BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Setiap persoalan program linier selalu mempunyai dua macam analisis,
yaitu Analisis Primal dan Analisis Dual yang biasanya disebut “Analisis
Primal-Dual”. Dalam perjalanannya teknik linier programming mengalami
perkembangan dan penyempurnaan, sehingga dapat ditemukan berbagai
kelebihan-kelebihan yang berguna dalam penerapan teknik ini. Salah satu
manfaatnya yaitu dalam dunia Linier Programing yang digunakan sebagai alat
analisa dan pengambilan keputusan. Teknik tersebut dikenal dengan teori
dualitas.
Menurut teori ini, setiap persoalan linier programming saling
berhubungan timbal balik dengan persoalan linier programming yang lain yang
merupakan “dual”nya. Hubungan timbal balik antara suatu persoalan linier
programming yang asli (disebut primal) dengan persoalan linier programming
yang lain (dual), akan menimbulkan manfaat berupa memudahkan orang dalam
mengkaji suatu perhitungan dalam linier programming.
B. Rumusan Masalah
1. Seperti Apa bentuk Primal-Dual itu?
2. Ada tidak aturan-aturan umum dalam perumusan persoalan program linier
yang berhubungan dengan Primal-Dual?
C. Tujuan Pembahasan
1. Agar dapat mengetahui tentang bentuk-bentuk dari Primal-Dual.
2. Agar dapat mengetahui ada tidaknya aturan-aturan umum dalam perumusan
persoalan program linier yang berhubungan dengan Primal-Dual.
1
BAB II
PEMBAHASAN
A. Struktur Primal-Dual Program Linier
Dalam perkembangan algoritma simpleks sudah lama ditemukan
bahwa setiap pemrograman linier mempunyai hubungan dengan pemrograman
lain dan dikenal dengan Dual. Solusi dari salah satu persoalan ini dapat
dibentuk menjadi solusi yang lain. Penemuan pemrograman linier dual ini
sangat berpengaruh terhadap dua problema yang terkait dengan metode
komputasi dan juga pengembangan pemrograman linier, disamping itu juga
sangat berpengaruh terhadap pengembangan metode optimisasi yang lain.
Hubungan antara pemrograman linier dengan dualnya dapat ditunjukkan pada
beberapa kasus yang juga sangat penting bagi informasi ekonomi yang
diuraikan melalui pemrograman linier.
Dualitas adalah sebuah konsep dalam pemrograman linier yang
menjelaskan secara matematis bahwa sebuah kasus pemrograman linier terdiri
dari
masalah
primal
dan
dual
dan
konsep
ini
berguna
untuk
menginterpretasikan angka – angka yang terdapat pada tabel optimal dari
masalah primal. Dalam penyelesaian persoalan linier dengan membentuk
formulasi terlebih dahulu sudah dikenal dengan istilah primal, sedangkan
penyelesaian persoalan melalui dual sebagai pemrograman linier merupakan
penyelesaian pada variabel yang ditambahkan pada fungsi-fungsi kendala
yang sudah disusun sebagai pengenal dari variabel dual.
Setiap fungsi kendala harus mempunyai satu variabel dual. Dinyatakan
bahwa setiap variabel dual adalah positif bila fungsi kendalanya terikat dengan
variabel-variabelnya, sementara bila fungsi kendala itu tidak terikat dengan
variabel-variabelnya maka variabel dual akan sama dengan nol sehingga
bentuk ini dikenal sebagai persoalan dual.
2
Untuk dapat menyusun suatu persoalan primal Program Linier ke
dalam bentuk dual, maka selalu harus dirumuskan terlebih dahulu ke dalam
bentuk kanonik.
1. Untuk persoalan maksimasi, maka semua rumusan fungsi kendala
mempunyai tanda lebih kecil dari pada atau sama dengan ( ≤ ).
2. Untuk persoalan minimasi maka tanda fungsi syarat ikatannya harus lebih
besar dari pada atau sama dengan ( ≥ ) .
3. Jika suatu persoalan dalam rumusan Program Linier mempunyai fungsi
kendala kesamaan (nilai nsk-nya bertanda sama dengan), maka fungsi
kendalanya tersebut dapat ditukar atau diganti dengan dua fungsi lainnya,
yang pertama, bertanda “lebih kecil dari pada atau sama dengan (≤)”
dan yang kedua, bertanda “lebih besar dari-pada atau sama dengan (≥)”.
