第二章 控制系统的传递函数
(Mathematical Model)
微分方程(时域)
传递函数(复域)
频率特性(频域)
传递函数方框图
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立
系统的数学模型。
系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及
内部各变量之间关系的数学表达式。
微分方程是这种描述的最基本形式。
传递函数、方框图等其它模型均由它而导出。
常见函数的Laplace变换
F (s)  

0
f (t ) e  s t dt
单位阶跃函数
0 t  0
u (t )  
1 t  0
L[u (t )]  1s
单位脉冲函数
0 t  0, t  
 (t )   1
 0  t  
L[ (t )]  1
指数函数
f (t )  e
 kt
三角函数
t的幂函数
斜坡函数
0 t  0
f (t )  
t t  0
1
L[e ] 
sk
 kt
2.1 传递函数
2.1 传递函数 (Transfer Function)
2.1.1 传递函数定义
在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零时，线性
定常系统、环节或元件的输出 xo (t ) 的Laplace变换
X o (s ) 与
输入 xi (t ) 的Laplace变换 X i (s) 之比，称为该系统、环节或
元件的传递函数 G (s ) 。
X o (s)
G (s) 
X i (s)
L[ xo (t )] X o ( s )
G (s) 

L[ xi (t )] X i ( s )
bm s m  bm 1s m 1  .......  b1s  b0

an s n  an 1s n 1  .......  a1s  a0
X i (s)
G (s)
X o (s)
 输入、输出和传递函数之间的关系为
X o ( s)  G( s) X i ( s)
一般外界输入作用前的输出初始条件
xo (0 )
xo(1) (0 )
…
xo( n 1) (0  )
称为系统的初始状态或初态，在计算时作为输入考虑。
传递函数特点：
 (1)传递函数分母(左端阶数及各项系数)只取决于系统本身与
外界无关的固有特性；传递函数的分子(右端阶数及各项系数)
只取决于系统与外界之间的关系。
 (2)若输入已经给定，则系统的输出完全取决于其传递函数。
xo (t )  L1[ X o ( s)]  L1[G ( s) X i ( s)]
 (3)传递函数分母中𝒔 的阶数𝒏 必不小于分子中𝒔 的阶数𝒎 ，
即𝒏 ≥ 𝒎，因为实际系统或元件总有惯性。
 (4)传递函数可以是有量纲，也可以是无量纲的。
 (5)物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的
传递函数。
2.1.2 传递函数形式
1．传递函数的零点、极点形式
系统的传递函数G(s)是以复变函数s作为自变量的函数。
经因式分解后可以写成
K ( s  z1 )( s  z 2 )......( s  z m )
G ( s) 
( s  p1 )( s  p2 ).........( s  pn )
𝑲为常数
当𝒔 = 𝒛𝒋 时，均能使𝑮 𝒔 = 𝟎 ， 𝒛𝒋 称为G(s)的零点。
当𝒔 = 𝒑𝒊 时，均能使𝑮 𝒔 的分母为0 ，𝒑𝒊 称为G(s)极点。
传递函数的极点就是微分方程的特征根。
根据微分方程的解可知，系统的瞬态响应，由以下形式的
pt
t
t
分量构成
e , e sin t，e cos t
式中： 𝒑和𝝈 + 𝒋𝝎 是系统传递函数极点，也是微分方程特征根。
假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，即𝒑 < 𝟎 ，
𝝈 < 𝟎 ，当 𝒕 → ∞ 时，上述分量趋向于零，瞬态响应是收敛的。
因此说系统是稳定的。
系统是否稳定由极点性质决定。
当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态
性能，即零点对系统的稳定性没有影响，但它对瞬态响应曲线
的形状有影响。
2. 传递函数的标准形式及放大系数
经变换将常数项化为1后可得系统的传递函数标准形式为
m
b0 (bm s  bm 1s
 ...  b1s  1)
G(s) 
K
(n)
( n 1)
a0 (an s  an 1s
 ...  a1s  1)
(m)
( m 1)
 (
j
j 1
n
 (T s  1)
i
i 1
𝑲 —系统的放大增益，或称放大系数。
b0
K
a0
10
（2 s  1）
G (s) 
s (10 s  1)( s  1)
s  1)
K  10
放大系数计算方法
方法1
当s=0时
G (0)  G ( s ) s 0
m 1
bm s  bm 1s  .......  b1s  b0

