Uploaded by FRANK ALEX GIL GUZMÁN

APUNTES AISLAMIENTO 1

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2.1 ESTRUCTURA DE 1 GDL CON BASE FIJA
ξ << 1
x
m
k, C
ü
g
Equilibrio dinámico
𝑀(π‘₯̈ + π‘’Μˆ 𝑔 ) + 𝐢π‘₯Μ‡ + 𝐾π‘₯ = 0 → 𝑀π‘₯̈ + 𝐢π‘₯Μ‡ + 𝐾π‘₯ = −π‘€π‘’Μˆ 𝑔
a) Vibración libre
𝑀
𝐾
𝑇 = 2πœ‹ √ , πœ” = √
𝐾
𝑀
πΆπ‘π‘Ÿ = 2√𝑀 𝐾 = 2 𝑀 πœ”
𝐢 = πœ‰ 2√𝑀 𝐾 = πœ‰ 2 𝑀 πœ”
b) Vibración forzada
Cuando se somete a la estructura a una aceleración conocida π‘’Μˆ 𝑔 en su base, la ecuación
de equilibrio dinámico puede resolverse mediante la Integral de Duhamel:
π‘₯ (𝑑 ) = −
1 𝑑
∫ π‘’Μˆ (𝜏) 𝑒 −πœ‰πœ”π‘  (𝑑−𝜏) sen[πœ”π‘‘ (𝑑 − 𝜏)] π‘‘πœ
πœ”π· 0 𝑔
c) Respuesta espectral
A partir de la historia de desplazamientos obtenida en la parte b) se puede calcular el
máximo desplazamiento de la estructura:
π‘₯π‘šáπ‘₯ (𝑑) = 𝑀Á𝑋{π‘₯(𝑑)} = 𝑀Á𝑋 {−
1 𝑑
∫ π‘’Μˆ (𝜏) 𝑒−πœ‰πœ”π‘  (𝑑−𝜏) sen[πœ”π‘‘ (𝑑 − 𝜏)] π‘‘πœ} = 𝑆𝑑
πœ”π· 0 𝑔
Coeficiente sísmico 𝐢𝑆 =
π‘‰π‘šáπ‘₯ π‘†π‘Ž 𝑀
π‘†π‘Ž
=
=
π‘Š
π‘Š
𝑔
(Sa con LT-2)
Sistemas Modernos de Protección
Sísmica de Edificios/PUCP/2016
Prof. Alejandro Muñoz
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2.2 ESTRUCTURA DE VARIOS GDL CON BASE FIJA
Xm
X1
ü
g
Equilibrio dinámico
π‘€π‘‹Μˆπ‘Žπ‘π‘  + 𝐢 𝑋̇ + 𝐾 𝑋 = 0
Pero,
π‘‹π‘Žπ‘π‘  = 𝑋 + π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔
Entonces:
π‘€π‘‹Μˆ + 𝐢 𝑋̇ + 𝐾 𝑋 = −𝑀 π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔
a) Vibración libre sin amortiguamiento (π‘’Μˆ 𝑔 = 0)
π‘€π‘‹Μˆ + 𝐾 𝑋 = 0
π‘€π‘‹Μˆ = −𝐾 𝑋
Suponiendo que:
𝑋 = πœ™ 𝑍 sen(πœ”π‘‘)
Entonces:
ó,
→ π‘‹Μˆ = −πœ”2 𝑍 πœ™ sen(πœ”π‘‘)
𝐾 πœ™ = −πœ”2 𝑀 πœ™
(𝐾 − πœ”2 𝑀) πœ™ = 0
Esta expresión es la ecuación de vectores propios (πœ™) y valores propios (πœ”2 ). Para 3 GDL
tiene 3 soluciones: (πœ™1 , 𝑇1 ) , (πœ™2 , 𝑇2 ) , (πœ™3 , 𝑇3 ).
El grupo de soluciones representa los modos de vibración (forma y periodo) de una
estructura de varios GDL.
