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频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
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频率响应、零极点、稳定性专题
https://blog.csdn.net/maxwell2ic/article/details/52884914
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5/20/2018
频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
阅读数：9343
2016年10月24日 00:48:12
# 一、Laplace变换
如图所示一个低通滤波器，列基尔霍夫方程，得到线性微分方程：
C
dVC
+
VR
dt
= 0
R
正是因为电感电容的存在，使得电路方程出现微分、积分项。而Laplace变换将微分方程转化为线性代数方程，成为快速求解微分
方程的有力工具。
但是列出电路的微分方程之后再进行Laplace变换，求解之后再进行反变换仍然很复杂，聪明的电子工程师们便想到直接将电路中
的电阻器 (R)、 电容器 (C) 和电感元件 (L)变换到s域。
R
L
R
sL
C
1
sC
于是这个电路可以看作一个分压器
VC (s)
V in (s)
1/C s
1
=
=
R + 1/C s
1 + RC s
下面便引出系统的传输函数。
二、传递函数
对于最简单的连续时间输入信号 x(t) , 和输出信号 y(t) 来说传递函数 H (s) 所反映的就是零状态条件下输入信号的拉普拉斯变换
X(s) = L {x(t)}
与输出信号的拉普拉斯变换 Y (s)
= L {y(t)}
之间的线性映射关系：
Y (s) = H (s)X(s)
或者
Y (s)
H (s) =
L {y(t)}
=
X(s)
L {x(t)}
而当系统为封闭回路的负反馈系统时：
https://blog.csdn.net/maxwell2ic/article/details/52884914
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5/20/2018
频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
由上图可得：
Y (s)
Y (s) = Z (s)G(s) ⇒ Z (s) =
G(s)
Y (s)
X(s) − Y (s)H (s) = Z (s) =
⇒ X(s) = Y (s) [1 + G(s)H (s)] /G(s)
G(s)
Y (s)
⇒
G(s)
=
X(s)
1 + G(s)H (s)
三、零极点
传递函数可以写成如下更加普遍的形式：
R
N (s)
X(s) =
= M
D(s)
∏i=l (s − β i )
∏
R
j=l
(s − α j )
所有让分母 D(s) 为0等点 sz 为系统的零点；
所有让分子 N (s) 为0等点 sp 为系统的零点；
考虑一个由一个零点和两个极点组成的系统，在极坐标上表示为下图：
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5/20/2018
频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
从上图中可以看出傅立叶变换和拉普拉斯变换的关系：
傅立叶变换为拉普拉斯变换在s平面虚轴 jω 上的求值。
由此，引出波特图。
四、波特图
从上图中可以看到，系统的传递函数 H (J ω) 其实就是将复平面中极点零点到虚轴上某一点的向量相乘除：
N
H (jω) =
⃗
→ →
z1 − jω
=
(p1 − jω)(p2 − jω)
M1 M2
表示为幅度（取对数）和相位：
|z1 − jω|
20 log10 |H (jω)| = 20 log10
∠H (jω) = e
|p1 − jω||p2 − jω|
j(α1−α2−α3)
其中 α1, α2, α3 为图中向量的角度，由此便可以画出波特图。
下面以一个低通RC滤波器电路举例：
1
H (jf ) =
1 + j2πf RC
ωc =
H (jω) =
1
RC
1
1 + j
ω
ωc
画出波特图如下：
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5/20/2018
频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
下面介绍如何得到上图。
增益图
1
A vdB = 20 log |H (jω)| = 20 log
∣1 + j
∣
ω
ωc
∣
∣
2
ω ∣
ω
∣
