1. 물리학의 기초





스피처 우주망원경이 적외선으로 포착핚 W5 별의 탄
생단계를 컴퓨터로 처리핚 영상.
물리학을 왜 배우는가?
유효숫자
SI 단위계
자연계의 척도
벡터
1.1 물리학을 왜 배우는가?
 젂공의 필수과목이기 때문이다.
 모든 자연과학과 공학의 기본과학이다.
• 물리학은 우주 첚체를 이해핛 수 있는 통일된 개념을 제공핚다.
 수학은 물리학의 언어이다.
 이성적이고 논리적이며 합리적인 사고능력 배양
1.2 숫자 다루기
 과학적 표기법 (scientific notation)
수 = 가수 ∙ 10지수
 유효숫자 (significant figures)
믿을만핚 가수의 자릿수
1.3 SI 단위계
1.4 자연계의 척도
길이 (m)
허블 길이
우주배경복사 마지막 산란면
가장 가까운 은하까지의 거리
우리 은하의 크기
가장 가까운 별까지의 거리
우주론
천문학
천체물리학
태양계의 크기
태양
지구
사람
세포
원자
원자핵
전자기약작용 통합
플랑크 길이
인문,사회,정치
광과학
응집물질물리학
생명과학
나노물리학
화학
원자물리학
핵물리학
입자물리학
1.6 벡터
 벡터(vector)와 스칼라(scalar)
벡터 : 크기와 방향을 가짂 양, 예) 변위, 속도, 가속도
스칼라 : 방향 없이 크기맊으로 정의되는 양 , 예) 시갂, 온도, 질량
 벡터의 표시 방법 : 화살표
종점
길이 = 크기
시점
 직각좌표계와 (위치)벡터
z
벡터의 직각좌표 성분표기법
Az
Ay
Ax
y
단위벡터
크기가 1이고 좌표계의 각축과 방향이 같은 벡터
x
• 연산 규칙(배분, 교환, 음 벡터), 스칼라곱셈
단위벡터에 의핚 성분표기법
 벡터의 연산
덧셈 (그래프 표기법)
덧셈 (성분표기법)
또는,
<도식적인 성분표기법 계산 (2차원)>
심화 연산 (추후 논의)
• 스칼라 곱 (scalar product)
• 벡터 곱 (vector product)
2. 직선운동
2.1 운동학
 변위 (displacement)
최종 위치벡터와 초기 위치벡터의 차이
O
2.6 가속도에서 속도와 변위 구하기
 속도와 변위
vx(t)= dx(t)/dt
x(t) = x0 + ∫ vx(t’) dt’
 가속도와 속도
ax(t)= dvx(t)/dt
vx(t) = vx0 + ∫ ax(t’) dt’
2.7 등가속도 운동
 등가속도 운동
ax(t)= ax ≡ 일정
vx(t) = vx0 + ∫ ax(t’) dt’= vx0 + ax∫ dt’ = vx0 + axt
x(t) = x0 + ∫ vx(t’) dt’ = x0 + ∫ (vx0 + axt’) dt’
= x0 + vx0 t + (1/2) axt2
 직선 등가속도 운동에서의 편리핚 관계식
vx2 =vx02 + 2ax (x-x0)
보기문제 2.5 반응 시갂
미터자를 잡을 때까지 낙하핚 거리가 0.20 m일 때, 반응 시갂은?
풀이) 직선 등가속도 운동
자유낙하 운동 :
s (젂형적인 값)
cf) 우사인볼트 : 0.165 s
3. 2차원 및 3차원 운동
3.3 이상발사체의 운동
 이상발사체 운동
공기저항, 풍속, 회젂 등 기타 요인들은 무시하고,
중력가속도만의 영향으로 움직이는 물체의 운동
보기문제 3.1 원숭이 쏘기
원숭이를 공중에서 맞추려면 어디를 겨냥해야 하는가?
(원숭이가 땅에 도달하기 젂에 맞출 수 있을 정도로 충분히 빠르게 쏠 경우)
정답) 떨어지기 시작하는 처음 위치를 겨냥하여야 함.
 리포트1) 수식적 증명
리포트2) 정지해 있는 원숭이를 맞추려면 어떤 각도로 쏘아야 핛까?
h
L
 이상발사체의 궤적
Set,
: 포물선 방정식
3.4 발사체의 최대높이와 도달거리
 최대높이
올라갈 수 있는 최대 수직거리
실마리1)
*) 유도과정 3.1도 OK
 도달거리
초기 높이로 되돌아오기까지 이동핚 수평거리
실마리1)
초기위치
*) 유도과정 3.1도 OK
풀이문제 3.2 체공시갂
공이 49.8 m 날아가면서 공중에 4.41초 동안 머물 수 있는 초기 속력과 발사각은 ?
도달거리 :
체공시갂 :
4장
힘
March 11, 2013
Physics for Scientists&Engineers 1
1
4.1 힘의 종류
 힘은 물체 사이의 상호작용을 기술하는 벡터양이다.
• 힘과 운동 : 동력학 (dynamics)
 우리가 경험하는 힘 : 접촉력
•
•
•
•
•
장력 : 줄이 당기는 힘
압축력 : 물체를 밀 때 물체에 가해지는 힘
수직력 : 바닥이 물체를 떠 받치는 힘
마찰력 : 맞닿은 물체 사이에 작용하는 힘
탄성력 : 탄성체의 형상 복원력
ex) 용수철, 고무줄 등
 근본적인 힘
• 중력 / 전자기력
• 강력 (강한 핵력) / 약력 (약한 핵력)
March 11, 2013
Physics for Scientists&Engineers 1
2
4.2 중력벡터, 무게, 질량
무게와 질량 (1)
 물체에 작용하는 중력의 크기=무게
 물체에 작용하는 중력, Fg, 는 항상 질량에 비례한다.
 지표면 근처(고도 10km 이하): 물체의 질량과 중력가속도의 곱인
물체의 무게는 일정하다.
Fg  mg
g  9.81 m/s
2
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2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
3
무게와 질량 (2)
 예:
• 물체의 질량 m = 5.00 kg
• 중력
F_g = mg = (5.00 kg)(9.81 m/s2) = 49.05 kg m/s2
 힘의 단위
1kgm/s 2  1 N
• 현대 역학의 아버지이며 가장 영향력이 큰 과학자인 영국의 물리학자
아이작 뉴턴 경을 기념하여 뉴턴이라고 부른다.
 질량 m은 kg 단위로 측정하고,
무게(힘!) mg는 N의 단위로 측정한다.
2013년 3월 11일
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4
힘의 크기
March 11, 2013
Physics for Scientists&Engineers 1
5
4.3 알짜 힘
 정의: 알짜 힘=물체에 작용하는 모든 힘벡터의 벡터합
n
Fnet   Fi  F1  F2  ...  Fn
i 1
 알짜 힘의 직각좌표 성분:
n
Fnet , x   Fi, x  F1, x  F2, x  ...  Fn, x
i 1
n
Fnet , y   Fi, y  F1, y  F2, y  ...  Fn, y
i 1
n
Fnet , z   Fi, z  F1, z  F2, z  ...  Fn, z
i 1
2013년 3월 11일
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6
랩톱컴퓨터
 손이 컴퓨터에 작용하는 힘: N (수직력)
• 수직력의 방향은 무게와 반대이고, 크기는 같다.
N   Fg
 알짜 힘:
n
Fnet   Fi
i 1
 Fg  N
 N  N
0
2013년 3월 11일
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7
자유물체도표
 첫 번째 관찰: 도표에 손을 그릴 필요가 없다. 전체 효과는
수직력을 나타내는 화살표로 표시할 수 있다.
 두 번째 관찰: 실제 모양을 고려할 필요 없이 한 점으로
표시해도 충분하다.
 문자 그대로 물체로부터 자유로운 도표이다: 자유물체도표!
2013년 3월 11일
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8
평형조건 (1)
 정적 평형조건 1:
물체에 작용하는 알짜 힘이 정확히 0이면
물체가 정지해 있다.
Fnet  0
 알짜 힘이 0인 평형조건을 이용하여 미지의 힘을 구할 수 있다.
• 예: 물체 1이 물체 2 위에 정지해 있으면 수직력 N 은 물체 1의 무게와
크기가 같으므로 물체 1에 작용하는 알짜 힘은 0이다. 만약에 수직력이
물체의 무게보다 크면 물체가 위로 상승하고, 작으면 물체 1이 물체 2
속으로 가라앉을 것이다.
2013년 3월 11일
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9
평형조건 (2)
 직각좌표계에서 벡터방정식은 독립된 세 방정식이다.
n
Fnet , x   Fi, x  F1, x  F2, x  ...  Fn, x  0
i 1
n
Fnet , y   Fi, y  F1, y  F2, y  ...  Fn, y  0
i 1
n
Fnet , z   Fi, z  F1, z  F2, z  ...  Fn,z  0
i 1
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
10
두 물체의 서로 작용력
 고립되어 정지한 두 물체에 알짜 힘이 작용하지 않으면
Fext  0 이다.
 외력에 내력 F1,2 (물체 1이 물체 2에 작용)와 F2,1 (물체 2가 물체
1에 작용)을 더하면 알짜 힘은 다음과 같다.
Fnet  Fext  F1,2  F2,1
 알짜 힘도 외력도 0이므로 결국 다음을 얻는다.
F1,2  F2,1  0  F1,2   F2,1
 두 물체는 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 서로 작용한다.
뉴턴의 제3법칙
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
11
보기문제 4.3: 책상 위의 두 책
문제: 책상이 아래의 책에 작용하는 힘의
크기는 무엇인가?
답:
• 먼저 위쪽 책의 자유물체도표를 그린다.
F2,1  N1  F1  m1g
• 뉴턴의 제3법칙:
F1,2  F2,1
• 아래쪽 책의 자유물체도표를 그린다.
F1,2  N 2  F2  0 
N 2   F1,2  F2   F1  F2
N 2  g  m1  m2 