an s n  an 1s n 1  .......  a1s  a0
m
b0
K  G (0) 
a0
s 0
b0

a0
方法2
假如系统输入为单位阶跃信号，系统的稳态输出为
lim x
t 
o
(t )  xo ()  lim sX o ( s)  lim sG ( s ) X i ( s )  lim G ( s )  G (0)
s 0
s 0
s 0
𝑮(𝟎) 决定着系统的稳态输出值， 𝑮(𝟎)就是系统的放大系数，
它是由系统微分方程系数决定的。
系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态
性能和稳态性能。
2.2 传递函数的建立
2.2 传递函数的建立
2.2.1 控制系统概念(Introduction)
线性系统：系统的数学模型能用线性微分方程
描述。
线性定常系统：微分方程的系数为常数。
线性系统满足叠加原理。
建立数学模型的方法：分析法和实验法。
例：
(1)线性定常微分方程： (2)线性时变微分方程: (3)非线性微分方程:
3 y  5 y  2 y  6 x
2
3ty  t 2 y  4 y  5tx x y  3 yy  2 xy  5x
线性定常系统特性
1、叠加特性：若 x (t )  x (t )
i1
o1
, xi 2 (t )  xo 2 (t )
则 [ xi1 (t )  xi1 (t )]  [ xo1 (t )  xo 2 (t )]
2、比例特性： axi (t )  axo (t )
3、微分特性： dxi (t )  dxo (t )
dt
4、积分特性：
t
dt
t
 x (t )dt   x (t )dt
0
i
0
o
5、频率保持性： xi (t )  X i sin t
系统的稳态输出 xo (t )  X o sin( t   )
2.2.2 传递函数建立
1、列写传递函数的一般方法
 列写系统（或元件）的传递函数，目的在于确定系统的
输出量与给定输入量或扰动输入量之间的函数关系。
 确定系统（或元件）的输入量和输出量；
 从系统输入端开始，列写各个环节的动态微分方程；
 将微分方程进行拉氏变换；
 消除中间变量，整理得出输入输出之间关系的传递函数。
例1 R—L—C电路
根据电路基本原理
di
 u o  ui
 Ri  L dt

duo

i

c

dt

RI ( s)  LsI ( s)  U o ( s)  U i ( s)

I ( s)  csU o ( s)

U o ( s)
1

U i ( s ) Lcs 2  Rcs  1
L
R
ui (t )
i (t )
C
uo (t )
d 2 uo
duo
Lc 2  Rc
 u o  ui
dt
dt
微分方程
传递函数
例2 质量－弹簧－阻尼系统
由牛顿第二定律：
 F  ma
dy
d2y
f  ky  c  m 2
dt
dt
k
2
d y dy
 m 2  c  ky  f
dt
dt
f (t)
M
由拉普拉斯变换：
ms 2Y ( s)  csY ( s)  kY ( s)  F ( s) c
输出比输入，得传递函数：
Y ( s)
1
 2
F ( s ) ms  cs  k
y (t )
R2
R1
例3 R—C电路
根据克希荷夫定律
u1

1
(i1  i2 )dt  u1
i1 R1 

C1


1
1
i
R

i
dt

(i1  i2 )dt
2 2
2


C2
C1

1
  i2 dt  u 2
拉普拉斯变换
C
 2
i1
I1 ( s ) R1 
c1
i2
c2
1
( I1 ( s )  I 2 ( s ))  U1 ( s )
C1s
1
1
I 2 ( s ) R2 
I 2 (s) 
( I1 ( s )  I 2 ( s ))
C2 s
C1s
1
I 2 ( s)  U 2 ( s)
C2 s
d 2u2
du2
R1C1 R2C2
 ( R1C1  R2C2  R1C2 )
 u2  u1
2
dt
dt
传递函数为
u2
U 2 ( s)
1

U1 ( s ) R1C1R2C2 s 2  ( R1C1  R2C2  R1C2 ) s  1
R2
R1
若孤立地分别写出两个环节的微分方程，
则：
1

i1 R1  C  i1 dt  u1

1

 1 i dt  u 
1
2


C
 1
u1
i1
c1
i2
c2
1


i
R

i
dt

u
2
2 2 C  2

2

 1 i dt  u
2
2


C
 2
U 2 (s)
1

U1 ( s) ( R1C1 R2C2 s 2  ( R1C1  R2C2 ) s  1)
U 2 ( s)
1

U1 ( s) R1C1 R2C2 s 2  ( R1C1  R2C2  R1C2 ) s  1
这就是负载效应的结果。
负载效应就是物理环节之间的信息反馈作用。
不考虑负
载影响
考虑负载
影响
u2
例4 电枢控制式直流电机
R
L
ia
ua
ML
ML
ua
电动机
根据克希荷夫定律
dia
L
 i a R  ed  u a
dt
电机特性
ed  k d 
根据负载及电机特性
J
d
 M  ML
dt

电机特性
M  k m ia
由拉普拉斯变换：
( Ls  R) I a ( s)  Ed ( s )  U a ( s )
Ed ( s )  k d ( s ) ( s)
Js ( s )  M ( s)  M L ( s )
M ( s)  km I a ( s)
LJ 2 RJ
1
L
R
(
s 
s  1) ( s)  ua ( s )  (
s
) M L ( s)
kd km
kd km
kd
kd km
kd km
1
L
R
ua ( s)  (
s
) M L ( s)
kd
kd km
kd km
 ( s) 
LJ 2 RJ
(
s 
s  1)
kd km
kd km
2.2.3 非线性微分方程的线性化
y
一元函数线性化
y0
y  f ( x)
df
1 d2 f
2
 f ( x0 ) 
|x  x0 ( x  x0 ) 
|
(
x

