μ t - t o = t(1- 1-( v/c) 2) = 1 1-( v/c) 2 = 2 1 sec c = λ λ = 1-1.5×10 7/c 1 +1.5×10 7/c c 550×10 - 9 λ 578 nm ν = 15×10 9 ν = 1+41.67/c 1 - 41.67/c 15000004170 Hz ≈ 15 GHz θ θ L = 6× 1-0.9 2 = 2.61 ft 1.3 = L o× 1 -0.6 2 = L o ×0.8 1 -( v/c ) 2 = 0.995 L = x× 1 - 0.7 2 = 0.7141x m φ φ φ × × × × × × × 101 = 100 1-( v/c) 2 × × × × × 0.1×10 6×1.6×10 - 19 mo 1-( v/c) 2 9.1×10 - 31 1-( v/c) 2 = = 1 ×9.1×10 - 31× 2 v 2 moc 2 + K 9.1×10 - 31×9×10 16 = × + 0.1×10 6×1.6×10 - 19 × × 1 v 2 ( ) 2 c 1 -1 1 -( v/c) 2 1 mv 2 2 = KE 1 v 2 1 v 2 ( ) ( ) 2 c 2 c = 1 1 1+ ( v/c) 2 -1 -1 2 2 1 -( v/c ) m oc 2 = mo 1-( v/c) 2 v = 1 p= = 0.51 MeV/c 2 v 1-(0.6) 2 9.1×10 - 31×9×10 16 1.6×10 - 19 = γ 0.51 0.51 MeV/c 2 ×0.6 c 0.8 = γ = MeV 0.3825 MeV/c N= 1000 = 1.7×10 30 6.63×10 - 34×880×10 3 개/초 hν = hν o KE + 6.63×10 - 34× 3×10 8 λ h = max c λo + KE 6.63×10 - 34× = max = 3×10 8 230×10 - 9 h c λ 1.5×1.6×10 - 19 + λ × × × × × × μ h×8.5×10 14 = φo + 0.52×1.6×10 - 19 h×12×10 14 = φo + 1.97×1.6×10 - 19 h = 6.64×10 - 34, X ×1.6×10 - 19 = h c λ min φo = 3.0 eV X ×1.6×10 - 19 6.63×10 - 34× = 1 1 + 6× 8 2 N Na = 8× N Cl = 12× 1 +1 4 = = 3×10 8 30×10 - 12 4 개 4 개 ρ ρ ( 3.82 + 5.89 )×10 - 26×4 d3 = d h = m 5.64×10 - 10 kg/m 3 m = 0.564 nm × × × × × λc = 2.16×10 3 = Nac = 6.63×10 - 34 3.82×10 - 26×3×10 8 = 5.8 ×10 - 17 m = 5.8×10 - 8 × × × × × φ nm E=hν m oc 2 = pc cos θ = E - E' cos φ pc sin θ = E' sin φ φ 2 2 E + ( pc ) - 2pcEcosθ = E' 2 E = m oc 2 E 2 + ( pc ) 2 E' 2 = E 2e - 2m o pc 3 cos θ m oc 2 + m oc 2 = E e + E' E 2e = E' 2 - 4m oc 2E' + 4m 2oc 4 0 =- 4m o c 2E' + 4m 2oc 4 - 2m opc 3 cos θ 1 pc cos θ 2 E' = m oc 2 - pc = 2 θ( m oc 2 - E' ) cos E 2e = ( pc ) 2+ m oc 4 = ( 2m o c 2 - E' ) 2 ( pc ) 2 = ( 2m o c 2 - E' ) 2 - m 2o c 4 = ( 3m o c 2 - E' )( m o c 2 - E' ) 4 ( m oc 2 - E' ) cos 2θ E' = m oc 2 ( E' = 0.335 4 - 3 cos 2θ ) 4 - cos 2θ + 0.511 MeV×2) E 2 = m 2oc 4 + p 2c 2 ( 2.511 MeV ) 2 = ( 0.511 p = mv = mo 1 - ( v /c ) 2 v= ( 3m o c 2 - E' ) θ = 40 o MeV MeV (2 = = E1 + E2 MeV ) 2 + p 2c 2 E1 E2 = 2.46 c c MeV/c I E 1 +E 2 = 3.022 E1-E2 = 2.46 I oe - μx = MeV MeV x= ln (I o/I ) μ μ μ μ × × × Δν ν GM c 2R = 6.67×10 - 11×2×10 30 ×6×10 14 = 1.27×10 9 9×10 16×7×10 8 Δν = λ= c , ν Δλ =- Δλ = 1.058×10 - 12 1 mv 2 2 Hz c Δν ν2 - GMm R R = m = 2GM c2 = 0 1.058 pm v = 2GM R × × KE = p2 2m 40×1000×1.6×10 - 19 = p2 2×9.1×10 - 31 λ p h λ = KE= p2 2m 6.63×10 - 34 = 6.14×10 - 12 = 6.14 1.079×10 - 22 = 6.63×10 - 34 = 2.35×10 - 24 0.282×10 - 9 = (2.35×10 - 24 ) 2×1.67×10 - 27 = h p = pm kg⋅m/s 2 = 1.65 ×10 - 21 J = 0.0103 eV p h λ = KE= p2 2m = 6.63×10 - 34 = 1.205×10 - 27 550×10 - 9 (1.205×10 - 27 ) 2×9.1×10 - 31 = kg⋅m/s 2 = 4.986 ×10 - 6 J ≈ 5 μeV μ λp λe me mp = vp = 9.1×10 - 31 1.67×10 -27 = 5.45×10 - 4 = c2 v 2πS λρ vp = Sk ρ = ω k vp = 1 v2 1- 2 c = dω dk = 1+ KE m oc 2 vg vp = c2 v nλ = = 2d sin θ = Sk k = ρ v pk = ω = vg = 3 2 2πS ρλ = = 1+ S k ρ 3 2 9πS 2ρλ 0.5 MeV 0.512 MeV = 1.9766 0.862 c 1.159 c θ × × × × × × × × p= 2m KE = 2×9.1×10 - 31×50000×1.6×10 - 19 λ = nλ = 2d sin θ 6.63×10 - 34 1.2×10 - 22 d = En = En = 1 = 5.49 ×10 - 12 3.58×10 -12 n 2h 2 8mL 2 1.2 ×10 - 22 = = m = kg⋅m/s m 3.58 pm h2 n2 8mL 2 n 2 eV eV = h2 8mL 2 L = 6.14×10 - 10 ≧ ≧ m = 0.614 nm ΔxΔp = m Δx Δv ≥ Δv ≈ 58007 ℏ 2 Δ m/s Δv ≈ 31 m/s × ≧ ΔE = ΔEΔt ≥ ΔE = ≧ × mv Δv = 9.1 ×10 - 31×10×0.01 = 9.1 ×10 - 32 ℏ 2 mv Δv = 0.001 ×10×0.01 = 1 ×10 - 4 Δt = 5.8×10 -4 Δt = 5.27×10 -31 s s = J ││ ≧ × × × ≧ ≧ 0.58 ms 5.27×10 - 30 m ││ J ≧ × ≧ ħ Δθ π ≧ ħ ≈ ħ J⋅s × ⋅ 1 79e⋅e 4πε 0 r 1 = r = MeV 1.137×10 - 13 m × v = rn = e 4πε 0mr n 2h 2ε 0 πme 2 1 e2 n 2ε 0h vn = Fc = FG G m pm e r2 E = λ = h mev = me KE + PE = v2 r m pm e 1 m v 2 -G 2 e r h = me