Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC
1
Autores:
Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín
Ejercicios Resueltos
(ejemplar de prueba)
Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que los estudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para buscar, analizar, procesar, representar y comunicar diferentes tipos de
información, decodi…cando y traduciendo la información contenida
en las funciones, grá…cos, series de Fourier, integrales de Fourier y
sus propiedades.
1.1
Problema 1.
i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 .Representar
gra…camente y estudiar la convergencia de la serie en R:
f (x) =
0 si
x
si 0
x
0
x
Solución:
i) Calculo de los coe…cientes
de Fourier.
"
#
0
R
R
R
1
1
f (x)dx + f (x)dx =
a0 = 2
f (x)dx = 2
0
h 2i
x
1
= 4
a0 = 2
2
0
R
R
an = 1
f (x) cos(nx)dx = 1 x cos(nx)dx
1
2
0
Usando hel método de integración
i
hpor partes sentiene: i
cos(nx)
1 x cos(nx)
1
1
an =
+ n2
=
0 0 + ( n1)
2
n
n2
0
an =
( 1)n 1
n2
=
0
2
n2
para n par
para n impar
así:
a2n = 0
8n
a2n 1 = (2n 21)2 8 n:
R
R
bn = 1
f (x) sin(nx)dx = 1 x sin(nx)dx
0
h
i
x cos(nx)
sin(nx)
)
1
=
+ n2
= cos(n
n
n
0
luego el coe…ciente es:
n+1
bn = ( 1)n
1
R
0
xdx
Por lo tanto, la serie de Fourier será:
"
1
X
2
+
2 cos ((2n
4 n=1
(2n 1)
n+1
( 1)
1) x) +
n
#
sin(nx)
En todos los puntos de continuidad la serie converge a f (x) y en los puntos
de discontinuidad del tipo x = + 2n con n 2 Z, la serie converge a 2 :
ii) A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie:
1
X
1
n=1
Solución.(ii)
Evaluando en x = 0 se tiene
0=
2
4
de donde
4
y de aquí
=
2
1
X
n=1
1.2
(2n
1)2
1
1
1
+ 2 + 2 + :::
12
3
5
1
1
1
+ 2 + 2 + :::
2
1
3
5
2
1
(2n
1)2
=
8
Problema 2
i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 , de…nida
por:
f (x) = x2 ;
x
ii) A partir del resultado obtenido calcular la suma de:
1
X
1
2
n
n=1
iiI) Determine la convergencia de la serie
1
X
1
4
n
n=1
Solución:
i) La función f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que
tiene la forma:
1
X
a0 +
an cos (nx)
n=1
2
a0 =
1
R
R
1
f (x)dx =
0
an =
2
R
x2 dx =
0
f (x) cos(nx)dx =
h 02
x sin(nx)
n
+ 2x cos(nx)
an =
n2
Luego, la serie es:
2
i
R
h
1
x3
3
i
0
=
2
3
x2 cos(nx)dx
0
0
=
4 cos(n )
n2
=
4( 1)n
n2
1
n
X
( 1)
cos (nx)
n2
n=1
2
+4
3
Como la función es continua en R ,entonces:
1
n
X
( 1)
cos (nx) ; todo x real.
n2
n=1
2
x2 =
3
+4
Solución (ii)
La serie numérica se puede obtener haciendo x =
2
2
=
de donde
1
12
4
3
1
22
1
X
1
1
=
2
n
4
n=1
1
32
2
;
:::
2
3
y f( ) =
2
=
6
iii) Como la función f es seccionalmente suave para
x
y f(
f ( ) se cumplen
las condiciones de su…ciencia de la identidad de Parseval entonces
1
Z
x2
2
2
dx =
2
=
2
9
1 x5
5
1
X
1
2
n
n=1
1.3
3
4
+
4
=
+
1
n
X
4 ( 1)
n2
n=1
1
X
16
=)
n4
n=1
90
Problema 3
Sea f (x) = x(sin x); si
< x < ; entonces:
i) Determine la serie de esta función.
