RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMAN 1 GARUT Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan) Kelas/Semester :X/1 Materi Pokok : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor Waktu : 3 × 45 menit Kompetensi Inti 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif, dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. Kompetensi Dasar dan Indikator 3.5 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Indikator: 3.5.1 Membedakan antara skalar dan vektor. 3.5.2 Menganalisis jumlah vektor. 3.5.3 Menganalisis selisih vektor. 3.5.4 Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor. PERTEMUAN I A. Tujuan Pembelajaran Setelah selesai melaksanakan kegiatan pembelajaran: 1. Siswa dapat membedakan antara skalar dan vektor. 2. Siswa dapat menganalisis jumlah vektor. 3. Siswa dapat menganalisis selisih vektor. 4. Siswa dapat menganalisis hasil kali skalar dengan vektor. B. Materi Pembelajaran Materi Pokok Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor Materi Prasyarat Aljabar, geometri Fakta 1. Masalah kontekstual yang diselesaikan dengan sifat-sifat vektor. 2. Aplikasi fisika yang diselesaikan dengan menggunakan vektor. 3. Masalah kontekstual yang berkaitan dengan soal aplikasi vektor atau soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi. Konsep 1. Sifat-sifat operasi aljabar vektor. 2. Operasi perkalian skalar dua vektor. Prinsip 1. Definisi besaran skalar dan besaran vektor. 2. Definisi dua vektor yang sama. 3. Besar vektor dalam bidang dan ruang. 4. Segmen garis. 5. Definisi perkalian skalar dua vektor. Prosedur 1. Langkah-langkah menentukan besar vektor dalam bidang dan ruang. C. Model / Metode Pembelajaran Pendekatan pembelajaran : Pendekatan saintifik (scientific) Model Pembelajaran : Discovery Learning Metode Pembelajaran : Diskusi, Tanya jawab. D. Kegiatan Pembelajaran Kegiatan Pendahuluan Deskripsi Kegiatan Komunikasi Alokasi Waktu 10 Menit 1. Guru mengucapkan salam dan mengarahkan siswa untuk memimpin doa 2. Guru mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk menyiapkan perlengkapan dan peralatan yang diperlukan, misalnya buku siswa. Apersepsi Guru memberikan gambaran tentang pentingnya memahami Konsep vektor dalam kehidupan sehari-hari. Motivasi 1. Mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis, siswa diajak memecahkan masalah mengenai bagaimana menemukan Konsep vektor. 2. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai. Inti Mengamati Guru mengajukan/menunjukkan masalah kepada Siswa untuk diselesaikan/diskusikan dalam menemukan konsep vektor Menanya Guru meminta siswa untuk menanyakan tentang masalah atau Membuat pertanyaan mengenai konsep vektor Mengeksplorasi Siswa menyelesaikan masalah konsep vektor berdasarkan lembar kerja siswa yang diberikan guru. Mengasosiasi 110 Menit Siswa menganalisis dan membuat kategori dari unsurunsur yang terdapat pada konsep vektor Mengomunikasikan Guru mengarahkan siswa untuk menghubungkan unsurunsur yang sudah dikategorikan/ dikelompokkan sehingga dapat dibuat kesimpulan mengenai konsep vektor Penutup 1. Guru meminta kepada siswa untuk menyimpulkan 15 Menit materi yang baru dipelajari 