Uploaded by FRANK ALEX GIL GUZMÁN

APUNTES AISLAMIENTO 1

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2.1

ESTRUCTURA DE 1 GDL CON BASE FIJA

ξ << 1 x m k

,

C

ü g

Equilibrio dinámico

𝑀(π‘₯̈ + π‘’Μˆ 𝑔

) + 𝐢π‘₯Μ‡ + 𝐾π‘₯ = 0 → 𝑀π‘₯̈ + 𝐢π‘₯Μ‡ + 𝐾π‘₯ = −π‘€π‘’Μˆ 𝑔

a) Vibración libre

𝑇 = 2πœ‹√

𝑀

𝐾

𝐾

, πœ” = √

𝑀

𝐢 π‘π‘Ÿ

= 2√𝑀 𝐾 = 2 𝑀 πœ”

𝐢 = πœ‰ 2√𝑀 𝐾 = πœ‰ 2 𝑀 πœ”

b) c)

Vibración forzada

Cuando se somete a la estructura a una aceleración conocida π‘’Μˆ 𝑔

en su base, la ecuación de equilibrio dinámico puede resolverse mediante la Integral de Duhamel:

1 π‘₯(𝑑) = −

πœ”

𝐷 𝑑

∫ π‘’Μˆ 𝑔

0

(𝜏) 𝑒

−πœ‰πœ” 𝑠

(𝑑−𝜏) sen[πœ” 𝑑

(𝑑 − 𝜏)] π‘‘πœ

Respuesta espectral

A partir de la historia de desplazamientos obtenida en la parte b) se puede calcular el máximo desplazamiento de la estructura:

1 π‘₯ π‘šáπ‘₯

(𝑑) = 𝑀Á𝑋{π‘₯(𝑑)} = 𝑀Á𝑋 { −

πœ”

𝐷

0 𝑑 𝑒 𝑔

( 𝜏 ) 𝑒

−πœ‰πœ” 𝑠

( 𝑑−𝜏 ) sen [ πœ” 𝑑

( 𝑑 − 𝜏 )] π‘‘πœ

} = 𝑆𝑑

𝑉 π‘šáπ‘₯

Coeficiente sísmico 𝐢𝑆 =

π‘Š

(Sa con LT

-2

)

=

π‘†π‘Ž 𝑀

π‘Š

=

π‘†π‘Ž 𝑔

Sistemas Modernos de Protección

Sísmica de Edificios/PUCP/2016 Prof. Alejandro Muñoz pág 1

2.2

ESTRUCTURA DE VARIOS GDL CON BASE FIJA

X m

X

1

ü

g

Equilibrio dinámico

π‘€π‘‹Μˆ π‘Žπ‘π‘ 

+ 𝐢 𝑋̇ + 𝐾 𝑋 = 0

Pero,

𝑋 π‘Žπ‘π‘ 

= 𝑋 + π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔

Entonces:

a)

π‘€π‘‹Μˆ + 𝐢 𝑋̇ + 𝐾 𝑋 = −𝑀 π‘Ÿ 𝑒 𝑔

Vibración libre sin amortiguamiento

( 𝑒 𝑔

= 0

)

π‘€π‘‹Μˆ + 𝐾 𝑋 = 0

π‘€π‘‹Μˆ = −𝐾 𝑋

Suponiendo que:

𝑋 = πœ™ 𝑍 sen(πœ”π‘‘) → π‘‹Μˆ = −πœ”

2

𝑍 πœ™ sen(πœ”π‘‘)

Entonces:

𝐾 πœ™ = −πœ”

2

𝑀 πœ™

ó,

(𝐾 − πœ”

2

𝑀) πœ™ = 0

Esta expresión es la ecuación de vectores propios ( πœ™

) y valores propios ( πœ”

2

). Para 3 GDL tiene 3 soluciones: (πœ™

1

, 𝑇

1

) , (πœ™

2

, 𝑇

2

) , (πœ™

3

, 𝑇

3

).

El grupo de soluciones representa los modos de vibración (forma y periodo) de una estructura de varios GDL.

