) ‫ هي دالة مقابلة للدالة‬F(x) ‫ أثبت أن‬.2
.
∫
π
6
0
4
π
π
F :[0, ] → R , F (x) = sin x + x ‫ حيث‬F :[0, ] → R , F (x) = si
6
6
π
f (x)dx ‫ ثم احسب‬f :[0, ] → R ‫حيث‬
, f (x) = 1+ cos x
6
1
b) ∫ x +1 dx
a) ∫ (x − 2)(x +1) dx
2
1
c)
∫
3
2
ً ‫ أوجد ك‬.3
:‫ال من التكامالت االتية‬
−1
x4 − 1
dx
x −1
d)
∫
4
1
∫
3
−1
f (x)dx
f (x)dx
‫جد‬
‫جد‬
∫
1
0
x( x + 2)2 dx
2x , ∀x ≥ 3
f (x) = 
6 , ∀x < 3
 3x 2 , ∀x ≥ 0
f (x) = 
2x , ∀x < 0
‫ إذا كانت‬.4
‫ إذا كانت‬.5
146
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫[‪ ]4-3‬التكامل غير احملدد‪Indefinite Integral :‬‬
‫عرفنا في النظرية االساسية للتكامل أنه إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة ]‪ [ a, b‬فانه توجد دالة‬
‫مقابلة ‪ F‬مستمرة على [‪ ]a,b‬بحيث أن‪F ′(x) = f (x) , ∀x ∈ (a, b) :‬‬
‫فمث ً‬
‫ال ‪:‬‬
‫‪ F : [1, 3] → R , F (X ) = X 2‬هي دالة مقابلة للدالة ‪f :[1, 3] → R ,. f (x) = 2x‬‬
‫ولكن هل ‪ F (x) = x 2‬دالة مقابلة وحيدة للدالة ‪ F ′(X ) = 2X‬؟‬
‫وقبل االجابة عن هذا السؤال نتأمل الدوال اآلتية‪:‬‬
‫‪1) F1 :[1, 3] → R , F1 (x) = x 2 +1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2) F2 :[1, 3] → R , F2 (x) = x 2 +‬‬
‫‪3) F3 :[1, 3] → R , F3 (x) = x 2 − 2‬‬
‫‪4) F4 :[1, 3] → R , F4 (x) = x 2 − 5‬‬
‫ال من ‪ F1 ,F2 , F3 , F4‬لها صفات ‪ F‬نفسها أي َّأن ك ً‬
‫اننا نالحظ أن ك ً‬
‫ال منها‪:‬‬
‫‪2x , ∀x‬‬
‫[‪]1,3‬‬
‫(‪ )i‬مستمرة على‪≥ 3‬‬
‫‪f (x) = ‬‬
‫كثيرة احلدود‬
‫(‪ )ii‬قابلة‬
‫(‪)1,3‬‬
‫لالشتقاق <على‪6 , ∀x‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪. F1′(x) = F2′(x) = F3′(x) = F4′(x) = 2x , ∀x ∈ (1, 3) )iii‬‬
‫وبناء ًا على ذلك يمكن القول بان ك ً‬
‫ال من‪ F1 ,F2 , F3 , F4 :‬دالة مقابلة الى ‪.f‬‬
‫أي انه توجد اكثر من دالة مقابلة للدالة المستمرة على [‪ ]1,3‬والفرق بين أي دالتين مقابلتين للدالة ‪f‬‬
‫يساوي عدد ًا ثابت ًا الحظ أن‪:‬‬
‫وهكذا‬
‫‪1 1‬‬
‫= ) ‪F1 (x) − F2 (x) = (x 2 +1) − (x 2 +‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F1 (x) − F4 (x) = (x +1) − (x − 5) = 6‬‬
‫‪147‬‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫وبصورة عامة‬
‫اذا كانت للدالة ‪ f‬المستمرة على [‪ ]a,b‬دالة مقابلة ‪ F‬فان يوجد عدد النهائي من الدوال المقابلة للدالة‬
‫‪ ،f‬كل منها تكون من الصورة ‪ F + C :‬حيث ‪ C‬عدد ًا ثابت ًا والفرق بين أي إثنتين منها يساوي عدد ًا‬
‫ثابتاً‪.‬‬
‫تسمى مجموعة الدوال المقابلة التي على الصورة ‪ F + C‬بالتكامل غير المحدد للدالة ‪ f‬المستمرة على‬
‫[‪ ]a,b‬ويرمز لها بالرمز ‪ ∫ f (x)dx‬إذا كان رمز المتغير ‪.x‬‬
‫كما يصطلح على كتابة التكامل غير المحدد على الصورة ‪:‬‬
‫عدد ثابت ‪f (x)dx = F (x)+ C ... ,C ∈ R‬‬
‫مثال ‪-1 -‬‬
‫أوجد ‪f (x)dx‬‬
‫∫‬
‫∫‬
‫اذا علمت أن‪:‬‬
‫)‪a)a) f f(x‬‬
‫‪(x)==3x‬‬
‫‪3x2 2++2x‬‬
‫‪2x+1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪b) f (x) = cos x + x−2‬‬
‫‪c) f (x) = x + sec x tan x‬‬
‫)‪d)d) f (x‬‬
‫‪f (x)==sin(2x‬‬
‫)‪sin(2x++4)4‬‬
‫احلل‬
‫‪148‬‬
‫‪3x 3 2x 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪(3x + 2x +1)dx‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ x + c = x3 + x2 + x + c‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(cos x + x−2 )dx = sin x +‬‬
‫‪+ c = sin x − + c‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪(x + sec x tan x)dx = + sec x + c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪sin(2x + 4)dx = cos(2x + 4)+ c‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫)‪a‬‬
‫∫‬
‫)‪b‬‬
‫∫‬
‫)‪c‬‬
‫∫‬
‫)‪d‬‬
‫التكامل‬
Integration
a.
a)
∫
(x 2 + 3)2 (2x)dx =
∫ [ f (x)]
2
f (x) = x 2 + 3
∴ f ′(x) = 2x
∫ (x2 + 3)2 (2x)dx =
b.
∫ [ f (x)]
2
1
3
[ f (x)] + c
3
1
= (x 2 + 3)3 + c
3
2
6
(3x
+
8x
+
5)
(3x
+
4)dx
∫
f (x) = 3x 2 + 8x + 5
1
2
: ‫نفرض أن‬
f ′(x) = 6x + 8
1
2
∫ (3x
2
+ 8x + 5)6 (6x + 8)dx
7
1 [ f (x)]
1
′
f
(x)
f
(x)dx
=
×
+
c
=
(3x 2 + 8x + 5)7 + c
[
]
∫
2
7
14
6
∫ sin
4
x cos xdx
: ‫نفرض أن‬
⇒
′(x)= =cos
f (x)
f (x)
= =sinsinx x→
→f ′f(x)
cosx x
∴ ∫ sin x cos xdx =
4
d.
-2 - ‫مثال‬
f ′(x)dx =
∴ ∫ (3x 2 + 8x + 5)6 (3x + 4)dx =
c.
:‫ لكل مما يأتي‬3‫جد التكامالت‬
[ f (x)] + c
f ′(x)dx =
3
‫لنفرض أن‬
∫ tan
6
∫ [ f (x)]
4
[ f (x)]
. f ′(x)dx =
5
+c =
1 5
sin x + c
5
x sec 2 xdx
f (x) = tan x ⇒ f ′(x) = cos
sec xx
2
∴ ∫ tan 6 x sec 2 xdx =
149
5
∫ [ f (x)]
6
: ‫نفرض أن‬
[ f (x)]
f ′(x)dx =
7
7
+c =
1
tan 7 x + c
7
‫احلل‬
‫التكامل‬
Integration
‫تكامل الدوال املثلثية الرتبيعية‬
1.
∫ sec θ dθ = tanθ + c
2.
∫ csc
2
θ dθ = − cotθ + c
3.
∫ tan
2
θ dθ =
∫ (sec
4.
∫ cot
2
θ dθ =
∫
2
5. ∫∫sin
sin22θθ dθ
dθ== ∫∫
2
θ −1)dθ =
∫ sec
2
θ dθ −
∫ dθ = tanθ −θ + c
(csc 2 θ −1)dθ = − cotθ −θ + c
1−
cos
1−
11
11
1−cos
cos22θ
2θθ
dθ == ∫∫dθ
dθ
dθ−− ∫∫cos
cos2θ(2)dθ
2θ(2)dθ
222
22
44
1 1 1 1
2θc + c
= =θ −θ- −sin sin
2θ +
2
4
2
4
1+ cos 2θ
1
1
2
dθ = θ + sin 2θ + c
6. ∫ cos θdθ = ∫
2
2
4
: ‫جد تكامالت كل مما يأتي‬
1. ∫ 9 sin 3xdx = 3 ∫ 3sin 3xdx = −3cos 3x + c
2.
∫
3.
∫
1
3
∫
1− sin 2x dx =
∫
x 2 sin x 3 dx =
‫أمثلة‬
1
3x 2 sin x 3 dx = − cos x 3 + c
3
sin 2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x dx =∫± ∫ (sin
(sinxx−−cos
cosx)x)2dxdx
x + cos 2 xdx== ± ∫ (sin x − cos x)dx = ±(cos x + sin x)+ c
(1− cos 2x)2
1
1
1
os xdx =4.
± ∫ (sin
cos=x)∫dx
sin
dx
dx = ∫ dx − ∫ 2 cos 2xdx + ∫ cos 2 2xdx
∫ sinxx−dx
4
4
4
4
1
1
1
1
= ∫ dx − ∫ 2 cos 2xdx + ∫ dx +
∫ 4 cos 4xdx
4
4
8
32
2
4
=
4
1
1
1
1
x − sin 2x + x + sin 4x + c = 3 × − 1 sin 2x + 1 sin 4x + c
4
4
8
32
8
4
32
150
‫التكامل‬
Integration
(sin x − cos x)8
+c
5. ∫ (sin x − cos x) (cos x + sin x)dx =
8
7
1+ tan 2 x
dx =
tan 3 x
6.
∫
7.
∫ cos
3
tan x
dx =
cos 2 x
∫
9.
∫ sin 6x cos
2
2
∫ cos x(1− sin
xdx =
8.
∫
tan −2 x
−1
tan x sec xdx =
+c =
+c
−2
2 tan 2 x
−3
∫
2
x)dx =
∫ cos xdx − ∫ sin
2
sin 3 x
= sin x −
+c
3
x cos xdx
tan 2 x
tan x sec xdx =
+c
2
2
3xdx =
∫ (2 sin 3x cos 3x) cos
2
3xdx = 2 ∫ cos 3 32x sin 3xdx
−2 cos 4 3x
1
=
×
+ c = − cos 4 3x + c
3
4
6
10.
=
∫
∫
cos 4x
dx =
cos 2x − sin 2x
∫
cos 2 2x − sin 2 2x
dx
cos 2x − sin 2x
(cos 2x − sin 2x)(cos 2x + sin 2x)
1
1
dx = − sin 2x − cos 2x + c
cos 2x − sin 2x
2
2
11
1 11
1
==∫ ∫( cos
+
cos
+
sin
sin
2x
2
2
dx
+
dx
sin
=
=
2
sin
dx
sin
2x
=
2x
−
−
sin
cos
2x
cos
2x
−
2x
+cos
+c c 2x + c
( cos=2x2x
(
)
)
)
∫
22
2 22
2
1
1
× − sin 6x + c
2
12
1
12. ∫ cot 2 5xdx = − cos
cot 5x + (x)+ c
5
1
13. ∫ tan 2 7xdx = tan 7x − x + c
7
11. ∫ sin 2 3xdx =
151
Integration
JJ
((44
2) øjQɪ
4
‐
πeÉμàdG
: ‫ﺟﺪ ﺗﻜﺎﻣﻼت ﻛﻞ ﳑﺎ ﻳﻠﻲ ﺿﻤﻦ ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ‬
(2x 2 − 3)2 − 9
dx
1. ∫
2
x
3
cos x
dx
3. ∫
1− sin x
x
dx
(3x 2 + 5)4
5.
∫
7.
∫ sin
9.
∫ (3x
11.
3
(3− 5x)74 3
Ans : dx
x −12x + c
2. ∫
7x 3
1 2
2
: sin
x cos
x xdx+ sin x + c
4. ∫ csc Ans
2
xdx
8.
+1)2 dx
10.
2
∫ (1+ cos 3x) dx
2
13 . ∫ csc 2 2x dx
∫
6.
∫
3
cos 1− xcos 3 x
Ans : dx − cos x + c
1− x
3
17.
∫ sin
4
18. ∫ cos 3x dx
∫ cos
2
3(x +
5
Ans : −2 sin 1−
14. ∫ tan 2 8x dx
16.
8x dx
Ans :
x−x9 5
3
Ans
:
x
+
2x
+ x+c
dx
∫ 4 x3 5
3 2
1
2
Ansdx
: x + sin 3x + sin 6x + c
12. ∫ sec 4x
2
3
12
cot 2x
∫ 1− cos2 2xdx
−(3− 5
4 35
Ans : − csc x
−1
x 2Ans
+10x
: + 25 dx
+c
18(3x 2 + 5)3
15.
