第五章 系统的稳定性
系统稳定的充要条件
系统的全部特征根都具有负实部。
即:系统传递函数的全部极点均位于[s]平面的左半平面，系统则稳定。
Routh（劳斯）稳定判据
n
s
s n 1
n 2
an an  2
an 1 an 3
an  4
a n 5
由系统的特征方程：D( s )  an s n  an 1s n 1    a1s  a0  0
A1 
an  6 
an 7  A2  an1an4  an an5
A1
A2
A3
A4

s n 3
B1
B2
B3
B4







s2
D1
D2
s1
E1
s0
F1
s
an 1an  2  an an 3
an 1
an 1
a a  an an 7
A3  n 1 n 6
an 1
例：
5s 3  6s 2  3s  5  0一项为负，不稳定
5s 3  6s 2  5  0缺项，不稳定
2s 4  2s 3  8s 2  3s  2  0
满足必要条件，不能确定是否稳定，需 要进一步验证

B1 
A1an 3  an 1 A2
A1
B2 
A1an 5  an 1 A3
A1

Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。
系统稳定的充要条件是，Routh表中第一列各元符号均为正，且值不为零。
对于三阶系统a0s3+a1s2+a2s+a3=0只要 a1a2 > a0a3
则系统稳定。
对于二阶系统 a0s2+a1s+a2=0 所有系数全为正，稳定。
Routh（劳斯）稳定判据特殊情况
1、如果Routh表中任意一行的第一个元为零时，而其后各元均不为零或部分不为零，
可以用一个很小正数ε代替第一列等于零的元，然后计算Routh表其余各元。
s5  2s 4  2s3  4s 2  s  1  0
系统不稳定，
第一列元素两次变号，
有两个正根在右半平面。
2、如果计算Routh表的任意一行中的所有元均为零时，可利用该行的上一行的元构
成一个辅助多项式，并用这个多项式方程的导数的系数组成计算Routh表的下一行。
s 6  s5  6 s 4  5s 3  9 s 2  4 s  4  0
利用全为0行的上一行，
构造辅助方程
s 4  5s 2  4  0
求导
4 s 3  10 s  0
求导后，系数代替全为0行
Nyquist稳定判据
当ω由-∞到+∞变化时，
若[GH]平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针方向包围（-1，j0）点P圈，
则闭环系统稳定。其中，P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。
对于开环稳定的系统，有P=0，
此时闭环系统稳定的充要条件是:
系统的开环频率特性G(jω)H(jω)不包含（-1，j0）点。
用Nyquist判据判别闭环系统稳定性的步骤:
1.确定P=？
2.作出开环Nyquist曲线，以回答N=？
3.确定Z，计算 Z=N+P
若Z=0，表示闭环系统稳定；
若Z≠0，表示闭环系统不稳定。
其中, P----开环系统在右半平面的极点数。
N----当ω由-∞到+∞时，开环Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0）点的圈数。
开环传递函数不含积分环节，用Nyquist判据
通常情况下，只画出开环Nyquist曲线，即可判别闭环系统稳定性。
包围（-1，j0）点的圈数的确定方法：
从𝜔=-∞出发到𝜔=+∞为止，计算转过的角度，按照顺时针为正，逆时针为负的原则即可确定方向，
Im 
Im 
顺时针转过360°时N=1 ，逆时针转过360°时N=-1。
（a）P=0 、N=0 、 Z=N+P=0 闭环系统稳定
（b）P=0、 N=2 、 Z=N+P=2 闭环系统不稳定
 1, j 0 
  
  

Re
 1, j 0 
  
  
p0
(a )

p0
(b )
Re
开环传递函数含积分环节，用Nyquist判据
采用整个Nyquist轨迹判别系统稳定性时：
以  =0 为起点  =0+ 为终点，顺时针方向从
其中  为积分环节的个数。

π
2
转到

π
2 ，即顺时针转过
π
只采用正半部分Nyquist轨迹判别系统稳定性时：
只需以  =0+ 为起点逆时针转过υ个π/2，与实轴相交，得正半部分Nyquist轨迹
其中υ为积分环节的个数。Im
0
Im
 1, j 0 
Im
  
  
0
0
Re
K ( s  3)
G( s) H ( s) 
s( s  1)
  0
  
 1, j 0   
Re
( 4 s  1)
G( s) H ( s)  2
s ( s  1)( 2 s  1)
 1, j 0 
  0
0
Re
Im
 1, j 0 
Re
0
含1个积分环节
含2个积分环节
比较复杂的开环频率特性Nyquist曲线
Im
 
 1, j 0 

“穿越”是指在频率为正的频率范围内，幅值大于1的曲线部分穿越负实轴情况，
即点（-1，j0）左侧
若曲线由下到上穿越负实轴称为“正”，
0
则曲线由上到下穿越负实轴称为“负”，
Re
穿过负实轴一次，则穿越次数为1。
若曲线始于或终止负实轴，则穿越次数为1/2。
当  从 0   变化时，若 [G K ( j )] 平面上的开环频率特性 G K ( j ) 曲线在
负实轴上的正穿越和负穿越的次数之差等于 P / 2 时，则闭环系统稳定，否则
闭环系统不稳定。
Nyquist图和Bode图的对应关系
Nyquist图上的单位圆对应于Bode图上的0分贝线，即对应幅频特性图的横轴。
剪切频率，幅值交界频率，幅值穿越频率 c
Nyquist图上的负实轴相当于Bode图上的 -180°线，即对数相频特性图的横轴。
相位交界频率，相位穿越频率g
在Bode图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，
沿ω增加的方向，对数相频特性曲线自下而上穿过-180°线为正穿越；
沿ω增加方向，对数相频特性曲线自上而下穿过-180°线为负穿越。
20lg GH
L()/dB

