2.1
ESTRUCTURA DE 1 GDL CON BASE FIJA
ξ << 1 x m k
,
C
ü g
Equilibrio dinámico
𝑀(𝑥̈ + 𝑢̈ 𝑔
) + 𝐶𝑥̇ + 𝐾𝑥 = 0 → 𝑀𝑥̈ + 𝐶𝑥̇ + 𝐾𝑥 = −𝑀𝑢̈ 𝑔 a) Vibración libre
𝑇 = 2𝜋√
𝑀
𝐾
𝐾
, 𝜔 = √
𝑀
𝐶 𝑐𝑟
= 2√𝑀 𝐾 = 2 𝑀 𝜔
𝐶 = 𝜉 2√𝑀 𝐾 = 𝜉 2 𝑀 𝜔 b) Vibración forzada
Cuando se somete a la estructura a una aceleración conocida 𝑢̈ 𝑔
en su base, la ecuación de equilibrio dinámico puede resolverse mediante la Integral de Duhamel:
1 𝑥(𝑡) = −
𝜔
𝐷 𝑡
∫ 𝑢̈ 𝑔
0
(𝜏) 𝑒 −𝜉𝜔 𝑠
(𝑡−𝜏) sen[𝜔 𝑑
(𝑡 − 𝜏)] 𝑑𝜏 c) Respuesta espectral
A partir de la historia de desplazamientos obtenida en la parte b) se puede calcular el máximo desplazamiento de la estructura:
1 𝑥 𝑚á𝑥
(𝑡) = 𝑀Á𝑋{𝑥(𝑡)} = 𝑀Á𝑋 { −
𝜔
𝐷
∫
0 𝑡 𝑢 𝑔
( 𝜏 ) 𝑒 −𝜉𝜔 𝑠
( 𝑡−𝜏 ) sen [ 𝜔 𝑑
( 𝑡 − 𝜏 )] 𝑑𝜏 } = 𝑆𝑑
𝑉 𝑚á𝑥
Coeficiente sísmico 𝐶𝑆 =
𝑊
(Sa con LT -2 )
=
𝑆𝑎 𝑀
𝑊
=
𝑆𝑎 𝑔
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2.2
ESTRUCTURA DE VARIOS GDL CON BASE FIJA
X m
X
1
g
Equilibrio dinámico
𝑀𝑋̈ 𝑎𝑏𝑠
+ 𝐶 𝑋̇ + 𝐾 𝑋 = 0
Pero,
𝑋 𝑎𝑏𝑠
= 𝑋 + 𝑟 𝑢̈ 𝑔
Entonces:
𝑀𝑋̈ + 𝐶 𝑋̇ + 𝐾 𝑋 = −𝑀 𝑟 𝑢 𝑔 a) Vibración libre sin amortiguamiento ( 𝑢 𝑔
= 0 )
𝑀𝑋̈ + 𝐾 𝑋 = 0
𝑀𝑋̈ = −𝐾 𝑋
Suponiendo que:
𝑋 = 𝜙 𝑍 sen(𝜔𝑡) → 𝑋̈ = −𝜔
2
𝑍 𝜙 sen(𝜔𝑡)
Entonces:
𝐾 𝜙 = −𝜔 2 𝑀 𝜙
ó, (𝐾 − 𝜔 2 𝑀) 𝜙 = 0
Esta expresión es la ecuación de vectores propios ( 𝜙 ) y valores propios ( 𝜔 2
). Para 3 GDL tiene 3 soluciones: (𝜙
1
, 𝑇
1
) , (𝜙
2
, 𝑇
2
) , (𝜙
3
, 𝑇
3
).
El grupo de soluciones representa los modos de vibración (forma y periodo) de una estructura de varios GDL.
