Univerzitet u Beogradu Fizički Fakultet Omov zakon za jednosmerne i naizmenične struje Ana Radosavljević 3010/2016 Grupa FC-3 C smer 13.11.2017 Beograd 1. Omov zakon u kolima jednosmerne i naizmenične struje Jačina konstantne električne struje u električnom kolu od metalnih provodnika proporcionalna je ukupnoj, konstantnoj elektromotornoj sili u tom kolu. U matematičkom obliku Omov može da se izrazi na više načina. U integralnom obliku dat je izrazom: 𝐼 =𝐺∙𝐸 = 1 𝑅 ·E 1.1 Gde je G provodljivost električnog kola i jednaka je recipročnoj vrednosti električnog otpora R, I je jačina struje, E je elektromotorna sila. Električna impedansa ili jednostavno impedansa jeste mera otpora sinusoidalnoj električnoj struji. Koncept električne impedanse omogućava primenu Omovog zakona u analizi električnih kola naizmenične struje. U koliko jednosmerne struje jedina vrsta otpornosti je termogeni otpor. Ovakav otpor postoji i u kolima naizmenične struje. U kolima jednosmerne struje jedina vrsta otpornosti je termogeni otpor. Ovakav otpor postoji i u kolima jednosmerne struje i vrednosti termogenog otpora potrošača ne zavisi od toga da li taj otpor radi u kolu jednosmerne ili naizmenične struje. Promena jačine I smera struje opisuje se sinusnom funkcijom. Ovu promenu možemo opisati i jednim rotirajućim vektorom-fazorom. Fazori opisuju amplitudne vrednosti napona i struje. U prvom slučaju razmatramo slučaj kada u kolu postoji samo termogeni otpor: ~1~ Grafik pokazuje da između jačine struje i napona na termogenom potrošalu ne postoji bilo kakva razlika u fazi. Razlika postoji jedino u amplitudnim vrednostima pomenutih veličina. Ukoliko je u kolu prisutan samo ovaj otpor, Omov zakon ima isti oblik u kolu jednosmerne struje: 1.2 Jednačine kojima se opisuju trenutne vrednosti ove dve veličine izgledaju ovako: 1.3 Termogeni otpor nazuva se još i aktivni otpor. Prvi od dva otpora koji postoje u kolima naizmenične struje zove se induktivni. Poznato je da koeficijent samoindukcije zavisi, između ostalof, od oblika provodnika. To znači da ukoliko promenimo oblik pravolinijskom provodniku, tada menjamo njegovu induktivnost. Pri tome, moramo