EJERCICIOS SERIES DE TIEMPO
TAREA 1
ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO. ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE UNA SERIE DE TIEMPO.
(1) Estime la tendencia de las series de consumo de gasolina en España utilizando una línea recta
en el período de 1945 a 1995 y genere pronósticos para 24 meses. Compara los resultados con
el método de Holt.
(2) Aplique un método de descomposición a las series de consumo de gasolina y estime los
coeficientes estacionales. Compara los resultados cuando el método de Holt y el uso de
promedios móviles.
(3) Obtener el Periodograma para la serie del viaje de Colón e interpretarlo.
(4) Obtenga el Periodograma para las series de consumo de gasolina e interprételo.
(5) Demuestre que las predicciones hechas usando el método de Holt verifican la ecuación
recursiva
TAREA 2
SERIES TEMPORALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS.
(1) La Figura 1 muestra la precipitación mensual en Santiago de Compostela durante los años
1988-1997. ¿Sería un proceso estacionario?
(2) Consideremos el proceso
en donde at es un proceso de ruido blanco.
Calcule la media marginal, su varianza y la autocovarianza de primer orden. ¿El proceso es
estacionario?
(3) En el ejercicio anterior, calcule la expectativa y la varianza de la distribución condicional
. Compare estos resultados con los obtenidos en el ejercicio anterior para la
distribución marginal.
(4) Consideremos el proceso
Calcule su autocovarianza media y de
primer y segundo orden. ¿El proceso es estacionario?
(5)
Demuestre
que
el
proceso
anterior
se
puede
escribir
como
Use esta ecuación para
calcular la expectativa y la varianza de la distribución condicional
resultados con los de la distribución marginal.
Comparar los
(6) Dada una serie estacionaria, demuestre que si las autocovarianzas son todas positivas, la
media del proceso se estimará con mayor variación que si todas las autocovarianzas sean nulas.
(7) Demostrar que la media del proceso en el ejercicio (4) se estima con menos variabilidad que
en un proceso con datos independientes y la misma varianza marginal.
TAREA 3
PROCESOS AUTORREGRESIVOS
(1) Genere muestras de un proceso AR (1) con φ = .7 usando un programa de computadora de
la siguiente manera: (1) genere un vector de 150 variables aleatorias normales (0,1); (2) tomar
z1 = a1; (3) para t = 2, ..., 150 calcule zt = .7zt − 1 + at; (4) para evitar el efecto de las condiciones
iniciales, elimine las primeras 50 observaciones y tome los valores z51, .... z150 como muestra
de 100 del proceso AR (1).
(2) Obtenga la función de autocorrelación teórica del proceso zt = .7zt − 1 + en, donde at es un
ruido blanco. Compare los resultados teóricos con los observados en la muestra del ejercicio
anterior.
(3) Obtenga la función de autocorrelación teórica del proceso zt = .9zt − 1 - .18zt − 1 + en, donde
at es un ruido blanco. Genere una realización del proceso utilizando una computadora y
compare la función de muestra con la teórica.
(4) Expresar en notación de operador los procesos de ejercicios (2) y (3). Represente el proceso
en la forma zt = Pψiat − i obteniendo los operadores inversos.
(5) Escriba la función de autocorrelación teórica del proceso (1 - 1.2B + .32B2) zt = at. Obtenga
la representación de este proceso como zt = Pψiat − i y comente la relación entre los coeficientes
ψ y la función de autocorrelación.
(6) Demuestre que el proceso yt = zt - zt − 1, donde zt = .9zt − 1 + es estacionario, permanece
estacionario.
(7) Demuestre que el proceso anterior se puede escribir como yt = −.09zt − 2 + at - .1at − 1.
(8) Calcule el operador inverso de (1 - .8B) (1 - B).
9) Justifique si el proceso (1 - .5B) (1 - .7B) (1 - .2B) zt = at es estacionario y escríbalo en su
expresión habitual.
