ÁLGEBRA Autores: A. G. Kurosh, O. Yu. Schmidt, D. K. Faddeev ÁLGEBRA[cf. lat álgebra, del árabe. al-jabr, al-jabr: reunión (de partes individuales de la ecuación)], una rama de las matemáticas que, junto con la aritmética y la geometría, pertenece a las ramas más antiguas de esta ciencia; ella está estudiando operaciones en matemáticas. objeta y afecta la formación de conceptos y métodos generales de las matemáticas. Las tareas y métodos de A. consistieron inicialmente en la preparación y solución de ecuaciones. En relación con el estudio de ecuaciones, se introdujo el concepto de números desarrollados, negativos, racionales, irracionales y complejos; un estudio general de las propiedades de estos sistemas numéricos se relaciona con A. En el álgebra, se formaron símbolos de letras que nos permitieron escribir las propiedades de las acciones en los números en la forma No contiene números específicos. Las transformaciones de acuerdo con ciertas reglas (asociadas con las propiedades de las acciones) de las expresiones literales constituyen el aparato clásico. A. El desarrollo de A. tuvo una gran influencia en el desarrollo de nuevas áreas de las matemáticas, en particular las matemáticas. análisis, cálculo diferencial e integral. El uso de A. es posible en todas partes donde uno tiene que lidiar con operaciones similares a la suma y multiplicación de números. Estas operaciones se pueden realizar en objetos de diversa naturaleza. El ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es álgebra vectorial (ver Las transformaciones de acuerdo con ciertas reglas (asociadas con las propiedades de las acciones) de las expresiones literales constituyen el aparato clásico. A. El desarrollo de A. tuvo una gran influencia en el desarrollo de nuevas áreas de las matemáticas, en particular las matemáticas. análisis, cálculo diferencial e integral. El uso de A. es posible en todas partes donde uno tiene que lidiar con operaciones similares a la suma y multiplicación de números. Estas operaciones se pueden realizar en objetos de diversa naturaleza. El ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es álgebra vectorial (ver Las transformaciones de acuerdo con ciertas reglas (asociadas con las propiedades de las acciones) de las expresiones literales constituyen el aparato clásico. A. El desarrollo de A. tuvo una gran influencia en el desarrollo de nuevas áreas de las matemáticas, en particular las matemáticas. análisis, cálculo diferencial e integral. El uso de A. es posible en todas partes donde uno tiene que lidiar con operaciones similares a la suma y multiplicación de números. Estas operaciones se pueden realizar en objetos de diversa naturaleza. El ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es álgebra vectorial (ver en particular las matemáticas. análisis, cálculo diferencial e integral. El uso de A. es posible en todas partes donde uno tiene que lidiar con operaciones similares a la suma y multiplicación de números. Estas operaciones se pueden realizar en objetos de diversa naturaleza. El ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es álgebra vectorial (ver en particular las matemáticas. análisis, cálculo diferencial e integral. El uso de A. es posible en todas partes donde uno tiene que lidiar con operaciones similares a la suma y multiplicación de números. Estas operaciones se pueden realizar en objetos de diversa naturaleza. El ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es álgebra vectorial (ver El ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es álgebra vectorial (ver El ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida de algebraica métodos es álgebra vectorial (ver Linear Algebra ) y su posterior generalización - álgebra tensor (ver. Tensor cálculo ), que se ha convertido en un medio importante de la actual. física A. en un más amplio, moderno. La comprensión puede definirse como la ciencia de los sistemas de objetos de una naturaleza u otra, en la que se establecen operaciones, llamadas algebraicas, en sus propiedades similares a la suma y multiplicación de números. A. clasifica los sistemas con algebraico dado a ellos. operaciones en sus propiedades y estudios descompuestos. problemas que surgen naturalmente en estos sistemas, incluido el problema de resolver y estudiar ecuaciones, que en los nuevos sistemas de objetos adquiere un nuevo significado (la solución a las ecuaciones puede ser un vector, matriz, operador). Esta nueva mirada a A., que tomó forma solo en el siglo XX, contribuyó a una mayor expansión del campo de aplicación