Uploaded by atikah ardi

PR-2-Mekstat-2019

advertisement

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI FISIKA

FI-5002 Mekanika Statistik

SEMESTER/ Sem. 2- 2018/2019

PR#2 : Distribusi Fermi Dirac dan Fermion

Dikumpulkan : 11 April 2017, (sebelum Kuliah)

Catatan: Bilamana diperlukan berbagai berbagai konstanta elementer silakan dilengkapi sendiri.

Menghitung tingkat Fermi

1. Hitunglah tingkat Fermi (dalam eV) dan temperatur Fermi untuk kasus-kasus : a. elektron bebas dalam logam platinum (Pt), jikalau data untuk Pt adalah: rapat massa 21,45 gr/cm 3 , nomor massa 195. Tiap atom Pt menyumbang 1 elektron bebas. (bobot:10) b. nukleon berat (inti atom berat) Uranium 238. Jikalau data untuk inti atom adalah sbb:

- jari-jari 𝑅 = 𝑅

0

𝐴

1

3 , 𝑅

0

= 1,23 𝑓𝑚 , A: nomor massa atom. Anggap inti atom bulat. Spin proton dan neutron adalah S =1/2 (bobot:10)

Gas real dan ekspansi virial

2. Gas real terdiri dari N partikel yang masing-masing bermassa m di dalam volum V memiliki hamiltonian sistem sbb

𝑁

𝐻 = ∑

|𝒑 𝒊

| 2

2𝑚 𝑖=1

𝑁 𝑁

+ ∑ ∑ 𝑈(𝑟 𝑖𝑗

) 𝑖<𝑗 𝑗=1

Dengan |𝒑 𝒊

| 𝟐

: besar momentum partikel ke-i, dan 𝑈(𝑟 𝑖𝑗

) adalah fungsi potensial antara partikel ke-i dan ke-j . a. Anggap partikel tak terbedakan. Tuliskanlah fungsi partisi kanonik klasik untuk sistem ini, 𝑄

𝑁

.

Tunjukkanlah 𝑄

𝑁

dapat dinyatakan sebagai :

𝑄

𝑁

=

1

𝑁! 𝜆 3𝑁

𝑍

𝑁

Dengan Z

N

adalah integral konfigurasi yang melibatkan U ij

dan 𝜆 : panjang gelombang thermal (tuliskan definisi 𝑍

𝑁

dan 𝜆 ). (bobot:10) b. Definisikan parameter kecil 𝑓 𝑖𝑗

= 𝑒 −𝛽𝑈 𝑖𝑗 − 1 , memakai definisi ini maka Z

N

dapat dinyatakan sebagai ekspansi :

𝑍

𝑁

= 𝑉 𝑁 (1 + 𝛼(𝑇) + ⋯ )

Dapatkan ungkapan bagi 𝛼(𝑇) tersebut dinyatakan dalam f(r) . (bobot:10) c. Turunkanlah ungkapan bagi 𝑎

2

(𝑇) berikut ini untuk kasus 𝛼 kecil dengan 𝑛 = 𝑁/𝑉 . (bobot:5)

𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 {1 + 𝑛 𝑎

2

(𝑇) + 𝑛 2 𝑎

3

(𝑇) + … } d. Jika potensial antara dua partikel diberikan oleh (potensial Sutherland):

∞ 𝑟 < 𝑟

0

6 𝑈(𝑟) = {

− ( 𝑟

0 𝑟

) 𝑟 ≥ 𝑟

0

(i) Buatlah sketsa U(r) tsb. (bobot:5)

(ii) Hitunglah 𝑎

2

(𝑇) untuk kasus ini. (bobot:5)

(iii) Tunjukkanlah bahwa persamaan keadaannya bisa dinyatakan sbg: 𝑎

(𝑃 + ) (𝑣 − 𝑏) = 𝑘𝑇 𝑣 2

Jadi turunkanlah ungkapan bagi 𝑎 dan 𝑏 dinyatakan dalam 𝑟

0

. (bobot:5)

Sifat Fermion pada suhu rendah

3. Fungsi partisi grand kanonik diberikan oleh :

𝑃𝑉

= ln 𝜁 (1) 𝑘𝑇

Untuk kasus Fermion berlaku :

Dimana 𝑓 𝑛

(𝑧) =

𝑃 𝑘𝑇

(ln 𝑧) 𝑛

Γ(𝑛+1)

[1 + 𝜋

= 𝜆 𝑔

3

2 (𝑛)(𝑛−1)

6(ln 𝑧) 2

𝑓

5

2

(𝑧) (2)

+ ⋯ ]

𝑁

𝑉

= 𝑔 𝜆 3

𝑓

3

2

(𝑧) (3) adalah fungsi Fermi dan g : degenerasi. a. Tunjukkan bahwa energi rata-rata gas Fermion ideal U dapat dituliskan sebagai: (bobot:10)

𝑈 =

3

𝑁𝑘𝑇

𝑓

5

2

(𝑧)

2 𝑓

3

(𝑧)

2 b. Selanjutnya, tunjukkanlah bahwa U dapat diaproksimasi oleh : (bobot:10) 𝜋 2

𝑈 =

3

𝑁𝑘𝑇 ln 𝑧 (1 +

1

+ ⋯ )

5 2 (ln 𝑧) 2 c. Di kuliah telah dibuktikan pada suhu rendah (tidak perlu ground state), maka 𝜇(𝑇) ≈ 𝜖

𝐹

(1 − 𝜋 2

12

𝑇

(

𝑇

𝐹

)

2

)

Pakailah (b) di atas dan aproksimasi ini untuk menunjukkan bahwa energi Fermion pada suhu rendah dapat dinyatakan sebagai: (bobot:10)

𝑈 =

3

5

𝑁𝜖

𝐹

[1 +

5𝜋

12

2 𝑇

(

𝑇

𝐹

)

2

+ ⋯ . ] d. Pakailah definisi energi bebas Helmhotz 𝐴 = 𝑁𝜇 − 𝑃𝑉 , tunjukkan bahwa: (bobot:5)

𝐴 = 𝑁𝑘𝑇 (ln 𝑧 − 𝑓

5

2 𝑓

3

2

(𝑧)

(𝑧)

) e. Pakailah hasil (d) tersebut untuk membuktikan pada suhu rendah, fungsi energi bebas Helmhotz dapat dinyatakan sebagai (bobot:5)

𝐴 ≈

3

5

𝑁𝜖

𝐹

(1 −

5

12

𝑇

(

𝑇

𝐹

)

2

+ ⋯ . )

//&&&&&&&&APRIL2019&&&&&&&&&&

Download