MS 8.-15. ASIR İSLAM DÜNYASI MATEMATİKÇİLERİ Archimedes, Ptolemy ve Diophantus ve Euclid’in temellerini attığı Yunan matematiği gelişmesinin zirvesine ulaştı. Ancak, sanki bir karanlığa gömülür gibi MÖ 200 yıllarından sonra Roma İmparatorluğunun hakim olduğu topraklarda matematik adına hiç bir şey yapılamamıştır. Yaklaşık 1000 yıl bu karanlık dönem devam etti. MS. 8. Yüzyılda Müslüman bilim adamlarının sahneye çıkmalarıyla bu uzun (karanlık) dönem sona erdi. İslamiyet’in ilk yılları ile birlikte bilime büyük bir önem verilmiştir. Bunun bir sonucu olarak Bağdat zamanın bilim ve kültür merkezi haline geldi. Halife Harun Reşit tarafından kurulan “Darül Hikme” (bilgi okulu, bugünkü anlamı ile bir üniversite) bünyesinde çok sayıda aydını topladı. HARİZMİ (780 - 847) • İslam dünyasının ilk büyük matematikçisi Harizmi, Ural gölünün güneyindeki Harzem bölgesinde doğdu. Ailesi ile birlikte çocuk yaşta Bağdat’a göç etti. Çalışkanlığı ve dehasıyla Bağdat’ta kısa sürede tanınan bu genç Türk zamanın halifesi Memun’un dan çok özel himaye ve destek gördü. Harizmi’nin Özbekistan’daki heykeli • Halife ona genç yaşına rağmen güvendi ve onu çalışmalarını sürdürmek üzere Afganistan’a ve Hindistan’a gönderdi. Harizmi bu ülkelerdeki bilim adamlarıyla tanıştı, çalışmalarını inceledi. Sayı sisteminin ilk şeklini Hindistan’dan alarak Arap sayı sistemini geliştirdi. Bilindiği gibi bu sistem küçük değişiklikler geçirerek günümüzde kullandığımız sayılara dönüştü. Yani Batının ve dolayısıyla bugünün matematiğinin kullandığı sayılar Harizmi’nin 8.yüzyılda kullandığı sayıların bir çeşit uyarlamasıdır: ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • • . Harizmi çalışmalarını, daha sonra matematiğin bir kolu olarak bildiğimiz cebirin adını aldığı “Fi Hisab Al Cabr wal Muqabalah” adlı kitabında topladı. •Bugün bizim matematiğin bir dalı olarak bildiğimiz cebir Harizmi’nin kitabından, algoritma da isminin Arapça söylenmesinden gelmektedir. . •Al Kitab Al Cabr wal Muqabalah” Rönesans dönemi cebir çalışmaları için en önemli kaynak olmuştur. Buradaki Al Cabr terimi İngilizce ve Fransızca’ya algebra olarak geçmiş ve Türkçe’de de cebir olarak kullanılmıştır. •Ayrıca Harizmi’nin bu kitapta kullanmış olduğu çözüm yöntemleri ve işlem yönergeleri Arapça’da isminin Al Khwarizm olarak telaffuz edilmesi nedeni ile Avrupa’daki matematikçiler Harizmi’nin yöntemleri anlamında “algorithm” deyimini kullanmışlardır. •İsmiyle ve eseriyle matematiğe bu denli damgasını vuran bir başka matematikçi yoktur. Harizmi’nin kullandığı çözüm yolları ve işlem yönergeleri Fibonacci (1175-1230) ve Bacon (1214-1294) tarafından algoritmalar olarak doğrudan kullanılmıştır • İslam dünyasında bilim dili olarak Türkçe, Farsça ve Arapça kullanılmıştır. Bunlar arasında Arapça daha çok tercih edilmiştir. Kitabının adından da anlaşılacağı gibi Harizmi de eserlerini Arapça yazmıştır. Matematiğin bir alt dalı olan cebire adını veren “Fi Hisab al cabr val muqabelah” kitabı Türkçe’ye “yerine koyma ve dengeleme kitabı” olarak çevrilebilir. Bu kitapta Harizmi, bilinmeyenin büyüklüğüne şey (bugün bizim kullandığımız x), bunun ikinci kuvvetine mal (x2 ) ve kareköküne de ced ( x) demiştir. Bir birim olarak da dirhem sözcüğünü kullanmıştır. Harizmi’nin bu kitabı 5 bölüm ve eklerden oluşmaktadır. • x2 + (10 – x)2 = 58, • Al Jabr (düzenleme)……. 2x2 + 100 – 20x = 58, • Al Muqabala (karşılaştırma)………2x2 + 100 = 20x + 58, • Sadeleştirme…………..2x2 + 42 = 20x • x2 + 21 = 20x, • Kitabın birinci bölümünde bazı terimlerin çarpma yöntemleri yer almaktadır. Örneğin, (a + b). (a + b) ve (a - b).