Gmp r = h 2r Gm2emp = -G m em p 2r nλ = n h 2r n Gm2em p En =- a0 = 2πr n 2πr n = rn h 2n 2 4πGm2em p = 4πG 2m 32m 3p 2n 2h 2 h2 4πGm2em p En = 3.79 ×10 29 =- 4πG 2m32m3p 2n 2h 2 m ≈ 2.23×10 - 124 J ≧ ≧ × × × E1 = -13.6 eV λ = 9.14×10 -8 1 λ m E1 1 1 1 1 ) = R( 2 - 2 ) ( ch 3 2 6 2 3 6 = - × × × × × 1 λ E 1 =- = - E1 1 1 ( ) ch 1 2 n 2 ch n 2 λ n 2 -1 v = f = = - 3×10 8×6.63×10 - 34 × 4 3 121.5×10 - 9 = 2.18× - 18 J 1 4πε 0mr v 2πr = 2πr e 4πε 0mr = -13.64 eV 1 λ R( = 1 1 ) 22 n 2 Hα m'e 4 8ε 20ch 3 R = mM ( m + M) m' = dλ dλ dR dm' = dM dR dm' dM dλ dR = dm' dM = - dR dm' λ R m2 (m+M) 2 dλ = -λ m' R m' = m' 2 M2 = 1 dM M2 3m λ = m' = Δλ = n = E ⌠ H-λ m' 1 dM ⌡m H M2 = Δλ = 36 5R mH = = λm' ( 1.67×10 - 27× kg 1.67×10 - 27×9.1×10 - 31 (1.67×10 - 27 +9.1×10 - 31) -0.238 1 1 ) 3m H mH = 9.095×10 - 31 kg nm 1 1.79×1.6×10 - 19 = 3.49 ×10 18 개 2260 kJ/kg ×0.01802 kg/mole 6.023×10 23 /mole ν = 6.7610 - 20 6.63×10 - 34 = 6.76 ×10 - 20 = 1.0198 ×10 14 Hz J 1. 물리적 의미가 없는 것: (b): single value가 아님. (c): 미분 불가능한 점이 있음. (d) : 유한한 값을 가지지 못함. (f): 불연속인 점이 있음. 4.적분의 미분을 구하는 Leibniz공식은 다음과 같다. 이 식을 이용하면 어떤 식의 적분은 그 식을 미분한 뒤 다시 적분한 것을 다시 적분한 것과 같음을 알 수 있다. 이렇게 하여 아래의 적분을 구한다. ∞ ∞ ∞ ││ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 따라서 5. 파동함수를 규격화하면 을 이용 ││ 이 되어야 한다. 하면 이 된다. (a) [ ││ ]안의 두, 세 번째 적분은 0이고 첫 번째 적분만 값을 가지므로 에서 (b) 의 값을 가진다. ││ 7. 주어진 파동함수와 그 미분은 는 연속이고, 유한한 값을 가진다. 그러나 규격화되기 위해 서는 ││ 이 유한한 값을 가져야 한다. 그런데 자유입자의 경우 무한대의 범위에 서 유한한 값을 가지므로 -∞에서 +∞까지 적분하면 유한한 값을 가지지 못한다. 따라서 어떤 파동함수를 중첩시켜 중첩된 파동함수가 어떤 범위 이상에서는 0의 값을 가지게 되면 규격화시킬 수 있다. 이것은 불확정성원리에 의해 가 유한한 값을 가짐과 가 0가 아 님을 의미하는 것이다. 즉, 규격화를 시키기 위해서는 입자는 어떤 범위 내에서 구속되어져 있어야 하고 또 운동량은 0이 될 수 없어야 한다. 에서 는 operator(연산자)이고, 는 eigenfunction(고유함수)이고 G는 10. . 따라서 고유치는 -n2이 된다. eigenvalue(고유치)가 된다. 12. 로 치환하면 모든 식에서 x는 t로 대치된다. 