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b) Vibración forzada amortiguada (𝑢̈ 𝑔
≠ 0)
𝑀𝑋̈ + 𝐶 𝑋̇ + 𝐾 𝑋 = −𝑀 𝑟 𝑢 𝑔
Solución:
𝑋 = 𝜙
1
𝑍
1
(𝑡) + 𝜙
2
𝑍
2
(𝑡) + … + 𝜙 𝑛
𝑍 𝑛
(𝑡)
Z i se obtiene resolviendo:
𝑍̈ 𝑖
+ 2𝜉 𝑖 𝜔 𝑖
𝑍̇ 𝑖
+ 𝜔 𝑖
2 𝑍 𝑖
= −
𝐿
∗ 𝑖
𝑀 𝑖
∗
𝑢̈ 𝑔
Donde:
𝐿
∗ 𝑖
= 𝑟
𝑇
𝑀 𝜙 𝑖
, 𝑀 𝑖
∗
= 𝜙 𝑖
𝑇
𝑀 𝜙 𝑖 c) Respuesta espectral
Contribución de cada modo…
Al desplazamiento: 𝜙 𝑖
𝐿
∗ 𝑖
𝑀 𝑖
∗
𝑆𝑑 𝑖
A la aceleración: 𝜙 𝑖
𝐿
∗ 𝑖
𝑀 𝑖
∗
𝑆𝑎 𝑖
Al cortante en la base:
𝐿
∗2 𝑖
𝑀 𝑖
∗
𝑆𝑎 𝑖
Al coeficiente sísmico:
𝐿
∗2 𝑖
𝑀 𝑖
∗
1
𝑀 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
(
𝑆𝑎 𝑔 𝑖
)
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2.3
ESTRUCTURA AISLADA DE UN PISO, MODELO DE 1 GDL m s k s >> k b m b k b,
C b
s
b
m s m s + m b m b
ü g
ü g k b,
C b
𝑏
𝑠+
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑠
𝑏
𝑏
𝑏
𝑠
𝑏
𝑏
Respuesta espectral
Usar las expresiones para 1 g.d.l con los valores espectrales correspondientes a T b
y 𝜉 𝑏
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2.4
ESTRUCTURA AISLADA DE UN PISO, MODELO DE 2 GDL
Empleando un sistema tradicional de coordenadas: x s m s k s,
C s x b m b k b,
C b
ü g
𝑋 = { 𝑥 𝑏 𝑥 𝑠
} → 𝑋 𝑎𝑏𝑠
= { 𝑥 𝑥 𝑏 𝑠
+ 1 . 𝑢 𝑔
+ 1 . 𝑢 𝑔
} = 𝑋 + {
1
1
} 𝑢 𝑔
= 𝑋 + 𝑟 𝑢 𝑔
→ 𝑋̈ 𝑎𝑏𝑠
= 𝑋̈ + 𝑟 𝑢̈ 𝑔
Equilibrio dinámico
𝑀(𝑋̈ + 𝑟 𝑢̈ 𝑔
) + 𝐶𝑋̇ + 𝐾𝑋 = 0
𝑀𝑋̈ + 𝐶𝑋̇ + 𝐾𝑋 = −𝑀 𝑟 𝑢̈ 𝑔
𝑀 = [ 𝑚 𝑏
0
0 𝑚 𝑠
] 𝐶 = [
𝐶 𝑏
+ 𝐶
−𝐶 𝑠 𝑠
−𝐶 𝑠
𝐶 𝑠
] 𝐾 = [ 𝑘 𝑏
+ 𝑘
−𝑘 𝑠 𝑠
−𝑘 𝑠 𝑘 𝑠
]
Se pueden simplificar las ecuaciones planteando el problema en función de un nuevo sistema de coordenadas, 𝑉 , que considere desplazamientos relativos entre el techo de la estructura y la base aislada, y entre la base aislada y el suelo. v s m s k s,
