16.11.2016
v1.0
Valeurs propres
Algèbre Linéaire 2016
1
Valeurs propres
• Un vecteur non nul qui est transformé en un mul4ple de lui même par une applica4on linéaire sur un corps K est dit un vecteur propre de ce8e applica4on (ou de la matrice associée) • La valeur de ce mul4ple est dite la valeur propre du vecteur propre correspondant
Algèbre Linéaire 2016
2
Exemple
✓
x
y
◆
7!
✓
4
3
6
5
◆✓
x
y
◆
Algèbre Linéaire 2016
3
Exemple
✓
✓
x
y
4
3
◆
6
5
7!
✓
◆✓
4
3
6
5
1
1
◆
◆✓
=
✓
x
y
2
2
◆
◆
=2
✓
1
1
◆
Algèbre Linéaire 2016
3
Exemple
✓
✓
x
y
◆
7!
✓
4
3
6
5
◆✓
Vecteur propre
4
3
6
5
◆✓
1
1
◆
=
✓
x
y
2
2
◆
◆
=2
✓
1
1
◆
Algèbre Linéaire 2016
3
Exemple
✓
✓
x
y
◆
7!
✓
4
3
6
5
◆✓
Vecteur propre
4
3
6
5
◆✓
1
1
◆
=
✓
x
y
◆
Valeur propre
2
2
◆
=2
✓
1
1
◆
Algèbre Linéaire 2016
3
Exemple
✓
✓
✓
x
y
◆
7!
✓
4
3
◆✓
6
5
Vecteur propre
4
3
4
3
6
5
◆✓
1
1
6
5
◆✓
◆
2
1
◆
=
=
✓
◆
x
y
Valeur propre
✓
2
2
2
1
◆
◆
=2
✓
= ( 1) ·
1
1
✓
◆
2
1
◆
Algèbre Linéaire 2016
3
Exemple
✓
✓
✓
x
y
◆
7!
✓
4
3
◆✓
6
5
Vecteur propre
4
3
6
5
◆✓
1
1
◆
=
Vecteur propre
4
3
6
5
◆✓
2
1
◆
=
✓
✓
x
y
◆
Valeur propre
2
2
◆
=2
✓
1
1
◆
◆ Valeur propre
✓
◆
2
2
= ( 1) ·
1
1
Algèbre Linéaire 2016
3
Définition
Défini4on 17.1: Soit A une matrice carrée de taille n sur un corps K. • Un vecteur non nul x de Kn tel que Ax=lx pour un l de K est appelé un vecteur propre de A. • La valeur l est appelée une valeur propre de A.
Algèbre Linéaire 2016
4
Définition
Défini4on 17.1: Soit A une matrice carrée de taille n sur un corps K. • Un vecteur non nul x de Kn tel que Ax=lx pour un l de K est appelé un vecteur propre de A. • La valeur l est appelée une valeur propre de A.
Ques4ons principales: (1) Pourquoi: On s’intéresse des vecteurs/valeurs propres pourquoi? (2) Comment: Comment est-­‐ce que on peut les calculer? Existent-­‐ils toujours?
Algèbre Linéaire 2016
4
Pourquoi?
• Les applica4ons dans la théorie d’équa4ons différen4elles (Analyse II) • Transforma4on d’une matrice en une forme plus simple (forme diagonale) • Les applica4ons dans la théorie des graphes • Les applica4ons dans la théorie de chaînes de Markov • Les applica4ons dans la théorie de marches aléatoires (par exemple, l’algorithme de PageRank) • ……
Algèbre Linéaire 2016
5
Comment les calculer?
9x 6= 0 : Ax = x
Algèbre Linéaire 2016
6
Comment les calculer?
9x 6= 0 : Ax = x () (A
In )x = 0
Algèbre Linéaire 2016
6
Comment les calculer?
9x 6= 0 : Ax = x () (A
In )x = 0 () det(A
Algèbre Linéaire 2016
In ) = 0
6
Comment les calculer?
9x 6= 0 : Ax = x () (A
In )x = 0 () det(A
In ) = 0
Alors……
Algèbre Linéaire 2016
6
Comment les calculer?
9x 6= 0 : Ax = x () (A
In )x = 0 () det(A
In ) = 0
Alors……
Théorème 17.1: Soit A une matrice de taille n x n sur un corps K. l est une valeur propre de A si et seulement si det(A-­‐ lIn)=0. Dans ce cas, chaque vecteur x de ker(A-­‐ lIn) est un vecteur propre de A correspondent à la valeur propre l.
Algèbre Linéaire 2016
6
Exemple
=
⇠
✓
1
0
⇠
✓
1
0
1
0
◆
=) ker(A
2
0
◆
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
x
2
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
=
⇠
✓
1
0
⇠
✓
1
0
1
0
◆
=) ker(A
2
0
◆
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
4 6
3 5
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
2I2 ) =
A=
✓
1
1
⌧✓
x
◆
2 R2⇥2
2
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
=
⇠
✓
1
0
⇠
✓
1
0
1
0
◆
=) ker(A
2
0
◆
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
x
2
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
xI2 ) = det
⇠
✓
4
✓
1
0
⇠
✓
x
3
1
0
1
0
5
6
x
◆
=
◆
=) ker(A
2
0
◆
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
x
2
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
xI2 ) = det
⇠
✓
4
✓
1
0
⇠
✓
x
3
1
0
1
0
5
6
x
◆
=
◆
=) ker(A
2
0
◆
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
x
2
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
xI2 ) = det
⇠
✓
4
✓
1
0
⇠
✓
x
3
1
0
1
0
5
6
x
◆
=
◆
=) ker(A
2
0
◆
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
x
2
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
xI2 ) = det
⇠
✓
4
✓
1
0
⇠
✓
x
3
1
0
1
0
5
6
x
◆
=
◆
=) ker(A
2
0
◆
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
x
2
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
x
xI2 ) = det
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
⇠
✓
1
0
⇠
✓
1
0
1
0
6
x
5
1±
◆
=
p
1+8
= 2, 1
2
◆
=) ker(A
2
0
◆
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
x
1
1
⌧✓
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
x
xI2 ) = det
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
6
x
5
1±
◆
=
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
p
1+8
= 2, 1
2
x
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 Deuxième étape: Pour chaque valeur propre, calculer le noyau de A-­‐ lI2
⇠
✓
1
0
⇠
✓
1
0
1
0
◆
=) ker(A
2
0
◆
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
xI2 ) = det
x
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
6
x
5
1±
◆
=
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
p
1+8
= 2, 1
2
x
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 Deuxième étape: Pour chaque valeur propre, calculer le noyau de A-­‐ lI2
A
2I2 =
✓
6
3
6
3
◆
⇠
✓
1
0
⇠
✓
1
0
1
0
◆
=) ker(A
2
0
◆
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
xI2 ) = det
x
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
6
x
5
1±
◆
=
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
p
1+8
= 2, 1
2
x
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 Deuxième étape: Pour chaque valeur propre, calculer le noyau de A-­‐ lI2
A
2I2 =
✓
6
3
6
3
◆
⇠
✓
1
0
⇠
✓
1
0
1
0
◆
=) ker(A
2
0
◆
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
xI2 ) = det
x
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
6
x
5
1±
◆
=
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
p
1+8
= 2, 1
2
x
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 Deuxième étape: Pour chaque valeur propre, calculer le noyau de A-­‐ lI2
A
2I2 =
✓
6
3
6
3
◆
⇠
✓
1
0
⇠
✓
1
0
1
0
◆
=) ker(A
2
0
◆
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
xI2 ) = det
x
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
6
x
5
1±
◆
=
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
p
1+8
= 2, 1
2
x
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 Deuxième étape: Pour chaque valeur propre, calculer le noyau de A-­‐ lI2
A
2I2 =
✓
6
3
6
3
◆
⇠
✓
1
0
⇠
✓
1
0
1
0
Vecteur propre
◆
=) ker(A
2
0
◆
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
xI2 ) = det
x
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
6
x
5
1±
◆
=
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
p
1+8
= 2, 1
2
x
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 Deuxième étape: Pour chaque valeur propre, calculer le noyau de A-­‐ lI2
