Uploaded by AnneAndDiana

Speed of light experiment

advertisement
Univerzitet u Beogradu
Fiziฤki Fakultet
Merenje brzine svetlosti
Ana Radosavljeviฤ‡ 3010/2016
Grupa FC-3
C smer
18.4.2018
Beograd
1. Teorijski uvod
U XX veku postupak merenja svetlosti je uznapredovao sa raznim vrstama interferometara.
Merni postupak je konceptualno vrlo jednostavan. Potrebno je izmeriti vreme za koje svetlost
preฤ‘e neku distancu ๐‘‘. U laboratorijskim uslovima moลพe se postiฤ‡i distanca od nekoliko
metara, ali to što se tiฤe merenja brzine svetlosti znaฤi vreme od maksimalno nekoliko
desetina nanosekundi, što je graniฤna rezolucija preciznog osciloskopa.
Dodatni problem se moลพe javiti zbog toga što u elektronskim ureฤ‘ajima mogu postojati
kašnjenja reda veliฤine desetina nanosekundi. To se otklanja merenjem vremena ๐‘ก1 = ๐‘ก0 +
na nekoj distanci ๐‘‘1 i ponovnog merenja vremena ๐‘ก2 = ๐‘ก0 +
๐‘‘2
๐‘
๐‘‘1
๐‘
na distanci ๐‘‘2 , ฤime se moลพe
eliminisati nepoznato vreme kašnjenja ๐‘ก0 .
1
๐‘ก2 −๐‘ก1 = ๐‘ (๐‘‘2 − ๐‘‘1 )
(1)
Ovim nije rešen problem nemoguฤ‡nosti da merimo male vremenske intervale. Ovaj
problem se rešava heterodinskom detekcijom. Koristimo pulseve svetlosti sa razliฤitim, ali
bliskim frekvencama. Signalna frekvenca ๐‘“๐‘† je frekvenca na kojoj osciluje niz pulseva koje
šaljemo. Poredimo vreme pristizanja ovih signala sa referentnim oscilatorom, ฤija se frekvenca
razlikuje vrlo malo od ๐‘“๐‘† . Ovaj oscilator se naziva lokalnim oscilatorom, a njegovu frekvencu
ฤ‡emo oznaฤiti sa ๐‘“๐ฟ๐‘‚ . Sa nekim periodom, pulsevi sa ove dve frekvence ฤ‡e se podudariti.
Frekvencu na kojoj se ovo odigrava ฤ‡emo oznaฤiti sa ๐‘“๐ผ .
Ako dodamo neko fazno kašnjenje signalu frekvence ๐‘“๐‘† , dolazi i do pomaka obrasca oscilovanja
sa frekvencom ๐‘“๐ผ (slika 1). Mala promena u vremenu pristizanja signala frekvence ๐‘“๐‘† rezultuje
u velikoj promeni vremena signala frekvence ๐‘“๐ผ . Vreme ovih redova veliฤine je mnogo lakše
meriti.
Slika 1
-Mali fazni pomak signala frekvence fS rezultuje u velikom faznom pomaku obrasca
oscilovanja sa frekvencom fI
~1~
Ovo se moลพe pokazati i matematiฤki. Zbog jednostavnosti ฤ‡emo koristiti sinusoide za
signale. Posmatramo signal ๐‘†(๐‘ก) = ๐ด sin(2๐œ‹๐‘“๐‘  ๐‘ก + ๐œ‘) i referentni oscilator ๐ฟ(๐‘ก) =
๐ต sin(2๐œ‹๐‘“๐ฟ๐‘‚ ๐‘ก), ฤiju fazu definišemo kao ๐œ‘ = 0. Ova dva signala se mogu pomnoลพiti pomoฤ‡u
odgovarajuฤ‡eg ureฤ‘aja i kao izlazni signal dobija se:
๐ผ(๐‘ก) = ๐ด๐ต sin(2๐œ‹๐‘“๐‘  ๐‘ก + ๐œ‘) sin(2๐œ‹๐‘“๐ฟ๐‘‚ ๐‘ก)
(2)
Izraz se moลพe transformisati pomoฤ‡u trigonometrijskih identiteta:
๐ผ(๐‘ก) =
๐ด๐ต
2
cos[2๐œ‹(๐‘“๐‘  − ๐‘“๐ฟ๐‘‚ )๐‘ก + ๐œ‘] −
๐ด๐ต
2
cos[2๐œ‹(๐‘“๐‘  + ๐‘“๐ฟ๐‘‚ )๐‘ก + ๐œ‘]
(3)
ฤŒlan u kom se sabiraju frekvence se moลพe eliminisati pomoฤ‡u filtera, tako da preostaje
samo:
๐ผ′(๐‘ก) =
๐ด๐ต
2
cos[2๐œ‹๐‘“๐ผ ๐‘ก + ๐œ‘]
(4)
gde je ๐‘“๐ผ = ๐‘“๐‘  − ๐‘“๐ฟ๐‘‚ . Frekvenca ๐‘“๐ผ je mnogo manja od ๐‘“๐‘† jer su ๐‘“๐‘† i ๐‘“๐ฟ๐‘‚ bliske.
