MODUL PERKULIAHAN
STATISTIK
POKOK BAHASAN :
STATISTIK NON PARAMETRIK
Fakultas
Program Studi
Teknik Mesin
Teknik Mesin
MATERI :
1.
Arti penting Metode NonParametrik.
2.
Uji Tanda.
3.
Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon.
4.
Uji Mann-Whitney.
5.
Uji Kruskal-Wallis.
6.
Koefisien Korelasi Peringkat
Spearman.
7.
Soal-Soal Latihan/ TUGAS
MODUL KULIAH.
Tatap Muka
11
Kode MK
Disusun Oleh
W131700017
DR.IR.ROSMINA ZUCHRI,MT
Kompetensi
diharapkan mampu :
.
1.
Mengetahui Situasi yang membutuhkan pemakaian metode nonparametrik.
2.
Menggunakan Prosedur Uji Tanda untuk mengetahui adanya
perbedaan antara pasangan data Ordinal.
3.
Menggunakan Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon pada situasi di
mana besar dan arah perbedaan dari pasangan data ordinal
diketahui.
4.
Menggunakan Uji Mann-Whitney pada dua kumpulan data yang
diambil dari dua sampel independen.
5.
Menggunakan analisis Kruskal-Wallis sebagai alternative nonparametrik dari Uji ANOVA (analisis of Varians).
6.
Menghitung koefisien korelasi peringkat Spearman.
Pembahasan
KULIAH KE 11 (SEBELAS) TANGGAL 25 MEI 2019 HARI SABTU 14.30 – 16.59 WIB
KAMPUS D KRANGGAN GEDUNG C108
BAB 13.
BEBERAPA METODE NON-PARAMETRIK
TUJUAN PEMBELAJARAN :
Setelah mempelajari bab ini, pembaca diharapkan mampu :
1. Mengetahui Situasi yang membutuhkan pemakaian metode non-parametrik.
2. Menggunakan Prosedur Uji Tanda untuk mengetahui adanya perbedaan antara
pasangan data Ordinal.
3. Menggunakan Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon pada situasi di mana besar dan
arah perbedaan dari pasangan data ordinal diketahui.
4. Menggunakan Uji Mann-Whitney pada dua kumpulan data yang diambil dari dua
sampel independen.
5. Menggunakan analisis Kruskal-Wallis sebagai alternative non-parametrik dari Uji
ANOVA (analisis of Varians).
6. Menghitung koefisien korelasi peringkat Spearman.
POKOK BAHASAN :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Arti penting Metode Non-Parametrik.
Uji Tanda.
Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon.
Uji Mann-Whitney.
Uji Kruskal-Wallis.
Koefisien Korelasi Peringkat Spearman.
Soal-Soal Latihan/ TUGAS MODUL KULIAH.
POKOK BAHASAN :
13.1. Arti penting Metode Non-Parametrik.
Teknik-teknik Inferensial yang telah dibahas sebelumnya Meliputi :
 Estimasi;
 Uji Hipotesis Sampel Tunggal;
 Uji Hipotesis Sampel Ganda; dan
 Beberapa analisis inferensial lainnya;
 Regresi dan Korelasi Linier Sederhana.
Pada dasarnya adalah metode untuk mendapatkan nilai-nilai dari parameter seperti :


Mean (rata-rata);
Varians; dan
2
 lain sebagainya, dengan menggunakan data dari sampel.
Metode-metode ini kemudian dikenal sebagai metode parametric. Untuk menggunakan
teknik-teknik tersebut, asumsi dasar yang digunakan adalah bahwa sampel berasal dari
populasi yang mengikuti suatu distribusi tertentu, misalnya distribusi Normal.
Namun dalam banyak hal, asumsi tersebut sulit dilakukan karena tidak ada informasi yang
cukup memberi petunjuk mengenai bentuk distribusi populasi yang dikaji. Dalam kondisi
seperti ini metode-metode non-parameterik dapat digunakan untuk melakukan suatu
uji statistic sebagai alat untuk mengambil keputusan.
Karena bentuk distribusi yang mengatur populasi tidak menjadi prasyarat asumsi awal, maka
metode ini sering juga disebut sebagai metode bebas-distribusi.
Secara umum, ketika kedua metode parametric dan non-parametrik dapat digunakan untuk
suatu masalah tertentu, maka prosedur parameterik akan lebih efisien.
Dengan karakteristik yang dijelaskan diatas, metode non-parametrik kebanyakan dipakai
dalam menangani data kualitatif. Metode non parametric ini khususnya digunakan dalam
menangani situasi berikut :
1). Jika ukuran sampel terlalu kecil sehingga distribusi sampling dari statistic tidak mendekati
distribusi normal dan ketika bentuk distribusi populasi asal sampel tersebut tidak dapat
diasumsikan.
2). Jika digunakan jenis data ordinal (atau data peringkat).
3). Jika digunakan jenis data nominal.