A
A
2I2 =
✓
( 1)I2 =
6
3
✓
6
3
3
3
◆
⇠
✓
1
0
◆ ✓
6
1
⇠
6
0
1
0
Vecteur propre
◆
=) ker(A
2
0
◆
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
xI2 ) = det
x
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
6
x
5
1±
◆
=
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
p
1+8
= 2, 1
2
x
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 Deuxième étape: Pour chaque valeur propre, calculer le noyau de A-­‐ lI2
A
A
2I2 =
✓
( 1)I2 =
6
3
✓
6
3
3
3
◆
⇠
✓
1
0
◆ ✓
6
1
⇠
6
0
1
0
Vecteur propre
◆
=) ker(A
2
0
◆
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
xI2 ) = det
x
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
6
x
5
1±
◆
=
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
p
1+8
= 2, 1
2
x
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 Deuxième étape: Pour chaque valeur propre, calculer le noyau de A-­‐ lI2
A
A
2I2 =
✓
( 1)I2 =
6
3
✓
6
3
3
3
◆
⇠
✓
1
0
◆ ✓
6
1
⇠
6
0
1
0
Vecteur propre
◆
=) ker(A
2
0
◆
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
xI2 ) = det
x
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
6
x
5
1±
◆
=
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
p
1+8
= 2, 1
2
x
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 Deuxième étape: Pour chaque valeur propre, calculer le noyau de A-­‐ lI2
A
A
2I2 =
✓
( 1)I2 =
6
3
✓
6
3
3
3
◆
⇠
✓
1
0
◆ ✓
6
1
⇠
6
0
1
0
Vecteur propre
◆
=) ker(A
2
0
◆
2I2 ) =
⌧✓
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
1
1
⌧✓
◆
2
1
◆
7
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice
A=
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
Première étape: calculer les valeurs propres
det(A
x
2
xI2 ) = det
x
✓
4
x
3
2 = 0 =) x1,2 =
6
x
5
1±
◆
=
x) + 18 = x2
(4 + x)(5
p
1+8
= 2, 1
2
x
2
Les valeurs propres sont l1=2 et l2=-­‐1 Deuxième étape: Pour chaque valeur propre, calculer le noyau de A-­‐ lI2
A
A
2I2 =
✓
( 1)I2 =
6
3
✓
6
3
3
3
◆
⇠
✓
1
0
◆ ✓
6
1
⇠
6
0
1
0
Vecteur propre
◆
=) ker(A
2
0
◆
2I2 ) =
⌧✓
1
1
◆
Vecteur propre
=) ker(A + I2 ) =
Algèbre Linéaire 2016
⌧✓
2
1
◆
7
Alors….
Sur R il y a une infinité des vecteurs propres pour une valeur propre donnée
Algèbre Linéaire 2016
8
Alors….
Sur R il y a une infinité des vecteurs propres pour une valeur propre donnée
Car ker(A-­‐lIn) a une infinité d’éléments si l et une valeur propre de A
Algèbre Linéaire 2016
8
Quelques définitions
Défini4on 17.2: Soit A une matrice carrée de taille n sur un corps K. • Le polynôme det(A-­‐xIn) est appelé le polynôme caractéris4que de A. • On dit que l est une valeur propre de mul5plicité k de A si le facteur (x-­‐ l) apparaît k fois dans le polynôme caractéris4que = sa mul4plicité en tant que racine du polynôme caractéris4que
Algèbre Linéaire 2016
9
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
1±
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
17
42
12
1
8
4
x
11 A =
6 5 x
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
1±
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17
6 5 x
x) ⇥ ( 20
x) ⇥ (5
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
1±
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x)
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17
6 5 x
x) ⇥ ( 20
x) ⇥ (5
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
1±
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
x) ⇥ (5
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
1±
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
x) ⇥ (5
4 ⇥ ( 20
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
1±
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
x) ⇥ 12
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
8 ⇥ ( 42) ⇥ (5
x) ⇥ (5
4 ⇥ ( 20
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
8
20
6
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
x) ⇥ 12
x)
1±
17
42
12
1
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
8 ⇥ ( 42) ⇥ (5
x) ⇥ (5
4 ⇥ ( 20
x) (17
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
1±
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
x) ⇥ 12
x) ⇥ ( 11) ⇥ 6
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
8 ⇥ ( 42) ⇥ (5
=
x) ⇥ (5
4 ⇥ ( 20
x) (17
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
x) ⇥ 12
x) ⇥ ( 11) ⇥ 6
x3 + 2x2 + 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
1±
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
8 ⇥ ( 42) ⇥ (5
=
=
x) ⇥ (5
4 ⇥ ( 20
x) (17
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
x) ⇥ 12
x) ⇥ ( 11) ⇥ 6
x3 + 2x2 + 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
x3 + 2x2 + x
2
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
1±
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
8 ⇥ ( 42) ⇥ (5
=
Polynôme caractéris4que =
x) ⇥ (5
4 ⇥ ( 20
x) (17
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
x) ⇥ 12
x) ⇥ ( 11) ⇥ 6
x3 + 2x2 + 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
x3 + 2x2 + x
2
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
1±
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
8 ⇥ ( 42) ⇥ (5
=
Polynôme caractéris4que =
x) ⇥ (5
4 ⇥ ( 20
x) (17
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
x) ⇥ 12
x) ⇥ ( 11) ⇥ 6
x3 + 2x2 + 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
x3 + 2x2 + x
2
=) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
Le nombre des valeurs propres est au maximum égal à 3, la taille de la matrice
1±
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
8 ⇥ ( 42) ⇥ (5
=
Polynôme caractéris4que =
3
2
x1 = 1 =) ( x + 2x + x
2) ÷ (x
1) =
x) ⇥ (5
4 ⇥ ( 20
x) (17
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
x) ⇥ 12
x) ⇥ ( 11) ⇥ 6
x3 + 2x2 + 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
x3 + 2x2 + x
2
2
x + x + 2 =) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
Le nombre des valeurs propres est au maximum égal à 3, la taille de la matrice
1±
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
8 ⇥ ( 42) ⇥ (5
=
Polynôme caractéris4que =
3
2
x1 = 1 =) ( x + 2x + x
2) ÷ (x
1) =
x) ⇥ (5
4 ⇥ ( 20
x) (17
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
x) ⇥ 12
x) ⇥ ( 11) ⇥ 6
x3 + 2x2 + 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
x3 + 2x2 + x
2
2
x + x + 2 =) x2,3 =
Algèbre Linéaire 2016
Le nombre des valeurs propres est au maximum égal à 3, la taille de la matrice
1±
p
1+8
= 2, 1
2
10
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
17
x
42
12
20
1
8
4
x
11 A = (17 x) ⇥ ( 20
6 5 x
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
8 ⇥ ( 42) ⇥ (5
=
Polynôme caractéris4que =
3
2
x1 = 1 =) ( x + 2x + x
2) ÷ (x
1) =
x) ⇥ (5
4 ⇥ ( 20
x) (17
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
x) ⇥ 12
x) ⇥ ( 11) ⇥ 6
x3 + 2x2 + 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