Primeฤ‡ujemo da se faza (๐œ‘) izvora ๐‘†(๐‘ก) manifestuje kao fazni pomak ๐ผ(๐‘ก). Sada, obe strane
izraza 13 moลพemo pomnoลพiti sa 2๐œ‹๐‘“๐‘  i dobija se:
โˆ†๐œ‘ = 2๐œ‹๐‘“๐‘  (๐‘ก2 −๐‘ก1 ) =
2๐œ‹๐‘“๐‘ 
๐‘
(๐‘‘2 − ๐‘‘1 )
(5)
Iz ove relacije se dobija izraz za brzinu svetlosti:
๐‘=
2๐œ‹๐‘“๐‘  (๐‘‘2 −๐‘‘1 )
โˆ†๐œ‘
2. Aparatura
Slika 2- Meraฤ brzine svetlosti
~2~
(6)
Slika 3- Set za merenje brzine
1 – meraฤ brzine svetlosti
6 – Klizaฤi
2 – optiฤka klupa ( l = 1800mm)
7 – Drลพaฤi
3 – Drลพaฤ za meraฤ brzine svetlosti
8 – Napajanje
4 – Akrilni cilindar sa drลพaฤem
9 – Reflektor sa štapom
5 – Cevna ฤ‡elija sa drลพaฤem
Slika 4- Osciloskop
~3~
3. Opis izvoฤ‘enja eksperimenta
1. Meraฤ brzine smo postavili na njegov drลพaฤ na optiฤkoj klupi. Ogledalo smo postavili
takoฤ‘e ne optiฤku klupu tako da svetlost nailazi na njega bez obzira na kojoj poziciji
se nalazi.
๐‘“๐‘’๐‘š๐‘š๐‘–๐‘ก
2. Sa osciloskopom je povezan prikljuฤak
modulacije ๐‘“๐‘’๐‘š๐‘š๐‘–๐‘ก . Faktor
1
1000
1000
i sa njega oฤitavamo frekvenciju
uvodimo zato što nam dozvoljava da koristimo
relativno jednostavam osciloskop pri merenju. Nakon odreฤ‘ivanja frekvencije
modulacije, dva dodatna prikljuฤka ๐‘“๐‘’๐‘š๐‘š๐‘–๐‘ก − ๐‘“๐‘ ๐‘ฆ๐‘›๐‘ i ๐‘“๐‘Ÿ๐‘’๐‘ − ๐‘“๐‘ ๐‘ฆ๐‘›๐‘ se poveลพu sa ulaznim
prikljuฤcima na osciloskopu.
Merenje brzine svetlosti u vazduhu
1. Na poฤetku smo izvršili kalibraciju kada je ogledalo bilo na udaljenosti ๐‘ฅ1 = 10๐‘๐‘š od
izvora svetlosti, zatim smo ogledalo povukli duลพ lenjira do udaljenosti od ๐‘ฅ2 = 20๐‘๐‘š
od izvora i tad smo sa osciloskopa odredili vremensku razliku โˆ†๐‘ก.
2. Raฤunamo razdaljinu โˆ†๐‘ฅ za koju smo pomerili ogledalo puta dva zato što raฤunamo i
vreme za koje se svetlost odbila i vratilo se. Razdaljina se raฤuna kao โˆ†๐‘ฅ = ๐‘ฅ2 − ๐‘ฅ1 .