x
)
 ...
0
2 x  x0
dx
2! dx
y  f ( x)  f ( x0 ) 
y  Kx
y  Kx
x
0
df
df
|x  x0 ( x  x0 ) 
| x  x0 x
dx
dx
df
，K 
| x  x0
dx
A
x0
x
二元函数线性化
y  f ( x1 , x2 )
f
f
 f ( x10 , x20 ) 
| x1  x10 ( x  x10 ) 
| x1  x10 ( x  x20 )  .........
x1 x2  x20
x2 x2  x20
y  f ( x1 , x2 )  f ( x10 , x20 )
f
f

| x1  x10 x1 
| x1  x10
x1 x2  x20
x2 x2  x20
y  K1x1  K 2 x2
f
f
K1 
| x1  x1 0 ; K 2 
| x1  x1 0
x1 x2  x2 0
x2 x2  x2 0
y  K1 x1  K 2 x2
2.3 典型环节的传递函数
2.3 典型环节的传递函数
2.3.1 比例环节
特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化。
微分方程：
xo t   Kxi t 
其传递函数:
X o s 
G s  
K
X i s 
方框图：
X i (s)
K
X o (s)
电网络系统比例环节：
i1 (t )  i2 (t )
ui (t )
uo (t )

R1
R2
R2
i2
ui (t) R1
i1
U o ( s)
R2
G(s) 

K
U i (s)
R1
R1
u 0 (t )  u i (t )
R
R1
G (s) 
K
R
uo (t )
R3

ui (t )

R

R1 uo (t )

机械系统比例环节：
x1 z1  x2 z 2
xi
X 2 ( s) z1
G( s) 
 K
X 1 (s) z2
n1 z1  n2 z 2
N 2 ( s ) z1
G(s) 

K
N1 ( s ) z 2
Z1
Z2
Z1
n1
xo
n2
Z2
m( xo  x)  cx o  kxo  0
mxo  cx o  kxo   mx   mxi
被测物体的加速度作为输入，
( ms 2  cs  k ) X o ( s )   mX i ( s )
质量块相对壳体位移作为输出。
X o (s)
m
G (s) 

X i ( s ) ms 2  cs  k
1
1

 2
c
k
s  2n s   n2
2
s  s
m
m
k
c
n 

m
2 mk
1
s 2  2 n s
1
G ( s) 
 2
1
n
1  n2 2
s  2 n s

n2
xi  x
x
绝对位移
m
xo c
1
 1
2
s  2 n s
k
壳体
被测物体
2.3.2 惯性环节
特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律
微分方程：
dxo (t )
T
 xo (t )  Kxi (t )
dt
其传递函数:
1
G( s) 
T为惯性环节的时间常数
Ts  1
方框图：
X i (s)
K
X o (s)
Ts 1
电网络系统惯性环节：
1

Ri  c  idt  ui (t )

1
 uo   idt
c

1
G( s) 
Ts  1

ui (t )

R
i
C
T=RC为惯性环节
的时间常数
uo (t )
机械系统惯性环节:
根据牛顿定律
dxo (t )
C
 kxo (t )  kxi (t )
dt
(Cs  k ) xo (s)  kxi (s)
X o ( s)
1
G( s) 

X i ( s) Ts  1
T=c/k为惯性环节的时间常数
k
c
xi (t )
xo (t)
2.3.3 微分环节
特点：微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比
微分方程：
dxi (t )
xo (t )  T
dt
其传递函数:
G ( s)  Ts
方框图：
X i (s)
Ts
Xo (s)
T为微分环节的时间常数
电网络系统微分环节：
i  i1

uo
 dui
C dt   R
1

i1
i
R1
c
uo (t )
ui (t)
dui
uo   R1C
dt
X o (s)
G ( s) 
  R1Cs  Ts
X i ( s)
R2
1
u   idt
c
T  R1C
微分环节对系统的控制作用：
（1）使输出提前
 对比例环节施加斜坡输入，当比例系数为1时，其输
出为45度斜线。
X i (s)
Kp
X o (s)
xo (t)
当
xi (t )  r (t )  t
输出为
，K p  1 时
xo1 (t )  K p r (t )  t
0
t
X i (s)
Xo1(s)


Kp
KpTs
X o (s)
X i (s)
Kp (Ts1)
X o (s)
Xo2(s)
若并联一微分环节时，其传递函数为
 K p  1 时增加的微分环节输出为
1
xo 2  L [G2 ( s ) R ( s )]
X o (s)
G(s) 
 K p (Ts  1)
X i ( s)
新输出
xo (t )
xo (t )
原输出
1
 L [TsR ( s )]
A
 TL1[ sR ( s )]
 Tr(t )  Tu (t )
xo (t )  xo1 (t )  xo 2 (t )  t  T
B
T
0
x o1 ( t )
x o 2 (t )
t1
t2
t
（2） 增加系统阻尼
X i (s)
K
s (Ts  1)
Kp
 