2
Ans :
2x dx
152
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫[‪ ]4-4‬اللوغارمت الطبيعي ‪The Natural Logarithmic‬‬
‫درسنا دوا ًال مألوفة نوع ًا ما‪ .‬فكثيرات احلدود والدوال النسبية وغيرها من الدوال اجلبرية تنتج عن عمليات‬
‫مألوفة في احلساب واجلبر‪ ،‬وميكن مطابقة قيم الدوال املثلثية باحداثيات نقط على دائرة الوحدة‪ .‬اما االن‬
‫فندرس دالة اللوغارمت الطبيعي التي تعتمد على حساب التفاضل والتكامل حتى في تعريفها‪.‬‬
‫تعريف [‪]4-1‬‬
‫يعرف لوغارمت ‪ x‬الطبيعي‪ ،‬ويرمز له بـ (‪ )ln x‬بأنه ‪:‬‬
‫َّ‬
‫)‪......... (1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dt ; ∀x > 0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x‬‬
‫∫‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ln x‬‬
‫ميثل هذا التكامل لكل ‪ x‬اكبر من ‪ ، 1‬املساحة احملدودة من االعلى باملنحني ‪ y = 1‬ومن االسفل باحملور ‪، t‬‬
‫‪t‬‬
‫ومن اليسار باملستقيم ‪ t = 1‬ومن اليمني باملستقيم ‪t = x‬‬
‫اي اذا كان ‪ ، x = 1‬تطابق احلدان االمين وااليسر للمساحة واصبحت املساحة صفراً‪.‬‬
‫‪ a  a‬‬
‫‪‬‬
‫‪= 0∫ f = 0 ‬‬
‫‪ ∫ f (x)dx‬‬
‫‪ a  a‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln1 = ∫ dt = 0‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪1‬‬
‫اما اذا كانت ‪ x‬اصغر من ‪ 1‬واكبر من الصفر فعندئذ يكون احلد االيسر هو املستقيم ‪ ، t = x‬واحلد االمين‬
‫هو ‪ t=1‬وفي هذه احلالة يكون التكامل‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dt = − ∫ dt‬‬
‫‪x t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x‬‬
‫∫‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ln x‬‬
‫مساويا للقيمة السالبة للمساحة حتت املنحني بني ‪ x‬و ‪. 1‬‬
‫* ينسب اول اكتشاف للوغاريتم الطبيعي الى النبيل االسكتلندي ‪)1617 - 1550( John Napier‬‬
‫‪153‬‬
‫‪πeÉμàdG‬‬
‫‪Integration‬‬
‫وﻓﻲ ﻛﻞ اﳊﺎﻻت ‪ x ،‬ﻋﺪد ًا ﻣﻮﺟﺒﺎً‪ ،‬ﻓﺎﻧﻪ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﶈﺪد ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪ (1‬اﻟﻰ اي ﻋﺪد‬
‫ﻧﺮﻏﺐ ﻓﻴﻪ ﻣﻦ اﻻرﻗﺎم اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‪.‬‬
‫وﲟﺎ ان اﻟﺪاﻟﺔ ‪ F(x) = ln x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬
‫‪x 1‬‬
‫∫ = )‪F ( x‬‬
‫‪dt , ∀x > 0‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻓﺎﻧﻪ ﻣﻦ اﳌﺒﺮﻫﻨﺔ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﳊﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻓﻲ اﻟﺒﻨﺪ )‪ (4-4‬ﻧﻌﻠﻢ ان‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫اي ان‪:‬‬
‫= ) ‪( ln x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪F ʹ(x‬‬
‫ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻨﻨﺎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺻﻴﻐﺔ أﻋـﻢ ﻋﻨـﺪﻣـﺎ ﻳﻜــﻮن ﻟﺪﻳﻨــﺎ ‪ ln u‬ﺣﻴﺚ ‪ u‬داﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒـــﺔ ﻗﺎﺑﻠـــﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘـــﺎق‬
‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪x‬‬
‫ﻓﻘﺎﻋﺪة اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺎت )‪ (Chain Rule‬ﺗﻌﻄﻴﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪du‬‬
‫‪d dd ⇒ d‬‬
‫‪1dd‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪=du du‬‬
‫(‬
‫‪lnuuu) du‬‬
‫‪∴ ( lnlnu‬‬
‫‪.. u‬‬
‫===‪)u‬‬
‫‪lnu‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dxdx‬‬
‫‪u du‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪du dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1 du‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪∴ ( ln u‬‬
‫‪⇒ d ( ln u) = du‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪u dx‬‬
‫‪u‬‬
‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬
‫اذا ﻛﺎن ‪ y = ln 3x 2 + 4‬ﻓﺎوﺟﺪ ‪dy‬‬
‫‪dx‬‬
‫)‬
‫(‬
‫اﳊﻞ‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪+4‬‬
‫‪d‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dy‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dxdy 3x + 4‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪3x 2 + 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪du‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪u‬‬
‫=‬
‫ان اﻟﺼﻴﻐﺔ ‪du‬‬
‫(‬
‫)‬
‫اﻟﻰ‬
‫ﺗﻘﻮدﻧﺎ‬
‫=‬
‫‪ln‬‬
‫‪u‬‬
‫‪+‬‬
‫‪c‬‬
‫‪∫u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪154‬‬
‫وﺑﺸﺮط ان ﺗﻜﻮن ‪ u‬ﻣﻮﺟﺒﺔ‬
‫=‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫‪cosθdθ‬‬
‫مثال ‪-2 -‬‬
‫جد ‪∫ 1 + sinθ‬‬
‫احلل‬
‫نفرض‬
‫‪u = 1+ sinθ‬‬
‫‪du‬‬
‫‪= cosθ ⇒ du = cosθdθ‬‬
‫‪dθ‬‬
‫‪cosθdθ‬‬
‫‪du‬‬
‫‪= ln u + c‬‬
‫∫=‬
‫‪1 + sinθ‬‬
‫‪u‬‬
‫‪= ln 1+ sinθ + c‬‬
‫∫∴‬
‫[‪ ]4-4-1‬دالة اللوغارمت الطبيعي‪.‬‬
‫‪y = ln x‬‬
‫لتكن‬
‫لو ابدلنا ‪ y , x‬في مجموعة االزواج املرتبة‪:‬‬
‫‪lnln‬‬
‫‪= {=({x,( x,‬‬
‫= ‪y)y:)y: =y‬‬
‫‪lnln‬‬
‫‪x, x,‬‬
‫}‪x, >x 0>}0‬‬
‫‪y = ln −1 ( xyy) == ln‬‬
‫‪ln−1−1((xyxx))==lnln−1‬‬
‫ ) ‪, y,( x‬‬
‫حلصلنا على دالة نرمز لها‬
‫‪y > 0,‬‬
‫‪x ∈R‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x=e‬‬
‫‬
‫ويكون( ‪ln −1‬‬
‫)‪x‬‬
‫مجال =) ‪= ln −1 ( xy‬هو‪ y‬مدى ( ‪ln (x‬‬
‫نتيجة ‪ :‬الدالة األسية ‪( ex‬اساس ‪ )e‬هي عكس دالة اللوغاريتم الطبيعي وتستنتج جميع خواصها‬
‫من هذه احلقيقة‪.‬‬
‫‪155‬‬
‫التكامل‬
Integration
]4-2[ ‫مبرهنة‬
d x
e = ex
dx
( )
y
‫البرهان‬
y=e
‫لتكن‬
∴ x = ln y ⇒ x
1 dy
1= . ⇒
y dx
dy
= y = ex
dx
x
du
d u
e = eu .
dx
dx
‫وبصورة عامة‬
( )
.
d(etan x ) tan x d(tan x)
=e .
dx
dx
⇒
dy
x
y = e2 tan
=‫فجد‬
etan x .sec
x
dx
‫لتكن‬
-3 - ‫مثال‬
‫احلل‬
dy
= etan x .sec 2 x
dx
‫مالحظـة‬
∫ e du = e
u
u
+ c : ‫ تقودنا الى صيغة التكامل‬d eu = eu du ‫ان صيغة التفاضل‬
dx
( )
x
∫ xe dx
2
xx2 2==uu→
==du
→2xdx
2xdx
du
⇒
1
1
1
∴ ∫ ex xdx = ∫ euudu = eu + c = ex + c
2
2
2
2
‫جد‬
-4 - ‫مثال‬
‫احلل‬
: ‫نفرض ان‬
2
)4 - 2( ‫تعريف‬
a u = eu ln a ‫ فان‬، ‫ عددا موجب ًا‬a ‫اذا كان‬
u
156
‫التكامل‬
Integration
dauuu
du
da
u du
.lnaa
d e ===aaeu .u. .ln
dx
dx
dx
dx
]4-3[ ‫مبرهنة‬
( )
da u
d u ln a
=
e
dx dx
(
u ln a
= eu ln a .
uu
: ‫البرهان‬
)
d
.ln
a a)
(u ln
dx
da u
du
∴
= a u . .ln a
dx
dx
: ‫لكل مما يأتي‬
x−5
a) y = 322x−5
a) y = 32 x−5 ⇒
2
b) y = 2−x ⇒
− x2
x−5
b) y = 2 22x−5
sin xx
c) y = 5 sin
dy
= 32 x−5 (2).ln 3
dx
= (2 ln 3) 3e2 x−5
2
dy
= 2−x (−2x).ln 2
dx
− x2
== (−2x
ln22)(2
−2x ln
(e−x ))
2
c)
c) yy==55
sin
sinxx
) y = 5 sin x ⇒
uu
dy
dy
da
dd u lnu5lna a
da
sin
xx
sin
⇒
.cos
⇒ ==55
.cos
x.ln
=
ee 5
= x.ln
dx
dx
dx
dx dx
dx
(( ))
dy
= 5 sin x .cos=x.ln
(lim55).5 sin x.cos x
dx
157
-5 - ‫مثال‬
dy
=‫جد‬etan x .sec 2 x
dx
‫احلل‬
Integration
)4
( ‫مارين‬
‫ت‬
-3
‫التكامل‬
:‫لكل مما يأتي‬
b)
 x
y = ln  
 2
y = ln x 2
d)
y = ( ln x )
e)
 1 3
y = ln  
 x
f)
y = ln ( 2 − cos x )
g)
y = e−5 x
h)
y = 9e
j)
y = x 2 ex − xex
a)
y = ln 3x
c)
i)
a)
( )
2
+ 3x+5
−x
4
y = e7
∫
3
0
1
dx
x +1
ln 5
b)
c)
∫
e)
∫ (1+ e ) e dx
g)
i)
k)
ln 3
e2 x dx
1
x
d)
2
x
0
∫
4
1
π
2
x
e dx
2 x
cos x
dx
∫ sin x
π
6
π
2
∫ e sin x dx
0
cos x
f)
h)
j)
l)
∫
0
ln 2
∫
0
∫
∫
0
π
4
sec 2 x
( 2 + tan x ) 3
π
−
4
1
:‫ جد التكامالت االتية‬- 2
3x 2 + 4
dx
x 3 + 4x +1
∫ cot
∫
x
e− x dx
1
2
‫ جد‬- 1
2
2x
dx
x2 + 9
4
dy
dx
3
dx
5x dx
x e− ln x dx
158
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫‪ - 3‬اثبت ان‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3x − 6 dx = 30‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪8 27 3 3‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪dxdx‬‬
‫==‬
‫‪2 14‬‬
‫‪3 32‬‬
‫‪x x2‬‬
‫∫ )‪b‬‬
‫‪ f(x (- 4‬دالة مستمرة على الفترة [‪ ]-2 , 6‬فاذا كان ‪f (x)dx = 6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪∫∫ [f (x)+ 3] dx = 32‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−2‬‬
‫فجد ‪f (x)dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫∫∫)‪a)a‬‬
‫‪1‬‬
‫وكان‬
‫∫‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ - 5‬جد قيمة ‪ a ∈ R‬اذا علمت أن ‪∫ 2 )dx = 2 ∫ sec2 xdx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ - 6‬لتكن ‪ f(x) = x2 +2x+k‬حيث ‪ ، k ∈ R‬دالة نهايتها الصغرى تساوي (‪ )-5‬جد ‪f (x)dx‬‬
‫‪3‬‬
‫∫‬
‫‪1‬‬
‫‪ - 7‬إذا كان للمنحني ‪ f (x) = (x − 3)3 +1‬نقطة انقالب (‪ )a,b‬جد القيمة العددية للمقدار‬
‫‪f ′′(x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪f ′(x)dx −‬‬
‫‪b‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪159‬‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫[‪ ]4-5‬إيجاد مساحة املنطقة املستوية‪.‬‬
‫‪Plane Area by Definite Integral‬‬
‫[‪ ]4-8-1‬مساحة املنطقة املستوية احملددة مبنحني ومحور السينات‬
‫[‪]4-5-1‬‬
‫‪The area between a Curve and the x-axis‬‬
‫لتكن )‪ y = f (x‬دالة مستمرة على الفترة ]‪ [ a, b‬ولتكن ‪ A‬مساحة املنطقة التي يحدها منحني الدالة‬
‫ومحور السينات واملستقيمني ‪: x = a, x = b‬‬
‫اذا كانت ‪ f (x) > 0‬فان املساحة ‪ A‬تساوي ‪f (x)dx :‬‬
‫‪b‬‬
‫∫‬
‫=‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫إذا كانت ‪ f (x) < 0‬فان املساحة ‪ A‬تساوي ‪A = − ∫ f (x)dx :‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫الشكل (‪)4-1‬‬
‫وعندما يقطع منحني الدالة( ‪ y=f(x‬محور السينات في ‪ x=a ، x=b‬نتبع اخلطوات االتية ‪:‬‬
‫خطوات ايجاد املساحة عندما ‪ f‬متتلك قيم موجبة وقيم سالبة على الفترة [‪:]a,b‬‬
‫‪ .1‬جند النقاط عندما ‪. f(x)=0‬‬
‫‪ .2‬نستخدم قيم ‪ x‬التي جتعل ‪ f(x)=0‬كموقع على [‪ ]a,b‬لتحصل على فترات جزئية من [‪. ]a,b‬‬
‫‪ .3‬جنري عملية التكامل على كل فترة جزئية‪.‬‬
‫‪ .4‬جنمع القيم املطلقة للتكامالت في اخلطوة (‪.)3‬‬
‫‪160‬‬
‫التكامل‬
Integration
11
−1
−1
: ‫جند التكامالت‬
33
x1x33 2 
xx333 2
xx33 
22 22 22 22
22
xx −1)dx
++  −−xx == ++ ++ ++ ++ 66++
A1∴
= ∫ (x −1)dx==+∫ (x−−xx−1)dx
 ++ + ∫−−(x
33
−133 −2−2  331 −1−1  33 11 33 33 33 33
−2
−1
2
1
3
1
3
−1
3 3 
 x131  x3x 3 x3 3  x23 2  22 222 2 2 222 2
_x13  x 31 -x2
22
x
8
2 −++
4x+− x=+ =++ +++ 6+ ++ + + +6 +
=+x+
x−9x +=−+x‫ــــــــ‬
x‫ـــــــــ‬
6+
+2
− x −
−
x2 +==−‫ــــــــــــ‬
+
6‫ـــــــــ‬
 −=
A1===1=3 +1
333 −23−1  33 3 −1
 3  33−2  3−2
33
313  33 1 3 1 33 333 3 3 333 3
−1
−1
−1
1
3
 x23

3xx33 2 −1 xx33 1 2 x 32 23 22 2 22 2
2
− x += ∫ (x−−−1)dx
xx ++ −−xx =+  + −+x += ++ 6 ++ + + 6 +
A2=+ =∫ (x −1)dx
∫ (x −1)dx
3
−2 1 33 −1−2  33 1−1 3 3 3 31 33 3 33 3
−2
−1  3
−1
2
1
−1
−1
−1
1
1
3
3
−1
3
13
3
3−11 3 3
331
313
3  33
 x 3  x13  x13 2 x 3x131xx331−1 -2x−1231x 3 22−1x13132 xx23231x 3 21−1xxx33233xx2x3432−1










x
2
2
2
x
x
2
x
2
x
x
2 2 +222 +22
2 x+ 22 +22−
2 x2 2−=x222 2+
‫ـــــــــ‬
= − x − x+=1 ++1
− x +
−A6x+=
+
−
x
−
=
x
+
=
=
+
=
−
+
x
−
+
x
+
6
+
+
+
6
−
+
x
−
=
+
=
−
+
−
x
+
− =x +
=
=
−
x
+
+
x
=
+
+
+
+
6
+
=
−
x
+
−
x
+
−
x
+1
===
−
x
+
−
x
−
x
=
+
+
+
6
=
−
x
+
+
−
x
=
+
+
6
+










1
+1
+
6
=
9
9





















   


 33 333
3  3−2 −2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
33
 33  33−1 2 3−1
 3 3333313−2 133−2333 33−233−13  3333−1








3
3
3
3
3