3. Brzinu svetlosti dobijamo pomoฤ‡u formule:
๐‘=
2โˆ†๐‘ฅ
(7)
โˆ†๐‘ก
4. Postupak ponavljamo za sve vrednosti ๐‘ฅ2 koje menjamo od 20cm do 160cm duลพ
lenjira korakom od โˆ†๐‘ฅ = 10๐‘๐‘š. Nakon ฤega crtamo grafik zavisno 2โˆ†๐‘ฅ = ๐‘“(โˆ†๐‘ก) da
bismo dobili vrednost brzine svetlosti sa uraฤunatim neodreฤ‘nostima merenja.
Merenje brzine svetlosti u destilovanoj vodi i akrilnom staklu
1. Postavljamo kivetu sa destilovanom vodom ili akrilnim staklom na svoja postolja na
lenjiru a odmah iza kivete ogledalo. Tada kalibrišemo ureฤ‘aje, i potom skinemo kivetu
sa uzorkom.
2. Sada signali više neฤ‡e da se poklapaju i onda se pomeri ogledalo dok se ne ponovo ne
poklope, i tu vrednost zabeleลพavamo. Pomoฤ‡u sledeฤ‡e jednaฤine i ovih podataka
raฤunamo koeficijent prelamanja destilovane vode, odnosno akrilnog stakla, i
jednaฤinom (9) dolazimo do brzine svetlosti u datoj sredini.
nm =
โˆ†๐‘ฅ+๐‘™๐‘š
๐‘™๐‘š
๐‘
๐ถ๐‘š = ๐‘› ๐‘ฃ
๐‘š
~4~
(8)
(9)
Gde je x razlika izmeฤ‘u prvog poloลพaja ogledala u drugog, a lm duลพina kivete.
4 . Obrada rezultata merenja
Rezultati merenja brzine svetlosti u vazduhu :
Vremensku razliku โˆ†๐‘ก delimo sa 1000 za šta smo dali obrazloลพenje u teorijskom delu.
Neodreฤ‘enost merenja vremenske razlike je โˆ†(โˆ†๐‘ก) = 0,02 ๐‘›๐‘ .
Neodreฤ‘enost merenja udaljenosti โˆ†๐‘ฅ1 , โˆ†๐‘ฅ2 = 0,001๐‘š. Iz ฤega sledi da je neodreฤ‘enost za
razliku udaljenosti โˆ†(โˆ†๐‘ฅ) = โˆ†๐‘ฅ1 + โˆ†๐‘ฅ2 = 0,002๐‘š .
๐Ÿ โˆ™ โˆ†๐’™ [๐’Ž]
โˆ†(โˆ†๐’™) [๐’Ž]
โˆ†๐’• [๐’๐’”]
โˆ†(โˆ†๐’•) [๐’๐’”]
0,200
0,002
0,70
0,02
0,400
0,002
1,36
0,02
0,600
0,002
2,08
0,02
0,800
0,002
2,76
0,02
1,000
0,002
3,40
0,02
1,200
0,002
4,08
0,02
1,400
0,002
4,72
0,02
1,600
0,002
5,36
0,02
1,800
0,002
6,00
0,02
2,000
0,002
6,64
0,02
2,200
0,002
7,26
0,02
2,400
0,002
7,84
0,02
2,600
0,002
8,32
0,02
2,800
0,002
9,02
0,02
~5~
Grafik zavisnosti dvostruke zavisnosti udaljenosti ogledala od izvora svetlosti od
vremenske razlike sa osciloskopa
๐‘๐‘ฃ = (0,313 ± 0,002)
๐‘š
๐‘›๐‘ 
๐‘๐‘ฃ = (313 ± 2) โˆ™ 106
๐‘š
๐‘ 
Rezultati merenja brzine svetlosti u vodi :
๐’๐’Ž [๐’Ž]
๐’™๐Ÿ [m]
๐’™๐Ÿ [m]
โˆ†๐’™๐Ÿ , โˆ†๐’™๐Ÿ , โˆ† ๐‘™๐‘š
0,5
0,635
0,796
0,001
0,5
0,920
1,103
0,001
0,5
1,100
1,300
0,001
~6~
Koristiฤ‡i jednaฤinu (8) raฤunamo koeficijent prelamanja svetlosti u vodi, a grešku tog
raฤunamo po jednaฤini (10), uzimajuฤ‡i u obzir โˆ†(โˆ†๐‘ฅ) = โˆ†๐‘ฅ1 + โˆ†๐‘ฅ2 = 0,002๐‘š .