X o (s)
（a）没有微分环节作用
X i (s)
K
s (Ts  1)
K p (Td s  1)
 
X o (s)
（b）增加微分环节作用
KpK
G1 ( s ) 
s (Ts  1)
 2
KpK
Ts  s  K p K
1
s (Ts  1)
KpK
K p K (Td s  1)
未加微
分环节
K p K (Td s  1)
s (Ts  1)
G2 ( s ) 
 2
K K (Td s  1) Ts  (1  K p KTd ) s  K p K
1 p
s (Ts  1)
加微分
环节
（3）强化噪声
因为它对输入能预测，所以对噪声（即干扰）也能预测，对噪声灵
敏度提高，增大了因干扰引起的误差。
2.3.4 积分环节
特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，在系
统中凡有储存或积累特点的元件，都有积分环节的特性。
微分方程：
其传递函数:
方框图：
1
xo (t )   xi (t )dt
T
1
G (s) 
Ts
X i (s)
1
Ts
T为积分环节的时间常数
X o (s)
积分环节的作用:
1
K
x
(
t
)

K
当 i
(恒值)时, xo (t ) 
 K dt  t
T
xi (t) xo (t)
K
0
总结：（1）滞后作用
（2）记忆功能
T
xo (t)
xi (t)
t
电网络系统的积分环节
ui (t )
duo (t )
 C
R
dt
U o ( s) k
G(s) 

U i (s) s
k  1 / R1C
时间常数为 T  1   R C
1
k
C
i
i 1 R1
ui (t )
R2



uo (t )
机械系统的积分环节
以流量 q(t )  Q1 (t )  Q2 (t ) 为输入，液面高度变化 h(t ) 为输出。
  q (t )dt  Ah(t )
质量守恒
Q ( s )  AsH ( s )
H (s) 1
G (s) 

Q ( s ) As
1
时间常数为 T 
A
进水阀
Q1 (t )
H  h(t )
出水阀
Q2 (t)
2.3.5 振荡环节
特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却呈周期振荡形式。
微分方程：
传递函数:
d 2 xo (t )
dxo (t )
2
2

2



x
(
t
)


n
n o
n xi (t )
2
dt
dt
 n2
G ( s)  2
s  2n s   n2
1
G( s)  2 2
T s  2Ts  1
（首1型）
（尾1型）
ωn为无阻尼固有频率；T为振荡环节的时间常数，T=1/ωn ；ξ为阻尼比。
方框图：
X i (s)
n2
s 2  2n s  n2
X o (s)
 特征方程的根
 2T  4 2T 2  4T 2
s1.2 
2T 2
0    1 一对共轭复根（实部为负） 衰减振荡
  0 一对共轭虚根
 1
两个相等负实根
等幅振荡
单调下降
  1 两个不相等的负实根(可分解为两个惯性环节)
单调下降
 说明：系统动态响应的性质取决于其特征根的性质
电网络系统的振荡环节
diL

ui  L dt  uo

1

uo  Ri R   ic dt
C

iL  ic  iR


L

U i ( s )  s I L ( s )  U o ( s )

1

U
(
s
)

RI
(
s
)

I c ( s)
 o
R
Cs

I L ( s)  I c ( s)  I R ( s)


L
ui (t)
R
iL
iR
C
ic
 2n
G ( s)  2
s  2n   2 n
n 
1
1 L
, 
LC
2R C
uo(t)
机械系统的振荡环节
M

c
J
k
J  c  k  M
( s )
1
K
G ( s) 
 2
 2
M ( s ) Js  cs  k s  2n  n2
c
1
n  k / J ,  
,K 
J
2 Jk
2.3.5 延迟环节
特点：延迟环节的输出信号比输入信号迟后一定的时间。
延迟环节的输出是一个延迟时间后，完全复现输入信号。
微分方程：
x0 (t )  xi (t   )
L[ xi (t   )] X i ( s)e s
其传递函数: G ( s) 

 e s
L[ xi (t )]
X i ( s)
方框图：
X i (s)
e
 s
X o (s)
齿轮传动
工作台
当输入为阶跃信号时，
理想延时输出是什么？
丝杆螺母副
x (t )
xi (t )
xo (t )
xi
齿轮传动实际系统（惯性环节+延时）
输出为
0 
Z1
x (t )
xi (t )
xo1(t)
xo2 (t)
t
0 
t
机械系统的延迟环节——轧钢时的带钢厚度检测
h2  h1 (t   )
h  h1
  L/v
X o ( s)
s
G( s) 
e
X i ( s)
A
v
h  h2
B
L
几点强调说明：
传递函数框图中的环节是根据微分方程划分的，一个环节并不一定代表一
个物理的元件，一个物理的元件也不一定就是一个传递函数环节。
不要混淆物理框图和传递函数框图。（是否有负载效应）
同一个物理元件在不同系统中的作用不同时，其传递函数也可不一样。
（输入、输出选择的参数不一样）
2.4 传递函数方框图及简化
2.4 传递函数方框图及简化
2.4.1 传递函数方框图(Block Diagram)
1. 方框图的结构要素
（1）信号线（a）：带箭头的线段，箭头表示信号的流向
（2）分支点 （c）：信号向不同方向传递
（3）综合点（b） ：信号之间求和运算的图解表示
（4）函数方框（d） ：传递函数的图解表示
X (s)
X (s)
X (s)
X (s)
X 1 (s)  X 2 (s)
X 1 (s)
X i (s)
G (s)