Salah satu diantara kedua fungsi kendala lain tersebut (dipilih salah satu),
kemudian diambil, dan kalikan dengan (-1) untuk mendapatkan fungsi
kendala yang sesuai dengan aturan yang diminta oleh bentuk kanonik
tersebut.
Masalah-masalah dalam dual yang biasa terjadi dalam penyelesaian
pemrograman linier yaitu:
1. Inverse dari Primal
2. Bukan lagi masalah optimal bagi peubah keputusan
3. Masalah optimal bagi sumber daya
4. Untuk mempelajari efek perubahan-perubahan koefisien dan ketersediaan
sumber daya pada hasil optimal
5. Seolah-olah sumber daya mempunyai ‘harga’ dan menjadi aset: konsep
“shadow price”
6. Bagaimana memanfaatkan aset tersebut dengan optimal
Langkah-langkah dalam menentukan Dual Problem dari suatu Program
Linear (Primal) yaitu :
1. pemrograman semula dinamakan Primal Problem
2. Jika Primal kasus maksimal, maka Dual kasus minimal
3
3. jika Primal kasus minimal, maka Dual kasus maksimal
4. Dibedakan dari tipe permasalahan
a. Masalah max yang normal: semua peubah non negatif dan semua
kendala ≤
b. Masalah min yang normal: semua peubah non negatif dan semua
kendala ≥
 Model Persoalan Primal Dual
Bentuk Primal :
Maksimumkan :
=∑
Syarat ikatan : ∑ =1
Minimumkan :
Syarat ikatan : ∑
Aturan
untuk i=1,2,3, ...,m.
dan Xj ≥ 0, j =1,2,...,n.
Bentuk Dual :
Dimana :
≤
=∑
=1
≥
untuk j= 1,2,3,...,n.
dan Yi ≥ 0, i= 1,2,...,m.
= ∑ =1
umum
∗
dalam
ℎ
perumusan
= ∑ =1
persoalan
∗
program
linier
menyangkut bentuk primal dan dual adalah :
4
Bentuk Primal
Bentuk Dual
Memaksimumkan fungsi tujuan,
Meminimumkan fungsi tujuan,
dan sebaliknya.
dan sebaliknya.
Koefisien fungsi tujuan (Cj )
Nilai Sebelah Kanan (NSK)
fungsi kendala
NSK fungsi kendala primal (bi )
Koefisien fungsi tujuan
Koefisien peubah ke-j
Koefisien kendala ke-j
Koefisien kendala ke-i
Koefisien peubah ke-i
Kendala ke-j dengan tanda
Peubah ke-j yang positif (≥ 0)
ketidaksamaan “lebih besar
daripada atau sama dengan “
(≥).
Peubah ke-j tandanya tidak dibatasi
Kendala ke-j yang bertanda
sama dengan
Kendala ke-i yang bertanda sama
Peubah ke-i tandanya tidak
dengan
dibatasi
Kendala ke-i yang bertanda
ketidaksamaan (≤)
Peubah ke-i yang positif (≥)
Contoh Soal :
Andaikan terdapat suatu persoalan Program Linier sebagai berikut :
Memaksimumkan : Z = 10X1 + 6X2 ........ (1),
Syarat ikatan :
a). 2X1 + 3X2 ≤ 90
.......... (2)
c). X2 ≥ 15
.......... (4)
b). 4X1 + 2X2 ≤ 80
.......... (3)
d). 5X1 + X2 = 25
.......... (5)
dan X1 , X2 ≥ 0
Ubahlah ke dalam bentuk dualnya !
Penyelesaian :
5
Langkah 1,
Transfomasikan ke dalam bentuk kanonik primal (karena fungsi tujuannya
memaksimumkan maka tanda ketidaksamaannya dibuat ≤ ). Manipulasi
dilakukan pada rumus (4) dan (5) dengan berikut :
*) Kalikan rumus (4) dengan (-1) didapatkan:
−
≤ −5
*) Ganti rumus (5) menjadi ketidaksamaan :
5
+
≤ 25 (5a) dan 5
+
≥ 25 (5 )
Dan rumus (5b) dikalikan dengan (-1) didapat:
−5
−
≤ −25
Dengan demikian diperoleh bentuk kanonik primal menjadi:
= 10
Memaksimumkan:
Syarat ikatan:
a). 2
b). 4
c). −
d). 5
+3
2
e). −5
+6
≤ 90
+2
≤ 80
≤ −15
+
−
≤ 25
≤ −25 dan
Langkah 2,
1, 2
≥0
Rumuskan bentuk kanonik dari persoalan primal tersebut ke dalam bentuk
dual, dan diperoleh :
Meminimumkan:
Syarat ikatan:
a). 2
b). 3
dan
+4
1,
+2
2,
−0
−
3,
4,
= 90
+5
+
5
−
+ 80
−5
≥6
≥ 0 atau
1
− 15
+ 25
− 25
≥ 10
≥ 0, untuk i = 1, 2, …, 5.
