ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 3 ห น้ า | 1 รายวิชาคณิตศาสตร์เพิม่ เติม ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 3 ชุดที่ 1 เนือ้ หาประกอบด้วย - ส่วนต่างๆของวงกลม - มุมทีจ่ ุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้ง ของวงกลม D 35o A C O 120o D A B xo 120o yo O B 55o C โดย พรปวีณ์ ตาลจรุง โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย มุกดาหาร สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 22 CIRCLE วงกลม เรือ่ ง วงกลม ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 2 คำนำ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ สาหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ที่จัดทาขึ้นนี้ มี จุดมุ่งหมายเพื่อพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้ ความเข้าใจเรื่องวงกลม และเป็นการเพิ่มพูนทักษะ กระบวนการต่างๆในการเรียนเรื่องวงกลม ส่งเสริมให้ผู้เรียนมีการคิดเชิงวิเคราะห์ มีเจตคติที่ดี ต่อการเรียนคณิตศาสตร์และ ต่อการจัดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องวงกลม ในรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องวงกลม ประกอบด้วยแบบฝึกทักษะ 5 ชุด คือ ชุดที่ 1 ตอนที่ 1 ส่วนต่างๆของวงกลม ตอนที่ 2 มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม ชุดที่ 2 คอร์ด และรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม ชุดที่ 3 เส้นสัมผัสวงกลม ชุดที่ 4 การสร้างรูปหลายเหลี่ยมแนบในวงกลม ชุดที่ 5 โจทย์แบบฝึกทักษะ แบบฝึกทักษะที่จัดทาขึ้น ได้สอดแทรกเนื้อหาและภาพประกอบ เพื่อส่งเสริมให้ผู้เรียน เกิดความสนใจ มีความสนุกสนาน เพลิดเพลิน เกิดเจตคติที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์ ผู้เขียน หวังเป็นอย่างยิ่งจะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ซึ่งจะช่วยยกระดับคุณภาพ การศึกษาของนักเรียนในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ให้มีประสิทธิภาพดียิ่งขึ้น พรปวีณ์ ตาลจรุง ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 3 สำรบัญ เรื่อง หน้า คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะ 1 มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัดที่เกี่ยวข้อง จุดประสงค์การเรียนรู้ 2 แบบทดสอบก่อนเรียน 3 ตอนที่ 1 ส่วนต่างๆของวงกลม แบบฝึกทักษะที่ 1 5 11 ตอนที่ 2 มุมที่จุดศูนย์กลางและ มุมในส่วนโค้งของวงกลม ทฤษฎีบทที่ 1 แบบฝึกทักษะที่ 2 ทฤษฎีบทที่ 2 แบบฝึกทักษะที่ 3 ทฤษฎีบทที่ 3 ทฤษฎีบทที่ 4 ทฤษฎีบทที่ 5 ทฤษฎีบทที่ 6 ทฤษฎีบทที่ 7 แบบฝึกทักษะที่ 4 ทฤษฎีบทที่ 8 แบบฝึกทักษะที่ 5 13 13 17 20 24 26 26 26 27 27 29 30 32 แบบทดสอบหลังการเรียน 33 เอกสารอ้างอิง 36 ภาคผนวก เฉลยตัวอย่าง เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบก่อน – หลังเรียน 38 47 56 ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 41 คำแนะนำกำรใช้แบบฝึกทักษะ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องวงกลม ชุดที่ 1 ส่วนต่างๆของวงกลม เป็นแบบฝึกทักษะสาหรับให้เรียนรู้และฝึกทักษะด้วยตนเอง โดย นักเรียนต้องปฏิบัติ ดังนี้ 1. ทำแบบทดสอบก่อนเรียน ลงในกระดำษคำตอบ 2. ศึกษำเนื้อหำ และตัวอย่ำง ทำกิจกรรมตำมที่ระบุไว้ในคำชี้แจง โดยเขียนคำตอบลงในกระดำษคำตอบ 3. ไม่เปิดดูเฉลยก่อน เพรำะเป็นกำรไม่ซื่อสัตย์ต่อตนเอง 4. ตรวจคำตอบ จำกเฉลยกิจกรรม บันทึกผลที่ได้ ลงในตำรำงบันทึก เพื่อทรำบผลกำรเรียนและกำรพัฒนำ 5. กิจกรรมใดที่นักเรียนไม่ผ่ำน (ได้น้อยกว่ำร้อยละ 60) ให้กลับไปศึกษำตัวอย่ำงอีกครั้ง แล้วกลับมำทำกิจกรรมนั้นใหม่ เพื่อให้ได้เข้ำใจยิ่งขึ้น 6. ทำแบบทดสอบหลังเรียน ลงในกระดำษคำตอบ 7. เมื่อศึกษำและทำกิจกรรมเสร็จแล้ว เก็บแบบฝึกทักษะ ส่งครูผู้สอน ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 52 มำตรฐำนกำรเรียนรู้ มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อ ความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิด ริเริ่มสร้างสรรค์ ตัวชี้วัดที่เกี่ยวข้อง ค 6.1 ม.3/1-6 1) ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา 2) ใช้ความรู้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และเทคโนโลยีในการแก้ปัญหาใน สถานการณ์ต่างๆ ได้อย่างเหมาะสม 3) ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม 4) ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอได้ อย่างถูกต้องและชัดเจน 5) เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ 6) มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ จุดประสงกำรเรียนรู้ 1) บอกลักษณะและส่วนต่างๆที่เกี่ยวข้องกับวงกลมได้ 2) นาทฤษฎีหรือสมบัติที่เกี่ยวกับมุมที่จุดศูนย์กลาง, มุมในส่วนโค้งของวงกลมและมุมในครึ่ง วงกลมไปใช้ได้ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 63 แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ส่วนต่ำงๆของวงกลม มุมที่จดุ ศูนย์กลำง และมุมในส่วนโค้งของวงกลม คำชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว (ใช้เวลา 15 นาที) 1. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จงหาขนาดของ OAˆ C ก. 25o ข. 30o ค. 34o ง. 65o AB และ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ˆ D 50 o AO C A B O 50o D 2. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จงหาขนาดของ DBˆ C ก. 60o ข. 55o ค. 38o ง. 32o 3. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ก. 35o ข. 40o ค. 45o ง. 50o จ. 4. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ก. 112o ข. 148o ค. 153o ง. 160o AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า D A 30o ABˆ C 22o และ BAˆ C 30o C O 22o B ˆE ABˆ D 45 o และ ECˆ D 20 o จงหาขนาดของ AO C O A E B D ˆC ABˆ E 36 o และ EBˆ C 70 o จงหาขนาดของ AO B O A C E ******************************************************************** **** ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 74 5. จากรูปสี่เหลี่ยม ABDE บรรจุอยู่ในวงกลม AC//ED, AB AC, ABC 74o จงหา BÂE A ก. 90o B ข. 96o E ค. 106o C ง. 108o 74 o 6. จากรูป CA CD จงหา BAˆ C ก. 50o ข. 62o ค. 70o ง. 76o D B A C 26 o 28 o D 7. จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ถ้า BÂC โต 30o จงหา OABˆC ก. 35o ข. 40o O B o ค. 45 ง. 60o C 8. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม OBˆC = 30o จงหาขนาดของ BDˆ C A ก. 105o ข. 113o O ค. 120o B ง. 153o 9. จากรูป จงหา a + b ก. 180o ข. 194o ค. 203o ง. 210o C D E a A 30 o B C b D 10. กาหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ถ้า BOˆ A = 120o, DAˆO=35o แล้ว BCˆ D มีขนาดกี่ องศา ก. 100o ข. 105o ค. 115o ง. 120o D 35 o A C O 120o B ******************************************************************** **** ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 85 ตอนที่ 1 ส่วนต่ำงๆของวงกลม วงกลม วงกลม เป็นรูปเรขาคณิตบนระนาบซึ่งแต่ละจุดบนรูปเรขาคณิตนี้ อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง บนระนาบเดียวกันเป็นระยะเท่ากัน เรียกจุดคงที่นี้ว่า จุดศูนย์กลำงของวงกลม เรียกระยะที่เท่ากันนี้ว่า รัศมีของวงกลม ส่วนต่าง ๆ เกี่ยวกับวงกลมที่นักเรียนเคยรู้จักมาแล้วมีดั้งนี้ จุดสัมผัส เส้นรอบวง circumference A รัศมี radius จุดศูนย์กลาง center คอร์ด chord เส้นสัมผัส tangent B O sector (area) C เส้นผ่านศูนย์กลาง diameter segment (area) จากรูป จุด O เป็นจุดคงที่ เรียกจุด O ว่า จุดศูนย์กลำง ของวงกลม จุด A อยู่บนเส้นรอบวง ของวงกลม หรือกล่าวว่า จุด A อยู่บนวงกลม เรียก OA ว่ำ รัศมีของวงกลม จุด B และจุด C อยู่บนวงกลม และ BC ผ่านจุดศูนย์กลาง O เรียก BC ว่า เส้นผ่ำน ศูนย์กลำงของวงกลม การเรียกชื่อวงกลมวงหนึ่งที่มีจุดศูนย์กลางตามที่กาหนดให้ อาจเรียกตามชื่อของจุดศูนย์กลาง ของวงกลมนั้น เช่น วงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง อาจเรียกว่า วงกลม O รัศมีของวงกลม หมายถึง ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม หรือ หมายถึง ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลมเป็นจุดปลาย ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 96 วงกลมวงหนึ่งมีรัศมีเป็นจานวนมากมายนับไม่ถ้วน และรัศมีของวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากัน ทุกเส้น วงกลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากัน สามารถเลื่อนให้วงกลมสองวงนั้นทับกันได้สนิท จงกล่าวได้ว่า กลมสองวงที่มีรัศมียำวเท่ำกัน จะเท่ำกันทุกประกำร นอกจากส่วนต่าง ๆ ของวงกลมที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ยังมีส่วนอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับวงกลมที่สาคัญ ได้แก่ คอร์ด เส้นตัดวงกลม และเส้นสัมผัสวงกลม คอร์ด คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงกลมเดียวกัน คอร์ดแต่ละเส้นจะแบ่ง วงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนโค้ง D ส่วนโค้งใหญ่ O คอร์ด B A ส่วนโค้งน้อย C จากรูป AB เป็นคอร์ดของวงกลม O เรียกส่วนโค้ง ADB ว่า ส่วนโค้งใหญ่ AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ADB เรียกส่วนโค้ง ACB ว่า ส่วนโค้งน้อย AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ACB หรือ AB ความยาวของ ADB เขียนแทนด้วย m(ADB) ความยาวของ ACB เขียนแทนด้วย m(ACB) หรือ ความยาวของ AB เขียนแทนด้วย m(AB) เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเป็นคอร์ดที่ยาวที่สุดซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนที่ เท่ากันทุกประการ เรียก ส่วนโค้งแต่ละส่วนว่า ครึ่งวงกลม C ครึ่งวงกลม B O C เส้นผ่านศูนย์กลาง ครึ่งวงกลม D ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม 3 ห น้ า | 10 7 เส้นตัดวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมสองจุด เส้นสัมผัสวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้นและเรียกจุดตัดนั้นว่า จุดสัมผัส A B เส้นตัดวงกลม O เส้นสัมผัสวงกลม C E จุดสัมผัส D มุมที่จุดศูนย์กลำง คือ มุมที่มีจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นจุดยอดมุมและแขนทั้งสองของมุมตัด วงกลม X O A B จากรูป AOˆ B และมุมกลับ AOB แต่ละมุมเป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม O ที่ รองรับด้วย AB และมุมกับ AOB รองรับด้วย AXB AOˆ B ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 118 มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมตัด วงกลม C B O A จากรูป ABˆ C x เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม O ที่รองรับด้วย AXB มุมในครึ่งวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมผ่านจุดปลายทั้ง สองของเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง A B O C X จากรูป BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O BAˆ C เป็นมุมในครึ่งวงกลม ที่รองรับด้วยBXC ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 12 9 ตัวอย่ำง D E O A B C จากรูปให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A, B, C, D และ E อยู่บนวงกลม จงตอบคาถาม ต่อไปนี้ 1) เรียก DE, OC และ AB ว่าอย่างไร ……………………………………………………………………………………………………………………………. 2) คอร์ดที่ยาวที่สุดของวงกลมวงหนึ่งมีชื่อเรียกเฉพาะว่าอย่างไร ……………………………………………………………………………………………………………………………. 3) คอร์ดที่แบ่งส่วนโค้งของวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆกันคือเส้นใด ……………………………………………………………………………………………………………………………. 4) เรียกส่วนโค้งของวงกลมที่ถูกแบ่งด้วยคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางว่าอย่างไร ……………………………………………………………………………………………………………………………. 