2. Guru memberikan tes kepada siswa 3. Guru memberikan tugas rumah (PR) 4. Guru menyampaikan arahan untuk pertemuan selanjutnya 5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan untuk tetap belajar dan meningkatkan sikap yang baik di rumah. Alat / Media / Sumber Pembelajaran 1. White Board, Maker 2. Laptop, Proyektor, Media Presentasi 3. Sumber pembelajaran: a. Buku Matematika peminatan kelas X untuk SMA penerbit Erlangga b. Buku Matematika peminatan kelas X untuk SMA penerbit Yrama Widya c. Sumber buku lain, Internet dll. Penilaian Hasil Belajar No 1 Aspek yang dinilai Aspek sikap a. Observasi perilaku : Sikap rasa ingin tahu Sikap aktif/bekerjasama Sikap toleransi Teknik Waktu Penilaian Penilaian Pengamatan / Selama Penskoran pembelajaran dan saat diskusi b. Penilaian diri c. Penilaian antar peserta didik 2 Aspek Pengetahuan Penskoran Penyelesaian a. Tes tertulis berupa uraian soal b. Tes lisan Pada waktu kegiatan pembelajaran berlangsung yakni di awal, tengah dan pada akhir pembelajaran c. Tugas Berupa pekerjaan rumah (PR) 3 Aspek Keterampilan a. Projek (LKS) b. Penilaian Fortofolio Pengamatan / Penyelesaian Penskoran tugas (baik individu maupun kelompok) dan saat diskusi Garut, Agustus 2016 Mengetahui, Guru Pamong, Guru Praktikan, Nurul Ruhmania, S.Pd.Mat Zakkina Gais NIP. 19641128 199003 2 007 NIM. 13511008 INSTRUMEN PENILAIAN HASIL BELAJAR 1. Instrumen Tes Tertulis Soal 2 1. Diketahui 𝑎⃗ = (𝑥5 ) dan 𝑏⃗⃗ = (𝑦4), jika 𝑎⃗ = 𝑏⃗⃗ Tentukan: a. Vektor 𝑎⃗ b. Vektor 𝑏⃗⃗ c. 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗, 𝑎⃗ - 𝑏⃗⃗ 𝑑𝑎𝑛 2𝑎⃗ dengan menggunakan aljabar dan geometris. Jawaban dan pedoman penskoran. a. 𝑎⃗ = 𝑏⃗⃗ 2 (𝑥5 ) = (𝑦4) x2 = 4 x = √4 x=±2 𝑥2 Vektor 𝑎⃗ = ( 5 ) 2 4 = ((±2) ) = ( ) 5 5 (Skor 20) b. 𝑎⃗ = 𝑏⃗⃗ 2 (𝑥5 ) = (𝑦4) y=5 4 Vektor 𝑏⃗⃗ = (𝑦) = (45) (Skor 20) c. Secara aljabar 4 4 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = (5) + (5) 8 = (10) Secara Geometris 𝑏⃗⃗ 𝑎⃗ (Skor 20) Secara aljabar 4 4 𝑎⃗ - 𝑏⃗⃗ = (5) - (5) 0 = (0 ) Secara Geometris 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ (Skor 20) Secara aljabar 4 2𝑎⃗ = 2( 5 ) 2.4 = (2.5) 8 = (10) Secara Geometris 𝑎⃗ 𝑎⃗ (Skor 20) LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN SIKAP Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi Pokok : SMAN 1 GARUT : Matematika (Peminatan) : X MIPA /1 : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor Kompetensi Dasar : 2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerjasama, jujur dan percaya diri serta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam 2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat. Indikator 2.1.1 Menunjukan sikap bekerjasama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata 2.2.1 Menunjukan sikap rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam 2.3.1 Menunjukan perilaku toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat Indikator penilaian rasa ingin tahu dapat disusun sebagai berikut: Kriteria Skor Indikator Sangat Baik (SB) 4 Selalu memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar Baik (B) 3 Sering memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar Cukup (C) 2 Kadang-kadang memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar Kurang (K) 1 Tidak pernah memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar Indikator penilaian aktif/bekerjasama dapat disusun sebagai berikut: Kriteria Skor Indikator Sangat Baik (SB) 4 Selalu aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai permasalahan Baik (B) 3 Sering aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai permasalahan Kriteria Skor Indikator Cukup (C) 2 Kadang-kadang aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai permasalahan Kurang (K) 1 Tidak pernah aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai permasalah Indikator penilaian sikap toleransi dapat disusun sebagai berikut: Kriteria Skor Indikator Sangat Baik (SB) 4 Selalu bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada Baik (B) 3 Sering bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada Cukup (C) 2 Kadang-kadang bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada Kurang (K) 1 Tidak pernah bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan. No Nama Siswa X-MIPA 1 1 ALDA ALIA LUSIANA 2 ALVENUS FILIFI 3 ANNISA FAUZIAH 4 ANNISA LILIS F 5 AZRIEL AKBAR RAHMAN 6 CHAMPERNIC T 7 DESVIRA SHABILA M 8 DILLA NUR FADILLAH 9 FARHAN NUGRAHA 10 ILA ASRI ASROFIATY 11 INDAH SARI NURJANAH 12 JANUAR HIDAYAT 13 KEVIN KHAEDAR N P 14 LUTFI SIDIQ 15 MARISKA AYUDIA 16 MOCH SAEFUL IRPAN 17 MOHAMMAD RIZKY M 18 MUHAMMAD RAMADHANI 19 NABILA ZAHRA S 20 NIKEN DWI CAROLINA P 21 NOVIANTI MAHARANI 22 QORI KHOIRUNNISA 23 REGINA MARTHATIANA 24 REKA PERMATASARI 25 RIZAL FIRDAUS 26 SANIA FEBRI YANTI V 27 SHILVIA OKTAFIANI 28 SITI ASIAH SYA'ADAH 29 SUKMA WIJAYA 30 SULTHON AHMAD AULA 31 SYIFFA FAUZYAH P 32 TIARA NURSYAMSA F 33 TRIKO JUAN HINMAN A 34 WIZNI A'DILA A'ZIZA 35 YASMIN NURLATIFAH P 36 YAYU FATIMATUNNISA Keterangan: SB : Sangat Baik B : Baik C : Cukup K : Kurang Sikap Bekerjasama Aktif SB B C K SB B C Toleran K SB B C K LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KETERAMPILAN Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi Pokok Waktu Pengamatan : SMAN 1 GARUT : Matematika (Peminatan) : X MIPA /1 : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor : KD 4.5 Kompetensi Dasar : 4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Indikator: 4.5.1 Memecahkan masalah kehidupan nyata menggunakan konsep vektor. Indikator penilaian Keterampilan dapat disusun sebagai berikut: Kriteria Skor Sangat Terampil (ST) 3 Terampil (T) 2 Kurang Terampil (KT) 1 Indikator Sangat terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan vektor Terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan vektor Kurang Terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan vektor Bubuhkan tanda √pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan. Nama Siswa X-MIPA 1 No 1 ALDA ALIA LUSIANA 2 ALVENUS FILIFI 3 ANNISA FAUZIAH 4 ANNISA LILIS F 5 AZRIEL AKBAR RAHMAN 6 CHAMPERNIC T 7 DESVIRA SHABILA M 8 DILLA NUR FADILLAH 9 FARHAN NUGRAHA 10 ILA ASRI ASROFIATY 11 INDAH SARI NURJANAH 12 JANUAR HIDAYAT 13 KEVIN KHAEDAR N P 14 LUTFI SIDIQ 15 MARISKA AYUDIA 16 MOCH SAEFUL IRPAN 17 MOHAMMAD RIZKY M 18 MUHAMMAD RAMADHANI 19 NABILA ZAHRA S 20 NIKEN DWI