KEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN
KONVERGENSI ALMOST SURELY
Joko Sungkono*
Abstrak : Tujuan yang ingin dicapai pada tulisan ini adalah mengetahui kekuatan konvergensi dalam
probabilitas dan konvergensi almost surely disertai suatu contoh.
Metode penelitian yang digunakan studi literatur dengan bahan yang diambil dari referensi yang
mendukung serta membahas teori yang ada pada pembahasan.
Berdasarkan hasil pembahasan konvergensi almost surely lebih kuat dari pada konvergensi dalam
probabilitas. Jika variabel random konvergen secara almost surely pasti juga konvergen dalam probabilitas,
tetapi tidak berlaku untuk sebaliknya. Melalui suatu contoh ditunjukkan bahwa terdapat variabel random yang
konvergen dalam probabilitas tetapi tidak konvergen almost surely.
Kata kunci: konvergensi, probabilitas, almost surely.
PENDAHULUAN
Pada bidang statistik, variabel random
serta memberikan suatu contoh yang menerangkan
kekuatan dua konvergensi tersebut.
mempunyai peranan yang sangat penting untuk
menganalisa permasalahan dalam kehidupan seharihari agar dapat diselesaikan berdasarkan kaidah
METODE PENELITIAN
statistik. Variabel random merupakan fungsi bernilai
Metode penelitian yang digunakan pada tulisan
real yang memetakan seluruh anggota ruang sampel.
ini adalah studi literatur yaitu dengan mengkaji teori-
Sekumpulan variabel random dapat membentuk
teori dalam referensi yang mendukung ke arah tujuan
barisan bilangan real yang disebut barisan variabel
penulisan serta memberikan contoh yang sesuai.
random. Konvergensi barisan variabel random dapat
Beberapa teori penting dikaji dalam pembahasan.
dikaji sebagaimana konvergensi barisan bilangan real.
Konvergensi barisan variabel random
DASAR TEORI
dibedakan dalam konvergensi dalam distribusi,
Beberapa definisi dan teori yang berkaitan
konvergensi dalam probabilitas (konvergen secara
dengan konvergensi diambil dari beberapa sumber dan
stokastik) dan konvergensi almost surely. Dari ketiga
diberikan dalam bentuk kutipan. Definisi variabel
konvergensi tersebut terdapat hubungan satu sama
random diambil dari Bain dan Engelhardt (1992)
lain. Konvergensi dalam probabilitas mempunyai
kemiripan sifat dengan konvergensi almost surely.
Pada tulisan ini akan dikaji kekuatan konvergensi
dalam probabilitas dengan konvergensi almost surely
Definisi 1. Variabel random X adalah suatu fungsi
yang memetakan ruang sampel S ke dalam bilangan
real,
dengan e merupakan hasil yan
mungkin dalam S.
* Pendidikan Matematika FKIP UNWiDHA Klaten
56
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Kekuatan Konvergensi Dalam Probabilitas dan Konvergensi ....
Definisi limit barisan diambil dari Bartle and Sherbert
Teorema 1. (Ketaksamaan Chebychev) Diberikan
(2000)
variabel random
Definisi 2. (Limit Barisan). Diberikan barisan
Untuk sebarang maka berlaku
bilangan real
dengan mean
dan variansi
.
. Suatu bilangan real X dikatakan
limit barisan jika untuk setiap terdapat sedemikian
sehingga untuk semua dengan maka berlaku
PEMBAHASAN
Definisi tentang konvergensi dalam probabilitas dan
konvergensi almost surely berikut dikutip dari Serfling
(1980).
Teorema berikut memberikan gambaran bahwa
kekuatan konvergensi almost surely lebih besar dari
pada konvergensi dalam probabilitas.
Definisi 3. (Konvergensi Dalam Probabilitas).
Diberikan
dan
adalah variabel random
pada ruang probabilitas
.
dikatakan
konvergen dalam probabilitas ke jika untuk sebarang
Teorema 2. Jika
maka
.
Bukti
.
Diketahui
Akan dibuktikan
Karena
yang biasa ditulis sebagai
,
Definisi 4. (Konvergensi Almost Surely). Diberikan
dan
adalah variabel random pada ruang
probabilitas
almost surely ke
.
menurut
definisi
. Menurut Serfling (1980)
untuk sebarang
ekuivalen dengan
dikatakan konvergen
jika
Karena
dan
maka
, diperoleh
yang biasa ditulis sebagai
Menurut Serfling (1980), dengan menggunakan
definisi
Lebih umum diperoleh
, maka untuk sebarang
suatu kondisi ekuivalensi dari konvergensi almost
surely diberikan sebagai berikut
Jadi
.