Sistemas Modernos de Protección

Sísmica de Edificios/PUCP/2016 Prof. Alejandro Muñoz pág 2

b) Vibración forzada amortiguada

(π‘’Μˆ 𝑔

≠ 0)

π‘€π‘‹Μˆ + 𝐢 𝑋̇ + 𝐾 𝑋 = −𝑀 π‘Ÿ 𝑒 𝑔

Solución:

𝑋 = πœ™

1

𝑍

1

(𝑑) + πœ™

2

𝑍

2

(𝑑) + … + πœ™ 𝑛

𝑍 𝑛

(𝑑)

Z i se obtiene resolviendo:

π‘Μˆ 𝑖

+ 2πœ‰ 𝑖 πœ” 𝑖

𝑍̇ 𝑖

+ πœ” 𝑖

2

𝑍 𝑖

= −

𝐿

∗ 𝑖

𝑀 𝑖

π‘’Μˆ 𝑔

Donde:

𝐿

∗ 𝑖

= π‘Ÿ

𝑇

𝑀 πœ™ 𝑖

, 𝑀 𝑖

= πœ™ 𝑖

𝑇

𝑀 πœ™ 𝑖

c) Respuesta espectral

Contribución de cada modo…

Al desplazamiento: πœ™ 𝑖

𝐿

∗ 𝑖

𝑀 𝑖

𝑆𝑑 𝑖

A la aceleración: πœ™ 𝑖

𝐿

∗ 𝑖

𝑀 𝑖

π‘†π‘Ž 𝑖

Al cortante en la base:

𝐿

∗2 𝑖

𝑀 𝑖

π‘†π‘Ž 𝑖

Al coeficiente sísmico:

𝐿

∗2 𝑖

𝑀 𝑖

1

𝑀 π‘‘π‘œπ‘‘π‘Žπ‘™

(

π‘†π‘Ž 𝑔 𝑖

)

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Sísmica de Edificios/PUCP/2016 Prof. Alejandro Muñoz pág 3

2.3

ESTRUCTURA AISLADA DE UN PISO, MODELO DE 1 GDL

m s k s >> k b m b k b,

C b

Asumiendo que k

s

es infinito en comparación a k

b

m s m s + m b m b

ü g

ü g k b,

C b

𝑇

𝑏

= 2πœ‹√ π‘š

𝑠+

π‘˜

𝑏

π‘š

𝑏

𝐢

𝑏

= πœ‰

𝑏

2(π‘š

𝑠

+ π‘š

𝑏

𝑏

= πœ‰

𝑏

2√(π‘š

𝑠

+ π‘š

𝑏

)π‘˜

𝑏

Respuesta espectral

Usar las expresiones para 1 g.d.l con los valores espectrales correspondientes a T b

y πœ‰ 𝑏

.

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2.4

ESTRUCTURA AISLADA DE UN PISO, MODELO DE 2 GDL

Empleando un sistema tradicional de coordenadas: x s m s k s,

C s x b m b k b,

C b

ü g

𝑋 = { π‘₯ 𝑏 π‘₯ 𝑠

} → 𝑋 π‘Žπ‘π‘ 

= { π‘₯ π‘₯ 𝑏 𝑠

+ 1 . 𝑒 𝑔

+ 1 . 𝑒 𝑔

} = 𝑋 + {

1

1

} 𝑒 𝑔

= 𝑋 + π‘Ÿ 𝑒 𝑔

→ π‘‹Μˆ π‘Žπ‘π‘ 

= π‘‹Μˆ + π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔

Equilibrio dinámico

𝑀(π‘‹Μˆ + π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔

) + 𝐢𝑋̇ + 𝐾𝑋 = 0

π‘€π‘‹Μˆ + 𝐢𝑋̇ + 𝐾𝑋 = −𝑀 π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔

𝑀 = [ π‘š 𝑏

0

0 π‘š 𝑠

] 𝐢 = [

𝐢 𝑏

+ 𝐢

−𝐢 𝑠 𝑠

−𝐢 𝑠

𝐢 𝑠

] 𝐾 = [ π‘˜ 𝑏

+ π‘˜

−π‘˜ 𝑠 𝑠

−π‘˜ 𝑠 π‘˜ 𝑠

]

Se pueden simplificar las ecuaciones planteando el problema en función de un nuevo sistema de coordenadas, 𝑉 , que considere desplazamientos relativos entre el techo de la estructura y la base aislada, y entre la base aislada y el suelo. v s m s k s,