5) ในรูปต่อไปนี้ ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A, B, C และ D อยู่บนวงกลม ให้ บอกชื่อของมุมตามลักษณะของมุมในส่วนต่างๆ ของวงกลม โดยเขียนคาตอบในช่องว่าง ตัวอย่าง B O A C เรียก ABˆ C ว่ามุมในส่วนโค้งของวงกลม ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 5.1) 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 13 10 C O A B เรียก เรียก ˆ ACB ว่า........................................ ˆ B ว่า........................................ AD เรียก เรียก ˆ AOB ว่า........................................ D 5.2) O C B A ˆ ACB ว่า....................................... ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม 3 ห น้ า | 14 11 แบบฝึกทักษะที่ 1 1. ให้นักเรียนตอบคาถามต่อไปนี้ 1) ในวงกลมวงหนึ่งมีคอร์ดได้กี่เส้น ตอบ ..................................................................................................................... 2) รัศมีของวงกลมเป็นเส้นตัดวงกลมหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ .................................................................................................................... 3) ในวงกลมวงหนึ่งมีเส้นตัดวงกลมได้กี่เส้น ตอบ .................................................................................................................... 4) เส้นตัดวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้หรือไม่ ตอบ ................................................................................................................... 5) ในวงกลมวงหนึ่งมีเส้นสัมผัสได้กี่เส้น ตอบ ................................................................................................................... 6) เส้นสัมผัสวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้หรือไม่ ตอบ ................................................................................................................... 2. จากรูป จงบอกชื่อส่วนต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับวงกลม O ดังนี้ F H B A O E C D 1) เส้นผ่านศูนย์กลาง คือ ....................... 2) รัศมี คือ ....................... 3) คอร์ด คือ ....................... 4) คอร์ดที่ยาวที่สุด คือ ....................... 5) เส้นสัมผัสวงกลม คือ ....................... 6) เส้นตัดวงกลม คือ ....................... 7) ส่วนโค้งที่เป็นครึ่งวงกลม คือ ..................... ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 15 12 3. จากรูป จงบอกชื่อมุมแต่ละมุม และส่วนโค้งแต่ละส่วนโค้งที่เกี่ยวข้องกับวงกลม O ดังนี้ D A O C B 1) 2) 3) 4) 5) 6) มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ …………………………………………………… มุมในครึ่งวงกลม คือ …………………………………………………… มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ …………………………………………………… ส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลาง คือ …………………………………………………… ส่วนโค้งที่รองรับมุมในครึ่งวงกลม คือ …………………………………………………… ส่วนโค้งที่รองรับมุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ ………………………………………… ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 16 13 ตอนที่ 2 มุมในครึ่งวงกลม มุมที่จุดศูนย์กลำงและ มุมในส่วนโค้งของวงกลม มุมในครึ่งวงกลม ทฤษฎีบทที่ 1 มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา หรือ หนึ่งมุมฉาก C C A B O O A B A B O C พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1 พิสูจน์ กาหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม ABˆ C เป็นมุมในครึ่งวงกลม ต้องพิสูจน์ว่า ABˆ C เป็นมุมฉาก ลาก BO ข้อควำม 1. AO = BO = CO 2. OAˆ B = OBˆ A และ OBˆ C = OCˆ B A O เหตุผล 1. รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน 2 3. ˆ OAˆ B + OBˆ A + OBˆ C + OCB = 180o 3. 4. ˆ C) =180o 2(OBˆ A) + 2(OB 4. 5. (OBˆ A) +(OBˆ C)= 90o 6. นั่นคือ ABˆ C = 90o B 5. 6. C ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . ตัวอย่ำงที่ 1 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 17 14 C ˆ ACB เป็นมุมในครึ่งวงกลม BAˆ C และ มีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของ ABˆ C จงพิสูจน์ว่า BAˆ C30o พิสูจน์ กาหนดให้ B A ˆ ACB เป็นมุมในครึ่งวงกลม ˆ C =2(BA ˆ C) AB ต้องการพิสูจน์ว่า BAˆ C=30o ข้อควำม 1. ACˆ B = 90o 2. AB̂C BÂC AĈB 180o 3. AB̂C BÂC 90o 4. ABˆ C = 2(BAˆ C) 5. 3(ΒΑˆ Χ) = 90ο 6. ดังนั่น BAˆ C = 30o ตัวอย่ำงที่ 2 เหตุผล 1. มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 2. 3. 4. 5. 6. และ BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก AC D C A พิสูจน์ B กาหนดให้ AC และ BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ต้องพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อควำม 1. AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 2. ABˆ C = ADˆ C = 90o 3. BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 4. BAˆ D = BCˆ D = 90o 5. นั่นคือ สี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก เหตุผล 1. กาหนดให้ 2. 3. 4. 5. ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 18 15 ตัวอย่ำงที่ 5 จากรูปที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x และ y โดยกาหนดให้ o เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม 1) วิธีทำ y x O 2) y = 90o เป็นมุมภายในครึ่งวงกลม o y + x + ? = 180 มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o x=? มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว o o 90 + 2x = 180 แทนค่า ดังนั้น X = 45o วิธีทำ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x = ………. , y = ………. y x 40 O จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม ACˆ B เป็นมุมในครึ่งวงกลมและ AÔD = 70 จงหาขนาดของ BĈO พร้อมทั้งแสดงเหตุผล ตัวอย่ำงที่ 6 วิธีทำ C A 70 D O B ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . ตัวอย่ำงที่ 7 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 1916 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ จงหาขนาดของ ABˆ C ˆ C = 65o BA วิธีทำ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- C A 65 ตัวอย่ำงที่ 8 O B จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม BAˆ C = 37 o จงหาขนาดของ BCˆ D CD AB และ A 37 C วิธีทำ D B ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 20 17 แบบฝึกทักษะที่ 2 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ABˆ C D C o เป็นมุมในครึ่งวงกลม BAˆ C = 18 และ OD // BC จงหาขนาดของ ADˆ O A 18 B O วิธีทำ ข้อควำม เหตุผล 2. กาหนดให้ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ ACˆ B = ACˆ D จงพิสูจน์ว่า AB = AD พิสูจน์ B A C D ข้อควำม เหตุผล ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม 3. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ˆD OD // BC จงหาขนาดของ AM 55o B O AB ˆ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ ACO = 35o จงหาขนาดของ OBˆ C C วิธีทำ 35 A เป็นมุมในครึ่งวงกลม ABˆ C=55 และ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- C M 4. จากรูป ˆ A CB วิธีทำ D A ห น้ า | 21 18 O B ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. จากรูปที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x, y, q, r, s, u, t และ v โดยกาหนดให้ o เป็น จุด ศูนย์กลางของวงกลม 1) x = ………. , y = ………. x O y ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . x O 70 O r q 25 y 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 22 19 2) x = ………. , y = ………. 3) q = ………. , r = ……… , s =………….. s u 4) u = ………. , t = ……… , v =………….. O t v 50 y x 55o O 5) x = ………. , y = ………. ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 23 20 ทฤษฎีบทที่ 2 ในวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลาง จะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของ วงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน C C A C O O B A A B D พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 2 กาหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมมี ˆ AOB เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม และ ˆ ACB เป็นมุมในส่วนโค้ง รองรับด้วยส่วนโค้ง AB ต้องการพิสูจน์ว่า AOˆ B = 2(ACˆ B) พิสูจน์ ลาก CD C ผ่านจุด O O A ข้อควำม 1. AO = CO 2. CAˆ O = ACˆ O 3. DOˆ A = CAˆ O + ACˆ O 4. DOˆ A = 2(CAˆ O) 5. DOˆ B = 2(BCˆ O) 6. DOˆ A + DOˆ B = 2(ACˆ O) + 2(BCˆ O) 7. ดังนั้น AOˆ B = 2(ACˆ O + BCˆ O) ˆ = 2(ACB) B O B เหตุผล 1. รัศมีของวงกลมเดียวกันมีขนาดเท่ากัน 2. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน 3. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะมีขนาดเท่ากับ ผลบวกของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด 4. แทน CAˆ O ด้วย ACˆ O 5. ทานองเดียวกับข้อ 4 6. จากข้อ 4 ข้อ 5 และสมบัติการเท่ากัน 7. จากข้อ 6 สมบัติการแจกแจง ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 24 21 ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACˆ B เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมและมีขนาดเท่ากับ 50o จงพิสูจน์ว่า OAˆB = 40 C O A พิสูจน์ 50 o B O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACˆ B เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม และมี ขนาดเท่ากับ 50o ต้องการพิสูจน์ว่า OAˆB = 40 พิสูจน์ ลากส่วนของเส้นตรง BO ข้อควำม เหตุผล ตัวอย่ำงที่ 2 จากรูป จงหาค่า x โดยกาหนดให้ O เป็นศูนย์กลางของวงกลม C 20o O x A B ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . วิธีทำ 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 25 22 จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า x = 2(ACˆ B) x =2(20) x = 40 ตัวอย่ำงที่ 3 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่กาหนดให้ C x O 70o B A วิธีทำ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. ตัวอย่ำงที่ 4 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่กาหนดให้ C x B A วิธีทำ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 26 23 ตัวอย่ำงที่ 5 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่กาหนดให้ B A x 35o C วิธีทำ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 27 24 แบบฝึกทักษะที่ 3 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ BAˆC = 50 จงหาขนาดของ OBˆC และ ขนาดของ OCˆ B A 50 O วิธีทำ B ข้อควำม C เหตุผล 2. จากรูปที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x, y, a, และ b โดยกาหนดให้ o เป็นจุด ศูนย์กลางของวงกลม 1) y x = ………. , y = ………. 230 O x 2) O 60 x x = ………. ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3) 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม 40 x = ………. O x 4) 35 O a = ………. , b = ………. a b 5) x y O 50 x = ………. , y = ………. x 6) x = ………. , y = ………. O 98 y x O 7) x = ………. , y = ………. 