ENSAYOS INDUSTRIALES
Dpto. Ingeniería Mecánica y Naval
Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
ESTADO DE TENSIONES Y
DE DEFORMACIONES
Luis A. de Vedia
Hernán Svoboda
Buenos Aires
2002
1-2
Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
1. ESTADO DE TENSIONES Y DE DEFORMACIONES
1.1 Vector tracción y tensión en un punto de un medio
continuo.
Una hipótesis fundamental que adoptaremos es la llamada “hipótesis del
continuo”. Consiste simplemente en ignorar la naturaleza atómica o molecular
de la materia y asumir que la distribución de la masa en el volumen que ocupa
el cuerpo, es una función continua de la posición. En particular, a menos que
se especifique lo contrario, asumiremos también que el cuerpo considerado es
mecánicamente homogéneo e isótropo. Esto significa que las propiedades
mecánicas del cuerpo, P.Ej. la densidad, son constantes en todo el volumen e
independientes de la dirección según la cual se las mida, P.Ej. resistencia a la
tracción.
Para poner en evidencia el estado de tensiones en un punto P de una
porción de medio continuo sometido a cargas arbitrarias, lo seccionamos con
un plano de orientación arbitraria caracterizada por el versor n, que pase por
dicho punto como se muestra en la Fig. 1.1
Fig. 1. 1
Si aislamos una de las partes en que el plano divide al cuerpo, digamos la
porción izquierda, para restituir el equilibrio debemos aplicar sobre la sección
producida una distribución de fuerzas idéntica a la que la porción eliminada, en
este caso la derecha, ejercía sobre la otra. Si ahora consideramos sobre el
plano de la sección un elemento de área δA alrededor del punto P, sobre dicha
área elemental existirá una resultante de fuerza elemental δF. Definimos ahora
al vector tracción actuante en el punto P, asociado al plano de normal n, como
t
(n )
=
δF
δA → 0 δ A
lím
(1. 1)
Ahora bien, aunque en general la dirección del vector tracción no
coincidirá con la de la normal n, es siempre posible elegir un sistema de
coordenadas cartesianas con un eje coincidente con la dirección normal n y los
otros dos ejes contenidos en el plano de la sección, y proyectar el vector δF
Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
1-3
sobre estos ejes. Asumiendo que el eje x de tal sistema coordenado es
corresponde a la dirección normal n, definimos la tensión normal σxx actuando
en el punto P, como
σ xx =
lím δFx
δA → 0 δA
Donde δFx es la componente de δF en la dirección del eje x.
Análogamente, se definen las tensiones tangenciales o tensiones de corte σxy y
σxz respectivamente, como
σ xy
lím δFy
=
δA → 0 δA
y
σ xz =
lím δFz
δA → 0 δA
Obsérvese que el primer subíndice denota la dirección normal al plano
sobre el que actúa la tensión, mientras que el segundo subíndice indica la
dirección en la cual actúa, de modo que resulta
Fig. 1. 2
σ ij = t j
( e$ i )
(1. 2)
1-4
Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
Con la elección de ejes realizada, el plano de orientación arbitraria con
que seccionamos el cuerpo coincide con el plano coordenado yz. Repitiendo el
análisis con los planos coordenados xy y xz, podemos de manera análoga a lo
hecho definir las tensiones normales σyy y σzz, y las tensiones tangenciales σyx,
σyz, σzx, σzy, como se muestra en la Fig. 1.2.
Con respecto al signo, una tensión se considera positiva cuando actuando
sobre una cara cuya normal exterior coincide con la dirección positiva del eje
respectivo, la tensión actúa según la dirección positiva del eje correspondiente.
1.2 Ecuaciones de equilibrio.
Considerando un entorno volumétrico del punto P con forma de
paralelepípedo rectangular como se muestra en la Fig. 1.3,
Fig. 1. 3
Planteando el equilibrio de fuerzas en el mismo y considerando sólo las
tensiones que producen fuerzas con proyección no nula sobre el eje x, resulta
∑F
x
FG
H
F
− Gσ
H
= σ xx +
xx
−
FG
IJ
K
H
F
I
δx J δyδz − G σ
K
H
IJ FG
K H
I
F
δy J δxδz − G σ
H
K
IJ
K
1 ∂σ
I
−
δzJ δxδy = 0
2 ∂σz K
1 ∂σ xx
1 ∂σ yx
1 ∂σ zx
δ z δ xδ y
δx δyδz + σ yx +
δy δxδz + σ zx +
2 ∂x
2 ∂y
2 ∂σz
1 ∂σ xx
2 ∂x
yx
−
1 ∂σ yx
2 ∂y
zx
zx
Simplificando, queda
∂σ xx ∂σ yx ∂σ zx
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
(1. 3)
Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
1-5
y análogamente para las otras direcciones
∂σ xy
∂x
+
∂σ yy
∂y
+
∂ zy
∂z
=0
(1. 4)
∂σ xz ∂σ yz ∂σ zz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
(1. 5)
Consideremos ahora el equilibrio de momentos alrededor de un eje
paralelo a z, que pase por P como lo muestra la Fig. 1.4.