따라서 파동함수의 모양이나 에 너지 준위의 변동은 없다. 15. ∞ ∞ ∞ ∞ 을 이용하면 위 식은 ∞ ∞ 16. │ │ ││ 따라서 다른 방법으로는 문제 13에서 의 곱이 항상 0이므로 위의 식은 결국 │ │ │ │ 이고 각 파동함수의 규격화를 시키기 위해서는 이므로 2 개의 파동함수를 중첩시켰을 경우는 × 17. ││ 19. 각각 적분의 값이 이므로 에서 20. (a) 이다. 이고 여기서 이고 이다. 따라서 이고 다. (b) 이 2 위치의 불확정도라면 σ를 구하기 위해서는 <x >을 구해야 한다. ││ 에서 n=1을 대 또 <x>=L/2이므로 <x>2=L2/4에서 σ를 계산하면 σ = 0.181L. 입하고, (c) 윗 식에서 n이 커짐에 따라 이 된다. 따라서 24. × 따라서 T=0.192 = 19.2 % 27. 입자가 움직이지 않으면 불확정원리에 의해 위치의 불확정도가 0이 되고, 운동량, 즉 에너지가 무한대로 커지므로 가장 낮은 에너지라고 할지라도 움직이지 않는 것은 불가능하 다. 33. 긴 pendulum의 주기는 이다. 이 식에 길이 0.25 cm, 중력가속도 9.8 m/s 을 2 입하면 진동수는 약 1 Hz이다. (a) × × × × 진자에서 이 정도의 에너지가 모두 위치에너지로 변환된다면 U=mgh에서 × 이 정도의 거리를 식별하는 것은 불가능하다. (b) 에서 n을 계산하면 n=1.48 x 1028 38. 에서 투과확률은 입자의 질량이 증가할수록 작아진다. 따라서 양성자의 투과확률 이 작다. 6-3 또 위의 모든 것을 대입하여 풀면된다. 6-5 , 이 된다. 이를 대입하면 이므로 위 식은 0이 된다. 그런데 위의 적분은 ≠ 일 경우에만 성립한다. 일 경우에는 적분은 이 된 다. 6-7.Bohr model은 이다. 즉 가장 작은 각운동량은 n=1일 경우인 러나 양자역학에서는 이다. 6-9. ≦ l=0일 때 같다. 6-11. l=4일 경우 ± ± ± ± 이다. 6-13. p state에서 이다. 그 f state에서 d state에서 6-15. 가장 있음직한 위치는 dP/dr=0인 경우이다. 즉 r=0, a0이다. r=0일 경우 P(r)=0이므로 이 경우는 오히려 가장 있을 수 없는 곳이다. 따라서 가장 있을 가능성이 높은 곳이 Bohr반경이다. 6-17 3d 전자인 경우 표에서 즉 r= 0, 9a0이다. 문제 6-15에서와 같이 r=0에서 p(r)=0이므로 r = 9a0이다. 6-19. 바닥상태에서는 n=1, l=ml=0이다. l=0인 경우 전자를 발견할 확률은 zenith angle이나 azimuthal angle에 관계없고 오직 원자핵로부터의 거리에만 관계된다. 따라서 전자를 발견 할 확률은 P(r)dr이 된다. 6-25. 로 주어지고 이다. 표 6.1에서 R(r)은 복소함수로 주어지지 않으므로 함수의 제곱을 0에서 무한대까지 적분을 하면 분명 0이 아니다. 따라서 함수에 관계되는 적분만 0이 아니면 된다. 문제의 n=2, l=0, ml=0에서 n=1, l=0, ml=0으로 전이하는 경우를 생각하자. 표 1에 서 과 의 전이를 생각하자. 이때 임을 상기하자. 그 러면 이 계산에서 r은 상수이므로 생략하였다. 따라서 전이가 일어나지 않는다. 그러면 n=2, l=1, ml=0에서 n=1, l=0, ml=0으로 전이하는 , 인 경우를 생각하자. 이때 u=z=r cosθ를 사용하였다. 그리고 역시 r에 관한 것은 제외시켰다. ≠ 따라서 전이는 허용된다. 그러면 n=2, l=1, ml=±1에서 n=1, l=0, ml=0으로 전이하는 , 인 경우 를 생각하자. 이때 x=r sinθ cosφ를 사용하였다. 