CAROLINA P 21 NOVIANTI MAHARANI 22 QORI KHOIRUNNISA 23 REGINA MARTHATIANA 24 REKA PERMATASARI 25 RIZAL FIRDAUS 26 SANIA FEBRI YANTI V 27 SHILVIA OKTAFIANI 28 SITI ASIAH SYA'ADAH 29 SUKMA WIJAYA 30 SULTHON AHMAD AULA 31 SYIFFA FAUZYAH P 32 TIARA NURSYAMSA F 33 TRIKO JUAN HINMAN A 34 WIZNI A'DILA A'ZIZA 35 YASMIN NURLATIFAH P 36 YAYU FATIMATUNNISA Keterangan: KT : Kurang terampil T : Terampil ST : Sangat terampil Keterampilan Memecahkan masalah kehidupan nyata menggunakan konsep vektor KT T ST LEMBAR KERJA Nama Sekolah : SMAN 1 GARUT Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan) Kelas/Semester :X/1 Materi Pokok : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor Waktu : 45 menit Kompetensi Dasar 3.5 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Indikator: 3.5.1 Membedakan antara skalar dan vektor. 3.5.2 Menganalisis jumlah vektor. 3.5.3 Menganalisis selisih vektor. 3.5.4 Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor. Kelompok : ______________________ Nama : 1. ____________________ 5. ______________________ 2. ____________________ 6. ______________________ 3. ____________________ 7. ______________________ 4. ____________________ 8. ______________________ Kerjakan kegiatan ini dengan teman sekelompok anda 1. Diketahui Titik A(3,-1), B(4,1). Jika AC = 3 AB , tentukan a. Tentukan vektor yang diwakili oleh garis berarah AB b. Tentukan vektor yang diwakili oleh garis berarah AC c. Tentukan koordinat C d. Hitunglah panjang AB , dan panjang AC 2 2. Diketahui vektor a = , 5 a. 2 a + b b. a – ½ b 4 = , 6 b 1 3 3. Diketahui vektor a = b = 7 2 4 a. 2 b b. 3 a 4. Tentukan nilai x dan y serta a dan b jika a = b a. x a = 5 , b = y x x y 3 b. 4 a= 2 , b= 1 Penyelesaian 1. a. Titik A(3,-1), B(4,1) = A(𝑎1 , 𝑎2 ) , B( ... , ... ) ̅̅̅̅ = (𝑏1 − 𝑎1 ) Garis berarah 𝐴𝐵 𝑏2 − 𝑎2 =( …−… ) … −(−1) … ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = ( ) 2 … Jadi garis berarah ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = ( ) 2 b. AC = 3 AB … ) 2 AC = 3 ( … ) … AC = ( Jadi garis berarah AC = ( … ) … … ) … c. AC = ( (… ) = (𝑐𝑐12 −− 𝑎𝑎12) … 𝑐 − … 1 (… ) = (𝑐 − (−1)) … 2 3 = 𝑐1 − … 𝑐1 = ... + ... 𝑐1 = ... ... = 𝑐2 − (−1) 𝑐2 = ... + ... 𝑐2 = 5 Jadi koordinat C : C(𝑐1 , …) = C(… , 5) d. … ) 2 AB = ( x y y 1 ̅̅̅̅ | Panjang AB = |𝐴𝐵 ̅̅̅̅ | = √…2 + …2 |𝐴𝐵 ̅̅̅̅ | = √… + … |𝐴𝐵 ̅̅̅̅ | = √… |𝐴𝐵 … ) … AC = ( ̅̅̅̅ | Panjang AC = |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ | = √…2 + …2 |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ | = √… + … |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ | = √… |𝐴𝐶 ̅̅̅̅| = √… dan |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ | = √… Jadi, |𝐴𝐵 2 2. Vektor a = , 5 b 4 = 6 … a. 2𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 2( ) + … =( (…6) … ) −4 2 1 … ) -2 ( ) … … b. 