= −20 log∣ 1 + j
∣ = −10 log [1 +
]
2
∣
ωc ∣
ωc
在角频率小于ωc 时，因 ωω 项较小，相对 1 而言可以忽略，因此其增益值为定值1，在增益图上是一条位在 0dB 的水平线
c
在角频率大于ωc 时，因 ω 项较大，相对而言 1 可以忽略，因此式子简化为 −20 log
ω
ω
ωc
c
在角频率等于ωc 时，−10 log [1 +
2
ω
2
ωc
, 是斜率为-20dB/十倍频的斜线
，因此该点为 -3dB 转折点
] = −10 log 2 = −3dB
相位图
−1
ω
φ = − tan
ωc
其中 ω , ωc 分别是输入角频率及截止角频率。 当输入角频率远小于截止角频率时， ωω 比例的数值很小，因此相位角接近零度。
c
当频率增加，相位角的绝对值也随之增加。在时 ω
= ωc
时 为-45度。
当输入角频率远大于截止角频率时，相位角会趋近-90度。
关于波特图一点说明
注意 ：通常我们说波特图中遇到一个极点幅度开始以20dB／十倍频的斜率下降，在极点处相移为-45度；零点则是幅度上升，相移
45度。
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频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
有人会疑问零点、极点不应该使得传递函数为零或者无穷大吗？
其实从s平面那幅图可以看出，其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点。只
有当零点或者极点真的出现在虚轴 jω 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。
五、稳定性
巴克豪森判据：
对于一个负反馈系统：
H (s)
Y
(s) =
X
如果 βH (s)
= −1
1 + βH (s)
则增益为无穷，电路产生振荡，此条件可表达为：
|βH (s)| ≥ 1
o
∠βH (s) = −180
上式可以理解为，输入信号经过正向通路以及反馈回路一圈之后相移360度（环路增益的180度以及负反馈叠加点的180度），使得
负反馈变成正反馈。此时如果环路增益的幅度大于1，则在输入信号上不断叠加一个放大了的信号，一个发散的数列不断叠加必然
是无界的。
因此，避免振荡的放法就是在环路增益相移180度时，保证其幅度小于1。（收敛序列求和是有界的）
上图中定义了“增益交点GX“、“相位交点PX“、“相位裕度PM“等概念。（注意上图为环路增益的波特图）
奈奎斯特判据
如果将波特图绘制到极坐标系中，可以得到奈奎斯特图：
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5/20/2018
频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
图中红色的线为传递函数曲线，其与单位圆的交点为GX点，与实轴的另一交点为PX点，并且能直观地看出相位裕度，增益裕度。
另外如果-1这个点不被传递函数曲线包围，则系统是稳定的。
六、反馈、相位裕度、稳定性的关系
相位裕度
此处参照sansen书中方法
定义开环增益
AO = G
闭环增益
G
Ac =
1
≈
1 + GH
H
所以
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频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
dB(
AO
Ac
) = dB(A O ) − dB(A c ) ≈ dB(GH )
图中 AO 曲线与 Ac 曲线差就是环路增益，因此两条曲线（实线）交点对应的频率，也即AO /Ac
，就是环路增益降到单位增
= 1
益的频率。这个点就是增益交点，可以从这个点看相位裕度。
（思考的切入点：让两条曲线相交，其实在数学上是让两个函数相等）
GBW
上图定义出增益带宽积，在闭环增益（Y/X）图中，为主极点的下降曲线与横轴的交点出的频率（单位增益）。
ω
20 log A O − 10 log(1 + (
2
) ) = 0
ωmajor
得出
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频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
ω ≈ A O × ωmajor ≈ A c × ωc
注意：
- GBW点其实是约等于的结果，但在对数图中可以看作不变。
- 另外，对于多极点系统，还是看第一个主极点延长线与实轴的交点，即GBW
= ω1 ⋅ AO
。
- 反馈系数改变，闭环增益相位曲线 ∠ X (jω) 是会改变的；而环路增益相位曲线 ∠βH (jω) 不变。
Y
- sansen书中看闭环增益转折点求PM，其实它对应的是开环增益的相位图，如下图，所以不要被迷惑。之所以这样，是因为双极