โˆ†nm =
โˆ†(โˆ†๐‘ฅ)
๐‘™๐‘š
+
โˆ†๐‘™๐‘š โˆ†๐‘ฅ
(10)
๐‘™๐‘š
Brzinu svetlosti raฤunamo pomoฤ‡u jednaฤine (9) a njenu grešku pomoฤ‡u jednaฤine (11).
โˆ†cm =
โˆ†๐‘๐‘ฃ
๐‘›๐‘š
+
โˆ†๐‘›๐‘š ๐‘๐‘ฃ
(11)
2
๐‘›๐‘š
Indeks prelamanja svetlosti
Brzina svetlosti u vodi
nm๐Ÿ = (1,322±๐ŸŽ, ๐ŸŽ๐ŸŽ๐Ÿ“)
๐‘mv๐Ÿ = (237 ±2) โˆ™ 106 ๐‘ 
nm๐Ÿ = (1,366±๐ŸŽ, ๐ŸŽ๐ŸŽ๐Ÿ“)
๐‘mv๐Ÿ = (229 ±2) โˆ™ 106 ๐‘ 
nm๐Ÿ = (1,400±๐ŸŽ, ๐ŸŽ๐ŸŽ๐Ÿ“)
๐‘mv๐Ÿ = (224 ±2) โˆ™ 106 ๐‘ 
๐‘š
๐‘š
๐‘š
Za konaฤnu vrednost brzine svetlosti u destilovanoj vodi uzimamo srednju vrednost prve dve
vrednosti, ovo radimo zato što je pri merenju treฤ‡e vrednosti traka za merenje uz koju je klizalo
ogledalo pomaknuta i taj rezultat pokazuje veliko odstupanje od oฤekivane vrednosti.
๐‘š
๐‘mvsr = (233 ±2) โˆ™ 106 ๐‘ 
Rezultati merenja brzine svetlosti u akrilnom staklu :
๐’๐’Ž [๐’Ž]
๐’™๐Ÿ [m]
๐’™๐Ÿ [m]
โˆ†๐’™๐Ÿ , โˆ†๐’™๐Ÿ , โˆ† ๐‘™๐‘š
0,5
0,600
0,839
0,001
0,5
1,100
1,389
0,001
0,5
1,200
1,494
0,001
~7~
Koristiฤ‡i jednaฤinu (8) raฤunamo koeficijent prelamanja svetlosti u vodi, a grešku tog
raฤunamo po jednaฤini (10), uzimajuฤ‡i u obzir โˆ†(โˆ†๐‘ฅ) = โˆ†๐‘ฅ1 + โˆ†๐‘ฅ2 = 0,002๐‘š .
Brzinu svetlosti raฤunamo pomoฤ‡u jednaฤine (9) a njenu grešku pomoฤ‡u jednaฤine (11).
Indeks prelamanja svetlosti
Brzina svetlosti u vodi
nm๐Ÿ = (1,478±๐ŸŽ, ๐ŸŽ๐ŸŽ๐Ÿ“)
๐‘ms๐Ÿ = (212 ±2) โˆ™ 106 ๐‘ 
nm๐Ÿ = (1,578±๐ŸŽ, ๐ŸŽ๐ŸŽ๐Ÿ“)
๐‘ms๐Ÿ = (198,0 ±1,9) โˆ™ 106 ๐‘ 
nm๐Ÿ = (1,588±๐ŸŽ, ๐ŸŽ๐ŸŽ๐Ÿ“)
๐‘ms๐Ÿ = (197,0 ±1,9) โˆ™ 106 ๐‘ 
๐‘š
๐‘š
๐‘š
Za konaฤnu vrednost brzine svetlosti u akrilnom staklu uzimamo srednju vrednost tri
izraฤunate vrednosti.
๐‘š
๐‘mssr = (202 ±2) โˆ™ 106 ๐‘ 
~8~
Download