𝑎⃗ - 2 𝑏⃗⃗ = ( 1 =( … ) … 1 3 3. Vektor a = b = 7 2 4 … ) … … =( ) −4 a. 2 𝑎⃗ = 2 ( (−1) b. 3𝑏⃗⃗ = 3 ( … ) … … = (…) 12 4. Nilai x dan y jika a = b x x a. a = 5 , b = x y y 3 a=b 𝑥 𝑥 5 𝑥 + 𝑦) ( )= ( 𝑦 3 y = ... x+y=5 x + (...) = 5 x = ... … 𝑥 5 𝑎⃗ = ( ) = ( 5 ) … 𝑦 Jadi, … 𝑥 𝑏⃗⃗ = (𝑥 + 𝑦) = (…) 3 3 4 a= 2 , b= 1 b. x y y 1 a=b 𝑥+𝑦 4 ( 2 ) = ( −𝑦 ) −1 −1 -y = ... y = ... x+y=4 x + (...) = 4 x = ... Jadi, 𝑥+𝑦 … −1 −1 𝑏⃗⃗ = ( −𝑦 ) = ( … ) Kunci Jawaban No 1. Penyelesaian Skor a. Titik A(3,-1), B(4,1) = A(𝑎1 , 𝑎2 ) , B(𝑏1 , 𝑏2 ) ̅̅̅̅ = ( Garis berarah 𝐴𝐵 =( 𝑏1 − 𝑎1 ) 𝑏2 − 𝑎2 4−3 ) 1 −(−1) 10 1 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = ( ) 2 1 Jadi garis berarah ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = ( ) 2 b. AC = 3 AB 10 1 AC = 3 ( ) 2 3 ) 6 AC = ( Jadi garis berarah AC = ( 3 ) 6 3 ) 6 c. AC = ( (36) = (𝑐𝑐12 −− 𝑎𝑎12) 3 (36) = (𝑐 𝑐1−−(−1) ) 2 3 = 𝑐1 − 3 𝑐1 = 3 + 3 𝑐1 = 6 6 = 𝑐2 − (−1) 𝑐2 = 6 + (-1) 𝑐2 = 5 Jadi koordinat C : C(𝑐1 , 𝑐2 ) = C(6, 5) d. AB = ( 1 ) 2 ̅̅̅̅ | Panjang AB = |𝐴𝐵 10 ̅̅̅̅ | = √12 + 22 |𝐴𝐵 ̅̅̅̅ | = √1 + 4 |𝐴𝐵 ̅̅̅̅ | = √5 |𝐴𝐵 10 AC = (3) 6 ̅̅̅̅ | Panjang AC = |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ | = √32 + 62 |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ | = √9 + 36 |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ | = √45 |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ | = √5 dan |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ | = √45 Jadi, |𝐴𝐵 2. Vektor 𝑎⃗=( 2 4 ) , 𝑏⃗⃗ = ( ) −5 6 2 a. 2𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 2( −5 =( ) + (46) 4 ) + (46) −10 10 8 = (−4 ) 2 1 b. 𝑎⃗ - 2 𝑏⃗⃗ = ( 1 4 ) -2 ( ) −5 6 3. =( 2 ) −5 =( 0 ) −8 - (23) 10 1 3 Vektor a = b = 7 2 4 3 ) −2 6 =( ) −4 a. 2𝑎⃗ = 2 ( 10 (−1) b. 3𝑏⃗⃗= 3 ( 7 ) 4 10 −3 = ( 21 ) 12 4. Nilai x dan y jika a = b a. x a = 5 , b = y x x y 3 a=b 𝑥 𝑥 5 ( ) = (𝑥 + 𝑦 ) 𝑦 3 y=3 x+y=5 x + (3) = 5 x = 5-3 x=2 10 𝑥 2 𝑎⃗ = (5) = (5) Jadi, 𝑦 3 𝑥 2 3 3 𝑏⃗⃗ = (𝑥 + 𝑦) = (5) 4 b. a = 2 , b = 1 x y y 1 a=b 𝑥+𝑦 4 ( 2 ) = ( −𝑦 ) −1 −1 -y = 2 y = -2 x+y=4 x + (-2) = 4 x=4+2 x=6 Jadi, 10 𝑥+𝑦 4 −1 −1 𝑏⃗⃗ = ( −𝑦 ) = ( 2 ) Jumlah Skor 100 BAHAN AJAR Nama Sekolah : SMAN 1 GARUT Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan) Kelas/Semester :X/1 Materi Pokok : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor Waktu : 3 × 45 menit Kompetensi Dasar 3.5 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Indikator: 3.5.1 Membedakan antara skalar dan vektor. 3.5.2 Menganalisis jumlah vektor. 3.5.3 Menganalisis selisih vektor. 3.5.4 Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor. Pendahuluan Bagi Anda yang telah mempelajari Fisika pasti pernah mendengar kata vektor. Vektor merupakan suatu besaran selain besaran skalar yang sudah Anda kenal dalam Fisika. Perbedaan kedua besaran ini adalah: Skalar : Besaran yang hanya mempunyai nilai saja (menunjukkan suatu bilangan real tertentu). Contoh: suhu, massa, dan sebagainya. Vektor : Besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah. Biasanya digunakan untuk menyelidiki gerak perpindahan, pergeseran, kecepatan, percepatan dan sebagainya. Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang dan arahnya tertentu. A a OA adalah vektor a dengan titik pangkal O dan titik ujung A Panjang OA menunjukan besar vektor a O Gambar 1 1. NOTASI VEKTOR Suatu vektor biasa ditulis dengan menggunakan : 1. Huruf kecil yang dicetak tebal seperti : a, b, c, u, v, ..... 