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b) Vibración forzada amortiguada (π‘’Μˆ 𝑔 ≠ 0)
π‘€π‘‹Μˆ + 𝐢 𝑋̇ + 𝐾 𝑋 = −𝑀 π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔
Solución:
𝑋 = πœ™1 𝑍1 (𝑑) + πœ™2 𝑍2 (𝑑) + … + πœ™π‘› 𝑍𝑛 (𝑑)
Zi se obtiene resolviendo:
π‘Μˆπ‘– + 2πœ‰π‘– πœ”π‘– 𝑍̇𝑖 + πœ”π‘– 2 𝑍𝑖 = −
𝐿∗𝑖
π‘’Μˆ
𝑀𝑖∗ 𝑔
Donde:
𝐿∗𝑖 = π‘Ÿ 𝑇 𝑀 πœ™π‘–
,
𝑀𝑖∗ = πœ™π‘– 𝑇 𝑀 πœ™π‘–
c) Respuesta espectral
Contribución de cada modo…
-
-
-
Al desplazamiento:
πœ™π‘–
𝐿∗𝑖
𝑆𝑑𝑖
𝑀𝑖∗
πœ™π‘–
𝐿∗𝑖
π‘†π‘Žπ‘–
𝑀𝑖∗
A la aceleración:
Al cortante en la base:
2
𝐿∗𝑖
π‘†π‘Žπ‘–
𝑀𝑖∗
-
Al coeficiente sísmico:
2
𝐿∗𝑖
1
π‘†π‘Žπ‘–
( )
∗
𝑀𝑖 π‘€π‘‘π‘œπ‘‘π‘Žπ‘™ 𝑔
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2.3 ESTRUCTURA AISLADA DE UN PISO, MODELO DE 1 GDL
ms
ks >> kb
mb
kb, Cb
Asumiendo que ks es infinito en comparación a kb …
ms
ms + mb
mb
kb, Cb
üg
üg
𝑇𝑏 = 2πœ‹√
π‘šπ‘ + π‘šπ‘
π‘˜π‘
𝐢𝑏 = πœ‰π‘ 2(π‘šπ‘  + π‘šπ‘ )ω𝑏 = πœ‰π‘ 2√(π‘šπ‘  + π‘šπ‘ )π‘˜π‘
Respuesta espectral
Usar las expresiones para 1 g.d.l con los valores espectrales correspondientes a Tb y πœ‰π‘ .
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2.4 ESTRUCTURA AISLADA DE UN PISO, MODELO DE 2 GDL
Empleando un sistema tradicional de coordenadas:
xs
ms
ks, Cs
xb
mb
kb, Cb
ü
g
π‘₯𝑏 + 1 . 𝑒𝑔
π‘₯𝑏
1
} = 𝑋 + { } 𝑒𝑔 = 𝑋 + π‘Ÿ 𝑒𝑔
𝑋 = { π‘₯ } → π‘‹π‘Žπ‘π‘  = {
π‘₯𝑠 + 1 . 𝑒𝑔
𝑠
1
→ π‘‹Μˆπ‘Žπ‘π‘  = π‘‹Μˆ + π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔
Equilibrio dinámico
𝑀(π‘‹Μˆ + π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔 ) + 𝐢𝑋̇ + 𝐾𝑋 = 0
π‘€π‘‹Μˆ + 𝐢𝑋̇ + 𝐾𝑋 = −𝑀 π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔
π‘š
𝑀=[ 𝑏
0
0
]
π‘šπ‘ 
𝐢 + 𝐢𝑠
𝐢=[ 𝑏
−𝐢𝑠
−𝐢𝑠
]
𝐢𝑠
𝐾=[
π‘˜π‘ + π‘˜π‘ 
−π‘˜π‘ 
−π‘˜π‘ 
]
π‘˜π‘ 
Se pueden simplificar las ecuaciones planteando el problema en función de un nuevo sistema
de coordenadas, 𝑉, que considere desplazamientos relativos entre el techo de la estructura y
la base aislada, y entre la base aislada y el suelo.
