Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería Industrial
MÉTODOS DE DECISIÓN MULTICRITERIO
ELECTRE Y TOPSIS APLICADOS A LA
ELECCIÓN DE UN DISPOSITIVO MÓVIL
Autor: Jaime Ruiz Pallarés
Tutor: Jesús Muñuzuri Sanz
Equation Chapter 1 Section 1
Dep. Organización Industrial y Gestión de
Empresas II
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla, 2015
Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería Industrial
MÉTODOS DE DECISIÓN MULTICRITERIO
ELECTRE Y TOPSIS APLICADOS A LA
ELECCIÓN DE UN DISPOSITIVO MÓVIL
Autor:
Jaime Ruiz Pallarés
Tutor:
Javier Muñuzuri Sanz
Profesor titular
Dep. Organización Industrial y Gestión de Empresas II
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla, 2015
iii
Proyecto Fin de Carrera: MÉTODOS DE DECISIÓN MULTICRITERIO ELECTRE Y TOPSIS
APLICADOS A LA ELECCIÓN DE UN DISPOSITIVO MÓVIL
Autor:
Jaime Ruiz Pallarés
Tutor:
Jesús Muñuzuri Sanz
El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:
Presidente:
Vocales:
Secretario:
Acuerdan otorgarle la calificación de:
Sevilla, 2015
El Secretario del Tribunal
v
A todas las personas que me han
hecho llegar hasta aquí
vii
Agradecimientos
Quisiera aprovechar estas líneas para hacer una mención de agradecimiento a todas las personas que me han
hecho llegar hasta aquí.
En primer lugar a mi familia. Durante todos estos años en la carrera nunca me ha faltado su apoyo, sustento
económico y comprensión. Sé que si para mí no ha sido fácil, para ellos tampoco.
Mención especial a mi novia Begoña que, aunque no haya tenido que aguantarme durante la carrera completa,
si en gran parte de ella. No ha tenido que ser fácil soportarme durante épocas de exámenes.
Sin olvidarme de mis amigos, los que ya tenía previamente a empezar la carrera y los que he hecho durante la
misma. Con ellos ha sido muchísimo más llevadero. Me gustaría hacer especial mención a mi compañero y
amigo Manuel Fontana Viñuales con el que llevo junto desde que teníamos 6 años en el colegio hasta día de
hoy. Ha sido quizá la persona más importante durante la carrera y ha sido una gran experiencia llevar el proyecto
en paralelo con él trabajando codo con codo.
Por último a mi tutor del proyecto Don Jesús Muñuzuri por todo lo que he aprendido durante la realización del
mismo y la total disponibilidad que ha mostrado a la hora de cualquiera tutoría o duda. Haber recibido clases
con él y conocer su metodología de trabajo fue clave a la hora de decidir el tutor del proyecto.
Gracias a todos, porque cada uno en su medida, habéis hecho posible la consecución de mi carrera y lo que
supone para mí a nivel personal y académico.
Jaime Ruiz Pallarés
Alumno de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Sevilla, 2015
ix
Resumen
En un mundo cada vez más complejo y globalizado en el que hay tal cantidad de factores interrelacionados a la
hora de la toma de una decisión, muchos de ellos contrapuestos, es de gran utilidad tener el mayor número de
herramientas posibles de las que podamos servirnos para elegir una alternativa entre las posibles. El grupo de
decisores se ayudará de las herramientas que les sean necesarias para, en base a distintos criterios que se analizan
de cada alternativa, elegir la alternativa a priori idónea.
En definitiva, con unos buenos decisores y unas buenas herramientas, podremos maximizar las posibilidades de
éxito de nuestra decisión.
En este proyecto aplicaremos los métodos ELECTRE y TOPSIS para la elección de un dispositivo de telefonía
móvil entre una serie de ellos de distinta gama y características. Debido a la inmensa competitividad del sector
de la telefonía móvil y su gran número de opciones a la hora de elegir un dispositivo, hemos pensado que podría
ser un gran ejemplo de aplicación. Contaremos para ello con un total de ocho decisores que nos ayudarán a elegir
la solución óptima en base a los criterios que previamente hemos elegido.
El estudio realizado podría aplicarse para que tanto fabricantes de teléfonos móviles como operadoras móviles
que también venden dispositivos móviles fabricados por los primeros, tengan una mejor visión de qué
características buscan los usuarios a la hora de elegir un teléfono móvil.
xi
Abstract
In an increasingly globalized and complex world that has such related factors in our decision making, many of
them opposing factors, it is very useful having the greater number of tools in order to making a choice between
all the possible alternatives. Decision makers group will draw on necessary tools that enable them to make the
optimum decision.
In short, with good tools and decision makers, we could maximize the chances of success for decision making.
In this project we shall apply the Multi-Criteria Decision Methods ELECTRE and TOPSIS for the election of a
cell phone between a number of them with different technical details. Due to high competitiveness in mobile
phone sector, we have thought it could be a great example application. For this we will count on eight decision
makers who will help us to make the optimum decision.
The study could apply to have a better view of the user preferences when deciding to purchase a mobile phone
what could be useful for mobile phone makers and operators.
xiii
Índice
Agradecimientos
ix
Resumen
xi
Abstract
xiii
Índice de Tablas
xvi
Índice de Figuras
xviii
Notación
xix
1
Introducción y Objeto del Proyecto
11
2
Planteamiento del problema
12
3
Desarrollo teórico de los métodos
3.1 Reseña histórica
3.2 El proceso de toma de decisiones multicriterio
3.3 El Método TOPSIS
3.3.1
El concepto de Alternativa Ideal
3.3.2
El algoritmo TOPSIS
3.4 El método ELECTRE
3.4.1
Análisis de Concordancia
3.4.2
Conceptos básicos de los métodos ELECTRE
3.4.3
Tipos de criterios utilizados en los métodos ELECTRE
3.4.4
Método ELECTRE I
3.4.5
El algoritmo ELECTRE I
15
15
16
18
18
21
24
25
26
26
27
29
4
Aplicación de los métodos
4.1 El método TOPSIS aplicado a nuestro problema
4.1.1
Construcción de la matriz de decisión
4.1.2
Normalización de la matriz de decisión
4.1.3
Construcción de la matriz de decisión normalizada ponderada
4.1.4
Determinación de la solución ideal positiva y la solución anti-ideal o ideal negativa
4.1.5
Cálculo de las medidas de distancia
4.1.6
Cálculo de la proximidad relativa de cada alternativa a la solución ideal positiva y negativa
4.1.7
Clasificación final
4.1.8
Análisis de sensibilidad. Eliminando el factor precio
4.2 El método ELECTRE aplicado a nuestro problema
4.2.1
Construcción de la matriz de decisión
4.2.2
Construcción de la matriz de concordancia
4.2.3
Normalización de la matriz de decisión
4.2.4
Construcción de la matriz de decisión normalizada y ponderada
4.2.5
Construcción de la matriz de discordancia
4.2.6
Definición de umbrales
4.2.7
Cálculo de la matriz de dominancia concordante
4.2.8
Cálculo de la matriz de dominancia discordante
4.2.9
Cálculo de la matriz de dominancia agregada
4.2.10 Obtención del grafo
4.2.11 Clasificación final
4.2.12 Análisis de sensibilidad. Eliminando el factor precio
33
33
33
33
34
45
46
48
49
51
54
54
55
57
57
58
59
59
60
60
61
62
63
5
Análisis de resultados y conclusiones
67
Referencias
69
Anexo A. Características de los teléfonos móviles
71
Anexo B. Cuestionario
77
Anexo C. Respuestas de los Decisores al Cuestionario
83
xv
Índice de Tablas
Tabla 1: Matriz de decisión TOPSIS
22
Tabla 2: Matriz de decisión del decisor Curro
33
Tabla 3: Matriz de decisión normalizada
34
Tabla 4: Pesos asignados por cada usuario a los distintos criterios
34
Tabla 5: Matriz de ponderación 1
34
Tabla 6: Matriz de ponderación 2
35
Tabla 7: Matriz de ponderación 1 ordenada
35
Tabla 8: Matriz de ponderación 2 ordenada
36
Tabla 9: Valores Saaty para criterios
37
Tabla 10: Comparación de métodos del cuestionario
38
Tabla 11: Matriz A Alfonso
39
Tabla 12: Matriz A Carlos
39
Tabla 13: Matriz A Guillermo
40
Tabla 14: Matriz A Ignacio
40
Tabla 15: Matriz A Javier
40
Tabla 16: Matriz A Pedro
40
Tabla 17: Matriz A Jaime
41
Tabla 18: Matriz A Curro
41
Tabla 19: Ponderación AHP
42
Tabla 20: Orden de importancia de criterios según ponderación
43
Tabla 21: Matriz normalizada ponderada
45
Tabla 22: Ideal positivo y negativo por criterio
45
Tabla 23: Distancias de cada dispositivo al ideal positivo y negativo
46
Tabla 24: Proximidad relativa de cada alternativa a la solución ideal positiva y negativa
48
Tabla 25: Clasificación final TOPSIS
50
Tabla 26: Clasificación final TOPSIS sin factor precio
52
Tabla 27: Variación obtenida en el análisis de sensibilidad TOPSIS
54
Tabla 28: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad TOPSIS
54
Tabla 29: Matriz de decisión decisor Alfonso
54
Tabla 30: Matriz de concordancia
55
Tabla 31: Matriz de concordancia iPhone 6 frente al resto
55
Tabla 32: Matriz de concordancia Galaxy S5 frente al resto
56
Tabla 33: Matriz de decisión normalizada
57
Tabla 34: Matriz de decisión normalizada y ponderada
58
Tabla 35: Matriz de discordancia
58
Tabla 36: Matriz de discordancia II
59
Tabla 37: Matrtiz de dominancia concordante
59
Tabla 38: Matrtiz de dominancia discordante
60
Tabla 39: Matrtiz de dominancia agregada
60
Tabla 40: Matrtiz de dominancia agregada II
60
Tabla 41: Comparación vectores de decisión Xiaomi MI 4 y HTC One
61
Tabla 42: Clasificación final ELECTRE
62
Tabla 43: Clasificación final ELECTRE sin factor precio
64
Tabla 44: Comparación clasificación final ELECTRE con y sin factor precio
65
Tabla 45: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad ELECTRE
66
Tabla 46: Clasificación final de los cuatro métodos
67
xvii
Índice de Figuras
Figura 3-1: Proximidad al ideal y anti-ideal
20
Figura 3-2: Esquema TOPSIS
21
Figura 3-3: Grafo ELECTRE
32
Figura 4-1: Media de pesos AHP
42
Figura 4-2: Distribución de pesos por usuario AHP
43
Figura 4-3: Diferencia entre el peso máximo y mínimo por método
44
Figura 4-4: Perfiles de los pesos según métodos de cálculo
44
Figura 4-5: Ideal positivo por criterio y decisor
45
Figura 4-6: Ideal negativo por criterio y decisor
46
Figura 4-7: Distancia de cada alternativa al ideal positivo
47
Figura 4-8: Distancia de cada alternativa al ideal negativo
47
Figura 4-9: Clasificación final por decisor
48
Figura 4-10: Puntuación por dispositivo
49
Figura 4-11: Media final
50
Figura 4-12: Media final (2)
51
Figura 4-13: Tanto por uno que representa el precio entre el total de pesos
52
Figura 4-14: Media final con análisis de sensibilidad
53
Figura 4-15: Media final con análisis de sensibilidad (2)
53
Figura 4-16: Concordancia iPhone 6
56
Figura 4-17: Concordancia Galaxy S5
57
Figura 4-18: Grafo ELECTRE
61
Figura 4-19: Núcleo del Grafo ELECTRE
62
Figura 4-20: Clasificación final ELECTRE
63
Figura 4-21: Clasificación final ELECTRE sin factor precio
65
Notación
ELECTRE
TOPSIS
AHP
PROMETHEE
Elimination et Choix Tradusiant la Realité
Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution
Analytic Hierarchy Process
Preference Ranking Organization Methods for Enrichment Evaluations
xix
1 INTRODUCCIÓN Y OBJETO DEL
PROYECTO
La toma de decisiones (decisión-making) es el proceso mediante el cual se realiza un juicio o una
elección entre dos o más acciones o alternativas con el objetivo de dar una solución a un problema.
Todos nuestros actos, conscientes o no, son el resultado de alguna decisión. La información que
recabamos para comprender un suceso nos sirve a su vez para desarrollar buenos juicios a la hora
de tomar decisiones sobre sucesos similares. La toma de decisiones constituye toda una ciencia
hoy en día.
La importancia de la toma de decisiones ha dado lugar a su estudio desde un punto de vista más
operativo a la aparición de diversas metodologías que nos ayudan mediante procesos matemáticos
más o menos sencillos, a resolver estos problemas. Es aquí donde se encuentran los métodos de
decisión multicriterio, sistemas creados a priori para usar por un grupo reducido de expertos en una
determinada materia cuando quieren ejecutar una acción o solucionar un problema y disponen de
diversas alternativas para hacerlo.
Con este proyecto hemos queridos analizar desde un punto de vista teórico dos de los métodos más
extendidos a fin de comprobar su comportamiento cuando se enfrentan ambos al mismo problema.
Son los métodos TOPSIS y ELECTRE. Como se desarrollará más adelante, ambos métodos
pertenecen a familias distintas dentro de la subdivisiones que se hacen para clasificar estos
métodos, por lo que el estudio de similitudes y diferencias entre los resultados finales de uno y otro
se hace interesante.
Ambos métodos han sido aplicados a una problemática muy presente para cualquier persona hoy
en día: la elección de un dispositivo móvil. Aunque las personas encargadas de tomar la decisión
no se pueden definir exactamente como expertos, son personas con suficiente conocimiento de la
materia como para tener claro las distintas alternativas que se han planteado y los criterios que
debían de ser evaluados. Desde este punto de vista el proyecto se asemeja a un estudio de mercado
pero ya que nuestro objetivo es un estudio metodológico, donde la solución final no va ligada a la
ejecución de ninguna acción, la aplicación de las técnicas está totalmente justificada.
Es precisamente por esto último por lo que antes de la aplicación de los métodos, hemos convenido
desarrollar la teoría de ambas técnicas para que cualquier persona que lea el proyecto pueda
comprender sin acudir a una fuente externa (las cuales suelen encontrarse mayoritariamente en otra
lengua) todos los cálculos que se van realizando y dotar a todo de sentido. Esto también resulta
importante para analizar correctamente las conclusiones finales que se exponen y apreciar los
posibles paralelismos y divergencias existentes entre los métodos.
35
2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Como se ha comentado en la introducción, el problema en torno al cual gira el proyecto, es la
elección del dispositivo móvil que se adapte mejor a las preferencias de un grupo de personas. Las
alternativas posibles pertenecen a un mismo segmento del mercado, en concreto a los dispositivos
de gama más alta de las principales firmas del mercado en diciembre de 2014. Se escogió a un
grupo de ocho personas con suficiente información en la materia para que nos mostraran sus
preferencias a través de un cuestionario que se muestra en el Anexo A, y se les pidió diversas
evaluaciones sobre los productos según los siguientes atributos:
-
Tamaño de dispositivo/pantalla
Cámara: calidad y nitidez con que se muestran y/o capturan imágenes y videos en el
dispositivo.
Capacidad de almacenamiento: memoria interna del dispositivo y posibilidad de ampliarla
mediante dispositivos externos
Batería: duración en suspensión y en llamada
Diseño: estética del producto y calidad de los materiales usados en su fabricación
Procesador: Capacidad del dispositivo de realizar funciones complejas con rapidez y
eficacia
Precio
Las alternativas concretas entre las que tuvieron que elegir, y las características técnicas de cada
uno relacionadas con los atributos mencionados arriba, eran las siguientes:
Apple IPhone 6:
Tamaño de la pantalla: 4.7 pulgadas
Cámara:

Resolución: 1334x750.

Características: 8 megapíxeles. Vídeo a 1080p/30fps. Graba Slow-motion
Capacidad de almacenamiento: 128 GB (interno). Sin almac. externo
Batería: 250h en stand-by. 14h en conversación
Procesador: Dual-core 1.39 GHz. 1 GB RAM
Precio: 990€
Sony Xperia Z3
Tamaño de la pantalla: 5.2 pulgadas
Cámara:

Resolución:
1080x1920.
12

Características: 20.7 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps. Graba Slow-motion
Capacidad de almacenamiento: 16 GB (interno). Con almac. externo (no incluido)
Batería: 740h en stand-by. 16h en conversación
Procesador: Quad-core 2.5 GHz. 3 GB RAM
Precio: 535 €
Motorola Moto X
Tamaño de la pantalla: 5.2 pulgadas
Cámara:

Resolución:
1080x1920.