3















−21
−21−1 1−2−1
−1
−2
−11
1
−11
1
3
1
3
−1
1
3
3  3
3
33
3
3











x
x
x
2
2
2
2
2
x
x
x
2 2 2 2
2
x+ ∫+(x2 −1)dx
− x =+  −−xx =
+  + − x+ +  + −6 x+ = + + + + 6 +
∫ (x=2 −1)dx
A−3=
3
3
−2 1  3
−1  33 −21 33 3 −13 3 3
3 3 3 1 3 3
−1
−11
3
3
3
3

x

x

1 -111 ] 12 21 ‫ــــــــــــ‬
1x
2
20
=
6
+
A3= [9 - 3 ] -=[1 =+1
+
6
=
9
1 +1 + 6 ==9 − x +  − x +  − x = +
3 33 33 33 333
3
−2  3
−1  3
1
1
−1
A= |A1|+|A2|+|A3|
: ‫جنمع القيم املطلقة للتكامالت‬
−1
3
16
11 31 1‫ــــــــــــ‬
1421213 1111 2‫ــــــــــــ‬
16 11216
1 11 1111x13 11 113 11 121 12 1
 x16
 211616
1x 316
41 1 1120
16
1
3
0)
+ ( −−(0)
8 ++4)( =− 1(−∴
+
=−9(3x
−1+1)
(0)
−(=
−
(−1+1)
(0)
(−+−(0)
4)
8−
−+8−4)
4)
−1+1)
(+− 8(‫وحدة‬
−1+1)
=x+−4)
=
+−−1+1)
==0−−1+1)
x(x
−1)(x
2)
=
0(+((0)
+1
=(2x
1−
==+−3x
+⇒
(x
+−+
−1+1)
8−1+1)
+xA4)−
−1+1)
=
=2x)dx
++(0)
(‫ـــــــــ‬
=
=+−1+1)
(=−(∫+89−1+1)
−−
(0)
+‫مساحة‬
(2x)dx
−+−8−1+1)
4)
−8 +
(=+
−4)
(=−1+1)
(−+=x−1+1)
x+3x
∫6((=43(x=34+−1+1)
‫ـــــــــــ‬
2== =2+ =+ = +=+
3
3
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
3
3
3
4
4 444 241  3 3  4  3 4  4 43 4  4 434 43 2
0 4
−2
−1
1
164
0
∫
0
0
0
− cos x ]
∫sinsinx xdxdx= [=−[cos
x]
0
π
−
π 2
−
2
0
π
Integration − π − 2
[
]
∫∫ sin
sin xx dx
dx == [−− cos
cos xx ]
2
‫التكامل‬
π
=
−
cos(0)+
cos(−
)
π
A1= π
=
−
cos(0)+
cos(−
)
2
−π
−2
0
2
2
0
= −1−
0
π
∫ sin x dx = [− cos= −x]cos(0)+
π
=
−1−
0
π
−
cos(−
))
π
2
= − cos(0)+
cos(−
−
=
−1
2
A21= -1+0 = -1
= −1 2
π
== π−1−
00
π
π
−1−
= − cos(0)+
cos(−
) [− cos x]
sin
x
dx
=
∫
π 0
sin
x dx =2 [− cos x]0
== ∫−1
0
−1
π
= −1− 0 0
= − cos π + cos 0
π
π
A2= ∫ sin
π
cos π + cos 0
dx == [−
[− cos
cos x]
x]00 = −
∫0 sin=xx−1dx
= 1+1
0
= 1+1
π
π
=
−
cos
π
+
cos
=002
− cos
π + cos
∫ sin x dx = [− cos= x]
0
=2
A0 2= 1+1=2
== 1+1
∴
A
=
−1
+2
1+1
∴
A
=
−1
+
= − cos=π2+ cos=03 2
=2 =3
=
1+1
A= |A∴
|+|A
|
1 A =2 −1 + 2
∴
A = −1 + 2
== 23
=3
∴ A = −1 + 2 ⇒ A= 3 ‫وحدة مساحة‬
0
0
π
−π
−2
2
: ‫ثم جند التكامل كما يأتي‬
=3
-6 - ‫مثال‬
-6 - ‫مثال‬
[−π, π ] ‫ ومحور السينات وعلى الفترة‬y = cos x ‫جد مساحة املنطقة احملددة مبنحني الدالة‬
∴
n = 0 ⇒ x=
n = -1 ⇒ x=
∴x =
n = 1 ⇒ x=
n = -2 ⇒ x=
‫احلل‬
‫احلل‬
:‫جند نقاط تقاطع الدالة مع محور السينات‬
π
+ nπ , n∈
n ∈ ZI
cos x = 0 ⇒ x =
π
2
∈ [−π, π ]
2
π
− ∈ [−π, π ]
2
3π
∉ [−π, π ]
2
3π
−
∉ [−π, π ]
2
‫جنزيء فترة التكامل الى الفترات اجلزئية االتية‬

π   π π  π 
−π
,−

 , − ,  ,  , π 
2  2 2 2 
166
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫[‪ ]4-8-2‬مساحة املنطقة احملددة مبنحنيني‬
‫[‪]4-5-2‬‬
‫سبق وأن درسنا كيفية أيجاد املساحة بني منحني دالة ومحور السينات ومستقيمني واآلن سندرس كيفية‬
‫إيجاد مساحة املنطقة احملصور بني منحنيني ‪:‬‬
‫لتكن )‪ g(x), f (x‬دالتني مستمرتني على الفترة ]‪ [ a, b‬فان مساحة املنطقة ‪ A‬احملصورة بني املنحنيني‬
‫جندها كما يأتي‪:‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪)1‬اذا كان ( ‪ f (x) > g (x‬في الفترة [‪ ]a,b‬فاملساحة ‪ A‬هي ‪A = ∫ ∫ [f (x) − g(x)]dx‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪)2‬اذا كانت ( ‪ f (x) < g (x‬في الفترة [‪ ]a,b‬فاملساحة ‪ A‬هي ‪A = - ∫ ∫ [f (x) − g(x)]dx‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪ )3‬اذا تقاطع املنحنيان بني [‪ ]a,b‬جند نقاط التقاطع وذلك بجعل ( ‪ f (x) = g (x‬ثم جند قيم ‪ x‬التي‬
‫تنتمي الى (‪ )a,b‬وجنزئة [‪ ]a,b‬الى فترات جزئية ثم جند تكامل الفرق بني الدالتني في كل فترة جزئية‬
‫ثم بعد ذلك جند مجموع مطلق التكامالت والتي متثل املساحة املطلوبة ‪.‬‬
‫)‪y = g(x‬‬
‫↓‬
‫)‪y = f (x‬‬
‫↓‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A = A1 + A2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪A == ∫A[1 f+(x‬‬
‫‪A2 − g(x)]dx + ∫ [g(x) − f (x)]dx‬‬
‫)‪ f (x) > g(x‬في الفترة ]‪[a, b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A = ∫ [ f (x) − g(x)]dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪168‬‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫الشكل (‪)4-7‬‬
‫مثال ‪-2 -‬‬
‫واملستقيم‬
‫جد مساحة املنطقة احملصورة بني املنحني ‪y = x 3‬‬
‫‪y= x‬‬
‫احلل‬
‫تقاطع الدالتني‬
‫ ‪x 3 = x‬‬
‫‪x 3 − x = 0 ⇒ x(x − 1)(x + 1) = 0‬‬
‫]‪x = 0, x = 1, x = −1 ⇒ [−1,0 ] , [0,1‬‬
‫‪− x)dx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∫ (x‬‬
‫‪− x)dx +‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∫ (x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪A = A1 + A2‬‬
‫‪00‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪= −  + − ‬‬
‫‪ 4 2  −1  4 2  0‬‬
‫‪0‬‬
‫الشكل (‪)4-8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪11 11 1 11 11 1‬‬
‫‪11 11 111 1‬‬
‫)‪==00=−−(0( −−(− (−++( (+−(− −(−(0‬‬
‫)‪(0‬‬
‫)‪− (0‬‬
‫وحدة مساحة = =‪== =++ +=-‬‬
‫‪44 422 2 44 422 2‬‬
‫‪44 44 422 2‬‬
‫‪169‬‬
Integration
‫التكامل‬
y
x
170
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫‪43‬‬
‫‪2‬‬
‫‪43‬‬
‫‪[16−12]−[1−‬‬
‫]‪−16]− [ 0 ]4‬‬
‫‪= =0 0‬‬
‫‪(2t‬‬
‫‪−‬‬
‫‪4)dt‬‬
‫=‬
‫‪[t‬‬
‫‪−‬‬
‫]‪4t‬‬
‫‪= [9‬‬
‫‪0‬‬
‫‪01‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(2t − 4)dt = [t 2 − 4t]54 = [ 25, 20 ] − [16 −16 ] = 5m‬‬
‫‪(2t − 4)dt = [t 2 − 4t]04 = [16 −16]− [ 0 ] = 0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫∫‬
‫= ‪b) ds‬‬
‫∫‬
‫∫‬
‫= ‪b) d‬‬
‫)‪c‬‬
‫)‪d‬‬
‫= ‪b) s‬‬
‫مثال ‪-2 -‬‬
‫‪82))m‬‬
‫‪m//sec‬‬
‫جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره ‪s 2‬‬
‫‪ ((18‬فأذا كانت سرعته قد أصبحت ‪(82) m / s‬‬
‫‪2‬‬
‫بعد مرور ‪ 4‬ثواني من بد احلركة جد‪:‬‬
‫‪)a‬املسافة خالل الثانية الثالثة‬
‫‪)b‬بعده عن نقطة بدء احلركة بعد مرور ‪ 3‬ثواني‬
‫احلل‬
‫احلل‬
‫⇒‪dt‬‬
‫‪⇒Vvv== ∫ 18dt‬‬
‫‪18dt‬‬
‫‪VV == ∫ aa((tt))dt‬‬
‫‪a (t )dt ⇒ v = ∫ 18dt‬‬
‫‪V = 82,t = 4‬‬
‫(‪a‬‬
‫‪∴V = 18t + c‬‬
‫‪∴82‬‬
‫⇒‪4)))+++ccc‬‬
‫‪⇒ccc===10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪∴82 == ((18‬‬
‫‪18×× 44‬‬
‫⇒‬
‫‪10‬‬
‫‪∴V = 18t +10‬‬
‫مبا أن‬
‫‪18t +10 > 0 ⇒ Vt >=>0 ∫0a (t )dt ⇒ v = ∫ 18dt‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪∴d = ∫ (18t +10 ) dt = 9t +10t = [81+3 30 ] − [36 + 20 ] = 55m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+10t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ (18t +10) dt = 9t‬‬
‫‪0‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+10t = [ 81+ 30 ] − [ 0 ] = 111m‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪∫ (18t +10) dt = 9t‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪b) S‬‬
‫‪= [ 81+ 30 ] − [ 0 ] = 111m‬‬
‫‪172‬‬
‫‪)4‬‬
‫مارين (‬
‫‪-46‬‬
‫ت‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫‪ .1‬جد املساحة احملددة باملنحني ‪ y = x 4 − x‬ومحور السينات واملستقيمني ‪. x=1 , x=-1‬‬
‫‪.2‬جد املساحة احملددة بالدالة ‪ f ( x ) = x 4 − 3x 2 − 4‬وعلى الفترة ]‪ [−2,3‬ومحورالسينات‪.‬‬
‫‪ .3‬جد املساحة احملددة بالدالة ‪ f ( x ) = x 4 − x 2‬ومحور السينات‪.‬‬
‫‪ .4‬جد املساحة احملددة باملنحني ‪ y=sin 3x‬ومحور السينات وعلى الفترة ‪ π ‬‬
‫‪0, ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ .5‬جد املساحة احملددة باملنحني ‪ y = 2cos 2 × −1‬ومحور السينات وعلى الفترة ] ‪. [0,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .6‬جد املساحة احملددة بالدالتني ‪x − 1‬‬
‫= ‪ y = 1 x, y‬وعلى الفترة ] ‪[2,5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .7‬جد املساحة احملددة بالدالتني ‪. y = x , y = x − 12‬‬
‫‪ .8‬جد املساحة احملددة بالدالتني ‪ g ( x) = sin x cos x, f ( x) = sin x‬حيث ] ‪x ∈ [0,2π‬‬
‫‪ 3π ‬‬
‫‪ .9‬جد املساحة احملددة بالدالتني ‪ g ( x ) = sin x, f ( x ) = 2sin x + 1‬حيث ‪x ∈ 0, ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .10‬جد املساحة احملددة بالدالة ‪ y = x + 4x + 3x‬ومحور السينات‪.‬‬
‫‪173‬‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫‪ .11‬جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة ‪ v (t ) = (3t 2 − 6t + 3) m / s‬إحسب‪:‬‬
‫‪ )a‬املسافة املقطوعة في الفترة ] ‪[2, 4‬‬
‫‪ )b‬االزاحة في الفترة ]‪[0, 5‬‬
‫‪ .12‬جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره ‪ ( 4t + 12) m / s‬وكانت سرعته بعد مرور (‪ )4‬ثواني‬
‫تساوي ‪ 90m / s‬إحسب‪:‬‬
‫‪ )a‬السرعة عندما ‪t=2‬‬
‫‪)b‬املسافة خالل الفترة [‪]1,2‬‬
‫‪ )c‬االزاحة بعد (‪ )10‬ثواني من بدء احلركة‬
‫‪2‬‬
‫‪v (t )(100t‬‬
‫‪= ( 3t 2 − 6t‬‬
‫‪ .13‬تتحرك نقطة من السكون وبعد ‪ t‬ثانية من بدء احلركة أصبحت سرعتها ‪6t+2 3)) m / s‬‬
‫أوجد الزمن الالزم لعودة النقطة الى موضعها االول الذي بدأت منه‪ ،‬ثم احسب التعجيل عندها‬
‫‪174‬‬
‫التكامل‬
‫[‪ ]4-6‬احلجوم‬
‫‪Integration‬‬
‫الدورانية‪Volumes of Revolution :‬‬
‫‪ .1‬حلساب حجم الشكل املتولد من دوران املنطقة احملددة بني منحني الدالة‬
‫‪ x=a‬الى ‪ x=b‬حول محور السينات‬
‫)‪y = f ( x‬‬
‫املستمرة من‬
‫‪b‬‬
‫‪V = π ∫ y2 dx‬‬
‫نطبق العالقة التالية‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬حلساب حجم الشكل املتولد من دوران املنطقة احملددة بني منحني الدالة‬
‫‪ y= a‬الى ‪ y=b‬حول محور الصادات‬
‫)‪x = f ( y‬‬
‫املستمرة من‬
‫‪b‬‬
‫‪V = π ∫ x 2 dy‬‬
‫نطبق العالقة التالية‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫مثال ‪-1 -‬‬
‫‪ y =y = x,0x,0‬ومحور السينات‪ ،‬دارت حول محور السينات‪ ،‬جد حجمها‪.‬‬
‫املنطقة احملددة بني املنحني ‪, ≤≤xx≤≤44‬‬
‫احلل‬
‫‪π y2 dx‬‬
‫‪π x dx‬‬
‫وحدة مكعبة‬
‫‪4‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫= ‪π ( x )2 dx‬‬
‫‪4‬‬
‫‪b‬‬
‫∫‬
‫‪4‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫=‪v‬‬
‫=‬
‫‪ x2 ‬‬
‫‪= π  = 8π − 0 = 8π‬‬
‫‪ 2 0‬‬
‫‪175‬‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫‪11‬‬
‫مثال ‪-2 -‬‬
‫‪4‬‬
‫احملددة ‪4‬بني املنحني ‪ x =x = ،,1 ≤ y ≤ 4‬دارت حول محور الصادات‪ .‬جد‬
‫‪π‬‬
‫املنطقة ‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪V 4 =π∫ π x = ∫ dy‬‬
‫‪yy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 y‬‬
‫حجمها‪V =4 ∫ π x = ∫ 1 dy .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∫‬
‫‪dy = [ π ln y]1‬‬
‫]‪y y‬‬
‫‪= [ π1 ln‬‬
‫‪= π ln 4 − 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪44‬‬
‫‪44 π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪vv == ∫ ππ xx22dy‬‬
‫‪dy == ∫ dy‬‬
‫وحدة مكعبة ‪dy = [ π ln y]1 = π ln 4 − 0 = 2π ln 2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11 y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪= π ln 4 − 0= 2π ln 2‬‬
‫‪4‬‬
‫احلل‬
‫=‬
‫‪∫ πx‬‬
‫=‪V‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 2π ln 2‬‬
‫مثال ‪-3 -‬‬
‫أوجد احلجم الناجت من دوران املساحة احملددة بالقطع املكافئ الذي معادلته ‪y2 = 8x‬‬
‫واملستقيمني ‪x=2 , x=0‬حول احملور السيني‪.‬‬
‫احلل‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫وحدة مكعبة ‪v = π ∫ π y dx = π ∫ 8x dx = 4π  x 2  0 = 16π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫مثال ‪-4 -‬‬
‫احلل‬