vs
ms
ks, Cs
vb
mb
𝑣𝑏
𝑉 = {𝑣 }
𝑠
kb, Cb
ü
g
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Equilibrio dinámico
Μ‚ π‘‰Μˆ + 𝐢̂ 𝑉̇ + 𝐾
Μ‚ 𝑉 = −𝑀
Μ‚ Μ‚π‘Ÿ π‘’Μˆ 𝑔
𝑀
Ambos sistemas se relacionan como se indica a continuación:
𝑣𝑏 = π‘₯𝑏
𝑣𝑠 = π‘₯𝑠 − π‘₯𝑏
π‘₯𝑏 = 𝑣𝑏
π‘₯𝑠 = 𝑣𝑠 + 𝑣𝑏
→
1
𝑋 = 𝐴. 𝑉 = [
1
0 𝑣𝑏
]{ }
1 𝑣𝑠
1
𝑉 = 𝐴−1 𝑋 = [
−1
0 π‘₯𝑏
]{ }
1 π‘₯𝑠
Μ‚ , 𝐢̂ y 𝐾
Μ‚ se obtienen usando transformación de coordenadas como:
Las matrices 𝑀
Μ‚ = 𝐴𝑇 . 𝑀. 𝐴 = [π‘šπ‘  + π‘šπ‘
𝑀
π‘šπ‘ 
π‘šπ‘ 
]
π‘šπ‘ 
𝐢
𝐢̂ = 𝐴𝑇 . 𝐢. 𝐴 = [ 𝑏
0
0
]
𝐢𝑠
Μ‚ = 𝐴𝑇 . 𝐾. 𝐴 = [π‘˜π‘
𝐾
0
0
]
π‘˜π‘ 
1
π‘ŸΜ‚ = { }
0
a) Vibración libre
𝑉 = 𝐴 sen(πœ”π‘‘) πœ™
π‘‰Μˆ = −πœ”2 𝐴 sen(πœ”π‘‘) πœ™
Μ‚ π‘‰Μˆ + 𝐾
̂𝑉=0 οƒ  𝑀
Μ‚ πœ™(−πœ”2 𝐴) sen(πœ”π‘‘) + 𝐾
Μ‚ πœ™ 𝐴 sen(πœ”π‘‘) = 0
𝑀
Μ‚ πœ™ − πœ”2 𝑀
Μ‚πœ™=0
οƒ  𝐾
Μ‚ − πœ”2 𝑀
Μ‚) πœ™ = 0
οƒ  (𝐾
Esta ecuación tendrá solución solo si el determinante de la matriz de coeficientes es
nulo, es decir,
Μ‚ − πœ”2 𝑀
Μ‚β€– = 0
‖𝐾
π‘˜π‘ − πœ”2 (π‘šπ‘  + π‘šπ‘ )
−πœ”2 π‘šπ‘ 
β€–
β€–=0
−πœ”2 π‘šπ‘ 
π‘˜π‘  − πœ”2 π‘šπ‘ 
Haciendo:
πœ”2 = πœ†
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,
𝛾=
π‘šπ‘ 
π‘šπ‘ + π‘šπ‘ 
,
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𝑇𝑠 2
πœ–=( )
𝑇𝑏
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y luego de desarrollar el determinante tendremos que:
1−𝛾 2
πœ† − (1 + πœ–)πœ† + πœ”π‘ 2 = 0
πœ”π‘  2
Resolviendo obtenemos:
πœ†1,2 =
(1 + πœ–) ± √(1 + πœ–)2 − 4(1 − 𝛾)πœ– 2
πœ”π‘ 
2(1 − 𝛾)
Para valores de πœ– pequeños, se tiene:
πœ†1 = πœ”1 2 = πœ”π‘ 2 (1 − πœ–π›Ύ)
πœ†2 = πœ”2 2 =
1 + πœ–π›Ύ 2
πœ”
1−𝛾 𝑠
Se determinan luego las formas de vibración, y se obtienen las siguientes expresiones
aproximadas para periodos, formas y factor de participación:
1° Modo
𝑇1 = 𝑇𝑏
1
√1 − πœ–π›Ύ
𝐿∗1
1
, πœ™1 = { } ,
= 1 − π›Ύπœ–
πœ–
𝑀1∗
2° Modo
1−𝛾
𝑇2 = 𝑇𝑠 √
1 + π›Ύπœ–
1
1
1
, πœ™2 = {− [1 − (1 − 𝛾)πœ–]} = { } ,
1
−𝛾
𝛾
πœ–
1
[1 − (1 − 𝛾)πœ–]
