ProgramiranjeI_sylabus.doc
Fakultet informacijskih tehnologija
nbijedic@edu.fit.ba
Datum: 05.10.2018.
Princip matematičke indukcije
Zadatak 1. Pomoću principa matematičke indukcije dokazati da važi:
12 + 2 2 + . . . + n 2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
n N
Rješenje.
Indukcijska baza. Provjera da li pravilo važi za n=1:
1(1 + 1)(2  1 + 1)
6
5=5
12 =
Indukcijska hipoteza. Pretpostavimo sada da rezultat važi za n = k , dakle da je:
12 + 2 2 + . . . + k 2 =
k(k + 1)(2k + 1)
6
Dokaz. Dokažimo da rezultat važi za n = k + 1 :
12 + 22 + . . . + k 2 + (k + 1) =
2
(k + 1)(k + 1 + 1)2(k + 1) + 1
6
Koristimo indukcijsku hipotezu za zbir prvih k elemenata:
k(k + 1)(2k + 1)
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
+ (k + 1) 2 =
6
6
Ostaje da se sređivanjem izraza na lijevoj strani provjeri da li je jednak izrazu na desnoj
strani (desnu stranu samo prepisujemo, a sređujemo lijevu):
k(k + 1)(2k + 1) (k + 1) 2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
+
=
6
1
6
k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1) 2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
=
6
6
(k + 1)k(2k + 1) + 6(k + 1) (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
=
6
6
(
)
(k + 1) 2k 2 + k + 6k + 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
=
6
6
(
)
(k + 1) 2k 2 + 7k + 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
=
6
6
Matematika1 :: Vježbe
https://www.fit.ba/
1
ProgramiranjeI_sylabus.doc
Fakultet informacijskih tehnologija
nbijedic@edu.fit.ba
Izraz 2k + 7k + 6 se može pojednostaviti:
2
2k 2 + 7k + 6 = 2k 2 + 4k + 3k + 6 = 2k (k + 2) + 3(k + 2) = (2k + 3)(k + 2)
S ovako pojednostavljenim izrazom dobija se:
(k + 1)(2k + 3)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
=
1
6
6
što je očigledno tačno, tj. lijeva strana jednakosti jednaka je desnoj. Na ovaj način je
polazna tvrdnja dokazana za sve prirodne brojeve n .
Matematika1 :: Vježbe
https://www.fit.ba/
2
Fakultet informacijskih tehnologija
nbijedic@edu.fit.ba
ProgramiranjeI_sylabus.doc
Zadatak 2. Dokazati da je zbir kubova tri uzastopna prirodna broja djeljiv sa 9.
Rješenje.
Pretpostavimo da su tri uzastopna prirodna označena sa
n , n + 1 i n + 2 . Kako zbir njihovih
kubova treba biti djeljiv s 9, to se može zapisati sa:
9 | n3 + (n + 1) + (n + 2) .
3
3
Indukcijska baza.
Provjera da li pravilo važi za n=1
9 | 13 + 23 + 33
9 | 36
Tvrdnja je očigledno tačna za
n =1.
Indukcijska hipoteza. Pretpostavimo da rezultat važi za n = k :
9 k 3 + (k + 1) + (k + 2)
3
3
Dokaz. Dokažimo da rezultat važi za n = k + 1 :
9 (k + 1) + (k + 2) + (k + 3) .
3
3
3
Kako u indukcijskoj hipotezi imamo zbir prva dva kuba iz gornjeg izraza, tj.
(k + 1)3 + (k + 2)3 , pomoću formule za kub zbira razvijemo samo treći sabirak (k + 3)3
:
9 (k + 1) + (k + 2) + k 3 + 3  k 2  3 + 3  k  32 + 33
3
3
pa izraz zapišemo tako da možemo iskoristiti indukcijsku hipotezu:
(
)
9 k 3 + (k + 1) + (k + 2) + 9 k 2 + 3  k + 3
3
3
Zbir prva tri člana je djeljiv sa 9 po indukcijjskkoj hipotezi, a četvrti izraz je
očigledno djeljiv sa 9, pa je čitav izraz djeljiv s 9, čime je dokazano da tvrdnja važi
za sve prirodne brojeve.
Matematika1 :: Vježbe
https://www.fit.ba/
3
ProgramiranjeI_sylabus.doc
Zadatak 3. Dokazati da
Fakultet informacijskih tehnologija
nbijedic@edu.fit.ba
3 | 5n + 2n+1 , za sve cijele brojeve n  0 .