‫اوجد احلجم الناجت من دوران املساحة احملددة بالقطع املكافئ الذي معادلته ‪y = 2x 2‬‬
‫واملستقيم ‪ x = 0, x = 5‬حول احملور السيني‪.‬‬
‫‪4π 5 5‬‬
‫= ‪x ‬‬
‫‪5  0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪v = π ∫ π y2 dx = π ∫ 4x 4 dx‬‬
‫‪4π‬‬
‫وحدة مكعبة ‪× 3125 = 2500π‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪176‬‬
‫=‬
πeÉμàdG
Integration
-5 - ‫ﻣﺜﺎل‬
‫ﺣﻮل‬y=0 , y=16 ‫ واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ‬y = 4x 2 ‫اوﺟﺪ اﳊﺠﻢ اﻟﻨﺎﰋ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ‬
.‫اﶈﻮر اﻟﺼﺎدي‬
‫اﳊﻞ‬
b
v = π ∫ x 2 dy
a
16
v=π ∫
0
16
y
π
π
dy = [ y2 ] = [16 × 16 ] = 32π
4
8
8
0
‫وﺣﺪة ﻣﻜﻌﺒﺔ‬
-6 - ‫ﻣﺜﺎل‬
16
π 2
π[
1
[ y ] = 16 × 16 ]y == 32π
1
‫ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‬16
‫دوران اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ‬
،
y
=
8
8
16 ‫اوﺟﺪ اﳊﺠﻢ اﻟﻨﺎﺷﻲء ﻣﻦ‬
0
xx
y
π
2
‫ﺣﻮل‬
‫ﻛﺎﻣﻠﺔ‬π‫دورة‬1 ، × 16
v = π ∫. ‫اﻟﺼﺎدي‬
dy = ‫اﶈﻮر‬
≤ y] ≤=432π
1 [ y ] =x = [16 ,1
y
π 0 4 y π=[ 8
8 y
v = π ∫ dy = [ y ] = 16 × 16 ] =032π
1
y=
4
8
8 x
‫اﳊﻞ‬
x
16
16
1
y
π
π
(1 , 3)
v = π ∫ dy = [ y2 ] = [16 × 16y] = 32π
x
16
16
2
0
0
4
8
0
0
8
b
v = π ∫ x 2 dy
a
1
2
y =⎡ 1
⎤ π
⎡ −1⎤
1
v2= π ∫ 2 dy =π ⎢ ⎥ = π − ⎢x + 1⎥ =
⎤⎣ y π⎦1 2 ⎣ 2 ⎦ 2
122 y
3
2⎡2−1
2 2⎡ 1
22 2⎤
2
(3 , 1)
1
1
y
=
π3 x
⎢
⎥
⎢
⎥
2
2
π
dy
=
π
=
π
−
+
1
=
21
v0 = π8∫∫ ∫∫2∫22 12dy
π⎢∫⎢∫⎢ 2⎢⎢2⎥⎢2⎥⎥⎣ ⎥⎥y=⎥ ⎦π1⎢⎢−⎢⎣⎢v⎢⎥=
+
=
⎥
∫
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
2y
⎢
⎥
⎢
⎥
2 =∫
⎣
⎦
yy 1⎣1⎣⎣1yyy⎣y⎣y⎦⎣y⎦1y⎦11y⎦⎦11⎦1 ⎣⎣⎣y⎣y⎣2y2⎦12⎣1⎦⎣21⎦⎣y212⎦⎦1⎥⎦ ⎦y⎦2⎦2⎣22⎣2⎣222⎣22y⎦⎦⎣1⎦ y22⎦21 2 ⎣ 2 2⎦1 2
1 11 y1y
1y1y
16
2
2 ⎡
22
2
1 ⎡ 1⎤ π⎤
]23⎡2=
π
dy
=−1
=π
π1⎤Unit
=⎡1π−1⎤⎤⎤⎡⎤−1
⎡−1
⎤⎡−1
⎡32π
⎤⎤ ⎤v⎥=⎡⎡−1
⎡⎤⎡−1⎤⎡11⎢1⎤⎤2⎤dy+⎤⎤1π1⎤=⎡ππ⎥⎡π1π
⎡1π
⎡−1
⎤⎤⎢−1
⎡⎡1
1⎡π1−1
π
⎤
[ y2 v]v==vv=πv=π=vπ=2ππ2=2[π1216
−1
π
π
11 1∫1×
116
⎡21−1
Unit
1
2
=
π
−
+1 =
=
===π=π=π−=π−9ππ−−∫−++=
1⎣1
=
vdy
dy
dy
=++=
1π1=π−1−==
π==π=ππ dy
dy
−⎦= ++1+11===
vdy
=v=dy
π=π
π+
dy
16
2
2
v=π ∫
y=
x
y
π
π
dy = [ y2 ] = [316 × 16 ] = 32π
1
y=
4
8
8
0
16
⎡ −1
⎡1 ⎤ π
1
2 222⎤
⎤
⎡
π
=
π
−
⎡⎡−1
⎤
⎡
2
⎤
⎡
⎤π 1∫111 216dy
⎡ 1=
⎤
1
πππ
⎡⎡−1
⎤
⎡
−1
1
−1
π⎥
1⎡1⎢1 ⎤+⎤⎤⎤1
⎢−1
⎥⎦−π6=
3
⎡
⎤
⎤
1
π
⎣
dy
=
π
=
π
−
+
1
=
dy
π
=
π
−
+
1
=
=
(4
−
8)
−
(1−
4)
(9
12)
−
(4
− 8) = 1+ 1 = 2m
π∫π
dy
=
π
=
π
−
+
1
=
=
π
−
+
1
=
dy
=
π
=
π
−
+
1
=
Unit
9
π
2
y
y
2
⎣
⎦
∫
∫
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
2
2
1
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
2
116
π⎦1 ∫y[yy2y 2] dy⎣=2=⎣π⎣⎣⎣⎢y[yy16
=
π
−
+
1
=
]
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
×
=
32π
⎦
⎣
⎦
2
2
2
2
y
2
2
⎥
⎢
⎥
⎦
⎦
2
2
2
⎦
⎦
1 111 y
⎣2 ⎦ 2
81 0
8 ⎣ y1 1⎦111
2 222
2
0
x
1
1
x
3
y=
177
‫‪-5‬‬
‫‪)4‬‬
‫مارين (‬
‫ت‬
‫التكامل‬
‫‪Integration‬‬
‫‪ .1‬اوجد احلجم الدوراني املتولد من دوران املساحة احملددة بالقطع املكافئ ‪ y = x 2‬واملستقيمني‬
‫‪ x = 1, x = 2‬حول احملور السيني‪.‬‬
‫‪ .2‬اوجد احلجم الناجت من دوران املساحة احملصورة بني منحني الدالة ‪ y = x 2 + 1‬واملستقيم ‪ y=4‬حول‬
‫احملور الصادي‪.‬‬
‫‪ .3‬احسب احلجم املتولد من دوران املساحة احملصورة بني املنحني ‪ y2 + x = 1‬واملستقيم ‪ x=0‬حول احملور‬
‫الصادي‪.‬‬
‫‪ .4‬احسب احلجم املتولد من دوران املساحة احملصورة بني املنحني ‪ y2 = x 3‬واملستقيمان ‪x = 0, x = 2‬‬
‫حول احملور السيني‪.‬‬
‫‪178‬‬
‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸG‬‬
‫‪5‬‬
‫‪¢ùeÉÿG π°üØdG‬‬
‫‪Chapter Five‬‬
‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸG‬‬
‫]‪ [5-1‬ﻣﻘﺪﻣﺔ‪.‬‬
‫]‪ [5-2‬ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪.‬‬
‫]‪ [5-3‬اﳊﻞ اﳋﺎص واﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ‪.‬‬
‫]‪ [5-4‬اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻣﻦ اﳌﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ‪.‬‬
‫]‪ [5-5‬ﺑﻌﺾ ﻃﺮق ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪.‬‬
‫ﺍﳌﺼﻄﻠﺢ‬
‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺍﻻﻋﺘﻴﺎﺩﻳﺔ‬
‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‬
‫ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬
‫‪O.D.E‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y′ = f  ‬‬
‫‪179‬‬
‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬
‫[‪ ]5-1‬مقدمة‬
‫يعتبر موضوع املعادالت التفاضلية من املواضيع االساسية في الرياضيات التطبيقية لكثرة ظهورها في املسائل‬
‫العلمية والهندسية‪ .‬في هذا الفصل سنتطرق وبشكل مبسط للمعادلةالتفاضلية وكيفية حلها‪.‬‬
‫تعـــريـف [‪]5-1‬‬
‫املعادلة التفاضلية (‪ )Differential Equation‬هي املعادلة التي حتتوي على مشتقة‬
‫واحدة او أكثر للدالة املجهولة في املعادلة (اي للمتغير التابع في املعادلة)‬
‫مالحظـة‬
‫مثالً‪:‬‬
‫املعادلة التفاضليــــــة االعتيادية هـــي عالقـــة بني متغـير مستقــل‬
‫(‪ )Independt Variable‬وليكن (‪ )x‬ودالته غيـــر املعروفــة (‪)y‬‬
‫(‪ )Dependt Variabie‬وبعض مشتقــــــات (‪ )y‬بالنسبـــــــة الى (‪)x‬‬
‫ويــــــرمـــز لهــــا ‪ O . D . E‬والتـــــــي هـــــي مختصـــــر الى‬
‫(‪)Ordinary Differential Equation‬‬
‫‪4) y′ + x 2 y + x = y‬‬
‫‪1) dy = 3y − 4x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪5) ( y′′)3 + 2 y′ + x 2 ln x = 5‬‬
‫‪2) x 2 y′′ + 5xy′ − x 3 y = 0‬‬
‫‪6) y( 4 ) + cos y + x 2 y y′ = 0‬‬
‫كلها معادالت تفاضلية اعتيادية الن املتغير ‪ y‬يعتمد فقط على املتغير ‪X‬‬
‫‪180‬‬
‫‪3‬‬
‫‪d‬‬
‫‪3) y3 + dy = y − 4‬‬
‫‪dx dx‬‬
‫‪Ordinary Differential Equations‬‬
‫تعـــريـف [‪]5-2‬‬
‫املرتبة او (الرتبة) ‪ :Order‬تعرف رتبة املعادلة التفاضلية بانها رتبة اعلى مشتقة‪.‬‬
‫الدرجة ‪ :Degree‬تعرف درجة املعادلة التفاضلية بأنها‪ :‬اكبر قوة (أس) مرفوعة له اعلى مشتقة‬
‫في املعادلة التفاضلية ‪.‬‬
‫مثالً‪:‬‬
‫من الرتبة االولى والدرجة االولى‬
‫من الرتبة الثانية والدرجة االولى‬
‫من الرتبة الثالثة والدرجة الثالثة‬
‫‪1) dy + x − 7y = 0‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2) y = 5x − 3xy + 7‬‬
‫‪dx 2‬‬
‫‪3) ( y′′′y)3′′′ + y′ − y = 0‬‬
‫من الرتبة الثانية والدرجة االولى ‪4) y′′ + 2y( y′)3 = 0‬‬
‫‪dy dy‬‬
‫‪d 33 y 2‬‬
‫‪d2 y‬‬
‫‪4‬‬
‫الرابعة ‪x ( ) +=( x 3−)5+ 2‬‬
‫والدرجة=‬
‫‪0‬‬
‫)‪5‬‬
‫من الرتبة االولى‬
‫‪2‬‬
‫‪dx dx dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dy 4 d 3 y 2‬‬
‫‪d2 y‬‬
‫‪6) x ( ) + ( 3 ) + 2 2 = 0‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫من الرتبة الثالثة والدرجة الثانية‬
‫فهي من الرتبة الرابعة والدرجة االولى ‪7) y( 4 ) + cos y + x 2 y y′ = 0‬‬
‫مالحظـة‬
‫درجة املعادلة التفاضلية التي تكون جبرية في مشتقاتها هي الدرجة‬
‫اجلبرية للمشتقة ذات اعلى رتبة تظهــر في املعـادلة ‪ .‬فمث ً‬
‫ال املعادلـة‬
‫‪2‬‬
‫التفاضلية ‪( y′′) = 1+ ( y′)2 :‬‬
‫من الرتبة الثانية الن اعلى مشتقة فيها ‪y′′‬‬
‫‪2‬‬
‫حيث ميكن ازالة اجلذور او االسس الكسرية ونحصل على ‪( y′′)4 = [1+ ( y′)2 ] :‬‬
‫وبذلك تكون درجة املعادلة التفاضلية الرابعة‬
‫‪181‬‬
‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬
‫[‪ ]5-2‬حل املعادلة التفاضلية االعتيادية‬
‫‪Solution of an Ordinary Differential Equation‬‬
‫ان الغاية من دراسة املعادالت التفاضلية هي كيفية أيجاد حلو ًال لها‪ ،‬ويتم ذلك بأيجاد عالقة بني املتغير التابع‬
‫(غير املستقل ) ‪ y‬واملتغير املستقل ‪ x‬بحيث تكون العالقة خالية من االشتقاقات وان حتقق املعادلة التفاضلية‬
‫عند التعويض‬
‫تعـــريـف [‪]5-3‬‬
‫حل املعادلة التفاضلية هو اية عالقة بني متغيرات املعادلة التفاضلية بحيث ان هذه العالقة ‪:‬‬
‫أ) خالية من املشتقة‬
‫ب) معرفة على فترة معينة‬
‫جـ) حتقق املعادلة التفاضلية‬
‫اي ان احلل للمعادلة التفاضلية االعتيادية هو اي دالة ملجهول (املتغير التابع ) بداللة املتغير املستقل حتقق‬
‫املعادلة التفاضلية‪.‬‬
‫مثال ‪-1 -‬‬
‫بني ان العالقة ‪ y = x 2 + 3x‬ح ً‬
‫ال للمعادلة التفاضلية ‪xy′ = x 2 + y‬‬
‫احلل‬
‫‪ y = x 2 + 3x‬جند ‪ y′‬فيكون‪:‬‬
‫‪y = x 2 + 3x ... 1 ⇒ y′ = 2x + 3 ... 2‬‬
‫نعوض (‪ )1‬و (‪ )2‬في الطرف االمين وااليسر للمعادلة التفاضلية وكما يلي ‪:‬‬
‫‪LHS= xy′‬‬
‫)‪3x2 += 3x‬‬
‫‪2x 2 + 3x‬‬
‫‪x 22++(x‬‬
‫= )‪= x(2x + 3‬‬
‫‪= 2x‬‬
‫‪RHS = x 2 + y = x 2 + x 2 + 3x‬‬
‫اذ ًا العالقة املعطاة هي حل للمعادلة التفاضلية اعاله‬
‫‪182‬‬
‫‪= 2x 2 + 3x = LHS‬‬
‫‪Ordinary Differential Equations‬‬
‫[‪ ]5 - 3‬احلل اخلاص والعام للمعادلة التفاضلية االعتيادية‪:‬‬
‫ان حل املعادلة التفاضلية االعتيادية كما اسلفنا هو اي عالقة بني ‪ y,x‬حتقق املعادلة ‪ ،‬غير ان احلل العام الي‬
‫مساو لرتبة املعادلة ‪ ،‬فاذا كانت املعادلة من‬
‫معادلة تفاضلية هو احلل املشتمل على عدد من الثوابت االختيارية ٍ‬
‫الرتبة االولى وجب ان يكون حلها العام مشتم ً‬
‫ال على ثابت اختياري واحد هو ثابت التكامل الذي يظهر عند‬
‫اجراء خطوة التكامل الوحيدة ملعادالت الرتبة االولى ‪ .‬اما اذا كانت املعادلة من الرتبة الثانية وجب اشتمال‬
‫حلها على ثابتي تكامل نظر ًا الجراء خطوتي تكامل عند حل معادلة الرتبة الثانية وهكذا ‪...‬‬
‫فعلى سبيل املثال ‪:‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪− 5y = 0‬‬
‫‪dx‬‬
‫تعتبر معادلة تفاضلية من الرتبة االولى ويحققها احلل اخلاص ‪ y = e5x‬كما يبدو من التعويض في املعادلة‬
‫التفاضلية غير ان حلها العام يجب ان يشتمل على ثابت اختياري واحد ‪ ، c‬فيكون ‪y =ce5x‬‬
‫‪d2 y‬‬
‫فهي من الرتبة الثانية وحتققها احللول اخلاصة ‪:‬‬
‫اما املعادلة التفاضلية ‪+ y = 0‬‬
‫‪dx 2‬‬
‫‪ y = sin x, y = cos x‬غير ان حلها العام يجب ان يشتمل على ثابتي تكامل اختياريني‪ ،‬كان يكونا‬
‫‪ A,B‬ويصبح احلل العام عندئذ بالصورة ‪y = A sin x + B cos x‬‬
‫مثال ‪-2 -‬‬
‫احلل‬
‫اثبت ان ‪ y=x ln |x| - x‬احد حلول املعادلة ‪:‬‬
‫‪dy‬‬
‫)‪= x + y , x > 0....(1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫ان املعادلة ‪ y = x ln |x|-x‬خالية من املشتقات ومعرفة في ‪ x >0‬ولكي نثبت انها‬
‫احد حلول املعادلة التفاضلية (‪ )1‬نقوم بالتعويض املباشر في (‪)1‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪11‬‬
‫‪LHS == xx ==x.(x.‬‬
‫)‪x(x. ++lnlnx| 1−1‬‬
‫)‪x | (1) − 1‬‬
‫‪LHS‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪= x.( 1 + ln x − 1 ) = x ln x‬‬
‫‪RHS = x + y = x + x ln x − x = x.ln x‬‬
‫اذ ًا الدالة املعطاة هي احد احللول اخلاصة للمعادلة التفاضلية (‪.)1‬‬
‫‪183‬‬
‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬
‫مثال ‪-3 -‬‬
‫بني ان ‪ ، a ∈ R ، ln y2 = x + a‬ح ً‬
‫ال للمعادلة ‪2y′ − y = 0‬‬
‫احلل‬
‫‪1‬‬
‫‪( y′) = 1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ln y2 = x + a ⇒ 2 ln y = x + a ⇒ 2‬‬
‫‪⇒ 2y′ = y ⇒ 2y′ − y = 0‬‬
‫∴ ‪ ln y2 = x + a‬ح ً‬
‫ال للمعادلة اعاله‬
‫مثال ‪-4 -‬‬
‫‪d2 y‬‬
‫هل ‪ y = x 3 + x − 2‬ح ً‬
‫؟‬
‫ال للمعادلة التفاضلية ‪= 6x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫احلل‬
‫‪22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‪y= x +x−2‬‬
‫‪= 3x + 1 ⇒ y2 = 6x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx2‬‬
‫‪33‬‬
‫‪d2 y‬‬
‫ال للمعادلة ‪= 6x‬‬
‫وعليه ‪ y = x 3 + x − 2‬هو ح ً‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪184‬‬
‫‪Ordinary Differential Equations‬‬