x3 + 2x2 + x
2
2
x + x + 2 =) x2,3 =
Le nombre des valeurs propres est au maximum égal à 3, la taille de la matrice
1±
p
1+8
= 2, 1
2
Les valeurs propres sont l1=1, l2=2, l3=-­‐1. Chacun a de mul4plicité 1
Algèbre Linéaire 2016
10
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
Algèbre Linéaire 2016
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
16
42
12
8
21
6
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
1
4
11 A
4
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
16
42
12
8
21
6
1 0
4
11 A⇠ @
4
1
42
12
1/2
21
6
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/4
11 A
4
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
16
42
12
8
21
6
1 0
4
11 A⇠ @
4
1
42
12
1/2
21
6
1 0
1/4
1 1/2
11 A⇠ @ 0
0
4
0
0
Algèbre Linéaire 2016
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/4
1/2 A
1
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
16
42
12
8
21
6
1 0
4
11 A⇠ @
4
1
42
12
1/2
21
6
1 0
1/4
1 1/2
11 A⇠ @ 0
0
4
0
0
Algèbre Linéaire 2016
1 0
1/4
1
1/2 A⇠ @ 0
1
0
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 1/4
0
1 A
0
0
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
16
42
12
8
21
6
1 0
4
11 A⇠ @
4
1
42
12
1/2
21
6
1 0
1/4
1 1/2
11 A⇠ @ 0
0
4
0
0
Algèbre Linéaire 2016
1 0
1/4
1
1/2 A⇠ @ 0
1
0
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
16
42
12
I3 ) =
8
21
6
0
*
@
1 0
4
11 A⇠ @
4
1+
1
2 A
0
1
42
12
1/2
21
6
1 0
1/4
1 1/2
11 A⇠ @ 0
0
4
0
0
Algèbre Linéaire 2016
1 0
1/4
1
1/2 A⇠ @ 0
1
0
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
16
42
12
I3 ) =
8
21
6
0
*
@
1 0
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
Algèbre Linéaire 2016
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
8
21
6
0
*
@
8
22
6
1 0
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1
4
11 A
3
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
8
21
6
0
*
@
8
22
6
1 0
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
1 0
4
11 A⇠ @
3
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1
1 8/15 4/15
42
22
11 A
12
6
3
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
8
21
6
0
*
@
8
22
6
1 0
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
Algèbre Linéaire 2016
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1
4/15
1/5 A
1/5
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
8
21
6
0
*
@
8
22
6
1 0
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
Algèbre Linéaire 2016
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
8/15
1
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1
4/15
1/2 A
0
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
8
21
6
0
*
@
8
22
6
1 0
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
Algèbre Linéaire 2016
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
8/15
1
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
2I3 ) =
8
21
6
0
*
@
8
22
6
*0
@
1 0
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1+
0
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
8/15
1
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
1 A
2
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
2I3 ) =
8
21
6
0
*
@
8
22
6
*0
@
1 0
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1+
0
1 A
2
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
8/15
1
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 2
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
0
A + I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
2I3 ) =
18
42
12
8
21
6
0
*
@
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
8
22
6
*0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1+
0
8
19
6
1
4
11 A
6
@
1 0
1 A
2
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
8/15
1
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 2
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
0
A + I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
2I3 ) =
18
42
12
8
21
6
0
*
@
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
8
22
6
*0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1+
0
8
19
6
1 0
4
11 A ⇠ @
6
@
1 0
1 A
2
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
8/15
1
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 2
1
42
12
4/9
19
6
1
2/9
11 A
6
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
0
A + I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
2I3 ) =
18
42
12
8
21
6
0
*
@
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
8
22
6
*0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1+
0
8
19
6
1 0
4
11 A ⇠ @
6
@
1 0
1 A
2
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
8/15
1
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 2
1
42
12
4/9
19
6
1 0
2/9
1
11 A ⇠ @ 0
6
0
4/9
1/3
2/3
Algèbre Linéaire 2016
1
2/9
5/3 A
10/3
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
0
A + I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
2I3 ) =
18
42
12
8
21
6
0
*
@
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
8
22
6
*0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1+
0
8
19
6
1 0
4
11 A ⇠ @
6
@
1 0
1 A
2
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
8/15
1
0
1 0
2/9
1
5/3 A ⇠ @ 0
10/3
0
1
4/9 2/9
1
5 A
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 2
1
42
12
4/9
19
6
1 0
2/9
1
11 A ⇠ @ 0
6
0
4/9
1/3
2/3
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
0
A + I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
2I3 ) =
18
42
12
8
21
6
0
*
@
1 0
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
8
22
6
*0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1+
0
8
19
6
1 0
4
11 A ⇠ @
6
@
1 0
1 A
2
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
8/15
1
0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
1 0
2/9
1
5/3 A ⇠ @ 0
10/3
0
1 0
4/9 2/9
1 0
1
5 A⇠ @ 0 1
0
0
0 0
Vecteur propre pour la valeur propre 2
1
42
12
4/9
19
6
1 0
2/9
1
11 A ⇠ @ 0
6
0
4/9
1/3
2/3
Algèbre Linéaire 2016
1
2
5 A
0
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
0
A + I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
2I3 ) =
18
42
12
=) ker(A + I3 ) =
8
21
6
0
*
@
1 0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1+
0
8
19
6
*0
1 0
4
11 A ⇠ @
6
1
2 +
@
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
8
22
6
*0
@
1 0
1 A
2
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
8/15
1
0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
1 0
2/9
1
5/3 A ⇠ @ 0
10/3
0
1 0
4/9 2/9
1 0
1
5 A⇠ @ 0 1
0
0
0 0
Vecteur propre pour la valeur propre 2
1
42
12
4/9
19
6
1 0
2/9
1
11 A ⇠ @ 0
6
0
4/9
1/3
2/3
1
2
5 A
0
5 A
1
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
0
A + I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
2I3 ) =
18
42
12
=) ker(A + I3 ) =
8
21
6
0
*
@
1 0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1+
0
8
19
6
