05.10.2016 v2.0 Applications linéaires Algèbre Linéaire 2016 1 Transformations linéaires du plan ✓ ✓ 0 1 ◆ 0 0 ◆ ✓ ✓ Algèbre Linéaire 2016 1 1 1 0 ◆ ◆ 2 Projection sur l’axe horizontale = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 3 Projection sur l’axe horizontale = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 3 Projection sur l’axe horizontale ✓ x y ◆ 7! ✓ 1 0 0 0 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 3 Projection sur l’axe verticale = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 4 Projection sur l’axe verticale = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 4 Projection sur l’axe verticale ✓ x y ◆ 7! ✓ 0 0 0 1 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 4 Projection sur la droite y=x = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 5 Projection sur la droite y=x = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 5 Projection sur la droite y=x = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 5 Projection sur la droite y=x ✓ x y ◆ 1 7 ! 2 ✓ 1 1 1 1 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 5 Contraction = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 6 Contraction = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 6 Contraction ✓ x y ◆ 7! ✓ r 0 0 r ◆✓ x y ◆ = 0r1 = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 6 Dilation = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 7 Dilation = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 7 Dilation ✓ x y ◆ 7! ✓ r 0 0 r ◆✓ x y ◆ = 1r = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 7 Réflexion par (0,0) = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 8 Réflexion par (0,0) = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 8 Réflexion par (0,0) ✓ x y ◆ 7! ✓ 1 0 0 1 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 8 Réflexion par rapport à la droite x=y = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 9 Réflexion par rapport à la droite x=y = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 9 Réflexion par rapport à la droite x=y = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 9 Réflexion par rapport à la droite x=y ✓ x y ◆ 7! ✓ 0 1 1 0 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 9 Réflexion par rapport à une droite quelconque = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 10 ax +b y= 0 Réflexion par rapport à une droite quelconque = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 10 ax +b y= 0 Réflexion par rapport à une droite quelconque = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 10 7! 1 a 2 + b2 ✓ b 2 2 a 2ab a2 2ab b2 ◆✓ x y ◆ +b x y ◆ ax ✓ y= 0 Réflexion par rapport à une droite quelconque = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 10 Réflexion par rapport à la droite y=-x = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 11 Réflexion par rapport à la droite y=-x = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 11 Réflexion par rapport à la droite y=-x = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 11 Réflexion par rapport à la droite y=-x ✓ x y ◆ 7! ✓ 0 1 1 0 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 11 Réflexion par rapport à l’axe horizontal = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 12 Réflexion par rapport à l’axe horizontal = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 12 Réflexion par rapport à l’axe horizontal ✓ x y ◆ 7! ✓ 1 0 0 1 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 12 Réflexion par rapport à l’axe vertical = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 13 Réflexion par rapport à l’axe vertical = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 13 Réflexion par rapport à l’axe vertical ✓ x y ◆ 7! ✓ 1 0 0 1 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 13 Rotation d’angle 45 degrés = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 14 Rotation d’angle 45 degrés = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 14 Rotation d’angle 45 degrés ✓ x y ◆ 1 7 p ! 2 ✓ 1 1 1 1 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 14 Rotation d’angle quelconque = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 15 Rotation d’angle quelconque = ' Algèbre Linéaire 2016 ✓ = ✓ = ✓ = ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 15 Rotation d’angle quelconque ✓ x y ◆ 7! ✓ cos(') sin(') sin(') cos(') ◆✓ x y = ◆ ' Algèbre Linéaire 2016 ✓ = ✓ = ✓ = ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 15 Transvection horizontale = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 16 Transvection horizontale = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 16 Transvection horizontale ✓ x y ◆ 7! ✓ 1 0 a 1 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 16 Transvection verticale = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 17 Transvection verticale = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 17 Transvection verticale ✓ x y ◆ 7! ✓ 1 a 0 1 ◆✓ x y ◆ = = ✓ = ✓ = Algèbre Linéaire 2016 ✓ ✓ 1 0 ◆ 1 1 ◆ 0 1 ◆ 0 0 ◆ 17