‫مثال ‪-5 -‬‬
‫برهن ان ‪ y = 3 cos 2x + 2sin 2x‬هو ح ً‬
‫ال للمعادلة التفاضلية ‪. y′′ + 4y = 0‬‬
‫احلل‬
‫‪∵ y = 3 cos 2x + 2sin 2x ... 1‬‬
‫‪∴ y′ = −6 sin 2x + 4 cos 2x‬‬
‫‪y′′ = −12 cos 2x − 8 sin 2x ... 2‬‬
‫بالتعويض عن ① ‪ ② ،‬في الطرف االيسر للمعادلة التفاضلية ينتج‪:‬‬
‫⇒ ) ‪LHS = (−12 cos 2x − 8 sin 2x ) + 4 ( 3 cos 2x + 2sin 2x‬‬
‫الطرف االمين ‪−12 cos 2x − 8 sin 2x + 12 cos 2x + 8 sin 2x = 0‬‬
‫‪= RHS‬‬
‫وعليه فان ‪ y = 3 cos 2x + 2sin 2x‬هو ح ً‬
‫ال للمعادلة اعاله‪.‬‬
‫مثال ‪-6 -‬‬
‫هل ‪ y2 = 3x 2 + x 3‬هو ح ً‬
‫ال للمعادلة ‪ yy′′ + ( y′)2 − 3x = 5‬؟‬
‫احلل‬
‫⇒ ‪∵ y2 = 3x 2 + x 3 ⇒ 2yy′ = 6x + 3x 2‬‬
‫‪2y ( y′′) + y′ ( 2) y′ = 6 + 6x‬‬
‫‬
‫بالقسمة على ‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y′3x‬‬
‫=‪)2 =⇒3 +yLHS‬‬
‫‪+ ( y=′y)3−≠=3x‬‬
‫⇒‪′′ +‬‬
‫‪yy′′ + ( y′y)2y′′=+3( +‬‬
‫‪y3x‬‬
‫‪( y′y)y−′′3x‬‬
‫الطرف االمين ‪53x= 3+≠x 5‬‬
‫‬
‫‪≠ RHS‬‬
‫وعليه فان ‪ y2 = 3x 2 + x 3‬ليس ح ً‬
‫ال للمعادلة اعاله‬
‫‪185‬‬
‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬
‫مثال ‪-7 -‬‬
‫بني ان ‪ y = e2x + e−3x‬هو ح ً‬
‫ال للمعادلة التفاضلية ‪. y′′ + y′ − 6y = 0‬‬
‫احلل‬
‫‪2x2x‬‬
‫‪−3x‬‬
‫‪2x2x −3x‬‬
‫‪−3x‬‬
‫‪∵ y y==e2xe2x++e−3x‬‬
‫‪+9e−3x‬‬
‫‪′′ =4e4e‬‬
‫‪−−3e3e‬‬
‫=‪⇒⇒y′′y‬‬
‫‪9e‬‬
‫‪e−3x⇒⇒y′y=′ =2e2e‬‬
‫وبالتعويض في الطرف االيسر للمعادلة‬
‫‪LHS= y′′ + y′ − 6y‬‬
‫) ‪= ( 4e2x + 9e−3x ) + ( 2e2x − 3e−3x ) − 6 ( e2x + e−3x‬‬
‫‪= 4e2x + 9e−3x + 2e2x − 3e−3x − 6e2x − 6e−3x‬‬
‫الطرف االمين = ‪= 0‬‬
‫‪=RHS‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪−3x‬‬
‫‪ y= e +e‬ح ً‬
‫ال للمعادلة اعاله‬
‫وعليه يكون‬
‫‪186‬‬
‫‪Ordinary Differential Equations‬‬
‫‪)5‬‬
‫ت‬
‫مارين (‬
‫‪-1‬‬
‫‪ .1‬بني رتبة ودرجة كل من املعادالت التفاضلية اآلتية‪:‬‬
‫‪a) (x 2 − y2 )+ 3xy dy = 0‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪d2 y‬‬
‫‪dy‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪− 5y = 7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪c) ( y′′′)3 − 2 y′ + 8y = x 3 + cos x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪d) ( d y )2 − 2( dy )5 + 3y = 0‬‬
‫‪dx 3‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ .2‬برهن ان ‪ y = sin x‬هو حل للمعادلة ‪y′′ + y = 0‬‬
‫‪d2 s‬‬
‫‪ .3‬برهن ان العالقة ‪ Ss = 8 cos 3t + 6 sin 3t‬هي حل للمعادلة ‪+ 9s = 0‬‬
‫‪dt 2‬‬
‫‪ .4‬هل ان ‪ y = x + 2‬ح ً‬
‫ال للمعادلة ‪ y′′ + 3y′ + y = x‬؟‬
‫‪ .5‬هل ‪ y = tan x‬ح ً‬
‫ال للمعادلة ) ‪ y′′ = 2y (1+ y2‬؟‬
‫‪ .6‬هل ‪ 2x 2 + y2 = 1‬ح ً‬
‫ال للمعادلة ‪ y3 y′′ = −2‬؟‬
‫‪ .7‬هل ‪ yx = sin 5x‬ح ً‬
‫‪ xy′′ + 2y′ + 5yx‬؟‬
‫للمعادلة‪25yx= =0‬‬
‫ال‬
‫‪0‬‬
‫‪ .8‬بني ان ‪ y = ae− x‬هو ح ً‬
‫ال للمعادلة ‪ y′ + y = 0‬حيث ‪a ∈ R‬‬
‫‪ .9‬بني ان ‪ c ∈ R , ln y = x 2 + c‬هو ح ً‬
‫ال للمعادلة ‪y′′ = 4x 2 y + 2y‬‬
‫‪187‬‬
‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬
‫[‪ ]5-4‬املعادالت التفاضلية االعتيادية من املرتبة االولى والدرجة االولى‬
‫مقدمة ‪:‬‬
‫ان حل املعادلة التفاضلية هو عمل معاكس لعملية التفاضل ‪ ،‬أي يقوم على عمليات التكامل ‪ ،‬ومن املعروف‬
‫انه ال ميكن ايجاد عكس تفاضل (الصورة املباشرة) لكل دالة ‪ .‬اي ال نتوقع ان يكون لكل معادلة تفاضلية‬
‫حل عام بداللة الدوال االولية املعروفة ‪ .‬وعليه فاملعادالت التفاضلية التي ميكن حلها تقسم الى انواع متعددة‬
‫حسب طريقة احلصول على حلها العام‪.‬‬
‫وفي هذا الفصل سوف نستعرض املعادالت التفاضلية من الرتبة االولى والدرجة االولى مبتغيرين ‪. y , x‬‬
‫ومع ان هذا النوع من املعادالت التفاضلية قد تبدو بسيطة إال أنه ليس من املمكن ايجاد حل عام الي منها‬
‫بصورة عامة ‪ ،‬وال توجد طريقة عامة للحل ‪ .‬وعليه فسوف نقسم هذه املعادالت والتي ميكن ايجاد حلها‬
‫بطريقة مباشرة الى عدة انواع ‪ ،‬اهمها ‪:‬‬
‫‪ .1‬املعادالت التي تنفصل متغيراتها ‪.‬‬
‫‪ .2‬معادالت تفاضلية من النوع املتجانس ‪.‬‬
‫‪ .3‬معادالت تفاضلية تامة‪.‬‬
‫‪ .4‬معادالت تفاضلية خطية ‪ -‬معادلة برنولي ‪.‬‬
‫وفي هذا الفصل سنقتصر على النوعني (‪ ) 1‬و (‪ ) 2‬وطرائق حليهما‪.‬‬
‫فمث ً‬
‫ال تأخذ املعادلة التفاضلية من املرتبة االولى والدرجة االولى الشكلني االتيني‪:‬‬
‫‪M ( x, y) ≠ 0‬‬
‫‪dy‬‬
‫)‪1) = F ( x, y‬‬
‫‬
‫‪dx‬‬
‫‪2)M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0‬‬
‫حيث ‪N (x, y) ≠ 0 , M (x, y) ≠ 0‬‬
‫فاملعادلة التفاضلية ‪:‬‬
‫ميكن ان تكتب بالشكل‬
‫حيث ان‬
‫في البند الالحق سندرس بعض طرق حل املعادلة التفاضلية‪.‬‬
‫‪188‬‬
‫‪ dy = 3xy‬مث ً‬
‫ال‬
‫‪dx x + y‬‬
‫‪(3xy) dx = ( x + y) dy‬‬
‫‪(3xy).dx - (x+y).dy=0‬‬
‫)‪M = 3xy , N = x(x+y‬‬
‫‪+y‬‬
‫‪Ordinary Differential Equations‬‬
‫[‪ ]5-5‬بعض طرق حل املعادالت التفاضلية‬
‫او ًال ‪ :‬املعادالت التي تنفصل متغيراتها ‪Separation of Variables‬‬
‫في هذا النوع من املعادالت وكما يظهر من اسمها نستطيع ان نعزل كل احلدود التي حتتوي على ‪ x‬فقط مع‬
‫‪ dx‬في جانب واحلدود التي حتتوي على ‪ y‬فقط مع ‪ dy‬في اجلانب االخر فنحصل على‪:‬‬
‫(‪f(x).dx = g(y)dy ... )1‬‬
‫ثم نكامل طرفي املعادلة (‪ )1‬فيكون‬
‫‪f (x)dx + c‬‬
‫حيث ‪ c‬ثابت اختياري (‪)Arbitrary Constant‬‬
‫مثال ‪-1 -‬‬
‫∫ = ‪∫ g(y)dy‬‬
‫‪dy‬‬
‫حل املعادلة ‪= 2x + 5‬‬
‫‪dx‬‬
‫احلل‬
‫‪dy‬‬
‫‪= 2x + 5 ⇒ dy = ( 2x + 5 ) dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪∫ dy = ∫ (2x + 5)dx ⇒ y = x2 + 5x + c‬‬
‫مثال ‪-2 -‬‬
‫احلل‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫حل املعادلة ‪dy x −1‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫‪y‬‬
‫جنعل املعادلة بالصورة ‪g(y)dy = f (x)dx‬‬
‫اي‪:‬‬
‫باخذ التكامل للطرفني ‪:‬‬
‫‪ydy = (x −1)dx‬‬
‫‪∫ ydy = ∫ ( x −1)dx‬‬
‫‪1 2 1 2‬‬
‫‪y = x − x+c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y = x − 2x + 2c ⇒ y = ±(x − 2x + 2c) 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪= ±(x − 2x + c1‬‬
‫(لكون ‪ c‬ثابت اختياري فان ‪ 2c‬ثابت اختياري ايض ًا اسميناه ‪)c1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪189‬‬
‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬
-3 - ‫مثال‬
ππ
y ≠y (2n+
1) 1) , cos
≠y 0≠ 0 ‫ حيث‬dy = sin x cos
≠ (2n+
, cos
cos2 2ydx
y dx ‫حل املعادلة التفاضلية‬
22
g(y)dy = f (x)dx ‫جنعل املعادلة بالشكل‬
1
dx
dy = sin xdx
cos 2 y
:‫اي‬
‫احلل‬
dx
sec 2 ydy = sin xdx
⇒
∫ sec
2
ydy =
dx
∫ sin xdx
‫باخذ التكامل‬
tan y = − cos x + c ‫ ثابت اختياري‬c ‫حيث‬
-4 - ‫مثال‬
x= 2 , y= 9 ‫ عندما‬y′ − x y = 0 ‫اوجد حل املعادلة التفاضلية‬
1
1
‫احلل‬
dy
dy
y′ − x y = 0 ⇒
− xy 2 = 0 ⇒
= xy 2
dx
dx
1
1
1 1
1 1
− −
−dy
−
dy
1
1
2 2
y2 ′dy
−=x=xdx
y⇒
=⇒
0 ∫⇒
−=xy
=xdx
0 =⇒=2 2 y =y= =
xy x2 2x+2 +c c
y y2 dy
dydy
xdx
=∫2 ∫xdx
∫y ydx
dx 2 2
‫ ينتج‬x= 2 , y= 9 ‫بالتعويض عن‬
1 2
2 9 = (2) + c ⇒ 6 = 2 + c ⇒ c = 4
2
‫∴ احلل هو‬
1
1
2 y = x 2 + 4 ⇒ y = ( x 2 + 2)2
2
4
190
Ordinary Differential Equations
-5 - ‫مثال‬
x=0 ‫ عندما‬y=0 ‫حيث‬
dy 2 x+y
‫حل املعادلة‬
=e
dx
‫احلل‬
dy 2 x y
= e .e ⇒ e− y dy = e2 x dx
dx
1
− ∫ e− y (−1)dy = ∫ e2 x (2)dx
2
1
‫ ينتج‬x = 0 , y = 0 ‫بالتعويض عن‬
−e− y = e2x + c
y = 0, x = 0
2
1
1
3
⇒ −e−0 = e0 + c ⇒ −1 = + c ⇒ c = −
2
2
2
: ‫اذن احلل هو‬
1
3
1
−e− y = e2 x − ⇒ e− y = (3− e2 x )
2
2
2
1 3 − e2x
=
ey
2
⇒ ye= =
ln
y
22
33−−eex2x
⇒ y = ln
2
3 − e2x
: ‫ للطرفني ينتج‬ln ‫وبأخذ‬
(x +1)
dy
dx
=2
⇒
y
x +1
dy
= 2y : ‫جد احلل العام للمعادلة التفاضلية‬
dx
dy
dx
=
2
∫y
∫ x+1
-6 - ‫مثال‬
‫احلل‬
ln y = ln(x +1)2 + c ⇒
ln
ln(x
1)22 .e
=cc) ⇒
ln| y |=−ln
((x++1)
|=
y |ec (x +1)2 | y |
y
ln
=c⇒
= ec
2
2
(x + 1)
(x + 1)
| y |= ec (x + 1)2
∴ y = ±C 1 (x + 1)2
191
. ‫ ثابت اختياري‬c1= ec ‫حيث‬
‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬
)5
( ‫مارين‬
‫ت‬
-2
:‫ حل املعادالت التفاضلية االتية بطريقة فصل املتغيرات‬- 1
a) y′ cos 3 x = sin x
c)
dy
= (x +1)(y −1)
dx
e) yy′ = 4 (1+ y2 )3
g) y′ = 2ex y3 ,
dy x 3 + y3
=
b) dy +
dx
xy
xy2 y,
x = 10, y = 2
x 3 = 3x
y′ =dx
2e y ,
x = 0, y =
2
d) (y2 + 4y −1) y′ = x 2 − 2x + 3
f) ex dx − y3 dy = 0
x = 0, y =
1
2
dy 2
xy
+ y = 1− y2
a)
dx
: ‫ جد احلل العام للمعادالت التفاضلية االتية‬- 2
dy
b) sin x cos y
+ cos x sin y = 0
dx
c) x cos 2 y dx + tan y dy = 0
d) tan 2 y dy = sin 3 x dx
e)
dy
= cos 2 x cos 2 y
dx
f)
dy
cos x
= 2 y
dx 3y + e
g) ex+2 y + y′ = 0
192
‫‪Ordinary Differential Equations‬‬
‫ﺛﺎﻧﻴﺎً‪ :‬اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﳌﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ‪Homogeneous Differential Equation‬‬
‫ﻗﺪ ﺗﻜﻮن اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻔﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻓﻴﻬﺎ وﻟﻜﻦ ﻗﺪ ﺗﻜﻮن ﻓﻲ اﻟﻮﻗﺖ ﻧﻔﺴﻪ ﺑﺼﻮرة‬
‫ﻣﻌﻴﻨﺔ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﲢﻮﻳﻠﻬﺎ اﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻔﺼﻞ وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺤﻮﻳﻼت وﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﻟﺼﻮر اﳌﻌﺎدﻟﺔ‬
‫اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﳌﺘﺠﺎﻧﺴﺔ وﻫﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة‬
‫‪dy‬‬
‫‪y‬‬
‫) (‪= f‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪ 4 4 dy‬ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻻﺗﻴﺔ‪ x  :‬‬
‫‪3‬‬
‫ﻓﻤﺜ ً‬
‫‪(x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫ﻼ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪y :‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪1+  ‬‬
‫وذﻟﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪x4 ≠ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬
‫ﺑﲔ اي اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻵﺗﻴﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ؟‬
‫‪dydy x 3 x+3y+3 y3‬‬
‫‪y dxdx‬‬
‫‪y= 2=3x3 3x‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪3y 3‬‬
‫‪y3y0+‬‬
‫‪2( ) y′ −dy‬‬
‫=‪( )dy+x 2+x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x = y = 2 2y 22‬‬
‫)‪ (1‬اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬
‫‪)3x‬‬
‫‪y′ −3x‬‬
‫‪dx2(dx2xy‬‬
‫‪y( y)y + 2 =x02‬‬
‫‪x 2dyy′ −xx 3 2++y23 2 = 0‬‬
‫‪x = x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪32‬‬
‫ﻳﻨﺘﺞ‬
‫ﺑﻘﺴﻤﺔ اﻟﺒﺴﻂ واﳌﻘﺎم ﻋﻞ ‪x y≠ 0‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪3x‬‬
‫∴ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‬
‫)‪ (2‬اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪2xyy′ − y2 + 2x 2 = 0‬‬
‫ﺑﻘﺴﻤﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ ‪ x 2 ≠ 0‬ﻳﻨﺘﺞ‪:‬‬
‫‪dydy x 3 x+3y+3 y3‬‬
‫‪= = 32 32 3 3‬‬
‫‪y dxdy‬‬
‫‪y‬‬
‫‪dx2 3xx3x‬‬
‫‪xy+ y+ y‬‬
‫‪2( ) y′ − ( )dy‬‬
‫‪=+=23 =20323 3 3 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x dxdy‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪+3x‬‬
‫‪yxy xy+ +‬‬
‫‪x dy‬‬
‫‪yy‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪= 3 3x‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪3 3 32 223 3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ydxdy‬‬
‫‪y3x‬‬