Dengan demikian dapat dipahami bahwa metode non-parametrik memberi keleluasaan yang
lebih luas dalam melakukan inferensi statistic karena metode ini dapat digunakan dalam
keterbatasan data dari sampel dan keterbatasan informasi mengenai populasi. Meskipun tidak
seefisien metode parametric, metode non-parametrik lebih mudah dipahami dibandingkan
dengan metode parametric serta melibatkan perhitungan-perhitungan yang lebih sederhana.
Namun terdapat juga beberapa keterbatasan dari metode non-parametrik. JIka jenis data yang
digunakan adalah data ordinal atau data nominal, maka seluruh data hasil pengukuran yang
sudah tersedia diabaikan sehingga menjadi sia-sia. Hasil dari uji statistic dengan metode ini
juga bersifat lebih umum, namun kurang begitu kuat dan kurang sensitive di bandingkan
dengan hasil dari uji statistik yang menggunakan metode parametric.
Akan dijelaskan beberapa metode non-parametrik yang masing-masing diuraikan :



Tujuan penggunaan;
prosedur; serta
contoh-contoh pemakaiannya yang berkaitan dengan bidang teknik.
3
Beberapa metode non-parametrik meliputi :
Uji Tanda;
Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon;
Uji Mann-Whitney;
Uji Kruskal-Wallis.
13.2. Uji Tanda.
13.2.1. Tujuan Penggunaan Uji Tanda
Uji tanda (sign test) digunakan untuk :
Mengetahui ada-tidaknya perbedaan (tanpa memandang besar-kecilnya perbedaan tersebut)
dari data ordinal pasangan yang diperoleh dari subjek yang sama atau subjek yang
berpasangan (sampel yang saling terikat).
Uji tanda ini didasari atas tanda negative atau positif dari perbedaan antara pasangan data
ordinal tersebut.
Data Ordinal adalah : ……………………….
b. Data ordinal
Data ordinal, selain memiliki nama (atribut), juga memiliki peringkat atau urutan.
Angka yang diberikan mengandung tingkatan. Ia digunakan untuk mengurutkan objek dari
yang paling rendah sampai yang paling tinggi, atau sebaliknya.
Ukuran ini tidak memberikan nilai absolut terhadap objek, tetapi hanya memberikan
peringkat saja.
Jika kita memiliki sebuah set objek yang dinomori, dari 1 sampai n, misalnya peringkat 1, 2,
3, 4, 5 dan seterusnya, bila dinyatakan dalam skala, maka jarak antara data yang satu
dengan lainnya tidak sama.
Ia akan memiliki urutan mulai dari yang paling tinggi sampai paling rendah.
Atau paling baik sampai ke yang paling buruk. Misalnya dalam skala Likert (Moh Nazir),
mulai dari:





sangat setuju,
setuju,
ragu-ragu,
tidak setuju
sangat tidak setuju.
Atau jawaban pertanyaan tentang kecenderungan masyarakat untuk menghadiri rapat umum
pemilihan kepala daerah, mulai dari:




tidak pernah absen menghadiri, dengan kode 5,
kadang-kadang saja menghadiri, dengan kode 4,
kurang menghadiri, dengan kode 3,
tidak pernah menghadiri, dengan kode 2
4

tidak ingin menghadiri sama sekali, dengan kode 1.
Dari hasil pengukuran dengan menggunakan skala ordinal ini akan diperoleh data ordinal.
Alat analisis (uji hipotesis asosiatif) statistik nonparametrik yang lazim digunakan untuk data
ordinal adalah Spearman Rank Correlation dan Kendall Tau.
13.2.2. Prosedur Uji Tanda
Meskipun terdapat beberapa perbedaan dengan metode parametric, Prosedur umum 7 (tujuh)
langkah dalam uji hipotesis digunakan pula untuk uji hipotesis non-parametrik.
Prosedur nya meliputi, yaitu :
1). Pernyataan hipotesis nol (Ho) dan hipotesisi alternative (Ha).
Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternative dari uji tanda ini tergantung dari jenis uji
yang akan dilakukan, apakah akan merupakan uji satu ujung atau uji dua ujung.
Uji Satu Ujung adalah :…………….
Uji Dua Ujung adalah :…………
Ada dua macam pengujian yang dapat dilakukan dalam konteks pengujian hipotesis, yaitu
pengujian :
 hipotesis satu ujung (one-tailed test) dan
 hipotesis dua ujung (two-tailed test)
a. Jenis uji mana yang akan dilakukan tergantung dimana daerah penolakan hipotesis nol
terjadi
tailed test)
(one-tailed test)
2). Pemilihan tingkat kepentingan (Level of Significance) atau α.
3). Pencacahan tanda dari perbedaan antara hasil pengamatan yang berpasangan :
Langkah ini dimulai dengan secara sistimatik mengurangi nilai suatu pengamatan dari
pengamatan lainnya, dan mencatat perbedaan tersebut sebagai bertanda positif, negative, atau
nol. Banyaknya observasi yang relevan (tidak menghasilkan tanda nol) biasanya
dilambangkan sebagai n, banyaknya tanda positif dilambangkan sebagai R, sedangkan
banyaknya tanda negative di lambangkan sebagai r.
