Fourier Transform
傅里叶变换

e
f (k ) 
 ikn
f (n)
n 
这里， f ( n) 是分立函数， f ( k ) 是连续函数，也是 k 空间的函数
傅里叶逆变换

dk
 2 e
f ( n) 
ikn
f (k )

因此，根据傅里叶变换
 s (k , t ) 

e
 s ,n (t )
 ikn
n 
这是因为经过 t 次操作之后的态为
1
 (t )  


s  0 n 
s ,n
(t ) s, n
通过这个振幅可以计算在每个态上的概率
建立傅里叶基矢

e
k 
ikn
n
n 
 s (k , t ) 

e
n 
 s ,n (t )  


1
 (t )  
dk ikn
e  s (k , t )
2


s  0 n 
1



1
 
s 0
dk
   2 e
s  0 n 


 s ,n (t )
 ikn

s ,n
(t ) s, n
 s (k , t ) s n
ikn
 dk 1
dk
 s (k , t ) s  k  
 s (k , t ) s  k

 2
2
s 0
在新的傅里叶基矢下，推导移动算符 S
S s k 

 eikn S s n 
n 

e
ikn
s n  (1) s
ikn
s n  (1) s
n 
做一个代换
n'  n  (1) s
n  n'  (1) s
S s k 


e


n 
ik  n'  ( 1) s 


s n' 
n 

e
s
in' k ik   ( 1) 
e
s n'
n 
'
ik   ( 1) s 


因此， e
e
n 
'
e

eikn S s n 
s k
ik   ( 1) s 


是算符 S 在傅里叶基矢下的本征值， s
 k 是本征矢量
U 是和 S 有关系的，下面推导 U 的本征矢量和本征值，需要把 U 对角化
s
 1
 1
U s '  k  S   H s , s' s  k    e ( 1) ik H s , s' s  k
 s 0
 s 0
这里就是将 s
'
展开成 s
的叠加
先求 U 在傅里叶基矢下的矩阵元
s  k U s '  k '  s  k e ( 1) ik H s , s' s  k '
s
 e ( 1) ik H s , s'  k ,k '
s
这是矩阵元，所以 s 和 s‘都是变化的，定义一个新的算符
H k  e( 1) ik H s , s'
s