(10) Calcule los coeficientes teóricos de autocorrelación parcial para el siguiente proceso AR (2):
zt = .7zt − 1 - .5zt − 1 + at, where at es un ruido blanco.
(11) Demuestre que si un proceso es AR (1) si luego hacemos la regresión zt = βzt + 1 + ut
obtenemos βb = φ y var (ut) = γ0 (1 - φ 2), donde γ0 es la varianza del proceso.
(12) Demostrar que si un proceso es AR (1) y hacemos la regresión zt = αzt − 1 + βzt + 1 + ut,
obtenemos βb = αb = φ / (1 + φ 2) y var (ut) = γ0 (1 - φ 2) / (1 + φ 2). Observe que la varianza de
las innovaciones es ahora menor que la de un AR (1) y menor que en el ejercicio anterior e
interprete este resultado.
TAREA 3
MEDIA MÓVIL Y PROCESOS ARMA.
(1) Dado el proceso de media cero zt = (1 - .7B) en: (a) calcule la función de autocorrelación; (b)
Escríbalo como un proceso AR ().
(2) Demostrar que el MA (1) procesa zt = at - .5at − 1 y zt = at - 2at − 1 tiene la misma estructura
de autocorrelación pero que uno es invertible y el otro no.
(3) Demuestre que los dos procesos zt = at + .5at − 1 y zt = .5at + at − 1 son indistinguibles ya
que tienen la misma varianza y la misma estructura de autocorrelación.
(4) Dado el proceso MA (2) zt = at - 1.2at − 1 + .35at − 2: (a) verifique si es invertible; (b) calcular
su estructura de autocorrelación; (c) Escríbalo como un proceso AR ().
(5) Dado el modelo zt = 5 + .9zt − 1 + en + .4at − 1: (a) calcule su estructura de autocorrelación;
(b) escribirlo en forma de MA (); (c) Escríbelo en forma AR (∞).
(6) Dado el proceso (1 - B + .21B2) zt = at - .3at − 1: (a) verifique si es estacionario e invertible:
(b) obtenga la función de autocorrelación; (c) obtener su representación AR (); (d) obtener su
representación MA ().
(7) Obtenga la función de autocorrelación de un proceso ARMA (1,1) escribiéndolo como un MA
().
(8) Demostrar que si agregamos dos procesos MA (1) obtenemos un nuevo proceso MA (1) con
un parámetro MA que es una combinación lineal de los parámetros MA de los dos procesos, con
ponderaciones que son proporcionales a los cocientes entre las variaciones de las innovaciones
de los sumarios relacionadas con la variación de la innovación del proceso de suma.
TAREA 5
PROCESOS INTEGRADOS Y DE LARGA MEMORIA.
(1) Probar que la suma y la diferencia de dos procesos estacionarios son estacionarias.
(2) Demuestre que el modelo zt = a + bt + ct2 + en, donde at es un proceso de ruido blanco, se
convierte en un proceso estacionario no invertible cuando se toman dos diferencias.
(3) Demuestre que las autocorrelaciones de una caminata aleatoria pueden aproximarse por
ρ (t, t + k) =1 - k /2t
(4) Simule un proceso ARIMA (0,1,1) utilizando valores de parámetros θ = .4, .7 y .9, y estudie el
deterioro de la función de autocorrelación del proceso.
(5) Simule el proceso ∇2 zt = (1 - .8B)at y estudie el decaimiento de la función de autocorrelación
del proceso.
TAREA 6
PROCESOS ESTACIONALES DE ARIMA
(1) Encuentre los coeficientes estacionales para una serie trimestral que sigue el modelo zt = 10
+ cos (πt / 2 + π / 8) + at.
(2) Demuestre que la serie del ejercicio anterior se puede modelar usando ∇4zt = (1 - B4) at.