4). Penentuan Distribusi pengujian yang digunakan :
Meskipun metode non parametric tidak menggunakan asumsi mengenai bentuk distribusi
populasinya, perhitungan metode ini mensyaratkan penggunaan :


Distribusi binomial jika sampel berukuran kecil (≤ 30) atau pendekatan
Distribusi normal (distribusi z) terhadap distribusi binomial jika sampel besar (≥ 30).
5
5). Pernyataan Aturan Keputusan.
Perhitungan data keputusan jika sampel berukuran kecil atau perhitungan rasio uji jika data
berukuran besara adalah sebagai berikut :
RU 
2R  n
n
6). Perhitungan data Keputusan.
7). Pengambilan Keputusan Secara Statistik
Prosedur Uji Tanda dapat digambar dalam Diagram Alir yang disajikan pada Gambar
13.1.
6
Mulai
Nyatakan Hipotesis Nol Alternatif
Pilih tingkat kepentingan, α
Y
Susun pengamatan berpasangan,
tentukan tanda perbedaan dan cacah
banyaknya tanda positif, negative dan
nol.
Ukuran sampel
kecil (≤ 30)?
T
Y
Gunakan distribusi binomial
Gunakan distribusi Z
Tetapkan aturan keputusan
Tetapkan aturan keputusan
Tetapkan r dan n
Hitung Rasio Uji :
RU 
Hitung fungsi distribusi kumulatif fb (r,n,p) dengan
p=0,5
Gunakan persamaan :
n
n
k 0
k 0
2R  n
n
Fb( x; n, p)   pb(k ; n, p)   nCk. p k (1  p) n  k
Atau gunakan Tabel Probabilitas Normal.
Bandingkan hasil perhitungan dengan α
Bandingkan RU dengan aturan keputusan
Penarikan kesimpulan statistic mengenai hipotesis nol
Selesai
Gambar 13.1. Prosedur Uji Tanda (Sign Test)
7
Statistik merupakan sekumpulan angka angka yang dapat memberikan gambaran mengenai
keadaan suatu keadaan/gejala. Dan ternyata Parameter juga memiliki pengertian
sekumpulan angka angka yang dapat memberikan gambaran mengenai keadaan suatu
keadaan/gejala. Yang membedakan Statistik dan Parameter adalah adalah data awal yang
diolah untuk dijadikan Informasi. Statistik menggunakan Sampel sebagai data awalnya,
sedangkan parameter menggunakan populasi.
Menurut KBBI, pengertian Populasi adalah sebagai berikut
populasi/po·pu·la·si/ n 1 seluruh jumlah orang atau penduduk di suatu daerah; 2 jumlah orang atau
pribadi yang mempunyai ciri-ciri yang sama; 3jumlah penghuni, baik manusia maupun makhluk hidup
lainnya pada suatu satuan ruang tertentu; 4 sekelompok orang, benda, atau hal yang menjadi sumber
pengambilan sampel; suatu kumpulan yang memenuhi syarat tertentu yang berkaitan dengan
masalah penelitian
Sementara itu pengertian Sampel menurut KBBI adalah
sampel/sam·pel/ n Stat 1 sesuatu yang digunakan untuk menunjukkan sifat suatu kelompok yang
lebih besar; 2 bagian kecil yang mewakili kelompok atau keseluruhan yang lebih besar; percontoh
Untuk lebih memahami apa itu Populasi, Sampel, lebih baik jika kita langsung melihat ke
contoh kasusnya.
Contoh :
Kita ingin mengetahui rata-rata tinggi badan Mahasiswa Baru di suatu kampus yang
berjumlah 5000 mahasiswa. Karena untuk mengukur 5000 mahasiswa memerlukan waktu
dan tenaga yang sangat banyak, maka kita bisa memilih beberapa (misal 500 mahasiswa)
yang dianggap mewakili 5000 mahasiswa tersebut. Nah Populasi dari kejadian tersebut
adalah 5000 mahasiswa, dan Sampelnya adalah 500 mahasiswa yang diukur.
Dari contoh kasus diatas dapat kita simpulkan bahwa perbedaan antara Populasi dan
Sampel adalah, Populasi merupakan keseluruhan dari objek yang ingin kita teliti, sedangkan
Sampel adalah bagian yang kita anggap mewakili objek secara keseluruhan yang akan kita
beri
perlakuan/yang
diukur.
Lalu mengapa harus ada Populasi dan Sampel? Hal tersebut diadakan tak lain untuk
memudahkan dalam penelitian/pengukuran. Jika kita ingin mengetahui sifat suatu populasi
yang sangat banyak, kita bisa mengambil beberapa sampel yang dianggap bisa mewakili
dari keseluruhan populasi tersebut. Nah dengan mengukur sampel tersebut, kita bisa
memperkirakan ukuran dari keseluruhan populasi.