*0
1 0
4
11 A ⇠ @
6
1
2 +
@
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
8
22
6
*0
@
1 0
1 A
2
5 A
1
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
8/15
1
0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
1 0
2/9
1
5/3 A ⇠ @ 0
10/3
0
1 0
4/9 2/9
1 0
1
5 A⇠ @ 0 1
0
0
0 0
Vecteur propre pour la valeur propre 2
1
42
12
4/9
19
6
1 0
2/9
1
11 A ⇠ @ 0
6
0
4/9
1/3
2/3
1
2
5 A
0
Vecteur propre pour la valeur propre -­‐1
Algèbre Linéaire 2016
11
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
0
A + I3 = @
16
42
12
I3 ) =
15
42
12
2I3 ) =
18
42
12
=) ker(A + I3 ) =
8
21
6
0
*
@
1 0
1 0
4
11 A⇠ @
3
1+
0
8
19
6
*0
1 0
4
11 A ⇠ @
6
1
2 +
@
1 0
4
1 1/2 1/4
1 1/2
1/4
1
11 A⇠ @ 42
21
11 A⇠ @ 0
0
1/2 A⇠ @ 0
4
12
6
4
0
0
1
0
1+
1
2 A
Vecteur propre pour la valeur propre 1
0
8
22
6
*0
@
1 0
1 A
2
5 A
1
1 0
1 8/15 4/15
1
42
22
11 A⇠ @ 0
12
6
3
0
8/15
2/5
2/5
17
42
12
8
20
6
1
0
1/2 1/4
1
0
1 A⇠@ 0
0
0
0
1
4
11 A 2 R3
5
1
1/2 0
0 1 A
0 0
1 0
4/15
1
1/5 A⇠ @ 0
1/5
0
8/15
1
0
1 0
4/15
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
1
0
0
1 1/2 A
0
0
1 0
2/9
1
5/3 A ⇠ @ 0
10/3
0
1 0
4/9 2/9
1 0
1
5 A⇠ @ 0 1
0
0
0 0
Vecteur propre pour la valeur propre 2
1
42
12
4/9
19
6
1 0
2/9
1
11 A ⇠ @ 0
6
0
4/9
1/3
2/3
Vecteur propre pour la valeur propre -­‐1
Algèbre Linéaire 2016
1
2
5 A
0
La somme de dim ker(A-­‐liIn) est égale à 3, la taille de la matrice
11
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
Algèbre Linéaire 2016
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
12
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
9
x
11 6
22
4
x
8
8
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1
3
3 A
x
Algèbre Linéaire 2016
12
Exemple
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
9
x
11 6
22
4
x
8
8
1
3
3 A=
x
(9 + x)
6
x
8
Algèbre Linéaire 2016
8
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
3
x
12
Exemple
0
9
11
22
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
9
x
11 6
22
4
x
8
8
1
3
3 A=
x
(9 + x)
6
x
8
Algèbre Linéaire 2016
8
3
x
4
11
22
8
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
3
x
12
Exemple
0
9
11
22
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
9
x
11 6
22
4
x
8
8
1
3
3 A=
x
(9 + x)
6
x
8
Algèbre Linéaire 2016
8
3
x
4
11
22
8
3
x
4
6
8
3
1
3
3 A 2 R2
8
11
22
6
x
8
12
Exemple
0
9
11
22
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
9
x
11 6
22
4
x
8
8
1
3
3 A=
x
=
(9 + x)
x3 + 5x2
6
x
8
8
3
x
4
11
22
8
3
x
4
6
8
3
1
3
3 A 2 R2
8
11
22
6
x
8
8x + 4
Algèbre Linéaire 2016
12
Exemple
0
9
11
22
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
9
x
11 6
22
4
x
8
8
1
3
3 A=
x
(9 + x)
Polynôme caractéris4que = x3 + 5x2
6
x
8
8
3
x
4
11
22
8
3
x
4
6
8
3
1
3
3 A 2 R2
8
11
22
6
x
8
8x + 4
Algèbre Linéaire 2016
12
Exemple
0
9
11
22
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
9
x
11 6
22
4
x
8
8
1
3
3 A=
x
(9 + x)
6
Polynôme caractéris4que = x3 + 5x2
x1 = 1 =) ( x3 + 5x2
8x + 4) ÷ (x
1) =
x2 + 4x
4=
x
8
8
3
x
4
11
22
8
3
x
4
6
8
3
1
3
3 A 2 R2
8
11
22
6
x
8
8x + 4
(x
Algèbre Linéaire 2016
2)2
12
Exemple
0
9
11
22
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
9
x
11 6
22
4
x
8
8
1
3
3 A=
x
(9 + x)
6
Polynôme caractéris4que = x3 + 5x2
x1 = 1 =) ( x3 + 5x2
8x + 4) ÷ (x
1) =
x2 + 4x
4=
x
8
8
3
x
4
11
22
8
3
x
4
6
8
3
1
3
3 A 2 R2
8
11
22
6
x
8
8x + 4
(x
2)2
Les valeurs propres sont l1=1, l2=l3=2
Algèbre Linéaire 2016
12
Exemple
0
9
11
22
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
9
x
11 6
22
4
x
8
8
1
3
3 A=
x
(9 + x)
6
Polynôme caractéris4que = x3 + 5x2
x1 = 1 =) ( x3 + 5x2
8x + 4) ÷ (x
Les valeurs propres sont l1=1, l2=l3=2
1) =
x2 + 4x
4=
x
8
8
3
x
4
11
22
8
3
x
4
6
8
3
1
3
3 A 2 R2
8
11
22
6
x
8
8x + 4
(x
2)2
Alors, le nombre des valeurs propres différentes peut être strictement inférieur à la taille de la matrice
Algèbre Linéaire 2016
12
Exemple
0
9
11
22
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
det(A
0
xI3 ) = det @
9
x
11 6
22
4
x
8
8
1
3
3 A=
x
(9 + x)
6
Polynôme caractéris4que = x3 + 5x2
x1 = 1 =) ( x3 + 5x2
8x + 4) ÷ (x
Les valeurs propres sont l1=1, l2=l3=2
1) =
x2 + 4x
4=
x
8
8
3
x
4
11
22
8
3
x
4
6
8
3
1
3
3 A 2 R2
8
11
22
6
x
8
8x + 4
(x
2)2
Alors, le nombre des valeurs propres différentes peut être strictement inférieur à la taille de la matrice
La valeur 1 est de mul4plicité 1, et la valeur 2 est de mul4plicité 2
Algèbre Linéaire 2016
12
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
Algèbre Linéaire 2016
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
10
11
22
4
5
8
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1
3
3 A
7
Algèbre Linéaire 2016
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
10
11
22
4
5
8
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
11
22
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1
2/5 3/10
5
3 A
8
7
Algèbre Linéaire 2016
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
10
11
22
4
5
8
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
11
22
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1
2/5 3/10
3/5 3/10 A
4/5 2/5
Algèbre Linéaire 2016
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
10
11
22
4
5
8
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
11
22
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
1 0
2/5 3/10
1
3/5 3/10 A ⇠ @ 0
4/5 2/5
0
Algèbre Linéaire 2016
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1
2/5 3/10
1
1/2 A
0
0
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
10
11
22
4
5
8
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
11
22
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
1 0
2/5 3/10
1
3/5 3/10 A ⇠ @ 0
4/5 2/5
0
Algèbre Linéaire 2016
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1 0
2/5 3/10
1
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
0
1
0 1/2
1 1/2 A
0
0
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
10
11
22
I3 ) =
4
5
8
*0
@
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
1 +
1
11
22
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
1 0
2/5 3/10
1
3/5 3/10 A ⇠ @ 0
4/5 2/5
0
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1 0
2/5 3/10
1
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
0
1
0 1/2
1 1/2 A
0
0
1 A
2
Algèbre Linéaire 2016
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
10
11
22
I3 ) =
4
5
8
*0
@
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
1 +
1 A
2
1
11
22
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
1 0
2/5 3/10
1
3/5 3/10 A ⇠ @ 0
4/5 2/5
0
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1 0
2/5 3/10
1
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
0
1
0 1/2
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 1
Algèbre Linéaire 2016