点系统，总相移肯定是180度。
而180度相移点是第二个极点再往右，若f2出现在GBW点右侧，则系统相对比较稳定。
相位裕度、极点位置、尖峰相互关系
环路增益越大（图中两条曲线相差越宽），PM越小。当PM很小的时候，闭环增益曲线就会产生尖峰。
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开环增益
AO
H (jω) =
(1 + j
ω
ω
)(1 + j
ω1
ω2
)
闭环增益
Y
H
=
X
因为 AO
× ω1 = GBW
AO
=
1 + βH
βA O + jω(
1
1
+
ω1
ω2
) +
(jω)
2
ω1 ω2
, 所以
Y
1
≈
X
1 +
jω
+
βGBW
(jω)
2
βGBW f
2
1
=
1 + 2
ζ
ωn
jω +
(jω)
(ωn )
2
2
其中 ζ 为阻尼因子，ωn 为谐振频率。
PM的求解需要解释一下：
因为 P M
= 180
o
， 而对于双极点系统，有
+ ∠H (GX)
∠ω = e
而对于 ω
= GX
这个点，因为 GX
>> ω1
−j(arctan
ω
ω
1
+arctan
ω
ω
2
)
所以第一级已经达到90度相移。另外
GX = ω1 (1 + βA O ) ≈ βω1 A O = β ⋅ GBW
所以
o
P M = 180
− 90
o
− arctan
GX
= 90
o
− arctan
ω2
β ⋅ GBW
ω2
可得
−
−−
−−−
−−−
−−
ωn = √ GBW ⋅ ω2 ⋅ β
1
ζ =
2
P M = 90
o
−
−−−−−−−
ω2
√
GBW ⋅ β
β ⋅ GBW
− arctan
ω2
结论
由信号系统知识可知：
， 二阶系统为两个实数极点，其实是两个一阶系统相乘；对应情况为第二个极点 ω2 非常远（比如3GBW处，此时相位裕度60度～70
ζ > 1
度）；
， 两个共轭极点，为一个谐振系统；在闭环传输函数转折点出现尖峰。
0 < ζ < 1
第二个极点越近（ω2 越小），相位裕度越小，ζ 越小，尖峰越高，越不稳定！
有激励的输入响应
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如图，输入信号为
1
s − jω
电路的传递函数为
1
H (s) =
sRC + 1
所以输出信号(s域)为
1
V out (s) =
1
⋅
sRC + 1
s − jω
A
B
=
+
s − jω
sRC + 1
其中
A =
1
↔
jωRC + 1
B =
−RC
↔
jωRC + 1
1
−
−
−−
−−
−−
−−
2
√ (ωRC ) + 1
RC
−
−
−−
−−
−−
−−
2
√ (ωRC ) + 1
1
↔ e
⋅ e
j(−α)
⋅ e
−jα
jωt
s − jω
1
↔ e
−
t
RC
sRC + 1
所以输出信号时域为
V out (t) =
1
RC
−
j(ωt−α)
−
−
−
−−
−−
−−
−− ⋅ e
−
−
−−
−−
−−
−− ⋅ e
2
2
√ (ωRC ) + 1
√ (ωRC ) + 1
t
RC
⋅ e
−jα
其中
tan α = ωRC
上式中，第一项为稳态响应，第二项是一个随时间衰减的量。这就解释了为什么我们要求系统的极点要在s平面的左半平面，这样
系统才不会发散。
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更新日志
2017年2月11日
来自eetop网友的两个问题补充。
问题原文：
楼主的文章仔细看过，写的很好，特来学习，有2个问题向楼主请教下:
1. 其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点，这个很难理解
2. 只有当零点或者极点真的出现在虚轴 jω 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。比如一对虚轴上的共轭极点，计算确实使输出
无穷大，但在时域上，对应的却是一个固定幅度的正弦波，并没有振荡啊，这怎么理解呢？
问题解释：
1. 问题一我觉得是因为术语的定义给人们带来了误解。
我们在信号系统还有控制理论中学过的零极点，就是系统拉普拉斯变换后传输函数的分子分母解出来的根，这个根（零点极
点）可以是整个s平面上任意一个点。但是很多书中讲传输函数，波特图时候并没有把这个零点，极点的概念讲清楚。
其实我们说系统遇到一个极点，波特图开始一个20dB／10倍频的下降，很多人下意识地认为波特图横坐标对应的那个频率值
就是这个极点，这是错误的，这里应该是有一个s平面到bode图的映射的。
2. 问题二是正弦函数拉普拉斯变化引入的数学问题，正弦函数傅立叶变换本来就是两个冲击函数，反过来虚轴上两个共轭极点
的逆变换是稳态的正弦波也就不足为奇。