8
13.2.3. Soal 13.1.
Seorang insinyur bangunan ingin mengganti film pelapis kaca yang digunakan pada suatu
gedung perkantoran. Untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan performa, dia melakukan
perbandingan bukan hanya sekedar pada kemampuan mengurangi intensitas cahaya yang
masuk, namun juga menyangkut masalah harga, estetika, dan kemudahan pemasangan.
Insinyur ini meminta kepada 10 penyewa ruangan di gedung itu untuk melakukan penilian
dengan memberikan nilai dengan skala 1 sampai 10 untuk performa dari kedua film pelapis
tersebut. Hasilnya ditunjukkan dalam table soal 13.1.
Tabel 13.1. Tenant (Penyewa dan Penilaian film Pelapis model baru dan Lama.
Tenant
(Penyewa)
(1)
Tenant A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Film Pelapis
Model lama
(2)
5
8
2
5
3
3
8
4
6
1
Penilaian
Film Pelapis
Perbedaan
Model baru
(Baru-lama)
(3)
(4)=(3)-(2)
10
5
4
-4
2
0
5
0
6
3
9
6
5
-3
6
2
7
1
3
2
Tanda
perbedaan
(5)
+
0
0
+
+
+
+
+
 Uji tanda dari persoalan diatas dilakukan sebagai berikut :
1). Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternative.
Hal yang ingin diketahui oleh insinyur tersebut adalah apakah film pelapis kaca yang baru
performanya lebih baik dari pada yang lama.
Untuk itu hipotesis nol yang dapat dinyatakan adalah bahwa film pelapis kaca yang baru
performanya tidak berbeda dengan yang lama (atau probabilitas yang mengatakan terjadi
peningkatan performa dengan yang mengatakan terjadi penurunan performa saling
mengimbangi, masing-masing 50 %).
SEdangkan hipotesis alternatifnya adalah film pelapis kaca yang baru lebih baik daripada
yang lama. Dengan demikian uji tanda yang dilakukan adalah uji ujung kanan dengan :
Ho : p = 0,5
H1 : p > 0,5.
Dimana p adalah probabilitas dari mendapatkan jawaban terjadi peningkatan performa.
2). Pemilihan tingkat kepentingan, α. Biasanya α dipilih = 0,05
9
3). Pencacahan tanda dari perbedaan antara hasil pengamatan pasangan : Lihat Tabel
soal 13..1. diatas.
Tenant
(Penyewa)
(1)
Tenant A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Film Pelapis
Model lama
(2)
5
8
2
5
3
3
8
4
6
1
Penilaian
Film Pelapis
Perbedaan
Model baru
(Baru-lama)
(3)
(4)=(3)-(2)
10
5
4
-4
2
0
5
0
6
3
9
6
5
-3
6
2
7
1
3
2
Tanda
perbedaan
(5)
+
0
0
+
+
+
+
+
Dari Tabel tersebut diperoleh :
Banyaknya tanda positif atau R = 6.
Banyaknya tanda negative atau r = 2.
Banyaknya observasi yang relevan atau n = 6+2 = 8.
4). Penentuan distribusi pengujian yang digunakan.
Banyaknya sampel yaitu 8 buah, jika sampel berukuran kecil atau ≤ 30 buah maka distribusi
yang digunakan adalah Distribusi binomial.
5). Pernyataan Aturan Keputusan.
Aturan keputusan untuk uji tanda sampel kecil adalah:
“ Tolak Ho dan Terima H1 jika tingkat kepentingan atau α > probabilitas hasil
sampel.
Tetapi jika tidak demikian maka terima Ho”.
6). Perhitungan Data Keputusan.
Jika Ho benar, maka dari 8 buah observasi seharusnya diharapkan 4 bertanda positif dan 4
bertanda negative. Namun dari sampel terdapat hanya 2 observasi yang bertanda negative.
Sehingga berdasarkan kenyataan itu, dan juga dari sifat uji ujung kanan, kita ingin menjawab
pertanyaan berikut : yaitu “ Berapakah peluang memperoleh sebanyak-banyaknya hanya 2
dari 8 observasi yang memberikan tanda negative jika Ho benar ( aytau jika 50 % observasi
seharusnya bertanda positif dan 50 % lainnya bertanda negative)?”. Dalam kasus ini,
perhitungan data keputusannya adalah menentukan probabilitas kumulatif dari distribusi
binomial dengan n=8, r=2, p=0,5.
Menurut persamaan Fungsi Distribusi kumulatif dari Distribusi probabilitas binomial yaitu :
10
x
x
k 0
k 0
Fb( x; n, p)   pb(k ; n, p)   nCk. p k (1  p) n  k
x  0,1,2,.........n
Fb( x; n, p)   nCk. pk.q
nk
b  1,2,3,......
0  p 1
Jadi fungsi probabilitas binomial adalah fungsi dengan dua buah parameter yaitu n dan p.