3
2
=)
)=
ii) Pruebe la convergencia de la serie:
1
n
X
( 1)
1
=
2
n
1
4
n=1
Solución:
i) La función f (x) es par, es decir f (x) = f ( x) 8 x 2 ( ; ); entonces:
bn = 0
R
R
R
a0 = 1 f (x)dx = 1 x sin xdx = 1 [x ( cos x)]0 + cos xdx = 1
0
an =
2
R
0
R
2
f (x) cos(nx)dx =
0
0
x sin x cos(nx)dx
0
Para n 6= 1
R
an = 1 x [sin ((n + 1) x)
sin ((n
1) x)] dx =
0
Para n = 1
R
a1 = 2 x sin x cos xdx =
0
Por lo tanto, la serie es:
x sin x = 1
1
R
x sin(2x)dx =
0
2( 1)n+1
n2 1
1
2
1
n+1
X
( 1)
1
cos x + 2
cos (nx)
2
n2 1
n=2
ii) En x = 0 hay un punto de continuidad de la función, entonces la serie
converge a f (0)
f (0) = 0 = 1
Finalmente
1
n+1
X
1
( 1)
cos 0 + 2
cos (0)
2
n2 1
n=2
1
n+1
X
( 1)
1
=
2
n
1
4
n=2
1.4
Problema 4
i) Para f (x) = e [x] , 0 x 2 obtener su serie de Fourier en cosenos, periódica
de período 4.
ii) Del resultado determinar la convergencia de:
1
n 1
X
( 1)
2n 1
n=1
Solución: Evaluando la función parte entera tenemos
4
8
<
1
si 0 x < 1
e 1 si 1 x < 2
:
e 2 si
x=2
Con extensión par fp (x) de f (x) se obtiene la serie:
f (x) =
a0 +
1
X
n x
2
an cos
n=1
a0 =
an =
=2
1
2
R1
1dx +
0
R1
0
sin n2
n
R2
1
e
dx =
1
R2
cos n2 x dx +
+ 2e
1
e
1
1 sin n
sin
1
2
1
1+e
cos n2 x dx =
n
2
n
=2
sin n2
n
sin
n x
2
n
2
1
e
j10 + e
1 sin
n x
2
n
2
j21
1
Finalmente, la serie es:
1+e
2
1
+ 2(1
e
1
)
1
X
sin n2
n x
cos
n
2
n=1
ii) Convergencia de x0 = 2 punto de discontinuidad con límites laterales e
se tiene convergencia:
e
1
1+e
2
=
e
1
1
2
1
+ 2(1
= 2(1
1
e
1
X
)
)
1
X
sin n2
cos n
n
n=1
1
X
sin n2
cos n
n
n=1
1
2n
n=1
1.5
1
e
1
=
1
4
Problema 5
Utilice la serie de Fourier para demostrar la identidad trigonométrica
sin3 (x) =
3
sin(x)
4
1
sin(3x)
4
Solución:
Se calcula la serie de Fourier de f (x) = sin3 (x) en [
impar la serie será:
1
X
bn sin n
con bn =
n=1
2
Z
0
5
; ] : Como f (x) es
sin3 (x) sin(nx)dx
En primer lugar, calculemos la integral para n 6= 1
R
R
sin3 x sin nxdx =
sin3 x cosnnx j0 + n3 sin2 x cos x cos nxdx
0
0
Usando la identidad trigométrica: cos x cos nx = cos(n
R
3
= 2n
sin2 x [cos(n 1)x cos(n + 1)x] dx
(1)
1)x
cos(n+11)x
2
0
En segundo lugar, calculemos el valor del coe…ciente b1 para n = 1 en (1)
R
R
R
4x
dx
b1 = 1 32 sin2 x cos 2xdx = 43 (1 cos 2x) cos 2xdx = 43 1 cos
2
0
b1 =
23
4 2
=
0
0
3
4
En tercer lugar, para n > 1 en (1)
bn =
bn =
3
2n
3
2n
sin(n+1)x
n+1
sin2 x
R
sin(n+1)x
n+1
0
+
+
sin(n 1)x
n 1
sin(n 1)x
n 1
j0
R
0
sin(n+1)x
n+1
R
sin(n 1)x
n 1
sin 2xdx
sin 2xdx
Usando la identidad trigonometrica
R
3 1 1
bn = 2n
(cos(n + 1)x cos(n + 3)x) dx
n+1 2
3 1 1
2n n 1 2
+
0
(cos(n
3)x
cos(n + 1)x)dx = 0;
0
8 n 6= 3
Para n = 3 el cálculo directo, produce:
b3 = 2 33 2 2 2 = 14
Por lo tanto, la serie de Fourier resultante es:
3
sin(x)
4
1
sin(3x)
4
Luego, por el teorema de la convergencia dada la continuidad de f se tiene
lo requerido.