(3) Suponemos que una serie mensual sigue el modelo zt = 30 + cos (πt / 6 + π / 8) + Vt + at,
donde at es un proceso de ruido blanco con varianza σ2a y el proceso Vt verifica Vt = Vt −12 +
et, donde et es un proceso de ruido blanco con varianza σ2. Demuestre que esta serie sigue el
modelo ARIMA ∇12zt = (1 - ΘB12) en, donde θ ≤ 1. (Sugerencia: pruebe que el proceso et + at -
at − 12 tiene una estructura MA (1) 12 y que la autocorrelación de el orden doce es - σ 2 a / (σ 2
+ 2σ 2 a)).
(4) Encuentre la función de autocorrelación teórica del proceso (1 - .4B) wt = (1 + .5B12).
(5) Encuentre la función de autocorrelación teórica del proceso (1 - .4B) (1 - .8B12) wt = at.
(6) Encuentre la función de autocorrelación teórica del proceso wt = (1 - θB) (1 - ΘB12) en y
compárela con la del proceso no multiplicativo wt = (1 - θB - ΘB12) en.
TAREA 7
PREDICCIÓN CON MODELOS ARIMA.
(1) Dado el proceso zt = 2 + .8zt − 1 −.1zt − 1 + at y cuatro observaciones (4, 3, 1, 2.5) genere
predicciones para los siguientes 4 períodos.
(2) Indique cuál será el pronóstico a largo plazo generado por el modelo del ejercicio anterior.
(3) Suponiendo que la varianza de las innovaciones en el ejercicio anterior es 2, calcule los
intervalos de confianza para las predicciones para uno y dos pasos adelante.
(4) Calcule las predicciones para t = 100, 101 y 102 y la ecuación de predicción final del proceso
MA (2) zt = 5 + en - .5at − 1, sabiendo que las predicciones realizadas con información hasta t =
97 ha estado : zb97 (1) = 5.1, y zb97 (1) = 5.3, y que luego hemos observado z98 = 4.9 y z99 =
5.5.
(5) Explique la estructura de los pronósticos generados por el modelo: ∇zt = 3 + (1 - .7B)at
(6) Explique la estructura a largo plazo de los pronósticos utilizando el modelo: ∇∇12zt = (1 .7B)at.
(7) Probar que en el proceso IMA (1,1) que se puede escribir zT +1 = (1 - θ) P∞ j = 0 θ j zT −j + aT
+1 se muestra que para k ≥ 2, zbT (k) = zbT (k - 1). Observe que zbT (2) = (1 - θ) [zbT (1) + θzT + θ
2 zT −1 + ...] y reemplace la expresión de zbT (1).
(8) Calcule la predictibilidad del proceso zt = 2 + .8zt − 1 - .1zt − 1 + at.
TAREA 8
IDENTIFICANDO POSIBLES MODELOS DE ARIMA
(1) Un criterio inicial para determinar el número de diferencias necesarias para hacer una serie
estacionaria es el Criterio de Titner, que consiste en diferenciar mientras que la varianza de las
series resultantes disminuye y se detiene cuando la varianza aumenta al tomar una nueva
diferencia. Demostrar que si comenzamos con una serie estacionaria pero con una
autocorrelación de primer orden mayor que .5, la varianza de la serie disminuye cuando se
diferencia. Sugerencia: digamos que xt denota la serie original y nt = ∇xt, luego V ar(nt) = 2σ 2 x
(1 - ρ1).
(2) Identificar un modelo para la serie de la línea aérea.
(3) Identificar un modelo para la serie de la población española mayor de 16 años.
(4) Justifique que una muestra de 100 observaciones generadas por el modelo (1 - .2B) zt = at se
puede identificar fácilmente como una generada por un MA (1) o un ARMA (1,1). Sugerencia:
exprese el modelo como un MA (1) y tenga en cuenta que los límites de los coeficientes de la
ACF y la PACF son T −1/2.