imati u vidu da potrošači najčešće imaju induktivni i termogeni karakter istovremeno. Važno je znati da induktivni otpor ne doprinosi zagrejavanju potrošača, pa stoga spada u pasivne otpore. U slučaju kada u kolu postoji samo induktivni otpor: 1.4 Gde je 𝑋𝐿 induktivni otpor čija jedinica je ista kao i jedinica za termogeni. 1.5 Gde je L- koeficijent samoindukcije. Induktivni otpor postoji i u kolima jednosmerne struje, ali samo pri uključivanju i isključivanju kola, odnosno vrlo kratko. U kolima naizmenične struje važi da je impedansa zavojnica: 𝑍𝐿 = √𝑅𝐿2 + 𝜔 2 ∙ 𝐿2 ~2~ 1.6 Kao što možemo videti na desnoj slici, struja kasni u odnosu na napon zbog postojanja induktivnog otpora. 1.7 Drugi tip pasivnog otpora je kapacitivni. Kapacitivni otpor (kondenzator) u kolu jednosmerne struje predstavlja prekid toka struje. U kolu naizmenične struje to nije slučaj jer ona menja smer ovog kretanja. U sledećem delu razmotriće se slučaj kada u kolu postoji samo kapacitivni otpor i izvor naizmenične struje EMS. Da bi se uspostavio napon na kondenzatoru, potrebno je njegove obloge ili ploče napuniti, tačnije jedna se puni elektronima, dok druga ima manjak ovih čestica. Ukoliko je kondenzator prazan, napunićemo ga strujom. Shodno tome, može se zaključiti da u ovakvom kolu struja prednjači u odnosu na napon – fazno je pomerena. U početku kada se puni kondenzator, struja je najjača s obzirom da je oblogu u kojoj se smeštaju elektroni prazna, kako vreme odmiče struja opada. Razlog opadanju struje je odbojna Kulonova sila izmešu elektrona na ploči i elektrona koji treba da stupe na ploču. To se može posmatrati kao postojanje nekog otpora struji punjenja. Kada se kondenzator napuni, struje punjena je 0. Istovremeno, menja se polaritet izvora što dovodi do prelaska na drugu ploču tj. oblogu, pri čemu se proces ponavlja. Kapacitivni kao induktivni otpor ne doprinosi zagrejavanju potrošača. ~3~ U slučaju kada je u kondenzatoru prisutan samo kondenzator, Omov zakon ima sledeći oblik: 1.8 Gde je C-kapacitet kondenzatora, Xc- kapacitivni otpor, koji se izražava istom jedinicom kao i termogeni: 1.9 Jednačine koje opisuju prome jačine struje i