C s v b m b k b,
C b
ü g
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𝑏 𝑠
pág 5

Equilibrio dinámico
̂ 𝑢̈ 𝑔
Ambos sistemas se relacionan como se indica a continuación: 𝑣 𝑠 𝑣 𝑏
= 𝑥
= 𝑥 𝑠 𝑏
− 𝑥 𝑏
→ 𝑥 𝑠 𝑥 𝑏
= 𝑣
= 𝑣 𝑠 𝑏
+ 𝑣 𝑏
𝑋 = 𝐴. 𝑉 = [
1 0
1 1
] { 𝑣 𝑏 𝑣 𝑠
}
𝑉 = 𝐴 −1 𝑋 = [
1 0
] {
−1 1 𝑥 𝑏 𝑥 𝑠
}
Las matrices 𝑀 y
̂
se obtienen usando transformación de coordenadas como:
𝑀 𝑇 . 𝑀. 𝐴 = [ 𝑚 𝑠
+ 𝑚 𝑏 𝑚 𝑠
𝐶̂ = 𝐴 𝑇 . 𝐶. 𝐴 = [
𝐶 𝑏
0
0 𝐶 𝑠
] 𝑚 𝑚 𝑠 𝑠
]
̂ = 𝐴 𝑇
. 𝐾. 𝐴 = [ 𝑘 𝑏
0
0 𝑘 𝑠
]
𝑟̂ = {
1
0
} a) Vibración libre
𝑉 = 𝐴 sen(𝜔𝑡) 𝜙
𝑉̈ = −𝜔
2
𝐴 sen(𝜔𝑡) 𝜙
𝑀  𝑀 2 𝐴) sen(𝜔𝑡) + 𝐾
 𝐾
2 ̂ 𝜙 = 0
 (𝐾 2 ̂) 𝜙 = 0
Esta ecuación tendrá solución solo si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo, es decir,
‖𝐾 2 ̂‖ = 0
‖ 𝑘 𝑏
− 𝜔
2 (𝑚 𝑠
−𝜔
2 𝑚 𝑠
+ 𝑚 𝑏
) 𝑘 𝑠
−𝜔
2
− 𝜔 𝑚 𝑠
2 𝑚 𝑠
‖ = 0
Haciendo:
𝜔
2
= 𝜆 , 𝛾 = 𝑚 𝑏 𝑚 𝑠
+ 𝑚 𝑠
𝑇
, 𝜖 = (
𝑇 𝑠 𝑏
)
2
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y luego de desarrollar el determinante tendremos que:
1 − 𝛾 𝜔 𝑠
2 𝜆
2
− (1 + 𝜖)𝜆 + 𝜔 𝑏
2
= 0
Resolviendo obtenemos: 𝜆
1,2
=
(1 + 𝜖) ± √(1 + 𝜖) 2 − 4(1 − 𝛾)𝜖
2(1 − 𝛾) 𝜔 𝑠
2
Para valores de 𝜖 pequeños, se tiene: 𝜆
1
= 𝜔
1
2 = 𝜔 𝑏
2 (1 − 𝜖𝛾) 𝜆
2
= 𝜔
2
2 =
1 + 𝜖𝛾
1 − 𝛾 𝜔 𝑠
2
Se determinan luego las formas de vibración, y se obtienen las siguientes expresiones aproximadas para periodos, formas y factor de participación:
1° Modo
𝑇
1
= 𝑇 𝑏
1
√1 − 𝜖𝛾
, 𝜙
1
= {
1 𝜖
} ,
𝐿
∗
1
𝑀
∗
1
= 1 − 𝛾𝜖
2° Modo
𝑇
2
= 𝑇 𝑠
1 − 𝛾
√
1 + 𝛾𝜖
, 𝜙
2
= {
−
1 𝛾
1
[1 − (1 − 𝛾)𝜖]} = {
−
1
1
} , 𝛾
𝐿
∗
2
𝑀
∗
2
= 𝛾𝜖 𝜖
1 𝛾
[1 − (1 − 𝛾)𝜖]
1 1 𝜙
1
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2 pág 7