Características: 13 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps
Capacidad de almacenamiento: 16 GB (interno). Sin almac. externo
Batería: 576h en stand-by. 13h en conversación
Procesador: Dual-core 1.7 GHz. 2GB RAM
Precio: 497 €
Samsung Galaxy S5
Tamaño de la pantalla: 5.1 pulgadas
Cámara:

Resolución:
1080x1920

Características: 16 megapíxeles. Vídeo UHD (4000p)/30fps.
Capacidad de almacenamiento: 16 GB (interno). Con almac. externo (no incluido)
Batería: 390h en stand-by. 21h en conversación
Procesador: Quad-core 2.5 GHz. 2 GB RAM
Precio: 442 €
Xiaomi MI 4
Tamaño de la pantalla: 5 pulgadas
Cámara:

Resolución:
1080x1920

Características: 13 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps.
13
Capacidad de almacenamiento: 64 GB (interno). Sin almac. externo
Batería: 740h en stand-by. 16h en conversación
Procesador: Quad-core 2.5 GHz. 3 GB RAM
Precio: 444 €
HTC One (M8)
Tamaño de la pantalla: 5 pulgadas
Cámara:

Resolución:
1080x1920

Características: 4 megapíxeles. Vídeo a 1080p/30fps
Capacidad de almacenamiento: 16 GB (interno). Con almac. externo (no incluido)
Batería: 496h en stand-by. 20h en conversación
Procesador: Quad-core 2.3 GHz. 2 GB RAM
Precio: 534 €
Además se acompañaban fotografías para que se pudiera evaluar el diseño del producto, otro de
los atributos. Estas fotografías también se encuentran en el anexo.
14
3 DESARROLLO TEÓRICO DE LOS
MÉTODOS
Como ya sabemos, los métodos que vamos a utilizar para solucionar el problema explicado en el
apartado anterior están englobado dentro de los Métodos de Decisión Multicriterio. En este
apartado veremos las características comunes que comparten y donde se sitúan dentro de un
proceso genérico de toma de decisiones, para después explicar con detalle aquellos que hemos
elegidos para su estudio.
3.1 Reseña histórica
Aunque el problema de la toma de decisiones ha sido siempre de carácter multicriterio, al principio
no existía ningún método de llevarlo a cabo. Es entonces cuando se empieza a hablar de la Toma
de decisiones multicriterio o MCDM (multi-criteria decision-making) que estudia los muy variados
métodos de resolución de problemas con más de un criterio y alternativas.
Los primeros indicios tienen lugar en la aristocracia del siglo XVII cuando el Marqués de Caritat
de Condorcet en 1785 analizó de forma teórica el efecto de la elección social cuando un grupo de
electores y a la vez candidatos cada uno con sus propios criterios deben elegir un único candidato.
Sin embargo el verdadero impulso se encuentra en los estudios socio-económicos de finales del
siglo XIX y comienzos del XX realizados por el teórico italiano Wilfredo Pareto. Su Teoría del
Bienestar, basada en los conceptos de equilibro de Pareto y eficiencia de Pareto, sentó las bases
para el análisis multicriterio en el que ningún criterio podía mejorar sin que otro empeorase. Aparte
de estos estudios socio-económicos, la Investigación Operativa (conocida también como la teoría
de la toma de decisiones) también ha hecho una importante contribución en MCDM.
Los orígenes de la Investigación Operativa se remontan a la Revolución Industrial, en la década de
1770. Esta época supuso un cambio en la estructura de las organizaciones, reflejado en la
especialización del trabajo propuesta por Adam Smith. Esta especialización trajo problemas en las
organizaciones ya que cada agente era autónomo en sus decisiones y tenía sus metas y objetivos
propios. Estos problemas y la necesidad de resolverlos concurrieron en la aparición de la
Investigación Operativa.
Hasta la llegada de la Segunda Guerra Mundial, las decisiones se toman basándose en la
experiencia y la intuición, pero la popularidad que obtuvieron las técnicas de resolución de
problemas de decisión durante la guerra también contribuyó en gran medida al desarrollo de la
Investigación Operativa.
A esta época corresponden los trabajos de Hitchcock sobre los fundamentos de la programación
lineal en 1941, las investigaciones de George Dantzig en 1947, quién desarrolló el método
SIMPLEX, y las aportaciones de Richard Bellman sobre la programación dinámica. Años más
tarde Albert Tucker y Harold Kuhn desarrollaron las bases de la programación no lineal, y en 1954
Ochard-Hays investigó las relaciones de la programación lineal con el análisis numérico. También
a mediados del siglo XX Tucker y Kuhn fusionan los conceptos de Investigación Operativa con
los estudios de Pareto para establecer la teoría sobre la maximización de un vector de funciones
objetivo. En 1961 Cooper y Charnes proponen el método de la Programación por Metas, una de
15
las técnicas de optimización multiobjetivo con más relevancia. En 1968 Bernard Roy formula el
método de decisión multicriterio ELECTRE (Elimination et Choix Tradusiant la Realité).
En 1972 tiene lugar la Primeria Conferencia Internacional sobre la Toma de Decisiones
Multicriterio en la Universidad de Carolina del Sur y a partir de ese momento, junto a la aparición
del ordenador empiezan las grandes aportaciones en este campo. Surgen técnicas más generales y
aplicables a más tipos de decisiones que las existentes hasta la fecha y con gran capacidad y
velocidad de cómputo de información para los decisores. Esto convirtió a la programación lineal
como el principal modelo de planificación para las empresas.
Tras una década de controversia entre los defensores del uso de una función multiobjetivo y una
simple aparecen dos escuelas de gran importancia: la americana, enfocada en el análisis desde una
perspectiva teórica, y la europea, interesada en una resolución de componente más práctico. En el
primero grupo están entre otros Keeney y Raiffa, responsables de los fundamentos de la Teoría
Multiatributo y Saaty, que en 1981 publicó el Proceso de Análisis Jerárquico o AHP (Analytic
Hierarchy Process). A la segunda pertenecen el ya mencionando Bernard Roy, Vansnick o JeanPierre Brans, que público en 1982 el método PROMETHEE (Preference Ranking Organization
Methods for Enrichment Evaluations).
A partir de entonces cabe destacar la obtención del premio Nobel de economía por parte de Herbert
A. Simon en 1977 por sus investigaciones sobre procesos de elección y teoría de decisión. Desde
los ochenta hasta hoy los principales avances en MCDM vienen relacionados con el uso de la
informática para la aplicación de problemas cada vez más complejos.
3.2 El proceso de toma de decisiones multicriterio
Para comprender como se lleva a cabo un proceso de este tipo, empezaremos por definir algunos
conceptos básicos en la literatura de los métodos que utilizaremos.
En primer lugar tenemos al decisor (decisión-maker), como su propio nombre dice, es la persona
o grupo de personas encargados de tomar una decisión, según sus propias preferencias expresadas
con respecto a los objetivos a alcanzar y sopesando la importancia relativa de cada criterio. Es
importante que actúe libremente y bajo ninguna coacción ya que él es el protagonista de la toma
de decisión. Como se ha mencionado, un problema puede ser planteado por más de un decisor. En
este caso obtendremos distintas soluciones según la visión de cada uno y existirán métodos para
llegar a una solución de compromiso entre todos en caso de que fuera necesario.
A continuación aparece el analista, es aquella persona encargada de seleccionar el método
cuantitativo de decisión a emplear, y que conociendo las preferencias del decisor o grupo de
decisores, extrae del mismo unas conclusiones que permitan tomar la decisión o decisiones
correspondientes. Es el encargado de modelar el problema y de hacer recomendaciones a los
decisores, pero en ningún caso se encarga de ejecutar le decisión final o de expresar opiniones
personales.
Siguiendo con otras definiciones básicas, ahora no relacionados con los agentes del proceso, surge
el concepto de alternativa, que no son más que las posibles acciones o soluciones a adoptar por
el/los decisores. Dichas alternativas poseerán diversas características para la toma de decisión que
podrán ser de carácter cualitativo o cuantitativo. A su vez, según la naturaleza de nuestro problema,
podremos tener un número determinado o infinito de posibles alternativas. El siguiente concepto
es el de atributo, que no es más que cada una de las mencionadas características que marcan el
comportamiento de una alternativa, y que a veces pueden medirse de manera independiente al
criterio del decisor. Ejemplos de este último caso son conceptos como precio, peso o tamaño.
Una vez clarificados los conceptos, explicaremos las etapas del proceso, que vienen recogidas en
la siguiente figura:
16
1. Fase de iniciación: En esta fase el decisor acepta la existencia de un problema y la
necesidad de resolverlo. S recoge la información relevante para el análisis racional del
problema.
2. Formulación del problema: Después de un análisis detallado de la situación habrá que
definir el problema en los términos propios de la terminología y especificar tanto los
criterios a tener en cuenta como las posibles alternativas.
3. Modelado del sistema: En esta fase establecemos las relaciones lógicas entre los distintos
elementos del sistema para el método de análisis elegido. Es aquí donde por ejemplo se
produce la normalización entre las distintas magnitudes que aparezcan en los atributos.
4. Análisis y evaluación: En función de los criterios o juicios de decisión se analizarán las
ventajas y desventajas de cada alternativa. Posteriormente con las preferencias del decisor
escogeremos la alternativa que mejor se adapte a él. Debido a que estamos ante un proceso
dinámico, ninguna alternativa puede ser descartada
5. Implementación: Una vez que se ha tomado la decisión, es conveniente verificar tras su
implementación si ha resultado satisfactoria para realizar una nueva evaluación en caso de
que no lo fuera.
Por último, para cerrar este apartado, mencionaremos una de las clasificaciones existentes para los
métodos de decisión multicriterio, comentando las particularidades de cada uno.
1. Programación multiobjetivo: estos métodos se utilizan cuando buscamos un conjunto
de soluciones eficientes en un contexto definido por múltiples objetivos a optimizar que
compiten entre ellos y que deben satisfacer un conjunto determinado de restricciones.
Cada objetivo debe llevar asignado un atributo. Este modelo no recoge las preferencias
del decisor y las soluciones no son definidas a priori, sino que son el resultado de
operaciones matemáticas. Un ejemplo de este tipo de métodos es el conocido por todos
método SIMPLEX
2. Programación por metas: coloca el énfasis en el logro de niveles satisfactorios para cada
criterio u objetivo relevante a la decisión, ante la imposibilidad de optimizar todos los
objetivos que compiten entre sí. Para ello, a cada criterio identificado como relevante a la
decisión, debe asociarse un atributo cuantificable y una meta o nivel de aspiración. Un
área de incertidumbre al aplicar la programación por metas es la fijación de de los niveles
de aspiración por parte de los participantes. Por otra parte, el método requiere que los
17
objetivos estén asociados a atributos cuantificables. De esta forma, el método se limita a
problemas que puedan ser formulados en esos términos y excluye problemas que
incorporan criterios que se evalúan subjetivamente
3. Métodos basados en funciones de valor: Cuando se usa este tipo de metodologías se
asocia una puntuación numérica o valor a cada alternativa, de forma de producir un orden
de preferencia, consistente con los juicios de valor expresados por los participantes.
4. Métodos de sobreclasificación: Los métodos de sobrecalificación para el ordenamiento
de un conjunto de alternativas de acuerdo a más de un criterio, se basan en las relaciones
de sobrecalificación que pueden existir entre cada dos alternativas del grupo más que en
la evaluación individual de cada una de ellas. Una alternativa ‘a’ se dice que sobrecalifica
a otra alternativa ‘b’, sí “a es tan buena como b” en la mayoría de los criterios y no
significativamente peor en el resto de ellos. El manejo posterior de las relaciones de
sobrecalificación para el ordenamiento de las alternativas, varía con el método particular
utilizado.
Métodos basados en jerarquías y redes analíticas: Estos métodos tienen en común que utilizan
una estructura jerárquica o una red para describir el problema y las interacciones entre sus
elementos. Los métodos permiten la incorporación al proceso de los juicios de los grupos que
puedan resultar afectados por la decisión, sobre (i) la intensidad de la importancia de un criterio
sobre otro, con relación a un tercero jerárquicamente superior, en rondas de comparaciones por
pares entre los criterios y (ii) el grado de cumplimiento de cada alternativa con relación a cada
criterio, expresado el primero como una medida relativa sobre otra alternativa del conjunto, en
comparaciones por pares entre las alternativas.
3.3 El Método TOPSIS
La técnica de ordenación de preferencias por similaridad a la solución ideal mejor conocida como
TOPSIS (Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution) es un método de
análisis de decisión multicriterio el cual fue originalmente desarrollado por Hwang y Yoon en
1981. El método TOPSIS se basa en el concepto del ideal y del anti-ideal en la elección de
alternativas, ya que en este método las alternativas elegidas deben tener la distancia geométrica
más corta de la solución ideal positiva (ideal) y la distancia geométrica más larga de la solución
ideal negativa (anti-ideal).
Este método se basa en que es deseable que una determinada alternativa se ubique a la distancia
más corta respecto de una solución ideal positiva y a la mayor distancia respecto a una solución
ideal negativa. En este método una solución ideal se define como un conjunto de niveles (o
puntuaciones) ideal respecto a todos los atributos considerados de un determinado problema, aun
cuando la solución ideal usualmente sea imposible o no sea factible de obtener. En consecuencia,
desde este punto de vista la racionalidad de la conducta humana consiste en ubicarse lo más cerca
posible de tal solución ideal y en alejarse lo más posible de una solución anti-ideal o ideal negativa.
En el método TOPSIS se define un índice llamado similaridad o proximidad relativa combinando
los valores de la proximidad a la solución ideal positiva y la lejanía respecto a la solución ideal
negativa. La idea es seleccionar la alternativa que tenga la máxima similaridad con respecto a la
solución ideal positiva.
3.3.1
El concepto de Alternativa Ideal
18
El concepto de alternativa ideal tiene una larga tradición en diversos campos científicos,
especialmente en la literatura psicométrica, en donde se maneja una noción absoluta de ideal.
Zeleny (1973 y 1982) lo impone como pieza central de su propuesta de “solución de compromiso”,
en el sentido de la alternativa más próxima a la ideal. Para dicho autor los conceptos de “ideal” y
de “solución de compromiso” incluso son una hipótesis sobre la racionalidad subyacente en los
procesos humanos de decisión. Es en el método TOPSIS donde se contemplan las sutilezas que el
concepto de “ideal” tiene y se construye un método operativo. Conviene, entonces, formalizar
algunas definiciones básicas: Dado un conjunto {𝑨𝒊 } de m alternativas de decisión, un conjunto
{𝑪𝒋 } de n criterios (básicamente en su componente atributo) y una matriz V cuyos elementos
𝒗𝒊𝒋 son las evaluaciones de cada una de las alternativas respecto a cada criterio de decisión
normalizados:
Se denomina punto ideal en 𝑹𝒏 al punto o vector:
+
+
+
𝑨+ = [𝑨+
𝟏 , 𝑨𝟐 , … , 𝑨𝑴 ] donde 𝑨𝒊 es el 𝑚𝑎𝑥𝑖 𝒗𝒊𝒋 para el caso de los criterios que representan
−
−
−
atributos deseables (como beneficios en sentido amplio) y 𝑨+ = [𝑨−
𝟏 , 𝑨𝟐 , … , 𝑨𝑴 ] donde 𝑨𝒊 es
el 𝑚𝑖𝑛𝑖 𝒗𝒊𝒋 para el caso de los criterios que representan atributos indeseables (como costos en
sentido amplio).
La alternativa 𝑨+ se llama alternativa ideal.
Análogamente, se considera punto anti-ideal en 𝑹𝒏 al punto o vector:
−
−
−
𝑨− = [𝑨−
𝟏 , 𝑨𝟐 , … , 𝑨𝑴 ] donde 𝑨𝒊 es el 𝑚𝑖𝑛𝑗 𝒗𝒊𝒋 para el caso de los criterios que representan
+
+
+
atributos deseables y 𝑨− = [𝑨+
𝟏 , 𝑨𝟐 , … , 𝑨𝑴 ] donde 𝑨𝒊 es el 𝑚𝑎𝑥𝑗 𝒗𝒊𝒋 para el caso de los criterios
que representan atributos indeseables.
Podemos concluir que el método TOPSIS trata de acercarse a la menor distancia posible al punto
ideal y alejarse del punto anti-ideal. Trabajar con estos dos conceptos puede conducir a resultados
diferentes. Véase la Figura 3-1 en la que se representan cinco alternativas (A,B,C,D y E) para un
problema con dos criterios (C1 y C2 ) con su correspondiente punto ideal y anti-ideal:
19
Figura 3-1: Proximidad al ideal y anti-ideal
En la Figura 3-2 podemos observar como la alternativa C es la más próxima al ideal, sin embargo,
no es la más lejana al anti-ideal, siendo estos B y D.
TOPSIS resuelve este problema basándose en una idea que Dasarathy aplicó en un contexto de
análisis multivariante de datos. El método calcula para cada alternativa, las distancias ponderadas
al ideal y al anti-ideal según un a métrica p escogida previamente.
Así:
𝐴𝑖 = [𝑣𝑖1 , 𝑣𝑖2 , … , 𝑣𝑖𝑛 ] ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚, se calculan las distancias ponderadas al ideal y al antiideal según la métrica seleccionada. La más utilizada es la métrica de Minkowski entre dos puntos
de 𝑅 𝑛 , que en este caso se define de la siguiente manera:
𝑝
𝑝
1⁄
𝑝
𝑑𝑝+ (𝐴𝑖 ) = [∑ 𝑤𝑗 [𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗+ ] ]
𝑗
𝑝
𝑝
1⁄
𝑝
𝑑𝑝− (𝐴𝑖 ) = [∑ 𝑤𝑗 [𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗− ] ]
𝑗
Donde p es el parámetro de distancia. En nuestro caso utilizaremos la distancia elucídela (p=2) de
forma que:
20
2
𝑑+ (𝐴𝑖 ) = √∑ 𝑤𝑗2 [𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗+ ]
𝑗
2
𝑑− (𝐴𝑖 ) = √∑ 𝑤𝑗2 [𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗− ]
𝑗
Una vez que tenemos las distancias ponderadas al ideal y al anti-ideal, se determina lo que se
denomina “ratio de similaridad al ideal”:
𝑅𝑆(𝐴𝑖 ) =
𝑑𝑝− (𝐴𝑖 )
𝑑𝑝+ (𝐴𝑖 ) + 𝑑𝑝− (𝐴𝑖 )
Este ratio será el que utilizaremos para el ordenamiento final de las alternativas según las distancias
que en él se reflejan hacia la solución ideal y anti-ideal.
3.3.2
El algoritmo TOPSIS
A continuación se presenta un esquema en el que se sintetizan los pasos que deben realizarse a la
hora de aplicar TOPSIS.
Figura 3-2: Esquema TOPSIS
21
3.3.2.1
Construcción de la matriz de decisión
El método TOPSIS evalúa la siguiente matriz de decisión (Tabla X) que se refiere a m alternativas
𝐴𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 las cuales son evaluadas según n criterios 𝐶𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, asociando un peso
𝑤𝑗 a cada uno de ellos.
w2
…
wj
…
wn
C1
C2
…
Cj
…
Cn
A1
r11
r12
r1j
r1n
A2
r21
r22
r2j
r2n
rm1
rm2
rmj
rmn
…
w1
Ai
…
Am
Tabla 1: Matriz de decisión TOPSIS
Donde 𝑟𝑖𝑗 denota la valoración de la i-ésima alternativa en términos del j-ésimo criterio.
A la hora de seleccionar un vector de pesos que pondere cada una de las alternativas en función de
la opinión de los decisores, tendremos varios posibles métodos.
3.3.2.2
Normalización de la matriz de decisión
Aunque en el método TOPSIS no se obligue a normalizar según un método concreto, el más
habitual es el siguiente:
𝑟𝑖𝑗
𝑣𝑖𝑗 =
, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛
2
𝑚
√∑𝑖=1(𝑟𝑖𝑗 )
3.3.2.3
Construcción de la matriz de decisión normalizada ponderada
Cada valor normalizado ponderado 𝒗𝒊𝒋 de la matriz en cuestión 𝑽 se calcula como el producto
22
entre cada 𝒘𝒋 por cada 𝒗𝒊𝒋 , j= 1,2,…n; i= 1,2,…, m. Donde 𝒘𝒋 es el peso del j-ésimo criterio, tal
que ∑ 𝒘𝒋 puede ser igual a 1, si hablamos del caso general que verifica la igualdad. Es bien
conocido que los pesos de los criterios en un problema de decisión no tienen el mismo significado
y no todos tienen la misma importancia. Como se comentó anteriormente, en nuestro caso
ponderaremos mediante AHP.
3.3.2.4
Determinación de la solución ideal positiva y la solución anti-ideal o ideal negativa
El conjunto de valores ideal positivo 𝐴+ y el conjunto de valores ideal negativo 𝐴− se determinan
como sigue:
+
𝐴+ = {𝐴1+ , 𝐴+
2 , … , 𝐴𝑛 } = {(max 𝑣𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐽) (min 𝑣𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐽′)} ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝑖
𝑖
−
𝐴− = {𝐴1− , 𝐴−
2 , … , 𝐴𝑛 } = {(min 𝑣𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐽) (max 𝑣𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐽′)} ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝑖
𝑖
Donde J está asociado con los criterios que representan atributos deseables y J' está asociado con
los criterios que representan atributos indeseables. Donde J está asociado con los criterios que
representan atributos deseables y J' está asociado con los criterios que representan atributos
indeseables.
En nuestro caso, todos los criterios son deseables, ya que el precio (costo) se ha evaluado de manera
positiva por los decisores en caso de ser un precio más bajo y negativamente en caso de ser un
precio más alto.
3.3.2.5
Cálculo de las medidas de distancia
La distancia de cada alternativa de la solución ideal positiva 𝐴+ viene dada como:
2
𝑑𝑖+ = √∑ (𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗+ )
𝑗
y la correspondiente a la distancia de la solución ideal negativa 𝐴− se toma como:
2
𝑑𝑖− = √∑(𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗− )
𝑗
Como comentamos anteriormente hemos tomado p=2 para obtener la distancia elucídela mmultidimensional.
23
3.3.2.6
Cálculo de la proximidad relativa de cada alternativa a la solución ideal positiva y
negativa
Esto se obtiene, como se dijera, con el ratio de similaridad, que puede expresarse como sigue:
𝑅𝑆𝑖 =
𝑑𝑖−
; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝑑𝑖+ + 𝑑𝑖−
Si 𝑅𝑆𝑖 = 1, 𝐴𝑖 entonces es igual a 𝐴+ (Solución Ideal). Si 𝑅𝑆𝑖 = 0, entonces 𝐴𝑖 es igual 𝐴−
(Solución Anti-ideal). Es decir, que cuanto más próximo es el valor del ratio a 1, indica una mayor
prioridad de la alternativa i-ésima.
3.3.2.7
Ordenación de alternativas de acuerdo a su proximidad relativa
Simplemente se ordenan las alternativas de acuerdo con el ratio, en orden descendente.
3.4 El método ELECTRE
En el contexto de la Ayuda a la Decisión Multicriterio se ha observado, en las últimas dos décadas,
la aparición de numerosas metodologías que permiten resolver problemas de decisión reales. Las
metodologías que han tenido más aceptación y que continúan evolucionando con la presentación
de nuevas y renovadas versiones, son aquellas que tienen como fundamento las Relaciones de
Superación (outranking relations).
En este trabajo, la atención recae sobre una de las versiones de los Métodos ELECTRE
(Elimination et Choix Traduisant la Realité) que pertenecen a la familia de Métodos de Relaciones
de Superación y que, si bien, no es la de más reciente aparición, se utiliza aquí por la importancia
que tiene al considerar “criterios verdaderos” (the true criteria).
Los estudios científicos sobre decisión han ido ocupando a un sector cada vez más amplio de
investigadores que de manera rigurosa han analizado el tema sobre todo en las últimas décadas. En
particular, el análisis de la decisión con criterios múltiples y contradictorios se ha extendido
sorprendentemente en todo el mundo y en todos los campos. Existen numerosas sociedades
internacionales y grupos nacionales dedicados a estas investigaciones, cuyo trabajo ha dado lugar
a la aparición de numerosas metodologías que llevan añadido en su título “Toma de Decisiones
Multicriterio”, y en los últimos años la nueva tendencia es incorporar a la denominación la palabra
“ayuda” con lo que el resultado se conoce como “Ayuda a la Decisión Multicriterio”. De esta
manera debería entenderse mejor la diferencia entre analista y decisor, y la idea de que debe ser el
analista el ayudante del decisor en el camino que le conduce para tomar su mejor elección, y no
creer que la simple metodología de toma de decisiones multicriterio, recogida en programas
informáticos, es decir, softwares de decisión, pueda servirle al decisor como una herramienta que
sustituye al analista, para decidir por él mismo la elección que debe tomar.
La cantidad de aplicaciones posibles de esta teoría, en todos los campos del conocimiento, ha
atraído a investigadores, científicos y muchos otros que se limitan a poner en práctica aquellas
24
innovaciones técnicas y/o científicas que han sido ya estudiadas. Esta diversidad de personas
dedicadas al uso científico, racional y profesional del análisis de decisiones, ha originado multitud
de métodos de ayuda a la decisión durante todas las etapas consideradas en el proceso de adopción
de la mejor solución de compromiso.
Los métodos que incorporan en sus análisis las denominadas “Relaciones de Superación” tuvieron
su origen en Francia y Bélgica; nacen de la mano de Bernard Roy y su equipo de colaboradores en
1966. La idea es comparar las alternativas por pares sobre la base de dos medidas: la concordancia
y la discordancia. La concordancia se refiere a aquellos pares de alternativas que superan a otro; la
discordancia es el caso inverso, es decir un par de alternativas superado por otro. Los principales
representantes de estas ideas son los métodos ELECTRE (Elimination et Choix Traduisant la
Realité), aunque posteriormente hacen su aparición los métodos PROMETHEE (Preference
Ranking Organization Methods for Enrichment Evaluations), con facilidad de aplicación y
comprensión por parte del decisor, de la mano de los investigadores Jean P. Brans y Phillip Vincke,
en 1985.
Esta parte del proyecto se centra en los métodos ELECTRE, con especial énfasis en el análisis de
concordancia y la posterior construcción de la Relación de Superación, tomando la versión
ELECTRE I, que aunque no es la más reciente, es la única que considera los “criterios verdaderos”
, que resultan los más apropiados para su aplicación a problemas como el estudiado.
3.4.1
Análisis de Concordancia
El análisis de concordancia hace uso de diversas y sencillas funciones matemáticas para indicar el
grado de dominancia de una alternativa o grupo de alternativas, y posibilita la existencia de
incomparabilidades. Dado su carácter no compensatorio, no se admiten los intercambios o
compensaciones de un criterio respecto de otro para cada elección individual. Este rasgo permite
diferenciarlo de los modelos de la Teoría de la Utilidad Multiatributo (MAUT), que son de carácter
compensatorio y aditivo. El análisis de concordancia está reconocido como un modelo de decisión
multicriterio de naturaleza no-compensatoria.
La comparación entre las alternativas se efectúa por pares y con respecto a cada uno de los criterios
de decisión seleccionados, y establece el grado de dominancia que una alternativa tiene sobre la
otra; es decir, determina su “grado de superación”. Este grado de superación o dominancia lo
establecen las relaciones matemáticas que se formulan, determinando hasta qué punto una
alternativa destaca sobre las restantes. Además los pesos que el decisor asigna a cada criterio y que
reflejan sus preferencias, confirman o contradicen la relación de dominancia binaria entre las
alternativas de decisión.
El método analiza tanto el grado de concordancia, como el de discordancia, es decir:
1. El grado en el que las ponderaciones que reflejan las preferencias están de acuerdo con la
relación binaria de dominación, y
2. El grado en el cual las evaluaciones ponderadas difieren entre sí.
Estas etapas se fundamentan en los denominados conjuntos de concordancia y discordancia. Una
de las ventajas de este tipo de análisis es que utiliza la información disponible en forma muy
intensiva, exigiendo muy poco al decisor. El proceso finaliza con la selección de una alternativa o
grupo de alternativas preferidas, consideradas como “la mejor solución de compromiso”.
De todos los métodos y versiones de software que se han realizado con esta metodología del
análisis de concordancia, el más reconocido representante es el método ELECTRE.
25
3.4.2
Conceptos básicos de los métodos ELECTRE
Todos los métodos ELECTRE construyen una relación, llamada de “superación” que representa
las preferencias del decisor sobre el conjunto de alternativas, dada la información disponible. Es
un modelo de decisión multicriterio que utiliza diversas funciones matemáticas para indicar el
grado de dominancia de una alternativa respecto de otra. Al formar parte de la familia de los
métodos de relaciones de superación facilita las comparaciones binarias entre alternativas
asignando ponderaciones iniciales a los criterios de decisión, lo cual permite un posterior análisis
de sensibilidad cuando se varían las citadas ponderaciones para aproximarlas al valor exacto que a
veces es desconocido. Todo esto puede completarse con un análisis de robustez, lo cual otorgará
mayor fiabilidad al modelo. Las comparaciones se efectúan por pares de alternativas y bajo cada
uno de los criterios de decisión, y a partir de ellas se obtiene el grado de “dominancia” o
“superación” de una alternativa respecto de otra. El resultado es el ordenamiento del conjunto de
alternativas.
Los métodos ELECTRE han sido ampliamente utilizados en problemas de planificación y
administración gubernamental.
Actualmente hay seis versiones de este método, ELECTRE I, II, III, IV, Tri e Is. Tal como se ha
comentado precedentemente la metodología, en general, involucra un análisis sistemático de las
relaciones entre todos los pares posibles de alternativas, sobre la base de las evaluaciones que
poseen las alternativas respecto de cada uno de los criterios. La metodología contempla la
construcción de una relación de superación, la generación de índices de concordancia y
discordancia (incluyendo la noción de importancia relativa para cada criterio) y un análisis de los
resultados obtenidos de la evaluación completa de todas las relaciones de superación obtenidas.
En cada versión del método, las alternativas de decisión son evaluadas en términos de los criterios
múltiples; siendo cada criterio una medida de las preferencias del decisor de acuerdo con algún
punto de vista. La versión del modelo ELECTRE que se debe emplear depende, esencialmente, de
los tipos de criterios involucrados. La definición de estos criterios es pues de vital importancia y
relevancia para la adecuada comprensión del método.
3.4.3
Tipos de criterios utilizados en los métodos ELECTRE
Las estructuras de preferencia utilizadas por los métodos de relaciones de superación, recogen
distingos tipos de criterios, dependiendo de la complejidad de su formulación y de la naturaleza
del problema de decisión.
Así se pueden distinguir:

El criterio verdadero o real

El semi-criterio

El criterio de intervalo

El pseudo criterio
La versión del ELECTRE I., utiliza “criterios verdaderos”, por lo que se especificará este tipo de
criterios con más precisión, para comprender mejor el funcionamiento de la metodología en este
caso particular, y reconocer así la importancia que conlleva, en el tipo de problemas que nos ocupa.
Las últimas versiones del ELECTRE trabajan con pseudo-criterios incorporando así complejidad
a las estructuras de preferencia, ya que se pretende mejorar la estructura de preorden, que como se
sabe es la más sencilla. De esta forma se perfila con mayor profundidad el tratamiento de la
incertidumbre al incorporar nuevos umbrales (preferencia, indiferencia veto).
Criterio real o verdadero es la forma más sencilla de formular un criterio y se utiliza en aquellas
26
estructuras de preferencia denominadas “tradicionales”. En ellas no deben determinarse umbrales
y las diferencias entre las evaluaciones de los criterios se utilizan para decidir cuál es la alternativa
preferida. La estructura de preferencia del ordenamiento resultante es un preorden completo.
Cualquier estructura de preferencia o superación puede caracterizarse completamente mediante
una relación de superación (S), que define las condiciones necesarias para que una alternativa a
supere a otra b. Así, la alternativa a supera (S) a la alternativa b si el decisor la prefiere a b o es
indiferente (I) entre ambas. Formalmente se puede escribir de la forma
𝑎𝑆𝑏 ⟺ 𝑎𝑃𝑏 ó 𝑎𝐼𝑏
En una estructura de preferencia tradicional, la preferencia P del decisor satisface el modelo
siguiente:
𝑎𝑃𝑏 ⟺ 𝑔(𝑎) > 𝑔(𝑏)
𝑎𝐼𝑏 ⟺ 𝑔(𝑎) = 𝑔(𝑏)
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴
Siendo a y b dos alternativas del conjunto A y g la función de valor de uno de los criterios.
S se define como la unión de P e I, es decir:
𝑆 = 𝑃∪𝐼
𝑎𝑆𝑏 ⇔ 𝑔(𝑎) ≥ 𝑔(𝑏)
La relación de indiferencia I, resulta tener la importante propiedad transitiva, es decir que si 𝑎𝐼𝑏 y
𝑏𝐼𝑐, entonces 𝑎𝐼𝑐. Esta estructura de preferencia se denomina preorden completo y cumple las
propiedades reflexiva, transitiva y la completitud. Todas las alternativas tienen que ser ordenadas
de la mejor a la peor, admitiendo empates o incomparabilidades entre alternativas del mismo rango.
Si no existiesen empates, la relación podrá transformarse en un orden completo, satisfaciendo las
propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y la completitud.
3.4.4
Método ELECTRE I
En general, en un problema de decisión multicriterio, se dice que la alternativa a supera a la
alternativa b si, dados el nivel de conocimiento de las preferencias del decisor y la calidad de la
información respecto de todos los criterios relevantes disponibles para evaluar cada alternativa,
existen argumentos suficientes a favor de considerar que la alternativa a es al menos tan buena
como la alternativa b, y no existen argumentos sólidos que indiquen lo contrario.
Al construir la relación de superación, la definición debe enriquecerse de forma tal que facilite la
solución del problema de decisión. El método ELECTRE afronta su “enriquecimiento” en dos
etapas diferentes:
27
1. La construcción de una relación de superación
2. La explotación de la relación construida
En la versión objeto de este estudio, el método ELECTRE I, que fue la primera versión del modelo
presentado por Bernard Roy en 1968 para la formulación y resolución de problemas de decisión
con criterios múltiples, el objetivo consiste en obtener un subconjunto, kernel o núcleo N de
alternativas de tal forma que cualquier alternativa que no pertenezca al conjunto N es superada por
al menos otra alternativa de N. Debe enfatizarse que no se trata de un conjunto de alternativas
preferidas sino un conjunto en el que puede encontrarse la mejor solución de compromiso. Por
tanto, el método ELECTRE I busca obtener una partición del conjunto de alternativas A, que es un
conjunto finito y contiene todas las alternativas factibles consideradas, en dos subconjuntos 𝑁 y
𝑁, tales que:
1. Cada alternativa de 𝑁es superada por al menos una alternativa de N,
2. Las alternativas de 𝑁 son incomparables entre sí.
3. 𝑁 ∩ 𝑁 es el conjunto vacío
4. 𝑁 ∪ 𝑁 es el conjunto A
En la primera fase del Electre I, construcción de la relación de superación, a cada criterio se le
asigna una ponderación o peso 𝑤𝑗 con 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, siendo n el número de criterios, que refleja
las preferencias del decisor. Estos pesos son crecientes en relación a la mayor importancia del
criterio. Se define el índice de concordancia para cada par ordenado de alternativas (a,b), C(a,b)
de la forma:
𝐶(𝑎, 𝑏) =
∑
𝑤𝑗 + 0,5
𝑗|𝑔𝑗 (𝑎)>𝑔𝑗 (𝑏)
∑
𝑤𝑗
𝑗|𝑔𝑗 (𝑎)=𝑔𝑗 (𝑏)
Siendo 𝑟𝑗 (𝑎) la evalución de la alternativa a bajo el criterio j.
Así pues, el índice de concordancia toma valores comprendidos entre 0 y 1, y además mide la
fuerza de la afirmación “la alternativa a supera a la alternativa b”. No obstante, cualquier
superación de la alternativa b por la alternativa a puede ser debilitada o considerada dudosa por el
índice de discordancia 𝐷(𝑎, 𝑏) que se define como:
max
𝐷(𝑎, 𝑏) =
(𝑎,𝑏)|𝑔𝑗 (𝑎)<𝑔𝑗 (𝑏)
𝑔𝑗 (𝑏) − 𝑔𝑗 (𝑎)
max |𝑔𝑗 (𝑏) − 𝑔𝑗 (𝑎)|
∀(𝑎,𝑏)
De esta forma, D(a,b) es un índice cuyos valores están comprendidos entre 0 y 1, y se incrementa
si la preferencia de la alternativa b sobre la alternativa a es importante para al menos un criterio.
Este índice puede utilizarse, sólo si las evaluaciones de los diferentes criterios son comparables y
no son de naturaleza cualitativa. Si el índice de discordancia alcanza un cierto valor umbral, la
superación de la alternativa b por la alternativa a que podría indicar el índice de concordancia, es
rechazada.
Así, la relación de superación del ELECTRE I se construye comparando los índices de
concordancia y discordancia, previa especificación de sus respectivos límites o umbrales. Si se
supone que c* es el valor límite especificado para el índice de concordancia (umbral de
concordancia como máximo igual a 1), y d* es el valor límite especificado para el índice de
28
discordancia (umbral de discordancia como mínimo igual a 0), entonces la relación de superación
S, puede definirse tomar la forma:
𝑎𝑆𝑏 ⇔ 𝐶(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑐 ∗ 𝑦 𝐷(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑑∗
Respecto a la segunda fase, la explotación de la relación de superación, el método ELECTRE,
mediante la utilización de los índices establecidos anteriormente, busca obtener una partición del
conjunto de alternativas A, que como ya se ha comentado, es un conjunto finito y contiene todas
las alternativas factibles consideradas, en dos subconjuntos 𝑁 y 𝑁, tales que:
1. ∀𝑏 ∈ 𝑁, existe 𝑎 ∈ 𝑁, tal que 𝑎𝑆𝑏
2. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁, 𝑎𝑆𝑏 y 𝑏𝑆𝑎
3. 𝑁 ∩ 𝑁 es el conjunto vacío
4. 𝑁 ∪ 𝑁 es el conjunto A
Si se realiza la representación gráfica de la relación S, el conjunto N constituye el núcleo o kernel
del grafo resultante. Si el grafo no posee circuitos, dicho núcleo existe y además contiene un único
elemento. En cualquier caso, el número de alternativas del núcleo podría reducirse, relajando los
valores de c* (disminuyendo a partir de uno), y de d* (incrementándose a partir de 0).
La búsqueda de la mejor solución de compromiso debería completarse con un análisis refinado de
las alternativas que componen el núcleo.
3.4.5
El algoritmo ELECTRE I
Como cuando estudiamos el método anterior, detallaremos los pasos a seguir para aplicar el
método ELECTRE I.
3.4.5.1
Construcción de la matriz de decisión
El método ELECTRE evalúa la siguiente matriz de decisión que se refiere a m alternativas 𝐴𝑖 , 𝑖 =
1,2, … , 𝑚 las cuales son evaluadas según n criterios 𝐶𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, asociando un peso 𝑤𝑗 a cada
uno de ellos.
29
w2
…
wj
…
wn
C1
C2
…
Cj
…
Cn
A1
r11
r12
r1j
r1n
A2
r21
r22
r2j
r2n
rm1
rm2
rmj
rmn
…
w1
Ai
…
Am
Tabla 1: Matriz de decisión TOPSIS
Donde 𝑟𝑖𝑗 denota la valoración de la i-ésima alternativa en términos del j-ésimo criterio.
A la hora de seleccionar un vector de pesos que pondere cada una de las alternativas en función de
la opinión de los decisores, tendremos varios posibles métodos.
3.4.5.2
Construcción de la matriz de concordancia
Con la matriz de decisión (𝐴𝑖 , 𝐶𝑗 ) y el vector de pesos W se calcula la matriz de índices de
concordancia. Cada índice de esta matriz 𝑐(𝑖, 𝑘) entre las alternativas 𝐴𝑖 y 𝐴𝑘 se obtiene sumando
los pesos asociados a cada criterio en los que la alternativa i es mejor que la alternativa k (en caso
de que el criterio fuera a minimizar sería lo contrario). En caso de empate se le asignará la mitad
de peso a cada alternativa.
𝐶(𝑎, 𝑏) =
∑
𝑤𝑗 + 0,5
𝑗|𝑟𝑗 (𝑎)>𝑟𝑗 (𝑏)
3.4.5.3
∑
𝑤𝑗
𝑗|𝑟𝑗 (𝑎)=𝑟𝑗 (𝑏)
Normalización de la matriz de decisión
Normalizamos la matriz de decisión mediante:
𝑣𝑖𝑗 =
3.4.5.4
𝑟𝑖𝑗
, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛
2
√∑𝑚
𝑖=1(𝑟𝑖𝑗 )
Construcción de la matriz de decisión normalizada ponderada
Cada valor normalizado ponderado 𝒗𝒊𝒋 de la matriz en cuestión 𝑽 se calcula como el producto
entre cada 𝒘𝒋 por cada 𝒗𝒊𝒋 , j= 1,2,…n; i= 1,2,…, m. Donde 𝒘𝒋 es el peso del j-ésimo criterio, tal
que ∑ 𝒘𝒋 puede ser igual a 1, si hablamos del caso general que verifica la igualdad. Como se
30
comentó anteriormente, en nuestro caso ponderaremos mediante AHP.
3.4.5.5
Construcción de la matriz de discordancia
Con la matriz de decisión (𝐴𝑖 , 𝐶𝑗 ) y el vector de pesos W se calcula la matriz de índices de
discordancia. Cada índice de esta matriz 𝑑(𝑖, 𝑘) entre las alternativas 𝐴𝑖 y 𝐴𝑘 se obtiene de la
diferencia mayor entre los criterios para los que la alternativa i es dominada por la alternativa k,
dividiendo esa cantidad por la mayor diferencia en valor absoluto entre los índices de la matriz de
decisión normalizada y ponderada de i y k.
max
𝐷(𝑖, 𝑘) =
(𝑖,𝑘)|𝑣̅𝑗 (𝑖)<𝑣̅𝑗 (𝑘)
𝑣̅𝑗 (𝑘) − 𝑣̅𝑗 (𝑖)
max |𝑣̅𝑗 (𝑘) − 𝑣̅𝑗 (𝑖)|
∀(𝑖,𝑘)
3.4.5.6
Definición de umbrales
Se establecen los umbrales mínimo y máximo para los índices de concordancia y discordancia. Si
se supone que c* es el valor límite especificado para el índice de concordancia (umbral de
concordancia como máximo igual a 1), y d* es el valor límite especificado para el índice de
discordancia (umbral de discordancia como mínimo igual a 0), entonces la relación de superación
S, puede definirse tomar la forma:
𝑎𝑆𝑏 ⇔ 𝐶(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑐 ∗ 𝑦 𝐷(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑑∗
Definimos c* y d* como la media aritmética de los índices de concordancia y discordancia
respectivamente.
3.4.5.7
Cálculo de la matriz de dominancia concordante
Se calcula de manera que cuando un elemento de la matriz de índices de concordancia es mayor
que el valor umbral c* en la matriz de dominancia concordante se escribe 1, de lo contrario se
escribe 0.
3.4.5.8
Cálculo de la matriz de dominancia discordante
Se define de manera análoga a la de dominancia concordante. Cuando un elemento de la matriz de
índices de discordancia es menor que el valor umbral d* en la matriz de dominancia discordante
se escribe 1, de lo contrario se escribe 0.
3.4.5.9
Cálculo de la matriz de dominancia agregada
Se obtiene al multiplicar los elementos homólogos de las matrices de dominancia concordante y
discordante.
La interpretación de esta matriz es clara e intuitiva. Así, si el elemento (𝑖, 𝑘) toma valor un 1, esto
significa que la alternativa i-ésima es mejor que la alternativa k-ésima para un número importante
31
de criterios (concordancia) y no es claramente peor para ningún criterio (discordancia).
Consecuentemente la alternativa i-ésima sobreclasifica a la k-ésima. Por el contrario, si el
elemento (𝑖, 𝑘) toma valor 0, significa que la alternativa i-ésima no es mejor que la alternativa késima para un número importante de criterios y/o es claramente peor para algún criterio.
3.4.5.10 Obtención del grafo
Se tienen tantos nodos como alternativas tengamos. Únicamente habrá un arco entre la alternativa
i-ésima y la k-ésima si existe un 1 en la matriz de dominancia agregada en el elemento (𝑖, 𝑘). Dicho
nodo sale de i y entra en k.
El grafo obtenido es una representación gráfica de la ordenación parcial de preferencias de las
alternativas del problema.
El núcleo del grafo de ELECTRE I estará formado por los nodos no dominados, es decir, aquellos
que no tienen arcos de llegada. Las alternativas pertenecientes al núcleo serán preferibles al resto.
Figura 3-3: Grafo ELECTRE
En la figura se observa que el único nodo perteneciente al núcleo es A4, por lo que la alternativa 4
sobreclasifica al resto.
32
4 APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS
4.1 El método TOPSIS aplicado a nuestro problema
En apartado aplicaremos cada uno de los pasos del algoritmo de resolución explicado en el
apartado anterior. Para no repetir la explicación, se hará ésta sobre un solo decisor (Curro), ya que
el proceso es análogo en el resto. Sin embargo las gráficas y demás serie de resultados sí harán
referencia al conjunto de decisores.
4.1.1
Construcción de la matriz de decisión
La matriz de decisión se toma directamente de los datos aportados por los decisores en el
cuestionario. Esta matriz pasa a ser nuestra matriz de partida a partir de la cual iremos realizando
todos los tratamientos matemáticos requeridos por el método.
En la Tabla 2 se adjunta la matriz de decisión de Curro.
Dispositivo
/Criterio
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiamiMI4
HTCOne
Tamaño Cámara
8
6
4
8
4
7
5
7
6
7
6
1
Almacen.
10
1
1
1
7
1
Batería
5
9
7
6
9
7
Diseño Procesador
10
4
2
10
1
2
1
8
2
10
7
6
Precio
3
5
5
6
6
5
Tabla 2: Matriz de decisión del decisor Curro
4.1.2
Normalización de la matriz de decisión
Aplicamos la normalización a nuestra matriz de decisión mediante:
𝑟𝑖𝑗
𝑣𝑖𝑗 =
, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛
2
𝑚
√∑𝑖=1(𝑟𝑖𝑗 )
Y obtenemos 𝑽:
Dispositivo
/Criterio
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiamiMI4
HTCOne
Tamaño
0,58
0,29
0,29
0,36
0,43
0,43
Cámara
0,38
0,51
0,44
0,44
0,44
0,06
Almacen.
0,81
0,08
0,08
0,08
0,57
0,08
33
Batería
0,28
0,50
0,39
0,33
0,50
0,39
Diseño
0,79
0,16
0,08
0,08
0,16
0,56
Procesador
0,22
0,56
0,11
0,45
0,56
0,34
Precio
0,24
0,40
0,40
0,48
0,48
0,40
Tabla 3: Matriz de decisión normalizada
4.1.3
Construcción de la matriz de decisión normalizada ponderada
Una vez normalizada la matriz deberemos proceder a ponderar según los pesos definidos por los
decisores para cada criterio. Cada valor normalizado ponderado 𝒗𝒊𝒋 de la matriz en cuestión 𝑽 se
calcula como el producto entre cada 𝒘𝒋 por cada 𝒗𝒊𝒋 , j= 1,2,…n; i= 1,2,…, m.
Para definir el vector de pesos tenemos diferentes alternativas, en primer lugar estudiaremos las
más comunes de ellas en el método ELECTRE, a los que llamaremos ponderación 1 y ponderación
2, y posteriormente el método de ponderación AHP.
En el cuestionario dado se les pide que evalúen cada criterio de 0 a 10 según su importancia (siendo
10 la máxima).
Criterio
Alfonso
Carlos Guillermo Ignacio
Javi
Pedro
Jaime
Curro
Tamaño
6
7
7
4
5
6
8
7
Cámara
8
3
9
7
6
5
6
10
Capac. Almac.
8
10
10
9
7
4
6
8
Batería
7
8
9
9
7
7
7
10
Diseño
3
9
8
4
6
7
6
10
Procesador
7
5
7
10
8
6
8
6
Precio
6
10
8
10
10
9
10
6
Tabla 4: Pesos asignados por cada usuario a los distintos criterios
La primera fórmula que usaremos para ponderar los pesos será la siguiente:
𝑣𝑗
𝑤𝑗 = 𝑛
∑𝑚=1 𝑣𝑗
Y con ella obtenemos los siguientes resultados:
Criterio
Alfonso Carlos Guillermo Ignacio
Javi
Pedro Jaime
Curro Media
Tamaño
0,13
0,13
0,12
0,08
0,10
0,14
0,16
0,12
0,12
Cámara
0,18
0,06
0,16
0,13
0,12
0,11
0,12
0,18
0,13
Capac. Almac.
0,18
0,19
0,17
0,17
0,14
0,09
0,12
0,14
0,15
Batería
0,16
0,15
0,16
0,17
0,14
0,16
0,14
0,18
0,16
Diseño
0,07
0,17
0,14
0,08
0,12
0,16
0,12
0,18
0,13
Procesador
0,16
0,10
0,12
0,19
0,16
0,14
0,16
0,11
0,14
Precio
0,13
0,19
0,14
0,19
0,20
0,20
0,20
0,11
0,17
Tabla 5: Matriz de ponderación 1
34
La segunda vendrá definida como:
𝑤𝑗 =
𝑣𝑗2
∑𝑛𝑚=1 𝑣𝑗2
Y arroja los siguientes valores:
Criterio
Alfonso Carlos Guillermo Ignacio
Javi
Pedro Jaime
Curro Media
Tamaño
0,12
0,11
0,10
0,04
0,07
0,12
0,17
0,10
0,10
Cámara
0,21
0,02
0,17
0,11
0,10
0,09
0,09
0,21
0,12
Capac. Almac.
0,21
0,23
0,20
0,18
0,14
0,05
0,09
0,13
0,16
Batería
0,16
0,15
0,17
0,18
0,14
0,17
0,13
0,21
0,16
Diseño
0,03
0,19
0,13
0,04
0,10
0,17
0,09
0,21
0,12
Procesador
0,16
0,06
0,10
0,23
0,18
0,12
0,17
0,07
0,14
Precio
0,12
0,23
0,13
0,23
0,28
0,28
0,26
0,07
0,20
Tabla 6: Matriz de ponderación 2
Reordenando ambos métodos de ponderación:
Ponderación 1
𝑣𝑗
𝑤𝑗 = 𝑛
∑𝑚=1 𝑣𝑗
Criterio
Alfonso Carlos Guillermo Ignacio
Javi
Pedro Jaime Curro MEDIA
Precio
0,13
0,19
0,14
0,19
0,20
0,20
0,20
0,11
0,17
Batería
Capac.
Almac.
0,16
0,15
0,16
0,17
0,14
0,16
0,14
0,18
0,16
0,18
0,19
0,17
0,17
0,14
0,09
0,12
0,14
0,15
Procesador
0,16
0,10
0,12
0,19
0,16
0,14
0,16
0,11
0,14
Cámara
0,18
0,06
0,16
0,13
0,12
0,11
0,12
0,18
0,13
Diseño
0,07
0,17
0,14
0,08
0,12
0,16
0,12
0,18
0,13
Tamaño
0,13
0,13
0,12
0,08
0,10
0,14
0,16
0,12
0,12
Tabla 7: Matriz de ponderación 1 ordenada
35
Ponderación 2
𝑤𝑗 =
Criterio
𝑣𝑗2
∑𝑛𝑚=1 𝑣𝑗2
Alfonso Carlos Guillermo Ignacio
Javi
Pedro
Jaime
Curro MEDIA
Precio
0,12
0,23
0,13
0,23
0,28
0,28
0,26
0,07
0,20
Batería
Capac.
Almac.
0,16
0,15
0,17
0,18
0,14
0,17
0,13
0,21
0,16
0,21
0,23
0,20
0,18
0,14
0,05
0,09
0,13
0,16
Procesador
0,16
0,06
0,10
0,23
0,18
0,12
0,17
0,07
0,14
Cámara
0,21
0,02
0,17
0,11
0,10
0,09
0,09
0,21
0,12
Diseño
0,03
0,19
0,13
0,04
0,10
0,17
0,09
0,21
0,12
Tamaño
0,12
0,11
0,10
0,04
0,07
0,12
0,17
0,10
0,10
Tabla 8: Matriz de ponderación 2 ordenada
Podemos observar que ambas ponderaciones presentan muy pocas diferencias en los pesos que
asignan a cada criterio, de hecho la clasificación que obtenemos según la media de cada decisor
queda exactamente igual. Veamos qué ocurre con el método AHP.
Con el fin de calcular un peso para cada criterio, el método AHP comienza creando una matriz de
comparación 𝐴. La matriz 𝐴 es una matriz real 𝑚𝑥𝑚 donde m es el número de criterios de nuestro
problema. Cada valor de la matriz 𝑎𝑗𝑘 representa la importancia relativa del criterio j con respecto
al k. Si 𝑎𝑗𝑘 > 1, entenderemos que el criterio j tiene más importancia que k, si por el contrario
𝑎𝑗𝑘 < 1 el criterio j es menos importante que k. Para criterios con la misma importancia 𝑎𝑗𝑘 = 1,
incluyendo los valores de la diagonal de la matriz 𝑗 = 𝑘.
Además los valores de la matriz tienen que cumplir el axioma de reciprocidad, a saber:
𝑎𝑗𝑘 · 𝑎𝑘𝑗 = 1
Por lo que el número de comparaciones que un usuario deberá realizar en este paso serán
36
𝑚·𝑚−𝑚
2
que corresponden a cualquiera de las dos diagonales (inferior o superior) de la matriz, siendo la