de los métodos algebraicos no solo en matemáticas, sino también en otras ciencias, en particular en física. Fortaleció las conexiones de A. con otras ramas de las matemáticas y fortaleció la influencia de A. en su desarrollo posterior. Ensayo historico A. fue precedido por la aritmética, cuyas operaciones fueron la suma, resta, multiplicación y división de números, primero enteros y luego fraccionarios. Al principio, la diferencia entre A. y la aritmética fue que A. introdujo una cantidad desconocida, cuyas acciones, dictadas por las condiciones del problema, condujeron a la ecuación a partir de la cual se encontró esta cantidad desconocida. El elemento de tal interpretación es la aritmética. tareas contenidas en alegipto. papiro de Ahmes (ver en el art. papiro matemático), donde el valor deseado se indica mediante el carácter correspondiente. Los antiguos egipcios también resolvieron problemas bastante complejos (asociados, por ejemplo, con progresiones aritméticas y geométricas). Tanto la formulación de los problemas como las soluciones se dieron en forma verbal y solo en forma de ejemplos numéricos específicos. Al principio Siglo 20 Hemos sido descifrado textos matemáticos cuneiformes y otras culturas antiguas - Babilonia. Los babilonios ya tienen 4.000 años con la ayuda de especiales. las mesas pudieron resolver una variedad de problemas; algunos de ellos son equivalentes a resolver ecuaciones cuadráticas e incluso un tipo de ecuaciones de tercer grado. La lógica La evidencia en matemáticas fue introducida por primera vez por el dr. Geómetras En el marco de la geometría método m pl matematicas las preguntas se tradujeron al lenguaje de la geometría: las cantidades se interpretaron como longitudes, el producto de dos cantidades como el área de un rectángulo, etc. En los tiempos modernos. matematicas se conserva el idioma, p. "Cuadrado" para el producto de magnitud por sí mismo. Para el otro, no geométrico. líneas de desarrollo dr. las matemáticas aplican el tratado de Diophantus"Aritmética", en la que opera con bastante libertad con ecuaciones de 1º, 2º y grados superiores. En este tratado uno puede encontrar intentos de usar símbolos alfabéticos y números negativos. Utilizando ejemplos concretos, se anticipan métodos para resolver en números racionales ecuaciones de tercer grado con dos incógnitas. Logros dr. las ciencias fueron desarrolladas por eruditos cf. Este, r. H. Al Khorezmi y Biruni . Los eruditos orientales transmitieron a Europa las matemáticas que conocían en su revisión original, y fue A. quien trabajó especialmente duro. El término "A" proviene del nombre del trabajo de alKhorezmi "Al-jabr al-mukaba-la", que significa uno de los métodos para transformar ecuaciones. Desde la época de al-Khwarizmi A. puede considerarse como sección de matemática. Matemáticas cf. Del Este, todas las acciones se expresaron en palabras. El progreso adicional de A. se hizo posible solo después de la aparición de símbolos convenientes para indicar acciones (ver Signos matemáticos) Este proceso fue muy lento, y solo a fines del siglo XV. ahora acepta signos + y -. Luego, se introdujeron signos que indicaban el grado, la raíz y también los corchetes y se los reconoció universalmente. A ser. Siglo 17 El aparato de los símbolos de la modernidad se ha desarrollado completamente. R.- el uso de letras para denotar no solo lo desconocido desconocido, sino también todas las cantidades incluidas en el problema. Antes de esto, en A. y aritmética no había, por así decirlo, ninguna regla general y evidencia; Se consideraron ejemplos exclusivamente numéricos, era casi imposible expresar k.-l. juicios generales. Incluso los libros de texto elementales de esa época daban docenas de reglas privadas en lugar de una general. F. Viet(1591) fue el primero en escribir problemas de manera general, denotando cantidades desconocidas por las vocales A,E, I de, ... ,Un,E,Yo,...,consonantes bien conocidas B,C, D , ... .B,C,D,....Conectó estas letras con los signos matemáticos que estaban disponibles en ese momento. operaciones, es decir Por primera vez hubo fórmulas literales características de la moderna. A. A partir de R. Descartes para uso desconocido, por regla general, las últimas letras del latín. alfabeto x,y, La zx,y,z. La introducción es simbólica. Las designaciones y operaciones en letras que reemplazan números específicos eran extremadamente importantes. Sin este lenguaje de fórmulas, el rápido desarrollo de las matemáticas a partir del siglo XVII, la creación de las matemáticas, habría sido