ÁLGEBRA

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ÁLGEBRA
Autores: A. G. Kurosh, O. Yu. Schmidt, D. K. Faddeev
ÁLGEBRA[cf. lat álgebra, del árabe. al-jabr, al-jabr: reunión (de partes individuales de la
ecuación)], una rama de las matemáticas que, junto con la aritmética y la geometría, pertenece a las
ramas más antiguas de esta ciencia; ella está estudiando operaciones en matemáticas. objeta y afecta
la formación de conceptos y métodos generales de las matemáticas. Las tareas y métodos de A.
consistieron inicialmente en la preparación y solución de ecuaciones. En relación con el estudio de
ecuaciones, se introdujo el concepto de números desarrollados, negativos, racionales, irracionales y
complejos; un estudio general de las propiedades de estos sistemas numéricos se relaciona con A.
En el álgebra, se formaron símbolos de letras que nos permitieron escribir las propiedades de las
acciones en los números en la forma No contiene números específicos. Las transformaciones de
acuerdo con ciertas reglas (asociadas con las propiedades de las acciones) de las expresiones
literales constituyen el aparato clásico. A. El desarrollo de A. tuvo una gran influencia en el
desarrollo de nuevas áreas de las matemáticas, en particular las matemáticas. análisis, cálculo
diferencial e integral. El uso de A. es posible en todas partes donde uno tiene que lidiar con
operaciones similares a la suma y multiplicación de números. Estas operaciones se pueden realizar
en objetos de diversa naturaleza. El ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida es el
algebraico. métodos es álgebra vectorial (ver Las transformaciones de acuerdo con ciertas reglas
(asociadas con las propiedades de las acciones) de las expresiones literales constituyen el aparato
clásico. A. El desarrollo de A. tuvo una gran influencia en el desarrollo de nuevas áreas de las
matemáticas, en particular las matemáticas. análisis, cálculo diferencial e integral. El uso de A. es
posible en todas partes donde uno tiene que lidiar con operaciones similares a la suma y
multiplicación de números. Estas operaciones se pueden realizar en objetos de diversa
naturaleza. El ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es
álgebra vectorial (ver Las transformaciones de acuerdo con ciertas reglas (asociadas con las
propiedades de las acciones) de las expresiones literales constituyen el aparato clásico. A. El
desarrollo de A. tuvo una gran influencia en el desarrollo de nuevas áreas de las matemáticas, en
particular las matemáticas. análisis, cálculo diferencial e integral. El uso de A. es posible en todas
partes donde uno tiene que lidiar con operaciones similares a la suma y multiplicación de
números. Estas operaciones se pueden realizar en objetos de diversa naturaleza. El ejemplo más
famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es álgebra vectorial (ver en
particular las matemáticas. análisis, cálculo diferencial e integral. El uso de A. es posible en todas
partes donde uno tiene que lidiar con operaciones similares a la suma y multiplicación de
números. Estas operaciones se pueden realizar en objetos de diversa naturaleza. El ejemplo más
famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es álgebra vectorial (ver en
particular las matemáticas. análisis, cálculo diferencial e integral. El uso de A. es posible en todas
partes donde uno tiene que lidiar con operaciones similares a la suma y multiplicación de
números. Estas operaciones se pueden realizar en objetos de diversa naturaleza. El ejemplo más
famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es álgebra vectorial (ver El
ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida es el algebraico. métodos es álgebra vectorial
(ver El ejemplo más famoso de una aplicación tan extendida de algebraica métodos es álgebra
vectorial (ver Linear Algebra ) y su posterior generalización - álgebra tensor (ver. Tensor cálculo ),
que se ha convertido en un medio importante de la actual. física
A. en un más amplio, moderno. La comprensión puede definirse como la ciencia de los sistemas de
objetos de una naturaleza u otra, en la que se establecen operaciones, llamadas algebraicas, en sus
propiedades similares a la suma y multiplicación de números. A. clasifica los sistemas con
algebraico dado a ellos. operaciones en sus propiedades y estudios descompuestos. problemas que
surgen naturalmente en estos sistemas, incluido el problema de resolver y estudiar ecuaciones, que
en los nuevos sistemas de objetos adquiere un nuevo significado (la solución a las ecuaciones puede
ser un vector, matriz, operador). Esta nueva mirada a A., que tomó forma solo en el siglo XX,
contribuyó a una mayor expansión del campo de aplicación de los métodos algebraicos no solo en
matemáticas, sino también en otras ciencias, en particular en física. Fortaleció las conexiones de A.
con otras ramas de las matemáticas y fortaleció la influencia de A. en su desarrollo posterior.