Fig. 1. 4
IJ
K
1 ∂σ yx
1 ∂σ yx
δy
δy
+ σ yx −
δy δxδz
δy δxδz
2 ∂y
2
2 ∂y
2
− σ xy +
1 ∂ σ xy
1 ∂ σ xy
δx
δx
− σ xy +
=0
δx δyδz
δ x δ yδ z
2 ∂x
2
2 ∂x
2
FG
H
IJ
K
FG
H
FG
H
IJ
K
FG
H
ΣM z = σ yx +
IJ
K
Operando y simplificando, resulta
σ yx = σ xy
(1. 6)
Procediendo de igual forma con los otros ejes, queda
σ zy = σ yz
(1. 7)
1-6
Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
Y
σ xz = σ zx
(1. 8)
1.3 Tensiones sobre un plano arbitrario
Consideremos el plano genérico que pase por el punto P definido por la
normal n, cuyos cosenos directores son
l = Cos( x, n$ )
m = Cos( y , n$ )
n = Cos(z, n$ )
Fig. 1. 5
Sobre la sección Ω actuará una fuerza por unidad de área S como
muestra la Fig. 1.5, cuyos componentes según los ejes coordenados, son
c
S ≡ Sx , Sy , Sz
h
Aplicando la condición de equilibrio de fuerzas según la dirección x, será
(suponiendo nulas o despreciables las fuerzas de volumen)
Sx Ω = σ xx ∆x + σ yx ∆y + σ zx ∆z
Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
1-7
Donde ∆x, ∆y, ∆z, son las proyecciones de Ω sobre los planos
cooordenados cuyas normales son x, y, z respectivamente.
De modo que
∆x = Ω l , ∆y = Ω m,
∆z = Ω n
por lo que resulta
Sx = σ xx l + σ yx m + σ zx n
(1. 9)
Procediendo de igual forma para las otras direcciones, queda
Sy = σ xy l + σ yy m + σ zy n
(1. 10)
Sz = σ xz l + σ yz m + σ zy n
(1. 11)
y
El conjunto de 9 cantidades σij constituyen lo que se llama tensor de
tensiones en el punto P.
Dado que Sx, Sy, Sz, no son otra cosa que las componentes del vector
tracción que actúa en P sobre el plano Ω, las (1.9), (1.10) y (1.11) pueden
escribirse como
t j = σ ij ni
(1. 12)
Las (1.12) son las llamadas Ecuaciones de Cauchy.
1.4 Estado de deformaciones.
Consideremos un elemento de volumen en forma de paralelepípedo
rectangular con sus caras coincidentes con los planos coordenados, de aristas
Fig. 1. 6
1-8
Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
dx, dy, dz, como se muestra en la Fig. 1.6.
Si el cuerpo experimenta una deformación donde u, v, w, son las
componentes del desplazamiento que experimenta el punto O, entonces el
desplazamiento en la dirección x de un punto adyacente A situado sobre el eje
x, será
∂u
u+
dx
∂x
donde estamos asumiendo que u, v, w, son pequeñas y varían en forma
continua sobre todo el volumen del cuerpo considerado.
Por lo tanto, el incremento de longitud del elemento OA debido a la
deformación, es
∂u
dx
∂x
de modo que la deformación unitaria o específica en la dirección x, resulta
∂u
∂x
(1. 13)
y para las otras direcciones
∂v
∂y
(1. 14)
y
∂w
∂z
(1. 15)
Consideremos ahora la distorsión angular entre los elementos OA y OB, como
Fig. 1. 7
Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
1-9
lo muestra la Fig. 1.7.
El desplazamiento del punto A en la dirección de y será
v+
∂v
dx
∂x
mientras que el desplazamiento de B en la dirección x, es
u+
∂u
dy
∂y
Debido a estos desplazamientos, la nueva dirección O’A’ del elemento OA
se encuentra girada en un ángulo ∂v/∂x con respecto a la original. Del mismo
modo, el elemento O’B’ se encuentra girado un ángulo ∂u/∂y respecto de OB.
De modo que el ángulo recto original AOB ha disminuido en un valor
γ xy =
∂v ∂u
+
∂x ∂y
que constituye entonces la deformación angular entre los planos xz e yz.
Procediendo de manera análoga con las otras direcciones y empleando el
símbolo εij para las elongaciones específicas, y γij para las deformaciones
angulares, queda
∂u
=
∂x
ε yy
∂v ∂u
+
∂ x ∂y
γ xz =
ε xx
γ xy =
∂v
=
∂y
ε zz =
∂w
∂z
(1. 16)
∂u ∂w
+
∂z ∂ x
γ yz =
∂v ∂w
+
∂z ∂y
o bien, empleando notación de doble subíndice y un único símbolo εij, las (1.16)
pueden escribirse
F
GH
1 ∂ ui ∂ u j
ε ij =
+
2 ∂ x j ∂ xi
I
JK
(1. 17)
1-10 Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
donde εij = γij/2 para i ≠ j. Las εij constituyen las componentes del tensor de
deformaciones específicas o unitarias, que como surge inmediatamente de
(1.17) es un tensor simétrico.
1.5 Ecuaciones de compatibilidad.
Dado que
ε 11 =
ε 12 =
FG
H
∂u1
;
∂x1
IJ
K
ε 22 =
FG
H
∂u 2
;
∂x 2
ε 33 =
∂u 3
∂x 3
IJ
K
ε 13 =
1 ∂ u 1 ∂u 3
+
2 ∂x 3 ∂u 1
1 ∂u 1 ∂u 2
1 ∂u 2 ∂u 3
+
+
; ε 23 =
;
2 ∂x 2 ∂u 1
2 ∂x 3 ∂ x 2
FG
H
Teniendo en cuenta (1.18) y (1.19), podemos escribir
∂ 2ε 11
∂ 3u 1
,
=
2
2
∂x 2
∂x 2 ∂x 1
F
GH
∂ 2ε 22
∂ 3u 2
=
2
2
∂x 1
∂x 1 ∂ x 2
1 ∂ 3u 1
∂ 2ε 12
∂ 3u 2
=
+
∂x1∂x 2 2 ∂x 2 2∂x1 ∂x12∂x 2
I
JK
de manera que resulta
∂ 2ε 11 ∂ 2ε 22
∂ 2ε 12
+
=2
2
2
∂x1∂x 2
∂x 2
∂x 1
(1. 20)
análogamente
∂ 2ε 22 ∂ 2ε 33
∂ 2ε 23
+
=2
2
2
∂ x 2∂ x 3
∂x 3
∂x 2
(1. 21)
(1. 17)
IJ
K
(1.19)
Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
1-11
y
∂ 2ε 33 ∂ 2ε 11
∂ 2ε 13
+
=2
2
2
∂x 3 ∂x 1
∂x 1
∂x 3
(1. 22)
Por otra parte
∂ 2ε 11
∂ 3u1
=
∂x 2∂x 3 ∂x1∂x 2∂x 3
F
GH
∂ 2ε 13
∂ 3u1
∂ 3u 3
1
=
+
∂x1∂x 2 2 ∂x1∂x 2∂x 3 ∂x12∂x 3
(1. 23)
I
JK
F
GH
∂ 2ε 12
∂ 3u1
∂ 3u 2
1
=
+
∂x1∂x 3 2 ∂x1∂x 2∂x 3 ∂x12∂x 3
F
GH
∂ 2ε 23 1 ∂ 3u 2
∂ 3u 3
=
+
2
2
2 ∂x1 ∂x 3 ∂x12∂x 2
∂x 1
(1. 24)
I
JK
(1. 25)
I
JK
(1. 26)
Combinando (1.23),(1.24), (1.25) y (1.26), se obtiene
∂ 2ε 11
∂ 2ε 13
∂ 3u 3
=2
−
=
∂x 2∂x 3
∂x1∂x 2 ∂x12∂x 2
1-12 Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
∂ 2ε 13
∂ 2ε 23
∂ 3u 2
=2
−2
+
=
2
2
∂x1∂x 2
∂x 1
∂x 1 ∂x 3
∂ 2ε 13
∂ 2ε 23
∂ 2ε 12
∂ 3u1
=2
−2
+2
−
=
2
∂x1∂x 2
∂x1∂x 3 ∂x1∂x 2∂x 3
∂x 1
∂ 2ε 13
∂ 2ε 23
∂ 2ε 12
∂ 2ε 11
=2
−2
+2
−
2
x
x
∂x1∂x 2
∂
∂
∂x 2∂x 3
∂x1
1
3
De manera que resulta
∂ 2ε 11
∂ 2ε 13 ∂ 2ε 23 ∂ 2ε 12
=
−
+
2
∂x 2∂x 3 ∂x1∂x 2 ∂x1
∂x1∂x 3
o bien
FG
H
∂ 2ε 11
∂
∂ε
∂ε
∂ε
=
− 23 + 13 + 12
∂ x 2∂ x 3 ∂ x 1
∂x 1
∂x 2 ∂x 3
IJ
K
(1.27)
y análogamente
FG
H
∂ 2ε 22
∂ ∂ε 23 ∂ε 13 ∂ε 12
=
−
+
∂x1∂x 3 ∂x 2 ∂x1
∂x 2 ∂x 3
IJ
K
(1.28)
y
FG
H
∂ 2ε 33
∂ ∂ε 23 ∂ε 13 ∂ε 12
=
−
∂x1∂x 2 ∂x 3 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3
IJ
K
(1.29)
Ensayos Industriales
Estado de tensiones y de deformaciones
1-13
Las (1.20), (1.21), (1.22), (1.27), (1.28) y (1.29) constituyen las llamadas
“Ecuaciones de Compatibilidad”. Desde el punto de vista matemático, las
ecuaciones de compatibilidad garantizan que el campo de deformaciones es
continuo y univaluado. Desde el punto de vista físico, lo que nos dicen es que
las deformaciones del continuo se desarrollan de manera que en el material no
se forman solapes, huecos ni fisuras.