110 y 8) 40 O y x x = ………. , y = ………. ห น้ า | 2825 ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 2926 ทฤษฎีบทที่ 3 ในวงกลมเดียวกัน มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน B B B D D A O A D O O A C C C ทฤษฎีบทที่ 4 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางนั้นจะยาวเท่ากัน C D R O O P A Q B A B ทฤษฎีบทที่ 5 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาด เท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน C O A C D R B E F D O A B ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 3027 ทฤษฎีบทที่ 6 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุด ศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน B C R O O P QA B A D ทฤษฎีบทที่ 7 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมใน ส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน E C O A A R B D F B O C ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 31 28 B ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูปที่กาหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า x C A วิธีทำ x 20o O จากรูป D E ข้อควำม 1. EAˆ D = ECˆ D 2. EAˆD = 20 3. x + EAˆD = 90 4. x + 20 = 90 5. นั่นคือ x = 70o ดังนั้น x = 70o เหตุผล 1. เป็นมุมที่อยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน (ส่วนโค้ง ED) 2. ECˆ D = 20 กาหนดให้ 3. มุมในครึ่งวงกลม 4. จากข้อ 3 5. แก้สมการ ตัวอย่ำงที่ 2 กาหนดให้ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ B เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง a AC ถ้า ACˆ D = 2BDˆC จงหาค่า x D 2a วิธีทำ x C A B …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 32 29 แบบฝึกทักษะที่ 4 จากรูปที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่าตัวแปรที่แทนมุมต่างๆในวงกลม 1) D 5) 5o 70o c 20 C A 40 110o d B c = ………. , d = ………. 2) h = ………. 6) x x O y 100 y 30 68 x = ………. , y = ………. 3) x = ………. , y = ………. 7) a y x 60 b 30 50 a = ………. , b = ………. 4) 80 x = ………. , y = ………. 8) h f g i 60 70 35 e g = ……., f = ……., e =……… 40 i = ………. , h = ………. ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 33 30 ทฤษฎีบทที่ 8 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปสี่เหลี่ยมนั้น แนบในวงกลมได้ 3 4 O 2 1 ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูปที่กาหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า x B A 2x O x D วิธีทำ เนื่องจาก 1) 2x + x = 180o 2) 3x = 180o ดังนั้น x = 60o ทฤษฎีบทที่ 8 แก้สมการ C ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 34 31 ตัวอย่ำงที่ 2 จากรูปที่กาหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า x B 70o O x C A วิธีทำ D จากรูป 1) BAˆD = BDˆ A มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน = 55 2) 55o +x=180 x = 125 3) ดังนั้น x = 125 ทฤษฎีบทที่ 8 แก้สมการ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม 3 ห น้ า | 3532 แบบฝึกทักษะที่ 5 จากรูปที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่าตัวแปรที่แทนมุมต่างๆในวงกลม A 1) B 160o D x x = ………. O C 52 d 2) c 28 O c = ………. , d = ………. g e g = ………. , e = ………. , f = ………. 3) f 75 4) O y x = ………. , y = ………. 78 x Y 5) X Z 35 xˆyz =........ , xwˆ z=.......... W ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 3633 แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ส่วนต่ำงๆของวงกลม มุมที่จดุ ศูนย์กลำงและมุมในส่วนโค้งของวงกลม คำชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว (ใช้เวลา 15 นาที) 1. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม OBˆC = 30o จงหาขนาดของ BDˆ C A ก. 105o ข. 113o O ค. 120o B ง. 153o C D 2. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ก. 35o ข. 40o ค. 45o ง. 50o ˆE ABˆ D 45 o และ ECˆ D 20 o จงหาขนาดของ AO C O A E B D 3. กาหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมถ้า BOˆ A = 120, DAˆO=35 แล้ว BCˆ D มีขนาดกี่ องศา D C o ก. 100 ข. 105o 35 O o ค. 115 120 A o ง. 120 B 4. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB และ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง AOˆ D 50o จงหาขนาดของ OAˆ C C ก. 25o ข. 30o ค. 34o A B O ง. 65o 50 o o o D ******************************************************************** **** ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม 5. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ก. 112o ข. 148o ค. 153o ง. 160o ห น้ า | 37 34 ˆ ABˆ E = 36o และ EBˆ C = 70o จงหาขนาดของ AO C B C O A E 6. จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ถ้า BÂC โต 30o จงหา OBˆC ก. ข. ค. ง. A 35o 40o 45o 60o O B C 7. จากรูปสี่เหลี่ยม ABDE บรรจุอยู่ในวงกลม ก. ข. ค. ง. 90o 96o 106o 108o AC//ED,AB = AC, ABC=74o จงหา A B 74 o BÂE E C D 8. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จงหาขนาดของ DBˆ C ก. ข. ค. ง. 60o 55o 38o 32o AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า D A ก. ข. ค. ง. 180o 194o 203o 210o และ BAˆ C 30o C O 30o 9. จากรูป จงหา a + b ABˆ C 22o 22o B E a A 30 o B C b D ******************************************************************** **** ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 10. จากรูป 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 38 35 CA CD จงหา BAˆ C B A 50o ก. ข. 62o ค. 70o ง. 76o C 28 o 26 o D ******************************************************************** **** ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 39 36 เอกสำรอ้ำงอิง ฝ่ายวิชาการดอกหญ้าวิชาการ, (2554). คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 3 หลักสูตรแกนกลำง กำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช 2551 กรุงเทพมหานคร:สานักพิมพ์ดอกหญ้า ส่งเสริมการสอนคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน (2545). คู่มือครูวิชำคณิตศำสตร์ รำยวิชำ ค 203 คณิตศำสตร์ 3 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่สอง หลักสูตรมัธยมศึกษำตอนต้น พุทธศักรำช 2521 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533). พิมพ์ครั้งที่ 5. กรุงเทพมหานคร:โรงพิมพ์คุรุ สภาลาดพร้าว