RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Nama Sekolah
: SMAN 1 GARUT
Mata Pelajaran
: Matematika (Peminatan)
Kelas/Semester
:X/1
Materi Pokok
: Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor
Waktu
: 3 × 45 menit
Kompetensi Inti
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong,
kerjasama, toleran, damai), santun, responsif, dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi
atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial
dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural
berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan
humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban
terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural
pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan
masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu
menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
Kompetensi Dasar dan Indikator
3.5 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang
berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.
Indikator:
3.5.1
Membedakan antara skalar dan vektor.
3.5.2
Menganalisis jumlah vektor.
3.5.3
Menganalisis selisih vektor.
3.5.4
Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.
PERTEMUAN I
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah selesai melaksanakan kegiatan pembelajaran:
1.
Siswa dapat membedakan antara skalar dan vektor.
2.
Siswa dapat menganalisis jumlah vektor.
3.
Siswa dapat menganalisis selisih vektor.
4.
Siswa dapat menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.
B. Materi Pembelajaran
Materi Pokok
Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor
Materi Prasyarat
Aljabar, geometri
Fakta
1. Masalah kontekstual yang diselesaikan dengan sifat-sifat vektor.
2. Aplikasi fisika yang diselesaikan dengan menggunakan vektor.
3. Masalah kontekstual yang berkaitan dengan soal aplikasi vektor atau soal-soal
seleksi masuk perguruan tinggi.
Konsep
1. Sifat-sifat operasi aljabar vektor.
2. Operasi perkalian skalar dua vektor.
Prinsip
1. Definisi besaran skalar dan besaran vektor.
2. Definisi dua vektor yang sama.
3. Besar vektor dalam bidang dan ruang.
4. Segmen garis.
5. Definisi perkalian skalar dua vektor.
Prosedur
1. Langkah-langkah menentukan besar vektor dalam bidang dan ruang.
C. Model / Metode Pembelajaran
Pendekatan pembelajaran
: Pendekatan saintifik (scientific)
Model Pembelajaran
: Discovery Learning
Metode Pembelajaran
: Diskusi, Tanya jawab.
D. Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan
Pendahuluan
Deskripsi Kegiatan
Komunikasi
Alokasi
Waktu
10 Menit
1. Guru mengucapkan salam dan mengarahkan siswa
untuk memimpin doa
2. Guru mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa
untuk menyiapkan perlengkapan dan peralatan yang
diperlukan, misalnya buku siswa.
Apersepsi
Guru memberikan gambaran tentang pentingnya
memahami Konsep vektor dalam kehidupan sehari-hari.
Motivasi
1. Mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis, siswa
diajak memecahkan masalah mengenai bagaimana
menemukan Konsep vektor.
2. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin
dicapai.
Inti
Mengamati
Guru mengajukan/menunjukkan masalah kepada Siswa
untuk diselesaikan/diskusikan dalam menemukan konsep
vektor
Menanya
Guru meminta siswa untuk menanyakan tentang masalah
atau Membuat pertanyaan mengenai konsep vektor
Mengeksplorasi
Siswa menyelesaikan masalah konsep vektor berdasarkan
lembar kerja siswa yang diberikan guru.
Mengasosiasi
110 Menit
Siswa menganalisis dan membuat kategori dari unsurunsur yang terdapat pada konsep vektor
Mengomunikasikan
Guru mengarahkan siswa untuk menghubungkan unsurunsur yang sudah dikategorikan/ dikelompokkan sehingga
dapat dibuat kesimpulan mengenai konsep vektor
Penutup
1. Guru meminta kepada siswa untuk menyimpulkan
15 Menit
materi yang baru dipelajari
2. Guru memberikan tes kepada siswa
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru
menyampaikan
arahan
untuk
pertemuan
selanjutnya
5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan
pesan untuk tetap belajar dan meningkatkan sikap yang
baik di rumah.
Alat / Media / Sumber Pembelajaran
1. White Board, Maker
2. Laptop, Proyektor, Media Presentasi
3. Sumber pembelajaran:
a. Buku Matematika peminatan kelas X untuk SMA penerbit Erlangga
b. Buku Matematika peminatan kelas X untuk SMA penerbit Yrama Widya
c. Sumber buku lain, Internet dll.
Penilaian Hasil Belajar
No
1
Aspek yang dinilai
Aspek sikap
a. Observasi perilaku :