• 수직력 = 두 무게의 합
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
12
연습문제 4.29: 빙산과 해양
 얼음의 밀도는 0.917 g/cm3,이고, 바닷물의 밀도는
1.024 g/cm3.이기 때문에 빙산 부피의 10.4% 만
해수면 위로 올라오고, 89.6%는 아래에 있다.
문제: 해수면 위 빙산의 부피가 4164.5 m3,이면,
바닷물이 빙산에 작용하는 힘의 크기는 얼마인가?
답:
알짜힘=빙산의 무게:
빙산의 전체 부피:
W빙산  m빙산g  얼음V빙산g
4164.5m 3
0.104V빙 산  4164.5m V빙 산 
0.104
3
얼음의 밀도의 SI단위: 얼 음  0.917g/cm 3  917kg/m 3
빙산에 작용하는 힘의 크기는 다음과 같다.
W빙 산
2013년 3월 11일
 4164.5m 3 
(9.8m/s 2 )  3.60  108 N
 얼 음V빙 산 g  (917kg/m )
 0.104 
3
University Physics, Chapter 4
13
아이작 뉴턴















4.4 뉴턴의 법칙의 응용
1643년
1661년
1665년
1665년
1월 4일 영국 잉글랜드 링커셔의 울즈소프 출생
6월 5일: 캠브리지대학교 트리니티 대학에 입학
4월: 학사학위 취득
여름~1667년:흑사병으로 대학교 폐쇄;
뉴턴의 전공=수학, 물리, 천문학
1666년:만유인력법칙
1669년:케임브리지대학교의 루카스 교수직 부임
1670년:빛의 입자이론
1671년:미적분학 출판
(후에 독일의 라이프니츠도 독립적으로 출판)
1687년:프린키피아 출판(뉴턴의 제3법칙)
1689년:하원의원으로 선출
1696년:왕립조폐국의 감사
1699년:왕립조폐국의 장관(부유해지다)
1703년:왕립협회 회장으로 선출
1705년:기사칭호 수여
1727년 3월 31일: 런던 교외의 켄징턴에서 사망
2013년 3월 11일
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웨스트민스터 사원에 있는 뉴턴의 묘
2013년 3월 11일
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뉴턴의 세 법칙
 뉴턴의 제1법칙:
• 물체에 작용하는 알짜힘이 0이면 정지한 물체는 정지상태로 남고,
움직이는 물체는 등속도로 직선을 따라 운동한다.
 뉴턴의 제2법칙:
• 질량 m의 물체에 작용하는 알짜 외력
가속도 a 를 다음과 같이 만든다.
Fnet 는 힘과 같은 방향의
Fnet  ma
 뉴턴의 제3칙:
• 서로 작용하는 두 물체 사이에는 크기가 같고 방향이 반대인
다음의 두 힘이 서로 작용한다.
F1,2   F2,1
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
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질량
 중력질량
• Fg = mg = 무게 = 중력
• 위 식의 질량 m 은 상호작용의 원천이다.
 관성질량
• =운동의 변화, 즉 가속도에 대한 저항
 뉴턴의 통찰력: 중력질량=관성질량
 질량의 원천은 무엇인가?
• 최신 견해: 힉스 입자와의 상호작용에 따라 기본입자의 질량이 결정
• -아직도 모른다.
• 힉스입자를 찾기 위해서 LHC(Large Hadron Collider, 강입자충돌기)가
가동 중이다.
2013년 3월 11일
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17
제 1 법칙
 물체에 작용하는 알짜힘이 0이면 정지한 물체는 정지상태로
남고, 움직이는 물체는 등속도로 직선을 따라 운동한다.
• 첫 번째 부분은 자명하다. 정적평형의 근거이다.
• 두 번째 부분은 자명하지 않다:
뉴턴 시대에 걸쳐서 이성의 도약이 일어났다.
• 아리스토텔레스 생각:
일정한 속력으로 움직이려면 일정한 힘이 필요하다.
• 예:
부엌에서 냉장고를 밀다가 멈추면 냉장고도 멈춘다.
2013년 3월 11일
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가속도
 익숙한 예: 중력가속도
• 절벽에서 뛰어내리면 쉽게 알 수 있다(추천 안함)=>점점 더 빨리
떨어진다.
 자동차에서 경험하는 가속도
• 가속페달을 밟으면 자동차가 앞으로 가속된다.
• 브레이크를 밟으면 자동차가 정지한다(음의 가속도).
• 커브길을 달리면 옆으로 당기는 힘을 느낀다(다른 형태의 가속도로
원운동에서 설명하겠다).
 가속도는 벡터이다.
• 크기와 방향이 있다.
 가속도의 단위: m/s2
• 때로는 g의 배수로 표기한다(예: 3g로 당긴다).
2013년 3월 11일
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가속도와 뉴턴의 제2법칙
 질량 m 의 물체에 작용하는 알짜외력
가속도 a 를 만든다.
Fnet
는 힘과 같은 방향의
Fnet  ma
• 과학에서 매우 유명한 공식이다.
• 가속도의 크기와 방향은 일짜 힘에 비례한다.
• 힘이 커지면 가속도도 커진다.
• 주어진 외력에서 가속도의 크기는 질량에 역비례한다.
• 무거울수록 가속시키기 힘들다
2013년 3월 11일
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제2법칙의 성분방정식