B. Masalah Primal-Dual Simetris
Suatu program linear dikatakan berbentuk simetris jika semua konstanta
ruas kanan pembatas bernilai non negatif dan semua pembatas berupa
6
pertidaksamaan, dimana pertidaksamaan dalam masalah maksimasi berbentuk
≤, dan pertidaksamaan dalam minimasi berbentuk ≥. Dalam notasi matriks
masalah primal-dual simetris adalah :
Primal :
Maksimal Z = cX, dengan pembatas
AX ≤ b
X ≥0
Dual :
Minimal W = bY, dengan pembatas
AY ≥ c
Y ≥0
Dimana c adalah vektor baris 1 x n, X adalah vektor kolom n x l, A adalah
suatu matriks m x n, b adalah vektor kolom m x l, dan Y adalah vektor baris 1
x m.
Primal:
Maksimal
Z = c1X1 + c2X2 + …+ cnXn
a11X1 + a12X2 +…+ a1nXn ≤ b1
a21X1 + a22X2 +…+ a2nXn ≤ b2
am1X1 + am2X2 +…+ amnXn ≤ bn
X1, X2 , … , Xn ≥ 0
Dual :
Minimal
W = b1Y1 + b2Y2 + … + bmYm
a11Y1 + a21Y2 + … + am1Ym ≥ c1
a12Y1 + a22Y2 + … + am2Ym ≥ c2
a1nY1 + a2nY2 + … + amnYm ≥ cn
Y1 ,Y2 , … , Ym ≥ 0
7
Contoh dari bentuk primal-dual simetris adalah sebagai berikut:
Primal:
Maksimal
Z = 40000X1+ 50000X2 + 40000X3
4X1+ 4X2 + 6X3 ≤ 600
8X1+ 4X2 + 6X3 ≤ 800
X1 , X2 , X3 ≥ 0
Dual:
Minimal
W = 600Y1 + 800Y2
4Y1 + 8Y2 ≥ 40000
4Y1 + 4Y2 ≥ 50000
6Y1 + 6Y2 ≥ 40000
Y1 , Y2 ≥ 0
C. Masalah Primal-Dual Tak Simetris
Misalkan masalah primal yang tak simetris adalah sebagai berikut:
Maksimumkan: Z = 2X1 + 4X2 + 3X3
X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 60
3X1 + 5X2 + 3X3 ≥ 120
X1, X2, X3 ≥ 0
Contoh berikut merupakan contoh lain dari masalah primal dual tak
simetris, dimana pada contoh berikut akan diperlihatkan suatu bentuk primal
dengan pembatas tanda =.
Maks Z = 5X1 + 2X2 + 3X3
X1 + 5X2 + 2X3 = 30
X1 ̶ 5X2 ̶ 6x3 ≤ 40
X1, X2, X3 ≥ 0
Apabila bentuk primal ini dianalogikan dengan persoalan sebelumnya,
maka apabila bentuk primal ini akan diubah kedalam bentuk dual, maka
8
langkah pertama yang perlu dilakukan adalah mengubah bentuk primal tak
simetris menjadi bentuk primal simetris. Pembatas pertama dalam contoh
tersebut merupakan suatu persamaan X1 + 5X2 + 2X3 = 30 dan harus diubah
kedalam bentuk ≤.
Persamaan ini ekuivalen dengan dua pembatas berikut ini:
X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 30
X1 + 5X2 + 2X3 ≥ 30
Artinya jika nilai pembatas lebih besar atau sama dengan 30 dan kurang
dari atau sama dengan 30, maka kuantitas yang memenuhi kedua pembatas
tersebut adalah 30. Tetapi pada pembatas tersebut tanda ≥ masih tetap ada,
dan pembatas ini dapat diubah dengan cara mengalikannya dengan (-1).