diagonal opuesta calculada por el mencionado axioma de reciprocidad.
Los valores con los que se rellenará dicha matriz serán valores numéricos extraídos de las
comparaciones realizadas por los usuarios. Estos valores formarán parte de una escala numérica
comprendida desde 1 hasta 9, cuyo significado en términos de importancia relativa se recogen en
la siguiente tabla. Aunque solo se recoge la interpretación para cinco valores, el usuario podrá
escoger valores intermedios. Hay que tener en cuenta que las clasificaciones de los usuarios pueden
contener inconsistencias, aunque estas no generan mayor problema siempre que se encuentren en
un intervalo razonable.
Valor de 𝑎𝑗𝑘
Interpretación
1
j y k son igual de importantes
3
j es ligeramente más importante que k
5
j es más importante que k
7
j es considerablemente más importante que k
9
j es absolutamente más importante que k
Tabla 9: Valores Saaty para criterios
Una vez construida la matriz 𝐴, el paso siguiente para la sintetización de los datos es obtener a
partir de ella la matriz normalizada 𝐴𝑛𝑜𝑟𝑚 , igualando a la unidad la suma de los valores de cada
columna. Cada valor esta matriz se calcula como:
𝑎𝑗𝑘
â𝑗𝑘 = 𝑚
∑𝑙=1 𝑎𝑙𝑘
Una vez calculada esta matriz, el vector de pesos de criterio 𝑤 se obtiene calculando el valor medio
de cada columna de 𝐴𝑛𝑜𝑟𝑚 :
37
𝑤𝑗 =
∑𝑚
𝑙=1 â𝑗𝑙
𝑚
Para obtener el vector de pesos en el método AHP debemos comparar los criterios entre sí según
la importancia dada por cada decisor. Dichas comparaciones fueron recogidas en la tabla del
cuestionario, que se reproduce a continuación:
Tamaño
Cámara
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Capac. de almac.
Batería
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Procesador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Precio
Tamaño
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Batería
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Capac. de almac.
Diseño
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Procesador
Precio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tamaño
Capac. de almac.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Diseño
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Batería
Procesador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Tamaño
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Procesador
Cámara
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Precio
Capac. de almac.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Batería
Tamaño
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Precio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tamaño
Procesador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Batería
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Capac. de almac.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Batería
Precio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Capac. de almac.
Procesador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Precio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tabla 10: Comparación de métodos del cuestionario
Para no hacer la explicación demasiada farragosa, a continuación mostraremos las evaluaciones de
38
cada usuario traspasadas directamente a la matriz A y el valor final de los pesos de los criterios, en
lugar de todos los cuestionarios contestados. También se mostrará para cada matriz A el valor de
su razón de consistencia para evaluar si las comparaciones realizadas son consistentes o no.
Alfonso
Tamaño
Cámara
3 Cap. almac
Batería
Diseño
Procesador
Precio
Tamaño
1,00
0,17
0,20
0,14
3,00
0,14
3,00
Cámara
6,00
1,00
4,00
0,50
7,00
0,20
6,00
Cap. almac.
5,00
0,25
1,00
0,25
4,00
0,20
4,00
Batería
7,00
2,00
4,00
1,00
8,00
0,33
7,00
Diseño
0,33
0,14
0,25
0,13
1,00
0,11
0,50
Procesador
7,00
5,00
5,00
3,00
9,00
1,00
7,00
Precio
0,33
0,17
0,25
0,14
2,00
0,14
1,00
Tabla 11: Matriz A Alfonso
𝑅𝐶 = 0,09517359 < 0,1, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒.
Carlos
Tamaño
Cámara
Cap. almac.
Batería
Diseño
Procesador
Precio
Tamaño
1,00
0,33
0,20
0,17
2,00
0,14
0,13
Cámara
3,00
1,00
0,20
0,33
2,00
0,17
0,20
Cap. almac.
5,00
5,00
1,00
1,00
5,00
0,25
0,25
Batería
6,00
3,00
1,00
1,00
6,00
0,50
0,25
Diseño
0,50
0,50
0,20
0,17
1,00
0,14
0,11
Procesador
7,00
6,00
4,00
2,00
7,00
1,00
0,33
Precio
8,00
5,00
4,00
4,00
9,00
3,00
1,00
Tabla 12: Matriz A Carlos
𝑅𝐶 = 0,09942091 < 0,1, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒.
Guillermo
Tamaño
Cámara
Cap. almac.
Batería
Diseño
Procesador
Precio
Tamaño
1,00
0,11
0,20
0,20
1,00
1,00
0,50
Cámara
9,00
1,00
3,00
5,00
3,00
8,00
7,00
Cap. almac.
5,00
0,33
1,00
3,00
5,00
2,00
3,00
Batería
5,00
0,20
0,33
1,00
3,00
5,00
5,00
Diseño
1,00
0,33
0,20
0,33
1,00
2,00
0,50
Procesador
1,00
0,13
0,50
0,20
0,50
1,00
0,50
Precio
2,00
0,14
0,33
0,20
2,00
2,00
1,00
39
Tabla 13: Matriz A Guillermo
𝑅𝐶 = 0,06096792 < 0,1, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒.
Ignacio
Tamaño
Cámara
Cap. almac.
Batería
Diseño
Procesador
Precio
Tamaño
1,00
0,20
0,20
0,17
0,33
0,11
0,14
Cámara
5,00
1,00
0,20
0,17
4,00
0,14
0,14
Cap. almac.
5,00
5,00
1,00
0,33
5,00
0,50
0,50
Batería
6,00
6,00
3,00
1,00
7,00
0,50
0,50
Diseño
3,00
0,25
0,20
0,14
1,00
0,13
0,11
Procesador
9,00
7,00
2,00
2,00
8,00
1,00
1,00
Precio
7,00
7,00
2,00
2,00
9,00
1,00
1,00
Tabla 14: Matriz A Ignacio
𝑅𝐶 = 0,08294019 < 0,1, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒.
Javier
Tamaño
Cámara
Cap. almac.
Batería
Diseño
Procesador
Precio
Tamaño
1,00
0,33
0,20
0,17
2,00
0,14
0,13
Cámara
3,00
1,00
0,20
0,33
2,00
0,17
0,20
Cap. almac.
5,00
5,00
1,00
1,00
5,00
0,25
0,25
Batería
6,00
3,00
1,00
1,00
6,00
0,50
0,25
Diseño
0,50
0,50
0,20
0,17
1,00
0,14
0,11
Procesador
7,00
6,00
4,00
2,00
7,00
1,00
0,33
Precio
8,00
5,00
4,00
4,00
9,00
3,00
1,00
Tabla 15: Matriz A Javier
𝑅𝐶 = 0,06096792 < 0,1, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒.
Pedro
Tamaño
Cámara
Cap. almac.
Batería
Diseño
Procesador
Precio
Tamaño
1,00
0,50
0,50
0,33
3,00
0,33
0,17
Cámara
2,00
1,00
0,50
1,00
4,00
0,50
0,20
Cap. almac.
2,00
2,00
1,00
0,33
3,00
0,50
0,25
Batería
3,00
1,00
3,00
1,00
3,00
0,50
0,25
Diseño
0,33
0,25
0,33
0,33
1,00
0,20
0,14
Procesador
3,00
2,00
2,00
2,00
5,00
1,00
0,25
Precio
6,00
5,00
4,00
4,00
7,00
4,00
1,00
Tabla 16: Matriz A Pedro
40
𝑅𝐶 = 0,05114897 < 0,1, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒.
Jaime
Tamaño
Cámara
Cap. almac.
Batería
Diseño
Procesador
Precio
Tamaño
1,00
5,00
7,00
1,00
6,00
1,00
0,50
Cámara
0,20
1,00
4,00
0,20
0,33
0,17
0,13
Cap. almac.
0,14
0,25
1,00
0,33
0,50
0,14
0,13
Batería
1,00
5,00
3,00
1,00
4,00
0,33
0,13
Diseño
0,17
3,00
2,00
0,25
1,00
0,20
0,13
Procesador
1,00
6,00
7,00
3,00
5,00
1,00
0,33
Precio
2,00
8,00
8,00
8,00
8,00
3,00
1,00
Tabla 17: Matriz A Jaime
𝑅𝐶 = 0,0916719 < 0,1, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒.
Curro
Tamaño
Cámara
Cap. almac.
Batería
Diseño
Procesador
Precio
Tamaño
1,00
0,20
3,00
0,33
3,00
3,00
2,00
Cámara
5,00
1,00
5,00
1,00
5,00
8,00
5,00
Cap. almac.
0,33
0,20
1,00
0,14
1,00
3,00
0,20
Batería
3,00
1,00
7,00
1,00
3,00
7,00
7,00
Diseño
0,33
0,20
1,00
0,33
1,00
3,00
1,00
Procesador
0,33
0,13
0,33
0,14
0,33
1,00
0,33
Precio
0,50
0,20
5,00
0,14
1,00
3,00
1,00
Tabla 18: Matriz A Curro
𝑅𝐶 = 0,07162487 < 0,1, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒.
Afortunadamente todas las matrices son consistentes (aunque algunas por un estrecho margen) por
lo que no debemos revisar o desechar ningún dato.
41
Ponderación AHP
Alfonso Carlos Guillermo Ignacio Javi Pedro Jaime Curro Media
Tamaño
0,05
0,11
0,04
0,02
0,03
0,06
0,18
0,12
0,08
Cámara
0,17
0,03
0,41
0,06
0,06
0,10
0,04
0,33
0,15
Capac. Almac.
0,10
0,15
0,20
0,13
0,13
0,10
0,03
0,05
0,11
Batería
0,23
0,24
0,17
0,20
0,13
0,13
0,11
0,31
0,19
Diseño
0,02
0,10
0,06
0,03
0,03
0,03
0,05
0,07
0,05
Procesador
0,39
0,03
0,05
0,27
0,24
0,17
0,19
0,03
0,17
Precio
0,03
0,34
0,07
0,27
0,38
0,41
0,39
0,09
0,25
Tabla 19: Ponderación AHP
A continuación mostramos un par de tablas que permiten evaluar estos datos desde una perspectiva
gráfica:
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Figura 4-1: Media de pesos AHP
En esta primera tabla podemos observar la gran importancia que el conjunto de los usuarios da al
precio del dispositivo (0,25), cinco veces más que al criterio menos valorado, el diseño (0,05), y
aproximadamente tres veces más que al segundo menos valorado, el tamaño (0,08). El resto de los
criterios se mueven en un razonable intervalo.
42
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Alfonso
Carlos
Guillermo
Ignacio
Javi
Pedro
Jaime
Curro
Figura 4-2: Distribución de pesos por usuario AHP
En este apartado podemos ver como existen criterios para los que la valoración de los usuarios es
bastante parecida, como en los criterios de batería o diseño; mientras que en otros como la cámara
o incluso el precio (que obtiene de media el valor más alto de manera destacada) el valor del peso
para cada usuario incluye un espectro muy amplio de valores.
Criterio
AHP
Ponderaciones
Tamaño
6
7
Cámara
4
5
Capac. Almac.
5
3
Batería
2
2
Diseño
7
6
Procesador
3
4
Precio
1
1
Tabla 20: Orden de importancia de criterios según ponderación
Podemos observar cómo se producen variaciones en el orden de importancia de los criterios según
AHP y las ponderaciones.
43
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
AHP
Ponderación 1
Ponderación 2
Figura 4-3: Diferencia entre el peso máximo y mínimo por método
En la Figura 4-3 podemos observar la mayor diferencia entre pesos según lo distintos criterios de
ponderación.
0,3
0,25
1 Tamaño
0,2
2 Cámara
3 Capac. Almac.
0,15
4 Batería
5 Diseño
0,1
6 Procesador
7 Precio
0,05
0
AHP
Ponderación 1
Ponderación 2
Figura 4-4: Perfiles de los pesos según métodos de cálculo
En la Figura 4-4 vemos como el método AHP introduce mayor varianza entre pesos de criterios
que ambas ponderaciones.
Al encontrarnos ante un problema en el que las alternativas son muy parecidas entre sí, hemos
considerado más conveniente ponderar según un método que introduzca mayor varianza entre los
criterios. El método elegido es finalmente el de ponderación AHP para ambos métodos (TOPSIS
y ELECTRE).
A continuación se adjunta la matriz normalizada ponderada
44
Dispositivo/Criterio Tamaño Cámara Almacenam. Batería
IPhone6
0,07
0,13
0,04
0,09
SonyXperia
0,03
0,17
0,00
0,15
Motorola
0,03
0,15
0,00
0,12
SGalaxyS5
0,04
0,15
0,00
0,10
XiaomiMI4
0,05
0,15
0,03
0,15
HTCOne
0,05
0,02
0,00
0,12
Diseño Procesador
0,06
0,01
0,01
0,02
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,04
0,01
Precio
0,02
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
Tabla 21: Matriz normalizada ponderada
4.1.4
Determinación de la solución ideal positiva y la solución anti-ideal o ideal
negativa
Ahora determinaremos el conjunto de valores ideal positivo 𝐴+ y el conjunto de valores ideal
negativo 𝐴−
Tamaño
Cámara Almacenam.
Batería
Diseño
Procesador
Precio
A+
0,069
0,167
0,044
0,154
0,056
0,017
0,043
A-
0,035
0,021
0,004
0,086
0,006
0,003
0,021
Tabla 22: Ideal positivo y negativo por criterio
Introducimos dos figuras en las que se compara los distintos valores de ideal positivo y negativo
según cada decisor.
0,25
0,2
0,15
A+
0,1
0,05
0
ALF
Tamaño
Cámara
CAR
GUI
Almacenam.
IGN
Batería
JAV
Diseño
PED
JAI
CUR
Procesador
Precio
Figura 4-5: Ideal positivo por criterio y decisor
45
0,14
0,12
0,1
A-
0,08
0,06
0,04
0,02
0
ALF
Tamaño
CAR
Cámara
GUI
IGN
Almacenam.
Batería
JAV
PED
Diseño
JAI
CUR
Procesador
Precio
Figura 4-6: Ideal negativo por criterio y decisor
Estas figuras nos dan una idea de no sólo que criterio es más y menos importante para cada decisor,
lo cual por si solo sería el peso asignado, sino si hay algún dispositivo en el estudio con ese criterio
satisfecho necesariamente.
Vemos en la gráfica como el decisor Guillermo (GUI) obtiene un ideal positivo del criterio Cámara
de 0.216, siendo el mayor de todos los valores de cualquier decisor. Esto es debido a que pondera
dicho criterio con 0.41 y valora al Sony Xperia con un 9 en el criterio Cámara.
4.1.5
Cálculo de las medidas de distancia
Ayudándonos del ideal positivo y el ideal negativo obtenidos anteriormente obtenemos la distancia
de cada dispositivo a cada uno de ellos.
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
di+
0,0836
0,0692
0,0843
0,0884
0,0537
0,1574
di0,1272
0,1627
0,1307
0,1290
0,1485
0,0532
Tabla 23: Distancias de cada dispositivo al ideal positivo y negativo
Podemos observar como el Xiaomi MI4 tiene la menor distancia al ideal positivo, pero sin embargo
no la mayor respecto del ideal negativo, por lo que tendremos en el siguiente paso del algoritmo
calcular la proximidad relativa a ambas para poder jerarquizar las alternativas.
Procedemos al análisis conjunto de las distancias para cada uno de los decisores. En la figura 4-7
podemos ver la distancia de cada alternativa al ideal positivo.
46
0,25
0,2
0,15
d+
0,1
0,05
0
ALF
Iphone6
CAR
SonyXperia
GUI
IGN
Motorola
JAV
SGalaxyS5
PED
JAI
XiaomiMI4
CUR
HTCOne
Figura 4-7: Distancia de cada alternativa al ideal positivo
Lo primero que llama nuestra atención es que el iPhone 6, a priori un móvil que es técnicamente
de los mejores del estudio, es el dispositivo que más se aleja del ideal positivo en seis de los ocho
casos. Algo también muy llamativo es la gran varianza que existe en las distancias asignadas a
cada
dispositivo
en
casi
todos
los
decisores.
Respecto a la distancia al ideal negativo vemos en la Figura 4-8:
0,25
0,2
0,15
d0,1
0,05
0
ALF
Iphone6
CAR
SonyXperia
GUI
IGN
Motorola
JAV
SGalaxyS5
PED
JAI
XiaomiMI4
Figura 4-8: Distancia de cada alternativa al ideal negativo
47
CUR
HTCOne
Aquí comprobamos a simple vista una disminución muy significativa de la varianza aunque es el
iPhone de nuevo el que presenta una menor distancia al ideal negativo en seis de los ocho casos.
Ambas gráficas son coherentes, ya que los decisores que suelen coincidir que el dispositivo con
mayor distancia al ideal positivo también sea el que presenta menor distancia al ideal negativo.
4.1.6
Cálculo de la proximidad relativa de cada alternativa a la solución ideal positiva
y negativa
Aplicando el coeficiente explicado anteriormente obtendremos el ratio de similaridad que teniendo
en cuenta tanto la distancia al ideal positivo (la menor posible) como la distancia al ideal negativo
(la mayor posible) nos darán los valores necesarios para establecer la clasificación de los
dispositivos según cada decisor. En nuestro caso:
XiaomiMI4
SonyXperia
Motorola
IPhone6
SGalaxyS5
HTCOne
RSi
0,73
0,70
0,61
0,60
0,59
0,25
Clasificación
1
2
3
4
5
6
Tabla 24: Proximidad relativa de cada alternativa a la solución ideal positiva y negativa
Ahora veremos cómo queda la clasificación final de cada uno de los decisores y también la
evaluación de cada dispositivo por todos los decisores. Vayamos primero por el primer caso que
se muestra en la Figura 4-9:
1
0,9
0,8
0,7
RS
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
ALF
Iphone6
CAR
SonyXperia
GUI
IGN
Motorola
JAV
SGalaxyS5
PED
JAI
XiaomiMI4
CUR
HTCOne
Figura 4-9: Clasificación final por decisor
El dispositivo que más veces se encuentra en primera posición es el Xiaomi MI4, le sigue el
Samsung Galaxy S5 con dos y el Sony Xperia con una. El teléfono móvil que más aparece en la
48
última posición es iPhone 6 con seis veces, le sigue el HTC One con dos.
Ahora exponemos las puntuaciones por dispositivo:
1
0,9
0,8
0,7
RS
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Iphone6
ALF
SonyXperia
CAR
GUI
Motorola
IGN
SGalaxyS5
JAV
PED
XiaomiMI4
JAI
HTCOne
CUR
Figura 4-10: Puntuación por dispositivo
Observamos a simple vista que la mejor alternativa entre las posibles va a estar entre el Xiaomi
MI4 y el Samsung Galaxy S5. Son claramente los dispositivos con unos ratios de similaridad más
altos superando 0,9 en dos ocasiones cada uno. En el caso del Xiaomi MI4 llega a tener un ratio
de similaridad de prácticamente la unidad (solución ideal positiva) según el decisor Jaime.
En el otro extremo tenemos el iPhone 6 que presenta ratios de similaridad menores de 0,3 en
opinión de seis de los ocho decisores. Como comprobaremos en el siguiente apartado parece
evidente que obtendrá la última posición.
4.1.7
Clasificación final
Finalmente realizamos la media ponderada de los ratios de similaridad para cada dispositivo y así
obtendremos nuestra clasificación final.
49
Media Final Clasificación
XiaomiMI4
0,79
1
SGalaxyS5
0,76
2
SonyXperia
0,65
3
Motorola
0,58
4
HTCOne
0,58
5
IPhone6
0,27
6
Tabla 25: Clasificación final TOPSIS
Como podíamos intuir, los dos primeros clasificados son el Xiaomi MI4 en primer lugar, seguido
muy de cerca por el Samsung Galaxy S5. En la última posición obtenemos al iPhone 6, el cual
queda a una gran distancia del antepenúltimo.
0,8
0,7
RS medio
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Iphone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
Figura 4-11: Media final
50
XiaomiMI4
HTCOne
Iphone6
7%
HTCOne
16%
SonyXperia
18%
XiaomiMI4
22%
Motorola
16%
SGalaxyS5
21%
Figura 4-12: Media final (2)
4.1.8
Análisis de sensibilidad. Eliminando el factor precio
El análisis de sensibilidad tiene por objetivo identificar el impacto que resulta en los resultados del
problema original luego de determinadas variaciones en los parámetros, variables o restricciones
del modelo, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente.
Hemos propuesto como análisis de sensibilidad tomar el peso del precio igual a cero, con esto
pretendemos plantear cómo variaría la decisión final si los decisores dispusiesen de recursos
ilimitados a la hora de elegir el dispositivo.
Forzamos una situación irreal en la que queremos que los decisores tomen su decisión basándose
únicamente las características técnicas y el diseño de los dispositivos.
En la Figura 4-13 adjunta podemos observar el peso relativo del precio con respecto al total de
pesos para cada decisor.
51
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
ALF
CAR
GUI
IGN
JAV
PED
JAI
CUR
Figura 4-13: Tanto por uno que representa el precio entre el total de pesos
Para cinco de los ocho decisores el criterio peso representa más del 25% del peso relativo de los
siete criterios. En conclusión tenemos cinco decisores muy sensibles al precio a la hora de
decantarse por un dispositivo.
Obtenemos los resultados siguientes:
Media Final Clasificación
SonyXperia
0,68
1
XiaomiMI4
0,65
2
SGalaxyS5
0,65
3
HTCOne
0,51
4
IPhone6
0,45
5
Motorola
0,36
6
Tabla 26: Clasificación final TOPSIS sin factor precio
Como vemos el Sony Xperia desbanca de esta forma al Xiaomi MI4 y Samsung Galaxy S5 aunque
ambos le van a la zaga. El iPhone únicamente sube una posición dejando como último al Motorola
Moto X.
52
0,7
0,6
RS medio