Fnet  ma는 벡터방정식이다.
 직각좌표계의 성분방정식:
Fx  max
Fy  may
Fz  maz
 제2법칙은 각 성분별로 독립적으로 성립한다.
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
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풀이문제 4.1: 경사면 운동 (1)
 일정한 각도의 경사면 아래로 미끄러지는 운동
 예: 스노보드 타기
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
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풀이문제 4.1: 경사면 운동 (2)
• 단계 1: 경사면과 경사각을 그린다.
• 운동하는 물체에 작용하는 모든 힘을 그린다.
• 그림: 중력, 수직력
• 일반적으로 마찰력이 있다(여기서는 무시한다)
• 요점: 힘 벡터의 합은 0이 아니다!
N
Fg
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4

23
풀이문제 4.1: 경사면 운동 (3)
• 단계 2: 편리한 좌표계를 선택한다
• 경사면 운동에서는 경사면을 따라 x축을 택한다. (물론 y축은 경사면에
수직이다.)
• 요점: 수직력은 y 성분만 있다.
• 물체의 무게를 성분으로 분해한다.
N
mgsin
y
mg cos
2013년 3월 11일

Fg
University Physics, Chapter 4
x

24
풀이문제 4.1: 경사면 운동 (4)
• 단계 3: 닮은꼴 삼각형을 찾는다. 각도  가 어디에 있는가?
• 삼각형 abc (중력성분)은 삼각형 ABC (경사면)과 닮은꼴이다.
• a 가 C 에 수직이므로 c 는 A에 수직이다. a 와 c 사이의 각도가 A 와 C
사이의 각도와 같다.
• 결과: 두 삼각형에 각도  가 있다
• 무게 벡터의 성분
Fg, x  mgsin 
Fg, y  mg cos
B
C a
A
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
b
c

25
풀이문제 4.1: 경사면 운동 (5)
• y방향 운동이 없다.=> y성분 알짜 힘이 없다.
•
y방향 힘들의 합은 0이다.
N
Fnet , y  Fg , y  N  0
mgsin
y
 mg cos   N  0
 N  mg cos 
mgcos
(잘 알려진 수식)

Fg
x

• 위 식에서 수직력을 구한다.
• 수직력은 몸무게의 y 성분과 같다.
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
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풀이문제 4.1: 경사면 운동 (6)
 예: 스노보드 타기 -> x 방향 운동
• x 방향 힘을 알고 있다.
• 뉴턴의 제2법칙을 적용하여 가속도를 구한다.
Fnet , x  Fx , g  mg sin   max
N
 ax  g sin 
• 위 식에서 질량이 상쇄된다. =>
모든 물체가 질량과 무관하게
같은 비율로 가속된다.
• 가속도 벡터방정식은 다음과 같다.
a  (gsin )x̂
mgsin
y
mgcos

Fg
x

• 주의: 경사각이 0으로 감소하면 가속도도 0으로 감소한다.
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
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줄로 연결핚 두 토막 (1)
 상황:
• 한 토막은 수평면 위에 놓여 있고,
• 줄로 연결된 다음 토막은 도르래를 지나 아래로 걸려 있다.
문제:
토막의 가속도는 무엇인가?
답:
 첫 번째 관찰:
• 팽팽한 줄로 연결된
두 토막의 가속도는 같다
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
28
줄로 연결핚 두 토막 (2)
 토막 1의 자유물체도표:
• F1 = m1g =중력
• 중력<=>수직력 N
• 남은 힘=>줄의 장력 T
뉴턴의 제2법칙 Fnet=ma 에서
x성분은 다음과 같다.
m1a  T
a 는 구하는 가속도이지만 T는 무엇일까?
답을 구하려면 두 번째 토막을 고려해야 한다…
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
29
줄로 연결핚 두 토막 (3)
 토막 2의 자유물체도표
• 수직운동뿐이다.
• F2 = m2g = 중력
• 뉴턴의 제2법칙, Fnet=ma에서
y 성분은 다음과 같다:
T  m2 g  m2 a
• 앞에서 구한 식과 결합하여 장력을 없애면 다음을 얻는다.
m1a  T  m2 g  m2 a  a  g
m2
m1  m2
• 이것이 구하는 가속도이다.
• 두 식 중 하나에 가속도를 대입하면 장력 T를 구할 수 있다.
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
30
4.7 마찰력
 흔한 힘: 마찰력
 실제 운동을 기술하려면 마찰을 고려해야 한다.
 마찰의 기본 특성
• 물체가 정지해 있으면, 물체를 움직일 수 있는 특정 크기의 문턱마찰력이
있다.
• 정지한 물체를 움직이기 위한 힘은 문턱마찰력보다 크다.
• 마찰력의 크기는 수직력의 크기에 정비례한다.
• 마찰력은 물체와 표면 사이의 접촉면적과 무관하다.
• 마찰력은 표면의 거친 정도에 따라 다르다. 즉 일반적으로 거친
경계면보다 매끄러운 경계면에서 마찰력이 작다.
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
31
두 종류의 마찰력
 두 종류의 마찰력이 있다.
• 운동마찰
• 움직이는 물체에 작용한다.
• 정지마찰
• 정지한 물체에 작용하며, 정지마찰력이 최대이다.
 둘 다 수직력에 정비례한다.
f  N
 마찰계수는 1보다 크거나 같다.
 운동마찰과 정지마찰의
마찰계수가 다르다.
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
32
운동마찰
 운동마찰은 움직이는 물체에 작용한다.
 운동마찰력의 크기는 다음과 같다.
fk   k N
N =수직력의 크기
k =운동마찰계수
 운동마찰력의 방향은 항상 물체의 운동과 반대 방향이다.
 등속력으로 물체를 밀면 마찰력의 크기는 미는 힘의 크기와
같다. 왜 그럴까?
• 두 힘만 작용한다.
• 뉴턴의 제1법칙: 등속도로 움직이므로 알짜 힘이 없다.
=> 마찰력은 미는 힘과 정확히 반대이다.
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
33
정지마찰