X 2 (s)
(a)
(b)
(c )
(d )
X o (s)
2. 传递函数方框图的建立
 建立系统的原始微分方程；
 对原始微分方程进行Laplace变换，并绘出相应的方
框图；
 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将方框图
连结起来。
例1 阀控液压缸
P (s )
( ms  cs )Y ( s )  AP( s )
2
Q ( s )  AsY ( s )
Y (s )
Q( s)  K q X ( s)  K c P( s)
X (s )
Kq
A
2
ms  cs
As

Q (s )

Q (s )
X (s )
Kq


Q (s )
1/ Kc
P (s )
As
A
2
ms  cs
Y (s )
Y (s )
1/ Kc
P (s )
例2 直流电机
L
ed  k d 
dia
 i a R  ed  u a
dt
d
J
 M  M L M  k m ia
dt
( Ls  R) I a ( s )  E d ( s )  U a ( s )
U a (s)


Ed ( s )
( s )
I (s)
1
Ls  R
(a)
M (s)


M L ( s)
E d ( s )  k d ( s )( s )
Js( s )  M ( s )  M L ( s )
kd
(b)
1
Js
( s )
I (s)
km
(d )
(c )
M (s)  k m I a (s)
U a (s)


I (s)
1
Ls  R
Ed ( s )
M ( s)
km
kd
Ed ( s )

M L (s)

1
Js
( s )
M (s)
建立系统方框图
i1
R1
ei
Ei ＋
－
E
e
1 I1
R1
I
i2
i
C1
－
I1 ＋
1 E
C1 s
R2
I2
I
I2
eo
C2
1
R2
E＋
－
Eo
I2
1 Eo
C2s
I2
Ei +
－
1 I1
R1
I
1 E+
C1 s
－
1
R2
1
C2s
E0
2.4.2 传递函数方框图的等效变换
1.串联环节的等效变换规则
串联时等效传递函数等于各串联环节传递函数之积。
X i (s)
X i (s)
G1 ( s )
X 1 (s)
X 1((a
s ))
G1 ( s )
G2 ( s )
G2 ( s )
X o (s)
X 2 (s)
X i (s)
G1 ( s )G2 ( s )
X o ( s ) X i ( s()b)
Gn ( s )
G1 ( s )G2 ( s )
(b)
(a)
s)
G2 ( s )
X 2 (s)
(a)
Gn ( s )
X o (s)
X o (s) X i ( s)
G1 ( s )G2 ( s )
(b)
Gn ( s )
X o (s)
Gn ( s )
2.并联环节的等效变换原则
并联时等效传递函数等于各串联环节传递函数之和。
G1 ( s )
X i (s)
X o (s)
X i (s)

G1 ( s )  G2 ( s )
X o (s)
G2 ( s )
G1 (sa))
(b)
X i (s)
G2 ( s )
X o (s)


R( s)
G1 ( s)  G2 ( s)
Gn ( s )
(a)
(b)
Gn ( s)
X o (s)
3.反馈连接及其等效原则
X i (s)
E (s)
B(s)
G (s)
X o (s)
X i (s)
G (s)
1  G ( s) H ( s)
H (s)
(a)
(b)
X o (s)  G(s) E (s)  G(s)[ X i (s)  B(s)]
X o ( s)  G( s)[ X i ( s)  H ( s) X o ( s)]
X o (s)
G (s)
GB ( s ) 

X i ( s) 1  G (s) H (s)
X o (s)
X i (s)
前向通道传递函数：
输出 X o (s) 与偏差 E (s )之比
B( s)
X o (s)
G( s) 
E (s)
反馈回路传递函数：
反馈信号 B(s)与输出 X o (s) 之比
开环传递函数：
前向通道传递函数
G (s)
X o (s)
H (s)
B( s)
H ( s) 
X o ( s)
G (s ) 与反馈回路传递函数 H (s)
B( s )
GK ( s) 
 G( s) H ( s)
E ( s)
闭环传递函数：
输出 X o (s) 与输入 X i (s) 之比
E (s)
X o ( s)
GB ( s) 
X i ( s)
X i (s)
乘积
E (s)
B( s)
G (s)
H (s)
X o (s)
X i (s)
E (s)
B( s)
G (s)
X o (s)
X i (s)
G (s)
1  G ( s) H (
H (s)
(a)
E ( s)  X i ( s)  B( s)  X i ( s)  X o ( s) H ( s)
X o ( s )  G ( s) E ( s )  G ( s )[ X i ( s)  X o ( s ) H ( s)]
 G ( s) X i ( s)  G ( s) X o ( s) H ( s)
X o ( s)
G( s)
GB (s) 

