Definizione delle specifiche
per un sistema di controllo
a retroazione unitaria
Obiettivi del controllo
• Il sistema di controllo deve essere
progettato in modo da garantire un buon
inseguimento dei segnali di riferimento
nonostante la presenza di disturbi, rumori
ed incertezze parametriche
Obiettivi del controllo
• Stabilità robusta
• Fedeltà di risposta (regolazione o
inseguimento)
• Attenuazione dei disturbi sulla catena
diretta
• Attenuazione dei rumori di misura
• Robustezza alle variazioni parametriche
Vogliamo esprimere gli obiettivi del
controllo tramite un numero limitato di
parametri quantitativi che devono essere
garantiti dal progettista
SPECIFICHE DEL CONTROLLO
Classificazione delle specifiche
• Specifiche sul sistema a catena aperta
L(s) nel dominio della frequenza
• Specifiche sul sistema a catena chiusa
W(s) nel dominio della frequenza
• Specifiche sul sistema a catena aperta
L(s) nel dominio del tempo
• Specifiche sul sistema a catena chiusa
W(s) nel dominio del tempo
Schema di controllo e notazioni
R(s) +
E(s)
-
C(s)
D(s)
M(s)
P(s)
+
+
C(s) controllore o regolatore (LTI, SISO)
P(s) processo (LTI, SISO)
R(s) segnale di riferimento
E(s) segnale errore
M(s) variabile manipolabile
Y(s) variabile di uscita
D(s) disturbo sulla catena diretta
Dm(s) rumore di misura
Dm(s)
+
+ Y(s)
Funzioni di trasferimento
significative
R(s) +
E(s)
-
C(s)
D(s)
M(s)
P(s)
+ Y(s)
+
+
+
Dm(s)
C ( s ) P( s)
C ( s) P( s)
1
R( s ) +
D( s) −
Dm( s ) =
1 + C ( s ) P( s )
1 + C ( s) P( s)
1 + C ( s ) P( s )
= T ( s ) R( s ) + S ( s ) D ( s ) − T ( s ) Dm( s )
S ( s ) = sensitività
T ( s ) = sensitività complementare
Y ( s) =
S ( s) + T ( s) = 1
Stabilità robusta
• L’effetto delle perturbazioni sulle grandezze che
caratterizzano il sistema deve estinguersi una volta
venuta meno la perturbazione, ciò è garantito dal fatto
che il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile
• La stabilità deve essere garantita anche a fronte di
variazioni parametriche o incertezze sui parametri, il
sistema deve quindi avere opportuni valori di margine di
fase Mφ e di guadagno Ma
• Se vale il criterio di Bode è sufficiente utilizzare Mφ
Fedeltà di risposta
• Il sistema controllato deve inseguire il segnale di
riferimento ‘con accuratezza adeguata’
• La fedeltà di risposta deve essere valutata:
- per segnali canonici
- per segnali sinusoidali
- a regime
- in transitorio
Fedeltà di risposta a regime per
segnali canonici
• Si può imporre il comportamento del sistema a
regime per un certo numero di segnali canonici
considerati rappresentativi del funzionamento del
sistema controllato
• Tali specifiche portano a definire il valore del
guadagno di L(s) ed il numero di poli nell’origine
di L(s) (tipo di sistema)
Fedeltà di risposta a regime per
segnali sinusoidali
• Si deve garantire |T(jω)|=1 in una banda
sufficientemente ampia, dipendente dalle
caratteristiche del segnale di ingresso
• Le specifiche possono riguardare banda
passante B e modulo di risonanza Mr
• Analogamente si può garantire |C(jω)P(jω)|>>1
in una banda opportuna definita dalla pulsazione
di attraversamento ωt
|C(jω)P(jω)|
Fedeltà di risposta in transitorio
per segnali canonici
• Si fa in genere riferimento alla risposta al
gradino, assumendo che abbia la forma tipica
dei sistemi stabili di secondo ordine
• Come parametri indicativi si utilizzano quindi:
s%, ta, ts o analogamente la posizione di una