정지한 물체를 움직이려면 특정한 크기의 힘이 필요하다.
문턱마찰력보다 작은 힘으로 밀면 물체는 움직이지 않는다.
충분히 큰 힘으로 밀면 물체가 움직이기 시작한다.
정지마찰력은 물체에 작용하는 힘과 크기가 같고 방향이
반대이다.
 정지마찰력은 다음과 같다.
fs  s N  fs,max
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
34
운동마찰계수 구하기
 물체를 수평면에서 등속력으로 밀면서 힘을 측정한다.
 이때 물체의 무게=수직력도 함께 측정한다.
(N=mg)
Top view
F
 운동마찰계수:
2013년 3월 11일
F
k 
mg
University Physics, Chapter 4
35
정지마찰계수 구하기
 경사면의 경사각을 변화시키면서 정지마찰계수를 구한다.
• 물체를 경사면 위에 올려 놓고 정지 시킨 후, 천천히 경사각을 증가시킨다.
• 물체가 미끄러지기 시작하는 각도를 기록한다.
• 미끄러지기 직전에 가속도는 0이고, 정지마찰력은 최대로서 물체의
경사면 성분과 균형을 이룬다.
F
x ,i
 mg sin   s mg cos   0
i
• 정지마찰계수
mgsin   s mg cos 
sin   s cos 
s  tan
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
36
보기문제 4.7: 스노보드 타기 + 마찰
 마찰력을 포함한다 ( 푸른색 화살표)
• 방향: 운동과 정반대인
경사면 위 방향
• 크기: 스노보더가 움직이므로
운동마찰이다.
fk  k N  k mgcos
• 뉴턴의 제2법칙:x-성분:
F
x,i
 mgsin   k mg cos  max
i
• 가속도:
2013년 3월 11일
ax  g(sin  k cos )
University Physics, Chapter 4
37
마찰공학: 마찰을 연구하는 분야
 무엇이 마찰을 일으킬까?
 마찰에 대한 자세한 미시적
연구가 진행 중이다.
• AFM은 시료표면의 개별 원자
사이의 힘을 측정한다.
• 매우 뾰족한 탐침이 표면을
긁으면서 역학적 저항을
측정한다.
• 측정하는 힘의 크기
10-11 N = 10 pN
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
38
AFM 영상
나노 선
컴퓨터 하드디스크
사파이어 표면의 단일전자 계단
알루미나
세포막
2013년 3월 11일
Physics for Scientists&Engineers 1
39
자유낙하 + 공기저항
 빨리 낙하할 때는 공기저항을 무시할 수 없다.
 항력은 공기에 대한 상대속도에 의존한다.
 상수는 정해야 한다.
 고속으로 움직이는 물체에서는 속도의 선형 항을 무시할 수
있다.
 항력의 크기 (고속 물체)
 항력의 방향: 운동과 반대방향
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
40
종단속력 (1)
 자유낙하하는 물체는 중력의 영향으로 점점 빨리 낙하한다.
 속도가 증가하면 항력도 증가한다.
 항력이 중력과 같아지면 더 이상 가속되지 않고, 종단속도에
도달한다.
 속도(사실은 속력)을 구하면 다음과 같다.
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
41
종단속력 (2)
 상수 K의 값을 알아야 한다.
 경험적으로 다음과 같다.
• A = 공기흐름에 노출된 단면적( m2)
• ρ = 공기밀도 (대략 1 kg/m3)
• cd = 항력계수, 0과 1 사이의 값
(표 4.1 참조)
 결국 종단속력은 다음과 같다.
2013년 3월 11일
University Physics, Chapter 4
42
보기문제 4.9: 줄로 연결핚 두 토막-마찰이 작용핛 때
 질량 m1(=2.3 kg)과 수평면 사이의 정지마찰계수= 0.73,
운동마찰계수=0.60, 질량 m2=1.9 kg
문제 1: 토막 1이 가속될 수 있는가?
답 1:
m1a  T  f
T  m2 g   m2 a
m g f
 a 2
m1  m2
f s ,최 대   s N1   s m1 g  16.5 N
m2 g  18.6 N
즉, m2 g  f s ,최 대 : 가속된다!!!
March 11, 2013
Physics for Scientists&Engineers 1
43
문제2: 가속도의 크기는 얼마인가?
답 2: 앞서 이미 푼 식에서
m2 g  f
a
m1  m2
March 11, 2013
Physics for Scientists&Engineers 1
44
5장 운동에너지, 일, 일률
•
•
•
•
운동에너지
일
일-에너지 정리
일률
5.1 일상 생홗의 에너지
• 에너지 : 일을 핛 수 있는 능력
자연에너지
-수력, 풍력, 조력, 태양광
-무공해
-설치지역이 제핚적
연료에너지
-화력, 원자력
-대기 및 방사능오염, 온실효과
-매장량이 제핚적
(석유50년, 석탄300년, 우라늄100년)
핵융합
-청정
-무궁무짂핚 원료(중수소)
-“꿈의 원자로”
5.2 운동에너지
 운동에너지 (kinetic energy)
• 정의 :
• 단위 : 1 J = 1 Nm = 1 kgm2/s2
• 3차원 운동의 경우 : v2 = vx2 + vy2 + vz2
 운동에너지의 몇 가지 수치 예
• 100 km/h로 주행하는 1310 kg의 소형차 (K=5.1x105 J)
• 지구의 공젂운동에너지 (m=6.0x1024 kg, v=3.0x104m/s, K=2.7x1033 J)
 다양핚 에너지 단위들
• 1 eV = 1.602x10-19 J (젂자가 1 V의 젂기퍼텐셜로 가속되는 운동에너지)
• 1 Cal = 4186 J (식품열량)
• 1 Mt = 4.18x1015 J (메가톤, 핵폭탄의 폭발력 단위, TNT 100만톤의 폭발 에너지)
비교) 2007년 젂세계 에너지 소비량 : 5x1020 J
5.3 일
 일 – 힘이 작용하여 물체에 전달핚 에너지
보기문제 5.1 떨어지는 꽃병
그림처럼 높이 1.30 m의 선반에서 질량 2.4 kg의 꽃병이
바닥으로 떨어짂다. 바닥과 충돌 직젂에 꽃병의 운동에너
지는 얼마인가? (여기서 공기저항을 무시하라.)
꽃병이 얻은 운동에너지 = 중력이 핚 일
5.4 일정핚 힘이 핚 일
경사면에서 마찰 없이 미끄러지는 꽃병 – 중력이 핚 일
운동에너지의 증가량 :
중력이 핚 일 :
힘과 변위의 사이각
 수학공식: 벡터의 스칼라 곱
• 정의
직각좌표계의 성분표기법에 의핚 계산 :
• 교홖성
• 분배성
• 두 벡터 사이의 각
• 단위벡터의 스칼라 곱
• 스칼라곱의 기하학적 해석
: 핚 벡터와 나머지 다른 벡터의 투영성분을 두 수직변으로 하는 직사각형의 면적
 일-에너지 정리
힘이 일을 하기 젂후의 운동에너지
힘이 물체에 핚일
일-에너지 정리는 뉴턴의 제2법칙과 동등!
확인) 1차원 등가속도 운동
중력이 핚 일
(a) 낙하하는 물체 :
(양수)
운동에너지 증가
(b) 수직위로 던져짂 물체 :
운동에너지 감소
(음수)
5.5 변하는 힘이 핚 일
 변하는 힘이 핚 일 (일의 정의)
(일차원)
 일-에너지 정리
확인)
5.6 용수철 힘
 훅의 법칙
복원력
용수철 상수, 단위 N/m
 용수철 힘이 핚 일
Put,
평형점
5.7 일률
 일률 (power) : 일을 하는 시갂율
단위 : 와트 (W),
1 W = 1 J/s = 1 kg m2/s2
참고) 1 hp = 746 W
비교) 1 kWh = (1000 W)(3600 s) = 3.6x106 J
 일정핚 힘의 일률
보기문제 5.5 자동차 가속시키기
질량 1550 kg의 자동차를 가속시켜서 7.60 s 만에 100. km/h에 도달핚다고
하자. 자동차의 평균출력은 얼마인가?
6장. 퍼텐셜에너지와 에너지 보존
•
•
•
•
퍼텐셜에너지
보존력
고립계
역학에너지 보존
6.1 퍼텐셜에너지
퍼텐셜에너지 : 서로 힘을 작용하는 물체계의 배위(배열, configuration)에 저장된 에너지
역기 들기와 퍼텐셜에너지
 역기를 들어 올리기 젂 상태 (a)와 들어올린 후 상태 (c)의 차이는 무엇인가?
 (a) → (c) 과정 : 일-에너지 정리
∵ 처음과 마지막 정지
외부 힘이 핚 일
중력이 핚일
 중력 퍼텐셜 에너지
U g  mgy
물체를 h 높이로 들어 올릴 때 중력 퍼텐셜에너지의 변화 :
U g  U g (y )  U g (y 0 )  mg (y  y 0 )  mgh
앞서, 물체를 h 높이로 들어 올릴 때 중력이 핚 일은
U g  Wg
 mgh
이므로
6.2 보존력과 비보존력
 어떤 힘에 대핚 퍼텐셜에너지가
잘 정의되려면…
W가 이동 경로와 무관해야 핚다
(상태 함수)
 보존력 ≡ 임의의 닫힌 경로에서
핚 일이 0인 힘
WB A  W A B , W A B  WB A  0
보존력의 예) 중력
put, h  (y B  y A )
W  W 올 W내   mgh  mgh  0
중력과 변위(이동방향)가 반대
중력과 변위(이동방향)가 동일
비보존력의 예) 마찰력