X i ( s) 1  G ( s) H ( s)
(b)
4.分支点移动原则
分支点前移
X i (s)
Xo1(s)
G(s)
X i (s)
G(s)
Xo1(s)
Xo2 (s)
G(s)
(a)
Xo2 (s)
(b)
分支点后移
X i (s)
G (s)
Xo1(s)
X i (s)
Xo1(s)
G (s)
1 Xo2 (s)
G (s)
Xo2 (s)
(a)
(b)
5.综合点移动原则
综合点前移
X 1 (s)
X 3 (s)
G (s)

X 2 (s)
X 1 (s)
G (s)

1/ G ( s)
(a)
X 3 (s)
X 2 (s)
(b)
综合点后移
X 1 (s)

X 2 (s)
(a)
G (s)
X 3 (s)
X 1 (s)
X 2 (s)
X 3 (s)
G (s)

G (s)
(b)
6 .分支点、综合点之间移动原则
X(s)
X 1 ( s)
X 3 ( s)
X 2 (s)
X 1 ( s)
X 2 (s)
(a )
X 3 (s)
X 1 (s)

X 2 (s)
(a)
 X 4 (s)
X 3 ( s)
X(s)
(b )
X 2 (s)
X 1 (s)

X 3 (s)
(b)
 X 4 (s)
X 1 (s)
X 3 (s)

X 4 (s)

X 2 (s)
(c )
例
H 2 (s)

X i (s)


G1 ( s )
G3 ( s )
G2 ( s )
X o (s)
H1 ( s )
H 2 (s)

X i (s)


G1 ( s )
G2 ( s )
1
G3 ( s )
H1 ( s )
(a)
G3 ( s )
X o (s)
1
G1 ( s )
H 2 (s)

X i (s)


G2 ( s )
G1 ( s )
G3 ( s )
X o (s)
1
G3 ( s )
H1 ( s )
(b)
X i (s)

G1 ( s )
1
G2 ( s )
H1 ( s ) H 2 ( s )

G3 ( s ) G1 ( s )
(c )
G3 ( s )
X o (s)
X i (s)
G1G2G3
1  G1G2 H1  G2G3 H 2  G1G2 H 3
X o (s)
X o (s)
G1 ((sd))G2 ( s )G3 ( s )

X i ( s) 1  G1 ( s)G2 ( s ) H1 ( s )  G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )  G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )
含有多个局部反馈回路的闭环传递函数也可用下列公式求取
X o ( s)
前向通道的传递函数之积
GB ( s) 

X i ( s) 1  [每一反馈回路的开环传递函数]
方括号内每一项的符号是这样确定的：
在相加点处，对反馈信号为相加时取负号，对反馈信号为相减时取正号
X o ( s)
G1G2 G3
GB ( s) 

X i ( s) 1  G1G2 H 1  G2 G3 H 2  G1G2 G3
特别注意
整个方框图只有一条前向通道
各局部反馈回路存在公共的传递函数方框
Xi (s)


G1 (s)

H1

G2 (s)
H2
Xo (s)
Xi (s)




G1 (s)
H1
H2
（a）
（b）
G2 (s)
Xo (s)
例 求传递函数
R1
－
Ei + +
－
1
R1
C2s
1 E+
C1 s
－
1
R2
1
C2s
Eo
R1C2S
Ei +
+
-
1
R1C1S
+
-
1
R2C 2 S
Eo
R1C2S
Ei +
1
R2C 2 S
1
1
R2C 2 S
1
R1C1 S
1
1
R1C1 S
-
Eo
R1C2S
Ei
Ei
+-
1
( R1C1S  1 )( R2C 2 S  1 )
1
R1 R2C1C 2 S 2  ( R1C1  R2C 2  R1C 2 )S  1
Eo
Eo
2.4.3 系统信号流图及梅逊公式
 当系统方框图比较复杂时，可以将之转化为信号流图，
并据此采用梅逊公式求出系统的传递函数。
e
X0
X1
a
X2
b X3
c
d
X4
 节点：表示变量或信号的点。
 支路：连接两个节点的定向线段。
 输入支路：指向节点的支路。
 输出支路：离开节点的支路。
X5
G6
X 0 G1 X1
G2 X 2
G7
G3 X 3 G4
X 4 G5 X 5 G
8
X6
 H1
 H2
 源节点：只有输出支路的节点。
 汇节点：只有输入支路的节点。
 混合节点：即有输入又有输出支路的节点。
 通道：沿着支路箭头方向通过各个相连支路的途径。
 前向通道：从源节点到汇节点的通道中，通过任何节点不
多于一次的通道。
 回路：如果通道的起点和终点为同一节点，且通道中每个
节点仅通过一次，则称此通道为回路。
 从输入到输出系统传递函数可由梅逊公式求得，其公式为
1 n
G ( s )   Pk  k
 k 1
 — —特征式
  1   La   Lb Lc   Ld Le L f
 L — —所有不同回路传递函数乘积之和
 L L — —每两个互不接触回路传递函数乘积之和
 L L L — —每三个互不接触回路传递函数乘积之和
a
b
c
d
e
f
Pk — —第k条前向通道的传递函数
 k — —第k条前向通道特征式的余子式。
表示在中，除去与第k条前向通道相接触的回路后的特征式。
方框图转流程图
X i (s)
1