napona izgledaju ovako: 2. Omov zakon u kolu naizmenične struje Do sada je bilo reči o najprostijim strujnim kolima, a u ovom delu vežbe razmotriće se složenije kolo u kome stovremeno postoje aktivni i pasivni otpori. Reč je o RLC kolu. Ako od vektora oduzmemo vektor pa zatim tako dobijenu razliku saberemo sa vektorom prema Pitagorinoj teoremi dobijamo: 1.10 U obzir treba uzeti i činjenicu da kroz sve potrošače u ovom kolu protiče ista struja: 1.11 ~4~ Zamenom u jednačinu dobijamo: 1.12 Izraz Nazivamo impedanskom kola koja predstavlja ukupni otpor u RLC kolu. Izražen preko efektivnih vrednosti Omov takon glasi: 1.13 cos 𝜑 = 𝑈0 𝑅 𝑈0 = 𝑅 𝑍 1.14 Kada je otpor u kolu najmanji, tada je prisutna rezonancija u kolu, iz jednačine se može zapaziti da je to onda kada je XC=XL. Iz ove jednačine sledi Tomasova jednačina. Tada impedansa ima najmanju vrednost Z=R, jačima struje je najveća i u fazi je sa naponom i kaže se da je u kolu nastala naponska rezonanca. U toku dana u mrežu naizmenične struje neprekidno se uključuju i isključuju pojedini delovi pa se ukupna induktivnost i kapacitet menjaju. Zato može da nastane slučaj da se induktivni i kapacitivni otpor izjednače, tada nastaje naponska rezonanca koja je u kolima jake struje (energetici) nepoželjna jer mže da izazove poremećaje u mreži. U tehnici slabe struje (elektronika) naponska rezonanca se vrlo često primenjuje za pojačavanje signala. Tok eksperimenta Prvi Zadatak: Merenje impedanse, termogenih otpora i određivanje parametara R, L i C potrošača primenom metode ampermetra i voltmetra. 1) Povezali smo kolo prema šemi na slici 1. 2) Povezali smo kolo na izvor jednosmerne struje i primenom metode ampermetra i voltmetra izmerili smo struju i napon u kolu da bismo računski odredili termogene otpore dva otpornika i dve zavojnice : 𝑅1−2 , 𝑅1−12 , 𝐿3 𝑖 𝐿2 . 3) Zatim smo povezali kolo na izvor naizmenične struje i istim postupkom izračunali impedanse za dva otpornika, dve zavojnice i kondenzatore: 𝑅1−2 , 𝑅1−12 , 𝐿3 , 𝐿2 , 𝐶1 𝑖 𝐶2 . 