(a - b) gibi çarpımları, oluşturduğu çeşitli kare ve dikdörtgenlerin alanlarından yararlanarak göstermiştir. Bu yaklaşımı Pythagoras’ta görmüştük benzer yaklaşımı 17. yüzyılda koordinat geometrisinin kurucusu Descardes’de görmekteyiz. Örneğin, (a - b).(a - b) ifadesini kare ve dikdörtgenlerin alanları toplamı olarak bu kitapta şu şekilde gösterilmiştir. A A(ABCD) = a2 = b2 + 2b(a-b) + (ab)(a-b) a2 = - b2 + 2ab + (a-b)(a-b) a2 + b2 -2ab = (a-b)(a-b) D • Bu örnekten de anlaşılacağı gibi şey olarak adlandırılan bilinmeyen büyüklük karenin bir kenarı olarak düşünülmektedir. Bu da daha önceleri sözel olarak yapılan cebirin sembolleştirilmesinin ilk örnekleridir. Bu sembolleştirme çabasını kitabın ikinci bölümünde daha açık bir biçimde görmekteyiz. • Kitabın ikinci bölümünde Harizmi denklemleri yine benzer geometrik yaklaşımlarla çözmüştür. •Örneğin, x2 + 10x = 39 denklemini çözmek için önce ABCD karesini oluşturmakta ve bu kare yardımıyla diğer dikdörtgen ve kareleri tanımlamaktadır. G A(CEIG) = (5 + x)2 = x2 + 10x + 25 olur. Ayrıca, x2 + 10x = 39 denkleminden x2 + 10x ifadesinin 39 olduğu bilinmektedir. Öyleyse, A(CEIG) = (5 + x)2 = 39 + 25-64 olur. Buradan, (5 + x)2 = 64 ise 5 + x = ±8 ve x = 3 veya x = -13 olarak bulunur. A x •ABCD karesinin kenarını bir şey olarak (bizim anladığımız şekilde x olarak)almakta ve bu kareye A, B ve D köşelerinden 5 şey ekleyerek CGEI dikdörtgenini elde etmektedir. Son adım olarak, CGEI dikdörtgenin alan formülünden x2 + 10x = 39 denkleminin çözümüne ulaşmaktadır: Bölüm III Harizmi, birinci bölümdeki çarpımlar için kullandığı yöntemleri kullanarak üçüncü bölümde de aşağıdaki çarpımların sonuçlarını göstermiştir: 1. (x + a).(x + b) 2. (x + a).(x-b) 3. (x-a).(x + b) 4. (x-a).(x-b) Bölüm IV Harizmi, bu bölümde içinde köklü ifadelerin bulunduğu çeşitli tipte denklemlerin çözümlerini ele almıştır: x ax x.x ax x a 2 xb x x x b x x b xc x xc 2 x 3 x x x4 x x x 4 x x 4 x 16 Bölüm V Bu bölüm, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi dört işlemi gerektiren problemlerden bahsetmektedir. Bu bölümün özgün yanı sözel problemlerin cebirsel olarak ifade edilmesi ve ilgili denklemlerin oluşturulabilmesidir. Sözel bir problem çözüm denklemi oluşturulmadan önce cebirsel ifadesi yapılmış ve arkasından denklem kurularak çözülmüştür. Örneğin, iki şeyin toplamı 10 ve malları farkı 40 ise bu şeyleri bulunuz sorusu gibi Harizmi kitabında bu soruyu kendine özgü yöntemiyle şu şekilde çözmüştür: x y 10 denkleminde x = 5 + z ve y = 5 - z alındı. x 2 y 2 40 Bunlara göre denklemi yeniden düzenledi ve (5+z)2 - (5- z)2 = 40 eşitliğini elde etti 25 + l0z + z2 - 25 +10z -z2 = 40 20z = 40 z = 2 ise x = 5 + 2 = 7 ve y = 5 - 2 = 3 olarak soruyu çözdü. Bu tür çözüm yolları ilk defa Harizmi’nin çalışmalarında rastlandığı için daha sonraları denklem çözümlerinde Harizmi’nin kullandığı işlem yolu kullanıldığında bunu belirtmek amacıyla Harizmi’nin adının Arapça telaffuzu olan algorizm sözcüğü kullanıldı. Bu sözcük giderek bugün kullandığımız algoritmaya dönüştü. Ekler Kitabın ekler kısmı, o zamanın devlet işlerini ilgilendiren bazı mühendislik bilgilerini, ölçme bilgilerini, Hint sayı sisteminin hesaplamalarda kullanılmasını (özellikle bu kısımda 0 yerine • kullanarak sıfırı ilk defa dört işleme dahil etmiş oldu) ve miras hukuku ile ilgili hesaplamaları içermektedir. Harizmi’nin bu kitabı sözel cebirden sembolik cebire geçişin ilk örneğidir. Bu kitap sadece Harizmi'nin hemen arkasından gelen Abu Kamil, Ömer Hayyam ve Abul Vefa’yı etkilememiş ondan çok sonra gelen Fibonacci ve Descardes gibi matematikçileri de derinden etkilemiştir.