Univerzitet u Beogradu
Fizički Fakultet
Merenje brzine svetlosti
Ana Radosavljević 3010/2016
Grupa FC-3
C smer
18.4.2018
Beograd
1. Teorijski uvod
U XX veku postupak merenja svetlosti je uznapredovao sa raznim vrstama interferometara.
Merni postupak je konceptualno vrlo jednostavan. Potrebno je izmeriti vreme za koje svetlost
pređe neku distancu 𝑑. U laboratorijskim uslovima može se postići distanca od nekoliko
metara, ali to što se tiče merenja brzine svetlosti znači vreme od maksimalno nekoliko
desetina nanosekundi, što je granična rezolucija preciznog osciloskopa.
Dodatni problem se može javiti zbog toga što u elektronskim uređajima mogu postojati
kašnjenja reda veličine desetina nanosekundi. To se otklanja merenjem vremena 𝑡1 = 𝑡0 +
na nekoj distanci 𝑑1 i ponovnog merenja vremena 𝑡2 = 𝑡0 +
𝑑2
𝑐
𝑑1
𝑐
na distanci 𝑑2 , čime se može
eliminisati nepoznato vreme kašnjenja 𝑡0 .
1
𝑡2 −𝑡1 = 𝑐 (𝑑2 − 𝑑1 )
(1)
Ovim nije rešen problem nemogućnosti da merimo male vremenske intervale. Ovaj
problem se rešava heterodinskom detekcijom. Koristimo pulseve svetlosti sa različitim, ali
bliskim frekvencama. Signalna frekvenca 𝑓𝑆 je frekvenca na kojoj osciluje niz pulseva koje
šaljemo. Poredimo vreme pristizanja ovih signala sa referentnim oscilatorom, čija se frekvenca
razlikuje vrlo malo od 𝑓𝑆 . Ovaj oscilator se naziva lokalnim oscilatorom, a njegovu frekvencu
ćemo označiti sa 𝑓𝐿𝑂 . Sa nekim periodom, pulsevi sa ove dve frekvence će se podudariti.
Frekvencu na kojoj se ovo odigrava ćemo označiti sa 𝑓𝐼 .
Ako dodamo neko fazno kašnjenje signalu frekvence 𝑓𝑆 , dolazi i do pomaka obrasca oscilovanja
sa frekvencom 𝑓𝐼 (slika 1). Mala promena u vremenu pristizanja signala frekvence 𝑓𝑆 rezultuje
u velikoj promeni vremena signala frekvence 𝑓𝐼 . Vreme ovih redova veličine je mnogo lakše
meriti.
Slika 1
-Mali fazni pomak signala frekvence fS rezultuje u velikom faznom pomaku obrasca
oscilovanja sa frekvencom fI
~1~
Ovo se može pokazati i matematički. Zbog jednostavnosti ćemo koristiti sinusoide za
signale. Posmatramo signal 𝑆(𝑡) = 𝐴 sin(2𝜋𝑓𝑠 𝑡 + 𝜑) i referentni oscilator 𝐿(𝑡) =
𝐵 sin(2𝜋𝑓𝐿𝑂 𝑡), čiju fazu definišemo kao 𝜑 = 0. Ova dva signala se mogu pomnožiti pomoću
odgovarajućeg uređaja i kao izlazni signal dobija se:
𝐼(𝑡) = 𝐴𝐵 sin(2𝜋𝑓𝑠 𝑡 + 𝜑) sin(2𝜋𝑓𝐿𝑂 𝑡)
(2)
Izraz se može transformisati pomoću trigonometrijskih identiteta:
𝐼(𝑡) =
𝐴𝐵
2
cos[2𝜋(𝑓𝑠 − 𝑓𝐿𝑂 )𝑡 + 𝜑] −
𝐴𝐵
2
cos[2𝜋(𝑓𝑠 + 𝑓𝐿𝑂 )𝑡 + 𝜑]
(3)
Član u kom se sabiraju frekvence se može eliminisati pomoću filtera, tako da preostaje
samo:
𝐼′(𝑡) =
𝐴𝐵
2
cos[2𝜋𝑓𝐼 𝑡 + 𝜑]
(4)
gde je 𝑓𝐼 = 𝑓𝑠 − 𝑓𝐿𝑂 . Frekvenca 𝑓𝐼 je mnogo manja od 𝑓𝑆 jer su 𝑓𝑆 i 𝑓𝐿𝑂 bliske.