Rješenje
Indukcijska baza. Provjera da li pravilo važi za n=0:
3 | 50 + 2 0+1
3 |1+ 2
3|3
Indukcijska hipoteza. Pretpostavimo da rezultat važi za n = k , dakle da važi:
3 | 5k + 2k +1
Dokaz. Dokažimo da rezultat važi za n = k + 1 , odnosno da važi:
3 | 5k +1 + 2 k +1+1
3 | 5k +1 + 2 k + 2
k +1
k +2
+ 2 do oblika na koji ćemo moći da primijenimo
Transformisaćemo izraz 5
indukcijsku hipotezu, tj. do oblika u kojem ćemo u novom izrazu moći uočiti izraz iz
hipoteze
5k + 2 k +1 :
3 | 5 k +1 + 2 k + 2
3 | 5 k  51 + 2 k +1  21
3 | 5  5 k + 2  2 k +1
3 | (3 + 2 )  5 k + 2  2 k +1
3 | 3  5 k + 2  5 k + 2  2 k +1
(
3 | 3  5 k + 2  5 k + 2 k +1
U posljednjem redu
)
3  5k je očigledno djeljivo sa 3, a 2  (5k + 2k +1 )
je djeljivo sa 3
po indukcijskoj hipotezi. Zbir dva broja djeljiva sa 3 je opet broj djeljiv sa 3, pa je
ovime dokazano da je polazni izraz djeljiv sa tri za sve n N0.
Matematika1 :: Vježbe
https://www.fit.ba/
4
ProgramiranjeI_sylabus.doc
Fakultet informacijskih tehnologija
nbijedic@edu.fit.ba
Zadatak 4. Dokazati Moivre-ovu formulu: (cos x + i sin x ) = cos nx + i sin nx , n  N.
n
Rješenje.
Indukcijska baza. Provjera da li pravilo važi za n=1:
Rezultat je tačan za n = 1 jer je (cos x + i sin x ) = cos(1  x ) + i sin (1  x ) = cos x + i sin x
1
Indukcijska hipoteza.
Pretpostavimo da rezultat važi za n = k , dakle da je
(cos x + i sin x )k = cos kx + i sin kx
Dokaz. Dokažimo da rezultat važi za n = k + 1 , odnosno da važi:
(cos x + i sin x )k +1 = cos(k + 1)x + i sin (k + 1)x
Kako je
(cosx + i sinx)k+1 = (cosx + i sinx)k * (cosx + i sinx),
to po indukcijskoj hipotezi slijedi da je
(cos x + i sin x )k +1 = cos(k + 1)x + i sin (k + 1)x
(cos x + i sin x )k  (cos x + i sin x ) = cos(k + 1)x + i sin (k + 1)x
(cos kx + i sin kx)  (cos x + i sin x ) = cos(k + 1)x + i sin (k + 1)x
cos kx cos x + i 2 sin kx sin x + i sin x cos kx + i cos x sin kx = cos(k + 1)x + i sin (k + 1)x
cos kx cos x − sin kx sin x + i(sin x cos kx + cos x sin kx) = cos(k + 1)x + i sin (k + 1)x
Sada primjenjujemo adicione formule:
cos(+)=coscos-sinsin i sin(+)=sincos+cossin,
pa se izraz s lijeve strane transformiše kao:
cos(kx + x ) + i sin (kx + x ) = cos(k + 1)x + i sin (k + 1)x
cos(k + 1)x + i sin (k + 1)x = cos(k + 1)x + i sin (k + 1)x
čime je dokazana jednakost.
Matematika1 :: Vježbe
https://www.fit.ba/
5
ProgramiranjeI_sylabus.doc
Zadatak 5. Ako je cijeli broj
Fakultet informacijskih tehnologija
nbijedic@edu.fit.ba
x n definisan rekurzivno sa:
x1 = 2
x n = xn −1 + 2n za n  1
i
pokazati da važi i formula
x n = n(n + 1)
za ∀𝑛 ∈N.
Rješenje.
Indukcijska baza. Provjera da li formula važi za n=1:
Rezultat je tačan za n = 1 , jer je
2 = 1 2 .
Indukcijska hipoteza. Pretpostavimo da formula važi za n = k , dakle da je:
x k = xk −1 + 2k
Dokaz.
Dokažimo da formula važi za n = k + 1 . Krenućemo od rekurzivne definicije za
element sa indeksom n = k + 1 :
xk +1 = xk + 2(k + 1) .
Kada se uvrsti indukcijska hipoteza,
xk +1 = k (k + 1) + 2(k + 1)
xk +1 = (k + 1)(k + 2).
što je jednako vrijednosti izraza
x n za n = k + 1 , tj. x k +1 = (k + 1)(k + 2) , čime je
tvrdnja dokazana.
Matematika1 :: Vježbe
https://www.fit.ba/
6