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
10
11
22
I3 ) =
11
11
22
4
5
8
*0
@
4
4
8
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
1 +
1 A
2
1
11
22
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
1 0
2/5 3/10
1
3/5 3/10 A ⇠ @ 0
4/5 2/5
0
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1 0
2/5 3/10
1
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
0
1
0 1/2
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 1
1
3
3 A
6
Algèbre Linéaire 2016
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
10
11
22
I3 ) =
11
11
22
4
5
8
*0
@
4
4
8
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
1 +
1 A
2
1
11
22
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
1 0
2/5 3/10
1
3/5 3/10 A ⇠ @ 0
4/5 2/5
0
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1 0
2/5 3/10
1
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
0
1
0 1/2
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 1
1 0
3
3 A⇠ @
6
1
11
22
1
4/11 3/11
4
3 A
8
6
Algèbre Linéaire 2016
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
10
11
22
I3 ) =
11
11
22
4
5
8
*0
@
4
4
8
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
1 +
1 A
2
1
11
22
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
1 0
2/5 3/10
1
3/5 3/10 A ⇠ @ 0
4/5 2/5
0
9
11
22
4
6
8
1
3
3 A 2 R2
8
1 0
2/5 3/10
1
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
0
1
0 1/2
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 1
1 0
3
3 A⇠ @
6
1
11
22
1 0
4/11 3/11
1
4
3 A⇠ @ 0
8
6
0
1
4/11 3/11
0
0 A
0
0
Algèbre Linéaire 2016
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
10
11
22
I3 ) =
4
5
8
*0
11
11
22
2I3 ) =
@
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
1 +
1 A
2
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
1 0
2/5 3/10
1
3/5 3/10 A ⇠ @ 0
4/5 2/5
0
4
6
8
3
3 A 2 R2
8
1 0
2/5 3/10
1
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
0
1
0 1/2
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 1
1 0
3
3 A⇠ @
6
4
4
8
1
11
22
9
11
22
1
1
11
22
1 0
4/11 3/11
1
4
3 A⇠ @ 0
8
6
0
1
4/11 3/11
0
0 A
0
0
*0
1 0
1
4
3 +
@ 11 A , @ 0 A
0
11
Algèbre Linéaire 2016
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
10
11
22
I3 ) =
4
5
8
*0
11
11
22
2I3 ) =
@
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
1 +
1 A
2
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
1 0
2/5 3/10
1
3/5 3/10 A ⇠ @ 0
4/5 2/5
0
4
6
8
3
3 A 2 R2
8
1 0
2/5 3/10
1
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
0
1
0 1/2
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 1
1 0
3
3 A⇠ @
6
4
4
8
1
11
22
9
11
22
1
1
11
22
1 0
4/11 3/11
1
4
3 A⇠ @ 0
8
6
0
1
4/11 3/11
0
0 A
0
0
*0
1 0
1
4
3 +
@ 11 A , @ 0 A
Deux vecteurs propres linéairement indépendants pour la valeur propre 2
0
11
Algèbre Linéaire 2016
13
Les vecteurs propres
0
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice @
Conseil: 1 est une valeur propre
A
0
I3 = @
=) ker(A
A
0
2I3 = @
=) ker(A
10
11
22
I3 ) =
4
5
8
*0
11
11
22
2I3 ) =
@
1 0
3
3 A⇠ @
7
1
1 +
1 A
2
1 0
2/5 3/10
1
5
3 A⇠ @ 0
8
7
0
1 0
2/5 3/10
1
3/5 3/10 A ⇠ @ 0
4/5 2/5
0
4
6
8
3
3 A 2 R2
8
1 0
2/5 3/10
1
1
1/2 A⇠ @ 0
0
0
0
1
0 1/2
1 1/2 A
0
0
Vecteur propre pour la valeur propre 1
1 0
3
3 A⇠ @
6
4
4
8
1
11
22
9
11
22
1
1
11
22
1 0
4/11 3/11
1
4
3 A⇠ @ 0
8
6
0
1
4/11 3/11
0
0 A
0
0
*0
1 0
1
4
3 +
@ 11 A , @ 0 A
Deux vecteurs propres linéairement indépendants pour la valeur propre 2
0
11
La somme de dim ker(A-­‐liIn) est égale à 3, la taille de la matrice
Algèbre Linéaire 2016
13
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice A =
Algèbre Linéaire 2016
✓
1
0
1
1
◆
2 R2⇥2
14
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice A =
det(A
xI3 ) = det
✓
1
x
0 1
1
x
✓
1
0
1
1
◆
2 R2⇥2
◆
Algèbre Linéaire 2016
14
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice A =
det(A
xI3 ) = det
✓
1
x
0 1
1
x
◆
= (1
✓
1
0
1
1
◆
2 R2⇥2
x)2
Algèbre Linéaire 2016
14
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice A =
det(A
xI3 ) = det
✓
1
x
0 1
1
x
◆
= (1
x)2
✓
1
0
1
1
◆
2 R2⇥2
Polynôme caractéris4que
Algèbre Linéaire 2016
14
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice A =
det(A
xI3 ) = det
✓
1
x
0 1
1
x
◆
= (1
x)2
✓
1
0
1
1
◆
2 R2⇥2
Polynôme caractéris4que
Il y a qu’une valeur propre de mul4plicité 2, à savoir l=1
Algèbre Linéaire 2016
14
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice A =
det(A
xI3 ) = det
✓
1
x
0 1
1
x
◆
= (1
x)2
✓
1
0
1
1
◆
2 R2⇥2
Polynôme caractéris4que
Il y a qu’une valeur propre de mul4plicité 2, à savoir l=1
A
I1 =
✓
0 1
0 0
◆
Algèbre Linéaire 2016
14
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice A =
det(A
xI3 ) = det
✓
1
x
0 1
1
x
◆
= (1
x)2
✓
1
0
1
1
◆
2 R2⇥2
Polynôme caractéris4que
Il y a qu’une valeur propre de mul4plicité 2, à savoir l=1
A
I1 =
✓
0 1
0 0
◆
=) ker(A
I1 ) =
⌧✓
1
0
◆
Algèbre Linéaire 2016
14
Exemple
Calculer les vecteurs et les valeurs propres de la matrice A =
det(A
xI3 ) = det
✓
1
x
0 1
1
x
◆
= (1
x)2
✓
1
0
1
1
◆
2 R2⇥2
Polynôme caractéris4que
Il y a qu’une valeur propre de mul4plicité 2, à savoir l=1
A
I1 =
✓
0 1
0 0
◆
=) ker(A
I1 ) =
⌧✓
1
0
◆
Qu’un vecteur propre, alors, La somme de dim ker(A-­‐liIn) est strictement inférieur à 2, la taille de la matrice
Algèbre Linéaire 2016
14
Alors…
Proposi4on 17.1: Soit A une matrice de taille n x n sur un corps K. Donc, A a au maximum n valeurs propres.
Algèbre Linéaire 2016
15
Alors…
Proposi4on 17.1: Soit A une matrice de taille n x n sur un corps K. Donc, A a au maximum n valeurs propres.
Car det(A-­‐xIn) est un polynôme de degré n sur le corps K, alors il a au maximum n racines.
Algèbre Linéaire 2016
15
det et Tr
Proposi4on 17.2: Soit A une matrice de taille n x n sur un corps K. (1) Le produit de toutes les racines du polynôme caractéris4que de A est égal à det(A) (2) La somme de toutes les racines du polynôme caractéris4que de A est égale à Tr(A)
Algèbre Linéaire 2016
16
det et Tr
Proposi4on 17.2: Soit A une matrice de taille n x n sur un corps K. (1) Le produit de toutes les racines du polynôme caractéris4que de A est égal à det(A) (2) La somme de toutes les racines du polynôme caractéris4que de A est égale à Tr(A)
Corollaire 17.1: Soit A une matrice de taille n x n sur un corps K. A est inversible, si et seulement si 0 n’est pas une valeur propre de A.
Algèbre Linéaire 2016
16
det et Tr
Proposi4on 17.2: Soit A une matrice de taille n x n sur un corps K. (1) Le produit de toutes les racines du polynôme caractéris4que de A est égal à det(A) (2) La somme de toutes les racines du polynôme caractéris4que de A est égale à Tr(A)
Corollaire 17.1: Soit A une matrice de taille n x n sur un corps K. A est inversible, si et seulement si 0 n’est pas une valeur propre de A.