1.6
Problema 6
Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (t) = e at si
t > 0 considerando una extensión par de f (t) y estudie la convergencia en R:
Solución:
e at si t > 0
Sea fp (t) =
;así de…nida es una función par, luego:
eat si t < 0
6
A(w)
=
2
Z1
f (u) cos(wu)du = 2
0
=
2 lim
b!1
Z1
e
au
cos(wu)du
0
Zb
e
au
e
au
cos(wu)du
0
=
2 lim
b!1
a2 + w2
2 lim
=
2a
a2 + w2
a2
0
ab
e
=
b!1
b
( a cos(wu) + w sin(wu))
+
w2
( a cos(wb) + w sin(wb)) +
a2
a
+ w2
Entonces la integral de Fourier de f (t) es:
1
Z1
2a
2a
cos(wx)dw =
a2 + w2
0
Z1
cos(wx)
dw
a2 + w2
0
Como la funcion es continua en R;aplicando el criterio de la convergencia, la
integral converge a f (t):
Z1
cos(wx)
dw =
e
a2 + w2
2a
ax
0
1.7
Problema 7
Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (x) = xe
x 2 ( 1; 1) y estudie su convergencia en R:
jxj
si
Solución:
Se tiene que f (x) es una función impar. Examinemos, si se cumplen las
condiciones de existencia de integral de Fourier.
En primer lugar
Z1
xe
jxj
dx =
1
2
Z1
xe
x
dx
0
=
=
2
2 4 xe
2 1=2
7
x 1
j0
+
Z1
0
e
x
3
dx5
Además, f es continua y diferenciable 8x.
Los coe…cientes de Fourier de f son:
A(w)
=
B(w)
=
0 ya que f es una función impar
Z1
4w
ue juj sin(wu)du =
2
(1 + w2 )
1
Entonces, para todo x la integral de Fourier converje a:
xe
x
=
4
Z1
0
1.8
w
2
(1 + w2 )
sin(wx)dw
Problema 8
Sea f la función pulso rectangular unitario de período 2 de…nida
1
si
<x<
2
por f (x) =
a) Representar gra…ca0 si
1 x<
ó
<x 1
mente f (x)
b) Obtener la serie de Fourier de f (x) .
c) Si an ( ) es el coe…ciente n-ésimo de la serie anterior, calcular los límites:
lim ( lim+ (an ( )) ;
n!1
lim+ ( lim (an ( )))
!0
!0
n!1
Solución:
b) Como f es una función par de período 2 ,entonces :
a0
=
Z1
f (x) dx =
0
Z
1
1
dx =
2
2
0
Z1
an
=
2
f (x) cos(n x)dx = 2
bn
=
0 8n
0
Z
1
1 sen(n
cos (n x) dx =
2
n
0
Luego, se tiene que:
f (x)
1
1 1 X sen(n
+
2
n
n=1
)
c) En primer lugar calculemos:
8
cos (n x) ; x 2 [ 1; 1]
)
= an ( )
lim+ ( lim (an ( ))) = lim+ ( lim
!0
n!1
!0
n!1
1 sen(n
n
)
1 sen(n
n
)
) = lim+ (0) = 0
!0
n!1
En segundo lugar
lim ( lim+ (ak ( )) = lim ( lim+
n!1
1.9
n!1
!0
!0
) = lim (1) = 1
n!1
Problema 9.