Primećujemo da se faza (𝜑) izvora 𝑆(𝑡) manifestuje kao fazni pomak 𝐼(𝑡). Sada, obe strane
izraza 13 možemo pomnožiti sa 2𝜋𝑓𝑠 i dobija se:
∆𝜑 = 2𝜋𝑓𝑠 (𝑡2 −𝑡1 ) =
2𝜋𝑓𝑠
𝑐
(𝑑2 − 𝑑1 )
(5)
Iz ove relacije se dobija izraz za brzinu svetlosti:
𝑐=
2𝜋𝑓𝑠 (𝑑2 −𝑑1 )
∆𝜑
2. Aparatura
Slika 2- Merač brzine svetlosti
~2~
(6)
Slika 3- Set za merenje brzine
1 – merač brzine svetlosti
6 – Klizači
2 – optička klupa ( l = 1800mm)
7 – Držači
3 – Držač za merač brzine svetlosti
8 – Napajanje
4 – Akrilni cilindar sa držačem
9 – Reflektor sa štapom
5 – Cevna ćelija sa držačem
Slika 4- Osciloskop
~3~
3. Opis izvođenja eksperimenta
1. Merač brzine smo postavili na njegov držač na optičkoj klupi. Ogledalo smo postavili
takođe ne optičku klupu tako da svetlost nailazi na njega bez obzira na kojoj poziciji
se nalazi.
𝑓𝑒𝑚𝑚𝑖𝑡
2. Sa osciloskopom je povezan priključak
modulacije 𝑓𝑒𝑚𝑚𝑖𝑡 . Faktor
1
1000
1000
i sa njega očitavamo frekvenciju
uvodimo zato što nam dozvoljava da koristimo
relativno jednostavam osciloskop pri merenju. Nakon određivanja frekvencije
modulacije, dva dodatna priključka 𝑓𝑒𝑚𝑚𝑖𝑡 − 𝑓𝑠𝑦𝑛𝑐 i 𝑓𝑟𝑒𝑐 − 𝑓𝑠𝑦𝑛𝑐 se povežu sa ulaznim
priključcima na osciloskopu.
Merenje brzine svetlosti u vazduhu
1. Na početku smo izvršili kalibraciju kada je ogledalo bilo na udaljenosti 𝑥1 = 10𝑐𝑚 od
izvora svetlosti, zatim smo ogledalo povukli duž lenjira do udaljenosti od 𝑥2 = 20𝑐𝑚
od izvora i tad smo sa osciloskopa odredili vremensku razliku ∆𝑡.
2. Računamo razdaljinu ∆𝑥 za koju smo pomerili ogledalo puta dva zato što računamo i
vreme za koje se svetlost odbila i vratilo se. Razdaljina se računa kao ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 .
3. Brzinu svetlosti dobijamo pomoću formule:
𝑐=
2∆𝑥
(7)
∆𝑡
4. Postupak ponavljamo za sve vrednosti 𝑥2 koje menjamo od 20cm do 160cm duž
lenjira korakom od ∆𝑥 = 10𝑐𝑚. Nakon čega crtamo grafik zavisno 2∆𝑥 = 𝑓(∆𝑡) da
bismo dobili vrednost brzine svetlosti sa uračunatim neodređnostima merenja.
Merenje brzine svetlosti u destilovanoj vodi i akrilnom staklu
1. Postavljamo kivetu sa destilovanom vodom ili akrilnim staklom na svoja postolja na
lenjiru a odmah iza kivete ogledalo. Tada kalibrišemo uređaje, i potom skinemo kivetu
sa uzorkom.
2. Sada signali više neće da se poklapaju i onda se pomeri ogledalo dok se ne ponovo ne
poklope, i tu vrednost zabeležavamo. Pomoću sledeće jednačine i ovih podataka
računamo koeficijent prelamanja destilovane vode, odnosno akrilnog stakla, i
jednačinom (9) dolazimo do brzine svetlosti u datoj sredini.
nm =
∆𝑥+𝑙𝑚
𝑙𝑚
𝑐
𝐶𝑚 = 𝑛 𝑣
𝑚
~4~
(8)
(9)
Gde je x razlika između prvog položaja ogledala u drugog, a lm dužina kivete.
4 . Obrada rezultata merenja
Rezultati merenja brzine svetlosti u vazduhu :
Vremensku razliku ∆𝑡 delimo sa 1000 za šta smo dali obrazloženje u teorijskom delu.
Neodređenost merenja vremenske razlike je ∆(∆𝑡) = 0,02 𝑛𝑠.
Neodređenost merenja udaljenosti ∆𝑥1 , ∆𝑥2 = 0,001𝑚. Iz čega sledi da je neodređenost za
razliku udaljenosti ∆(∆𝑥) = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,002𝑚 .