ส่งเสริมการสอนคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน (2551). หนังสือเรียนรำยวิชำเพิ่มเติม คณิตศำสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 3 หลักสูตรแกนกลำงกำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช 2551 กรุงเทพมหานคร:โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว ส่งเสริมการสอนคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน (2541). หนังสือเรียนวิชำคณิตศำสตร์ ค 021 ชั้นมัธยมศึกษำตอนต้น หลักสูตรมัธยมศึกษำตอนต้น พุทธศักรำช 2521 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533). พิมพ์ครั้งที่ 5. กรุงเทพมหานคร:โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว สานักงานบัณฑิตแนะแนว, (2537). Top ชั้น ม. 3 วิชำคณิตศำสตร์ ช่วงชั้นที่ 3 ระดับชั้น มัธยมศึกษำตอนต้น กรุงเทพมหานคร:ห้างหุ้นส่วนจากัดรุ่งเรืองสาสน์การพิมพ์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ภำคผนวก ห น้ า | 4037 ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 4138 เฉลยตัวอย่ำง ตัวอย่ำง หน้ำ 9 ตัวอย่ำง D E O A B C 1) จากรูปให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A, B, C, D และ E อยู่บนวงกลม จงตอบคาถาม ต่อไปนี้ เรียก DE OC และ AB ว่าอย่างไร เรียก DE OC และ AB ว่าคอร์ดของวงกลม คอร์ดที่ยาวที่สุดของวงกลมวงหนึ่งมีชื่อเรียกเฉพาะว่าอย่างไร คอร์ดที่ยาวที่สุดของวงกลมวงหนึ่งมีชื่อเรียกเฉพาะว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ดที่แบ่งส่วนโค้งของวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆกันคือเส้นใด คอร์ดที่แบ่งส่วนโค้งของวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆกันคือ AB เรียกส่วนโค้งของวงกลมที่ถูกแบ่งด้วยคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางว่าอย่างไร เรียกส่วนโค้งของวงกลมที่ถูกแบ่งด้วยคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางว่า ส่วนโค้ง DE ในรูปต่อไปนี้ ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A, B, C และ D อยู่บนวงกลม ให้บอกชื่อ ของมุมตามลักษณะของมุมในส่วนต่างๆ ของวงกลม โดยเขียนคาตอบในช่องว่าง , , 2) 3) 4) 5) ตัวอย่าง B O A C เรียก ABˆC ว่ามุมในส่วนโค้งของวงกลม ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 5.1) 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 4239 C O A B เรียก เรียก ACˆ B ว่ามุมในครึ่งวงกลม ADˆ B ว่ามุมในครึ่งวงกลม เรียก เรียก AOˆ B ว่ามุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม D 5.2) O C B ACˆ B ว่ามุมในส่วนโค้งของวงกลม A ทฤษฎีบทที่ 1 หน้ำ 13 B พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1 กาหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม ABˆC เป็นมุมในครึ่งวงกลม ต้องพิสูจน์ว่า ABˆC เป็นมุมฉาก พิสูจน์ A O C ลาก BO ข้อควำม 1. AO = BO = CO 2. OAˆ B=OBˆA และ OBˆC=OCˆ B เหตุผล 1. รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน 2. ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาวเท่ากัน สองด้านแล้ว มุมตรงข้ามกับด้านที่ยาวเท่ากัน จะมีขนาดเท่ากัน ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ข้อควำม 3. OAˆB+OBˆA +OBˆC+OCˆ B=180 ห น้ า | 4340 เหตุผล 3. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป สามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา 4. จากข้อ 2 และข้อ 3 แทน OAˆ B ด้วย OBˆA และแทน OCˆ B ด้วย OBˆC 5. จากข้อ 4 และสมบัติของการเท่ากัน 6. จากข้อ 5 4. 2(OBˆA) +2(OBˆC)=180 5. (OBˆA) + (OBˆC)=90o 6. นั่นคือ ABˆC=90o ตัวอย่ำงที่ 1 หน้ำ 14 C ตัวอย่ำงที่ 1 ACˆB เป็นมุมในครึ่งวงกลม และ BAˆC มีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของ ABˆC จงพิสูจน์ว่า BAˆ C=30o พิสูจน์ A B กาหนดให้ ACˆ B เป็นมุมในครึ่งวงกลม ABˆC =2(BAˆ C) ต้องการพิสูจน์ว่า BAˆ C=30o ข้อควำม 1. ABˆC= 90o 2. ABˆC + BAˆC + ACˆ B = 180 3. ABˆC + BAˆC = 90 4. ABˆC = 2(BAˆC) 5. 3(BAˆ C) = 90 6. ดังนั่น BAˆ C=30 เหตุผล 1. มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 2. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ 180o 3. จากข้อ 1 ข้อ 2 และสมบัติของการเท่ากัน 4. กาหนดให้ 5. จากข้อ 3 และข้อ 4 แทน ABˆC ด้วย 2(BAˆC) 6. จากข้อ 5 และสมบัติของการเท่ากัน ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . ตัวอย่ำงที่ 2 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 4441 AC และ BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก D C A พิสูจน์ B กาหนดให้ AC และ BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ต้องพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อควำม 1. AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 2. ABˆC = ADˆ C= 90 3. BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 4. BAˆD = BCˆ D= 90 5. นั่นคือ สี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก เหตุผล 1. กาหนดให้ 2. มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 3. กาหนดให้ 4. มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 5. จากข้อ 2 และข้อ 4 ตัวอย่ำงที่ 5 หน้ำ 15 ตัวอย่ำงที่ 5 จากรูปที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x และ y โดยกาหนดให้ o เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม 2) y 40 x O วิธีทำ y = 90o เป็นมุมภายในครึ่งวงกลม o o y + x + 40 = 180 มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o x = 180o – 90o – 40o ดังนั้น X = 50o, y = 90o ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . C 70 O B จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ BAˆ C=65 จงหาขนาดของ ABˆC ตัวอย่ำงที่ 7 วิธีทำ C A ห น้ า | 45 42 วิธีทำ 1. OC=OB เป็นรัศมีของวงกลม 2. ΔBOC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จากข้อ 1 3. DOˆ A =BOˆ C=70 มุมตรงข้าม 4. BCˆ D =CBˆO เป็นมุมที่ฐานของสามเหลี่ยม ΔBOC 5. BOˆ C +2(BCˆ O) =180 มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o 70 180 ˆ 6. BOC = =55 จากข้อ 5 2 D 65 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม ACˆ B เป็นมุมในครึ่งวงกลมและ AOˆ D=70 จงหาขนาดของ BCˆ O พร้อมทั้งแสดงเหตุผล ตัวอย่ำงที่ 6 A 3 O B 1. ACˆ B=90 เป็นมุมในครึ่งวงกลม 2. CAˆB + ABˆC + BCˆ A = 180 มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180o 3. ABˆC = 180o 180o 65o =115 จากข้อ 3 ดังนั้น ABˆC = 115 ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . ตัวอย่ำงที่ 8 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 46 43 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม CD⊥AB และ BAˆC=37 จงหาขนาดของ BCˆ D A 37 O C D B วิธีทำ 1. ACˆ B=90 เป็นมุมในครึ่งวงกลม 2. BAˆC=37 กาหนดให้ 3. ACˆ B+BAˆC+ ABˆC=180 มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o 4. ABˆC=53 จาก ข้อ 1, 2 และ 3 5. OCˆ B + CBˆO + BOˆ C = 180 มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o 6. OCˆ B=37 จำก ข้อ 5 7. BCˆ D=OCˆ B=37 จำกรูป ดังนั้น BCˆ D=37 ทฤษฎีบทที่ 2 หน้ำ 20 ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACˆ B เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมและมีขนาดเท่ากับ 50o จงพิสูจน์ว่า OAˆB = 40 C A O 50 o B พิสูจน์ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACˆ B เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม และมี ขนาดเท่ากับ 50o ต้องการพิสูจน์ว่า OAˆB = 40 พิสูจน์ ลากส่วนของเส้นตรง BO ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม 3 ข้อควำม 1. AOˆ B = 2(ACˆ B) 2. 3. 4. ห น้ า | 4744 เหตุผล 1. มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาดเป็นสองเท่า ของมุมในส่วนโค้งของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง เดียวกัน 2. กาหนดให้ 3. จากข้อ 1 และข้อ 2 แทนค่า ACˆ B 4. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ 180 องศา 5. จากข้อ 3 ข้อ 4 และสมบัติของการเท่ากัน 6. รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน 7. ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน แล้ว มุมตรงข้ามกับด้านที่ยาวเท่ากันจะมีขนาด เท่ากัน 8. จากข้อ 5 และข้อ 7 แทน OBˆA ด้วย OAˆ B 9. จากข้อ 8 และสมบัติของการเท่ากัน ACˆ B = 50 AOˆ B = 2×50 = 100 AOˆ B + OAˆB + OBˆA = 180 5. OAˆB + OBˆA = 180 100 = 80 6. AO = BO 7. OAˆB = OBˆA 8. 2(OAˆ B) = 80 9. นั่นคือ OAˆ B = 40 ตัวอย่ำงที่ 3 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่กาหนดให้ C x O 70o A วิธีทำ จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า แทนค่ำ AOˆ B = 2(ACˆ B) 70o =2(x) 70 x= 2 x = 35 B ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ตัวอย่ำงที่ 4 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่กาหนดให้ ห น้ า | 48 45 C x B A วิธีทำ จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า แทนค่ำ AOˆ B = 2(ACˆ B) 90o =2(x) x = 90 2 x = 45 ตัวอย่ำงที่ 5 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่กาหนดให้ B A x วิธีทำ จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า OCˆ B = OBˆC =35 COˆ B + OCˆ B + OBˆC=180 แทนค่ำ COˆ B=110 ACˆ B+ ABˆC + CAˆ B=180 ACˆ B=55 ACˆ B=62.5 x=62.5 35 x=27.5 35o C ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 49 46 ทฤษฎีบทที่ 3-7 หน้ำ 28 ตัวอย่ำงที่ 2 กาหนดให้ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ B เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง AC ถ้า ACˆ D = 2BDˆ C จงหาค่า x a D 2a x C A วิธีทำ B มุมในส่วนโค้งที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่เท่ากัน ADˆ B = BDˆ C = a กาหนดให้ จาก 1) ACˆ D = 2BDˆ C = 2a CAˆD + ADˆ C + ACˆ D = 180 ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม 90o + (a+a) + 2a = 180o แทนค่า 5) a = 1 180 90 = 45 แก้สมการ 4 2 6) x = a + 2a มุมภายนอก=ผลบวกมุมภายในที่ไม่ประชิด o = 3a = 3 45 = 67.5o แทนค่า 2 ดังนั้น x เท่ากับ 67.5o ให้ 1) 2) 3) 4) ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม 3 ห น้ า | 5047 เฉลยแบบฝึกทักษะ แบบฝึกทักษะที่ 1 1. ให้นักเรียนตอบคาถามต่อไปนี้ 1) ในวงกลมวงหนึ่งมีคอร์ดได้กี่เส้น ตอบ วงกลมวงหนึ่งมีคอร์ดได้เป็นจานวนมากมายนับไม่ถ้วน 2) รัศมีของวงกลมเป็นเส้นตัดวงกลมหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ รัศมีของวงกลมไม่เป็นเส้นตัดวงกลม เพราะ เส้นตัดของวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัด วงกลมสองจุด ส่วนรัศมี คือ ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม 3) ในวงกลมวงหนึ่งมีเส้นตัดวงกลมได้กี่เส้น ตอบ วงกลมวงหนึ่งมีเส้นตัดวงกลมได้เป็นจานวนมากมายนับไม่ถ้วน 4) เส้นตัดวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้หรือไม่ ตอบ เส้นตัดวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้ 5) ในวงกลมวงหนึ่งมีเส้นสัมผัสได้กี่เส้น ตอบ วงกลมวงหนึ่งมีเส้นสัมผัสได้เป็นจานวนมากมายนับไม่ถ้วน 6) เส้นสัมผัสวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้หรือไม่ ตอบ เส้นสัมผัสวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางไม่ได้ 2. จากรูป จงบอกชื่อส่วนต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับวงกลม O ดังนี้ 1) เส้นผ่านศูนย์กลาง คือ AC F H B A C D คือ OA,OB,OC 3) คอร์ด คือ DH,DC,BC 4) คอร์ดที่ยาวที่สุด คือ AC 5) เส้นสัมผัสวงกลม คือ EF O E 2) รัศมี 6) เส้นตัดวงกลม คือ CF 7) ส่วนโค้งที่เป็นครึ่งวงกลม คือ ส่วนโค้ง AC ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 5148 3. จากรูป จงบอกชื่อมุมแต่ละมุม และส่วนโค้งแต่ละส่วนโค้งที่เกี่ยวข้องกับวงกลม O ดังนี้ D A O C B 1) มุมที่จุดศูนย์กลาง 2) มุมในครึ่งวงกลม 3) 4) 5) 6) มุมในส่วนโค้งของวงกลม ส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลาง ส่วนโค้งที่รองรับมุมในครึ่งวงกลม ส่วนโค้งที่รองรับมุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ AOˆ B,BOˆ C คือ ADˆ C คือ BAˆ D, ADˆ B,CAˆ D,DBˆA, ACˆ D คือ ส่วนโค้ง AB , ส่วนโค้ง BC คือ ส่วนโค้ง AC คือ ส่วนโค้ง DC, ส่วนโค้ง AB, ส่วนโค้ง BC, ส่วนโค้ง AD แบบฝึกทักษะที่ 2 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ABˆC เป็นมุมในครึ่งวงกลม BAˆC = 18 และ OD // BC จงหาขนาดของ ADˆ O D A 18 C O B วิธีทำ ข้อควำม 1. ACˆ B = 90 2. 