G1
G2
2
4
3
G3
5

G4
1
X i (s)
G1 2 G2
1
4 G3
3
1
X o (s)
G4
5
1
6
X o (s)
6
例1
R1
ui (t )
R2
i1 (t )
C1
Ui (s) 
i2 (t ) C
2
1 1 1 1
P1 
R1 C1s R2 C2 s
1
L1  
R1C1s
1
L2  
R2C2 s
L3  
1
R2C1s
uo (t )

U i ( s)
1
R1
1
R1

1
C1s
1

1
C1s
1

1
R2

1
R2
1
C2 s
1
C2 s
Uo (s)
U o (s)
1
  1  ( L1  L2  L3 )  ( L1L2 )
1
1
1
1
1
 1



R1C1s R2C2 s R2C1s R1C1s R2C2 s
1  1
1
P11
R1R2C1C2 s 2
G( s) 

1
1
1
1
1

1



R1C1s R2C2 s R2C1s R1C1s R2C2 s
1

R1R2C1C2 s 2  ( R1C1  R2C2  R2C1 ) s  1
例2
P1  G1G2G3
H2

Xi (s)




G1 (s)
G2 (s)

G3 (s)
Xo (s)
H1
L1  G1G2 H1
L2  G2G3 H 2
L3  G1G2G3
H2
Xi (s)
1
1
G1
G2
H1
1
G3
1
Xo (s)
  1  ( L1  L2  L3 )
 1  G1G2 H  G2G3H 2  G1G2G3
1  1
P11
G1G2G3
G( s) 


1  G1G2 H1  G2G3 H 2  G1G2G3
2.5 典型反馈控制系统传递函数
2.5 典型反馈控制系统传递函数
 控制系统在工作过程中，会受到两类输入作用，一类是
有用输入，或称给定输入、参考输入以及理想输入等；另
一类则是干扰输入。
 给定输入、参考输入 xi (t ) 通常加在控制装置的输入端，
而干扰输入 n(t ) 一般作用在被控对象上。
 为了尽可能消除干扰对系统输出的影响，一般采用反馈控
制的方式，将系统设计成闭环系统。
典型闭环控制系统方框图
X i (s)
E (s)

B( s)

G1 ( s )
G2 ( s )
H (s)
X i ( s) 为系统的输入信号
X o ( s ) 为系统的输出信号
N ( s ) 为系统的干扰输入信号
E (s)
N (s)
为系统的偏差信号
B( s ) 为系统的反馈输出信号
X o (s)
对给定输入的开环传递函数
B( s)
GK ( s ) 
 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
E ( s)
对给定输入的闭环传递函数
X o1 ( s )
G1 ( s )G2 ( s )
GB ( s ) 

X i ( s ) 1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
对给定输入的偏差传递函数
E (s)
1
GE ( s ) 

X i ( s) 1  G1 ( s )G2 ( s) H ( s )
对干扰输入的闭环传递函数
X o 2 (s)
G2 ( s )
GB ( s ) 

N ( s ) 1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Xi(S)作用下系统的传递函数
X o1 ( s )
G1 ( s)G2 ( s )

GX i 
X i ( s ) 1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
此时认为N ( s )  0
N(S)作用下系统的传递函数
X o 2 ( s)
G2 ( s)
GN 

N ( s) 1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
此时认为X i ( s)  0
总输出为
X o ( s )  X o1 ( s )  X o 2 ( s )
G1 ( s )G2 ( s )
G2 ( s )

X i (s) 
N (s)
1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
G2 ( s )
X o ( s) 
[G1 ( s ) X i ( s )  N ( s )]
1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
若设计确保 G1 ( s) H ( s )  1，且 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)  1，
干扰引起的输出为
G2 ( s )
G2 ( s )
X o 2 (s) 
N (s) 
N (s)
1  G1 ( s )G2 ( s) H ( s )
G1 ( s)G2 ( s ) H ( s)

1
N ( s)  N ( s)
G1 ( s) H ( s)
δ为极小值。可见闭环系统的优点之一是能使干扰引起
的输出极小，也就是使干扰引起的误差极小。
此时通过反馈回路组成的闭环系统能使输出只跟随输入
而变化，不管外来的干扰怎样，只要输入不变，输出总保
持不变或变化很小。
如果系统没有反馈回路，则系统成为一开环系统，此时
干扰引起的输出无法被消除，全部形成误差。
2.6 相似原理
2.6 相似原理
 对系统的传递函数的研究中可知，对不同的物理系统（环
节）可用形式相同的微分方程与传递函数来描述，即可以
用相同的数学模型来描述。
 一般称能用形式相同的数学模型描述的物理系统（环节）
为相似系统（环节），称在微分方程或传递函数中有相同
位置的物理量为相似量。
 由于相似系统（环节）的数学模型在形式上相同，因此，
可以用相同的数学方法对相似系统加以研究；可以通过一
种物理系统去研究另一种相似的物理系统。
f (t)
M
c
L
R
k
ui (t )
i (t )
uo (t )
C
y (t )
Y ( s)
1
G( s) 