C s v b m b k b,

C b

ü g

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𝑉 = { 𝑣 𝑣

𝑏 𝑠

}

pág 5

Equilibrio dinámico

Μ‚ π‘’Μˆ 𝑔

Ambos sistemas se relacionan como se indica a continuación: 𝑣 𝑠 𝑣 𝑏

= π‘₯

= π‘₯ 𝑠 𝑏

− π‘₯ 𝑏

→ π‘₯ 𝑠 π‘₯ 𝑏

= 𝑣

= 𝑣 𝑠 𝑏

+ 𝑣 𝑏

𝑋 = 𝐴. 𝑉 = [

1

1

0

1

] { 𝑣 𝑏 𝑣 𝑠

}

𝑉 = 𝐴

−1

𝑋 = [

1

−1

0

1

] { π‘₯ 𝑏 π‘₯ 𝑠

}

Las matrices

𝑀 y

Μ‚

se obtienen usando transformación de coordenadas como:

𝑀

𝑇

. 𝑀. 𝐴 = [ π‘š 𝑠

+ π‘š 𝑏 π‘š 𝑠

𝐢̂ = 𝐴

𝑇

. 𝐢. 𝐴 = [

𝐢

0 𝑏

0

𝐢 𝑠

] π‘š π‘š 𝑠 𝑠

]

Μ‚ = 𝐴 𝑇

. 𝐾. 𝐴 = [ π‘˜ 𝑏

0

0 π‘˜ 𝑠

]

π‘ŸΜ‚ = {

1

0

}

a) Vibración libre

𝑉 = 𝐴 sen(πœ”π‘‘) πœ™

π‘‰Μˆ = −πœ”

2

𝐴 sen(πœ”π‘‘) πœ™

𝑀

οƒ 

𝑀

2

𝐴) sen(πœ”π‘‘) + 𝐾

οƒ 

𝐾

2

Μ‚ πœ™ = 0

οƒ 

(𝐾

2

Μ‚) πœ™ = 0

Esta ecuación tendrá solución solo si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo, es decir,

‖𝐾

2

Μ‚β€– = 0

β€– π‘˜ 𝑏

− πœ”

2

(π‘š 𝑠

+ π‘š 𝑏

)

−πœ”

2 π‘š 𝑠 π‘˜ 𝑠

−πœ”

2 π‘š 𝑠

− πœ”

2 π‘š 𝑠

β€– = 0

Haciendo:

πœ”

2

= πœ† , 𝛾 = π‘š 𝑏 π‘š 𝑠

+ π‘š 𝑠

𝑇

, πœ– = (

𝑇 𝑠 𝑏

)

2

Sistemas Modernos de Protección

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y luego de desarrollar el determinante tendremos que:

1 − 𝛾 πœ” 𝑠

2 πœ†

2

− (1 + πœ–)πœ† + πœ” 𝑏

2

= 0

Resolviendo obtenemos: πœ†

1,2

=

(1 + πœ–) ± √(1 + πœ–) 2

− 4(1 − 𝛾)πœ–

2(1 − 𝛾) πœ” 𝑠

2

Para valores de πœ– pequeños, se tiene: πœ†

1

= πœ”

1

2

= πœ” 𝑏

2

(1 − πœ–π›Ύ) πœ†

2

= πœ”

2

2

=

1 + πœ–π›Ύ

1 − 𝛾 πœ” 𝑠

2

Se determinan luego las formas de vibración, y se obtienen las siguientes expresiones aproximadas para periodos, formas y factor de participación:

1° Modo

𝑇

1

= 𝑇 𝑏

1

√1 − πœ–π›Ύ

, πœ™

1

= {

1 πœ–

} ,

𝐿

1

𝑀

1

= 1 − π›Ύπœ–

2° Modo

𝑇

2

= 𝑇 𝑠

1 − 𝛾

1 + π›Ύπœ–

, πœ™

2

= {

1 𝛾

1

[1 − (1 − 𝛾)πœ–]} = {

1

1

} , 𝛾

𝐿

2

𝑀

2

= π›Ύπœ– πœ–

1 𝛾

[1 − (1 − 𝛾)πœ–]

1 1 πœ™

1

Sistemas Modernos de Protección

Sísmica de Edificios/PUCP/2016 Prof. Alejandro Muñoz πœ™

2 pág 7

Variación del amortiguamiento

Amortiguamiento modal: πœ‰ 𝑖

=

𝐢 𝑖

2 πœ” 𝑖

𝑀 𝑖

Para cada modo se obtiene: πœ‰

1

= πœ‰ 𝑏

(1 −

3

2

𝛾 πœ–) πœ‰

2

=

1

√1 − 𝛾

(πœ‰ 𝑠

+ 𝛾 πœ–

1/2

πœ‰ 𝑏

) (1 − π›Ύπœ–

2

)

b) Respuesta espectral

Respuesta modal máxima:

Por el modo 1:

𝑉

1 π‘šáπ‘₯

= (1 − π›Ύπœ–) {

1 πœ–

} 𝑆𝑑 (𝑇

1

, πœ‰

1

)

Por el modo 2:

1

𝑉

2 π‘šáπ‘₯

= π›Ύπœ– {

1 − (1 − 𝛾)πœ–

} 𝑆𝑑 (𝑇

2

, πœ‰

2

) 𝛾

Haciendo: 𝑆𝑑

1

= 𝑆𝑑 (𝑇

1

, πœ‰

1

) , 𝑆𝑑

2

= 𝑆𝑑 (𝑇

2

, πœ‰

2

)

La deformación máxima del edificio, respecto a su base se puede obtener con un criterio de superposición SRSS (raíz cuadrada de la suma de cuadrados): 𝑣 𝑠 π‘šáπ‘₯

= {(1 − π›Ύπœ–)

2

πœ–

2

(𝑆𝑑

1

)

2

+ 𝛾

2

πœ–

2

1 𝛾

2

(1 − (1 − 𝛾)πœ–)

2

(𝑆𝑑

2

)

2

}

1/2

= πœ–{(1 − π›Ύπœ–)

2

(𝑆𝑑

1

)

2

+ (1 − (1 − 𝛾)πœ–)

2

(𝑆𝑑

2

)

2

}

1/2 que se puede aproximar por: 𝑣 𝑠 π‘šáπ‘₯

= πœ–[𝑆𝑑

1

2

+ 𝑆𝑑

2

2

]

1/2

En la mayoría de casos 𝑆𝑑

1

2

>> 𝑆𝑑

2

2

, entonces: 𝑣 𝑠 π‘šáπ‘₯

≈ πœ– 𝑆𝑑

1

ó, 𝑣 𝑠 π‘šáπ‘₯

≈ πœ– 𝑆𝑑 (𝑇 𝑏

, πœ‰ 𝑏

) ≈ πœ– 𝑆𝑑 𝑏

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Deformación máxima del sistema de aislamiento: 𝑣 𝑏 π‘šáπ‘₯

= {(1 − π›Ύπœ–)

2

(𝑆𝑑

1

)

2

+ (π›Ύπœ–)

2

(𝑆𝑑

2

)

2

}

1/2

Como 𝛾

2 πœ–

2

es muy pequeño: 𝑣 𝑏 π‘šáπ‘₯

= (1 − π›Ύπœ–)𝑆𝑑

1

Que se puede aproximar como: 𝑣 𝑏 π‘šáπ‘₯

≈ (1 − π›Ύπœ–) 𝑆𝑑 (𝑇 𝑏

, πœ‰ 𝑏

) ≈ (1 − π›Ύπœ–)𝑆𝑑 𝑏

Coeficientes sísmicos espectrales

ο‚·

Para la estructura:

𝐢𝑆 𝑠

= 𝑣 𝑠 π‘šáπ‘₯

π‘˜ 𝑠 π‘š 𝑠

𝑔

= πœ” 𝑠

2

𝑣 𝑠 π‘šáπ‘₯ 𝑔

= πœ” 𝑠

2

πœ–

𝑆𝑑

1 𝑔

≈ πœ” 𝑏

2

𝑆𝑑 𝑔 𝑏

=

π‘†π‘Ž 𝑏 𝑔

Si π‘†π‘Ž 𝑏

se encuentra en unidades de “g”,

𝐢𝑆 𝑠

= π‘†π‘Ž 𝑏

ο‚·

Para la base aislada:

𝐢𝑆 𝑏

= 𝑣 𝑏 π‘šáπ‘₯

π‘˜ 𝑏

(π‘š 𝑏

+ π‘š 𝑠

)𝑔

= πœ” 𝑏

2

𝑣 𝑏 π‘šáπ‘₯ 𝑔

= (1 − π›Ύπœ–) 𝑆𝑑 𝑏

πœ” 𝑏

2

= (1 − π›Ύπœ–)π‘†π‘Ž 𝑏

π‘†π‘Ž 𝑏 𝑔

Si

π‘†π‘Ž 𝑏

se encuentra en unidades de “g”,

𝐢𝑆 𝑏

= π‘†π‘Ž 𝑏

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