Sikap rasa ingin tahu

Sikap aktif/bekerjasama

Sikap toleransi
Teknik
Waktu
Penilaian
Penilaian
Pengamatan /
Selama
Penskoran
pembelajaran
dan saat diskusi
b. Penilaian diri
c. Penilaian antar peserta didik
2
Aspek Pengetahuan
Penskoran
Penyelesaian
a. Tes tertulis berupa uraian
soal
b. Tes lisan
Pada waktu kegiatan pembelajaran
berlangsung yakni di awal, tengah dan
pada akhir pembelajaran
c. Tugas
Berupa pekerjaan rumah (PR)
3
Aspek Keterampilan
a. Projek (LKS)
b. Penilaian Fortofolio
Pengamatan /
Penyelesaian
Penskoran
tugas (baik
individu
maupun
kelompok) dan
saat diskusi
Garut, Agustus 2016
Mengetahui,
Guru Pamong,
Guru Praktikan,
Nurul Ruhmania, S.Pd.Mat
Zakkina Gais
NIP. 19641128 199003 2 007
NIM. 13511008
INSTRUMEN PENILAIAN HASIL BELAJAR
1. Instrumen Tes Tertulis
Soal
2
1. Diketahui 𝑎⃗ = (𝑥5 ) dan 𝑏⃗⃗ = (𝑦4), jika 𝑎⃗ = 𝑏⃗⃗
Tentukan:
a. Vektor 𝑎⃗
b. Vektor 𝑏⃗⃗
c. 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗, 𝑎⃗ - 𝑏⃗⃗ 𝑑𝑎𝑛 2𝑎⃗ dengan menggunakan aljabar dan geometris.
Jawaban dan pedoman penskoran.
a.
𝑎⃗ = 𝑏⃗⃗
2
(𝑥5 ) = (𝑦4)
 x2 = 4
x = √4
x=±2
𝑥2
Vektor 𝑎⃗ = ( 5 )
2
4
= ((±2)
)
=
(
)
5
5
(Skor 20)
b. 𝑎⃗ = 𝑏⃗⃗
2
(𝑥5 ) = (𝑦4)
 y=5
4
Vektor 𝑏⃗⃗ = (𝑦)
= (45)
(Skor 20)
c.

Secara aljabar
4
4
𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = (5) + (5)
8
= (10)
Secara Geometris
𝑏⃗⃗
𝑎⃗
(Skor 20)

Secara aljabar
4
4
𝑎⃗ - 𝑏⃗⃗ = (5) - (5)
0
= (0 )
Secara Geometris
𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗
(Skor 20)