Les démonstra4ons sont présentées pendant le cours
Algèbre Linéaire 2016
16
Exemple
0
A=@
17
42
12
8
20
6
1
4
11 A
5
1
= 1,
2
= 2,
3
=
Algèbre Linéaire 2016
1
17
Exemple
0
A=@
0
@
17
42
12
17
42
12
8
20
6
8
20
6
1
4
11 A
5
1
= 1,
2
= 2,
3
=
1
1
4
11 A
5
Algèbre Linéaire 2016
17
Exemple
0
A=@
0
@
17
42
12
D=1
17
42
12
8
20
6
8
20
6
1
4
11 A
5
1
= 1,
2
= 2,
3
=
1
1
4
11 A
5
Algèbre Linéaire 2016
17
Exemple
0
A=@
0
@
17
42
12
D=1
17
42
12
8
20
6
8
20
6
1
4
11 A
5
1
0
4
11 A ⇠ @
5
1
= 1,
2
= 2,
D=D*17=17
3
=
1
1
1 8/17 4/17
42
20
11 A
12
6
5
Algèbre Linéaire 2016
17
Exemple
0
A=@
0
@
17
42
12
D=1
17
42
12
8
20
6
8
20
6
1
4
11 A
5
1
0
4
11 A ⇠ @
5
1
= 1,
2
= 2,
D=D*17=17
3
=
1
1
0
1 8/17 4/17
1
42
20
11 A ⇠ @ 0
12
6
5
0
Algèbre Linéaire 2016
8/17
4/17
6/17
1
4/17
19/17 A
37/17
17
Exemple
0
17
42
12
A=@
0
@
0
1
⇠@ 0
0
8
20
6
D=1
17
42
12
8
20
6
D=D*(-­‐4/17)=-­‐4
1
4
11 A
5
1
0
4
11 A ⇠ @
5
1
= 1,
2
= 2,
D=D*17=17
3
=
1
1
0
1 8/17 4/17
1
42
20
11 A ⇠ @ 0
12
6
5
0
8/17
4/17
6/17
1
4/17
19/17 A
37/17
1
8/17 4/17
1 19/4 A
6/17 37/17
Algèbre Linéaire 2016
17
Exemple
0
17
42
12
A=@
0
@
0
1
⇠@ 0
0
8
20
6
D=1
17
42
12
8
20
6
D=D*(-­‐4/17)=-­‐4
1
4
11 A
5
1
0
1
0
4
11 A ⇠ @
5
1
= 1,
2
= 2,
D=D*17=17
3
=
1
1
0
1 8/17 4/17
1
42
20
11 A ⇠ @ 0
12
6
5
0
8/17
4/17
6/17
1
4/17
19/17 A
37/17
1
8/17 4/17
1 8/17 4/17
1 19/4 A ⇠ @ 0
1 19/4 A
6/17 37/17
0
0
1/2
Algèbre Linéaire 2016
17
Exemple
0
17
42
12
A=@
0
@
0
1
⇠@ 0
0
8
20
6
D=1
17
42
12
8
20
6
D=D*(-­‐4/17)=-­‐4
1
4
11 A
5
1
0
1
0
4
11 A ⇠ @
5
1
= 1,
2
= 2,
D=D*17=17
3
=
1
1
0
1 8/17 4/17
1
42
20
11 A ⇠ @ 0
12
6
5
0
1
0
8/17
4/17
6/17
D=D*(1/2)=-­‐2
1
4/17
19/17 A
37/17
1
8/17 4/17
1 8/17 4/17
1 8/17 4/17
1 19/4 A ⇠ @ 0
1 19/4 A ⇠ @ 0
1 19/4 A
6/17 37/17
0
0
1/2
0
0
1
Algèbre Linéaire 2016
17
Exemple
0
17
42
12
A=@
0
@
0
1
⇠@ 0
0
8
20
6
D=1
17
42
12
8
20
6
D=D*(-­‐4/17)=-­‐4
1
4
11 A
5
1
0
1
0
4
11 A ⇠ @
5
1
= 1,
2
= 2,
D=D*17=17
3
=
1
1 =) det A =
0
1 8/17 4/17
1
42
20
11 A ⇠ @ 0
12
6
5
0
1
0
8/17
4/17
6/17
D=D*(1/2)=-­‐2
2=
1 2 3
1
4/17
19/17 A
37/17
1
8/17 4/17
1 8/17 4/17
1 8/17 4/17
1 19/4 A ⇠ @ 0
1 19/4 A ⇠ @ 0
1 19/4 A
6/17 37/17
0
0
1/2
0
0
1
Algèbre Linéaire 2016
17
Exemple
0
17
42
12
A=@
D=1
0
17
42
12
@
0
8
20
6
8
20
6
D=D*(-­‐4/17)=-­‐4
1
⇠@ 0
0
1
4
11 A
5
1
0
1
0
4
11 A ⇠ @
5
1
= 1,
2
= 2,
D=D*17=17
3
=
1
1 =) det A =
0
1 8/17 4/17
1
42
20
11 A ⇠ @ 0
12
6
5
0
1
0
8/17
4/17
6/17
D=D*(1/2)=-­‐2
2=
1 2 3
1
4/17
19/17 A
37/17
1
8/17 4/17
1 8/17 4/17
1 8/17 4/17
1 19/4 A ⇠ @ 0
1 19/4 A ⇠ @ 0
1 19/4 A
6/17 37/17
0
0
1/2
0
0
1
Tr(A) = 17
20 + 5 = 2 = (
1
+
2
+
3)
Algèbre Linéaire 2016
17
Exemple
Algèbre Linéaire 2016
18
Exemple
A=
✓
1
2
2
1
◆
Algèbre Linéaire 2016
18
Exemple
A=
✓
1
2
2
1
◆
=) det(A
xI2 ) = (1
x)2
4=1
Algèbre Linéaire 2016
2x + x2
4 = x2
2x
3
18
Exemple
A=
1,2
✓
1
2
=
2±
2
1
p
2
16
◆
=) det(A
xI2 ) = (1
x)2
4=1
2x + x2
4 = x2
2x
3
= 3, 1
Algèbre Linéaire 2016
18
Exemple
A=
1,2
✓
1
2
=
2±
det A = 1
2
1
p
16
2
4=
◆
=) det(A
xI2 ) = (1
x)2
4=1
2x + x2
4 = x2
2x
3
= 3, 1
3
Algèbre Linéaire 2016
18
Exemple
A=
1,2
✓
1
2
=
2±
det A = 1
2
1
p
16
2
4=
◆
=) det(A
xI2 ) = (1
x)2
4=1
2x + x2
4 = x2
2x
3
= 3, 1
3
1 2
= 3 ⇥ ( 1) =
Algèbre Linéaire 2016
3 = det A
18
Exemple
A=
1,2
✓
1
2
=
2±
det A = 1
2
1
p
16
2
4=
◆
=) det(A
xI2 ) = (1
x)2
4=1
2x + x2
4 = x2
2x
3
= 3, 1
3
1 2
= 3 ⇥ ( 1) =
3 = det A
Tr(A) = 2
Algèbre Linéaire 2016
18
Exemple
A=
1,2
✓
1
2
=
2±
det A = 1
Tr(A) = 2
2
1
p
16
2
4=
◆
=) det(A
xI2 ) = (1
x)2
4=1
2x + x2
4 = x2
2x
3
= 3, 1
3
1 2
1
= 3 ⇥ ( 1) =
+
2
=3
3 = det A
1 = 2 = Tr(A)
Algèbre Linéaire 2016
18
La relation de similitude
Défini4on 17.3: Deux matrices carrées A et B de taille n sont dites semblables si il y a une matrice inversible P de même taille telle que A = P-­‐1BP. On dit que A est similaire à B.
Algèbre Linéaire 2016
19
La relation de similitude
Défini4on 17.3: Deux matrices carrées A et B de taille n sont dites semblables si il y a une matrice inversible P de même taille telle que A = P-­‐1BP. On dit que A est similaire à B.