그리고 역시 r에 관한 것은 제외시켰다. ± ± ≠ 따라서 전이는 허용된다. 6-31. × × × × × × × × × × × × × × × ± U m =±μ BB ΔE = h ( ν 2 - ν 1 ) = 6.63×10 - 34×3×10 8 ( B= 1 1 ) = 3.43 ×10 - 22 J 589×10 - 9 589.6×10 - 9 ΔE 3.43×10 - 22 = 18.5 T = 2μ b 2×9.27×10 - 24 1 S0 2P1/2 2 2D 3/2 J = j( j +1)ℏ= 35 2 or 63 ℏ 2 s= 3 ℏ 2 L = 12ℏ α β θ θ θ ( L + S sin θ) 2 + S 2 cos 2θ = J 2 J 2 - L2 -S 2 2LS sin θ = α μJ β μJ 2μ BS cos α + μ B L cos β = μ BJ + μ BS cos α = μ BJ ( 1 + S cos α) J L 2 -J 2+ S 2 -2LS cos α = S J 2 -L 2+ S 2 J ( J +1) - L (L + 1) + S( S +1) cos α = = 2 2J ( J +1) L 2J μ J = J g Jμ B gJ = 1+ J ( J +1) - L(L +1) + S( S +1) 2J ( J +1) ΔE = μ J B cos θ = g J μ BBJ cos θ = g Jμ BBM J ν J→J +1 = ℏ ( J +1) 2πI ν ν ν ν' J→J +1 ℏ ( J +1) 2πI = ℏ ( J +1) 2πI' = J→J +1 I = m'R 2 ν ν' J→J +1 J→J +1 I' = ν ν' I' = I J→J +1 J→J +1 I= I = 12 × 16 No No ×10 - 3× 2 48 1 ×10 - 3× 2 R = R 7 No 12 16 + No No 1.153×10 11 × 48 1 ×10 - 3× 2 R = 7 No 1.102×10 11 16×x 1 ×10 - 3× 2 R x +16 No ν ν J + 1→J +2 = ℏ ( J +2) 2πI → → J→J +1 → → = ℏ ( J +1) 2πI ν J→J +1 ℏ ( J +1) 2πI = ℏλ 2πc I = = 1.055×10 - 34×4.4×10 - 2 = 2.466×10 - 45 2×π×3×10 8 200×35 1 ×10 - 3× 2 R = 200 +35 No I = m'R 2 = R = ( 2.466×10 - 45×6.023×10 23× 29.787 1 ) 1/2 29.787×10 - 3 Ev = × (v + kg⋅m 2 1 ×10 - 3× 2 R No 2.2×10 - 10 m = = 1 )ℏ 2 0.22 nm k m' E v +1 - E v = k = ΔE 2m' ℏ2 (0.063×1.6×10 - 19 ) 2 (1.055×10 - 34) 2 = ( v +1+ E2 = 5 2 = ℏ k m' 23×35 1 ×10 - 3 ≈ 210 23+35 6.023×10 23 Ev = m' =1.614×10 - 27 k m' 1 1 -v - )ℏ 2 2 ΔE = ( v+ 1 )ℏ 2 k m' kg 516 ×1.055×10 - 34 1.614×10 - 27 = 1.49×10 - 19 J = 0.93 eV N/m E = 2× 1 kT = 2 4.14×10 -21 J = 0.025 eV N2 N1 g2 g1 1 = 1000 = N2 N1 = exp ( - E2-E1 8 × exp ( )= 2 kT g2 E2-E1 2.093×1.6×10 - 19 ) exp ( ) = 3× exp ( g1 kT 1.38×10 - 23×1200 = 4.95 ×10 - 9 v 1 = 1 m/s , v = v rms 1+3 2 = eV -3.4 eV ) ( 13.6 8.617×10 - 5 eV/K×T v2 = 3 = 2 m/s m/s 12+32 2 = 2.236 m/s ) σ π R = eσT 4 T = ( R 30×10 4 ) = 