‫‪xdy‬‬
‫‪x+y3x‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪+32y+yx3 y3x‬‬
‫‪y+2 y x 2‬‬
‫‪xdy‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2xy‬‬
‫‪y‬‬
‫=‪2( ) y′ − ( ) =+2(=2 =)=y20′y‬‬
‫‪−′ −( ) + 2 =20= 0‬‬
‫‪2 2 3 2 232‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xdxdx dy‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3xyx 3x‬‬
‫‪y+x3x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪xdx‬‬
‫‪xyy y x‬‬
‫=‬
‫‪y 2 y  y ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ydydx‬‬
‫‪2 = f ( 3x‬‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪2( ) y′ −dy( ) x+33 +‬‬
‫=‪2‬‬
‫‪30 3‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪y‬‬
‫‪+ yx x =+ y3 x ‬‬
‫‪x dy‬‬
‫‪x dy xdx‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫=‪ydy‬‬
‫‪2yydx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪y‬‬
‫= ) ( ‪2( ) y′ −‬‬
‫(‪+2‬‬
‫‪2f (= )0y) ′ − ( 1+‬‬
‫‪) + 2= 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xdx‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪x x‬‬
‫∴ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‬
‫‪2xy‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪y′ − 2 + 2 2 = 0‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2( ) y′ − ( )2 + 2 = 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪x2 − y‬‬
‫‪= y′ = 3‬‬
‫)‪ (3‬اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪dy‬‬
‫ﻫﺬﻩ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻻﻧﻪ ﻻﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﺑﺎﻟﺼﻮرة ‪= f   :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪193‬‬
‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG‬‬
‫‪á°ùfÉéàŸG ádOÉ©ŸG πM á≤jôW‬‬
‫اذا ﻛﺎﻧﺖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻟﻐﺮض ﺣﻠﻬﺎ ﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻻﺗﻴﺔ‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪dy‬‬
‫ﺛﻢ ﻧﻌﻮض ‪v‬ﻋﻦ=‬
‫‪ (1‬ﻧﻜﺘﺒﻬﺎ ﺑﺎﻟﺼﻮرة ‪= f  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫= ‪ v‬او ‪ y = vx‬ﺣﻴﺚ ‪ v‬ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺟﺪﻳﺪ وﻫﻮ داﻟﺔ ﻟـ ‪x‬‬
‫‪ (2‬ﻧﺸﺘﻖ ‪ y = vx‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ x‬ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬
‫‪y‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dv‬‬
‫⇒ ‪= v ⇒ y = vx‬‬
‫‪= x + v ... 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ (3‬ﺑﺎﻟﺮﺑﻂ ﺑﲔ ‪ 1‬و ‪ 2‬ﻳﻨﺘﺞ‬
‫‪dv‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪x + v = f (v) ⇒ x = f (v) − v‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫‪f (v) − v x‬‬
‫‪ (4‬ﺑﻌﺪ ﻓﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬
‫‪dx‬‬
‫‪ (5‬ﺑﺄﺧﺬ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﻄﺮﻓﲔ ‪+ c‬‬
‫‪x‬‬
‫∫‬
‫‪dv‬‬
‫=‬
‫‪f (v) − v‬‬
‫∫‬
‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪v , x‬‬
‫‪ (6‬ﻧﻌﻮض ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﻋﻦ ‪ v = y‬ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ اﳌﺘﻐﻴﺮﻳﻦ ‪.y, x‬‬
‫‪x‬‬
‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬
‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬
‫‪3y2 − x 2‬‬
‫= ‪y′‬‬
‫‪2xy‬‬
‫اﳊﻞ‬
‫ﺑﻘﺴﻤﺔ اﻟﺒﺴﻂ واﳌﻘﺎم ﺑﺎﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ ﻋﻠﻰ ‪0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3( )2 −1‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪= x‬‬
‫)‪...(1‬‬
‫اي ان اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‬
‫‪y‬‬
‫‪dx‬‬
‫) (‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫ﺑﻮﺿﻊ ‪ v = y‬ﺗﺼﺒﺢ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪ (1‬ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬
‫‪2‬‬
‫‪dy 3v −1‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫)‪... 2(2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2v‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dv‬‬
‫⇒ ‪y = vx‬‬
‫)‪= x + v ...(3‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ )‪ (3‬ﻓﻲ )‪ (2‬ﻳﻨﺘﺞ‬
‫‪ x2‬ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬
‫‪194‬‬
Ordinary Differential Equations
dv
3v2 −1
dv 3v2 −1
x +v=
⇒x =
−v
dx
2v
dx
2v
dv v2 −1
x =
dx
2v
:‫بفصل املتغيرات ينتج‬
1
2v
dx = 2
dv
x
v −1
1
∫ x dx = ∫ v
2v
2
dv
⇒
ln
x
=
ln
v
−1 + ln c
2
−1
,c > 0
ln x = ln c(v2 −1) ⇒ x = ±c(v2 −1)
 y2y2y2  
yy y
x 3x 3x 3
∵ v v= =v =⇒⇒x⇒x= =xc±=
±
⇒
c c2 −1−1
c= =c 2=
−1
⇒
c⇒
xx x
y y−2y−x2 2−
x 2x 2
 x x2x 2  
dy y + x
=
‫حل املعادلة التفاضلية‬
dx y − x
-2 - ‫مثال‬
: ‫( تصبح املعادلة‬x ≠ 0) ‫بقسمة طرفي املعادلة على‬
y
dy x + 1
=
....(1)
dx y − 1
x
y
dy
dv
Q v= ⇒
= (v × 1) + x ....(2)
x
dx
dx
dv v + 1 : )1( ‫) في‬2( ‫نعوض من‬
v+ x =
dx v − 1
dv v + 1
dv 2v − v2 + 1
v−1
dx
∴x =
−v⇒ x =
⇒
dv
=
dx v − 1
dx
v−1
2v − v2 + 1
x
−1
2 − 2v
dx −1
⇒
dv
=
⇒ ln 2v − v2 + 1 = ln x + ln c
2
∫
∫
2 2v − v + 1
x
2
−1
1
2
ln 2v − v + 1 2 = ln cx ⇒ ln
= ln cx
2
2v − v + 1
195
‫احلل‬
‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬
⇒ 2v − v2 + 1 =
1
=
cx
c12
⇒ 2v − v + 1 = 2
x
2
= x 2 + 2xy − y2 = k
(3x − y) y′ = x + y
y
x+ y
x
y′ =
⇒ y′ =
y
3x − y
3−
x
dy 1+ v
∴ =
...(1)
dx 3− v
1+
∵v =
∴
-3 - ‫مثال‬
x ≠ 0 ‫بالقسمة على‬
y
dy
dv
⇒ y = xv ⇒
= x +v
x
dx
dx
d
1+ v
x dv + v =
dx
3− v
‫حل املعادلة‬
‫احلل‬
...(2)
:‫) ينتج‬2( ‫) في‬1( ‫نعوض من‬
dv 1+ v
dv v2 − 2v+1
dv (v −1)2
x =
−v⇒ x =
⇒x =
dx 3− v
dx
3− v
dx
3− v
− [(v −1) − 2 ]
1
3− v
1
dx =
dv
⇒
dx
=
dv
x
(v −1)2
x
(v −1)2
1
−1
2
2
v −1+
+ cc
∫ x dx = ∫ (v −1) dv + ∫ (v −1)2 dv ⇒ ln x = − ln v −1 − v 2−1
y
2
ln x = − ln −1 −
+c
y
x
−1
x
−2x
ln y − x =
+c
y− x
196
‫‪Ordinary Differential Equations‬‬
‫مثال ‪-4 -‬‬
‫‪dy‬‬
‫جد احلل العام للمعادلة التفاضلية ‪= x 2 + y2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2x 2‬‬
‫‪dy x 2 + y2‬‬
‫احلل‬
‫=‬
‫املعادلة التفاضلية ميكن كتابتها على الصورة االتية ‪K (1) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2x‬‬
‫وفي هذه املعادلة ميكن التحقق من ان كال من البسط واملقام في الطرف االمين هو دالة متجانسة ومن الدرجة‬
‫الثانية لذلك نعوض عن ‪ y = vx :‬وبالتالي فان ‪:‬‬
‫‪dv x 2 + x 2 v2‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪= v+ x K v+‬‬
‫(‪ )1‬ينتج= ‪(2)x‬‬
‫‪dx‬‬
‫نعوض من (‪ )2‬في ‪2x 2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dv x 2 + x 2 v2‬‬
‫) ‪x 2 (1+ v2‬‬
‫‬
‫= ‪v+ x‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪22‬‬
‫) ‪dv 1+ vx (1+ v2‬‬
‫⇒‪x = = −v‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2 2x 2‬‬
‫‪dv 1+‬‬
‫‪- 2v+ v2‬‬
‫= ‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪2x = (v −1)2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪1 dx‬‬
‫فبفصل املتغيرات نحصل على االتي‪:‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(v −1‬‬
‫‪2 x‬‬
‫وباخذ التكامل للطرفني جند ان‬
‫‪−1 1‬‬
‫‪= ln x + c′‬‬
‫‪v −1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫حيث ‪ c′‬ثابت اختياري اي ان ‪:‬‬
‫‪v = 1−‬‬
‫‪ln x + 2c′‬‬
‫وبالتعويض عن ‪ v = y‬وبوضع ‪ c = 2 c′‬في املعادلة االخيرة نحصل على ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫=‪y= x‬‬
‫‬‫‪ln x + c‬‬
‫‪197‬‬
‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬
‫حل كال من املعادالت التفاضلية االتية‪:‬‬
‫‪)5‬‬
‫ت‬
‫مارين (‬
‫‪3‬‬
‫‪-‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1. y′ = y + e‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2. (y2 − xy)dx + x 2 dy = 0‬‬
‫‪3. (x + 2y)dx + (2x + 3y)dy = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4.‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫‪2xy‬‬
‫‪5. (y2 − x 2 )dx + xydy = 0‬‬
‫‪6. x 2 ydx = (x 3 + y3 )dy‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪y‬‬
‫‪− tan ) = y‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪198‬‬
‫(‪7. x‬‬
‫‪6‬‬
‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬
‫‪¢SOÉ°ùdG π°üØdG‬‬
‫‪Chapter Six‬‬
‫‪Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG‬‬
‫]‪[6-1‬‬
‫]‪[6-2‬‬
‫]‪[6-3‬‬
‫ﲤﻬﻴﺪ‬
‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﺰوﺟﻴﺔ واﳌﺴﺘﻮﻳﺎت اﳌﺘﻌﺎﻣﺪة‪.‬‬
‫اﻻﺳﻘﺎط اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ‪.‬‬
‫ﺍﳌﺼﻄﻠﺢ‬
‫ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬
‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺔ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ﺑﲔ )‪(x) ، (y‬‬
‫)‪(x) - AB - (y‬‬
‫ﺍﳌﺴﺘﻮﻱ ‪x‬‬
‫)‪(x‬‬
‫‪199‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫[‪ ]6-1‬متهيد‪.‬‬
‫سبق وان علمنا أن ك ً‬
‫ال من املستقيم واملستوي مجموعة غير منتهية من النقط‬
‫وأن كل نقطتني تعينان مستقيم ًا واحد ًا وواحد ًا فقط وكل ثالث نقط ليست على استقامة‬
‫واحدة تعني مستوي ًا واحد ًا فقط‪ ،‬وكل اربعة نقط ال تقع في مستو واحد تعني فضاء‪.‬‬
‫اي أن املستقيم يحتوي على نقطتني على اقل تقدير‪ ،‬واملستوي يحتوي على ثالث نقط على اقل تقدير‬
‫ال يحتويها مستقيم واحد‪ ،‬والفراغ يحتوي على على اربع نقط على اقل تقدير ليست جميعها في مستو‬
‫واحد‪.‬‬
‫كما تعرفنا في الصف اخلامس العلمي على عالقات بني املستقيمات واملستويات وبرهنا بعض‬
‫املبرهنات التي ميكن االفادة منها في مبرهنات جديدة ستتعرف عليها في هذا الفصل‪.‬‬
‫ولكي تتمكن من التواصل معنا وتتعرف على عالقات جديدة بني املستقيمات واملستويات‪،‬‬
‫واملستويات واملستويات وتكتسب مفاهيم جديدة وتبرهن مبرهنات اخرىما عليك اال الرجوع الى مراجعة‬
‫ما درسته في هذا املوضوع في السنة السابقة‪.‬‬
‫‪200‬‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫‪Space Geometry‬‬
‫[‪ ]6-2‬الزاوية الزوجية واملستويات املتعامدة‪.‬‬
‫تعـــريـف [‪]6-1‬‬
‫الزاوية الزوجية‪ :‬احتاد نصفي مستويني لهما حافة (‪ )Edge‬مشتركة‪.‬‬
‫تسمى احلافة املشتركة بـ ( حرف االزاوية الزوجية ‪ )Edge of Dihedral‬ويسمى كل من نصفي املستويني‬
‫بـ (وجه الزاوية الزوجية) كما فى الشكل (‪)6-1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪X‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪X‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪X‬‬
‫الشكل (‪)6-1‬‬
‫حيث ‪ AB‬هو حرف الزاوية الزوجية ‪ )X( ،‬و (‪ )Y‬هما وجهاها‬
‫ويعبر عن الزاوية الزوجية بالتعبير‪)X) -A B - (Y( :‬‬
‫وقد يعبر عنها بحرف الزاوية الزوجية ان لم يكن مشترك ًا مع زاوية اخرى‪.‬‬
‫مثالً‪:‬‬
‫الزاوية الزوجية‬
‫‪Y‬‬
‫(‪)X) - A B - (Z‬‬
‫‪A‬‬
‫(‪)X) - A B - (Y‬‬
‫(‪)Y) - A B - (Z‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪B‬‬
‫الشكل (‪)6-2‬‬
‫وال ميكن ان تكتب الزاوية الزوجية بشكل ‪ A B‬في هذا املثال ألن احلرف ‪ AB‬مشترك في اكثر من زاوية زوجية‪.‬‬
‫‪201‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫مالحظـة عندما تكون اربع نقاط ليست في مست ٍو واحد‪ ،‬نكتب‬
‫الزاوية الزوجية ‪ A - B C - D‬او الزاوية الزوجية‬