 0
c

L( ) / dB
c
0 dB
GH
180
g

c
K g  0  / rad/ s
 / rad/ s
 ( )
 ( )
0
Kg  0
0dB
0
g
00
g
 / rad/ s
 / rad/ s
Bode稳定判据
-1800
-1800
 0
闭环系统稳定
  0
闭环系统不稳定
闭环系统稳定的充要条件是:
在Bode图上，当  由0变到+∞时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，
开环对数相频特性对-180°线正穿越与负穿越次数之差为P/2时，闭环系统稳定；否则不稳定。
其中P为开环传递函数G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。
在P=0时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即
若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即 c
c  g ，则闭环系统稳定
 g ，则闭环系统不稳定。
系统的相对稳定性——稳定裕量
相位裕度γ
在ω为剪切频率ωc时，相频特性曲线距-180°线的相位差值γ称为相位裕度
幅值裕度Kg
在ω为相频特性曲线与-180°线交点对应的ωg时，
幅频特性曲线距0dB线的差值Kg称为相位裕度
计算相位裕度γ和幅值裕度Kg
（
k T1s+1）
GK ( s )  
s (T2 s  1)(T3 s  1)
根据Bode图，求穿越0db线的线的ωc和Φ(ωc)，求得相位裕度γ
斜率(lg 2  lg 1 )  A  B
求得c
 (c )   90  tg 1 (T1c )  tg 1 (T2c )  tg 1 (T2c )
计算幅值裕度：
   (c ) （  180） ？
 ( g )    90  tg 1 ( g )  tg 1 (0.1 g )  180
k g  斜率(lg g  lg c )  ？
求得k g
求得穿越－180o的 g
ωc
-斜率
ωg
0
kg
求得
系统的校正
概念
所谓校正(或称补偿)，就是指在系统中增加新的环节,
以改善系统性能的方法，这个新环节称为校正环节。
X i ( s)
分类


Gc (s)
G (s)
X o ( s)
X i (s)

G2 ( s )

Gc (s)
串联校正
串联校正
G1 ( s )
Gc (s)
X o (s)
E ( s)
X i ( s)


反馈校正


G ( s)
X o ( s)
顺馈校正
把校正环节𝑮𝒄 (𝒔) 放在前向通道中，则构成串联校正系统。
串联校正按校正环节的性质分为
（1）增益调整；（2）相位超前校正；（3）相位滞后校正；（4）相位滞后—超前校正。
(1)增益调整
Gc ( s )  K
(2)相位超前校正 Gc ( s ) 
K 
G(s)   K g 
K   ess 
U o (s)
Ts  1
R2

其中 
1
U i ( s)
R1  R2
 Ts  1
高通滤波器
当s很小时，即低频时，Gc (s)   ，相当于比例环节；
当s较小时，即中频时，Gc ( s )   (Ts  1) ，相当于比例微分环节;
当s很大时，即高频时， Gc ( s)  1 ，此环节不起作用。
特点：具有正相位和正斜率
（1）系统幅值穿越频率增加，从而带宽增加，提高系统快速性；
作用：
（2）增大相位裕度，改善相对稳定性。
缺点：抗干扰下降，稳态精度不变。
适用于稳态精度已满足要求但动态性能较差的系统。
(3)相位滞后校正 Gc ( s ) 
X o ( s) Ts  1
R  R2

其中  1
1
X i ( s )  Ts  1
R2
当s很小时，即低频时，Gc ( s )  1 此环节不起作用；
当s较小时，即中频时，Gc ( s ) 
当s很大时，即高频时，Gc ( s ) 
R1
R2
u i(t)
u o (t)
C
低通滤波器
(Ts  1)
相当于比例积分环节加一阶微分环节；
Ts
1

相当于比例环节。
特点：具有负相位和负斜率。
作用：幅值的衰减提高系统的稳定性，有可能增大开环增益，从而提高稳态精度。
缺点：使频带变窄，降低了快速性。
适用于稳态精度要求较高而快速性要求不高的系统。
(4)相位滞后——超前校正
Gc ( s ) 
X o (s)
(T1s  1)(T2 s  1)

X i ( s ) ( T1 s  1)(  T s  1)
2
Gc ( j ) 

(1  jT1 )
T1  RC
(取T2  T1)
1 1, T2  R2C2
T1 /   T2  RC
(取  1)
1 1  R2C2  RC
1 2
(1  jT2 )
T
(1  j 1  ) (1  jT2 )


超前校正 滞后校正
带阻滤波器
特点： 首先进行相位滞后校正，然后进行超前校正，
且高频段和低频段幅值均无衰减，中频段存在增益衰减，其大小为  20 lg  。
校正环节的超前部分可改善系统的瞬态性能，其滞后部分可提高系统的稳态精度。