X1 + 5X2 + 2X3 ≥ 30 x(-1)
-X1 ̶ 5X2 ̶ 2X3 ≤ -30
Sehingga model primal dalam bentuk normal adalah:
Maks Z = 5X1 + 2X2 + 3X3
X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 30
-X1 ̶ 5X2 ̶ 2X3 ≤ −30
X1 ̶ 5X2 ̶ 6X3 ≤ 40
X1, X2, X3 ≥ 0
Bentuk dual dari model ini diformulasikan sebagai:
Min W = 30Y1 ̶ 30Y2 + 40Y3
Y1 ̶ Y2 + Y3 ≥ 5
5Y1 ̶ 5Y2 ̶ 5Y3 ≥ 2
2Y1 ̶ 2Y2 ̶ 6Y3 ≥ 3
Y1, Y2, Y3 ≥ 0
Tetapi bentuk dual ini pun tidak sesuai dengan ketentuan hubungan
primal dual yang telah dikemukakan pada awal bagian ini. Ketidaksesuaian
tersebut terletak pada jumlah pembatas primal tak simetris yang tidak sesuai
dengan jumlah koefisien fungsi tujuan dual, padahal pada hubungan primal
dual setiap pembatas pada primal berhubungan dengan satu kolom pada dual,
9
sehingga setiap pembatas primal terdapat satu variabel keputusan dual.
Sedangkan dalam contoh ini pada bentuk primal tak simetris terdapat 2
pembatas tetapi setelah bentuk primal tak simetris ini ditransformasikan
menjadi primal normal lalu kemudian dibuat bentuk dualnya, terdapat pada
bentuk dual tersebut terdapat 3 variabel keputusan.
Untuk menyelesaikan masalah tersebut, maka bentuk dual dapat dibentuk
dari primal tak simetris tanpa harus mentransformasikannya terlebih dahulu
menjadi primal normal. Maka dengan mengikuti aturan tabel hubungan primal
dual, bentuk dual dari primal tak simetris itu adalah:
Min W = 30Y1 + 40Y2
Y1+ Y2 ≥ 5
5Y1 ̶ 5Y2 ≥ 2
2Y1 ̶ 6Y2 ≥ 3
Y1 tidak terbatas tanda
Y2 ≥ 0
Karena Y1 tidak terbatas tanda, maka Y1 digantikan dengan Y1’ ̶ Y1” (Y1
= Y1’ ̶ Y1”) dimana Y1’ dan Y1”≥ 0, sehingga bentuk dualnya menjadi:
Min W = 30 (Y1’ − Y1”) – 40Y2
( Y1’ ̶ Y1”) + Y2
≥5
5 (Y1’ ̶ Y1”) ̶ 5Y2 ≥ 2
2 (Y1’ ̶ Y1”) ̶ 6Y2 ≥ 3
(Y1’ ̶ Y1”) = Y1
Y2 ≥ 0
Atau
Min W = 30Y1’ ̶ 30Y1” ̶ 40Y2
Y1’ ̶ Y1” + Y2 ≥ 5
5Y1’ ̶ 5Y1” ̶ 5Y2 ≥ 2
2 Y1’̶ 2Y1” ̶ 6Y2 ≥ 3
Y1’ ≥ 0
Y1” ≥ Y1
10
Y2 ≥ 0
Contoh-contoh tersebut telah menunjukkan bahwa setiap masalah
program linier dapat diselesaikan dengan merumuskan baik bentuk primal
maupun dual. Sehingga tidak perlu menyelesaikan kedua bentuk, cukup salah
satunya saja karena solusi primal dapat menunjukkan solusi dual begitu juga
sebaliknya.
Pada umumnya suatu program linier dengan jumlah pembatas yang lebih
sedikit dari pada jumlah variabel keputusan lebih mudah diselesaikan
dibandingkan masalah dengan jumlah pembatas yang lebih banyak dari pada
variabel keputusan. Untuk itu jika akan menyelesaikan salah satu dari masalah
primal atau dual, lebih mudah jika memilih dari kedua bentuk tersebut yang
jumlah pembatasnya lebih sedikit dari variabel keputusan.
D. Hubungan Primal dengan Dual
Untuk menjelaskan hubungan antara Primal dengan Dual akan
ditunjukkan dengan contoh kasus di bawah ini.
Contoh kasus:
Seorang agen sepeda bermaksud membeli 25 buah sepeda untuk persediaan.
Harga sepeda biasa Rp. 60.000/ buah, dan sepeda balap Rp. 80.000/ buah. Ia
merencanakan untuk tidak mengeluarkan lebih dari Rp. 1.680.000 dengan
mengharapkan keuntungan Rp. 10.000 dari tiap sepda biasa dan Rp. 12.000
dari tiap sepeda balap.