18o + 90o + ABˆC = 180 3. 4. 5. ABˆC = 72 AOˆ D = ABˆC DAˆO + ADˆ O + AOˆ D = 180 6. 2(ADˆ O) + 90o = 180 ดังนั้น ADˆ O = 54 เหตุผล 1. เป็นมุมภายในครึ่งวงกลม 2. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป สามเหลี่ยมเท่ากับ 180o 3. แก้สมการ 4. เป็นมุมภายในภายนอก ( OD // BC ) 5. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป สามเหลี่ยมเท่ากับ 180o 6. DAˆO= ADˆ O เป็นมุมที่ฐานของรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่ว , แก้สมการ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 52 49 2. กาหนดให้ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ ACˆ B = ACˆ D จงพิสูจน์ว่า AB = AD พิสูจน์ ต้องพิสูจน์ว่า AB = AD B A C D ข้อควำม เหตุผล 1. กาหนดให้ 1. ABˆC = ACˆ D 2. เป็นมุมภายในครึ่งวงกลม 2. ABˆC = ADˆ C = 90 3. เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม 3. AC=AC 4. แบบ มุม – มุม - ด้าน 4. ΔABC = Δ ADC 5. AB = AD 5. จากข้อ 4 3. ากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACˆ B เป็นมุมในครึ่งวงกลม ABˆC=55 และ OD // BC จงหาขนาดของ AMˆ D D M A วิธีทำ 1. ACˆ B=90 เป็นมุมในครึ่งวงกลม C 2. DO//BC 55o O B กาหนดให้ 3. ACˆ B= AMˆ O=90 เป็นมุมภายในและมุมภายนอกของ เส้นตัดเส้นขนาน 4. AMˆ D + AMˆ O=180 เป็นมุมตรง 5. AMˆ D=180 -90=90 จากข้อ 4 ดังนั้น AMˆ D=90 ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 53 50 4. จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ ACˆ O=35 จงหาขนาดของ OBˆC C 35 A B O วิธีทำ 1. ACˆ B=90 เป็นมุมในครึ่งวงกลม 2. ACˆ O=35 กาหนดให้ 3. BCˆ O + ACˆ O=90 จากข้อ 1 4. BCˆ O=90o 35=55 จากข้อ 3 5. OC=OB เป็นรัศมีของวงกลม 6. ΔBOC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จากข้อ 5 7. OBˆC = BCˆ O = 55 เป็นมุมที่ฐานของสามเหลี่ยม หน้าจั่ว ดังนั้น OBˆC=55 5. จากรูปที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x, y, q, r, s, u, t และ v โดยกาหนดให้ o เป็น จุด ศูนย์กลางของวงกลม 1) x = 30o , y = 60o x x O O 70 O r q y 25 y 2) x = 65o , y = 40o 3) q = 140o , r = 70o , s =20o s ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 5451 u O 4) u = 40o , t = 80o , v =40o t v 50 y x 55o 5) x = 55o , y = 35o O แบบฝึกทักษะที่ 3 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ BAˆC = 50 จงหาขนาดของ OBˆC และ A ขนาดของ OCˆ B 50 O B วิธีทำ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ BAˆC = 50 หาขนาดของ OCˆ B ข้อควำม 1. BAˆC = 2(BOˆ C) 2. 3. 4. 5. C BAˆ C = 50 BOˆ C = 2×50=100 OB = OC BOˆ C + OBˆC + OCˆ B = 180 เหตุผล 1. มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาดเป็น สองเท่าของมุมในส่วนโค้งของวงกลม ที่ รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน 2. กาหนดให้ 3. จาก ข้อ 1 และข้อ 2 แทนค่า BAˆ C 4. รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน 5. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป สามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม 3 ข้อควำม 6. OBˆC + OCˆ B = 180 -100=80 7. OBˆC = OCˆ B 8. 2(OCˆ B) =80 OCˆ B =40 9. นั่นคือ OBˆC = OCˆ B =40 ห น้ า | 5552 เหตุผล 6. จาก ข้อ 3 และข้อ 5 7. ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาว เท่ากันสองด้านแล้ว มุมตรงข้ามกับด้านที่ ยาวเท่ากันจะมีขนาดเท่ากัน 8. จาก ข้อ 6 และข้อ 7 9. สมบัติการเท่ากัน 2. จากรูปที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x, y, a, และ b โดยกาหนดให้ o เป็นจุด ศูนย์กลางของวงกลม y 1) x = 115o , y = 65o 230 O x 2) O x x = 30o 60 40 x = 80o O 3) x 35 O 4) a = 70o , b = 55o a b ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . x 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 56 53 y 5) x = 155o , y = 25o O 50 x x = 49o , y = 23.5o O 6) 98 y x x = 55o , y = 125o O 7) 110 y 40 8) O y x x = 50o , y = 80o ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 57 54 แบบฝึกทักษะที่ 4 จากรูปที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่าตัวแปรที่แทนมุมต่างๆในวงกลม 1) D 5) 5o 70o c 20 C A 40 110o d B c = 20o , d = 40o h = 65o x x 2) 6) O y 100 y 30 68 x = 12o , y = 12o 3) x = 60o , y = 60o 7) y x a 60 b 30 50 a = 60o , b = 50o 4) 80 x = 70o , y = 70o 8) f g h 70 35 i 60 e 40 g = 75o, f = 75o, e =35o i = 40o , h = 60o ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 58 55 แบบฝึกทักษะที่ 5 จากรูปที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่าตัวแปรที่แทนมุมต่างๆในวงกลม A 1) B 160o D x x = 20o O C 2) 52 d c = 38o , d = 62o c 28 O g e g = 105o , e = 105o , f = 75o 3) f 4) 75 O x = 102o , y = 12o y 78 x Y 5) X Z 35 W xˆyz = 110 , xwˆ z = 70 ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 59 56 เฉลยแบบทดสอบก่อน – หลังเรียน ชุดที่ 1 ก่อนเรียน หลังเรียน 1. ก 1. ค 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ค ง ข ค ก ง ค ง ค ง ค ก ข ง ค ค ง ก