这个可以参考知乎上这个解答如何理解正弦函数的傅立叶变换？
而且两个共轭极点构成一个二阶系统，二阶系统与一阶系统的分析方法有所不同。更高阶的系统最低能分解为多个一阶与二
阶系统来分析。
版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/maxwell2ic/article/details/52884914
文章标签：
频率响应
个人分类： 集成电路
零极点
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稳定性
波特图
科研笔记
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matlab-自控原理 消除相同的零极点因子
慈心积善融学习，技术愿为有情学。善心速造多好事，前人栽树后乘凉。我今于此写经验，愿见文者得启发。%s^4+5*s^3-13*s^2-77*s-60 %上
面是闭环传递函数的分母，也就是闭环...
yushaopu
2016-07-06 08:01:19
阅读数：821
运放稳定性连载7：环路稳定性主要技巧与经验（1）
作者：Tim Green，TI公司 本系列的第4部分着重讨论了环路稳定性的主要技巧与经验。 首先，我们将讨论45度相位及环路增益带宽准则，考察了在
Aol曲线与1/β曲线以及环路增益曲线Aolβ...
yd4330152763132
2012-08-07 22:00:35
阅读数：2948
拉氏变换Z变换零极点绘制
2013年04月18日
2KB
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PID 整定方法与原理-说明了“I”的用法
目录 PID控制器是什么 PID控制器的数学模型 从系统的零极点图理解PID控制的原理 被控系统的小范围线性化模型 用极点配置PID实现对系统的控制
总结：PID该怎么调，我们...
xingqingly
2015-10-28 18:07:02
阅读数：3563
程序员如何在业余时间精进技术？
零极点对系统滤波器性能的影响
2013年07月02日
39KB
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系统零-极图确定频率响应
2009年12月29日
315KB
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定点量化误差python仿真.零极点(1)
运用python仿真量化带来的误差，使用零极点进行演示。
forlsy
2015-03-17 20:35:21
阅读数：495
系统的零点、极点物理含义
https://blog.csdn.net/maxwell2ic/article/details/52884914
16/19
5/20/2018
频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
系统的零点、极点物理含义： 零点：当系统输入幅度不为零 且输入频率使系统输出为零时，此输入频率值即为零点。 极点：当系统输入幅度不 为零
且输入频率使系统输出为无穷大（系统稳定性遭到破坏坏，发生振荡...
wangkeyen
阅读数：1883
2013-08-27 17:20:17
【Matlab】笔记（3）——控制系统模型转化
零极点增益模型>> s=zpk('s'); >> G=4*(s+5)/((s+1)*(s+2)*(s+6)); >> [z,p,k]=zpkdata(G,'v') z = -5.0000 p = ...
icurious
阅读数：665
2017-03-01 12:58:37
改进的AR模型谱估计法提取载波频率
2014年03月21日
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133KB
matlab中频响函数
2011年07月27日
518B
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polezeros.VCSV
2013年06月02日
445B
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Android稳定性专题之ANR
1. ANR问题 ANR，应用程序无响应，是Android应用程序稳定性问题的另一类重要问题。 1.1 ANR是什么 首先，我们来看一下Android官网上对于AN
R的说明，https://de...
wei_lei
2017-04-21 10:28:41
阅读数：1130
奈奎斯特
奈奎斯特图是 对于一个连续时间的线性非时变系统，将其频率响应的增益及相位以极座标的方式绘出，常在控制系统或信号处理中使用，可以用来
判断一个有回授的系统是否稳定，奈奎斯特图的命名是来自贝尔实验室的电子...