Masukkan nilai-nilai R dan r soal pada rumus tersebut yaitu :
x
x
k 0
k 0
2
x
k 0
k 0
Fb( x; n, p)   pb(k ; n, p)   nCk. p k (1  p) n  k
Fb(2;8,0,5)   pb(k ;8,0,5)   8Ck.(0,5) k (1  0,5)8  k
Fb(2;8,0,5)  8Co(0,5)o (0,5)8  8C1(0,5)1 (0,5)7  8C 2(0,5) 2 (0,5)6
Fb(2;8,0,5)  0,0039
 0,0312
 0,1094
Fb(2;8,0,5)  0,1445.
Atau 0,1445 = 14,45 %.
Hasil diatas menunukkan bahwa jika tidak terdapat perbedaan performa antara film pelapis
kaca model lama dengan model baru, maka peluang memperoleh sebanyak-banyaknya hanya
2 dari 8 observasi yang memberikan tanda negative adalah 14,45 %.
7). Pengambilan Keputusan Secara Statistik.
Dari perhitungan diperoleh bahwa : α (=0,05) < probabilitas hasil sampel (0,1445) sehingga
dari aturan keputusan yaitu pada aturan No. 5).
5). Pernyataan Aturan Keputusan.
Aturan keputusan untuk uji tanda sampel kecil adalah:
“ Tolak Ho dan Terima H1 jika tingkat kepentingan atau α > probabilitas hasil
sampel.
Tetapi jika tidak demikian maka terima Ho”.
Maka Ho diterima.
Artinya, dengan tingkat kepentingan 5 % atau tingkat kepercayaan 95 % dari data yang
diperoleh kita dapat mengatakan bahwa film pelapis kaca yang baru performanya tidak
berbeda dengan yang lama.
NB. Atau bisa juga dengan menggunakan Tabel Binomial yaitu Tabel pada Lampiran
halaman……………..
11
Soal 13.2.
Seorang insinyur bangunan ingin mengganti film pelapis kaca yang digunakan pada suatu
gedung perkantoran. Untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan performa, dia melakukan
perbandingan bukan hanya sekedar pada kemampuan mengurangi intensitas cahaya yang
masuk, namun juga menyangkut masalah harga, estetika, dan kemudahan pemasangan.
Insinyur ini meminta kepada 10 penyewa ruangan di gedung itu untuk melakukan penilian
dengan memberikan nilai dengan skala 1 sampai 10 untuk performa dari kedua film pelapis
tersebut. Hasilnya ditunjukkan dalam table soal 13.1.
Tabel 13.1. Tenant (Penyewa dan Penilaian film Pelapis model baru dan Lama.
Tenant
(Penyewa)
(1)
Tenant A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Film Pelapis
Model lama
(2)
5
8
2
5
3
3
8
4
6
1
Penilaian
Film Pelapis
Perbedaan
Model baru
(Baru-lama)
(3)
(4)=(3)-(2)
10
5
4
-4
2
0
5
0
6
3
9
6
5
-3
6
2
7
1
3
2
Tanda
perbedaan
(5)
+
0
0
+
+
+
+
+
JIka dalam contoh Tabel 13.1. sampel yang diambil sebanyak 35 dan penilaian terhadap
performa film pelapis kaca memberikan hasil pengamatan pasangan sebagai berikut :
perbedaan positif (+) = 19; perbedaan negative (-) = 13; tidak ada perbedaan = 3; maka
Ditanya : Uji Tanda untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan performa antara film
pelapis kaca yang lama dengan yang baru.
Penyelesaian :
……………….
………..
13.3. Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon.
13.3.1. Tujuan Penggunaan Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon.
Uji tanda yang dibahas sebelumnya hanya menunjukkan ada tidaknya perbedaan data ordinal
pasangan yang diperoleh dari subjek yang sama atau subjek yang berpasangan, namun tidak
memberikan petunjuk mengenai besarnya perbedaan tersebut. Sedangkan Uji perungkat
bertanda Wilcoxon menggunakan Arah dan besar perbedaan untuk mengetahui apakah benarbenar terdapat perbedaan pada data ordinal pasangan tersebut.
13.3.2. Prosedur Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon.
12
Soal 13.3. Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
Seorang insinyur bangunan ingin mengganti film pelapis kaca yang digunakan pada suatu
gedung perkantoran. Untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan performa, dia melakukan
perbandingan bukan hanya sekedar pada kemampuan mengurangi intensitas cahaya yang
masuk, namun juga menyangkut masalah harga, estetika, dan kemudahan pemasangan.
Insinyur ini meminta kepada 10 penyewa ruangan di gedung itu untuk melakukan penilian
dengan memberikan nilai dengan skala 1 sampai 10 untuk performa dari kedua film pelapis
tersebut. Hasilnya ditunjukkan dalam table soal 13.1.
Tabel 13.1. Tenant (Penyewa dan Penilaian film Pelapis model baru dan Lama.