Proposi4on 17.3: Soient A, B des matrices de taille n x n sur un corps K. (1) Si A est similaire à B, donc B est similaire à A (2) Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéris4que, donc elles ont les mêmes valeurs propres (avec la même order de mul4plicité)
Les démonstra4ons sont présentées pendant le cours
Algèbre Linéaire 2016
19
Diagonalisation
Théorème 17.2: Soit A une matrice de format n x n sur un corps K. •
A a au maximum n valeurs propres différentes Algèbre Linéaire 2016
Diagonalisation
Théorème 17.2: Soit A une matrice de format n x n sur un corps K. •
A a au maximum n valeurs propres différentes •
Soient l1, l2, …,lk les valeurs propres différentes de A. On a k
X
i=1
dim ker(A
i In )
n
Algèbre Linéaire 2016
Diagonalisation
Théorème 17.2: Soit A une matrice de format n x n sur un corps K. •
A a au maximum n valeurs propres différentes •
Soient l1, l2, …,lk les valeurs propres différentes de A. On a •
k
X
k
X
dim ker(A
i In )
i=1
n
Si dim
ker(A
i I n ) =
n , donc il y a une matrice inversible P de taille n i=1
telle que 0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
1
P AP = B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
1
..
.
0
1
2
..
.
2
..
0
.
k
..
.
k
Algèbre Linéaire 2016
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
22
Diagonalisation
Théorème 17.2: Soit A une matrice de format n x n sur un corps K. •
A a au maximum n valeurs propres différentes •
Soient l1, l2, …,lk les valeurs propres différentes de A. On a •
k
X
k
X
dim ker(A
i In )
i=1
n
Si dim
ker(A
i I n ) =
n , donc il y a une matrice inversible P de taille n i=1
telle que 0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
1
P AP = B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
1
..
.
0
1
2
..
.
2
..
0
.
k
..
.
k
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
C’est-­‐à-­‐dire, A est similaire à une matrice diagonale
Algèbre Linéaire 2016
22
Diagonalisation
Théorème 17.2: Soit A une matrice de format n x n sur un corps K. •
A a au maximum n valeurs propres différentes •
Soient l1, l2, …,lk les valeurs propres différentes de A. On a •
k
X
k
X
dim ker(A
i In )
i=1
n
Si dim
ker(A
i I n ) =
n , donc il y a une matrice inversible P de taille n i=1
telle que 0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
1
P AP = B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
1
..
.
0
1
2
..
.
2
..
0
.
k
..
.
k
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
Chaque valeur est répétée autant de fois que sa mul4plicité
C’est-­‐à-­‐dire, A est similaire à une matrice diagonale
Algèbre Linéaire 2016
22
Exemple
0
A=@
17
42
12
dim ker(A
8
20
6
1
4
11 A
5
1
I3 ) + dim ker(A
= 1,
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
Algèbre Linéaire 2016
23
Exemple
0
A=@
17
42
12
dim ker(A
0
A@
1
8
20
6
1
4
11 A
5
1
I3 ) + dim ker(A
0
1
2 A=1·@
1
= 1,
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
1
1
2 A
1
Algèbre Linéaire 2016
23
Exemple
0
A=@
17
42
12
dim ker(A
0
A@
1
8
20
6
1
4
11 A
5
1
= 1,
I3 ) + dim ker(A
0
1
2 A=1·@
1
1
1
2 A
1
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
0
A@
1
0
0
1 A=2·@
2
1
0
1 A
2
Algèbre Linéaire 2016
23
Exemple
0
A=@
17
42
12
dim ker(A
0
A@
1
8
20
6
1
4
11 A
5
1
= 1,
I3 ) + dim ker(A
0
1
2 A=1·@
1
1
1
2 A
1
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
0
A@
1
0
0
1 A=2·@
2
1
0
1 A
2
Algèbre Linéaire 2016
0
A@
1
0
2
5 A = ( 1) · @
1
1
2
5 A
1
23
Exemple
0
A=@
17
42
12
8
20
6
dim ker(A
0
A@
1
4
11 A
5
1
= 1,
I3 ) + dim ker(A
1
0
1
2 A=1·@
1
0
=) A @
1
2
1
1
1
2 A
1
0
1
2
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
0
A@
1
1
0
0
1 A=2·@
2
0
2
5 A=@
1
1
2
1
0
1
2
1
0
1 A
2
0
1 0
0
2
5 A = ( 1) · @
1
A@
2
1
5 A·@ 0
1
0
Algèbre Linéaire 2016
1
0
2
0
1
2
5 A
1
1
0
0 A
1
23
Exemple
0
A=@
17
42
12
8
20
6
dim ker(A
0
A@
1
4
11 A
5
1
= 1,
I3 ) + dim ker(A
1
0
1
2 A=1·@
1
0
=) A @
1
2
1
1
1
2 A
1
0
1
2
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
0
A@
1
1
0
0
1 A=2·@
2
0
2
5 A=@
1
1
2
1
0
1
2
1
0
1 A
2
0
1 0
0
2
5 A = ( 1) · @
1
A@
2
1
5 A·@ 0
1
0
Algèbre Linéaire 2016
1
0
2
0
1
2
5 A
1
1
0
0 A
1
23
Exemple
0
A=@
17
42
12
8
20
6
dim ker(A
0
A@
1
4
11 A
5
1
= 1,
I3 ) + dim ker(A
1
0
1
2 A=1·@
1
1
1
2 A
1
=) A @
1
2
1
0
1
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
0
A@
Matrice des vecteurs propres
0
2
1
1
0
0
1 A=2·@
2
0
2
5 A=@
1
1
2
1
0
1
2
1
0
1 A
2
0
1 0
0
2
5 A = ( 1) · @
1
A@
2
1
5 A·@ 0
1
0
Algèbre Linéaire 2016
1
0
2
0
1
2
5 A
1
1
0
0 A
1
23
Exemple
0
A=@
17
42
12
8
20
6
dim ker(A
0
A@
1
4
11 A
5
1
= 1,
I3 ) + dim ker(A
1
0
1
2 A=1·@
1
1
1
2 A
1
=) A @
1
2
1
0
1
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
0
A@
Matrice des vecteurs propres
0
2
1
1
0
0
1 A=2·@
2
0
2
5 A=@
1
1
0
1 A
2
Inversible?
1
2
1
0
1
2
0
1 0
0
2
5 A = ( 1) · @
1
A@
2
1
5 A·@ 0
1
0
Algèbre Linéaire 2016
1
0
2
0
1
2
5 A
1
1
0
0 A
1
23
Exemple
0
A=@
17
42
12
8
20
6
dim ker(A
0
A@
1
4
11 A
5
1
= 1,
I3 ) + dim ker(A
1
0
1
2 A=1·@
1
1
1
2 A
1
=) A @
1
2
1
0
1
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
0
A@
Matrice des vecteurs propres
0
2
1
1
0
0
1 A=2·@
2
0
2
5 A=@
1
1
0
1 A
2
Inversible?
1
2
1
0
1
2
0
1
2
5 A = ( 1) · @
1
A@
1 0
2
1
5 A·@ 0
1
0
0
0
2
0
1
2
5 A
1
1
0
0 A
1
Si oui….
Algèbre Linéaire 2016
23
Exemple
0
A=@
17
42
12
8
20
6
dim ker(A
0
A@
1
4
11 A
5
1
= 1,
I3 ) + dim ker(A
1
0
1
2 A=1·@
1
1
1
2 A
1
=) A @
Si oui….
0
=) @
1
2
1
1
2
1
0
1
2
0
1
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
0
1
A@
1
0
2
5 A
1
1
1
2
1
0
A@
0
1
2
1
2
1
0
1
0
1 A
2
Inversible?