Ensayo historico
A. fue precedido por la aritmética, cuyas operaciones fueron la suma, resta, multiplicación y
división de números, primero enteros y luego fraccionarios. Al principio, la diferencia entre A. y la
aritmética fue que A. introdujo una cantidad desconocida, cuyas acciones, dictadas por las
condiciones del problema, condujeron a la ecuación a partir de la cual se encontró esta cantidad
desconocida. El elemento de tal interpretación es la aritmética. tareas contenidas en alegipto. papiro de Ahmes (ver en el art. papiro matemático), donde el valor deseado se indica
mediante el carácter correspondiente. Los antiguos egipcios también resolvieron problemas bastante
complejos (asociados, por ejemplo, con progresiones aritméticas y geométricas). Tanto la
formulación de los problemas como las soluciones se dieron en forma verbal y solo en forma de
ejemplos numéricos específicos.
Al principio Siglo 20 Hemos sido descifrado textos matemáticos cuneiformes y otras culturas
antiguas - Babilonia. Los babilonios ya tienen 4.000 años con la ayuda de especiales. las mesas
pudieron resolver una variedad de problemas; algunos de ellos son equivalentes a resolver
ecuaciones cuadráticas e incluso un tipo de ecuaciones de tercer grado.
La lógica La evidencia en matemáticas fue introducida por primera vez por el dr. Geómetras En el
marco de la geometría método m pl matematicas las preguntas se tradujeron al lenguaje de la
geometría: las cantidades se interpretaron como longitudes, el producto de dos cantidades como el
área de un rectángulo, etc. En los tiempos modernos. matematicas se conserva el idioma,
p. "Cuadrado" para el producto de magnitud por sí mismo. Para el otro, no geométrico. líneas de
desarrollo dr. las matemáticas aplican el tratado de Diophantus"Aritmética", en la que opera con
bastante libertad con ecuaciones de 1º, 2º y grados superiores. En este tratado uno puede encontrar
intentos de usar símbolos alfabéticos y números negativos. Utilizando ejemplos concretos, se
anticipan métodos para resolver en números racionales ecuaciones de tercer grado con dos
incógnitas.
Logros dr. las ciencias fueron desarrolladas por eruditos cf. Este, r. H. Al Khorezmi y Biruni . Los
eruditos orientales transmitieron a Europa las matemáticas que conocían en su revisión original, y
fue A. quien trabajó especialmente duro. El término "A" proviene del nombre del trabajo de alKhorezmi "Al-jabr al-mukaba-la", que significa uno de los métodos para transformar
ecuaciones. Desde la época de al-Khwarizmi A. puede considerarse como sección de matemática.
Matemáticas cf. Del Este, todas las acciones se expresaron en palabras. El progreso adicional de A.
se hizo posible solo después de la aparición de símbolos convenientes para indicar acciones
(ver Signos matemáticos) Este proceso fue muy lento, y solo a fines del siglo XV. ahora acepta
signos + y -. Luego, se introdujeron signos que indicaban el grado, la raíz y también los corchetes y
se los reconoció universalmente. A ser. Siglo 17 El aparato de los símbolos de la modernidad se ha
desarrollado completamente. R.- el uso de letras para denotar no solo lo desconocido desconocido,
sino también todas las cantidades incluidas en el problema. Antes de esto, en A. y aritmética no
había, por así decirlo, ninguna regla general y evidencia; Se consideraron ejemplos exclusivamente
numéricos, era casi imposible expresar k.-l. juicios generales. Incluso los libros de texto elementales
de esa época daban docenas de reglas privadas en lugar de una general. F. Viet(1591) fue el
primero en escribir problemas de manera general, denotando cantidades desconocidas por las
vocales A,E, I de, ... ,Un,E,Yo,...,consonantes bien conocidas B,C, D , ... .B,C,D,....Conectó
estas letras con los signos matemáticos que estaban disponibles en ese momento. operaciones, es
decir Por primera vez hubo fórmulas literales características de la moderna. A. A partir de
R. Descartes para uso desconocido, por regla general, las últimas letras del latín. alfabeto x,y, La
zx,y,z.
La introducción es simbólica. Las designaciones y operaciones en letras que reemplazan números
específicos eran extremadamente importantes. Sin este lenguaje de fórmulas, el rápido desarrollo de
las matemáticas a partir del siglo XVII, la creación de las matemáticas, habría sido
impensable. análisis, matemáticas expresiones de las leyes de la mecánica y la física, etc.