2. Huruf kecil dengan tanda anak panah di atasnya seperti : a , b , c , u , v , .... Ada tiga cara menuliskan sebuah vektor, yaitu … di R 3 atau vektor dalam ruang xa 1. a = y a 2. a = ( x a , y a , z a ) z a di R 2 atau vektor pada bidang x 1. a = a 2. a = ( x a , y a ) ya Contoh : Q ̅̅̅̅ ; 𝑎⃗ = 𝑃𝑄 𝑎⃗ 3. a = x a i + y a j + z a k 3. a = x a i + y a j P = titik pangkal dan Q = titik ujung 𝑎⃗ = (𝑎𝑎1 ) 2 P 2. ALJABAR VEKTOR Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta arahnya sama. a b a b Jika vektor a = 1 sama dengan vektor b = 1 maka | a | = | b | a2 b2 . (panjang vektor a = panjang vektor b dan arah a = arah b a1 b1 = a 1 = b1 dan a 2 = b 2 a2 b2 Gambar 2 | a | : Panjang vektor a , | a | = a1 a 2 2 2 a1 b1 b1 a1 Jika OA a 2 dan OB b2 Maka AB b2 a 2 dan panjang panjangnya adalah a b b a 3 3 3 3 AB (b1 a1 ) 2 (b2 a 2 ) 2 (b3 a3 ) 2 Contoh: 1. Diketahui titik A(2,1) dan B(3,-4). Vektor 𝑝⃗ mewakili garis ̅̅̅̅ 𝐴𝐵, tentukan vektor 𝑝⃗ dan panjang vektor 𝑝⃗ . Jawab : Garis berarah 𝑏 − 𝑎1 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = ( 1 ) 𝑏2 − 𝑎2 3 −2 =( ) −4 −1 ̅̅̅̅ = ( 1 ) 𝐴𝐵 −5 ̅̅̅̅ = 𝑝⃗ = ( 1 ) Jadi garis berarah 𝐴𝐵 −5 Panjang vektor 𝑝⃗ |𝑝⃗| = √(𝑝1 )2 + (𝑝2 )2 = √12 + (−5)2 = √1 + 25 = √26 Jadi panjang vektor 𝑝⃗ adalah √26 . 2. Vektor 𝑢 ⃗⃗ = (𝑢𝑢1 ) dan 𝑣⃗ = (𝑣𝑣1 ) 2 2 𝑢 ⃗⃗ = 𝑣⃗ 𝑢 ⃗⃗ = 𝑣⃗ Maka 𝑢1 = 𝑣1 dan 𝑢2 = 𝑣2 vektor 𝑢 ⃗⃗ = (14) dan 𝑣⃗ = (14) a a Invers jumlah suatu vektor a ditulis – a yaitu vektor yang panjangnya sama dengan a tetapi arahnya berlawanan . Gambar 3 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Secara geometris penjumlahan vektor dapat ditentukan dengan aturan segitiga dan aturan jajaran genjang. Jika vektor c adalah hasil penjumlahan a dan b , maka : Dengan aturan poligon vektor c digambar dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b setelah vektor b digeser sehingga titik pangkalnya berimpit dengan ujung vektor a Dengan aturan jajaran genjang, vektor b digeser sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik b pangkal vektor a vektor c adalah diagonal a jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor a dan c i b c a dengan titik pangkalnya pada titik pangkal vektor a dan b .Penjumlahan dan pengurangan vektor secara aljabar adalah penjumlahan dan b ii pengurangan komponen-komponennya. Gambar 4 a 1. Misalkan a = 1 dan a2 b b = 1 maka : a + b = b2 2. Jika a = a 1 i + a 2 j + a 3 k dan b a1 b1 dan a a 2 b2 b a b1 = 1 a 2 b2 = b1 i + b 2 j + b 3 k maka a + b = a 1 i + a 2 j + a 3 k + b1 i + b 2 j + b 3 k =( a 1 + b1 ) i + ( a 2 + b 2 ) j + ( a 3 + b 3 ) k Contoh: 1. Tentukan 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ jika 𝑎⃗ = (43) dan 𝑏⃗⃗ = (25)! Jawab : 4 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = ( ) 3 + (25) = (68) 2. Tentukan 𝑎⃗ - 𝑏⃗⃗ jika 𝑎⃗ = (43) dan 𝑏⃗⃗ = (25) ! Jawab : 4 𝑎⃗ - 𝑏⃗⃗ = ( ) 3 - (25) 2 = (−2 ) Perkalian vektor dengan skalar Jika k adalah bilangan real yang positif, maka k. a adalah vektor yang arahnya sama dengan a dan besarnya k. | a | dan −k. a adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan a dan besarnya k. | a | Perhatikan gambar berikut a 4a -3 a 2a Gambar 5 a1 b1 a = b = a2 b2 Contoh: 4 Tentukan 3𝑎⃗ jika 𝑎⃗ = (3) ! Jawab : 3𝑎⃗ = 3(43) = (3.3.34) = (12 ) 9 a1 2a1 2a 2 2 a = 2 = a2 b1 kb1 k b = k = b2 kb2