Model matematika untuk kasus di atas adalah :
Primal : Maksimum : Z = 12.000x + 10.000y
Fungsi kendala :
x + y ≤ 25
8x + 6y ≤ 168
x, y ≥ 0
maka Z = 12.000x + 10.000y + 0S1+ 0S2
Z- 12.000x - 10.000y - 0S1 - 0S2 = 0
Dan fungsi kendala
11
x + y + S1 = 25
8x + 6y + S2 = 168
VD
Z
X
Y
S1
S2
NK
Indeks
Z
1
-12.000
-10.000
1
0
S1
0
1
1
1
0
25
25
S2
0
8
6
0
1
168
21
Z
1
0
-1000
0
1.500
252.000
S1
0
0
2/8
1
-1/8
4
16
X
0
1
6/8
0
1/8
21
28
Z
1
0
1
4.000
1.000
268.000
Y
0
0
0
4
-1/2
16
X
0
1
0
-3
1/2
9
Jadi, solusinya dapat dilihat pada kolom NK dan didapatkan Zmaks = 268.000
dengan X = 9 dan Y = 16.
 Untuk model Dual
Fungsi tujuan : Meminimumkan : Z = 25P + 168Q
Fungsi kendala :
P + 8Q ≥ 12.000
P + 6Q ≥ 10.000
P, Q ≥ 0
Penyelesaian :
Funsi tujuan : -Z + 25P + 168Q + MA1 + MA2 = 0
Fungsi kendala :
P + 8Q – S1 + A1 = 12.000
P + 6Q – S2 + A2 = 10.000
12
Baris Z baru :
VD
Z
P
Q
S1
S2
25
168
0
0
A1
A2
M
NK
M 0
-M
[
1
8
-1
0
1
0
12.000
]
-M
[
1
6
0
-1
0
1
10.000
] +
2M-25
14M+168
-M
-M
0
0
22.000M
Q
S1
S2
A1
A2
NK
14M+168
-M
-M
0
0
22.000M
P
Indeks
Z
-1 2M-25
A1
0
1
8
-1
0
1
0
12.000
1.500
A2
0
1
6
0
-1
0
1
10.000
10.000/6
Z
-1 1/4M-4
0
6/8M-21
-14/8M+21
0
252. 000+1.000M
Q
0
1/8
1
-1/8
0
1/8
0
1.500
-12.000
A2
0
1/4
0
6/8
-1
-6/8
1
1.000
8.000/6
Z
-1
3
0
0
-28
-M
-M+28
280.000
Q
0
1/6
1
0
-1/6
0
0
10.000/6
10.000
S1
0
1/3
0
1
-8/6
-1
8/6
8.000/6
4.000
Z
-1
0
0
-9
-16
-M+9
-M+16
268.000
Q
0
0
1
-1/2
1/2
3/6
-1/2
1.000
P
0
1
0
3
-4
-3
4
4.000
-M
Jadi, solusinya dapat dilihat pada kolom NK dan didapatkan Zmaks = 268.000
dengan Q = 1. 000 dan P = 4.000.
13
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Setelah model dual didefinisikan secara lengkap, dapat dikatakan bahwa
model dual dikembangkan dari model primal sepenuhnya. Hal tersebut dapat
berarti bahwa operasi simpleks tidak perlu dilakukan untuk mengetahui
informasi tentang dual karena solusi dual dapat ditentukan dari solusi primal.
Solusi optimum primal memberikan informasi mengenai banyaknya
jumlah laba yang diperoleh, sedangkan solusi optimum dual yang juga didapat
dari solusi terhadap suatu masalah primal memberikan informasi yang tidak
kalah penting dalam pengambilan keputusan. Bentuk dual akan memberikan
informasi mengenai nilai-nilai sumber yang biasanya merupakan pembatas dari
suatu model sehingga dapat membantu pengambila keputusan dalam
menentukan harga dari sumber daya yang menjadi pembatas bagi tercapainya
laba tersebut.
14
DAFTAR PUSTAKA
http://www.math.unsyiah.ac.id/asep/images/analisis_post_optimal.pdf.
pada 5 maret 2014 pukul 13.54 WIB.
Diunduh
http://profit.is.unikom.ac.id/_s/data/jurnal/volume-01/4-lusi-melian.pdf/pdf/4-lusimelian.pdf. Diunduh pada 5 maret 2014 pukul 13.24 WIB.
J, Zakiyay, Thomas. 2008. Pemrograman Linier Metode dan Problema.
Yogyakarta: ANDI.
http://naharindiastuti.blogspot.com/2012/11/contoh-soal-transformasi-dan-primal
dual.html.diunduh pada hari kamis, 06 maret 2014.
15