Variación del amortiguamiento
Amortiguamiento modal: 𝜉 𝑖
=
𝐶 𝑖
∗
2 𝜔 𝑖
𝑀 𝑖
∗
Para cada modo se obtiene: 𝜉
1
= 𝜉 𝑏
(1 −
3
2
𝛾 𝜖) 𝜉
2
=
1
√1 − 𝛾
(𝜉 𝑠
+ 𝛾 𝜖
1/2
𝜉 𝑏
) (1 − 𝛾𝜖
2
) b) Respuesta espectral
Respuesta modal máxima:
Por el modo 1:
𝑉
1 𝑚á𝑥
= (1 − 𝛾𝜖) {
1 𝜖
} 𝑆𝑑 (𝑇
1
, 𝜉
1
)
Por el modo 2:
1
𝑉
2 𝑚á𝑥
= 𝛾𝜖 {
1 − (1 − 𝛾)𝜖
} 𝑆𝑑 (𝑇
2
, 𝜉
2
) 𝛾
Haciendo: 𝑆𝑑
1
= 𝑆𝑑 (𝑇
1
, 𝜉
1
) , 𝑆𝑑
2
= 𝑆𝑑 (𝑇
2
, 𝜉
2
)
La deformación máxima del edificio, respecto a su base se puede obtener con un criterio de superposición SRSS (raíz cuadrada de la suma de cuadrados): 𝑣 𝑠 𝑚á𝑥
= {(1 − 𝛾𝜖) 2 𝜖 2 (𝑆𝑑
1
) 2 + 𝛾 2 𝜖 2
1 𝛾 2
(1 − (1 − 𝛾)𝜖) 2 (𝑆𝑑
2
) 2 }
1/2
= 𝜖{(1 − 𝛾𝜖)
2
(𝑆𝑑
1
) 2
+ (1 − (1 − 𝛾)𝜖)
2
(𝑆𝑑
2
) 2 } 1/2 que se puede aproximar por: 𝑣 𝑠 𝑚á𝑥
= 𝜖[𝑆𝑑
1
2
+ 𝑆𝑑
2
2
]
1/2
En la mayoría de casos 𝑆𝑑
1
2
>> 𝑆𝑑
2
2
, entonces: 𝑣 𝑠 𝑚á𝑥
≈ 𝜖 𝑆𝑑
1
ó, 𝑣 𝑠 𝑚á𝑥
≈ 𝜖 𝑆𝑑 (𝑇 𝑏
, 𝜉 𝑏
) ≈ 𝜖 𝑆𝑑 𝑏
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Deformación máxima del sistema de aislamiento: 𝑣 𝑏 𝑚á𝑥
= {(1 − 𝛾𝜖)
2
(𝑆𝑑
1
) 2
+ (𝛾𝜖)
2
(𝑆𝑑
2
) 2 } 1/2
Como 𝛾 2 𝜖 2
es muy pequeño: 𝑣 𝑏 𝑚á𝑥
= (1 − 𝛾𝜖)𝑆𝑑
1
Que se puede aproximar como: 𝑣 𝑏 𝑚á𝑥
≈ (1 − 𝛾𝜖) 𝑆𝑑 (𝑇 𝑏
, 𝜉 𝑏
) ≈ (1 − 𝛾𝜖)𝑆𝑑 𝑏
Coeficientes sísmicos espectrales

Para la estructura:
𝐶𝑆 𝑠
= 𝑣 𝑠 𝑚á𝑥
𝑘 𝑠 𝑚 𝑠
𝑔
= 𝜔 𝑠
2 𝑣 𝑠 𝑚á𝑥 𝑔
= 𝜔 𝑠
2
𝜖
𝑆𝑑
1 𝑔
≈ 𝜔 𝑏
2
𝑆𝑑 𝑔 𝑏
=
𝑆𝑎 𝑏 𝑔
Si 𝑆𝑎 𝑏
se encuentra en unidades de “g”,
𝐶𝑆 𝑠
= 𝑆𝑎 𝑏

Para la base aislada:
𝐶𝑆 𝑏
= 𝑣 𝑏 𝑚á𝑥
𝑘 𝑏
(𝑚 𝑏
+ 𝑚 𝑠
)𝑔
= 𝜔 𝑏
2 𝑣 𝑏 𝑚á𝑥 𝑔
= (1 − 𝛾𝜖) 𝑆𝑑 𝑏
𝜔 𝑏
2 = (1 − 𝛾𝜖)𝑆𝑎 𝑏
≈
𝑆𝑎 𝑏 𝑔
Si 𝑆𝑎 𝑏
se encuentra en unidades de “g”,
𝐶𝑆 𝑏
= 𝑆𝑎 𝑏
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