‫بني املستويني (‪ . )ABC) , (DBC‬كما في الشكل (‪)6-3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫الشكل (‪)6-3‬‬
‫وتقا�س الزاوية الزوجية آ‬
‫كالتي‪:‬نأخذ نقطة ‪ D‬على احلافة املشتركة ‪ AB‬ونرسم من‪ D‬العمود‬
‫‪ D C‬في (‪ )X‬والعمود ‪ D E‬في (‪ )Y‬على احلرف ‪ AB‬فيكون قياس الزاوية الزوجية بني املستويني‬
‫هو قياس الزاوية‬
‫‪ C D E‬وتسمى الزاوية ‪ C D E‬الزاوية العائدة للزاوية الزوجية‪( .‬كما في الشكل‬
‫(‪))6-4‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫الشكل (‪)6-4‬‬
‫بعبارة اخرى لدينا الزاوية الزوجية‬
‫)‪(X) - A B - (Y‬‬
‫‪202‬‬
‫‪C‬‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫‪Space Geometry‬‬
‫ولدينا‬
‫)‪D C ⊂ (X) , D E ⊂ (Y‬‬
‫‪DC⊥AB,DE⊥AB‬‬
‫∴‪CDE‬‬
‫هي الزاوية العائدة للزاوية الزوجية ‪ A B‬او (‪)X) - AB -(Y‬‬
‫تعـــريـف [‪]6-2‬‬
‫الزاوية املستوية العائدة لزاوية زوجية‪ :‬هي الزاوية التي ضلعاها عموديان على حرف الزاوية الزوجية من‬
‫نقطة تنتمي اليه وكل منهما في أحد وجهي الزاوية الزوجية‬
‫أو هي احتاد شعاعني عموديني على حرف الزاوية الزوجية من نقطة تنتمي اليه وكل منهما في احد وجهي‬
‫الزاوية الزوجية‬
‫ومن تعريف الزاويتني العائدة والزوجية ميكن ا�ستنتاج آ‬
‫التي‬
‫‪ )1‬قياس زاوية عائدة لزاوية زوجية ثابت‬
‫‪ )2‬قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية العائدة لها وبالعكس‪.‬‬
‫تعـــريـف [‪]6-3‬‬
‫اذا كانت الزاوية الزوجية قائمة فان املستويني متعامدان وبالعكس‬
‫قياس ‪(X) ⊥ (Y) ⇔ (X) - A B - (Y) = 90°‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪A‬‬
‫الشكل (‪)6-5‬‬
‫‪B‬‬
‫‪203‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫مبرهنة (‪:)7‬‬
‫اذا تعامد مستويان فاملستقيم املرسوم في احدهما والعمودي على مستقيم التقاطع يكون عمودي ًا على‬
‫املستوي اآلخر‬
‫اي انه‪:‬‬
‫اذا كان ) ‪(X ) ⊥ (Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪(X )∩ (Y ) = AB‬‬
‫‪E‬‬
‫في ‪D‬‬
‫فان ) ‪CD ⊥ (X‬‬
‫املعطيات‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪X‬‬
‫‪CD ⊂ (Y ), CD ⊥ AB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪(X‬‬
‫‪(Y(Y),‬‬
‫‪(X(X‬‬
‫‪(Y(Y),‬‬
‫⊂= )‬
‫‪AB,‬‬
‫‪CD‬‬
‫‪(YAB‬‬
‫⊥‪),‬‬
‫‪CD‬‬
‫⊥ ) ‪(X‬‬
‫‪), (X‬‬
‫‪),‬‬
‫∩)‪)(X=(Y‬‬
‫‪AB,‬‬
‫⊂‪(Y‬‬
‫‪), CD‬‬
‫‪(X(Y‬‬
‫⊥)‬
‫⊥ )‪(Y‬‬
‫∩)‪),‬‬
‫‪(X‬‬
‫∩)‬
‫∩)‪(Y‬‬
‫∩)‪),‬‬
‫‪(X‬‬
‫∩)‬
‫‪) =(YCD‬‬
‫‪AB,‬‬
‫‪CD‬‬
‫⊂‪(Y‬‬
‫⊥ ‪),‬‬
‫‪CD‬‬
‫في نقطة ‪AB⊥ AB D‬‬
‫املطلوب اثباته‪:‬‬
‫) ‪CD ⊥ (X‬‬
‫الربهان‪:‬‬
‫في (‪ )X‬نرسم ‪DE ⊥ AB‬‬
‫(في املستوي الواحد ميكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستقيم‬
‫فيه من نقطة معلومة)‬
‫‪CD ⊂ (Y ), CD ⊥ AB‬‬
‫(معطى)‬
‫∴ ‪CDE‬‬
‫∴‬
‫⊥ ) ‪( (X‬تعريف الزاوية العائدة)‬
‫‪- (Y‬‬
‫عائدة للزاوية الزوجية (‪AB) - )Y‬‬
‫‪CDE = 90°‬‬
‫∴ ‪CD ⊥ DE‬‬
‫∴ ) ‪CD ⊥ (X‬‬
‫‪m‬‬
‫(قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية العائدة لها‬
‫وبالعكس)‬
‫(اذا كان قياس الزاوية بني مستقيمني ‪ 90°‬فان املستقيمني متعامدان وبالعكس)‬
‫(املستقيم العمودي على مستقيمني متقاطعني من نقطة تقاطعهما يكون عمودي ًا‬
‫على مستويهما)‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫‪204‬‬
‫) ‪Y ) ⊥ (X‬‬
‫‪Space Geometry‬‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫نتيجة مبرهنة (‪:)7‬‬
‫اذا تعامد مستويان فالمستقيم المرسوم من نقطة في احدهما عمودي ًا على المستوي اآلخر‬
‫يكون محتوى فيه‪.‬‬
‫اي انه‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪X‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪X‬‬
‫‪B‬‬
‫‪CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y‬‬
‫) ‪CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y ) ⊥ (X‬‬
‫مبرهنة (‪:)8‬‬
‫) ‪CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y ) ⊥ (X‬‬
‫مستو آخر يكون عمودي ًا على ذلك املستوي‬
‫مستو مار مبستقيم عمودي على‬
‫كل‬
‫ٍ‬
‫ٍ‬
‫يتعامد املستويان اذا احتوى احدهما على مستقيم عمودي على اآلخر‬
‫أو‬
‫اي انه‪:‬‬
‫‪) X (⊥⊥(XB)A ‬‬
‫‪ AB‬‬
‫‪X ( (Y‬‬
‫⊥‪⊥ ))Y‬‬
‫) ‪( (X‬‬
‫⇒) ‪‬‬
‫‪(Y ) ⊥ (X ) ‬‬
‫‪) Y(⊂⊂(YB)A ‬‬
‫‪ AB‬‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫) ‪AB ⊥ (X‬‬
‫) ‪AB ⊂ (Y‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪X‬‬
‫‪205‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫المطلوب اثباته‪:‬‬
‫) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬
‫البرهان‪:‬‬
‫ليكن ‪( (X )∩ (Y ) = CD‬يتقاطع المستويان بخط مستقيم)‬
‫(مستقيم التقاطع يحتوي النقاط المشتركة)‬
‫‪B ∈ CD‬‬
‫في (‪ )X‬نرسم ‪( BE ⊥ CD‬في المستوي الواحد يوجد مستقيم وحيد عمودي على مستقيم فيه‬
‫من نقطة معلومة)‬
‫∴ ) ‪AB ⊥ (X‬‬
‫(معطى)‬
‫∴ ‪( ∴ AB ⊥ CD, BE‬المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودي ًا على جميع المستقيمات‬
‫المحتواة في المستوي والمارة من أثره)‬
‫(معطى)‬
‫∴ ) ‪AB ⊂ (Y‬‬
‫∴ ‪ABE‬‬
‫‪= 90°‬‬
‫∴ ‪ABE‬‬
‫عائدة للزاوية الزوجية ‪( CD‬تعريف الزاوية العائدة)‬
‫(الن ‪) AB ⊥ BE‬‬
‫‪m‬‬
‫∴ قياس الزاوية الزوجية ‪(Y ) − CD − (X ) = 90°‬‬
‫(قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية‬
‫العائدة لها وبالعكس)‬
‫∴) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬
‫(اذا كان قياس الزاوية الزوجية ْ‪ 90‬فان المستويين متعامدان وبالعكس)‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫مبرهنة (‪:)9‬‬
‫مستو وحيد عمودي على املستوي املعلوم‪.‬‬
‫علىمستو معلوم يوجد‬
‫من مستقيم غير عمودي‬
‫ٍ‬
‫ٍ‬
‫اي انه‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AB‬غير عمودي على (‪)X‬‬
‫‪Y‬‬
‫فيوجد مستوي وحيد يحتوي ‪AB‬‬
‫‪B‬‬
‫وعمودي على (‪)X‬‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AB‬غير عمودي على (‪)X‬‬
‫‪206‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Space Geometry‬‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫المطلوب اثباته‪:‬‬
‫مستو وحيد يحوي ‪ AB‬وعمودي على (‪)X‬‬
‫ايجاد‬
‫ٍ‬
‫البرهان‪:‬‬
‫مستو معلوم من نقطة ال تنتمي‬
‫من نقطة (‪ )A‬نرسم ) ‪( AC ⊥ (X‬يوجد مستقيم وحيد عمودي على‬
‫ٍ‬
‫اليه)‬
‫∵ ‪ AB , AC‬متقاطعان‬
‫مستو وحيد يحويهما)‬
‫مستو وحيد مثل (‪ )Y‬يحويهما (لكل مستقيمين متقاطعين يوجد‬
‫∴ يوجد‬
‫ٍ‬
‫ٍ‬
‫∴ ) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬
‫(مبرهنة ‪)8‬‬
‫ولبرهنة الوحدانية‪:‬‬
‫ليكن (‪ )Z‬مستوي اخر يحوي ‪ AB‬وعمودي على (‪)X‬‬
‫∵ ) ‪( AC ⊥ (X‬بالبرهان)‬
‫∴) ‪( AC ⊂ (Z‬نتيجة مبرهنة ‪)7‬‬
‫مستو وحيد يحويهما)‬
‫∴) ‪( (Y ) = (Z‬لكل مستقيمين متقاطعين يوجد‬
‫ٍ‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫نتيجة مبرهنة (‪:)9‬‬
‫اذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودي ًا على مست ٍو ثالث فان مستقيم تقاطعهما يكون‬
‫عمودي ًا على المستوي الثالث‪.‬‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪(X )∩ (Y ) = AB‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫) ‪(X ), (Y ) ⊥ (Z‬‬
‫المطلوب اثباته‪:‬‬
‫) ‪AB ⊥ (Z‬‬
‫‪B‬‬
‫البرهان‪:‬‬
‫ان لم يكن ‪ AB‬عمودي ًا على (‪)Z‬‬
‫لما وجد اكثر من مستوي يحوي ‪ AB‬وعمودي على (‪( )Z‬مبرهنة ‪)9‬‬
‫‪Z‬‬
‫∴) ‪AB ⊥ (Z‬‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫نشـــاط‪ :‬توجد طرق اخرى لبرهان هذه المبرهنة ‪ ،‬حاول ذلك‪.‬‬
‫‪207‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫مثال ‪-1 -‬‬
‫في ‪ABC‬‬
‫‪A = 30°‬‬
‫‪BD ⊥ (ABC ) , m‬‬
‫‪AB = 10 cm , BD = 5cm‬‬
‫جد قياس الزاوية الزوجية ‪D − AC − B‬‬
‫املعطيات‪:‬‬
‫‪, AB =10 cm, BD = 5 cm‬‬
‫املطلوب اثباته‪:‬‬
‫ايجاد قياس الزاوية الزوجية ‪D − AC − B‬‬
‫‪BAC = 30°‬‬
‫‪BD ⊥ (ABC ), m‬‬
‫الربهان‪:‬‬
‫في املستوي (‪ )ABC‬نرسم ‪ BE ⊥ AC‬في نقطة ‪( E‬في املستوي الواحد يوجد مستقيم وحيد عمودي‬
‫على آخر من نقطة معلومة)‬
‫∴‬
‫(معطى)‬
‫) ‪BD ⊥ (ABC‬‬
‫∴ ‪( DE ⊥ AC‬مبرهنة االعمدة الثالثة)‬
‫عائدة للزاوية الزوجية ‪( AC‬تعريف الزاوية العائدة)‬
‫⇐ ‪DE B‬‬
‫‪( DB ⊥ BE‬املستقيم العمودي على مستوي يكون عموديا على جميع املستقيمات احملتواة في‬
‫املستوي واملارة من اثره)‬
‫⇐ ‪DBE‬‬
‫في‬
‫‪BE A‬‬
‫في‬
‫⇐ ‪DBE‬‬
‫قائم الزاوية في ‪B‬‬
‫القائم الزاوية في ‪E‬‬
‫‪BE‬‬
‫‪1 BE‬‬
‫= ‪Sin30°‬‬
‫= ⇒‬
‫‪⇒ BE = 5cm‬‬
‫‪BA‬‬
‫‪2 10‬‬
‫القائم الزاوية في ‪:B‬‬
‫‪5‬‬
‫‪tan (BED‬‬
‫‪BE D) = = 1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪m‬‬
‫∴ قياس ‪BE D = 45°‬‬
‫الزاوية ‪− AC‬‬
‫∴ قياس ‪− B‬‬
‫‪ 45°‬الزاوية الزوجية هو قياس الزاوية العائدة‬
‫الزوجية‪(= D − AC − B = 45° = D‬قياس‬
‫لها وبالعكس)‬
‫‪208‬‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫مثال ‪-2 -‬‬
‫‪Space Geometry‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلث ًا وليكن‬
‫‪AF‬‬
‫⊥ ‪AF‬‬
‫‪⊥ (ABC‬‬
‫)) ‪(ABC‬‬
‫‪BD‬‬
‫⊥ ‪BD‬‬
‫‪⊥ CF‬‬
‫‪CF‬‬
‫‪BE‬‬
‫‪CD‬‬
‫⊥ ‪BE‬‬
‫‪⊥ CA‬‬
‫‪CD‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫برهن ان‪:‬‬
‫) ‪BE ⊥ (CAF‬‬
‫‪E D ⊥ CF‬‬
‫‪B‬‬
‫املعطيات ‪:‬‬
‫‪AF ⊥ (ABC ), BE ⊥ CA, BD ⊥ CF‬‬
‫املطلوب اثباته‪:‬‬
‫) ‪DE ⊥ CF , BE ⊥ (CAF‬‬
‫الربهان‪:‬‬
‫∵ ) ‪( AF ⊥ (ABC‬معطى)‬
‫∴) ‪( (CAF ) ⊥ (ABC‬مبرهنة ‪: 8‬يتعامد املستويان اذا احتوى احدهما على مستقيم عمودي على‬
‫اآلخر )‬
‫∵‬
‫‪BE ⊥ CA‬‬
‫(معطى)‬
‫∴) ‪( BE ⊥ (CAF‬مبرهنة ‪ :7‬اذا تعامد مستويان فاملستقيم املرسوم في احدهما والعمودي على‬
‫مستقيم التقاطع يكون عمودي ًا على اآلخر )‬
‫∵‬
‫‪BD ⊥ CF‬‬
‫∴ ‪E D ⊥ CF‬‬
‫(معطى)‬
‫(نتيجة مبرهنة االعمدة الثالثة)‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫‪209‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫مثال ‪-3 -‬‬
‫) ‪ (Y ), (X‬مستويان متعامدان‬
‫‪A‬‬
‫) ‪AB ⊂ (X‬‬
‫‪ BC , BD‬عموديان على ‪AB‬‬
‫‪Z‬‬
‫ويقطعان (‪ )Y‬في ‪ C,D‬على الترتيب‬
‫برهن ان‪:‬‬
‫) ‪CD ⊥ (X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫املعطيات ‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫إن ) ‪ BC ,BD ، AB ⊂ (X ) ، (X ) ⊥ (Y‬عموديني على ‪ AB‬ويقطعان (‪ )Y‬في ‪ C,D‬على الترتيب‬
‫املطلوب اثباته‪:‬‬
‫) ‪CD ⊥ (X‬‬
‫الربهان ‪:‬‬
‫ليكن (‪ )Z‬مستوي املستقيمني املتقاطعني ‪( BC ,BD‬لكل مستقيمني متقاطعني يوجد مستوي ًا وحيد ًا‬
‫يحويهما )‬
‫مبا ان ‪ ( AB ⊥ BC , BD‬معطى )‬
‫) ‪∴ AB ⊥ (Z ) ∴ AB ⊥ (Z‬‬
‫(املستقيم العمودي على مستقيمني متقاطعني من نقطة تقاطعهما يكون عمودي ًا على مستويهما)‬
‫∴ ) ‪( AB ⊂ (X‬معطى)‬
‫∴ ) ‪( (X ) ⊥ (Z‬يتعامد املستويان اذا احتوى احدهما على مستقيم عمودي على اآلخر)‬
‫∴ ) ‪( (X ) ⊥ (Y‬معطى)‬
‫وملا كان ‪( (Z )∩ (Y ) = CD‬النه محتوى في كل منهما )‬
‫∴ ) ‪∴CD ⊥ (X‬‬
‫مستو ثالث فان مستقيم تقاطعهما يكون عمودي ًا على‬
‫(اذا كان كل من مستويني متقاطعني عمودي ًا على‬
‫ٍ‬
‫املستوي الثالث)‬
‫‪210‬‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫‪Space Geometry‬‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫‪)6‬‬
‫ت‬
‫مارين (‬
‫‪-1‬‬
‫‪ .1‬برهن ان مستوي الزاوية املستوية العائدة لزاوية زوجية يكون عمودي ًا على حرفها‪.‬‬
‫مستو آخر فان املستويني متعامدان ‪.‬‬
‫‪ .2‬برهن انه اذا وازى مستقيم مستوي ًا وكان عمودي ًا على‬
‫ٍ‬
‫‪ .3‬برهن ان املستوي العمودي على احد مستويني متوازيني يكون عمودي ًا على اآلخر ايض ًا ‪.‬‬
‫مستو واحد بحيث ‪ E ∈ BC , AB = AC‬فاذا كانت‬
‫‪ A,B,C,D .4‬اربع نقاط ليست في‬
‫ٍ‬
‫عائدة للزاوية الزوجية ‪ A- BC - D‬برهن ان ‪.CD = BD‬‬
‫‪AED‬‬