Secara aljabar
4
2𝑎⃗
= 2( 5 )
2.4
= (2.5)
8
= (10)
Secara Geometris
𝑎⃗
𝑎⃗
(Skor 20)
LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN SIKAP
Nama Sekolah
Mata Pelajaran
Kelas/Semester
Materi Pokok
: SMAN 1 GARUT
: Matematika (Peminatan)
: X MIPA /1
: Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor
Kompetensi Dasar :
2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerjasama, jujur
dan percaya diri serta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata.
2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi
dengan lingkungan sosial dan alam
2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam
masyarakat.
Indikator
2.1.1 Menunjukan sikap bekerjasama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata
2.2.1 Menunjukan sikap rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam
berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam
2.3.1 Menunjukan perilaku toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat
Indikator penilaian rasa ingin tahu dapat disusun sebagai berikut:
Kriteria
Skor
Indikator
Sangat Baik
(SB)
4
Selalu memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar
Baik (B)
3
Sering memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar
Cukup (C)
2
Kadang-kadang memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari
pengalaman belajar
Kurang (K)
1
Tidak pernah memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman
belajar
Indikator penilaian aktif/bekerjasama dapat disusun sebagai berikut:
Kriteria
Skor
Indikator
Sangat Baik
(SB)
4
Selalu aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai permasalahan
Baik (B)
3
Sering aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai
permasalahan
Kriteria
Skor
Indikator
Cukup (C)
2
Kadang-kadang aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai
permasalahan
Kurang (K)
1
Tidak pernah aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai
permasalah
Indikator penilaian sikap toleransi dapat disusun sebagai berikut:
Kriteria
Skor
Indikator
Sangat Baik
(SB)
4
Selalu bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada
Baik (B)
3
Sering bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada
Cukup (C)
2
Kadang-kadang bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada
Kurang (K)
1
Tidak pernah bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada
Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No
Nama Siswa
X-MIPA 1
1 ALDA ALIA LUSIANA
2 ALVENUS FILIFI
3 ANNISA FAUZIAH
4 ANNISA LILIS F
5 AZRIEL AKBAR RAHMAN
6 CHAMPERNIC T
7 DESVIRA SHABILA M
8 DILLA NUR FADILLAH
9 FARHAN NUGRAHA
10 ILA ASRI ASROFIATY
11 INDAH SARI NURJANAH
12 JANUAR HIDAYAT
13 KEVIN KHAEDAR N P
14 LUTFI SIDIQ
15 MARISKA AYUDIA
16 MOCH SAEFUL IRPAN
17 MOHAMMAD RIZKY M
18 MUHAMMAD RAMADHANI
19 NABILA ZAHRA S
20 NIKEN DWI CAROLINA P
21 NOVIANTI MAHARANI
22 QORI KHOIRUNNISA
23 REGINA MARTHATIANA
24 REKA PERMATASARI
25 RIZAL FIRDAUS
26 SANIA FEBRI YANTI V
27 SHILVIA OKTAFIANI
28 SITI ASIAH SYA'ADAH
29 SUKMA WIJAYA
30 SULTHON AHMAD AULA
31 SYIFFA FAUZYAH P
32 TIARA NURSYAMSA F
33 TRIKO JUAN HINMAN A
34 WIZNI A'DILA A'ZIZA
35 YASMIN NURLATIFAH P
36 YAYU FATIMATUNNISA
Keterangan:
SB
: Sangat Baik
B
: Baik
C
: Cukup
K
: Kurang
Sikap
Bekerjasama
Aktif
SB
B
C
K
SB
B
C
Toleran
K
SB
B
C
K
LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KETERAMPILAN
Nama Sekolah
Mata Pelajaran
Kelas/Semester
Materi Pokok
Waktu Pengamatan
: SMAN 1 GARUT
: Matematika (Peminatan)
: X MIPA /1
: Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor
: KD 4.5
Kompetensi Dasar :
4.5
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor,
sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.
Indikator:
4.5.1
Memecahkan masalah kehidupan nyata menggunakan konsep vektor.
Indikator penilaian Keterampilan dapat disusun sebagai berikut:
Kriteria
Skor
Sangat
Terampil (ST)
3
Terampil (T)
2
Kurang
Terampil (KT)
1
Indikator
Sangat terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk
memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan
dengan vektor
Terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk memodelkan
dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan vektor
Kurang Terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk
memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan
dengan vektor
Bubuhkan tanda √pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
Nama Siswa
X-MIPA 1
No
1
ALDA ALIA LUSIANA
2
ALVENUS FILIFI
3
ANNISA FAUZIAH
4
ANNISA LILIS F
5
AZRIEL AKBAR RAHMAN
6
CHAMPERNIC T
7
DESVIRA SHABILA M
8
DILLA NUR FADILLAH
9
FARHAN NUGRAHA
10 ILA ASRI ASROFIATY
11 INDAH SARI NURJANAH
12 JANUAR HIDAYAT
13 KEVIN KHAEDAR N P
14 LUTFI SIDIQ
15 MARISKA AYUDIA
16 MOCH SAEFUL IRPAN
17 MOHAMMAD RIZKY M
18 MUHAMMAD RAMADHANI
19 NABILA ZAHRA S
20 NIKEN DWI CAROLINA P
21 NOVIANTI MAHARANI
22 QORI KHOIRUNNISA
23 REGINA MARTHATIANA
24 REKA PERMATASARI
25 RIZAL FIRDAUS
26 SANIA FEBRI YANTI V
27 SHILVIA OKTAFIANI
28 SITI ASIAH SYA'ADAH
29 SUKMA WIJAYA
30 SULTHON AHMAD AULA
31 SYIFFA FAUZYAH P
32 TIARA NURSYAMSA F
33 TRIKO JUAN HINMAN A
34 WIZNI A'DILA A'ZIZA
35 YASMIN NURLATIFAH P
36 YAYU FATIMATUNNISA
Keterangan:
KT
: Kurang terampil
T
: Terampil
ST
: Sangat terampil
Keterampilan
Memecahkan masalah
kehidupan nyata menggunakan
konsep vektor
KT
T
ST
LEMBAR KERJA
Nama Sekolah
: SMAN 1 GARUT
Mata Pelajaran
: Matematika (Peminatan)
Kelas/Semester
:X/1
Materi Pokok
: Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor
Waktu
: 45 menit
Kompetensi Dasar
3.5
Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam
ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.
Indikator:
3.5.1
Membedakan antara skalar dan vektor.
3.5.2
Menganalisis jumlah vektor.
3.5.3
Menganalisis selisih vektor.
3.5.4
Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.
Kelompok
: ______________________
Nama
: 1. ____________________
5. ______________________
2. ____________________
6. ______________________
3. ____________________
7. ______________________
4. ____________________
8. ______________________
Kerjakan kegiatan ini dengan teman sekelompok anda
1. Diketahui Titik A(3,-1), B(4,1). Jika AC = 3 AB , tentukan
a. Tentukan vektor yang diwakili oleh garis berarah AB
b. Tentukan vektor yang diwakili oleh garis berarah AC
c. Tentukan koordinat C
d. Hitunglah panjang AB , dan panjang AC
 2 