2
5 A=@
1
1
0
0
1 A=2·@
2
Matrice des vecteurs propres
0
2
1 0
Algèbre Linéaire 2016
1
0
0
2
5 A = ( 1) · @
1
A@
2
1
5 A·@ 0
1
0
0
1
2
1
0
2
0
2
1 0
5 A=@ 0 2
1
0 0
1
2
5 A
1
1
0
0 A
1
1
0
0 A
1
23
Exemple
0
A=@
17
42
12
8
20
6
dim ker(A
0
A@
1
4
11 A
5
1
= 1,
I3 ) + dim ker(A
1
0
1
2 A=1·@
1
1
1
2 A
1
=) A @
Si oui….
0
=) @
1
2
1
0
1
2
P-­‐1
1
2
1
0
1
2
= 2,
3
=
1
2I3 ) + dim ker(A + I3 ) = 1 + 1 + 1 = 3
0
1
A@
1
0
2
5 A
1
1
1
2
1
0
A@
0
1
2
0
1 A
2
0
1
2
Algèbre Linéaire 2016
1
1 0
1
0
0
2
5 A = ( 1) · @
1
A@
2
1
5 A·@ 0
1
0
P
1
2
1
0
1
Inversible?
2
5 A=@
1
1
0
0
1 A=2·@
2
Matrice des vecteurs propres
0
2
0
2
0
2
1 0
5 A=@ 0 2
1
0 0
1
2
5 A
1
1
0
0 A
1
1
0
0 A
1
23
Exemple
0
A=@
9
11
22
4
6
8
1
3
1 = 1, 2,3 = 2
3 A
dim ker(A I3 ) + dim ker(A
8
Algèbre Linéaire 2016
2I3 ) = 1 + 2 = 3
24
Exemple
0
A=@
0
A@
9
11
22
1
4
6
8
0
1
1 A=1·@
2
1
3
1 = 1, 2,3 = 2
3 A
dim ker(A I3 ) + dim ker(A
8
2I3 ) = 1 + 2 = 3
1
1
1 A
2
Algèbre Linéaire 2016
24
Exemple
0
A=@
0
A@
9
11
22
1
4
6
8
0
1
1 A=1·@
2
1
3
1 = 1, 2,3 = 2
3 A
dim ker(A I3 ) + dim ker(A
8
1
1
1 A
2
0
1
0
2I3 ) = 1 + 2 = 3
1
4
4
A @ 11 A = 2 · @ 11 A
0
0
Algèbre Linéaire 2016
24
Exemple
0
A=@
0
A@
9
11
22
1
4
6
8
0
1
1 A=1·@
2
1
3
1 = 1, 2,3 = 2
3 A
dim ker(A I3 ) + dim ker(A
8
1
1
1 A
2
0
1
0
1
4
4
A @ 11 A = 2 · @ 11 A
0
0
Algèbre Linéaire 2016
2I3 ) = 1 + 2 = 3
0
1
0
1
3
3
A@ 0 A = 2 · @ 0 A
11
11
24
Exemple
0
A=@
0
A@
9
11
22
1
4
6
8
1
0
1
1 A=1·@
2
0
=) A @
1
1
2
3
1 = 1, 2,3 = 2
3 A
dim ker(A I3 ) + dim ker(A
8
1
0
1
0
1
1
1 A
2
4
4
A @ 11 A = 2 · @ 11 A
0
0
4
11
0
1
0
3
0 A=@
11
1
1
2
4
11
0
2I3 ) = 1 + 2 = 3
1 0
0
0
1
3
3
A@ 0 A = 2 · @ 0 A
11
11
3
1 0
0 A·@ 0 2
11
0 0
Algèbre Linéaire 2016
1
1
0
0 A
2
24
Exemple
0
A=@
0
A@
9
11
22
1
4
6
8
1
0
1
1 A=1·@
2
0
=) A @
1
1
2
3
1 = 1, 2,3 = 2
3 A
dim ker(A I3 ) + dim ker(A
8
1
0
1
0
1
1
1 A
2
4
4
A @ 11 A = 2 · @ 11 A
0
0
4
11
0
1
0
3
0 A=@
11
1
1
2
4
11
0
2I3 ) = 1 + 2 = 3
1 0
0
0
1
3
3
A@ 0 A = 2 · @ 0 A
11
11
3
1 0
0 A·@ 0 2
11
0 0
Algèbre Linéaire 2016
1
1
0
0 A
2
24
Exemple
0
A=@
0
A@
9
11
22
1
4
6
8
1
0
1
1 A=1·@
2
3
1 = 1, 2,3 = 2
3 A
dim ker(A I3 ) + dim ker(A
8
1
1
1 A
2
0
=) A @
1
1
2
4
11
0
0
1
4
4
A @ 11 A = 2 · @ 11 A
0
0
Matrice des vecteurs propres
0
1
2I3 ) = 1 + 2 = 3
1
0
3
0 A=@
11
1
1
2
4
11
0
1 0
0
0
1
3
3
A@ 0 A = 2 · @ 0 A
11
11
3
1 0
0 A·@ 0 2
11
0 0
Algèbre Linéaire 2016
1
1
0
0 A
2
24
Exemple
0
A=@
0
A@
9
11
22
1
4
6
8
1
0
1
1 A=1·@
2
3
1 = 1, 2,3 = 2
3 A
dim ker(A I3 ) + dim ker(A
8
1
1
1 A
2
0
=) A @
1
1
2
4
11
0
0
1
4
4
A @ 11 A = 2 · @ 11 A
0
0
Matrice des vecteurs propres
0
1
2I3 ) = 1 + 2 = 3
1
0
3
0 A=@
11
Inversible?
1
1
2
4
11
0
1 0
0
0
1
3
3
A@ 0 A = 2 · @ 0 A
11
11
3
1 0
0 A·@ 0 2
11
0 0
Algèbre Linéaire 2016
1
1
0
0 A
2
24
Exemple
0
A=@
0
A@
9
11
22
1
4
6
8
1
0
1
1 A=1·@
2
3
1 = 1, 2,3 = 2
3 A
dim ker(A I3 ) + dim ker(A
8
1
1
1 A
2
0
1
1
2
=) A @
Si oui….
0
=) @
1
1
2
4
11
0
4
11
0
0
1
0
4
4
A @ 11 A = 2 · @ 11 A
0
0
Matrice des vecteurs propres
0
1
2I3 ) = 1 + 2 = 3
1
0
3
0 A=@
11
1
3
0 A
11
1
0
A@
Inversible?
1
1
2
4
11
0
1
4
1 11
2 0
1
1
3
1 0
0 A·@ 0 2
11
0 0
0
3
1
0 A=@ 0
11
0
Algèbre Linéaire 2016
0
3
3
A@ 0 A = 2 · @ 0 A
11
11
1 0
1
1
0
0 A
2
0
2
0
1
0
0 A
2
24
Exemple
0
A=@
0
A@
9
11
22
1
4
6
8
1
0
1
1 A=1·@
2
3
1 = 1, 2,3 = 2
3 A
dim ker(A I3 ) + dim ker(A
8
1
1
1 A
2
0
1
1
2
=) A @
Si oui….
0
=) @
4
11
0
P-­‐1
1
1
2
4
11
0
0
1
0
4
4
A @ 11 A = 2 · @ 11 A
0
0
Matrice des vecteurs propres
0
1
2I3 ) = 1 + 2 = 3
1
0
3
0 A=@
11
1
3
0 A
11
1
0
A@
Inversible?
1
1
2
4
11
0
1
4
1 11
2 0
0
3
1
0 A=@ 0
11
0
Algèbre Linéaire 2016
1
1
3
1 0
0 A·@ 0 2
11
0 0
1
0
3
3
A@ 0 A = 2 · @ 0 A
11
11
1 0
P
1
0
0 A
2
0
2
0
1
0
0 A
2
24