Tenant
(Penyewa)
(1)
Tenant A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Film Pelapis
Model lama
(2)
5
8
2
5
3
3
8
4
6
1
Penilaian
Film Pelapis
Perbedaan
Model baru
(Baru-lama)
(3)
(4)=(3)-(2)
10
5
4
-4
2
0
5
0
6
3
9
6
5
-3
6
2
7
1
3
2
Tanda
perbedaan
(5)
+
0
0
+
+
+
+
+
Ditanya : Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon.
………….
13.4. Uji Mann-Whitney.
13.4.1. Tujuan Penggunaan Uji Mann-Whitney
Uji Mann-Whitney digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya perbedaan dari dua
himpunan data yang berasal dari sampel independen. Uji Mann-Whitney adalah Uji NonParametrik yang menjadi alternative dari Uji t (Uji parametric).
Uji Mann-Whitney tidak memerlukan asumsi populasi terdistribusi Normal, namun hanya
mengasumsikan bahwa populasi-populasi tersebut mempunyai bentuk yang sama.
Kelebihan uji ini dibandingkan Uji t, adalah Uji ini dapat digunakan pada data ordinal atau
data peringkat.
Uji Mann-Whitney ini sering disebut juga Uji U, karena Statistik yang digunakan
untuk menguji Hipotesis nolnya disebut U.
13
13.4.2. Prosedur Uji Mann-Whitney.
13.4.3. Soal 13.4.
Tabel 13.4.
Pinus
0,98
1,40
1,33
1,52
0,73
1,20
Oak
1,72
0,67
1,55
1,56
1,42
1,23
1,77
0,48
Waktu pembakaran (dalam jam) dari sampel-sampel kayu pinus dan kayu Oak. Pengujian
dengan tingkat kepentingan 0,05, dilakukan untuk mengetahui :
Ditanya : Apakah sesungguhnya terdapat perbedaan dari waktu pembakaran dari kedua jenis
kayu tersebut.
Penyelesaian :
Karena bentuk distribusi populasi asal sampel tersebut tidak dapat diasumsikan, maka
dilakukan uji Mann-Whitney sbb :
Tahapannya adalah :
1). Pernyataan Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif :
Ho : Waktu pembakaran kedua jenis kayu tersebut sama.
H1 : Waktu pembakaran kedua jenis kayu tersebut tidak sama.
2). Pemilihan tingkat kepentingan atau α = 0,01 atau 1%. Jadi tingkat kepercayaannya
= 99 % atau 0,99.
3). Pembuatan peringkat data tanpa membedakan kategori sampel :
Data waktu pembakaran dari sampel kedua jenis kayu tersebut disusun dalam Tabel berikut
dan ditentukan peringkat datanya :
Pinus
Sampel
Sampel
Sampel
Sampel
Sampel
Sampel
Oak
Waktu
Peringkat
Sampel 1
1,72
13
Sampel 2
0,67
2
Sampel 3
1,55
11
Sampel 4
1,56
12
Sampel 5
1,42
9
Sampel 6
1,23
6
Sampel 7
1,77
14
Sampel 8
0,48
1
Total
Total
Total
Total
Observasi
Peringkat
Observasi
Peringkat
atau n1= 6
Atau R1=37
atau n2 = 8
Atau R2=68
NB. Untuk menentukan peringkatnya adalah dengan menentukan data yang terkecil ke besar
dari kedua sampel tersebut.
1
2
3
4
5
6
Waktu
0,98
1,40
1,33
1,52
0,73
1,20
Peringkat
4
8
7
10
3
5
4). Penentuan Distribusi pengujian yang digunakan :
Untuk Uji ini digunakan suatu Distribusi baru yang disebut Distribusi U.
5). Pernyataan Aturan Keputusan :
14
Tabel 13.2. Nilai UCr pada Uji Mann-Whitney Sumber Buku Satistik karangan Dr. Harinaldi.
Untuk Uji dua Ujung-Nilai Ucr; α =0,01 untuk Uji dua ujung (α = 0,005 untuk uji satu
Ujung).
1
2
3
4
5
1
2
3
4
n2 5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
6
7
8
9
n1
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
4
Dalam uji ini kita melakukan Uji dua-Ujung dengan tingkat kepentingan 0,01 dengan n1=6;
n2=8. Dari Tabel diatas diperoleh Nilai U Cr = 4. Maka , aturan keputusannya adalah :
Tolak Ho dan Terima H1 jika nilai U hitung  4.
Jika tidak demikian, maka terima Ho.
6). Perhitungan Data Keputusan :
Perhitungan dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut yaitu :
Gunakan rumus U1.
U 1  n1.n2 
n1(n1  1)
 R1
2
Dan Rumus U2.