‫‪ .5‬برهن انه اذا وازى كل من مستقيمني متقاطعني مستوي ًا معلوم ًا وكانا عموديني على مستويني متقاطعني فان‬
‫مستقيم تقاطع املستويني املتقاطعني يكون عمودي ًا على املستوي املعلوم ‪.‬‬
‫‪ .6‬دائرة قطرها ‪ AC ، AB‬عمودي على مستويها ‪ D ،‬نقطة تنتمي للدائرة ‪ .‬برهن ان (‪)CDA‬‬
‫عمودي على (‪.)CDB‬‬
‫‪211‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫مستو‬
‫(‪ )6-3‬االسقاط العمودي على‬
‫ٍ‬
‫‪The Orthogonal Projection on a Plane‬‬
‫م�ستو‪ :‬هو أثر العمود املرسوم من تلك النقطة على املستوي‪.‬‬
‫‪ )1‬م�سقط نقطة على‬
‫ٍ‬
‫‪ )2‬م�سقط جمموعة نقط على م�ستوي‪ :‬لتكن ‪ L‬مجموعة من نقاط في الفراغ فان مسقطها هو‬
‫مجموعة كل اثار االعمدة املرسومة من نقاطه على املستوي ‪.‬‬
‫م�ستو معلوم‪ :‬هو قطعة املستقيم احملددة بأثري‬
‫‪ )3‬م�سقط قطعة م�ستقيم غري عمودية على‬
‫ٍ‬
‫العمودين املرسومني من نهايتي القطعة على املستوي املعلوم‬
‫‪B‬‬
‫ليكن ‪ AB‬غير عمودي على (‪ )X‬وليكن‬
‫) ‪ ⇐ AC ⊥ (X‬مسقط ‪ A‬على (‪ )X‬هو ‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫) ‪ ⇐ BD ⊥ (X‬مسقط ‪ B‬على (‪ )X‬هو‪D‬‬
‫∴ مسقط ‪ AB‬على (‪ )X‬هو ‪CD‬‬
‫‪D‬‬
‫مالحظـة‬
‫اذا كان ) ‪(X‬‬
‫‪C‬‬
‫‪X‬‬
‫‪AB‬‬
‫فان ‪AB = CD‬‬
‫م�ستو‪ :‬هو املستقيم غير العمودي على املستوي وقاطع له‬
‫‪ )4‬امل�ستقيم املائل (‪) Inclined Line‬على‬
‫ٍ‬
‫‪ )5‬زاوية امليل (‪ :) Angle of Inclination‬هي الزاوية احملددة باملائل ومسقطه على املستوي‪.‬‬
‫ليكن ‪ AB‬مائ ً‬
‫ال على (‪ )X‬في ‪B‬‬
‫وليكن ) ‪ AC ⊥ (X‬في ‪C‬‬
‫‪212‬‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫‪Space Geometry‬‬
‫∴ ‪ C‬مسقط ‪ A‬على (‪ )X‬حيث ) ‪A ∉ (X‬‬
‫‪A‬‬
‫كذلك ‪ B‬مسقط نفسها حيث ) ‪B ∈ (X‬‬
‫⇐ ‪ BC‬مسقط ‪ AB‬على (‪)X‬‬
‫اي ان ‪0 < θ < 90°‬‬
‫)‪θ ∈ (0, 90°‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )6‬طول امل�سقط‬
‫‪B‬‬
‫‪X‬‬
‫مستو = طول املائل × جيب متام زاوية امليل‪.‬‬
‫طول مسقط قطعة مستقيم على‬
‫ٍ‬
‫فعندما تكون ‪ AB‬مائ ً‬
‫ال على (‪ )X‬وزاوية ميله ‪ θ‬ومسقطه ‪ BC‬فان ‪BC = AB cosθ‬‬
‫‪ )7‬م�سقط م�ستوي مائل(‪ )Inclined Plane‬على (‪)X‬‬
‫مستو معلوم هو قياس الزاوية املستوية العائدة للزاوية الزوجية بينهما‬
‫مستو على‬
‫زاوية ميل‬
‫ٍ‬
‫ٍ‬
‫مستو معلوم = مساحة املنطقة املائلة × جيب متام زاوية امليل‬
‫مساحة مسقط منطقة مائلة على‬
‫ٍ‬
‫لتكن ‪ A‬مساحة املنطقة املائلة ‪ A′ ،‬مساحة املسقط ‪ θ ،‬قياس زاوية امليل‬
‫⇐ ‪A′ = A.cosθ‬‬
‫مثال ‪-4 -‬‬
‫اذا وازى احد ضلعي زاوية قائمة مستوي ًا معلوم ًا فان مسقطي ضلعيها على املستوي متعامدان‪.‬‬
‫املعطيات‪:‬‬
‫‪ ABC‬زاوية قائمة في ‪B‬‬
‫) ‪، AB / /(X‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪ A′B ′‬هو مسقط ‪ AB‬على (‪)X‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪ B ′C ′‬هو مسقط ‪ BC‬على (‪)X‬‬
‫املطلوب اثباته ‪:‬‬
‫‪A′B ′ ⊥ B ′C ′‬‬
‫َ‪A‬‬
‫َ‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫َ‪C‬‬
‫‪X‬‬
‫‪213‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫الربهان ‪:‬‬
‫‪ A′B ′‬مسقط ‪AB‬‬
‫‪ B ′C ′‬مسقط ‪BC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫معطى‬
‫مستو معلوم هو القطعة احملددة بأثري العمودين‬
‫⇐ ) ‪( C C ′, B B ′, AA′ ⊥ (X‬مسقط قطعة مستقيم على ٍ‬
‫املرسومني على املستوي من طرفي القطعة املستقيمة )‪.‬‬
‫مستو واحد متوازيان )‬
‫‪( B B ′ / /C C ′ ، AA′ / /B B ′‬املستقيمان العموديان على‬
‫ٍ‬
‫باملستقيمني املتوازيني ‪ AA′ ، B B ′‬نعني (‪ )Y‬‬
‫مستو وحيد يحتويهما(‬
‫‪( ‬لكل مستقيمني متوازيني يوجد‬
‫ٍ‬
‫باملستقيمني املتوازيني ‪ B B ′ ، C C ′‬نعني (‪ )Z‬‬
‫لكن ) ‪AB / /(X‬‬
‫(معطى )‬
‫‪(Y )∩ (X ) = A′B ′‬‬
‫(يتقاطع املستويان بخط مستقيم )‬
‫⇐ ‪AB / / A′B ′‬‬
‫(اذا وازى مستقيم مستوي ًا معلوم ًا فانه يوازي جميع املستقيمات الناجتة‬
‫من تقاطع هذا املستوي واملستويات التي حتوي املستقيم )‬
‫كذلك ‪B B ′ ⊥ A′B ′‬‬
‫(املستقيم العمودي على مستوي يكون عمودي ًا على جميع املستقيمات‬
‫املرسومة من أثره ضمن ذلك املستوي )‬
‫‪AB ⊥ B B ′‬‬
‫( في املستوي الواحد ‪ :‬املستقيم العمودي على احد مستقيمني متوازيني‬
‫يكون عمودي ًا على اآلخر)‬
‫لكن‬
‫‪AB ⊥ BC‬‬
‫) ‪AB ⊥ (Z‬‬
‫(الن ‪ABC = 90°‬‬
‫‪ M‬معطى )‬
‫( املستقيم العمودي على مستقيمن متقاطعني من نقطة تقاطعهما يكون‬
‫عمودي ًا على مستويهما )‬
‫⇐ ) ‪A′B ′ ⊥ (Z‬‬
‫(املستوي العمودي على احد مستقيمني متوازيني يكون عمودي ًا على اآلخر)‬
‫∴‪A′B ′ ⊥ B ′C ′‬‬
‫(املستقيم العمودي على مستوي يكون عمودي ًا على جميع املستقيمات‬
‫املرسومة من أثره ضمن ذلك املستوي )‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫‪214‬‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫‪Space Geometry‬‬
‫مثال ‪-5 -‬‬
‫‪ ABC‬مثلث ‪BC ⊂ (X ) ،‬‬
‫والزاوية الزوجية بني مستوي املثلث‬
‫‪ ABC‬واملستوي (‪)X‬‬
‫قياسها ‪ 60°‬فاذا كان‬
‫‪AB = AC = 13cm, BC = 10cm‬‬
‫جد مسقط املثلث (‪ )ABC‬على (‪)X‬‬
‫ثم جد مساحة مسقط ‪ABC‬‬
‫‪10‬‬
‫على (‪)X‬‬
‫املعطيات ‪:‬‬
‫) ‪ABC, BC ⊂ (X‬‬
‫قياس ‪(ABC ) − BC − (X ) = 60°‬‬
‫‪AB = AC = 13, BC = 10‬‬
‫املطلوب اثباته‪:‬‬
‫ايجاد مسقط ‪ABC‬‬
‫على (‪ )X‬وايجاد مساحة مسقط ‪ABC‬‬
‫على (‪)X‬‬
‫الربهان ‪:‬‬
‫‪⊥ (X‬في)‪D‬‬
‫‪(X‬‬
‫‪AD) ⊥ (X‬‬
‫نرسم⊥ )‪AD‬‬
‫‪AD‬‬
‫( ميكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة )‬
‫∴ ‪ CD‬مسقط ‪AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ BD‬مسقط ‪AB‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC‬مسقط نفسه على (‪ )X‬‬
‫‪‬‬
‫∴ ‪BCD‬‬
‫مسقط ‪ABC‬‬
‫(مسقط قطعة مستقيم على مستو معلوم هو القطعة احملددة بأثري‬
‫العمودين املرسومني على املستوي من طرفي القطعة املستقيمة )‬
‫على (‪)X‬‬
‫في (‪ )ABC‬نرسم ‪ BC ⊥ AE‬في ‪( E‬في املستوي الواحد ميكن رسم مستقيم عمود على آخر من‬
‫نقطة معلومة )‬
‫ومبا أن ‪AC = AB‬‬
‫(معطى)‬
‫∴‪ ( E C = BE = 5cm‬العمود النازل من راس مثلث متساوي الساقني على القاعدة ينصفها )‬
‫‪215‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫∴ ‪E D ⊥ BC‬‬
‫∴ ‪DEA‬‬
‫عائدة للزوجية ‪BC‬‬
‫(نتيجة مبرهنة االعمدة الثالثة)‬
‫(تعريف الزاوية العائدة )‬
‫(معطى)‬
‫‪BC =BC‬‬
‫‪60°= 60°‬‬
‫الزوجية= ‪BC‬‬
‫لكن قياس الزاوية ‪60°‬‬
‫في ‪AEB‬‬
‫القائم في ‪: E‬‬
‫في ‪AED‬‬
‫القائم في ‪D‬‬
‫‪AE = 169 − 25 = 144 = 12cm‬‬
‫‪ED‬‬
‫‪1 ED‬‬
‫= ⇒‬
‫‪⇒ E D = 6cm‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2 12‬‬
‫‪AE‬‬
‫= ‪cos 60°‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫مساحة‬
‫املثلث ‪BCD‬‬
‫‪= ×10‬‬
‫‪× 6== 30cm‬‬
‫‪BCD‬‬
‫‪×10 ×2 6 = 30cm2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫مالحظـة‬
‫لو طلب مساحة املسقط فقط فيمكن ايجاده كاآلتي‪:‬‬
‫مساحة ‪ = BCD‬مساحة ‪cos 60° × ABC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= × (12 × 10 × ) = 30cm2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬
‫‪216‬‬
‫‪Space Geometry‬‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫‪)6‬‬
‫ت‬
‫مارين (‬
‫‪-2‬‬
‫‪ .1‬برهن أن طول قطعة املستقيم املوازي ملستو معلوم يساوي طول مسقطه على املستوي املعلوم ويوازيه‪.‬‬
‫‪ .2‬برهن أنه إذا قطع مستويان متوازيان مبستقيم فان ميله على أحدهما يساوي ميله على اآلخر ‪.‬‬
‫‪ .3‬برهن على أن للمستقيمات املتوازية املائلة على مستو امليل نفسه‬
‫‪ .4‬برهن على أنه إذا رسم مائالن مختلفان في الطول من نقطة ال تنتمي الى مستو معلوم فان أطولهما تكون‬
‫زاوية ميله على املستوي أصغر من زاوية ميل اآلخر عليه‪.‬‬
‫‪ .5‬برهن على أنه إذا رسم مائالن من نقطة ما الى مستو فأصغرهما مي ً‬
‫ال هو االطول ‪.‬‬
‫مستو اصغر من الزاوية احملصورة بني املستقيم نفسه‬
‫‪ .6‬برهن على أن زاوية امليل بني املستقيم ومسقطه على‬
‫ٍ‬
‫واي مستقيم آخر مرسوم من موقعه ضمن ذلك املستوي‪.‬‬
‫‪217‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫متارين عامة‬
‫‪y‬‬
‫‪x2 + 4‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬جد قيمة ‪ x, y ∈ R‬والتي حتقق‬
‫‪1+ i x + 2i‬‬
‫‪1− 3‬‬
‫‪ .2‬اذا كان‬
‫‪1+ −3i‬‬
‫= ‪ z‬عدد مركب ًا جد باستخدام مبرهنة دميوافر‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬قطع ناقص مركزه نقطة االصل وقطع زائد نقطة تقاطع محورية نقطة االصل‪ .‬كل منهما مير بؤرة االخر‬
‫فاذا كانت ‪ 9x 2 + 25y2 = 225‬معادلة القطع الناقص فجد ‪.‬‬
‫أ) مساحة منطقة القطع الناقص‪.‬‬
‫ب) محيط القطع الناقص‪.‬‬
‫جـ) معادلة القطع الزائد ثم ارسمه‪.‬‬
‫د) االختالف املركزي لكل منهما‪.‬‬
‫‪ .4‬جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتميان حملور السينات ومركزه نقطة االصل ومساحة منطقته ‪7π‬‬
‫وحدة مربعة ومحيطه يساوي ‪ 10π‬وحدة ‪.‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪ .5‬جد‬
‫‪dx‬‬
‫‪218‬‬
‫لكل مما يأتي‪:‬‬
‫‪b) y = sin 4x tan 2x‬‬
‫‪a) x 3 y2 − 2y = 5x + 3‬‬
‫)‪d) y = tan(cos x‬‬
‫‪c) y = ex ln 2x‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪d‬‬
‫‪f=) tan(cos‬‬
‫‪ln(tan‬‬
‫)‪x‬‬
‫‪f ) yln(tan‬‬
‫)‪x) 2 x‬‬
‫‪e) y = x 2 ln x‬‬
‫) ‪h) y = cos(eπ x‬‬
‫‪ex + e− x‬‬
‫‪g) y = x − x‬‬
‫‪e −e‬‬
‫‪2‬‬
‫الهندسة الفضائية‬
‫‪Space Geometry‬‬
‫‪ .6‬استخدم مبرهنة رول ثم مبرهنة القيمة املتوسطة اليجاد قيم ‪ C‬للدالة ]‪. f (x) = x 4 − 2x 2 , x ∈ [−2, 2‬‬
‫تنتمي‬
‫‪∃c =c=2‬‬
‫كانت∈ ‪2‬‬
‫فاذا‪[−1,‬‬
‫‪ f (x) = ax 2 − 4x + 5 .7‬دالة حتقق شروط مبرهنة رول على الفترة ]‪b],[−1, b‬‬
‫للفترة (‪ )-1 ,b‬فجد قيمة ‪r‬‬
‫‪. a, b ∈ R‬‬
‫‪ .8‬متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة وارتفاعه ثالثة امثال طول قاعدته ‪ ،‬جد احلجم التقريبي له‬
‫عندما يكون طول قاعدته ‪. 2.97cm‬‬
‫‪ .9‬مخروط دائري قائم حجمه ‪ 210πcm3‬جد القيمة التقريبة لنصف قطر قاعدته اذا كان ارتفاعه ‪.10cm‬‬
‫‪ .10‬اذا كانت ‪ f (x) = 5 31x +1‬جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة القيمة التقريبية الى‬
‫)‪. f (1.01‬‬
‫‪ .11‬باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم املنحني البياني للدالة ‪. yx 2 = 1‬‬
‫‪ .12‬جد تكامالت ك ً‬
‫ال مما يأتي‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪a)a‬‬
‫‪−−sin‬‬
‫‪a) ∫ (cos‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪(cosx)dx‬‬
‫‪sin x)dx‬‬
‫‪x)dx‬‬
‫‪∫−∫(cos‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪44 4‬‬
‫‪b) ∫ (sin 2x −1)(cos 2 2x + 2)dx‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪ln(x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2 sin 3 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫∫ )‪c‬‬
‫∫ )‪d‬‬
‫‪e) ∫ cot x csc 33 xdx‬‬
‫‪219‬‬
‫الهندسة الفضائية ‪Space Geometry‬‬
‫‪f ) ∫ 3 3x 3 − 5x 5 dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x 2 −14x + 49‬‬
‫∫ )‪g‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪tan‬‬
‫‪tan‬‬
‫‪3x3x‬‬
‫‪h)h)∫∫sec‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪sec2223xe‬‬
‫‪3xetan‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ .13‬حل املعادلة التفاضلية اآلتية‬
‫‪π‬‬
‫‪,x =1‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪, y‬‬
‫‪cos 2 y‬‬
‫= ‪. y′‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ .14‬حل املعادلة التفاضلية ‪= −2x tan y‬‬
‫حيث ان ‪ x = 0‬عندما = ‪. y‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .15‬حل املعادلة التفاضلية ‪ x y′ = y − x‬حيث ان ‪. x = 1, y = 1‬‬
‫‪ .16‬حل املعادلة التفاضلية االتية ‪.(x 2 + 3y2 )dx − 2xy dy = 0‬‬
‫‪220‬‬