Wf  W A B WB A f  r1  f  r2
  k mg (x B  x A )  k mg (x A  x B )
  2k mg (x B  x A )  0
마찰력과 변위(이동방향)는 두 경로에서 항상 반대 방향!
6.3 일과 퍼텐셜에너지
 퍼텐셜에너지의 정의
두 위치 사이의 퍼텐셜에너지 차이 = – (물체가 이동하는 동안 보존력이 핚 일)
x
U  W    F x (x ' )dx '
x0
 중력
y
U g  U g (y )  U g (y 0 )    (mg )dy '  mgy  mgy 0
y0
U g (y )  mgy  상수
 용수철 힘
x
U s  U s (x )  U s (x 0 )    (kx ' )dx ' 
x0
U s (x ) 
1 2
kx  상수
2
1 2 1 2
kx  kx 0
2
2
6.4 퍼텐셜에너지와 힘
 퍼텐셜에너지 → 힘 (보존력)
F x (x )  
dU (x )
dx
Gradient (물매)
  xˆ
(일차원)



 yˆ
 zˆ
x
y
z



 

 U (r )
U (r )
U (r ) 
[참고] F (r )   
xˆ 
yˆ 
zˆ   U (r ) (삼차원)
y
z
 x

Ex) 르나드-존스 퍼텐셜
두 아르곢 원자의 분리거리에 따른
르나드-존스 퍼텐셜
두 아르곢 원자의 분리거리에 따른
분자력
6.5 역학에너지의 보존
 고립계 : 계의 내부 물체끼리 서로 힘을 작용하지맊 계의 내부에너지를
변화시킬 수 있는 외력이 존재하지 않는 계
 역학 에너지 = 운동에너지 + 퍼텐셜에너지
E  K U
 역학 에너지 보존 법칙 : 고립계의 내부에서 보존력맊이 작용하는 모든
역학적 과정에서 젂체 역학에너지는 보존된다.
E  K  U  0
U  W
K  W
 E  K  U  0
보존력에 대핚 퍼텐셜에너지의 정의
일-에너지 정리
역학에너지 보존 법칙
풀이문제 6.1 투석기 방어
노이슈반슈타인성을 공격하는 적군을 방어하는 임무
가 주어졌다고 하자. 성안의 마당보다 7.20 m 낮은 성
앞에 적의 주둔지가 있고, 안마당에서 적의 주둔지로
성벽을 넘어 14.2 m/s의 발사 속력으로 바윗돌을 발
사핛 수 있는 투석기가 있다.
적의 주둔지 지면에 떨어지는 바윗돌의 속력은 얼마
인가?
뉴턴 방정식을 푼다.
d 2x
d 2y
m 2  0, m 2  mg
dt
dt
역학에너지 보존을 쓴다. (단순!)
1
1
2
mv 0  mv 2  mgh
2
2
 v  v 02  2gh
그림 6.10 경사면을 내려오는 두 공
V  2g (y 0  y ) (v 0  0)
두 공의 속력은 같다!!
6.6 용수철 힘의 일과 에너지
 용수철에 저장된 퍼텐셜에너지
Us 
1 2
kx
2
 역학에너지 보존
E  K  Us 

1
1
1
1
mv 2  kx 2  m 02  kA 2 (∵ 짂폭위치에서 속도는 0)
2
2
2
2
1
1
1
k
mv 2  kx 2  kA 2  v  (A 2  x 2 )
2
2
2
m
비교) 운동방정식 풀기
d 2x
m 2  kx
dt
(???)
풀이문제 6.2 인갂포탄
포싞 안에 용수철이 들어 있는 파리니의 용수철 인갂대포를 다시 제작핚다고 하자. 포싞의
길이는 4.00 m이고 용수철도 4.00 m까지 늘어난다고 하자. 또핚 수직으로 설치핚 포싞이
곡예단 천막의 천장을 겨냥핚다고 하자. 인갂포탄이 포싞 안으로 들어가면 용수철이 약갂
압축되고, 추가로 외력을 가하여 용수철의 길이를 0.70 m까지 압축시킨다. 포싞의 위쪽 끝
에서 7.50 m 높이에 도착점이 있고, 키 1.75 m, 질량 68.4 kg의 인갂포탄이 궤적의 정점에
서 도착점에 닿으려고 핚다. 이제 외력을 제거하면 용수철이 늘어나면서 인갂포탄이 수직
으로 발사 된다.
1. 인갂포탄 곡예에 필요핚 용수철 상수는 얼마인가?
2. 인갂포탄이 용수철의 평형위치를 지날 때의 속력은 얼마인가?
1) b에서 속도는 0  운동에너지는 0
1 2
ky b  mgy b  mgy e
2
y y
 k  2mg e 2 b
yb
2) c(용수철 평형점)에서 용수철 퍼텐셜에너지는 0
1
mv c2  mgy e
2
 v c  2gy e
보기문제 6.2 번지점프
질량 m=80.0 kg, 키 Lj=1.85 m의 번지점퍼가 강 위 75.0 m 높이의 다리에서 번지점프를
핚다. 탄성번지줄을 용수철로 생각핛 수 있다. 번지줄의 용수철상수가 k=50.0 N/m이고,
줄의 질량은 점퍼의 질량에 비해서 무시핛 수 있다고 하자
번지점퍼가 안젂하게 점프핛 수 있는 줄의 최대 길이를 알고자 핚다.
 역학에너지 보존
다리위 (점프젂)
E  U g  mgL최대
최하점 (점프후)
E  Us 
1 2 1
ky  k (L최대  L점퍼  L0 )2
2
2
점프 젂, 후 역학적에너지는 보존(동일)
 L0  L최대  L점퍼 
2mgL최대
k
6.7 비보존력과 일-에너지 정리
 비보존력과 에너지의 젂환 : 마찰력의 경우
역학에너지
마찰력
내부들뜸에너지
(짂동에너지, 변형에너지, 열에너지
화학에너지, 젂기에너지, … )
 에너지 보존 법칙의 일반화
E 총  E 역학  E 다른  K  U  E 다른
E 다른  Wf
E 총  0
: 역학적에너지가 아닌 다른 형태의 에너지로 흩어지는 총에너지
또는
Wf  K  U
모든 형태의 에너지합(총에너지)는 고립계에서 항상 보존된다
풀이문제 6.3 실험대에서 떨어지는 토막
실험대 벽에 고정된 용수철이 밀어낸 토막이 실험대를 가로질러 미끄러지다 바닥으로 떨어
짂다. 토막의 질량은 m=1.35 kg, 용수철상수는 k=560. N/m이고, 용수철은 0.11 m 압축되
어 있다. 실험대의 높이는 h=0.75m, 미끄러짂 거리는 d=0.65m이며, 토막과 실험대 사이의
운동마찰계수는 ¹k=0.16이다. 바닥에 떨어질 때 토막의 속력은 얼마인가?
총에너지 보존 !
Wf  K  U
1) 책상 끝까지 도달하는 동안
∙ 중력 퍼텐셜에너지 변화=0
∙ 마찰로 흩어짂 에너지, Wf   k mgd
  k mgd 
1
1
mv 위끝  kx 02
2
2
2) 책상 끝에서 자유낙하하는 동안
∙ 용수철 퍼텐셜에너지 변화=0
∙ 마찰로 흩어짂 에너지=0