coppia di poli c.c. nell’ipotesi che W(s) sia a
poli dominanti
yG(t)
1,02
1
0,98
0,9
0,1
t’s
ts
Ta2%
Ta 5% =
ŝ =
3
ξωn
=
3
= 3τ
− Re(P1,2 )
y G ( t p ) − y G (∞ )
y G (∞ )
ŝ% = 100ŝ
ts =
π−γ
ωn 1 − ξ 2
t
=
=e
πξ
1− ξ 2
⎡
1 − ξ2
⎢π − arctg
ξ
1 − ξ 2 ⎢⎣
1
ωn
−
⎤
⎥
⎥⎦
t s ⋅ ωn
S%
ξ
ξ
Attenuazione dei disturbi sulla catena diretta:
risposta in transitorio per segnali canonici
Si utilizzano gli stessi parametri utilizzati per la risposta a
riferimenti a gradino perché la funzione di risposta al disturbo
ha gli stessi poli della W(s)
Attenuazione dei disturbi sulla catena diretta:
risposta a regime per segnali canonici
Bisogna scegliere appropriatamente il guadagno ed il
tipo di sistema della f.d.t. a monte del punto di
inserzione del disturbo (scegliendo le condizioni più
restrittive tra quelle imposte dalle specifiche ai riferimenti
e quelle imposte dalle specifiche ai disturbi)
Attenuazione dei disturbi sulla catena diretta:
risposta a regime per segnali sinusoidali
• Ricordando le relazioni:
|C(jω)P(jω)|
C ( s) P( s)
C ( s) P( s)
1
R( s ) +
D( s) −
Dm( s ) =
1 + C ( s ) P( s )
1 + C ( s) P( s)
1 + C ( s ) P( s )
= T ( s ) R( s ) + S ( s ) D( s ) − T ( s ) Dm( s )
S ( s ) = sensitività
T ( s ) = sensitività complementare
S ( s) + T ( s) = 1
Y ( s) =
bisogna agire in modo da rendere |S(jω)|<< nella banda
di frequenza in cui agisce il disturbo, un parametro
rappresentativo può quindi essere B
Analogamente è possibile agire in modo da rendere
|C(jω) P(jω)|>>1 ed usare come parametri il guadagno
e la ωt della L(s)
Reiezione dei disturbi di misura
Ricordando le relazioni:
C ( s) P( s)
C ( s) P( s)
1
R( s ) +
D( s) −
Dm( s ) =|C(jω)P(jω)|
1 + C ( s ) P( s )
1 + C ( s) P( s)
1 + C ( s ) P( s )
= T ( s ) R( s ) + S ( s ) D( s ) − T ( s ) Dm( s )
S ( s ) = sensitività
T ( s ) = sensitività complementare
S ( s) + T ( s) = 1
Y ( s) =
bisogna agire in modo da rendere |T(jω)|<< nella banda di frequenza in cui
agisce il rumore di misura, un parametro rappresentativo può quindi essere
anche in questo caso B
Analogamente è possibile agire in modo da rendere |C(jω) P(jω)|<<1
N.B. se la banda in cui agiscono i riferimenti non è disgiunta da quella
in cui agiscono i disturbi rumori di misura è necessario ricorrere a
schemi di controllo a più gradi di libertà
È in ogni caso opportuno progettare la catena di misura in modo da
ridurre i rumori
Robustezza della fedeltà di risposta
rispetto alle variazioni parametriche
Ricordando la definizione di sensibilità alle
variazioni parametriche per i sistemi in
retroazione:
α
SWc
α
SP
=
1 + C ( S ) P( S )
risulta che per garantire la robustezza alle
variazioni parametriche è necessario
soddisfare le stesse condizioni già viste per
l’attenuazione dei disturbi sulla catena diretta
Riepilogo
Le specifiche che abbiamo visto possono essere
classificate nel modo seguente:
Specifiche sul sistema a catena aperta L(s)
nel dominio della frequenza
Specifiche sul sistema a catena chiusa
W(s) nel dominio della frequenza
Specifiche sul sistema a catena chiusa
W(s) nel dominio del tempo
K, TIPO, Mφ, Ma, ωt
B, Mr
S%, ts, ta, ξ, ωn
Evidenziamo alcune relazioni, in genere approssimate, e
valide comunque per sistemi a poli dominanti c.c., tra le
varie specifiche
Posizione dei poli di W(s) e caratteristiche in frequenza di W(s):
BP = B3 = ω n 1 − 2ξ 2 + 2 − 4ξ 2 + 4ξ 4
MR =
max F( jω )
F( j0 )
=
1
2ξ 1 − ξ 2
Banda passante a 3 dB
Modulo alla risonanza
N.B.