impensable. análisis, matemáticas expresiones de las leyes de la mecánica y la física, etc. Históricamente, la primera tarea de A. fue resolver algebraicos. ecuaciones, es decir, encontrar sus raíces. La aparición de números negativos jugó un papel importante en la resolución de las ecuaciones. Fueron presentados ind. matemáticos en el siglo 10, pero los estudiosos cf. Oriente no los usó. Los números negativos se acostumbraron gradualmente; Esto fue facilitado por comerciales cálculos en los que los números negativos tienen sentido, p. pérdida, escasez, deuda. Finalmente, los números negativos se usaron solo en el siglo XVII, después de que R. Descartes propuso su geometría visual. rendimiento En la solución de ecuaciones algebraicas hay una necesidad de expansión campo numérico. De este modo, cuando la resolución de ecuaciones de 2º grado aparecen los números irracionales (ver. También algebraica de números). Con extracción de raíces se enfrentó a otro dr.-griego. y mié asiático. matemáticos que sugirieron maneras ingeniosas de aproximarlos. La visión de la irracionalidad como número se estableció mucho más tarde. La introducción de números complejos se remonta al siglo XVIII. Cualquier ecuación nngrado tiene nn raíces, generalmente hablando complejas, y esto también es cierto para ecuaciones con coeficientes complejos. Este importante teorema, llamado el teorema principal de A., se formuló por primera vez en el siglo XVII y su prueba se dio en con. Siglo 18 K. Gauss . Toda evidencia conocida tuvo que usar la continuidad de una forma u otra; así, la prueba del teorema principal de A. fue más allá de A., demostrando la continuidad de las matemáticas en su conjunto. Muchos son teóricos. y práctico las preguntas no conducen a una ecuación, sino a sistemas de ecuaciones con varias. desconocido Especialmente importante es el caso de los sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones encontrados en la práctica se reducen a estos sistemas más simples. La solución de sistemas de ecuaciones lineales es una parte esencial en la solución numérica de varios problemas aplicados. G. Leibniz (1693) señaló que el estudio de la importancia del papel desempeñado por los sistemas de ecuaciones lineales una matriz compuesta de sus coeficientes. Posteriormente, las matrices se convirtieron en un sujeto independiente. estudios en A., porque su papel no se limita a las aplicaciones a la teoría de sistemas de ecuaciones lineales. La aparición de la geometría analítica está estrechamente relacionada con A. Si los antiguos griegos puramente algebraica. tareas vestidas de geométrico. forma, ahora es algebraico. Los medios de expresión eran tan convenientes e intuitivos que geométricos. las tareas fueron traducidas al lenguaje algebraico. fórmulas En con. 17 - suplicar 18 siglos Se creó un análisis de los infinitesimales y se extendió rápidamente, lo que desempeñó un papel crucial en el desarrollo de las matemáticas y sus aplicaciones, que fue preparado en gran medida por el desarrollo de A. En particular, las expresiones y acciones literales en ellos contribuyeron al origen en los siglos 16-17. mira las matemáticas. cantidades como variables, lo cual es típico para el análisis de infinitesimales, donde un cambio continuo de una cantidad generalmente corresponde a un cambio continuo de otra (función de esta variable). A. y matemáticas. análisis desarrollado en los siglos 17-18. En estrecha conexión. VA penetró los conceptos y métodos de análisis, en este sentido se ha enriquecido I. Newton . Por otro lado, A. dio al análisis un conjunto desarrollado de fórmulas y transformaciones que desempeñaron un papel importante en el período inicial de desarrollo del cálculo integral y la teoría de las ecuaciones diferenciales. Un acontecimiento importante en este período fue la aparición del libro de texto de L. Euler . La diferencia entre A. y el análisis en los siglos 18-19 caracterizado por el hecho de que A. tiene su DOS. Sujeto discreto y finito. DOS operaciones p. Además, producido en A. un número finito de veces. A. enfatizó esta característica en el 1er piso. Siglo 19 N. I. Lobachevsky, llamando a uno de sus libros "Álgebra, o cómputo de lo finito" (1834). Por el siglo 18 A. se ha desarrollado aproximadamente en el volumen que se enseña en la escuela secundaria hasta el día de hoy. Esta A. cubre las acciones de suma, multiplicación con las acciones inversas de sustracción y división, así como la elevación a la potencia y la inversa de la extracción de la raíz. Estas acciones se realizan en números o