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Iphone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
Figura 4-14: Media final con análisis de sensibilidad
Iphone6
13%
HTCOne
15%
SonyXperia
21%
XiaomiMI4
20%
Motorola
11%
SGalaxyS5
20%
Figura 4-15: Media final con análisis de sensibilidad (2)
Ahora veremos la variación porcentual que han sufrido los dispositivos obviando el peso del
precio.
53
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
Rsi con factor Precio Rsi sin factor Precio Variación (%)
0,27
0,45
65,79
0,65
0,68
4,24
0,58
0,36
-38,63
0,76
0,65
-14,37
0,79
0,65
-16,89
0,58
0,51
-11,83
Tabla 27: Variación obtenida en el análisis de sensibilidad TOPSIS
Se observa como las variaciones en general no son excesivas salvo en los casos del iPhone 6 y el
Motorola Moto X. Los decisores han castigado fuertemente el alto precio del primero y valorado
positivamente el bajo precio del segundo.
SonyXperia
XiaomiMI4
SGalaxyS5
HTCOne
IPhone6
Motorola
Clasificación con AS
1
2
3
4
5
6
Clasificación sin AS
3
1
2
5
6
4
Variación
+2
-1
-1
+1
+1
-2
Tabla 28: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad TOPSIS
4.2 El método ELECTRE aplicado a nuestro problema
Procedemos a aplicar al estudio de la elección de un dispositivo móvil el método ELECTRE I
anteriormente explicado. Para ello vamos a utilizar los datos proporcionados por el decisor Alfonso
que van a ser tratados por el método.
4.2.1
Construcción de la matriz de decisión
A raíz de los cuestionarios entregados a los decisores, obtenemos las matrices de decisión de cada
uno de ellos. En concreto para el decisor Alfonso obtenemos la siguiente:
Dispositivo
/Criterio
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiamiMI4
HTCOne
Tamaño Cámara
9
6
6
7
6
7
7
8
8
7
8
6
Almacen.
9
6
6
6
8
6
Batería
6
7
6
8
7
8
Diseño Procesador
7
6
9
8
7
7
6
9
7
10
7
9
Tabla 29: Matriz de decisión decisor Alfonso
54
Precio
3
5
6
6
6
5
4.2.2
Construcción de la matriz de concordancia
A partir de la matriz de decisión, obtenemos comparado pares de alternativas la matriz de
concordancia.
𝐶(𝑎, 𝑏) =
∑
𝑤𝑗 + 0,5
𝑗|𝑟𝑗 (𝑎)>𝑟𝑗 (𝑏)
∑
𝑤𝑗
𝑗|𝑟𝑗 (𝑎)=𝑟𝑗 (𝑏)
Como se observa, al comparar la alternativa a con la b, el índice 𝐶(𝑎, 𝑏) se obtendrá de la suma
de los pesos de cada criterio en los que los que la alternativa a es mejor que la b. En caso de que la
alternativa b supere a la a no sumará y en caso de que ambas tengan la misma valoración para un
criterio, se tomará la mitad del peso de éste. Cada índice podrá estar comprendido entre 0 y 1. A
continuación se adjunta la matriz de concordancia de nuestro decisor.
IPhone6
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
0,85
0,72
0,83
0,84
0,75
SonyXperia
0,15
0,20
0,93
0,77
0,74
Motorola SGalaxyS5 XiaomiMI4
0,28
0,17
0,16
0,80
0,07
0,23
0,09
0,12
0,91
0,42
0,88
0,58
0,73
0,43
0,27
HTCOne
0,25
0,26
0,27
0,57
0,73
Tabla 30: Matriz de concordancia
Poniendo como ejemplo la comparación del iPhone 6 con el resto de dispositivos:
IPhone6
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
0,85
0,72
0,83
0,84
0,75
SonyXperia
0,15
0,20
0,93
0,77
0,74
Motorola SGalaxyS5 XiaomiMI4
0,28
0,17
0,16
0,80
0,07
0,23
0,09
0,12
0,91
0,42
0,88
0,58
0,73
0,43
0,27
Tabla 31: Matriz de concordancia iPhone 6 frente al resto
Obtenemos los siguientes índices de concordancia representados en la gráfica:
55
HTCOne
0,25
0,26
0,27
0,57
0,73
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
Figura 4-16: Concordancia iPhone 6
En la que observamos que debido a que en la matriz de decisión del decisor Alfonso las
puntuaciones dadas al iPhone para los distintos criterios son bajas con respecto al resto, no
obtenemos ningún índice de concordancia superior a 0,30.
En el lado opuesto tenemos:
IPhone6
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
0,85
0,72
0,83
0,84
0,75
SonyXperia
0,15
0,20
0,93
0,77
0,74
Motorola SGalaxyS5 XiaomiMI4
0,28
0,17
0,16
0,80
0,07
0,23
0,09
0,12
0,91
0,42
0,88
0,58
0,73
0,43
0,27
Tabla 32: Matriz de concordancia Galaxy S5 frente al resto
56
HTCOne
0,25
0,26
0,27
0,57
0,73
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Iphone6
SonyXperia
Motorola
XiaomiMI4
HTCOne
Figura 4-17: Concordancia Galaxy S5
En los que los índices de concordancia de dicho dispositivo son mayores que 0,8 con respecto a 3
dispositivos.
4.2.3
Normalización de la matriz de decisión
Ahora procedemos a normalizar la matriz de decisión aplicando:
𝑣𝑖𝑗 =
𝑟𝑖𝑗
, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛
2
√∑𝑚
𝑖=1(𝑟𝑖𝑗 )
Y obtenemos:
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
Tamaño
0,50
0,33
0,33
0,39
0,44
0,44
Cámara
0,36
0,42
0,42
0,48
0,42
0,36
Almacen.
0,53
0,35
0,35
0,35
0,47
0,35
Batería
0,35
0,41
0,35
0,46
0,41
0,46
Diseño
0,40
0,51
0,40
0,34
0,40
0,40
Procesador
0,30
0,39
0,35
0,44
0,49
0,44
Precio
0,23
0,39
0,46
0,46
0,46
0,39
Tabla 33: Matriz de decisión normalizada
4.2.4
Construcción de la matriz de decisión normalizada y ponderada
Para calcular el valor normalizado ponderado multiplicamos cada 𝒗𝒊𝒋 por su peso 𝒘𝒋 por cada
alternativa i-ésima, resultando:
57
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
Tamaño
0,03
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
Cámara
0,06
0,07
0,07
0,08
0,07
0,06
Almacen.
0,05
0,03
0,03
0,03
0,05
0,03
Batería
0,08
0,09
0,08
0,11
0,09
0,11
Diseño
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
Procesador
0,12
0,15
0,13
0,17
0,19
0,17
Precio
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,01
Tabla 34: Matriz de decisión normalizada y ponderada
4.2.5
Construcción de la matriz de discordancia
Una vez obtenida la matriz de decisión normaliza y ponderada podemos proceder al cálculo de la
matriz de discordancia.
Esta matriz se construye según:
max
𝐷(𝑖, 𝑘) =
(𝑖,𝑘)|𝑣̅𝑗 (𝑖)<𝑣̅𝑗 (𝑘)
𝑣̅𝑗 (𝑘) − 𝑣̅𝑗 (𝑖)
max |𝑣̅𝑗 (𝑘) − 𝑣̅𝑗 (𝑖)|
∀(𝑖,𝑘)
Siendo 𝑣̅𝑗 (𝑘) el índice correspondiente a la matriz de decisión normalizada y ponderada de la
alternativa k para el criterio j.
Lo cual da como resultado:
IPhone6
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
0,45
0,89
0,30
0,07
0,30
SonyXperia Motorola
SGalaxyS5 XiaomiMI4 HTCOne
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,14
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,21
0,04
1,00
0,14
0,07
0,00
0,68
0,68
0,54
0,27
1,00
1,00
Tabla 35: Matriz de discordancia
A simple vista podemos ver que los índices que tienen un valor de 1 en esta matriz denotan que
van a superar el umbral mínimo de discordancia. Dicho umbral que introduciremos más adelante
lo obtendremos por la media ponderada de cada uno de los elementos de esta matriz, por lo que al
ser 1 el valor máximo que puede alcanzar el índice, y no serlo todos, la media va a ser menor que
1. Esto conllevará a que aunque los elementos de la matriz de concordancia superen el umbral
mínimo de concordancia, lo que significa que en un número de criterios la alternativa i es mejor
que la k, si su índice de discordancia es 1, va a dar a lugar a que se rechace la sobreclasificación i
sobre k.
58
IPhone6
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
0,45
0,89
0,30
0,07
0,30
SonyXperia Motorola
SGalaxyS5 XiaomiMI4 HTCOne
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,14
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,21
0,04
1,00
0,14
0,07
0,00
0,68
0,68
0,54
0,27
1,00
1,00
Tabla 36: Matriz de discordancia II
Sin haber definido todavía los umbrales, tenemos la seguridad de que se va a producir con los 1 de
la matriz, aunque podría ocurrir en más casos.
4.2.6
Definición de umbrales
En este apartado definiremos los umbrales mínimo y máximo para los índices de concordancia y
discordancia respectivamente, siendo c* es el valor límite mínimo especificado para el índice de
concordancia y d* es el valor límite máximo especificado para el índice de discordancia -La
relación de superación S, puede definirse de la forma:
𝑎𝑆𝑏 ⇔ 𝐶(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑐 ∗ 𝑦 𝐷(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑑∗
Definiendo c* y d* como la media aritmética de los índices de concordancia y discordancia
respectivamente, resulta para el caso del decisor Alfonso:
c*
d*
4.2.7
0,50
0,66
Cálculo de la matriz de dominancia concordante
Sustituyendo por 1 en la matriz de índices de concordancia en los que su valor supere al umbral c*
y por 0 en el resto, obtenemos:
IPhone6
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
1
1
1
1
1
SonyXperia Motorola
SGalaxyS5 XiaomiMI4 HTCOne
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
Tabla 37: Matrtiz de dominancia concordante
59
4.2.8
Cálculo de la matriz de dominancia discordante
Se construye de manera análoga la matriz de dominancia concordante con la salvedad que ahora
rellenamos con 1 en las celdas en las que los valores de índices de discordancia no superen el valor
máximo d* y con 0 en el resto.
IPhone6
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
1
0
1
1
1
SonyXperia Motorola
SGalaxyS5 XiaomiMI4 HTCOne
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
Tabla 38: Matrtiz de dominancia discordante
4.2.9
Cálculo de la matriz de dominancia agregada
La obtenemos multiplicando término a término cada elemento de las matrices de dominancia tanto
concordante como discordante.
IPhone6
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
1
0
1
1
1
SonyXperia Motorola
SGalaxyS5 XiaomiMI4 HTCOne
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
Tabla 39: Matrtiz de dominancia agregada
Podemos observar que elementos que elementos (𝑖, 𝑘) de la matriz de dominancia concordante
que tomaban valores 1, no lo mantienen en la de dominancia agregada. A continuación resaltamos
en rojo dichos elementos:
IPhone6
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
1
0
1
1
1
SonyXperia Motorola
SGalaxyS5 XiaomiMI4 HTCOne
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
Tabla 40: Matrtiz de dominancia agregada II
60
Si observamos la comparación entre el Xiaomi MI4 con el HTC One, la matriz de dominancia
concordante tiene valor 1 porque hay un número importante de criterios en los que el dispositivo
de Xiaomi supera al de HTC según nuestro decisor, sin embargo, al obtener el segundo mayor
puntuación que el primero en el segundo criterio con más peso (batería), la matriz de dominancia
discordante tiene valor 0 y por ende, la matriz de dominancia agregada.
PESO
Dispositivo
/Criterio
XiaomiMI4
HTCOne
0,05
0,17
0,10
0,23
0,02
0,39
0,03
Tamaño
8
8
Cámara
7
6
Almacen.
8
6
Batería
7
8
Diseño
7
7
Procesador
10
9
Precio
6
5
Tabla 41: Comparación vectores de decisión Xiaomi MI 4 y HTC One
4.2.10 Obtención del grafo
Finalmente con la matriz de dominancia agregada obtenemos el grafo.
IPhone6
IPhone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
1
0
1
1
1
SonyXperia Motorola
SGalaxyS5 XiaomiMI4 HTCOne
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
Tabla 39: Matrtiz de dominancia agregadaTabla 39
Figura 4-18: Grafo ELECTRE
61
En el grafo obtenido del decisor Alfonso podemos observar la ordenación parcial de preferencias.
Según la ordenación parcial obtenida el Xiaomi MI 4 y Samsung Galaxy S5 pertenecen al núcleo
del grafo por lo que son preferibles respecto al resto de alternativas.
Figura 4-19: Núcleo del Grafo ELECTRE
4.2.11 Clasificación final
Para obtener una clasificación final conforme a la ordenación parcial de preferencias de todos los
decisores hemos sumado el número de veces que aparece cada teléfono como alternativa elegida
en cada uno de los decisores. De esta forma obtenemos:
Total de
veces en el
Núcleo
Clasificación
XiaomiMI4
5
1
SGalaxyS5
3
2
SonyXperia
2
3
IPhone6
1
4
Motorola
0
5
HTCOne
0
5
Tabla 42: Clasificación final ELECTRE
Con lo que concluimos que la mejor opción para nuestros decisores es por mayoría el Xiami MI4
seguido del Samsung Galaxy S5. La última posición la comparten el Motorola Moto X y el HTC
One.
62
Nº total de veces en el núcleo
5
4
3
2
1
0
Iphone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
Figura 4-20: Clasificación final ELECTRE
4.2.12 Análisis de sensibilidad. Eliminando el factor precio
Como ya hiciéramos anteriormente en el método TOPSIS, vamos a variar los parámetros del
problema de manera que el factor precio de cada teléfono móvil, no tuviese ninguna influencia a
la hora de determinar cuál es el modelo idóneo.
Para ello el peso del criterio precio tomará un valor 0 para todos los decisores. Tomamos la gráfica
del peso del criterio peso con respecto al resto de criterios del método TOPSIS.
63
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1
ALF
CAR
GUI
IGN
JAV
PED
JAI
CUR
Figura 4-13: Tanto por uno que representa el precio entre el total de pesos
Se observa que es un factor totalmente determinante para cinco de los ocho decisores.
Una vez eliminado el factor precio obtenemos la siguiente clasificación:
Total de
veces en el
Núcleo
Clasificación
XiaomiMI4
5
1
SonyXperia
3
2
SGalaxyS5
3
2
HTCOne
2
3
IPhone6
1
4
Motorola
0
5
Tabla 43: Clasificación final ELECTRE sin factor precio
64
Nº total de veces en el núcleo
5
4
3
2
1
0
Iphone6
SonyXperia
Motorola
SGalaxyS5
XiaomiMI4
HTCOne
Figura 4-21: Clasificación final ELECTRE sin factor precio
Total de
Total de
veces en el veces en el Variación
Núcleo con Núcleo sin veces en el
criterio
criterio
núcleo
peso
peso
IPhone6
1
1
0
SonyXperia
2
3
+1
Motorola
0
0
0
SGalaxyS5
3
3
0
XiaomiMI4
5
5
0
HTCOne
0
2
+2
Tabla 44: Comparación clasificación final ELECTRE con y sin factor precio
Por lo que concluimos que ELECTRE I es un método mucho menos sensible a la variación del
peso del criterio peso que TOPSIS, ya que apenas se producen cambios significativos en las
preferencias.
65
Clasificación con AS
Clasificación sin AS
Variación
XiaomiMI4
1
1
0
SGalaxyS5
2
2
0
SonyXperia
2
3
+1
HTCOne
3
5
+2
IPhone6
4
4
0
Motorola
5
5
0
Tabla 45: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad ELECTRE
66
5 ANÁLISIS DE RESULTADOS Y
CONCLUSIONES
Tras obtener las clasificaciones de las alternativas de los cuatro métodos estudiados, TOPSIS y
ELECTRE analizados en este proyecto y AHP y PROMETHEE en el proyecto de Manuel Fontana
Viñuales, observamos la convergencia casi total de los métodos.
Coinciden totalmente en la ordenación las tres primeras alternativas y hay muy leves variaciones
en las tres restantes.
TOPSIS
ELECTRE
AHP
PROMETHEE
IPhone6
6
4
4
6
SonyXperia
3
3
3
3
Motorola
4
5
6
5
SGalaxyS5
2
2
2
2
XiaomiMI4
1
1
1
1
HTCOne
5
5
5
4
Tabla 46: Clasificación final de los cuatro métodos
Se observa que pese a la alta sensibilidad al precio mostrada por la mayoría de nuestros decisores
como se muestra en la Figura 4-1, hace que el dispositivo que queda primero en la clasificación de
alternativas, el Xiaomi MI 4, tenga un precio de únicamente 444€, menos de la mitad que el
dispositivo más caro (iPhone 6) con 990€ de precio. El segundo clasificado tampoco supero los
450€ de coste.
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Figura 4-1: Media de pesos AHP
67
En cuanto a las particularidades de los métodos y siguiendo con el factor precio, observamos en
los análisis de sensibilidad realizados a ambos que el método TOPSIS es más sensible a la
eliminación de dicho factor que el método ELECTRE como puede observarse en las Tablas 28 y
45.
SonyXperia
XiaomiMI4
SGalaxyS5
HTCOne
IPhone6
Motorola
Clasificación con AS
1
2
3
4
5
6
Clasificación sin AS
3
1
2
5
6
4
Variación
+2
-1
-1
+1
+1
-2
Tabla 28: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad TOPSIS
Clasificación con AS
Clasificación sin AS
Variación
XiaomiMI4
1
1
0
SGalaxyS5
2
2
0
SonyXperia
2
3
+1
HTCOne
3
5
+2
IPhone6
4
4
0
Motorola
5
5
0
Tabla 45: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad ELECTRE
Se concluye finalmente que si necesitamos obtener un ránking de alternativas totalmente
jerarquizado en el que en todo momento podamos medir cuantitavimaente qué alternativa
sobreclasifica a las restantes, el método más indicado es TOPSIS. Sin embargo, en el caso de que
no haya una diferenciación entre alternativas sea más difusa y queramos tener la certeza de qué
alternativa es y no es dominada por las demás, nuestra mejor opción sería el método ELECTRE.
68
REFERENCIAS
Cebrián, L.I.G. & Porcar, A.M., 2009. Localización empresarial en Aragón: Una aplicación
empírica de la ayuda a la decisión multicriterio tipo ELECTRE I y III. Robustez de los
resultados obtenidos. Revista de Métodos Cuantitativos para la Economía y la
Empresa, (7), pp.31–56.
Fernandez, M. & Jesus, M., 2012. Análisis comparativo de técnicas de generación eléctrica;
AHP y topsis tuzzificado. Proyecto Fin de Carrera. Universidad Politécnica de
Cartagena.
Fontana, M., 2015. Métodos de decisión multicriterio AHP y PROMETHEE aplicados a la
elección de un dispositivo móvil. Proyecto Fin de Carrera. Escuela Técnica Superior de
Ingeniería. Universidad de Sevilla.
García-Cascales, M. del S. & Jiménez, M.T.L., 2009. Métodos para la comparación de
alternativas mediante un Sistema de Ayuda a la Decisión (S.A.D.) y “Soft Computing.”
Tesis Doctoral. Universidad Politécnica de Cartagena.
Greco, S., 2005. Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys Series.
International Series in Operations Research & Management Science, 78, p.1048.
Hokkanen, J. & Salminen, P., 1997. Choosing a solid waste management system using
multicriteria decision analysis. European Journal of Operational Research, 98(1),
pp.19–36.
Leyva-Lopez, J.C. & Fernandez-Gonzalez, E., 2003. A new method for group decision
support based on ELECTRE III methodology. European Journal of Operational
Research, 148(1), pp.14–27.
Lin, M.-C. et al., 2008. Using ANP and TOPSIS approaches in customer-driven product design
process. Computers in Industry, 59(1), pp.17–31.
Mareschal, B., 1988. Weight stability intervals in multicriteria decision aid. European
Journal of Operational Research, 33(1), pp.54–64.
Romero, C., 1996. Análisis de las decisiones multicriterio, Isdefe Madrid, Spain.
Saaty, T.L., 2012. Fundamentals of Decision Making and Priority Theory With the Analytic
Hierarchy Process. Analytic Hierarchy Process Series Vol. 6. , 6.
Valiente, S.M., 2000. Uso de análisis multicriterio en la toma de decisiones grupales en el
ámbito universitario. Tesis Doctoral. Universidad Nacional de Mar del Plata.
Vitoriano, B., 2007. Teoría de la decisión: decisión con incertidumbre, decisión multicriterio
y teoría de juegos. Universidad Complutense de Madrid, pp.3–104.
69
Xue, D., Zhao, Q. & Guo, X., 2008. TOPSIS method for evaluation customer service
satisfaction to fast food industry. In Service Operations and Logistics, and Informatics,
2008. IEEE/SOLI 2008. IEEE International Conference on. IEEE, pp. 920–925.
70
Anexo A. Características de los
teléfonos móviles
Apple iPhone 6:
Tamaño de la pantalla: 4.7 pulgadas
Cámara:

Resolución: 1334x750.

Características: 8 megapíxeles. Vídeo a 1080p/30fps. Graba Slow-motion
Capacidad de almacenamiento: 128 GB (interno). Sin almac. externo
Batería: 250h en stand-by. 14h en conversación
Procesador: Dual-core 1.39 GHz. 1 GB RAM
Precio: 990€
71
Sony Xperia Z3
Tamaño de la pantalla: 5.2 pulgadas
Cámara:

Resolución:
1080x1920.

Características: 20.7 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps. Graba Slow-motion
Capacidad de almacenamiento: 16 GB (interno). Con almac. externo (no incluido)
Batería: 740h en stand-by. 16h en conversación
Procesador: Quad-core 2.5 GHz. 3 GB RAM
Precio: 535 €
72
Motorola Moto X
Tamaño de la pantalla: 5.2 pulgadas
Cámara:

Resolución:
1080x1920.

Características: 13 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps
Capacidad de almacenamiento: 16 GB (interno). Sin almac. externo
Batería: 576h en stand-by. 13h en conversación
Procesador: Dual-core 1.7 GHz. 2GB RAM
Precio: 497 €
73
Samsung Galaxy S5
Tamaño de la pantalla: 5.1 pulgadas
Cámara:

Resolución:
1080x1920

Características: 16 megapíxeles. Vídeo UHD (4000p)/30fps.
Capacidad de almacenamiento: 16 GB (interno). Con almac. externo (no incluido)
Batería: 390h en stand-by. 21h en conversación
Procesador: Quad-core 2.5 GHz. 2 GB RAM
Precio: 442 €
74
Xiaomi MI 4
Tamaño de la pantalla: 5 pulgadas
Cámara:

Resolución:
1080x1920

Características: 13 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps.
Capacidad de almacenamiento: 64 GB (interno). Sin almac. externo
Batería: 740h en stand-by. 16h en conversación
Procesador: Quad-core 2.5 GHz. 3 GB RAM
Precio: 444 €
75
HTC One (M8)
Tamaño de la pantalla: 5 pulgadas
Cámara:

Resolución:
1080x1920

Características: 4 megapíxeles. Vídeo a 1080p/30fps
Capacidad de almacenamiento: 16 GB (interno). Con almac. externo (no incluido)
Batería: 496h en stand-by. 20h en conversación
Procesador: Quad-core 2.3 GHz. 2 GB RAM
Precio: 534 €
76
Anexo B. Cuestionario
Suponga que a la hora de adquirir un nuevo teléfono móvil, usted se rige por los siguientes criterios:
-
Tamaño de dispositivo/pantalla
Cámara: calidad y nitidez con que se muestran y/o capturan imágenes y videos en el
dispositivo.
Capacidad de almacenamiento: memoria interna del dispositivo y posibilidad de
ampliarla mediante dispositivos externos
Batería: duración en suspensión y en llamada
Diseño: estética del producto y calidad de los materiales usados en su fabricación
Procesador: Capacidad del dispositivo de realizar funciones complejas con rapidez y
eficacia
Precio
1. En primer lugar indique para cada uno de los anteriores atributos (a la derecha de cada
uno) la importancia que éste tiene para usted en una escala del 0 al 10, asignando el 0 a un
atributo totalmente prescindible o sin relevancia, y el 10 para un atributo imprescindible
o de total trascendencia.
- Tamaño de dispositivo/pantalla:
- Cámara:
- Capacidad de almacenamiento:
- Batería:
- Diseño:
- Procesador:
- Precio:
2. A continuación, se le irán presentando estos atributos por parejas, y usted tendrá que
escoger cual es más decisivo para usted a la hora de escoger un dispositivo y la importancia
relativa de un atributo frente a otro, del siguiente modo:
Criterio A
Criterio B
1
2
3
4
5
6
7
Marcando una X al lado del criterio que considere más importante de la pareja y marcando otra X
al lado de sólo uno de los números de importancia relativa significando estos:
-
1: Ambos criterios tienen la misma importancia (en este caso de igual el criterio elegido)
3: El criterio elegido es ligeramente más importante que el no elegido
5: El criterio elegido es más importante que el no elegido
7: El criterio elegido es bastante más importante que el no elegido
9: El criterio elegido es completamente más importante que el no elegido
77
8
9
(Puede elegir valores intermedios)
Tamaño
Cámara
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Capac. de almac.
Batería
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Procesador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Precio
Tamaño
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Batería
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Capac. de almac.
Diseño
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Procesador
Precio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tamaño
Capac. de almac.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Diseño
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Batería
Procesador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Tamaño
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Procesador
Cámara
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Precio
Capac. de almac.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Batería
Tamaño
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Precio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tamaño
Procesador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Batería
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Capac. de almac.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Batería
Precio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Capac. de almac.
Procesador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Precio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
78
3. Una vez conocida las características de los seis dispositivos móviles, le pedimos que
valore para cada uno de ellos las siguientes características en una escala del 0 al 10, siendo
0 un nivel pésimo del atributo para ese dispositivo, 5 un nivel aceptable y 10 excelente
(puede usar valores intermedios).
Tamaño de dispositivo/pantalla:
Apple IPhone 6
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4
HTC One (M8)
Cámara:
Apple IPhone 6
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4
HTC One (M8)
Capacidad de almacenamiento
Apple IPhone 6
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4
HTC One (M8)
79
Batería
Apple IPhone 6
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4
HTC One (M8)
Diseño
Apple IPhone 6
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4
HTC One (M8)
Procesador
Apple IPhone 6
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4
HTC One (M8)
80
Precio
Apple IPhone 6
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4
HTC One (M8)
4. Por último, deberá comparar pares de dispositivos móviles según varios criterios eligiendo
cual valora más de los dos y cómo de mejor considera usted que es, de la siguiente forma:
Criterio C
Dispositivo A
Dispositivo B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Marcando una X al lado del dispositivo de la pareja que le parezca mejor según el criterio C y
marcando otra X al lado de sólo uno de los números de importancia relativa significando estos:
-
1: Ambos dispositivos son iguales respecto al criterio
3: El dispositivo elegido es ligeramente mejor que el no elegido
5: El dispositivo elegido es claramente mejor que el no elegido
7: El dispositivo elegido es notablemente mejor que el no elegido
9: El dispositivo elegido es absolutamente mejor que el no elegido
(Puede elegir valores intermedios)
Criterio: Diseño
IPhone 6
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Xiaomi MI 4
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6
Motorola Moto X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Samsung Galaxy S5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
81
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
IPhone 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Criterio: Cámara
IPhone 6
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Xiaomi MI 4
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6
Motorola Moto X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Samsung Galaxy S5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
IPhone 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
82
Anexo C. Respuestas de los Decisores
al Cuestionario
En este anexo vamos a reproducir cada una de las tablas del cuestionario rellenadas por los
usuarios para que el lector que lo desee compruebe los datos de origen que hemos usado en los
cálculos
Alfonso
Tamaño
Cámara X
1 2
3
4
Capac. de almac.
Batería X
1 2
3
Diseño
ProcesadorX
1 2
3
Precio
TamañoX
1 2
Cámara
Batería X
1 2X 3
Capac. de almac.
Diseño
1 2
Procesador X
Precio
Tamaño
5
6X 7
8
9
4X 5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9X
3X 4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
9
1 2
3
4
5
6
7X 8
9
Capac. de almac.X
1 2
3
4
5X 6
7
8
9
CámaraX
Diseño
1 2
3
4
5
6
7X 8
9
Batería 4
Procesador X
1 2
3X 4
5
6
7
8
9
Diseño
Tamaño X
1 2
3X 4
5
6
7
8
9
ProcesadorX
Cámara
1 2
3
4
5X 6
7
8
9
Precio
Capac. de almac.X
1 2
3
4X 5
6
7
8
9
BateríaX
Tamaño
1 2
3
4
5
6
7X 8
9
CámaraX
Precio
1 2
3
4
5
6X 7
Tamaño
ProcesadorX
1 2
3
4
5
Diseño
BateríaX
1 2
3
4
CámaraX
Capac. de almac.
1 2
BateríaX
Precio
Capac. de almac.
ProcesadorX
8
9
6
7X 8
9
5
6
7
8X 9
3
4X 5
6
7
8
9
1 2
3
4
5
6
7X 8
9
1 2
3
4
5X 6
7
9
83
8
Diseño 5
PrecioX 7
1 2X 3
Tamaño de dispositivo/pantalla:
Apple IPhone 6
9
Sony Xperia Z3
6
Motorola Moto X
6
Samsung Galaxy S5
7
Xiaomi MI 4
8
HTC One (M8)
8
Cámara:
Apple IPhone 6
6
Sony Xperia Z3
7
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
6
Capacidad de almacenamiento
Apple IPhone 6
9
Sony Xperia Z3
6
Motorola Moto X
6
Samsung Galaxy S5
6
Xiaomi MI 4
8
HTC One (M8)
6
Batería
Apple IPhone 6
6
84
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
7
Motorola Moto X
6
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
8
Diseño
Apple IPhone 6
7
Sony Xperia Z3
9
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
6
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
7
Procesador
Apple IPhone 6
6
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
9
Xiaomi MI 4
10
HTC One (M8)
9
Precio
Apple IPhone 6
3
Sony Xperia Z3
5
Motorola Moto X
6
Samsung Galaxy S5
6
85
Xiaomi MI 4
6
HTC One (M8)
5
Criterio: Diseño
IPhone 6 (1)
Sony Xperia Z3X (2)
1
2
3
4
5X 6
7 8 9
Motorola Moto XX
(3)
Samsung Galaxy S5
(4)
1
2
3
4
5X 6
7 8 9
Xiaomi MI 4X (5)
HTC One (M8) (6)
1X 2
3
4
5
6
7 8 9
IPhone 6 (1)
Motorola Moto XX
(3)
1
2
3X 4
5
6
7 8 9
Sony Xperia Z3X (2)
Samsung Galaxy S5
(4)
1
2
3
4
5
6X 7 8 9
Samsung Galaxy S5
(4)
HTC One (M8)X (6)
1
2
3
4X 5
6
7 8 9
Sony Xperia Z3X (2)
Motorola Moto X (3)
1
2X 3
4
5
6
7 8 9
Samsung Galaxy S5
(4)
IPhone 6X (1)
1
2
3
4
5X 6
7 8 9
Samsung Galaxy S5
(4)
Xiaomi MI 4X (5)
1
2
3
4X 5
6
7 8 9
Motorola Moto XX
(3)
HTC One (M8) (6)
1
2X 3
4
6
7 8 9
Sony Xperia Z3XX
(2)
Xiaomi MI 4 (5)
1
2
3
4X 5
HTC One (M8) (6)
IPhone 6X (1)
1
2
3X 4
5
6
HTC One (M8) (6)
Sony Xperia Z3X (2)
1
2
3
4
5
6X 7 8 9
Motorola Moto XX
(3)
Xiaomi MI 4 (5)
1
2
3
4X 5
IPhone 6X (1)
Xiaomi MI 4 (5)
1
2
3X 4
5
6X 7 8 9
7 8 9
6
7 8 9
5
6
7 8 9
5
6 7 8
Criterio: Cámara:
IPhone 6 (1)
Sony Xperia Z3X (2)
86
1 2X 3
4
9
Motorola Moto XX
(3)
Samsung Galaxy S5
(4)
1 2
3
4
Xiaomi MI 4X (5)
HTC One (M8) (6)
1 2
3
4X 5
6 7 8
9
IPhone 6 (1)
Motorola Moto XX
(3)
1 2
3
4X 5
6 7 8
9
Sony Xperia Z3X (2)
Samsung Galaxy S5
(4)
1 2
3
4
5X 6 7 8
9
Samsung Galaxy S5
(4)
HTC One (M8)X (6)
1 2
3
4X 5
6 7 8
9
Sony Xperia Z3X (2)
Motorola Moto X (3)
1 2X 3
4
5
6 7 8
9
Samsung Galaxy S5
(4)
IPhone 6X (1)
1 2
3
4
5
6 7 8X 9
Samsung Galaxy S5
(4)
Xiaomi MI 4X (5)
1 2
3X 4
5
6 7 8
9
Motorola Moto XX
(3)
HTC One (M8) (6)
1 2
3
4X 5
6 7 8
9
Sony Xperia Z3XX
(2)
Xiaomi MI 4 (5)
1 2X 3
4
5
6 7 8
9
HTC One (M8) (6)
IPhone 6X (1)
1 2X 3
4
5
6 7 8
9
HTC One (M8) (6)
Sony Xperia Z3X (2)
1 2
3
4X 5
6 7 8
9
Motorola Moto XX
(3)
Xiaomi MI 4 (5)
1 2
3X 4
6 7 8
9
5X 6 7 8
5
9
Carlos
Tamaño X
Cámara
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
Capac. de almac.
Batería X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Diseño X
Procesador
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Precio X
Tamaño
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Cámara
Batería X
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Capac. de almac. X
Diseño
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Procesador
Precio X
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
87
Tamaño
Capac. de almac. X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Cámara
Diseño X
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
Batería X
Procesador
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Diseño
Tamaño X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Procesador
Cámara X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Precio X
Capac. de almac.
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Batería X
Tamaño
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Cámara
Precio X
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
Tamaño X
Procesador
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Diseño
Batería X
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Cámara
Capac. de almac. X
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
Batería
Precio X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Capac. de almac. X
Procesador
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Diseño
Precio X
1
2
3
4
5
6
7
8X
9
Tamaño de dispositivo/pantalla:
Apple IPhone 6
7
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
9
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
8
HTC One (M8)
8
Cámara:
Apple IPhone 6
8
Sony Xperia Z3
6
Motorola Moto X
7
88
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
6
Capacidad de almacenamiento
Apple IPhone 6
6
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
2
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
3
HTC One (M8)
8
Batería
Apple IPhone 6
6
Sony Xperia Z3
5
Motorola Moto X
5
Samsung Galaxy S5
6
Xiaomi MI 4
5
HTC One (M8)
6
Diseño
Apple IPhone 6
8
Sony Xperia Z3
5
Motorola Moto X
6
Samsung Galaxy S5
6
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
8
89
Procesador
Apple IPhone 6
7
Sony Xperia Z3
9
Motorola Moto X
8
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
9
HTC One (M8)
8
Precio
Apple IPhone 6
2
Sony Xperia Z3
4
Motorola Moto X
5
Samsung Galaxy S5
6
Xiaomi MI 4
6
HTC One (M8)
4
Criterio: Diseño
IPhone 6 X
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Xiaomi MI 4
HTC One (M8) X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6 X
Motorola Moto X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Samsung Galaxy S5 X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
HTC One (M8) X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
IPhone 6 X
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
90
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4 X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
HTC One (M8) X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Xiaomi MI 4 X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6 X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8) X
Sony Xperia Z3
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4 X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6 X
Xiaomi MI 4
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Criterio: Cámara:
IPhone 6 X
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Xiaomi MI 4 X
HTC One (M8)
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6 X
Motorola Moto X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Samsung Galaxy S5 X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
HTC One (M8)
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
IPhone 6 X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
Xiaomi MI 4
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X X
HTC One (M8)
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Xiaomi MI 4 X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6 X
1
2
3
4X
5
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7
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9
HTC One (M8)
Sony Xperia Z3 X
1X
2
3
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6
7
8
9
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4 X
1X
2
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6
7
8
9
IPhone 6 X
Xiaomi MI 4
1
2X
3
4
5
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9
2
3
Guillermo
Tamaño
Cámara X
1
91
4
5
6
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9X
Capac. de almac. X
Batería
1
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Diseño X
Procesador
1
2X
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Precio X
Tamaño
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Cámara X
Batería
1
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Capac. de almac. X
Diseño
1
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Procesador
Precio
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Tamaño
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Diseño
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Procesador
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Tamaño
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Procesador
Cámara X
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Precio
Capac. de almac. X
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Tamaño
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Cámara X
Precio
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Tamaño X
Procesador
1X
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Diseño
Batería X
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Cámara X
Capac. de almac.
1
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Batería
Precio X
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Procesador
1
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Diseño
Precio X
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Tamaño de dispositivo/pantalla:
Apple IPhone 6
5
Sony Xperia Z3
4
Motorola Moto X
4
Samsung Galaxy S5
4
Xiaomi MI 4
4
92
HTC One (M8)
4
Cámara:
Apple IPhone 6
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Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
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Samsung Galaxy S5
7
Xiaomi MI 4
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HTC One (M8)
2
Capacidad de almacenamiento
Apple IPhone 6
9
Sony Xperia Z3
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Motorola Moto X
4
Samsung Galaxy S5
4
Xiaomi MI 4
5
HTC One (M8)
4
Batería
Apple IPhone 6
3
Sony Xperia Z3
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Motorola Moto X
4
Samsung Galaxy S5
5
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
6
Diseño
Apple IPhone 6
9
93
Sony Xperia Z3
5
Motorola Moto X
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Samsung Galaxy S5
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Xiaomi MI 4
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HTC One (M8)
1
Procesador
Apple IPhone 6
3
Sony Xperia Z3
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Motorola Moto X
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Samsung Galaxy S5
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Xiaomi MI 4
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HTC One (M8)
7
Precio
Apple IPhone 6
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Sony Xperia Z3
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Motorola Moto X
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Xiaomi MI 4
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HTC One (M8)
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Criterio: Diseño
IPhone 6 x
Sony Xperia Z3
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Motorola Moto X
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3X
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Xiaomi MI 4 x
HTC One (M8)
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94
IPhone 6 x
Motorola Moto X
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HTC One (M8)
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Sony Xperia Z3
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Samsung Galaxy S5
IPhone 6 x
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Xiaomi MI 4
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Xiaomi MI 4 x
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HTC One (M8)
IPhone 6 x
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HTC One (M8)
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Xiaomi MI 4
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IPhone 6 x
Xiaomi MI 4
1
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IPhone 6 x
Sony Xperia Z3
1
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Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 x
1
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Xiaomi MI 4 x
HTC One (M8)
1
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IPhone 6 x
Motorola Moto X
1
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Sony Xperia Z3
Samsung Galaxy S5 x
1
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Samsung Galaxy S5 x
HTC One (M8)
1
2
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9
Sony Xperia Z3
Motorola Moto X x
1
2
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5
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9
Samsung Galaxy S5 x
IPhone 6
1
2 x
3
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9
Samsung Galaxy S5 x
Xiaomi MI 4
1
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5x
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Motorola Moto X x
HTC One (M8)
1
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8x
9
Sony Xperia Z3
Xiaomi MI 4 x
1
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HTC One (M8)
IPhone 6 x
1
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9
HTC One (M8)
Sony Xperia Z3 x
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Criterio: Cámara:
95
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4 x
1
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3x
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IPhone 6 x
Xiaomi MI 4
1
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9
Ignacio
Tamaño
Cámara x
1
2
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Capac. de almac.
Batería x
1
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Diseño
Procesador x
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8x
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Precio x
Tamaño
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Cámara
Batería x
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Diseño
1
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Procesador
Preciox
1x
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Tamaño
Capac. de almac.x
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Cámara x
Diseño
1
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4x
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Batería
Procesador x
1
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Diseño x
Tamaño
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Procesador x
Cámara
1
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Preciox
Capac. de almac.
1
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Batería x
Tamaño
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Cámara
Precio x
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Tamaño
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Diseño
Batería x
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Cámara
Capac. de almac. x
1
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Batería
Precio
1
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Diseño
Preciox
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Tamaño de dispositivo/pantalla:
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96
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Xiaomi MI 4
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Cámara:
Apple IPhone 6
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Capacidad de almacenamiento
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Sony Xperia Z3
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Motorola Moto X
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Samsung Galaxy S5