2. Diketahui vektor a =   ,
  5

a. 2 a +

b

b. a – ½

b
 4
=   ,
6

b
  1
 3    
3. Diketahui vektor a =   b =  7 
  2
 4
 


a. 2 b

b. 3 a




4. Tentukan nilai x dan y serta a dan b jika a = b
a.
x
 

a = 5 , b =
 y
 
 x 


 x  y
 3 



b.
 4
  
a=  2  , b=
 1
 

Penyelesaian
1. a. Titik A(3,-1), B(4,1) = A(𝑎1 , 𝑎2 ) , B( ... , ... )
̅̅̅̅ = (𝑏1 − 𝑎1 )
Garis berarah 𝐴𝐵
𝑏2 − 𝑎2
=(
…−…
)
… −(−1)
…
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = ( )
2
…
Jadi garis berarah ̅̅̅̅
𝐴𝐵 = ( )
2
b. AC = 3 AB
…
)
2
AC = 3 (
…
)
…
AC = (
Jadi garis berarah AC = (
…
)
…
…
)
…
c. AC = (
(…
) = (𝑐𝑐12 −− 𝑎𝑎12)
…
𝑐 − …
1
(…
)
=
(𝑐 − (−1))
…
2

3 = 𝑐1 − …
𝑐1 = ... + ...
𝑐1 = ...

... = 𝑐2 − (−1)
𝑐2 = ... + ...
𝑐2 = 5
Jadi koordinat C : C(𝑐1 , …) = C(… , 5)
d.