U 2  n1.n2 
n2(n2  1)
 R2
2
Masukkan nilai n1;,n2; R1 dan R2 kedalam persamaan U1 dan U2 tersebut maka diperoleh :
15
U 1  (6)(8) 
6(6  1)
 37
2
U 1  32
U 2  (6)(8) 
8(8  1)
 68
2
U 2  16
Karena Uji yang dilakukan adalah Uji dua Ujung, maka diambil U hitung adalah U yang
terkecil yaitu U hitung = U2 = 16.
7). Pengambilan Keputusan Secara Satistik
U Tabel adalah =4
U Hitung = 16.
Maka U Hitung > U Tabel maka :
dari Hipotesis no 5 , aturan keputusannya adalah :
Tolak Ho dan Terima H1 jika nilai U hitung  4.
Jika tidak demikian, maka terima Ho.
Karena U Hitung 16 > U table 4 maka Hipotesis nol atau HoTerima . atau Ho diterima.
Hal ini menunjukkan bahwa dengan tingkat kepentingan 1 % atau α =0,01 dan tingkat
kepercayaan 99 % dari data yang diperoleh kita dapat mengatakan tidak ada perbedaan waktu
pembakaran antara kedua jenis kayu tersebut (jenis Pinus dan Oak).
SELESAI
16
PR KUMPULKAN MINGGU DEPAN.
Tabel 13.4.
Pinus
0,98
1,40
1,33
1,52
0,73
1,20
Oak
1,72
0,67
1,55
1,56
1,42
1,23
1,77
0,48
NB. Tambahkan semua angka dalam Tabel ini 2 angka belakang dari NIM anda dalam koma.
Missal Rossy NIM 20190022 maka tambahkan 0,22. Misal 0,98 + 0,22 = 1,20 dan seterusnya
untuk angka-angka yang lain.
Waktu pembakaran (dalam jam) dari sampel-sampel kayu pinus dan kayu Oak. Pengujian
dengan tingkat kepentingan 0,05 dan 0,01, dilakukan untuk mengetahui :
Ditanya :
Apakah sesungguhnya terdapat perbedaan dari waktu pembakaran dari kedua jenis kayu
tersebut.
Penyelesaian :
………………………………..
13.5. Uji Kruskal-Wallis.
13.5.1. Tujuan Penggunaan Uji Kruskal-Wallis
Uji Kruskal-Wallis, yang sering juga disebut sebagai Uji H, berkaitan dengan tiga atau
lebih sampel acak yang independen dengan tujuan untuk mengetahui apakah sampel-sampel
tersebut berasal dari populasi yang memiliki Mean yang sama.
Pada Uji parametric Uji yang sejenis adalah Uji ANOVA (Analisis of Varian) yang
mensyaratkan bahwa populasi yang dikaji memiliki distribusi Normal dan varians yang sama.
Uji Krussal-Wallis juga mengasumsikan varians yang sama, tetapi uji ini hanya mensyaratkan
bahwa populasi-populasi yang dikaji bersifat kontinu dan mempunyai bentuk yang sama
(bentuknya bias menceng kana, bimodal, platikurtik, dll). Selain itu Uji Krussal-Wallis
mempunyai kelebihan yaitu dapat digunakan untuk menagani data ordinal atau data
peringkat.
13.5.2. Prosedur Uji Kruskal-Wallis.
13.5.3. Soal 13.5.
Data Soal 13.5.
No.
1
2
3
4
5
6
Mesin A
5
5
6
4
6
6
Mesin B
7
6
6
7
7
5
Mesin C
3
6
8
4
7
4
Mesin D
7
6
5
2
5
3
17
Untuk mengetahui apakah 4 buah mesin (A;B;C dan D) yang beroperasi mempunyai efisiensi
yang sama, seorang Insinyur produksi mengambil 6 sampel acak terdiri dari 100 produk
(populasi) yang dihasilkan oleh setiap mesin dan mencatat jumlah produk yang tidak
memenuhi spesifikasi dari setiap batch tersebut.
Ditanya :
Uji menggunakan Krussal-Wallis Apakah 4 buah mesin yang beroperasi tersebut mempunyai
efisiensi yang sama.
Penyelesaian :
……………………
13.6. Koefisien Korelasi Peringkat Spearman.
13.6.1. Kegunaan Koefisien Korelasi Peringkat Spearman.
Koefisien Korelasi Peringkat Spearman (rs) adalah : Suatu Ukuran dari kedekatan hubungan
antara dua variable ordinal. Dengan demikian koefisien korelasi peringkat Spearman
berfungsi mirip dengan koefisien Korelasi linier ( r) yang telah dijelaskan pada kuliah
Regresi minggu lalu pada MODUL KULIAH REGRESI.
Hanya saja yang digunakan adalah nilai-nilai peringkat dari variabel x dan variable y , bukan
nilai sebenarnya.
13.6.2. Prosedur Perhitungan Koefisien Korelasi Peringkat Spearman.
13.6.3. Soal 13.6.
PT. Legwiz Widharta Manufacture mengadakan pelatihan kepada 11 sales engineer nya
dengan tujuan meningkatkan kemampuan pemasaran produk-produk perusahaan PT.LWM
tersebut. Anda sebagai Manager SDM ingin mengetahui apakah ada hubungan antara prestasi
dalam pelatihan dengan kinerja sesungguhnya dari kemampuan memasarkan produk.
