FUNCIONES PRIMARIAS DE LA CUARTA VARIABLE Y ALGUNAS APLICACIONES
Sagindykov Bimurat Zhumabekovich
Cand. Phys.-Math. Ciencias, profesor asociado de KazNTU, República de Kazajstán, . Almaty
Correo electrónico: bimurat55@gmail.com
Beisenbekova Arailym
Maestro de KazZhenPU, República de Kazajstán, Almaty
Taukebaeva Gulsim
Maestro de KazZhenPU, República de Kazajstán, Almaty
FUNCIONES PRIMARIAS DE UNA VARIABLE DE CUARTERO Y SUS APLICACIONES
Bimurat Sagindykov
candidato (PhD) de Ciencias Físicas y Matemáticas, KazNTU, República de, Kazajstán, Almaty
Araylim beysenbekova
maestra, Universidad Estatal de Formación de Docentes de Kazajstán, República de, Kazajstán, Almaty
Gulsim taukebaeva
maestra, Universidad Estatal de Formación de Docentes de Kazajstán, República de, Kazajstán, Almaty
Anotación
En este artículo, las fórmulas diferenciales efectivas para calcular funciones elementales de una variable
cuaterniónica se obtienen mediante los métodos de ecuaciones diferenciales. También se obtienen funciones
elementales de la matriz de cuaterniones.
resumen
En este artículo, se obtiene una fórmula efectiva para el cálculo de las funciones elementales de una
variable de cuaternión utilizando los métodos de ecuaciones diferenciales. También las funciones elementales
obtenidas de las matrices cuaternarias.
Palabras clave : álgebra de Quaternion; un análogo de la fórmula de Euler; exponente matricial.
Palabras llave: álgebra de Quaternion; un análogo de la fórmula de Euler; matriz exponencial.
1. Álgebra de Quaternion
[2] Según Hamilton, un cuaternión es un objeto matemático de la forma
, (1)
donde:
son números reales llamados componentes de cuaternión
"1" es el factor de la unidad real,
,
- tres unidades imaginarias cuaternion diferentes. Un producto de cuaternión se denota con el signo
"○" y se determina mediante las siguientes reglas para multiplicar unidades de cuaternión, escritas por Hamilton:
,
Si
,
observa las unidades imaginarias como los vectores unitarios de la
entonces, por analogía con números complejos, el cuaternión
de la parte escalar
y la parte del vector
,
. (2)
base cartesiana,
puede representarse como la suma formal
:
, (3)
y las reglas (2) de la multiplicación de los vectores base se pueden escribir en términos de productos
escalares y vectoriales mediante la siguiente fórmula:
o
,
¿Dónde
están los símbolos de Levi-Civita, y
.
Estas relaciones permiten interpretar la operación de multiplicación de cuaternión
,
por el producto escalar y vectorial
. (4)
De las reglas de multiplicación de unidades de cuaternión se deduce que
conmutatividad
: la multiplicación pierde
,
para que aparezca el concepto de multiplicación derecha e izquierda, pero sigue siendo asociativo
.
Siguiendo el método de obtención de la operación de emparejamiento, presentamos la operación del
emparejamiento de cuaternión
y determinar el módulo de
número
.
2. Un análogo de la fórmula de Euler
Como ejemplo de operación con cuaterniones, damos un análogo de la fórmula de Euler. Para hacer esto,
consideramos una función exponencial de un cuaternión de la forma:
, (5)
donde
es la variable de una variable quaternion.
Debido al hecho de que
restantes, luego
es un número real, conmuta con su unidad base con las unidades imaginarias
. (6)
Suponga que la función exponencial se expande de la siguiente forma:
.
Tomando la derivada de (6) con,
obtenemos la siguiente igualdad:
o
.
De la igualdad de los cuaterniones se desprende que
(7)
Al diferenciar la
primera igualdad con respecto a la variable , obtenemos
, Es decir,
. (8)
Para la ecuación (8) establecemos las condiciones iniciales, es decir en
:
.
Además diferenciador en (7) con respecto a
,
y
la segunda, tercera y cuarta de la igualdad
obtener ecuaciones similares de tipo (8) en condiciones iniciales apropiadas:
Aquí, en
,
,
;
Aquí, en
,
,
;
Aquí, en
,
,
.
Una vez resueltas estas ecuaciones en las condiciones iniciales correspondientes, tenemos:
,
,
,
.