(5) Verifique que el modelo de corrección de errores para comprobar si el modelo verdadero es
el M1: (1 − .7B) ∇zt = at o M2: (1 - .7B) (1 - φB) zt = at, usando | φ | <1, es ∇zt = αzt − 1 + .7∇zt −
1 + at. ¿Qué valores de α indican cada uno de los dos modelos?
(6) Verifique la equivalencia entre la condición α0 = 1 y una raíz unitaria en la prueba aumentada
de Dickey-Fuller obteniendo los coeficientes αi en función de φ, igualando las potencias en
ambos polinomios. Verifique que se obtenga αp = −φp + 1, αp − 1 = −φp + 1 - φp, y en general
αi = - Pp + 1 j = i + 1 φj; i ≥ 1 y α0 = φ1 + ... + φp + 1, lo que confirma que la condición (1 - φ1 - ...
- φp + 1) = 0, implica la condición α0 = 1.
TAREA 9
ESTIMACIÓN Y SELECCIÓN DE MODELOS ARMA.
(1) Probar que la varianza del estimador de µ para un AR (p) obtenida por estimación condicional
es mayor que la varianza de la media muestral de todo el proceso.
(2) Demostrar que en un proceso AR (2) la distribución marginal de la primera observación es
normal con media E [ω1] = µ y V ar [ω1] = σ 2 1 - φ 2 1 - φ 2 2 y para el segunda observación E
[ω2 | ω1] = µ + φ1 (ω1 - µ) y V ar [ω2 | ω1] = σ 2 1 - φ 2 1 1 - φ 2 1 - φ 2 2.
(3) Demuestre que el estimador de ML de σb2 a para un proceso AR (p) es: σb 2 a = X T t = p +
1 --t - µb - Σ p i = 1φbi (ωt − i - µb 2 / T
(4) Verifique que la representación de espacio de estado de un modelo AR (1) tenga Ω = φ, H =
1 y R = σ2.
(5) Escriba las ecuaciones del filtro de Kalman para pronosticar usando un AR (1) y verifique que
se reduzcan a zbt | t − 1 = φzt con varianza pt | t − 1 = σ 2.
(6) Escriba las ecuaciones de espacio de estado para un MA (1) y pruebe que Ω = 0 1 0 0, H =
(0,1) y R = σ 2 1 −θ −θ θ2 se verifican.
(7) Usando eso para matrices cuadradas, A y C, y matrices rectangulares, B y D, con las
dimensiones apropiadas, se verifica que (A + BCD) −1 = A − 1 −A − 1B (DA − 1B + C - 1) −1DA − 1,
demuestre que la ecuación de revisión de las covarianzas de la estimación del estado se puede
escribir como S −1 t = S −1 t | t − 1 + H 0 t V − 1 t Ht.
(8) Si la precisión denota la varianza inversa, justifique que la expresión anterior se interpreta
como que la precisión final es la suma de la precisión inicial aportada por la última observación.
(9) Escriba las ecuaciones del filtro de Kalman para un AR (2) y relacione el método de cálculo
de las predicciones con lo estudiado en el Capítulo 8.
TAREA 10
MODELO DE DIAGNÓSTICO Y PREDICCIÓN.
(1) Ajuste un modelo a los datos de desempleo en España y analice los residuos del modelo para
verificar que sean adecuados.
(2) Demostrar que la media de distribución de αf (µ1, σ2 1) + (1 - α) f (µ2, σ2 2) es µ = αµ1 + (1 α) µ2 y la varianza ασ2 1 + (1 - α ) σ 2 2 + α (µ1 - µ) 2 + (1 - α) (µ2 - µ) 2.
(3) Utilice el resultado anterior para obtener la media y la varianza cuando combinamos
predicciones de diferentes modelos.
(4) Demuestre que si el modelo más probable es el de menor varianza residual, los intervalos
construidos por el promedio del modelo serán más amplios que los de un solo modelo.