𝟐 ∙ ∆𝒙 [𝒎]
∆(∆𝒙) [𝒎]
∆𝒕 [𝒏𝒔]
∆(∆𝒕) [𝒏𝒔]
0,200
0,002
0,70
0,02
0,400
0,002
1,36
0,02
0,600
0,002
2,08
0,02
0,800
0,002
2,76
0,02
1,000
0,002
3,40
0,02
1,200
0,002
4,08
0,02
1,400
0,002
4,72
0,02
1,600
0,002
5,36
0,02
1,800
0,002
6,00
0,02
2,000
0,002
6,64
0,02
2,200
0,002
7,26
0,02
2,400
0,002
7,84
0,02
2,600
0,002
8,32
0,02
2,800
0,002
9,02
0,02
~5~
Grafik zavisnosti dvostruke zavisnosti udaljenosti ogledala od izvora svetlosti od
vremenske razlike sa osciloskopa
𝑐𝑣 = (0,313 ± 0,002)
𝑚
𝑛𝑠
𝑐𝑣 = (313 ± 2) ∙ 106
𝑚
𝑠
Rezultati merenja brzine svetlosti u vodi :
𝒍𝒎 [𝒎]
𝒙𝟏 [m]
𝒙𝟐 [m]
∆𝒙𝟏 , ∆𝒙𝟐 , ∆ 𝑙𝑚
0,5
0,635
0,796
0,001
0,5
0,920
1,103
0,001
0,5
1,100
1,300
0,001
~6~
Koristići jednačinu (8) računamo koeficijent prelamanja svetlosti u vodi, a grešku tog
računamo po jednačini (10), uzimajući u obzir ∆(∆𝑥) = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,002𝑚 .
∆nm =
∆(∆𝑥)
𝑙𝑚
+
∆𝑙𝑚 ∆𝑥
(10)
𝑙𝑚
Brzinu svetlosti računamo pomoću jednačine (9) a njenu grešku pomoću jednačine (11).
∆cm =
∆𝑐𝑣
𝑛𝑚
+
∆𝑛𝑚 𝑐𝑣
(11)
2
𝑛𝑚
Indeks prelamanja svetlosti
Brzina svetlosti u vodi
nm𝟏 = (1,322±𝟎, 𝟎𝟎𝟓)
𝑐mv𝟏 = (237 ±2) ∙ 106 𝑠
nm𝟐 = (1,366±𝟎, 𝟎𝟎𝟓)
𝑐mv𝟐 = (229 ±2) ∙ 106 𝑠
nm𝟐 = (1,400±𝟎, 𝟎𝟎𝟓)
𝑐mv𝟐 = (224 ±2) ∙ 106 𝑠
𝑚
𝑚
𝑚
Za konačnu vrednost brzine svetlosti u destilovanoj vodi uzimamo srednju vrednost prve dve
vrednosti, ovo radimo zato što je pri merenju treće vrednosti traka za merenje uz koju je klizalo
ogledalo pomaknuta i taj rezultat pokazuje veliko odstupanje od očekivane vrednosti.
𝑚
𝑐mvsr = (233 ±2) ∙ 106 𝑠
Rezultati merenja brzine svetlosti u akrilnom staklu :
𝒍𝒎 [𝒎]
𝒙𝟏 [m]
𝒙𝟐 [m]
∆𝒙𝟏 , ∆𝒙𝟐 , ∆ 𝑙𝑚
0,5
0,600
0,839
0,001
0,5
1,100
1,389
0,001
0,5
1,200
1,494
0,001
~7~
Koristići jednačinu (8) računamo koeficijent prelamanja svetlosti u vodi, a grešku tog
računamo po jednačini (10), uzimajući u obzir ∆(∆𝑥) = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,002𝑚 .
Brzinu svetlosti računamo pomoću jednačine (9) a njenu grešku pomoću jednačine (11).
Indeks prelamanja svetlosti
Brzina svetlosti u vodi
nm𝟏 = (1,478±𝟎, 𝟎𝟎𝟓)
𝑐ms𝟏 = (212 ±2) ∙ 106 𝑠
nm𝟐 = (1,578±𝟎, 𝟎𝟎𝟓)
𝑐ms𝟐 = (198,0 ±1,9) ∙ 106 𝑠
nm𝟐 = (1,588±𝟎, 𝟎𝟎𝟓)
𝑐ms𝟐 = (197,0 ±1,9) ∙ 106 𝑠
𝑚
𝑚
𝑚
Za konačnu vrednost brzine svetlosti u akrilnom staklu uzimamo srednju vrednost tri
izračunate vrednosti.
𝑚
𝑐mssr = (202 ±2) ∙ 106 𝑠
~8~