…
)
2
AB = (
 x  y


 y 
 1 


̅̅̅̅ |
Panjang AB = |𝐴𝐵
̅̅̅̅ | = √…2 + …2
|𝐴𝐵
̅̅̅̅ | = √… + …
|𝐴𝐵
̅̅̅̅ | = √…
|𝐴𝐵

…
)
…
AC = (
̅̅̅̅ |
Panjang AC = |𝐴𝐶
̅̅̅̅ | = √…2 + …2
|𝐴𝐶
̅̅̅̅ | = √… + …
|𝐴𝐶
̅̅̅̅ | = √…
|𝐴𝐶
̅̅̅̅| = √… dan |𝐴𝐶
̅̅̅̅ | = √…
Jadi, |𝐴𝐵

 2 
2. Vektor a =   ,
  5

b
 4
=  
6
…
a. 2𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 2( ) +
…
=(
(…6)
…
)
−4
2
1 …
)
-2 ( )
…
…
b. 𝑎⃗ - 2 𝑏⃗⃗ = (
1
=(
…
)
…
  1
 3    
3. Vektor a =   b =  7 
  2
 4
 

…
)
…
…
=( )
−4
a. 2 𝑎⃗ = 2 (
(−1)
b. 3𝑏⃗⃗ = 3 ( … )
…
…
= (…)
12


4. Nilai x dan y jika a = b
x
 x 
 




a. a =  5  , b =  x  y 
 y
 3 
 




a=b
𝑥
𝑥
5
𝑥
+
𝑦)
( )= (
𝑦
3
 y = ...
 x+y=5
x + (...) = 5
x = ...
…
𝑥
5
𝑎⃗ = ( ) = ( 5 )
…
𝑦
Jadi,
…
𝑥
𝑏⃗⃗ = (𝑥 + 𝑦) = (…)
3
3
 4
  
a=  2  , b=
 1
 

b.

 x  y


 y 
 1 



a=b
𝑥+𝑦
4
( 2 ) = ( −𝑦 )
−1
−1
 -y = ...
y = ...
 x+y=4
x + (...) = 4
x = ...
Jadi,
𝑥+𝑦
…
−1
−1
𝑏⃗⃗ = ( −𝑦 ) = ( … )
Kunci Jawaban
No
1.
Penyelesaian
Skor
a. Titik A(3,-1), B(4,1) = A(𝑎1 , 𝑎2 ) , B(𝑏1 , 𝑏2 )
̅̅̅̅ = (
Garis berarah 𝐴𝐵
=(
𝑏1 − 𝑎1
)
𝑏2 − 𝑎2
4−3
)
1 −(−1)
10
1
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = ( )
2
1
Jadi garis berarah ̅̅̅̅
𝐴𝐵 = ( )
2
b. AC = 3 AB
10
1
AC = 3 ( )
2
3
)
6
AC = (
Jadi garis berarah AC = (
3
)
6
3
)
6
c. AC = (
(36) = (𝑐𝑐12 −− 𝑎𝑎12)
3
(36) = (𝑐 𝑐1−−(−1)
)
2
 3 = 𝑐1 − 3
𝑐1 = 3 + 3
𝑐1 = 6
 6 = 𝑐2 − (−1)
𝑐2 = 6 + (-1)
𝑐2 = 5
Jadi koordinat C : C(𝑐1 , 𝑐2 ) = C(6, 5)
d.

AB = (
1
)
2
̅̅̅̅ |
Panjang AB = |𝐴𝐵
10
̅̅̅̅ | = √12 + 22
|𝐴𝐵
̅̅̅̅ | = √1 + 4
|𝐴𝐵
̅̅̅̅ | = √5
|𝐴𝐵

10
AC = (3)
6
̅̅̅̅ |
Panjang AC = |𝐴𝐶
̅̅̅̅ | = √32 + 62
|𝐴𝐶
̅̅̅̅ | = √9 + 36
|𝐴𝐶
̅̅̅̅ | = √45
|𝐴𝐶
̅̅̅̅ | = √5 dan |𝐴𝐶
̅̅̅̅ | = √45
Jadi, |𝐴𝐵
2.
Vektor 𝑎⃗=(
2
4
)
, 𝑏⃗⃗ = ( )
−5
6
2
a. 2𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 2(
−5
=(
) + (46)
4
) + (46)
−10
10
8
= (−4
)
2
1
b. 𝑎⃗ - 2 𝑏⃗⃗ = (
1 4
)
-2 ( )
−5
6
3.
=(
2
)
−5
=(
0
)
−8
- (23)
10
  1
 3    
Vektor a =   b =  7 
  2
 4
 

3
)
−2
6
=( )
−4
a. 2𝑎⃗ = 2 (
10
(−1)
b. 3𝑏⃗⃗= 3 ( 7 )
4
10
−3
= ( 21 )
12
4.