letras, que pueden indicar números positivos o negativos, racionales o irracionales. En ruso lenguaje la presentación de la primaria A. en la forma que prevalece al principio 18 pulg., Se presentó por primera vez en "La aritmética ..." LF Magnitsky . A. 18-19 siglos hay principalmente A. polinomios. El sujeto A., por lo tanto, es mucho más estrecho que el sujeto de análisis. Sin embargo, A. y Math. El análisis continúa teniendo muchos puntos en común, y la distinción entre ellos no es rígida. En muchos casos, el estudio de los polinomios como funciones bastante simples ayudó al desarrollo de una teoría general de las funciones. A lo largo de la historia de las matemáticas, existe una tendencia a reducir el estudio de funciones más complejas al estudio de polinomios o series. Por otro lado, A. comienza a usar cada vez más las ideas de continuidad e infinito, características de las matemáticas. análisis El estado actual del álgebra Por sovr. R. Es característico que el foco esté en las propiedades de las operaciones, más que en los objetos sobre los cuales se realizan estas operaciones. Un simple ejemplo hace posible rastrear cómo sucede esto. Fórmula conocida (a+b)2= a2+ 2 a b + b2(un+b)2=un2+2unb+b2. Su salida es una cadena de igualdades: ( a + b )2= ( a + b ) ( a + b ) == ( a + b ) a + ( a + b ) b = ( a2+ b a ) + ( a b + b2) == a2 + ( b a + a b ) + b2= a2+ 2 a b + b2.(un+b)2=(un+b)(un+b)==(un+b)un+(un+b)b=(un2+bun)+( unb+b2)==un2+(bun+unb)+b2=un2+2unb+b2. Aquí, la ley de distributividad se usa dos veces, la ley de asociatividad durante la suma le permite reorganizar los términos, finalmente, la ley de conmutatividad se usa ba=abbun=unb. ¿Cuáles son los objetos indicados por las letras auny bbno importa Es importante que pertenezcan a un conjunto en el que se definen dos operaciones, suma y multiplicación, que satisfacen los requisitos enumerados con respecto a las propiedades de las operaciones, y no a los objetos. La fórmula sigue siendo cierta si ununy bbvectores medios, en este caso la suma en el lado izquierdo es la suma de vectores, y en el lado derecho de la fórmula es la suma de números; La multiplicación se refiere a la multiplicación escalar de vectores. En esta fórmula, en lugar de ununy bbtambién podemos sustituir las matrices de conmutación (es decir, de modo que ab=baunb=bun, que puede no ser cierto para las matrices), operadores de diferenciación con respecto a dos variables independientes, etc. Distrayéndose de la naturaleza de los objetos, pero fijando ciertas propiedades de las operaciones en ellos, llegan al concepto de un conjunto dotado de algebraico. operaciones (ver. álgebra universal ). Durante el desarrollo de las matemáticas y sus aplicaciones, inicialmente se distinguieron relativamente pocos tipos de algebraicos. estructuras: grupos, campos , espacios vectoriales , aros y álgebra asociativa módulos . Posteriormente, el objeto de estudio tiene también otras clases :. anillo no asociativas y álgebra (álgebra incluyendo Li Jordan álgebra ..), rejas, etc. semigrupo (ver .. La teoría de grupos , la teoría de anillos,Lee la teoría del álgebra , la teoría Grids ). Una gran sección de A., que tiene numerosos Las aplicaciones, tanto en las matemáticas como en las ciencias naturales, es la teoría de las representaciones grupales. A. tiene estrechos vínculos con las matemáticas. lógica (véase. álgebra de Boole , la teoría de modelos ). También se desarrollan secciones de A. estudiando algebraico. operaciones en conjuntos equipados con estructuras adicionales. Por lo tanto, el álgebra topológica, la teoría de los grupos de Lie (es decir, los grupos que son variedades suaves) y las teorías de descomposición. sistemas ordenados Teoría de campo derivada de algebraica teoría de números, y el estudio de anillos conmutativos son álgebra conmutativa , que es la base de la geometría algebraica . Bajo la influencia de la topología de una nueva sección A. - álgebra homológica , el cual, a su vez, condujo a la aparición de la teoría de la categoría, que dio un nuevo lenguaje universal para describir los conceptos no solo de A., sino también de casi todas las áreas de las matemáticas. Junto con las libras. papel en matemáticas, A. es de gran importancia aplicada: se usa en física (formas simplécticas en mecánica, representaciones de grupos de Lie en teoría cuántica, superalgebras de Lie en teoría de campo, grupos de Fedorov en cristalografía), en matemáticas discretas (teoría de autómatas, álgebra. teoría de codificación), en matemática economía (desigualdades lineales), etc.