1516 ) 1/4 = ( eσ 5.67×10 - 8×1 λ T = max 2.898×10 - 3 = 9993 290×10 - 9 T = K ≈ K 2.898×10 - 3 10, 000 K m⋅K ε 3 ε = 3.306 5 F ε = eV 3 kT 2 T = 2 ε = 3 k v = 2 = ρ = 7.13 N /V = εF = ε m/s kg g/cm 3 = 7.13×10 3 mass/m 3 mass/atom K 2×3.306×1.6×10 - 19 = 1.08×10 6 9.1×10 - 31 u = 1.66×10 - 27 1 ε ε m 2×3.306×1.6×10 - 19 = 25, 553 3×1.38×10 - 23 = kg/m 3 7.13×10 3 = 6.56×10 28 65.4×1.66×10 - 27 electrons/m 3 h2 3N 2/3 ( 6.63 ×10 - 34 ) 2 2×3×6.56×10 28 2/3 [ ] = ( ) 31 8π 2m 8π V 2×0.85×9.1×10 = 1.77×10 - 18 J = 11.1 eV ε g ( ε )dε = 8 2 πVm 3/2 h3 ε dε ε 8.94×10 3 kg/m 3 0.001 )× ( 9.1 ×10 - 31 ) 3/2 8.94×10 3 ( 6.63× 10 - 34 ) 3 21 states/eV = 1.42×10 8 2 ×π× ( 0.001 8.49×10 3 m3 7.04×1.6×10 - 19 ×1.6×10 - 19 2 Uo = α⋅( 1 - - αe 2 1 (1) 4πε or o n 1 )e n α 4.34 eV→ K + K + Cl + e K + Cl → Cl - + + e + 3.61 eV 0.73 eV → K + + Cl - a3 density ρ vF M V = m Ag×4 a3 = mv F ne 2λ = εF 1.39×10 6 = mv F ne 2λ = E = hν = = 1 mv 2F 2 m/s n= ρ ( 2d) 3 = 10.5×10 3 108×1.66×10 - 27 = 5.86×10 28 ( 9.1 ×10 - 31 )( 1.39 ×10 6 ) ( 5.86 ×10 )( 1.6 ×10 - 19 ) 2( 200 ×2.89×10 - 10 ) 28 = 1.48×10 - 8 Ω⋅m εF λ p2 2m = h p = ( |1|, = ro En = = - = 1.43×10 - 24 6.63×10 - 34 1.43×10 - 24 = |2| ) θ p 또는 ( |2|, arctan ( n 2h 2ε o πme 2 me 4 1 8ε 2oh 2 n 2 = kg⋅m/s 4.64×10 - 10 m = 0.464 nm |1|) kx ) ky = = ( 6.63 ×10 - 34 ) 2×8.84×10 - 12×16 π×9.1×10 - 31×0.17×( 1.6 ×10 - 19 ) 2 =- 26.5 o 또는 arctan ( ky ) kx = 63.4 o = ( 0.17 ×9.1×10 - 31 )( 1.6 ×10 - 19 ) 4 = 8( 16 ×8.84×10 - 12 ) 2( 6.63 ×10 - 34 ) 2 5 nm 9×10 - 3 eV Fe Fc = ν = 1 T m* = v 2πr = r = m *v eB ν = 2V e h m* e B 2πν = = = v2 r Fc = e B 2 π m* 1.82×10 - 31 = = q v× B m* Fe kg = ( 1.82 ×10 - 31 )( 3 ×10 4 ) ( 1.6 ×10 - 19 )( 0.1 ) = e v B v2 r evB = 0.2 m e = ( 2 ) ( 5×10 - 6 )( 1.6 ×10 - 19 ) 6.63×10 - 34 3.4×10 - 7 m = = 2.413×10 9 0.34 μm Hz = 2.413 GHz