𝛾
1
1
πœ™1
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𝐿∗2
= π›Ύπœ–
𝑀2∗
πœ™2
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Variación del amortiguamiento
Amortiguamiento modal:
πœ‰π‘– =
𝐢𝑖∗
2 πœ”π‘– 𝑀𝑖∗
Para cada modo se obtiene:
πœ‰1 = πœ‰π‘ (1 −
πœ‰2 =
1
√1 − 𝛾
3
𝛾 πœ–)
2
(πœ‰π‘  + 𝛾 πœ–1/2 πœ‰π‘ ) (1 −
π›Ύπœ–
)
2
b) Respuesta espectral
Respuesta modal máxima:
Por el modo 1:
1
𝑉1 π‘šáπ‘₯ = (1 − π›Ύπœ–) { } 𝑆𝑑 (𝑇1 , πœ‰1 )
πœ–
Por el modo 2:
1
𝑉2 π‘šáπ‘₯ = π›Ύπœ– {1 − (1 − 𝛾)πœ– } 𝑆𝑑 (𝑇2 , πœ‰2 )
𝛾
Haciendo:
𝑆𝑑1 = 𝑆𝑑 (𝑇1 , πœ‰1 ) , 𝑆𝑑2 = 𝑆𝑑 (𝑇2 , πœ‰2 )
La deformación máxima del edificio, respecto a su base se puede obtener con un
criterio de superposición SRSS (raíz cuadrada de la suma de cuadrados):
𝑣𝑠 π‘šáπ‘₯ = {(1 − π›Ύπœ–)2 πœ– 2 (𝑆𝑑1 )2 + 𝛾 2 πœ– 2
1/2
1
2(
2}
(
)
)
1
−
(1
−
𝛾
πœ–)
𝑆𝑑
2
𝛾2
= πœ–{(1 − π›Ύπœ–)2 (𝑆𝑑1 )2 + (1 − (1 − 𝛾)πœ–)2 (𝑆𝑑2 )2 }1/2
que se puede aproximar por:
1/2
𝑣𝑠 π‘šáπ‘₯ = πœ–[𝑆𝑑1 2 + 𝑆𝑑2 2 ]
En la mayoría de casos 𝑆𝑑1 2 >> 𝑆𝑑2 2 , entonces:
𝑣𝑠 π‘šáπ‘₯ ≈ πœ– 𝑆𝑑1
ó,
𝑣𝑠 π‘šáπ‘₯ ≈ πœ– 𝑆𝑑 (𝑇𝑏 , πœ‰π‘ ) ≈ πœ– 𝑆𝑑𝑏
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Deformación máxima del sistema de aislamiento:
𝑣𝑏 π‘šáπ‘₯ = {(1 − π›Ύπœ–)2 (𝑆𝑑1 )2 + (π›Ύπœ–)2 (𝑆𝑑2 )2 }1/2
Como 𝛾 2 πœ– 2 es muy pequeño:
𝑣𝑏 π‘šáπ‘₯ = (1 − π›Ύπœ–)𝑆𝑑1
Que se puede aproximar como:
𝑣𝑏 π‘šáπ‘₯ ≈ (1 − π›Ύπœ–) 𝑆𝑑 (𝑇𝑏 , πœ‰π‘ ) ≈ (1 − π›Ύπœ–)𝑆𝑑𝑏
Coeficientes sísmicos espectrales
ο‚·
Para la estructura:
𝐢𝑆𝑠 =
𝑣𝑠 π‘šáπ‘₯ π‘˜π‘  πœ”π‘  2 𝑣𝑠 π‘šáπ‘₯
=
π‘šπ‘  𝑔
𝑔
= πœ”π‘  2 πœ–
𝑆𝑑1
𝑆𝑑𝑏 π‘†π‘Žπ‘
≈ πœ”π‘ 2
=
𝑔
𝑔
𝑔
Si π‘†π‘Žπ‘ se encuentra en unidades de “g”,
𝐢𝑆𝑠 = π‘†π‘Žπ‘
ο‚·
Para la base aislada:
𝐢𝑆𝑏 =
𝑣𝑏 π‘šáπ‘₯ π‘˜π‘
πœ”π‘ 2 𝑣𝑏 π‘šáπ‘₯
=
(π‘šπ‘ + π‘šπ‘  )𝑔
𝑔
= (1 − π›Ύπœ–) 𝑆𝑑𝑏 πœ”π‘ 2 = (1 − π›Ύπœ–)π‘†π‘Žπ‘ ≈
π‘†π‘Žπ‘
𝑔
Si π‘†π‘Žπ‘ se encuentra en unidades de “g”,
𝐢𝑆𝑏 = π‘†π‘Žπ‘
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