4) Iz jednačina 1.6 i 1.9 računamo induktivitet zavojnica i kapacitet kondenzatora. Drugi zadatak: Merenje impedanse složenog kola. ~5~ 5) Složena RLC kola koje povezujemo se obrazuju od elemenata čije smo parametare računali u prvom zadatku. ( Tačnije korišćena je zavojnica 𝐿2 , otpornik 𝑅1−2 i kondenzator 𝐶2 ) 6) Prvo vezujemo zavojnicu, otpornik i kondenzator redno i merimo impedansu ukupnu, a potom vezujemo kondenzator i otpornik redno a na njih paralelno zavojnicu. 7) Koristeći izračunate parametre iz prethodnog zadatka računski smo proverili da li se impedanse paralelne i redne veze slažu u okviru neodređenosti merenja sa izmerenim rezultatima. Rezultati Mereni element Izmerene vrednosti 𝑹𝟏−𝟐 U=(10.00±0.15)V I=(6.3±0.2)mA 𝑹𝟏−𝟏𝟐 U=(10.00±0.15)V I=(30.86±0.15)mA 𝑳𝟑 U=(10.00±0.15)V I=(500±8)mA 𝑅𝐿3 = 500𝑚𝐴 = 20,0 Ω 𝑳𝟐 U=(7.77±0.13)V I=(44.0±0.7)mA 𝑅𝐿2 = Rezultat merenja 10.00𝑉 = 1587.3Ω 6.3𝑚𝐴 10.00𝑉 = = 324.04Ω 30.86𝑚𝐴 𝑅1−2 = 𝑅1−12 10,00𝑉 7.77𝑉 44𝑚𝐴 = 176.59Ω Greška merenja Rezultat Δ𝑅 =70 Ω 𝑹𝟏−𝟐 = (1590 ± 90) Ω Δ𝑅 =6Ω 𝑹𝟏−𝟏𝟐 = (324 ± 6) Ω Δ𝑅𝐿3 =0,6 Ω 𝑅𝐿𝟑 = (20,0±0,6) Ω Δ𝑅𝐿2 =5 Ω 𝑹𝑳𝟐 = (177±5) Ω Prvi zadatak: ( Za jednosmernu struju ) Primenjujemo formulu 1.2, a grešku otpora računamo po formuli: Δ𝑅 = 𝛥𝑈 𝐼 + 𝑈∆𝐼 1.15. 𝐼2 Za grešku voltmera uzimamo neodređenost merenja uređaja tj. 0,5% 3digits. Za grešku ampermetra uzimamo neodređenost mernog uređaja tj. 1,5%+3digits. ( Za naizmeničnu struju ) Primenjujemo formule 1.2, 1.4, 1.8, i za grešku formulu 1.15: Kao grešku voltmetra uzimamo neodređenost mernog uređaja što je 1% ± 3digita. Kao grešku ampermetra uzimamo neodređenost mernog instrumenta što je 1,5% ± 3digita. Mereni element Izmerene vrednosti Rezultat merenja 𝑹𝟏−𝟐 U=(10.0±0.2)V I=(6.37±0.12)mA 𝑍𝑅1−2 = 6.37𝑚𝐴 = 1569.86 Ω Greška merenja Rezultat Δ𝑍𝑅1−2 = 60 Ω 𝑍𝑅1−2 =(1570 ± 60) Ω 10.04𝑉 ~6~ 10.00𝑉 𝑹𝟏−𝟏𝟐 U=(10.0±0.2)V I=(31.2±0.5)mA 𝑍𝑅1−12 = 31.2𝑚𝐴 = 320.82 Ω 𝑳𝟑 U=(10.0±0.2)V I=(330±5)mA 𝑍𝐿3 = 330𝑚𝐴= 30.30 Ω 𝑳𝟐 U=(10.0±0.2)V I=(51±1)mA 𝑍𝐿2 = 51𝑚𝐴 = 196.93 Ω 𝑪𝟏 U=(10.0±0.2)V I=(3.23±0.07)mA 𝑍𝐶1 = 3.23𝑚𝐴=3095.95 Ω 𝑪𝟐 U=(10.0±0.2)V I=(6.49±0.13)mA 𝑍𝐶2 = 6.49𝑚𝐴=1540.83 Ω 𝛥𝑍𝑅1−12 = 11 Ω 𝑍𝑅1−12 =( 320 ± 11) Ω 𝛥𝑍𝐿3 = 0.5 Ω 𝑍𝐿3 =( 30.3 ± 0.5 ) Ω Δ 𝑍𝐿2 = 8 Ω 𝑍𝐿2 =( 197 ± 8) Ω 𝛥𝑍𝐶1 = 129 Ω 𝑍𝐶1 =( 3096 ± 129) Ω 𝛥𝑍𝐶2 = 62 Ω 𝑍𝐶2 = (1541 ± 62) Ω 10,00𝑉 10,00𝑉 10.00𝑉 