Nilai x dan y jika a = b
a.
x
 

a = 5 , b =
 y
 




 x 


 x  y
 3 



a=b
𝑥
𝑥
5
( ) = (𝑥 + 𝑦 )
𝑦
3
y=3
x+y=5
x + (3) = 5
x = 5-3
x=2
10
𝑥
2
𝑎⃗ = (5) = (5)
Jadi,
𝑦
3
𝑥
2
3
3
𝑏⃗⃗ = (𝑥 + 𝑦) = (5)
 4
  
b. a =  2  , b =
 1
 


 x  y


 y 
 1 



a=b
𝑥+𝑦
4
( 2 ) = ( −𝑦 )
−1
−1
 -y = 2
y = -2
 x+y=4
x + (-2) = 4
x=4+2
x=6
Jadi,
10
𝑥+𝑦
4
−1
−1
𝑏⃗⃗ = ( −𝑦 ) = ( 2 )
Jumlah Skor
100
BAHAN AJAR
Nama Sekolah
: SMAN 1 GARUT
Mata Pelajaran
: Matematika (Peminatan)
Kelas/Semester
:X/1
Materi Pokok
: Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor
Waktu
: 3 × 45 menit
Kompetensi Dasar
3.5 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang
berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.
Indikator:
3.5.1
Membedakan antara skalar dan vektor.
3.5.2
Menganalisis jumlah vektor.
3.5.3
Menganalisis selisih vektor.
3.5.4
Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.
Pendahuluan
Bagi Anda yang telah mempelajari Fisika pasti pernah mendengar kata vektor. Vektor
merupakan suatu besaran selain besaran skalar yang sudah Anda kenal dalam Fisika. Perbedaan
kedua besaran ini adalah:
Skalar :
Besaran yang hanya mempunyai nilai saja (menunjukkan suatu bilangan real
tertentu). Contoh: suhu, massa, dan sebagainya.
Vektor : Besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah. Biasanya digunakan untuk
menyelidiki gerak perpindahan, pergeseran, kecepatan, percepatan dan sebagainya.
Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang dan arahnya tertentu.
A

a

OA adalah vektor a dengan titik pangkal O dan titik ujung A

Panjang OA menunjukan besar vektor a
O
Gambar 1
1. NOTASI VEKTOR
Suatu vektor biasa ditulis dengan menggunakan :
1. Huruf kecil yang dicetak tebal seperti : a, b, c, u, v, .....





2. Huruf kecil dengan tanda anak panah di atasnya seperti : a , b , c , u , v , ....
Ada tiga cara menuliskan sebuah vektor, yaitu …
di R 3 atau vektor dalam ruang
xa 
 


1. a =  y a 
2. a = ( x a , y a , z a )
z 
 a
di R 2 atau vektor pada bidang
x 


1. a =  a 
2. a = ( x a , y a )
 ya 
Contoh :
Q
̅̅̅̅ ;
𝑎⃗ = 𝑃𝑄
𝑎⃗







3. a = x a i + y a j + z a k
3. a = x a i + y a j
P = titik pangkal dan Q = titik ujung
𝑎⃗ = (𝑎𝑎1 )
2
P
2. ALJABAR VEKTOR
Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta arahnya sama.


a
b


a 
b 


Jika vektor a =  1  sama dengan vektor b =  1  maka | a | = | b |
a2 
 b2 


.