F ( s) ms 2  cs  k
G( s) 
Q( s )

U ( s)
1
1
Ls  Rs 
C
2
n2
G( s)  2
s  2n s  n2
机械系统
电网络系统
力f (力矩T)
电压u
质量m（转动惯量J） 电感L
粘性阻尼系数 c
电阻R
弹簧刚度k
电容的倒数1/C
位移y（角位移θ）
电量 q
速度v（角速度ω）
电流i
电系统
机械系统
G( s) 
1
G( s) 
Rcs  1
Rcs
G( s) 
Rcs  1
1
c
s 1
k
c
s
G( s)  k
c
s 1
k
电系统
机械系统
( R2 c2 s  1)( R1c1s  1)
R1c2 s  ( R2 c2 s  1)( R1c1s  1)
c1
c
s  1)( 2 s  1)
k1
k2
G(s) 
c1
c
c
s  ( 1 s  1)( 2 s  1)
k2
k1
k2
( R2 c2 s  1)
c2 / c1 ( R1c1s  1)  ( R2 c2 s  1)
c1
s  1)
k1
G(s) 
c
c
k
( 1 s  1)  ( 2 s  1) 2
k1
k2
k1
(
G( s) 
(
G(s) 
2.7 实例：数控直线运动工作台位置控制系统
光栅传感器
放大器
xi
指令
电位器
+
比较器
比较
环节
u
-
uo
放大器
伺服电机
减速器
光栅传感器
滚珠丝杆
工作台
xo
xi
指令
电位器
+
比较
环节
u
放大器
-
uo
X i (s)
Ka

Kb
U a (s)

伺服电机
减速器
滚珠丝杆
工作台
xo
光栅传感器

I (s)
1
Ls  R
Ed ( s )
M ( s)
km
M L (s)


1
Js
( s )
1
s
 (s)
X 0 (s)
K1
电机
kd
Kf
P
K1 
2i
螺距
减速比
1
1
1

1
P 2
J 2  J 1 2  J 2( )2  m(
)
2
2
2
i
2
2i
J  J1 
电机转
动惯量
J2
P 2

(

)m
2
2

i
i
减速器转
动惯量
工作台
质量
X i (s)
Ka

Kb
U a (s)


I (s)
1
Ls  R
Ed ( s )
M ( s)
km

M L (s)

1
Js
( s )
1
s
 (s)
kd
Kf
当负载转矩M(s)=0，系统在输入作用下的传递函数为
1
K a K bk m K 1 2
Js (Ls  R )
G xi(s ) 
k m kd
1
1
 K bk m K 1K f
Js(Ls  R )
Js 2(Ls  R )
K a K bk m K 1
G xi(s ) 
JLs 3  JRs 2  k m kd s  K bk m K 1K f
X 0 (s)
K1
X i (s)
Ka
km
Ls  R
Kb

M L (s)

U a (s) 
Ed ( s )
( s )
1
Js
km
Ls  R
1
s
 (s)
X 0 (s)
K1
kd
Kf
X i (s)
Ka

Kb
km
Ls  R
M L (s)

Ls  R
2
JLs  JRs  km kd
Kf
( s )
1
s
 (s)
X 0 (s)
K1
X i (s)
Ka

Kb
km
Ls  R
M L (s)

Ls  R
2
JLs  JRs  km kd
( s )
1
s
 (s)
X 0 (s)
K1
Kf
Ls  R
 K1
s(JLs 2  JRs  k m kd )
G M L(s ) 
km
Ls  R
1  K f K bK 1
Ls  R s(JLs 2  JRs  k m kd )
 K 1(Ls  R )
G M L(s ) 
JLs 3  JRs 2  k m kd s  K bk m K 1K f
忽略电机电枢的电感，取Ka=Kf
X i (s)
Ka
Kb

km
R
M L (s)

R
JRs  km kd
( s )
1
s
 (s)
X 0 (s)
K1
Kf
G xi(s ) 
K a K bk m K 1
K a K bk m K 1

JLs 3  JRs 2  k m kd s  K bk m K 1K f
JRs 2  k m kd s  K bk m K 1K f
K a K bk m K 1
n2
n 
JR
G xi(s ) 
 2
k m kd
K bk m K 1K f
s  2n  n2
2
s 
s 
JR
JR
G M L(s ) 
 K 1(Ls  R )
 K 1R

JLs 3  JRs 2  k m kd s  K bk m K 1K f
JRs 2  k m kd s  K bk m K 1K f

G M L(s ) 
s2 
K 1R
JR
k m kd
K k KK
s  b m 1 f
JR
JR
R
n2

k m K b K f s 2  2s  n2
k m K 1K b K f
JR
 
kd
2
km
JRK 1K b K f