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Xiaomi MI 4
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HTC One (M8)
8
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Apple IPhone 6
8
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Motorola Moto X
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Xiaomi MI 4
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HTC One (M8)
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Diseño
Apple IPhone 6
8
Sony Xperia Z3
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Motorola Moto X
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Samsung Galaxy S5
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Xiaomi MI 4
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Apple IPhone 6
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Sony Xperia Z3
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Motorola Moto X
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Xiaomi MI 4
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Precio
Apple IPhone 6
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Sony Xperia Z3
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Motorola Moto X
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Samsung Galaxy S5
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Xiaomi MI 4
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Criterio: Diseño
IPhone 6 x
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5x
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7
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1
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4x
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9
Xiaomi MI 4
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1
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3x
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IPhone 6 x
Motorola Moto X
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9
Sony Xperia Z3
Samsung Galaxy S5 x
1
2x
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Samsung Galaxy S5 x
HTC One (M8)
1
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3x
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Sony Xperia Z3 x
Motorola Moto X
1
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3x
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IPhone 6 x
1
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4x
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Xiaomi MI 4
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7
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Motorola Moto X
HTC One (M8) x
1x
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Sony Xperia Z3 x
Xiaomi MI 4
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IPhone 6 x
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Xiaomi MI 4
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IPhone 6 x
Xiaomi MI 4
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Criterio: Cámara:
IPhone 6 x
Sony Xperia Z3
1
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5x
6
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Motorola Moto X
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Xiaomi MI 4x
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1
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IPhone 6x
Motorola Moto X
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Sony Xperia Z3
Samsung Galaxy S5x
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Samsung Galaxy S5x
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1
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Sony Xperia Z3x
Motorola Moto X
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IPhone 6x
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9
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Xiaomi MI 4
1
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99
Motorola Moto X
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1x
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Sony Xperia Z3x
Xiaomi MI 4
1
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5x
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HTC One (M8)
IPhone 6x
1
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Sony Xperia Z3x
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6x
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IPhone 6x
Xiaomi MI 4
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7x
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9
Javier
Tamaño
Cámara X
1
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Capac. de almac.
Batería X
1X
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Diseño
Procesador X
1
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Precio X
Tamaño
1
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Cámara
Batería X
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Capac. de almac. X
Diseño
1
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5X
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Procesador
PrecioX
1
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3X
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Tamaño
Capac. de almac. X
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Diseño
1
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Batería
Procesador X
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DiseñoX
Tamaño
1
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ProcesadorX
Cámara
1
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PrecioX
Capac. de almac.
1
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Batería X
Tamaño
1
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Cámara
Precio X
1
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Tamaño
ProcesadorX
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Diseño
Batería X
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Cámara
Capac. de almac. X
1
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3
4
5X
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7
8
9
Batería
Precio X
1
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3
4X
5
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7
8
9
100
Capac. de almac.
Procesador X
1
2
3
4X
5
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7
8
9
Diseño
Precio X
1
2
3
4
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7
8
9X
Tamaño de dispositivo/pantalla:
Apple IPhone 6
9
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
8
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
8
HTC One (M8)
8
Cámara:
Apple IPhone 6
6
Sony Xperia Z3
9
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
5
Capacidad de almacenamiento
Apple IPhone 6
10
Sony Xperia Z3
7
Motorola Moto X
6
Samsung Galaxy S5
7
Xiaomi MI 4
9
HTC One (M8)
7
Batería
Apple IPhone 6
5
101
Sony Xperia Z3
10
Motorola Moto X
9
Samsung Galaxy S5
6
Xiaomi MI 4
10
HTC One (M8)
7
Diseño
Apple IPhone 6
9
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
9
Xiaomi MI 4
9
HTC One (M8)
9
Procesador
Apple IPhone 6
6
Sony Xperia Z3
10
Motorola Moto X
8
Samsung Galaxy S5
9
Xiaomi MI 4
10
HTC One (M8)
9
Precio
Apple IPhone 6
0
Sony Xperia Z3
3
Motorola Moto X
4
Samsung Galaxy S5
4
Xiaomi MI 4
4
102
HTC One (M8)
3
Criterio: Diseño
IPhone 6 X
Sony Xperia Z3
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 X
1
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3X
4
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6
7
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9
Xiaomi MI 4
HTC One (M8)X
1X
2
3
4
5
6
7
8
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IPhone 6 X
Motorola Moto
1
2
3X
4
5
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Sony Xperia Z3
Samsung Galaxy S5X
1
2X
3
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Samsung Galaxy S5
HTC One (M8)X
1X
2
3
4
5
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Sony Xperia Z3X
Motorola Moto X
1
2X
3
4
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Samsung Galaxy S5
IPhone 6X
1X
2
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Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4X
1X
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Motorola Moto X
HTC One (M8)X
1
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3X
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Sony Xperia Z3
Xiaomi MI 4X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)X
Sony Xperia Z3
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
IPhone 6
Xiaomi MI 4X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Criterio: Cámara:
IPhone 6
Sony Xperia Z3 X
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Xiaomi MI 4 X
HTC One (M8)
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
IPhone 6
Motorola Moto X X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
103
Sony Xperia Z3 X
Samsung Galaxy S5
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
HTC One (M8)
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3 X
Motorola Moto X
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5X
IPhone 6
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5X
Xiaomi MI 4
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X X
HTC One (M8)
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3 X
Xiaomi MI 4
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6 X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
Sony Xperia Z3 X
1
2
3
4
5
6
7
8X
9
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4 X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6
Xiaomi MI 4 X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Pedro
Tamaño
Cámara X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Capac. de almac.
Batería X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Diseño
Procesador X
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Precio X
Tamaño
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
Cámara
Batería X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Capac. de almac. X
Diseño
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Procesador
Precio X
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Tamaño
Capac. de almac. X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Cámara X
Diseño
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Batería
Procesador X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Tamaño X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Procesador X
Cámara
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Precio X
Capac. de almac.
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Batería X
Tamaño
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
104
Cámara
Precio X
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Tamaño
Procesador X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Diseño
Batería X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Cámara
Capac. de almac. X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Batería
Precio X
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Capac. de almac.
Procesador X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Precio X
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Tamaño de dispositivo/pantalla:
Apple IPhone 6
6
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
8
Samsung Galaxy S5
7
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
7
Cámara:
Apple IPhone 6
9
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
8
Samsung Galaxy S5
9
Xiaomi MI 4
6
HTC One (M8)
7
Capacidad de almacenamiento
Apple IPhone 6
10
Sony Xperia Z3
7
Motorola Moto X
7
105
Samsung Galaxy S5
7
Xiaomi MI 4
4
HTC One (M8)
6
Batería
Apple IPhone 6
7
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
10
Xiaomi MI 4
8
HTC One (M8)
9
Diseño
Apple IPhone 6
9
Sony Xperia Z3
6
Motorola Moto X
5
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
6
HTC One (M8)
5
Procesador
Apple IPhone 6
6
Sony Xperia Z3
10
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
10
Xiaomi MI 4
10
HTC One (M8)
9
106
Precio
Apple IPhone 6
1
Sony Xperia Z3
6
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
7
Xiaomi MI 4
5
HTC One (M8)
5
Criterio: Diseño
IPhone 6 X
Sony Xperia Z3
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 X
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
Xiaomi MI 4
HTC One (M8) X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6 X
Motorola Moto X
1
2
3
4
5
6
7
8X
9
Sony Xperia Z3
Samsung Galaxy S5 X
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Sony Xperia Z3 X
Motorola Moto X
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
IPhone 6 X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Motorola Moto X X
HTC One (M8)
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3 X
Xiaomi MI 4
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6 X
1
2
3
4
5
6
7
8X
9
HTC One (M8)
Sony Xperia Z3 X
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Motorola Moto X X
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
IPhone 6
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9X
Criterio: Cámara:
107
IPhone 6 X
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Xiaomi MI 4 X
HTC One (M8)
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
IPhone 6 X
Motorola Moto X
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3
Samsung Galaxy S5 X
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
HTC One (M8)
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3 X
Motorola Moto X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
IPhone 6
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
Xiaomi MI 4
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
HTC One (M8) X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3 X
Xiaomi MI 4
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6 X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
Sony Xperia Z3 X
1
2
3
4X
5
6
7
8
9
Motorola Moto X X
Xiaomi MI 4
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
IPhone 6 X
Xiaomi MI 4
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Jaime
Tamaño x
Cámara
1
2
3
4
5x
6
7
8
9
Capac. de almac.
Batería x
1
2
3x
4
5
6
7
8
9
Diseño
Procesador x
1
2
3
4
5x
6
7
8
9
Precio x
Tamaño
1
2x
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Batería x
1
2
3
4
5x
6
7
8
9
Capac. de almac.
Diseño x
1
2x
3
4
5
6
7
8
9
Procesador
Precio x
1
2
3x
4
5
6
7
8
9
Tamaño x
Capac. de almac.
1
2
3
4
5
6
7x
8
9
Cámara x
Diseño x
1
2
3x
4
5
6
7
8
9
Batería
Procesador x
1
2
3x
4
5
6
7
8
9
Diseño
Tamaño x
1
2
3
4
5
6x
7
8
9
Procesador x
Cámara
1
2
3
4
5
6x
7
8
9
Precio x
Capac. de almac.
1
2
3
4
5
6
7
8x
9
108
Batería x
Tamaño
1x
2
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Precio x
1
2
3
4
5
6
7
8x
9
Tamaño x
Procesador
1x
2
3
4
5
6
7
8
9
Diseño
Batería x
1
2
3
4x
5
6
7
8
9
Cámara x
Capac. de almac.
1
2
3
4x
5
6
7
8
9
Batería
Precio x
1
2
3
4
5
6
7
8x
9
Capac. de almac.
Procesador x
1
2
3
4
5
6
7x
8
9
Diseño
Precio x
1
2
3
4
5
6
7
8x
9
Tamaño de dispositivo/pantalla:
Apple IPhone 6
7
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
8
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
8
HTC One (M8)
8
Cámara:
Apple IPhone 6
7
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
8
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
8
HTC One (M8)
5
Capacidad de almacenamiento
Apple IPhone 6
10
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
8
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
9
HTC One (M8)
8
Batería
109
Apple IPhone 6
5
Sony Xperia Z3
7
Motorola Moto X
5
Samsung Galaxy S5
6
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
6
Diseño
Apple IPhone 6
8
Sony Xperia Z3
6
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
7
Procesador
Apple IPhone 6
7
Sony Xperia Z3
9
Motorola Moto X
6
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
9
HTC One (M8)
8
Precio
Apple IPhone 6
1
Sony Xperia Z3
5
Motorola Moto X
5
Samsung Galaxy S5
6
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
6
Criterio: Diseño
IPhone 6 x
Sony Xperia Z3
1x
2
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 x
1
2
3
4
5x
6
7
8
9
Xiaomi MI 4 x
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
110
IPhone 6
Motorola Moto X
1
2
3x
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3 x
Samsung Galaxy S5
1
2
3x
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 x
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6
7x
8
9
Sony Xperia Z3 x
Motorola Moto X
1
2x
3
4
5
6x
7
8
9
Samsung Galaxy S5 x
IPhone 6
1
2x
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 x
Xiaomi MI 4
1
2
3x
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X x
HTC One (M8)
1
2
3x
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3 x
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5x
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6 x
1
2
3
4
5
6
7
8x
9
HTC One (M8)
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5
6
7x
8
9
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4 x
1x
2
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6 x
Xiaomi MI 4
1
2x
3
4
5
6
7
8
9
Criterio: Resolución de pantalla y cámara:
IPhone 6
Sony Xperia Z3 x
1
2
3
4
5
6
7x
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 x
1
2
3
4
5
6
7x
8
9
Xiaomi MI 4 x
HTC One (M8)
1
2
3x
4
5
6
7
8
9
IPhone 6 x
Motorola Moto X
1x
2
3
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3 x
Samsung Galaxy S5
1
2
3
4
5x
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 x
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6
7
8x
9
Sony Xperia Z3 x
Motorola Moto X
1
2
3
4
5
6
7
8x
9
Samsung Galaxy S5 x
IPhone 6
1
2
3
4
5x
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 x
Xiaomi MI 4
1
2
3
4x
5
6
7
8
9
Motorola Moto X x
HTC One (M8)
1
2
3
4x
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3 x
Xiaomi MI 4
1
2
3
4x
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6 x
1
2x
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
Sony Xperia Z3 x
1
2
3
4
5x
6
7
8x
9
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4 x
1x
2
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6 x
Xiaomi MI 4
1
2
3
4x
5
6
7
8
9
111
Curro
Tamaño
Cámara X
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Capac. de almac.
Batería X
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Diseño X
Procesador
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Precio
Tamaño X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Cámara
Batería X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Capac. de almac.
Diseño X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Procesador
Precio X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Tamaño X
Capac. de almac.
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Cámara X
Diseño
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Batería X
Procesador
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Diseño
Tamaño X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Procesador
Cámara X
1
2
3
4
5
6
7
8X
9
Precio X
Capac. de almac.
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Batería X
Tamaño
1
2
3x
4
5
6
7
8
9
Cámara X
Precio
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Tamaño X
Procesador
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Diseño
Batería X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Cámara X
Capac. de almac.
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
Batería X
Precio
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Capac. de almac. X
Procesador
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Diseño X
Precio
1x
2
3
4
5
6
7
8
9
Tamaño de dispositivo/pantalla:
Apple IPhone 6
8
Sony Xperia Z3
4
Motorola Moto X
4
112
Samsung Galaxy S5
5
Xiaomi MI 4
6
HTC One (M8)
6
Cámara:
Apple IPhone 6
6
Sony Xperia Z3
8
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
7
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
1
Capacidad de almacenamiento
Apple IPhone 6
10
Sony Xperia Z3
1
Motorola Moto X
1
Samsung Galaxy S5
1
Xiaomi MI 4
7
HTC One (M8)
1
Batería
Apple IPhone 6
5
Sony Xperia Z3
9
Motorola Moto X
7
Samsung Galaxy S5
6
Xiaomi MI 4
9
HTC One (M8)
7
113
Diseño
Apple IPhone 6
10
Sony Xperia Z3
2
Motorola Moto X
1
Samsung Galaxy S5
1
Xiaomi MI 4
2
HTC One (M8)
7
Procesador
Apple IPhone 6
4
Sony Xperia Z3
10
Motorola Moto X
2
Samsung Galaxy S5
8
Xiaomi MI 4
10
HTC One (M8)
6
Precio
Apple IPhone 6
3
Sony Xperia Z3
5
Motorola Moto X
5
Samsung Galaxy S5
6
Xiaomi MI 4
6
HTC One (M8)
5
Criterio: Diseño
IPhone 6 X
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5
6
7
8X
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Xiaomi MI 4
HTC One (M8) X
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
114
IPhone 6 X
Motorola Moto X
1
2
3
4
5
6
7
8
9X
Sony Xperia Z3 X
Samsung Galaxy S5
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
HTC One (M8) X
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Sony Xperia Z3 X
Motorola Moto X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5
IPhone 6 X
1
2
3
4
5
6
7
8
9X
Samsung Galaxy S5
Xiaomi MI 4 X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
HTC One (M8) X
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
Sony Xperia Z3
Xiaomi MI 4 X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6 X
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
HTC One (M8) X
Sony Xperia Z3
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4 X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6 X
Xiaomi MI 4
1
2
3
4
5
6
7
8X
9
Criterio: Cámara:
IPhone 6
Sony Xperia Z3 X X
1
2
3X
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X
Samsung Galaxy S5 X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Xiaomi MI 4 X
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
IPhone 6
Motorola Moto X X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Sony Xperia Z3 X
Samsung Galaxy S5
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
Sony Xperia Z3 X
Motorola Moto X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
IPhone 6
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
Samsung Galaxy S5 X
Xiaomi MI 4
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
Motorola Moto X X
HTC One (M8)
1
2
3
4
5
6X
7
8
9
Sony Xperia Z3 X
Xiaomi MI 4
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
HTC One (M8)
IPhone 6 X
1
2
3
4
5X
6
7
8
9
HTC One (M8)
Sony Xperia Z3 X
1
2
3
4
5
6
7X
8
9
115
Motorola Moto X
Xiaomi MI 4 X
1X
2
3
4
5
6
7
8
9
IPhone 6
Xiaomi MI 4 X
1
2X
3
4
5
6
7
8
9
116