(panjang vektor a = panjang vektor b dan arah a = arah b
 a1   b1 
  =    a 1 = b1 dan a 2 = b 2
a2   b2 
Gambar 2



| a | : Panjang vektor a , | a | =
a1  a 2
2
2
 a1 
 b1 
 b1  a1 
 
 


Jika OA   a 2  dan OB   b2  Maka AB   b2  a 2  dan panjang panjangnya adalah
a 
b 
b  a 
3 
 3
 3
 3
AB  (b1  a1 ) 2  (b2  a 2 ) 2  (b3  a3 ) 2
Contoh:
1. Diketahui titik A(2,1) dan B(3,-4). Vektor 𝑝⃗ mewakili garis ̅̅̅̅
𝐴𝐵, tentukan vektor 𝑝⃗ dan
panjang vektor 𝑝⃗ .
Jawab :
Garis berarah
𝑏 − 𝑎1
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = ( 1
)
𝑏2 − 𝑎2
3 −2
=(
)
−4 −1
̅̅̅̅ = ( 1 )
𝐴𝐵
−5
̅̅̅̅ = 𝑝⃗ = ( 1 )
Jadi garis berarah 𝐴𝐵
−5
Panjang vektor 𝑝⃗
|𝑝⃗| = √(𝑝1 )2 + (𝑝2 )2
= √12 + (−5)2
= √1 + 25
= √26
Jadi panjang vektor 𝑝⃗ adalah √26 .
2. Vektor 𝑢
⃗⃗ = (𝑢𝑢1 ) dan 𝑣⃗ = (𝑣𝑣1 )
2
2
𝑢
⃗⃗ = 𝑣⃗
𝑢
⃗⃗
=
𝑣⃗
Maka
𝑢1 = 𝑣1 dan 𝑢2 = 𝑣2
vektor 𝑢
⃗⃗ = (14) dan 𝑣⃗ = (14)


a
a


Invers jumlah suatu vektor a ditulis – a yaitu vektor yang panjangnya

sama dengan a tetapi arahnya berlawanan
.
Gambar 3
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Secara geometris penjumlahan vektor dapat ditentukan dengan aturan segitiga dan aturan
jajaran genjang.



Jika vektor c adalah hasil penjumlahan a dan b , maka :



Dengan aturan poligon vektor c digambar dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b


setelah vektor b digeser sehingga titik pangkalnya berimpit dengan ujung vektor a

Dengan aturan jajaran genjang, vektor b digeser

sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik
b


pangkal vektor a vektor c adalah diagonal

a


jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor a dan
c
i



b
c
a
dengan titik pangkalnya pada titik pangkal


vektor a dan b .Penjumlahan dan pengurangan

vektor secara aljabar adalah penjumlahan dan
b
ii
pengurangan komponen-komponennya.
Gambar 4
a 

1. Misalkan a =  1  dan
a2 



b



b 

=  1  maka : a + b =
 b2 
2. Jika a = a 1 i + a 2 j + a 3 k dan






b



 a1  b1 


 dan a a 2  b2 

b
 a  b1 

=  1
a 2  b2 

= b1 i + b 2 j + b 3 k maka





a + b = a 1 i + a 2 j + a 3 k + b1 i + b 2 j + b 3 k =( a 1 + b1 ) i + ( a 2 + b 2 ) j + ( a 3 + b 3 ) k
Contoh:
1. Tentukan 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ jika 𝑎⃗ = (43) dan 𝑏⃗⃗ = (25)!
Jawab :
4
𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = ( )
3
+ (25)
= (68)
2. Tentukan 𝑎⃗ - 𝑏⃗⃗ jika 𝑎⃗ = (43) dan 𝑏⃗⃗ = (25) !
Jawab :
4
𝑎⃗ - 𝑏⃗⃗ = ( )
3
- (25)
2
= (−2
)
Perkalian vektor dengan skalar

Jika k adalah bilangan real yang positif, maka k. a adalah vektor yang arahnya sama





dengan a dan besarnya k. | a |
dan −k. a adalah vektor yang arahnya berlawanan
dengan a dan besarnya k. | a |
Perhatikan gambar berikut




a
4a
-3 a
2a
Gambar 5

 a1 

 b1 
a =   b =  
 a2 
 b2 
Contoh:
4
Tentukan 3𝑎⃗ jika 𝑎⃗ = (3) !
Jawab :
3𝑎⃗
=
3(43)
= (3.3.34)
= (12
)
9

 a1   2a1 


 2a 2 
2 a = 2   =
 a2 

 b1 
 kb1 

k b = k   = 
 b2   kb2 