ha senso solo per
n.b. queste relazioni sono esatte per sistemi di secondo ordine
0<ξ<
2
2
Posizione dei poli di W(s) e caratteristiche in frequenza di L(s):
ωt = ωn − 2ξ 2 + 4ξ 4 + 1
[m ]
ϕ rad
Pulsazione di attraversamento
⎡
⎡
⎤
⎛ − 2ξ 2 + 4ξ 4 + 1 ⎞⎤
π ⎢
2ξ
⎟⎥
⎜
⎥
= ⎢arctg
= − arctg⎜
⎟
⎢
2 ⎢
2ξ
⎟⎥
⎜
− 2ξ 2 + 4ξ 4 + 1 ⎥⎦
⎢⎣
⎠⎥⎦ rad ⎣
⎝
rad
Mφ
ζ
Relazioni tra parametri di W(s) nel dominio del tempo e
parametri di W(s) nel dominio della frequenza
Relazioni tra caratteristiche nel dominio della
frequenza di L(s) e di W(s)
ωt < B3
se M ϕ < 900
M ϕ ∝−1 M R
Queste relazioni si deducono dalla carta di Nichols:
MR=4dB
•
•
•
ωt
P•
•
MG
ω=B3
•
mϕ
Carta di Nichols:
Margine di fase e di guadagno
Banda passante e modulo alla risonanza
Considerando i legami tra le specifiche si ha quindi che:
K e poli s=0 di L(s)
Fedeltà di risposta a regime per segn. pol.
Reiezione dei disturbi polinom. a regime
•Fedeltà di risposta a regime
per ingr. Sinusoidali e in trans.
Mϕ , M R ,
S%
•Influenza dei disturbi
•Influenza delle variazioni
parametriche sulla stabilità
e sulla fedeltà di risposta
•Fedeltà di risposta in transitorio
ωt , B3 , ts , ta
•Larghezza della banda in cui
si ha un buon inseguimento e la
reiezione dei disturbi
•Larghezza della banda in cui si
ha la reiezione dei rumori di mis.
Sintesi per tentativi nel dominio
della frequenza
1. Tutte le specifiche vengono ricondotte a quelle che
riguardano la L(s) nel dominio della frequenza:
guadagno, numero di poli nell’origine, pulsazione di
attraversamento e margine di fase
2. Si modifica, introducendo un regolatore C(s) opportuno,
costituito in genere da reti standard, la funzione di
risposta armonica di L(s) (rappresentata tramite
diagrammi di Bode) fino a fare in modo che rispetti le
specifiche
3. Si effettua la simulazione del sistema controllato per
verificare che rispetti anche le specifiche nel dominio
del tempo
Sintesi tramite luogo delle radici
1. Tutte le specifiche si riconducono a specifiche che
riguardano la posizione dei poli dominanti di W(s)
2. Dopo avere inserito in L(s) il numero opportuno di poli
nell’origine si traccia il luogo delle radici
3. Si introducono, tramite C(s), poli e zeri in modo da
modificare il luogo delle radici fino a che, per un valore
di k che soddisfa le specifiche statiche, i poli dominanti
del sistema rientrino nella zona consentita (se il
sistema è a poli dominanti!)
4. Si simula il sistema per verificare il soddisfacimento
delle altre specifiche
Sintesi diretta
1. Si definisce una W(s) che rispetti le
specifiche
2. Si determina per via analitica C(s)