Dada la función f (x) = xe x con x > 0;
a) Veri…que que considerando las extensiones par e impar de la función f :
Z 1
Z 1
1 w2
2w
cos
wx
dw
=
senwx dw
2
2
(1 + w )
(1 + w2 )2
0
0
b) Estudiar la convergencia de la IF parar deducir que:
Z 1
Z 1
w2
1
dw
=
dw
(1 + w2 )2
(1 + w2 )2
0
0
Solución
Consideremos para f (x) = xex con x > 0 la extensión par
fp (x)
=
fp (x)
xe x si x > 0
=)
xex si x < 0
Z1
Z1
1
A (w) cos wxdw con A (w) = 2 xe
0
x
cos wx dx
x
senwx dx
0
Ahora, consideremos la extensión impar de f
fi (x)
fi (x)
=
xe x si x > 0
=)
xex si x < 0
Z1
Z1
1
B (w) senwxdw con B (w) = 2 xe
0
0
Podemos calcular los coe…cientes A (w) y B (w) integrando por partes:
9
A (w)
=
2
Z1
x
xe
cos wx dx =)
0
A (w)
=
2
"
xe
x
( cos wx + wsenwx)
(1 + w2 )
e
x
( 1
w2 cos wx
2wsenwx)
2
(1 + w2 )
#1
0
2
A(w)
B (w)
=
=
1 w
(1 + w2 )2
2
2
Z1
x
xe
senwx dx =)
0
B (w)
B(w)
"
xe
x
( senwx w cos wx)
(1 + w2 )
=
2
=
2w
2
(1 + w2 )2
e
x
( 1
w2 senwx + 2w cos wx)
2
(1 + w2 )
Construyendo las respectivas integrales de Fourier y aplicando el teorema
de la convergencia , puesto que f es una función seccionalmente 8x > 0 ,se tiene
que :
xe
x
=
2
Z1
1 w2
cos wxdw
(1 + w2 )2
Z1
2w
senwxdw
(1 + w2 )2
0
xe
x
=
2
0
Por lo tanto, las extensiones son iguales:
Z1
1 w2
cos wx dw =
(1 + w2 )2
0
Z1
2w
senwx dw
(1 + w2 )2
0
b) En x = 0 se tiene un punto en que estas extensiones son continuas, luego
ambas integrales convergen a f (0) = 0
Z1
0
1 w2
dw = 0 =)
(1 + w2 )2
Z1
1
dw =
(1 + w2 )2
0
Z1
0
10
w2
dw
(1 + w2 )2
#1
0
1.10
Problema 10.
Si f (x)es una función par ,con integral de Fourier f (x) =
a) xf (x) =
demuestre que:
b) x2 f (x) =
Z1
1
1
Z1
1
Z1
A (w) cos(wx)dw,
0
A (w) cos(wx)dw; donde A (w) =
dA(w)
dw
0
d2 A(w)
dw2
A (w) cos(wx)dw; donde A (w) =
0
Solución
a) Se tiene que xf (x) =
entonces A (w) = 2
Como f (x) =
1
Z1
Z1
1
Z1
A (w) sen(wx)dw; es una función impar,
0
v f (v) sen(wv)dv (1):
0
A (w) cos(wx)dw con
A (w) = 2
0
Z1
f (v) cos(wv)dv:
0
Entonces, derivando el coe…ciente queda
dA(w)
dw
=
2
Z1
vf (v) sen(wv)dv (2)
0
A (w)
Por lo tanto, comparando (1) y (2) se tiene dA(w)
dw =
Z1
b) Como x2 f (x) = 1
A (w) cos(wx)dw; es una función par,
0
entonces A (w) =
Como, f (x) =
1
Z1
2
Z1
v 2 f (v) cos(wv)dv (1)
0
A (w) cos(wx)dw con
0
Por consiguiente
2
d A(w)
dw2
=
2
Z1
dA(w)
dw
=
2
Z1
A (w) = 2
Z1
f (v) cos(wv)dv:
0
vf (v) sen(wv)dv =)
0
v 2 f (v) cos(wv)dv (2)
0
2
A(w)
Por lo tanto, comparando (1) y (2)se tiene d dw
=
2
11
A (w) :