DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Objetivos
-
Estudiar las características de las distribuciones de probabilidad habituales: binomial, Poisson,
Normal, Chi-cuadrado, t-Student y F-Snedecor.
Cálculo de probabilidades y evaluación de la función de distribución.
Cálculo de cuantiles.
Generación de valores aleatorios.
Distribuciones
En el menú Distribuciones, hay un menú para distribuciones discretas y otro para continuas.
Distribuciones discretas
En el caso de las distribuciones discretas, se pueden realizar 5 acciones: cálculo de cuantiles, cálculo
de probabilidades acumuladas, cálculo de probabilidades puntuales, gráfica de la distribución y
generación de datos aleatorios de cada una de las distribuciones disponibles.
Distribuciones continuas
En el caso de las distribuciones continuas, se pueden realizar 4 acciones: cálculo de cuantiles, cálculo
de probabilidades acumuladas, gráfica de la distribución y generación de datos aleatorios de cada una
de las distribuciones disponibles.
Si bien el uso de los menús para el manejo de las distribuciones se hace un poco tedioso, con lo que es
útil familiarizarse con las funciones asociadas. En general, nosotros vamos a manejas 4 tipos de
funciones: función de densidad o masa, función de distribución, función cuantil y generación de
muestras aleatorias.
Binomia
l
Poisson
Densidad o masa
dbinom(x,size,prob)
dpois(x,lambda)
Normal
dnorm(x,mean=0,sd=1
)
Chicuadrado
t
dchisq(x,df)
F
df(x,df1,df2)
dt(x,df)
Distribución
pbinom(q,size,prob,
lower.tail=TRUE)
ppois(q,
lambda,lower.tail=TRUE)
pnorm(q,
mean=0,sd=1,
lower.tail=TRUE)
pchisq(q,df,
lower.tail=TRUE)
pt(q,df, lower.tail=TRUE)
pf(q,df1,df2,lower.tail=TRUE
)
Cuantil
qbinom(p,size,prob
, lower.tail=TRUE)
qpois(p,
lambda,
lower.tail=TRUE)
qnorm(p,
mean=0,sd=1,
lower.tail=TRUE)
qchisq(p,df,
lower.tail=TRUE)
qt(p,df,
lower.tail=TRUE)
qf(p,df1,df2,
lower.tail=TRUE)
Muestras aleatorias
rbinom(n,size,prob
)
rpois(n, lambda)
rnorm(n,
mean=0,sd=1)
rchisq(n,df)
rt(n,df)
rf(n,df1,df2)
Los argumentos de cada una de las funciones tendrán que especificar, en cada caso, los parámetros
concretos de la distribución, y determinar qué probabilidad o qué cuantil queremos, o incluso cuántos
datos simulados necesitamos.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Cálculo de probabilidades
Distribuciones discretas
En el caso de las distribuciones discretas, tenemos básicamente, dos tipos de probabilidades:
1. Las probabilidades que proporciona la función masa, que podríamos llamar probabilidades
puntuales, del tipo P[ X  x] .
2. Probabilidades acumuladas (dadas en términos de la función de distribución), del tipo
P[ X  x]
Distribuciones continuas
En el caso de las distribuciones continuas sabemos que los valores concretos de la variable tienen
probabilidad cero, o dicho de otra forma, no tienen masa de probabilidad, sino densidad de
probabilidad. En estas variables no tiene sentido preguntarse por probabilidades del tipo P[ X  x]
porque son todas cero. En su lugar, lo que nos preguntamos es por las probabilidades de que las
variables proporcionen valores en intervalos, es decir, probabilidades del tipo P[a  X  b] , y donde
las desigualdades pueden ser estrictas o no, ya que el resultado final no varía.
Cálculo de cuantiles
Los cuantiles son medidas de posición relativas, en este caso, se calcula los valores x tales que
P[ X  x]  p .
Generación de valores aleatorios
La mayoría de los paquetes de software estadístico, entre ello R, facilitan la posibilidad de obtener
muestras aleatorias simples de las distribuciones más usuales.
Ejercicios prácticos
Realiza los ejercicios que se proponen a continuación:
1. Dada una distribución Bi(10,0.25) calcular:
a) P[ X  3]
b) P[ X  5]
c) P[ X  4]
d) P[2  X  5]
e) Determinar x, para que P[ X  x]  0.75
f) Determinar la mediana de la distribución.
g) Dibujar la función masa de probabilidad y la función de distribución de dicha distribución.
h) Generar una muestra aleatoria de tamaño 500 de los datos, obtener la mediana de esta
muestra aleatoria y comparar con la mediana obtenida de forma teórica.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
2.
Dada una distribución N (50, 2) calcular:
a) P[ X  3]
b) P[ X  50]
c) P[ X  45]
d) P[20  X  50]
e) Determinar x, para que P[ X  x]  0.75
f) Determinar el percentil 30 de la distribución.
g) Dibujar la función masa de probabilidad y la función de distribución de dicha distribución.
h) Generar una muestra aleatoria de tamaño 50 de los datos, obtener el percentil 30 de esta
muestra aleatoria y comparar el valor obtenido en el apartado f.