A su vez, el análogo de la fórmula de Euler para cuaterniones se escribe como
. (9)
De ello se deduce que si se utiliza un cuaternión como argumento para una función elemental, se puede
representar como un número complejo condicional con una unidad imaginaria condicional:
,
donde
,
,
.
Aquí el significado del vector de una unidad imaginaria condicional es que es un vector unitario dirigido a
lo largo de un vector
. En este registro, el cuaternión conserva las propiedades de un número
complejo:
.
,
.
Usando estas propiedades podemos encontrar funciones elementales de una variable cuaterniónica. Para
hacer esto:
1) reemplazar el cuaternión con un número complejo condicional
;
2) revelamos la función elemental como una función de una variable compleja
3) después de eso procedemos al reemplazo inverso
,
,
.
Para mayor claridad, escribimos algunas funciones elementales del cuaternión.
;
3. La representación matricial del álgebra cuaternaria
[3] La representación de la operación de multiplicar cuaterniones en forma de matriz es interesante. Dejar
,
.
Luego, el producto de dos cuaterniones dará un tercer cuaternión
cuaternión resultante están determinados por la fórmula (4):
y los componentes del
,
,
,
.
A
continuación,
corresponde
dimensiones
al cuaternión,
, y al cuaternión,
un vector
de
cuatro
un vector de cuatro dimensiones.
.
Entonces el cuaternión
siguiente manera:
se puede asociar con su vector de cuatro dimensiones, que se puede definir de la
.
La matriz
y la matriz
en la expresión (10) son respectivamente iguales
,
Para algunos cuaterniones arbitrarios, las
matrices
.
y
se pueden representar como:
,
donde:
- matriz de identidad
,
.
Algunas propiedades de la matriz
:
,
,
,
Algunas propiedades de las matrices
y
Lema . Para cualquier cuaternión
,
.
:
siguientes igualdades sostienen:
.
Usando matrices
y
puede reemplazar fácilmente ecuaciones en cuaterniones con ecuaciones en
matrices. En particular, para un cuaternión, la
siguiente:
forma matricial de grabación será la
,
donde:
es el vector de cuatro dimensiones correspondiente al cuaternión
.
3. Expositor matricial
Para encontrar el exponente matricial del cuaternión, aplicamos el método de descomposición espectral de
la función de las matrices.
Hay un isomorfismo entre cuaterniones
cuarto orden de una forma especial
y matrices cuadradas de
.
con respecto a las operaciones de cuaternión y matriz.
Encontramos el polinomio característico de la matriz cuaterniónica.
.
A
continuación,
,
un
valor
complejo
los valores propios de la cuaternión
El polinomio mínimo de la matriz cuaterniónica se
.
encuentra por la fórmula
,
donde
es el mayor divisor de factor común de los menores del
característica
orden de la matriz
.
En este caso
,
. Entonces
,
donde
O
.
,
donde
. Aquí
Entonces la fórmula básica para es la
.
siguiente:
,
donde
,
son los componentes de la matriz
,y
,
.
Sustituyendo
secuencialmente
,
obtenemos
,
,
¿Dónde está la matriz de identidad?
De esta manera
. (10)
Consideremos algunas aplicaciones de esta fórmula.
Si
, su valor en el espectro de la matriz
define en el espectro de la matriz
son números
,
. Por lo tanto, esta función se
.
Por lo tanto, la fórmula principal (10) se puede usar para encontrar la matriz inversa
Sustituyendo
los
valores
,
tenemos
.
en
la
fórmula
principal . Aqui
.
La exactitud de la fórmula obtenida se puede verificar por cálculo directo.
Ahora encontramos el exponente de la matriz de cuaterniones. Para hacer esto, consideramos una
función
que también se define en el espectro de la matriz
.
Continuando con este proceso, podemos obtener de la matriz de cuaterniones
todo el espectro de
funciones elementales.
Referencias
1.Efremov A.P. Campo Q, base cuaternión variable. // Física. Noticias de la universidad, 1985. - p. 12, 14-18.
2. Hamilton U.R. Obras seleccionadas: Óptica. La dinámica Cuaterniones M .: Nauka, 1994.
3. Belman R. Introducción a la teoría de las matrices. M .: Nauka, 1969 .-- 368 p.
4.Bayrak L.G. La forma integral de Cauchy para cuaterniones. // [Recurso electrónico] - Modo de acceso. - URL:
http://scolium.narod.ru