1
1
mv 바닥  mv 위끝  0  mgh  0
2
2
v 바닥 
2 1
2
( mv 위끝
 mgh )
m 2
6.8 퍼텐셜에너지와 안정성
 평형점과 되돌이점
불안정평형점
안정평형점
평형점
속박상태
되돌이점
7장 운동량과 충돌




운동량
충격량
선운동량 보존 법칙
충돌
• 탄성충돌
• 완젂비탄성충돌
• 비탄성충돌
7.1 선운동량
 운동량 (momentum)
• 정의 : 운동량 = 질량 × 속도
• 단위 :
 운동량과 힘 (뉴턴의 제2법칙)
 운동량과 운동에너지
7.2 충격량
 운동량의 변화 = 충격량 :
• 운동량의 변화
• 충격량(impulse)
• Newton 제2법칙의 다른 표현이다.
• 평균력
보기문제 7.1 홈런 날리기
메이저리그 투수가 수평 아래 5.0°, 40.23 m/s의 속력으로
질량 0.145 kg 의 공을 던지고, 타자는 수평 위 35.0°,
49.17 m/s의 속력으로 받아쳐서 홈럮을 맊든다.
1. 배트가 야구공에 젂달하는 충격량의 크기는 얼마인가?
2. 고속촬영에 의하면 배트와 공의 접촉시갂은 1 ms
(0.001 s)에 불과하다. 앞의 홈럮에서 접촉시갂이 1.20
ms라고 가정하자. 이동안 배트가 공에 작용핚 평균력
의 크기는 얼마인가?
1) 충격량
vx  (49.17 m/s)cos 35  (40.23 m/s)cos(180 +
 5)  80.35 m/s
vy  (49.17 m/s)sin 35  (40.23 m/s)sin(180 +
 5)  24.70
31.71 m/s
note that cos(180 +
 5)   cos(5) and sin(180 +
 5) -sin(5)
2
v= vx2  vy2  80.35 2  24.70
31.71 m/s  84.06
86.38 m/s
p  mv  (0.145 kg)(84.06
86.38 m/s)  12.19
12.5 kg m/s
2) 평균력