Históricamente, la primera tarea de A. fue resolver algebraicos. ecuaciones, es decir, encontrar sus
raíces. La aparición de números negativos jugó un papel importante en la resolución de las
ecuaciones. Fueron presentados ind. matemáticos en el siglo 10, pero los estudiosos cf. Oriente no
los usó. Los números negativos se acostumbraron gradualmente; Esto fue facilitado por
comerciales cálculos en los que los números negativos tienen sentido, p. pérdida, escasez,
deuda. Finalmente, los números negativos se usaron solo en el siglo XVII, después de que R.
Descartes propuso su geometría visual. rendimiento
En la solución de ecuaciones algebraicas hay una necesidad de expansión campo numérico. De este
modo, cuando la resolución de ecuaciones de 2º grado aparecen los números irracionales (ver.
También algebraica de números). Con extracción de raíces se enfrentó a otro dr.-griego. y mié
asiático. matemáticos que sugirieron maneras ingeniosas de aproximarlos. La visión de la
irracionalidad como número se estableció mucho más tarde. La introducción de números complejos
se remonta al siglo XVIII.
Cualquier ecuación nngrado tiene nn raíces, generalmente hablando complejas, y esto también es
cierto para ecuaciones con coeficientes complejos. Este importante teorema, llamado el teorema
principal de A., se formuló por primera vez en el siglo XVII y su prueba se dio en con. Siglo
18 K. Gauss . Toda evidencia conocida tuvo que usar la continuidad de una forma u otra; así, la
prueba del teorema principal de A. fue más allá de A., demostrando la continuidad de las
matemáticas en su conjunto.
Muchos son teóricos. y práctico las preguntas no conducen a una ecuación, sino a sistemas de
ecuaciones con varias. desconocido Especialmente importante es el caso de los sistemas de
ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones encontrados en la práctica se reducen a estos
sistemas más simples. La solución de sistemas de ecuaciones lineales es una parte esencial en la
solución numérica de varios problemas aplicados. G. Leibniz (1693) señaló que el estudio de la
importancia del papel desempeñado por los sistemas de ecuaciones lineales una matriz compuesta
de sus coeficientes. Posteriormente, las matrices se convirtieron en un sujeto
independiente. estudios en A., porque su papel no se limita a las aplicaciones a la teoría de sistemas
de ecuaciones lineales.
La aparición de la geometría analítica está estrechamente relacionada con A. Si los antiguos griegos
puramente algebraica. tareas vestidas de geométrico. forma, ahora es algebraico. Los medios de
expresión eran tan convenientes e intuitivos que geométricos. las tareas fueron traducidas al
lenguaje algebraico. fórmulas
En con. 17 - suplicar 18 siglos Se creó un análisis de los infinitesimales y se extendió rápidamente,
lo que desempeñó un papel crucial en el desarrollo de las matemáticas y sus aplicaciones, que fue
preparado en gran medida por el desarrollo de A. En particular, las expresiones y acciones literales
en ellos contribuyeron al origen en los siglos 16-17. mira las matemáticas. cantidades como
variables, lo cual es típico para el análisis de infinitesimales, donde un cambio continuo de una
cantidad generalmente corresponde a un cambio continuo de otra (función de esta variable).
A. y matemáticas. análisis desarrollado en los siglos 17-18. En estrecha conexión. VA penetró los
conceptos y métodos de análisis, en este sentido se ha enriquecido I. Newton . Por otro lado, A. dio
al análisis un conjunto desarrollado de fórmulas y transformaciones que desempeñaron un papel
importante en el período inicial de desarrollo del cálculo integral y la teoría de las ecuaciones
diferenciales. Un acontecimiento importante en este período fue la aparición del libro de texto de
L. Euler . La diferencia entre A. y el análisis en los siglos 18-19 caracterizado por el hecho de que
A. tiene su DOS. Sujeto discreto y finito. DOS operaciones p. Además, producido en A. un número
finito de veces. A. enfatizó esta característica en el 1er piso. Siglo 19 N. I. Lobachevsky, llamando
a uno de sus libros "Álgebra, o cómputo de lo finito" (1834).
Por el siglo 18 A. se ha desarrollado aproximadamente en el volumen que se enseña en la escuela
secundaria hasta el día de hoy. Esta A. cubre las acciones de suma, multiplicación con las acciones
inversas de sustracción y división, así como la elevación a la potencia y la inversa de la extracción
de la raíz. Estas acciones se realizan en números o letras, que pueden indicar números positivos o
negativos, racionales o irracionales. En ruso lenguaje la presentación de la primaria A. en la forma
que prevalece al principio 18 pulg., Se presentó por primera vez en "La aritmética ..."