jeffchenbiao
阅读数：3464
2012-05-31 20:54:35
程序员如何在业余时间精进技术？
matlab常用命令
1 常用指令(General Purpose Commands)1.1 通用信息查询(General information)demo 演示程序help 在线帮助指令helpbrowser 超文本文档...
bebekifis
2008-06-14 19:14:00
阅读数：5546
Matlab实现图像的比例缩放
以灰度图像circuit.tif为例，利用Matlab图像处理工具箱中的imresize函数对图像进行比例缩放变换。要求：创建4个figure窗口（不可以用subplot，显
示不出来放大效果），分别用...
qq_37486501
2018-05-10 22:35:49
阅读数：14
【转】利用Pspice分析放大器环路的稳定性
文章来源： http://www.21ic.com/app/test/201108/90808.htm
虽然在较低频率下可以较轻松地检查一个简单放大器的稳定性，但评估一个较为
复...
huanzx
2017-06-15 18:07:43
阅读数：351
https://blog.csdn.net/maxwell2ic/article/details/52884914
17/19
5/20/2018
频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
matlab用卷积积分求单自由度阻尼系统响应（零极点模型）
%spring1.m-用卷积积分求单自由度阻尼系统的强迫振动（先求系统的零极点模型） m=1;c=4;K=100;dt=0.015; %dt为卷积积分时的采样间隔 w0=sqrt
(K/m); %固...
lijil168
2017-03-28 21:47:43
阅读数：417
自控课程设计
2012年01月09日
296KB
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Android系统稳定性----Crash
Crash、FC、froce close 发生场景 应用进程崩溃。强制关闭，android App 因为代码异常导致奔溃。 表现形式主要有两种 1.
Java 代码引起，弹
出错误的提...
weilaideta
阅读数：1108
2016-05-08 22:28:28
全极点模型
全极点模型 全极点模型就是传递函数中只有极点没有零点的模型，可以用在语音信号的提取与合成中。 令函数的一次导数为零，解出的自变量的值
就是函数的极点，函数求得极大值与极小值的点，就是...
wuyeyoulan23
2015-11-02 14:15:04
阅读数：2181
对零点的一些理解
对零点的一些理解
deepdsp
在数字信号处理中，通常用系统函数来描述一个系统：
2011-07-23 09:19:53
H(z)=A(z)/B(z)
(1)
上式中分...
阅读数：3699
MATLAB实现系统传递函数模型的建立与转换
理论： 1、在线性系统理论中，常用的描述系统的数学模型为传递函数, 其形式有： （1）有理多项式分式表达式 （2）零极点增益表达式 这些模型
之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 ...
qq_32666555
2017-03-25 12:04:57
阅读数：7596
线性相位
特点 一个单一频率的正弦信号通过一个系统，假设它通过这个系统的时间需要t，则这个信号的输出相位落后原来信号wt的相位。从这边可以看出，
一个正弦信号通过一个系统落后的相位等于它的w*t(w与t作卷...
u012702728
2013-11-05 20:55:13
阅读数：387
工程师如何在业余时间精进技术？
全球500万工程师首选，提升前端开发、数据分析、深度学习
离散系统分析的MATLAB实现
2011年11月18日
324KB
下载
控制系统时频动态性能指标及关联性
2013年09月21日
190KB
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https://blog.csdn.net/maxwell2ic/article/details/52884914
18/19
5/20/2018
频率响应、零极点、稳定性专题 - CSDN博客
系统动态性能指标间的联系及闭环零、极点和动态性能之间的关系
2013年09月20日
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207KB
高阶系统的零极点分析
2011年01月10日
256KB
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信号与系统：用MATLAB求系统冲激响应
2009年06月05日
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控制系统中相关性能指标之间关系分析
2013年09月21日
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relationship between frequency response and settling
2011年09月13日
631KB
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