INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FI-5002 Mekanika Statistik
SEMESTER/ Sem. 2- 2018/2019
PR#2 : Distribusi Fermi Dirac dan Fermion
Dikumpulkan : 11 April 2017, (sebelum Kuliah)
Catatan: Bilamana diperlukan berbagai berbagai konstanta elementer silakan dilengkapi sendiri.
Menghitung tingkat Fermi
1. Hitunglah tingkat Fermi (dalam eV) dan temperatur Fermi untuk kasus-kasus : a. elektron bebas dalam logam platinum (Pt), jikalau data untuk Pt adalah: rapat massa 21,45 gr/cm 3 , nomor massa 195. Tiap atom Pt menyumbang 1 elektron bebas. (bobot:10) b. nukleon berat (inti atom berat) Uranium 238. Jikalau data untuk inti atom adalah sbb:
- jari-jari 𝑅 = 𝑅
0
𝐴
1
3 , 𝑅
0
= 1,23 𝑓𝑚 , A: nomor massa atom. Anggap inti atom bulat. Spin proton dan neutron adalah S =1/2 (bobot:10)
Gas real dan ekspansi virial
2. Gas real terdiri dari N partikel yang masing-masing bermassa m di dalam volum V memiliki hamiltonian sistem sbb
𝑁
𝐻 = ∑
|𝒑 𝒊
| 2
2𝑚 𝑖=1
𝑁 𝑁
+ ∑ ∑ 𝑈(𝑟 𝑖𝑗
) 𝑖<𝑗 𝑗=1
Dengan |𝒑 𝒊
| 𝟐
: besar momentum partikel ke-i, dan 𝑈(𝑟 𝑖𝑗
) adalah fungsi potensial antara partikel ke-i dan ke-j . a. Anggap partikel tak terbedakan. Tuliskanlah fungsi partisi kanonik klasik untuk sistem ini, 𝑄
𝑁
.
Tunjukkanlah 𝑄
𝑁
dapat dinyatakan sebagai :
𝑄
𝑁
=
1
𝑁! 𝜆 3𝑁
𝑍
𝑁
Dengan Z
N
adalah integral konfigurasi yang melibatkan U ij
dan 𝜆 : panjang gelombang thermal (tuliskan definisi 𝑍
𝑁
dan 𝜆 ). (bobot:10) b. Definisikan parameter kecil 𝑓 𝑖𝑗
= 𝑒 −𝛽𝑈 𝑖𝑗 − 1 , memakai definisi ini maka Z
N
dapat dinyatakan sebagai ekspansi :
𝑍
𝑁
= 𝑉 𝑁 (1 + 𝛼(𝑇) + ⋯ )
Dapatkan ungkapan bagi 𝛼(𝑇) tersebut dinyatakan dalam f(r) . (bobot:10) c. Turunkanlah ungkapan bagi 𝑎
2
(𝑇) berikut ini untuk kasus 𝛼 kecil dengan 𝑛 = 𝑁/𝑉 . (bobot:5)
𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 {1 + 𝑛 𝑎
2
(𝑇) + 𝑛 2 𝑎
3
(𝑇) + … } d. Jika potensial antara dua partikel diberikan oleh (potensial Sutherland):
∞ 𝑟 < 𝑟
0
6 𝑈(𝑟) = {
− ( 𝑟
0 𝑟
) 𝑟 ≥ 𝑟
0
(i) Buatlah sketsa U(r) tsb. (bobot:5)
(ii) Hitunglah 𝑎
2
(𝑇) untuk kasus ini. (bobot:5)
(iii) Tunjukkanlah bahwa persamaan keadaannya bisa dinyatakan sbg: 𝑎
(𝑃 + ) (𝑣 − 𝑏) = 𝑘𝑇 𝑣 2
Jadi turunkanlah ungkapan bagi 𝑎 dan 𝑏 dinyatakan dalam 𝑟
0
. (bobot:5)
Sifat Fermion pada suhu rendah
3. Fungsi partisi grand kanonik diberikan oleh :
𝑃𝑉
= ln 𝜁 (1) 𝑘𝑇
Untuk kasus Fermion berlaku :
Dimana 𝑓 𝑛
(𝑧) =
𝑃 𝑘𝑇
(ln 𝑧) 𝑛
Γ(𝑛+1)
[1 + 𝜋
= 𝜆 𝑔
3
2 (𝑛)(𝑛−1)
6(ln 𝑧) 2
𝑓
5
2
(𝑧) (2)
+ ⋯ ]
𝑁
𝑉
= 𝑔 𝜆 3
𝑓
3
2
(𝑧) (3) adalah fungsi Fermi dan g : degenerasi. a. Tunjukkan bahwa energi rata-rata gas Fermion ideal U dapat dituliskan sebagai: (bobot:10)
𝑈 =
3
𝑁𝑘𝑇
𝑓
5
2
(𝑧)
2 𝑓
3
(𝑧)
2 b. Selanjutnya, tunjukkanlah bahwa U dapat diaproksimasi oleh : (bobot:10) 𝜋 2
𝑈 =
3
𝑁𝑘𝑇 ln 𝑧 (1 +
1
+ ⋯ )
5 2 (ln 𝑧) 2 c. Di kuliah telah dibuktikan pada suhu rendah (tidak perlu ground state), maka 𝜇(𝑇) ≈ 𝜖
𝐹
(1 − 𝜋 2
12
𝑇
(
𝑇
𝐹
)
2
)
Pakailah (b) di atas dan aproksimasi ini untuk menunjukkan bahwa energi Fermion pada suhu rendah dapat dinyatakan sebagai: (bobot:10)
𝑈 =
3
5
𝑁𝜖
𝐹
[1 +
5𝜋
12
2 𝑇
(
𝑇
𝐹
)
2
+ ⋯ . ] d. Pakailah definisi energi bebas Helmhotz 𝐴 = 𝑁𝜇 − 𝑃𝑉 , tunjukkan bahwa: (bobot:5)
𝐴 = 𝑁𝑘𝑇 (ln 𝑧 − 𝑓
5
2 𝑓
3
2
(𝑧)
(𝑧)
) e. Pakailah hasil (d) tersebut untuk membuktikan pada suhu rendah, fungsi energi bebas Helmhotz dapat dinyatakan sebagai (bobot:5)
𝐴 ≈
3
5
𝑁𝜖
𝐹
(1 −
5
12
𝑇
(
𝑇
𝐹
)
2
+ ⋯ . )
//&&&&&&&&APRIL2019&&&&&&&&&&