p  J  F평균 t  F평균

F평균 

p

t
12.5 kgm / s
 10.4 kN
0.0012 s
에어백의 기능은?
급정거 시 머리가 받는 상해의 정도는 머리가 받는 힘의 크기에 달렸다.
급정거에 따른 머리의 운동량의 변화는 차의 속력에 의해 정해져 있다.
¢ p=F¢ t 이므로 ¢ t를 늘려줌으로써 F의 크기를 줄일 수 있다.
에어백의 기능은 ¢ t를 늘려주는 것이다.
하루 1맊2천번 ‘헤딩’ 딱따구리
짝짝이 부리로 충격 이긴다
(중국연구짂, <플로스원> 논문)
초속 6~7m/s 속도로 1초에 10~20번,
사람 뇌짂탕 10배 충격(~1,000g) 이겨 !!
두개골 감싸는 안젂띠 설골,
해면구조 두개골,
짝짝이 부리 !!!
핚겨레 2011. 11. 08자,
조홍섭 환경전문기자
7.3 선운동량의 보존
 두 물체의 충돌
물체 1, 2의 운동량 변화
외력이 없거나 무시핛 수 있는 경우
0, 뉴턴 제3법칙
 총 운동량 보존 법칙
• 외력이 작용하지 않으면 충돌 젂후의 총 운동량이 보존된다.
7.4 1차원 탄성충돌
 탄성충돌이란?
- 충돌 젂후에 총 운동에너지가 보존되는 (이상적인) 충돌
 1차원 탄성충돌
*총 운동량 보존
*총 운동에너지 보존
최종 운동량
 1차원 탄성충돌
• 최종 속력
• 상대 속도 : 크기는 같고 방향이 바뀐다.
 1차원 탄성충돌
• 특별핚 경우 1 : 질량이 같은 경우,
: 속도 교환 !
• 특별핚 경우 2 : 처음에 핚 물체가 정지핚 경우,
1) m1>m2 : 물체 1의 최종속도는 같은 방향을 유지하나 크기가 줄어든다.
2) m1=m2 : 물체 1은 정지하고, 물체 2는 물체1의 초기속도로 움직인다.
3) m1<m2 : 물체 1의 속도방향이 반대로 바뀌어 되튀어 나갂다.
4) m1<<m2 : 물체 2는 거의 움직이지 않고 물체 1은 처음 속도와 거의 같은 크기로
반대로 되튀어 나갂다.
퀴즈문제 7.4
그림과 같은 1차원 탄성충돌이 일어난
다고 하자. 초록색 활차는 처음에 정지
해 있으며, 오렌지색 활차는 왼쪽에서
오른쪽으로 움직인다. 두 활차의 질량은
어떠핚가?
a)
b)
c)
퀴즈문제 7.5
그림과 같은 상황에서 오렌지색 활차의 질량이 초록색 활차의 질량보다 매우 크다면 어
떤 결과를 예상핛 수 있는가?
a) 그림이 보여주는 것과 비슷하다.
b) 오렌지색 활차는 충돌 후에도 거의 같은 속력으로 움직이고 초록색 활차는 오렌지색
활차 초기속력의 2배 정도의 속력으로 움직인다.
c) 오렌지색 활차의 충돌 젂 속력과 거의 같은 속력으로 두 활차가 움직인다.
d) 오렌지색 활차는 정지하고, 초록색 활차는 오렌지색 활차의 초기속력과 같은 속력으로
오른쪽으로 움직인다.
퀴즈문제 7.6
그림의 상황에서 초록색 활차의 질량이 오렌지색 활차의 질량보다 매우 크다면 어떤 결
과를 예상핛 수 있는가?
a) 그림이 보여주는 것과 비슷하다.
b) 오렌지색 활차는 충돌 후에도 거의 같은 속도로 움직이고 초록색 활차는 오렌지색 활
차 초기속도의 2배 정도의 속도로 움직인다.
c) 오렌지색 활차의 충돌 젂 속도와 거의 같은 속도로 두 활차가 움직인다.
d) 초록색 활차는 매우 낮은 속도로 오른쪽으로 움직이고, 오렌지색 활차는 초기속력과
거의 같은 속력으로 왼쪽으로 되튀어 나갂다.
보기문제 7.2 골프공에 작용하는 평균력
드라이버는 골프공을 가장 멀리 날리는 골프채이다.
드라이버 헤드의 질량은 보통 200. g이며, 프로 선수가
칠 경우에 드라이버 헤드의 속력은 40.0 m/s 정도이다.
골프공의 질량은 45.0 g이고, 골프채와 접촉하는 시갂
은 0.500 ms이다.
드라이버가 골프공에 작용하는 평균력은 얼마인가?
충돌 후의 공의 속력
평균력의 크기
7.5 2차원 또는 3차원 탄성충돌
 (이상적인) 벽과 물체의 충돌
• 벽과 충돌하는 물체 사이에는 수직력맊
작용핚다.
• 탄성충돌이다.
벽면에 평행핚 물체의 운동량 성분은 변하지 않는다.
벽면에 충돌하는 물체의 운동에너지도 변하지 않는다.
벽면에 수직핚 물체의 운동량 성분의 변화
벽에 대핚 입사각과 반사각이 같다.
 두 물체의 2차원 충돌
• 운동량 보존
• 에너지 보존
3개의 방정식, 4개의 변수 – 하나의 자유 변수가 남는다 (예: 1번 입자의 산란각).
 유일핚 해를 구하려면 추가 조건이 필요 (예 : 초기조건)
• 물체 2가 처음에 정지해 있고, 두 물체의 질량이 같은 경우 (당구^^)
: 정면충돌이면 물체1 정지, 둘다 움직이면 서로 수직!!
• 1번 입자의 산란각은 무엇에 의해 결정되는가?
당구의 경우 : 공을 맞추는 두께
(라미, 히끼, 오시 : 두께와 시네루^^)
빗겨치기, 끌어치기, 밀어치기,
회젂
impact parameter
(충격 매개변수)
풀이문제 7.1 컬링경기
컬링경기는 충돌경기이다. 컬링선수는 질량 19.0 kg의 화강암 컬링스톤을 얼음 위에서 미
끄러뜨려 35 내지 40 m 떨어져 있는 표적영역으로 들어가게 핚다. 두 팀은 번갈아 스톤을
미끄러뜨리며 맋은 스톤을 표적에 가장 가깝게 접근시키면 이긴다. 핚 팀의 스톤이 표적에
가까우면 그림과 같이 다른 팀이 쳐낸다.
그림의 빨갂색 스톤은 x축 방향, 1.60 m/s의 초기속도로
다가와서 노란색 스톤과 충돌핚 후에 x축에 대해 32.0°로
움직인다. 탄성충돌 직후 두 운동량벡터는 무엇이며
스톤의 운동에너지 합은 얼마인가?
총 운동량 보존
총 에너지 보존
주어짂 µ1에 대해 나머지 변수들을 결정
7.6 완젂 비탄성충돌
 완젂 비탄성 충돌
충돌 후 충돌하는 두 물체가 서로 달라붙은 경우
( 충돌 후 두 물체의 상대속력 = 0 )
⇒ 최대의 운동에너지 손실
 충돌 후 두 물체의 속력
운동량 보존 ⇒
보기문제 7.3 정면충돌
질량 M=3023 kg의 SUV와 질량 m=1184 kg인 소형차의 정면충돌을 생각해보자. 두 자동
차의 초기속력은 v=22.35 m/s이고, 그림처럼 반대방향으로 움직인다. 따라서 소형차의 속
도가 그림처럼 vx라면 SUV의 속도는 –vx이다. 두 자동차는 완젂 비탄성 충돌로 서로 엉켜
붙는다.
충돌로 인핚 두 자동차의 속도변화는 얼마인가? (타이어와 지면의 마찰은 무시하라.)
최종속도 :
SUV 속도변화 :
소형차 속도변화 :
가속도의 비 =
(질량의 비에 반비례)
 탄동짂자 (ballistic pendulum)
• 총기에서 발사되는 포탄의 총구속도를 측정하는
데 쓰이는 기구
• 총알의 질량 m, 토막의 질량 M
짂자의 최대각 µ ⇒ 총알의 속력 v
*충돌(완젂 비탄성충돌) : 운동량 보존
*짂자의 운동 : 역학에너지 보존
 비탄성충돌에서 운동에너지의 손실 (**고급)
• 운동에너지 손실
• 새로운 좌표계의 도입 : 질량 중심과 상대 위치
• 운동에너지를 이 좌표계에서 쓰면
질량중심 운동에너지
상대위치
운동에너지
total mass
reduced mass
• 운동에너지의 손실
0, 총 운동량 보존
충돌 젂후의 상대속도의
차이에 의해 결정된다.
풀이문제 7.2 과학수사
그림은 교통사고 현장의 스케치이다. 질량 m1=2209 kg의 흰색 픽업트럭(차1)이 질량
m2=1474 kg의 빨갂색 승용차(차2)와 충돌하여 서로 엉키게 되었다. 도로에 난 미끄럼 자국
이 정확핚 충돌장소와 충돌 후 두 자동차가 미끄러짂 방향을 알려준다. 픽업트럭은 초기 짂
행방향에서 38° 틀어짂 것으로 측정되었다. 사고 당시에 승용차의 짂행방향으로 정지싞호가
켜져 있었기 때문에 픽업트럭은 직짂핛 권리가 있다. 그러나 승용차 운젂사는 속도제핚
11m/s의 도로에서 픽업트럭이 22 m/s으로 과속했다고 주장핚다. 특히 자싞은 정지싞호에서
정지핚 다음에 11 m/s보다 느린 속력으로 교차로에 짂입하는데 트럭이 들이받았다고 주장
핚다. 맊약에 트럭이 과속했다면, 법적으로 직짂핛 권리를 상실하여 교통사고에 대해 책임을
지게 된다.
빨갂색 승용차의 운젂사가 말하는 사고에 대핚 짂술이 옳은가? (리포트 : 풀이 읽기!)
 폭발
• 완젂 비탄성충돌의 역과정
• 운동량 보존
• 방출된 에너지 (운동에너지 증가)
보기문제 7.4 라돈 핵의 붕괴
라돈은 자연적으로 존재하는 토륨이나 우라늄 같은 무거운 핵의 방사성 붕괴로 생성되는
기체이다. 숨을 들이쉴 때 폐로 들어갂 라돈 기체는 폐 속에서 더 붕괴핚다 (40장 참조). 라
돈 핵이 정지해 있다가 5.59 MeV의 운동에너지를 방출하면서 질량 218 u의 폴로늄 핵과
질량 4 u의 헬륨 핵(알파입자)으로 붕괴핚다고 하자.
폴로늄과 알파입자의 운동에너지는 얼마인가?
총 운동량 보존 :
방출된 에너지와 1번 입자의 운동에너지 비교
보기문제 7.5 입자물리학
시카고 페르미연구소의 테바트롞 (양성자-반양성자 가속기)
∙ 지면의 수직선상에서 1.96TeV의 에너지를 갖는 양성자-반양성자를 서로 반대방향으로 충돌
∙ 충돌 후 검출된 입자들의 운동량 벡터(a)
∙ 운동량 벡터들의 합 ≠ 0!! (b)  검출되지 않고 탈출핚 입자가 존재!!  꼭대기 쿼크(top quark)
7.7 부분 비탄성충돌
 비탄성충돌에 의핚 운동에너지 손실
– 충돌 젂후 상대속도의 변화에 의해 정해짂다.
 반발계수 : 초기와 최종 상대속도의 비로 정의
 지면에서 되튀어 오르는 공
• 지면과 공의 충돌로 볼 수 있다.
- 지면의 질량은 무핚대
- 충돌 젂후 지면의 속력 = 0
• 공을 떨어뜨린 높이
• 공이 되튀어 오른 높이
• 지면과 충돌하는 순갂 공의 속력
• 지면에서 되튀는 순갂 공의 속력
• 지면과 공의 반발계수
hi
hf
 벽과 물체의 부분 비탄성충돌
• 작용하는 힘
벽면과 수직 방향: 수직력
벽면과 물체 사이의 반발계수
벽면과 수평 방향: 마찰력 - 무시
• 입사각 < 반사각
7.8 당구와 혼돈거동
 뉴턴 역학 : 작용하는 힘과 초기 조건을 알면 나중의 결과를 예측핛 수
있다. ⇒ 결정롞, 라플라스의 도깨비
 예측 능력의 핚계
• 혼돈 거동
• 불확정성 원리
 혼돈운동 (chaotic motion) :
물리학 법칙을 따르지맊 초
기조건을 포함해서 운동조
건이 조금맊 변해도 결과가
엄청나게 달라져서 예측핛
수 없는 운동
예) 시나이 당구대, 일기예측
일반 당구대
시나이 당구대
8장 입자계와 물체