Pada tahun berikutnya, kinerja para sales engineer tersebut dicatat, dan hasilnya dibuat dalam
peringkat.
Ditanya :
1). Hitung Koefisien Korelasi peringkat Spearman atau rs nya.
2). Apakah ada hubungan antara prestasi dalam pelatihan dengan kinerja sesungguhnya dari
kemampuan memasarkan produk.
Penyelesaian :
………………………………….
……………………….
…………………..
18
13.6.4. Uji Kepentingan Nilai rs
Suatu prosedur Uji yang lebih Formal dapat dilakukan untuk mengetahui apakah benar-benar
terdapat hubungan secara statistic seperti yang diindikasikan oleh nilai koefisien korelasi
peringkat spearman atau rs
13.6.5. Soal 13.7.
PT. Legwiz Widharta Manufacture mengadakan pelatihan kepada 11 sales engineer nya
dengan tujuan meningkatkan kemampuan pemasaran produk-produk perusahaan PT.LWM
tersebut. Anda sebagai Manager SDM ingin mengetahui apakah ada hubungan antara prestasi
dalam pelatihan dengan kinerja sesungguhnya dari kemampuan memasarkan produk.
Pada tahun berikutnya, kinerja para sales engineer tersebut dicatat, dan hasilnya dibuat dalam
peringkat.
Ditanya :
1). Hitung Koefisien Korelasi peringkat Spearman atau rs nya.
2). Apakah ada hubungan antara prestasi dalam pelatihan dengan kinerja sesungguhnya dari
kemampuan memasarkan produk.
3). Uji Kepentingan Nilai rs.
Penyelesaian :
………………………………….
……………………….
…………………..
19
13.7. Soal-Soal TUGAS MODUL KULIAH 11 (SEBELAS) NON PARAMETRIK
Soal 1.
Koefisien KOrelasi Peringkat Spearman
Soal 2.
Koefisien KOrelasi Peringkat Spearman
Soal 3.
Uji Kruskal-Wallis
Soal 4.
Uji Kruskal-Wallis
Soal 5. Uji Mann-Whitney
Dua jenis ujung (tip) yang berbeda dapat digunakan pada alat uji kekerasan logam Rocwell.
Lima sampel logam paduan nikel terpilih dan diuji dan diuji dua kali dengan masing-masing
tip tersebut. Bacaan kekerasan skala-C Rockwell dari pengujian tersebut ditunjukkan dalam
Tabel.
Tabel Sol 5. Jumlah Sampel dan Kekerasan Skala C Rockwell.
Sampel
Tip 1
Tip 2
1
63
60
2
52
51
3
58
56
4
60
59
5
55
58
6
57
54
7
53
52
8
59
61
Dengan mengasumsikan bahwa kedua distribusi bacaan kekerasan tersebut kontinu.
Ditanya : Tentukan dengan Uji Mann-Whitney ada atau tidaknya perbedaan bacaaan
kekerasan dari pengujian di atas. Gunakan tingkat kepentingan α = 0,05.
Soal 6. Uji Mann-Whitney
……..
Soal 7. Uji Peringkat bertanda Wilcoxon
….
Soal 8. Uji Peringkat bertanda Wilcoxon
20
…….
Soal 9. Uji Peringkat bertanda Wilcoxon
SELESAI
DAFTAR PUSTAKA
1. Akhmad Fauzy, S.Si, M.Si, Ph.D. “ Statistik Industri”. FMIPA UII Yogyakarta.
Penerbit Erlangga, Jakarta. 2008.
2. Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers. “ Ilmu Peluang dan Statistika Untuk
Insinyur dan Ilmuawan”. Edisi ke 4. Penerbit ITB. Bandung. 1995.
3. J. Supranto, M.A. Guru Besar Pasca Sarjana, UPI-YAI “ Statistik Teori dan Aplikasi”.
Edisi Ketujuh, Jilid I. Penerbit Erlangga, Jakarta. 2008.
4. Nugroho Sigit. “Dasar-dasar Metode Statistika”. Penerbit PT. Grasindo. Jakarta.
2007.
5. www.google.com.
6. Dr. Ir. Rosmina Zuchri, MT. “Modul Statistik”. Teknik Sipil Universitas Winaya
Mukti, Bandung. 2015.
7. Dr. Ir. Rosmina Zuchri, MT. “Modul Statistik dan Probabilitas”. Teknik Industri.
Universitas Bhayangkara Jakarta. 2016-2017.
8. Dr. Ir. Rosmina Zuchri, MT. “Modul Statistik”. Teknik Mesin. Universitas Mercu
Buana , Kranggan Jakarta. 2019.
9. Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng. Prinsip-Prinsip Statistik Untuk Teknik dan Sains. Penerbit
Erlangga. Tahun 2005.
21