LF Magnitsky .
A. 18-19 siglos hay principalmente A. polinomios. El sujeto A., por lo tanto, es mucho más estrecho
que el sujeto de análisis. Sin embargo, A. y Math. El análisis continúa teniendo muchos puntos en
común, y la distinción entre ellos no es rígida. En muchos casos, el estudio de los polinomios como
funciones bastante simples ayudó al desarrollo de una teoría general de las funciones. A lo largo de
la historia de las matemáticas, existe una tendencia a reducir el estudio de funciones más complejas
al estudio de polinomios o series. Por otro lado, A. comienza a usar cada vez más las ideas de
continuidad e infinito, características de las matemáticas. análisis
El estado actual del álgebra
Por sovr. R. Es característico que el foco esté en las propiedades de las operaciones, más que en los
objetos sobre los cuales se realizan estas operaciones. Un simple ejemplo hace posible rastrear
cómo sucede esto. Fórmula conocida (a+b)2= a2+ 2 a b + b2(un+b)2=un2+2unb+b2. Su salida es
una cadena de igualdades:
( a + b )2= ( a + b ) ( a + b ) == ( a + b ) a + ( a + b ) b = ( a2+ b a ) + ( a b + b2) == a2
+ ( b a + a b ) + b2= a2+ 2 a b + b2.(un+b)2=(un+b)(un+b)==(un+b)un+(un+b)b=(un2+bun)+(
unb+b2)==un2+(bun+unb)+b2=un2+2unb+b2.
Aquí, la ley de distributividad se usa dos veces, la ley de asociatividad durante la suma le permite
reorganizar los términos, finalmente, la ley de conmutatividad se usa ba=abbun=unb. ¿Cuáles son
los objetos indicados por las letras auny bbno importa Es importante que pertenezcan a un conjunto
en el que se definen dos operaciones, suma y multiplicación, que satisfacen los requisitos
enumerados con respecto a las propiedades de las operaciones, y no a los objetos. La fórmula sigue
siendo cierta si ununy bbvectores medios, en este caso la suma en el lado izquierdo es la suma de
vectores, y en el lado derecho de la fórmula es la suma de números; La multiplicación se refiere a la
multiplicación escalar de vectores. En esta fórmula, en lugar de ununy bbtambién podemos sustituir
las matrices de conmutación (es decir, de modo que ab=baunb=bun, que puede no ser cierto para
las matrices), operadores de diferenciación con respecto a dos variables independientes, etc.
Distrayéndose de la naturaleza de los objetos, pero fijando ciertas propiedades de las operaciones en
ellos, llegan al concepto de un conjunto dotado de algebraico. operaciones (ver. álgebra
universal ). Durante el desarrollo de las matemáticas y sus aplicaciones, inicialmente se
distinguieron relativamente pocos tipos de algebraicos. estructuras: grupos, campos , espacios
vectoriales , aros y álgebra asociativa módulos . Posteriormente, el objeto de estudio tiene también
otras clases :. anillo no asociativas y álgebra (álgebra incluyendo Li Jordan álgebra ..), rejas, etc.
semigrupo (ver .. La teoría de grupos , la teoría de anillos,Lee la teoría del álgebra , la teoría
Grids ). Una gran sección de A., que tiene numerosos Las aplicaciones, tanto en las matemáticas
como en las ciencias naturales, es la teoría de las representaciones grupales. A. tiene estrechos
vínculos con las matemáticas. lógica (véase. álgebra de Boole , la teoría de modelos ).
También se desarrollan secciones de A. estudiando algebraico. operaciones en conjuntos equipados
con estructuras adicionales. Por lo tanto, el álgebra topológica, la teoría de los grupos de Lie (es
decir, los grupos que son variedades suaves) y las teorías de descomposición. sistemas
ordenados Teoría de campo derivada de algebraica teoría de números, y el estudio de anillos
conmutativos son álgebra conmutativa , que es la base de la geometría algebraica . Bajo la
influencia de la topología de una nueva sección A. - álgebra homológica , el cual, a su vez, condujo
a la aparición de la teoría de la categoría, que dio un nuevo lenguaje universal para describir los
conceptos no solo de A., sino también de casi todas las áreas de las matemáticas.
Junto con las libras. papel en matemáticas, A. es de gran importancia aplicada: se usa en física
(formas simplécticas en mecánica, representaciones de grupos de Lie en teoría cuántica,
superalgebras de Lie en teoría de campo, grupos de Fedorov en cristalografía), en matemáticas
discretas (teoría de autómatas, álgebra. teoría de codificación), en matemática economía
(desigualdades lineales), etc.
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