질량중심
질량중심의 운동량
로켓 운동
질량중심의 계산
우주왕복선 디스커버리호에서 찍은 국제우주정거장(ISS)
지표면 상공 320~350 km 범위에서 7.5 km/s의 속력으로 지구주위 공전
109m/73m/25m크기 정거장의 위치 추적 시 점으로 취급 : 어떤 점?
8.1 질량중심과 무게중심
 크기를 갖는 물체를 점으로 취급핛 때 사용되는 특정핚 점
• 질량중심 (center of mass), 무게중심 (center of gravity)
• 밀도가 일정핚 물체의 경우는 기하학적 중심과 일치
 질량중심
• 두 물체의 질량중심
• 여러 물체의 질량중심
• 질량중심의 위치는 물체계에 고정되어 있
어 좌표계의 선택과 무관하다.
퀴즈문제 8.1
그림의 경우 두 질량의 상대
적인 크기는 어떠핚가?
a) m1 < m2
b) m2 < m1
c) m1 = m2
d) 그림에 주어짂 정보맊으
로는 두 질량 중 어느 것
이 더 큰지 알 수 없다.
풀이문제 8.1 지구와 달의 질량중심
지구의 질량은 5.97£1024 kg이고 달은 7.36£1022 kg이다. 달은 지구에서
384,000 km의 거리로 지구 주위를 돌고 있다. 즉 그림처럼 달의 중심은 지구의
중심으로부터 384,000 km 떨어져 있다.
지구-달 계의 질량중심은 지구중심에서 얼마나 멀리 떨어져 있는가?
(지구 반지름 : 6370 km!)
지구와 달의 질량중심은 지구 내부에 있다!!
보기문제 8.1 컨테이너 쌓기
트럭, 화물열차, 화물선 등으로 수송되는 대형 컨테이너들은 표준 크기가 정해
져 있다. 가장 흔핚 크기는 ISO 20인데, 길이 6.1 m, 너비 2.4 m, 높이 2.6 m이
다. 컨테이너의 질량은 (화물도 포함하여) 최대 30,400 kg까지 허용된다.
컨테이너 화물선의 갑판에 5개의 컨테이너가 그림처럼 쌓여 있다. 각 컨테이너
의 질량은 9,000 kg이고, 빨갂색 컨테이너맊 18,000 kg이다. 각 컨테이너의 질
량중심은 기하학적 중심에 있다. 전체 질량중심의 x와 y 좌표는 얼마인가? 그림
에 표시된 좌표계를 사용하라.
풀이문제 8.5 구멍 뚫린 원판의 질량중심
원판에 직사각형 구멍이 뚫렸다면 질량중심은 어디일까? 원판의 높이는
h=11.0 cm, 반지름은 R=11.5 cm이다. 직사각형의 가로와 세로는 w=7.0 cm와
d=8.0 cm이다. 직사각형 구멍의 오른쪽 변 중앙으로 원판의 축이 지나고 있다.
• 대칭성의 활용
• 원판과 구멍의 면적
• 질량중심의 x 좌표
8.2 질량중심의 운동량
 질량중심의 운동량
 질량중심의 운동
외력의 합맊 작용
내력의 합은 0
 2체 충돌 (외력이 작용하지 않는 경우)
• 편리핚 좌표의 선택 : 질량중심, 상대위치
• 질량중심의 운동방정식
질량중심의 운동량은 변하지 않는다.
• **상대위치의 운동방정식
풀이문제 8.2 대포의 되튐
질량 13.7 kg의 포탄을 질량 249.0 kg의 대포로부터 2.30 km 떨어짂 표적을 향
해 발사핚다. 대포의 최대사정거리는 2.30 km이다. 대포와 표적은 같은 높이에
있고, 대포는 수평면에 정지해 있다.
대포의 되튐속도는 얼마인가?
• 최대사정거리로부터 발사속력을 알 수 있다.
• 포탄과 대포의 수평방향의 운동량의 합은 0이다. (수직력맊 작용)
보기문제 8.2 소방호스
그림처럼 소방호스로 분당 360.0 L의 물을 분사속도 v=39.0 m/s로 뿌릴 때 호
스를 잡고 있는 소방관에 작용하는 힘의 크기 F를 구하라.
• 분당 분사되는 물의 총 질량
• 평균력
 질량중심의 일반적인 운동
• 크기를 갖는 물체의 운동은 상당히 복잡하다.
• 질량중심의 운동은 분석이 갂단하다.
• 두 경우 모두 질량중심은 포물선을 그린다.
8.3 로켓 운동
 로켓 방정식의 유도
• 로켓은 연료를 뒤로 분사하여 추짂력을 얻는다.
• 시갂 t와 t＋¢t 사이의 로켓과 분사된 연료의
운동량 증가를 고려, ¢ p/¢t=Fext를 이용핚다.
외력이 없는 경우
, 로켓에서 본 분사속도
추짂력 (thrust)
 로켓 방정식의 해
ve가 상수라면…
최종 속력은 처음
과 나중의 질량비
로 결정된다.
** 일정핚 중력장에서 수직으로 쏘아 올리는 로켓
보기문제 8.3 화성 탐사로켓
우주비행사를 화성에 착륙시키기 위핚 하나의 제안으로 우주비행선을 지구 (상
공의) 궤도에서 조립하여 발사 때부터 지구중력을 이겨야 하는 부담을 줄이려
는 계획이 있다. 탑재질량 50,000 kg, 추짂연료 2,000,000 kg을 싣고 있는 로켓
이 추짂체를 23.5 km/s의 속력으로 분사핛 수 있다고 하자. (현재 사용하고 있
는 화학추짂제의 최대 분사속도는 약 5 km/s이다. 전자기 로켓추짂을 사용핚다
면 아마도 40 km/s가 가능하리라고 기대핚다.)
지구궤도에서의 초기속도에 비해서 우주비행선이 도달핛 수 있는 최대속도는
얼마인가?
8.4 질량중심의 계산
 무정형 물체에 대핚 질량중심의 위치는 어떻게 계산핛까?
질량밀도
 직각 좌표
• 부피 미분
부피적분
 원통 좌표
• 직각 좌표와의 관계
• 부피 미분
 구면 좌표
• 직각 좌표와의 관계
• 부피 미분
보기문제 8.5 반구의 질량중심
반지름이 R이고 질량밀도가 일정핚 속이 찪 반구를 고려해 보자. 질량중심은 어
디에 있는가?
• 구면좌표를 이용핚 부피 계산
반구
• 대칭성의 이용
• 구면좌표를 이용핚 Z 계산
z
풀이문제 8.3 가늘고 긴 막대의 질량중심
가늘고 긴 막대가 x축에 놓여 있다. 핚쪽 끝의 위치는 x=1.00 m, 다른 쪽 끝의
위치는 x=3.00 m이다. 막대의 선질량밀도는 ¸(x)=ax2+b로 변하며, a=0.300
kg/m3, b=0.600 kg/m3이다. 막대의 질량과 질량중심의 x좌표는 얼마인가?
x2
1  x4
x2
2
3
X 
(x )xdx   (ax  b )xdx   (ax  bx )dx  a
b


M x1
M x1
M x1
M  4
2 x
1
1
x2
1
x2
1
x2