10.00𝑉 Induktivnost kalema 𝑳𝟐 𝑹𝑳𝟐 = (177±5) Ω 𝒁𝑳𝟐 =( 197 ± 8) Ω 𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 = 314𝐻𝑧, Δω=2·π·Δ 𝑓= 0.6 Hz 𝝎 = (314±1) Hz 𝐿2 = 2 −𝑅 2 √𝑍𝐿2 𝐿2 𝜔 = 0.267 H Gde je 𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 , a 𝑓 = (50.0 ± 0.1)𝐻𝑧 (što smo izmerili tokom ekperimenta.) Greška: ∆𝐿2 = 𝑍𝐿2 𝛥𝑍𝐿2 2 −𝑅 2 𝜔√𝑍𝐿2 𝐿2 + 𝑅𝐿2 𝛥𝑅𝐿2 2 −𝑅 2 𝜔√𝑍𝐿2 𝐿2 + 2 −𝑅 2 ∆𝜔 √𝑍𝐿2 𝐿2 ∆𝐿2 = 0.09 H 𝐿2 = (0.27 ± 0.09)𝐻 ~7~ 𝜔2 1.16 Induktivnost kalema 𝑳𝟑 𝝎 = (314±1) Hz 𝒁𝑳𝟑 =( 30.3 ± 0.5 ) Ω 𝑅𝐿𝟑 = (20,0±0,6) Ω 𝐿3 = ∆𝐿3 = 𝑍𝐿3 𝛥𝑍𝐿3 2 −𝑅 2 𝜔√𝑍𝐿3 𝐿3 + 2 −𝑅 2 √𝑍𝐿3 𝐿3 𝜔 𝑅𝐿3 𝛥𝑅𝐿3 2 −𝑅 2 𝜔√𝑍𝐿3 𝐿3 = 0.0724 H + 2 −𝑅 2 ∆𝜔 √𝑍𝐿3 𝐿3 𝜔2 𝐿3 = (0.072 ± 0.004)𝐻 Kapacitet kondenzatora 𝑪𝟏 𝒁𝑪𝟏 =( 3096 ± 129) Ω 𝝎 = (314±1) Hz 𝐶1 = Δ𝐶1 = 1 𝜔∙𝑍𝐶1 Δ𝜔 𝑍𝐶1 𝜔2 + = 1.02 𝜇𝐹 Δ𝑍𝐶1 𝜔𝑍𝐶1 2 = 0.05 𝜇𝐹 𝐶1 = (1.02 ± 0.05) 𝜇𝐹 ~8~ = 0.004 H Kapacitet kondenzatora 𝑪𝟐 𝒁𝑪𝟐 = (1541 ± 62) Ω 𝝎 = (314±1) Hz 𝐶2 = Δ𝐶2 = 1 𝜔∙𝑍𝐶2 Δ𝜔 𝑍𝐶2 𝜔 2 + = 2.06 𝜇𝐹 Δ𝑍𝐶2 𝜔𝑍𝐶2 2 = 0.09 𝜇𝐹 𝐶2 = (2.06 ± 0.09)𝜇𝐹 Drugi zadatak: Sastavili smo RLC kolo po opisu iz stavke broj 6 u opisu toka ekperimenta. Koristili smo sledeće elemente: Element 𝑹𝟏−𝟐 𝑳𝟐 𝑪𝟐 Svojstva 𝑍𝑅1−2 =(1570 ± 60) Ω 𝑍𝐿2 =( 197 ± 8) Ω 𝑅𝐿2 = (177±5) Ω 𝐿2 = (0.27 ± 0.09)𝐻 𝑍𝐶2 = (1541 ± 62) Ω C2= (2.06 ± 0.09 ) 𝜇𝐹 ~9~ Paralelno vezano: Najpre smo izmerili metodom voltmetra i ampermetra impedansu: U = (10.1 ± 0.2 ) V I= (53.3 ± 0.8 ) mA 𝑍𝑝 = Δ𝑍𝑝 = 𝑈 𝐼 𝛥𝑈 𝐼 = 189.5 Ω + 𝑈∆𝐼 𝐼2 =7Ω 𝒁𝒑 = (𝟏𝟗𝟎 ± 7 ) Ω Računska provera rezultata: Rednu vezu otpornika 𝑅1−2 i kondenzatora 𝐶2 računamo kao: 𝒁𝟏 = √𝒁𝟐𝑹𝟏−𝟐 + 𝒁𝟐𝒄𝟐 = 1553.54 Ω ∆𝒁𝟏 = 𝒁𝑹𝟏−𝟐 ∆𝒁𝑹𝟏−𝟐 +𝒁𝑪𝟐 ∆𝒁𝑪𝟐 √𝒁𝟐𝑹𝟏−𝟐 +𝒁𝟐𝑪𝟐 = 122 Ω 𝒁𝟏 = ( 𝟏𝟓𝟓𝟎 ± 𝟏𝟐𝟎) Ω Za paralelnu vezu zavojnice 𝐿2 i impedanse 𝑍1 : 𝑍𝑝 = 𝑍𝑝 = 𝑍1 ∙ 𝑍𝐿2 𝑍1 +𝑍𝐿2 = 174.79 Ω 2 𝑍12 ∆𝑍𝐿2 + 𝑍𝐿2 ∆𝑍1 (𝑍𝐿2 +𝑍1 )2 = 50 Ω 𝒁𝒑 = (𝟏𝟕𝟎 ± 𝟓𝟎) Ω ~ 10 ~ Redno vezano: Najpre smo izmerili metodom voltmetra i ampermetra impedansu: U = (10.1 ± 0.2 ) V I= (4.47 ± 0.09 ) mA 𝑍𝑟 = Δ𝑍𝑟 = 𝑈 𝐼 = 2266.219 Ω 𝛥𝑈 𝐼 + 𝑈∆𝐼 𝐼2 = 50 Ω 𝒁𝒓 = (𝟐𝟐𝟕𝟎 ± 50 ) Ω Računska provera rezultata: 𝑍𝑟 = √(𝑍𝑅1−2 + 𝑅𝐿2 )2 + (𝑍𝐿2 − 𝑍𝐶2 )2= 2204.165 Ω 𝑍𝑟 = (𝑍𝑅1−2 +𝑍𝐿2 )(∆𝑍𝑅1−2 +∆𝑍𝐿2 )+(𝑍𝐿2 −𝑍𝐶2 )(∆𝑍𝐿2 −∆𝑍𝐶2 ) √(𝑍𝑅1−2 +𝑅𝐿2 )2 +(𝑍𝐿2 −𝑍𝐶2 )2 𝒁𝒓 = (𝟐𝟐𝟎𝟎 ± 𝟏𝟎𝟎 ) Ω ~ 11 ~ = 93 Ω