Ketaksamaan Chebychev berikut diambil dari Bain
and Engelhardt (1992).
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
57
Kekuatan Konvergensi Dalam Probabilitas dan Konvergensi ....
Sebagian besar buku memberikan contoh untuk
penggunaan teorema ini dengan variabel random yang
konvergen secara probabilitas sekaligus konvergen
Selanjutnya akan ditunjukkan
. Menurut
ketaksamaan Chebychev untuk sebarang
akan
diperoleh
almost surely. Berdasarkan teorema ini harusnya
terdapat suatu contoh variabel random yang
konvergen secara probabilitas tetapi tidak konvergen
sehingga
. Didefinisikan
almost surely. Sangat sulit diperoleh contoh variabel
,
random yang konvergen secara probabilitas tetapi
maka
diperoleh
atau
tidak konvergen almost surely. Contoh 1 memberikan
dapat
gambaran tentang variabel random yang konvergen
dikatakan
secara probabilitas sekaligus konvergen almost surely,
Lebih lanjut diperoleh
konvergen ke 0. Misalkan didefinisikan kejadian
sedangkan contoh 2 menerengkan variabel random
konvergen ke 0.
,
yang konvergen secara probabilitas tetapi tidak
konvergen almost surely.
maka
menurut
Billingsley (1986),
Contoh 1. (Hukum Kuat Bilangan Besar
(Kolmogorov)). Misalkan
barisan
variabel random yang terdistribusi secara identik dan
independen dengan
, maka
sehingga
.
Pembahasan : Sebelumnya akan ditunjukkan
kemudian
dilanjutkan
maka
ketaksamaan Chebychev untuk sebarang
diperoleh
Misalkan
. Menurut
akan
Karena
konvergen,
yang akan mengakibatkan
maka ada
,
sehingga
. Atau diperoleh
Menurut sifat probabilitas diperoleh
Perhatikan bahwa
Karena nilai probabilitas maksimal adalah 1, maka
diperoleh
Jadi
58
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Kekuatan Konvergensi Dalam Probabilitas dan Konvergensi ....
dengan operasi gabungan terakhir merupakan
gabungan
atas
bilangan
real
Karena
dan
saling asing, maka menurut sifat probabilitas akan
diperoleh
Karena
maka secara
langsung dapat
. Jadi
diperoleh
Contoh 2. Misalkan
independen
variabel random yang saling
dengan
distribusi
dan
.
Akan ditunjukkan bahwa
tetapi tidak
memenuhi
.
Pembahasan : Diambil sebarang
bahwa untuk
. Perhatikan
maka
=0
Lebih
lanjut
diperoleh
=
. Diperoleh
=
tidak konvergen almost surely ke 0. Jadi
Perhatikan juga bahwa untuk
, maka
tetapi tidak memenuhi
= .
sehingga
Diperoleh
atau
dikatakan
Jadi
.
Contoh 2 ini memberikan penjelasan bahwa
konvergensi almost surely lebih kuat dari pada
konvergensi dalam probabilitas.
dapat
konvergen dalam
probabilitas ke 0. Selanjutnya akan ditunjukkan
bahwa tidak konvergen almost surely ke 0. Perhatikan
bahwa
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
59
Kekuatan Konvergensi Dalam Probabilitas dan Konvergensi ....
SIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan konvergensi
almost surely lebih kuat dari pada konvergensi dalam
probabilitas. Hal ini diberikan dalam bentuk teorema
DAFTAR PUSTAKA
Bain, L. J. and Engelhardt, M., 1992, Introduction to
probability and mathematical statistics, 2 ed.,
Duxbury Press, California.
2. Jika variabel random konvergen secara almost
surely pasti juga konvergen dalam probabilitas, tetapi
Bartle, R.G and Sherbert, D.R, 2000, Intoduction to
jika variabel randon konvergen dalam probabilitas
Real Analysis, 3ed, John Wiley and Sons, Inc.,
belum tentu konvergen almost surely. Melalui suatu
USA
contoh ditunjukkan bahwa terdapat variabel random
yang konvergen dalam probabilitas tetapi tidak
Billingsley, P., 1986, Probability and Measure, 2ed.,
John Wiley and Sons, Inc., New York
konvergen almost surely, sehingga lebih jelas terlihat
bahwa konvergensi almost surely lebih kuat dari pada
konvergensi dalam probabilitas.
Serfling, R. J., 1980, Approximation theorems of
mathematical statistics, John Wiley and Sons,
New York.
60
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511